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7.1: Polígonos regulares - Matemática


UMA polígono regular é um polígono em que todos os lados são iguais e todos os ângulos são iguais. Exemplos de um polígono regular são o triângulo equilátero (3 lados), o quadrado (4 lados), o pentágono regular (5 lados) e o hexágono regular (6 lados). Os ângulos de um polígono regular podem ser facilmente encontrados usando os métodos da seção 1.5.

Suponha que desenhemos a bissetriz do ângulo de cada ângulo de um polígono regular. Encontraremos essas bissetoras dos ângulos todas se encontram no mesmo ponto (Figura ( PageIndex {2} )).

Teorema ( PageIndex {1} )

As bissetoras dos ângulos de cada ângulo de um polígono regular se encontram no mesmo ponto. Este ponto é chamado de Centro do polígono regular.

Na Figura ( PageIndex {2} ). (O ) é o centro de cada polígono regular. O segmento de cada bissetriz do ângulo do centro ao vértice é chamado de raio. Por exemplo, (OA, OB, OC, OD ) e (OE ) são os cinco raios do pentágono regular (ABCDE ).

Teorema ( PageIndex {2} )

Os raios de um polígono regular dividem o polígono em triângulos isósceles congruentes. Todos os raios são iguais.

Na Figura ( PageIndex {3} ), raios (OA, OB, OC, OD ) e (OE ) dividem o pentágono regular em cinco triângulos isósceles com (OA = OB = OC = OD = OE ).

Exemplo ( PageIndex {1} )

Encontre o raio (CA ) e os ângulos (x ^ { circ} ), (y ^ { circ} ) e (z ^ { circ} ) no octógono regular ( figura de oito lados):

Solução

Os raios dividem o octógono em 8 triângulos isósceles congruentes. Portanto (OA = OB = 3 ).

(x ^ { circ} = dfrac {1} {8} (360 ^ { circ}) = 45 ^ { circ} ).

(y ^ { circ} = z ^ { circ} = dfrac {1} {2} (180 ^ { circ} - 45 ^ { circ}) = dfrac {1} {2} (135 ^ { circ}) = 67 dfrac {1} {2} ^ { circ} ).

Resposta: (OA = 3, x ^ { circ} = 45 ^ { circ}, y ^ { circ} = z ^ { circ} = 67 dfrac {1} {2} ^ { circ} ).

O teorema ( PageIndex {1} ) e o teorema ( PageIndex {2} ) parecem ser verdadeiros intuitivamente, mas os verificamos com uma prova formal:

Prova do teorema ( PageIndex {1} ) e do teorema ( PageIndex {2} ): Vamos provar esses teoremas para o pentágono regular. A prova para outros polígonos regulares é semelhante.

Desenhe as bissetoras do ângulo de ( angle A ) e ( angle B ) como na Figura ( PageIndex {4} ) e chame seu ponto de intersecção (O ). Mostraremos que (OC, OD ) e (OE ) são as bissetoras do ângulo de ( ângulo C ), ( ângulo D ) e ( ângulo E ), respectivamente.

( angle EAB = angle ABC ) uma vez que os ângulos de um pentágono regular são iguais. ( ângulo 1 = ângulo 2 = dfrac {1} {2} ) de ( ângulo EAB = dfrac {1} {2} ) de ( ângulo ABC = ângulo 3 = ângulo 4 ) uma vez que (OA ) e (OB ) são bissetores de ângulo.

Desenhe (OC ) (Figura ( PageIndex {5} )). (AB = BC ) uma vez que os lados de um pentágono regular são iguais. Portanto, ( triangle AOB cong triangle COB ) por (SAS = SAS ). Portanto, ( ângulo 5 = ângulo 2 = dfrac {1} {2} ) de ( ângulo EAB = dfrac {1} {2} ) de ( ângulo BCD ). Portanto, (OC ) é a bissetriz do ângulo de ( angle BCD ).

Da mesma forma, podemos mostrar ( triangulo BOC cong triangulo DOC ), ( triangulo COD cong triangulo EOD ), ( triangulo DOE cong triangulo AOE ) e que (OD ) e (OE ) são bissetores de ângulo. Os triângulos são todos isósceles porque seus ângulos de base são iguais. Isso completa a prova.

Um segmento de linha desenhado do centro perpendicular aos lados de um polígono regular é chamado de apótema (veja a Figura (PageIndex {6} )).

