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1.4: Propriedades de Números Inteiros - Matemática


1.4: Propriedades de Números Inteiros - Matemática

Propriedades de números inteiros Notas de classe 6 | EduRev

Números inteiros incluem números naturais (que começam de 1 em diante), junto com 0. Números inteiros são parte de números reais, incluindo todos os inteiros positivos e zero, mas não as frações, decimais ou números negativos. Os números de contagem também são considerados números inteiros. Nesta lição, aprenderemos números inteiros e conceitos relacionados. Na matemática, o sistema numérico consiste em todos os tipos de números, incluindo números naturais e números inteiros, números primos e números compostos, inteiros, números reais e números imaginários, etc., que são usados ​​para realizar vários cálculos.

Predecessor e sucessor

  • Um sucessor de qualquer número é o próximo número, que é obtido adicionando 1.
  • Um predecessor de qualquer número é o número anterior a ele, que é obtido subtraindo 1.
  • Por exemplo, o predecessor e o sucessor do número 12 é 12 - 1 e 12 + 1 que é 11 e 13

Vemos números em todo o mundo, para contar objetos, para representar ou trocar dinheiro, para medir a temperatura, dizer o tempo, etc. Não há quase nada que não envolva números, seja pontuação de jogo, para jogadores que não marcam nenhuma corrida , dizemos 0 corridas, sejam receitas de culinária, contando com objetos, etc. Números inteiros são um conjunto de números formados, incluindo todos os inteiros positivos e 0.

O que são números inteiros?

Os números naturais referem-se a um conjunto de inteiros positivos e, por outro lado, os números naturais juntamente com o zero (0) formam um conjunto, referido como números inteiros. No entanto, zero é uma identidade indefinida que representa um conjunto nulo ou nenhum resultado.
Os números inteiros são um conjunto de números sem frações, decimais ou mesmo inteiros negativos. É uma coleção de inteiros positivos e zero. A principal diferença entre números naturais e inteiros é zero.

Definição de Número Inteiro

Números inteiros são o conjunto de números naturais junto com o número 0. O conjunto de números inteiros em matemática é o conjunto <0, 1,2,3. >. Este conjunto de números inteiros é denotado pelo símbolo W.
W = <0,1,2,3,4…>
Aqui estão alguns fatos sobre números inteiros, que ajudarão você a entendê-los melhor:

  • Todos os números naturais são números inteiros.
  • Todos os números de contagem são números inteiros.
  • Todos os inteiros positivos, incluindo zero, são números inteiros.
  • Todos os números inteiros são números reais.

Símbolo de Número Inteiro

O símbolo para representar números inteiros é o alfabeto ‘W’ em letras maiúsculas, como W = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...

Menor número inteiro

Os números inteiros começam em 0 (a partir da definição de números inteiros). Portanto, 0 é o menor número inteiro. O conceito de zero foi definido pela primeira vez por um astrônomo e matemático hindu Brahmagupta em 628. Em linguagem simples, zero é um número que fica entre os números positivos e negativos em uma reta numérica. Como tal, o zero não tem valor, embora seja usado como um espaço reservado. Portanto, zero não é um número positivo nem um número negativo, mas é um número par.

Números inteiros x números naturais

A partir das definições acima, podemos entender que todo número inteiro diferente de 0 é um número natural. Além disso, todo número natural é um número inteiro. Portanto, o conjunto de números naturais é uma parte do conjunto de números inteiros ou um subconjunto de números inteiros.

Conjunto de números inteiros

Diferença entre números inteiros e números naturais

Vamos entender a diferença entre números inteiros e números naturais por meio da tabela abaixo:


A Linha Numérica

O conjunto de números naturais e o conjunto de números inteiros podem ser mostrados na reta numérica conforme mostrado abaixo. Todos os inteiros positivos ou os inteiros no lado direito de 0 representam os números naturais, enquanto todos os inteiros positivos e zero, juntos, representam os números inteiros. Ambos os conjuntos de números podem ser representados na linha numérica da seguinte forma:

Propriedades de números inteiros

Operações em números inteiros: adição, subtração, multiplicação e divisão levam a quatro propriedades principais de números inteiros que estão listados abaixo:

  1. Propriedade de Encerramento
  2. Propriedade associativa
  3. Propriedade comutativa
  4. Propriedade distributiva

Propriedade de Encerramento

A soma e o produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro. A propriedade de fechamento de W é declarada da seguinte forma: Para todo a, b∈W: a + b∈W e a × b∈W

Divisão por zero
A divisão de um número inteiro por o não é definida, ou seja, se x for um número inteiro, então x / 0 não está definido.

Multiplicação por Zero
Quando um número inteiro é multiplicado por 0, o resultado é sempre 0, ou seja, x.0 = 0.x = 0.

Propriedade associativa

A soma ou produto de quaisquer três números inteiros permanece o mesmo, embora o agrupamento de números seja alterado. A propriedade associativa de W é declarada da seguinte forma: Para todos a, b, c∈W: a +=+ c e a ×=× c. Por exemplo, 10 + (7 + 12) = (10 + 7) + 12 = (10 + 12) + 7 = 29.

Propriedade comutativa

A soma e o produto de dois números inteiros permanecem os mesmos, mesmo após a troca da ordem dos números. A propriedade comutativa de W é declarada como segue: Para todo a, b∈W: a + b = b + ae a × b = b × a. Esta propriedade afirma que a mudança na ordem de adição não altera o valor da soma. Sejam aeb dois números inteiros, a propriedade comutativa afirma que a + b = b + a. Por exemplo, a = 10 eb = 19 ⇒ 10 + 19 = 29 = 19 + 10. Isso significa que os números inteiros são fechados com adição. Esta propriedade também é verdadeira para multiplicação, mas não para subtração ou divisão. Por exemplo: 7 x 9 = 63 ou 9 x 7 = 63

Propriedade distributiva

Esta propriedade afirma que a multiplicação de um número inteiro é distribuída pela soma de todos os números. Isso significa que quando dois números, por exemplo aeb são multiplicados pelo mesmo número c e são somados, então a soma de aeb pode ser multiplicada por c para obter a mesma resposta. Esta situação pode ser representada como: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Seja a = 10, b = 20 ec = 7 ⇒ 10 × (20 + 7) = 270 e (10 × 20) + (10 × 7) = 200 + 70 = 270. O mesmo é verdadeiro para a subtração. Por exemplo, temos a × (b - c) = (a × b) - (a × c). Seja a = 10, b = 20 ec = 7 ⇒ 10 × (20 - 7) = 130 e (10 × 20) - (10 × 7) = 200 - 70 = 130. A propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição é um × (b + c) = a × b + a × c. A propriedade distributiva da multiplicação sobre a subtração é a × (b-c) = a × b-a × c.

Identidade (para adição e multiplicação)

Identidade aditiva

Quando um número inteiro é adicionado a 0, seu valor permanece inalterado, ou seja, se x for um número inteiro, então x + 0 = 0 + x = x

Identidade Multiplicativa

Quando um número inteiro é multiplicado por 1, seu valor permanece inalterado, ou seja, se x for um número inteiro, então x.1 = x = 1.x

Os padrões são usados ​​para cálculos verbais fáceis e para entender melhor os números.

Podemos organizar os números usando pontos em formas elementares como triângulo, quadrado, retângulo e linha.


1.4: Propriedades de Números Inteiros - Matemática

Propriedades e leis de números inteiros

· Simplifique usando a propriedade de adição de 0.

· Simplifique usando a propriedade de multiplicação de 1.

· Identificar e usar a lei comutativa da adição.

· Identificar e usar a lei comutativa da multiplicação.

· Identificar e usar a lei de adição associativa.

· Identificar e usar a lei associativa da multiplicação.

A matemática geralmente envolve a simplificação de expressões numéricas. Ao fazer isso, você pode usar leis e propriedades que se aplicam a operações específicas. A propriedade de multiplicação de 1 afirma que qualquer número multiplicado por 1 é igual ao mesmo número, e a propriedade de adição de zero afirma que qualquer número adicionado a zero é o mesmo número.

Duas leis importantes são as leis comutativas, que afirmam que a ordem em que você adiciona dois números ou multiplica dois números não afeta a resposta. Você pode se lembrar disso porque se você trajeto para o trabalho, você percorre a mesma distância dirigindo para o trabalho e dirigindo para casa que dirige para casa e dirige para o trabalho. `Você pode mover os números nas expressões de adição e multiplicação porque a ordem nessas expressões não importa.

Você também aprenderá a simplificar as expressões de adição e multiplicação usando as leis associativas. Tal como acontece com as leis comutativas, existem leis associativas para adição e multiplicação. Assim como as pessoas podem se associar a pessoas em grupos diferentes, um número pode associado com outros números em um grupo ou outro. As leis associativas permitem que você coloque números em grupos diferentes usando parênteses.

Propriedades de adição e multiplicação de 0 e 1

O propriedade de adição de 0 afirma que, para qualquer número adicionado a 0, a soma é igual a esse número. Lembre-se de que você não termina com zero como resposta - isso só acontece quando você multiplica. Sua resposta é simplesmente igual ao número original.


Propriedades notáveis ​​de números específicos & # 8195 e # 8195

Estes são alguns números com propriedades notáveis. (A maioria das propriedades menos notáveis ​​está listada aqui.) Outras pessoas compilaram listas semelhantes, mas esta é a minha lista & # 8212 inclui os números que considero importantes (-:

Algumas regras que usei nesta lista:

Tudo pode ser entendido por um típico estudante universitário.

Se vários números tiverem uma propriedade compartilhada, essa propriedade será descrita em um número "representativo" com essa propriedade. Procuro escolher o menor representante que também não seja citado por outra propriedade.

Quando um determinado número tem mais de um tipo de propriedade, as propriedades são listadas nesta ordem:

1. Propriedades puramente matemáticas não relacionadas ao uso da base 10 (exemplo: 137 é primo).

2. Propriedades matemáticas específicas da Base 10 (exemplo: 137 é primo remova o "1": 37 também é primo remova o "3": 7 também é primo)

3. Coisas relacionadas ao mundo físico, mas fora da cultura humana (exemplo: 137 está perto do recíproco da constante de estrutura fina, uma vez que se pensou ser exata, mas mais tarde descobriu-se que estava mais perto de 137,036.)

4. Todas as outras propriedades (exemplo: 137 muitas vezes recebeu um significado um tanto místico devido à sua proximidade com a constante de estrutura fina, mais famosa por Eddington)

Devido ao preconceito pessoal gritante, eu só dou uma entrada para cada um para números complexos, imaginários, negativos e zero, dedicando todo o resto (27 páginas) para números reais positivos. Eu também tenho um viés de número inteiro, mas isso não teve um efeito tão severo. Um pouco mais sobre números complexos, quatérnios e assim por diante, está aqui.

Esta página tem como objetivo neutralizar as forças das Leis da Matemática de Munafo. Se você encontrar espaço para melhorias, me avise!

Uma das raízes quadradas de i.

Quando eu tinha cerca de 12 anos, meu meio-irmão me fez uma pergunta para passar o tempo: Se i é a raiz quadrada de -1, qual é a raiz quadrada de i? . Eu já tinha visto um desenho do plano complexo, então usei-o para procurar padrões úteis e percebi rapidamente que os poderes do i andam em um círculo. Estimei a raiz quadrada de i em cerca de 0,7 + 0,7 i.

Não me lembro por que não recebi a resposta exata: ou não sabia trigonometria ou o teorema de Pitágoras, ou como resolver equações multivariáveis, ou talvez só estivesse cansado de fazer matemática (eu tinha claramente acertado na fórmula de Euler e há uma boa chance de que contemplar os poderes de 1+ i teria me levado até os logaritmos de base i e a fórmula de De Moivre para a função exponencial complexa).

Mas você não precisa disso para encontrar a raiz quadrada de i. Tudo o que você precisa fazer é tratar i como algum tipo de valor desconhecido com a propriedade especial de que qualquer i 2 pode ser alterado para -1. Você também precisa da ideia de resolver equações com coeficientes e variáveis, e a raiz quadrada de i é algo na forma "a + b i". Então você pode encontrar a raiz quadrada de i resolvendo a equação:

Expanda (a + b i) 2 da maneira normal para obter a 2 + 2ab i + b 2 i 2 e, em seguida, altere i 2 para -1:

Em seguida, basta juntar as partes reais:

Como a coordenada real do lado esquerdo deve ser igual à coordenada real do direito, e da mesma forma para as coordenadas imaginárias, temos duas equações simultâneas em duas variáveis:

Da primeira equação a 2 -b 2 = 0, obtemos a = b substituindo isso na outra equação, obtemos 2a 2 = 1 e a = & # 1771 / & # 8730 2 e este também é o valor de b. Assim, a raiz quadrada original desejada de i é a + b i = (1+ i) / & # 8730 2 (ou o negativo disso).

(Este é o único número complexo com sua própria entrada nesta coleção, principalmente porque é o único em que tenho muito interesse, ver a nota de "parcialidade pessoal flagrante" acima :-).

A unidade de números imaginários e uma das raízes quadradas de -1.

(Este é o único número imaginário com entrada própria nesta coleção, principalmente porque se destaca dos demais em notabilidade. Além disso, os números não reais não parecem me interessar muito.)

-1 é o "primeiro" número negativo, a menos que você defina "primeiro" como o "mais baixo".

Na representação de "complemento de dois" usada em computadores para armazenar inteiros (dentro de uma faixa fixa), os números são armazenados na base 2 (binária) com dígitos separados na base 2 em diferentes "bits" de um registrador. Os números negativos têm 1 na posição mais alta do registro. O valor de -1 é representado por 1 em todas as posições, que é o mesmo que você obteria se escrevesse um programa para calcular

e deixe-o ir por tempo suficiente para transbordar.

Como se constatou, essa soma da série pode ser tratada como um exemplo da soma geral da série

Conforme discutido na entrada de 1/2, a soma é igual a 1 / (1- x), mas isso é válido apenas quando | x | x = 2 e usar a fórmula de qualquer maneira, obtemos 1 / (1- x) = 1 / (1-2) = -1, que é o mesmo que a interpretação do complemento de dois.

(Não tenho muitas entradas para números negativos, pois eles não têm muito interesse. Talvez eu ainda me identifique com os números em termos de contagem de coisas como "as 27 ovelhas naquela colina" ou "as permutações de 40320 dos sinos da torre de Loughborough" .)

A (in) famosa soma dos inteiros positivos:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + . = 1 /12

No século 19, novas técnicas (Cesaro, Abel) foram desenvolvidas para domar algumas das somas das séries infinitas que não convergem normalmente. Os exemplos são mostrados nas entradas de 1/4 e 1/2. Mas essas técnicas por si só não são suficientes para lidar com a soma da série infinita:

C = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +.

Essa soma diverge monotonicamente (aumenta em direção ao infinito, sem nunca dar um passo na direção negativa) e Cesaro / Abel não funcionará.

Euler teve que lidar com isso ao realizar a continuação analítica no que agora é chamado de função zeta de Riemann:

Zeta (s) = 1 - s + 2 - s + 3 - s + 4 - s +.

