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1,26: Pirâmides e cones - Matemática


Você pode usar uma calculadora em todo este módulo.

Observação: Não seguiremos necessariamente as regras de arredondamento (precisão e exatidão) neste módulo. Muitas dessas figuras têm dimensões com apenas um algarismo significativo, mas perderíamos muitas informações se arredondássemos os resultados para apenas um sig fig.

Na chave de resposta, geralmente arredondamos para o número inteiro mais próximo, ou para o décimo mais próximo, ou para dois ou três algarismos significativos, conforme considerarmos apropriado.

Pirâmides

UMA pirâmide é um sólido geométrico com uma base poligonal e faces triangulares com um vértice comum (chamado de ápice da pirâmide). As pirâmides são nomeadas de acordo com a forma de suas bases. As pirâmides mais comuns têm um quadrado ou outro polígono regular como base, fazendo com que todas as faces sejam triângulos isósceles idênticos. A altura, , é a distância do ápice direto para o centro da base. Duas outras medidas usadas com pirâmides são o comprimento da borda , os lados das faces triangulares e a altura inclinada , a altura das faces triangulares.

Volume de uma pirâmide

Em geral, o volume de uma pirâmide com base de área e altura é

ou

Se a base for um quadrado com comprimento lateral , o volume é

ou

Curiosamente, o volume de uma pirâmide é o volume de um prisma com a mesma base e altura.

Exercícios

1. Uma pirâmide tem uma base quadrada com lados centímetros de comprimento e uma altura de centímetros. Encontre o volume da pirâmide.

2. A Grande Pirâmide de Gizé, no Egito, tem uma altura de 137 metros e uma base quadrada com laterais de 230 metros de comprimento.[1] Encontre o volume da pirâmide.

A área de superfície lateral () de uma pirâmide é encontrada adicionando a área de cada face triangular.

Área de superfície lateral de uma pirâmide

Se a base de uma pirâmide é um polígono regular com lados de cada comprimento , e a altura inclinada é , então

ou

Se a base for um quadrado, então

A área de superfície total () é, naturalmente, encontrado adicionando a área da base para a área de superfície lateral. Se a base for um polígono regular, você precisará usar as técnicas que estudamos em um módulo anterior.

Área de superfície total de uma pirâmide

Se a base for um quadrado, então

Exercícios

3. Uma pirâmide tem uma base quadrada com lados centímetros de comprimento e uma altura inclinada de centímetros. Encontre a área da superfície lateral e a área da superfície total da pirâmide.

4. A Grande Pirâmide de Gizé tem uma altura inclinada de metros e uma base quadrada com laterais metros de comprimento. Encontre a área da superfície lateral da pirâmide.

Cones

Um cone é como uma pirâmide de base circular.

Você pode ser capaz de determinar a altura de um cone (a altitude do ápice, perpendicular à base), ou a altura inclinada (que é o comprimento do ápice até a borda da base circular). Observe que a altura, o raio e a altura da inclinação formam um triângulo retângulo com a altura da inclinação como hipotenusa. Podemos usar o teorema de Pitágoras para determinar as seguintes equivalências.

A altura inclinada, altura , e raio de um cone são relacionados da seguinte forma:

Assim como o volume de uma pirâmide é o volume de um prisma com a mesma base e altura, o volume de um cone é o volume de um cilindro com a mesma base e altura.

Volume de um cone

O volume de um cone com um raio de base e altura é

ou

Exercícios

5. A base de um cone tem um raio de centímetros, e a altura vertical do cone é centímetros. Encontre o volume do cone.

6. A base de um cone tem um diâmetro de pés, e a altura inclinada do cone é pés. Encontre o volume do cone.

Para a área de superfície de um cone, temos as seguintes fórmulas.

Área de superfície de um cone

É difícil explicar a justificativa para o fórmula em palavras, mas aqui vai. A superfície lateral de um cone, quando achatada, é um círculo com raio está faltando uma cunha. A circunferência deste círculo parcial, porque correspondeu à circunferência da base circular, é . A circunferência de todo o círculo com raio seria , então a parte que temos é apenas uma fração de todo o círculo. Para ser mais preciso, a fração é , que se reduz a . A área de todo o círculo com raio seria . Porque o círculo parcial é a fração de todo o círculo, a área do círculo parcial é .