Teorema ( PageIndex {1} )

Os apotemas de um polígono regular são todos iguais, Eles dividem os lados do polígono regular.

Prova

Os apotemas são todos iguais porque são as alturas dos triângulos isósceles congruentes formados pelos raios (ver Teorema ( PageIndex {2} )), Cada apótema divide o triângulo isósceles em dois triângulos retos congruentes, Portanto, cada apothem divide um lado do polígono, que é o que queríamos provar.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Encontre o apótema de um pentágono regular com lado 20, arredondado para o décimo mais próximo.

Solução

Na Figura ( PageIndex {8} ),

( angle AOB = dfrac {1} {5} (360 ^ { circ}) = 72 ^ { circ} ),

( angle AOF = dfrac {1} {2} angle AOB = dfrac {1} {2} (72 ^ { circ}) = 36 ^ { circ} ),

e ( angle OAF = 90 ^ { circ} - 36 ^ { circ} = 54 ^ { circ} ).

( begin {array} {rcl} { tan 54 ^ { circ}} & = & { dfrac {a} {10}} {(10) 1,3764} & = & { dfrac {a} {10} (10)} {13.764} & = & {a} {13.8} & = & {a} end {array} )

Resposta: 13,8

O apótema de um polígono regular é importante porque é usado para encontrar a área:

Teorema ( PageIndex {4} )

A área de um polígono regular é a metade do produto do apótema e do perímetro.

[A = dfrac {1} {2} a P ]

Prova

Provamos o teorema para o pentágono regular. A prova para outros polígonos regulares é semelhante.

Os raios de um pentágono regular dividem o pentágono regular em cinco triângulos congruentes. A área de cada triângulo é ( dfrac {1} {2} ) as, onde (s ) é o lado do pentágono (Figura (PageIndex {9} )). Portanto, área do pentágono = 5 ( dfrac {1} {2} as) = ​​ dfrac {1} {2} a (5s) = dfrac {1} {2} aP ), que é a fórmula nós queria provar.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Encontre a área de um pentágono regular com lado 20, arredondado para o décimo mais próximo.

Solução

De Exemplo ( PageIndex {2} ) sabemos (a = 13.764 ). O perímetro (P = (5) (20) = 100 ). Portanto, (A = dfrac {1} {2} aP = dfrac {1} {2} (13.764) (100) = dfrac {1} {2} (1376,4) = 688,2 ).

Resposta: 688,2

Para encontrar o perímetro de um polígono regular, tudo o que precisamos fazer é multiplicar o comprimento de um lado pelo número de lados. Por exemplo, o pentágono da Figura ( PageIndex {8} ) tem perímetro (P = 5 (20) = 100 ). No entanto, também é útil ter uma fórmula para o perímetro quando apenas o raio é conhecido:

Teorema ( PageIndex {5} )

O perímetro de um polígono regular de (n ) lados com raio (r ) é dado pela fórmula

[P = 2 rn sin dfrac {180 ^ { circ}} {n} ]

Prova

Vamos rotular o polígono regular como na Figura (PageIndex {10} ). Como os raios do polígono regular dividem o polígono em (n ) triângulos congruentes (Teorema ( PageIndex {2} )), temos

( angle AOB = dfrac {1} {n} (360 ^ { circ}) = dfrac {360 ^ { circ}} {n}. )

Pelo teorema ( PageIndex {3} ) apothem (OC ) divide (AOB ) em dois triângulos retângulos congruentes, então

( angle AOC = dfrac {1} {2} angle AOB = dfrac {1} {2} ( dfrac {360 ^ { circ}} {n}) = dfrac {180 ^ { circ }} {n}. )

Aplicando trigonometria ao triângulo retângulo (AOC ), temos

( begin {array} {rcl} { sin dfrac {180 ^ { circ}} {n}} & = & { dfrac {AC} {r}} {(r) sin dfrac {180 ^ { circ}} {n}} & = & { dfrac {AC} {r} (r)} {r sin dfrac {180 ^ { circ}} {n}} & = & {AC} end {array} )

Uma vez que (OC ) divide (AB ),

(s = 2 (AC) = 2r sin dfrac {180 ^ { circ}} {n} )

e portanto

(P = ns = n (2r sin dfrac {180 ^ { circ}} {n}) = 2rn sin dfrac {180 ^ { circ}} {n} )

que é a fórmula que desejamos provar.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Encontre o perímetro de um pentágono regular com raio 10, arredondado para o décimo mais próximo.

