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3.2: Operações Decimais - Matemática


3.2: Operações Decimais - Matemática

Exemplo:
1 representa a contagem de um único item.
Por exemplo, 1 chocolate, 1 caixa de chocolates, etc.,
E esses objetos matemáticos são chamados de números.

Números agora podem ser definidos como valores, e cada número terá seus respectivos valores.

Maths também tem outro conjunto de objetos, chamado de símbolos .

Exemplo:
Como parte da aprendizagem, todos sabemos que o símbolo + representa ADD.
Da mesma forma, - é um símbolo que representa a função SUB.
Esses símbolos são funcionais por natureza e definem a operação que executam.

De cima,
NÚMEROS está VALORES
Enquanto
SÍMBOLOS está FUNÇÕES


Na maioria dos casos envolvendo um decimal (moeda, etc.), não é útil criar uma raiz e a raiz não terá nada parecido com a precisão esperada que você esperaria que um decimal tivesse. É claro que você pode forçá-lo lançando (assumindo que não estamos lidando com extremos do intervalo decimal):

o que o força a pelo menos reconhecer os problemas de arredondamento inerentes.

Não entendo por que todas as respostas a essa pergunta são as mesmas.

Existem várias maneiras de calcular a raiz quadrada de um número. Um deles foi proposto por Isaac Newton. Vou escrever apenas uma das implementações mais simples deste método. Eu o uso para melhorar a precisão da raiz quadrada de double.

Sobre a velocidade: no pior caso (épsilon = 0 e o número é decimal.MaxValue) o loop se repete menos de três vezes.

Acabei de me deparar com esta questão e sugerir um algoritmo diferente do proposto pelo SLenik. Isso é baseado no Método Babilônico.

Ele não requer o uso da função Sqrt existente e, portanto, evita a conversão em double e back, com a consequente perda de precisão.


Multiplicação de decimais

Decimais como frações Escreva os decimais como frações. Multiplique as frações. Em seguida, escreva a resposta em formato decimal. O número de casas decimais nos fatores está relacionado ao número de casas decimais na resposta.

Exemplo

Encontre o produto 0,3 x 2,3. Como frações, isso é 3 /10 x 2 3 /10 = 3 /10 x 23 /10 o produto é 69 /100, ou 0,69, O denominador da fração indica o valor da casa decimal.

Interpretação de valor de lugar Os alunos encontram padrões em conjuntos de problemas para ver por que a contagem de casas decimais faz sentido.

Exemplo

Encontre o produto 0,25 x 0,31. Use o fato de que 25 x 31 = 775. Décimos x décimos resulta em centésimos no produto, então 2,5 x 3,1 = 7,75. Décimos * centésimos resultam em milésimos, então 2,5 x 0,31 = 0,775. Centésimos x centésimos resultam em dez milésimos, então 0,25 x 0,31 = 0,0775.


Conteúdo

A adição é escrita usando o sinal de mais "+" entre os termos [2] [3], ou seja, em notação infixa. O resultado é expresso com um sinal de igual. Por exemplo,

Existem também situações em que a adição é "compreendida", embora nenhum símbolo apareça:

  • Um número inteiro seguido imediatamente por uma fração indica a soma dos dois, chamada de número misto. [4] Por exemplo,
    3½ = 3 + ½ = 3.5.
    Essa notação pode causar confusão, uma vez que, na maioria dos outros contextos, a justaposição denota multiplicação. [5]

A soma de uma série de números relacionados pode ser expressa por meio da notação sigma maiúscula, que denota iteração compacta. Por exemplo,

Os números ou os objetos a serem adicionados em geral são chamados coletivamente de termos, [6] o adendos [7] [8] [9] ou o summands [10] essa terminologia é transportada para a soma de vários termos. Isso deve ser diferenciado de fatores, que são multiplicados. Alguns autores chamam o primeiro adendo de augendo. [7] [8] [9] De fato, durante a Renascença, muitos autores não consideraram o primeiro adendo como um "adendo". Hoje, devido à propriedade comutativa de adição, "augend" raramente é usado, e ambos os termos são geralmente chamados de adendos. [11]

Toda a terminologia acima deriva do latim. "Adição" e "adicionar" são palavras inglesas derivadas do verbo latino addere, que por sua vez é um composto de de Anúncios "para e ousar "dar", da raiz proto-indo-européia * deh₃- "dar", portanto, para adicionar é para dar para. [11] Usando o sufixo gerundivo -WL resulta em "adicionar", "coisa a ser adicionada". [a] Da mesma forma de Augere "aumentar", obtém-se "augend", "coisa a ser aumentada".

"Soma" e "soma" derivam do substantivo latino summa "o mais alto, o mais alto" e verbo associado summare. Isso é apropriado não apenas porque a soma de dois números positivos é maior do que qualquer um, mas porque era comum para os antigos gregos e romanos somarem para cima, ao contrário da prática moderna de somar para baixo, de modo que a soma fosse literalmente maior do que o adendos. [13] Addere e summare datam de pelo menos Boécio, senão de escritores romanos anteriores, como Vitrúvio e Frontino. Boécio também usou vários outros termos para a operação de adição. Os termos posteriores do inglês médio "adden" e "acrescentando" foram popularizados por Chaucer. [14]

O sinal de mais "+" (Unicode: U + 002B ASCII: & amp # 43) é uma abreviatura da palavra latina et, que significa "e". [15] Ele aparece em trabalhos matemáticos que datam de pelo menos 1489. [16]

A adição é usada para modelar muitos processos físicos. Mesmo para o caso simples de adicionar números naturais, existem muitas interpretações possíveis e ainda mais representações visuais.

Combinar conjuntos Editar

Possivelmente, a interpretação mais fundamental da adição reside na combinação de conjuntos:

  • Quando duas ou mais coleções disjuntas são combinadas em uma única coleção, o número de objetos na coleção única é a soma do número de objetos nas coleções originais.

