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9.2: Operadores e similaridade


Embora o estudo das transformações lineares de um espaço vetorial para outro seja importante, o problema central da álgebra linear é entender a estrutura de uma transformação linear (T: V para V ) de um espaço (V ) para si mesmo . Essas transformações são chamadas operadores lineares. Se (T: V a V ) é um operador linear onde ( func {dim} (V) = n ), é possível escolher as bases (B ) e (D ) de (V ) tal que a matriz (M_ {DB} (T) ) tem uma forma muito simples: (M_ {DB} (T) = leftB begin {array} {cc} I_r & 0 0 & 0 end {array} rightB ) onde (r = func {rank} T ) (ver Exemplo [exa: 028178]). Começaremos esta tarefa nesta seção.

A matriz B de um operador

Matriz (M_ {DB} (T) ) de (T: V para W ) para a base (B ) 028619 Se (T: V para V ) é um operador em um espaço vetorial (V ), e se (B ) é uma base ordenada de (V ), defina (M_ {B} (T) = M_ {BB} (T) ) e chame isso de ( bm {B} ) -matriz de (T ).

Lembre-se de que se (T: RR ^ n to RR ^ n ) é um operador linear e (E = { vect {e} _ {1}, vect {e} _ {2}, dots, vect {e} _ {n} } ) é a base padrão de ( RR ^ n ), então (C_ {E} ( vect {x}) = vect {x} ) para cada ( vect {x} in RR ^ n ), então (M_ {E} (T) = leftB T ( vect {e} _ {1}), T ( vect {e} _ {2}), dots, T ( vect {e} _ {n}) rightB ) é a matriz obtida no Teorema [thm: 005789]. Portanto, (M_ {E} (T) ) será chamado de matriz padrão do operador (T ).

Para referência, o seguinte teorema coleta alguns resultados do Teorema [thm: 027955], Teorema [thm: 028067] e do Teorema [thm: 028086], especializado para operadores. Como antes, (C_ {B} ( vect {v}) ) denotou o vetor de coordenadas de ( vect {v} ) com respeito à base (B ).

028640 Seja (T: V para V ) um operador onde ( func {dim} V = n ), e seja (B ) uma base ordenada de (V ).

  1. (C_ {B} (T ( vect {v})) = M_ {B} (T) C_ {B} ( vect {v}) ) para todos ( vect {v} ) em (V ).
  2. Se (S: V para V ) é outro operador em (V ), então (M_ {B} (ST) = M_ {B} (S) M_ {B} (T) ).
  3. (T ) é um isomorfismo se e somente se (M_ {B} (T) ) é invertível. Neste caso, (M_ {D} (T) ) é invertível para cada base ordenada (D ) de (V ).
  4. Se (T ) é um isomorfismo, então (M_ {B} (T ^ {- 1}) = [M_ {B} (T)] ^ {- 1} ).
  5. Se (B = { vect {b} _ {1}, vect {b} _ {2}, dots, vect {b} _ {n} } ), então (M_B (T ) = leftB begin {array} {cccc} C_B [T ( vect {b} _1)] & C_B [T ( vect {b} _2)] & cdots & C_B [T ( vect {b} _n)] end {array} rightB ).

Para um operador fixo (T ) em um espaço vetorial (V ), vamos estudar como a matriz (M_ {B} (T) ) muda quando a base (B ) muda. Isso está intimamente relacionado a como as coordenadas (C_ {B} ( vect {v}) ) mudam para um vetor ( vect {v} ) em (V ). Se (B ) e (D ) são duas bases ordenadas de (V ), e se tomarmos (T = 1_ {V} ) no Teorema [thm: 027955], obtemos [C_D ( vect {v}) = M_ {DB} (1_V) C_B ( vect {v}) quad mbox {para todos} vect {v} mbox {em} V ]

Mude a matriz (P_ {D obtém B} ) para as bases (B ) e (D ) 028675 Com isso em mente, defina o matriz de mudança (P_ {D obtém B} ) por [P_ {D obtém B} = M_ {DB} (1_V) quad mbox {para quaisquer bases ordenadas} B mbox {e} D mbox {de } V ]

Isso prova a equação [eqn: thm_9_2_2_b] no seguinte teorema:

028683 Let (B = { vect {b} _ {1}, vect {b} _ {2}, dots, vect {b} _ {n} } ) e (D ) denotam bases ordenadas de um espaço vetorial (V ). Então a matriz de mudança (P_ {D gets B} ) é dada em termos de suas colunas por [ label {eqn: thm_9_2_2_a} P_ {D gets B} = leftB begin {array} {cccc} C_D ( vect {b} _1) & C_D ( vect {b} _2) & cdots & C_D ( vect {b} _n) end {array} rightB ] e tem a propriedade que [ label {eqn: thm_9_2_2_b} C_D ( vect {v}) = P_ {D gets B} C_B ( vect {v}) mbox {para todos} vect {v} mbox {in} V ] Além disso, se (E ) é outra base ordenada de (V ), temos

  1. (P_ {B obtém B} = I_ {n} )
  2. (P_ {D obtém B} ) é invertível e ((P_ {D obtém B}) ^ {- 1} = P_ {B obtém D} )
  3. (P_ {E obtém D} P_ {D obtém B} = P_ {E obtém B} )

A fórmula [eqn: thm_9_2_2_b] é derivada acima, e [eqn: thm_9_2_2_a] é imediata a partir da definição de (P_ {D gets B} ) e da fórmula para (M_ {DB} (T) ) em Teorema [thm: 027955].

  1. (P_ {B obtém B} = M_ {BB} (1_ {V}) = I_ {n} ) como é facilmente verificado.
  2. Isso decorre de (1) e (3).
  3. Sejam (V stackrel {T} { to} W stackrel {S} { to} U ) os operadores, e sejam (B ), (D ) e (E ) bases ordenadas de (V ), (W ) e (U ) respectivamente. Temos (M_ {EB} (ST) = M_ {ED} (S) M_ {DB} (T) ) pelo Teorema [thm: 028067]. Agora (3) é o resultado da especialização
    (V = W = U ) e (T = S = 1_ {V} ).

A propriedade (3) no teorema [thm: 028683] explica a notação ( vectspace {P} _ {D gets B} ).

028754 Em ( vectspace {P} _ {2} ) encontre (P_ {D obtém B} ) se (B = {1, x, x ^ {2} } ) e ( D = {1, (1 - x), (1 - x) ^ {2} } ). Em seguida, use isso para expressar (p = p (x) = a + bx + cx ^ {2} ) como um polinômio em potências de ((1 - x) ).

Para calcular a matriz de mudança (P_ {D obtém B} ), expresse (1, x, x ^ {2} ) na base (D ): [ begin {alinhado} 1 & = 1 + 0 (1 - x) + 0 (1 - x) ^ 2 x & = 1 - 1 (1 - x) + 0 (1 - x) ^ 2 x ^ 2 & = 1 - 2 ( 1 - x) + 1 (1 - x) ^ 2 end {alinhado} ] Portanto (P_ {D obtém B} = leftB C_D (1), C_D (x), C_D (x) ^ 2 rightB = leftB begin {array} {rrr} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -2 0 & 0 & 1 end {array} rightB ). Temos (C_B (p) = leftB begin {array} {c} a b c end {array} rightB ), então [C_D (p) = P_ {D obtém B } C_B (p) = leftB begin {array} {rrr} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -2 0 & 0 & 1 end {array} rightB leftB begin {array } {c} a b c end {array} rightB = leftB begin {array} {c} a + b + c -b - 2c c end {array} rightB ] Portanto, (p (x) = (a + b + c) - (b + 2c) (1 - x) + c (1 - x) ^ {2} ) por Definição [def: 027894].