Euler tinha s = -1, o que dá Zeta (s) = 1 + 2 + 3 + 4 +. A abordagem de Euler consistia em expressá-lo como uma combinação linear de si mesmo com uma série existente de Cesaro- ou Abel-soma, a saber, 1-2 + 3-4 +. = 1/4 série, mas pelo método de diferenciação consideravelmente mais fácil de Euler:

C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +.
= 1 + (4-2) + 3 + (8-4) + 5 + (12-6) + 7 + .
= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 + . + 4 (1 + 2 + 3 + . )

Cesaro / Abel e o método de Euler fornecem uma soma 1 / (1 + 1) 2 = 1 /4 para a primeira parte, então temos

O valor da função Riemann Zeta com argumento -1 é -1/12. Conforme descrito por John Baez 100:

Os números 12 e 24 desempenham um papel central na matemática, graças a uma série de "coincidências" que está apenas começando a ser compreendida. Um dos primeiros indícios desse fato foi a "prova" bizarra de Euler de que

que ele obteve antes de Abel declarar que "as séries divergentes são invenção do diabo". A fórmula de Euler agora pode ser entendida rigorosamente em termos da função zeta de Riemann e, em física, explica por que as cordas bosônicas funcionam melhor em 26 = 24 + 2 dimensões.

Baez, ao final de sua palestra "24", indica que o significado de 24 está conectado ao fato de que existem duas maneiras de construir uma rede no plano com simetria rotacional: uma com simetria rotacional 4 vezes e outra com 6 simetria rotacional dobrada & # 8212 and 4 & times6 = 24. Uma conexão entre zeta (-1) = - 1/12 e simetria do plano faz mais sentido à luz de como a função Zeta é calculada para argumentos complexos gerais. Além disso, o mínimo múltiplo comum de 4 e 6 é 12.

Veja também os valores zeta 1,202056. e 1.644934. .

Srinivasa Ramanujan também explicou 1 + 2 + 3 + 4 +. = -1 /12, mas de uma forma mais geral do que Euler. Ele usou uma nova continuação analítica da função zeta de Riemann.

Na carta de Ramanujan de 1913 para G.H. Hardy, o gênio matemático indiano ainda não descoberto, listou muitas de suas descobertas e derivações. Na seção XI, ele afirmou:

Eu tenho teoremas sobre séries divergentes, teoremas para calcular os valores convergentes correspondentes às séries divergentes, viz.

1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + . = 1 /120,

Teoremas para calcular tais valores para qualquer série dada (digamos: 1 - 1 2 + 2 2 - 3 2 + 4 2 - 5 2 +.), E o significado de tais valores.

Na notação moderna, acrescentamos (ℜ) ao final dessa soma de série, para significar a soma de Ramanujan:

A soma de Ramanujan define uma função f (x) cujos valores para o inteiro x são os termos da série que está sendo somada. Então

1 + 2 + 3 + 4 +. n (ℜ)
= Sigma k = 1 n f (k)
= Integral x = 0 n f (x) + Sigma k = 1 & # 8734 Bk / k! (f (k -1) (n) - f (k -1) (0)) + R

onde "f (k -1)" é a (k -1) ésima derivada de f (). Hardy e Ramanjuan consideraram apenas as partes disso que não dependem de n:

Para uma série convergente, f (x) se aproximaria de um limite conforme x se aproxima do infinito, e isso daria um valor que é igual à soma das séries infinitas. Em nosso caso, f (x) diverge, e a soma da série é infinita, mas essa soma de Hardy-Ramanujan não é. f (0) é 0, e a 1ª derivada é constante f '(x) = 1, e todas as derivadas mais altas são zero, então ela se reduz a apenas

B 2 é o segundo número de Bernoulli que é 1/6, então temos -1/12.

A palavra "zero" é o único nome numérico em inglês que pode ser rastreado até o árabe (صِفر ʂifr "nada", "cifra" que se tornou zefiro em italiano, posteriormente contraído pela remoção do fi). A palavra veio com o símbolo, mais ou menos na mesma época em que os algarismos árabes ocidentais chegaram à Europa. 44, 105

A prática de usar um símbolo para manter o lugar de outro dígito quando não há valor naquele lugar (como o 0 em 107 indicando que não há 10) remonta à Índia do século 5, onde era chamada de shunya ou Śūnyatā 107

(Este é o único número zero com sua própria entrada nesta coleção, principalmente porque um campo pode ter apenas uma identidade aditiva.)

Este é o tempo de Planck em segundos relacionado à mecânica quântica.De acordo com o artigo da Wikipédia sobre o tempo de Planck, "No âmbito das leis da física como as entendemos hoje, por vezes menos de um tempo de Planck separados, não podemos medir nem detectar qualquer mudança". Pode-se pensar nisso como "o menor período de tempo mensurável" e, para qualquer propósito no mundo real (se alguém acredita na mecânica quântica), quaisquer dois eventos separados por menos do que esse período de tempo podem ser considerados simultâneos.

A luz (viajando à velocidade da luz) leva esse tempo para viajar uma unidade de comprimento de Planck, que por sua vez é muito menor do que um próton, elétron ou qualquer partícula de tamanho conhecido.

Este é o comprimento de Planck em metros que está relacionado à mecânica quântica. A melhor interpretação para a maioria das pessoas é que o comprimento de Planck é o menor comprimento mensurável, ou o menor comprimento que tem alguma relevância para os eventos que podemos observar. Isso usa o valor CODATA 2014 50. Consulte também 5.390 e times10 -44 e 299792458.

A constante de Planck "reduzida" em segundos-joule, a partir de valores CODATA 2014 50.

Esta é a constante de Planck em segundos-joule, a partir dos valores 50 do CODATA 2014. Isso dá a proporção entre a energia de um fóton e seu comprimento de onda.

A partir de 1º de maio de 2019, a constante de Planck (em joule-segundos) é definida para ser exatamente esse valor, a fim de definir o quilograma em termos de propriedades observáveis ​​da natureza. A definição diz:

O quilograma, símbolo kg, é a unidade SI de massa. É definido tomando o valor numérico fixo da constante de Planck h como sendo 6,62607015 & times10 -34 quando expresso na unidade J s, que é igual a kg m 2 s -1, onde o metro e o segundo são definidos em termos de c e & # 948 & # 957Cs.

onde c é a velocidade da luz pela definição existente (desde 1967) (ver 299792458) e & # 948 & # 957Cs é a frequência de transição hiperfina de estado fundamental não perturbada de Césio-133 (ver 9192631770).

A massa de um elétron em quilogramas, dos valores CODATA 2014 50. Veja também 206.786.

A massa de um próton em quilogramas, de valores CODATA 2014 50.

A massa de um nêutron em quilogramas, de valores CODATA 2014 50.

O tempo aproximado (em segundos) que a luz leva para percorrer a largura de um próton.

Valor da constante de Boltzmann pela definição antiga (pré-2019), conforme fornecido no CODATA 2014 50. Este valor foi baseado em observações experimentais e também na definição do Kelvin, que foi determinado medindo a temperatura do ponto triplo da água e definindo o Kelvin de forma que a temperatura do ponto triplo chegue a 273,16 K. Para a corrente (2019 e posterior) definição ver 1.380649 e times10 -23.

A constante de Boltzmann (em Joules por grau Kelvin) pela redefinição de 2019, que diz:

O Kelvin, símbolo K, é a unidade SI de temperatura termodinâmica. É definido tomando o valor numérico fixo da constante de Boltzmann k como sendo 1,380649 & times10 -23 quando expresso na unidade JK -1, que é igual a kg m 2 s -2 K -1, onde o quilograma, metro e segundo são definidos em termos de h, c e & # 948 & # 957Cs.

onde h é a constante de Planck pela nova definição (ver 6,62607015 & times10 -34), c é a velocidade da luz pela definição existente (desde 1967) (ver 299792458) e & # 948 & # 957Cs é a frequência de transição hiperfina de estado fundamental não perturbada de Césio-133 (ver 9192631770).

O quantum de carga elétrica em coulombs (um terço da carga do elétron), com base nos valores CODATA 2014 50. Prótons, elétrons e quarks têm cargas que são um múltiplo inteiro (positivo ou negativo) desse valor.

A carga elementar ou "carga unitária", a carga de um elétron em coulombs, a partir dos valores CODATA 2014 50. Este não é mais considerado o menor quantum de carga, agora que se sabe que a matéria é composta em grande parte por quarks que possuem cargas em múltiplos de um quantum que é exatamente 1/3 desse valor.

A partir de 1º de maio de 2019, a carga elementar não é medida em termos de coulombs, em vez disso, é definida como exatamente 1,602176634 e times10-19 coulombs em outras palavras, o coulomb é agora definido em termos da carga elementar.

O valor recíproco do coulomb em unidades da carga elementar, pela nova definição (2019).

Em 2019, o Sistema Internacional de Unidades (SI) foi atualizado para definir suas sete unidades de base de uma forma que define todas as sete em termos de propriedades observáveis ​​da natureza, que recebem valores numéricos arbitrários em termos de unidades de base:

O ampere, símbolo A, é a unidade SI de corrente elétrica. É definido tomando o valor numérico fixo da carga elementar e como 1,602176634 e times10 -19 quando expresso na unidade C, que é igual a As, onde o segundo é definido em termos de & # 948 & # 957Cs.

onde & # 948 & # 957Cs é a frequência de transição hiperfina de estado fundamental não perturbada de Césio-133 (ver 9192631770).

"Tamanho" aproximado de um próton 71, em metros (baseado em seu "raio de carga" de 0,875 femtômetros). "Tamanho" é um conceito bastante vago para partículas e diferentes definições são necessárias para diferentes problemas. Veja 10 40.

A constante de permissividade do vácuo em farads por metro, usando as definições antigas (pré-2019) da permeabilidade do vácuo (ver 4 & # 960/10 7) e a definição (ainda atual) da velocidade da luz (ver 299792458). Antigamente, isso era chamado de "permissividade do espaço livre". Devido a uma combinação de definições padrão, notadamente a definição exata da velocidade da luz, esta constante é exatamente igual a 10 7 / (4 & # 960 299792458 2) = 625000/22468879468420441 & # 960 farads por metro.

Em 2019 e posteriormente, a permissividade do vácuo é algo que precisa ser calculado com base na medição. A maior incerteza que contribui para seu valor é a medição da constante de estrutura fina.

A constante gravitacional em metros cúbicos por quilograma segundo ao quadrado, a partir de valores CODATA 2014 50. Esta é uma das constantes físicas mais importantes da física, notadamente a cosmologia e os esforços para unificar a relatividade com a mecânica quântica. É também uma das constantes mais difíceis de medir. Consulte também 1.32712442099 (10) e times10 20.

A massa de Planck em quilogramas, usando os valores CODATA 2014. A massa de Planck está relacionada com a velocidade da luz, a constante de Planck e a constante gravitacional pela fórmula Mp = & # 8730 hc / 2 & # 960 G.

A constante 4 & # 960/10 7 que aparece na definição antiga (pré-2019) da "constante magnética" ou permeabilidade a vácuo. Está relacionado com a antiga definição de ampere, que afirmava que se exatamente um ampere de corrente flui em dois condutores paralelos retos de comprimento infinito um metro de distância, a força produzida seria 2 & vezes10 -7 newton por metro de comprimento. Isso deriva de uma definição mais antiga, afirmando que uma configuração semelhante com os fios separados por um centímetro produziria uma força de 2 dines por centímetro de comprimento (um dine equivale a 10-5 newtons).

A constante de estrutura fina, conforme fornecida pela CODATA 2014 (ver 50). O "(17)" é a faixa de erro. Veja o 137.035. página para história e detalhes.

Existem algumas "coincidências" em relação a múltiplos de 1/127:

e / & # 960 = 0,865255. & asymp 110/127 = 0,866141.
& # 8730 3 = 1,732050. & asymp 220/127 = 1,732283.
& # 960 = 3,141592. & asymp 399/127 = 3,141732.
& # 8730 62 = 7,874007. & asymp 1000/127 = 7,874015.
e & # 960 = 23,140692. & asymp 2939/127 = 23,141732.

Existem mais alguns para 1/7. A coincidência & # 8730 62 é discutida na entrada & # 8730 62, e as & # 960 e e & # 960 vão juntas (consulte e & # 960).

Esta é a excentricidade da órbita do baricentro Terra-Lua na época J2000, o valor está diminuindo atualmente a uma taxa de cerca de 0,00000044 por ano, principalmente devido à influência de outros planetas. A Lua tem massa e distância suficientes para afastar a própria Terra alguns milhares de quilômetros do baricentro. Veja também 0,054900.

A versão da constante gravitacional gaussiana calculada por Simon Newcomb em 1895.

A "constante gravitacional gaussiana" k, conforme calculada originalmente por Gauss, relacionada ao ano gaussiano & # 916 t pela fórmula & # 916 t = 2 & # 960 / k. O valor foi posteriormente substituído pelo valor Newcomb 0,01720209814, mas em 1938 (e novamente em 1976) o IAU adotou o valor original de Gauss.

Excentricidade média da órbita da Lua & # 8212 a variação média na distância da Lua no perigeu (ponto mais próximo da Terra) e no apogeu. Devido à influência da gravidade do Sol, a excentricidade real varia muito, indo tão baixo quanto cerca de 0,047 e tão alto quanto cerca de 0,070 também a elipse faz um círculo completo a cada 9 anos (ver 27.554549878). A excentricidade é maior quando o perigeu e o apogeu coincidem com a lua nova e a lua cheia. Nessas ocasiões, a distância da Lua varia em um total de 14%, e seu tamanho aparente (área no céu) varia em 30% quando o tamanho no apogeu é comparado ao tamanho no perigeu. Isso significa que o brilho da lua cheia varia 30% ao longo do ano. Em 2004, a lua cheia mais brilhante foi a de 2 de julho devido à precessão da órbita. A lua cheia mais brilhante de 2006 foi alguns meses depois, 6 de outubro.

Essa mudança de tamanho é um pouco pequena demais para ser notada por observação casual (exceto em eclipses solares, quando a Lua às vezes cobre todo o Sol, mas em outras ocasiões produz um eclipse anular). Mas a excentricidade é grande o suficiente para causar grandes diferenças na velocidade da Lua movendo-se pelo céu de um dia para o outro. Quando a Lua está perto do perigeu, ela pode se mover até 16,5 graus por dia, enquanto perto do apogeu ela se move apenas 12 graus, a média é 13,2. O efeito cumulativo disso é que a lua pode aparecer até 22 graus a leste ou oeste de onde estaria se a órbita fosse circular, o suficiente para fazer com que as fases ocorressem até 1,6 dias antes ou atrás da previsão feito a partir de uma órbita circular ideal. Também afeta a libração (o aparente "balanço" da Lua que nos permite ver um pouco do outro lado da lua, dependendo de quando você olha).

Este é o menor valor de z para o qual a torre de energia infinita

converge para um valor finito. (O valor mais alto é e (1 / e) = 1,444667. Veja essa entrada para mais informações).