Solução

Um pentágono tem (n = 5 ) lados. Usando a fórmula do Teorema ( PageIndex {5} ), (P = 2rn sin dfrac {180 ^ { circ}} {n} = 2 (10) (5) sin dfrac {180 ^ { circ}} {5} = 100 sin 36 ^ { circ} = 100 (0,5878) = 58,78 = 58,8. )

Responder: 58.8.

Ele também pode fornecer fórmulas explícitas para os vários polígonos regulares, como na tabela a seguir:

Tabela ( PageIndex {1} )
Figura Regular (n ) (n sin dfrac {180 ^ { circ}} {n} ) (P = 2 rn sin dfrac {180 ^ { circ}} {n} )
Triângulo3 (3 sin 60 ^ { circ} = 2,5980 ) (5.1960 r )
Quadrado4 (4 sin 45 ^ { circ} = 2,8284 ) (5.6568 r )
Pentágono5 (5 sin 36 ^ { circ} = 2,9390 ) (5,8780 r )
Hexágono6 (6 sin 30 ^ { circ} = 3,0000 ) (6,0000 r )
Decágono10 (10 ​​ sin 18 ^ { circ} = 3,090 ) (6.180 r )
Figura de 45 lados45 (45 sin 4 ^ { circ} = 3,139 ) (6.278 r )
Figura de 90 lados90 (90 sin 2 ^ { circ} = 3,141 ) (6.282 r )
Figura de 1000 lados1000 (1000 sin 180 ^ { circ} = 3,1416 ) (6.283 r )

Na Tabela ( PageIndex {1} ) podemos ver que conforme o número de lados aumenta, o perímetro de um polígono regular torna-se aproximadamente 6,28 vezes o raio. Você também pode reconhecer que o valor de (n sin dfrac {180 ^ { circ}} {n} ) chega perto do número ( pi ). Voltaremos a este ponto quando discutirmos a circunferência de um círculo na seção 7.5.

Exemplo ( PageIndex {4} ) (repetido)

Encontre o perímetro de um pentágono regular com raio de Hith 10, arredondado para o décimo mais próximo.

Solução

Da mesa

[ begin {align *} P & = 5,8780 r [4pt] & = 5,8780 (10) [4pt] & = 58,78 [4pt] & = 58,8 end {align *}. ]

Responder: 58.8.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Encontre o apótema e a área de um pentágono regular com raio 10, arredondado para o décimo mais próximo.

Solução

Na Figura ( PageIndex {11} )

[ angle AOB = dfrac {1} {5} (360 ^ { circ}) = 72 ^ { circ} nonumber ]

e

[ angle AOF = dfrac {1} {2} angle AOB = dfrac {1} {2} (72 ^ { circ}) = 36 ^ { circ}. enhum número]

Aplicando trigonometria ao triângulo retângulo (AOF ),

( begin {array} {rcl} { cos 36 ^ { circ}} & = & { dfrac {a} {10}} {(10) .8090} & = & { dfrac {a } {10} (10)} {8.090} & = & {a} end {array} )

De Exemplo ( PageIndex {4} ), (P = 58,78 ). Portanto, pelo Teorema ( PageIndex {4} ),

(A = dfrac {1} {2} a P = dfrac {1} {2} (8,09) (58,78) = dfrac {1} {2} (475,5302) = 237,7651 = 237,8. )

Responder: (a = 8,1, P = 237,8 ).

Nota Histórica

Em 1936, os arqueólogos desenterraram um grupo de antigas tabelas babilônicas contendo fórmulas para as áreas de polígonos regulares de três, quatro, cinco, seis e sete lados. Há evidências de que polígonos regulares eram comumente usados ​​na arquitetura e desenhos de outras civilizações antigas também Um problema clássico da matemática grega era construir um polígono regular usando apenas uma régua e um compasso. Os polígonos regulares eram geralmente estudados em relação aos círculos. Como veremos mais adiante neste capítulo, as fórmulas para a área e o perímetro de um círculo podem ser derivadas das fórmulas correspondentes para polígonos regulares.

Problemas

1 - 6. Encontre os ângulos (x ^ { circ}, y ^ { circ}, z ^ { circ} ) e o raio (r ) dos polígonos regulares:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7 - 18. Encontre o apótema, perímetro e área até o décimo mais próximo:

7. pentágono regular com lado 40.