Agora vamos (B = { vect {b} _ {1}, vect {b} _ {2}, dots, vect {b} _ {n} } ) e (B_ {0 } ) ser duas bases ordenadas de um espaço vetorial (V ). Um operador (T: V a V ) tem matrizes diferentes (M_ {B} [T] ) e (M_ {B_0} [T] ) com respeito a (B ) e (B_ {0} ). Agora podemos determinar como essas matrizes estão relacionadas. O teorema [thm: 028683] afirma que [C_ {B_0} ( vect {v}) = P_ {B_0 obtém B} C_B ( vect {v}) mbox {para todos} vect {v} mbox {in} V ] Por outro lado, o Teorema [thm: 028640] dá [C_B [T ( vect {v})] = M_B (T) C_B ( vect {v}) mbox {para todos} vect {v} mbox {in} V ] Combinando estes (e escrevendo (P = P_ {B_ {0} gets B} ) por conveniência) dá [ begin {alinhados} PM_B (T) C_B ( vect {v}) & = PC_B [T ( vect {v})] & = C_ {B_0} [T ( vect {v})] & = M_ {B_0} (T) C_ {B_0} ( vect {v}) & = M_ {B_0} (T) PC_B ( vect {v}) end {alinhado} ] Isso vale para todos ( vect {v} ) em (V ). Como (C_ {B} ( vect {b} _ {j}) ) é a (j ) ésima coluna da matriz identidade, segue-se que [ begin {alinhados} PM_B (T) = M_ {B_0} (T) P end {alinhado} ] Além disso, (P ) é invertível (na verdade, (P ^ {- 1} = P_ {B obtém B_0} ) pelo Teorema [thm: 028683 ]), então isso dá [M_B (T) = P ^ {- 1} M_ {B_0} (T) P ] Isso afirma que (M_ {B_0} (T) ) e (M_ {B} (T) ) são matrizes semelhantes e prova o Teorema [thm: 028802].

Teorema da Similaridade028802 Sejam (B_ {0} ) e (B ) duas bases ordenadas de um espaço vetorial de dimensão finita (V ). Se (T: V a V ) for qualquer operador linear, as matrizes (M_ {B} (T) ) e (M_ {B_0} (T) ) de (T ) em relação a essas bases são semelhantes. Mais precisamente, [M_B (T) = P ^ {- 1} M_ {B_0} (T) P ] onde (P = P_ {B_0 obtém B} ) é a matriz de mudança de (B ) para (B_ {0} ).

028812 Seja (T: RR ^ 3 to RR ^ 3 ) definido por (T (a, b, c) = (2a - b, b + c, c - 3a) ). Se (B_ {0} ) denota a base padrão de ( RR ^ 3 ) e (B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0) } ), encontre uma matriz invertível (P ) tal que (P ^ {- 1} M_ {B_0} (T) P = M_B (T) ).

Temos [ begin {reuniu} M_ {B_0} (T) = leftB begin {array} {ccc} C_ {B_0} (2, 0, -3) & C_ {B_0} (- 1, 1, 0) & C_ {B_0} (0, 1, 1) end {array} rightB = leftB begin {array} {rrr} 2 & -1 & 0 0 & 1 & 1 -3 & 0 & 1 end {array} rightB M_ {B} (T) = leftB begin {array} {ccc} C_ {B} (1, 1, -3) & C_ {B} (2, 1, -2) & C_ {B} (- 1, 1, 0) end {array} rightB = leftB begin {array} {rrr} 4 & 4 & -1 -3 & -2 & 0 -3 & -3 & 2 end {array} rightB P = P_ {B_0 get B} = leftB begin {array} {ccc} C_ {B_0} (1, 1, 0) & C_ {B_0} (1, 0, 1) & C_ {B_0} (0, 1, 0) end {array} rightB = leftB begin {array} {rrr} 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end {array} rightB end {recolhido} ] O leitor pode verificar que (P ^ {- 1} M_ {B_0} (T) P = M_B (T ) ); equivalentemente que (M_ {B_0} (T) P = PM_B (T) ).

Uma matriz quadrada é diagonalizável se e somente se for semelhante a uma matriz diagonal. O teorema [thm: 028802] vem assim: Suponha que uma matriz (n vezes n ) (A = M_ {B_0} (T) ) é a matriz de algum operador (T: V a V ) com respeito a uma base ordenada (B_ {0} ). Se outra base ordenada (B ) de (V ) pode ser encontrada de modo que (M_ {B} (T) = D ) seja diagonal, então o Teorema [thm: 028802] mostra como encontrar um invertível (P ) de forma que (P ^ {- 1} AP = D ). Em outras palavras, o problema "algébrico" de encontrar (P ) tal que (P ^ {- 1} AP ) é diagonal se resume ao problema "geométrico" de encontrar uma base (B ) tal que (M_ {B} (T) ) é diagonal. Essa mudança de ênfase é uma das técnicas mais importantes da álgebra linear.

Cada matriz (n vezes n ) (A ) pode ser facilmente percebida como a matriz de um operador. Na verdade, (Exemplo [exa: 028025]), [M_E (T_A) = A ] onde (T_ {A}: RR ^ n para RR ^ n ) é o operador de matriz dado por ( T_ {A} ( vect {x}) = A vect {x} ), e (E ) é a base padrão de ( RR ^ n ). A primeira parte do próximo teorema fornece o inverso do Teorema [thm: 028802]: Qualquer par de matrizes semelhantes pode ser realizado como as matrizes do mesmo operador linear em relação a bases diferentes. Esta é a parte 1 do seguinte teorema.

028841 Seja (A ) uma matriz (n vezes n ) e seja (E ) a base padrão de ( RR ^ n ).

  1. Seja (A ^ { prime} ) semelhante a (A ), digamos (A ^ { prime} = P ^ {- 1} AP ), e seja (B ) o ordenado base de ( RR ^ n ) consistindo nas colunas de (P ) em ordem. Então (T_ {A}: RR ^ n to RR ^ n ) é linear e [M_E (T_A) = A quad mbox {e} quad M_B (T_A) = A ^ { prime } ]
  2. Se (B ) é qualquer base ordenada de ( RR ^ n ), seja (P ) a matriz (invertível) cujas colunas são os vetores em (B ) em ordem. Então [M_B (T_A) = P ^ {- 1} AP ]
  1. Temos (M_ {E} (T_ {A}) = A ) por exemplo [exa: 028025]. Escreva (P = leftB begin {array} {ccc} vect {b} _ {1} & cdots & vect {b} _ {n} end {array} rightB ) em termos de colunas então (B = { vect {b} _ {1}, dots, vect {b} _ {n} } ) é uma base de ( RR ^ n ). Uma vez que (E ) é a base padrão, [P_ {E gets B} = leftB begin {array} {ccc} C_E ( vect {b} _1) & cdots & C_E ( vect {b } _n) end {array} rightB = leftB begin {array} {ccc} vect {b} _1 & cdots & vect {b} _n end {array} rightB = P ] Teorema Conseqüente [thm: 028802] (com (B_ {0} = E )) dá (M_ {B} (T_ {A}) = P ^ {- 1} M_ {E} (T_ {A}) P = P ^ {- 1} AP = A ^ { prime} ).
  2. Aqui (P ) e (B ) são como acima, então novamente (P_ {E obtém B} = P ) e (M_ {B} (T_ {A}) = P ^ {- 1 } AP ).