Esta é a constante de Kepler-Bouwkamp, ​​relacionada a uma construção geométrica de círculos e polígonos inscritos concêntricos. Comece com um círculo unitário (um círculo com raio 1). Inscreva um triângulo equilátero dentro do círculo e, em seguida, inscreva um círculo dentro do triângulo. O raio do círculo menor será cos (& # 960/3) = 1/2. Agora inscreva um quadrado dentro desse círculo, e um círculo dentro do quadrado, este círculo ainda menor tem raio cos (& # 960/3) & timescos (& # 960/4) = & # 8730 1/8. Continue inscrevendo com um pentágono, hexágono e cada polígono regular sucessivo. Os círculos ficam menores, mas não vão até zero, o limite é esse número, cerca de 10/87.

A fração 1/7 é o exemplo mais simples de uma fração com um decimal repetido que possui um padrão interessante. Veja o artigo 7 para algumas de suas propriedades interessantes.

O leitor C. Lucian aponta que muitas das constantes bem conhecidas podem ser aproximadas em múltiplos de 1/7:

gama = 0,5772156. & asymp 4/7 = 0,571428.
e / & # 960 = 0,865255. & asymp 6/7 = 0,857142.
& # 8730 2 = 1,414213. & asymp 10/7 = 1,428571.
& # 8730 3 = 1,732050. & asymp 12/7 = 1,714285.
e = 2,7182818. & asymp 19/7 = 2,714285.
& # 960 = 3,1415926. & asymp 22/7 = 3,142857.
e & # 960 = 23,140692. & asymp 162/7 = 23,142857.

Em sua maioria, são todas coincidências sem qualquer outra explicação, exceto conforme observado nas entradas para & # 8730 2 e e & # 960. Veja também 1/127.

Este é o integrante do pecado (1 / * x), de 0 a 1. Mathematica ou Wolfram Alpha vai dar mais dígitos: 0,5040670619 & shy0692837198 & shy9856117741 & shy1482296249 & shy8502821263 & shy9170871433 & shy1675557800 & shy7436618361 & shy6051791560 & shy4457297012.

Um leitor [206] sugeriu-me a ideia de que algumas pessoas podem definir "zilhão" como "um 1 seguido por um zilhão de zeros". Isso é parecido com a definição de googolplex, mas se contradiz, pois não importa o valor que você escolha para X, 10 X é maior do que X.

No entanto, isso só é verdade se limitarmos X para ser um número inteiro (ou um número real). Se for permitido que X seja um número complexo, a equação 10 X = X terá infinitas soluções.

Usando o Wolfram Alpha [219], coloque "10 ^ x = x" e você obterá:

x & asymp -0.434294481903251827651 Wn (-2.30258509299404568402)

com uma nota descrevendo Wk como a "função de registro do produto", que está relacionada à função Lambert W (ver 2.50618.). Esta função também está disponível no Wolfram Alpha (ou no Mathematica) usando o nome "ProductLog [k, x]" onde k é qualquer inteiro ex é o argumento. Portanto, se colocarmos em "-0.434294481903251827651 * ProductLog [1, -2.30258509299404568402]", obteremos:

0,529480508259063653364. - 3,34271620208278281864. eu

Por fim, coloque "10 ^ (0,529480508259063653364 - 3,34271620208278281864 * i)" e obtenha:

0,52948050825906365335. - 3,3427162020827828186. eu

Se usarmos -2 como o argumento inicial de ProductLog [], obteremos 0,5294805 + 3,342716 i, e em geral todas as soluções ocorrem como pares conjugados complexos. Outras soluções incluem x = -0,119194. & # 1770.750583. i e x = 0,787783. & # 1776.083768. eu .

À luz do fato de que os milhões de números são todos potências de 1000, outro leitor sugeriu [211] que se deveria fazer o acima começando com 10 (3 X +3) = X. Isso leva a resultados semelhantes, com uma das primeiras raízes sendo:

-0,88063650680345718868. - 2.10395020077170002545. eu

A primeira fração no programa FRACTRAN de Conway ([151] página 147) que encontra todos os números primos. O programa completo é 17 /91, 78 /85, 19 /51, 23 /38, 29 /33, 77 /29, 95 /23, 77 /19, 1 /17, 11 /13, 13 /11, 15 /2, 1 /7, 55 /1. Para "executar" o programa: começando com X = 2, encontre a primeira fração N / D na sequência para a qual XN / D é um inteiro. Use este valor NX / D como o novo valor de X e repita. Cada vez que X é definido com uma potência de 2, você encontrou um número primo, e eles ocorrerão na sequência: 2 2, 2 3, 2 5, 2 7, 2 11 e assim por diante. Embora não seja muito eficiente & # 8212, são necessários 19 passos para encontrar o primeiro primo, 69 para o segundo, então 281, 710, 2375. (A7547 de Sloane).

Este é e - & # 960/2, que também é igual a i i. (Porque e ix = cos (x) + i sin (x), ei & # 960/2 = i e, portanto, ii = (ei & # 960/2) i = ei 2 & # 960/2 = e - & # 960/2.)

A soma de Cesaro da soma das séries infinitas alternadas-divergentes:

que pode ser usado para derivar a soma "infame" de Euler / Ramanujan 1 + 2 + 3 + 4 +. = -1/12.

O método Cesaro de primeira ordem é ilustrado na entrada de 1/2. Aqui, aplicaremos o método duas vezes. Começamos com os termos da série infinita:

Isso tem as somas parciais:

Eles divergem e são ilimitados acima e abaixo. A soma dos primeiros n termos dessa série é:

A média dos primeiros n termos de A o (n) é A '(n) / n:

(C, 1) -soma = A '(n) / n: 1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7,.

Isso não é convergente, mas oferece esperança de que (como 1-1 + 1-.) Consegue pelo menos permanecer limitado por cima e por baixo. Os termos pares são todos 0, enquanto os termos ímpares se aproximam de 1/2.

Tomemos as médias sucessivas desta sequência: a soma de Cesaro da soma de Cesaro. A soma dos primeiros n termos do "(C, 1) -sum" acima é

1, 1, 5/3, 5/3, 34/15, 34/15, 298/105, .

e as médias sucessivas são apenas estas sobre n:

1, 1/2, 5/9, 5/12, 34/75, 34/90, 298/735, .

que convergem em 1/4, embora possa ser um pouco difícil de ver aqui. Não foi assim que Cesaro definiu o método de 2ª ordem. Em vez disso, ele colocou a soma dos primeiros n termos de A '(n) no numerador:

e os coeficientes binomiais n C 2 (os números triangulares), chamados de "E '' (n)", no denominador:

E '' (n): 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 35,.

As médias de segunda ordem pelo método de Cesaro são:

(C, 2) -sum = A '' (n) / C (n, 2): 1, 1/3, 3/6, 3/10, 6/15, 6/21, 10/28,.

e estes também convergem em 1 /4. Adicionar desta forma torna mais fácil ver porque, por ex. para mesmo n podemos deixar h ser n / 2 e obtemos:

A '' (n) / C (n, 2) = h C 2 / 2 h C 2
= (h (h -1) / 2) / (2 h (2 h -1) / 2)
= (h 2 - h) / (4 h 2 -2 h)
= (1/2) (2 h 2 - h - h 2) / (2 h 2 - h)
= (1/2) ((2 h 2 - h) / (2 h 2 - h) - h 2 / (2 h 2 - h))
= 1/2 - 1/2 (h 2 / (2 h 2 - h))

A parte "h 2 / (2 h 2 - h)" claramente converge em 1/2, então a coisa toda converge para 1/2 - 1/4.

Esta soma de 1 /4 aparece como "1 / (1 + 1) 2" no bloco de notas de Ramanujan. Isso pode ser deduzido observando que 1-1 + 1-1 + 1-1 +. tem a soma de Cesaro de 1ª ordem 1/2 e, em seguida, fazendo isso:

(1 - 1 + 1 - 1 + 1 - . ) 2
= (1 - 1 + 1 - 1 + 1 -.) & Vezes (1 - 1 + 1 - 1 + 1 -.)
= 1 + (-1 & times1 + 1 & times-1) + (1 & times1 + -1 & times-1 + 1 & times1) + (-1 & times1 + 1 & times-1 + -1 & times1 + 1 & times-1) +.
= 1 - 2 + 3 - 4 + .

Portanto, a soma de 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 -. deve ser o quadrado da soma de 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -. que é o quadrado de 1/2, que é 1/4.

Existe outra maneira, talvez mais fácil, de obter a mesma resposta. Comece com essa soma de série infinita e assuma que ela tem um valor, aqui chamado de C:

Subtraia o segundo do primeiro:

C - Cx = 1
C (1- x) = 1
C = 1 / (1- x)

Se x for algo como 1/2, é fácil ver que a soma é 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +. é 2 e 1 / (1- x) = 1 / (1-1 / 2) também é 2, então a derivação é válida. Mas se x fosse, digamos, -1, então obteríamos 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -. = 1/2, que é discutido na entrada de 1/2. Euler não se preocupou com a convergência estrita e apenas prosseguiu com:

1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +. = 1 / (1- x)

Vamos diferenciar os dois lados!

1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 +. = 1 / (1- x) 2

Se x = -1 temos a soma desejada:

e novamente a resposta é 1/4.

Este é um produto infinito de (1-2 - N) para todo N. Este também é o produto de (1- x N) com x = 1/2. Euler mostrou que, no caso geral, esse produto infinito pode ser reduzido à soma infinita muito mais fácil de calcular 1 - x - x 2 + x 5 + x 7 - x 12 - x 15 + x 22 + x 26 - x 35 - x 40 +. onde os expoentes são os números pentagonais N (3 N -1) / 2 (para N positivo e negativo), A1318 de Sloane. 30

Esta é a constante "LucLeh" de Lucas-Lehmer de Gottfried Helms, ver 1.38991066352414. para mais.

1/3 é o racional não diádico mais simples e o mais simples com um decimal não terminal na base 10.

1/3 é a "soma Ramanujan" da soma da série infinita não convergente de -2 n:

Mesmo que não tenhamos permissão, podemos tentar aplicar a fórmula da soma da série:

que converge da maneira normal apenas quando -1 x x = -2 e a soma seria 1 / (1 - (- 2)) = 1/3.

Esta é a "Constante de Artin", o produto (1-1 / 2) (1-1 / 6) (1-1 / 20). (1-1 / (p (p -1))) para todos os primos p. Refere-se à conjectura a respeito da "densidade" de primos p para os quais 1 / p tem a como raiz primitiva, onde a atende às condições da sequência OEIS A85397.Isso inclui 10, o que significa que cerca de 30% dos primos têm uma expansão recíproca com uma expansão decimal que se repete a cada p -1 dígitos, os dois primeiros são 7 e 17.

tem um valor muito próximo, mas não exatamente, de & # 960/8. De Bernard Mares, Jr. via Bailey et al. [188] mais sobre MathWorld em Infinite Cosine Product Integral.

Se você pegar uma string de 1's e 0's e segui-la por seu complemento (a mesma string com 1's trocados para 0's e vice-versa), você obterá uma string com o dobro do comprimento. Se você repetir o processo para sempre (começando com 0 como string inicial), você obterá a sequência

e se você fizer isso uma fração binária 0,0110100110010110. 2 o equivalente na base 10 é 0,41245403364. e é chamada de constante de Thue-Morse ou constante de paridade. Seu valor é dado por uma proporção de produtos infinitos:

4 K = 2 - PRODUTO [2 2 n -1] / PRODUTO [2 2 n]
= 2 - (1 & vezes 3 & vezes 15 & vezes 255 & vezes 65535 & vezes.) / (2 & vezes 4 & vezes 16 & vezes 256 & vezes 65536 & vezes.)

A soma de Cesaro da soma mais simples de séries infinitas somadas a Cesaro:

A técnica da soma de Cesaro é uma generalização da definição de uma soma de série infinita como o limite de suas somas parciais. Para ilustrar o princípio, vamos considerar uma soma infinita que realmente converge da maneira normal:

isso tem as somas parciais:

que pode ser facilmente visto (e comprovado, por indução matemática) convergir para 2. Cesaro considerou a série de médias (médias aritméticas) das primeiras N somas parciais:

1, (1 + 3/2)/2, (1 + 3/2 + 7/4)/3, (1 + 3/2 + 7/4 + 15/8)/4, ..

1, 5/4, 17/12, 49/32, 129/80, 321/128, 769/448, .

que também converge para 2, embora mais lentamente. Essa técnica de calcular a média das primeiras n somas parciais pode produzir uma resposta para séries infinitas cujas somas parciais, tomadas individualmente, não convergem. Começar com:

Isso não converge, mas vamos tirar a média do primeiro n deles. As somas do primeiro n destes (para n = 1, 2, 3,.) São:

Portanto, a média das primeiras n somas parciais são:

que converge em 1/2. Veja 1/4 para um exemplo de soma de Cesaro de 2ª ordem e -1/12 para ver a extensão de Ramanujan.

O caderno de Ramanujan, ao discutir a série -1/12, usa "1 / (1 + 1) 2", o que sugere que ele viu a soma 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -. para ser "1 / (1 + 1)". Isso pode ser derivado da generalização da soma das séries:

que converge da maneira normal somente quando | x | x = -1 teríamos "1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -. = 1 / (1- x) = 1 / (1 + 1)". Portanto, o valor 1/2 pode ser "justificado" de duas maneiras.

As chances de perder um jogo de azar. Jogue uma moeda: se obtiver cara, sua pontuação aumenta em & # 960, se obtiver coroa, sua pontuação diminui em 1. Repita quantas vezes desejar & # 8212, mas se sua pontuação for negativa, você perde. Supondo que o jogador continue jogando indefinidamente (motivado pela tentação de obter uma pontuação cada vez maior), quais são as chances de perder?

A resposta é dada por uma soma em série: 1/2 + 1/2 5 + 4/2 9 + 22/2 13 + 140/2 17 + 969/2 21 + 7084/2 25 + 53820/2 29 + 420732 / 2 34 +. (numeradores no A181784 de Sloane) que soma 0,5436433121.

Uma análise mais sofisticada usando números racionais como 355/113 converge para a resposta mais rapidamente, dando 0,54364331210052407755147385529445. (ver [196]).

Esta é a constante Omega, que satisfaz cada uma dessas equações simples (todas equivalentes):

Portanto, é como a proporção áurea. Nas equações acima, se e for substituído por qualquer número maior que 1 (e "ln" pelo logaritmo correspondente), você obterá outra constante "Omega". Por exemplo:

se 2 x = 1 / x, então x = 0,6411857445.
se & # 960 x = 1 / x, então x = 0,5393434988.
se 4 x = 1 / x, então x = 1/2
se 10 x = 1 / x, então x = 0,3990129782.
se 27 x = 1 / x, então x = 1/3
se 10000000000 x = 1 / x, então x = 1/10

(a constante de Euler-Mascheroni)

Esta é a constante de Euler-Mascheroni, comumente designada pela letra grega gama. É definido da seguinte maneira. Considere a soma:

S n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +. + 1 / n

A sequência começa com 1, 1,5, 1,833333. 2.083333. etc. Conforme n se aproxima do infinito, a soma se aproxima de ln (n) + gama. Numberphile tem um vídeo sobre esta constante: O mistério de 0,577.

Aqui estão algumas aproximações não particularmente significativas para gama:

1/(√ π - 1/25) = 0.5772159526.
gama = 0,5772156649.
1/(1+ 1/√ 10 ) 2 = 0.5772153925.

