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6.6: Divide Polinômios


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Divida um polinômio por um monômio
  • Divida um polinômio por um binômio

Observação

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Adicionar: ( dfrac {3} {d} + dfrac {x} {d} )
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exercício 1.7.1.
  2. Simplifique: ( dfrac {30 x y ^ {3}} {5 x y} )
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exercício 6.5.37.
  3. Combine os termos semelhantes: (8 a ^ {2} +12 a + 1 + 3 a ^ {2} -5 a + 4 )
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exercício 1.3.37.

Divida um polinômio por um monômio

Na última seção, você aprendeu como dividir um monômio por um monômio. Conforme você continua a construir seu conhecimento sobre polinômios, o próximo procedimento é dividir um polinômio de dois ou mais termos por um monômio.

O método que usaremos para dividir um polinômio por um monômio é baseado nas propriedades de adição de fração. Então, vamos começar com um exemplo para revisar a adição de fração.

( begin {array} {ll} { text {A soma,}} & { dfrac {y} {5} + dfrac {2} {5}} { text {simplifica para}} & { dfrac {y + 2} {5}} end {array} )

Agora faremos isso ao contrário para dividir uma única fração em frações separadas.

Declararemos a propriedade de adição de fração aqui da mesma forma que você aprendeu e ao contrário.

ADIÇÃO DE FRAÇÃO

Se a, b e c são números onde (c neq 0 ), então

[ dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} = dfrac {a + b} {c} quad text {e} quad dfrac {a + b} {c} = dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} ]

Usamos o formulário à esquerda para adicionar frações e usamos o formulário à direita para dividir um polinômio por um monômio.

( begin {array} {ll} { text {Por exemplo,}} & { dfrac {y + 2} {5}} { text {pode ser escrito}} & { dfrac {y} {5} + dfrac {2} {5}} end {array} )

Usamos essa forma de adição de fração para dividir polinômios por monômios.

DIVISÃO DE UM POLINOMIAL POR UM MONOMIAL

Para dividir um polinômio por um monômio, divida cada termo do polinômio pelo monômio.

Exercício ( PageIndex {1} )

Encontre o quociente: ( dfrac {7 y ^ {2} +21} {7} )

Responder

( begin {array} {ll} & dfrac {7 y ^ {2} +21} {7} text {Divida cada termo do numerador pelo denominador.} & dfrac {7 y ^ { 2}} {7} + dfrac {21} {7} text {Simplifique cada fração.} & Y ^ {2} +3 end {array} )

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre o quociente: ( dfrac {8 z ^ {2} +24} {4} )

Responder

(2 z ^ {2} +6 )

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre o quociente: ( dfrac {18 z ^ {2} -27} {9} )

Responder

(2 z ^ {2} -3 )

Lembre-se de que a divisão pode ser representada como uma fração. Quando você for solicitado a dividir um polinômio por um monômio e ele ainda não estiver na forma de fração, escreva uma fração com o polinômio no numerador e o monômio no denominador.

Exercício ( PageIndex {4} )

Encontre o quociente: ( left (18 x ^ {3} -36 x ^ {2} right) div 6 x )

Responder

( begin {array} {ll} & left (18 x ^ {3} -36 x ^ {2} right) div 6 x text {Reescrever como uma fração.} & dfrac {18 x ^ {3} -36 x ^ {2}} {6 x} text {Divida cada termo do numerador pelo denominador.} & dfrac {18 x ^ {3}} {6 x} - dfrac {36 x ^ {2}} {6 x} text {Simplifique.} & 3 x ^ {2} -6 x end {array} )

Exercício ( PageIndex {5} )

Encontre o quociente: ( left (27 b ^ {3} -33 b ^ {2} right) div 3 b )

Responder

(9 b ^ {2} -11 b )

Exercício ( PageIndex {6} )

Encontre o quociente: ( left (25 y ^ {3} -55 y ^ {2} right) div 5 y )

Responder

(5 a ^ {2} -11 a )

Quando dividimos por um negativo, devemos ser extremamente cuidadosos com os sinais.

Exercício ( PageIndex {7} )

Encontre o quociente: ( dfrac {12 d ^ {2} -16 d} {- 4} )

Responder

( begin {array} {ll} & dfrac {12 d ^ {2} -16 d} {- 4} text {Divida cada termo do numerador pelo denominador.} & dfrac {18 x ^ {3} -36 x ^ {2}} {6 x} text {Simplifique. Lembre-se, subtrair um negativo é como adicionar um positivo!} & -3 d ^ {2} +4 d end {array } )

Exercício ( PageIndex {8} )

Encontre o quociente: ( dfrac {25 y ^ {2} -15 y} {- 5} )

Responder

(- 5 a ^ {2} +3 a )

Exercício ( PageIndex {9} )

Encontre o quociente: ( dfrac {42 b ^ {2} -18 b} {- 6} )

Responder

(- 7 b ^ {2} +3 b )

Exercício ( PageIndex {10} )

Encontre o quociente: ( dfrac {105 y ^ {5} +75 y ^ {3}} {5 y ^ {2}} )

Responder

( begin {array} {ll} & dfrac {105 y ^ {5} +75 y ^ {3}} {5 y ^ {2}} text {Separe os termos.} & dfrac { 105 y ^ {5}} {5 y ^ {2}} + dfrac {75 y ^ {3}} {5 y ^ {2}} text {Simplifique.} & 21 y ^ {3} + 15 y end {array} )

Exercício ( PageIndex {11} )

Encontre o quociente: ( dfrac {60 d ^ {7} +24 d ^ {5}} {4 d ^ {3}} )

Responder

(15 d ^ {4} +6 d ^ {2} )

Exercício ( PageIndex {12} )

Encontre o quociente: ( dfrac {216 p ^ {7} -48 p ^ {5}} {6 p ^ {3}} )

Responder

(36 p ^ {4} -8 p ^ {2} )

Exercício ( PageIndex {13} )

Encontre o quociente: ( left (15 x ^ {3} y-35 x y ^ {2} right) div (-5 x y) )

Responder

( begin {array} {ll} & left (15 x ^ {3} y-35 xy ^ {2} right) div (-5 xy) text {Reescrever como uma fração.} & dfrac {15 x ^ {3} y-35 xy ^ {2}} {- 5 xy} text {Separe os termos. Cuidado com os sinais!} & dfrac {15 x ^ {3} y } {- 5 xy} - dfrac {35 xy ^ {2}} {- 5 xy} text {Simplifique.} & -3 x ^ {2} +7 y end {array} )

Exercício ( PageIndex {14} )

Encontre o quociente: ( left (32 a ^ {2} b-16 a b ^ {2} right) div (-8 a b) )

Responder

(- 4 a + 2 b )

Exercício ( PageIndex {15} )

Encontre o quociente: ( left (-48 a ^ {8} b ^ {4} -36 a ^ {6} b ^ {5} right) div left (-6 a ^ {3} b ^ {3} right) )

Responder

(8 a ^ {5} b + 6 a ^ {3} b ^ {2} )

Exercício ( PageIndex {13} )

Encontre o quociente: ( dfrac {36 x ^ {3} y ^ {2} +27 x ^ {2} y ^ {2} -9 x ^ {2} y ^ {3}} {9 x ^ { 2} y} )

Responder

( begin {array} {ll} & dfrac {36 x ^ {3} y ^ {2} +27 x ^ {2} y ^ {2} -9 x ^ {2} y ^ {3}} {9 x ^ {2} y} text {Separe os termos.} & Dfrac {36 x ^ {3} y ^ {2}} {9 x ^ {2} y} + dfrac {27 x ^ {2} y ^ {2}} {9 x ^ {2} y} - dfrac {9 x ^ {2} y ^ {3}} {9 x ^ {2} y} text {Simplifique .} & 4 x y + 3 yy ^ {2} end {array} )

Exercício ( PageIndex {14} )

Encontre o quociente: ( dfrac {40 x ^ {3} y ^ {2} +24 x ^ {2} y ^ {2} -16 x ^ {2} y ^ {3}} {8 x ^ { 2} y} )

Responder

(5 x y + 3 y-2 y ^ {2} )

Exercício ( PageIndex {15} )

Encontre o quociente: ( dfrac {35 a ^ {4} b ^ {2} +14 a ^ {4} b ^ {3} -42 a ^ {2} b ^ {4}} {7 a ^ { 2} b ^ {2}} )

Responder

(5 a ^ {2} +2 a ^ {2} b-6 b ^ {2} )

Exercício ( PageIndex {16} )

Encontre o quociente: ( dfrac {10 x ^ {2} +5 x-20} {5 x} )

Responder

( begin {array} {ll} & dfrac {10 x ^ {2} +5 x-20} {5x} text {Separe os termos.} & dfrac {10 x ^ {2}} {5 x} + dfrac {5 x} {5 x} - dfrac {20} {5 x} text {Simplifique.} & 2 x + 1- dfrac {4} {x} end {array } )

Exercício ( PageIndex {17} )

Encontre o quociente: ( dfrac {18 c ^ {2} +6 c-9} {6 c} )

Responder

(3 c + 1- dfrac {3} {2 c} )

Exercício ( PageIndex {18} )

Encontre o quociente: ( dfrac {10 d ^ {2} -5 d-2} {5 d} )

Responder

(2 d-1- dfrac {2} {5 d} )

Divida um polinômio por um binômio

Para dividir um polinômio por um binômio, seguimos um procedimento muito semelhante à divisão longa de números. Então, vamos examinar cuidadosamente as etapas que executamos ao dividir um número de 3 dígitos, 875, por um número de 2 dígitos, 25.

Nós escrevemos a longa divisão
Dividimos os primeiros dois dígitos, 87, por 25.
Multiplicamos 3 vezes 25 e escrevemos o produto abaixo de 87.
Agora subtraímos 75 de 87.
Em seguida, baixamos o terceiro dígito do dividendo, 5.
Repita o processo, dividindo 25 em 125.

Verificamos a divisão multiplicando o quociente pelo divisor.

Se fizermos a divisão corretamente, o produto deve ser igual ao dividendo.

[ begin {array} {l} {35 cdot 25} {875} checkmark end {array} ]

Agora vamos dividir um trinômio por um binômio. Ao ler o exemplo, observe como as etapas são semelhantes ao exemplo numérico acima.

Exercício ( PageIndex {20} )

Encontre o quociente: ( left (y ^ {2} +10 y + 21 right) div (y + 3) )

Responder

y + 7

Exercício ( PageIndex {21} )

Encontre o quociente: ( left (m ^ {2} +9 m + 20 right) div (m + 4) )

Responder

m + 5

Quando o divisor tem sinal de subtração, devemos ser extremamente cuidadosos ao multiplicar o quociente parcial e depois subtrair. Pode ser mais seguro mostrar que mudamos os sinais e depois adicionamos.

Exercício ( PageIndex {23} )

Encontre o quociente: ( left (2 x ^ {2} -3 x-20 right) div (x-4) )

Responder

2x + 5

Exercício ( PageIndex {24} )

Encontre o quociente: ( left (3 x ^ {2} -16 x-12 right) div (x-6) )

Responder

3x + 2

Quando dividimos 875 por 25, não tínhamos resto. Mas às vezes a divisão dos números deixa um resto. O mesmo é verdade quando dividimos polinômios. No Exercício ( PageIndex {25} ), teremos uma divisão que deixa um resto. Escrevemos o resto como uma fração com o divisor como denominador.

