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3.2: Fórmulas de Soma e Diferença - Matemática


Iremos agora derivar identidades para as funções trigonométricas da soma e diferença de dois ângulos. Para a soma de quaisquer dois ângulos (A ) e (B ), temos o fórmulas de adição:

[ sin ; (A + B) ~ = ~ sin ; A ~ cos ; B ~ + ~ cos ; A ~ sin ; B label {eqn: somsin} ]

[ cos ; (A + B) ~ = ~ cos ; A ~ cos ; B ~ - ~ sin ; A ~ sin ; B label {eqn: sumcos} ]

Para provar isso, primeiro assuma que (A ) e (B ) são ângulos agudos. Então (A + B ) é agudo ou obtuso, como na Figura 3.2.1. Observe em ambos os casos que ( angle , QPR = A ), uma vez que

[ nonumber begin {align *}
ângulo , QPR ~ & = ~ ângulo , QPO - ângulo , OPM ~ = ~ (90 ^ circ - B) -
(90 ^ circ - (A + B)) ~ = ~ A ~~ text {na Figura 3.2.1 (a), e} [4pt] nonumber
ângulo , QPR ~ & = ~ ângulo , QPO + ângulo , OPM ~ = ~ (90 ^ circ - B) +
(90 ^ circ - (180 ^ circ - (A + B))) ~ = ~ A ~~ text {na Figura 3.2.1 (b).}
end {align *} ]

Desse modo,

[ nonumber begin {align}
sin ; (A + B) ~ & = ~ frac {MP} {OP} ~ = ~ frac {MR + RP} {OP} ~ = ~ frac {NQ + RP} {OP} ~ = ~
frac {NQ} {OP} ~ + ~ frac {RP} {OP} [4pt] nonumber
& = ~ frac {NQ} {OQ} , cdot , frac {OQ} {OP} ~ + ~ frac {RP} {PQ} , cdot , frac {PQ} {OP} notag [4pt]
& = ~ sin ; A ~ cos ; B ~ + ~ cos ; A ~ sin ; B ~, label {eqn: sinsumproof}
end {align} ]

e

[ nonumber begin {align}
cos ; (A + B) ~ & = ~ frac {OM} {OP} ~ = ~ frac {ON-MN} {OP} ~ = ~ frac {ON-RQ} {OP} ~ = ~
frac {ON} {OP} ~ - ~ frac {RQ} {OP} [4pt] nonumber
& = ~ frac {ON} {OQ} , cdot , frac {OQ} {OP} ~ - ~ frac {RQ} {PQ} , cdot , frac {PQ} {OP} [4pt]
& = ~ cos ; A ~ cos ; B ~ - ~ sin ; A ~ sin ; B ~. label {eqn: cossumproof}
end {align} ]

Assim, provamos as identidades dos ângulos agudos (A ) e (B ). É simples verificar que eles são válidos no caso especial de (A = B = 0 ^ circ ). Para ângulos gerais, precisaremos usar as relações que derivamos na Seção 1.5, que envolvem adicionar ou subtrair (90 ^ circ ):

[ nonumber begin {alignat *} {4}
sin ; ( theta + 90 ^ circ) ~ & = ~ phantom {-} cos ; theta & qquad quad
sin ; ( theta - 90 ^ circ) ~ & = ~ - cos ; theta [4pt] nonumber
cos ; ( theta + 90 ^ circ) ~ & = ~ - sin ; theta & qquad quad
cos ; ( theta - 90 ^ circ) ~ & = ~ phantom {-} sin ; theta
end {alignat *} ]

Serão úteis porque qualquer ângulo pode ser escrito como a soma de um ângulo agudo (ou (0 ^ circ )) e múltiplos inteiros de ( pm 90 ^ circ ). Por exemplo, (155 ^ circ = 65 ^ circ + 90 ^ circ ), (222 ^ circ = 42 ^ circ + 2 (90 ^ circ) ), (- 77 ^ circ = 13 ^ circ - 90 ^ circ ), etc. Portanto, se pudermos provar que as identidades se mantêm ao adicionar ou subtrair (90 ^ circ ) para ou de (A ) ou (B ), respectivamente, onde (A ) e (B ) são agudos ou (0 ^ circ ), então as identidades também serão mantidas ao adicionar ou subtrair repetidamente (90 ^ circ ), e portanto, valerá para todos os ângulos. Substituindo (A ) por (A + 90 ^ circ ) e usando as relações para adicionar (90 ^ circ ) dá

