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12.2: Encontrando Limites - Propriedades dos Limites - Matemática


Considere o função racional

[f (x) = dfrac {x ^ 2−6x − 7} {x − 7} nonumber ]

A função pode ser fatorada da seguinte forma:

[f (x) = dfrac { cancel {(x − 7)} (x + 1)} { cancel {x − 7}} nonumber ]

o que nos dá

[f (x) = x + 1, x ≠ 7. enhum número ]

Isso significa que a função (f (x) ) é a mesma que a função (g (x) = x + 1? )

A resposta é não. A função (f (x) ) não tem (x = 7 ) em seu domínio, mas (g (x) ) sim. Graficamente, observamos que há um buraco no gráfico de (f (x) ) em (x = 7 ), como mostrado na Figura e nenhum buraco no gráfico de (g (x) ), como mostrado na figura.

(esquerda) O gráfico da função (f ) contém uma quebra em (x = 7 ) e, portanto, não é contínuo em (x = 7 ). (Direita) O gráfico da função (g ) é contínuo.

Então, essas duas funções diferentes também têm limites diferentes conforme (x ) se aproxima de 7? Não necessariamente. Lembre-se, ao determinar o limite de uma função conforme (x ) se aproxima de (a ), o que importa é se a saída se aproxima de um número real quando nos aproximamos de (x = a ). A existência de um limite não depende do que acontece quando (x ) é igual a (a ).

Olhe novamente para Figura e Figura. Observe que em ambos os gráficos, conforme (x ) se aproxima de 7, os valores de saída se aproximam de 8. Isso significa

[ lim limits_ {x to 7} f (x) = lim limits_ {x to 7} g (x). enhum número ]

Lembre-se de que ao determinar um limite, a preocupação é o que ocorre perto de (x = a ), não em (x = a ). Nesta seção, usaremos uma variedade de métodos, como funções de reescrita por fatoração, para avaliar o limite. Esses métodos nos darão uma verificação formal do que antes realizávamos por intuição.

Encontrando o Limite de uma Soma, uma Diferença e um Produto

Representar graficamente uma função ou explorar uma tabela de valores para determinar um limite pode ser complicado e demorado. Quando possível, é mais eficiente usar o propriedades dos limites, que é uma coleção de teoremas para encontrar limites.

Conhecer as propriedades dos limites nos permite computar os limites diretamente. Podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir os limites das funções como se estivéssemos realizando as operações nas próprias funções para encontrar o limite do resultado. Da mesma forma, podemos encontrar o limite de uma função elevada a uma potência elevando o limite a essa potência. Também podemos encontrar o limite da raiz de uma função tirando a raiz do limite. Usando essas operações sobre limites, podemos encontrar os limites de funções mais complexas, encontrando os limites de suas funções de componente mais simples.

propriedades dos limites

Sejam (a, k, A, ) e (B ) números reais, e (f ) e (g ) sejam funções, tais que ( lim limits_ {x to a} f (x) = A ) e ( lim limits_ {x to a} g (x) = B. ) Para limites que existem e são finitos, as propriedades dos limites estão resumidas na Tabela

Constante, k ( lim limits_ {x a a} k = k )
Vezes constantes por função ( lim limits_ {x para a} [k⋅f (x)] = k lim limits_ {x para a} f (x) = kA )
Soma de funções ( lim limits_ {x para a} [f (x) + g (x)] = lim limits_ {x para a} f (x) + lim limits_ {x para a} g ( x) = A + B )
Diferença de funções ( lim limits_ {x para a} [f (x) −g (x)] = lim limits_ {x para a} f (x) - lim limits_ {x para a} g (x) = A − B )
Produto de funções ( lim limits _ {x a a} [f (x) ⋅g (x)] = lim limits _ {x a} f (x) ⋅ lim limits_ {x a } g (x) = A⋅B )
Quociente de funções ( lim limits _ {x a} frac {f (x)} {g (x)} = frac { lim limits _ {x a} f (x)} { lim limits _ {x a a} g (x)} = frac {A} {B}, B ≠ 0 )
Função elevada a um expoente ( lim limits _ {x to a} [f (x)] ^ n = [ lim limits _ {x to ∞} f (x)] ^ n = A ^ n ), onde (n ) é um número inteiro positivo
na raiz de uma função, onde n é um número inteiro positivo ( lim limits _ {x to a} f (x) sqrt [n] {f (x)} = sqrt [n] { lim limits _ {x to a} [f (x )]} = sqrt [n] {A} )
Função polinomial ( lim limits _ {x a a} p (x) = p (a) )

