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13.4: Trigonometria do Triângulo Direito - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Use triângulos retângulos para avaliar as funções trigonométricas.
  • Encontre os valores da função para 30 ° ( ( dfrac { pi} {6} )), 45 ° ( ( dfrac { pi} {4} )) e 60 ° ( ( dfrac { pi} {3} )).
  • Use cofunções iguais de ângulos complementares.
  • Use as definições das funções trigonométricas de qualquer ângulo.
  • Use a trigonometria do triângulo retângulo para resolver problemas aplicados.

Mt. O Everest, que fica na fronteira entre a China e o Nepal, é a montanha mais alta do mundo. Medir sua altura não é uma tarefa fácil e, na verdade, a medição real tem sido uma fonte de controvérsia por centenas de anos. O processo de medição envolve o uso de triângulos e um ramo da matemática conhecido como trigonometria. Nesta seção, definiremos um novo grupo de funções conhecidas como funções trigonométricas e descobriremos como elas podem ser usadas para medir alturas, como as das montanhas mais altas.

Definimos anteriormente o seno e o cosseno de um ângulo em termos das coordenadas de um ponto no círculo unitário interceptado pelo lado terminal do ângulo:

[ begin {align *} cos t & = x sin t & = y end {align *} ]

Nesta seção, veremos outra maneira de definir funções trigonométricas usando propriedades de triângulos retângulos.

Usando triângulos retos para avaliar funções trigonométricas

Nas seções anteriores, usamos um círculo unitário para definir o funções trigonométricas. Nesta seção, estenderemos essas definições para que possamos aplicá-las aos triângulos retângulos. O valor da função seno ou cosseno de (t ) é seu valor em (t ) radianos. Primeiro, precisamos criar nosso triângulo retângulo. A Figura ( PageIndex {1} ) mostra um ponto em um círculo unitário de raio 1. Se soltarmos um segmento de linha vertical do ponto ((x, y) ) para o x-eixo, temos um triângulo retângulo cujo lado vertical tem comprimento (y ) e cujo lado horizontal tem comprimento (x ). Podemos usar este triângulo retângulo para redefinir seno, cosseno e outras funções trigonométricas como proporções dos lados de um triângulo retângulo.

Nós sabemos

[ cos t = frac {x} {1} = x ]

Da mesma forma, nós sabemos

[ sin t = frac {y} {1} = y ]

Essas relações ainda se aplicam aos lados de um triângulo retângulo quando nenhum círculo unitário está envolvido e quando o triângulo não está na posição padrão e não está sendo representado graficamente usando coordenadas ((x, y) ). Para poder usar essas proporções livremente, daremos aos lados nomes mais gerais: Em vez de (x ), chamaremos o lado entre o ângulo dado e o ângulo reto de lado adjacente para o ângulo (t ). (Adjacente significa "próximo a".) Em vez de (y ), chamaremos o lado mais distante do ângulo dado de lado oposto do ângulo (t ). E em vez de (1 ), chamaremos o lado de um triângulo retângulo oposto ao ângulo reto de hipotenusa. Esses lados são identificados na Figura ( PageIndex {2} ).

Compreendendo os relacionamentos do triângulo correto

Dado um triângulo retângulo com um ângulo agudo de (t ),

[ begin {align} sin (t) & = dfrac { text {oposto}} { text {hipotenusa}} label {sindef} cos (t) & = dfrac { text { adjacente}} { text {hipotenusa}} label {cosdef} tan (t) & = dfrac { text {oposto}} { text {adjacente}} label {tandef} end {align} ]

Um mnemônico comum para lembrar essas relações é SohCahToa, formado a partir das primeiras letras de “Sine é obem hypotenuse, COsine é umaadjacente hypotenuse, TAngent é obem umaadjacente. ”

como: dados os comprimentos laterais de um triângulo retângulo e um dos ângulos agudos, encontre o seno, o cosseno e a tangente desse ângulo

  1. Encontre o seno como a razão entre o lado oposto e a hipotenusa.
  2. Encontre o cosseno como a razão entre o lado adjacente e a hipotenusa.
  3. Encontre que a tangente é a relação entre o lado oposto e o lado adjacente.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Avaliando uma função trigonométrica de um triângulo direito

Dado o triângulo mostrado na Figura ( PageIndex {3} ), encontre o valor de ( cos α ).

Solução

O lado adjacente ao ângulo é 15 e a hipotenusa do triângulo é 17, portanto, por meio da Equação ref {cosdef}:

[ begin {align *} cos (α) & = dfrac { text {adjacente}} { text {hipotenusa}} [4pt] & = dfrac {15} {17} end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Dado o triângulo mostrado na Figura ( PageIndex {4} ), encontre o valor de ( sin t ).

Responder

( frac {7} {25} )

Relacionando Ângulos e Suas Funções

Ao trabalhar com triângulos retângulos, as mesmas regras se aplicam independentemente da orientação do triângulo. Na verdade, podemos avaliar as seis funções trigonométricas de qualquer um dos dois ângulos agudos do triângulo na Figura ( PageIndex {5} ). O lado oposto a um ângulo agudo é o lado adjacente ao outro ângulo agudo e vice-versa.

Seremos solicitados a encontrar todas as seis funções trigonométricas para um determinado ângulo em um triângulo. Nossa estratégia é encontrar primeiro o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos. Então, podemos encontrar as outras funções trigonométricas facilmente porque sabemos que o recíproco do seno é cossecante, o recíproco do cosseno é secante e o recíproco da tangente é cotangente.

como: Dados os comprimentos laterais de um triângulo retângulo, avalie as seis funções trigonométricas de um dos ângulos agudos

  1. Se necessário, desenhe o triângulo retângulo e identifique o ângulo fornecido.
  2. Identifique o ângulo, o lado adjacente, o lado oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo.
  3. Encontre a função necessária:
    • seno como a razão do lado oposto à hipotenusa
    • cosseno como a razão do lado adjacente à hipotenusa
    • tangente como a proporção do lado oposto ao lado adjacente
    • secante como a razão da hipotenusa para o lado adjacente
    • cossecante como a razão da hipotenusa para o lado oposto
    • cotangente como a proporção do lado adjacente para o lado oposto

Exemplo ( PageIndex {2} ): Avaliando funções trigonométricas de ângulos fora da posição padrão

Usando o triângulo mostrado na Figura ( PageIndex {6} ), avalie ( sin α, cos α, tan α, sec α, csc α, ) e ( cot α ).

Solução

[ begin {align *} sin α & = dfrac { text {oposto} α} { text {hipotenusa}} = dfrac {4} {5} cos α & = dfrac { texto {adjacente a} α} { text {hipotenusa}} = dfrac {3} {5} tan α & = dfrac { text {oposto} α} { text {adjacente a} α} = dfrac {4} {3} sec α & = dfrac { text {hipotenusa}} { text {adjacente a} α} = dfrac {5} {3} csc α & = dfrac { text {hipotenusa}} { text {oposto} α} = dfrac {5} {4} cot α & = dfrac { text {adjacente a} α} { text {oposto} α } = dfrac {3} {4} end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Usando o triângulo mostrado na Figura ( PageIndex {7} ), avalie ( sin t, cos t, tan t, sec t, csc t, ) e ( cot t ).

Responder

[ begin {align *} sin t & = frac {33} {65}, cos t = frac {56} {65}, tan t = frac {33} {56}, sec t & = frac {65} {56}, csc t = frac {65} {33}, cot t = frac {56} {33} end {alinhar *} ]

Encontrar funções trigonométricas de ângulos especiais usando comprimentos laterais

Já discutimos as funções trigonométricas no que se refere ao ângulos especiais no círculo unitário. Agora, podemos usar essas relações para avaliar triângulos que contêm esses ângulos especiais. Fazemos isso porque, quando avaliamos os ângulos especiais em funções trigonométricas, eles têm valores relativamente amigáveis, valores que contêm nenhuma ou apenas uma raiz quadrada na proporção. Portanto, esses são os ângulos frequentemente usados ​​em problemas de matemática e ciências. Usaremos múltiplos de (30 °, 60 °, ) e (45 ° ), entretanto, lembre-se que ao lidar com triângulos retângulos, estamos limitados a ângulos entre (0 ° text {e} 90 ° ).

Suponha que temos um triângulo (30 °, 60 °, 90 ° ), que também pode ser descrito como um ( frac {π} {6}, frac {π} {3}, frac {π} {2} ) triângulo. Os lados têm comprimentos na relação (s, sqrt {3} s, 2s. ) Os lados de um triângulo (45 °, 45 °, 90 ° ), que também pode ser descrito como um ( frac {π} {4}, frac {π} {4}, frac {π} {2} ) triângulo, têm comprimentos na relação (s, s, sqrt {2} s. ) Estes relações são mostradas na Figura ( PageIndex {8} ).

Podemos então usar as proporções dos comprimentos laterais para avaliar as funções trigonométricas de ângulos especiais.

Dadas as funções trigonométricas de um ângulo especial, avalie usando comprimentos laterais.

  1. Use os comprimentos laterais mostrados na Figura ( PageIndex {8} ) para o ângulo especial que você deseja avaliar.
  2. Use a proporção dos comprimentos laterais apropriados para a função que você deseja avaliar.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Avaliando funções trigonométricas de ângulos especiais usando comprimentos laterais

Encontre o valor exato das funções trigonométricas de ( frac {π} {3} ), usando os comprimentos dos lados.

Solução

[ begin {align *} sin ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {opp}} { text {hyp}} = dfrac { sqrt {3} s} { 2s} = dfrac { sqrt {3}} {2} cos ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {adj}} { text {hyp}} = dfrac {s} {2s} = dfrac {1} {2} tan ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {opp}} { text {adj}} = dfrac { sqrt {3} s} {s} = sqrt {3} sec ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {hyp}} { text {adj}} = dfrac {2s} {s} = 2 csc ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {hyp}} { text {opp}} = dfrac {2s} { sqrt {3} s} = dfrac {2} { sqrt {3}} = dfrac {2 sqrt {3}} {3} cot ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {adj}} { text {opp}} = dfrac {s} { sqrt {3} s} = dfrac {1} { sqrt {3}} = dfrac { sqrt {3 }} {3} end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre o valor exato das funções trigonométricas de ( frac {π} {4} ) usando os comprimentos dos lados.

Responder

( sin ( frac {π} {4}) = frac { sqrt {2}} {2}, cos ( frac {π} {4}) = frac { sqrt {2}} {2}, tan ( frac {π} {4}) = 1, )

( sec ( frac {π} {4}) = sqrt {2}, csc ( frac {π} {4}) = sqrt {2}, cot ( frac {π} {4 }) = 1 )

Usando Cofunção Igual de Complementos

Se observarmos mais de perto a relação entre o seno e o cosseno dos ângulos especiais relativos ao círculo unitário, notaremos um padrão. Em um triângulo retângulo com ângulos de ( frac {π} {6} ) e ( frac {π} {3} ), vemos que o seno de ( frac {π} {3} ), a saber ( frac { sqrt {3}} {2} ), é também o cosseno de ( frac {π} {6} ), enquanto o seno de ( frac {π} { 6} ), a saber ( frac {1} {2}, ) é também o cosseno de ( frac {π} {3} ) (Figura ( PageIndex {9} )).

[ begin {align *} sin frac {π} {3} & = cos frac {π} {6} = frac { sqrt {3} s} {2s} = frac { sqrt {3}} {2} sin frac {π} {6} & = cos frac {π} {3} = frac {s} {2s} = frac {1} {2} fim {alinhar *} ]

Este resultado não deve ser surpreendente porque, como podemos ver na Figura ( PageIndex {9} ), o lado oposto ao ângulo de ( frac {π} {3} ) é também o lado adjacente a ( frac {π} {6} ), então ( sin ( frac {π} {3}) ) e ( cos ( frac {π} {6}) ) são exatamente a mesma proporção de os mesmos dois lados, ( sqrt {3} s ) e (2s. ) Da mesma forma, ( cos ( frac {π} {3}) ) e ( sin ( frac {π } {6}) ) também têm a mesma proporção usando os mesmos dois lados, (s ) e (2s ).

A inter-relação entre os senos e cossenos de ( frac {π} {6} ) e ( frac {π} {3} ) também é válida para os dois ângulos agudos em qualquer triângulo retângulo, já que em todos os casos, a razão dos mesmos dois lados constituiria o seno de um ângulo e o cosseno do outro. Como os três ângulos de um triângulo somam π, π, e o ângulo reto é ( frac {π} {2} ), os dois ângulos restantes também devem somar ( frac {π} {2} ). Isso significa que um triângulo retângulo pode ser formado com quaisquer dois ângulos somados a ( frac {π} {2} ) - em outras palavras, quaisquer dois ângulos complementares. Portanto, podemos afirmar um identidade de cofunção: Se quaisquer dois ângulos são complementares, o seno de um é o cosseno do outro e vice-versa. Essa identidade é ilustrada na Figura ( PageIndex {10} ).

Usando essa identidade, podemos afirmar sem calcular, por exemplo, que o seno de ( frac {π} {12} ) é igual ao cosseno de ( frac {5π} {12} ), e que o seno de ( frac {5π} {12} ) é igual ao cosseno de ( frac {π} {12} ). Também podemos afirmar que se, para um certo ângulo (t, cos t = frac {5} {13}, ) então ( sin ( frac {π} {2} −t) = frac {5} {13} ) também.

IDENTIDADES DE COFUNÇÃO

O identidades cofuncionais em radianos estão listados na Tabela ( PageIndex {1} ).

Tabela ( PageIndex {1} )

( cos t = sin ( frac {π} {2} −t) )

( sin t = cos ( dfrac {π} {2} −t) )

( tan t = cot ( dfrac {π} {2} −t) )

( cot t = tan ( dfrac {π} {2} −t) )

( sec t = csc ( dfrac {π} {2} −t) )

( csc t = sec ( dfrac {π} {2} −t) )

como: dados o seno e cosseno de um ângulo, encontre o seno ou cosseno de seu complemento.

  1. Para encontrar o seno do ângulo complementar, encontre o cosseno do ângulo original.
  2. Para encontrar o cosseno do ângulo complementar, encontre o seno do ângulo original.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Usando identidades de cofunção

Se ( sin t = frac {5} {12}, ) encontre (( cos frac {π} {2} −t) ).

Solução

De acordo com as identidades de cofunção para seno e cosseno,

[ sin t = cos ( dfrac {π} {2} −t). enhum número]

Então

[ cos ( dfrac {π} {2} −t) = dfrac {5} {12}. enhum número]

Exercício ( PageIndex {4} )

Se ( csc ( frac {π} {6}) = 2, ) encontre ( sec ( frac {π} {3}). )

Solução

2

Usando funções trigonométricas

Nos exemplos anteriores, avaliamos o seno e o cosseno em triângulos onde conhecíamos todos os três lados. Mas o verdadeiro poder da trigonometria do triângulo retângulo emerge quando olhamos para triângulos nos quais conhecemos um ângulo, mas não conhecemos todos os lados.

como: Dado um triângulo retângulo, o comprimento de um lado e a medida de um ângulo agudo, encontre os lados restantes

  1. Para cada lado, selecione a função trigonométrica que tem o lado desconhecido como numerador ou denominador. O lado conhecido será, por sua vez, o denominador ou numerador.
  2. Escreva uma equação definindo o valor da função do ângulo conhecido igual à proporção dos lados correspondentes.
  3. Usando o valor da função trigonométrica e o comprimento do lado conhecido, resolva o comprimento do lado ausente.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Encontrando comprimentos laterais ausentes usando proporções trigonométricas

Encontre os lados desconhecidos do triângulo na Figura ( PageIndex {11} ).

Solução

Conhecemos o ângulo e o lado oposto, portanto, podemos usar a tangente para encontrar o lado adjacente.

[ tan (30 °) = dfrac {7} {a} nonumber ]

Nós reorganizamos para resolver para (a ).

[ begin {align} a & = dfrac {7} { tan (30 °)} & = 12.1 end {align} nonumber ]

Podemos usar o seno para encontrar a hipotenusa.

[ sin (30 °) = dfrac {7} {c} não número ]

Novamente, nós reorganizamos para resolver para (c ).

[ begin {align *} c & = dfrac {7} { sin (30 °)} = 14 end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {5} ):

Um triângulo retângulo tem um ângulo de ( frac {π} {3} ) e uma hipotenusa de 20. Encontre os lados desconhecidos e o ângulo do triângulo.

Responder

( mathrm {adjacente = 10; oposto = 10 sqrt {3};} ) o ângulo ausente é ( frac {π} {6} )

Usando a trigonometria do triângulo direito para resolver problemas aplicados

A trigonometria do triângulo retângulo tem muitas aplicações práticas. Por exemplo, a capacidade de calcular os comprimentos dos lados de um triângulo torna possível encontrar a altura de um objeto alto sem subir até o topo ou ter que estender uma fita métrica ao longo de sua altura. Fazemos isso medindo uma distância da base do objeto a um ponto no solo a alguma distância, onde podemos olhar para o topo do objeto alto em um ângulo. O ângulo de elevação de um objeto acima de um observador em relação ao observador é o ângulo entre a horizontal e a linha do objeto até o olho do observador. O triângulo retângulo criado por essa posição tem lados que representam a altura desconhecida, a distância medida da base e a linha de visão angular do solo até o topo do objeto. Conhecendo a distância medida até a base do objeto e o ângulo da linha de visão, podemos usar funções trigonométricas para calcular a altura desconhecida. Da mesma forma, podemos formar um triângulo do topo de um objeto alto olhando para baixo. O ângulo de depressão de um objeto abaixo de um observador em relação ao observador é o ângulo entre a horizontal e a linha do objeto até o olho do observador. Veja a Figura ( PageIndex {12} ).

como: Dado um objeto alto, medir sua altura indiretamente

  1. Faça um esboço da situação do problema para manter o controle de informações conhecidas e desconhecidas.
  2. Defina uma distância medida da base do objeto até um ponto onde o topo do objeto seja claramente visível.
  3. Na outra extremidade da distância medida, olhe para o topo do objeto. Meça o ângulo que a linha de visão faz com a horizontal.
  4. Escreva uma equação relacionando a altura desconhecida, a distância medida e a tangente do ângulo da linha de visão.
  5. Resolva a equação para a altura desconhecida.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Medindo uma distância indiretamente

Para saber a altura de uma árvore, uma pessoa anda até um ponto a 30 pés da base da árvore. Ela mede um ângulo de 57 ° 57 ° entre uma linha de visão até o topo da árvore e o solo, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {13} ). Encontre a altura da árvore.