[ nonumber begin {align *}
sin ; ((A + 90 ^ circ) + B) ~ & = ~ sin ; ((A + B) + 90 ^ circ) ~ = ~ cos ; (A + B) ~, [4pt] não numérico
& = ~ cos ; A ~ cos ; B ~ - ~ sin ; A ~ sin ; B ~~ text {(pela Equação ref {eqn: prova de cossum})} [4pt] enhum número
& = ~ sin ; (A + 90 ^ circ) ~ cos ; B ~ + ~ cos ; (A + 90 ^ circ) ~ sin ; B ~, end {alinhar *} ]
portanto, a identidade vale para (A + 90 ^ circ ) e (B ) (e, da mesma forma, para (A ) e (B + 90 ^ circ )). Da mesma forma,

[ nonumber begin {align *} sin ; ((A-90 ^ circ) + B) ~ & = ~ sin ; ((A + B) - 90 ^ circ) ~ = ~ - cos ; (A + B) ~, [4pt] nonumber
& = ~ - ( cos ; A ~ cos ; B ~ - ~ sin ; A ~ sin ; B) [4pt] nonumber
& = ~ (- cos ; A) ~ cos ; B ~ + ~ sin ; A ~ sin ; B [4pt] nonumber
& = ~ sin ; (A - 90 ^ circ) ~ cos ; B ~ + ~ cos ; (A - 90 ^ circ) ~ sin ; B ~,
end {align *} ]

portanto, a identidade é válida para (A-90 ^ circ ) e (B ) (e, da mesma forma, para (A ) e (B + 90 ^ circ )). Assim, a equação de adição ref {eqn: somsin} para seno vale para tudo (A ) e (B ). Um argumento semelhante mostra que a equação de adição ref {eqn: sumcos} para cosseno é verdadeira para todos (A ) e (B ). QED

Substituindo (B ) por (- B ) nas fórmulas de adição e usando as relações ( sin ; (- theta) = - sin ; theta ) e ( cos ; ( - theta) = cos ; theta ) da Seção 1.5 nos dá o fórmulas de subtração:

[ sin ; (A-B) ~ = ~ sin ; A ~ cos ; B ~ - ~ cos ; A ~ sin ; B label {eqn: diffsin} ]

[ cos ; (A-B) ~ = ~ cos ; A ~ cos ; B ~ + ~ sin ; A ~ sin ; B label {eqn: diffcos} ]

Usando a identidade ( tan ; theta = frac { sin ; theta} { cos ; theta} ) e as fórmulas de adição para seno e cosseno, podemos derivar a fórmula de adição para tangente :

[ require {cancel} nonumber begin {align *}
tan ; (A + B) ~ & = ~ frac { sin ; (A + B)} { cos ; (A + B)} [4pt] nonumber
& = ~ frac { sin ; A ~ cos ; B ~ + ~ cos ; A ~ sin ; B} { cos ; A ~ cos ; B ~ - ~ sin ; A ~ sin ; B} [4pt] nonumber
& = ~ frac { dfrac { sin ; A ~ cos ; B} { cos ; A ~ cos ; B} ~ + ~
dfrac { cos ; A ~ sin ; B} { cos ; A ~ cos ; B}} { dfrac { cos ; A ~ cos ; B} { cos ; A ~ cos ; B}
~ - ~ dfrac { sin ; A ~ sin ; B} { cos ; A ~ cos ; B}} quad text {(divida superior e inferior por
( cos ; A ~ cos ; B ))} [4pt] nonumber
& = ~ frac { dfrac { sin ; A} { cos ; A} ; cdot ; cancel { dfrac { cos ; B} { cos ; B}} ~ + ~
cancel { dfrac { cos ; A} { cos ; A}} ; cdot ; dfrac { sin ; B} { cos ; B}} {1 ~ - ~
dfrac { sin ; A} { cos ; A} ; cdot ; dfrac { sin ; B} { cos ; B}}
~ = ~ frac { tan ; A ~ + ~ tan ; B} {1 ~ - ~ tan ; A ~ tan ; B}
end {align *} ]