Exercício ( PageIndex {26} )

Encontre o quociente: ( left (x ^ {3} +5 x ^ {2} +8 x + 6 right) div (x + 2) )

Responder

(x ^ {2} +3 x + 2 + dfrac {2} {x + 2} )

Exercício ( PageIndex {27} )

Encontre o quociente: ( left (2 x ^ {3} +8 x ^ {2} + x-8 right) div (x + 1) )

Responder

(2 x ^ {2} +6 x-5- dfrac {3} {x + 1} )

Olhe para trás, para os dividendos em Exemplo, Exemplo, e Exemplo. Os termos foram escritos em ordem decrescente de graus e não faltaram graus. O dividendo em Exemplo será (x ^ {4} -x ^ {2} +5 x-2 ). Está faltando um termo (x ^ {3} ). Vamos adicionar (0x ^ {3} ) como um espaço reservado.

Exercício ( PageIndex {28} )

Encontre o quociente: ( left (x ^ {4} -x ^ {2} +5 x-2 right) div (x + 2) )

Responder

Observe que não há termo (x ^ {3} ) no dividendo. Adicionaremos (0x ^ {3} ) como um espaço reservado.

Escreva como um problema de divisão longa. Certifique-se de que o dividendo esteja no formato padrão, com espaços reservados para os termos ausentes.
Dividir x4 de x.
Coloque a resposta, x3, no quociente sobre o x3 prazo.
Multiplicar x3 vezes x + 2. Alinhe os termos semelhantes.
Subtraia e reduza o próximo termo.
Divide -2x3 de x.
Coloque a resposta, -2x2, no quociente sobre o x2 prazo.
Multiplicar -2x2 vezes x + 1. Alinhe os termos semelhantes.
Subtraia e reduza o próximo período.
Divide 3x2 de x.
Coloque a resposta, 3x, no quociente sobre o x prazo.
Multiplique 3x vezes x + 1. Alinhe os termos semelhantes.
Subtraia e reduza o próximo período.
Divide -x de x.
Coloque a resposta, -1, no quociente do termo constante.
Multiplique -1 vezes x + 1. Alinhe os termos semelhantes.
Mude os sinais, adicione.
O resultado deve ser (x ^ {4} -x ^ {2} +5 x-2 )

Exercício ( PageIndex {29} )

Encontre o quociente: ( left (x ^ {3} +3 x + 14 right) div (x + 2) )

Responder

(x ^ {2} -2 x + 7 )

Exercício ( PageIndex {30} )

Encontre o quociente: ( left (x ^ {4} -3 x ^ {3} -1000 right) div (x + 5) )

Responder

(x ^ {3} -8 x ^ {2} +40 x-200 )

No Exercício ( PageIndex {31} ), vamos dividir por (2a − 3 ). Ao dividirmos, teremos que considerar as constantes assim como as variáveis.

Exercício ( PageIndex {31} )

Encontre o quociente: ( left (8 a ^ {3} +27 right) div (2 a + 3) )

Responder

Desta vez, mostraremos a divisão em uma única etapa. Precisamos adicionar dois marcadores de posição para dividir.

Para verificar, multiplique ((2 a + 3) left (4 a ^ {2} -6 a + 9 right) )

O resultado deve ser (8 a ^ {3} +27 )

Exercício ( PageIndex {32} )

Encontre o quociente: ( left (x ^ {3} -64 right) div (x-4) )

Responder

(x ^ {2} +4 x + 16 )

Exercício ( PageIndex {33} )

Encontre o quociente: ( left (125 x ^ {3} -8 right) div (5 x-2) )

Responder

(25 x ^ {2} +10 x + 4 )

Observação

Acesse esses recursos on-line para obter instruções adicionais e praticar a divisão de polinômios:

  • Divida um polinômio por um monômio
  • Divida um polinômio por um monômio 2
  • Divida polinômio por binômio

Conceitos chave

  • Adição de Fração
    • Se a, b e c são números onde (c neq 0 ), então
      ( dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} = dfrac {a + b} {c} ) e ( dfrac {a + b} {c} = dfrac {a } {c} + dfrac {b} {c} )
  • Divisão de um polinômio por um monômio
    • Para dividir um polinômio por um monômio, divida cada termo do polinômio pelo monômio.

Divisão de polinômios: definição, método e exemplos

Divisão de polinômios: Polinômios são expressões algébricas que consistem em variáveis ​​e constantes de tal forma que o expoente nas variáveis ​​é um número inteiro. Podemos realizar operações aritméticas, como adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios.

Polinomial é derivado da palavra grega. Poly significa muitos e nomial significa termos, portanto, juntos, podemos chamar um polinômio como muitos termos. Portanto, um polinômio tem um ou mais de um termo. A divisão de polinômios segue as mesmas regras que usamos para seguir na divisão de inteiros. Este artigo detalha polinômios, seus graus, tipos e como realizar a divisão de polinômios.


Divisão longa de polinômios

Nessas lições, aprenderemos como dividir um polinômio com outro polinômio usando divisão longa.

A divisão de um polinômio por outro requer um processo semelhante a uma divisão longa em aritmética. Agora, no entanto, usaremos polinômios em vez de apenas valores numéricos.

O diagrama a seguir mostra um exemplo de divisão polinomial usando divisão longa. Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções sobre divisão polinomial.


Exemplo:
Avalie (x 2 + 10x + 21) ÷ (x + 7) usando a divisão longa.

Solução:
(x 2 + 10x + 21) é chamado de dividendo e (x + 7) é chamado de divisor.

Passo 1: Divida o primeiro termo do dividendo com o primeiro termo do divisor e escreva o resultado como o primeiro termo do quociente.

Etapa 2: multiplique esse termo pelo divisor.

Passo 3: Subtraia e escreva o resultado a ser usado como o novo dividendo.

Etapa 4: Divida o primeiro termo desse novo dividendo pelo primeiro termo do divisor e escreva o resultado como o segundo termo do quociente.

Etapa 5: multiplique esse termo e o divisor e escreva o resultado sob os novos dividendos.

Etapa 6: subtraia para obter o restante.

Observe que também é possível que o restante de uma divisão polinomial não seja zero.

Exemplo:
Avalie (23a 2 + 9 + 20a 3 - 13a) ÷ (2 + 5a 2 - 3a)

Você pode querer dar uma olhada na lição sobre divisão sintética, uma forma simplificada de divisão longa.

Dividindo Polinômios usando Divisão Longa
Ao dividir polinômios, podemos usar a divisão longa ou a divisão sintética para chegar a uma resposta. Usando a divisão longa, dividir polinômios é fácil. Simplesmente escrevemos a fração na forma de divisão longa, colocando o divisor fora do colchete e a divisão dentro do colchete. Depois que a divisão polinomial é configurada, seguimos o mesmo processo da divisão longa com números.

Exemplo:
(3x 3 - 4x 2 + 2x - 1) ÷ (x + 1)

Dividindo Polinômios por Binômios

Exemplo:
(x 2 + 5x + 6) ÷ (x + 1)

Dividindo Polinômios

Exemplo:
(x 2 + 9x + 20) ÷ (x + 5)
(6x 2 + 7x - 20) ÷ (2x + 5)
(6x 4 - 30x 2 + 24) ÷ (2x 2 - 8)
(3x 5 + 4x 3 - 5x + 8) ÷ (x 2 + 3)
(x 5 + 2x 4 + x 3 - x 2 - 22x + 15) ÷ (x 2 + 2x - 3)

Como dividir polinômios usando divisão longa?

Como fazer a divisão longa com polinômios com resto?

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DIVIDINDO POLINOMIAIS COM TERMOS EM FALTA

Por exemplo, o grau mais alto do polinômio é 3, então o próximo termo do dividendo deve ser o termo quadrado e assim por diante. Nesse caso, se não temos o termo quadrado, temos que escrever 0 em vez disso e podemos escrever os próximos termos.

Vejamos alguns exemplos de problemas baseados no conceito acima.

Faça a seguinte divisão: & # xa0

O grau do polinômio dado é 3, então devemos ter o termo quadrado. Mas aqui não temos o termo quadrado, então temos que substituí-lo por 0.

Na primeira etapa, temos que dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor.

Se dividirmos & # xa0 a 3 & # xa0 por a, obteremos 2. Temos que escrever & # xa0 a 2 & # xa0no topo e multiplicar cada termo do dividendo por & # xa0 a 2.

Subtraindo & # xa0 a 3 & # xa0 - & # xa0 2 a 2 & # xa0 de & # xa0 (a 3 & # xa0 + 8a - 24), obtemos & # xa0

Agora temos que dividir 2 a 2 & # xa0 por a, então obteremos 2a.

  • Multiplicando este 2a por (a - 2), obtemos & # xa0 2 a 2 & # xa0- 4a.
  • Subtraindo & # xa0 2 a 2 - 4a de & # xa0 2 a 2 & # xa0- 8a - 24, obtemos 12a - 24

Divida 12a e # xa0 por a, obtemos 12.

  • Multiplicando esse 12 por (a - 2), obtemos 12a - 24.
  • Ao subtrair 12a - 24 de 12a - 24, obtemos 0.

Faça a seguinte divisão:

O grau do polinômio dado é 3. Mas aqui não temos o termo x, então temos que substituí-lo por 0.

Na primeira etapa, temos que dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor.

Se dividirmos & # xa0 4 x 3 & # xa0 por 2x, teremos 2 x 2.

  • Escreva 2x 2 & # xa0 no topo.
  • Multiplique 2 x 2 & # xa0 por 2x. & # Xa0 Assim, obtemos 4x 3.
  • Subtraia & # xa0 4x 3 & # xa0 de & # xa0 4x 3 & # xa0 + 2 x 2.

Agora temos que dividir o primeiro termo do dividendo 2 x 2 & # xa0 por 2x, então obtemos x.

  • Multiplicando x por 2x, obtemos & # xa0 2x 2.
  • Subtraindo & # xa0 2x 2 & # xa0form & # xa0 2x 2 & # xa0 obtemos 0
  • Derrubando o próximo mandato, obtemos -5

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Aritmética Modular

É aí que a aritmética modular entra em jogo. A ideia da aritmética modular é a seguinte: em vez de ter um conjunto infinito de números, declaramos que selecionamos apenas primeiro n números naturais, ou seja, 0, 1,…, N - 1, para trabalhar com, e se qualquer número inteiro cair fora desse intervalo, nós o “envolvemos”. Por exemplo, vamos escolher os seis primeiros números. Para ilustrar isso, considere um círculo com seis tiques de unidades iguais - este é o nosso intervalo (geralmente referido como corpo finito).

Agora vamos ver onde o número oito vai parar. Como analogia, podemos pensar nisso como uma corda, cujo comprimento é de oito unidades:

Se prendermos a corda no início do círculo

e comece a enrolar a corda em torno dela, depois de uma rotação ainda temos uma parte da corda restante:

Portanto, se continuarmos o processo, a corda terminará bem no tick # 2.

É o resultado da operação do módulo. Não importa o comprimento da corda, ela sempre irá parar em um dos tiques do círculo. Portanto, a operação do módulo o manterá em certos limites (neste caso de 0 a 5). A corda de 15 unidades irá parar em 3, ou seja, 6 + 6 + 3 (dois círculos completos com 3 unidades restantes). Os números negativos funcionam da mesma maneira, e a única diferença é que colocamos na direção oposta, para –8 o resultado será 4.