028887 Dado (A = leftB begin {array} {rr} 10 & 6 -18 & -11 end {array} rightB ), (P = leftB begin {array} {rr} 2 & -1 -3 & 2 end {array} rightB ), e (D = leftB begin {array} {rr} 1 & 0 0 & -2 end {array} direitaB ), verifique se (P ^ {- 1} AP = D ) e use este fato para encontrar uma base (B ) de ( RR ^ 2 ) tal que (M_ {B} ( T_ {A}) = D ).

(P ^ {- 1} AP = D ) é válido se (AP = PD ); esta verificação é deixada para o leitor. Seja (B ) consistindo nas colunas de (P ) em ordem, ou seja, (B = left { leftB begin {array} {r} 2 -3 end {array} rightB, leftB begin {array} {r} -1 2 end {array} rightB right } ). Então o Teorema [thm: 028841] dá (M_ {B} (T_ {A}) = P ^ {- 1} AP = D ). Mais explicitamente, [M_B (T_A) = leftB C_B left (T_A leftB begin {array} {r} 2 -3 end {array} rightB right) quad C_B left (T_A leftB begin {array} {r} -1 2 end {array} rightB right) rightB = leftB C_B leftB begin {array} {r} 2 -3 end {array} rightB quad C_B leftB begin {array} {r} 2 -4 end {array} rightB rightB = leftB begin {array} {rr} 1 & 0 0 & -2 end {array} rightB = D ]

Seja (A ) uma matriz (n vezes n ). Como no Exemplo [exa: 028887], o Teorema [thm: 028841] fornece uma nova maneira de encontrar uma matriz invertível (P ) tal que (P ^ {- 1} AP ) seja diagonal. A ideia é encontrar uma base (B = { vect {b} _ {1}, vect {b} _ {2}, dots, vect {b} _ {n} } ) de ( RR ^ n ) de modo que (M_ {B} (T_ {A}) = D ) seja diagonal e tome (P = leftB begin {array} {cccc} vect {b} _ {1} & vect {b} _ {2} & cdots & vect {b} _ {n} end {array} rightB ) para ser a matriz com o ( vect {b} _ { j} ) como colunas. Então, pelo teorema [thm: 028841], [P ^ {- 1} AP = M_B (T_A) = D ] Como mencionado acima, isso converte o problema algébrico de diagonalização (A ) no problema geométrico de encontrar a base (B ). Este novo ponto de vista é muito poderoso e será explorado nas próximas duas seções.

O teorema [thm: 028841] permite que fatos sobre matrizes sejam deduzidos das propriedades correspondentes dos operadores. Aqui está um exemplo.

028921

  1. Se (T: V para V ) é um operador onde (V ) é dimensionalmente finito, mostre que (TST = T ) para algum operador invertível (S: V para V ).
  2. Se (A ) é uma matriz (n vezes n ), mostre que (AUA = A ) para alguma matriz invertível (U ).
  1. Seja (B = { vect {b} _ {1}, dots, vect {b} _ {r}, vect {b} _ {r + 1}, dots, vect {b} _ {n} } ) ser uma base de (V ) escolhido de forma que ( func {ker} T = func {span} { vect {b} _ {r + 1}, dots , vect {b} _ {n} } ). Então ( {T ( vect {b} _ {1}), dots, T ( vect {b} _ {r}) } ) é independente (Teorema [thm: 021572]), então complete em uma base ( {T ( vect {b} _ {1}), dots, T ( vect {b} _ {r}), vect {f} _ {r + 1}, pontos, vect {f} _ {n} } ) de (V ).

    Pelo Teorema [thm: 020916], defina (S: V para V ) por [ begin {alinhados} S [T ( vect {b} _i)] & = vect {b} _i quad mbox {para} 1 leq i leq r S ( vect {f} _j) & = vect {b} _j quad mbox {para} r

  2. Dado (A ), seja (T = T_ {A}: RR ^ n para RR ^ n ). Por (1) deixe (TST = T ) onde (S: RR ^ n para RR ^ n ) é um isomorfismo. Se (E ) é a base padrão de ( RR ^ n ), então (A = M_ {E} (T) ) pelo Teorema [thm: 028841]. Se (U = M_ {E} (S) ) então, pelo teorema [thm: 028640], (U ) é invertível e [AUA = M_E (T) M_E (S) M_E (T) = M_E (TST) = M_E (T) = A ] conforme necessário.

O leitor apreciará o poder desses métodos se tentar encontrar (U ) diretamente na parte 2 do Exemplo [exa: 028921], mesmo que (A ) seja (2 vezes 2 ).

Uma propriedade de matrizes (n vezes n ) é chamada de invariante de similaridade se, sempre que uma dada matriz (n vezes n ) (A ) tiver a propriedade, toda matriz semelhante a (A ) também terá a propriedade. O teorema [thm: 016008] mostra que ( func {rank} ), determinante, traço e polinômio característico são todos invariantes de similaridade.

Para ilustrar como tais invariantes de similaridade estão relacionados a operadores lineares, considere o caso de ( func {rank} ). Se (T: V a V ) é um operador linear, as matrizes de (T ) em relação às várias bases de (V ) todas têm o mesmo ( func {rank} ) (sendo semelhante), então é natural considerar o ( func {rank} ) comum de todas essas matrizes como uma propriedade de (T ) em si e não da matriz particular usada para descrever (T ). Portanto, o ( func {rank} ) de (T ) poderia ser definiram para ser o ( func {rank} ) de (A ), onde (A ) é algum matriz de (T ). Isso não seria ambíguo porque ( func {rank} ) é uma invariante de similaridade. Claro, isso é desnecessário no caso de ( func {rank} ) porque ( func {rank} T ) foi definido anteriormente para ser a dimensão de ( func {im} T ), e isto foi provado para ser igual a ( func {rank} ) de cada matriz que representa (T ) (Teorema [thm: 028139]). Esta definição de ( func {rank} T ) é considerada intrínseco porque não faz referência às matrizes que representam (T ). No entanto, a técnica serve para identificar uma propriedade intrínseca de (T ) com cada invariante de similaridade, e algumas dessas propriedades não são definidas diretamente com tanta facilidade.

Em particular, se (T: V para V ) é um operador linear em um espaço dimensional finito (V ), defina o determinante de (T ) (denotado ( func {det} T )) por [ func {det} T = func {det} M_B (T), quad B mbox {qualquer base de} V ] Isso é independente da escolha da base (B ) porque, se (D ) for qualquer outra base de (V ), as matrizes (M_ {B} (T) ) e ( M_ {D} (T) ) são semelhantes e, portanto, têm o mesmo determinante. Da mesma forma, o vestígio de (T ) (denotado ( func {tr} T )) pode ser definido por [ func {tr} T = func {tr} M_B (T), quad B mbox {qualquer base de} V ] Isso não é ambíguo pelo mesmo motivo.

Teoremas sobre matrizes podem frequentemente ser traduzidos em teoremas sobre operadores lineares. Aqui está um exemplo.

028977 Sejam (S ) e (T ) os operadores lineares no espaço dimensional finito (V ). Mostre que [ func {det} (ST) = func {det} S func {det} T ]

Escolha uma base (B ) de (V ) e use o Teorema [thm: 028640]. [ begin {alinhados} func {det} (ST) = func {det} M_B (ST) & = func {det} [M_B (S) M_B (T)] & = func {det } [M_B (S)] func {det} [M_B (T)] = func {det} S func {det} T end {alinhado} ]

Lembre-se a seguir que o polinômio característico de uma matriz é outro invariante de similaridade: Se (A ) e (A ^ { prime} ) são matrizes semelhantes, então (c_ {A} (x) = c_ {A ^ { prime}} (x) ) (Teorema [thm: 016008]). Como discutido acima, a descoberta de uma invariante de similaridade significa a descoberta de uma propriedade de operadores lineares. Neste caso, se (T: V a V ) é um operador linear no espaço dimensional finito (V ), defina o polinômio característico de (T ) por [c_T (x) = c_A (x) mbox {onde} A = M_B (T) mbox {,} B mbox {qualquer base de} V ] Em outras palavras, o polinômio característico de um operador (T ) é o polinômio característico de algum matriz que representa (T ). Isso não é ambíguo porque quaisquer duas dessas matrizes são semelhantes pelo Teorema [thm: 028802].