Essa interpretação é fácil de visualizar, com pouco risco de ambiguidade. Também é útil em matemática superior (para a definição rigorosa que inspira, consulte § Números naturais abaixo). No entanto, não é óbvio como se deve estender essa versão de adição para incluir números fracionários ou números negativos. [17]

Uma solução possível é considerar coleções de objetos que podem ser facilmente divididos, como tortas ou, melhor ainda, barras segmentadas. [18] Em vez de apenas combinar coleções de segmentos, as hastes podem ser unidas ponta a ponta, o que ilustra outra concepção de adição: adicionar não as hastes, mas os comprimentos das hastes.

Estendendo um comprimento Editar

Uma segunda interpretação da adição vem de estender um comprimento inicial por um determinado comprimento:

  • Quando um comprimento original é estendido por um determinado valor, o comprimento final é a soma do comprimento original e o comprimento da extensão. [19]

A soma uma + b pode ser interpretado como uma operação binária que combina uma e b, em um sentido algébrico, ou pode ser interpretado como a adição de b mais unidades para uma. Sob a última interpretação, as partes de uma soma uma + b desempenham funções assimétricas, e a operação uma + b é visto como aplicando a operação unária +b para uma. [20] Em vez de ligar para ambos uma e b adendos, é mais apropriado chamar uma a augendo neste caso, desde uma desempenha um papel passivo. A visão unária também é útil ao discutir a subtração, porque cada operação de adição unária tem uma operação de subtração unária inversa, e vice-versa.

Edição de comutatividade

A adição é comutativa, o que significa que se pode alterar a ordem dos termos em uma soma, mas ainda assim obter o mesmo resultado. Simbolicamente, se uma e b são quaisquer dois números, então

uma + b = b + uma.

O fato de a adição ser comutativa é conhecido como "lei comutativa da adição" ou "propriedade comutativa da adição". Algumas outras operações binárias são comutativas, como multiplicação, mas muitas outras não, como subtração e divisão.

Edição de Associatividade

A adição é associativa, o que significa que quando três ou mais números são somados, a ordem das operações não altera o resultado.

Por exemplo, deve a expressão uma + b + c ser definido para significar (uma + b) + c ou uma + (b + c)? Dado que a adição é associativa, a escolha da definição é irrelevante. Para quaisquer três números uma, b, e c, é verdade que (uma + b) + c = uma + (b + c) Por exemplo, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).

Quando a adição é usada junto com outras operações, a ordem das operações torna-se importante. Na ordem padrão de operações, a adição é uma prioridade mais baixa do que a exponenciação, enésimas raízes, multiplicação e divisão, mas recebe prioridade igual à subtração. [21]

Editar elemento de identidade

Ao adicionar zero a qualquer número, a quantidade não muda; zero é o elemento de identidade para adição, também conhecido como identidade aditiva. Em símbolos, para qualquer uma,

uma + 0 = 0 + uma = uma.

Esta lei foi identificada pela primeira vez na obra de Brahmagupta Brahmasphutasiddhanta em 628 DC, embora ele as tenha escrito como três leis separadas, dependendo se uma é negativo, positivo ou o próprio zero, e ele usou palavras em vez de símbolos algébricos. Mais tarde, matemáticos indianos refinaram o conceito por volta do ano 830, escreveu Mahavira, "zero torna-se o mesmo que o que é adicionado a ele", correspondendo à afirmação unária 0 + uma = uma . No século 12, Bhaskara escreveu: "Na adição de cifra, ou subtração dela, a quantidade, positiva ou negativa, permanece a mesma", correspondendo à afirmação unária uma + 0 = uma . [22]

Sucessor Editar

Dentro do contexto de inteiros, a adição de um também desempenha um papel especial: para qualquer inteiro uma, o inteiro (uma + 1) é o menor número inteiro maior que uma, também conhecido como o sucessor de uma. [23] Por exemplo, 3 é o sucessor de 2 e 7 é o sucessor de 6. Por causa dessa sucessão, o valor de uma + b também pode ser visto como o bo sucessor de uma, fazendo a sucessão iterada da adição. Por exemplo, 6 + 2 é 8, porque 8 é o sucessor de 7, que é o sucessor de 6, tornando 8 o segundo sucessor de 6.

Editar unidades

Para adicionar numericamente quantidades físicas com unidades, elas devem ser expressas com unidades comuns. [24] Por exemplo, adicionar 50 mililitros a 150 mililitros dá 200 mililitros. No entanto, se uma medida de 5 pés for estendida por 2 polegadas, a soma será 62 polegadas, já que 60 polegadas é sinônimo de 5 pés. Por outro lado, geralmente não faz sentido tentar somar 3 metros e 4 metros quadrados, uma vez que essas unidades são incomparáveis, esse tipo de consideração é fundamental na análise dimensional.

Habilidade inata Editar

Estudos sobre o desenvolvimento matemático iniciados por volta da década de 1980 exploraram o fenômeno da habituação: os bebês olham mais para situações inesperadas. [25] Um experimento seminal de Karen Wynn em 1992 envolvendo bonecos do Mickey Mouse manipulados atrás de uma tela demonstrou que bebês de cinco meses de idade Espero 1 + 1 para 2, e eles ficam comparativamente surpresos quando uma situação física parece implicar que 1 + 1 é 1 ou 3. Esse achado foi desde então afirmado por uma variedade de laboratórios usando diferentes metodologias. [26] Outro experimento de 1992 com crianças mais velhas, entre 18 e 35 meses, explorou o desenvolvimento do controle motor, permitindo-lhes recuperar bolas de pingue-pongue de uma caixa, as mais novas responderam bem para números pequenos, enquanto as crianças mais velhas foram capazes de calcular somas até 5. [27]