Além disso, podemos realizar operações aritméticas, e o resultado sempre estará no escopo de n números. Usaremos a notação “mod n”Por enquanto para denotar o intervalo de números. Por exemplo:

Além disso, a propriedade mais importante é que a ordem das operações não importa, por exemplo, podemos realizar todas as operações primeiro e, em seguida, aplicar o módulo ou aplicar o módulo após cada operação. Por exemplo (2 × 4 - 1) × 3 = 3 (mod 6) é equivalente a:

Então, por que isso é útil? Acontece que se usarmos o módulo aritmético, tendo um resultado da operação, não é trivial voltar aos números originais porque muitas combinações diferentes terão o mesmo resultado:

Sem a aritmética modular, o tamanho do resultado dá uma pista para sua solução. Caso contrário, essa informação ficará oculta, enquanto as propriedades aritméticas comuns são preservadas.


Conteúdo

Deixar Fq = GF (q) ser o campo finito da característica p, ou seja, o campo com q elementos onde q = p e para algum primo p . Um polinômio f com coeficientes em Fq (escrito simbolicamente como fFq[x] ) é um polinômio de permutação do Fq se a função de Fq a si mesmo definido por c ↦ f (c) < displaystyle c mapsto f (c)> é uma permutação de Fq . [3]

Devido à finitude de Fq , esta definição pode ser expressa de várias maneiras equivalentes: [4]

  • a função c ↦ f (c) < displaystyle c mapsto f (c)> é para (sobrejetiva)
  • a função c ↦ f (c) < displaystyle c mapsto f (c)> é um a um (injetivo)
  • f(x) = uma tem uma solução em Fq para cada um em Fq
  • f(x) = uma tem um único solução em Fq para cada um em Fq .

Uma caracterização de quais polinômios são polinômios de permutação é dada por

(Critério de Hermite) [5] [6] fFq[x] é um polinômio de permutação de Fq se e somente se as seguintes duas condições forem válidas:

  1. f tem exatamente uma raiz em Fq
  2. para cada inteiro t com 1 ≤ tq - 2 e t ≢ 0 (mod p) < displaystyle t not equiv 0 ! < Pmod

    >>, a redução de f(x) t mod (xqx) tem grau ≤ q − 2 .

Se f(x) é um polinômio de permutação definido sobre o campo finito GF (q), então é g(x) = uma f(x + b) + c para todos uma ≠ 0, b e c em GF (q) O polinômio de permutação g(x) é em forma normalizada E se uma, b e c são escolhidos para que g(x) é monico, g(0) = 0 e (desde que a característica p não divide o grau n do polinômio) o coeficiente de x n-1 é 0.

Existem muitas questões em aberto sobre polinômios de permutação definidos sobre campos finitos (ver Lidl & amp Mullen (1988) e Lidl & amp Mullen (1993)).

Edição de pequeno grau

O critério de Hermite é computacionalmente intensivo e pode ser difícil de usar para fazer conclusões teóricas. No entanto, Dickson foi capaz de usá-lo para encontrar todos os polinômios de permutação de grau no máximo cinco em todos os campos finitos. Esses resultados são: [7] [6]

Polinômio de Permutação Normalizado de Fq q
x qualquer q
x 2 < displaystyle x ^ <2>> q ≡ 0 (mod 2) < displaystyle q equiv 0 ! < pmod <2> >>
x 3 < displaystyle x ^ <3>> q ≢ 1 (mod 3) < displaystyle q not equiv 1 ! < pmod <3> >>
x 3 - a x < displaystyle x ^ <3> -ax> (a < displaystyle a> não é um quadrado) q ≡ 0 (mod 3) < displaystyle q equiv 0 ! < pmod <3> >>
x 4 ± 3 x < displaystyle x ^ <4> pm 3x> q = 7
x 4 + a 1 x 2 + a 2 x < displaystyle x ^ <4> + a_ <1> x ^ <2> + a_ <2> x> (se sua única raiz em Fq é 0) q ≡ 0 (mod 2) < displaystyle q equiv 0 ! < pmod <2> >>
x 5 < displaystyle x ^ <5>> q ≢ 1 (mod 5) < displaystyle q not equiv 1 ! < pmod <5> >>
x 5 - a x < displaystyle x ^ <5> -ax> (a < displaystyle a> não uma quarta potência) q ≡ 0 (mod 5) < displaystyle q equiv 0 ! < pmod <5> >>
x 5 + a x (a 2 = 2) < displaystyle x ^ <5> + ax , (a ^ <2> = 2)> q = 9
x 5 ± 2 x 2 < displaystyle x ^ <5> pm 2x ^ <2>> q = 7
x 5 + ax 3 ± x 2 + 3 a 2 x < displaystyle x ^ <5> + ax ^ <3> pm x ^ <2> + 3a ^ <2> x> (a < displaystyle a> não um quadrado) q = 7
x 5 + a x 3 + 5 - 1 a 2 x < displaystyle x ^ <5> + ax ^ <3> + 5 ^ <-1> a ​​^ <2> x> (a < displaystyle a> arbitrário) q ≡ ± 2 (mod 5) < displaystyle q equiv pm 2 ! < pmod <5> >>
x 5 + a x 3 + 3 a 2 x < displaystyle x ^ <5> + ax ^ <3> + 3a ^ <2> x> (a < displaystyle a> não é um quadrado) q = 13
x 5 - 2 a x 3 + a 2 x < displaystyle x ^ <5> -2ax ^ <3> + a ^ <2> x> (a < displaystyle a> não é um quadrado) q ≡ 0 (mod 5) < displaystyle q equiv 0 ! < pmod <5> >>

Uma lista de todos os polinômios de permutação mônica de grau seis na forma normalizada pode ser encontrada em Shallue & amp Wanless (2013). [8]

Algumas classes de polinômios de permutação Editar

Além dos exemplos acima, a lista a seguir, embora não seja exaustiva, contém quase todas as principais classes conhecidas de polinômios de permutação sobre campos finitos. [9]

  • xn permuta GF (q) se e somente se n e q - 1 são coprime (notacionalmente, (n, q − 1) = 1 ). [10]
  • Se uma está em GF (q) e n ≥ 1 então o polinômio de Dickson (do primeiro tipo) Dn(x,uma) é definido por

Eles também podem ser obtidos a partir da recursão

Se uma ≠ 0 e n & gt 1 então Dn(x, uma) permeia GF (q) se e apenas se (n, q 2 - 1) = 1. [11] Se uma = 0 então Dn(x, 0) = x n e o resultado anterior se mantém.

Os polinômios linearizados que são polinômios de permutação sobre GF (q r ) formam um grupo sob a operação de composição módulo x q r - x < displaystyle x ^<>> -x>, que é conhecido como o grupo Betti-Mathieu, isomorfo ao grupo linear geral GL (r, Fq) . [12]

  • Se g(x) está no anel polinomial Fq[x] e g(xs ) não tem raiz diferente de zero no GF (q) quando s divide q - 1, e r & gt 1 é relativamente primo (coprime) para q - 1, então xr (g(xs )) (q - 1)/s permuta GF (q) . [6]
  • Apenas algumas outras classes específicas de polinômios de permutação sobre GF (q) foram caracterizados. Dois deles, por exemplo, são:

Edição de polinômios excepcionais

Um polinômio excepcional sobre GF (q) é um polinômio em Fq[x] que é um polinômio de permutação em GF (q m ) por um número infinito de m. [13]

Um polinômio de permutação sobre GF (q) de grau no máximo q 1/4 é excepcional sobre GF (q) . [14]

Cada permutação de GF (q) é induzido por um polinômio excepcional. [14]

Se um polinômio com coeficientes inteiros (ou seja, em ℤ [x]) é um polinômio de permutação sobre GF (p) para infinitos primos p, então é a composição dos polinômios lineares e de Dickson. [15] (Veja a conjectura de Schur abaixo).

Em geometria finita, as descrições de coordenadas de certos conjuntos de pontos podem fornecer exemplos de polinômios de permutação de alto grau. Em particular, os pontos formando uma oval em um plano projetivo finito, PG (2,q) com q uma potência de 2, pode ser coordenada de tal forma que a relação entre as coordenadas seja dada por um o-polinômio, que é um tipo especial de polinômio de permutação sobre o campo finito GF (q) .

O problema de testar se um determinado polinômio sobre um corpo finito é um polinômio de permutação pode ser resolvido em tempo polinomial. [16]

Para o anel finito Z/nZ pode-se construir polinômios de permutação quadrática. Na verdade, é possível se e somente se n é divisível por p 2 para algum número primo p. A construção é surpreendentemente simples, mas pode produzir permutações com certas propriedades boas. É por isso que tem sido usado no componente intercalador de códigos turbo no padrão de telecomunicações móveis 3GPP Long Term Evolution (consulte a especificação técnica 3GPP 36.212 [18], por exemplo, página 14 na versão 8.8.0).

Exemplos simples Editar

g (3) = 1>, então o polinômio define a permutação

g (7) = 1>, então o polinômio define a permutação

Anéis Z /p k Z Editar

Lema: para k = 1 (ou seja, Z/pZ) tal polinômio define uma permutação apenas no caso a = 0 e b não é igual a zero. Portanto, o polinômio não é quadrático, mas linear.

Lema: para k & gt1, p & gt2 (Z/p k Z) tal polinômio define uma permutação se e somente se a ≡ 0 (mod p) < displaystyle a equiv 0 < pmod

>> eb ≢ 0 (mod p) < displaystyle b not equiv 0 < pmod

>> .

Anéis Z /nZ Editar

Como corolário, pode-se construir muitos polinômios de permutação quadrática usando a seguinte construção simples. Considere n = p 1 k 1 p 2 k 2. . . p l k l < displaystyle n = p_ <1> ^> p_ <2> ^>. p_^<>>>, assuma que k1 & gt1.

p_ <1>>, mas a ≠ 0 m o d p 1 k 1 < displaystyle a neq 0

p_ <1> ^>> suponha que a = 0 m o d p i k i < displaystyle a = 0

p_^<>>> ,eu& gt1. E suponha que b ≠ 0 m o d p i < displaystyle b neq 0

Para ver isso, observamos que para todos os primos peu,eu& gt1, a redução deste módulo polinomial quadrático peu é realmente polinomial linear e, portanto, é permutação por razão trivial. Para o primeiro número primo, devemos usar o lema discutido anteriormente para ver que ele define a permutação.

Por exemplo, considere Z/12Z e polinômio 6 x 2 + x < displaystyle 6x ^ <2> + x>. Ele define uma permutação

Um polinômio g(x) para o anel Z/p k Z é um polinômio de permutação se e somente se permuta o corpo finito Z/pZ e g ′ (x) ≠ 0 m o d p < displaystyle g '(x) neq 0

p> para todos x em Z/p k Z, Onde g′(x) é o derivado formal de g(x). [19]

Deixar K ser um campo de número algébrico com R o anel de inteiros. O termo "conjectura de Schur" refere-se à afirmação de que, se um polinômio f definido sobre K é um polinômio de permutação em R/P por infinitos ideais primordiais P, então f é a composição de polinômios de Dickson, polinômios de grau um e polinômios da forma x k . Na verdade, Schur não fez nenhuma conjectura nesse sentido. A noção de que ele fez é devido a Fried, [20] que deu uma prova falha de uma versão falsa do resultado. Provas corretas foram fornecidas por Turnwald [21] e Müller. [22]


Dividindo Polinômios usando Divisão Longa - Conceito

Carl ensinou matemática de nível superior em várias escolas e atualmente dirige sua própria empresa de reforço escolar. Ele aposta que ninguém supera seu amor por atividades intensivas ao ar livre!

