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8.3: A Expansão da Fração Parcial do Resolvente - Matemática


Expansão parcial da fração da função de transferência

O método de Gauss-Jordan nos informa que (R ) será uma matriz de funções racionais com um denominador comum. De acordo com a notação dos capítulos anteriores, assumimos que o denominador tem as raízes (h ) distintas, ( { lambda_ {j} | j = {1, cdots, h } } ) com multiplicidades associadas ( {m_ {j} | j = {1, cdots, h } } )

Agora, montando as expansões de fração parcial de cada elemento de (R ) chegamos a

[R (s) = sum_ {j = 1} ^ {h} sum_ {k = 1} ^ {m_ {j}} frac {R_ {j, k}} {(s- lambda_ {j }) ^ k} nonumber ]

onde, recordando a equação do Teorema de Cauchy, a matriz (R_ {j, k} ) é igual ao seguinte:

[R_ {j, k} = frac {1} {2 pi j} int R (z) (z- lambda_ {j}) ^ {k-1} dz não numérico ]

Exemplo ( PageIndex {1} )

Ao olharmos para este exemplo na introdução, descobrimos

[ begin {array} {ccc} {R_ {1,1} = begin {pmatrix} {1} & {0} & {0} {0} & {1} & {0} { 0} & {0} & {0} end {pmatrix}} & {R_ {1,1} = begin {pmatrix} {0} & {0} & {0} {1} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} end {pmatrix}} & {R_ {2,1} = begin {pmatrix} {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {0} {0} & {0} & {1} end {pmatrix}} end {array} nonumber ]

Percebe-se imediatamente que essas matrizes possuem algumas propriedades surpreendentes. Por exemplo

[ begin {array} {ccccc} {R_ {1,1} ^ {2} = R_ {1,1}} & {R_ {1,2} ^ {2} = R_ {1,2}} & {R_ {1,1} R_ {2,1} = 0} & {and} & {R_ {2,1} ^ {2} = R_ {2,1}} end {array} nonumber ]

A seguir, mostraremos que isso não é um acidente. Como consequência da Equação e da primeira identidade resolvente, descobriremos que esses resultados são verdadeiros em geral.

(R_ {j, 1} ^ {2} = R_ {j, 1} ) como visto acima.

Lembre-se de que o (C_ {j} ) que aparece na Equação é qualquer círculo sobre ( lambda_ {j} ) que não toca nem circunda nenhuma outra raiz. Suponha que (C_ {j} ) e (C_ {j} ') são dois desses círculos e (C_ {j}' ) inclui (C_ {j} ). Agora,

[R_ {j, 1} = frac {1} {2 pi j} int R (z) dz = frac {1} {2 pi j} int R (z) dz não numérico ]

e entao

[R_ {j, 1} ^ 2 = frac {1} {(2 pi j) ^ 2} int R (z) dz = frac {1} {2 pi j} int R (w ) dw nonumber ]

[R_ {j, 1} ^ 2 = frac {1} {(2 pi j) ^ 2} int int R (z) R (w) dw dz não numérico ]

[R_ {j, 1} ^ 2 = frac {1} {(2 pi j) ^ 2} int int frac {R (z) -R (w)} {wz} dw dz nonumber ]

[R_ {j, 1} ^ 2 = frac {1} {(2 pi j) ^ 2} ( int R (z) - int frac {1} {wz} dw dz - int R (w) - int frac {1} {wz} dz dw) nonumber ]

[R_ {j, 1} ^ 2 = frac {1} {2 pi i} int R (z) dz = R_ {j, 1} não numérico ]

Usamos a primeira identidade resolvente, esta equação da função de transferência, ao mover-nos da segunda para a terceira linha. Ao passar do quarto para o quinto, usamos apenas

[ int frac {1} {w-z} dw = 2 pi i nonumber ]

e

[ int frac {1} {w-z} dz = 0 não número ]