Mesmo alguns animais não humanos mostram uma capacidade limitada de adicionar, especialmente primatas. Em um experimento de 1995 que imitou o resultado de Wynn de 1992 (mas usando berinjelas em vez de bonecas), o macaco rhesus e os macacos micos-cottontop tiveram um desempenho semelhante ao de bebês humanos. Mais dramaticamente, depois de aprender os significados dos algarismos arábicos de 0 a 4, um chimpanzé foi capaz de calcular a soma de dois algarismos sem treinamento adicional. [28] Mais recentemente, os elefantes asiáticos demonstraram uma capacidade de realizar aritmética básica. [29]

Aprendizagem na infância Editar

Normalmente, as crianças primeiro controlam a contagem. Quando enfrentam um problema que requer que dois itens e três itens sejam combinados, as crianças pequenas modelam a situação com objetos físicos, geralmente dedos ou um desenho, e então contam o total. À medida que ganham experiência, aprendem ou descobrem a estratégia de "contar com": solicitadas a encontrar dois mais três, as crianças contam três e dois, dizendo "três, quatro, cinco"(geralmente marcando os dedos) e chegando aos cinco anos. Esta estratégia parece quase universal, as crianças podem facilmente aprendê-la de colegas ou professores. [30] A maioria descobre-a independentemente. Com experiência adicional, as crianças aprendem a adicionar mais rapidamente, explorando o comutatividade de adição contando a partir do maior número, neste caso, começando com três e contando "quatro, cinco. "Eventualmente, as crianças começam a se lembrar de certos fatos de adição (" ligações numéricas "), seja por experiência ou memorização mecânica. Uma vez que alguns fatos são gravados na memória, as crianças começam a derivar fatos desconhecidos de outros conhecidos. Por exemplo, uma criança pediu para adicionar seis e sete podem saber que 6 + 6 = 12 e então raciocinar que 6 + 7 é mais um, ou 13. [31] Esses fatos derivados podem ser encontrados muito rapidamente e a maioria dos alunos do ensino fundamental eventualmente dependem de uma mistura de memorizados e derivados fatos para adicionar com fluência. [32]

Diferentes nações introduzem números inteiros e aritmética em diferentes idades, com muitos países ensinando adição na pré-escola. [33] No entanto, em todo o mundo, a adição é ensinada ao final do primeiro ano do ensino fundamental. [34]

Edição de Tabela

As crianças costumam ver a tabela de adição de pares de números de 0 a 9 para memorizar. Sabendo disso, as crianças podem realizar qualquer adição.

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Editar sistema decimal

O pré-requisito para adição no sistema decimal é a recuperação ou derivação fluente dos 100 "fatos de adição" de um dígito. Pode-se memorizar todos os fatos de forma mecânica, mas as estratégias baseadas em padrões são mais esclarecedoras e, para a maioria das pessoas, mais eficientes: [35]

  • Propriedade comutativa: Mencionado acima, usando o padrão a + b = b + a reduz o número de "fatos de adição" de 100 para 55.
  • Mais um ou dois: Adicionar 1 ou 2 é uma tarefa básica e pode ser realizada por meio da contagem ou, em última instância, da intuição. [35]
  • Zero: Uma vez que zero é a identidade aditiva, adicionar zero é trivial. No entanto, no ensino de aritmética, alguns alunos são introduzidos à adição como um processo que sempre aumenta os adendos. Problemas de palavras podem ajudar a racionalizar a "exceção" de zero. [35]
  • Duplas: Adicionar um número a ele mesmo está relacionado à contagem por dois e à multiplicação. Os fatos duplos formam a espinha dorsal de muitos fatos relacionados, e os alunos os consideram relativamente fáceis de entender. [35]
  • Quase duplas: Somas como 6 + 7 = 13 podem ser rapidamente derivadas do fato de duplas 6 + 6 = 12 adicionando mais um, ou de 7 + 7 = 14, mas subtraindo um. [35]
  • Cinco e dez: As somas na forma 5 + x e 10 + x são geralmente memorizadas cedo e podem ser usadas para derivar outros fatos. Por exemplo, 6 + 7 = 13 pode ser derivado de 5 + 7 = 12 adicionando mais um. [35]
  • Fazendo dez: Uma estratégia avançada usa 10 como intermediário para somas envolvendo 8 ou 9, por exemplo, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14. [35]

À medida que os alunos crescem, eles memorizam mais fatos e aprendem a derivar outros fatos com rapidez e fluência. Muitos alunos nunca memorizam todos os fatos, mas ainda assim podem encontrar qualquer fato básico rapidamente. [32]

Carregar edição

O algoritmo padrão para adicionar números de vários dígitos é alinhar os adendos verticalmente e adicionar as colunas, começando pela coluna à direita. Se uma coluna exceder nove, o dígito extra é "transportado" para a próxima coluna. Por exemplo, na adição 27 + 59

7 + 9 = 16, e o dígito 1 é o transporte. [b] Uma estratégia alternativa começa a somar a partir do dígito mais significativo à esquerda. Essa rota torna o transporte um pouco mais desajeitado, mas é mais rápido para obter uma estimativa aproximada da soma. Existem muitos métodos alternativos.

Edição de frações decimais

As frações decimais podem ser adicionadas por uma simples modificação do processo acima. [36] Alinha-se duas frações decimais uma sobre a outra, com a vírgula no mesmo local. Se necessário, pode-se adicionar zeros à direita a um decimal mais curto para torná-lo do mesmo comprimento que o decimal mais longo. Finalmente, realiza-se o mesmo processo de adição anterior, exceto que a vírgula decimal é colocada na resposta, exatamente onde foi colocada na soma.