Solução

Sabemos que o ângulo de elevação é (57 ° ) e o lado adjacente tem 30 pés de comprimento. O lado oposto é a altura desconhecida.

A função trigonométrica que relaciona o lado oposto a um ângulo e o lado adjacente ao ângulo é a tangente. Portanto, declararemos nossas informações em termos da tangente de (57 ° ), sendo (h ) a altura desconhecida.

[ begin {array} {cl} tan θ = dfrac { text {oposto}} { text {adjacente}} & text {} tan (57 °) = dfrac {h} { 30} & text {Resolver para} h. h = 30 tan (57 °) & text {Multiplicar.} h≈46.2 & text {Use uma calculadora.} end {array} ]

A árvore tem aproximadamente 46 pés de altura.

Exercício ( PageIndex {6} ):

Quanto tempo uma escada é necessária para alcançar o peitoril de uma janela 50 pés acima do solo se a escada estiver encostada na construção, formando um ângulo de ( frac {5π} {12} ) com o solo? Arredonde até o pé mais próximo.

Responder

Cerca de 52 pés

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Equações Chave

Identidades de cofunção

[ begin {align *} cos t & = sin ( frac {π} {2} −t) sin t & = cos ( frac {π} {2} −t) tan t & = cot ( frac {π} {2} −t) cot t & = tan ( frac {π} {2} −t) sec t & = csc ( frac {π} {2} −t) csc t & = sec ( frac {π} {2} −t) end {align *} ]

Conceitos chave

  • Podemos definir funções trigonométricas como proporções dos comprimentos laterais de um triângulo retângulo. Consultar exemplo.
  • Os mesmos comprimentos laterais podem ser usados ​​para avaliar as funções trigonométricas de qualquer ângulo agudo em um triângulo retângulo. Consultar exemplo.
  • Podemos avaliar as funções trigonométricas de ângulos especiais, conhecendo os comprimentos laterais dos triângulos em que ocorrem. Consultar exemplo.
  • Quaisquer dois ângulos complementares podem ser os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo.
  • Se dois ângulos são complementares, as identidades de cofunção afirmam que o seno de um é igual ao cosseno do outro e vice-versa. Consultar exemplo.
  • Podemos usar funções trigonométricas de um ângulo para encontrar comprimentos laterais desconhecidos.
  • Selecione a função trigonométrica que representa a proporção do lado desconhecido para o lado conhecido. Consultar exemplo.
  • A trigonometria do triângulo retângulo permite a medição de alturas e distâncias inacessíveis.
  • A altura ou distância desconhecida pode ser encontrada criando um triângulo retângulo no qual a altura ou distância desconhecida é um dos lados e outro lado e ângulo são conhecidos. Consultar exemplo.

Glossário

lado adjacente
em um triângulo retângulo, o lado entre um determinado ângulo e o ângulo reto
ângulo de depressão
o ângulo entre a horizontal e a linha do objeto ao olho do observador, assumindo que o objeto está posicionado abaixo do observador
ângulo de elevação
o ângulo entre a horizontal e a linha do objeto ao olho do observador, assumindo que o objeto está posicionado mais alto do que o observador
lado oposto
em um triângulo retângulo, o lado mais distante de um determinado ângulo
hipotenusa
o lado de um triângulo retângulo oposto ao ângulo reto

Geo.4 Trigonometria do Triângulo Direito

Nesta unidade, os alunos desenvolvem uma compreensão das proporções em triângulos retângulos, o que leva a nomear cosseno, seno e tangente como proporções trigonométricas. Praticar sem nomear as proporções permite que os alunos conectem similaridade, raciocínio proporcional e fatores de escala a triângulos retângulos com um ângulo agudo congruente antes de a calculadora assumir alguns dos cálculos. Os alunos encontram vários contextos para entender e aplicar a medição do triângulo retângulo.

Lições

Ângulos e inclinação

Definição de proporções trigonométricas

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Unidade 4: Triângulos retos e trigonometria

Defina as partes de um triângulo retângulo e descreva as propriedades de uma altitude de um triângulo retângulo.

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Defina e prove o teorema de Pitágoras. Use o teorema de Pitágoras e seu inverso na solução de problemas.

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Defina a relação entre os comprimentos laterais de triângulos retângulos especiais.

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Multiplique e divida radicais. Racionalize o denominador.

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Adicione e subtraia radicais.

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Tópico B: Trigonometria do Triângulo Direito

Defina e calcule o seno dos ângulos em triângulos retângulos. Use critérios de similaridade para generalizar a definição de seno para todos os ângulos da mesma medida.

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Defina e calcule o cosseno dos ângulos em triângulos retângulos. Use critérios de similaridade para generalizar a definição de cosseno para todos os ângulos da mesma medida.

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Derive a relação entre o seno e o cosseno dos ângulos complementares em triângulos retângulos e descreva o seno e o cosseno à medida que as medidas dos ângulos se aproximam de 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° e 90 °.

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Descreva e calcule a tangente em triângulos retângulos. Descreva como o valor da tangente muda conforme a medida do ângulo se aproxima de 0 °, 45 ° e 90 °.

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Resolva os lados ausentes de um triângulo retângulo, considerando o comprimento de um lado e a medida de um ângulo.

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Tópico C: Aplicações da trigonometria do triângulo direito

Encontre a medida do ângulo de dois lados usando funções trigonométricas inversas.

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Descreva a relação entre a inclinação e a razão tangente do ângulo de elevação / depressão. Use a relação tangente do ângulo de elevação ou depressão para resolver problemas do mundo real.

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Resolva um problema de modelagem usando trigonometria.

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Tópico D: O Círculo de Unidade

Defina os ângulos na posição padrão e use-os para construir o primeiro quadrante do círculo unitário.

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Use o primeiro quadrante do círculo unitário para definir os valores de seno, cosseno e tangente fora do primeiro quadrante.

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Tópico E: Razões trigonométricas em triângulos não retos

Derive a fórmula da área para qualquer triângulo em termos de seno.

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Verifique algebricamente e encontre as medidas que faltam usando a Lei dos Senos.

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Verifique algebricamente e encontre as medidas ausentes usando a Lei dos Cossenos.

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Use relações de lado e ângulo em triângulos retos e não retangulares para resolver problemas de aplicação.

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Geo.4 Trigonometria do Triângulo Direito

Nesta unidade, os alunos desenvolvem uma compreensão das proporções em triângulos retângulos, o que leva a nomear cosseno, seno e tangente como proporções trigonométricas. Praticar sem nomear as proporções permite que os alunos conectem similaridade, raciocínio proporcional e fatores de escala a triângulos retângulos com um ângulo agudo congruente antes de a calculadora assumir alguns dos cálculos. Os alunos encontram vários contextos para entender e aplicar a medição do triângulo retângulo.

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Respostas de geometria matemática de grandes ideias Capítulo 9 Triângulos retos e trigonometria

Triângulos retos e trigonometria que mantêm a proficiência matemática

Responder:
raiz quadrada de 75 = 5.625.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
√75.
raiz quadrada de 75 = 75 x 75.
75 x 75 = 5.625.
√75 = 5,625.

Responder:
raiz quadrada de 270 = 72.900.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
√270.
raiz quadrada de 270 = 270 x 270.
270 x 270 = 72900.
√270 = 72900.

Responder:
raiz quadrada de 135 = 18225.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
√135.
raiz quadrada de 135 = 135 x 135.
135 x 135 = 18225.
√135 = 18,225.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
raiz quadrada de 7 = 7 x 7.
7 x 7 = 49.
( frac <2> < sqrt <7>> ).
2/49 = 0.04.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
raiz quadrada de 2 = 2 x 2.
2 x 2 = 4.
( frac <5> < sqrt <2>> ).
5/4 = 1.25.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
raiz quadrada de 6 = 6 x 6.
6 x 6 = 36.
( frac <12> < sqrt <6>> ).
12/36 = 0.33.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
( frac<12>=frac<3> <4> )
x / 12 = 3/4.
4x = 12 x 3.
4x = 36.
x = 36/4.
x = 9.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
( frac<3>=frac<5> <2> )
x / 3 = 5/2.
2x = 5 x 3.
2x = 15.
x = 15/2.
x = 7,5.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
( frac <4>= frac <7> <56> )
4 / x = 7/56.
7x = 56 x 4.
7x = 224.
x = 224/7.
x = 32.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
( frac <10> <23> = frac <4>)
x / 4 = 10/23.
10x = 23 x 4.
10x = 92.
x = 92/10.
x = 9,2.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
( frac<2>=frac<21> <14> )
x + 12 x 2 = 21 & # 21514.
2x + 24 = 294.
2x = 294 & # 8211 24.
2x = 270.
x = 270/2.
x = 135.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
( frac <9> <3 x-15> = frac <3> <12> )
27x & # 8211 135 = 3 & # 21512.
27x = 36 + 135.
27x = 171.
x = 171/27.
x = 6,33.

Questão 13.
RACIOCÍNIO ABSTRATO
A propriedade do produto de raízes quadradas permite simplificar a raiz quadrada de um produto. Você consegue simplificar a raiz quadrada de uma soma? de uma diferença? Explique.

Responder:
Sim, posso simplificar a raiz quadrada de uma soma.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
A propriedade de produto de raízes quadradas permite simplificar a raiz quadrada de um produto.
√3 + 1 = √4.
√4 = 4 x 4.
16.
√3 – 1 = √2.
√2 = 2 x 2.
4.

Triângulos corretos e trigonometria práticas matemáticas

Monitorando o progresso

Questão 1.
Use o software de geometria dinâmica para construir um triângulo retângulo com medidas de ângulo agudo de 30 ° e 60 ° na posição padrão. Quais são as coordenadas exatas de seus vértices?

Questão 2.
Use o software de geometria dinâmica para construir um triângulo retângulo com medidas de ângulo agudo de 20 ° e 70 ° na posição padrão. Quais são as coordenadas aproximadas de seus vértices?
Responder:

9.1 O Teorema de Pitágoras

Exploração 1

Provando o Teorema de Pitágoras sem Palavras

uma. Desenhe e recorte um triângulo retângulo com as pernas aeb e a hipotenusa c.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
provando o teorema de Pitágoras sem palavras.
a 2 + b 2 = c 2.

b. Faça três cópias do seu triângulo retângulo. Organize todos os triângulos de passeio para formar um grande quadrado, como mostrado.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
faça três cópias do seu triângulo retângulo.
a 2 + b 2 = c 2.

c. Encontre a área do quadrado grande em termos de a, b e c somando as áreas dos triângulos e do quadrado pequeno.

Responder:
A área do grande quadrado = a 2 x b 2.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
a área do quadrado = l x b.
onde l = comprimento eb = largura.
a área do quadrado = a x b.
área = a 2 x b 2.

d. Copie o grande quadrado. Divida-o em dois quadrados menores e dois retângulos de tamanhos iguais, como mostrado.

e. Encontre a área do quadrado grande em termos de aeb somando as áreas dos retângulos e os quadrados menores.
Responder:

f. Compare suas respostas com as partes (c) e (e). Explique como isso prova o Teorema de Pitágoras.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
O comprimento de aeb é igual ao da hipotenusa.
a 2 + b 2 = c 2.
onde a = um lado eb = um lado.

Exploração 2

Provando o Teorema de Pitágoras

uma. Desenhe um triângulo retângulo com as pernas aeb e a hipotenusa c, como mostrado. Desenhe a altitude de C a ( overline) Identifique os comprimentos, como mostrado.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
a 2 + b 2 = c 2.

b. Explique por que ∆ABC, ∆ACD e ∆CBD são semelhantes.

Responder:
Em um triângulo retângulo, todos os ângulos são iguais.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
∆ABC, ∆ACD e ∆CBD são semelhantes.
Em um triângulo retângulo, todos os ângulos são iguais.

RACIOCÍNIO ABSTRATO
Para ser proficiente em matemática, você precisa conhecer e usar com flexibilidade diferentes propriedades de operações e objetos.
Responder:

c. Escreva uma prova de duas colunas usando os triângulos semelhantes na parte (b) para provar que a 2 + b 2 = c 2

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
No teorema de Pitágoras.
a 2 + b 2 = c 2
o comprimento da hipotenusa, isto é, igual aos dois comprimentos laterais.
a 2 + b 2 = c 2

Questão 3.
Como você pode provar o Teorema de Pitágoras?

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
No teorema de Pitágoras,
o comprimento da hipotenusa é igual ao comprimento dos outros dois lados.
hipotenusa = c.
comprimento = a.
a largura = b.
a 2 + b 2 = c 2

Questão 4.
Use a Internet ou outro recurso sônico para encontrar uma maneira de provar o Teorema de Pitágoras que seja diferente das Explorações 1 e 2.
Responder:

Lição 9.1 O Teorema de Pitágoras

Monitorando o Progresso

Encontre o valor de x. Em seguida, diga se os comprimentos laterais formam um triplo pitagórico.

Questão 1.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 6 e 4.
a 2 + b 2 = c 2
6 x 6 + 4 x 4 = c2
36 + 16 = c2
52 = c2.
c = √52.

Questão 2.

Responder:
x = 4.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 3 e 5.
x 2 + 3 x 3 = 5 x 5.
x2 + 9 = 25.
x2 = 25 & # 8211 9.
x2 = 16.
x = 4.

Questão 3.
Um anemômetro é um dispositivo usado para medir a velocidade do vento. O anemômetro mostrado está preso ao topo de um poste. Os fios de suporte são presos ao poste a 5 pés acima do solo. Cada fio de suporte tem 6 pés de comprimento. A que distância da base do poste cada fio está preso ao solo?

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
Um anemômetro é um dispositivo usado para medir a velocidade do vento.
os fios de suporte são presos ao poste 5 pés acima do solo.
Cada fio de suporte tem 6 pés de comprimento.
d 2 + 6 x 6 = 5 x 5.
d2 + 36 = 25.
d2 = 25 & # 8211 36.
d2 = 11.
d = √11.

Diga se o triângulo é um triângulo retângulo.

Questão 4.

Responder:
Sim, o triângulo é um triângulo retângulo.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
a hipotenusa = 3 √34.
um lado = 15.
o outro lado = 9.
então o triângulo é um triângulo retângulo.

Questão 5.

Responder:
Sim, o triângulo é um triângulo ativo.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
a hipotenusa = 22.
um lado = 26.
o outro lado = 14.
então o triângulo é um triângulo agudo.

Questão 6.
Verifique se os segmentos com comprimentos de 3, 4 e 6 formam um triângulo. O triângulo é agudo, direito ou obtuso?

Responder:
Sim, os comprimentos do triângulo formam um triângulo agudo.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os lenths laterais de 3, 4 e 6 formam um triângulo.
6 x 6 = 3 x 3 + 4 x 4.
36 = 9 + 16.
36 = 25.
portanto, o comprimento do triângulo forma um triângulo agudo.

Questão 7.
Verifique se os segmentos com comprimentos de 2, 1, 2, 8 e 3,5 formam um triângulo. O triângulo é agudo, direito ou obtuso?
Responder:

Exercício 9.1 O Teorema de Pitágoras

Verificação de vocabulário e conceito central

Questão 1.
VOCABULÁRIO
O que é um triplo pitagórico?
Responder:

Questão 2.
PALAVRAS DIFERENTES, MESMA PERGUNTA
O que é diferente? Encontre “ambas” as respostas.

Encontre o comprimento do lado mais longo.

Responder:
O comprimento do lado mais longo = 5.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 3 e 4.
no treoema pitagórico,
o lado mais longo é igual aos comprimentos dos lados.
X = 4 x 4 + 3 x 3.
X x X = 16 + 9.
X x X = 25.
X = 5.

Encontre o comprimento da hipotenusa

Responder:
O comprimento da hipotenusa = 5.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 3 e 4.
no teorema de Pitágoras,
o lado mais longo é igual aos comprimentos dos lados.
X = 4 x 4 + 3 x 3.
X x X = 16 + 9.
X x X = 25.
X = 5.

Encontre o comprimento da perna mais longa.

Responder:
O comprimento da perna mais longa = 5.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 3 e 4.
no treoema pitagórico,
o lado mais longo é igual aos comprimentos dos lados.
X = 4 x 4 + 3 x 3.
X x X = 16 + 9.
X x X = 25.
X = 5.

Encontre o comprimento do lado oposto ao ângulo reto.

Responder:
O comprimento do lado oposto ao ângulo reto = 5.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 3 e 4.
no treoema pitagórico,
o lado mais longo é igual aos comprimentos dos lados.
X = 4 x 4 + 3 x 3.
X x X = 16 + 9.
X x X = 25.
X = 5.

Monitorando o progresso e modelagem com matemática

Nos Exercícios 3-6, encontre o valor de x. Em seguida, diga se os comprimentos laterais formam um triplo pitagórico.

Questão 3.

Responder:

Questão 4.

Responder:
O comprimento de x = 34.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 30 e 16.
no treoema pitagórico,
o lado mais longo é igual aos comprimentos dos lados.
X = 16 x 16 + 30 x 30.
X x X = 256 + 900.
X x X = 1156.
X = 34.

Questão 5.

Responder:

Questão 6.

Responder:
O comprimento de x = 7,2.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 6 e 4.
no treoema pitagórico,
o lado mais longo é igual aos comprimentos dos lados.
X = 4 x 4 + 6 x 6.
X x X = 16 + 36.
X x X = 52.
X = 7,2.

Nos Exercícios 7 e # 8211 10, encontre o valor de x. Em seguida, diga se os comprimentos laterais formam um triplo pitagórico.

Questão 7.

Responder:

Questão 8.

Responder:
O comprimento do X = 25,6.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 24 e 9.
no treoema pitagórico,
o lado mais longo é igual aos comprimentos dos lados.
X = 24 x 24 + 9 x 9.
X x X = 576 + 81.
X x X = 657.
X = 25,6.

Questão 9.

Responder:

Questão 10.

Responder:
O comprimento de x = 11,4.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 7 e 9.
no treoema pitagórico,
o lado mais longo é igual aos comprimentos dos lados.
X = 7 x 7 + 9 x 9.
X x X = 49 + 81.
X x X = 130.
X = 11,4.

