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3.2: Soluções Gráficas


Antes de fornecer um algoritmo mais geral para lidar com este problema e problemas semelhantes, notamos que quando o número de variáveis ​​é pequeno (de preferência 2), uma técnica gráfica pode ser usada.

Desigualdades, como as quatro dadas no problema de Pablo, são freqüentemente chamadas de ( textit {constraints} ), e os valores das variáveis ​​que satisfazem essas restrições compreendem a chamada ( textit {região viável} ). Uma vez que existem apenas duas variáveis, isso é fácil de traçar:

Exemplo 35: restrições e região viável

As restrições de Pablo são

begin {eqnarray *}
& x geq 5 &
& y geq 7 & [2mm]
& 15 leq x + y leq25 ,. &
end {eqnarray *}

Traçado no plano ((x, y) ), isso dá:

Talvez você já consiga ver a solução para o problema de Pablo. As laranjas são muito açucaradas, por isso devem ser mantidas baixas, portanto (y = 7 ). Além disso, quanto menos frutas, melhor, portanto, é melhor a resposta estar na linha (x + y = 15 ). Portanto, a resposta deve estar no vértice ((8,7) ). Na verdade, esta é uma característica geral dos problemas de programação linear, a resposta ótima deve estar em um vértice da região viável. Em vez de provar isso, vamos dar uma olhada no gráfico da função linear (s (x, y) = 5x + 10y ).

Exemplo 36: A função de açúcar

Traçar a função do açúcar requer três dimensões:


O gráfico de uma função linear de duas variáveis ​​é um plano através da origem. Restringir as variáveis ​​à região viável fornece alguma lâmina no espaço 3. Uma vez que a função que queremos otimizar é linear (e assumidamente diferente de zero), se escolhermos um ponto no meio desta lâmina, podemos sempre aumentar / diminuir a função movendo-nos para uma aresta e, por sua vez, ao longo dessa borda para um canto. Aplicando isso à foto acima, vemos que a melhor opção de Pablo são 110 gramas de açúcar por semana, na forma de 8 maçãs e 7 laranjas.

Vale a pena comparar o problema de otimização para uma função linear com o caso não linear que você pode ter visto em cursos de cálculo:

Aqui, traçamos a curva (f (x) = d ) no caso em que a função (f ) é linear e não linear. Para otimizar (f ) no intervalo ([a, b] ), para o caso linear, precisamos apenas calcular e comparar os valores (f (a) ) e (f (b) ) . Em contraste, para funções não lineares, é necessário também calcular a derivada ( frac { mathrm {d} f} { mathrm {d} x} ) para estudar se existem extremos dentro o intervalo.


Soluções Gráficas de Equações Quadráticas

Podemos resolver uma equação quadrática fatorando, completando o quadrado, usando a fórmula quadrática ou usando o método gráfico.

Comparado com os outros métodos, o método gráfico fornece apenas uma estimativa para a (s) solução (ões).

Se o gráfico da função quadrática cruza o eixo x em dois pontos, então temos duas soluções. Se o gráfico toca o eixo x em um ponto, então temos uma solução. Se o gráfico não faz interseção com o eixo x, a equação não tem solução real.

Os diagramas a seguir mostram os três tipos de soluções que uma equação quadrática pode ter: duas soluções, uma solução e nenhuma solução real. Role a página para baixo para mais exemplos e soluções.

Também temos uma calculadora de equações quadráticas que pode resolver equações quadráticas algebricamente e graficamente.

Como resolver equações quadráticas graficamente usando interceptações x

O vídeo a seguir explica como o gráfico quadrático pode mostrar o número de soluções para a equação quadrática e os valores das soluções.

Exemplos de como usar o gráfico de uma função quadrática para resolver uma equação quadrática: Duas soluções, uma solução e nenhuma solução.

  1. Use o gráfico de y = x 2 + x - 6 para resolver x 2 + x - 6 = 0
  2. Use o gráfico de y = -x 2 + 4 para resolver -x 2 + 4 = 0
  3. Use o gráfico de y = x 2 -2x + 1 para resolver x 2 -2x + 1
  4. Use o gráfico de y = x 2 + 1 para resolver x 2 + 1

Equação quadrática com duas soluções

Faremos agora o gráfico de uma equação quadrática que possui duas soluções. As soluções são fornecidas pelos dois pontos onde o gráfico intercepta o eixo x.

Exemplo:
Resolva a equação x 2 + x - 3 = 0 desenhando seu gráfico para –3 ≤ x ≤ 2.

Solução:
Reescreva a equação quadrática x 2 + x - 3 = 0 como a função quadrática y = x 2 + x - 3

Desenhe o gráfico para y = x 2 + x - 3 para –3 ≤ x ≤ 2.

x & ndash3 & ndash2 & ndash1 0 1 2
y 3 & ndash1 & ndash3 & ndash3 & ndash1 3

A solução para a equação x 2 + x - 3 pode ser obtida olhando para os pontos onde o gráfico y = x 2 + x - 3 corta o eixo x (ou seja, y = 0).

O gráfico y = x 2 + x - 3, corta o eixo x em x 1,3 ex –2,3

Portanto, a solução para a equação x + x –3 é x 1,3 ou x –2,3.

Lembre-se de que na fórmula quadrática, o discriminante b 2 - 4ac é positivo quando há duas soluções reais distintas (ou raízes).

Como resolver a equação quadrática por meio de gráficos?

Ele usa a fórmula do vértice para obter o vértice, o que também dá uma ideia de quais valores escolher para plotar os pontos. Este é um exemplo em que o coeficiente de x 2 é positivo.

Exemplo:
Resolva a seguinte equação quadrática fazendo um gráfico
x 2 - 4x + 3 = 0

Encontre as raízes de uma equação quadrática fazendo um gráfico

Este vídeo mostra um exemplo de resolução de equação quadrática por meio de gráficos. Ele usa a fórmula do vértice para obter o vértice, o que também dá uma ideia de quais valores escolher para plotar os pontos. Este é um exemplo em que o coeficiente de x 2 é negativo.

Exemplo:
Resolva a seguinte equação quadrática fazendo um gráfico
-2x 2 + 4x + 4 = 0

Equação quadrática com uma solução Exemplo: Traçando o gráfico, resolva a equação 6x - 9 - x 2 = 0. x 0 1 2 3 4 5 6 y & ndash9 & ndash4 & ndash1 0 & ndash1 & ndash4 & ndash9 Observe que o gráfico não cruza o eixo x, mas toca o eixo x em x = 3. Isso significa que a equação 6x - 9 - x 2 = 0 tem uma solução (ou raízes iguais) de x = 3. Lembre-se de que na fórmula quadrática, em tal caso em que as raízes são iguais, o discriminante b 2 - 4ac = 0. Equação quadrática sem solução real

Exemplo:
Resolva a equação x 2 + 4x + 8 = 0 usando o método gráfico.

x & ndash4 & ndash3 & ndash2 & ndash1 0 1
y 8 5 4 5 8 13

Observe que o gráfico não cruza ou toca o eixo x. Isso significa que a equação x 2 + 4x + 8 = 0 não tem nenhuma solução real (ou raízes).

Lembre-se de que na fórmula quadrática, o discriminante b 2 - 4ac é negativo quando não há solução real (ou raízes).

Resolvendo Equações Quadráticas por Representação Gráfica da Parte 1

Este vídeo demonstra como resolver equações quadráticas por meio de gráficos.

  1. Resolva um lado da equação para zero.
  2. Mude o zero para y ou f (x).
  3. Represente graficamente a função.
  4. Leia as soluções onde a função cruza ou toca o eixo x.

Raízes, interceptações x e zeros são dados como sinônimos para soluções. Também é demonstrado como encontrar raízes em uma tabela de valores.

Resolvendo Equações Quadráticas por Representação Gráfica da Parte 2

Este vídeo mostra como resolver equações quadráticas usando as séries TI84 e TI83 de calculadoras gráficas.

Cinco problemas são resolvidos. As diferentes etapas são mostradas, incluindo a conversão de equações quadráticas em funções quadráticas graphable e calculadoras.

O vídeo mostra como examinar em gráfico e tabela quais são as soluções. Mostra-se o caso de não haver soluções e também o de apenas uma solução.

Calculadora de equação quadrática

Esta calculadora de equação quadrática resolverá a equação quadrática dada algebricamente e graficamente. Use-o para verificar suas respostas.

Experimente a calculadora e solucionador de problemas Mathway grátis abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

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Solução de LPP por método gráfico

Depois de formular o problema de programação linear, nosso objetivo é determinar os valores das variáveis ​​de decisão para encontrar o valor ótimo (máximo ou mínimo) da função objetivo. Problemas de programação linear que envolvem apenas duas variáveis ​​podem ser resolvidos por método gráfico. Se o problema tiver três ou mais variáveis, o método gráfico é impraticável.

As principais etapas envolvidas neste método são as seguintes

(i) Enuncie o problema matematicamente

(ii) Escreva todas as restrições na forma de equações e desenhe o gráfico

(iii) Encontre a região viável

(iv) Encontre as coordenadas de cada vértice (pontos de canto) da região viável. As coordenadas do vértice podem ser obtidas por inspeção ou resolvendo as duas equações das linhas que se cruzam no ponto

(v) Substituindo esses pontos de canto na função objetivo, podemos obter os valores da função objetivo

(vi) Se o problema for a maximização, o máximo dos valores acima é o valor ótimo. Se o problema for minimização, o mínimo dos valores acima é o valor ideal

Maximizar Z = 2 x1 +5x2

sujeito às condições x1+ 4x2 ≤ 24

Primeiro, temos que encontrar a região viável usando as condições dadas.