8. pentágono regular com lado 16.

9. hexágono regular com lado 20.

10. hexágono regular com lado 16.

11. decágono regular (figura de dez lados) com lado 20.

12. nonágono regular (figura de nove lados) com lado 20.

13. pentágono regular com raio 20.

14. pentágono regular com raio 5.

15. hexágono regular com raio 10.

16. hexágono regular com raio 20.

17. decágono regular com raio 10.

18. nonágono regular com raio 20.


Pode-se sempre colocar o plano lado a lado com um polígono regular + uma única outra forma?

Sabemos que triângulos regulares, quadrados e hexágonos podem colocar o plano lado a lado sem deixar qualquer & quothole & quot.

No entanto, notei que muitos polígonos regulares podem colocar o plano lado a lado se permitirmos um único tipo de & quothole & quot (ou seja,, outra forma) para estar presente.

A imagem a seguir contém um exemplo com pentágonos e losangos:

O que obtemos neste caso não é um ladrilho periódico, mas sim um aperiódico: Ainda assim, podemos ladrilhar o avião com essas duas formas.

Outro exemplo, desta vez com decágonos + & quotexágonos côncavos & quot:

Minha pergunta é: podemos sempre colocar o plano lado a lado combinando um polígono regular e um solteiro outra forma?

Também estou interessado na extensão para polígonos estelares.

Conforme apontado nos comentários, a forma como fiz a pergunta foi imprecisa. Acho que devemos adicionar a restrição adicional de que nenhum & quothole & quot pode estar em contato com outro & quothole & quot, caso contrário, haverá soluções triviais para o problema.


Unidade de geometria 7 Polígonos e quadriláteros Respostas: / Matemática ncert grau 8, capítulo 3:

Unidade de geometria 7 Polígonos e quadriláteros Respostas: / Matemática ncert grau 8, capítulo 3:. Honras cap 8 regular cap 6. Os polígonos são classificados de acordo com. Exemplos de relatórios de livros completos 6ª série. As respostas para a planilha quadrilateral são fornecidas abaixo para verificar as respostas exatas das 8 planilhas para a unidade 7 polígono e dever de casa quadrilátero 7 pipas. Agora é a hora de redefinir seu verdadeiro eu usando as respostas de geometria do slader & # 039s.

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Fonte: ecdn.teacherspayteachers.com

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Polígono equiangular polígono equilátero polígono regular ângulos consecutivos. Que tipo de quadrilátero é esse? D 11 e vw = ge = w wx = df = 19 yw hf = z zx dg = x y 31. Um polígono é uma forma que não tem curvas. Aqui, a unidade 7 testa a chave de resposta dos polígonos e quadriláteros.

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Fonte: ecdn.teacherspayteachers.com

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Fonte: www.marlasmathpages.com

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Cada vez que adicionamos um lado (triângulo ao quadrilátero, quadrilátero ao pentágono, etc), adicionamos outro 180 & # 176 ao total

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Um ângulo interno é um ângulo dentro de uma forma.

Fonte: estudyassistant.com

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Fonte: pfernandez.weebly.com

Polígono regular polígono irregular polígono côncavo convexo quadrilátero pentágono hexágono paralelogramo heptágono losango octógono diagonal nonágono pipa isósceles.

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Polígono regular polígono irregular polígono côncavo convexo quadrilátero pentágono hexágono paralelogramo heptágono losango octógono diagonal nonágono pipa isósceles.

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Polígonos e quadriláteros posso definir, identificar e ilustrar os seguintes termos:

Fonte: ecdn.teacherspayteachers.com

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Fonte: showme0-9071.kxcdn.com

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Comece a estudar geometria unidade 7 polígonos amp quadriláteros.

Energia explorar aproveitar e conservar verificador de ensaio.

Um ângulo interno é um ângulo dentro de uma forma.

Os objetivos de aprendizagem da matemática & # 8226 investigam a relação entre o número de lados em uma atividade doméstica ou posterior consolidação da sala de aula, escolha um polígono regular diferente de um quadrilátero e responda à seguinte pergunta:

Fonte: geometry2014.weebly.com

Um ângulo interno é um ângulo dentro de uma forma.

Fonte: ecdn.teacherspayteachers.com

Agora é a hora de redefinir seu verdadeiro eu usando as respostas de geometria do slader & # 039s.