Exemplo ( PageIndex {1} ): Avaliando o limite de uma função algebricamente

Avalie [ lim limits _ {x to 3} (2x + 5). enhum número ]

Solução

[ begin {align} lim limits _ {x to 3} (2x + 5) & = lim limits _ {x to 3} (2x) + lim limits _ {x to 3} } (5) && text {Soma das propriedades das funções} & = 2 lim limits_ {x to 3} (x) + lim limits _ {x to 3} (5) && text { Vezes constantes por uma propriedade de função} & = 2 (3) +5 && text {Avaliar} & = 11 end {align} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {1} ):

Avalie o seguinte limite: [ lim limits_ {x to −12} (- 2x + 2). enhum número ]

Solução

26

Encontrando o Limite de um Polinômio

Nem todas as funções ou seus limites envolvem simples adição, subtração ou multiplicação. Alguns podem incluir polinômios. Lembre-se de que um polinômio é uma expressão que consiste na soma de dois ou mais termos, cada um dos quais consiste em uma constante e uma variável elevada a uma potência integral não negativa. Para encontrar o limite de uma função polinomial, podemos encontrar os limites dos termos individuais da função e, em seguida, adicioná-los. Além disso, o limite de uma função polinomial conforme (x ) se aproxima de (a ) é equivalente a simplesmente avaliar a função para (a ).

como: dada uma função contendo um polinômio, encontre seu limite

  1. Use as propriedades dos limites para dividir o polinômio em termos individuais.
  2. Encontre os limites dos termos individuais.
  3. Some os limites.
  4. Alternativamente, avalie a função para (a ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Avaliando o limite de uma função algebricamente

Avalie [ lim limits_ {x to 3} (5x ^ 2). enhum número ]

Solução

[ begin {align} lim limits_ {x to 3} (5x ^ 2) & = 5 lim limits_ {x to 3} (x ^ 2) && text {Constantes vezes uma propriedade de função} & = 5 (3 ^ 2) && text {Função elevada a uma propriedade de expoente} & = 45 end {align} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {1} ):

Avalie [ lim limits_ {x to 4} (x ^ 3−5). enhum número ]

Solução

59

Exemplo ( PageIndex {2} ): Avaliando o limite de um polinômio algebricamente

Avalie [ lim limits_ {x to 5} (2x ^ 3−3x + 1). enhum número ]

Solução

[ begin {align} lim limits_ {x to 5} (2x ^ 3−3x + 1) & = lim limits_ {x to 5} (2x3) - lim limits_ {x to 5} (3x) + lim limits_ {x to 5} (1) && text {Soma das funções} & = 2 lim limits_ {x to 5} (x ^ 3) −3 lim limits_ {x to 5} (x) + lim limits_ {x to 5} (1) && text {Constante vezes uma função} & = 2 (5 ^ 3) −3 (5) +1 && text {Função elevada a um expoente} & = 236 && text {Avaliar} end {alinhar} não numérico ]

Exercício ( PageIndex {2} ):

Avalie o seguinte limite: [ lim limits_ {x to −1} (x ^ 4−4x ^ 3 + 5). enhum número ]

Solução

10

Encontrando o Limite de um Poder ou Raiz

Quando um limite inclui um poder ou uma raiz, precisamos de outra propriedade para nos ajudar a avaliá-lo. O quadrado do limite de uma função é igual ao limite do quadrado da função; o mesmo vale para poderes superiores. Da mesma forma, a raiz quadrada do limite de uma função é igual ao limite da raiz quadrada da função; o mesmo se aplica às raízes superiores.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Avaliando o Limite de um Poder

Avalie [ lim limits_ {x to 2} (3x + 1) ^ 5. enhum número ]

Solução

Tomaremos o limite da função conforme (x ) se aproxima de 2 e elevaremos o resultado para 5º potência.

[ begin {align} lim limits_ {x to 2} (3x + 1) ^ 5 & = ( lim limits_ {x to 2} (3x + 1)) ^ 5 & = ( 3 (2) +1) ^ 5 & = 7 ^ 5 & = 16.807 end {align} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {3} ):

Avalie o seguinte limite: ( lim limits_ {x to −4} (10x + 36) ^ 3. )

Solução

−64

P&R: Se não podemos aplicar diretamente as propriedades de um limite, por exemplo em ( lim limits_ {x to 2} ( frac {x ^ 2 + 6x + 8} {x − 2}) ), ainda podemos determinar o limite da função conforme (x ) se aproxima de (a )?

sim. Algumas funções podem ser reorganizadas algebricamente para que se possa avaliar o limite de uma forma equivalente simplificada da função.