Exercícios

7. A base de um cone tem um diâmetro de pés, e a altura inclinada do cone é pés. Encontre a área da superfície lateral e a área da superfície total do cone.

8. A base de um cone tem um raio de centímetros, e a altura vertical do cone é centímetros. Encontre a área da superfície lateral e a área da superfície total do cone.

Agora que examinamos os cinco sólidos principais - prisma, cilindro, esfera, pirâmide, cone - você deve ser capaz de lidar com sólidos compostos feitos dessas formas. Apenas lembre-se de separá-los em pedaços.

Exercícios

UMA - o tanque de propano de galão tem a forma aproximada de um cilindro com um hemisfério em cada extremidade. O comprimento da parte cilíndrica é pés de comprimento, e o diâmetro da seção transversal do tanque é pés.

9. Calcule o volume do tanque em pés cúbicos.

10. Verifique se o tanque pode conter galões de propano líquido.



Existem muitos tipos de pirâmides, e elas têm o nome de acordo com a forma de sua base.

Pirâmide Base
Triangular
Pirâmide:
Quadrado
Pirâmide:
Pentagonal
Pirâmide:


. e assim por diante .


Comentário IM

A Grande Pirâmide de Gizé é o monumento mais antigo da lista das Sete Maravilhas do Mundo Antigo. A Grande Pirâmide de Gizé junto com a Pirâmide de Menkaure e a Pirâmide de Khafre foram construídas há quase 4600 anos para proteger os corpos e posses dos faraós Khufu, Menkaure e Khafre. Demorou 20-25 anos para construir cada pirâmide, cada uma com cerca de 2 milhões de blocos de calcário e / ou granito.

Como se poderia esperar, as Pirâmides de Gizé não têm medidas inteiras (lineares), portanto, as medidas lineares foram arredondadas para o número inteiro mais próximo para simplificar e para o volume apenas três dígitos significativos são usados. Se o professor deseja usar as medidas exatas para desafiar os alunos, as informações podem ser encontradas em http://www.guardians.net/egypt/pyramids.htm.

O professor pode decidir dar a equação do volume de uma pirâmide aos alunos ou não. Se a equação for fornecida, essa tarefa é muito fácil e pode ser um exercício rápido em sala de aula, ou essa tarefa pode ser dada com outro dever de casa. Se a equação não for fornecida, os alunos certamente precisarão da orientação do professor.

A tarefa está alinhada com G-GMD.3 em cada parte envolve encontrar o volume de uma pirâmide ou usar o volume para encontrar a base ou altura. O padrão A-CED.4 também é relevante, pois esta tarefa requer que os alunos reorganizem a fórmula do volume para uma pirâmide quadrada para destacar a quantidade relevante (volume, base e altura).


Notre Dame

Notre Dame em Paris, que foi construída entre 1163 e 1250, parece ter proporções áureas em várias de suas proporções principais de design. Embora seja bastante assimétrico em seu design e difícil de medir fotograficamente por causa das distorções de paralaxe, as linhas de proporção áurea dos retângulos verdes, azuis e vermelhos estão de acordo com as principais linhas arquitetônicas, que representam:

  • Vermelho & # 8211 Altura vertical da base ao nível do solo: Parte superior do primeiro nível: Parte superior do segundo andar
  • Azul & # 8211 Altura vertical da base do segundo nível: Topo do segundo nível: Topo do terceiro nível
  • Verde & # 8211 Largura horizontal de fora da seção superior esquerda: Dentro da seção superior direita: Fora da seção superior direita:


Volume de uma pirâmide e um cone

Como sabemos que o volume do cubo é $ a vezes a vezes a = a ^ 3 $, segue-se que o volume de cada um desses yangmas é $ frac<3>$.

Alargamento

Considere, por um momento, um cubo com arestas de 1 unidade de comprimento. Você sabe que o volume é $ 1 vezes 1 vezes 1 $. Agora estique esse cubo na direção horizontal para que ele meça a por 1 por 1. Seu volume agora é $ a vezes 1 vezes 1 $. Se imaginarmos o cubo fatiado horizontalmente, haverá o mesmo número de fatias, mas cada uma será uma vez mais longa.