Ao dividir polinômios, podemos usar a divisão longa ou a divisão sintética para chegar a uma resposta. Usando divisão longa, divisão de polinômios é fácil. Simplesmente escrevemos a fração na forma de divisão longa, colocando o divisor fora do colchete e a divisão dentro do colchete. Depois que a divisão polinomial é configurada, seguimos o mesmo processo da divisão longa com números.

Dividindo polinômios com divisão longa. Então, vamos falar sobre como podemos dividir esses 2 polinômios usando a divisão longa. Antes de fazermos isso, eu só quero professar por você saber traçando um paralelo com algo que já sabemos fazer. Basta dizer que devemos dividir 1.170 por 70, certo? O que acabamos fazendo é desenhar nosso 7 em um pequeno colchete com um número no interior. Então começamos e dizemos, ok. Quantas vezes 7 vai para 1, mas não, então vamos para o próximo [IB]. Quantas vezes 7 vai para 11? Desenhe 1, 1 vezes 7 é 7 e então subtraímos, descendo para o próximo termo 47, continuando a partir daí. Quantas vezes 7 vai para 47, é 6, 6 vezes 7 é 42 ,. Subtraia novamente, deixando-nos 50 [IB] e repita, precisamos de 7, então isso é 49 e ficamos com o resto de 1. Ok.
Portanto, sabemos como dividir os números. OK? A divisão de polinômios é exatamente a mesma ideia, apenas com um pouco mais de x & # 39s e variáveis ​​e termos envolvidos. Então, o que vamos acabar fazendo é exatamente a mesma coisa que isso, ok? Então x + 1 vai para fora e então nosso, lembre-se que isso é chamado de dividendo, nosso dividendo vai para dentro do colchete. Tenha um suporte grande. 3x ao cubo e acho que esqueci o quadrado do meu problema, vamos jogar isso aí. 3x ao quadrado menos desculpe 3x ao cubo menos 4x ao quadrado mais 2x menos 1, certo. Basicamente, estamos reescrevendo nosso problema como uma fração na divisão longa. Na lógica, é exatamente o mesmo que fizemos aqui, certo?
Você diz que a primeira coisa da qual deseja se livrar é o 3x ao quadrado e olhamos nosso termo principal em nosso divisor, o termo na parte inferior, certo? Para obter 3x ao quadrado de x, precisamos multiplicá-lo, desculpe, 3x ao quadrado de x, precisamos multiplicar por 3x ao quadrado. Por isso, sempre tento alinhar meus poderes. Então, vou colocar 3x ao quadrado bem aqui. Então, eu tenho todos os meus quadrados em uma coluna bem aqui. OK? Então, como fizemos aqui, multiplicamos o número do topo pelo número da frente. A única diferença agora é que temos algumas variáveis ​​que a mesma ideia mantém. OK? Então, 3x ao quadrado vezes x, é 3x ao cubo. 3x ao quadrado vezes 1 é 3x ao quadrado. OK? Assim como fizemos aqui com nossos números, precisamos subtrair, ok? Então, subtração. 3x ao cubo menos 3x ao cubo, esses cancelam o que queríamos e o -4x ao quadrado menos 3x, certifique-se de distribuir que o sinal negativo torna-se negativo 7x ao quadrado.
O próximo termo do qual queremos nos livrar é -7x ao quadrado. Se você quiser derrubar isso, você pode, você não precisa. Lembre-se de que precisamos incluí-lo na próxima etapa quando subtrairmos. OK.
Portanto, precisamos nos livrar de -7x ao quadrado com nosso termo líder de um x. Portanto, precisamos multiplicar nosso x por -7x para cancelá-lo. -7x e então queremos apenas multiplicar e subtrair mais uma vez. Portanto, -7x vezes x, -7x ao quadrado. -7x vezes 1 é -7x. Mais uma vez, queremos subtrair, certificando-se de distribuir o sinal negativo. -7x ao quadrado menos -7x ao quadrado, esses cancelam que é o que queríamos e ainda temos esses dois aqui. Portanto, é 2x menos -7x, 2x mais 7x que se transforma em 9x e, novamente, podemos abaixar este se quisermos, não precisamos fazer isso.Basta lembrar que está lá. Portanto, este 9x é a última coisa de que precisamos nos livrar. A fim de obter 9x de um x, precisamos de um 9 mais 9, pelo qual o 9 será distribuído. 9x mais 9 e mais uma vez subtraímos, ok? 9x-9x. Esses cancelam. -1-9 mais um 9 negativo, então isso vai nos dar -10, que tem um resto [IB] pelo qual multiplicamos x nos dará -10. OK?
Portanto, há maneiras diferentes de escrever isso. Vou demorar um segundo e voltar aqui e nos mostrar o que isso realmente significa. Então, esse foi o nosso processo para números exatamente o mesmo processo ali. Bem, o que acabamos de descobrir é que essa afirmação é na verdade igual ao nosso quociente. O que aparece é o número que está acima do sinal, então se voltarmos aqui. É apenas um número aqui. Então isso é 3x ao quadrado menos 7x mais 9 e mais o resto sobre o nosso divisor. Então isso vai ser mais -10 sobre o nosso divisor aqui, x + 1, certo? Portanto, a divisão longa é um pouco mais para lidar com números, mas o processo é exatamente o mesmo.


Matemática Parte I Soluções para Matemática da Classe 9 Capítulo 3 - Polinômios

Matemática Parte I Soluções Soluções para Matemática da Classe 9 Capítulo 3 Polinômios são fornecidos aqui com explicações simples passo a passo. Essas soluções para Polinômios são extremamente populares entre os alunos da Classe 9, pois as Soluções de Polinômios de Matemática são úteis para concluir rapidamente sua lição de casa e se preparar para os exames. Todas as perguntas e respostas do Livro de Soluções de Matemática Parte I da Classe 9 Matemática, Capítulo 3, são fornecidas aqui para você gratuitamente. Você também vai adorar a experiência sem anúncios nas soluções de soluções de matemática da parte I da Meritnation. Todas as soluções de Matemática Parte I Soluções para a classe 9 de Matemática são preparadas por especialistas e são 100% precisas.

Página No 39:

Questão 1:

Declare se as expressões algébricas fornecidas são polinômios? Justificar.

(i) y & # 160 + & # 160 1 y (ii) 2 & # 160 - & # 160 5 & # 160 x (iii) x 2 & # 160 + & # 160 7 x & # 160 + & # 160 9 (iv) 2 m - 2 & # 160 + & # 160 7 m & # 160 - & # 160 5 (v) 10

Responder:


Em uma expressão algébrica, se as potências das variáveis ​​são números inteiros, então a expressão algébrica é um polinômio.

Aqui, um dos poderes de y é & menos1, que não é um número inteiro. Então, y & # 160 + & # 160 1 y é não um polinômio.

Aqui, o poder de x é 1 2, que não é um número inteiro. Portanto, 2 & # 160 - & # 160 5 & # 160 x é não um polinômio.

Aqui, os poderes da variável x são 2, 1 e 0, que são números inteiros. Portanto, x 2 & # 160 + & # 160 7 x & # 160 + & # 160 9 é um polinômio.

Aqui, um dos poderes de m é & menos2, que não é um número inteiro. Portanto, 2 m - 2 & # 160 + & # 160 7 m & # 160 - & # 160 5 é não um polinômio.

Aqui, o poder de x é 0, que é um número inteiro. Portanto, 10 é um polinômio (ou polinômio constante).

Página No 39:

Questão 2:

Escreva o coeficiente de m 3 em cada um dos polinômios fornecidos.

(eu) m 3 (ii) - 3 & # 160 2 & # 160 + & # 160 m & # 160 - & # 160 3 m 3 (iii) - 2 3 m 3 & # 160 - & # 160 5 m 2 & # 160 + & # 160 7 m & # 160 - & # 160 1

Responder:

Página No 39:

Questão 3:

Responder:


(i) Um polinômio com apenas um termo é chamado de monômio. Além disso, a maior potência da variável em um polinômio é chamada de grau do polinômio.

3x 7 é um monômio em x com grau 7.

(ii) Um polinômio com apenas dois termos é chamado de binômio. Além disso, a maior potência da variável em um polinômio é chamada de grau do polinômio.

2x 35 + 1 é um binômio em x com grau 35.

(iii) Um polinômio com apenas três termos é chamado de trinômio. Além disso, a maior potência da variável em um polinômio é chamada de grau do polinômio.

5x 8 + 6x 4 + 7x é um trinômio em x com grau 8.

Página No 40:

Questão 4:

Escreva o grau dos polinômios fornecidos.

(i) 5 (ii) x & # 176 (iii) x 2 (iv) 2 & # 160 m 10 & # 160 - & # 160 7 (v) 2 p & # 160 - & # 160 7 (vi) 7 y & # 160 - & # 160 y 3 & # 160 + & # 160 y 5 (vii) xyz & # 160 + xy & # 160 - & # 160 z (viii) m 3 n 7 & # 160 - & # 160 3 m 5 n & # 160 + & # 160 mn

Responder:


A maior potência da variável em um polinômio de uma variável é chamada de grau do polinômio. Além disso, a maior soma das potências das variáveis ​​em cada termo do polinômio em mais de uma variável é o grau do polinômio.

O grau do polinômio 5 é 0.

(ii)
O grau do polinômio x 0 é 0.

(iii)
O grau do polinômio x 2 é 2.

(4)
O grau do polinômio 2 m 10 - 7 é 10.

(v)
O grau do polinômio 2 p - 7 é 1.

(vi)
O grau do polinômio 7 y - y 3 + y 5 é 5.

(vii)
A soma das potências das variáveis ​​no polinômio x y z + x y - z é 1 + 1 + 1 = 3 e 1 + 1 = 2.

O grau do polinômio x y z + x y - z é 3.

(viii)
A soma das potências das variáveis ​​no polinômio m 3 n 7 - 3 m 5 n + m n são 3 + 7 = 10, 5 + 1 = 6 e 1 + 1 = 2.

O grau do polinômio m 3 n 7 - 3 m 5 n + m n é 10.

Página No 40:

Questão 5:

Classifique os polinômios a seguir como polinômios lineares, quadráticos e cúbicos.

Responder:


(eu)
O grau do polinômio 2x 2 + 3x + 1 é 2.

Então, o polinômio 2x 2 + 3x + 1 é um polinômio quadrático.

(ii)
O grau do polinômio 5p é 1.

Então, o polinômio 5p é um polinômio linear.

(iii)
O grau do polinômio 2 y - 1 2 é 1.

Portanto, o polinômio 2 y - 1 2 é um polinômio linear.

(4)
O grau do polinômio m 3 + 7 m 2 + 5 2 m - 7 é 3.

Assim, o polinômio m 3 + 7 m 2 + 5 2 m - 7 é um polinômio cúbico.

(v)
O grau do polinômio uma 2 é 2.

Então, o polinômio uma 2 é um polinômio quadrático.

(vi)
O grau do polinômio 3r 3 é 3.

Então, o polinômio 3r 3 é um polinômio cúbico.

Página No 40:

Questão 6:

Escreva os polinômios a seguir no formato padrão.