Encontrando o Limite de um Quociente

Encontrar o limite de uma função expressa como quociente pode ser mais complicado. Freqüentemente, precisamos reescrever a função algebricamente antes de aplicar as propriedades de um limite. Se o denominador for avaliado como 0 quando aplicamos as propriedades de um limite diretamente, devemos reescrever o quociente em uma forma diferente. Uma abordagem é escrever o quociente de forma fatorada e simplificar.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Avaliando o Limite de um Quociente por Fatoração

Avalie [ lim limits_ {x to 2} ( frac {x ^ 2−6x + 8} {x − 2}). enhum número ]

Solução

Fatore onde for possível e simplifique.

[ begin {align} lim limits_ {x to 2} ( dfrac {x ^ 2−6x + 8} {x − 2}) & = lim limits_ {x to 2} ( dfrac {(x − 2) (x − 4)} {x − 2}) && text {Fatore o numerador.} & = lim limits_ {x to 2} ( dfrac { cancel {(x −2)} (x − 4)} { cancel {x − 2}}) && text {Cancelar os fatores comuns.} & = lim limits_ {x to 2} (x − 4) && text {Avaliar.} & = 2−4 = −2 end {alinhar} não numérico ]

Análise

Quando o limite de uma função racional não pode ser avaliado diretamente, as formas fatoradas do numerador e do denominador podem ser simplificadas para um resultado que pode ser avaliado.

Observe, a função

[f (x) = dfrac {x ^ 2−6x + 8} {x − 2} nonumber ]

é equivalente à função

[f (x) = x − 4, x ≠ 2. enhum número ]

Observe que o limite existe mesmo que a função não seja definida em (x = 2 ).

Exercício ( PageIndex {4} )

Avalie o seguinte limite: [ lim limits_ {x to 7} left ( dfrac {x ^ 2−11x + 28} {7 − x} right). enhum número ]

Solução

(−3)

Exemplo ( PageIndex {5} ): Avaliando o limite de um quociente encontrando o MDC

Avalie [ lim limits_ {x to 5} left ( dfrac { frac {1} {x} - frac {1} {5}} {x − 5} right). enhum número ]

Solução

Encontre o LCD para os denominadores dos dois termos no numerador e converta ambas as frações para ter o LCD como seu denominador.

Análise

Ao determinar o limite de uma função racional que tem termos adicionados ou subtraídos no numerador ou denominador, a primeira etapa é encontrar o denominador comum dos termos adicionados ou subtraídos; em seguida, converta ambos os termos para ter esse denominador ou simplifique a função racional multiplicando o numerador e o denominador pelo mínimo denominador comum. Em seguida, verifique se o numerador e o denominador resultantes têm algum fator comum.

Exercício ( PageIndex {5} ):

Avalie [ lim limits_ {x to −5} left ( dfrac { frac {1} {5} + frac {1} {x}} {10 + 2x} right). enhum número ]

Solução

(- frac {1} {50} )

como: Dado um limite de uma função que contém uma raiz, use um conjugado para avaliar

  1. Se o quociente dado não estiver na forma (( frac {0} {0}) ) indeterminado, avalie diretamente.
  2. Caso contrário, reescreva a soma (ou diferença) de dois quocientes como um único quociente, usando o mínimo denominador comum (LCD).
  3. Se o numerador incluir uma raiz, racionalize o numerador; multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. Lembre-se de que (a ± sqrt {b} ) são conjugados.
  4. Simplificar.
  5. Avalie o limite resultante.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Avaliando um limite contendo uma raiz usando um conjugado

Avalie [ lim limits_ {x to 0} left ( dfrac { sqrt {25 − x} −5} {x} right). enhum número ]

Solução

[ begin {align} lim limits_ {x to 0} left ( dfrac { sqrt {25 − x} −5} {x} right) & = lim limits_ {x to 0 } left ( dfrac {( sqrt {25 − x} −5)} {x} ⋅ frac {( sqrt {25 − x} +5)} {( sqrt {25 − x} +5) } right) && text {Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado.} & = lim limits_ {x to 0} left ( dfrac {(25 − x) −25} {x ( sqrt {25 − x} +5)} right) && text {Multiplicar:} ( sqrt {25 − x} −5) ⋅ ( sqrt {25 − x} +5) = (25 − x) −25 . & = lim limits_ {x to 0} left ( dfrac {- cancel {x}} { cancel {x} (25 − x + 5)} right) && text {Combinar como termos.} & = lim limits_ {x to 0} left ( dfrac {- cancel {x}} { cancel {x} ( sqrt {25 − x} +5)} right ) && text {Simplifique} dfrac {−x} {x} = - 1. & = dfrac {−1} { sqrt {25−0} +5} && text {Avalie.} & = dfrac {−1} {5 + 5} = - dfrac {1} {10} end {align} nonumber ]

Análise

Ao determinar um limite de uma função com uma raiz como um dos dois termos onde não podemos avaliar diretamente, pense em multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado dos termos.