Por exemplo, 45,1 + 4,34 pode ser resolvido da seguinte forma:

Editar notação científica

Edição não decimal

A adição em outras bases é muito semelhante à adição decimal. Como exemplo, pode-se considerar a adição em binário. [37] Adicionar dois números binários de um dígito é relativamente simples, usando uma forma de transporte:

0 + 0 → 0 0 + 1 → 1 1 + 0 → 1 1 + 1 → 0, carregue 1 (uma vez que 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 1))

Adicionar dois dígitos "1" produz um dígito "0", enquanto 1 deve ser adicionado à próxima coluna. Isso é semelhante ao que acontece em decimal quando certos números de um dígito são somados se o resultado for igual ou superior ao valor da raiz (10), o dígito à esquerda é incrementado:

5 + 5 → 0, transporta 1 (uma vez que 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 1)) 7 + 9 → 6, transporta 1 (uma vez que 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 1))

Isso é conhecido como carregando. [38] Quando o resultado de uma adição excede o valor de um dígito, o procedimento é "transportar" o valor excedente dividido pelo radical (ou seja, 10/10) para a esquerda, adicionando-o ao próximo valor posicional. Isso está correto, pois a próxima posição tem um peso maior por um fator igual à raiz. Carregar funciona da mesma maneira em binário:

Neste exemplo, dois numerais estão sendo somados: 011012 (1310) e 101112 (2310) A linha superior mostra os bits de transporte usados. Começando na coluna mais à direita, 1 + 1 = 102 . O 1 é levado para a esquerda e o 0 é escrito na parte inferior da coluna mais à direita. A segunda coluna da direita é adicionada: 1 + 0 + 1 = 102 novamente o 1 é carregado e 0 é escrito na parte inferior. A terceira coluna: 1 + 1 + 1 = 112 . Desta vez, um 1 é carregado e um 1 é escrito na linha inferior. Procedendo assim, obteremos a resposta final 1001002 (3610).

Edição de Computadores

Os computadores analógicos trabalham diretamente com quantidades físicas, portanto, seus mecanismos de adição dependem da forma dos adendos. Um somador mecânico pode representar dois adendos como as posições dos blocos deslizantes, caso em que eles podem ser adicionados com uma alavanca de média. Se os adendos forem as velocidades de rotação de dois eixos, eles podem ser adicionados com um diferencial. Um adicionador hidráulico pode adicionar as pressões em duas câmaras, explorando a segunda lei de Newton para equilibrar as forças em um conjunto de pistões. A situação mais comum para um computador analógico de uso geral é adicionar duas tensões (referenciadas ao aterramento). Isso pode ser feito aproximadamente com uma rede de resistores, mas um projeto melhor explora um amplificador operacional. [39]

A adição também é fundamental para a operação de computadores digitais, onde a eficiência da adição, em particular o mecanismo de transporte, é uma limitação importante para o desempenho geral.

O ábaco, também chamado de moldura de contagem, é uma ferramenta de cálculo que estava em uso séculos antes da adoção do moderno sistema de numeração escrita e ainda é amplamente usado por mercadores, comerciantes e balconistas na Ásia, África e em outros lugares, remonta a pelo menos 2700–2300 aC, quando foi usado na Suméria. [40]

Blaise Pascal inventou a calculadora mecânica em 1642 [41], foi a primeira máquina de somar operacional. Fazia uso de um mecanismo de transporte auxiliado pela gravidade. Foi a única calculadora mecânica operacional no século 17 [42] e o primeiro computador digital automático. A calculadora de Pascal era limitada por seu mecanismo de transporte, que obrigava suas rodas a girar apenas para um lado para que pudesse somar. Para subtrair, o operador precisava usar o complemento da calculadora de Pascal, que exigia tantos passos quanto uma adição. Giovanni Poleni seguiu Pascal, construindo a segunda calculadora mecânica funcional em 1709, um relógio calculador feito de madeira que, uma vez configurado, podia multiplicar dois números automaticamente.

Os somadores executam a adição de inteiros em computadores eletrônicos digitais, geralmente usando aritmética binária. A arquitetura mais simples é o somador de transporte de ondulação, que segue o algoritmo padrão de vários dígitos. Uma pequena melhoria é o design do carry skip, novamente seguindo a intuição humana, não se realiza todos os carregamentos computando 999 + 1, mas se ignora o grupo de 9s e pula para a resposta. [43]

Na prática, a adição computacional pode ser alcançada por meio de operações lógicas bit a bit XOR e AND em conjunto com operações bithift conforme mostrado no pseudocódigo abaixo. As portas XOR e AND são fáceis de realizar na lógica digital, permitindo a realização de circuitos somadores completos que, por sua vez, podem ser combinados em operações lógicas mais complexas. Em computadores digitais modernos, a adição de inteiros é normalmente a instrução aritmética mais rápida, mas tem o maior impacto no desempenho, uma vez que fundamenta todas as operações de ponto flutuante, bem como tarefas básicas como geração de endereço durante o acesso à memória e instruções de busca durante a ramificação. Para aumentar a velocidade, os designs modernos calculam dígitos em paralelo - esses esquemas são conhecidos por nomes como carry select, carry lookahead e o pseudocarry Ling. Muitas implementações são, na verdade, híbridos desses três últimos designs. [44] [45] Ao contrário da adição no papel, a adição em um computador geralmente altera os adendos. No antigo ábaco e no tabuleiro de adição, ambos os adendos são destruídos, deixando apenas a soma. A influência do ábaco no pensamento matemático foi forte o suficiente para que os primeiros textos latinos freqüentemente afirmassem que no processo de adicionar "um número a um número", ambos os números desaparecem. [46] Nos tempos modernos, a instrução ADD de um microprocessador freqüentemente substitui o augend pela soma, mas preserva o adendo. [47] Em uma linguagem de programação de alto nível, avaliando uma + b também não muda uma ou b se o objetivo é substituir uma com a soma, isso deve ser solicitado explicitamente, normalmente com a declaração uma = uma + b . Algumas linguagens como C ou C ++ permitem que seja abreviado como uma += b .