(i) m 3 & # 160 + & # 160 3 & # 160 + & # 160 5 m (ii) - 7 a & # 160 + & # 160 y 5 & # 160 + & # 160 3 y 3 & # 160 - & # 160 1 2 & # 160 + & # 160 2 y 4 & # 160 - & # 160 y 2

Responder:


Um polinômio escrito em potências descendentes ou ascendentes de sua variável é chamado de forma padrão do polinômio.

(eu)
O polinômio dado é m 3 + 3 + 5m.

A forma padrão do polinômio é 3 + 5m + m 3 ou m 3 + 5m + 3.

(ii)
O polinômio dado é - 7 y + y 5 + 3 y 3 - 1 2 + 2 y 4 - y 2.

A forma padrão do polinômio é y 5 + 2 y 4 + 3 y 3 - y 2 - 7 y - 1 2 ou - 1 2 - 7 y - y 2 + 3 y 3 + 2 y 4 + y 5.

Página No 40:

Questão 7:

Escreva os polinômios a seguir em forma de coeficiente.

(i) x 3 & # 160 - & # 160 2 (ii) 5 y (iii) 2 m 4 & # 160 - & # 160 3 m 2 & # 160 + & # 160 7 (iv) & # 160 - 2 3

Responder:


(eu)
x 3 - 2 = x 3 + 0 x 2 + 0 x - 2

A forma do coeficiente do polinômio é (1, 0, 0 e menos2).

A forma do coeficiente do polinômio é (5, 0).

(iii)
2 m 4 - 3 m 2 + 7 = 2 m 4 + 0 m 3 - 3 m 2 + 0 m + 7

A forma do coeficiente do polinômio é (2, 0 e menos3, 0, 7).

(4)
A forma do coeficiente do polinômio - 2 3 é - 2 3.

Página No 40:

Questão 8:

Responder:


(eu)
A forma do coeficiente do polinômio é (1, 2, 3).

Portanto, a forma de índice do polinômio é x 2 + 2x + 3.

(ii)
A forma do coeficiente do polinômio é (5, 0, 0, 0 e menos 1).

Portanto, a forma de índice do polinômio é 5x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x & menos 1 ou 5x 4 e menos 1.

(iii)
A forma do coeficiente do polinômio é (& menos2, 2, & menos2, 2).

Portanto, a forma de índice do polinômio é & menos2x 3 + 2x 2 e menos 2x + 2.

Página No 40:

Questão 9:

Escreva os polinômios apropriados nas caixas.

Responder:

Página No 43:

Questão 1:

Responder:


(eu)
Número inicial de árvores na aldeia = uma

Aumento do número de árvores a cada ano = b

& there4 Número de árvores na aldeia após x anos

= Número inicial de árvores na aldeia + Aumento no número de árvores a cada ano e vezes x

Assim, o número de árvores após x anos são uma + bx.

(ii)
Número de alunos em cada linha = y

& there4 Número total de alunos no desfile = Número de alunos em cada linha & vezes Número de linhas = y e vezes x = yx = xy

Assim, existem em todos xy alunos para o desfile.

(iii)
Dígito na casa das dezenas = m

Dígito na posição das unidades = n

& lá4 Número de dois dígitos = Dígito na casa das dezenas & vezes 10 + Dígito na casa das unidades = m & vezes 10 + n = 10m + n

Assim, o polinômio que representa o número de dois dígitos é 10m + n.

Página No 43:

Questão 2:

Adicione os polinômios fornecidos.

Responder:


(eu)
x 3 - 2 x 2 - 9 + 5 x 3 + 2 x + 9 = x 3 + 5 x 3 - 2 x 2 + 2 x - 9 + 9 = 6 x 3 - 2 x 2 + 2 x
(ii)
- 7 m 4 + 5 m 3 + 2 + 5 m 4 - 3 m 3 + 2 m 2 + 3 m - 6 = - 7 m 4 + 5 m 4 + 5 m 3 - 3 m 3 + 2 m 2 + 3 m + 2 - 6 = - 2 m 4 + 2 m 3 + 2 m 2 + 3 m - 6 + 2
(iii)
2 y 2 + 7 y + 5 + 3 y + 9 + 3 y 2 - 4 y - 3 = 2 y 2 + 3 y 2 + 7 y + 3 y - 4 y + 5 + 9 - 3 = 5 y 2 + 6 a + 11

Página No 43:

Questão 3:

Subtraia o segundo polinômio do primeiro.

(i) x 2 & # 160 - & # 160 9 x & # 160 + & # 160 3 & # 160 & # 160 & # 160 - 19 x & # 160 + & # 160 3 & # 160 + & # 160 7 x 2 (ii) 2 ab 2 & # 160 + & # 160 3 a 2 b & # 160 - & # 160 4 ab & # 160 & # 160 & # 160 3 ab & # 160 - 8 ab 2 & # 160 + & # 160 2 a 2 b

Responder:


(eu)
x 2 - 9 x + 3 & # 160 - - 19 x + 3 + 7 x 2 = x 2 - 9 x + 3 + 19 x - 3 - 7 x 2 = x 2 - 7 x 2 - 9 x + 19 x + 3 - 3 = - 6 x 2 + 10 x
(ii)
2 ab 2 + 3 a 2 b - 4 ab - 3 ab - 8 ab 2 + 2 a 2 b = 2 ab 2 + 3 a 2 b - 4 ab - 3 ab + 8 ab 2 - 2 a 2 b = 2 ab 2 + 8 ab 2 + 3 a 2 b - 2 a 2 b - 4 ab - 3 ab = 10 ab 2 + a 2 b - 7 ab

Página No 43:

Questão 4:

Multiplique os polinômios fornecidos.

Responder:


(eu)
2 x x 2 & # 160 - 2 x - 1 = 2 x & # 215 x 2 + 2 x & # 215 - 2 x + 2 x & # 215 - 1 = 2 x 3 - 4 x 2 - 2 x
(ii)
x 5 - 1 & # 215 x 3 + 2 x 2 + 2 = x 5 x 3 + 2 x 2 + 2 - 1 x 3 + 2 x 2 + 2 = x 8 + 2 x 7 + 2 x 5 - x 3 - 2 x 2 - 2
(iii)
2 y + 1 & # 215 y 2 - 2 y 3 + 3 y = 2 yy 2 - 2 y 3 + 3 y + 1 y 2 - 2 y 3 + 3 y = 2 y 3 - 4 y 4 + 6 y 2 + y 2 - 2 y 3 + 3 y = - 4 y 4 + 2 y 3 - 2 y 3 + 6 y 2 + y 2 + 3 y = - 4 y 4 + 7 y 2 + 3 y

Página No 43:

Questão 5:

Responder:

(eu)
x 3 - 64 = x 3 + 0 x 2 + 0 x - 64

Usando o método de divisão longa,


Dividendo = Divisor & vezes Quociente + Restante

& # 8756 x 3 - 64 = x - 4 & # 215 x 2 + 4 x + 16 + 0

(ii)
5 x 5 + 4 x 4 - 3 x 3 + 2 x 2 & # 160 + 2 = 5 x 5 + 4 x 4 - 3 x 3 + 2 x 2 & # 160 + 0 x + 2

Usando o método de divisão longa,


Dividendo = Divisor & vezes Quociente + Restante

& # 8756 5 x 5 + 4 x 4 - 3 x 3 + 2 x 2 + 2 = x 2 - x & # 215 5 x 3 + 9 x 2 + 6 x + 8 + 8 x + 2

Página No 43:

Questão 6:

Responder:


Comprimento da fazenda retangular = (2uma 2 + 3b 2) m

Largura da fazenda retangular = (uma 2 + b 2) m

Lado do gráfico quadrado = (uma 2 e menos b 2) m

& there4 Área da parte restante da fazenda

= Área total da fazenda e menos Área do lote quadrado

= Comprimento da fazenda retangular & vezes Largura da fazenda retangular & menos (lado do lote quadrado) 2

Assim, a área da parte restante da fazenda é (uma 4 + 7uma 2 b 2 + 2b 4) m 2.

Página No 46:

Questão 1:

método de divisão linear. Escreva o quociente e o resto.

Responder:

(eu)
Divisão Sintética:


A forma do coeficiente do quociente é (2, 7).

& there4 Quociente = 2m + 7 e restante = 45

Método Linear:

2 m 2 - 3 m + 10 = 2 m m - 5 + 10 m - 3 m + 10 = 2 m m - 5 + 7 m - 5 + 35 + 10 = m - 5 & # 215 2 m + 7 + 45
(ii)
Divisão Sintética:

Dividendo = x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 4 x + 5

A forma do coeficiente do quociente é (1, 0, 3 e menos2).

& there4 Quociente = x 3 + 3x & menos 2 e restante = 9

Método Linear:

x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 4 x + 5 = x 3 x + 2 + 3 xx + 2 - 6 x + 4 x + 5 = x 3 x + 2 + 3 xx + 2 - 2 x + 5 = x 3 x + 2 + 3 xx + 2 - 2 x + 2 + 4 + 5 = x + 2 & # 215 x 3 + 3 x - 2 + 9
(iii)
Divisão Sintética:

Dividendo = y 3 - 216 = y 3 + 0 y 2 + 0 y - 216

A forma do coeficiente do quociente é (1, 6, 36).

& there4 Quociente = y 2 + 6y + 36 e restante = 0

Método Linear:

y 3 - 216 = y 2 y - 6 + 6 y 2 - 216 = y 2 y - 6 + 6 yy - 6 + 36 y - 216 = y 2 y - 6 + 6 yy - 6 + 36 y - 6 + 216 - 216 = y 2 y - 6 + 6 yy - 6 + 36 y - 6 = y - 6 & # 215 y 2 + 6 y + 36
(4)
Divisão Sintética:

Dividendo = 2 x 4 + 3 x 3 + 4 x - 2 x 2 = 2 x 4 + 3 x 3 - 2 x 2 + 4 x + 0

A forma do coeficiente do quociente é (2, & menos3, 7, & menos17).

& there4 Quociente = 2x 3 e menos 3x 2 + 7x & menos 17 e restante = 51

Método Linear:

2 x 4 + 3 x 3 - 2 x 2 + 4 x = 2 x 3 x + 3 - 6 x 3 + 3 x 3 - 2 x 2 + 4 x = 2 x 3 x + 3 - 3 x 2 x + 3 + 9 x 2 - 2 x 2 + 4 x = 2 x 3 x + 3 - 3 x 2 x + 3 + 7 xx + 3 - 21 x + 4 x = 2 x 3 x + 3 - 3 x 2 x + 3 + 7 xx + 3 - 17 x + 3 + 51 = x + 3 & # 215 2 x 3 - 3 x 2 + 7 x - 17 + 51
(v)
Divisão Sintética:

Dividendo = x 4 - 3 x 2 - 8 = x 4 + 0 x 3 - 3 x 2 + 0 x - 8

A forma do coeficiente do quociente é (1, & menos4, 13, & menos52).

& there4 Quociente = x 3 e menos 4x 2 + 13x & menos 52 e restante = 200

Método Linear:

x 4 - 3 x 2 - 8 = x 3 x + 4 - 4 x 3 - 3 x 2 - 8 = x 3 x + 4 - 4 x 2 x + 4 + 16 x 2 - 3 x 2 - 8 = x 3 x + 4 - 4 x 2 x + 4 + 13 xx + 4 - 52 x - 8 = x 3 x + 4 - 4 x 2 x + 4 + 13 xx + 4 - 52 x + 4 + 208 - 8 = x + 4 e # 215 x 3 - 4 x 2 + 13 x - 52 + 200
(vi)
Divisão Sintética:

Dividendo = y 3 - 3 y 2 + 5 y - 1

A forma do coeficiente do quociente é (1, & menos2, 3).