Uma das infinitas somas na carta de Ramanujan de 1913 para G.H. Hardy, seção XI:

consulte -1/12 para um exemplo mais simples.

esta soma diverge, mas uma soma parcial pode ser contemplada:

0 + 1 + 2 +. + n
= SUM eu em [0 .. n] f (i)
(onde f (x) = x)

= - f (0) / 2 + i INTEGRAL0..∞ (f (it) - f (- it)) / (e 2 & # 960 t - 1) dt

neste exemplo específico, temos

Valor da soma da série infinita

É (1 - & # 8730 2) vezes a função zeta de Riemann de 1/2. Mais dígitos: 0,604898643421630370247265914. (Sequência A113024 de Sloane). Estranhamente, embora a soma da série convirja para um valor finito razoavelmente pequeno, se você elevar ao quadrado a soma da série:

e somar os termos na ordem necessária:

as magnitudes das partes entre parênteses continuam crescendo, de modo que a soma das séries diverge. No entanto, há claramente uma soma, e técnicas como a soma de Cesaro (veja a entrada para 1/4) podem ser usadas para avaliá-la e obter a resposta adequada. É para somas como essa que a soma de Cesaro é realmente necessária. (O caso de 1/4 é um pouco mais difícil de argumentar.)

A proporção áurea (forma recíproca): ver 1,618033. .

O problema da agulha de Buffon envolve estimar a probabilidade de que um segmento de linha colocado aleatoriamente de um determinado comprimento cruze um de um conjunto de linhas paralelas espaçadas com alguma distância fixa. Se o comprimento do segmento de linha for igual ao espaçamento entre as linhas, a probabilidade é 2 / & # 960.

Este é o ponto mais baixo na função y = x x. Veja também 1.444667. .

O logaritmo natural de 2, escrito "ln (2)". Veja 69.3147. e 72.

ln (2) é o valor desta soma infinita da série:

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + .
= 1/2 + 1/12 + 1/30 + 1/56 + .

Isso é chamado de "série condicionalmente convergente" porque a série converge se somada da maneira mostrada acima, mas se você reorganizar os termos:

1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + . - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + . )

então você tem duas séries que não convergem e um indefinido "infinito menos infinito".

Você pode criar uma longa sequência de 1s e 0s usando "regras de substituição" e iterando a partir de uma pequena sequência inicial como 0 ou 1. Se você usar a regra:

e começar com 0, você obtém 1, 10, 101, 10110, 10110101, 1011010110110,. onde cada string é a anterior seguida pela anterior (Sloane's A36299 ou A61107). O limite disso é uma string infinita de 1 e 0 que você pode transformar em uma fração binária: 0,1011010110110. 2, você obtém essa constante (0,709803. na base 10) que é chamada de Constante do Coelho. Ele tem algumas relações especiais com a sequência de Fibonacci:

  • Na iteração descrita acima, o número de dígitos em cada string é a sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,.
  • Expressa como uma fração contínua, a constante é 0 + 1 / (2 0 + 1 / (2 1 + 1 / (2 1 + 1 / (2 2 + 1 / (2 3 + 1 / (2 5 + 1 / ( 2 8 +.))))))) Onde os expoentes de 2 são os números de Fibonacci.
  • Se você pegar todos os múltiplos da Razão Áurea 0,618033 e arredondá-los para números inteiros, obterá 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12,. Esses números indicam onde estão os 1's na fração binária.

Se você omitir os dois primeiros dígitos binários (10), obterá 110101101101011010110110101. o padrão de bits gerado por uma máquina de Turing no final da máquina de Turing Google Doodle. Como uma fração (0,1101011.) É 0,8392137714451.

Valor de x tal que x = cos (x), usando radianos como unidade de ângulo. Você pode encontrar o valor com uma calculadora científica simplesmente inserindo qualquer número razoavelmente próximo e pressionando a tecla cosseno repetidamente. Aqui estão mais alguns dígitos: 0,7390851332151606416553120876738734040134117589007574649656. 26

Este é 3 - & # 8730 5 e está relacionado a uma sequência de números de enxerto encontrada por Matt Parker. Com mais precisão, é: 0,76393 & shy20225 & shy00210 & shy30359 & shy08263 & shy31268 & shy72376 & shy45593 & shy81640 & shy38847.

Pegue um número ímpar de dígitos após o ponto decimal, adicione 1 e você obterá um número de enxerto. Por exemplo, 76393 + 1 = 76394. A sequência de números derivados desta forma começa: 8, 764, 76394, 7639321, 763932023, 76393202251, 7639320225003,.

Uma aproximação diabolicamente envolvente para a resposta ao problema da "rede de resistores infinitos" no xkcd 356, que apresentou ao mundo o esporte de "sniping nerd". Veja ries e 0.773239. .

A resposta para um problema diabolicamente envolvente de "rede de resistores infinitos" no xkcd 356, que apresentou ao mundo o esporte de "sniping nerd" 90. Veja também 0,636619. e 0,772453. .

Este número, em uma calculadora antiga com visor de 7 segmentos, diz "olá" quando visto de cabeça para baixo:

& rarr

Isso é INTEGRAL0..1 x x d x, que é curiosamente igual a - SIGMAi..inf (- n) - n, o que foi comprovado por Bernoulli. Com mais dígitos, é 0,78343051071213440705926438652697546940768199014. Ele compartilha (com 1,291285. O apelido de "sonho do segundo ano".

Este é 0,1101011011010110101101101011011010110101101101011010110110. em binário, e é a versão ligeiramente diferente da constante de coelho gerada por uma máquina de Turing Google Doodle de junho de 2012. Mais dígitos: 0,8392137714451652585671495977783023880500088230714420678280105786051.

Valor decimal da "sequência regular de dobra de papel" 1 1 0 1 100 1 1100100 1 110110001100100 1 1101100111001000110110001100100. convertido em uma fração binária. Esta sequência de 1's e 0's dá as voltas à esquerda e à direita quando se caminha ao longo da curva do dragão. É a soma de 8 2 k / (2 2 k +2 -1) para todos os k & ge0, uma soma da série que dá o dobro de dígitos com cada termo adicional.

O valor mínimo da função Gama com argumentos reais positivos. A função Gama é o análogo contínuo da função fatorial. Este é o Gamma (1,461632144968.). (Para obter mais dígitos de ambos, consulte as sequências OEIS A30171 e A30169.)

Isso é 1/2 da raiz quadrada de & # 960. É Gama (3/2) e às vezes também chamado de (1/2) !, o fatorial de 1/2.

Isso é Gama (5/4), ou "o fatorial de 1/4". Enquanto alguns valores da função Gamma, como 0,886226. e 1.329340. , tem fórmulas simples envolvendo apenas & # 960 a uma potência racional, esta é muito mais complicada. É & # 960 elevado à potência de 3/4, dividido por (& # 8730 2 + 4 & # 8730 2), vezes a soma de uma série infinita para uma função elíptica.

Este é (4 + 4 & # 8730 2) / (5 + 4 & # 8730 2), e é a melhor densidade alcançável pelo empacotamento de octógonos regulares de tamanhos iguais no plano. Notavelmente, é um pouco menor que 0,906899. , a densidade alcançável com círculos.

Isso é & # 960/12, a densidade alcançável compactando círculos de tamanhos iguais em um plano. Veja também 0,906163. .

Constante do catalão, que pode ser definida por:

G = 1 - 1/3 2 + 1/5 2 - 1/7 2 + 1/9 2 -.

Se você tiver um tabuleiro de damas 2 n & times 2 n e um estoque de 2 n 2 dominós que são grandes o suficiente para cobrir dois quadrados do tabuleiro, quantas maneiras existem de cobrir todo o tabuleiro com os dominós? Para n grande, a resposta é aproximada por

Esta é a raiz cúbica de (5 & # 8730 27 - 5 & # 8730 2). Bill Gosper descobriu a seguinte identidade, o que é notável porque o lado esquerdo tem apenas potências de 2 e 3, mas o lado direito tem uma potência de 5 no denominador 108:

( 5 √ 27 - 5 √ 2 ) (1/3) = ( 5 √ 8 5 √ 9 + 5 √ 4 - 5 √ 2 5 √ 27 + 5 √ 3 ) / 3 √ 25

(3 (3/5) -2 (1/5) ) (1/3) = (- 2 (1/5) 3 (3/5) + 2 (3/5) 3 (2/5) + 3 (1/5) + 2 (2/5) ) / 5 (2/3)

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Soluções NCERT para Matemática da Classe 6, Capítulo 2 - Números Inteiros

Escreva os três números inteiros que ocorrem antes de 10001.

Responder:

3 números inteiros antes de 10001 são

Página No 31:

Questão 3:

Qual é o menor número inteiro?

Responder:

O menor número inteiro é 0.

Página No 31:

Questão 4:

Quantos números inteiros existem entre 32 e 53?

Responder:

Números inteiros entre 32 e 53 = 20 (53 e menos 32 e menos 1 = 20)

(33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52)

Página No 31:

Questão 5:

Responder:

Página No 31:

Questão 6:

Responder:

Página No 31:

Questão 7:

Em cada um dos seguintes pares de números, indique qual número inteiro está à esquerda do outro número na reta numérica. Escreva-os também com o sinal apropriado (& gt, & lt) entre eles.

(c) 98765, 56789 (d) 9830415, 10023001

Responder:

503 está no lado esquerdo de 530 na reta numérica.

307 está do lado esquerdo de 370 na reta numérica.

56789 está no lado esquerdo de 98765 na linha numérica.

Desde 98, 30, 415 & lt 1, 00, 23, 001,

98,30,415 está no lado esquerdo de 1,00,23,001 na reta numérica.

Página No 31:

Questão 8:

Quais das seguintes afirmações são verdadeiras (T) e quais são falsas (F)?

(a) Zero é o menor número natural.

(b) 400 é o predecessor de 399.

(c) Zero é o menor número inteiro.

(d) 600 é o sucessor de 599.

(e) Todos os números naturais são números inteiros.

(f) Todos os números inteiros são números naturais.

(g) O predecessor de um número de dois dígitos nunca é um número de um único dígito.

(h) 1 é o menor número inteiro.

(i) O número natural 1 não tem predecessor.

(j) O número inteiro 1 não tem predecessor.

(k) O número inteiro 13 está entre 11 e 12.

(l) O número inteiro 0 não tem predecessor.

(m) O sucessor de um número de dois dígitos é sempre um número de dois dígitos.

Responder:

(a) Falso, 0 não é um número natural.

(b) Falso, pois o predecessor de 399 é 398 (399 e menos 1 = 398).

(f) Falso, pois 0 é um número inteiro, mas não é um número natural.

(g) Falso, pois o predecessor de 10 é 9.

(h) Falso, 0 é o menor número inteiro.

(i) Verdadeiro, pois 0 é o predecessor de 1, mas não é um número natural.

(j) Falso, pois 0 é o predecessor de 1 e é um número inteiro.

(k) Falso, 13 não está entre 11 e 12.

(l) Verdadeiro, o predecessor de 0 é & menos1, que não é um número inteiro.

(m) Falso, pois o sucessor de 99 é 100.

Página No 40:

Questão 1:

Encontre a soma por meio de um rearranjo adequado:

(a) 837 + 208 + 363 (b) 1962 + 453 + 1538 + 647

Responder:

(a) 837 + 208 + 363 = (837 + 363) + 208

(b) 1962 + 453 + 1538 + 647 = (1962 + 1538) + (453 + 647)

Página No 40:

Questão 2:

Encontre o produto por meio de um rearranjo adequado:

(c) 8 vezes 291 e 125 (d) 625 e 279 vezes 16

Responder:

(d) 625 e vezes 279 e 16 = 625 e vezes 16 e 279

(e) 285 & vezes 5 & vezes 60 = 285 & vezes 300 = 85500

Página No 40:

Questão 3:

Encontre o valor do seguinte:

(a) 297 & vezes 17 + 297 & vezes 3 (b) 54279 & vezes 92 + 8 & vezes 54.279

(c) 81265 e vezes 169 e menos 81265 e vezes 69 (d) 3845 e vezes 5 e 782 + 769 e vezes 25 e 218

Responder:

(a) 297 & vezes 17 + 297 & vezes 3 = 297 & vezes (17 + 3)

(b) 54279 & times 92 + 8 & times 54279 = 54279 & times 92 + 54279 & times 8

(c) 81265 & vezes 169 & menos 81265 & vezes 69 = 81265 & vezes (169 & menos 69)

(d) 3845 e vezes 5 e 782 + 769 e vezes 25 e 218

Solução de vídeo para números inteiros (Página: 40, Q.No .: 3)

Solução NCERT para matemática da Classe 6 - números inteiros 40, Questão 3

Página No 40:

Questão 4:

Encontre o produto usando propriedades adequadas.

Responder:

= 738 & vezes 100 + 738 & vezes 3 (propriedade distributiva)

= 854 & vezes 100 + 854 & vezes 2 (propriedade distributiva)

(c) 258 & vezes 1008 = 258 & vezes (1000 + 8)

= 258 & vezes 1000 + 258 & vezes 8 (propriedade distributiva)

(d) 1005 e vezes 168 = (1000 + 5) e vezes 168

= 1000 & vezes 168 + 5 & vezes 168 (propriedade distributiva)

Página No 40:

Questão 5:

Um motorista de táxi encheu o tanque de seu carro com 40 litros de gasolina na segunda-feira. No dia seguinte, ele encheu o tanque com 50 litros de gasolina. Se a gasolina custa Rs 44 por litro, quanto ele gastou no total com gasolina?

Responder:

Quantidade de gasolina abastecida na segunda-feira = 40 eu

Quantidade de gasolina abastecida na terça = 50 eu

Quantidade total preenchida = (40 + 50) eu

Custo da gasolina (por eu) = Rs 44

Dinheiro total gasto = 44 & vezes (40 + 50)

Solução de vídeo para números inteiros (Página: 40, Q.No .: 5)

Solução NCERT para matemática da Classe 6 - números inteiros 40, Questão 5

Página No 41:

Questão 6:

Um vendedor fornece 32 litros de leite para um hotel pela manhã e 68 litros de leite à noite. Se o leite custa Rs 15 por litro, quanto dinheiro é devido ao vendedor por dia?

Responder:

Quantidade de leite fornecido pela manhã = 32 eu

Quantidade de leite fornecida à noite = 68 eu

Total de leite por litro = (32 + 68) eu

Custo do leite por litro = Rs 15

Custo total por dia = 15 & vezes (32 + 68)

Solução de vídeo para números inteiros (Página: 41, Q.No .: 6)

Solução NCERT para matemática da Classe 6 - números inteiros 41, Questão 6

Página No 41:

Questão 7:

(i) 425 & vezes 136 = 425 & vezes (6 + 30 + 100)

(a) Comutatividade sob multiplicação

(b) Comutatividade sob adição

(iii) 80 + 2005 + 20 = 80 + 20 + 2005

(c) Distributividade da multiplicação sobre a adição

Responder:

(i) 425 & vezes 136 = 425 & vezes (6 + 30 + 100) [Distributividade da multiplicação sobre a adição]

(ii) 2 & vezes 49 & vezes 50 = 2 & vezes 50 & vezes 49 [Comutatividade sob multiplicação]

(iii) 80 + 2005 + 20 = 80 + 20 + 2005 [Comutatividade sob adição]

Página No 43:

Questão 1:

Qual das opções a seguir não representará zero?