Em um computador, se o resultado de uma adição for muito grande para armazenar, ocorre um estouro aritmético, resultando em uma resposta incorreta. O estouro aritmético imprevisto é uma causa bastante comum de erros de programa. Esses erros de estouro podem ser difíceis de descobrir e diagnosticar porque eles podem se manifestar apenas para conjuntos de dados de entrada muito grandes, que são menos prováveis ​​de serem usados ​​em testes de validação. [48] ​​O problema do ano 2000 foi uma série de bugs em que erros de estouro ocorreram devido ao uso de um formato de 2 dígitos por anos. [49]

Para provar as propriedades usuais de adição, deve-se primeiro definir adição para o contexto em questão. A adição é definida primeiro nos números naturais. Na teoria dos conjuntos, a adição é então estendida a conjuntos progressivamente maiores que incluem os números naturais: os inteiros, os números racionais e os números reais. [50] (Na educação matemática, [51] as frações positivas são adicionadas antes mesmo dos números negativos serem considerados, esta também é a rota histórica. [52])

Números naturais Editar

Existem duas maneiras populares de definir a soma de dois números naturais uma e b. Se definirmos os números naturais como as cardinalidades de conjuntos finitos (a cardinalidade de um conjunto é o número de elementos no conjunto), então é apropriado definir sua soma da seguinte forma:

  • Let N (S) ser a cardinalidade de um conjunto S. Pegue dois conjuntos separados UMA e B, com N (UMA) = uma e n(B) = b . Então uma + b é definido como N (A ∪ B) < displaystyle N (A cup B)>. [53]

Aqui, UMAB é a união de UMA e B. Uma versão alternativa desta definição permite UMA e B para possivelmente se sobrepor e então obter sua união disjunta, um mecanismo que permite que elementos comuns sejam separados e, portanto, contados duas vezes.

A outra definição popular é recursiva:

  • Deixar n + seja o sucessor de n, esse é o número a seguir n nos números naturais, então 0 + = 1, 1 + = 2. Definir uma + 0 = uma . Defina a soma geral recursivamente por uma + (b + ) = (uma + b) +. Portanto, 1 + 1 = 1 + 0 + = (1 + 0) + = 1 + = 2. [54]

Novamente, existem pequenas variações sobre esta definição na literatura. Tomada literalmente, a definição acima é uma aplicação do teorema da recursão no conjunto parcialmente ordenado N 2 Por outro lado, algumas fontes preferem usar um teorema de recursão restrito que se aplica apenas ao conjunto de números naturais. Em seguida, considera-se uma para ser temporariamente "corrigido", aplica recursão em b para definir uma função "uma + ", e cola essas operações unárias para todos uma juntos para formar a operação binária completa. [56]

Essa formulação recursiva de adição foi desenvolvida por Dedekind já em 1854 e ele a expandiria nas décadas seguintes. [57] Ele provou as propriedades associativas e comutativas, entre outras, por meio de indução matemática.

Edição de inteiros

A concepção mais simples de um inteiro é que ele consiste em um valor absoluto (que é um número natural) e um sinal (geralmente positivo ou negativo). O zero inteiro é um terceiro caso especial, não sendo nem positivo nem negativo. A definição correspondente de adição deve proceder por casos:

  • Para um inteiro n, vamos |n| seja seu valor absoluto. Deixar uma e b ser inteiros. Se algum uma ou b é zero, trate-o como uma identidade. Se uma e b são ambos positivos, defina uma + b = |uma| + |b| . Se uma e b são ambos negativos, defina uma + b = −(|uma| + |b|). Se uma e b têm sinais diferentes, defina uma + b ser a diferença entre |uma| e |b|, com o sinal do termo cujo valor absoluto é maior. [58] Por exemplo, −6 + 4 = −2 porque −6 e 4 têm sinais diferentes, seus valores absolutos são subtraídos e, como o valor absoluto do termo negativo é maior, a resposta é negativa.

Embora essa definição possa ser útil para problemas concretos, o número de casos a considerar complica as provas desnecessariamente. Portanto, o método a seguir é comumente usado para definir números inteiros. É baseado na observação de que todo número inteiro é a diferença de dois inteiros naturais e que duas dessas diferenças, umab e cd são iguais se e somente se uma + d = b + c . Assim, pode-se definir formalmente os inteiros como as classes de equivalência de pares ordenados de números naturais sob a relação de equivalência.

(c, d) se e apenas se uma + d = b + c .

A classe de equivalência de (uma, b) contém (umab, 0) se umab , ou (0, buma) de outra forma. Se n é um número natural, pode-se denotar +n a classe de equivalência de (n, 0), e por -n a classe de equivalência de (0, n) Isso permite identificar o número natural n com a classe de equivalência +n .

A adição de pares ordenados é feita por componentes:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

Um cálculo simples mostra que a classe de equivalência do resultado depende apenas das classes de equivalência dos summands e, portanto, que isso define uma adição de classes de equivalência, ou seja, inteiros. [59] Outro cálculo direto mostra que esta adição é igual à definição de caso acima.

Esta forma de definir inteiros como classes de equivalência de pares de números naturais, pode ser usada para embutir em um grupo qualquer semigrupo comutativo com propriedade de cancelamento. Aqui, o semigrupo é formado pelos números naturais e o grupo é o grupo aditivo de inteiros. Os números racionais são construídos de forma semelhante, tomando como semigrupo os inteiros diferentes de zero com multiplicação.