Uma vez que ambas as variáveis ​​de decisão x1 e x2 são não negativos, a solução encontra-se no primeiro quadrante.

Escreva todas as desigualdades das restrições na forma de equações.

Portanto, temos as linhas x1+ 4x2=24 3x1 + x2 = 21 x1 + x2= 9 x1+ 4x2= 24 é uma linha que passa pelos pontos (0, 6) e (24, 0). [(0,6) é obtido tomando x1= 0 pol x1 + 4x2 = 24, (24, 0) é obtido tomando x2 = 0 pol x1+ 4x2 = 24].

Qualquer ponto situado na linha ou abaixo dela x1 + 4x2 = 24 satisfaz a restrição x1 + 4x2≤ 24 .

3x 1 +x2= 21 é uma linha que passa pelos pontos (0, 21) e (7, 0). Qualquer ponto situado na linha 3 ou abaixo dela x1 + x2 = 21 satisfaz a restrição 3 x1 + x2 ≤ 21.

x 1 + x2 = 9 é uma linha que passa pelos pontos (0, 9) e (9, 0). Qualquer ponto situado na linha ou abaixo dela x1 + x2 = 9 satisfaz a restrição x1+ x2 ≤ 9.


A região viável que satisfaz todas as condições é OABCD. As coordenadas dos pontos são O (0,0) A (7,0) B (6,3) [o ponto B é a interseção de duas linhas x1+ x2= 9 e 3 x1+ x2= 21] C (4,5) [o ponto C é a interseção de duas linhas

x 1 + x2 = 9 e x1+ 4x2 = 24] e D (0,6).


O valor máximo de Z ocorre em C. Portanto, a solução é x1 =4, x2 = 5, Z max = 33

Resolva o seguinte LPP pelo método gráfico Minimize z = 5x1+4x2 Sujeito a restrições 4x1+ x2 ≥ 40 2x1+3x2 ≥ 90 e x1, x2 & gt 0

Uma vez que ambas as variáveis ​​de decisão x1 e x2 são não negativos, a solução encontra-se no primeiro quadrante do plano.

Considere as equações 4x1+x2 = 40 e 2 x1+3 x2 = 90

4x1+x 2 = 40 é uma linha que passa pelos pontos (0,40) e (10,0). Qualquer ponto situado sobre ou acima da linha 4x1+x2= 40 satisfaz a restrição 4x1+ x2 ≥ 40.

2x1+3x2 = 90 é uma linha que passa pelos pontos (0,30) e (45,0). Qualquer ponto situado na linha 2 ou acima dela x1+3x2= 90 satisfaz a restrição 2x1+3x2 ≥ 90.

Desenhe o gráfico usando as restrições fornecidas.


A região viável é o ABC (como o problema é do tipo minimização estamos nos movendo em direção à origem.


O valor mínimo de Z ocorre em B (3,28).

Portanto, a solução ideal é x1 = 3, x2 = 28 e Zmin=127

Maximizar Z= 2 x1 +3x2 sujeito a restrições x1 + x2 ≤ 30 x2 ≤ 12 x1 ≤ 20 e x1, x2≥ 0

Encontramos a região viável usando as condições fornecidas.

Uma vez que ambas as variáveis ​​de decisão x1 e x2 são não negativos, a solução encontra-se no primeiro quadrante do plano.

Escreva todas as desigualdades das restrições na forma de equações.

Portanto, temos as linhas

x 1 +x2 = 30 é uma linha que passa pelos pontos (0,30) e (30,0)

x 2 = 12 é uma linha paralela a x1-eixo

x 1 = 20 é uma linha paralela a x2-eixo.

A região viável satisfazendo todas as condições x1+ x2≤ 30 x2≤ 12 x1≤ 20 e x1, x2 ≥ 0 é mostrado no gráfico a seguir.


A região viável que satisfaça todas as condições é OABCD.

As coordenadas dos pontos são O (0,0) A (20,0) B (20,10) C (18,12) e D (0,12).


Valor máximo de Z ocorre em C. Portanto, a solução é x1 = 18 , x2= 12, Z max = 72

Uma vez que ambas as variáveis ​​de decisão x1, x2 são não negativos, a solução encontra-se no primeiro quadrante do plano.

Considere as equações x1x2 = -1 e - x1 + x2 = 0

x 1x2 = –1 é uma linha que passa pelos pontos (0,1) e (–1,0)

x1 + x2 = 0 é uma linha que passa pelo ponto (0,0)

Agora desenhamos o gráfico que satisfaz as condições x1x2 & lt –1 –x1+x2 & lt 0 e x1, x2 ≥0


Não existe uma região comum (região viável) que satisfaça todas as condições fornecidas.

Portanto, o LPP fornecido não tem solução.

1. Uma empresa produz dois tipos de canetas A e B. A caneta A é de qualidade superior e a caneta B é de qualidade inferior. Os lucros nas canetas A e B são 5 Rs e 3 Rs por caneta, respectivamente. A matéria-prima necessária para cada curral A é o dobro da área B. O suprimento de matéria-prima é suficiente apenas para 1000 currais por dia. A caneta A requer um clipe especial e apenas 400 desses clipes estão disponíveis por dia. Para a caneta B, apenas 700 clipes estão disponíveis por dia. Formule esse problema como um problema de programação linear.

2. Uma empresa produz dois tipos de produtos, digamos, tipo A e B. Os lucros nos dois tipos de produto são Rs.30 / - e Rs.40 / - por kg, respectivamente. Os dados sobre os recursos necessários e a disponibilidade de recursos são fornecidos a seguir.


Formule esse problema como um problema de programação linear para maximizar o lucro.

3. Uma empresa fabrica dois modelos de estabilizadores de tensão, a saber, normal e com corte automático. Todos os componentes dos estabilizadores são adquiridos de fontes externas, a montagem e o teste são realizados nas próprias instalações da empresa. O tempo de montagem e teste necessário para os dois modelos é de 0,8 hora cada para normal e 1,20 hora cada para corte automático. A capacidade de produção de 720 horas atualmente está disponível por semana. O mercado para os dois modelos foi pesquisado, o que sugere uma venda semanal máxima de 600 unidades de ordinária e 400 unidades de corte automático. O lucro por unidade para modelos comuns e de corte automático foi estimado em Rs 100 e Rs 150, respectivamente. Formule o problema de programação linear.

4. Resolva os seguintes problemas de programação linear por método gráfico.

(i) Maximize Z = 6x1 + 8x2 sujeito a restrições 30x1+20x2 ≤ 3005x1+10x2 ≤ 110 e x1, x2 & gt 0 .

(ii) Maximize Z = 22x1 + 18x2 sujeito a restrições 960x1 + 640x2 ≤ 15360 x1 + x2 ≤ 20 e x1 , x2 ≥ 0 .

(iii) Minimize Z = 3x1 + 2x2 sujeito às restrições 5x1+ x2≥10 x1+ x2≥6 x1+ 4 x2 ≥12 e x1, x2≥0.

(iv) Maximize Z = 40x1 + 50x2 sujeito a restrições 30x1 + x2 ≤ 9 x1 + 2x2 ≤ 8 e x1 , x2 ≥ 0

(v) Maximize Z = 20x1 + 30x2 sujeito às restrições 3x1 + 3x2 ≤ 36 5x1 + 2x2 ≤ 50 2x1 + 6x2 ≤ 60 e x1 , x2 ≥ 0

(vi) Minimize Z = 20x1 + 40x2 sujeito às restrições 36x1 + 6x2 ≥ 108, 3x1 + 12x2 ≥ 36, 20x1 + 10x2 ≥ 100 e x1 , x2 ≥ 0


Solução gráfica concisa de classe 9 de Equações Lineares Simultâneas Capítulo-27

Deixe o sistema de pares de equações lineares ser
uma1x + b1y = c1 ….(1)
uma2x + b2y = c2 ….(2)
Sabemos que dadas duas linhas em um plano, apenas uma das três possibilidades a seguir pode acontecer -
(i) As duas linhas se cruzarão em um ponto.
(ii) As duas linhas não se cruzarão, por mais que sejam estendidas, ou seja, são paralelas.
(iii) As duas linhas são linhas coincidentes.

Como resolver um par de equações simultâneas graficamente?

Para resolver um par de equações simultâneas graficamente, primeiro desenhamos o gráfico das duas equações simultaneamente. Obtemos duas linhas retas que se cruzam em um ponto comum. Esta intersecção de ponto comum de duas linhas dá a solução do par de equações simultâneas.

Exe-27 A, Solução gráfica Selina Concise Class-9 de equações lineares simultâneas

Pergunta. 1

Desenhe o gráfico para a equação, conforme abaixo:

(i) x = 5
(ii) x +5 = 0
(iii) y = 7
(iv) y + 7 = 0
(v) 2x + 3y = 0
(vi) 3x + 2y = 6
(vii) x-5y + 4 = 0

(eu)
O gráfico x = 5 na figura a seguir é uma linha reta AB que é paralela ao eixo y a uma distância de 5 unidades dele.

(ii)
x + 5 = 0
x = -5
O gráfico x = -5 na figura a seguir é uma linha reta AB que é paralela ao eixo y a uma distância de 5 unidades dele na direção x negativa.

(iii)
O gráfico y = 7 na figura a seguir é uma linha reta AB que é paralela ao eixo x a uma distância de 7 unidades dele.

(4)
y + 7 = 0
y = -7
O gráfico y = -7 na figura a seguir é uma linha reta AB que é paralela ao eixo x a uma distância de 7 unidades dele na direção y negativa.