Este último se integra a zero porque (C_ {j} ) não circunda ww

A partir da definição de projeções ortogonais, que afirma que matrizes que igualam seus quadrados são projeções, adotamos a abreviatura

[P_ {j} equiv R_ {j, 1} não numérico ]

Com relação ao produto (P_ {j} P_ {k} ), para (j ne k ), o cálculo segue as mesmas linhas. A diferença vem na Equação onde, como (C_ {j} ) está completamente fora de (C_ {k} ), ambas as integrais são zero. Por isso,

Se (j ne k ) então (P_ {j} P_ {k} = 0 )

Na mesma linha, definimos

[D_ {j} equiv R_ {j, 2} não numérico ]

e provar

Se (1 le k le m_ {j} -1 ) então (D_ {j} ^ {k} = R_ {j, k + 1} ) cdot D_ {j} ^ {m_ {j }} = 0 )

Para (k ) e (l ) maior ou igual a um,

[R_ {j, k + 1} R_ {j, l + 1} = frac {1} {(2 pi i) ^ 2} int R (z) (z- lambda_ {j}) ^ {k} dz int R (w) (w- lambda_ {j}) ^ {l} dw não numérico ]

[R_ {j, k + 1} R_ {j, l + 1} = frac {1} {(2 pi i) ^ 2} int int R (z) R (w) (z- lambda_ {j}) ^ {k} (w- lambda_ {j}) ^ {l} dw dz nonumber ]

[R_ {j, k + 1} R_ {j, l + 1} = frac {1} {(2 pi i) ^ 2} int int frac {R (z) -R (w) } {wz} (z- lambda_ {j}) ^ {k} (w- lambda_ {j}) ^ {l} dw dz nonumber ]

[R_ {j, k + 1} R_ {j, l + 1} = frac {1} {(2 pi i) ^ 2} int R (z) (z- lambda_ {j}) ^ {k} int frac {(w- lambda_ {j}) ^ {l}} {wz} dw dz- frac {1} {(2 pi i) ^ 2} int R (w) ( w- lambda_ {j}) ^ {k} int frac {(z- lambda_ {j}) ^ {k}} {wz} dz dw nonumber ]

[R_ {j, k + 1} R_ {j, l + 1} = frac {1} {2 pi i} int R (z) (z- lambda_ {j}) ^ {k + l } dz = R_ {j, k + l + 1} não numérico ]

Porque

[ int frac {(w- lambda_ {j}) ^ {l}} {w-z} dw = 2 pi i (z- lambda_ {j}) ^ {l} nonumber ]

e

[ int frac {(z- lambda_ {j}) ^ {k}} {w-z} dw = 0 não numérico ]

Com (k = l = 1 ), mostramos (R_ {j, 2} ^ {2} = R_ {j, 3} ) ou seja, (D_ {j} ^ {2} = R_ {j , 3} ). Da mesma forma, com (k = 1 ) e (l = 2 ) encontramos (R_ {j, 2} R_ {j, 3} = R_ {j, 4} ) ou seja, (D_ {j } ^ {3} = R_ {j, 4} ). Continuando desta forma, encontramos (R_ {j, k} R_ {j, k + 1} = R_ {j, k + 2} = j ), ou (D_ {j} ^ {k + 1} = R_ {j, k + 2} ). Finalmente, em (k = m_ {j-1} ) isso se torna

[D_ {j} ^ {m_ {j}} = R_ {j, m_ {j} +1} = frac {1} {2 pi i} int R (z) (z- lambda_ {j }) ^ {m_ {j}} dz = 0 não numérico ]

pelo teorema de Cauchy.

Com isso agora temos a almejada expansão

[R (z) = sum_ {j = 1} ^ {h} frac {1} {z- lambda_ {j}} P_ {j} + sum_ {k = 1} ^ {m_ {j- 1}} frac {1} {(z- lambda_ {j}) ^ {k + 1}} D_ {j} ^ {k} nonumber ]

junto com a verificação de uma série de propriedades apresentadas nas Equações de Integração Complexas.


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