028991 Calcula o polinômio característico (c_ {T} (x) ) do operador (T: vectspace {P} _ {2} to vectspace {P} _ {2} ) dado por (T (a + bx + cx ^ {2}) = (b + c) + (a + c) x + (a + b) x ^ {2} ).

Se (B = {1, x, x ^ {2} } ), a matriz correspondente de (T ) é [M_B (T) = leftB begin {array} {ccc} C_B [ T (1)] & C_B [T (x)] & C_B [T (x ^ 2)] end {array} rightB = leftB begin {array} {rrr} 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 end {array} rightB ] Portanto (c_ {T} (x) = func {det} [xI - M_ {B} (T)] = x ^ { 3} - 3x - 2 = (x + 1) ^ {2} (x - 2) ).

Na Seção [sec: 4_4], calculamos a matriz de várias projeções, reflexões e rotações em ( RR ^ 3 ). Entretanto, os métodos disponíveis não eram adequados para encontrar a matriz de uma rotação em torno de uma linha que passa pela origem. Concluímos esta seção com um exemplo de como o Teorema [thm: 028802] pode ser usado para calcular tal matriz.

029011 Seja (L ) a linha em ( RR ^ 3 ) através da origem com vetor de direção (unidade) ( vect {d} = frac {1} {3} leftB begin {array } {ccc} 2 & 1 & 2 end {array} rightB ^ T ). Calcule a matriz da rotação em torno de (L ) através de um ângulo ( theta ) medido no sentido anti-horário quando visto na direção de ( vect {d} ).

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Seja (R: RR ^ 3 to RR ^ 3 ) a rotação. A ideia é primeiro encontrar uma base (B_ {0} ) para a qual a matriz de (M_ {B_0} (R) ) de (R ) seja fácil de calcular e, em seguida, usar o Teorema [thm: 028802] para calcular a matriz “padrão” (M_ {E} (R) ) em relação à base padrão (E = { vect {e} _ {1}, vect {e} _ {2 }, vect {e} _ {3} } ) de ( RR ^ 3 ).

Para construir a base (B_ {0} ), deixe (K ) denotar o plano através da origem com ( vect {d} ) como normal, sombreado no diagrama. Então os vetores ( vect {f} = frac {1} {3} leftB begin {array} {ccc} -2 & 2 & 1 end {array} rightB ^ T ) e ( vect {g} = frac {1} {3} leftB begin {array} {ccc} 1 & 2 & -2 end {array} rightB ^ T ) estão ambos em (K ) (eles são ortogonais a ( vect {d} )) e são independentes (são ortogonais entre si).

Portanto, (B_ {0} = { vect {d}, vect {f}, vect {g} } ) é uma base ortonormal de ( RR ^ 3 ), e o efeito de (R ) em (B_ {0} ) é fácil de determinar. Na verdade (R ( vect {d}) = vect {d} ) e (como no Teorema [thm: 006021]) o segundo diagrama dá [R ( vect {f}) = cos theta vect {f} + sin theta vect {g} quad mbox {e} quad R ( vect {g}) = - sin theta vect {f} + cos theta vect {g} ]

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porque ( vectlength vect {f} vectlength = 1 = vectlength vect {g} vectlength ). Portanto [M_ {B_0} (R) = leftB begin {array} {ccc} C_ {B_0} ( vect {d}) & C_ {B_0} ( vect {f}) & C_ {B_0} ( vect {g}) end {array} rightB = leftB begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 0 & cos theta & - sin theta 0 & sin theta & cos theta end {array} rightB ] Agora Teorema [thm: 028802] (com (B = E )) afirma que (M_E (R) = P ^ {- 1} M_ {B_0 } (R) P ) onde [P = P_ {B_0 obtém E} = leftB begin {array} {ccc} C_ {B_0} ( vect {e} _1) & C_ {B_0} ( vect {e} _2) & C_ {B_0} ( vect {e} _3) end {array} rightB = frac {1} {3} leftB begin {array} {rrr} 2 & 1 & 2 -2 & 2 & 1 1 & 2 & -2 end {array} rightB ] usando o teorema da expansão (Teorema [thm: 015082]). Como (P ^ {- 1} = P ^ {T} ) ( (P ) é ortogonal), a matriz de (R ) em relação a (E ) é [ begin {alinhada } M_E (R) & = P ^ TM_ {B_0} (R) P & = frac {1} {9} leftB begin {array} {ccc} 5 cos theta + 4 & 6 sin theta - 2 cos theta + 2 & 4 - 3 sin theta - 4 cos theta 2 - 6 sin theta - 2 cos theta & 8 cos theta + 1 & 6 sin theta - 2 cos theta + 2 3 sin theta - 4 cos theta + 4 & 2 - 6 sin theta - 2 cos theta & 5 cos theta + 4 end {array} rightB end {alinhados} ] Como uma verificação, verifica-se que esta é a matriz identidade quando ( theta = 0 ), como deveria.

Observe que no Exemplo [exa: 029011] não foi dada muita motivação para as escolhas dos vetores (ortonormais) ( vect {f} ) e ( vect {g} ) na base (B_ {0 } ), que é a chave para a solução. No entanto, se começarmos com algum base contendo ( vect {d} ) o algoritmo de Gram-Schmidt irá produzir uma base ortogonal contendo ( vect {d} ), e os outros dois vetores estarão automaticamente em (L ^ { perp} = K ).

Exercícios para 1

soluções

2

Em cada caso, encontre (P_ {D obtém B} ), onde (B ) e (D ) são bases ordenadas de (V ). Em seguida, verifique se
(C_ {D} ( vect {v}) = P_ {D obtém B} C_ {B} ( vect {v}) ).

  1. (V = RR ^ 2 ), (B = {(0, -1), (2, 1) } ),
    (D = {(0, 1), (1, 1) } ), ( vect {v} = (3, -5) )
  2. (V = vectspace {P} _2 ), (B = {x, 1 + x, x ^ 2 } ), (D = {2, x + 3, x ^ 2 - 1 } ), ( vect {v} = 1 + x + x ^ 2 )
  3. (V = vectspace {M} _ {22} ),
    (B = left { leftB begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 0 end {array} rightB, leftB begin {array} {rr} 0 & 1 0 & 0 end {array} rightB, leftB begin {array} {rr} 0 & 0 0 & 1 end {array} rightB, leftB begin {array} {rr} 0 & 0 1 & 0 end {array} rightB right } ),
    (D = left { leftB begin {array} {rr} 1 & 1 0 & 0 end {array} rightB, leftB begin {array} {rr} 1 & 0 1 & 0 end {array} rightB, leftB begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} rightB, leftB begin {array} {rr} 0 & 1 1 & 0 end {array} rightB right } ), ( vect {v} = leftB begin {array} {rr} 3 & -1 1 & 4 end {array} rightB )
  1. ( frac {1} {2} leftB begin {array} {rrr} -3 & -2 & 1 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 end {array} rightB )

Em ( RR ^ 3 ) encontre (P_ {D gets B} ), onde
(B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) } ) e
(D = {(1, 0, 1), (1, 0, -1), (0, 1, 0) } ). Se ( vect {v} = (a, b, c) ), mostre que (C_D ( vect {v}) = frac {1} {2} leftB begin {array} {c} a + c a - c 2b end {array} rightB ) e (C_B ( vect {v}) = leftB begin {array} {c} a - b b - c c end {array} rightB ), e verifique se (C_ {D} ( vect {v}) = P_ {D gets B} C_ {B} ( vect {v}) ) .