Essa construção também foi generalizada sob o nome de grupo Grothendieck para o caso de qualquer semigrupo comutativo. Sem a propriedade de cancelamento, o homomorfismo do semigrupo do semigrupo para o grupo pode ser não injetivo. Originalmente, o Grupo Grothendieck foi, mais especificamente, o resultado dessa construção aplicada às classes de equivalências sob isomorfismos dos objetos de uma categoria abeliana, com a soma direta como operação de semigrupo.

Números racionais (frações) Editar

A adição de números racionais pode ser calculada usando o mínimo denominador comum, mas uma definição conceitualmente mais simples envolve apenas adição e multiplicação de inteiros:

A adição de frações é muito mais simples quando os denominadores são iguais neste caso, pode-se simplesmente adicionar os numeradores, deixando o denominador o mesmo: a c + b c = a + b c < displaystyle < frac > + < frac > = < frac >>, então 1 4 + 2 4 = 1 + 2 4 = 3 4 < displaystyle < frac <1> <4>> + < frac <2> <4>> = < frac <1 + 2> <4>> = < frac <3> <4> >>. [60]

A comutatividade e associatividade da adição racional é uma consequência fácil das leis da aritmética de inteiros. [61] Para uma discussão mais rigorosa e geral, veja campo de frações.

Edição de números reais

Uma construção comum do conjunto de números reais é a conclusão de Dedekind do conjunto de números racionais. Um número real é definido como um corte Dedekind de racionais: um conjunto não vazio de racionais que é fechado para baixo e não tem o maior elemento. A soma dos números reais uma e b é definido elemento por elemento:

Esta definição foi publicada pela primeira vez, em uma forma ligeiramente modificada, por Richard Dedekind em 1872. [63] A comutatividade e associatividade da adição real são imediatas, definindo o número real 0 como o conjunto de racionais negativos, é facilmente visto como o Identidade aditiva. Provavelmente, a parte mais complicada desta construção referente à adição é a definição de inversos aditivos. [64]

Infelizmente, lidar com a multiplicação de cortes de Dedekind é um processo demorado, caso a caso, semelhante à adição de inteiros com sinal. [65] Outra abordagem é a conclusão métrica dos números racionais. Um número real é essencialmente definido como o limite de uma sequência de racionais de Cauchy, lim uman. A adição é definida termo a termo:

Essa definição foi publicada pela primeira vez por Georg Cantor, também em 1872, embora seu formalismo fosse um pouco diferente. [67] É preciso provar que esta operação é bem definida, lidando com sequências co-Cauchy. Uma vez que essa tarefa é realizada, todas as propriedades de adição real seguem imediatamente das propriedades dos números racionais. Além disso, as outras operações aritméticas, incluindo multiplicação, têm definições simples e análogas. [68]

Edição de números complexos

Os números complexos são adicionados adicionando as partes reais e imaginárias dos summands. [69] [70] Ou seja:

(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i.

Usando a visualização de números complexos no plano complexo, a adição tem a seguinte interpretação geométrica: a soma de dois números complexos UMA e B, interpretado como pontos do plano complexo, é o ponto X obtido através da construção de um paralelogramo três de cujos vértices são O, UMA e B. Equivalentemente, X é o ponto tal que os triângulos com vértices O, UMA, B, e X, B, UMA, são congruentes.

Existem muitas operações binárias que podem ser vistas como generalizações da operação de adição nos números reais. O campo da álgebra abstrata está centralmente preocupado com tais operações generalizadas, e elas também aparecem na teoria dos conjuntos e na teoria das categorias.

Edição de álgebra abstrata

Edição de vetores

Na álgebra linear, um espaço vetorial é uma estrutura algébrica que permite adicionar quaisquer dois vetores e escalonar vetores. Um espaço vetorial familiar é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, o par ordenado (uma,b) é interpretado como um vetor da origem no plano euclidiano ao ponto (uma,b) no avião. A soma de dois vetores é obtida adicionando suas coordenadas individuais:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

Essa operação de adição é central para a mecânica clássica, na qual os vetores são interpretados como forças.

Edição de Matrizes

A adição de matrizes é definida para duas matrizes das mesmas dimensões. A soma de dois m × n (pronuncia-se "m por n") matrizes UMA e B, denotado por UMA + B , é novamente um m × n matriz calculada pela adição de elementos correspondentes: [71] [72]

Modular aritmética Editar

Na aritmética modular, o conjunto de inteiros módulo 12 tem doze elementos, ele herda uma operação de adição dos inteiros que é central para a teoria musical dos conjuntos. O conjunto de inteiros módulo 2 tem apenas dois elementos e a operação de adição que ele herda é conhecida na lógica booleana como a função "ou exclusiva". Em geometria, a soma de duas medidas angulares é freqüentemente considerada como sendo sua soma como números reais módulo 2π. Isso equivale a uma operação de adição no círculo, que por sua vez generaliza as operações de adição em toros multidimensionais.

Teoria geral Editar

A teoria geral da álgebra abstrata permite que uma operação de "adição" seja qualquer operação associativa e comutativa em um conjunto. Estruturas algébricas básicas com tal operação de adição incluem monóides comutativos e grupos abelianos.

Set theory and category theory Edit

A far-reaching generalization of addition of natural numbers is the addition of ordinal numbers and cardinal numbers in set theory. These give two different generalizations of addition of natural numbers to the transfinite. Unlike most addition operations, addition of ordinal numbers is not commutative. Addition of cardinal numbers, however, is a commutative operation closely related to the disjoint union operation.

In category theory, disjoint union is seen as a particular case of the coproduct operation, and general coproducts are perhaps the most abstract of all the generalizations of addition. Some coproducts, such as direct sum and wedge sum, are named to evoke their connection with addition.

Addition, along with subtraction, multiplication and division, is considered one of the basic operations and is used in elementary arithmetic.