Pergunta. 2

Desenhe o gráfico para a equação dada abaixo, portanto, encontre as coordenadas dos pontos onde o gráfico é desenhado e encontra os eixos de coordenadas:

(i) x / 3 + y / 5 = 1
(ii) (2x + 15) / 3 = y & # 8211 1




A partir da figura é claro que, o gráfico atende aos eixos de coordenadas em (-9, 0) e (0, 6)

Pergunta. 3

Desenhe o gráfico da linha reta dada pela equação 4x & # 8211 3y + 36 = 0

Calcule a área do triângulo formado pela linha desenhada e os eixos coordenados.


Pergunta. 4

Desenhe o gráfico da equação 2x & # 8211 3y & # 8211 5 = 0
No gráfico, encontre:
(i) x1, o valor de x, quando y = 7
(ii) x2, o valor de x, quando y = & # 8211 5.


Pergunta. 5

Desenhe o gráfico da equação
4x + 3y + 6 = 0
No gráfico, encontre:
(i) y1, o valor de y, quando x = 12.
(ii) y2, o valor de y, quando x = & # 8211 6.


Pergunta. 6

Use a tabela abaixo para desenhar o gráfico.

Em seu gráfico, encontre os valores de & # 8216a & # 8217 e & # 8216b & # 8217.
Declare uma relação linear entre as variáveis ​​x e y.



Pergunta. 7

Desenhe o gráfico obtido na tabela abaixo:

Use o gráfico para encontrar os valores de a, be c. Estabeleça uma relação linear entre as variáveis ​​x e y.


Pergunta. 8

Uma linha reta passa pelos pontos (2, 4) e (5, & # 8211 2). Tomando 1 cm = 1 unidade, marque esses pontos em um papel milimetrado e desenhe uma linha reta através desses pontos. Se os pontos (m, & # 8211 4) e (3, n) estiverem na linha desenhada, encontre os valores de me n.


Pergunta. 9

Desenhe o gráfico (linha reta) dado pela equação x & # 8211 3y = 18. Se a linha reta for desenhada passa pelos pontos (m, & # 8211 5) e (6, n) encontre os valores de m e n

Resposta 9:

Pergunta. 10

Use o método gráfico para encontrar o valor de k, se:
(i) (k, -3) encontra-se na linha reta 2x + 3y = 1

(ii) (5, k & # 8211 2) encontra-se na linha reta x & # 8211 2y + 1 = 0


Exe-27 B, Solução gráfica concisa Selina Class-9 de equações lineares simultâneas

Pergunta. 1

Resolva, graficamente, os seguintes pares de equações:

(i) x & # 8211 5 = 0, y + 4 = 0
(ii) 2x + y = 23, 4x & # 8211 y = 19
(iii) 3x + 7y = 27, 8 & # 8211 y = 5x / 2
(iv) & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230.

Resposta 1:





Pergunta. 2

Resolva graficamente as equações simultâneas fornecidas abaixo. Considere a escala como 2 cm = 1 unidade em ambos os eixos.
x & # 8211 2y & # 8211 4 = 0
2x + y = 3


Pergunta. 3

Use papel milimetrado para esta pergunta. Desenhe o gráfico de 2x & # 8211 y & # 8211 1 = 0 e 2x + y = 9 nos mesmos eixos. Use 2 cm = 1 unidade em ambos os eixos e plote apenas 3 pontos por linha. Anote as coordenadas do ponto de intersecção das duas linhas.



Pergunta. 4

Use papel milimetrado para esta pergunta. Tome 2 cm = 2 unidades no eixo x e 2 cm = 1 unidade no eixo y.
Resolva graficamente a seguinte equação:
3x + 5y = 12 3x & # 8211 5y + 18 = 0 (Plote apenas três pontos por linha)


Pergunta. 5

Use papel milimetrado para esta pergunta. Pegue 2 cm = 1 unidade em ambos os eixos.
(i) Desenhe os gráficos de x + y + 3 = 0 e 3x & # 8211 2y + 4 = 0. Trace apenas três pontos por linha.
(ii) Escreva as coordenadas do ponto de intersecção das linhas.
(iii) Meça e registre a distância do ponto de intersecção das linhas da origem em cm.


Pergunta. 6

Os lados de um triângulo são dados pelas equações y & # 8211 2 = 0 y + 1 = 3 (x & # 8211 2) e x + 2y = 0.
Encontre, graficamente:
(i) a área de um triângulo
(ii) as coordenadas dos vértices do triângulo.


Pergunta. 7

Desenhando um gráfico para cada uma das equações 3x + y + 5 = 0 3y & # 8211 x = 5 e 2x + 5y = 1 no mesmo papel gráfico, mostre que as linhas dadas por essas equações são concorrentes (ou seja, elas passam pelo mesmo ponto). Pegue 2 cm = 1 unidade em ambos os eixos.


Pergunta. 8

Usando uma escala de 1 cm a 1 unidade para ambos os eixos, desenhe os gráficos das seguintes equações: 6y = 5x + 10, y = 5x & # 8211 15.
No gráfico, encontre:
(i) as coordenadas do ponto onde as duas linhas se cruzam
(ii) a área do triângulo entre as linhas e o eixo x.


Pergunta. 9

O custo de fabricação x artigos é de Rs. (50 + 3x). O preço de venda de x artigos é Rs. 4x.

Em uma folha de gráfico, com os mesmos eixos, e usando escalas adequadas, desenhe dois gráficos, primeiro para o custo de fabricação em relação ao nº de artigos e o segundo para o preço de venda em relação ao número de artigos.

Use seu gráfico para determinar:
(eu). Nº de artigos a serem fabricados e vendidos até o ponto de equilíbrio (sem lucro e sem prejuízo).

(ii). O lucro ou perda realizado quando (a) 30 (b) 60 artigos são fabricados e vendidos.


Pergunta. 10

Encontre graficamente os vértices do triângulo cujos lados têm as equações 2y & # 8211 x = 8 5y & # 8211 x = 14 ey & # 8211 2x = 1 respectivamente. Pegue 1 cm = 1 unidade em ambos os eixos.


Pergunta. 11

Usando os mesmos eixos de coordenadas e a mesma unidade, resolva graficamente:
x + y = 0 e 3x & # 8211 2y = 10.
(Pegue pelo menos 3 pontos para cada linha desenhada).

Pergunta. 12

Resolva graficamente as seguintes equações.
x + 2y = 4 3x & # 8211 2y = 4.
Tome 2 cm = 1 unidade em cada eixo.
Além disso, encontre a área do triângulo formada pelas linhas e o eixo x.


Pergunta. 13

Use o método gráfico para encontrar o valor de & # 8216x & # 8217 para o qual as expressões (3x + 2) / 2 e 3x / 4 & # 8211 2

Pergunta. 14

O curso de um submarino inimigo, conforme plotado em eixos de coordenadas retangulares, dá a equação 2x + 3y = 4. Nos mesmos eixos, um curso de contratorpedeiro & # 8217s é indicado pelo gráfico x & # 8211 y = 7. Use o método gráfico para encontrar o ponto em que os caminhos do submarino e do contratorpedeiro se cruzam?

- Fim do Solução gráfica concisa de classe 9 de Equações Lineares Simultâneas: -


Resolva o seguinte sistema de equações lineares graficamente X –Y + 1 = 0, 3x + 2y - 12 = 0. Calcule a área limitada por essas linhas e o eixo X. - Matemática

Resolva o seguinte sistema de equações lineares graficamente
x & ndashy + 1 = 0, 3x + 2y & ndash 12 = 0.
Calcule a área delimitada por essas linhas e o eixo x.

Solução Mostrar Solução

Em um papel gráfico, desenhe uma linha horizontal X'OX e uma linha vertical YOY 'como os eixos xey, respectivamente.
Gráfico de x - y + 1 = 0

x - y + 1 = 0
& rArry = x + 1 & hellip (i)
Colocando x = -1, obtemos y = 0.
Colocando x = 1, obtemos y = 2.
Colocando x = 2, obtemos y = 3.
Assim, temos a seguinte tabela para a equação x - y + 1 = 0.

Agora, plote os pontos A (-1, 0), B (1, 2) e C (2, 3) no papel gráfico.
Junte AB e BC para obter a linha do gráfico AC. Estenda-o em ambos os sentidos.

Assim, AC é o gráfico de x - y + 1 = 0.
Gráfico de 3x + 2y - 12 = 0
3x + 2y - 12 = 0
& rArr 2y = (& ndash3x + 12)

& there4 `y = (-3x +12) / 2` & hellip & hellip .. (ii)
Colocando x = 0, obtemos y = 6.
Colocando x = 2, obtemos y = 3.
Colocando x = 4, obtemos y = 0.
Assim, temos a seguinte tabela para a equação 3x + 2y - 12 = 0.

Agora, plote os pontos P (0, 6) e Q (4, 0). O ponto B (2, 3) já foi traçado. Junte-se ao PC e ao CQ para obter a linha do gráfico PQ. Estenda-o em ambos os sentidos.
Então, PQ é o gráfico da equação 3x + 2y - 12 = 0.

As duas linhas do gráfico se cruzam em C (2, 3).
& there4 A solução do sistema de equações dado é x = 2 ey = 3.
Claramente, os vértices de & DeltaACQ formados por essas duas linhas e o eixo x são Q (4, 0), C (2, 3) e A (-1, 0).
Agora, considere o & DeltaACQ.
Aqui, altura = 3 unidades e base (AQ) = 5 unidades
& there4 Area & DeltaACQ = `1/2 xx base xxheight sq. unidades`


Sistemas de Equações - Método Gráfico

Nessas lições, aprenderemos como resolver sistemas de equações ou equações simultâneas por meio de gráficos.