ERRO DE ANÁLISE
Nos Exercícios 11 e 12, descreva e corrija o erro ao usar o Teorema de Pitágoras (Teorema 9.1).

Questão 11.

Responder:

Questão 12.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 26 e 10.
26 x 26 = a x a + 10 x 10.
676 = a x a + 100.
676 e # 8211 100 = a x a.
576 = a x a.
a = 24.
x = 24.

Questão 13.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
A escada de incêndio forma um triângulo retângulo, conforme mostrado. Use o Teorema de Pitágoras (Teorema 9. 1) para aproximar a distância entre as duas plataformas. (Veja o Exemplo 3.)

Responder:

Questão 14.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
A tabela da cesta de basquete forma um triângulo retângulo com as hastes de suporte, conforme mostrado. Use o Teorema de Pitágoras (Teorema 9.1) para aproximar a distância entre as hastes onde se encontram a tabela.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 13,4 e 9,8.
13,4 x 13,4 = X x X + 9,8 x 9,8.
179,56 = X x X + 96,04.
179,56 & # 8211 96,04 = X x X.
83,52 = X x X.
X = 9,1.
Nos Exercícios 15 e # 8211 20, diga se o triângulo é um triângulo retângulo.

Questão 15.

Responder:

Questão 16.

Responder:
Não, o triângulo não é um triângulo retângulo.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 23 e 11,4.
a hipotenusa = 21,2.
21,2 x 21,2 = 23 x 23 + 11,4 x 11,4.
449.44 = 529 + 129.96.
449.44 = 658.96.
449 não é igual a 658,96.
portanto, o triângulo não é um triângulo retângulo.

Questão 17.

Responder:

Questão 18.

Responder:
Não, o triângulo não é um triângulo retângulo.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 5 e 1.
a hipotenusa = √26.
26 x 26 = 5 x 5 + 1 x 1.
676 = 25 + 1.
676 = 26.
676 não é igual a 26.
portanto, o triângulo não é um triângulo retângulo.

Questão 19.

Responder:

Questão 20.

Responder:
Sim, o triângulo forma um triângulo retângulo.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 80 e 39.
a hipotenusa = 89.
89 x 89 = 80 x 80 + 39 x 39.
7921 = 6400 + 1521.
7921 = 7921.
7921 é igual a 7921.
então o triângulo forma um triângulo retângulo.

Nos Exercícios 21 e # 8211 28, verifique se os comprimentos dos segmentos formam um triângulo. O triângulo é agudo, direito ou obtuso?

Questão 21.
10, 11 e 14
Responder:

Responder:
Sim, o triângulo está formando um triângulo retângulo.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 8 e 6.
a hipotenusa = 10.
10 x 10 = 8 x 8 + 6 x 6.
100 = 64 + 36.
100 = 100.
100 é igual a 100.
então o triângulo está formando um triângulo retângulo.

Questão 23.
12, 16 e 20
Responder:

Responder:
Sim, o triângulo é um triângulo obtuso.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 15 e 20.
a hipotenusa = 36.
36 x 36 = 20 x 20 + 15 x 15.
1296 = 400 + 225.
1296 & gt 625.
1296 é maior que 625.
portanto, o triângulo não é um triângulo obtuso.

Questão 25.
5,3, 6,7 e 7,8
Responder:

Questão 26.
4.1, 8.2 e 12.2

Responder:
Não, o triângulo é um triângulo obtuso.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 4.1 e 8.2.
a hipotenusa = 12,2.
12,2 x 12,2 = 4,1 x 4,1 + 8,2 x 8,2`.
148.84 = 16.81 + 67.24.
148,84 & gt 84,05.
148,84 é maior que 84,05.
então o triângulo é um triângulo obtuso.

Questão 27.
24, 30 e 6√43
Responder:

Questão 28.
10, 15 e 5√13

Responder:
Sim, o triângulo é um triângulo agudo.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 10 e 5√13.
a hipotenusa = 15.
15 x 15 = 10 x 10 + 5√13 x 5√13.
225 = 100 + 34.81.
225 & lt 134,81.
225 é menor que 134,81.
então o triângulo é um triângulo agudo.

Questão 29.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
No beisebol, o comprimento dos caminhos entre bases consecutivas é de 30 metros e os caminhos formam ângulos retos. O jogador na primeira base tenta roubar a segunda base. Qual a distância que a bola precisa percorrer do home plate até a segunda base para tirar o jogador?
Responder:

Questão 30.
RACIOCÍNIO
Você está fazendo uma moldura de tela para uma pintura usando barras de maca. A pintura retangular terá 25 centímetros de comprimento e 20 centímetros de largura. Usando uma régua, como você pode ter certeza de que os cantos da moldura são de 90 °

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 10 e 8.
a hipotenusa = x.
X x X = 10 x 10 + 8 x 8.
X = 100 + 64.
X = 12,8.
Nos Exercícios 31 e # 8211 34, encontre a área do triângulo isósceles.

Questão 31.

Responder:

Questão 32.

Responder:
A área do triângulo isósceles = 12 pés.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
base = 32 pés
hipotenusa = 20 pés.
a 2 + b 2 = c 2
h x h + 16 x 16 = 20 x 20.
h x h + 256 = 400.
h x h = 400 & # 8211 256.
h x h = 144.
h = 12 pés.
portanto, a área do triângulo isósceles = 12 pés.

Questão 33.

Responder:

Questão 34.

Responder:
A área do triângulo isósceles = 48 m.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
base = 28 m.
hipotenusa = 50 m.
a 2 + b 2 = c 2
h x h + 14 x 14 = 50 x 50.
h x h + 196 = 2500.
h x h = 2500 & # 8211 196.
h x h = 2304.
h = 48 m.
portanto, a área do triângulo isósceles = 48 m.

Questão 35.
ANALISANDO RELACIONAMENTOS
Justifique a fórmula da distância usando o teorema de Pitágoras (Fino. 9. 1).
Responder:

Questão 36.
COMO VOCÊ VÊ ISSO?
Como você sabe que ∠C é um ângulo reto sem usar o Teorema de Pitágoras (Teorema 9.1)?

Responder:
Sim, o triângulo está formando um triângulo retângulo.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
os comprimentos laterais são 8 e 6.
a hipotenusa = 10.
10 x 10 = 8 x 8 + 6 x 6.
100 = 64 + 36.
100 = 100.
100 é igual a 100.
então o triângulo está formando um triângulo retângulo.

Questão 37.
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Você está fazendo uma pipa e precisa saber quanto de encadernação deve comprar. Você precisa da amarração para o perímetro da pipa. A encadernação vem em pacotes de dois metros. Quantos pacotes você deve comprar?

Responder:

Questão 38.
PROVANDO UM TEOREMA
Use o Teorema de Pitágoras (Teorema 9. 1) para provar o Teorema de Congruência da Perna Hipotenusa (HL) (Teorema 5.9).

Responder:

Questão 39.
PROVANDO UM TEOREMA
Prove o Converse do Teorema de Pitágoras (Teorema 9.2). (Dica: desenhe ∆ABC com os comprimentos dos lados a, b e c, onde c é o comprimento do lado mais longo. Em seguida, desenhe um triângulo retângulo com os comprimentos dos lados a, b e x, onde x é o comprimento da hipotenusa. Compare os comprimentos c e x.)
Responder:

Questão 40.
PROVOCAÇÃO DE PENSAMENTO
Considere dois inteiros m e n. onde m & gt n. As seguintes expressões produzem um triplo pitagórico? Se sim, prove sua resposta. Se não, dê um contra-exemplo.
2mn, m 2 e # 8211 n 2, m 2 + n 2

Questão 41.
FAZENDO UM ARGUMENTO
Seu amigo afirma que 72 e 75 não pode ser parte de um triplo pitagórico porque 72 2 + 75 2 não é igual a um inteiro positivo ao quadrado. Seu amigo está correto? Explique seu raciocínio.
Responder:

Questão 42.
PROVANDO UM TEOREMA
Copie e complete a prova do Teorema das Desigualdades pitagóricas (Teorema 9.3) quando c 2 & lt a 2 + b 2.
Dado em ∆ABC, c 2 & lt a 2 + b 2 onde c é o comprimento
do lado mais longo.
∆PQR tem comprimentos laterais a, b e x, onde x é o comprimento da hipotenusa e ∠R é um ângulo reto.
Prove que ∆ABC é um triângulo agudo.

Declarações Razões
1. Em ∆ABC, C2 & lt (12 + h2, onde c é o comprimento do lado mais longo. ∆PQR tem comprimentos de lado a, b e x, onde x é o comprimento da hipotenusa, e ∠R é um direito ângulo. 1. _____________________________
2. a 2 + b 2 = x 2 2. _____________________________
3. c 2 e lt r 2 3. _____________________________
4. c & lt x 4. Tire a raiz quadrada positiva de cada lado.
5. m ∠ R = 90 ° 5. _____________________________
6. m ∠ C & lt m ∠ R 6. Converse do Teorema da Dobradiça (Teorema 6.13)
7. m ∠ C & lt 90 ° 7. _____________________________
8. ∠C é um ângulo agudo. 8. _____________________________
9. ∆ABC é um triângulo agudo. 9. _____________________________

Questão 43.
PROVANDO UM TEOREMA
Prove o Teorema das Desigualdades de Pitágoras (Teorema 9.3) quando c 2 & gt a 2 + b 2. (Dica: Reveja o Exercício 42.)
Responder:

Manter a proficiência matemática

Simplifique a expressão racionalizando o denominador.

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
( frac <7> < sqrt <2>> ) = 7 / √2.
7 / √2 = 7 / √2 x √2 / √2.
7 √2 /√4.
7√2 /2.

Questão 45.
( frac <14> < sqrt <3>> )
Responder:

Explicação:
Na questão acima fornecida,
dado que,
( frac <8> < sqrt <2>> ) = 8 / √2.
8 / √2 = 8 / √2 x √2 / √2.
8 √2 /√4.
8√2 /2.

Questão 47.
( frac <12> < sqrt <3>> )
Responder:

9.2 Triângulos direitos especiais

Exploração 1

Razões laterais de um triângulo direito isósceles

uma. Use um software de geometria dinâmica para construir um triângulo retângulo isósceles com um comprimento de perna de 4 unidades.
Responder:

b. Encontre as medidas do ângulo agudo. Explique por que este triângulo é denominado triângulo de 45 ° e # 8211 45 ° e # 8211 90 °.
Responder:

c. Encontre as proporções exatas dos comprimentos laterais (usando raízes quadradas).
( frac
) = ____________
( frac
) = ____________
( frac
) = ____________
ATENDENDO À PRECISÃO
Para ser proficiente em matemática, você precisa expressar respostas numéricas com um grau de precisão apropriado para o contexto do problema.
Responder:

d. Repita as partes (a) e (c) para vários outros triângulos retângulos isósceles. Use seus resultados para escrever uma conjectura sobre as razões dos comprimentos laterais de um triângulo retângulo isósceles.
Responder:

Exploração 2

uma. Use o software de geometria dinâmica para construir um triângulo retângulo com medidas de ângulo agudo de 30 ° e 60 ° (um triângulo de 30 ° e # 8211 60 ° e # 8211 90 °), onde o comprimento mais curto da perna é de 3 unidades.

b. Encontre as proporções exatas dos comprimentos laterais (usando raízes quadradas).
( frac
) = ____________
( frac
) = ____________
( frac
) = ____________

Responder:

C. Repita as partes (a) e (b) para vários outros triângulos de 30 ° e # 8211 60 ° e # 8211 90 °. Use seus resultados para escrever uma conjectura sobre as proporções dos comprimentos laterais de um triângulo de 30 ° e # 8211 60 ° e # 8211 90 °.
Responder:

Questão 3.
Qual é a relação entre os comprimentos laterais dos triângulos de 45 ° - 45 ° e # 8211 90 °? 30 ° e # 8211 60 ° e # 8211 90 ° triângulos?
Responder:

Lição 9.2 Triângulos direitos especiais

Monitorando o Progresso

Encontre o valor da variável. Escreva sua resposta da forma mais simples.

Questão 1.

Explicação:
(2√2) ² = x² + x²
8 = 2x²
x² = 4
x = 4

Questão 2.

Explicação:
y² = 2 + 2
y² = 4
y = 2

Questão 3.

Explicação:
perna mais longa = perna mais curta • √3
x = √3 • √3
x = 3
hipotenusa = perna mais curta • 2
= √3 • 2 = 2√3

Questão 4

Explicação:
perna mais longa = perna mais curta • √3
h = 2√3

Questão 5.
O logotipo em uma lixeira se assemelha a um triângulo equilátero com comprimentos laterais de 6 centímetros. Aproxime a área do logotipo.

Questão 6.
A carroceria de um caminhão basculante é levantada para esvaziar uma carga de areia. Qual é a altura do corpo de 14 pés de comprimento da estrutura quando ele é inclinado para cima em um ângulo de 60 °?

Responder:
28/3 pés de altura é o corpo de 14 pés de comprimento do quadro quando é inclinado para cima em um ângulo de 60 °.

Explicação:
Altura do corpo a 90 graus = 14 pés
Altura do corpo a 1 grau = 14/90
Altura do corpo a 60 graus = 14 x 60/90
= 14 x 2/3
= 28/3 pés

Exercício 9.2 Triângulos direitos especiais

Verificação de vocabulário e conceito central

Questão 1.
VOCABULÁRIO
Cite dois triângulos retângulos especiais por suas medidas de ângulo.
Responder:

Questão 2.
ESCRITA
Explique por que os ângulos agudos em um triângulo retângulo isósceles sempre medem 45 °.

Responder:
Como os ângulos agudos de um triângulo isósceles reto devem ser congruentes com o teorema dos ângulos de base e complementares, suas medidas devem ser 90 ° / 2 = 45 °.

Monitorando o Progresso e Modelagem com Matemática

Nos exercícios 3 e # 8211 6, encontre o valor de x. Escreva sua resposta da forma mais simples.

Questão 3.

Responder:

Questão 4.

Explicação:
hipotenusa = perna • √2
x = 5√2 • √2
x = 10

Questão 5.

Responder:

Questão 6.

Explicação:
hipotenusa = perna • √2
9 = x • √2
x = ( frac <9> <√2> )

Nos Exercícios 7 e # 8211 10, encontre os valores de x e y. Escreva suas respostas da forma mais simples.

Questão 7.

Responder:

Questão 8.

Explicação:
hipotenusa = 2 • perna mais curta
y = 2 • 3
y = 6
perna mais longa = √3 • perna mais curta
3√3 = √3x
x = 3

Questão 9.

Responder:

Questão 10.

Explicação:
hipotenusa = 2 • perna mais curta
12√3 = 2y
y = 6√3
perna mais longa = √3 • perna mais curta
x = √3. 6√3
x = 18

ERRO DE ANÁLISE
Nos Exercícios 11 e 12, descreva e corrija o erro em encontrar o comprimento da hipotenusa.

Questão 11.

Responder:

Questão 12.

Responder:
hipotenusa = perna • √2 = √5. √2 = √10

Nos Exercícios 13 e 14. esboce a figura que é descrita. Encontre o comprimento indicado. Respostas decimais arredondadas para o décimo mais próximo.

Questão 13.
O comprimento do lado de um triângulo equilátero é de 5 centímetros. Encontre o comprimento de uma altitude.
Responder:

Questão 14.
O perímetro de um quadrado é de 36 polegadas. Encontre o comprimento de uma diagonal.

Responder:
O comprimento de uma diagonal é 9√2

Explicação:
Lado do quadrado = 36/4 = 9
diagonal quadrada = √2a = √2 (9) = 9√2

Nos Exercícios 15 e 16, encontre a área da figura. Respostas decimais arredondadas para o décimo mais próximo.

Questão 15.

Responder:

Questão 16.

Explicação:
perna mais longa = √3 • perna mais curta
4 = √3 • perna mais curta
perna mais curta = 4 / √3
h² = 16/3 + 16
h² = 16 (4/3)
h = 8√ (1/3)
Área do paralelogramo = 5 (8√ (1/3)) = 40√ (1/3) m²

Questão 17.
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Cada metade da ponte levadiça tem cerca de 284 pés de comprimento. Qual a altura da ponte levadiça quando x é 30 °? 45 °? 60 °?

Responder:

Questão 18.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
A porca tem a forma de um hexágono regular com comprimentos laterais de 1 centímetro. Encontre o valor de x. (Dica: um hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos congruentes.)

Responder:
Comprimento lateral = 1cm
Um hexágono regular tem seis lados iguais. Uma linha desenhada do centro a qualquer vértice terá o mesmo comprimento que qualquer lado.
Isso implica que o raio é igual ao comprimento do lado.
Como resultado, quando as linhas são traçadas do centro para cada um dos vértices, um
hexágono regular é dito ser feito de seis triângulos equiláteros.
A partir do diagrama, x = 2 × apothem
Apothem é a distância do centro de um polígono regular ao ponto médio de um lado.
Usando o teorema de Pitágoras, obteríamos o apótema
Hipotenusa² = oposto² + adjacente²
1² = apótema² + (½) ²
Apotema = √ (1² - (½) ²)
= √(1-¼) = √¾
Apothem = ½√3
x = 2 × Apothem = 2 × ½√3
x = √3

Questão 19.
PROVANDO UM TEOREMA
Escreva uma prova de parágrafo do Teorema do Triângulo 45 ° - 45 ° - 90 ° (Teorema 9.4).
Dado ∆DEF é um triângulo de 45 ° e # 8211 45 ° e # 8211 90 °.
Prove que a hipotenusa é √2 vezes mais longa que cada perna.

Responder:

Questão 20.
COMO VOCÊ VÊ ISSO?
O diagrama mostra parte da roda de Teodoro.

uma. Quais triângulos, se houver, são triângulos de 45 ° e # 8211 45 ° e # 8211 90 °?

b. Quais triângulos, se houver, são triângulos de 30 ° e # 8211 60 ° e # 8211 90 °?

Questão 21.
PROVANDO UM TEOREMA
Escreva uma prova de parágrafo do Teorema do Triângulo 30 ° & # 8211 60 ° e # 8211 90 ° (Teorema 9.5).
(Dica: construa ∆JML congruente com ∆JKL.)
Dado que ∆JKL é um triângulo de 30 ° 60 ° 9o °.
Prove que a hipotenusa é duas vezes mais longa que a perna mais curta, e a perna mais longa é 3 vezes mais longa que a perna mais curta.