Arithmetic Edit

Subtraction can be thought of as a kind of addition—that is, the addition of an additive inverse. Subtraction is itself a sort of inverse to addition, in that adding x and subtracting x are inverse functions.

Given a set with an addition operation, one cannot always define a corresponding subtraction operation on that set the set of natural numbers is a simple example. On the other hand, a subtraction operation uniquely determines an addition operation, an additive inverse operation, and an additive identity for this reason, an additive group can be described as a set that is closed under subtraction. [73]

Multiplication can be thought of as repeated addition. If a single term x appears in a sum n times, then the sum is the product of n and x . Se n is not a natural number, the product may still make sense for example, multiplication by −1 yields the additive inverse of a number.

In the real and complex numbers, addition and multiplication can be interchanged by the exponential function: [74]

This identity allows multiplication to be carried out by consulting a table of logarithms and computing addition by hand it also enables multiplication on a slide rule. The formula is still a good first-order approximation in the broad context of Lie groups, where it relates multiplication of infinitesimal group elements with addition of vectors in the associated Lie algebra. [75]

There are even more generalizations of multiplication than addition. [76] In general, multiplication operations always distribute over addition this requirement is formalized in the definition of a ring. In some contexts, such as the integers, distributivity over addition and the existence of a multiplicative identity is enough to uniquely determine the multiplication operation. The distributive property also provides information about addition by expanding the product (1 + 1)(uma + b) in both ways, one concludes that addition is forced to be commutative. For this reason, ring addition is commutative in general. [77]

Division is an arithmetic operation remotely related to addition. Desde uma/b = uma(b −1 ) , division is right distributive over addition: (uma + b) / c = uma/c + b/c . [78] However, division is not left distributive over addition 1 / (2 + 2) is not the same as 1/2 + 1/2 .

Edição de Pedidos

The maximum operation "max (uma, b)" is a binary operation similar to addition. In fact, if two nonnegative numbers uma e b are of different orders of magnitude, then their sum is approximately equal to their maximum. This approximation is extremely useful in the applications of mathematics, for example in truncating Taylor series. However, it presents a perpetual difficulty in numerical analysis, essentially since "max" is not invertible. Se b is much greater than uma, then a straightforward calculation of (uma + b) − b can accumulate an unacceptable round-off error, perhaps even returning zero. Veja também Loss of significance.

The approximation becomes exact in a kind of infinite limit if either uma ou b is an infinite cardinal number, their cardinal sum is exactly equal to the greater of the two. [80] Accordingly, there is no subtraction operation for infinite cardinals. [81]

Maximization is commutative and associative, like addition. Furthermore, since addition preserves the ordering of real numbers, addition distributes over "max" in the same way that multiplication distributes over addition:

a + max ( b , c ) = max ( a + b , a + c ) .

For these reasons, in tropical geometry one replaces multiplication with addition and addition with maximization. In this context, addition is called "tropical multiplication", maximization is called "tropical addition", and the tropical "additive identity" is negative infinity. [82] Some authors prefer to replace addition with minimization then the additive identity is positive infinity. [83]

Tying these observations together, tropical addition is approximately related to regular addition through the logarithm:

log ⁡ ( a + b ) ≈ max ( log ⁡ a , log ⁡ b ) ,

which becomes more accurate as the base of the logarithm increases. [84] The approximation can be made exact by extracting a constant h, named by analogy with Planck's constant from quantum mechanics, [85] and taking the "classical limit" as h tends to zero:

max ( a , b ) = lim h → 0 h log ⁡ ( e a / h + e b / h ) . hlog(e^+e^).>

In this sense, the maximum operation is a dequantized version of addition. [86]

Other ways to add Edit

Incrementation, also known as the successor operation, is the addition of 1 to a number.

Summation describes the addition of arbitrarily many numbers, usually more than just two. It includes the idea of the sum of a single number, which is itself, and the empty sum, which is zero. [87] An infinite summation is a delicate procedure known as a series. [88]

Counting a finite set is equivalent to summing 1 over the set.

Integration is a kind of "summation" over a continuum, or more precisely and generally, over a differentiable manifold. Integration over a zero-dimensional manifold reduces to summation.

Linear combinations combine multiplication and summation they are sums in which each term has a multiplier, usually a real or complex number. Linear combinations are especially useful in contexts where straightforward addition would violate some normalization rule, such as mixing of strategies in game theory or superposition of states in quantum mechanics.

Convolution is used to add two independent random variables defined by distribution functions. Its usual definition combines integration, subtraction, and multiplication. In general, convolution is useful as a kind of domain-side addition by contrast, vector addition is a kind of range-side addition.


Most Popular Order of Operations Worksheets this Week

Order of operations with whole numbers worksheets with a variety of complexity.

Order of operations with whole numbers

The answer keys for these order of operations worksheets show each step, so it is easy to diagnose where students might have gone wrong if they get a different answer. The answers can also be used to model how the questions should be completed and to familiarize students with the order of operations.

Order of operations with whole numbers (addition & multiplication only)

This is a good starting point where only addition and multiplication is involved (with a few parentheses thrown in). These worksheets will help students to recognize that multiplication is done before addition unless there are parentheses involved. It's always nice if you can think up a few examples to illustrate what some of these questions mean. For example, 2 + 7 × 3 could refer to the number of days in two days and three weeks. (9 + 2) × 15 could mean the total amount earned if someone worked 9 hours yesterday and 2 hours today for $15 an hour.


Multiplying Decimals

To multiply decimals, first just multiply the numbers as if they were whole numbers . (Don't line up the decimal points!)

Then count the total number of places to the right of the decimal point in BOTH numbers you're multiplying. Let's call this number n . In your answer, start from the right and move n places to the left, and put a decimal point.