& there4 Quociente = y 2 e menos 2y + 3 e restante = 2

Método Linear:

y 3 - 3 y 2 + 5 y - 1 = y 2 y - 1 + y 2 - 3 y 2 + 5 y - 1 = y 2 y - 1 - 2 yy - 1 - 2 y + 5 y - 1 = y 2 y - 1 - 2 yy - 1 + 3 y - 1 + 3 - 1 = y - 1 & # 215 y 2 - 2 y + 3 + 2

Página No 48:

Questão 1:

Para x = 0 encontre o valor do polinômio x 2 & # 160 - & # 160 5 x & # 160 + & # 160 5.

Responder:

& # 8756 p 0 = 0 2 - 5 & # 215 0 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5

Portanto, para x = 0 o valor do polinômio é 5.

Página No 48:

Questão 2:

Se p y & # 160 = & # 160 y 2 & # 160 - & # 160 3 2 y & # 160 + & # 160 1 & # 160, encontre p & # 160 3 2.

Responder:

& # 8756 p 3 2 = 3 2 2 - 3 2 & # 215 3 2 + 1 = 18 - 18 + 1 = 1

Página No 48:

Questão 3:

Responder:

& # 8756 p a = a 3 + 2 a 2 - a + 10. (1)

p - a = - a 3 + 2 - a 2 - - a + 10

& # 8658 p - a = - a 3 + 2 a 2 + a + 10. (2)

pa + p - a = a 3 + 2 a 2 - a + 10 + - a 3 + 2 a 2 + a + 10 = a 3 - a 3 + 2 a 2 + 2 a 2 - a + a + 10 + 10 = 4 a 2 + 20
& # 8756 p a + p - a = 4 a 2 + 20

Página No 48:

Questão 4:

Se p y & # 160 = & # 160 2 y 3 & # 160 - & # 160 6 y 2 & # 160 - & # 160 5 y & # 160 + & # 160 7, encontre p 2.

Responder:


p y = 2 y 3 - 6 y 2 - 5 y + 7

& # 8756 p 2 = 2 & # 215 2 3 - 6 & # 215 2 2 - 5 & # 215 2 + 7 = 16 - 24 - 10 + 7 = - 11

Página No 53:

Questão 1:

Encontre o valor do polinômio 2 x & # 160 - & # 160 2 x 3 & # 160 + & # 160 7 usando os valores fornecidos para x.

Responder:

(eu)
p 3 = 2 & # 215 3 - 2 & # 215 3 3 + 7 = 6 - 2 & # 215 27 + 7 = 6 - 54 + 7 = - 41
Assim, o valor de polinômio para x = 3 é & menos41.

(ii)
p - 1 = 2 & # 215 - 1 - 2 & # 215 - 1 3 + 7 = - 2 - 2 & # 215 - 1 + 7 = - 2 + 2 + 7 = 7
Assim, o valor de polinômio para x = & menos1 é 7.

(iii)
p 0 = 2 & # 215 0 - 2 & # 215 0 3 + 7 = 0 - 0 + 7 = 7
Assim, o valor de polinômio para x = 0 é 7.

Página No 53:

Questão 2:

Para cada um dos polinômios a seguir, encontre p 1, & # 160, p 0 & # 160 e p - 2.

(i) px & # 160 = & # 160 x 3 (ii) py & # 160 = & # 160 y 2 & # 160 - 2 y & # 160 + & # 160 5 & # 160 (iii) px & # 160 = & # 160 x 4 & # 160 - 2 x 2 & # 160 - & # 160 x

Responder:


(eu)
p x = x 3 & # 8756 p 1 = 1 3 = 1 p 0 = 0 3 = 0 p - 2 = - 2 3 = - 8
(ii)
py = y 2 - 2 y + 5 & # 8756 p 1 = 1 2 - 2 & # 215 1 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 p 0 = 0 2 - 2 & # 215 0 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5 p - 2 = - 2 2 - 2 & # 215 - 2 + 5 = 4 + 4 + 5 = 13
(iii)
px = x 4 - 2 x 2 - x & # 8756 p 1 = 1 4 - 2 & # 215 1 2 - 1 = 1 - 2 - 1 = - 2 p 0 = 0 4 - 2 & # 215 0 2 - 0 = 0 - 0 - 0 = 0 p - 2 = - 2 4 - 2 & # 215 - 2 2 - - 2 = 16 - 2 & # 215 4 + 2 = 16 - 8 + 2 = 10

Página No 53:

Questão 3:

Se o valor do polinômio m 3 & # 160 + & # 160 2 m & # 160 + & # 160 a for 12 para m & # 160 = & # 160 2, encontre o valor de uma.

Responder:

& # 8756 2 3 + 2 & # 215 2 + a = 12 & # 8658 8 + 4 + a = 12 & # 8658 12 + a = 12 & # 8658 a = 12 - 12 = 0
Portanto, o valor de uma é 0.

Página No 53:

Questão 4:

Para o polinômio m x 2 & # 160 - 2 x & # 160 + & # 160 3 se p - 1 & # 160 = 7 & # 160, então encontre m.

Responder:

& # 8756 p - 1 = 7 & # 8658 m & # 215 - 1 2 - 2 & # 215 - 1 + 3 = 7 & # 8658 m + 2 + 3 = 7 & # 8658 m = 7 - 5 = 2
Portanto, o valor de m é 2.

Página No 53:

Questão 5:

Divida o primeiro polinômio pelo segundo polinômio e encontre o resto usando o teorema do fator.

Responder:

(eu)
Por divisão sintética:

A forma do coeficiente do quociente é (1, & menos8).

Pelo teorema do resto:

Restante = p(& menos1) = - 1 2 - 7 & # 215 - 1 + 9 = 1 + 7 + 9 = 19

(ii)
Por divisão sintética:

Dividendo = 2 x 3 - 2 x 2 + a x - a

A forma do coeficiente do quociente é (2, 2uma e menos 2, 2uma 2 e menos uma).

Pelo teorema do resto:

Seja p x = 2 x 3 - 2 x 2 + a x - a.

Restante = p(uma) = 2 & # 215 a 3 - 2 & # 215 a 2 + a & # 215 a - a = 2 a 3 - 2 a 2 + a 2 - a = 2 a 3 - a 2 - a

(iii)
Por divisão sintética:

Dividendo = 54 m 3 + 18 m 2 - 27 m + 5

A forma do coeficiente do quociente é (54, 180, 513).

Pelo teorema do resto:

Seja p m = 54 m 3 + 18 m 2 - 27 m + 5.

Restante = p(3) = 54 × 3 3 + 18 × 3 2 - 27 × 3 + 5 = 54 × 27 + 18 × 9 - 27 × 3 + 5 = 1458 + 162 - 81 + 5 = 1544

Página No 53:

Questão 6:

Se o polinômio y 3 & # 160 - & # 160 5 y 2 & # 160 + & # 160 7 y & # 160 + & # 160 m for dividido por y + 2 e o restante for 50, encontre o valor de m.

Responder:


Seja p y = y 3 - 5 y 2 + 7 y + m.

Quando o polinômio é dividido por (y + 2), o resto é 50. Isso significa que o valor do polinômio quando y = & menos2 é 50.

& # 8756 - 2 3 - 5 & # 215 - 2 2 + 7 & # 215 - 2 + m = 50 & # 8658 - 8 - 5 & # 215 4 - 14 + m = 50 & # 8658 - 8 - 20 - 14 + m = 50 & # 8658 - 42 + m = 50 & # 8658 m = 50 + 42 = 92
Portanto, o valor de m é 92.

Página No 53:

Questão 7:

Use o teorema do fator para determinar se x + 3 é o fator de x 2 + 2x & menos 3 ou não.

Responder:

& # 8756 p - 3 = - 3 2 + 2 & # 215 - 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0

Então, pelo teorema do fator, (x + 3) é um fator de x 2 + 2x e menos 3.

Página No 53:

Questão 8:

Se ( x - & # 160 2) é um fator de x 3 & # 160 - & # 160 m x 2 & # 160 + & # 160 10 x & # 160 - & # 160 20 & # 160 e encontre o valor de m.

Responder:


Seja p x = x 3 - m x 2 + 10 x - 20.

É dado que (x & menos 2) é um fator de p x = x 3 - m x 2 + 10 x - 20.

& # 8756 p 2 = 0 & # 8658 2 3 - m & # 215 2 2 + 10 & # 215 2 - 20 = 0 & # 8658 8 - 4 m + 20 - 20 = 0 & # 8658 8 - 4 m = 0 & # 8658 4 m = 8 & # 8658 m = 2
Portanto, o valor de m é 2.

Página No 53:

Questão 9:

Usando o teorema do fator nos exemplos a seguir, determine se q ( x ) é um fator p ( x ) ou não.

Responder:

& # 8756 p 1 = 1 3 - 1 2 - 1 - 1 = 1 - 1 - 1 - 1 = - 2

Desde p(1) & ne 0, então pelo teorema do fator q x = x - 1 é não um fator de polinômio p x = x 3 - x 2 - x - 1.

& # 8756 p 3 = 2 & # 215 3 3 - 3 2 - 45 = 2 & # 215 27 - 9 - 45 = 54 - 54 = 0

Assim, pelo teorema do fator q x = x - 3 é um fator do polinômio p x = 2 x 3 - x 2 - 45.

Página No 53:

Questão 10:

Se ( x 31 + 31) é dividido por (x + 1) então encontre o resto.

Responder:

Pelo teorema do resto, temos

Restante = p(& menos1) = (& menos1) 31 + 31 = & menos1 + 31 = 30

Assim, o restante quando (x 31 + 31) é dividido por (x + 1) é 30.

Página No 53:

Questão 11:

Mostra isso m - 1 é um fator de m 21 - 1 e m 22 - 1.

Responder:

Portanto, pelo teorema do fator (m & menos 1) é um fator de p(m) = m 21 e menos 1.

Portanto, pelo teorema do fator (m & menos 1) é um fator de q(m) = m 22 e menos 1.

Por isso, (m & menos 1) é um fator de m 21 e menos 1 e m 22 e menos 1.

Página No 53:

Questão 12:

If & # 160 x & # 160 - & # 160 2 & # 160 ex & # 160 - & # 160 1 2 ambos são os fatores do polinômio nx 2 e menos 5x + m, em seguida, mostre que m & # 160 = & # 160 n = & # 160 2

Responder:

Dado que (x & menos 2) e x - 1 2 são os fatores do polinômio p(x) = nx 2 e menos 5x + m.

& there4 Pelo teorema do fator, p(2) = 0 e p 1 2 = 0.

p 1 2 = 0 & # 8658 n 1 2 2 - 5 & # 215 1 2 + m = 0 & # 8658 n 4 + m = 5 2 & # 8658 n + 4 m = 10 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160. . . . . 2
De (1) e (2), temos

Colocando n = m em (1), temos

Página No 53:

Questão 13:

(i) Se p x & # 160 = & # 160 2 & # 160 + & # 160 5 x & # 160, então p 2 & # 160 + & # 160 p - 2 - & # 160 p 1.

(ii) p x & # 160 = & # 160 2 x 2 & # 160 - & # 160 5 3 x & # 160 + & # 160 5 & # 160 então p 5 3.