Isso, combinado com a substituição de (B ) por (- B ) e usando a relação ( tan ; (- theta) = - tan ; theta ), nos dá as fórmulas de adição e subtração para tangente:

[ tan ; (A + B) ~ = ~ frac { tan ; A ~ + ~ tan ; B} {1 ~ - ~ tan ; A ~ tan ; B} label {eqn: sumtan} ]

[ tan ; (AB) ~ = ~ frac { tan ; A ~ - ~ tan ; B} {1 ~ + ~ tan ; A ~ tan ; B} label {eqn : difftan} ]

Exemplo 3.8

Ângulos dados (A ) e (B ) tais que ( sin ; A = frac {4} {5} ), ( cos ; A = frac {3} {5} ), ( sin ; B = frac {12} {13} ), e ( cos ; B = frac {5} {13} ), encontre os valores exatos de ( sin ; (A + B) ), ( cos ; (A + B) ) e ( tan ; (A + B) ).

Solução

Usando a fórmula de adição de seno, obtemos:

[ nonumber begin {align *}
sin ; (A + B) ~ & = ~ sin ; A ~ cos ; B ~ + ~ cos ; A ~ sin ; B [4pt] nonumber
& = ~ frac {4} {5} ; cdot ; frac {5} {13} ~ + ~ frac {3} {5} ; cdot ; frac {12} {13}
quad Rightarrow quad boxed { sin ; (A + B) ~ = ~ frac {56} {65}} end {align *} ]

Usando a fórmula de adição para cosseno, obtemos:

[ nonumber begin {align *} cos ; (A + B) ~ & = ~ cos ; A ~ cos ; B ~ - ~ sin ; A ~ sin ; B [4pt] nonumber
& = ~ frac {3} {5} ; cdot ; frac {5} {13} ~ - ~ frac {4} {5} ; cdot ; frac {12} {13}
quad Rightarrow quad boxed { cos ; (A + B) ~ = ~ - frac {33} {65}} end {align *} ]

Em vez de usar a fórmula de adição para tangente, podemos usar os resultados acima:

[ nonumber tan ; (A + B) ~ = ~ frac { sin ; (A + B)} { cos ; (A + B)}
~ = ~ frac { frac {56} {65}} {- frac {33} {65}}
quad Rightarrow quad boxed { tan ; (A + B) ~ = ~ - frac {56} {33}} ]

Exemplo 3.9

Prove a seguinte identidade:

[ nonumber sin ; (A + B + C) ~ = ~ sin ; A ~ cos ; B ~ cos ; C ; + ; cos ; A ~ sin ; B ~ cos ; C ; + ;
cos ; A ~ cos ; B ~ sin ; C ; - ; sin ; A ~ sin ; B ~ sin ; C ]

Solução

Trate (A + B + C ) como ((A + B) + C ) e use as fórmulas de adição três vezes:

[ nonumber begin {align *}
sin ; (A + B + C) ~ & = ~ sin ; ((A + B) + C) [4pt] nonumber
& = ~ sin ; (A + B) ~ cos ; C ; + ; cos ; (A + B) ~ sin ; C [4pt] nonumber
& = ~ ( sin ; A ~ cos ; B ; + ; cos ; A ~ sin ; B) ~ cos ; C ; + ;
( cos ; A ~ cos ; B ; - ; sin ; A ~ sin ; B) ~ sin ; C [4pt] nonumber
& = ~ sin ; A ~ cos ; B ~ cos ; C ; + ; cos ; A ~ sin ; B ~ cos ; C ; + ;
cos ; A ~ cos ; B ~ sin ; C ; - ; sin ; A ~ sin ; B ~ sin ; C
end {align *} ]

Exemplo 3.10

Para qualquer triângulo ( triangle , ABC ), mostre que ( tan ; A + tan ; B + tan ; C =
tan ; A ~ tan ; B ~ tan ; C ).