Dividing with Decimals

Dividing with decimals is a bit more difficult. These days, most teachers don't mind much if you use a calculator. But it's good to know how to do it yourself, too, and you always need to be good at estimating the answer, so you can make sure the calculator's answer is reasonable.

Recall that in the problem x ÷ y = z , also written

x is called the dividendo , y is the divisor , and z is the quociente .

Passo 1: Estimate the answer by rounding . You'll use this estimate to check your answer later.

Passo 2: If the divisor is not a whole number, then move the decimal place n places to the right to make it a whole number. Then move the decimal place in the dividend the same number of places to the right (adding some extra zeros if necessary.)

Etapa 3: Divide as usual. If the divisor doesn't go in evenly, add zeros to the right of the dividend and keep dividing until you get a 0 remainder, or until a repeating pattern shows up.

Passo 4: Put the decimal point in the quotient directly above where the decimal point now is in the dividend.

Etapa 5: Check your answer against your estimate to see if it's reasonable.


3.2: Decimal Operations - Mathematics

7 > endobj 35 0 obj > /ProcSet [ /PDF /Text ] >> endobj 40 0 obj > stream xڵXɎ F +x 1 r > H H DN(:v y p e ذ lVWWU

kp A endstream endobj 39 0 obj > endobj 38 0 obj > /ProcSet [ /PDF /Text ] >> endobj 41 0 obj [458.3 458.3] endobj 42 0 obj [295.1 295.1] endobj 43 0 obj [531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3] endobj 44 0 obj [777.8 277.8 777.8 500 777.8 500 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 1000 500 500] endobj 45 0 obj [272 272 761.6 489.6 761.6 489.6 516.9 734 743.9 700.5 813 724.8 633.8 772.4 811.3 431.9 541.2 833 666.2 947.3 784.1 748.3 631.1 775.5 745.3 602.2 573.9 665 570.8 924.4 812.6 568.1 670.2 380.8 380.8 380.8 979.2 979.2 410.9 514 416.3 421.4 508.8 453.8 482.6 468.9 563.7 334 405.1 509.3 291.7 856.5 584.5 470.7 491.4 434.1 441.3 461.2 353.6 557.3 473.4 699.9 556.4] endobj 46 0 obj [571.2 544 544 816 816 272 299.2 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 734 435.2 489.6 707.2 761.6 489.6 883.8 992.6 761.6 272 272 489.6 816 489.6 816 761.6 272 380.8 380.8 489.6 761.6 272 326.4 272 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 272 272 272 761.6 462.4 462.4 761.6 734 693.4 707.2 747.8 666.2 639 768.3 734 353.2 503 761.2 611.8 897.2 734 761.6 666.2 761.6 720.6 544 707.2 734 734 1006 734 734 598.4 272 489.6 272 489.6 272 272 489.6 544 435.2 544 435.2 299.2 489.6 544 272 299.2 516.8 272 816 544 489.6 544 516.8 380.8 386.2 380.8 544 516.8 707.2 516.8 516.8 435.2] endobj 47 0 obj [312.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 312.5 312.5 342.6 875 531.3 531.3 875 849.5 799.8 812.5 862.3 738.4 707.2 884.3 879.6 419 581 880.8 675.9 1067.1 879.6 844.9 768.5 844.9 839.1 625 782.4 864.6 849.5 1162 849.5 849.5 687.5 312.5 581 312.5 562.5 312.5 312.5 546.9 625 500 625 513.3 343.7 562.5 625 312.5 343.7 593.8 312.5 937.5 625 562.5 625 593.8 459.5 443.8 437.5 625 593.8 812.5 593.8 593.8] endobj 48 0 obj > stream xڭ eX ] AJ !E a n a n n R i y纮


Irrational and Complex Numbers

The development of standard number systems and operations in CMP3 is completed in two Units of the Grade 8 curriculum-Looking for Pythagoras e Function Junction. Looking for Pythagoras makes the standard connection between square roots and diagonals of squares or hypotenuses of right triangles. It deals with decimal representation of rational (repeating) and irrational (non repeating) numbers, and, per CCSSM specifications, introduces cube roots as well. The number &pi pops up earlier, in Grade 7, when circumference and area of circles is tackled in Filling and Wrapping.

Complex numbers have traditionally been a topic of high school Algebra II courses, but the CCSSM syllabus for Algebra I calls for introduction of complex numbers. Thus, in our effort to offer CMP3 materials that support a full introductory algebra course, we have included complex numbers in Function Junction. The development there is mathematically fairly standard, continuing the pattern of extending the number system to include meaningful numbers that provide solutions for equations not solvable in preceding simpler number systems.


Unit Description

The student will perform basic operations with algebraic expressions and solve simple algebraic equations using signed numbers. Emphasis should be placed on applications throughout the unit.

Broad Learning Outcomes

Upon completion of Unit 3 students will be able to:
3.1 Determine the absolute value of a number.
3.2 Demonstrate proper use of exponents.
3.3 Find the principal square root of a perfect square.
3.4 Simplify expressions involving signed numbers.
3.5 Write numbers in scientific notation.
3.6 Simplify algebraic expressions.
3.7 Evaluate a formula or algebraic expression for given values of the variables.
3.8 Solve one-step equations using the addition and multiplication properties.
3.9 Solve problems using proportions.
3.10 Solve application problems including finding perimeter, area and volume.

Specific Objectives

Upon completion of Unit 3 students will be able to:
3.1 Determine the absolute value of a number.
3.2 Demonstrate proper use of exponents.

3.4 Simplify expressions involving signed numbers.

3.5 Write numbers in scientific notation.

3.6 Simplify algebraic expressions.

3.8 Solve one-step equations using the addition and multiplication properties.


Assista o vídeo: Ułamki zwykłe i dziesiętne - Matematyka Szkoła Podstawowa i Gimnazjum (Novembro 2021).