Se esticarmos o cubo em uma direção perpendicular, de modo que mede a por b por 1, o volume será $ a vezes b vezes 1 $, ou $ b $ vezes maior. Se esticarmos o cubo na terceira direção perpendicular, por um fator de escala de $ c $, o volume será $ a vezes b vezes c $, que conhecemos como a fórmula para o volume de um cuboide.

Existem três direções independentes nas quais podemos ampliar uma forma 3D. Se o aumentarmos por um fator de escala $ k $ em uma dessas direções, o volume será $ k $ vezes maior.

De volta ao nosso yangma:

Suponha que desejemos o volume de um yangma cuja altura seja diferente dos comprimentos da base, talvez a altura $ h $ em vez de a. Bem, isso é apenas uma ampliação na direção vertical.

O fator de escala? Se estivermos transformando $ a $ em $ h $, multiplicamos por $ frac$.
Portanto, o volume do nosso novo yangma é $ frac times frac<3> $ ou $ frac<3>$.

Deslizando as fatias

Agora temos uma fórmula para o volume de qualquer pirâmide quadrada cujo vértice esteja acima de um dos vértices da base. E se o vértice estiver em outro lugar - no meio, por exemplo? O que vamos fazer é imaginar a pirâmide cortada em várias fatias horizontalmente. Vamos deslizar essas fatias de modo que o topo da pirâmide fique acima do meio da base.

Se tivéssemos um número infinito de fatias, nossa pirâmide teria belas bordas retas. Você provavelmente pode imaginar que, com mais fatias, pareceria mais suave do que nesta ilustração. A área de alguma das fatias mudou? Então, o volume da forma mudou?

Agora podemos ver que o volume de qualquer pirâmide quadrada é $ frac<3>$.

Comparando um cone com uma pirâmide

Vamos agora olhar para um cone. Começaremos com um cone direito, cujo vértice está acima do centro da base. Na verdade, fatiando-o como na seção anterior, podemos mostrar que a mesma fórmula se aplica a qualquer cone.

Imagine um cone cuja base é um raio de círculo $ r $ e a altura é $ h $. Este cone caberá exatamente dentro de uma pirâmide quadrada com comprimento de base $ 2r $ e altura $ h $.

Suponha que pegemos uma fatia da pirâmide com o cone dentro, de algum ponto da pirâmide. Isso se parecerá com um quadrado com um círculo encaixado dentro. Não sabemos o raio do cone neste ponto, então o chamaremos de $ x $.

A área do quadrado é $ 2x vezes 2x = 4x ^ 2 $.

A proporção do círculo para o quadrado é $ pi: 4 $.

O mesmo é verdade para cada fatia que pegamos: a área do círculo é $ frac < pi> <4> $ da área do quadrado.

O volume da pirâmide é $ frac <(2r) ^ 2h> <3> = frac <4r ^ 2h> <3> $

Portanto, o volume do cone é $ frac < pi> <4> times frac <4r ^ 2h> <3> = frac < pi r ^ 2 h> <3> $.

Pirâmides não quadradas

Podemos usar os mesmos princípios para encontrar o volume de qualquer pirâmide.

Pirâmide de base retangular

Se tivermos uma pirâmide com base retangular medindo $ a $ por $ b $ e altura $ h $, isso pode ser obtido esticando nossa pirâmide quadrada pelo fator de escala $ frac$. O novo volume será $ frac times frac <3> = frac<3>$.

Pirâmide de base triangular

Se a base da pirâmide for um triângulo com base $ a $ e altura perpendicular $ b $, ela caberá exatamente na pirâmide retangular acima.

Qualquer fatia terá a seguinte aparência:

Embora não saibamos as medidas do retângulo nesta fatia, os lados ainda estarão na proporção $ a: b $ (pode levar algum tempo para reflexão). Vamos chamá-los de $ k $ e $ k$ (onde $ k $ é menor que 1).

Se cada triângulo tiver metade do tamanho do retângulo, o volume da pirâmide de base triangular será metade do volume da pirâmide de base retangular, ou $ ah / 6 $.