Solução

Observe que este é não uma identidade que vale para tudo ângulos; uma vez que (A ), (B ) e (C ) são os ângulos de um triângulo, ele se mantém quando (A ), (B ), (C ) (> 0 ^ circ ) e (A + B + C = 180 ^ circ ). Portanto, usando (C = 180 ^ circ - (A + B) ) e a relação (; tan ; (180 ^ circ - theta) = - tan ; theta ; ) da Seção 1.5, obtemos:

[ nonumber begin {align} tan ; A ; + ; tan ; B ; + ; tan ; C ~ & = ~ tan ; A ; + ; tan ; B ; + ; tan ; (180 ^ circ - (A + B)) [4pt] nonumber
& = ~ tan ; A ; + ; tan ; B ; - ; tan ; (A + B) [4pt] nonumber
& = ~ tan ; A ; + ; tan ; B ; - ; frac { tan ; A + tan ; B} {1 - tan ; A ~ tan ; B} [4pt] nonumber
& = ~ ( tan ; A ; + ; tan ; B) ~ left (1 ; - ; dfrac {1} {1 - tan ; A ~ tan ; B} right) [4pt] nonumber
& = ~ ( tan ; A ; + ; tan ; B) ~ left ( dfrac {1 - tan ; A ~ tan ; B} {1 - tan ; A ~ tan ; B} ; - ;
dfrac {1} {1 - tan ; A ~ tan ; B} right) [4pt] nonumber
& = ~ ( tan ; A ; + ; tan ; B) ; cdot ; left ( frac {- tan ; A ~ tan ; B} {1 - tan ; A ~ tan ; B}
right) [4pt] nonumber
& = ~ tan ; A ~ tan ; B ; cdot ; left (- frac { tan ; A ; + ; tan ; B} {1 - tan ; A ~ tan ; B} right) [4pt] nonumber
& = ~ tan ; A ~ tan ; B ; cdot ; (- tan ; (A + B)) [4pt] nonumber
& = ~ tan ; A ~ tan ; B ; cdot ; ( tan ; (180 ^ circ - (A + B))) [4pt] nonumber
& = ~ tan ; A ~ tan ; B ~ tan ; C
end {align} ]

Exemplo 3.11

Sejam (A ), (B ), (C ) e (D ) ângulos positivos tais que (A + B + C + D = 180 ^ circ ). Mostra isso

[ nonumber sin ; A ~ sin ; B ~ + ~ sin ; C ~ sin ; D ~ = ~ sin ; (A + C) ~ sin ; (B + C ) ~. ]

Solução

Pode ser tentador expandir o lado direito, pois parece mais complicado. No entanto, observe que o lado direito não possui o termo (D ). Então, em vez disso, iremos expandir o lado esquerdo, uma vez que podemos eliminar o termo (D ) naquele lado usando (D = 180 ^ circ - (A + B + C) ) e a relação

[ sin ; (180 ^ circ - (A + B + C)) ~ = ~ sin ; (A + B + C). nonumber ]