Fonte: cna.indicatederive.online

As respostas para a planilha quadrilateral são fornecidas abaixo para verificar as respostas exatas das 8 planilhas para a unidade 7 polígono e dever de casa quadrilátero 7 pipas.

Fonte: raymondkarenccsd.weebly.com

As notas em branco têm seções corretas e números de teorema para corresponder ao livro de grandes ideias.

Fonte: estudyassistant.com


Tipos de polígonos

Regular ou irregular

UMA regular polígono tem todos os ângulos iguais e todos os lados iguais, caso contrário, é irregular

Côncavo ou Convexo

UMA convexo polígono não tem ângulos apontando para dentro. Mais precisamente, nenhum ângulo interno pode ser superior a 180 graus.

Se qualquer ângulo interno for maior que 180 & deg, o polígono é côncavo. (Pense: côncavo tem um & quotcávulo & quot nele)

Simples ou Complexo

UMA simples polígono tem apenas um limite e não se cruza. UMA complexo polígono se cruza! Muitas regras sobre polígonos não funcionam quando são complexas.


7.1: Polígonos regulares - Matemática

A palavra polígono é uma combinação de duas palavras gregas: & quotpoly & quot significa muitos e & quotgon & quot significa ângulo. Junto com seus ângulos, um polígono também possui lados e vértices. & quotTri & quot significa & quottrês & quot, portanto, o polígono mais simples é chamado de triângulo, porque tem três ângulos. Ele também tem três lados e três vértices. Um triângulo é sempre coplanar, o que não é verdade para muitos dos outros polígonos.

Um polígono regular é um polígono com todos os ângulos e todos os lados congruentes ou iguais. Aqui estão alguns polígonos regulares.

Podemos usar uma fórmula para encontrar a soma dos ângulos internos de qualquer polígono. Nesta fórmula, a letra n representa o número de lados, ou ângulos, que o polígono possui.

soma dos ângulos = (n & # 150 2) 180 & deg

Vamos usar a fórmula para encontrar a soma dos ângulos internos de um triângulo. Substitua 3 por n. Descobrimos que a soma é 180 graus. Este é um fato importante a ser lembrado.

Para encontrar a soma dos ângulos internos de um quadrilátero, podemos usar a fórmula novamente. Desta vez, substitua 4 por n. Descobrimos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360 graus.

soma dos ângulos = (n & # 150 2) 180 & deg
= (4 & # 150 2) 180 & deg = (2) 180 & deg = 360 & deg

Os polígonos podem ser separados em triângulos desenhando todas as diagonais que podem ser desenhadas a partir de um único vértice. Vamos tentar com o quadrilátero mostrado aqui. Do vértice A, podemos desenhar apenas uma diagonal, ao vértice D. Um quadrilátero pode, portanto, ser separado em dois triângulos.

Se você olhar para trás na fórmula, verá que n & # 150 2 dá o número de triângulos no polígono e esse número é multiplicado por 180, a soma das medidas de todos os ângulos internos de um triângulo. Você vê de onde vem o & quotn & # 150 2 & quot? Ele nos dá o número de triângulos no polígono. Quantos triângulos você acha que um polígono de 5 lados terá?

Aqui está um pentágono, um polígono de 5 lados. Do vértice A, podemos desenhar duas diagonais que separam o pentágono em três triângulos. Multiplicamos 3 vezes 180 graus para encontrar a soma de todos os ângulos internos de um pentágono, que é 540 graus.

soma dos ângulos = (n & # 150 2) 180 & deg
= (5 & # 150 2) 180 & deg = (3) 180 & deg = 540 & deg


7.1: Polígonos regulares - Matemática

O que é um polígono?
Uma figura plana fechada composta de vários segmentos de linha que são unidos. Os lados não se cruzam. Exatamente dois lados se encontram em cada vértice.

Tipos de polígonos
Regular - todos os ângulos são iguais e todos os lados têm o mesmo comprimento. Os polígonos regulares são equiangulares e equiláteros.
Equiângulo - todos os ângulos são iguais.
Equilátero - todos os lados têm o mesmo comprimento.

Convexo - uma linha reta desenhada através de um polígono convexo cruza no máximo dois lados. Cada ângulo interior é inferior a 180 graus.
Côncavo - você pode desenhar pelo menos uma linha reta através de um polígono côncavo que cruzes mais de dois lados. Pelo menos um ângulo interno é superior a 180 & deg.