Generalização

A fórmula para o volume de qualquer pirâmide é $ frac <1> <3> mbox times mbox$.
Verifique se isso funciona para as pirâmides acima (e de fato para o cone). Você pode se convencer de que isso sempre é verdade?


O Princípio de Cavalieri pode ser aplicado a uma Pirâmide e a um Cilindro?

Eu sei que o Princípio de Cavalieri faz com que se dois prismas / cilindros, ou duas pirâmides / cones têm a mesma área em uma seção transversal paralela à base, e eles têm a mesma altura, eles também têm o mesmo volume. No entanto, ainda se aplica a uma pirâmide / cone e a um prisma / cilindro?

Pesquisa: Todos os exemplos do Princípio de Cavalieri mostram dois prismas / cilindros ou duas pirâmides / cones. Eles nunca se misturam. Descobri que no Wolfram Mathworld é definido como ". A mesma distância de suas respectivas bases são sempre iguais", implicando que um cone e um prisma não cairiam sob isso, uma vez que a seção transversal do prisma permaneceria constante, mas o o cone aumentaria ou diminuiria com base na altura.


Exemplo trabalhado 9: Encontrando a área de superfície de um cone

Encontre a área de superfície do seguinte cone (correto para 1 casa decimal):

Encontre a área da base

Encontre a área das paredes

Para encontrar a altura inclinada, (h ), usamos o teorema de Pitágoras:

Encontre a soma das áreas

Escreva a resposta final

A área da superfície do cone é ( text <233,2> ) ( text$>).


Pirâmides, prismas, cilindros e cones

A área de superfície é a área que descreve o material que será usado para cobrir um sólido geométrico. Quando determinamos as áreas da superfície de um sólido geométrico, consideramos a soma da área de cada forma geométrica dentro do sólido.

O volume é uma medida de quanto uma figura pode conter e é medido em unidades cúbicas. O volume nos diz algo sobre a capacidade de uma figura.

Um prisma é uma figura sólida que possui dois lados paralelos congruentes, chamados de bases, que são conectados pelas faces laterais que são paralelogramos. Existem prismas retangulares e triangulares.

Para encontrar a área da superfície de um prisma (ou qualquer outro sólido geométrico), abrimos o sólido como uma caixa de papelão e o achatamos para encontrar todas as formas geométricas incluídas.

Para encontrar o volume de um prisma (não importa se é retangular ou triangular), multiplicamos a área da base, chamada área da base B, pela altura h.

Um cilindro é um tubo e é composto de dois círculos paralelos congruentes e um retângulo cuja base é a circunferência do círculo.


A área de um círculo é:

A circunferência de um círculo:

A área do retângulo:

A área de superfície de todo o cilindro:

Para encontrar o volume de um cilindro, multiplicamos a área da base (que é um círculo) e a altura h.

Uma pirâmide consiste em três ou quatro superfícies laterais triangulares e uma superfície de três ou quatro lados, respectivamente, em sua base. Quando calculamos a área da superfície da pirâmide abaixo, tomamos a soma das áreas da área dos 4 triângulos e do quadrado da base. A altura de um triângulo dentro de uma pirâmide é chamada de altura inclinada.


O volume de uma pirâmide é um terço do volume de um prisma.

A base de um cone é um círculo e isso é fácil de ver. A superfície lateral de um cone é um paralelogramo com uma base que tem a metade da circunferência do cone e com a altura da inclinação igual à altura. Pode ser um pouco mais complicado de ver, mas se você cortar a superfície lateral do cone em seções e colocá-las lado a lado, é fácil ver.


A área da superfície de um cone é, portanto, a soma das áreas da base e da superfície lateral:


O volume de um cone é um terço do volume de um cilindro.

Encontre o volume de um prisma que tem a base 5 e a altura 3.


Encontrando o Volume de uma Pirâmide

Encontre o volume da pirâmide com a base regular.

A base pode ser dividida em seis triângulos equiláteros, conforme mostrado abaixo.

Usando a fórmula para a área de um triângulo equilátero, & # xa0

a área da base B pode ser encontrada da seguinte forma:

Fórmula para o volume de uma pirâmide: & # xa0

Substitua & # xa0 27 √3 / 2 por B e 4 por h. & # Xa0

Portanto, o volume da pirâmide é & # xa0 cerca de 31,2 centímetros cúbicos.