Em ( vectspace {P} _ {3} ) encontre (P_ {D obtém B} ) se (B = {1, x, x ^ {2}, x ^ {3} } ) e (D = {1, (1 - x), (1 - x) ^ {2}, (1 - x) ^ {3} } ). Em seguida, expresse (p = a + bx + cx ^ {2} + dx ^ {3} ) como um polinômio em potências de ((1 - x) ).

Em cada caso, verifique se (P_ {D obtém B} ) é o inverso de (P_ {B obtém D} ) e que (P_ {E obtém D} P_ {D obtém B} = P_ {E obtém B} ), onde (B ), (D ) e (E ) são bases ordenadas de (V ).

  1. (V = RR ^ 3 ), (B = {(1, 1, 1), (1, -2, 1), (1, 0, -1) } ), (D = ) base padrão,
    (E = {(1, 1, 1), (1, -1, 0), (-1, 0, 1) } )
  2. (V = vectspace {P} _2 ), (B = {1, x, x ^ 2 } ), (D = {1 + x + x ^ 2, 1 - x , -1 + x ^ 2 } ), (E = {x ^ 2, x, 1 } )
  1. (P_ {B obtém D} = leftB begin {array} {rrr} 1 & 1 & -1 1 & -1 & 0 1 & 0 & 1 end {array} rightB ) , (P_ {D obtém B} = frac {1} {3} leftB begin {array} {rrr} 1 & 1 & 1 1 & -2 & 1 -1 & -1 & 2 end {array} rightB ), (P_ {E gets D} = leftB begin {array} {rrr} 1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & -1 end {array} rightB ), (P_ {E gets B} = leftB begin {array} {rrr} 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 end {array} rightB )

Use a propriedade (2) do Teorema [thm: 028683], com (D ) a base padrão de ( RR ^ n ), para encontrar o inverso de:

(A = leftB begin {array} {rrr} 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 end {array} rightB ) (A = leftB begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 2 & 3 & 0 -1 & 0 & 2 end {array} rightB )

  1. (A = P_ {D obtém B} ), onde
    (B = {(1, 2, -1), (2, 3, 0), (1, 0, 2) } ). Portanto, (A ^ {- 1} = P_ {B obtém D} = leftB begin {array} {rrr} 6 & -4 & -3 -4 & 3 & 2 3 & -2 & -1 end {array} rightB )

Encontre (P_ {D gets B} ) if (B = { vect {b} _ {1}, vect {b} _ {2}, vect {b} _ {3}, vect {b} _ {4} } ) e (D = { vect {b} _ {2}, vect {b} _ {3}, vect {b} _ {1}, vect {b} _ {4} } ). Matrizes de mudança que surgem quando as bases diferem apenas no pedido dos vetores são chamados matrizes de permutação.

Em cada caso, encontre (P = P_ {B_0 gets B} ) e verifique se (P ^ {- 1} M_ {B_0} (T) P = M_B (T) ) para o operador dado ( T ).

  1. (T: RR ^ 3 a RR ^ 3 ), (T (a, b, c) = (2a - b, b + c, c - 3a) ); (B_ {0} = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0) } ) e (B ) é a base padrão.
  2. (T: vectspace {P} _2 para vectspace {P} _2 ),
    (T (a + bx + cx ^ 2) = (a + b) + (b + c) x + (c + a) x ^ 2 );
    (B_0 = {1, x, x ^ 2 } ) e (B = {1 - x ^ 2, 1 + x, 2x + x ^ 2 } )
  3. (T: vectspace {M} _ {22} to vectspace {M} _ {22} ),
    (T leftB begin {array} {cc} a & b c & d end {array} rightB = leftB begin {array} {cc} a + d & b + c a + c & b + d end {array} rightB );
    (B_0 = left { leftB begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 0 end {array} rightB, leftB begin {array} {rr} 0 & 1 0 & 0 end {array} rightB, leftB begin {array} {rr} 0 & 0 1 & 0 end {array} rightB, leftB begin {array} {rr} 0 & 0 0 & 1 end {array} rightB right } ), e
    (B = left { leftB begin {array} {rr} 1 & 1 0 & 0 end {array} rightB, leftB begin {array} {rr} 0 & 0 1 & 1 end {array} rightB, leftB begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} rightB, leftB begin {array} {rr} 0 & 1 1 & 1 end {array} rightB right } )
  1. (P = leftB begin {array} {rrr} 1 & 1 & 0 0 & 1 & 2 -1 & 0 & 1 end {array} rightB )

Em cada caso, verifique se (P ^ {- 1} AP = D ) e encontre uma base (B ) de ( RR ^ 2 ) tal que (M_ {B} (T_ {A} ) = D ).

  1. (A = leftB begin {array} {rr} 11 & -6 12 & -6 end {array} rightB ) (P = leftB begin {array} {rr} 2 e 3 3 & 4 end {array} rightB ) (D = leftB begin {array} {rr} 2 & 0 0 & 3 end {array} rightB )
  2. (A = leftB begin {array} {rr} 29 & -12 70 & -29 end {array} rightB ) (P = leftB begin {array} {rr} 3 e 2 7 & 5 end {array} rightB ) (D = leftB begin {array} {rr} 1 & 0 0 & -1 end {array} rightB )
  1. (B = left { leftB begin {array} {c} 3 7 end {array} rightB, leftB begin {array} {c} 2 5 end {array} direitaB direita } )

Em cada caso, calcule o polinômio característico (c_ {T} (x) ).

  1. (T: RR ^ 2 para RR ^ 2 ), (T (a, b) = (a - b, 2b - a) )
  2. (T: RR ^ 2 a RR ^ 2 ), (T (a, b) = (3a + 5b, 2a + 3b) )
  3. (T: vectspace {P} _ {2} to vectspace {P} _ {2} ),
    (T (a + bx + cx ^ {2}) hspace * {1em} = (a - 2c) + (2a + b + c) x + (c - a) x ^ {2} )
  4. (T: vectspace {P} _ {2} to vectspace {P} _ {2} ),
    (T (a + bx + cx ^ {2}) hspace * {1em} = (a + b - 2c) + (a - 2b + c) x + (b - 2a) x ^ {2} )
  5. (T: RR ^ 3 a RR ^ 3 ), (T (a, b, c) = (b, c, a) )
  6. (T: vectspace {M} _ {22} para vectspace {M} _ {22} ), (T leftB begin {array} {cc} a & b c & d end {array} rightB = leftB begin {array} {cc} a - c & b - d a - c & b - d end {array} rightB )
  1. (c_ {T} (x) = x ^ {2} - 6x - 1 )
  2. (c_ {T} (x) = x ^ {3} + x ^ {2} - 8x - 3 )
  3. (c_ {T} (x) = x ^ {4} )

Se (V ) tem dimensão finita, mostre que um operador linear (T ) em (V ) tem um inverso se e somente se ( func {det} T neq 0 ).

Sejam (S ) e (T ) operadores lineares em (V ) onde (V ) é dimensionalmente finito.

  1. Mostre que ( func {tr} (ST) = func {tr} (TS) ). [Dica: Lema [lem: 015978].]
  2. [Veja o exercício [ex: ex9_1_19].] Para (a ) em ( RR ), mostre que ( func {tr} (S + T) = func {tr} S + func {tr } T ), e ( func {tr} (aT) = a func {tr} (T) ).