Fórmulas Poligonais
(N = # de lados e S = comprimento do centro a um canto)

Área de um polígono regular = (1/2) N sen (360 & deg / N) S 2

Soma dos ângulos internos de um polígono = (N - 2) x 180 & deg

O número de diagonais em um polígono = 1/2 N (N-3)
O número de triângulos (quando você desenha todas as diagonais de um vértice) em um polígono = (N - 2)

Lado - um dos segmentos de linha que constituem o polígono.

Vértice - ponto onde dois lados se encontram. Dois ou mais desses pontos são chamados de vértices.

Diagonal - uma linha conectando dois vértices que não são um lado.

Ângulo Interior - Ângulo formado por dois lados adjacentes dentro do polígono.

Ângulo Exterior - Ângulo formado por dois lados adjacentes fora do polígono.

Polígonos Especiais
Quadriláteros especiais - quadrado, losango, paralelogramo, retângulo e trapézio.

Triângulos especiais - direito, equilátero, isósceles, escaleno, agudo, obtuso.


O número 10, por exemplo, pode ser organizado como um triângulo (ver número triangular):

Mas 10 não pode ser organizado como um quadrado. O número 9, por outro lado, pode ser (ver número quadrado):

Alguns números, como 36, podem ser arranjados tanto como um quadrado quanto como um triângulo (veja o número triangular quadrado):

Por convenção, 1 é o primeiro número poligonal para qualquer número de lados. A regra para aumentar o polígono para o próximo tamanho é estender dois braços adjacentes em um ponto e adicionar os lados extras necessários entre esses pontos. Nos diagramas a seguir, cada camada extra é mostrada em vermelho.

Edição de números triangulares

Números quadrados Editar

Polígonos com números maiores de lados, como pentágonos e hexágonos, também podem ser construídos de acordo com esta regra, embora os pontos não formem mais uma rede perfeitamente regular como acima.

Edição de números pentagonais

Edição de números hexagonais

Se s é o número de lados em um polígono, a fórmula para o n-ésimo número diagonal P(s,n) é

O n-ésimo número diagonal também está relacionado aos números triangulares Tn do seguinte modo:

Para um determinado número s -gonal P(s,n) = x , pode-se encontrar n por

Cada número hexagonal também é um número triangular. Editar

Aplicando a fórmula acima:

para o caso de 6 lados dá:

Isso mostra que o enésimo número hexagonal P(6,n) também é o (2n - 1) º número triangular T2n−1 . Podemos encontrar cada número hexagonal simplesmente pegando os números triangulares ímpares:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, .

Os primeiros 6 valores na coluna "soma dos recíprocos", para números triangulares a octogonais, vêm de uma solução publicada para o problema geral, que também fornece uma fórmula geral para qualquer número de lados, em termos da função digamma. [1]

A Enciclopédia On-Line de Sequências Inteiras evita termos que usam prefixos gregos (por exemplo, "octogonal") em favor de termos que usam numerais (ou seja, "8-gonal").

Uma propriedade desta tabela pode ser expressa pela seguinte identidade (ver A086270):

2 P (s, n) = P (s + k, n) + P (s - k, n),

Alguns números, como 36, que é quadrado e triangular, caem em dois conjuntos poligonais. The problem of determining, given two such sets, all numbers that belong to both can be solved by reducing the problem to Pell's equation. The simplest example of this is the sequence of square triangular numbers.

The following table summarizes the set of s -gonal t -gonal numbers for small values of s and t .

s t Seqüência OEIS number
4 3 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, . A001110
5 3 1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465, … A014979
5 4 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, . A036353
6 3 All hexagonal numbers are also triangular. A000384
6 4 1, 1225, 1413721, 1631432881, 1882672131025, 2172602007770041, 2507180834294496361, 2893284510173841030625, 3338847817559778254844961, 3853027488179473932250054441, . A046177
6 5 1, 40755, 1533776805, … A046180
7 3 1, 55, 121771, 5720653, 12625478965, 593128762435, 1309034909945503, 61496776341083161, 135723357520344181225, 6376108764003055554511, 14072069153115290487843091, … A046194
7 4 1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, … A036354
7 5 1, 4347, 16701685, 64167869935, … A048900
7 6 1, 121771, 12625478965, … A048903
8 3 1, 21, 11781, 203841, … A046183
8 4 1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, … A036428
8 5 1, 176, 1575425, 234631320, … A046189
8 6 1, 11781, 113123361, … A046192
8 7 1, 297045, 69010153345, … A048906
9 3 1, 325, 82621, 20985481, … A048909
9 4 1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, . A036411
9 5 1, 651, 180868051, … A048915
9 6 1, 325, 5330229625, … A048918
9 7 1, 26884, 542041975, … A048921
9 8 1, 631125, 286703855361, … A048924

In some cases, such as s = 10 and t = 4 , there are no numbers in both sets other than 1.