Uma rede geométrica é uma forma bidimensional que pode ser dobrada para formar um sólido tridimensional. Quando a superfície de uma figura tridimensional é planificada mostrando cada face do sólido, o padrão obtido é denominado rede. As redes são úteis para encontrar a área de superfície dos sólidos. A seguir estão algumas etapas que devemos seguir para determinar se uma rede forma um sólido:

  • Certifique-se de que a rede e um sólido tenham o mesmo número de faces e que haja uma correspondência entre as formas das faces do sólido e as formas das faces correspondentes na rede.
  • Visualize como a rede deve ser dobrada para formar o sólido e todos os lados se encaixam corretamente.

Nets of Cube

Um cubo é uma figura tridimensional com 6 faces de igual comprimento. O cubo possui 8 vértices e 12 arestas. Todas as faces de um cubo são quadradas. Os ângulos planos do cubo são o ângulo reto. As arestas opostas uma à outra são paralelas.

11 possíveis redes de um cubo

Redes de Cilindro

Um cilindro tem duas bases paralelas unidas por uma superfície curva a uma distância fixa. As bases têm forma circular e o centro de duas bases é unido por um segmento de linha, denominado eixo. A distância perpendicular entre as bases é a altura e a distância do eixo à superfície externa é o raio do cilindro.

Redes de Prisma Retangular

Um prisma retangular possui seis faces e cada face é um retângulo. Ambas as bases do prisma são retângulos e outras faces laterais também são retângulos. também é chamado de cubóide.

Redes de um prisma retangular

Redes de Prisma Triangular

Um prisma triangular é um poliedro com duas bases triangulares e três lados retangulares. Como outros prismas, duas bases são congruentes e paralelas. O prisma possui 5 faces, 9 lados e 6 vértices.

Redes de cone

Um cone é uma forma formada pelo uso de um conjunto de segmentos de linha que conecta um ponto comum, denominado vértice, a todos os pontos de uma base circular. a distância entre o vértice e a base do cone é conhecida como altura.

Redes da Pirâmide Quadrada

Uma forma geométrica tridimensional com base quadrada e quatro faces triangulares, todas essas faces se encontram em um único ponto, é chamada de pirâmide quadrada. Se todas as faces triangulares têm arestas iguais, essa pirâmide é chamada de pirâmide quadrada equilateral.

Exemplos resolvidos em redes de sólidos

Esboce a rede da forma sólida fornecida abaixo.

Se a pirâmide é desdobrada ao longo de suas bordas, obtemos a seguinte rede.

A rede da pirâmide pentagonal é a seguinte.

Esboce a rede da forma sólida fornecida abaixo.

Se o prisma for desdobrado ao longo de suas bordas, obteremos a seguinte rede.

A rede do prisma hexagonal é a seguinte.

Esboce a rede da forma sólida fornecida abaixo.

Se o prisma for desdobrado ao longo de suas bordas, obteremos a seguinte rede.

A rede do prisma hexagonal é a seguinte.

Perguntas frequentes sobre redes de sólidos

1. Como as redes são úteis na vida real?

Redes são usadas para encontrar a área de superfície dos sólidos. Os exemplos de redes são todas formas geométricas tridimensionais. Algumas das formas geométricas tridimensionais são pirâmide quadrada, cone, cilindro, prisma triangular, pirâmide retangular, prisma retangular e outros.

2. Um sólido pode ter redes diferentes?

Sim, um sólido tem redes diferentes. Visualize como a rede é dobrada para formar um sólido e certifique-se de que todos os lados se encaixem corretamente. Certifique-se de que o sólido e a rede tenham o mesmo número de faces, o formato das faces deve coincidir.

3. Qual é a rede de uma forma 3D?

A rede de uma forma 3D é o que parece se for aberta plana. Uma rede pode ser dobrada para formar uma forma 3D. Pode haver várias redes possíveis para uma forma 3D. Desenhe uma rede no papel e dobre-a na forma.


Assista o vídeo: Matematikk (Novembro 2021).