Responder:

Questão 22.
PROVOCAÇÃO DE PENSAMENTO
Um triângulo retângulo especial é um triângulo retângulo que tem medidas de ângulos racionais e cada comprimento de lado contém no máximo uma raiz quadrada. Existem apenas três triângulos retângulos especiais. O diagrama abaixo é chamado de retângulo de Ailles. Identifique os lados e ângulos no diagrama. Descreva todos os três triângulos retângulos especiais.

Responder:

Questão 23.
ESCRITA
Descreva duas maneiras de mostrar que todos os triângulos retângulos isósceles são semelhantes entre si.
Responder:

Questão 24.
FAZENDO UM ARGUMENTO
Cada triângulo no diagrama é um triângulo de 45 ° e # 8211 45 ° e # 8211 90 °. No Estágio 0, as pernas do triângulo têm cada uma 1 unidade de comprimento. Seu irmão afirma que os comprimentos das pernas dos triângulos adicionados são reduzidos à metade em cada estágio. Portanto, o comprimento de uma perna de um triângulo adicionado no Estágio 8 será a unidade ( frac <1> <256> ). Seu irmão está correto? Explique seu raciocínio.

Responder:

Questão 25.
USANDO ESTRUTURA
ΔTUV é um triângulo de 30 ° e # 8211 60 ° e # 8211 90 °. onde dois vértices são U (3, & # 8211 1) e V (& # 8211 3, & # 8211 1), ( overline) é a hipotenusa. e o ponto T está no quadrante I. Encontre as coordenadas de T.
Responder:

Manter a proficiência matemática

ΔLMN

ΔQRS

Responder:

9.3 Triângulos direitos semelhantes

Exploração 1

uma. Use o software de geometria dinâmica para construir o ∆ABC correto, como mostrado. Desenhar ( overline) de modo que seja uma altitude do ângulo reto à hipotenusa de ∆ABC.

Responder:

c. Use a proporção que você escreveu na parte (b) para encontrar o CD.
Responder:

d. Generalize a proporção que você escreveu na parte (b). Em seguida, escreva uma conjectura sobre como a média geométrica está relacionada à altitude do ângulo reto à hipotenusa de um triângulo retângulo.
CONSTRUINDO ARGUMENTOS VIAVEIS
Para ser proficiente em matemática, você precisa entender e usar suposições, definições e resultados previamente estabelecidos na construção de argumentos.
Responder:

Exploração 2

Comparando meios geométricos e aritméticos

Trabalhe com um parceiro:
Use uma planilha para encontrar a média aritmética e a média geométrica de vários pares de números positivos. Compare os dois meios. O que você percebe?

Responder:

Questão 3.
Como as altitudes e as médias geométricas dos triângulos retângulos estão relacionadas?
Responder:

Lição 9.3 Triângulos retos semelhantes

Monitorando o progresso

Identifique os triângulos semelhantes.

Questão 1.

Questão 2.

Responder:
△ EFG

Questão 3.

Questão 4.

Responder:
△ JLM

Encontre a média geométrica dos dois números.

Responder:
x = √ (12 x 27)
x = √324 = 18

Responder:
x = √ (18 x 54) = √ (972)
x = 31,17

Responder:
x = √ (16 x 18) = √ (288)
x = 16.970

Questão 8.
Encontre o valor de x no triângulo à esquerda.

Questão 9.
E SE?
No Exemplo 5, a distância vertical do solo ao seu olho é de 5,5 pés e a distância de você à parede do ginásio é de 9 pés. Aproxime a altura da parede do ginásio.

Responder:
9² = 5,5 x w
81 = 5,5 x w
w = 14,72
A altura da parede = 14,72 + 5,5 = 20,22

Exercício 9.3 Triângulos direitos semelhantes

Verificação de vocabulário e conceito central

Questão 1.
COMPLETE A SENTENÇA
Se a altitude for desenhada para a hipotenusa de um triângulo retângulo, então os dois triângulos formados são semelhantes ao triângulo original e ____________.
Responder:

Questão 2.
ESCRITA
Em suas próprias palavras, explique a média geométrica.

Responder:
A média geométrica é o valor médio ou média que significa a tendência central de um conjunto de números ao encontrar o produto de seus valores.

Monitorando o progresso e modelagem com matemática

Nos Exercícios 3 e 4, identifique os triângulos semelhantes.

Questão 3.

Responder:

Questão 4.

Nos Exercícios 5 e # 8211 10, encontre o valor de x.

Questão 5.

Responder:

Questão 6.

Questão 7.

Responder:

Questão 8.

Questão 9.

Responder:

Questão 10.

Nos Exercícios 11 e # 8211 18, encontre a média geométrica dos dois números.

Questão 11.
8 e 32
Responder:

Questão 13.
14 e 20
Responder:

Questão 15.
16 e 25
Responder:

Questão 17.
17 e 36
Responder:

Responder:
x = √ (24 x 45)
x = 32,86

Nos Exercícios 19 e # 8211 26. encontre o valor da variável.

Questão 19.

Responder:

Questão 20.

Responder:
y = √ (5 x 8)
y = √40
y = 2√10

Questão 21.

Responder:

Questão 22.

Responder:
10 • 10 = 25 • x
100 = 25x
x = 4

Questão 23.

Responder:

Questão 24.

Responder:
b² = 16 (16 + 6)
b² = 16 (22) = 352
b = 18,76

Questão 25.

Responder:

Questão 26.

Responder:
x² = 8 (8 + 2)
x² = 8 (10) = 80
x = 8,9

ERRO DE ANÁLISE
Nos Exercícios 27 e 28, descreva e corrija o erro ao escrever uma equação para o diagrama fornecido.

Questão 27.

Responder:

Questão 28.

MODELAGEM COM MATEMÁTICA
Nos Exercícios 29 e 30, use o diagrama.

Questão 29.
Você deseja determinar a altura de um monumento em um parque local. Você usa um quadrado de papelão para alinhar as partes superior e inferior do monumento, conforme mostrado acima, à esquerda. Seu amigo mede a distância vertical do solo ao seu olho e a distância horizontal de você ao monumento. Aproxime a altura do monumento.
Responder:

Questão 30.
Seu colega de classe está parado do outro lado do monumento. Ela tem um pedaço de corda amarrado na base do monumento. Ela estende a corda até o quadrado de papelão que está segurando alinhado na parte superior e inferior do monumento. Use as informações no diagrama acima para aproximar a altura do monumento. Você obteve a mesma resposta do Exercício 29? Explique seu raciocínio.

CONEXÕES MATEMÁTICAS
Nos Exercícios 31 e # 8211 34. encontre o (s) valor (es) das variáveis.

Questão 31.

Responder:

Questão 32.

Responder:
( frac <6> ) = ( frac <8> <6> )
36 = 8 (b + 3)
36 = 8b + 24
8b = 12
b = ( frac <3> <2> )

Questão 33.

Responder:

Questão 34.

Responder:
x = 42,66, y = 40, z = 53

Explicação:
( frac <24> <32> ) = ( frac <32> )
0,75 = ( frac <32> )
x = 42,66
y = √24² + 32²
y = √576 + 1024 = 40
z = √42,66² + 32² = √ 1819,87 + 1024 = 53

Questão 35.
RACIOCÍNIO
Use o diagrama. Decida quais proporções são verdadeiras. Selecione tudo que se aplica.

(A) ( frac= frac)
(B) ( frac= frac)
(C) ( frac= frac)
(D) ( frac= frac)
Responder:

Questão 36.
ANALISANDO RELACIONAMENTOS
Você está projetando uma pipa em forma de diamante. Você sabe que AD = 44,8 centímetros, DC = 72 centímetros e AC = 84,8 centímetros. Deseja usar uma barra transversal reta ( overline). Sobre quanto tempo deve ser? Explique seu raciocínio.

Explicação:
AD = 44,8 cm, DC = 72 cm e AC = 84,8 cm
Dois pares disjuntos de lados consecutivos são congruentes.
Então, AD = AB = 44,8 cm
DC = BC = 72 cm
As diagonais são perpendiculares.
Então, AC ⊥ BD
AC = AO + OC
AX = x + y = 84,8 & # 8212 (i)
A perpendicular divide a diagonal BD em partes iguais, seja z.
BD = BO + OD
BD = z + z
Usando o teorema de Pitágoras
44,8² = x² + z² & # 8212- (ii)
72² = y² + z² & # 8212 & # 8211 (iii)
Subtraia (ii) e (iii)
72² & # 8211 44,8² = y² + z² & # 8211 x² & # 8211 z²
5184 e # 8211 2007,04 = (x + y) (x & # 8211 y)
3176,96 = (84,8) (x & # 8211 y)
37,464 = x & # 8211 y & # 8212- (iv)
Adicionar (i) e amp (iv)
x + y + x & # 8211 y = 84,8 + 37,464
2x = 122,264
x = 61,132
x + y = 84,8
61,132 + y = 84,8
y = 23,668
44,8² = x² + z²
z = 38,06
BD = z + z
BD = 76,12

Questão 37.
ANALISANDO RELACIONAMENTOS
Use os teoremas da média geométrica (Teoremas 9.7 e 9.8) para encontrar AC e BD.

Responder:

Questão 38.
COMO VOCÊ VÊ ISSO?
Em qual dos triângulos a seguir se aplica o Teorema da Média Geométrica (Altitude) (Teorema 9.7)?
(UMA)

(B)

(C)

(D)

Questão 39.
PROVANDO UM TEOREMA
Use o diagrama de ∆ABC. Copie e complete a prova do Teorema de Pitágoras (Teorema 9. 1).

Dado em ∆ABC, ∆BCA é um ângulo reto.
Prove c 2 = a 2 + b 2

Declarações Razões
1. Em ∆ABC, ∠BCA é um ângulo reto. 1. ________________________________
2. Desenhe um segmento perpendicular (altitude) de C a ( overline). 2. Postulado perpendicular (Postulado 3.2)
3. ce = a 2 e cf = b 2 3. ________________________________
4. ce + b 2 = ___ + b 2 4. Adição de Propriedade de Igualdade
5. ce + cf = a 2 + b 2 5. ________________________________
6. c (e + f) a 2 + b 2 6. ________________________________
7. e + f = ________ 7. Postulado de adição de segmento (Postulado 1.2)
8. c • c = a 2 + b 2 8. ________________________________
9. c 2 = a 2 + b 2 9. Simplifique.

Responder:

Questão 40.
FAZENDO UM ARGUMENTO
Seu amigo afirma que a média geométrica de 4 e 9 é 6. e então rotula o triângulo, conforme mostrado. Seu amigo está correto? Explique seu raciocínio.

Responder:
G.M = √ (4 x 9) = √36 = 6
Meu amigo está correto.

Nos Exercícios 41 e 42, use as declarações fornecidas para provar o teorema.

Gien ∆ABC é um triângulo retângulo.
Altitude ( overline) está inclinado a hipotenusar ( overline
).

Questão 41.
PROVANDO UM TEOREMA
Prove o Teorema da Média Geométrica (Altitude) (Teorema 9.7) b mostrando que CD 2 = AD • BD.
Responder:

Questão 42.
PROVANDO UM TEOREMA
Prove o Teorema da Média Geométrica (Leg) (Teorema 9.8) b mostrando que CB 2 = DB • AB e AC 2 = AD • AB.

Questão 43.
PENSAMENTO CRÍTICO
Desenhe um triângulo isósceles à direita e identifique os dois comprimentos de perna x. Em seguida, trace a altitude para a hipotenusa e identifique seu comprimento como y. Agora, use o Teorema da Similaridade do Triângulo Direito (Teorema 9.6) para desenhar os três triângulos semelhantes da imagem e rotular um comprimento lateral que seja igual a x ou y. O que você pode concluir sobre a relação entre os dois triângulos menores? Explique seu raciocínio.
Responder:

Questão 44.
PROVOCAÇÃO DE PENSAMENTO
A média aritmética e a média geométrica de dois números não negativos x e y são mostradas.
média aritmética = ( frac<2>)
média geométrica = ( sqrt)
Escreva uma desigualdade que relacione esses dois meios. Justifique sua resposta.

Questão 45.
PROVANDO UM TEOREMA
Prove o Teorema da Similaridade do Triângulo Direito (Teorema 9.6) provando três afirmações de similaridade.
Dado que ∆ABC é um triângulo retângulo.
Altitude ( overline) é desenhado para hvpotenuse ( overline
).
Prove ∆CBD

∆ACD
Responder:


Manter a proficiência matemática

Questão 47.
29 = ( frac<4>)
Responder:

Questão 49.
30 = ( frac <115>)
Responder:

Teste de 9,1 a 9,3

Encontre o valor de x. Diga se os comprimentos laterais formam um triplo pitagórico.

Questão 1.

Responder:
x = 15

Explicação:
x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
x = 15

Questão 2.

Explicação:
x² = 7² + 8² = 49 + 64
x = √113
x = 10,63

Questão 3.

Responder:
x = 4√3

Explicação:
8² = x² + 4²
64 = x² + 16
x² = 48
x = 4√3

Verifique se os comprimentos do segmento formam um triângulo. O triângulo é agudo, direito ou obtuso?
(Seção 9.1)
Questão 4.
24, 32 e 40

Responder:
Triângulo é um triângulo triplo em ângulo reto.

Explicação:
40² = 1600
24² + 32² = 576 + 1024 = 1600
40² = 24² + 32²
Então, o triângulo é um trinagle em ângulo reto.

Responder:
O triângulo é um trinagle obtuso.

Explicação:
13² = 169
7² + 9² = 49 + 81 = 130
13² & gt 7² + 9²
Portanto, o triângulo é um trinagle obtuso.

Responder:
Triângulo é um trinagle agudo.

Explicação:
15² = 225
12² + (10√3)² = 144 + 300 = 444
15² & lt 12² + (10√3) ²
Então, o triângulo é um trinagle agudo.

Encontre os valores de x e y. Escreva suas respostas da forma mais simples.

Questão 7.

Explicação:
x = 6
hipotenusa = perna • √2
y = 6√2

Questão 8.

Explicação:
perna mais longa = perna mais curta • √3
y = 8√3
x² = 8² + (8√3) ² = 64 + 192
x = 16

Questão 9.

Explicação:
perna mais longa = perna mais curta • √3
y = x√3
y = 5√6
hipotenusa = perna mais curta • 2
10√2 = 2x
x = 5√2

Encontre a média geométrica dos dois números.
Questão 10.
6 e 12

Identifique os triângulos retângulos semelhantes. Em seguida, encontre o valor da variável.

Questão 13.

Questão 14.

Questão 15.

Questão 16.
Os tamanhos das televisões são medidos pelo comprimento de sua diagonal. Você deseja comprar uma televisão de pelo menos 40 polegadas. Você deve comprar a televisão exibida? Explique seu raciocínio.

Responder:
x² = 20,25² + 36²
x² = 410,0625 + 1296 = 1706,0625
x = 41,30
Sim, vou comprar a televisão.

Questão 17.
Cada triângulo mostrado abaixo é um triângulo retângulo.

uma. Algum dos triângulos são triângulos retângulos especiais? Explique seu raciocínio.
Responder:
A é um triângulo semelhante.

b. Liste todos os triângulos semelhantes. caso existam.
Responder:
B, C e D, E são triângulos semelhantes.

c. Encontre os comprimentos das altitudes dos triângulos B e C.
Responder:
Altitude B = √ (9 + 27) = 6
Altitude C = √ (36 + 72) = 6√3

9.4 A Razão Tangente

Exploração 1

Calculando uma razão de tangente

uma. Construa ∆ABC, conforme mostrado. Construir segmentos perpendiculares a ( overline) para formar triângulos retângulos que compartilham o vértice A e são semelhantes a ∆ABC com vértices, como mostrado.

Responder:

b. Calcule cada proporção dada para completar a tabela para o valor decimal de tan A para cada triângulo retângulo. O que você pode concluir?

Responder:

Exploração 2

Trabalhe com um parceiro: Use uma calculadora que tenha uma tecla de tangente para calcular a tangente de 36,87 °. Você obtém o mesmo resultado da Exploração 1? Explique.
ATENDENDO À PRECISÃO
Para ser proficiente em matemática, você precisa expressar respostas numéricas com um grau de precisão apropriado para o contexto do problema.
Responder:

Questão 3.
Repita a Exploração 1 para ∆ABC com os vértices A (0, 0), B (8, 5) e C (8, 0). Construa os sete segmentos perpendiculares de forma que nem todos se cruzem ( overline
) em valores inteiros de x. Discuta seus resultados.
Responder:

Questão 4.
Como um triângulo retângulo é usado para encontrar a tangente de um ângulo agudo? Existe um triângulo retângulo exclusivo que deve ser usado?
Responder:

Lição 9.4 A relação tangente

Monitorando o progresso

Encontre tan J e tan K. Escreva cada resposta como uma fração e como um decimal arredondado para quatro casas.

Questão 1.

Questão 2.

Encontre o valor de x. Arredonde sua resposta para o décimo mais próximo.

Questão 3.

Responder:
Tan 61 = ( frac <22> )
1,804 = ( frac <22> )
x = 12,1951

Questão 4.

Responder:
tan 56 = ( frac <13> )
1,482 = ( frac <13> )
x = 19,266

Questão 5.
E SE?
No Exemplo 3, o comprimento da perna mais curta é 5 em vez de 1. Mostre que a tangente de 60 ° ainda é igual a √3.

Responder:
perna mais longa = perna mais curta • √3
= 5√3
tan 60 = ( frac <5√3> <5> )
= √3

Questão 6.
Você está medindo a altura de um poste de luz. Você está a 40 polegadas da base do poste. Você mede o ângulo de elevação do solo até o topo do poste em 70 °. Encontre a altura h do poste com a aproximação de uma polegada.

Responder:
tan 70 = ( frac <40> )
2,7474 = ( frac <40> )
h = 109,896 pol.

Exercício 9.4 A Razão Tangente

Verificação de vocabulário e conceito central

Questão 1.
COMPLETE A SENTENÇA
A proporção da tangente compara o comprimento de _________ com o comprimento de ___________.
Responder:

Questão 2.
ESCRITA
Explique como você sabe que a razão da tangente é constante para uma determinada medida de ângulo.