Responder:


(eu)
px = 2 + 5 x & # 8756 p 2 = 2 + 5 & # 215 2 = 2 + 10 = 12 p - 2 = 2 + 5 & # 215 - 2 = 2 - 10 = - 8 p 1 = 2 + 5 & # 215 1 = 2 + 5 = 7
& # 8756 p 2 + p - 2 - p 1 = 12 + - 8 - 7 = 12 - 8 - 7 = 12 - 15 = - 3

(ii)
p x = 2 x 2 - 5 3 x + 5
& # 8756 p 5 3 = 2 & # 215 5 3 2 - 5 3 & # 215 5 3 + 5 = 2 & # 215 75 - 25 & # 215 3 + 5 = 150 - 75 + 5 = 80

Página No 54:

Questão 1:

Encontre os fatores dos polinômios fornecidos abaixo.
(i) 2x 2 + x & ndash 1

Responder:


(eu)
2 x 2 + x - 1 = 2 x 2 + 2 x - x - 1 = 2 x x + 1 - 1 x + 1 = x + 1 2 x - 1
(ii)
2 m 2 + 5 m - 3 = 2 m 2 + 6 m - m - 3 = 2 m m + 3 - 1 m + 3 = m + 3 2 m - 1
(iii)
12 x 2 + 61 x + 77 = 12 x 2 + 28 x + 33 x + 77 = 4 x 3 x + 7 + 11 3 x + 7 = 3 x + 7 4 x + 11
(4)
3 y 2 - 2 y - 1 = 3 y 2 - 3 y + y - 1 = 3 y y - 1 + 1 y - 1 = y - 1 3 y + 1
(v)
3 x 2 + 4 x + 3 = 3 x 2 + 3 x + x + 3 = 3 x x + 3 + 1 x + 3 = x + 3 3 x + 1
(vi)
1 2 x 2 - 3 x + 4 = 1 2 x 2 - 2 x - x + 4 = 1 2 x x - 4 - 1 x - 4 = x - 4 1 2 x - 1

Página No 55:

Questão 2:

Responder:


(eu)
(x 2 & ndash x) 2 & ndash 8 (x 2 & ndash x) + 12
Deixar x 2 & ndash x = z.
& # 8756 x 2 - x 2 - 8 x 2 - x + 12 = z 2 - 8 z + 12 = z 2 - 6 z - 2 z + 12 = zz - 6 - 2 z - 6 = z - 6 z - 2
= x 2 - x - 6 x 2 - x - 2 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Substituir & # 160 z = x 2 - x = x 2 - 3 x + 2 x - 6 x 2 - 2 x + x - 2 = xx - 3 + 2 x - 3 xx - 2 + 1 x - 2 = x - 3 x + 2 x - 2 x + 1
(ii)
(x & ndash 5) 2 & ndash (5x & ndash 25) & ndash 24
= (x & ndash 5) 2 & ndash 5 (x & ndash 5) & ndash 24
Deixar x & ndash 5 = z.
& # 8756 x - 5 2 - 5 x - 5 - 24 = z 2 - 5 z - 24 = z 2 - 8 z + 3 z - 24 = z z - 8 + 3 z - 8 = z - 8 z + 3
= x - 5 - 8 x - 5 + 3 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Substitua & # 160 z = x - 5 = x - 13 x - 2
(iii)
(x 2 & ndash 6x) 2 & ndash 8 (x 2 & ndash 6x + 8) & ndash 64
= (x 2 & ndash 6x) 2 & ndash 8 (x 2 & ndash 6x) & ndash 64 & ndash 64
= (x 2 & ndash 6x) 2 & ndash 8 (x 2 & ndash 6x) & ndash 128
Deixar x 2 & ndash 6x = z.
& # 8756 x 2 - 6 x 2 - 8 x 2 - 6 x - 128 = z 2 - 8 z - 128 = z 2 - 16 z + 8 z - 128 = zz - 16 + 8 z - 16 = z - 16 z + 8
= x 2 - 6 x - 16 x 2 - 6 x + 8 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Substituir & # 160 z = x 2 - 6 x = x 2 - 8 x + 2 x - 16 x 2 - 4 x - 2 x + 8 = xx - 8 + 2 x - 8 xx - 4 - 2 x - 4 = x - 8 x + 2 x - 4 x - 2

(4)
(x 2 & ndash 2x + 3)(x 2 & ndash 2x + 5) & ndash 35
Deixar x 2 & ndash 2x = z.
& # 8756 x 2 - 2 x + 3 x 2 - 2 x + 5 - 35 = z + 3 z + 5 - 35 = z 2 + 5 z + 3 z + 15 - 35 = z 2 + 8 z - 20 = z 2 + 10 z - 2 z - 20
= zz + 10 - 2 z + 10 = z + 10 z - 2 = x 2 - 2 x + 10 x 2 - 2 x - 2 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Substituir & # 160 z = x 2 - 2 x
(v)
(y + 2)(y & ndash 3) (y + 8)(y + 3) + 56
= (y + 2)(y + 3)(y + 8)(y & ndash 3) + 56
= (y 2 + 5y + 6)(y 2 + 5y & ndash 24) + 56
Deixar y 2 + 5y = z.
& # 8756 y 2 + 5 y + 6 y 2 + 5 y - 24 + 56 = z + 6 z - 24 + 56 = z 2 - 18 z - 144 + 56 = z 2 - 18 z - 88
= z 2 - 22 z + 4 z - 88 = zz - 22 + 4 z - 22 = z - 22 z + 4 = y 2 + 5 y - 22 y 2 + 5 y + 4 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Substituir & # 160 z = y 2 + 5 y
= y 2 + 5 y - 22 y 2 + 4 y + y + 4 = y 2 + 5 y - 22 y y + 4 + 1 y + 4 = y 2 + 5 y - 22 y + 4 y + 1
(vi)
(y 2 + 5y)(y 2 + 5y & ndash 2) & ndash 24
Deixar y 2 + 5y = z.
& # 8756 y 2 + 5 yy 2 + 5 y - 2 - 24 = zz - 2 - 24 = z 2 - 2 z - 24 = z 2 - 6 z + 4 z - 24 = zz - 6 + 4 z - 6 = z - 6 z + 4
= y 2 + 5 y - 6 y 2 + 5 y + 4 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Substituir & # 160 z = y 2 + 5 y = y 2 + 6 y - y - 6 y 2 + 4 y + y + 4 = yy + 6 - 1 y + 6 yy + 4 + 1 y + 4 = y + 6 y - 1 y + 4 y + 1
(vii)
(x & ndash 3) (x & ndash 4) 2 (x & ndash 5) & ndash 6
= (x & ndash 3) (x & ndash 5) (x & ndash 4) 2 & ndash 6
= (x 2 & ndash 8x + 15)(x 2 & ndash 8x + 16) & ndash 6
Deixar x 2 & ndash 8x = z.
& # 8756 x 2 - 8 x + 15 x 2 - 8 x + 16 - 6 = z + 15 z + 16 - 6 = z 2 + 31 z + 240 - 6 = z 2 + 31 z + 234
= z 2 + 18 z + 13 z + 234 = zz + 18 + 13 z + 18 = z + 18 z + 13 = x 2 - 8 x + 18 x 2 - 8 x + 13 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Substituir & # 160 z = x 2 - 8 x

Página No 55:

Questão 1:

(i) Qual dos seguintes é um polinômio?
(A) x y (B) x 2 & # 160 - & # 160 3 x (C) x - 2 & # 160 + & # 160 7 (D) 2 x 2 & # 160 + & # 160 1 2

(ii) Qual é o grau do polinômio 7?
(A) 1 2 (B) 5 (C) 2 (D) 0

(iii) Qual é o grau do polinômio 0?

(A) 0 (B) 1 (C) indefinido (D) qualquer número real

(iv) Qual é o grau do polinômio 2x 2 + 5x 3 + 7?
(A) 3 (B) 2 (C) 5 (D) 7

(v) Qual é a forma do coeficiente de & # 160 x 3 & # 160 - & # 160 1?
(A) (1, - 1) (B) (3, - 1) (C) (1, 0, 0, - 1) (D) (1, 3, - 1)

(vi) p (x) & # 160 = & # 160 x 2 & # 160 - & # 160 7 7 x & # 160 + & # 160 3 então p 7 7 & # 160 = & # 160?
(A) 3 (B) 7 7 (C) 42 & # 160 7 & # 160 + & # 160 3 (D) 49 7

(vii) Quando x & # 160 = & # 160 - & # 160 1, qual é o valor do polinômio 2x 3 + 2x ?
(A) 4 (B) 2 (C) - 2 (D) - 4

(viii) Se x - 1 & # 160, qual é o fator do polinômio 3 x 2 & # 160 + & # 160 m x, então encontre o valor de m.
(A) 2 (B) - 2 (C) - 3 (D) 3

(ix) Multiplicar ( x 2 - 3) (2x - 7x 3 + 4) e escreva o grau do produto.
(A) 5 (B) 3 (C) 2 (D) 0

(x) Qual dos seguintes é um polinômio linear?

Responder:


(eu)
Em uma expressão algébrica, se as potências das variáveis ​​são números inteiros, então a expressão algébrica é um polinômio.

Na expressão 2 x 2 & # 160 + & # 160 1 2, a potência da variável x é 2, que é um número inteiro. Portanto, a expressão 2 x 2 & # 160 + & # 160 1 2 é um polinômio.

Portanto, a resposta correta é a opção (D).

O grau do polinômio 7 é 0.

Portanto, a resposta correta é a opção (D).

(iii)
O grau de 0 polinômio não está definido.

Portanto, a resposta correta é a opção (C).

(4)
A maior potência da variável em um polinômio é chamada de grau do polinômio.

O grau do polinômio 2x 2 + 5x 3 + 7 é 3.

Portanto, a resposta correta é a opção (A).

(v)
& # 160 x 3 - 1 = x 3 + 0 x 2 + 0 x - 1

A forma do coeficiente do polinômio & # 160 x 3 - 1 é (1, 0, 0 e menos 1).

Portanto, a resposta correta é a opção (C).

& # 8756 p 7 7 = & # 160 7 7 2 - 7 7 & # 215 7 7 + 3 = 343 - 343 + 3 = 3

Portanto, a resposta correta é a opção (A).

Assim, o valor do polinômio quando x = & menos1 é & menos4.

Portanto, a resposta correta é a opção (D).

Portanto, a resposta correta é a opção (C).

(ix)
x 2 - 3 2 x - 7 x 3 + 4 = x 2 2 x - 7 x 3 + 4 - 3 2 x - 7 x 3 + 4 = 2 x 3 - 7 x 5 + 4 x 2 - 6 x + 21 x 3 - 12 = - 7 x 5 + 2 x 3 + 21 x 3 + 4 x 2 - 6 x - 12 = - 7 x 5 + 23 x 3 + 4 x 2 - 6 x - 12
Assim, o grau do polinômio resultante é 5.

Portanto, a resposta correta é a opção (A).

(x)
Um polinômio com grau um é chamado de polinômio linear.

Assim, o polinômio x + 5 é um polinômio linear.

Portanto, a resposta correta é a opção (A).

Página No 56:

Questão 2:

Escreva o grau do polinômio para cada um dos seguintes.

Responder:


A maior potência da variável em um polinômio em uma variável é chamada de grau do polinômio.

(eu)
O grau do polinômio 5 + 3x 4 é 4.