Incluímos um sistema de calculadora de equações que pode resolver sistemas de equações gráfica e algebricamente. Use-o para verificar suas respostas.

Como resolver o sistema de equações por meio de gráficos?

Para resolver sistemas de equações ou equações simultâneas pelo método gráfico, desenhamos o gráfico para cada uma das equações e procuramos um ponto de intersecção entre os dois gráficos. As coordenadas do ponto de intersecção seriam a solução para o sistema de equações.

Se os dois gráficos não se cruzam - o que significa que são paralelos - então não há solução.

Exemplo:
Usando o método gráfico, encontre a solução dos sistemas de equações
y + x = 3
y = 4x - 2

Solução:
Desenhe as duas linhas graficamente e determine o ponto de intersecção do gráfico.
No gráfico, o ponto de intersecção é (1, 2)

Como resolver sistemas de equações graficamente?

Um sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações que devem ser resolvidas simultaneamente.

A solução de um sistema de duas equações em duas variáveis ​​é um par ordenado de números que torna ambas as equações verdadeiras. Os números no par ordenado correspondem às variáveis ​​em ordem alfabética.

O que pode acontecer quando duas linhas são representadas graficamente no mesmo plano de coordenadas?

  1. Os gráficos se cruzam em um ponto. O sistema é consistente e tem uma solução. Como nenhuma das equações é um múltiplo da outra, elas são independentes.
  2. Os gráficos são paralelos. O sistema é inconsistente porque não há solução. Como as equações não são equivalentes, elas são independentes.
  3. As equações têm o mesmo gráfico. O sistema é consistente e possui um número infinito de soluções. As equações são dependentes uma vez que são equivalentes.

Resolva este sistema de equações fazendo gráficos:
y = 3x + 1
x - 2y = 3

Resolva este sistema de equações fazendo gráficos:
y - x = 5
2x - 2y = 10

Resolva este sistema de equações fazendo gráficos:
y = 3x + 1
x - 2y = 3

Resolva este sistema de equações fazendo gráficos:
y = -x + 3
2x - 2y = 10

Como resolver sistemas de equações usando o método gráfico?

Sistemas de equações com uma solução, sem soluções (sistema inconsistente) e soluções infinitas (sistemas dependentes)

Resolver
2x + 3y = 6
y = -2/3 x - 2

Resolvendo um Sistema Linear de Equações por Representação Gráfica

A ideia básica é representar graficamente as duas linhas e procurar quaisquer pontos de intersecção.

Exemplos:
Resolver
5x - y = 6
2x + y = 8

Calculadora de Sistemas de Equações

Esta ferramenta matemática determinará o ponto de intersecção de duas linhas ou curvas. Entre nas duas equações e envie. Os gráficos das duas equações serão mostrados. Selecione a solução passo a passo se quiser ver as equações resolvidas algebricamente.

Experimente a calculadora e solucionador de problemas Mathway grátis abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

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Solução gráfica de equações cúbicas

Acredita-se que o seguinte conjunto de equações seja desconhecido, mas é muito difícil ter certeza disso. Se for realmente novo, pode ser publicado na Wikipedia. Alguém conhece uma solução gráfica de equações cúbicas que corresponda a esta? Estou muito interessado em ouvir de você.

Dado um [tex] V = x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ tex] arbitrário com [tex] x_i in R [/ tex] enquanto [tex] a ^ 2-3b neq 0 [ / tex]. Calculamos os seguintes parâmetros:

Precisamos dos parâmetros m, d e n para formar equações

para o círculo: [tex] Large left ( normalsize y + frac Large right) normalsize ^ 2 + Large left (x + frac <2n + 1> <2m> Large right) normalsize ^ 2 = frac <16d ^ 2 + 25> <8m ^ 2> [/ tex]

que todos passam pelos pontos [tex] left (x_1, x_2 right) [/ tex], [tex] left (x_2, x_3 right) [/ tex] e [tex] left (x_3, x_1 direita) [/ tex].


Usaremos [tex] V = x ^ 3 + 9x ^ 2-9x-153 = 0 [/ tex] como exemplo. As raízes [tex] x_i [/ ​​tex] de [tex] V = 0 [/ tex] podem ser calculadas como 3,823 -5,370 e -7,453

Para os coeficientes a = 9 b = -9 e c = -153, os parâmetros têm valores m = 1/2 d = 9/4 n = 1/2 enquanto p = 8.

As equações agora são dadas por:

Parábola: [tex] y = frac <1> <2> x ^ 2 + x- frac <33> <2> [/ tex]

Elipse: [tex] y ^ 2 + 2 left (x + frac <3> <2> right) ^ 2 - frac <171> <2> = 0 [/ tex]

As fórmulas para as coordenadas do conjunto de pontos “extras” de interseção também são conhecidas.

O anexo fornece os gráficos para uma equação cúbica escolhida.

As equações de ângulo triplo também podem agora ser resolvidas graficamente em uma série de variações de cônicas e a adição de círculos de unidade resultará em construções de segunda categoria da trissecção de um determinado ângulo. Isso já foi feito de forma puramente geométrica para a combinação círculo e parábola, essa construção foi encontrada na internet mas o link se perdeu. (Essas construções não são nenhum ponto de interesse especial para mim, apenas que se tornou uma coisa tão fácil de fazer é charmosa).


Modelos de válvula solenóide

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Tamanho do corpo: 1-3 / 16 & quot
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Tamanho do corpo: 1-1 / 2 & quot
Tamanho da porta: 1/8 & quot & amp 1/4 & quot
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Tamanho do corpo: 2 & quot
Tamanho da porta: 1/4 & quot & amp 3/8 & quot
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Válvulas e sistemas

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Tamanho do corpo: 0,75 a 2 ”
Tamanho da porta: # 10-32 a 1/2 ”
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Válvulas Solenóides Proporcionais

Orifício: 1/16 ou 3/32 ”diam
Tamanho da porta: 1/8 & quot NPT
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Sistemas de válvula manifold

Corpo: Metal ou Material Plástico
Montagem: NC e NO
Tamanho da porta: 0,3 a 0,6 "
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Par de Equações Lineares em Soluções de Classe 10 de Duas Variáveis ​​Exercício 3.2

Par de Equações Lineares em Duas Variáveis ​​Ex 3.2 de Soluções RD Sharma Classe 10

Resolva os seguintes sistemas de equações graficamente:
Questão 1.
x + y = 3
2x + 5y = 12 (C.B.S.E. 1997)
Solução:
x + y = 3
= & gt x = 3 & # 8211 y
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os 2x + 5y = 12
2x = 12 & # 8211 5y
⇒ x = ( frac <12-5y> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os, vemos que essas duas linhas se cruzam em (1, 2)
x = 1, y = 2

Questão 2.
x & # 8211 2y = 5
2x + 3y = 10 (C.B.S.E. 1997)
Solução:
x & # 8211 2y = 5 = & gt x = 5 + 2y
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo

Agora plote os pontos são o gráfico e junte-os
2x + 3y = 10 = & gt 2x = 10 & # 8211 3y
⇒ x = ( frac <10-3y> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os, vemos que essas duas linhas se cruzam em (5, 0)
x = 5, y = 0

Questão 3.
3x + y + 1 = 0
2x & # 8211 3y + 8 = 0 (C.B.S.E. 1996)
Solução:
3x + y + 1 = 0
y = -3x & # 8211 1
Substituindo os valores de x, obtemos os valores correspondentes de y, conforme mostrado abaixo

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os
2x & # 8211 3y + 8 = 0
⇒ 2x = 3y & # 8211 8
⇒ x = ( frac <3y-8> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo

Agora plote os pontos no gráfico e junte, então vemos que essas duas linhas se cruzam em (-1, -2)
x = -1, y = 2

Questão 4.
2x + y & # 8211 3 = 0
2x & # 8211 3y & # 8211 7 = 0 (C.B.S.E. 1996)
Solução:
2x + y & # 8211 3 = 0 = & gt y = -2x + 3
Substituindo alguns valores diferentes de x, obtemos os valores correspondentes de y conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos e junte-os 2x & # 8211 3y & # 8211 7 = 0
2x = 3y +7
x = ( frac <3y + 7> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os, vemos que essas duas linhas se cruzam em (2, -1)

Questão 5.
x + y = 6
x & # 8211 y = 2 (C.B.S.E. 1994)
Solução:
x + y = 6 = & gt x = 6 & # 8211 y
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado em

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os
x & # 8211 y = 2 ⇒ x = 2 + y
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os
Vemos que duas linhas se cruzam em (4, 2)
x = 4, y = 2

Questão 6.
x & # 8211 2y = 6
3x & # 8211 6y = 0 (C.B.S.E. 1995)
Solução:
x & # 8211 2y = 6
x = 6 + 2 y
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora trace os pontos e junte-os
3x & # 8211 6y = 0 ⇒ 3x = 6y ⇒ x = 2y
Substituindo algum valor diferente de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

trace os pontos no gráfico e junte-os Vemos que estas duas linhas não se cruzam em nenhum ponto
As linhas são paralelas
Não há solução

Questão 7.
x + y = 4
2x & # 8211 3y = 3 (C.B.S.E. 1995)
Solução:
x + y = 4 = & gt y = 4 & # 8211 x
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos e junte-os 2x & # 8211 3y = 3
⇒ 2x = 3 + 3y
⇒ x = ( frac <3 + 3y> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os, vemos que essas duas linhas se cruzam em (3, 1)
x = 3, y = 1