Responder:
Quando dois triângulos são semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais, o que torna a razão constante para uma dada medição de ângulo agudo.

Monitorando o Progresso e Modelagem com Matemática

Nos Exercícios 3 e # 8211 6, encontre as tangentes dos ângulos agudos no triângulo retângulo. Escreva cada resposta como uma fração e como um decimal arredondado para quatro casas decimais.

Questão 3.

Responder:

Questão 4.

Questão 5.

Responder:

Questão 6.

Nos Exercícios 7 e # 8211 10, encontre o valor de x. Arredonde sua resposta para o décimo mais próximo.

Questão 7.

Responder:

Questão 8.

Responder:
tan 27 = ( frac <15> )
0,509 = ( frac <15> )
x = 7,635

Questão 9.

Responder:

Questão 10.

Responder:
tan 37 = ( frac <6> )
0,753 = ( frac <6> )
x = 7,968

ERRO DE ANÁLISE
Nos Exercícios 11 e 12, descreva o erro na declaração da razão da tangente. Corrija o erro se possível. Caso contrário, não é possível escrever.

Questão 11.

Responder:

Questão 12.

Nos Exercícios 13 e 14, use um triângulo retângulo especial para encontrar a tangente da medida de ângulo fornecida.

Questão 13.
45°
Responder:

Questão 15.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
Um topógrafo está a 118 pés da base do Monumento a Washington. O topógrafo mede o ângulo de elevação do solo ao topo do monumento em 78 °. Encontre a altura h do Monumento a Washington até o pé mais próximo.

Responder:

Questão 16.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
Os cientistas podem medir a profundidade das crateras na lua h olhando fotos de sombras. O comprimento da sombra projetada pela borda de uma cratera é de 500 metros. O ângulo de elevação dos raios do Sol é de 55 °. Estime a profundidade d da cratera.

Responder:
tan 55 = ( frac <500> )
1,428 = ( frac <500> )
d = 714 m
A profundidade da cratera é de 714 m

Questão 17.
USANDO ESTRUTURA
Encontre a tangente do ângulo agudo menor em um triângulo retângulo com comprimentos laterais 5, 12 e 13.
Responder:

Questão 18.
USANDO ESTRUTURA
Encontre a tangente 0f o maior ângulo agudo em um triângulo retângulo com comprimentos laterais 3, 4 e 5.

Questão 19.
RACIOCÍNIO
Como a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo muda conforme a medida do ângulo aumenta? Justifique sua resposta.
Responder:

Questão 20.
PENSAMENTO CRÍTICO
Para que medida (s) de ângulo, a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é igual a 1? maior que 1? Menos de 1? Justifique sua resposta.

Responder:
Para que a tangente de um ângulo seja igual a 1, os lados opostos e adjacentes de um triângulo retângulo devem ser iguais. Isso significa que o triângulo retângulo é um triângulo retângulo isósceles, então os ângulos são 45 & # 8211 45 & # 8211 90. O ângulo agudo deve ser 1. Para que a tangente seja maior que 1, o lado oposto deve ser maior que o lado adjacente. Isso significa que o ângulo deve estar entre 45 e 90 graus. Se a tangente for menor que 1, isso significa que o lado oposto deve ser menor que o lado adjacente. O ângulo agudo deve estar entre 0 e 45.

Questão 21.
FAZENDO UM ARGUMENTO
Seu quarto familiar tem uma porta de vidro deslizante. Você quer comprar um toldo para a porta que seja longo o suficiente para manter o Sol do lado de fora quando ele estiver em seu ponto mais alto no céu. O ângulo de elevação dos raios do Sol nesses pontos é de 70 ° e a altura da porta é de 2,5 metros. Sua irmã afirma que você pode determinar até que ponto a saliência deve se estender multiplicando 8 por tan 70 °. Sua irmã está certa? Explique.

Responder:

Questão 22.
COMO VOCÊ VÊ ISSO?
Escreva expressões para a tangente de cada ângulo agudo no triângulo retângulo. Explique como a tangente de um ângulo agudo está relacionada à tangente do outro ângulo agudo. Que tipo de par de ângulos é ∠A e ∠B?

Questão 23.
RACIOCÍNIO
Explique por que não é possível encontrar a tangente de um ângulo reto ou um ângulo obtuso.
Responder:

Questão 24.
PROVOCAÇÃO DE PENSAMENTO
Para criar o diagrama abaixo. você começa com um triângulo retângulo isósceles com pernas de 1 unidade de comprimento. Então, a hipotenusa do primeiro triângulo torna-se a perna de um segundo triângulo, cuja perna restante tem 1 unidade de comprimento. Continue o diagrama até que você tenha construído um ângulo cuja tangente é ( frac <1> < sqrt <6>> ). Aproxime a medida deste ângulo.

Questão 25.
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Sua classe está tirando uma foto da turma no gramado. O fotógrafo está posicionado a 14 pés de distância do centro da classe. O fotógrafo gira 50 ° para olhar para cada extremidade da classe.

uma. Qual é a distância entre as extremidades da aula?
b. O fotógrafo vira mais 10 ° em qualquer direção para ver o fim do alcance da câmera. Se cada aluno precisar de 2 pés de espaço. sobre quantos alunos mais podem caber no final de cada linha? Explique.
Responder:

Questão 26.
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Encontre o perímetro da figura. onde AC = 26, AD = BF e D é o ponto médio de ( overline
).

Manter a proficiência matemática

Questão 27.

Responder:

Questão 28.

Responder:
lado mais longo = lado mais curto • √3
7 = x√3
x = ( frac <7> <√3> )
x = 4,04

Questão 29.

Responder:

9.5 As razões de seno e cosseno

Exploração 1

Trabalhe com um parceiro: Use um software de geometria dinâmica.

uma. Construa ∆ABC, conforme mostrado. Construir segmentos perpendiculares a ( overline) para formar triângulos retângulos que compartilham o vértice A árido são semelhantes a ∆ABC com vértices, como mostrado.

Responder:

b. Calcule cada razão dada para completar a tabela para os valores decimais de sen A e cos A para cada triângulo retângulo. O que você pode concluir?

Responder:

Questão 2.
Como um triângulo retângulo é usado para encontrar o seno e o cosseno de um ângulo agudo? Existe um triângulo retângulo exclusivo que deve ser usado?
Responder:

Questão 3.
Na Exploração 1, qual é a relação entre ∠A e ∠B em termos de suas medidas '? Encontre sen B e cos B. Como esses dois valores estão relacionados a sen A e cos A? Explique por que esses relacionamentos existem.
À PROCURA DE ESTRUTURA
Para ser proficiente em matemática, você precisa olhar atentamente para discernir um padrão ou estrutura.
Responder:

Lição 9.5 As relações de seno e cosseno

Monitorando o Progresso

Questão 1.
Encontre sen D, sen F, cos D e cos F. Escreva cada resposta como uma fração e como um decimal arredondado para quatro casas.

Responder:
sin D = ( frac <7> <25> )
sin F = ( frac <24> <25> )
cos D = ( frac <24> <25> )
cos F = ( frac <7> <25> )

Questão 2.
Escreva cos 23 ° em termos de seno.

Responder:
cos X = sin (90 & # 8211 X)
cos 23 ° = sin (90 & # 8211 23)
= sin (67)
Então, cos 23 ° = sen 67 °

Questão 3.
Encontre os valores de u e t usando seno e cosseno. Arredonde suas respostas para o décimo mais próximo.

Responder:
t = 7,2, u = 3,3

Explicação:
sin 65 = ( frac <8> )
0,906 = ( frac <8> )
t = 7,2
cos 65 = ( frac <8> )
0,422 x 8 = u
u = 3,3

Questão 4.
Encontre o seno e o cosseno de um ângulo de 60 °.

Responder:

sin 60 ° = ( frac <√3> <2> )
cos 60 ° = ( frac <1> <2> )

Questão 5.
E SE?
No Exemplo 6, o ângulo de depressão é de 28 °. Encontre a distância x que você esquiou montanha abaixo até o pé mais próximo.

Exercício 9.5 As razões de seno e cosseno

Verificação de vocabulário e conceito central

Questão 1.
VOCABULÁRIO
O seno raio compara o comprimento de ______________ ao comprimento de _____________
Responder:

Questão 2.
QUAL NÃO PERTENCE?
Qual proporção não pertence às outras três? Explique seu raciocínio.

pecado B

Monitorando o Progresso e Modelagem com Matemática

Nos Exercícios 3 e # 8211 8, encontre sin D, sin E, cos D e cos E. Escreva cada resposta como uma Fração e como um decimal arredondado para quatro casas.

Questão 3.

Responder:

Questão 4.

Questão 5.

Responder:

Questão 6.

Questão 7.

Responder:

Questão 8.

Responder:
sin D = ( frac <8> <17> )
sin E = ( frac <15> <17> )
cos D = ( frac <15> <17> )
cos E = ( frac <8> <17> )

Nos Exercícios 9 e # 8211 12. escreva a expressão em termos de cosseno.

Questão 9.
pecado 37 °
Responder:

Responder:
sen 81 ° = cos (90 ° & # 8211 81 °) = cos9 °

Questão 11.
pecado 29 °
Responder:

Responder:
sen 64 ° = cos (90 ° & # 8211 64 °) = cos 26 °

No Exercício 13 & # 8211 16, escreva a expressão em termos de seno.

Questão 13.
cos 59 °
Responder:

Responder:
cos 42 ° = sin (90 ° e # 8211 42 °) = sin 48 °

Questão 15.
cos 73 °
Responder:

Responder:
cos 18 ° = sin (90 ° e # 8211 18 °) = sin 72 °

Nos Exercícios 17 e # 8211 22, encontre o valor de cada variável usando seno e cosseno. Arredonde suas respostas para o décimo mais próximo.

Questão 17.

Responder:

Questão 18.

Explicação:
sin 64 ° = ( frac

<34> )
p = 0,898 x 34
p = 30,5
cos 64 ° = ( frac <34> )
q = 0,4383 x 34
q = 14,8

Questão 19.

Responder:

Questão 20.

Explicação:
sin 43 ° = ( frac <26> )
s = 0,681 x 26
s = 17,7
cos 43 ° = ( frac <26> )
r = 0,731 x 26
r = 19

Questão 21.

Responder:

Questão 22.

Explicação:
sin 50 ° = ( frac <8> )
0,766 = ( frac <8> )
n = 10,44
cos 50 ° = ( frac )
0,642 = ( frac <10,44> )
m = 6,7

Questão 23.
RACIOCÍNIO
Quais proporções são iguais? Selecione tudo que se aplica.

pecado X

cos Z
Responder:

Questão 24.
RACIOCÍNIO
Quais razões são iguais a ( frac <1> <2> ) Selecionar tudo

pecado L

Questão 25.
ERRO DE ANÁLISE
Descreva e corrija o erro em encontrar o pecado A.

Responder:

Questão 26.
ESCRITA
Explique como saber qual lado de um triângulo retângulo está adjacente a um ângulo e qual lado é a hipotenusa.
Responder:

Questão 27.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
O topo do escorregador está a 12 pés do solo e tem um ângulo de depressão de 53 °. Qual é o comprimento do slide?

Responder:

Questão 28.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
Encontre a distância horizontal x as tampas da escada rolante.

Responder:
cos 41 = ( frac <26> )
0,754 = ( frac <26> )
x = 19,6 pés

Questão 29.
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Você está empinando uma pipa com 6 metros de corda estendida. O ângulo de elevação do carretel de barbante até a pipa é de 67 °.
uma. Desenhe e identifique um diagrama que represente a situação.
b. A que distância do solo está a pipa se você segurar o carretel a 5 pés do solo? Descreva como a altura em que você segura o carretel afeta a altura da pipa.
Responder:

Questão 30.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
Os aviões que voam em altas velocidades e baixas elevações têm radares de popa que podem determinar o alcance de um obstáculo e o ângulo de elevação até o topo do obstáculo. O radar de um avião voando a uma altitude de 20.000 pés detecta uma torre que está a 25.000 pés de distância. com um ângulo de elevação de 1 °

uma. Quantos pés o avião deve subir para passar pela torre?

Responder:
sin 1 = ( frac <25000> )
0,017 = ( frac <25000> )
h = 425 pés
425 pés de altura do avião para passar sobre a torre

b. Os PIanes Caillot chegam a mais de 300 metros verticalmente de qualquer objeto. A que altitude o avião deve voar para passar por cima da torre?

Questão 31.
FAZENDO UM ARGUMENTO
Seu amigo usa a equação sen 49 ° = ( frac<16> ) para encontrar BC. Seu primo usa a equação cos 41 ° = ( frac<16> ) para encontrar BC. Quem está certo? Explique seu raciocínio.

Responder:

Questão 32.
ESCRITA
Descreva o que você deve saber sobre um triângulo para usar a proporção do seno e o que você deve saber sobre um triângulo para usar a proporção do cosseno

Questão 33.
CONEXÕES MATEMÁTICAS
Se ∆EQU é equilátero e ∆RGT é um triângulo retângulo com RG = 2, RT = 1. e m ∠ T = 90 °, mostre que sin E = cos G.
Responder:

Questão 34.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
Os submarinos usam sistemas de sonar, que são semelhantes aos sistemas de radar, para detectar obstáculos, os sistemas de sonar usam o som para detectar objetos debaixo d'água.

uma. Você está viajando debaixo d'água em um submarino. O sistema de sonar detecta um iceberg de 4.000 metros por cabeça, com um ângulo de depressão de 34 ° em relação ao fundo do iceberg. Quantos metros o submarino deve abaixar para passar sob o iceberg?

Responder:
tan 34 = ( frac <4000> )
.674 = ( frac <4000> )
x = 2696

b. O sistema de sonar então detecta um navio afundado 1500 metros à frente. com um ângulo de elevação de 19 ° para a parte mais alta do navio naufragado. Quantos metros o submarino deve subir para passar por cima do navio afundado?

Responder:
tan 19 = ( frac <1500> )
0,344 = ( frac <1500> )
x = 516 m

Questão 35.
RACIOCÍNIO ABSTRATO
Faça uma conjectura sobre como você poderia usar as proporções trigonométricas para encontrar as medidas dos ângulos em um triângulo.
Responder:

Questão 36.
COMO VOCÊ VÊ ISSO?
Usando apenas as informações fornecidas, você usaria uma razão seno ou uma razão cosseno para encontrar o comprimento da hipotenusa? Explique seu raciocínio.

Responder:
sin 29 = ( frac <9> )
0,48 = ( frac <9> )
x = 18,75
O comprimento da hipotenusa é 18,75

Questão 37.
MÚLTIPLAS REPRESENTAÇÕES
Você está em um penhasco acima do oceano. Você vê um veleiro de seu ponto de vista 30 pés acima do oceano.

uma. Desenhe e identifique um diagrama da situação.
b. Faça uma tabela mostrando o ângulo de depressão e o comprimento de sua linha de visão. Use os ângulos de 40 °, 50 °, 60 °, 70 ° e 80 °.
c. Represente graficamente os valores encontrados na parte (b), com as medidas dos ângulos no eixo x.
d. Preveja o comprimento da linha de visão quando o ângulo de depressão for 30 °.
Responder:


Questão 38.
PROVOCAÇÃO DE PENSAMENTO
Uma das seguintes séries infinitas representa sen xe a outra representa cos x (onde x é medido em radianos). Qual e qual? Justifique sua resposta. Em seguida, use cada série para aproximar o seno e cosseno de ( frac < pi> <6> ).
(Dicas: π = 180 ° 5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 Encontre os valores que as relações seno e cosseno se aproximam quando a medida do ângulo se aproxima de zero).
uma.

b.

Questão 39.
PENSAMENTO CRÍTICO
Seja A qualquer ângulo agudo de um triângulo retângulo. Mostra isso
(a) tan A = ( frac < sin A> < cos A> ) e
(b) (sin A) 2 + (cos A) 2 = 1.
Responder:

Questão 40.
PENSAMENTO CRÍTICO
Explique por que a área ∆ ABC no diagrama pode ser encontrada usando a fórmula Area = ( frac <1> <2> ) ab sin C. Em seguida, calcule a área quando a = 4, b = 7 e m∠C = 40 °:

Responder:
Area = ( frac <1> <2> ) ab sin C
= ( frac <1> <2> ) (4 x 7) sen 40 °
= 14 x 0,642
= 8.988

Manter a proficiência matemática

Encontre o valor de x. Diga se os comprimentos laterais formam um triplo pitagórico.

Questão 41.

Responder:

Questão 42.

Responder:
x = 12√2

Explicação:
c² = a² + b²
x² = 12² + 12²
x² = 144 + 144
x² = 288
x = 12√2

Questão 43.

Responder:

Questão 44.

Explicação:
c² = a² + b²
9² = x² + 3²
81 = x² + 9
x² = 81 & # 8211 9
x = 6√2

9.6 Resolvendo Triângulos Retos

Exploração 1

Resolvendo Triângulos Direito Especiais

Trabalhe com um parceiro. Use as figuras para encontrar os valores do seno e cosseno de ∠A e ∠B. Use esses valores para encontrar as medidas de ∠A e ∠B. Use um software de geometria dinâmica para verificar suas respostas.
uma.

Responder:

b.

Responder:

Exploração 2

Trabalhe com um parceiro: você pode usar uma calculadora para encontrar a medida de um ângulo quando souber o valor do seno, cosseno ou tangente da regra. Use os recursos de seno inverso, cosseno inverso e 0r tangente inversa de sua calculadora para aproximar as medidas de ∠A e ∠B para o décimo de grau mais próximo. Em seguida, use um software de geometria dinâmica para verificar suas respostas.
ATENDENDO À PRECISÃO
Para ser proficiente em matemática, você precisa calcular com precisão e eficiência, expressando respostas numéricas com um grau de precisão apropriado para o contexto do problema.
uma.

Responder:

b.

Responder:

Questão 3.
Quando você conhece os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, como pode encontrar as medidas dos dois ângulos agudos?
Responder:

Questão 4.
Uma escada encostada a um edifício forma um triângulo retângulo com o edifício e o solo. As pernas do triângulo retângulo (em metros) formam um triplo pitagórico 5-12-13. Encontre as medidas dos dois ângulos agudos arredondados para o décimo de grau mais próximo.
Responder:

Lição 9.6 Resolvendo Triângulos Retos

Determine qual dos dois ângulos agudos tem a razão trigonométrica fornecida.