Responder:

Não representa zero.

Página No 43:

Questão 2:

Se o produto de dois números inteiros é zero, podemos dizer que um ou ambos serão zero? Justifique por meio de exemplos.

Responder:

Se o produto de 2 números inteiros for zero, então um deles é definitivamente zero.

Por exemplo, 0 & vezes 2 = 0 e 17 & vezes 0 = 0

Se o produto de 2 números inteiros for zero, então ambos podem ser zero.

(Como os números a serem multiplicados não são iguais a zero, o resultado do produto também será diferente de zero.)

Página No 44:

Questão 3:

Se o produto de dois números inteiros for 1, podemos dizer que um dos dois será 1? Justifique por meio de exemplos.

Responder:

Se o produto de 2 números for 1, ambos os números devem ser iguais a 1.

Claramente, o produto de dois números inteiros será 1 na situação em que os dois números a serem multiplicados forem 1.

Página No 44:

Questão 4:

Encontre usando propriedade distributiva:

Responder:

(b) 5437 & vezes 1001 = 5437 & vezes (1000 + 1)

(d) 4275 e vezes 125 = (4000 + 200 + 100 e menos 25) e vezes 125

= 4000 & vezes 125 + 200 & vezes 125 + 100 & vezes 125 & menos 25 & vezes 125

= 500.000 + 25.000 + 12.500 e menos 3125

Página No 44:

Questão 5:

1 & vezes 8 + 1 = 9 1234 & vezes 8 + 4 = 9876

12 & vezes 8 + 2 = 98 12345 & vezes 8 + 5 = 98765

Escreva as próximas duas etapas. Você pode dizer como o padrão funciona?

(Dica: 12345 = 11111 + 1111 + 111 + 11 + 1).

Responder:

123456 e vezes 8 + 6 = 987648 + 6 = 987654

1234567 & vezes 8 + 7 = 9876536 + 7 = 9876543

Como 123456 = 111111 + 11111 + 1111 + 111 + 11 + 1,

123456 & vezes 8 = (111111 + 11111 + 1111 + 111 + 11 + 1) & vezes 8

= 111111 & vezes 8 + 11111 & vezes 8 + 1111 & vezes 8 + 111 & vezes 8 + 11 & vezes 8 + 1 & vezes 8


1.4: Propriedades de Números Inteiros - Matemática

Propriedades e leis de números inteiros

· Simplifique usando a propriedade de adição de 0.

· Simplifique usando a propriedade de multiplicação de 1.

· Identificar e usar a lei comutativa da adição.

· Identificar e usar a lei comutativa da multiplicação.

· Identificar e usar a lei de adição associativa.

· Identificar e usar a lei associativa da multiplicação.

A matemática geralmente envolve a simplificação de expressões numéricas. Ao fazer isso, você pode usar leis e propriedades que se aplicam a operações específicas. A propriedade de multiplicação de 1 afirma que qualquer número multiplicado por 1 é igual ao mesmo número, e a propriedade de adição de zero afirma que qualquer número adicionado a zero é o mesmo número.

Duas leis importantes são as leis comutativas, que afirmam que a ordem em que você adiciona dois números ou multiplica dois números não afeta a resposta. Você pode se lembrar disso porque se você trajeto para o trabalho, você percorre a mesma distância dirigindo para o trabalho e dirigindo para casa que dirige para casa e dirige para o trabalho. `Você pode mover os números nas expressões de adição e multiplicação porque a ordem nessas expressões não importa.

Você também aprenderá a simplificar as expressões de adição e multiplicação usando as leis associativas. Tal como acontece com as leis comutativas, existem leis associativas para adição e multiplicação. Assim como as pessoas podem se associar a pessoas em grupos diferentes, um número pode associado com outros números em um grupo ou outro. As leis associativas permitem que você coloque números em grupos diferentes usando parênteses.

Propriedades de adição e multiplicação de 0 e 1

O propriedade de adição de 0 afirma que, para qualquer número adicionado a 0, a soma é igual a esse número. Lembre-se de que você não termina com zero como resposta - isso só acontece quando você multiplica. Sua resposta é simplesmente igual ao número original.


Números inteiros, classe 6, notas, matemática, capítulo 2

Números naturais: Os números de contagem 1,2, 3,4 são chamados de números naturais.

Antecessor: Se subtrairmos 1 de um número natural, obteremos seu predecessor. Por exemplo, o predecessor de 10 é 10 & # 8211 1 = 9.

Sucessor: Se adicionarmos 1 a um número natural, obteremos seu sucessor. Por exemplo, o sucessor de 9 é 9 + 1 = 10.

O número natural 1 não tem predecessor nos números naturais.

Não há maior número natural

Se somarmos o número 0 à coleção de números inteiros. Assim, os números 0, 1, 2, 3, & # 8230 formam a coleção de números inteiros, números naturais, o que obtemos é a coleção

Consideramos 0 como o predecessor de 1 na coleção de números inteiros.

Cada número inteiro tem um sucessor.

Cada número inteiro, exceto zero, tem um predecessor.

Todos os números naturais são números inteiros, mas todos os números inteiros não são um número natural. [0 é um número inteiro, mas não um número natural]

A Linha Numérica
Desenhe uma linha. Marque um ponto nele e rotule-o como 0. Marque um segundo ponto à direita de 0 na certa distância apropriada e rotule-o como 1. Então, a distância entre os pontos rotulados como 0 e 1 é chamada de distância unitária. Agora, marque outro ponto nesta linha à direita de 1 a uma unidade de distância de 1 e rotule-o de 2. Procedendo dessa maneira, podemos encontrar pontos consecutivos e rotulá-los como 3, 4, 5 e # 8230 em ordem. Assim, podemos ir para qualquer número inteiro. Essa linha é chamada de linha numérica para números inteiros.

Adição na reta numérica: Vamos adicionar 2 e 3. Começamos do 2 na reta numérica e damos 3 saltos para a direita por unidade de distância cada. Chegamos a 5. Portanto, 2 + 3 = 5.

Subtração na reta numérica: Vamos encontrar 5-3. Começamos do 5 na reta numérica e damos 3 saltos para a esquerda por unidade de distância cada. Chegamos a 2. Portanto, 5 & # 8211 3 = 2.

Multiplicação na reta numérica: Vamos encontrar 2 & # 2153. Começamos do 0 na reta numérica e movemos 2 unidades para a direita de cada vez. Fazemos 3 desses movimentos. Chegamos a 6. Então. 2 × 3 = 6.

Propriedades de números inteiros
O resultado da adição de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Dizemos que a coleção de números inteiros é fechada com adição.

O resultado da multiplicação de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Dizemos que a coleção de números inteiros é fechada p sob multiplicação.

O resultado da subtração de dois números inteiros nem sempre é um número inteiro. Por exemplo: 5 & # 8211 2 = 3 é um número inteiro, mas 2 & # 8211 4 = -2 não é um número inteiro. Dizemos que a coleção de números inteiros não é fechada à subtração.

O resultado da divisão de dois números inteiros nem sempre é um número inteiro. Por exemplo: 6 ÷ 2 = 3 é um número inteiro, mas 2 ÷ 5 = ( frac <2> <5> ) não é um número inteiro. Dizemos que a coleção de números inteiros não é fechada à divisão.

A divisão de um número inteiro por 0 não é definida.

Podemos adicionar dois números inteiros em qualquer ordem. Por exemplo: 1 + 2 = 2 + 1 = 3. Dizemos que a adição é comutativa para a coleção de números inteiros.

Podemos multiplicar dois números inteiros em qualquer ordem.
Por exemplo: 2 × 3 = 3 × 2 = 6. Dizemos que a multiplicação é comutativa para a coleção de números inteiros.

A adição é associativa para números inteiros. Por exemplo: 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6
(1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 Portanto, 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3.

A multiplicação é associativa para números inteiros.
Por exemplo: 2 × (3 × 5) = 2 × 15 = 30 (2 × 3) × 5 = 6 × 5 = 30 Portanto, 2 × (3 × 5) = (2 × 3) × 5.

A multiplicação é distributiva em relação à adição para números inteiros. Por exemplo:
3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27
3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27
Portanto, 3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5.
Isso é conhecido como distributividade da multiplicação sobre a adição.
Nota: As propriedades de comutatividade, associatividade e distributividade de números inteiros são úteis para simplificar cálculos e nós as usamos sem estar cientes delas.

O resultado da adição de zero a qualquer número inteiro é o mesmo número inteiro. Dizemos que zero é a identidade para a adição de números inteiros ou identidade aditiva para números inteiros.

O número zero inteiro também tem um papel especial na multiplicação. Qualquer número, quando multiplicado por zero, torna-se zero.

O resultado da multiplicação de 1 por qualquer número inteiro é o mesmo número inteiro. Dizemos que 1 é a identidade para multiplicação de números inteiros ou identidade multiplicativa para números inteiros.

Padrões em números inteiros
Alguns números podem ser organizados em formas elementares, uma linha, um retângulo, um quadrado e um triângulo feito apenas de pontos.
Cada número pode ser organizado como uma linha.

Alguns números como 6 podem ser organizados como um retângulo. Observe que o número de linhas deve ser menor do que o número de colunas. Além disso, o retângulo deve ter mais de 1 linha.

Alguns números como 4, 9 podem ser organizados como um quadrado. Observe que cada número quadrado também é um número retangular.

Alguns números como 3, 6 podem ser organizados como um triângulo. Observe que o triângulo deve ter um ângulo reto e seus dois lados devem ser iguais. O número de pontos nas linhas começando da linha inferior deve ser 4, 3,2, 1. A linha superior deve sempre ter 1 ponto.

Os padrões com números não são apenas interessantes, mas também úteis, especialmente para cálculos mentais e nos ajudam a compreender melhor as propriedades dos números.


Somando: Ajudando as Crianças a Aprender Matemática (2001)

Os números inteiros são os números mais fáceis de entender e usar. Como descrevemos no capítulo anterior, a maioria das crianças aprende a contar desde cedo e compreende muitos dos princípios de número nos quais a contagem se baseia. Mesmo que as crianças comecem a escola com um número excepcionalmente limitado de instalações, atividades instrucionais intensivas podem ser planejadas para ajudá-las a atingir níveis semelhantes aos de seus colegas. 1 A facilidade de contagem para crianças fornece uma base para que eles resolvam problemas simples de adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros. Embora ainda haja muito o que trabalhar durante os primeiros anos de escola, as crianças começam com um conhecimento substancial sobre o qual podem construir.

Neste capítulo, examinamos o desenvolvimento da proficiência com números inteiros. Mostramos que os alunos mudam de métodos de resolução de problemas numéricos que são intuitivos, concretos e baseados na modelagem da situação do problema diretamente para métodos que são mais independentes do problema, matematicamente sofisticados e dependem da notação simbólica padrão. Alguma forma dessa progressão é vista em cada operação, tanto para números de um só dígito quanto para números de vários dígitos.

Nós nos concentramos na computação com números inteiros porque aprender a computar pode fornecer às crianças a oportunidade de trabalhar muitos conceitos de números e integrar as cinco vertentes da proficiência matemática. Esse aprendizado pode fornecer a base para seu desenvolvimento matemático posterior. A computação com números inteiros ocupa grande parte do currículo nas séries iniciais, e as experiências de aprendizagem apropriadas nessas séries aumentam as chances das crianças de sucesso posterior.

O cálculo de números inteiros também fornece um exemplo instrutivo de como habilidades procedimentais que parecem rotineiras podem ser interligadas com outras vertentes de proficiência para aumentar a fluência com a qual as habilidades são usadas. Por anos, aprender a computar foi visto como uma questão de seguir as instruções do professor e praticar até que a execução rápida seja alcançada. Mudanças nas demandas de carreira e nas tarefas da vida diária, bem como a disponibilidade de novas ferramentas de computação, significam que agora se exige mais do estudo da computação. Mais do que apenas um meio de produzir respostas, a computação é cada vez mais vista como uma janela na estrutura profunda do sistema numérico. Felizmente, a pesquisa está demonstrando que tanto o desempenho qualificado quanto a compreensão conceitual são gerados pelos mesmos tipos de atividades. Nenhuma compensação é necessária. Conforme detalhamos a seguir, as atividades que fornecem esse resultado poderoso são aquelas que integram as vertentes da proficiência.

Operações com números inteiros de um dígito

Quando os alunos começam a frequentar a escola, muitas de suas atividades com números são projetadas para ajudá-los a se tornarem proficientes na aritmética de um dígito. De aritmética de um dígito, queremos dizer as somas e produtos de números de um único dígito e suas diferenças e quocientes associados (por exemplo, 5 + 7 = 12, 12 & ndash5 = 7, 12 & ndash7 = 5 e 5 & times7 = 35, 35 & divide5 = 7, 35 & divide7 = 5). Por mais de um século, o aprendizado da aritmética de um dígito tem sido caracterizado nos Estados Unidos como "aprendizado de fatos básicos", e a ênfase tem sido na memorização desses fatos. Nós usamos o termo combinações básicas de números enfatizar que o conhecimento é relacional e não precisa ser memorizado mecanicamente. Adultos e crianças & ldquoexpert & rdquo usam uma variedade de estratégias, incluindo regras automáticas ou semiautomáticas e processos de raciocínio para produzir com eficiência as combinações básicas de números. 2 O conhecimento relacional, como o conhecimento da comutatividade, não apenas promove o aprendizado das combinações básicas de números, mas também pode fundamentar ou afetar a representação mental desse conhecimento básico. 3

O domínio dos primeiros números, incluindo o aprendizado inicial das crianças em aritmética de um dígito, é sem dúvida a área da matemática escolar mais investigada. Atualmente, existe uma grande quantidade de pesquisas sobre como as crianças em muitos países realmente aprendem operações de um dígito com números inteiros. Embora alguns educadores já tenham acreditado que as crianças memorizam seus "fatos quobásicos" como respostas condicionadas, a pesquisa mostra que as crianças memorizam não mude de saber nada sobre as somas e diferenças dos números para ter as combinações básicas de números memorizadas. Em vez disso, eles passam por uma série de métodos progressivamente mais avançados e abstratos para trabalhar as respostas

a problemas aritméticos simples. Além disso, conforme as crianças ficam mais velhas, elas usam os procedimentos de forma cada vez mais eficiente. 4 Evidências recentes indicam que as crianças podem usar esses procedimentos com bastante rapidez. 5 Nem todas as crianças seguem o mesmo caminho, mas todas as crianças desenvolvem alguns procedimentos intermediários e temporários.

A maioria das crianças continua a usar esses procedimentos ocasionalmente e para alguns cálculos. A recordação acaba se tornando o método predominante para algumas crianças, mas os métodos de pesquisa atuais não conseguem distinguir adequadamente entre as respostas produzidas pela recordação e aquelas geradas por procedimentos rápidos (sem rechamada). Este capítulo descreve os processos complexos pelos quais as crianças aprendem a computar com números inteiros. Como a pesquisa em números inteiros revela o quanto pode ser compreendido sobre o desenvolvimento matemático infantil por meio de investigação interdisciplinar e sustentada, fornecemos mais detalhes neste capítulo do que nos capítulos subsequentes.