Questão 8.
2x + 3y = 4
x & # 8211 y + 3 = 0 (C.B.S.E. 1995)
Solução:
2x + 3y = 4
= & gt 2x = 4 & # 8211 3y
= & gt x = ( frac <4-3y> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos são o gráfico e junte-os
x & # 8211 y + 3 = 0
x = y & # 8211 3
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os
Vemos que essas duas linhas se cruzam em (-1, 2)
x = -1, y = 2

Questão 9.
2x & # 8211 3y + 13 = 0
3x & # 8211 2y + 12 = 0 (C.B.S.E. 2001C)
Solução:
2x & # 8211 3y + 13 = 0
2x = 3y & # 8211 13
= & gt x = ( frac <3y & # 8211 13> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo

Trace os pontos no gráfico e junte-os 3x & # 8211 2y + 12 = 0
3x = 2y & # 8211 12
x = ( frac <2y & # 8211 12> <3> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo

Trace os pontos e junte-os. Vemos que essas duas linhas se cruzam em (-2, 3)
x = -2, y = 3

Questão 10.
2x + 3y + 5 = 0
3x & # 8211 2y & # 8211 12 = 0 (C.B.S.E. 2001 C)
Solução:
2x + 3y + 5 = 0
2x = & # 8211 3y & # 8211 5
x = ( frac <& # 8211 3y & # 8211 5> <2> )
Substituindo algum valor diferente de y, obtemos valores correspondentes de x como mostrado abaixo

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os
3x & # 8211 2y & # 8211 12 = 0
3x = 2y +12
x = ( frac <2y +12> <3> )
Substituindo algum valor diferente de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os, vemos que essas linhas se cruzam em (2, -3)
x = 2, y = -3

Mostre graficamente que cada um dos seguintes sistemas de equações tem infinitas soluções:

Questão 11.
2x + 3y = 6
4x + 6y = 12 [CBSE2010]
Solução:
2x + 3y = 6 & # 8230 & # 8230 & # 8230. (I)
4x + 6y = 12 & # 8230 & # 8230 & # 8230. (Ii)
2x = 6 & # 8211 3y

Agora plote os pontos de ambas as linhas no gráfico e junte-os, vemos que todos os pontos estão na mesma linha reta
Este sistema tem infinitas soluções

Questão 12.
x & # 8211 2y = 5
3x & # 8211 6y = 15
Solução:
x & # 8211 2y = 5
x = 5 + 2y
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora plote esses pontos no gráfico e junte-os
3x & # 8211 6y = 15
= & gt 3x = 15 + 6y
x = ( frac <15 + 6y> <3> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os
Vemos que essas duas linhas coincidem
Este sistema possui infinitas soluções.

Questão 13.
3x + y = 8
6x + 2y = 16
Solução:
3x + y = 8 = & gt y = 8 & # 8211 3x
Substituindo alguns valores diferentes de x, obtemos os valores correspondentes de y conforme mostrado abaixo:

Agora plote esses pontos no gráfico e junte-os
6x + 2y & # 8211 16 = & gt 6x = 16 & # 8211 2y
x = ( frac <16 & # 8211 2y> <6> )
x = ( frac <8 & # 8211 y> <3> ) (Dividindo por 2)
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos e aponte-os
Vemos que as duas linhas coincidem
Este sistema tem infinitas soluções

Questão 14.
x- 2y + 11 = 0
3x & # 8211 6y + 33 = 0
Solução:
x & # 8211 2y + 11 = 0
x = 2y & # 8211 11
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo

Trace os pontos no gráfico e junte-os 3x & # 8211 6y + 33 = 0
3x = 6y & # 8211 33
x = ( frac <6y & # 8211 33> <3> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo

Trace os pontos no gráfico e junte-os vemos que as duas linhas coincidem uma com a outra
Este sistema possui infinitas soluções.

Mostre graficamente que cada um dos seguintes sistemas de equações é inconsistente (ou seja, não tem solução)

Questão 15.
3x & # 8211 5y = 20
6x & # 8211 10y = -40 (C.B.S.E. 1995C)
Solução:
3x & # 8211 5y = 20
3x = 20 + 5y
x = ( frac <20 + 5y> <3> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo

Trace os pontos no gráfico e junte-os
6x & # 8211 10y = -40
6x = 10y & # 8211 40
x = ( frac <10y & # 8211 40> <6> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo

Trace os pontos no gráfico e junte-os vemos que as linhas são paralelas
O sistema de equações dado é inconsistente e não tem solução.

Questão 16.
x & # 8211 2y = 6
3x & # 8211 6y = 0 (C.B.S.E. 1995)
Solução:
x & # 8211 2y = 6
x = 6 + 2y
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Trace os pontos no gráfico e junte-os
3x & # 8211 6y = 0
= & gt 3x = 6y
= & gt x = 2y
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Trace os pontos do gráfico e junte-os Vemos que as linhas são paralelas
O sistema de equação é inconsistente e, portanto, não tem solução.

Questão 17.
2y & # 8211 x = 9
6y & # 8211 3x = 21 (C.B.S.E. 1995C)
Solução:
2y & # 8211 x = 9
= & gt x = 2y & # 8211 9
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os
6y & # 8211 3x = 21
= & gt 6y = 21 + 3x
y = ( frac <21 + 3x> <6> )
Substituindo alguns valores diferentes de x, obtemos seus valores correspondentes de y conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os, vemos que as linhas são paralelas
O sistema de equações é inconsistente e, portanto, não tem solução.

Questão 18.
3x & # 8211 4y & # 8211 1 = 0
2x & # 8211 ( frac <8> <3> ) y + 5 = 0
Solução:
3x & # 8211 4y -1 = 0
3x = 4y + 1
x = ( frac <4y + 1> <3> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os
2x & # 8211 ( frac <8> <3> ) y + 5 = 0
= & gt 6x & # 8211 8y + 15 = 0
= & gt 6x = 8y & # 8211 15
= & gt x = ( frac <8y & # 8211 15> <6> )
Agora, substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x como mostrado abaixo

Trace os pontos do gráfico e junte-os Vemos que as linhas são paralelas
O sistema de equações é inconsistente, portanto não tem solução.

Questão 19.
Determine graficamente os vértices do triângulo cujas equações de lados são dadas abaixo:
(i) 2y & # 8211 x = 8, 5y & # 8211 x = 14 ey & # 8211 2x = 1 (C.B.S.E. 1994)
(ii) y = x, y = 0 e 3x + 3y = 10 (C.B.S.E. 1994)
Solução:
(i) As equações dos lados de um triângulo são 2y & # 8211 x = 8, 5y & # 8211 x = 14 ey & # 8211 2x = 1
2y & # 8211 x = 8
x = 2y & # 8211 8
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x como mostrado abaixo

Agora plote os pontos e junte-os da mesma forma em 5y & # 8211 x = 14
x = 5y & # 8211 14

Agora trace esses pontos e junte-os em cada caso
Vemos que essas retas se cruzam em (-4, 2), (1, 3) e (2, 5), que são os vértices do triângulo assim formado.

(ii) y = x, y = 0 e 3x + 3y = 10
y = x
Substituindo alguns valores diferentes de x, obtemos seus valores correspondentes de y, conforme mostrado abaixo

Questão 20.
Determine graficamente se o sistema de equações x & # 8211 2y = 2, 4x & # 8211 2y = 5 é consistente ou inconsistente?
Solução:
x & # 8211 2y = 2
x = 2y + 2
Substituindo alguns valores de y, obtemos seus valores correspondentes de x, conforme mostrado abaixo

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os
4x & # 8211 2y = 5
4x = 2y + 5
x = ( frac <2y + 5> <4> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes bf x conforme mostrado abaixo

Agora trace os pontos acima e junte-os Nós vemos que duas linhas se cruzam
O sistema é consistente

Questão 21.
Determine desenhando gráficos, se o seguinte sistema de equações lineares tem uma solução única ou não:
(i) 2x & # 8211 3y = 6, x + y = 1 (C.B.S.E. 1994)
(ii) 2y = 4x & # 8211 6, 2x = y + 3 (C.B.S.E. 1995C)
Solução:
(i) 2x & # 8211 3y = 6, x + y = 1
2x & # 8211 3y = 6
= & gt 2x = 6 + 3y
= & gt x = ( frac <6 + 3y> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x mostrados abaixo

Agora trace os pontos e junte-os
x + y = 1 = & gt x = 1 & # 8211 y
Substituindo algum diferente de y, obtemos seu valor correspondente de x conforme dado abaixo

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os, vemos que as linhas se cruzam em um ponto
Este sistema possui uma solução única.

(ii) 2y = 4x & # 8211 6, 2x = y + 3
2y = 4x & # 8211 6
y = ( frac <4x & # 8211 6> <2> ) = 2x & # 8211 3
Substituindo alguns valores diferentes de x, obtemos seus valores correspondentes de y conforme mostrado abaixo

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os
2x = y + 3
x = ( frac <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x como mostrado abaixo

Trace os pontos no gráfico e junte-os Nós vemos as linhas lado a lado
Este sistema não possui uma solução única.