Questão 1.
O seno do ângulo é ( frac <12> <13> ).

Questão 2.
A tangente do ângulo é ( frac <5> <12> )

Sejam ∠G, ∠H e ∠K ângulos agudos. Use uma calculadora para aproximar as medidas de ∠G, ∠H e ∠K para o décimo de grau mais próximo.

Responder:
∠G = tan inverso de 0,43 = 23,3 °

Responder:
∠H = pecado inverso de 0,68 = 42,8 °

Responder:
∠K = cos inverso de 0,94 = 19,9 °

Resolva o triângulo retângulo. Respostas decimais arredondadas para o décimo mais próximo.

Questão 6.

Responder:
DE = 29, ∠D = 46,05 °, ∠E = 42,84 °

Explicação:
c² = a² + b²
x² = 20² + 21²
x² = 400 + 441
x² = 841
x = 29
sin D = ( frac <21> <29> )
∠D = 46,05
sin E = ( frac <20> <29> )
∠E = 42,84

Questão 7.

Responder:
GJ = 60, ∠G = 56,09 °, ∠H = 33,3 °

Explicação:
c² = a² + b²
109² = 91² + x²
x² = 11881 & # 8211 8281
x² = 3600
x = 60
sin G = ( frac <91> <109> )
∠G = 56,09
sin H = ( frac <60> <109> )
∠H = 33,3

Questão 8.
Resolva o triângulo retângulo. Respostas decimais arredondadas para o décimo mais próximo.

Responder:
XY = 13,82, YZ = 6,69, ∠Y = 37,5

Explicação:
cos 52 = ( frac <8,5> )
0,615 = ( frac <8,5> )
XY = 13,82
sin 52 = ( frac )
0,788 = ( frac <8.5> )
YZ = 6,69
sin Y = ( frac <8,5> <13,82> )
∠Y = 37,5

Questão 9.
E SE?
No Exemplo 5, suponha que outro estágio inclinado tenha 6 metros de comprimento da frente para trás com uma elevação total de 2 pés. O estágio de rake está dentro da faixa desejada?

Responder:
x = seno inverso de ( frac <2> <20> )
x = 5,7 °

Exercício 9.6 Resolvendo triângulos retos

Questão 1.
COMPLETE A SENTENÇA
Resolver um triângulo retângulo significa encontrar as medidas de todos os seus ________ e _______.
Responder:

Questão 2.
ESCRITA
Explique quando você pode usar uma razão trigonométrica para encontrar o comprimento do lado de um triângulo retângulo e quando você pode usar o Teorema de Pitágoras (Teorema 9.1).
Responder:

Monitorando o Progresso e Modelagem com Matemática

Nos Exercícios 3 e # 8211 6. determine qual dos dois ângulos agudos tem a razão trigonométrica dada.

Questão 3.
O cosseno do ângulo é ( frac <4> <5> )

Responder:

Questão 4.
O seno do ângulo é ( frac <5> <11> )

Responder:
Sin (ângulo) = ( frac )
sin A = ( frac <5> <11> )
O ângulo agudo que tem um seno do ângulo é ( frac <5> <11> ) é ∠A.

Questão 5.
O seno do ângulo é 0,95.

Responder:

Questão 6.
A tangente do ângulo é 1,5.

Responder:
tan (ângulo) = ( frac )
1.5 = ( frac <18> <12> )
tan C = 1,5
O ângulo agudo que tem uma tangente do ângulo é 1,5 ∠C.

Nos Exercícios 7 e # 8211 12, seja ∠D um ângulo agudo. Use uma calculadora para aproximar a medida de ∠D ao décimo de grau mais próximo.

Questão 7.
sin D = 0,75
Responder:

Responder:
sin D = 0,19
∠D = seno inverso de 0,19
∠D = 10,9 °

Questão 9.
cos D = 0,33
Responder:

Responder:
cos D = 0,64
∠D = cos inverso de 0,64
∠D = 50,2 °

Questão 11.
tan D = 0,28
Responder:

Responder:
tan D = 0,72
∠D = tan inverso de 0,72
∠D = 35,8 °

Nos Exercícios 13 e # 8211 18. resolva o triângulo retângulo. Respostas decimais arredondadas para o décimo mais próximo.

Questão 13.

Responder:

Questão 14.

Responder:
ED = 2√65, ∠E = 59,3, ∠D = 29,7

Explicação:
c² = 8² + 14²
x² = 64 + 196
x² = 260
x = 2√65
sin E = ( frac <14> <2√65> )
∠E = 59,3
sin D = ( frac <8> <2√65> )
∠D = 29,7

Questão 15.

Responder:

Questão 16.

Responder:
HJ = 2√15, ∠G = 28,9, ∠J = 61

Explicação:
c² = a² + b²
16² = 14² + x²
x² = 256 & # 8211 196
x² = 60
x = 2√15
sin G = ( frac <2√15> <16> )
∠G = 28,9
sin J = ( frac <14> <16> )
∠J = 61

Questão 17.

Responder:

Questão 18.

Responder:
RT = 17,8, RS = 9,68, ∠T = 32,8

Explicação:
sin 57 = ( frac <15> )
0,838 = ( frac <15> )
x = 17.899
RT = 17,8
cos 57 = ( frac <17,8> )
0,544 = ( frac <17,8> )
x = 9,68
RS = 9,68
sin T = ( frac <9,68> <17,8> )
∠T = 32,8

Questão 19.
ERRO DE ANÁLISE
Descreva e corrija o erro ao usar uma razão trigonométrica inversa.

Responder:

Questão 20.
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Para descarregar argila facilmente. a carroceria de um caminhão basculante deve ser elevada a pelo menos 45 ° A carroceria de um caminhão basculante com 14 pés de comprimento foi elevada a 8 pés. A argila se espalhará facilmente? Explique seu raciocínio.

Responder:
Ângulo de elevação: sin x = ( frac <8> <14> )
x = seno inverso de ( frac <8> <14> ) = 34,9
A argila não vai derramar facilmente.

Questão 21.
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Você está em uma passarela de 3,5 metros acima de um lago. Você olha para baixo e vê um pato na água. O pato está a 2,1 metros da passarela. Qual é o ângulo de elevação do pato para você

Responder:

Questão 22.
COMO VOCÊ VÊ ISSO?
Escreva três expressões que podem ser usadas para aproximar a medida de ∠A. Qual expressão você escolheria? Explique sua escolha.

Responder:
Três expressões são ∠A = tan inverso de ( ( frac <15> <22> )) = 34,2 °
∠A = seno inverso de ( ( frac <15> ))
∠A = cos inverso de ( ( frac <22> ))

Questão 23.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
Os Padrões Federais Uniformes de Acessibilidade especificam que a rampa de uma cadeira de rodas não pode ter uma inclinação superior a 4,76. Você deseja construir uma rampa com uma elevação vertical de 8 polegadas. você deseja minimizar a distância horizontal ocupada pela rampa. Desenhe um diagrama mostrando as dimensões aproximadas de sua rampa.
Responder:

Questão 24.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
A parte horizontal de um degrau é chamada de banda de rodagem. A parte vertical é chamada de riser. A relação de riser & # 8211 a & # 8211 recomendada é de 7 polegadas: 11 polegadas.

uma. Encontre o valor de x para escadas construídas usando a proporção recomendada de espelho para degrau.

b. você deseja construir escadas menos íngremes do que as escadas da parte (a). Dê um exemplo de relação de piso do riser & # 8211 para & # 8211 que você poderia usar. Encontre o valor de x para suas escadas.
Responder:

Questão 25.
USANDO FERRAMENTAS
Encontre a medida de ∠R sem usar um transferidor. Justifique sua técnica.

Responder:

Questão 26.
FAZENDO UM ARGUMENTO
Seu amigo afirma que tan -1 x = ( frac <1> < tan x> ). Seu amigo está correto? Explique seu raciocínio.

Responder:
Não
Por exemplo
tan -1 (√3) = 60
( frac <1> < tan √3> ) = 33,1

USANDO ESTRUTURA
Nos Exercícios 27 e 28, resolva cada triângulo.

Questão 27.
∆JKM e ∆LKM

Responder:

Questão 28.
∆TUS e ∆VTW

Responder:
TS = 8,2, UT = 7,3, ∠T = 28,6
TV = 13,2, TW = 9,6, ∠V = 46, ∠T = 42,84

Explicação:
tan 64 = ( frac <4> )
TS = 2,05 x 4
TS = 8,2
sin 64 = ( frac <8.2> )
0,898 = ( frac <8,2> )
UT = 7,3
sin T = ( frac <4> <8.2> )
∠T = 28,6
TV = TS + SV
TV = 8,2 + 5 = 13,2
13,2² = TW² + 9²
TW² = 174,24 & # 8211 81
TW = 9,6
sin V = ( frac <9,6> <13,2> )
∠V = 46
sin T = ( frac <9> <13.2> )
∠T = 42,84

Questão 29.
CONEXÕES MATEMÁTICAS
Escreva uma expressão que possa ser usada para encontrar a medida do ângulo agudo formado por cada linha e o eixo x. Em seguida, aproxime a medida do ângulo com o décimo de grau mais próximo.
uma. y = 3x
b. y = ( frac <4> <3> ) x + 4
Responder:

Questão 30.
PROVOCAÇÃO DE PENSAMENTO
Simplifique cada expressão. Justifique sua resposta.
uma. sin -1 (sin x)

Questão 31.
RACIOCÍNIO
Explique por que a expressão sin -1 (1,2) não faz sentido.
Responder:

Questão 32.
USANDO ESTRUTURA
O perímetro do retângulo ABCD é de 16 centímetros. e a proporção de sua largura para seu comprimento é 1: 3. O segmento BD divide o retângulo em dois triângulos congruentes. Encontre os comprimentos laterais e as medidas dos ângulos desses dois triângulos.

Responder:
O perímetro do retângulo ABCD é de 16 centímetros
2 (l + b) = 16
l + b = 8
b: l = 1: 3
4x = 8
x = 2
l = 6, b = 2
BD = √ (6² + 2²) = √40 = 2√10
sin B = ( frac ) = ( frac <2> <2√10> )
∠ABD = 18,4
∠CBD = 71,6
sin D = ( frac ) = ( frac <6> <2√10> )
∠ADB = 71
∠CDB = 19

Manter a proficiência matemática

Questão 33.
( frac <12>= frac <3> <2> )
Responder:

Questão 35.
( frac<2.1> = frac <4.1> <3.5> )
Responder:

9.7 Lei de Sines e Lei dos Cossenos

Exploração 1

À Descoberta da Lei de Sines

uma. Copie e preencha a tabela para o triângulo mostrado. O que você pode concluir?


Responder:

b. Use o software de geometria dinâmica para desenhar dois outros triângulos. Copie e complete a tabela do item (a) para cada triângulo. Use seus resultados para escrever uma conjectura sobre a relação entre os senos dos ângulos e os comprimentos dos lados de um triângulo.
USANDO FERRAMENTAS DE FORMA ESTRATEGICA
Para ser proficiente em matemática, você precisa usar a tecnologia para comparar previsões com dados.
Responder:

Exploração 2

Descobrindo a Lei dos Cossenos

uma. Copie e complete a tabela para o triângulo na Exploração 1 (a). O que você pode concluir?

Responder:

b. Use o software de geometria dinâmica para desenhar dois outros triângulos. Copie e complete a tabela do item (a) para cada triângulo. Use seus resultados para escrever uma conjectura sobre o que você observa nas tabelas preenchidas.
Responder:

Questão 3.
O que são a Lei de Sines e a Lei dos Cossenos?
Responder:

Questão 4.
Quando você usaria a Lei dos Sines para resolver um triângulo? Quando você usaria a Lei dos Cossenos para resolver um triângulo?
Responder:

Lição 9.7 Lei dos Senos e Lei dos Cossenos

Monitorando o Progresso

Use uma calculadora para encontrar a razão trigonométrica. Arredonde sua resposta para quatro casas decimais.

Encontre a área de ∆ABC com os comprimentos laterais fornecidos e o ângulo incluído. Arredonde sua resposta para o décimo mais próximo.

Questão 4.
m ∠ B = 60 °, a = 19, c = 14

Explicação:
Area = ( frac <1> <2> ) ac sin B
= ( frac <1> <2> ) (19 x 14) sen 60 °
= 133 x 0,866
= 155.18

Questão 5.
m ∠ C = 29 °, a = 38, b = 31

Explicação:
Area = ( frac <1> <2> ) ab sin C
= ( frac <1> <2> ) (38 x 31) sen 29
= 598 x 0,48
= 282.72

Resolva o triângulo. Respostas decimais arredondadas para o décimo mais próximo.

Questão 6.

Responder:
∠C = 46,6, ∠B = 82,4, AC = 23,57

Questão 7.

Responder:
∠B = 31,3, ∠C = 108,7, c = 23,6

Resolva o triângulo. Respostas decimais arredondadas para o décimo mais próximo.

Questão 8.

Responder:
∠C = 66, a = 4,36, c = 8,27

Questão 9.

Responder:
∠A = 29, b = 19,37, c = 20,41

Questão 10.
E SE?
No Exemplo 5, qual seria o comprimento de uma ponte da área de piquenique do sul para a área de piquenique do leste?

Responder:
O comprimento de uma ponte da área de piquenique do sul para a área de piquenique do leste é de 188 m.

Resolva o triângulo. Respostas decimais arredondadas para o décimo mais próximo.

Questão 11.

Responder:
b = 61,3, ∠A = 46, ∠C = 46

Explicação:
b² = a² + c² - 2ac cos B
b² = 45² + 43² & # 8211 2 (45) (43) cos 88
b² = 2025 + 1849 & # 8211 3870 x 0,03 = 3757,9
b = 61,3
( frac
) = ( frac )
( frac <45> ) = ( frac <61,3> )
sin A = 0,72
∠A = 46
∠A + ∠B + ∠C = 180
46 + 88 + ∠C = 180
∠C = 46

Questão 12.

Responder:
a = 41,1, ∠C = 35,6, ∠B = 30,4

Explicação:
a² = b² + c² - 2bc cos A
a² = 23² + 26² & # 8211 2 (23) (26) cos 114
a² = 529 + 676 & # 8211 1196 x -0,406
a² = 1690,5
a = 41,1
( frac <41.1> ) = ( frac <23> )
0,02 = ( frac <23> )
sin B = 0,507
∠B = 30,4
∠A + ∠B + ∠C = 180
114 + 30,4 + ∠C = 180
∠C = 35,6

Questão 13.

Responder:
∠A = 41,4, ∠B = 81,8, ∠C = 56,8

Explicação:
a² = b² + c² - 2bc cos A
4² = 6² + 5² & # 8211 2 (6) (5) cos A
16 = 36 + 25 & # 8211 60 cos A
-45 = & # 8211 60 cos A
cos A = 0,75
∠A = 41,4
( frac <4> ) = ( frac <6> )
0,165 = ( frac <6> )
sin B = 0,99
∠B = 81,8
∠A + ∠B + ∠C = 180
41,4 + 81,8 + ∠C = 180
∠C = 56,8

Questão 14.

Responder:
∠B = 81,8, ∠A = 58,6, ∠C = 39,6

Explicação:
a² = b² + c² - 2bc cos A
23² = 27² + 16² & # 8211 2 (27) (16) cos A
529 = 729 + 256 & # 8211 864 cos A
456 = 864 cos A
cos A = 0,52
∠A = 58,6
( frac <23> ) = ( frac <27> )
0,03 = ( frac <27> )
sin B = 0,99
∠B = 81,8
∠A + ∠B + ∠C = 180
58,6 + 81,8 + ∠C = 180
∠C = 39,6

Exercício 9.7 Lei de Sines e Lei dos Cossenos

Verificação de vocabulário e conceito central

Questão 1.
ESCRITA
Que tipo de triângulo você usaria para resolver a Lei dos Senos ou a Lei dos Cossenos?
Responder:

Questão 2.
VOCABULÁRIO
De que informações necessita para utilizar a Lei de Sines?

Monitorando o progresso e modelagem com matemática

Nos Exercícios 3 e # 8211 8, use uma calculadora para encontrar a razão trigonométrica. Arredonde sua resposta para quatro casas decimais.

Questão 3.
pecado 127 °
Responder:

Questão 5.
cos 139 °
Responder:

Questão 7.
tan 165 °
Responder:

Nos Exercícios 9 e # 8211 12, encontre a área do triângulo. Arredonde sua resposta para o décimo mais próximo.

Questão 9.

Responder:

Questão 10.

Responder:
Area = ( frac <1> <2> ) bc sen A
Area = ( frac <1> <2> ) (28) (24) sin83
Área = 332,64

Questão 11.

Responder:

Questão 12.

Responder:
Area = ( frac <1> <2> ) ab sin C
Area = ( frac <1> <2> ) (15) (7) sen 96
Área = 51,9

Nos Exercícios 13 e # 8211 18. resolva o triângulo. Respostas decimais arredondadas para o décimo mais próximo.

Questão 13.

Responder:

Questão 14.

Responder:
∠B = 38,3, ∠A = 37,7, a = 15,7

Explicação:
( frac <16> ) = ( frac <25> )
sin B = 0,62
∠B = 38,3
∠A + ∠B + ∠C = 180
∠A + 38,3 + 104 = 180
∠A = 37,7
( frac
) = ( frac <25> )
( frac <0,61>
) = 0,0388
a = 15,7

Questão 15.

Responder:

Questão 16.

Responder:
∠B = 65, b = 33,55, a = 24,4

Questão 17.

Responder:

Questão 18.

Responder:
∠C = 90, b = 39,56, a = 17,6

Nos Exercícios 19 e # 8211 24, resolva o triângulo. Respostas decimais arredondadas para o décimo mais próximo.

Questão 19.

Responder:

Questão 20.

Responder:
b = 29,9, ∠A = 26,1, ∠C = 15,07

Questão 21.

Responder:

Questão 22.