Problemas com palavras: um contexto significativo

Um dos contextos mais significativos em que crianças pequenas começam a desenvolver proficiência com números inteiros é fornecido pelos chamados problemas de palavras. Essa afirmação provavelmente surpreende muitos, especialmente professores de matemática do ensino fundamental e médio, cujos alunos têm dificuldades especiais com esses problemas. Mas uma extensa pesquisa mostra que se as crianças podem contar, podem começar a usar suas habilidades de contagem para resolver problemas simples de palavras. Além disso, eles podem aprimorar essas habilidades de contagem à medida que resolvem mais problemas. 6 Na verdade, é na resolução de problemas de palavras que as crianças têm oportunidades de exibir seus níveis mais avançados de desempenho de contagem e de construir um repertório de procedimentos para computação.

A maioria das crianças que entram na escola pode contar para resolver problemas de palavras que envolvem somar, subtrair, multiplicar e dividir. 7 Seu desempenho aumenta se os problemas forem redigidos de maneira simples, usarem números pequenos e forem acompanhados por contadores físicos para as crianças usarem. Os procedimentos exatos que as crianças provavelmente usarão foram bem documentados. Considere os seguintes problemas:

Sally tinha 6 carros de brinquedo. Ela deu 4 para Bill. Quantos ela deixou?

Sally tinha 4 carrinhos de brinquedo. De quantos mais ela precisa para ter 6?

A maioria das crianças pequenas resolve o primeiro problema contando um conjunto de 6, removendo 4 e contando os carros restantes para encontrar a resposta. Em contraste,

eles resolvem o segundo problema contando um conjunto de 4, adicionando mais à medida que contam & ldquofive, seis & rdquo e, em seguida, contando os adicionados para encontrar a resposta.

As crianças resolvem esses problemas & ldquoacting & rdquo a situação & mdash, isto é, modelando-a. Eles inventam um procedimento que reflete as ações ou relacionamentos descritos no problema. Esta abordagem simples, mas poderosa, mantém a fluência de procedimentos intimamente conectada ao entendimento conceitual e competência estratégica. As crianças resolvem inicialmente apenas os problemas que entendem, que podem representar ou modelar usando objetos físicos e que envolvem números dentro de sua faixa de contagem. Embora essa abordagem limite os tipos de problemas com os quais as crianças são bem-sucedidas, ela também permite que elas resolvam uma gama notável de problemas, incluindo aqueles que envolvem multiplicação e divisão.

Como as crianças resolvem intuitivamente problemas de palavras modelando as ações e relações nelas descritas, é importante distinguir entre os diferentes tipos de problemas que podem ser representados por adição ou subtração e entre aqueles representados por multiplicação ou divisão. Uma maneira útil de classificar os problemas é dar atenção à abordagem dos filhos e rsquos e examinar as ações e relações descritas. Esse exame produz uma taxonomia de tipos de problemas diferenciados pelo método de solução que as crianças usam e fornece uma estrutura para explicar a dificuldade relativa dos problemas.

Quatro classes básicas de problemas de adição e subtração podem ser identificadas: problemas envolvendo (a) junção, (b) separação, (c) relações parte-parte-todo e (d) relações de comparação. Os problemas dentro de uma classe envolvem o mesmo tipo de ação ou relação, mas dentro de cada classe vários tipos distintos de problemas podem ser identificados dependendo de qual quantidade é a desconhecida (ver Tabela 6 & ndash1). Os procedimentos dos alunos para resolver todo o conjunto de problemas de adição e subtração e a dificuldade relativa dos problemas foram bem documentados. 8

Para multiplicação e divisão, os tipos de problemas mais simples são situações de agrupamento que envolvem três componentes: o número de conjuntos, o número em cada conjunto e o número total. Por exemplo:

José fez 4 pilhas de mármores com 3 mármores em cada pilha. Quantas bolinhas de gude Jose tinha?

Neste problema, o número e o tamanho dos conjuntos são conhecidos e o total é desconhecido. Existem dois tipos de situações de divisão correspondentes, dependendo se é necessário encontrar o número de conjuntos ou o número em cada conjunto. Por exemplo:

Tipos de problemas de adição e subtração

Connie tinha 5 berlindes. Juan deu a ela mais 8 berlindes. Quantas bolinhas de gude Connie tem no total?

Connie tem 5 berlindes. Quantas bolinhas a mais ela precisa para ter 13 bolinhas no total?

Connie tinha algumas bolinhas de gude. Juan deu a ela mais 5. Agora ela tem 13 berlindes. Com quantas bolas de gude Connie teve para começar?

Connie tinha 13 berlindes. Ela deu 5 para Juan. Quantas bolinhas de gude Connie ainda tem?

Connie tinha 13 berlindes. Ela deu um pouco para Juan. Agora ela tem 5 berlindes restantes. Quantas bolinhas de gude Connie deu a Juan?

Connie tinha algumas bolinhas de gude. Ela deu 5 para Juan. Agora ela tem 8 berlindes restantes. Com quantas bolas de gude Connie teve para começar?

Connie tem 5 berlindes vermelhos e 8 berlindes azuis. Quantas bolinhas ela tem no total?

Connie tem 13 berlindes: 5 são vermelhos e o resto são azuis. Quantas bolinhas de gude azul Connie tem?

Connie tem 13 berlindes. Juan tem 5 berlindes. Quantas bolas de gude a mais Connie tem do que Juan?

Juan tem 5 berlindes. Connie tem mais 8 que Juan. Quantas bolinhas de gude Connie tem?

Connie tem 13 berlindes. Ela tem 5 bolas de gude a mais que Juan. Quantas bolinhas de gude Juan tem?

FONTE: Carpenter, Fennema, Franke, Levi e Empson, 1999, p. 12. Usado com permissão da Heinemann. Todos os direitos reservados.

José tem 12 bolas de gude e as coloca em pilhas de 3. Quantas pilhas ele tem?

Jose tem 12 berlindes e os divide igualmente em 3 pilhas. Quantas bolinhas há em cada pilha?

Tipos adicionais de problemas de multiplicação e divisão são introduzidos posteriormente no currículo. Isso inclui problemas de taxas, problemas de comparação multiplicativa, problemas de matriz e área e produtos cartesianos. 9

Tal como acontece com os problemas de adição e subtração, as crianças inicialmente resolvem problemas de multiplicação e divisão modelando diretamente a ação e as relações nos problemas. 10 Para o problema de multiplicação acima com bolinhas de gude, eles formam quatro pilhas com três em cada e contam o total para encontrar a resposta. Para o problema da primeira divisão, eles fazem grupos do tamanho especificado de três e contam o número de grupos para encontrar a resposta. Para o outro problema, eles formam os três grupos distribuindo (como nas cartas) e contam o número em um dos grupos. Embora os adultos possam reconhecer ambos os problemas como 12 dividido por 3, as crianças inicialmente pensam neles em termos das ações ou relações retratadas.Com o tempo, esses procedimentos de modelagem direta são substituídos por métodos mais eficientes baseados na contagem, adição ou subtração repetida ou derivação de uma resposta de uma combinação de números conhecida. 11

A observação de que as crianças usam métodos diferentes para resolver problemas que descrevem situações diferentes tem implicações importantes. Por um lado, modelar diretamente a ação no problema é uma abordagem altamente sensata. Por outro lado, à medida que o número de problemas aumenta, torna-se ineficiente realizar procedimentos de modelagem direta que envolvem a contagem de todos os objetos.

A proficiência das crianças e alunos desenvolve-se gradualmente em duas direções significativas. Uma é ter um método de solução diferente para cada tipo de problema para desenvolver um único método geral que pode ser usado para classes de problemas com uma estrutura matemática semelhante. Outra direção é em direção a procedimentos de cálculo mais eficientes. Os procedimentos de modelagem direta evoluem para os procedimentos de contagem mais avançados descritos na próxima seção. Para problemas de palavras, esses procedimentos são essencialmente abstrações de modelagem direta que continuam a refletir as ações e relações nos problemas.

O método que as crianças podem usar para resolver uma classe de problemas não é necessariamente o método tradicionalmente ensinado. Por exemplo, muitas crianças resolvem os problemas de & ldquosubtração & rdquo descritos acima contando, somando ou pensando em uma combinação de adição relacionada, porque qualquer um desses métodos é mais fácil e preciso do que a contagem regressiva. O método tradicionalmente apresentado nos livros didáticos, no entanto, é resolver esses dois problemas por

subtração, que move os alunos em direção ao procedimento mais difícil e sujeito a erros de contagem regressiva. No final das contas, a maioria das crianças começa a usar a recordação ou um procedimento mental rápido para resolver esses problemas e passa a reconhecer que o mesmo método geral pode ser usado para resolver uma variedade de problemas.

Adição de um dígito

As crianças passam a compreender o significado da adição no contexto dos problemas de palavras. Como observamos na seção anterior, as crianças mudam de métodos de contagem para métodos mais gerais para resolver diferentes classes de problemas. Ao fazer isso, eles também desenvolvem maior fluência com cada método específico. Chamamos esses métodos de contagem específicos procedimentos. Embora os educadores tenham reconhecido há muito tempo que as crianças usam uma variedade de procedimentos para resolver problemas de adição de um dígito, 12 pesquisas substanciais em todo o mundo indicam agora que as crianças passam por uma progressão de procedimentos diferentes para encontrar a soma dos números de um dígito. 13

Esta progressão é descrita na Caixa 6 & ndash1. Primeiro, os filhos contam objetos para o primeiro adendo, contam objetos para o segundo adendo e contam todos os objetos (conta todos). Esse procedimento geral de contagem total torna-se então abreviado, internalizado e abstraído à medida que as crianças se tornam mais experientes com ele. Em seguida, eles percebem que não precisam contar os objetos do primeiro adendo, mas podem começar com o número do primeiro ou do adendo maior e contar com os objetos do outro adendo (contar com). Como as crianças contam

Caixa 6 & ndash1 Progressão de aprendizagem para adição de um único dígito

com os objetos, eles começam a usar as próprias palavras de contagem como objetos contáveis ​​e controlam quantas palavras foram contadas usando os dedos ou padrões auditivos. A lista de contagem tornou-se uma ferramenta representativa. Com o tempo, as crianças recompõem os números em outros números (4 é recomposto em 3 + 1) e usam estratégias de pensamento nas quais transformam uma combinação de adição que não conhecem em uma que conhecem (3 + 4 torna-se 3 + 3 + 1). Nos Estados Unidos, essas estratégias para combinações de números derivados freqüentemente usam um chamado duplo (2 + 2, 3 + 3, etc.). Essas duplas são aprendidas muito rapidamente.

Como mostra o Quadro 6 & ndash1, ao longo dessa progressão de aprendizagem, somas específicas passam para a categoria de serem recuperadas rapidamente, em vez de resolvidas de uma das outras maneiras descritas acima. As crianças variam nas somas de que primeiro se lembram prontamente, embora dobre, adicionando um (a soma é a próxima palavra a contar), e pequenos totais são os mais prontamente lembrados. Vários procedimentos para adição de um dígito normalmente coexistem por vários anos, eles são usados ​​para números diferentes e em diferentes situações de problema. A experiência em descobrir a resposta aos problemas de adição fornece a base para entender o que significa dizer & ldquo5 + 3 = 8 & rdquo e para, eventualmente, recuperar essa soma sem o uso de qualquer estratégia consciente.

Em muitos países, as crianças costumam seguir essa progressão de procedimentos, uma progressão natural de incorporação e abreviação. Alguns desses procedimentos podem ser ensinados, o que acelera seu uso, 14 embora o ensino direto dessas estratégias deva ser feito conceitualmente, e não simplesmente por imitação e repetição. 15 Em alguns países, as crianças aprendem um procedimento geral conhecido como & ldquomake a 10 & rdquo (ver Quadro 6 & ndash2). 16 Neste procedimento, o solucionador faz um 10 de um adendo, tirando um número do outro adendo. Educadores em alguns países que usam essa abordagem acreditam que esta primeira instância de reagrupamento fazendo um 10 fornece uma base crucial para a posterior aritmética de vários dígitos. Em alguns países asiáticos, esse procedimento é provavelmente facilitado pelas palavras numéricas. 17 Também foi ensinado em alguns países europeus nos quais os nomes dos números são mais semelhantes aos do inglês, sugerindo que o procedimento pode ser usado com uma variedade de sistemas de nomenclatura de números. O procedimento agora está começando a aparecer nos livros didáticos dos EUA, 18 embora tão pouco espaço possa ser dedicado a ele que algumas crianças podem não ter tempo e oportunidade adequados para entendê-lo e aprendê-lo bem.

Há uma variação notável nos procedimentos que as crianças usam para resolver problemas simples de adição. 19 Confrontados com essa variação, os professores podem tomar várias medidas para apoiar o movimento das crianças em direção a procedimentos mais avançados. Uma técnica é falar sobre procedimentos um pouco mais avançados e Por quê

Caixa 6 & ndash2 Faça um Dez: B + 6 =?

eles trabalham. 20 O professor pode estimular a discussão em classe sobre os procedimentos que vários alunos estão usando. Os alunos podem ter a oportunidade de apresentar seus procedimentos e discuti-los. Outros podem então ser encorajados a tentar o procedimento. Desenhos ou materiais de concreto podem ser usados ​​para revelar como os procedimentos funcionam. As vantagens e desvantagens de diferentes procedimentos também podem ser examinadas. Para um determinado procedimento, podem ser criados problemas para os quais ele pode funcionar bem ou para os quais é ineficiente.

Outras técnicas que encorajam os alunos a usar procedimentos mais eficientes são o uso de grandes números em problemas de forma que procedimentos de contagem ineficientes não possam ser usados ​​facilmente e o ocultamento de um dos conjuntos para estimular uma nova maneira de pensar sobre o problema. Estudos de intervenção indicam que o ensino de procedimentos de contagem de maneira conceitual torna todas as somas de um dígito acessíveis aos alunos da primeira série dos EUA, incluindo crianças com dificuldades de aprendizagem e aquelas que não falam inglês como primeira língua. 21 Oferecer apoio para as crianças melhorarem seus próprios procedimentos faz não Significa, entretanto, que toda criança é ensinada a usar todos os procedimentos que outras crianças desenvolvem. Nem significa que o professor precisa fornecer a cada criança em uma classe

suporte e justificativa para diferentes procedimentos. Em vez disso, a pesquisa fornece evidências de que, a qualquer momento, a maioria das crianças usa um pequeno número de procedimentos e que os professores podem aprender a identificá-los e ajudar as crianças a aprender procedimentos que são conceitualmente mais eficientes (como contar com o adendo maior em vez de contando tudo). 22

A proficiência matemática com respeito à adição de um dígito abrange não apenas o desempenho fluente da operação, mas também a compreensão conceitual e a capacidade de identificar e representar com precisão as situações em que a adição é necessária. Fornecer problemas de palavras como contextos para adicionar e discutir as vantagens e desvantagens de diferentes procedimentos de adição são maneiras de facilitar o raciocínio adaptativo dos alunos e melhorar sua compreensão dos processos de adição.