Questão 22.
Resolva graficamente cada um dos seguintes sistemas de equações lineares. E também as coordenadas dos pontos onde as linhas
encontrar o eixo de y.
(i) 2x & # 8211 5y + 4 = 0
2x + y & # 8211 8 = 0 (C.B.S.E. 2005)
(ii) 3x + 2y = 12
5x & # 8211 2y = 4 (C.B.S.E. 2000C)
(iii) 2x + y & # 8211 11 = 0
x & # 8211 y & # 8211 1 = 0 (C.B.S.E. 2000C)
(iv) x + 2y & # 8211 7 = 0
2x & # 8211 y & # 8211 4 = 0 (C.B.S.E. 2000C)
(v) 3x + y & # 8211 5 = 0
2x & # 8211 y & # 8211 5 = 0 (C.B.S.E. 2002C)
(vi) 2x & # 8211 y & # 8211 5 = 0
x & # 8211 y & # 8211 3 = 0 (C.B.S.E. 2002C)
Solução:
(i) 2x & # 8211 5y + 4 = 0, 2x & # 8211 5y + 4 = 0
2x & # 8211 5y + 4 = 0 ⇒ 2x = 5y & # 8211 4
⇒ x = ( frac <5y & # 8211 4> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x, conforme mostrado aqui

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os
2x + y & # 8211 8 = 0 = & gt 2x = 8 & # 8211 y
x = ( frac <8 & # 8211 y> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x como mostrado abaixo

Agora junte esses pontos e junte-se a eles
Vemos que as linhas se cruzam em (3, 2)
x = 3, y = 2
Essas linhas cruzam o eixo y em (0, ( frac <4> <5> )) e (0, 8), respectivamente.

(ii) 3x + 2y = 12, 5x & # 8211 2y = 4
3x + 2y = 12
= & gt 3x = 12 & # 8211 2y
x = ( frac <12 & # 8211 2y> <3> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x como mostrado abaixo

Agora plote os pontos e junte-os de maneira semelhante em 5x & # 8211 2y = 4
= & gt 5x = 4 + 2y
x = ( frac <4 + 2y> <5> )

Agora junte esses pontos e junte-se a eles
Vemos que essas linhas se cruzam em (2, 3)
x = 2, y = 3
As linhas cruzam o eixo y em (0, 6) e (0, 2), respectivamente.

(iii) 2x + y & # 8211 11 = 0, x & # 8211 y & # 8211 1 = 0
2x + y & # 8211 11 = 0 = & gt y = 11 & # 8211 2x
Substituindo alguns valores diferentes de x, obtemos seus valores correspondentes de y conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos e junte-os Da mesma forma em x & # 8211 y & # 8211 1 = 0 = & gt x = y + 1

Agora plote os pontos e junte-os. Vemos que essas duas linhas cruzam cada othetr em (4, 3) e cruzam o eixo y em (0, 11) e (0, -1)

(iv) x + 2y & # 8211 7 = 0, 2x & # 8211 y & # 8211 4 = 0
x + 2y & # 8211 7 = 0
x = 7 & # 8211 2y
Substituindo algum valor diferente de y, obtemos seus valores correspondentes de x como mostrado abaixo

Agora plote esses pontos e junte-os de forma semelhante em
2x & # 8211 y & # 8211 4 = 0
y = 2x & # 8211 4

Agora plote esses pontos e junte-os. Vemos que essas duas linhas se cruzam em (3, 2)
e essas linhas cruzam o eixo y em (0, ( frac <7> <2> )) e (0, -4)

(v) 3x + y & # 8211 5 = 0, 2x & # 8211 y & # 8211 5 = 0
3x + y & # 8211 5 = 0
y = 5 & # 8211 3x
Substituindo alguns valores diferentes de x, obtemos os valores correspondentes de y conforme mostrado abaixo

Agora plote esses pontos e junte-os de maneira semelhante em 2x & # 8211 y & # 8211 5 = 6 = & gt y = 2x & # 8211 5

Agora plote esses pontos e junte-os. Vemos que essas duas linhas se cruzam em (2, -1)
x = 2, y = 1
e essas linhas cruzam o eixo y em (0, 5) e (0, -5), respectivamente.

(vi) 2x & # 8211 y & # 8211 5 = 0, x & # 8211 y & # 8211 3 = 0
2x & # 8211 y & # 8211 5 = 0
y = 2x & # 8211 5
Substituindo alguns valores diferentes de x, obtemos seus valores correspondentes de y conforme mostrado abaixo

Trace os pontos e junte-os Da mesma forma na equação x & # 8211 y & # 8211 3 = 0 = & gt x = y + 3

Trace esses pontos no gráfico e junte-os, vemos que essas duas linhas se cruzam em (2, -1)
x = 2, y = 1
e essas linhas cruzam o eixo y em (0, -5) e (0, -3)

Questão 23.
Resolva o seguinte sistema de equações lineares graficamente e sombreie a região entre as duas linhas e o eixo x
(i) 2x + 3y = 12, x & # 8211 y = 1 (C.B.S.E. 2001)
(ii) 3x + 2y & # 8211 4 = 0, 2x & # 8211 3y & # 8211 7 = 0 (C.B.S.E. 2006C)
(iii) 3x + 2y & # 8211 11 = 0, 2x & # 8211 3y + 10 = 0 (C.B.S.E. 2006C)
Solução:
(i) 2x + 3y = 12, x & # 8211 y = 1
2x + 3y = 12 = & gt 2x = 12 & # 8211 3y
= & gt x = ( frac <12 & # 8211 3y> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os. Da mesma forma na equação
x & # 8211 y = 1 = & gt x = 1 + y

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os
Vemos que as duas linhas se cruzam em (3, 2) e também se cruzam com o eixo x em (6, 0) e 0,0)
A região necessária foi sombreada.

(ii) 3x + 2y & # 8211 4 = 0, 2x & # 8211 3y & # 8211 7 = 0
3x + 2y & # 8211 4 = 0
= & gt 3x = 4 & # 8211 2y
x = ( frac <4 & # 8211 2y> <3> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os. Da mesma forma na equação
2x & # 8211 3y & # 8211 7 = 0
= & gt 2x = 3y + 7
= & gt x = ( frac <3y + 7> <2> )

Trace esses pontos e junte-os
A região necessária cercada por essas duas linhas e o eixo x foi sombreado conforme mostrado.

(iii) 3x + 2y & # 8211 11 = 0, 2x & # 8211 3y + 10 = 0
3x + 2y & # 8211 11
= & gt 3x = 11 & # 8211 2y
= & gt x = ( frac <11 & # 8211 2y> <3> )
Substituindo algum valor diferente de y, obtemos valores correspondentes de x como mostrado abaixo

Agora trace os pontos e junte-os. Da mesma forma na equação
2x & # 8211 3y + 10 = 0
2x = 3y & # 8211 10
x = ( frac <3y & # 8211 10> <2> )

Agora trace os pontos e junte-os
A região necessária cercada por essas duas linhas e o eixo Y foi sombreada conforme mostrado.

Questão 24.
Desenhe os gráficos das seguintes equações no mesmo papel milimetrado:
2x + 3y = 12
x & # 8211 y = 1
Encontre as coordenadas dos vértices do triângulo formado pelas duas retas e o eixo y. (C.B.S.E. 2001)
Solução:
2x + 3y = 12
⇒ 2x = 12 & # 8211 3y
x = ( frac <12 & # 8211 3y> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os. Da mesma forma na equação
x & # 8211 y = 1 = & gt x = y + 1

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os
A região necessária cercada por essas duas linhas e o eixo y foi sombreado conforme mostrado

Questão 25.
Desenhe os gráficos de x & # 8211 y + 1 = 0 e 3x + 2y & # 8211 12 = 0. Determine as coordenadas dos vértices do triângulo formado por essas linhas e eixo x e sombreie a área triangular. Calcule a área delimitada por essas linhas e o eixo x. (C.B.S.E. 2002)
Solução:
x & # 8211 y + 1 = 0, 3x + 2y-12 = 0
x & # 8211 y + 1 = 0
x = y & # 8211 1
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos então seus valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos e junte-os Da mesma forma, na equação
3x + 2y & # 8211 12 = 0 = & gt 3x = 12 & # 8211 2y
x = ( frac <12 & # 8211 2y> <3> )

Trace os pontos no gráfico e junte-os. Essas duas linhas se cruzam em (2, 3) e o eixo x em (-1, 0) e (4, 0)
Área do triângulo ABC = ( frac <1> <2> ) x Base x Altitude

Questão 26.
Resolva graficamente o sistema de equações lineares:
4x & # 8211 3y + 4 = 0
4x + 3y & # 8211 20 = 0
Encontre a área delimitada por essas linhas e o eixo x. (C.B.S.E. 2002)
Solução:
4x & # 8211 3y + 4 = 0
= & gt 4x = 3y & # 8211 4
= & gt x = ( frac <3y & # 8211 4> <4> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Questão 27.
Resolva o seguinte sistema de equações lineares graficamente 3x + y & # 8211 11 = 0, x & # 8211 y & # 8211 1 = 0. Sombreie a região delimitada por essas linhas e o eixo y. Encontre também a área da região delimitada por essas linhas e o eixo y. (C.B.S.E. 2002C)
Solução:
3x + y & # 8211 11 = 0
y = 11 & # 8211 3x
Substituindo alguns valores diferentes de x, obtemos seus valores correspondentes de y conforme mostrado abaixo:

Agora plote esses pontos no gráfico e junte-os da mesma forma na equação
x & # 8211 y & # 8211 1 = 0
= & gt x = y + 1

Agora plote esses pontos no gráfico e junte-os. Vemos que essas duas linhas se cruzam no ponto (3,2)
x = 3, y = 2
Agora sombreie a região delimitada por essas duas linhas e o eixo y

Área sombreada ∆ABC
= ( frac <1> <2> ) x AC x BD
= ( frac <1> <2> ) x 12 x 3 = 18 unidades quadradas

Questão 28.
Resolva graficamente cada um dos seguintes sistemas de equações lineares. Encontre também as coordenadas dos pontos onde as linhas encontram o eixo de x em cada sistema.
(i) 2x + y = 6
x & # 8211 2y = -2 (C.B.S.E. 1998)
(ii) 2x & # 8211 y = 2
4x & # 8211 y = 8 (C.B.S.E. 1998)
(iii) x + 2y = 5
2x & # 8211 3y = -4 (C.B.S.E. 2005)
(iv) 2x + 3y = 8
x & # 8211 2y = -3 (C.B.S.E. 2005)
Solução:
(i) 2x + y = 6, x & # 8211 2y = -2
2x + y = 6
y = 6 & # 8211 2x
Substituindo alguns valores diferentes de x, obtemos seus valores correspondentes de y conforme mostrado abaixo

Agora plote os pontos e junte-os da mesma forma na equação
x & # 8211 2y = -2
= & gt x = 2y & # 8211 2

Agora trace os pontos e junte-os. Vemos que essas duas linhas se cruzam em (2, 2)
x = 2, y = 2
Aqui, duas linhas também encontram o eixo x em (3, 0) e (-2, 0), respectivamente, como mostrado na figura.