Se (A ) e (B ) são matrizes (n vezes n ), mostre que elas têm o mesmo espaço ( func {null} ) se e somente se (A = UB ) para alguma matriz invertível (U ). [Dica: Exercício [ex: ex7_3_28].]

Defina (T_ {A}: RR ^ n to RR ^ n ) por (T_ {A} ( vect {x}) = A vect {x} ) para todos ( vect { x} ) em ( RR ^ n ). Se ( func {null} A = func {null} B ), então ( func {ker} (T_ {A}) = func {null} A = func {null} B = func {ker} (T_ {B}) ) então, pelo Exercício [ex: ex7_3_28], (T_ {A} = ST_ {B} ) para algum isomorfismo (S: RR ^ n to RR ^ n ). Se (B_ {0} ) é a base padrão de ( RR ^ n ), temos (A = M_ {B_0} (T_ {A}) = M_ {B_0} (ST_ {B}) = M_ {B_0} (S) M_ {B_0} (T_ {B}) = UB ) onde (U = M_ {B_0} (S) ) é invertível pelo Teorema [thm: 028640]. Por outro lado, se (A = UB ) com (U ) invertível, então (A vect {x} = vect {0} ) se e somente (B vect {x} = vect { 0} ), então ( func {null} A = func {null} B ).

Se (A ) e (B ) são matrizes (n vezes n ), mostre que elas têm o mesmo espaço de coluna se e somente se (A = BU ) para alguma matriz invertível (U ) [Dica: Exercício [ex: ex7_3_28].]

Seja (E = { vect {e} _ {1}, dots, vect {e} _ {n} } ) a base ordenada padrão de ( RR ^ n ), escrita como colunas. Se
(D = { vect {d} _ {1}, dots, vect {d} _ {n} } ) é qualquer base ordenada, mostre que
(P_ {E obtém D} = leftB begin {array} {ccc} vect {d} _ {1} & cdots & vect {d} _ {n} end {array} rightB )

Seja (B = { vect {b} _ {1}, vect {b} _ {2}, dots, vect {b} _ {n} } ) qualquer base ordenada de ( RR ^ n ), escrito como colunas. If (Q = leftB begin {array} {cccc} vect {b} _ {1} & vect {b} _ {2} & cdots & vect {b} _ {n} end { array} rightB ) é a matriz com ( vect {b} _ {i} ) como colunas, mostre que (QC_ {B} ( vect {v}) = vect {v} ) para todos os ( vect {v} ) em ( RR ^ n ).

Dado um número complexo (w ), defina (T_ {w}: mathbb {C} to mathbb {C} ) por (T_ {w} (z) = wz ) para todos ( z ) em ( mathbb {C} ).

  1. Mostre que (T_ {w} ) é um operador linear para cada (w ) em ( mathbb {C} ), vendo ( mathbb {C} ) como um espaço vetorial real.
  2. Se (B ) é qualquer base ordenada de ( mathbb {C} ), defina (S: mathbb {C} para vectspace {M} _ {22} ) por (S (w ) = M_ {B} (T_ {w}) ) para todos (w ) em ( mathbb {C} ). Mostre que (S ) é uma transformação linear um-para-um com a propriedade adicional que (S (wv) = S (w) S (v) ) vale para todos (w ) e (v ) em ( mathbb {C} ).
  3. Tomando (B = {1, i } ) mostra que
    (S (a + bi) = leftB begin {array} {rr} a & -b b & a end {array} rightB ) para todos os números complexos (a + bi ). Isso é chamado de representação regular dos números complexos como matrizes (2 vezes 2 ). Se ( theta ) é qualquer ângulo, descreva (S (e ^ {i theta}) ) geometricamente. Mostre que (S ( overline {w}) = S (w) ^ T ) para todos (w ) em ( mathbb {C} ); ou seja, essa conjugação corresponde à transposição.
  1. Showing (S(w + v) = S(w) + S(v)) means (M_{B}(T_{w+v}) = M_{B}(T_{w}) + M_{B}(T_{v})). If (B = {b_{1}, b_{2}}), then column (j) of (M_{B}(T_{w+v})) is (C_{B}[(w + v)b_{j}] = C_{B}(wb_{j} + vb_{j}) = C_{B}(wb_{j}) + C_{B}(vb_{j})) because (C_{B}) is linear. This is column (j) of (M_{B}(T_{w}) + M_{B}(T_{v})). Similarly (M_{B}(T_{aw}) = aM_{B}(T_{w})); so (S(aw) = aS(w)). Finally (T_{w}T_{v} = T_{wv}) so (S(wv) = M_{B}(T_{w}T_{v}) = M_{B}(T_{w})M_{B}(T_{v}) = S(w)S(v)) by Theorem [thm:028640].

Let (B = {vect{b}_{1}, vect{b}_{2}, dots, vect{b}_{n}}) and
(D = {vect{d}_{1}, vect{d}_{2}, dots, vect{d}_{n}}) be two ordered bases of a vector space (V). Prove that (C_{D}(vect{v}) = P_{D gets B}C_{B}(vect{v})) holds for all (vect{v}) in (V) as follows: Express each (vect{b}_{j}) in the form (vect{b}_j = p_{1j}vect{d}_1 + p_{2j}vect{d}_2 + cdots + p_{nj}vect{d}_n) and write (P = leftB p_{ij} ightB). Show that (P = leftB egin{array}{cccc} C_D(vect{b}_1) & C_D(vect{b}_1) & cdots & C_D(vect{b}_1) end{array} ightB) and that (C_{D}(vect{v}) = PC_{B}(vect{v})) for all (vect{v}) in (B).

Find the standard matrix of the rotation (R) about the line through the origin with direction vector (vect{d} = leftB egin{array}{ccc} 2 & 3 & 6 end{array} ightB^{T}). [Dica: Consider (vect{f} = leftB egin{array}{ccc} 6 & 2 & -3 end{array} ightB^{T}) and (vect{g} = leftB egin{array}{ccc} 3 & -6 & 2 end{array} ightB^{T}).]


9.2: Operators and Similarity

pg_similarity is an extension to support similarity queries on PostgreSQL. The implementation is tightly integrated in the RDBMS in the sense that it defines operators so instead of the traditional operators (= and <>) you can use

and ! (any of these operators represents a similarity function).

pg_similarity has three main components:

  • Funções: a set of functions that implements similarity algorithms available in the literature. These functions can be used as UDFs and, will be the base for implementing the similarity operators
  • Operadores: a set of operators defined at the top of similarity functions. They use similarity functions to obtain the similarity threshold and, compare its value to a user-defined threshold to decide if it is a match or not
  • Session Variables: a set of variables that store similarity function parameters. Theses variables can be defined at run time.

pg_similarity is supported on those platforms that PostgreSQL is. The installation steps depend on your operating system.

You can also keep up with the latest fixes and features cloning the Git repository.

UNIX based Operating Systems

Before you are able to use your extension, you should build it and load it at the desirable database.

The typical usage is to copy a sample file at tarball (pg_similarity.conf.sample) to PGDATA (as pg_similarity.conf) and include the following line in postgresql.conf:

Sorry, never tried^H^H^H^H^H Actually I tried that but it is not that easy as on UNIX. :( There are two ways to build PostgreSQL on Windows: (i) MingW and (ii) MSVC. The former is supported but it is not widely used and the latter is popular because Windows binaries (officially distributed) are built using MSVC. If you choose to use Mingw, just follow the UNIX instructions above to build pg_similarity. Otherwise, the MSVC steps are below:

  • Edit pg_similarity.vcxproj replacing c:postgrespg130 with PostgreSQL prefix directory
  • Open this project file in MS Visual Studio and build it
  • Copy pg_similarity.dll to pg_config --pkglibdir
  • Copy pg_similarity.control and pg_similarity--*.sql to SHAREDIR/extension (SHAREDIR is pg_config --sharedir ).