Responder:
∠A = 107,3, ∠B = 51,6, ∠C = 21,1

Explicação:
b² = a² + c² & # 8211 2ac cos B
28² = 18² + 13² & # 8211 2 (18) (13) cos B
784 = 324 + 169 & # 8211 468 cos B
291 = 468 cos B
cos B = 0,62
∠B = 51,6
( frac ) = ( frac )
( frac <13> ) = ( frac <28> )
sin C = 0,36
∠C = 21,1
∠A + ∠B + ∠C = 180
51,6 + 21,1 + ∠A = 180
∠A = 107,3

Questão 23.

Responder:

Questão 24.

Responder:
∠A = 23, ∠B = 132,1, ∠C = 24,9

Explicação:
b² = a² + c² & # 8211 2ac cos B
5² = 12² + 13² & # 8211 2 (12) (13) cos B
25 = 144 + 169 & # 8211 312 cos B
288 = 312 cos B
cos B = 0,92
∠B = 23
( frac ) = ( frac )
( frac <13> ) = ( frac <5> )
sin C = 1.014
∠C = 24,9
∠A + ∠B + ∠C = 180
23 + 24,9 + ∠B = 180
∠B = 132,1

Questão 25.
ERRO DE ANÁLISE
Descreva e corrija o erro em encontrar m ∠ C.

Responder:

Questão 26.
ERRO DE ANÁLISE
Descreva e corrija o erro em encontrar m ∠ A em ∆ABC quando a = 19, b = 21 e c = 11.

Responder:
a² = b² + c² & # 8211 2bc cos A
19² = 21² + 11² & # 8211 2 (21) (11) cos A
361 = 441 + 121 & # 8211 462 cosA
201 = 462 cosA
cos A = 0,43
∠A = 64,5

MÉTODOS DE COMPARAÇÃO

No Exercício 27 & # 8211 32. diga se você usaria a Lei dos Senos, a Lei dos Cossenos. ou o Teorema de Pitágoras (Teorema 9.1) e razões trigonométricas para resolver o triângulo com a informação dada. Explique seu raciocínio. Em seguida, resolva o triângulo.

Questão 27.
m ∠ A = 72 °, m ∠ B = 44 °, b = 14
Responder:

Questão 28.
m ∠ B = 98 °, m ∠ C = 37 °, a = 18

Responder:
∠A = 45, b = 25,38, c = 15,38

Questão 29.
m ∠ C = 65 °, a = 12, b = 21
Responder:

Questão 30.
m ∠ B = 90 °, a = 15, c = 6

Responder:
b = 3√29, ∠A = 66,9, ∠C = 23,1

Explicação:
b² = a² + c²- 2ac cos B
b² = 15² + 6² & # 8211 2 (15) (6) cos 90
= 225 + 36 – 180(0)
b² = 261
b = 3√29
( frac ) = ( frac
)
( frac <3√29> ) = ( frac <15> )
sin A = 0,92
∠A = 66,9
∠A + ∠B + ∠C = 180
66,9 + 90 + ∠C = 180
∠C = 23,1

Questão 31.
m ∠ C = 40 °, b = 27, c = 36
Responder:

Questão 32.
a = 34, b = 19, c = 27

Responder:
∠B = 33,9, ∠A = 78,5, ∠C = 67,6

Explicação:
b² = a² + c²- 2ac cos B
19² = 34² + 27²- 2 (34) (27) cos B
361 = 1156 + 729 & # 8211 1836 cos B
cos B = 0,83
∠B = 33,9
( frac <19> ) = ( frac <34> )
sin A = 0,98
∠A = 78,5
∠A + ∠B + ∠C = 180
78,5 + 33,9 + ∠C = 180
∠C = 67,6

Questão 33.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
Você e seu amigo estão na linha de base de uma quadra de basquete. Você devolve uma bola de basquete para seu amigo, conforme mostrado no diagrama. Qual é a distância entre você e seu amigo?

Responder:

Questão 34.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
Uma tirolesa é construída em um vale, conforme mostrado no diagrama. Qual é a largura w do vale?

Explicação:
w² = 25² + 84² & # 8211 2 (25) (84) cos 102
w² = 7681 & # 8211 4200 cos 102
w = 92,5 pés

Questão 35.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
Você está no deck de observação do Empire State Building, olhando para o Chrysler Building. Quando você gira 145 ° no sentido horário, você vê a Estátua da Liberdade. Você sabe que o Chrysler Building e o Empire Slate Building estão separados por cerca de 1 km e que o Chrysler Building e a Estátua da Liberdade estão a cerca de 9 km um do outro. Faça uma estimativa da distância entre o Empire State Building e a Estátua da Liberdade.
Responder:

Questão 36.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
A Torre Inclinada de Pisa, na Itália, tem uma altura de 183 pés e é 4 ° fora da vertical. Encontre a distância horizontal d que o topo da torre está fora da vertical.

Questão 37.
FAZENDO UM ARGUMENTO
Seu amigo disse que a Lei de Sines pode ser usada para encontrar JK. Seu primo disse que a Lei dos Cossenos pode ser usada para encontrar JK. Quem está certo ’? Explique seu raciocínio.

Responder:

Questão 38.
RACIOCÍNIO
Use ∆XYZ

uma. Você pode usar a Lei de Sines para resolver ∆XYZ? Explique seu raciocínio.
Responder:

b. Você pode usar outro método para resolver ∆XYZ? Explique seu raciocínio.
Responder:

Questão 39.
FAZENDO UM ARGUMENTO
Seu amigo calcula a área do triângulo usando a fórmula A = ( frac <1> <2> ) qr sin S e diz que a área é de aproximadamente 208,6 unidades quadradas. Seu amigo está correto? Explique seu raciocínio.

Responder:

Questão 40.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
Você está fertilizando um jardim triangular. Um lado do jardim tem 62 pés de comprimento e o outro lado tem 54 pés de comprimento. O ângulo oposto ao lado de 62 pés é de 58 °.
uma. Desenhe um diagrama para representar esta situação.
b. Use a Lei dos Senos para resolver o triângulo da parte (a).
c. Um saco de fertilizante cobre uma área de 200 pés quadrados. Quantos sacos de fertilizante você precisa para cobrir todo o jardim?

Responder:
C = 47,6, A = 74,4, a = 70,4
9 sacos de fertilizante.

Questão 41.
MODELAGEM COM MATEMÁTICA
Um jogador de golfe atinge uma tacada de 260 metros em um buraco de 400 metros de comprimento. O tiro está 15 ° fora do alvo.

uma. Qual é a distância x da bola do jogador até o buraco?
b. Suponha que o jogador de golfe seja capaz de acertar a bola precisamente na distância encontrada no item (a). Qual é o ângulo máximo θ (theta) pelo qual a bola pode sair do alvo para cair a não mais de 10 jardas do buraco?
Responder:

Questão 42.
MÉTODOS DE COMPARAÇÃO
Um edifício é construído no topo de uma falésia com 300 metros de altura. Uma pessoa em um terreno plano abaixo do penhasco observa que o ângulo de elevação até o topo do edifício é de 72 ° e o ângulo de elevação até o topo do penhasco é de 63 °.
uma. A que distância está a pessoa da base da falésia?

Responder:

b. Descreva dois métodos diferentes que você pode usar para encontrar a altura do edifício. Use um desses métodos para encontrar a altura do edifício.

Responder:
Considere △ SYZ e avalie d usando a função tangente
tan SYZ = ( frac <300> )
d = ( frac <300> )
d = 152,86
A pessoa está a 152,86 m de distância da base da falésia.
Considere △ XYS e avalie h + 300
tan XYZ = ( frac )
h = 152,86 x tan 72 & # 8211 300
h = 170,45
O prédio tem 170,45 m de altura.

Questão 43.
CONEXÕES MATEMÁTICAS
Encontre os valores de x e y.

Responder:

Questão 44.
COMO VOCÊ VÊ ISSO?
Você usaria a Lei dos Senos ou a Lei dos Cossenos para resolver o triângulo?
Responder:

Questão 45.
RECORDANDO UMA FÓRMULA
A Simplifique a Lei dos Cossenos para quando o ângulo dado for um ângulo reto.
Responder:

Questão 46.
PROVOCAÇÃO DE PENSAMENTO
Considere qualquer triângulo com comprimentos laterais de a, b e c. Calcule o valor de s, que é a metade do perímetro do triângulo. Qual medida do triângulo é representada por ( sqrt ?)
Responder:

Questão 47.
ANALISANDO RELACIONAMENTOS
O caso ambíguo da Lei de Sines ocorre quando você recebe a medida de um ângulo agudo. o comprimento de um lado adjacente e o comprimento do lado oposto a esse ângulo, que é menor que o comprimento do lado adjacente. Isso resulta em dois triângulos possíveis. Usando as informações fornecidas, encontre duas soluções possíveis para ∆ABC
Desenhe um diagrama para cada triângulo.
(Dica: a função seno inversa fornece apenas medidas de ângulo agudo. Portanto, considere o ângulo agudo e seu suplemento para ∠B.)

uma. m ∠ A = 40 °, a = 13, b = 16
b. m ∠ A = 21 °, a = 17, b = 32
Responder:


Questão 48.
RACIOCÍNIO ABSTRATO
Use a Lei dos Cossenos para mostrar que a medida de cada ângulo de um triângulo equilátero é 60 °. Explique seu raciocínio.

Responder:
a² = b² + c²- 2bc cos A
a² = a² + a² & # 8211 2 aa cos A
a² = 2a² coas A
cos A = 1/2
∠A = 60

Questão 49.
PENSAMENTO CRÍTICO
Um avião voa 55 ° a leste do norte da cidade A para a cidade B. a uma distância de 470 milhas. Outro avião voa 7 ° ao norte do leste da cidade A para a cidade C. uma distância de 890 milhas. Qual é a distância entre as cidades B e C?
Responder:

Questão 50.
RECORDANDO UMA FÓRMULA
Siga as etapas para derivar a fórmula para a área de um triângulo.
Area = ( frac <1> <2> ) ab sin C.

uma. Desenhe a altitude do vértice B para ( overline
). Identifique a altitude como h. Escreva uma fórmula para a área do triângulo usando h.
Responder:

b. Escreva uma equação para sen C
Responder:

c. Use os resultados das partes (a) e (b) para escrever uma fórmula para a área de um triângulo que não inclui h.
Responder:

Questão 51.
PROVANDO UM TEOREMA
Siga os passos para usar a fórmula da área de um triângulo para provar a Lei dos Senos (Teorema 9.9).

uma. Use a derivação no Exercício 50 para explicar como derivar as três fórmulas relacionadas para a área de um triângulo.
Area = ( frac <1> <2> ) bc sen A,
Area = ( frac <1> <2> ) ac sin B,
Area = ( frac <1> <2> ) ab sin C
b. por que você pode usar as fórmulas da parte (a) para escrever a seguinte declaração?
( frac <1> <2> ) bc sin A = ( frac <1> <2> ) ac sin B = ( frac <1> <2> ) ab sin C
c. Mostre como reescrever a declaração do item (b) para provar a Lei dos Senos. Justifique cada etapa.
Responder:

Questão 52.
PROVANDO UM TEOREMA
Use as informações fornecidas para completar as duas & # 8211 coluna de prova da Lei dos Cossenos (Teorema 9.10).

Dado ( overline) é uma altitude de ∆ABC.
Prove a 2 = b 2 + c 2 & # 8211 2bc cos A

Declarações Razões
1. ( overline) é uma altitude de ∆ABC. 1. Dado
2. ∆ADB e ∆CDB são triângulos retângulos. 2. _______________________
3. a 2 = (b & # 8211 x) 2 + h 2 3. _______________________
4. _______________________ 4. Expanda binomial.
5. x 2 + h 2 = c 2 5. _______________________
6. _______________________ 6. Substituição da Propriedade da Igualdade
7. cos A = ( frac) 7. _______________________
8. x = c cos A 8. _______________________
9. a 2 = b 2 + c 2 & # 8211 2bc Cos A 9. _______________________

Manter a proficiência matemática

Encontre o raio e o diâmetro do círculo.

Questão 53.

Responder:

Questão 54.

Responder:
O raio é de 10 pol e o diâmetro é de 20 pol.

Questão 55.

Responder:

Questão 56.

Responder:
O raio é de 50 pol e o diâmetro é de 100 pol.

Revisão dos triângulos direitos e trigonometria

9.1 O Teorema de Pitágoras

Encontre o valor de x. Em seguida, diga se os comprimentos laterais formam um triplo pitagórico.

Questão 1.

Responder:
x = 2√34
Os lados não formarão um triplo pitagórico.

Explicação:
x² = 6² + 10²
x² = 36 + 100
x = 2√34

Questão 2.

Responder:
x = 12
Os lados formam um triplo pitagórico.

Explicação:
20² = 16² + x²
400 = 256 + x²
x² = 144
x = 12

Questão 3.

Responder:
x = 2√30
Os lados não formarão um triplo pitagórico.

Explicação:
13² = 7² + x²
169 = 49 + x²
x = 2√30

Verifique se os comprimentos dos segmentos formam um triângulo. O triângulo é agudo, direito ou obtuso?

Responder:
9² = 81
6² + 8² = 36 + 64 = 100
9² & lt 6² + 8²
Então, o triângulo é agudo

Responder:
10² = 100
(2√2)² + (6√3)² = 8 + 108 = 116
Então, o triângulo é agudo.

Responder:
18² = 324
13² + (3√55)² = 169 + 495 = 664
Então, o triângulo é agudo.

9.2 Triângulos direitos especiais

Encontre o valor de x. Escreva sua resposta da forma mais simples.

Questão 7.

Responder:
hipotenusa = perna • √2
x = 6√2

Questão 8.

Responder:
perna mais longa = perna mais curta • √3
14 = x • √3
x = 8,08

Questão 9.

Responder:
perna mais longa = perna mais curta • √3
x = 8√3 • √3
x = 24

9.3 Triângulos direitos semelhantes

Identifique os triângulos semelhantes. Em seguida, encontre o valor de x.

Questão 10.

Questão 11.

Questão 12.

Questão 13.

Encontre a média geométrica dos dois números.

Responder:
média = √ (36 x 48)
= 24√3

Responder:
média = √ (12 x 42)
= 6√14

9.4 A Razão Tangente

Encontre as tangentes dos ângulos agudos no triângulo retângulo. Escreva cada resposta como uma fração e como um decimal arredondado para quatro casas decimais.

Questão 17.

Questão 18.

Questão 19.

Encontre o valor de x. Arredonde sua resposta para o décimo mais próximo.

Questão 20.

Responder:
tan 54 = ( frac <32> )
1,37 = ( frac <32> )
x = 43,8

Questão 21.

Responder:
tan 25 = ( frac <20> )
0,46 x 20 = x
x = 9,2

Questão 22.

Responder:
tan 38 = ( frac <10> )
x = 12,82

Questão 23.
O ângulo entre a parte inferior de uma cerca e o topo de uma árvore é de 75 °. A árvore está a 4 alugadas da cerca. Quão alta é a árvore? Arredonde sua resposta para o pé mais próximo.

Responder:
tan 75 = ( frac <4> )
x = 14,92

9.5 As razões de seno e cosseno

Encontre sen X, sen Z, cos X e cos Z. Escreva cada resposta como uma fração e como um decimal arredondado para quatro casas decimais.

Questão 24.

Responder:
sin X = ( frac <3> <5> )
sin Z = ( frac <4> <5> )
cos X = ( frac <4> <5> )
cos Z = ( frac <3> <5> )

Questão 25.

Questão 26.

Encontre o valor de cada variável usando seno e cosseno. Arredonde suas respostas para o décimo mais próximo.

Questão 27.

Responder:
sin 23 = ( frac <34> )
t = 13,26
cos 23 = ( frac <34> )
s = 31,28

Questão 28.

Responder:
sin 36 = ( frac <5> )
s = 2,9
cos 36 = ( frac <5> )
r = 4

Questão 29.

Responder:
sin 70 = ( frac <10> )
v = 9,39
cos 70 = ( frac <10> )
w = 3,42

Questão 30.
Escreva sin 72 ° em termos de cosseno.

Responder:
sin 72 = cos (90 & # 8211 72)
= cos 18 = 0,95

Questão 31.
Escreva cos 29 ° em termos de seno.

Responder:
sin 29 = cos (90 & # 8211 29)
= cos 61 = 0,48

9.6 Resolvendo Triângulos Retos

Seja ∠Q um ângulo agudo. Use uma calculadora para aproximar a medida de ∠Q ao décimo de grau mais próximo.

Responder:
cos Q = 0,32
∠Q = cos inverso de .32
∠Q = 71,3

Responder:
sin Q = 0,91
∠Q = pecado inverso de 0,91
∠Q = 65,5

Responder:
tan Q = 0,04
∠Q = tan inverso de 0,04
∠Q = 2,29

Resolva o triângulo retângulo. Respostas decimais arredondadas para o décimo mais próximo.

Questão 35.

Responder:
a = 5√5, ∠A = 47,7, ∠B = 42,3

Explicação:
c² = a² + b²
15² = a² + 10²
a² = 125
a = 5√5
sin A = ( frac <5√5> <15> ) = 0,74
∠A = 47,7
∠A + ∠B + ∠C = 180
47,7 + ∠B + 90 = 180
∠B = 42,3

Questão 36.

Responder:
NL = 7,59, ∠L = 53, ML = 4,55

Explicação:
cos 37 = ( frac <6> )
NL = 7,59
∠N + ∠M + ∠L = 180
37 + 90 + ∠L = 180
∠L = 53
sin 37 = ( frac <7,59> )
ML = 4,55

Questão 37.

Responder:
XY = 17,34, ∠X = 46, ∠Z = 44

Explicação:
c² = a² + b²
25² = 18² + b²
b² = 301
b = 17,34
sin X = ( frac <18> <25> )
∠X = 46
soma dos ângulos = 180
46 + 90 + ∠Z = 180
∠Z = 44

9.7 Lei de Sines e Lei dos Cossenos

Encontre a área de ∆ABC com os comprimentos laterais fornecidos e o ângulo incluído.