The problem of finding numbers that belong to three polygonal sets is more difficult. A computer search for pentagonal square triangular numbers has yielded only the trivial value of 1, though a proof that there are no other such numbers has yet to be found. [3]

The number 1225 is hecatonicositetragonal ( s = 124 ), hexacontagonal ( s = 60 ), icosienneagonal ( s = 29 ), hexagonal, square, and triangular.

The only polygonal set that is contained entirely in another polygonal set is the set of hexagonal numbers, which is contained in the set of triangular numbers. [ citação necessária ]


Simple and Self-intersecting Polygon

A simple polygon is a polygon in which no sides intersect each other.

Here are some examples of simple polygons: Top to bottom, left to right: random polygon, kite, hexagon

As opposed to a simple polygon, a self-intersecting polygon is a polygon that has at least one pair of sides crossing each other.

Here are some examples of self-intersecting polygons:


Regular convex polygons

All regular simple polygons (a simple polygon is one which does not intersect itself anywhere) are convex. Those having the same number of sides are also similar.

Um n-sided convex regular polygon is denoted by its Schläfli symbol <n>.

    or monogon <1>: degenerate in ordinary space (Most authorities do not regard the monogon as a true polygon, partly because of this, and also because the formulae below do not work, and its structure is not that of any abstract polygon). <2>: a "double line segment": degenerate in ordinary space (Some authorities do not regard the digon as a true polygon because of this). (regular tetragon or quadrilateral)
  • Regular pentagon
  • Regular hexagon
  • Regular heptagon
  • Regular octagon
  • Regular enneagon or nonagon
  • Regular decagon
  • Regular hendecagon
  • Regular dodecagon
  • Regular tridecagon
  • Regular tetradecagon

In certain contexts all the polygons considered will be regular. In such circumstances it is customary to drop the prefix regular. For instance all the faces of uniform polyhedra must be regular and the faces will be described simply as triangle, square, and pentagon.

Angles

For a regular convex n-gon, each interior angle has a measure of:

(or equally of ) degrees, or radians, or full turns,

and each exterior angle (supplementary to the interior angle) has a measure of degrees, with the sum of the exterior angles equal to 360 degrees or 2π radians or one full turn.

Diagonals

For /> the number of diagonals is />, i.e., 0, 2, 5, 9, . They divide the polygon into 1, 4, 11, 24, . pieces.

The area A of a convex regular n-sided polygon having sides of length t is:

,

,


If the circumradius r (length of the segment joining the center to the vertex) is known, the area is:

,


Also, the area is half the perimeter multiplied by the length of the apothem, uma, (the line drawn from the center of the polygon perpendicular to a side). That is UMA = a.n.t/2, as the length of the perimeter is n.t, or more simply 1/2 p.a.

For sides t=1 this gives:

or in radians (n not equal to 2)

with the following values:

Sides Nome Exact area Approximate area
3 equilateral triangle .433
4 quadrado 1 1
5 regular-pentagon 1.72
6 regular-hexagon 2.598
7 regular-heptagon   3.634
8 regular-octagon 4.828
9 regular-nonagon   6.182
10 regular-decagon 7.694
11 regular-hendecagon   9.366
12 regular-dodecagon 11.196
13 regular-triskaidecagon   13.186
14 regular-tetrakaidecagon   15.335
15 regular-pentakaidecagon   17.642
16 regular-hexakaidecagon   20.109
17 regular-heptakaidecagon   22.735
18 regular-octakaidecagon   25.521
19 regular-enneakaidecagon   28.465
20 regular-icosagon   31.569
100 regular-hectacontagon   795.513
1000 regular-chiliagon   79577.21
10000 regular-myriagon   7957746.893
Circle

The amounts that the areas are less than those of circles with the same perimeter, is , or about 0.261799, for n<8 a little more (the amounts decrease with n to the limit infinity which is 0). If the regular polygon is a Circle then it is obviously 0.


7.1: Regular Polygons - Mathematics

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