Subtração de um dígito

A subtração segue uma progressão que geralmente é paralela àquela da adição (ver Quadro 6 e ndash3). Algumas crianças dos Estados Unidos também inventam métodos de contagem regressiva que modelam a retirada de números por contagem regressiva do total. Mas a contagem regressiva e regressiva são difíceis para muitas crianças. 23

Caixa 6 e ndash3 Progressão de aprendizagem para subtração de um dígito

Um número considerável de crianças inventa procedimentos de contagem para situações em que uma quantidade desconhecida é adicionada a uma quantidade conhecida. 24 Muitas dessas crianças contam posteriormente em situações de subtração de retirada (13 & ndash8 =? Torna-se 8 +? = 13). Quando a contagem progressiva não é introduzida, muitas crianças podem não inventá-la até a segunda ou terceira série, se é que a inventam. Estudos de intervenção com alunos da primeira série dos EUA que os ajudaram a ver as situações de subtração como prejudicando o primeiro x os objetos permitiam-lhes aprender e compreender os procedimentos de contagem progressiva para subtração. Sua precisão de subtração tornou-se tão alta quanto a da adição. 25

Experiências que enfocam as relações parte-parte-todo também mostraram ajudar os alunos a desenvolver estratégias de pensamento mais eficientes, especialmente para a subtração. 26 Os alunos examinam uma situação de junção ou separada e identificam qual número representa a quantidade total e quais números representam as partes. Essas experiências ajudam os alunos a ver como a adição e a subtração estão relacionadas e os ajudam a reconhecer quando adicionar e quando subtrair. Para os alunos da K à 2ª série, aprender a ver as relações parte-todo em situações de adição e subtração é uma de suas realizações mais importantes em aritmética. 27

Para os alunos das séries K a 2, aprender a ver as relações parte-todo em situações de adição e subtração é uma de suas realizações mais importantes em aritmética.

Examinar as relações entre adição e subtração e ver a subtração envolvendo um adendo conhecido e um desconhecido são exemplos de raciocínio adaptativo. Ao fornecer experiências para que os jovens alunos desenvolvam o raciocínio adaptativo em situações de adição e subtração, os professores também estão antecipando a álgebra à medida que os alunos começam a apreciar as relações inversas entre as duas operações. 28

Multiplicação de um dígito

Muito menos pesquisa está disponível na multiplicação e divisão de um dígito do que na adição e subtração de um dígito. As crianças norte-americanas progridem por meio de uma sequência de procedimentos de multiplicação que são um tanto semelhantes aos da adição. 29 Eles fazem grupos iguais e contam todos eles. Eles aprendem listas de contagem de saltos para diferentes multiplicadores (por exemplo, eles contam 4, 8, 12, 16, 20 e o hellipto multiplica por quatro). Eles então contam e fazem a contagem regressiva dessas listas usando os dedos para controlar os diferentes produtos. Eles inventam estratégias de pensamento nas quais derivam produtos relacionados de produtos que conhecem.

Tal como acontece com a adição e subtração, as crianças inventam muitos dos procedimentos que usam para a multiplicação. Eles encontram padrões e usam a contagem de saltos (por exemplo, multiplicando 4 & times3 pela contagem & ldquo3, 6, 9, 12 & rdquo). Encontrar e usar padrões e outras estratégias de pensamento simplifica muito a tarefa de aprender a tabuada (veja o Quadro 6 e ndash4 para alguns exemplos). 30 Além disso, encontrar e descrever

Caixa 6 & ndash4 Estratégias de pensamento para multiplicação de um dígito

Na aritmética de um dígito, existem 100 combinações de multiplicação que os alunos devem aprender. A comutatividade reduz esse número pela metade. A multiplicação por 0 e por 1 pode ser rapidamente deduzida do significado da multiplicação. A multiplicação por 2 consiste nos & ldquodoubles & rdquo da adição. A multiplicação de um dígito por 9 é simplificada por um padrão: no produto, a soma dos dígitos é 9. (Por exemplo, 9 & times7 = 63 e 6 + 3 = 9.) A multiplicação por 5 também pode ser deduzida por meio de padrões ou por primeiro multiplicando por 10 e depois dividindo por 2, já que 5 é metade de 10.

As 15 combinações de multiplicação restantes (e suas contrapartes comutativas) podem ser calculadas por contagem de saltos ou com base em combinações conhecidas. Por exemplo, 3 & times6 deve ser 6 mais do que 2 & times6, que é 12. Então 3 & times6 é 18. Da mesma forma, 4 & times7 deve ser duas vezes 2 & times7, que é 14. Então 4 & times7 é 28. (Observe que essas estratégias requerem proficiência com adição.) Para calcular múltiplos de 6, pode-se construir sobre os múltiplos de 5. Assim, por exemplo, 6 & times8 deve ser 8 mais que 5 & times8, que é 40. Então 6 & times8 é 48. Se os alunos se sentirem confortáveis ​​com tais estratégias de multiplicação por 3, 4 e 6, apenas três combinações de multiplicação permanecem: 7 & times7, 7 & times8 e 8 & times8. Eles podem ser derivados de combinações conhecidas de muitas maneiras criativas.

padrões são uma marca registrada da matemática. Assim, tratar o aprendizado de multiplicação como descoberta de padrões simplifica a tarefa e usa uma ideia matemática central.

Depois que as crianças identificam os padrões, elas ainda precisam de muita experiência para produzir listas de contagem de saltos e produtos individuais rapidamente. Pouco se sabe sobre como as crianças adquirem essa fluência ou quais experiências podem ser de maior ajuda. Muitas pesquisas ainda precisam ser feitas, nos Estados Unidos e em outros países, para entender mais sobre esse processo.

Divisão de um dígito

A divisão surge das duas situações de divisão descritas acima. Uma coleção é dividida em grupos de um tamanho especificado ou em um número especificado de grupos. Assim como a subtração pode ser considerada como usando uma relação parte-parte-todo, a divisão pode ser considerada como a divisão de um número em dois fatores. Conseqüentemente, as divisões também podem ser abordadas como um fator que falta na multiplicação. Por exemplo, 72 & divide9 =? pode ser pensado como 9 & divide? = 72. Mas há pouco

pesquisas sobre a melhor forma de introduzir e usar essa relação, ou se é útil aprender uma combinação de divisão ao mesmo tempo que a combinação de multiplicação correspondente. Além disso, há pouca pesquisa sobre como ajudar as crianças a aprender e usar facilmente todos os diferentes símbolos de divisão, como 15 e divide3, e

Praticando cálculos de um único dígito

Praticar cálculos de um dígito é essencial para desenvolver fluência com eles. Essa prática pode ocorrer em muitos contextos diferentes, incluindo a resolução de problemas com palavras. 31 O exercício sozinho não desenvolve o domínio de combinações de um dígito. 32 A prática que segue experiências iniciais substanciais que apóiam a compreensão e enfatizam as & ldquothinking estratégias & rdquo tem mostrado melhorar o desempenho do aluno com cálculos de um dígito. 33 Esta abordagem permite que a computação e o entendimento se desenvolvam juntos e facilitem um ao outro. Explicar como os procedimentos funcionam e examinar seus benefícios, como parte da instrução, auxiliam na retenção e geram níveis mais elevados de desempenho. 34 Dessa forma, a prática de computação permanece integrada com as outras vertentes de proficiência, como competência estratégica e raciocínio adaptativo.

Praticar cálculos de um dígito é essencial para desenvolver fluência com eles.

É útil para alguma prática ter como alvo o aprendizado recente. Depois que os alunos discutem um novo procedimento, eles podem se beneficiar ao praticá-lo. Por exemplo, se eles acabaram de discutir o procedimento make-a-10 (ver Quadro 6 e ndash2), resolver problemas envolvendo 8 ou 9 nos quais o procedimento pode ser facilmente usado fornece uma prática benéfica. Também é útil que algumas práticas sejam cumulativas, ocorrendo bem após o aprendizado inicial e revisando os procedimentos mais avançados que foram aprendidos.

Muitos estudantes norte-americanos tiveram a experiência de fazer um teste cronometrado que pode ser uma página de problemas mistos de adição, subtração, multiplicação e divisão. Essa forma dispersa de prática é, em nossa opinião, raramente o melhor uso do tempo de prática. No início do aprendizado, pode ser desanimador para alunos que aprenderam apenas procedimentos primitivos e ineficientes. A experiência pode afetar adversamente a disposição dos alunos em relação à matemática, especialmente se os testes forem usados ​​para comparar seu desempenho. 35 Se devidamente atrasados, os testes cronometrados podem beneficiar alguns alunos, mas as formas específicas de prática, com combinações específicas que ainda precisam ser dominadas ou nas quais procedimentos eficientes podem ser usados, geralmente são mais eficazes. 36

Resumo das descobertas de um único dígito de aprendizagem Aritmética

Para adição e subtração, há uma progressão bem documentada de procedimentos usados ​​em todo o mundo 37 por muitas crianças que decorre da natureza sequencial da lista de palavras numéricas. Esta lista é usada primeiro como uma ferramenta de contagem e depois se torna uma ferramenta de representação na qual as próprias palavras numéricas são os objetos que são contados. 38 A contagem torna-se abreviada e rápida, e os alunos começam a desenvolver procedimentos que aproveitam as propriedades da aritmética para simplificar o cálculo. Durante essa progressão, cada criança usa uma variedade de procedimentos diferentes em problemas diferentes e até mesmo no mesmo problema encontrado em momentos diferentes. 39 Descobriu-se que até mesmo os adultos usam uma variedade de procedimentos diferentes para problemas simples de adição. 40 Além disso, leva um longo período de tempo antes que novas e melhores estratégias substituam as estratégias utilizadas anteriormente. 41 Crianças com dificuldades de aprendizagem e outras que têm dificuldade em matemática não usam procedimentos que diferem dessa progressão. Eles são apenas mais lentos do que outros em se mover por ele. 42

A instrução pode ajudar o progresso dos alunos. 43 O Counting on é acessível aos alunos da primeira série e torna possível a adição rápida e precisa de todos os números de um único dígito. A subtração de um único dígito é geralmente mais difícil do que a adição para crianças dos EUA. Se as crianças entendem a relação entre adição e subtração, talvez pensando no problema em termos de parte-parte-todo, então reconhecem que a contagem progressiva pode ser usada para resolver problemas de subtração. Esse reconhecimento torna a subtração mais acessível. 44

Os procedimentos de contagem para adição e contagem progressiva para subtração podem ser aprendidos com relativa facilidade. Multiplicação e divisão são um pouco mais difíceis. Mesmo os adultos podem não ter maneiras rápidas de reconstruir as respostas para problemas como 6 & times8 =? ou se eles esqueceram as respostas. Aprender essas combinações parece exigir muito conhecimento específico baseado em padrões que precisa ser orquestrado em produtos e quocientes acessíveis e rápidos o suficiente. Tal como acontece com a adição e subtração, as crianças derivam algumas combinações de multiplicação e divisão de outras, por exemplo, elas se lembram de que 6 & times6 = 36 e usam essa combinação para concluir que 6 & times7 = 42. A pesquisa sobre maneiras de apoiar essa descoberta de padrão, junto com o pensamento e a prática de acompanhamento necessários, é necessária se todas as crianças dos Estados Unidos quiserem adquirir níveis mais elevados de proficiência em aritmética de um dígito.

Adquirir proficiência com cálculos de um dígito envolve muito mais do que memorização mecânica.Este domínio do número demonstra como as diferentes vertentes de proficiência contribuem umas com as outras. Neste ponto inicial em

desenvolvimento, muitas das ligações entre os fios resultam da inclinação natural das crianças para entender as coisas e se engajar em ações que elas entendam. As crianças começam com a compreensão conceitual do número e dos significados das operações. Eles desenvolvem representações cada vez mais sofisticadas das operações, como procedimentos de contagem ou contagem crescente, à medida que ganham maior fluência. Eles também dependem fortemente do raciocínio para usar respostas conhecidas, como duplas, para gerar respostas desconhecidas. Mesmo nas primeiras séries, os alunos escolhem de forma adaptativa entre os diferentes procedimentos e métodos, dependendo dos números envolvidos ou do contexto. 45 Enquanto o foco na sala de aula for a criação de sentido, eles raramente cometem erros sem sentido, como adicionar para encontrar a resposta quando deveriam subtrair. A proficiência vem de fazer progresso dentro de cada vertente e construir conexões entre as vertentes. Uma disposição produtiva é gerada e apóia esse tipo de aprendizagem porque os alunos reconhecem sua competência em dar sentido a situações quantitativas e resolver problemas aritméticos.

Cálculos de número inteiro de vários dígitos

Os procedimentos passo a passo para adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir números são chamados de algoritmos. Por exemplo, a primeira etapa em um algoritmo para multiplicar um número de três dígitos por um número de dois dígitos é escrever o número de três dígitos acima do número de dois dígitos e começar multiplicando o dígito um & rsquos no número superior pelo um & rsquos dígito no número inferior (ver Caixa 6 & ndash5).

No passado, algoritmos diferentes daqueles ensinados hoje para adição, subtração, multiplicação e divisão eram ensinados nas escolas dos EUA. Além disso, algoritmos diferentes daqueles ensinados nos Estados Unidos hoje estão sendo ensinados em outros países. 46 Cada algoritmo tem vantagens

Caixa 6 & ndash5 Iniciando um algoritmo de multiplicação

e desvantagens. Portanto, é importante pensar sobre quais algoritmos são ensinados e as razões para ensiná-los.

Aprender a usar algoritmos para computação com números de vários dígitos é uma parte importante do desenvolvimento de proficiência com números. Algoritmos são procedimentos que podem ser executados da mesma maneira para resolver uma variedade de problemas decorrentes de diferentes situações e envolvendo diferentes números. Esse recurso tem três implicações importantes. Primeiro, significa que algoritmos são ferramentas úteis e procedimentos diferentes não precisam ser inventados para cada problema. Em segundo lugar, os algoritmos ilustram uma característica significativa da matemática: a estrutura dos problemas pode ser abstraída de seu contexto imediato e comparada para ver se problemas de aparência diferente podem ser resolvidos de maneiras semelhantes. Finalmente, o processo de desenvolver fluência com algoritmos aritméticos no ensino fundamental pode contribuir para o progresso no desenvolvimento de outras vertentes de proficiência se tempo for gasto examinando por que os algoritmos funcionam e comparando suas vantagens e desvantagens. Essas análises podem aumentar a compreensão conceitual, revelando muito sobre a estrutura do próprio sistema numérico e podem facilitar a compreensão das representações de valor posicional.