(ii) 2x & # 8211 y = 2, 4x & # 8211 y = 8
2x & # 8211 y = 2
= & gt y = 2x & # 8211 2
Substituindo alguns valores diferentes de x, obtemos os valores correspondentes de y conforme mostrado abaixo:

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os da mesma forma na equação
4x & # 8211 y = 8
= & gt y = 4x & # 8211 8

Agora plote esses pontos e junte-os. Vemos que essas duas linhas se cruzam em (3, 4)
x = 3, y = 4
Essas duas linhas também encontram o eixo x em (1, 0) e (2,0), respectivamente, conforme mostrado na figura

(iii) x + 2y = 5, 2x & # 8211 3y = -4
x + 2y = 5
= & gt x = 5 & # 8211 2y
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x como mostrado abaixo

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os
Da mesma forma na equação
2x & # 8211 3y = 4
= & gt 2x = 3y & # 8211 4
x = ( frac <3y & # 8211 4> <2> )

Trace esses pontos e junte-os
Vemos que essas duas linhas se cruzam em (1, 2)
x = 1, y = 2
e essas duas linhas encontram o eixo x em (5, 0) e (-2, 0), respectivamente, como mostrado na figura

(iv) 2x + 3y = 8, x & # 8211 2y = -3
2x + 3y = 8
= & gt 2x = 8 & # 8211 3y
x = ( frac <8 & # 8211 3y> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Trace esses pontos no gráfico e junte-os da mesma forma na equação
x & # 8211 2y = -3
x = 2y & # 8211 3

Agora plote esses pontos e junte-os. Vemos que essas duas linhas se cruzam em (1, 2)
x = 1, y = 2
e também essas linhas encontram o eixo x em (4, 0) e (-3, 0), respectivamente, como mostrado na figura

Questão 29.
Desenhe os gráficos das seguintes equações 2x & # 8211 3y + 6 = 0
2x + 3y & # 8211 18 = 0
y & # 8211 2 = 0
Encontre os vértices do triângulo assim obtidos. Além disso, encontre a área do triângulo.
Solução:
2x & # 8211 3y + 6 = 0
2x = 3y & # 8211 6
x = ( frac <3y & # 8211 6> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Agora plote esses pontos no gráfico e junte-os
Da mesma forma na equação 2x + 3y -18 = 0
= & gt 2x = 18 & # 8211 3y
x = ( frac <18 & # 8211 3y> <2> )

e na equação y & # 8211 2 = 0
y = 2
Que é paralelo ao eixo x em seu lado positivo Agora plote os pontos e junte-os. Vemos que essas linhas se cruzam em (3, 4), (6, 2) e (0, 2)
Área do triângulo ABC, assim formada
= ( frac <1> <2> ) x base x altitude
= ( frac <1> <2> ) x BC x AD
= ( frac <1> <2> ) x 6 x 2
= 6 unidades quadradas

Questão 30.
Resolva o seguinte sistema de equações graficamente:
2x & # 8211 3y + 6 = 0
2x + 3y & # 8211 18 = 0
Encontre também a área da região delimitada por essas duas linhas e o eixo y.
Solução:
2x & # 8211 3y + 6 = 0
2x = 3y & # 8211 6
x = ( frac <3y & # 8211 6> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x conforme mostrado abaixo:

Trace esses pontos no gráfico e junte-os da mesma forma na equação
2x + 3y & # 8211 18 = 0
= & gt 2x = 18 & # 8211 3y
x = ( frac <18 & # 8211 3y> <2> )

Trace esses pontos no gráfico e junte-os. Vemos que essas duas linhas se cruzam em (3, 4)
x = 3, y = 4
Essas linhas formaram um triângulo ABC com o eixo y
Área de ∆ABC = ( frac <1> <2> ) x base x altitude
= ( frac <1> <2> ) x BC x AD
= ( frac <1> <2> ) x 4 x 3 = 6 Sq. unidades

Questão 31.
Resolva o seguinte sistema de equações lineares graficamente:
4x & # 8211 5y & # 8211 20 = 0
3x + 5y & # 8211 15 = 0
Determine os vértices do triângulo formado pelas linhas que representam a equação acima e o eixo y. (C.B.S.E. 2004)
Solução:
4x & # 8211 5y & # 8211 20 = 0
= & gt 4x = 5y + 20
x = ( frac <5y + 20> <2> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x como mostrado abaixo

Trace esses pontos no gráfico e junte-os da mesma forma na equação
3x + 5y & # 8211 15 = 0
= & gt 3x = 15 & # 8211 5y
x = ( frac <15 & # 8211 5y> <2> )

Agora plote esses pontos e junte-os. Vemos que essas duas linhas se cruzam em (5, 0)
x = 5, y = 0
Essas duas linhas formam um ∆ABC com eixo y cujos vértices são A (5, 0), B (0, 3), C (0, -4)

Questão 32.
Desenhe os gráficos das equações 5x & # 8211 y = 5 e 3x & # 8211 y = 3. Determine as coordenadas dos vértices do triângulo formado por essas linhas e o eixo y calcule a área do triângulo assim formado.
Solução:
5x & # 8211 y = 5
= & gt y = 5x & # 8211 5
Substituindo alguns valores diferentes de x, obtemos seus valores correspondentes de y conforme mostrado abaixo:

Trace esses pontos no gráfico e junte-os. Da mesma forma na equação
3x & # 8211 y = 3
= & gt y = 3x & # 8211 3

Agora plote esses pontos e junte-os. Vemos que essas duas linhas se cruzam em (1, 0)

Questão 33.
Forme o par de equações lineares nos problemas a seguir e encontre sua solução graficamente.
(i) 10 alunos da classe X participaram do questionário de matemática. Se o número de meninas for 4 a mais que o número de meninos, encontre o número de meninos e meninas que participaram do questionário.
(ii) 5 lápis e 7 canetas juntos custam Rs. 50, enquanto 7 lápis e 5 canetas juntos custam Rs. 46. ​​Encontre o custo de um lápis e uma caneta.
(iii) Champa foi a uma & # 8216venda 'para comprar algumas calças e saias. Quando suas amigas perguntaram quantas de cada ela havia comprado, ela respondeu: “O número de saias é duas vezes menor que o número de calças compradas. Além disso, o número de saias é quatro menos do que quatro vezes o número de calças compradas. ” Ajude suas amigas a descobrir quantas calças e saias Champa comprou. [NCERT]
Solução:
Deixe o número de meninos = x
e número de meninas = y
De acordo com as condições fornecidas
x + y = 10
y & # 8211 x = 4
Agora, x + y = 10
= & gt x = 10 & # 8211 y
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x conforme dado abaixo

Trace os pontos no gráfico e junte-os da mesma forma na equação
y & # 8211 x = 4
= & gt y = 4 + x

Agora plote os pontos e junte-os, vemos que essas duas linhas se cruzam em (3, 7)
x = 3, y = 7
Número de meninos = 3
e número de meninas = 7

(ii) Deixe custo de 1 lápis = Rs. x
e custo de 1 caneta = Rs. y
De acordo com as condições fornecidas,
5x + 7y = 50
2x + 5y = 46
5x + 7y = 50
5x = 50 & # 8211 7y
x = ( frac <50 & # 8211 7y> <5> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos os valores correspondentes de x conforme dado abaixo

Trace esses pontos e junte-os da mesma forma na equação
7x + 5y = 46
= & gt 7x = 46 & # 8211 5y
= & gt x = ( frac <46 & # 8211 5y> <7> )

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os. Vemos que essas duas linhas se cruzam em (3, 5)
x = 3, y = 5
ou custo do lápis = Rs. 3
e custo de uma caneta = Rs. 5

(iii) Seja o número de saias = x
e número de calças = y
De acordo com a condição fornecida,
x = 2y & # 8211 2 e x = 4y & # 8211 4
2y & # 8211 2 = 4y & # 8211 4
4y & # 8211 2y = -2 + 4
2y = 2
y = 1
e x = 2y & # 8211 2 = 2 x 1 & # 8211 2 = 2 & # 8211 2 = 0
Número de saias = 0
e número de calças = 1