Exercício ( PageIndex {6} )

Avalie o seguinte limite: ( lim limits_ {h to 0} left ( dfrac { sqrt {16 − h} −4} {h} right) ).

Solução

(- frac {1} {8} )

Exemplo ( PageIndex {7} ): Avaliando o limite de um quociente de uma função por fatoração

Avalie [ lim limits_ {x to 4} left ( frac {4 − x} { sqrt {x − 2}} right). enhum número ]

Solução

[ begin {align} lim limits_ {x to 4} ( dfrac {4 − x} { sqrt {x} −2}) & = lim limits_ {x to 4} ( dfrac {(2+ sqrt {x}) (2 − x)} { sqrt {x} −2}) && text {Fator.} & = lim limits_ {x to 4} ( dfrac {(2+ sqrt {x}) ( cancel {2− sqrt {x}})} {- cancel {(2− sqrt {x})}}) && text {Fator -1 de o denominador. Simplifique.} & = lim limits_ {x to 4} - (2 + x) && text {Avalie.} & = - (2+ sqrt {4}) & = - 4 end {align} nonumber ]

Análise

Multiplicar por um conjugado expandiria o numerador; em vez disso, procure fatores no numerador. Quatro é um quadrado perfeito para que o numerador esteja na forma

[a ^ 2 − b ^ 2 nonumber ]

e pode ser fatorado como

[(a + b) (a − b). enhum número ]

Exercício ( PageIndex {7} )

Avalie o seguinte limite: [ lim limits_ {x to 3} left ( frac {x − 3} { sqrt {x} - sqrt {3}} right). enhum número ]

Solução

(2 sqrt {3} )

como: Dado um quociente com valores absolutos, avalie seu limite

  1. Experimente fatorar ou encontrar o LCD.
  2. Se o limite não pode ser encontrado, escolha vários valores próximos e em qualquer lado da entrada onde a função é indefinida.
  3. Use a evidência numérica para estimar os limites em ambos os lados.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Avaliando o Limite de um Quociente com Valores Absolutos

Avalie [ lim limits_ {x to 7} frac {| x − 7 |} {x − 7}. enhum número ]

Solução

A função é indefinida em (x = 7 ), então tentaremos valores próximos a 7 da esquerda e da direita.

Limite da mão esquerda: [ frac {| 6,9-7 |} {6,9-7} = frac {| 6,99-7 |} {6,99-7} = frac {| 6,999-7 |} {6,999-7 } = - 1 não numérico ]

Limite à direita: [ frac {| 7,1−7 |} {7,1−7} = frac {| 7,01−7 |} {7,01−7} = frac {| 7,11−7 |} {7,11−7 } = 1 não numérico ]

Como os limites da direita e da esquerda não são iguais, não há limite.

Exercício ( PageIndex {8} )

Avalie [ lim limits_ {x to 6 ^ +} frac {6 − x} {| x − 6 |}. enhum número ]

Solução

Conceitos chave

  • As propriedades dos limites podem ser usadas para executar operações nos limites das funções, em vez das próprias funções. Consultar exemplo.
  • O limite de uma função polinomial pode ser encontrado encontrando a soma dos limites dos termos individuais. Veja Exemplo e Exemplo.
  • O limite de uma função elevada a uma potência é igual à potência do limite da função. Outro método é a substituição direta. Consultar exemplo.
  • O limite da raiz de uma função é igual à raiz correspondente do limite da função.
  • Uma maneira de encontrar o limite de uma função expressa como quociente é escrever o quociente de forma fatorada e simplificar. Consultar exemplo.
  • Outro método de encontrar o limite de uma fração complexa é encontrar o LCD. Consultar exemplo.
  • Um limite contendo uma função contendo uma raiz pode ser avaliado usando um conjugado. Consultar exemplo.
  • Os limites de algumas funções expressas como quocientes podem ser encontrados por fatoração. Consultar exemplo.
  • Uma maneira de avaliar o limite de um quociente contendo valores absolutos é usando evidências numéricas. Configurá-lo por partes também pode ser útil. Consultar exemplo.

Glossário

propriedades dos limites
uma coleção de teoremas para encontrar limites de funções realizando operações matemáticas nos limites


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