Portanto, como (; sin ; D = sin ; (A + B + C) ), obtemos

[ nonumber begin {align}
sin ; A ~ sin ; B ~ + ~ sin ; C ~ sin ; D ~ & = ~ sin ; A ~ sin ; B ~ + ~ sin ; C ~ sin ; (A + B + C) ~, ~ text {então pelo Exemplo 3.9 obtemos} [4pt] nonumber
& = ~ sin ; A ~ sin ; B ~ + ~ sin ; C ~ ( sin ; A ~ cos ; B ~ cos ; C ; + ; cos ; A ~ sin ; B ~ cos ; C [4pt] nonumber
& quad + ; cos ; A ~ cos ; B ~ sin ; C ; - ; sin ; A ~ sin ; B ~ sin ; C) [4pt] nonumber
& = ~ sin ; A ~ sin ; B ~ + ~ sin ; C ~ sin ; A ~ cos ; B ~ cos ; C ~ + ~ sin ; C ~ cos ; A ~ sin ; B ~ cos ; C [4pt] nonumber
& quad + ~ sin ; C ~ cos ; A ~ cos ; B ~ sin ; C ~ - ~
sin ; C ~ sin ; A ~ sin ; B ~ sin ; C ~. end {align} ]
Pode não ser imediatamente óbvio para onde ir a partir daqui, mas não é uma suposição completa. Precisamos terminar com ( sin ; (A + C) ~ sin ; (B + C) ), e sabemos que ( sin ; (B + C) = sin ; B ~ cos ; C + cos ; B ~ sin ; C ). Existem dois termos envolvendo (; cos ; B ~ sin ; C ), então agrupe-os para obter
[ nonumber begin {alinhar} sin ; A ~ sin ; B ~ + ~ sin ; C ~ sin ; D ~
& = ~ sin ; A ~ sin ; B ~ - ~ sin ; C ~ sin ; A ~ sin ; B ~ sin ; C ~ + ~ sin ; C ~ cos ; A ~ sin ; B ~ cos ; C [4pt] nonumber
& quad + ~ cos ; B ~ sin ; C ~ ( sin ; A ~ cos ; C ~ + ~ cos ; A ~ sin ; C) [4pt] nonumber
& = ~ sin ; A ~ sin ; B ~ (1 - sin ^ 2 ; C) ~ + ~ sin ; C ~ cos ; A ~ sin ; B ~ cos ; C [4pt] nonumber
& quad + ~ cos ; B ~ sin ; C ~ sin ; (A + C) [4pt] nonumber
& = ~ sin ; A ~ sin ; B ~ cos ^ 2 ; C ~ + ~ sin ; C ~ cos ; A ~ sin ; B ~ cos ; C [4pt] nonumber
& quad + ~ cos ; B ~ sin ; C ~ sin ; (A + C) ~. end {align} ]
Agora temos dois termos envolvendo (; sin ; B ~ cos ; C ), que podemos fatorar:
[ nonumber begin {alinhar} sin ; A ~ sin ; B ~ + ~ sin ; C ~ sin ; D ~
& = ~ sin ; B ~ cos ; C ~ ( sin ; A ~ cos ; C + cos ; A ~ sin ; C ~) [4pt] nonumber
& quad + ~ cos ; B ~ sin ; C ~ sin ; (A + C) [4pt] nonumber
& = ~ sin ; B ~ cos ; C ~ sin ; (A + C) ~ + ~ cos ; B ~ sin ; C ~ sin ; (A + C) [4pt] nonumber
& = ~ sin ; (A + C) ~ ( sin ; B ~ cos ; C + cos ; B ~ sin ; C) [4pt] nonumber
& = ~ sin ; (A + C) ~ sin ; (B + C) [4pt]
end {align} ]

Exemplo 3.12

No estudo da propagação de ondas eletromagnéticas, Lei de Snell dá a relação

[n_1 ~ sin ; theta_1 ~ = ~ n_2 ~ sin ; theta_2 label {eqn: snell} ~, ]

onde ( theta_1 ) é o ângulo de incidência em que uma onda atinge o limite planar entre dois meios, ( theta_2 ) é o ângulo de transmissão da onda através do novo meio, e (n_1 ) e (n_2 ) são os índices de refração dos dois médiuns. A quantidade

[r_ {1 ; 2 ; s} ~ = ~ frac {n_1 ~ cos ; theta_1 ~ - ~ n_2 ~ cos ; theta_2} {n_1 ~ cos ; theta_1 ~ + ~
n_2 ~ cos ; theta_2} label {3.21} ]

é chamado de Coeficiente de Fresnel para reflexão de incidência normal da onda para polarização s. Mostre que isso pode ser escrito como:

[r_ {1 ; 2 ; s} ~ = ~ frac { sin ; ( theta_2 - theta_1)} { sin ; ( theta_2 + theta_1)} nonumber ]

Solução

Multiplique a parte superior e inferior de (r_ {1 ; 2 ; s} ) por (; sin ; theta_1 ~ sin ; theta_2 ; ) para obter:

[ nonumber begin {align *}
r_ {1 ; 2 ; s} ~ & = ~ frac {n_1 ~ cos ; theta_1 ~ - ~ n_2 ~ cos ; theta_2} {n_1 ~ cos ; theta_1 ~ + ~
n_2 ~ cos ; theta_2} ; cdot ; frac { sin ; theta_1 ~ sin ; theta_2} { sin ; theta_1 ~
sin ; theta_2} [4pt] nonumber
& = ~ frac {(n_1 ~ sin ; theta_1) ~ sin ; theta_2 ~ cos ; theta_1 ~ - ~
(n_2 ~ sin ; theta_2) ~ cos ; theta_2 ~ sin ; theta_1} {
(n_1 ~ sin ; theta_1) ~ sin ; theta_2 ~ cos ; theta_1 ~ + ~
(n_2 ~ sin ; theta_2) ~ cos ; theta_2 ~ sin ; theta_1} [4pt] nonumber
& = ~ frac {(n_1 ~ sin ; theta_1) ~ sin ; theta_2 ~ cos ; theta_1 ~ - ~
(n_1 ~ sin ; theta_1) ~ cos ; theta_2 ~ sin ; theta_1} {
(n_1 ~ sin ; theta_1) ~ sin ; theta_2 ~ cos ; theta_1 ~ + ~
(n_1 ~ sin ; theta_1) ~ cos ; theta_2 ~ sin ; theta_1}
qquad text {(pela lei de Snell)} [4pt] nonumber
& = ~ frac { sin ; theta_2 ~ cos ; theta_1 ~ - ~
cos ; theta_2 ~ sin ; theta_1} {
sin ; theta_2 ~ cos ; theta_1 ~ + ~
cos ; theta_2 ~ sin ; theta_1} [4pt] nonumber
& = ~ frac { sin ; ( theta_2 - theta_1)} { sin ; ( theta_2 + theta_1)}
end {align *} ]

Os dois últimos exemplos demonstram um aspecto importante de como as identidades são usadas na prática: reconhecer termos que fazem parte de identidades conhecidas, de modo que possam ser fatorados. Esta é uma técnica comum.


Fórmulas de soma e diferença

A soma dos ângulos e as fórmulas de diferença são úteis porque permitem que certos ângulos sejam expressos em funções trigonométricas em duas partes (x e y), o que pode tornar cálculos mais complexos (como integração) mais fáceis. A soma dos ângulos e as fórmulas de diferença para seno e cosseno são às vezes chamadas de fórmulas de Simpson. Pela soma ou diferença de dois ângulos x e y, as principais funções trigonométricas são:

sin (x + y) = (sin x · cos y) + (cos x · sin y)
sin (x - y) = (sin x · cos y) - (cos x · sin y)
cos (x + y) = (cos x · cos y) - (sin x · sin y)
cos (x - y) = (cos x · cos y) + (sin x · sin y)
tan (x + y) = tan x + tany / 1-tan x · tan y
tan (x - y) = tan x - tan y / 1 + tan x · tan y

Solução: cos75 ° = cos (45 ° + 30 °) = (cos45 ° · cos30 °) - (sen45 ° · sen30 °)
=√2/2 · √3/2 – √2/2 · 1/2 = √6 – √2 / 4


Identidades e fórmulas de soma de ângulos

Sejam & alpha e & beta dois ângulos. Identidades de soma angular expressar funções trigonométricas de somas de ângulos e alfa + e beta em termos de funções de alfa e beta.


9.2 Identidades de soma e diferença

Como pode a altura de uma montanha ser medida? E a distância da Terra ao sol? Como muitos problemas aparentemente impossíveis, contamos com fórmulas matemáticas para encontrar as respostas. As identidades trigonométricas, comumente usadas em provas matemáticas, tiveram aplicações no mundo real por séculos, incluindo seu uso no cálculo de longas distâncias.

As identidades trigonométricas que examinaremos nesta seção podem ser rastreadas até um astrônomo persa que viveu por volta de 950 DC, mas os gregos antigos descobriram essas mesmas fórmulas muito antes e as declararam em termos de acordes. Essas são equações ou postulados especiais, verdadeiros para todos os valores inseridos nas equações e com inúmeras aplicações.

Nesta seção, aprenderemos técnicas que nos permitirão resolver problemas como os apresentados acima. As fórmulas a seguir simplificam muitas expressões e equações trigonométricas. Lembre-se de que, ao longo desta seção, o termo Fórmula é usado como sinônimo da palavra identidade.