Os resultados da pesquisa sobre algoritmos de aprendizagem para números inteiros podem ser resumidos com sete observações importantes. Em primeiro lugar, as ligações entre as vertentes de proficiência matemática que são possíveis quando as crianças desenvolvem proficiência com a aritmética de um dígito podem continuar com a aritmética de vários dígitos. Por exemplo, pode haver uma conexão estreita entre compreensão e fluência. O conhecimento conceitual que vem com a compreensão é importante para o desenvolvimento da fluência procedimental, enquanto o conhecimento procedimental fluente apóia o desenvolvimento de uma compreensão e aprendizagem posteriores. Quando os alunos falham em compreender os conceitos que fundamentam os procedimentos ou não conseguem conectar os conceitos aos procedimentos, eles freqüentemente geram procedimentos falhos que resultam em padrões sistemáticos de erros. 47 Esses algoritmos chamados de buggy são sinais de que os fios não estão bem conectados. 48 Quando os procedimentos computacionais iniciais que os alunos usam para resolver problemas de vários dígitos refletem sua compreensão de números, a compreensão e a fluência se desenvolvem juntas.

Uma segunda observação é que compreensão e fluência estão relacionadas. Para adição e subtração de vários dígitos, dada a instrução convencional que enfatiza a prática de procedimentos, uma porcentagem substancial de crianças ganha compreensão dos conceitos de multidígitos antes de usar um procedimento correto, mas outra minoria substancial faz o oposto. 49 Em contraste, programas instrucionais que enfatizam a compreensão de algoritmos antes de usá-los mostraram levar a aumentos no conhecimento conceitual e procedimental. 50

Portanto, há algumas evidências de que a compreensão é a base para o desenvolvimento da fluência de procedimentos. 51

Uma terceira observação é que a proficiência com computação de vários dígitos é mais fortemente influenciada pela instrução do que a computação de um único dígito. Muitos recursos de procedimentos de múltiplos dígitos (por exemplo, os elementos de base 10 e como eles são representados pela notação de valor posicional) não fazem parte da experiência cotidiana das crianças e precisam ser aprendidos em sala de aula. Na verdade, é provável que muitos alunos precisem de ajuda para aprender formas eficientes de procedimentos com vários dígitos. Isso significa que os alunos em salas de aula diferentes e recebendo instruções diferentes podem seguir diferentes progressões de aprendizagem, usando procedimentos diferentes. 52 Para adição e subtração de um dígito, a mesma progressão de aprendizagem ocorre para muitas crianças em muitos países, independentemente da natureza e extensão da instrução. 53 Mas os procedimentos com vários dígitos, mesmo os de adição e subtração, dependem muito mais do que é ensinado.

Uma quarta observação é que as crianças podem e planejam ou inventam algoritmos para realizar cálculos de múltiplos dígitos. 54 Oportunidades para construir seus próprios procedimentos fornecem aos alunos oportunidades de fazer conexões entre as vertentes da proficiência. A fluência de procedimentos é construída diretamente em sua compreensão. A invenção em si é uma espécie de solução de problemas, e eles devem usar o raciocínio para justificar o procedimento inventado. Os alunos que inventaram seus próprios procedimentos corretos também abordam a matemática com confiança, em vez de medo e hesitação. 55 Os alunos inventam muitos procedimentos computacionais diferentes para resolver problemas com grandes números. Além disso, eles eventualmente desenvolvem um procedimento que é consistente com o pensamento que é usado com algoritmos padrão. Esse pensamento permite que eles entendam o algoritmo como um registro no papel do que já estiveram pensando. Para a subtração, muitos alunos podem desenvolver procedimentos de adição e, se usarem materiais concretos como blocos de base 10, também podem desenvolver formas de pensar que algoritmos paralelos geralmente ensinam hoje. 56 Alguns alunos precisam de ajuda para desenvolver algoritmos eficientes, no entanto, especialmente para multiplicação e divisão. Consequentemente, para esses alunos, o processo de aprendizagem de algoritmos envolve ouvir outra pessoa explicar um algoritmo e testá-lo, enquanto tenta entendê-lo. A pesquisa sugere que os alunos são capazes de ouvir seus colegas e do professor e de entender um algoritmo se ele for explicado e se os alunos tiverem diagramas ou materiais concretos que apóiem ​​sua compreensão das quantidades envolvidas. 57

Quinto, a pesquisa mostrou que os alunos podem aprender bem com uma variedade de diferentes abordagens de ensino, incluindo aquelas que usam materiais físicos para representar centenas, dezenas e unidades, aquelas que enfatizam a contagem especial

atividades (por exemplo, contar por dezenas começando com qualquer número), e aqueles que se concentram no desenvolvimento de métodos de computação mental. 58 Embora os dados não apontem para uma única abordagem instrucional preferida, eles sugerem que as abordagens eficazes compartilham algumas características principais: Os procedimentos de vários dígitos que os alunos usam são facilmente compreendidos - os alunos são encorajados a usar algoritmos que eles entendam de suportes instrucionais (discussões em sala de aula, física materiais, etc.) estão disponíveis para focar a atenção dos alunos na estrutura de base 10 do sistema numérico e em como essa estrutura é usada no algoritmo e os alunos são ajudados a progredir para o uso de algoritmos razoavelmente eficientes, mas ainda assim compreensíveis. 59

Em sexto lugar, a pesquisa sobre aprendizagem simbólica argumenta que, para serem úteis, os manipuladores ou outros modelos físicos usados ​​no ensino devem ser representados por um aluno como os objetos que são e como símbolos que representam outra coisa. 60 As características físicas desses materiais podem inicialmente distrair as crianças, e leva tempo para que elas desenvolvam significado matemático para qualquer tipo de modelo físico e o usem de forma eficaz. Essas descobertas sugerem que a experiência sustentada com quaisquer modelos físicos que se espera que os alunos usem pode ser mais eficaz do que a experiência limitada com uma variedade de modelos diferentes. 61

Tendo em vista a atenção dada ao uso de modelos concretos nas aulas de matemática nas escolas dos EUA, oferecemos uma observação especial sobre seu uso efetivo na aritmética de múltiplos dígitos. A pesquisa indica que as experiências dos alunos usando modelos físicos para representar centenas, dezenas e unidades podem ser eficazes E se os materiais os ajudam a pensar sobre como combinar quantidades e, eventualmente, como esses processos se conectam com procedimentos escritos. Os modelos, no entanto, não são automaticamente significativos para os alunos; o significado deve ser construído à medida que eles trabalham com os materiais. Com tempo para desenvolver um significado para um modelo e conectá-lo com o procedimento escrito, os alunos demonstraram altos níveis de desempenho usando o procedimento escrito e a capacidade de dar boas explicações sobre como obtiveram suas respostas. 62 Para apoiar a compreensão, entretanto, os modelos físicos precisam mostrar dezenas como coleções de dez unidades e mostrar que centenas são simultaneamente 10 dezenas e 100 unidades. Por exemplo, blocos de base 10 têm essa qualidade, mas chips todos do mesmo tamanho, mas com cores diferentes para centenas, dezenas e uns não.

Uma sétima e última observação é que as palavras numéricas em inglês e o sistema de valor de posição de base 10 hindu-árabe para escrever números complicam o ensino e a aprendizagem de algoritmos de múltiplos dígitos da mesma maneira, conforme discutido no Capítulo 5, que complicam o aprendizagem dos primeiros conceitos de números. 63 Intimamente relacionado com as dificuldades colocadas pelo irregu-

laridades com palavras numéricas são dificuldades impostas pela complexidade do sistema para escrever números. Como dissemos no capítulo 3, o sistema de valor nominal de base 10 é muito eficiente. Ele permite escrever números muito grandes usando apenas 10 símbolos, os dígitos de 0 a 9. O mesmo dígito tem um significado diferente dependendo de sua posição no numeral. Embora esse sistema seja familiar e pareça óbvio para os adultos, suas complexidades não são tão óbvias para as crianças. Essas complexidades são importantes porque a pesquisa mostrou que é difícil desenvolver fluência processual com aritmética de vários dígitos sem uma compreensão do sistema de base 10. 64 Se esse entendimento estiver faltando, os alunos cometem muitos erros diferentes em cálculos de vários dígitos. 65

Esta conclusão não implica que os alunos devam dominar o valor posicional antes de começarem a computar com números de vários dígitos. Na verdade, a evidência mostra que os alunos podem desenvolver uma compreensão do sistema de base 10 e dos procedimentos de computação quando têm a oportunidade de explorar como e por que os procedimentos funcionam. 66 Isso não deveria ser surpreendente, pois simplesmente confirma a tese deste relatório e a afirmação que fizemos perto do início deste capítulo. A proficiência se desenvolve à medida que os fios se conectam e interagem.

As seis observações podem ser ilustradas e apoiadas pelo exame breve de cada uma das operações aritméticas. Como é o caso das operações de um dígito, a pesquisa fornece um quadro mais completo para adição e subtração do que para multiplicação e divisão.

Algoritmos de adição

A progressão seguida pelos alunos que constroem seus próprios procedimentos é semelhante em alguns aspectos à progressão que pode ser usada para ajudar os alunos a aprender um algoritmo padrão com compreensão. Para ilustrar a natureza dessas progressões, é útil examinar alguns procedimentos específicos em detalhes.

O episódio no Quadro 6 e ndash6 de uma classe da terceira série ilustra como os materiais físicos podem apoiar o desenvolvimento de estratégias de pensamento sobre algoritmos de múltiplos dígitos e um tipo de procedimento comumente inventado por crianças. 67 O episódio vem de uma discussão das soluções dos alunos para um problema de palavras envolvendo a soma 54 + 48.

O episódio sugere que os procedimentos inventados pelos alunos podem ser construídos por meio da abstração progressiva de suas estratégias de modelagem com blocos. Primeiro, os objetos do problema foram representados diretamente com os blocos. Em seguida, a quantidade que representa o primeiro conjunto foi abstraída e apenas os blocos que representam o segundo conjunto foram contados. Finalmente, as próprias palavras de contagem foram contadas, mantendo o controle das contagens nos dedos.


Propriedades aritméticas de inteiros

Abaixo está uma tabela de algumas das propriedades de inteiros submetidos a operações aritméticas. As propriedades na tabela dependem de aeb serem inteiros.

Adição Multiplicação
Fecho a + b é um inteiro a & # 215 b é um número inteiro
Comutatividade a + b = b + a a & # 215 b = b & # 215 a
Associatividade a + (b + c) = (a + b) + c a & # 215 (b & # 215 c) = (a & # 215 b) & # 215 c
Existência de uma identidade a + 0 = a a & # 215 1 = a
Existência de um inverso a + (-a) = 0 apenas -1 e 1 são invertíveis
Distributividade a & # 215 (b + c) = a & # 215 b + a & # 215 c

Propriedades de inteiros

Nessas lições e exemplos, aprenderemos sobre dígitos, inteiros, inteiros pares e ímpares, operações com números pares e ímpares, números primos e números compostos. Também aprenderemos as seguintes propriedades de inteiros: Propriedade Comutativa para Adição, Propriedade Associativa para Adição, Propriedade Distributiva, Propriedade de Identidade para Adição, Propriedade de Identidade para Multiplicação, Propriedade Inversa para Adição e Propriedade Zero para Multiplicação.

Introdução ao Inteiro

Dígitos

Os dígitos são o primeiro conceito de inteiros. Existem dez dígitos, a saber: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Em nosso sistema numérico, a posição dos dígitos é importante. Por exemplo, considere o número 3.027. Isso pode ser representado em uma tabela de valores locais da seguinte maneira:


(Para o SAT, o dígito das unidades e o dígito da unidade referem-se ao mesmo dígito em um número).

Inteiros

Os inteiros são como números inteiros, mas também incluem números negativos, por exemplo, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 e hellip

Inteiros positivos são todos os números inteiros maiores do que zero, ou seja: 1, 2, 3, 4, 5, & hellip Dizemos que seu sinal é positivo.

Inteiros negativos são os números menores que zero, ou seja: –1, –2, –3, –4, –5, & hellip Dizemos que seu sinal é negativo.

Os inteiros se estendem infinitamente nas direções positivas e negativas. Isso pode ser representado na reta numérica.

Zero é um número inteiro que não é positivo nem negativo.

Inteiros consecutivos

Inteiros consecutivos são inteiros que seguem em sequência, cada número sendo 1 a mais que o número anterior, por exemplo, 22, 23, 24, 25, & hellip

Inteiros consecutivos podem ser mais geralmente representados por n, n +1, n + 2, n + 3, e inferno, onde n é qualquer número inteiro.

Inteiros pares e ímpares

Até mesmo inteiros são inteiros que podem ser divididos igualmente por 2, por exemplo, –4, –2, 0, 2, 4, & hellip Um inteiro par sempre termina em 0, 2, 4, 6, ou 8.

Zero é considerado um número inteiro par.

Inteiros ímpares são inteiros que não podem ser divididos igualmente por 2, por exemplo, –5, –3, –1, 1, 3, 5, & hellip Um inteiro ímpar sempre termina em 1, 3, 5, 7, ou 9.

Para saber se um número inteiro é par ou ímpar, observe o dígito na casa das unidades. Esse único dígito dirá se o inteiro inteiro é ímpar ou par. Por exemplo, o número inteiro 3.255 é um número ímpar porque termina em 5, um número inteiro ímpar. Da mesma forma, 702 é um número inteiro par porque termina em 2.

A tabela a seguir mostra as operações com inteiros pares e ímpares.

Números primos

Um número primo é um inteiro positivo que tem exatamente dois fatores, 1 e ele mesmo, por exemplo 29 tem exatamente dois fatores que são 1 e 29. Portanto, 29 é um número primo.

Por outro lado, 28 tem seis fatores que são 1, 2, 4, 7, 14 e 28. Portanto, 28 não é um número primo. É chamado de número composto. Alguns exemplos de números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, & hellip Como o número 1 tem apenas um fator (ou seja, o próprio 1), é não um número primo.

O número 2 é o único primo que é par. Outros números pares terão 2 como fator e, portanto, não serão primos.

Um número que não é primo é chamado de número composto.

Propriedades de inteiros

A seguir estão algumas das propriedades dos inteiros. Role a página para baixo para obter mais exemplos e explicações sobre as diferentes propriedades dos inteiros.

Operações com números pares e ímpares

Adicione dois números pares e o resultado é par.
Adicione dois números ímpares e o resultado é par.
Adicione um par e um ímpar e o resultado é ímpar.
Multiplique dois números pares e o resultado é par.
Multiplique dois números ímpares e o resultado será ímpar.
Multiplique um par e um ímpar e o resultado é par.

Como distinguir os números primos?

Um número primo é um número maior que 1, que só é divisível por 1 e ele mesmo.

Mais propriedades de inteiros

Como identificar propriedades de inteiros?
Uma propriedade é uma regra matemática sempre verdadeira.
Propriedade Comutativa para Adição, Propriedade Associativa para Adição, Propriedade Distributiva, Propriedade de Identidade para Adição, Propriedade de Identidade para Multiplicação, Propriedade Inversa para Adição e Propriedade Zero para Multiplicação.

Propriedades de inteiros

São explicadas três propriedades dos inteiros. Identidade aditiva, aditiva inversa, oposta a uma negativa é positiva. Exemplos são fornecidos.

  1. Identidade aditiva: adicionar 0 a qualquer inteiro não altera o valor do inteiro.
  2. Aditivo Inverso: Cada inteiro tem um número oposto (sinal oposto). Quando você adiciona um número e seu inverso aditivo, obtém 0.
  3. O oposto de um negativo é um positivo.

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