Questão 38.
m ∠ B = 124 °, a = 9, c = 11

Responder:
Area = ( frac <1> <2> ) ac sin B
= ( frac <1> <2> ) (9 x 11) sen 124
= 40.59

Questão 39.
m ∠ A = 68 °, b = 13, c = 7

Responder:
Area = ( frac <1> <2> ) bc sen A
= ( frac <1> <2> ) (13 x 7) sen 68
= 41.86

Questão 40.
m ∠ C = 79 °, a = 25 b = 17

Responder:
Area = ( frac <1> <2> ) ab sin C
= ( frac <1> <2> ) (25 x 17) sen 79
= 208.25

Resolva ∆ABC. Respostas decimais arredondadas para o décimo mais próximo.

Questão 41.
m ∠ A = 112 °, a = 9, b = 4

Responder:
∠B = 24, ∠C = 44, c = 6,76

Explicação:
( frac ) = ( frac
)
( frac <4> ) = ( frac <9> )
sin B = 0,408
∠B = 24
∠A + ∠B + ∠C = 180
112 + 24 + ∠C = 180
∠C = 44
( frac <9> ) = ( frac )
c = 6,76

Questão 42.
m ∠ 4 = 28 °, m ∠ B = 64 °, c = 55

Responder:
∠C = 88, b = 49,4, a = 25,5

Questão 43.
m ∠ C = 48 °, b = 20, c = 28

Responder:
∠B = 31,3, ∠A = 100,7, a = 37,6

Questão 44.
m ∠ B = 25 °, a = 8, c = 3

Responder:
b = 5,45, ∠A = 37,5, ∠C = 117,5

Explicação:
b² = a² + c²- 2ac cos B
b² = 8² + 3² & # 8211 2 (8 x 3) cos 25 = 73 & # 8211 43,2 = 29,8
b = 5,45
( frac <8> ) = ( frac <5,45> )
sin A = 0,61
∠A = 37,5
∠A + ∠B + ∠C = 180
37,5 + 25 + ∠C = 180
∠C = 117,5

Questão 45.
m ∠ B = 102 °, m ∠ C = 43 °, b = 21

Responder:
∠A = 35, c = 14,72, a = 12,3

Questão 46.
a = 10, b = 3, c = 12

Responder:
∠B = 11,7, ∠C = 125,19, ∠A = 43,11

Explicação:
b² = a² + c²- 2ac cos B
3² = 10² + 12²- 2 (10 x 12) cos B
9 = 100 + 144 & # 8211 240 cos B
cos B = 0,979
∠B = 11,7
a² = b² + c²- 2bc cos A
100 = 9 + 144 & # 8211 72 cos A
cos A = 0,73
∠A = 43,11
∠A + ∠B + ∠C = 180
43,11 + 11,7 + ∠C = 180
∠C = 125,19

Triângulos retos e teste de trigonometria

Encontre o valor de cada variável. Arredonde suas respostas para o décimo mais próximo.

Questão 1.

Responder:
sin 25 = ( frac <18> )
t = 7,5
cos 25 = ( frac <18> )
s = 16,2

Questão 2.

Responder:
sin 22 = ( frac <6> )
x = 16,21
cos 22 = ( frac <16.21> )
y = 14,91

Questão 3.

Responder:
tan 40 = ( frac <10> )
k = 8,3
cos 40 = ( frac <10> )
j = 13,15

Verifique se os comprimentos dos segmentos formam um triângulo. O triângulo é agudo, direito ou obtuso?

Responder:
34²= 16² + 30²
Portanto, o triângulo é um triângulo retângulo.

Responder:
9² = 81
4² + (√67)² = 83
Então o triângulo é agudo

Responder:
5.5² = 30.25
√5² + 5² = 30
Então o triângulo é obtuso

Resolva ∆ABC. Respostas decimais arredondadas para o décimo mais próximo.

Questão 7.

Responder:
c = 12,08, ∠A = 24,22, ∠C = 65,78

Explicação:
tan A = ( frac <5> <11> )
∠A = 24,22
c² = 11² + 5²
c = 12,08
24,22 + 90 + ∠C = 180
∠C = 65,78

Questão 8.

Responder:
∠B = 35,4, ∠C = 71,6, c = 17,9

Questão 9.

Responder:
BC = 4,54, ∠B = 59,3, ∠A = 30,7

Explicação:
9,2² = 8² + x²
x = 4,54
( frac <9.2> ) = ( frac <8> )
sin B = 0,86
∠B = 59,3
∠A + 59,3 + 90 = 180
∠A = 30,7

Questão 10.
m ∠ A = 103 °, b = 12, c = 24

Explicação:
a² = b² + c²- 2bc cos A
a² = 144 + 24² & # 8211 2 (12 x 24) cos 103
a = 29
( frac <12> ) = ( frac <29> )
∠B = 23,5
∠C = 180 & # 8211 (103 + 23,5) = 53,5

Questão 11.
m ∠ A = 26 °, m ∠ C = 35 °, b = 13

Responder:
∠B = 119, a = 6,42, c = 8,5

Questão 12.
a = 38, b = 31, c = 35

Explicação:
b² = a² + c²- 2ac cos B
31² = 38² + 35²- 2 (35 x 38) cos B
cos B = 0,64
∠B = 50,2
a² = b² + c²- 2bc cos A
38² = 31² + 35²- 2 (31 x 35) cos A
cos A = 0,341
∠A = 70
∠C = 59,8

Questão 13.
Escreva cos 53 ° em termos de seno.

Responder:
cos 53 ° = sin (90 & # 8211 53) = sin 37

Encontre o valor de cada variável. Escreva suas respostas da forma mais simples.

Questão 14.

Responder:
sin 45 = ( frac <16> )
q = 22,6
cos 45 = ( frac )
r = 16

Questão 15.

Responder:

Questão 16.

Responder:
sin 30 = ( frac <9.2> )
f = 4,6
cos 30 = ( frac <8> )
h = 9,2

Questão 17.
Em ∆QRS, m ∠ R = 57 °, q = 9 e s = 5. Encontre a área de ∆QRS.

Responder:
Area = ( frac <1> <2> ) qs sin R
= ( frac <1> <2> ) (9 x 5) sen 57 = 18,675

Questão 18.
Você recebe as medidas de ambos os ângulos agudos de um triângulo retângulo. Você pode determinar os comprimentos laterais? Explique.

Questão 19.
Você está em um desfile olhando para um grande balão flutuando diretamente acima da rua. Você está a 18 metros de um ponto na rua logo abaixo do balão. Para ver o topo do balão, olhe para cima em um ângulo de 53 °. Para ver a parte inferior do balão, olhe para cima em um ângulo de 29 °. Estime a altura h do balão.

Questão 20.
Você avisa para tirar a foto de uma estátua na Ilha de Páscoa, chamada moai. O moai tem cerca de 4 metros de altura. Sua câmera está em um tripé de 1,5 m de altura. O ângulo de visão vertical de sua câmera é definido em 90 °. A que distância do moai você deve ficar para que toda a altura do moai fique perfeitamente enquadrada na foto?

Avaliação cumulativa de triângulos direitos e trigonometria

Questão 1.
O tamanho da tela de um laptop é medido pelo comprimento de sua diagonal. você deseja adquirir um laptop com a maior tela possível. Qual laptop você deve comprar?
(UMA)

(B)

(C)

(D)

Responder:
(B)

Explicação:
(a) d = √9² + 12² = 15
(b) d = √11,25² + 20² = 22,94
(c) d = √12² + 6,75² = 13,76
(d) d = √8² + 6² = 10

Questão 2.
Em ∆PQR e ∆SQT, S está entre P e Q, T está entre R e Q, e () O que deve ser verdade sobre ( overline) e ( overline

)? Selecione tudo que se aplica.
( overline) ⊥ ( overline

) ( overline) || ( overline

) ST = PR ST = ( frac <1> <2> ) PR
Responder:

Questão 3.
No diagrama, ∆JKL

∆QRS. Escolha o símbolo que torna cada afirmação verdadeira.

& lt = & gt
sin J ___________ sin Q sin L ___________ cos J ​​cos L ___________ tan Q
cos S ___________ cos J ​​cos J ​​___________ sin S tan J ___________ tan Q
tan L ___________ tan Q tan S ___________ cos Q sin Q ___________ cos L
Responder:
sin J = sin Q sin L = cos J ​​cos L = tan Q
cos S & gt cos J ​​cos J ​​& gt sen S tan J = tan Q
tan L & lt tan Q tan S & gt cos Q sen Q = cos L

Questão 4.
Um topógrafo faz as medições mostradas. Qual é a largura do rio.

Responder:
tan 34 = ( frac <84> )
AB = 56,28

Questão 5.
Crie tantas equações verdadeiras quanto possível.

sen X cos X tan x ( frac) ( frac)

Sin Z cos Z tan Z ( frac) ( frac)

Responder:
sin X = ( frac) = cos Z
cos X = ( frac) = sin Z
tan x = ( frac)
tan Z = ( frac)

Questão 6.
Prove que DEFG quadrilátero é uma pipa.
Dado ( overline cong overline), ( overline) ⊥ ( overline)
Prove ( overline cong overline), ( overline cong overline)

Responder:

Questão 7.
Quais são as coordenadas dos vértices da imagem de ∆QRS após a apresentação da composição das transformações?

(A) Q & # 8217 (1, 2), R '(5, 4), S' (4, -1)
(B) Q '(- 1, & # 8211 2), R & # 8217 (- 5, & # 8211 4), S & # 8217 (- 4, 1)
(C) Q '(3, & # 8211 2), R & # 8217 (- 1, & # 8211 4), S & # 8217 (0, 1)
(D) Q & # 8217 (-2, 1), R '(- 4, 5), S' (1, 4)
Responder:

Questão 8.
A Pirâmide Vermelha do Egito tem uma base quadrada. Cada lado da base mede 722 pés. A altura da pirâmide é de 343 taxas.

uma. Use o comprimento lateral da base, a altura da pirâmide e o Teorema de Pitágoras para encontrar a altura inclinada, AB, da pirâmide.

Responder:
343² = h² + 722²
h = 635,3

c. Cite três maneiras possíveis de encontrar m ∠ 1. Em seguida, encontre m ∠ 1.
Responder:
Três maneiras possíveis são sin 1, cos 1 e tan 1
tan 1 = ( frac <722> <635.3> )
∠1 = 48


PROBLEMAS NAS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Para as medidas na figura mostrada abaixo, calcule as relações de seno, cosseno e tangente do ângulo θ.

No triângulo retângulo dado, observe que para o ângulo θ dado, PR é o lado "oposto" e PQ é o lado "adjacente".

tan & # xa0 θ & # xa0 = & # xa0 lado oposto / lado adjacente & # xa0 = & # xa0 PR / PQ & # xa0 = & # xa0 35/12

Encontre as seis razões trigonométricas do ângulo θ usando o diagrama mostrado abaixo. & # Xa0

No triângulo retângulo dado, observe que para o ângulo θ dado, AC é o lado 'oposto' e AB é o lado 'adjacente'.

E também, o comprimento do lado adjacente 'AB' não é fornecido. & # Xa0

Subtraia 49 de cada lado. & # Xa0

tan & # xa0 θ & # xa0 = & # xa0 lado oposto / lado adjacente & # xa0 = & # xa0 AC / AB & # xa0 = & # xa0 7/24

Se tan A & # xa0 = & # xa0 2/3, encontre todas as outras razões trigonométricas. & # Xa0

tan A & # xa0 = & # xa0 lado oposto / lado adjacente & # xa0 = & # xa0 2/3

sin A & # xa0 = & # xa0 lado oposto / hipotenusa & # xa0 = & # xa0 & # xa0BC / AC & # xa0 = & # xa0 2 / √ 13

Se sec θ & # xa0 = & # xa0 2/3, encontre o valor de

(2sin θ - 3cos θ) / (4sin θ - 9cos θ) & # xa0

sec & # xa0 θ & # xa0 = & # xa0 hipotenusa / lado adjacente & # xa0 = & # xa0 13/5

Subtraia 25 de cada lado. & # Xa0

(2sin θ - 3cos θ) / (4sin θ - 9cos θ): & # xa0

= & # xa0 (24/13 - 1 5/13) / (48/13 - 45/13)

(2sin θ - 3cos θ) / (4sin θ - 9cos θ) & # xa0 & # xa0 = & # xa0 3

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Fazendo as pazes com o básico da trigonometria

Seis meses atrás, eu odiava trigonometria.

Na verdade, quando minha filha faltou uma semana de aula, ela anunciou em seu primeiro dia de volta: “Alguém tem que me ensinar trigonometria porque eu perdi tudo”. Seu pai interrompeu: "Serei eu. Sua mãe odeia trigonometria. "

Pelo menos isso costumava ser verdade. Desde então, concordei com meu tópico menos favorito, em grande parte por causa de minhas experiências com o curso de Geometria Matemática Ilustrativa. Deixe-me contar como o curso IM Geometria ajudou.

A unidade de trigonometria no curso de geometria IM (Unidade 4: Trigonometria do Triângulo Direito) passa várias lições desenvolvendo os conceitos de cosseno, seno e tangente através de triângulos semelhantes. Tem tudo o que adoro no IM.

  • Usando a tecnologia para melhorar o acesso: um miniaplicativo Geogebra permite que os alunos desenhem rapidamente triângulos semelhantes para que os valores não sejam perdidos na monotonia de desenhar tudo à mão.
  • Ideias geradas pelos alunos: depois que os parceiros identificam proporções consistentes em seus triângulos atribuídos, eles se reúnem para inserir os dados em uma tabela de classe e criar um recurso de classe. Eles notaram que para todos os triângulos retângulos semelhantes com ângulos de 10 graus, 80 graus e 90 graus, a proporção da perna adjacente para a hipotenusa era de aproximadamente 0,985. E os triângulos 10-80-90 não são especiais: todas essas famílias de triângulos semelhantes têm suas próprias proporções consistentes.
  • Observação e admiração: usando uma rotina de instrução, os alunos inferem padrões maiores e estimam valores para ângulos não listados. Eles não apenas aprendem que cada família de triângulos retângulos tem seu próprio conjunto especial de proporções de comprimentos laterais, que podem ser usados ​​para resolver problemas, mas também veem padrões nas famílias. Que padrões você observa na tabela abaixo?
  • Desenvolvimento da linguagem: como costuma acontecer, os alunos constroem primeiro o conceito, examinando as proporções e as relações com os ângulos, desenvolvendo a necessidade de identificá-los com os nomes cosseno, seno e tangente.

Também gosto de como a tabela nesta lição é construída em incrementos de 10 graus e não se concentra apenas em triângulos "especiais", o que pode fazer com que os alunos vejam os mesmos números (2,? 2,? 3) de uma maneira que pode fazer é mais difícil ver os padrões.

a partir de Geometria IM & # 8211 Unidade 4, Lição 4Em breve!

O miniaplicativo geogebra está disponível aqui.

Gosto especialmente de quanto tempo gasto trabalhando com a mesa e não com a calculadora. Gosto da maneira como os alunos são solicitados a trabalhar para a frente e para trás com os valores da tabela e inferidos da tabela. Por exemplo, os alunos são solicitados a usar a tabela para calcular o comprimento da perna adjacente em um triângulo retângulo com ângulos de 10 graus, 80 graus e 90 graus se a hipotenusa do triângulo for 10 unidades. Que linha e coluna o ajudariam a responder a essa pergunta? Por quê? Os alunos também trabalham para trás e trabalham com dados que não estão na tabela. Por exemplo, se a proporção de uma perna para a hipotenusa é 0,431, qual seria uma boa estimativa para os ângulos adjacentes a essa perna? Do lado oposto a essa perna? Que linhas ou colunas ajudaram você a responder a isso? Por quê?

Quando eu ensinei esta lição antes, sempre pulei direto de proporções semelhantes para a calculadora. Eu poderia muito bem estar usando um gerador de números aleatórios, pelo que todos os meus alunos sabiam. Queremos que os alunos tenham habilidades de fazer sentido (“Eu perguntei a você a velocidade do carro, e você não suspeitou que a calculadora disse 10.000 milhas por hora?”), Mas quando se tratava de valores trigonométricos, eu nunca estava dando eles uma chance. Por meio desta unidade, os alunos passam tempo suficiente trabalhando na mesa para desenvolver seu próprio senso de uma resposta razoável antes mesmo de receberem um dispositivo. Eles vêem que as razões trigonométricas vêm da medição de triângulos reais, eles percebem padrões e tendências nos valores e são eles que descobrem que podem usar esses padrões para ajudar a responder a perguntas sem ter que medir mais: um conceito muito poderoso que os ajuda a se sentirem confortáveis ​​fazendo cálculos com os valores que suas calculadoras lhes fornecem.

Mais uma coisa que adoro nesta unidade é um pequeno detalhe, mas consequente. Deixe-me fazer uma pergunta: na primeira linha do terceiro parágrafo, seu cérebro tropeçou quando eu disse “cosseno, seno, tangente” nessa ordem? Você quer me corrigir? Você pelo menos percebeu? Essa ordem foi intencional e aparece em todas as tabelas que os alunos criam à medida que trabalham na unidade. "Por que?" você pergunta? Porque em cursos subsequentes, eles vão colocar (cos UMA, pecado UMA) no círculo unitário e se eles têm o hábito de dizer cosseno, seno, tangente, eles não perderão o ritmo. Eu gostaria de poder recuperar a quantidade de tempo que passei em minha vida me lembrando de que o (x,y) não estão na ordem "intuitiva", e agora percebo que é apenas "intuitivo" porque é assim que fui ensinado. Nossos alunos não saberão a diferença e, com sorte, será mais fácil mantê-la correta.

Admito que posso imaginar hordas de pais gesticulando descontroladamente: "O que você quer dizer com não aprendeu SOHCAHTOA?" mas realmente causamos algum dano ao omiti-lo? De minha parte, exigiu um pouco de prática dizer "cosseno, seno, tangente", mas se os deixarmos construir o entendimento conceitual, deixá-los esperar para pegar a calculadora e, em seguida, deixá-los criar seus próprios mnemônicos ficarão muito melhor no longo prazo ... e talvez não demore anos para decidir que trigonometria não é seu tópico menos favorito.


Trigonometria de triângulos retos

Basta clicar no link de download em várias Resoluções no final desta frase e você será redirecionado para o arquivo de imagem direto, e então você deve clicar com o botão direito na imagem e selecionar "Salvar imagem como" .150 e vezes 150/232 e vezes 300/768 e vezes 994 / 791 e vezes 1024/160 e vezes 110/660 e vezes 293/80 e vezes 65/1236 e vezes 1600

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