This extension supports a set of similarity algorithms. The most known algorithms are covered by this extension. You must be aware that each algorithm is suited for a specific domain. The following algorithms are provided.

  • L1 Distance (as known as City Block or Manhattan Distance)
  • Cosine Distance
  • Dice Coefficient
  • Euclidean Distance
  • Hamming Distance
  • Jaccard Coefficient
  • Jaro Distance
  • Jaro-Winkler Distance
  • Levenshtein Distance
  • Matching Coefficient
  • Monge-Elkan Coefficient
  • Needleman-Wunsch Coefficient
  • Overlap Coefficient
  • Q-Gram Distance
  • Smith-Waterman Coefficient
  • Smith-Waterman-Gotoh Coefficient
  • Soundex Distance.

The several parameters control the behavior of the pg_similarity functions and operators. I don't explain in detail each parameter because they can be classified in three classes: tokenizer, threshold, e normalized.

  • tokenizer: controls how the strings are tokenized. The valid values are alnum, grama, palavra, e camelcase. All tokens are lowercase (this option can be set at compile time see PGS_IGNORE_CASE at source code). Default is alnum
    • alnum: delimiters are any non-alphanumeric characters. That means that only alphabetic characters in the standard C locale and digits (0-9) are accepted in tokens. For example, the string "Euler_Taveira_de_Oliveira 22/02/2011" is tokenized as "Euler", "Taveira", "de", "Oliveira", "22", "02", "2011"
    • grama: an n-gram is a subsequence of length n. Extracting n-grams from a string can be done by using the sliding-by-one technique, that is, sliding a window of length n through out the string by one character. For example, the string "euler taveira" (using n = 3) is tokenized as "eul", "ule", "ler", "er ", "r t", " ta", "tav", "ave", "vei", "eir", and "ira". There are some authors that consider n-grams adding " e", " eu", "ra ", and "a " to the set of tokens, that is called full n-grams (this option can be set at compile time see PGS_FULL_NGRAM at source code)
    • palavra: delimiters are white space characters (space, form-feed, newline, carriage return, horizontal tab, and vertical tab). For example, the string "Euler Taveira de Oliveira 22/02/2011" is tokenized as "Euler", "Taveira", "de", "Oliveira", and "22/02/2011"
    • camelcase: delimiters are capitalized characters but they are also included as first token characters. For example, the string "EulerTaveira de Oliveira" is tokenized as "Euler", "Taveira de ", and "Oliveira".

    Set parameters at run time.

    Simple tables for examples.

    Example 1: Using similarity functions cosine, jaro, e euclidean.

    Example 2: Using operator levenshtein (

    ==) and changing its threshold at run time.

    Example 3: Using operator qgram (

    ) and changing its threshold at run time.

    Example 4: Using a set of operators using the same threshold (0.7) to ilustrate that some similarity functions are appropriated to certain data domains.

    Copyright © 2008-2020 Euler Taveira de Oliveira All rights reserved.

    Redistribution and use in source and binary forms, with or without modification, are permitted provided that the following conditions are met:

    Redistributions of source code must retain the above copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer Redistributions in binary form must reproduce the above copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the distribution Neither the name of the Euler Taveira de Oliveira nor the names of its contributors may be used to endorse or promote products derived from this software without specific prior written permission.

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    Major new features of the 3.9 series, compared to 3.8

    Some of the new major new features and changes in Python 3.9 are:

      , Module State Access from C Extension Methods , Union Operators in dict , Type Hinting Generics In Standard Collections , Flexible function and variable annotations , Python adopts a stable annual release cadence , Relaxing Grammar Restrictions On Decorators , Support for the IANA Time Zone Database in the Standard Library , String methods to remove prefixes and suffixes , New PEG parser for CPython , garbage collection does not block on resurrected objects , os.pidfd_open added that allows process management without races and signals , Unicode support updated to version 13.0.0 , when Python is initialized multiple times in the same process, it does not leak memory anymore
  • A number of Python builtins (range, tuple, set, frozenset, list, dict) are now sped up using PEP 590 vectorcall
  • A number of Python modules (_abc, audioop, _bz2, _codecs, _contextvars, _crypt, _functools, _json, _locale, operator, resource, time, _weakref) now use multiphase initialization as defined by PEP 489
  • A number of standard library modules (audioop, ast, grp, _hashlib, pwd, _posixsubprocess, random, select, struct, termios, zlib) are now using the stable ABI defined by PEP 384.
  • You can find a more comprehensive list in this release's "What's New" document.


    When defining a linear transformation, it can be the case that a change of basis can result in a simpler form of the same transformation. For example, the matrix representing a rotation in ℝ 3 when the axis of rotation is not aligned with the coordinate axis can be complicated to compute. If the axis of rotation were aligned with the positive z -axis, then it would simply be

    where x' and y' are respectively the original and transformed vectors in a new basis containing a vector parallel to the axis of rotation. In the original basis, the transform would be written as

    where vectors x and y and the unknown transform matrix T are in the original basis. To write T in terms of the simpler matrix, we use the change-of-basis matrix P that transforms x and y as x ′ = P x and y ′ = P y :

    Similarity is an equivalence relation on the space of square matrices.

    Because matrices are similar if and only if they represent the same linear operator with respect to (possibly) different bases, similar matrices share all properties of their shared underlying operator:

    Because of this, for a given matrix UMA, one is interested in finding a simple "normal form" B which is similar to UMA—the study of UMA then reduces to the study of the simpler matrix B. Por exemplo, UMA is called diagonalizable if it is similar to a diagonal matrix. Not all matrices are diagonalizable, but at least over the complex numbers (or any algebraically closed field), every matrix is similar to a matrix in Jordan form. Neither of these forms is unique (diagonal entries or Jordan blocks may be permuted) so they are not really normal forms moreover their determination depends on being able to factor the minimal or characteristic polynomial of UMA (equivalently to find its eigenvalues). The rational canonical form does not have these drawbacks: it exists over any field, is truly unique, and it can be computed using only arithmetic operations in the field UMA e B are similar if and only if they have the same rational canonical form. The rational canonical form is determined by the elementary divisors of UMA these can be immediately read off from a matrix in Jordan form, but they can also be determined directly for any matrix by computing the Smith normal form, over the ring of polynomials, of the matrix (with polynomial entries) XInUMA (the same one whose determinant defines the characteristic polynomial). Note that this Smith normal form is not a normal form of UMA itself moreover it is not similar to XInUMA either, but obtained from the latter by left and right multiplications by different invertible matrices (with polynomial entries).

    Similarity of matrices does not depend on the base field: if eu is a field containing K as a subfield, and UMA e B are two matrices over K, então UMA e B are similar as matrices over K if and only if they are similar as matrices over eu. This is so because the rational canonical form over K is also the rational canonical form over eu. This means that one may use Jordan forms that only exist over a larger field to determine whether the given matrices are similar.

    In the definition of similarity, if the matrix P can be chosen to be a permutation matrix then UMA e B está permutation-similar E se P can be chosen to be a unitary matrix then UMA e B está unitarily equivalent. The spectral theorem says that every normal matrix is unitarily equivalent to some diagonal matrix. Specht's theorem states that two matrices are unitarily equivalent if and only if they satisfy certain trace equalities.


    9.2: Operators and Similarity

    This section describes the Overlap Similarity algorithm in the Neo4j Labs Graph Algorithms library.