Questão 34.
Resolva o seguinte sistema de equações graficamente sombreie a região entre as linhas e o eixo y
(i) 3x & # 8211 4y = 7
5x + 2y = 3 (C.B.S.E. 2006C)
(ii) 4x & # 8211 y = 4
3x + 2y = 14 (C.B.S.E. 2006C)
Solução:
(i) 3x & # 8211 4y = 7
3x = 7 + 4y
x = ( frac <7 + 4y> <3> )
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x como mostrado abaixo

Trace esses pontos no gráfico e junte-os. Da mesma forma na equação
5x + 2y = 3
= & gt 5x = 3 & # 8211 2y
x = ( frac <3 & # 8211 2y> <5> )

Plote esses pontos e junte-os. Vemos que as linhas se cruzam em (1, -1)
x = 1, y = -1
Agora, a região entre essas linhas e o eixo y foi sombreada conforme mostrado

(ii) 4x & # 8211 y = 4
3x + 2y = 14
4x & # 8211 y = 4
y = 4x & # 8211 4
Substituindo alguns valores diferentes de x, obtemos seus valores correspondentes de y conforme mostrado abaixo

Trace esses pontos e junte-os da mesma forma na equação
3x + 2y = 14
3x = 14 & # 8211 2y
x = ( frac <14 & # 8211 2y> <3> )

Agora trace esses pontos e junte-os
Vemos que essas linhas se cruzam em (2, 4)
x = 2, y = 4
A região entre essas duas linhas e o eixo y foi sombreada conforme mostrado

Questão 35.
Represente o seguinte par de equações graficamente e escreva as coordenadas dos pontos onde as linhas se cruzam com o eixo y
x + 3y = 6
2x & # 8211 3y = 12 (C.B.S.E. 2008)
Solução:
x + 3y = 6
x = 6 & # 8211 3y
Substituindo alguns valores diferentes de y, obtemos seus valores correspondentes de x como mostrado abaixo

Agora plote esses pontos no gráfico e junte-os
Da mesma forma na equação
2x & # 8211 3y = 12 = & gt 2x = 12 + 3y
x = ( frac <12 + 3y> <2> )

Agora plote seus pontos e junte-os. Vemos que essas duas linhas encontram o eixo y em (0, 2) e (0, -4)

Questão 36.
Dada a equação linear 2x + 3y & # 8211 8 = 0, escreva outra equação linear em duas variáveis ​​de modo que a representação geométrica do par assim formado seja
(i) linhas que se cruzam
(ii) Linhas paralelas
(iii) linhas coincidentes [NCERT]
Solução:
Dada uma equação linear 2x + 3y & # 8211 8 = 0
(i) Quando as linhas estão se cruzando, então

Questão 37.
Determine graficamente as coordenadas dos vértices de um triângulo, as equações de cujos lados são:
(i) y = x, y = 2x ey + x = 6 (C.B.S.E. 2000)
(ii) y = x, 3y = x, x + y = 8 (C.B.S.E. 2000)
Solução:
(i) y = x
Substituindo alguns valores diferentes de x, obtemos seus valores correspondentes de y conforme mostrado abaixo

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os. Da mesma forma na equação y = 2x

e y + x = 6 = & gt x = 6 & # 8211 y

Agora plote os pontos no gráfico e junte-os. Vemos que essas linhas se cruzam em (0, 0), (3, 3) e (2, 4)
Os vértices do triângulo assim formados por essas linhas são (0, 0), (3, 3) e (2, 4)

(ii) y = x, 3y = x, x + y = 8
y = x
Substituindo alguns valores diferentes de x, obtemos os valores correspondentes de y conforme mostrado abaixo

Plote esses pontos no gráfico e junte-os de maneira semelhante na equação 3y = x

e x + y = 8 = & gt x = 8 & # 8211 y

Agora trace os pontos e junte-os. Vemos que essas linhas se cruzam em (0,0), (4, 4), (6, 2)
Os vértices do triângulo assim formado são (0, 0), (4, 4) e (6, 2)

Questão 38.
Graficamente, resolva o seguinte par de equações:
2x + y = 6
2x & # 8211 y + 2 = 0
Encontre a proporção das áreas dos dois triângulos formados pelas linhas que representam essas equações com o eixo xe as linhas com o eixo y. [NCERT Exemplar]
Solução:
As equações dadas são 2x + y & # 8211 6 e 2x & # 8211 y + 2 = 0
Tabela para a equação 2x + y = 6



Portanto, o par de equações se cruzam graficamente no ponto E (1, 4), ou seja, x = 1 e y = 4

Questão 39.
Determine, graficamente, os vértices dos triângulos formados pelas retas y = x, 3y = x, x + y = 8. [NCERT Exemplar]
Solução:
As equações lineares dadas são y = x & # 8230 & # 8230. (I)
3y = x & # 8230 & # 8230 & # 8230 (ii)
e x + y = 8 & # 8230 & # 8230. (iii)
Para a equação y = x,
Se x = 1, então y = 1
Se x = 0, então y = 0
Se x = 2, então y = 2
Tabela para linha y = x,

Para a equação x = 3y
Se x = 0, então y = 0,
se x = 3, então y = 1
e se x = 6, então y = 2
Tabela para linha x = 3y,

Para a equação,
Se x = 0, então y = 8
se x = 8, então y = 0
e se x = 4, então y = 4
Tabela para linha x + y = 8,

Plotando os pontos A (1, 1) e B (2,2), obtemos a linha reta AB. Traçando os pontos C (3, 1) e D (6, 2), obtemos a linha reta CD. Traçando os pontos P (0, 8), Q (4, 4) e R (8, 0), obtemos a linha reta PQR. Vemos que as linhas AB e CD cruzam a linha PR em Q e D, respectivamente.
Portanto, ∆OQD é formado por essas linhas. Logo, os vértices do ∆OQD formados pelas linhas dadas são O (0, 0), Q (4, 4) e D (6, 2).

Questão 40.
Desenhe o gráfico das equações x = 3, x = 5 e 2x & # 8211 y & # 8211 4 = 0. Além disso, encontre a área do quadrilátero formado pelas retas e o eixo x. | NCERT Exemplar]
Solução:
Dada a equação das linhas 2x & # 8211 y & # 8211 4 = 0, x = 3 e x = 5
Tabela para linha 2x & # 8211 y & # 8211 4 = 0,

Desenhe os pontos P (0, -4) e Q (2,0) e junte esses pontos e forme uma linha PQ também desenhe as linhas x = 3 e x = 5.
Área do quadrilátero ABCD = ( frac <1> <2> ) x distância entre as linhas paralelas (AB) x (AD + BC) [uma vez que o quadrilátero ABCD é um trapézio]
= ( frac <1> <2> ) x 2 x (6 + 2) [∵ AB = OB & # 8211 OA = 5 & # 8211 3 = 2, AD = 2 e BC = 6]
= 8 unidades quadradas

Portanto, a área necessária do quadrilátero formado pelas linhas e o eixo x é de 8 unidades quadradas.

Questão 41.
Desenhe os gráficos das retas x = -2 ey = 3. Escreva os vértices da figura formada por essas retas, o eixo xe o eixo y. Além disso, encontre a área da figura. [NCERT Exemplar]
Solução:
Sabemos que o gráfico de x = -2 é uma linha paralela ao eixo y a uma distância de 2 unidades à esquerda dele. Então, a linha l é o gráfico de x = -2

O gráfico de y = 3 é uma linha paralela ao eixo x a uma distância de 3 unidades acima dele.
Então, a reta m é o gráfico de y = 3
A figura delimitada pela linha x = -2, y = 3, o eixo xeo eixo y é OABC, que é um retângulo.
A é um ponto no eixo y a uma distância de 3 unidades acima do eixo x. Portanto, as coordenadas de A são (0, 3).
C é um ponto no eixo x a uma distância de 2 unidades à esquerda do eixo y. Portanto, as coordenadas de C são (-2, 0).
B é a solução do par de equações x = -2 ey = 3. Portanto, as coordenadas de B são (-2, 3).
Assim, os vértices do retângulo OABC são O (0, 0), A (0, 3), B (-2, 3), C (-2, 0).
O comprimento e a largura desse retângulo são 2 unidades e 3 unidades, respectivamente.
Como a área de um retângulo = comprimento x largura, a área do retângulo OABC = 2 x 3 = 6 unidades quadradas.

Questão 42.
Desenhe os gráficos do par de equações lineares x & # 8211 y + 2 = 0 e 4x & # 8211 y & # 8211 4 = 0. Calcule a área do triângulo formado pelas linhas assim desenhadas e o eixo x. [NCERT Exemplar]
Solução:
Para desenhar os gráficos das equações dadas, encontramos duas soluções para cada uma das equações, que são fornecidas na tabela.
Plote os pontos A (0,2), B (-2,0), P (0, -4) e Q (1,0) no papel milimetrado e junte os pontos para formar as linhas AB e PQ como mostrado na figura.

Observamos que existe um ponto R (2,4) comum às linhas AB e PQ. O triângulo formado por essas linhas e o eixo x é BQR.
Os vértices deste triângulo são B (-2, 0), Q (1, 0) e R (2, 4).
Nós sabemos isso
Área do triângulo = ( frac <1> <2> ) x Base x Altitude
Aqui, Base = BQ = BO + OQ = 2 + 1 = 3 unidades
Altitude = RM = Ordenada de R = 4 unidades.
Portanto, área de ABQR = ( frac <1> <2> ) x 3 x 4 = 6 unidades quadradas

Par de Equações Lineares em Soluções de Classe 10 de Duas Variáveis ​​Exercício 3.2

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Assista o vídeo: Soluções - Parte - Titulo por Massa e por Volume (Novembro 2021).