Usando as fórmulas de soma e diferença para cosseno

Encontrar o valor exato do seno, cosseno ou tangente de um ângulo costuma ser mais fácil se pudermos reescrever o ângulo dado em termos de dois ângulos que têm valores trigonométricos conhecidos. Podemos usar os ângulos especiais, que podemos revisar no círculo unitário mostrado na Figura 2.

Começaremos com as fórmulas de soma e diferença para o cosseno, de modo que possamos encontrar o cosseno de um determinado ângulo se pudermos dividi-lo na soma ou diferença de dois dos ângulos especiais. Veja a Tabela 1.


Conteúdo

Editar notação capital-sigma

A notação matemática usa um símbolo que representa compactamente a soma de muitos termos semelhantes: o símbolo de soma, ∑ < textstyle sum>, uma forma ampliada da letra grega maiúscula sigma. Isso é definido como

Onde eu é o índice de soma umaeu é uma variável indexada que representa cada termo da soma m é o limite inferior da soma, e n é o limite superior da soma. O " eu = m "sob o símbolo de soma significa que o índice eu começa igual a m . O índice, eu , é incrementado em um para cada termo sucessivo, parando quando eu = n . [b]

Isso é lido como "soma de umaeu , a partir de eu = m para n ".

Aqui está um exemplo que mostra a soma dos quadrados:

Em geral, embora qualquer variável possa ser usada como o índice de soma (desde que não haja ambiguidade), algumas das mais comuns incluem letras como i < displaystyle i>, j < displaystyle j> e k < displaystyle k>. [1]

Como alternativa, o índice e os limites da soma são algumas vezes omitidos da definição da soma se o contexto for suficientemente claro. Isso se aplica especialmente quando o índice varia de 1 a n. [2] Por exemplo, pode-se escrever que:

Freqüentemente, vemos generalizações dessa notação, nas quais uma condição lógica arbitrária é fornecida e a soma deve ser assumida por todos os valores que satisfaçam a condição. Por exemplo:

Também existem maneiras de generalizar o uso de muitos sinais sigma. Por exemplo,

Uma notação semelhante é aplicada quando se trata de denotar o produto de uma sequência, que é semelhante à sua soma, mas que usa a operação de multiplicação em vez da adição (e dá 1 para uma sequência vazia em vez de 0). A mesma estrutura básica é usada, com ∏ < textstyle prod>, uma forma ampliada da letra maiúscula grega pi, substituindo o ∑ < textstyle sum>.

Casos especiais Editar

É possível somar menos de 2 números:

  • Se a soma tiver uma soma x < displaystyle x>, a soma avaliada será x < displaystyle x>.
  • Se o somatório não tiver somas, então a soma avaliada é zero, porque zero é a identidade da adição. Isso é conhecido como soma vazia.

Esses casos degenerados geralmente são usados ​​apenas quando a notação de soma fornece um resultado degenerado em um caso especial. Por exemplo, se n = m < displaystyle n = m> na definição acima, então há apenas um termo na soma se n = m - 1 < displaystyle n = m-1>, então não há nenhum.

A soma pode ser definida recursivamente da seguinte forma:

Na notação de medida e teoria de integração, uma soma pode ser expressa como uma integral definida,

Dada uma função f que é definida sobre os inteiros no intervalo [m, n], a seguinte equação é válida:

Um exemplo de aplicação da equação acima é o seguinte:

Usando o teorema binomial, isso pode ser reescrito como:

A fórmula acima é mais comumente usada para inverter o operador de diferença Δ < displaystyle Delta>, definido por:

Δ (f) (n) = f (n + 1) - f (n),

Nem sempre há uma expressão de forma fechada para esse somatório, mas a fórmula de Faulhaber fornece uma forma fechada no caso em que f (n) = n k < displaystyle f (n) = n ^> e, por linearidade, para cada função polinomial de n.

Muitas dessas aproximações podem ser obtidas pela seguinte conexão entre somas e integrais, que vale para qualquer função crescente f:

e para qualquer função decrescente f:

Para obter aproximações mais gerais, consulte a fórmula de Euler-Maclaurin.

Para somatórios nos quais o somatório é dado (ou pode ser interpolado) por uma função integrável do índice, o somatório pode ser interpretado como uma soma de Riemann ocorrendo na definição da integral definida correspondente. Portanto, pode-se esperar que, por exemplo

As fórmulas abaixo envolvem somas finitas para somas infinitas ou somas finitas de expressões envolvendo funções trigonométricas ou outras funções transcendentais, consulte a lista de séries matemáticas.