    This is documentation for the Graph Algorithms Library, which has been deprecated by the Graph Data Science Library (GDS).

    Overlap similarity measures overlap between two sets. It is defined as the size of the intersection of two sets, divided by the size of the smaller of the two sets.

    The Overlap Similarity algorithm was developed by the Neo4j Labs team and is not officially supported.

    9.5.5.1. History and explanation

    Overlap similarity is computed using the following formula:

    The library contains both procedures and functions to calculate similarity between sets of data. The function is best used when calculating the similarity between small numbers of sets. The procedures parallelize the computation, and are therefore more appropriate for computing similarities on bigger datasets.

    9.5.5.2. Use-cases - when to use the Overlap Similarity algorithm

    We can use the Overlap Similarity algorithm to work out which things are subsets of others. We might then use these computed subsets to learn a taxonomy from tagged data, as described by Jesús Barrasa.

    9.5.5.3. Overlap Similarity algorithm function sample

    The following will return the Overlap similarity of two lists of numbers:

    These two lists of numbers have an overlap similarity of 0.66. We can see how this result is derived by breaking down the formula:

    9.5.5.4. Overlap Similarity algorithm procedures sample

    The following will create a sample graph:

    The following will return a stream of node pairs, along with their intersection and overlap similarities:

    Fantasy and Dystopia are both clear subgenres of Science Fiction - 100% of the books that list those as genres also list Science Fiction as a genre. Dystopia is also a subgenre of Classics. The others are less obvious Dystopia probably isn’t a subgenre of Fantasy, but the other two pairs could be subgenres.

    The following will return a stream of node pairs that have a similarity of at least 0.75, along with their intersection and overlap similarities:

    We can see that those genres with lower similarity have been filtered out. If we’re implementing a k-Nearest Neighbors type query we might instead want to find the most similar k super genres for a given genre. We can do that by passing in the topK parameter.

    The following will return a stream of genres, along with the two most similar super genres to them (i.e. k=2 ):

    The following will find the most similar genre for each genre, and store a relationship between those genres:

    We then could write a query to find out the genre hierarchy for a specific genre.

    The following will find the genre hierarchy for the Fantasy genre.

    ["Fantasy", "Science Fiction", "Classics"]

    9.5.5.5. Specifying source and target ids

    Sometimes, we don’t want to compute all pairs similarity, but would rather specify subsets of items to compare to each other. We do this using the sourceIds and targetIds keys in the config.

    We could use this technique to compute the similarity of a subset of items to all other items.

    The following will return the super genres for the Fantasy and Classics genres:


    12 CFR § 9.2 - Definitions.

    For the purposes of this part, the following definitions apply:

    (a) Affiliate has the same meaning as in 12 U.S.C. 221a(b).

    (b) Applicable law means the law of a state or other jurisdiction governing a national bank's fiduciary relationships, any applicable Federal law governing those relationships, the terms of the instrument governing a fiduciary relationship, or any court order pertaining to the relationship.

    (c) Custodian under a uniform gifts to minors act means a fiduciary relationship established pursuant to a state law substantially similar to the Uniform Gifts to Minors Act or the Uniform Transfers to Minors Act as published by the American Law Institute.

    (d) Fiduciary account means an account administered by a national bank acting in a fiduciary capacity.

    (e) Fiduciary capacity means: trustee, executor, administrator, registrar of stocks and bonds, transfer agent, guardian, assignee, receiver, or custodian under a uniform gifts to minors act investment adviser, if the bank receives a fee for its investment advice any capacity in which the bank possesses investment discretion on behalf of another or any other similar capacity that the OCC authorizes pursuant to 12 U.S.C. 92a.

    (f) Fiduciary officers and employees means all officers and employees of a national bank to whom the board of directors or its designee has assigned functions involving the exercise of the bank's fiduciary powers.

    (g) Fiduciary powers means the authority the OCC permits a national bank to exercise pursuant to 12 U.S.C. 92a.

    (h) Guardian means the guardian or conservator, by whatever name used by state law, of the estate of a minor, an incompetent person, an absent person, or a person over whose estate a court has taken jurisdiction, other than under bankruptcy or insolvency laws.

    (i) Investment discretion means, with respect to an account, the sole or shared authority (whether or not that authority is exercised) to determine what securities or other assets to purchase or sell on behalf of the account. A bank that delegates its authority over investments and a bank that receives delegated authority over investments are both deemed to have investment discretion.


    Order of evaluation of logical operators

    In the case of multiple operators, Python always evaluates the expression from left to right. This can be verified by the below example.

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    Assigning Collections

    One collection can be assigned to another by an INSERT , UPDATE , FETCH , or SELECT statement, an assignment statement, or a subprogram call.

    You can assign the value of an expression to a specific element in a collection using the syntax:

    Onde expression yields a value of the type specified for elements in the collection type definition.

    Example: Datatype Compatibility

    This example shows that collections must have the same datatype for an assignment to work. Having the same element type is not enough.

    Example: Assigning a Null Value to a Nested Table

    You assign an atomically null nested table or varray to a second nested table or varray. In this case, the second collection must be reinitialized:

    In the same way, assigning the value NULL to a collection makes it atomically null.

    Example: Possible Exceptions for Collection Assignments

    Assigning a value to a collection element can cause various exceptions:

      If the subscript is null or is not convertible to the right datatype, PL/SQL raises the predefined exception VALUE_ERROR . Usually, the subscript must be an integer. Associative arrays can also be declared to have VARCHAR2 subscripts. If the subscript refers to an uninitialized element, PL/SQL raises SUBSCRIPT_BEYOND_COUNT . If the collection is atomically null, PL/SQL raises COLLECTION_IS_NULL .

    Chapter 12 Functions and Operators

    Expressions can be used at several points in SQL statements, such as in the ORDER BY or HAVING clauses of SELECT statements, in the WHERE clause of a SELECT , DELETE , or UPDATE statement, or in SET statements. Expressions can be written using values from several sources, such as literal values, column values, NULL , variables, built-in functions and operators, loadable functions, and stored functions (a type of stored object).

    This chapter describes the built-in functions and operators that are permitted for writing expressions in MySQL. For information about loadable functions and stored functions, see Section 5.7, “MySQL Server Loadable Functions”, and Section 25.2, “Using Stored Routines”. For the rules describing how the server interprets references to different kinds of functions, see Section 9.2.5, “Function Name Parsing and Resolution”.

    An expression that contains NULL always produces a NULL value unless otherwise indicated in the documentation for a particular function or operator.

    By default, there must be no whitespace between a function name and the parenthesis following it. This helps the MySQL parser distinguish between function calls and references to tables or columns that happen to have the same name as a function. However, spaces around function arguments are permitted.

    To tell the MySQL server to accept spaces after function names by starting it with the --sql-mode=IGNORE_SPACE option. (See Section 5.1.11, “Server SQL Modes”.) Individual client programs can request this behavior by using the CLIENT_IGNORE_SPACE option for mysql_real_connect() . In either case, all function names become reserved words.

    For the sake of brevity, some examples in this chapter display the output from the mysql program in abbreviated form. Rather than showing examples in this format:


    Relational and Logical Operators in C

    Relational operators are used to compare two values in C language. It checks the relationship between two values. If relation is true, it returns 1. However, if the relation is false, it returns 0.

    Here is the table of relational operators in C language

    OperadoresOperator Name
    ==Equal to
    & gtMaior que
    & ltMenor que
    !=Not equal to
    >=Greater than or equal to
    <=Less than or equal to

    Here is an example of relational operator in C language


    Assista o vídeo: Turnitin 06 Relatório de Originalidade Similaridade (Novembro 2021).