O grau do polinômio constante 7 é 0.

(iii)
O grau do polinômio machado 7 + bx 9 é 9.

Página No 56:

Questão 3:

Responder:


Um polinômio escrito em potência descendente ou ascendente de sua variável é chamado de forma padrão do polinômio.

(eu)
O polinômio dado é 4x 2 + 7x 4 e menos x 3 e menos x + 9 .
A forma padrão do polinômio é 7x 4 e menos x 3 + 4x 2 e menos x + 9 ou 9 e menos x + 4x 2 e menos x 3 + 7 x 4 .

(ii)
O polinômio dado é p + 2p 3 + 10p 2 + 5p 4 e menos 8.

A forma padrão do polinômio é 5p 4 + 2p 3 + 10p 2 + p & menos 8 ou & menos8 + p + 10p 2 + 2p 3 + 5p 4 .

Página No 56:

Questão 4:

Responder:


(eu)
x 4 + 16 = x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 16

Portanto, o polinômio dado na forma de coeficiente é (1, 0, 0, 0, 16).

(ii)
m 5 + 2 m 2 + 3 m + 15 = m 5 + 0 m 4 + 0 m 3 + 2 m 2 + 3 m + 15

Portanto, o polinômio dado na forma de coeficiente é (1, 0, 0, 2, 3, 15).

Página No 56:

Questão 5:

Responder:


(eu)
A forma do coeficiente do polinômio é (3, & menos2, 0, 7, 18).

Portanto, o índice do polinômio é 3x 4 e menos 2x 3 + 0x 2 + 7x + 18 ou 3x 4 e menos 2x 3 + 7x + 18.

(ii)
A forma do coeficiente do polinômio é (6, 1, 0, 7).

Portanto, o índice do polinômio é 6x 3 + x 2 + 0x + 7 ou 6x 3 + x 2 + 7.

(iii)
A forma do coeficiente do polinômio é (4, 5 e menos3, 0).

Portanto, o índice do polinômio é 4x 3 + 5x 2 e menos 3x + 0 ou 4x 3 + 5x 2 e menos 3x.

Página No 56:

Questão 6:

Responder:


(eu)
7 x 4 - 2 x 3 + x + 10 + 3 x 4 + 15 x 3 + 9 x 2 - 8 x + 2 = 7 x 4 + 3 x 4 - 2 x 3 + 15 x 3 + 9 x 2 + x - 8 x + 10 + 2 = 10 x 4 + 13 x 3 + 9 x 2 - 7 x + 12
(ii)
3 p 3 q + 2 p 2 q + 7 + 2 p 2 q + 4 pq - 2 p 3 q = 3 p 3 q - 2 p 3 q + 2 p 2 q + 2 p 2 q + 4 pq + 7 = p 3 q + 4 p 2 q + 4 pq + 7

Página No 56:

Questão 7:

Responder:


(eu)
5 x 2 - 2 y + 9 - 3 x 2 + 5 y - 7 = 5 x 2 - 2 y + 9 - 3 x 2 - 5 y + 7 = 5 x 2 - 3 x 2 - 2 y - 5 y + 9 + 7 = 2 x 2 - 7 y + 16
(ii)
2 x 2 + 3 x + 5 - x 2 - 2 x + 3 = 2 x 2 + 3 x + 5 - x 2 + 2 x - 3 = 2 x 2 - x 2 + 3 x + 2 x + 5 - 3 = x 2 + 5 x + 2

Página No 56:

Questão 8:

Responder:


(eu)
m 3 - 2 m + 3 m 4 - 2 m 2 + 3 m + 2 = m 3 m 4 - 2 m 2 + 3 m + 2 - 2 mm 4 - 2 m 2 + 3 m + 2 + 3 m 4 - 2 m 2 + 3 m + 2 = m 7 - 2 m 5 + 3 m 4 + 2 m 3 - 2 m 5 + 4 m 3 - 6 m 2 - 4 m + 3 m 4 - 6 m 2 + 9 m + 6 = m 7 - 2 m 5 - 2 m 5 + 3 m 4 + 3 m 4 + 2 m 3 + 4 m 3 - 6 m 2 - 6 m 2 - 4 m + 9 m + 6 = m 7 - 4 m 5 + 6 m 4 + 6 m 3 - 12 m 2 + 5 m + 6
(ii)
5 m 3 - 2 m 2 - m + 3 = 5 m 3 m 2 - m + 3 - 2 m 2 - m + 3 = 5 m 5 - 5 m 4 + 15 m 3 - 2 m 2 + 2 m - 6

Página No 56:

Questão 9:

Responder:

Dividendo = 3 x 3 - 8 x 2 + x + 7


A forma do coeficiente do quociente é (3, 1, 4).

& there4 Quociente = 3x 2 + x + 4 e restante = 19

Página No 56:

Questão 10:

Para o qual o valor de m, x + 3 é o fator do polinômio x 3 - 2mx + 21?

Responder:

(x + 3) é o fator do polinômio p x = x 3 - 2 m x + 21.

& # 8756 p - 3 = 0 & # 8658 - 3 3 - 2 m & # 215 - 3 + 21 = 0 & # 8658 - 27 + 6 m + 21 = 0 & # 8658 6 m - 6 = 0 & # 8658 6 m = 6 & # 8658 m = 1
Portanto, o valor de m é 1.

Página No 56:

Questão 11:

No final do ano de 2016, a população das aldeias Kovad, Varud, Chikhali era de 5x 2 - 3 y 2 , 7 y 2 + 2 xy e 9 x 2 + 4 xy respectivamente. No início do ano de 2017, x 2 + xy - y 2 , 5 xy e 3 x 2 + xy pessoas de cada uma das três aldeias, respectivamente, foram para outra aldeia para educação, então qual é a população total restante dessas três aldeias?

Responder:


População total das três aldeias
= 5 x 2 - 3 y 2 + 7 y 2 + 2 xy + 9 x 2 + 4 xy = 5 x 2 + 9 x 2 - 3 y 2 + 7 y 2 + 2 xy + 4 xy = 14 x 2 + 4 y 2 + 6 xy
Número total de pessoas que foram para outra aldeia para estudar
= x 2 + x y - y 2 + 5 x y + 3 x 2 + x y = x 2 + 3 x 2 - y 2 + x y + 5 x y + x y = 4 x 2 - y 2 + 7 x y
& there4 População total restante das três aldeias = População total das três aldeias & menos Número total de pessoas que foram para outra aldeia para educação
= 14 x 2 + 4 y 2 + 6 xy - 4 x 2 - y 2 + 7 xy = 14 x 2 + 4 y 2 + 6 xy - 4 x 2 + y 2 - 7 xy = 14 x 2 - 4 x 2 + 4 y 2 + y 2 + 6 xy - 7 xy = 10 x 2 + 5 y 2 - xy
Assim, a população total restante dessas três aldeias é de 10x 2 + 5y 2 e menos xy.

Página No 56:

Questão 12:

Polinômios bx 2 + x + 5 e bx 3 - 2x + 5 são divididos por polinômios x - 3 e os restantes são me n respectivamente. Se m - n = 0 então encontre o valor de b.

Responder:


Seja p x = b x 2 + x + 5 eq x = b x 3 - 2 x + 5.

O restante quando p x = b x 2 + x + 5 é dividido por (x e menos 3) é m.

& # 8756 b & # 215 3 3 - 2 & # 215 3 + 5 = n & # 8658 n = 27 b - 6 + 5 & # 8658 n = 27 b - 1 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160. . . . . 2
Agora,
m - n = 0 & # 8658 9 b + 8 - 27 b - 1 = 0 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Usando & # 160 1 & # 160 e & # 160 2 & # 8658 9 b - 27 b + 8 + 1 = 0 & # 8658 - 18 b + 9 = 0 & # 8658 - 18 b = - 9 & # 8658 b = - 9 - 18 = 1 2
Portanto, o valor de b é 1 2.

Página No 56:

Questão 13:

Responder:


8 m 2 + 3 m - 6 - 9 m - 7 + 3 m 2 - 2 m + 4 = 8 m 2 + 3 m - 6 - 9 m + 7 + 3 m 2 - 2 m + 4 = 8 m 2 + 3 m 2 + 3 m - 9 m - 2 m - 6 + 7 + 4 = 11 m 2 - 8 m + 5

Página No 56:

Questão 14:

Qual polinômio deve ser subtraído de x 2 + 13x + 7 para obter o polinômio 3x 2 + 5x - 4?

Responder:


Deixar p(x) ser o polinômio que deve ser subtraído de x 2 + 13x + 7 para obter o polinômio 3x 2 + 5x e menos 4.

Assim, o polinômio necessário é & menos2x 2 + 8x + 11.

Página No 56:

Questão 15:

Qual polinômio deve ser adicionado a 4m + 2n + 3 para obter o polinômio 6m + 3n + 10?

Responder:


O polinômio necessário pode ser obtido subtraindo o polinômio 4m + 2n + 3 de 6m + 3n + 10.

Assim, o polinômio 2m + n + 7 deve ser adicionado a 4m + 2n + 3 para obter o polinômio 6m + 3n + 10.


6.6: Divide Polinômios

Dividindo

Honestamente, esse é definitivamente um assunto difícil. Pode ser difícil de entender, então vamos começar devagar e trabalhar até isso.

Dividir um polinômio por um monômio (um termo) é um bom lugar para começar, porque não é tão ruim. Digamos que temos:

Para ser capaz de dividir neste exemplo, precisamos dividir cada peça por 3x e reduzir.

Torna-se muito mais difícil se tivermos que dividir por um binômio (dois termos). Se for esse o caso, temos que fazer uma divisão longa. Agora, você terá que voltar em sua memória para tentar se lembrar de como fazer divisões longas. Vamos trabalhar com um exemplo básico.

Sete não cabe em 2, então temos que ver quantas vezes caberá em 24 sem ultrapassar. Sete vezes três obras!

começar
-21 & \
hline
& 35
fim
(abaixe o 5)

Isso já está tocando uma campainha? Vamos terminar.

Vamos tentar aplicar isso a um polinômio.

Você só precisa se preocupar com os 2x começar com. O que podemos multiplicar 2x por para combinar 2x 3? A resposta é x 2 .

Agora queremos nossos 2x para combinar -2x 2 Podemos multiplicar por -x.

6x e 25 não podem ser combinados, pois não são "termos semelhantes", então deixamos como 6x + 25. Quase pronto! Para obter 2x para combinar -6x nós multiplicamos por -3.

Não há como obter o nosso 2x para combinar 7 multiplicando para deixar a última parte da resposta em forma de fração ou ( Large frac <7> << 2x - 6 >> ).

Portanto, nossa resposta final é: ( - x - 3 + Large frac <7> << 2x - 6 >> ).

Ufa! Esse é um problema difícil! Vamos tentar mais um.

Resposta final: ( - 5k - 1 + Grande frac <6> << 2k - 5 >> )

Abaixo você pode baixar algum gratuitamente planilhas de matemática e prática.


Código fonte

Você pode baixar o código-fonte do programa atual e o antigo miniaplicativo de fatoração polinomial de soma do GitHub. Observe que o código-fonte está em linguagem C e você precisa do ambiente Emscripten para gerar Javascript.

Escrito por Dario Alpern. Última atualização em 1º de julho de 2021.

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Assista o vídeo: Dzielenie wielomianów schematem Hornera #6 Wielomiany (Novembro 2021).