Editar identidades gerais

Poderes e logaritmo das progressões aritméticas Editar

Mais geralmente, tem-se a fórmula de Faulhaber para p & gt 1

Índice de soma em expoentes Editar

Nas seguintes somas, a é considerado diferente de 1.

Coeficientes binomiais e fatoriais Editar

Existem muitas identidades de soma envolvendo coeficientes binomiais (um capítulo inteiro de Matemática concreta é dedicado apenas às técnicas básicas). Alguns dos mais básicos são os seguintes.


Produto para soma de fórmulas em trigonometria

  1. sin x cos y = (1/2) [sin (x + y) + sin (x - y)]
  2. cos x sin y = (1/2) [sin (x + y) - sin (x - y)]
  3. cos x cos y = (1/2) [cos (x + y) + cos (x - y)]
  4. sin x sin y = (1/2) [cos (x - y) - cos (x + y)]

Exemplo 4
Simplifique 2 cos (3 x) cos (2 x) - cos (x)
Solução do Exemplo 4
Use a fórmula do produto (fórmula 3 acima) para escrever cos (3 x) cos (2 x) como uma soma na expressão dada
2 cos (3 x) cos (2 x) - cos (x) = 2 ((1/2) cos (3 x + 2 x) + cos (3 x - 2 x)) - cos (x)
Simplificar.
cos (5 x) + cos (x) - cos (x) = cos (5 x)


Fórmula da raiz do cubo | Diferença de cubos & # 038 Soma de cubos

Antes de examinarmos a soma real e as diferenças da fórmula do cubo, primeiro você precisa saber que as fórmulas do cubo são necessárias para estudar. Esta é uma parte da própria matemática simples e aprendida durante os primeiros dias de escola. É comumente usado para cálculos complexos onde cubos são dados ou o problema é declarado na forma de equações cúbicas.

Você deve saber como quebrar as equações cúbicas e continuar resolvendo os problemas difíceis. Com uma lista de fórmulas cúbicas básicas, basta colocar os valores e resolver qualquer problema em particular. Aqui, discutiremos como calcular a soma dos cubos e a diferença dos cubos.

Cubos de algum número são os seguintes & # 8211

A diferença da fórmula de cubos

Fatorar os dois cubos é quase idêntico, com uma diferença simples de sinal de menos. Você deve saber onde usar o sinal de menos na equação e resolver o problema em minutos. Às vezes, você tem que passar pela técnica da Força Bruta para resolver problemas matemáticos típicos. Mas é preciso muito tempo e esforços para reconhecer esses tipos de problemas onde a fórmula padronizada é necessária. Depois que você souber a fórmula para fatorar a 3 + b 3 ou a 3 & # 8211 b 3, resolver as equações será mais fácil do que substituir os valores na fórmula.

Fórmula da Soma dos Cubos

A outra fórmula de fatoração comum que você deve saber é muito semelhante à anterior, com uma única diferença de sinal. Aqui, está uma representação rápida de como a fórmula da soma dos cubos pode ser dada em matemática.

Observe a fórmula fornecida com atenção. Quando você multiplicar o lado direito, obterá a equação do lado esquerdo. Além disso, lembre-se de que a equação do cubo não pode ser fatorada mais.

Você só precisa das habilidades corretas de memorização em termos de duas fatorações para que o sinal de menos possa ser utilizado com sabedoria. O resto dos fatores são quase os mesmos se você tiver certeza da localização desse sinal de menos na equação. Poucas pessoas usam técnicas interessantes para controlar o sinal de menos e evitar qualquer erro durante a tentativa final, que pode ser um exame da escola ou qualquer outro teste competitivo.

Importante da fórmula do cubo para os alunos

É fácil memorizar fórmulas, mas a implementação real precisa ser correta. Qualquer método adequado para resolver a equação cúbica, você pode usar o mesmo. A melhor ideia é praticar uma série de problemas antes da tentativa final para garantir que o conceito seja claro e usado apenas de acordo com as expectativas.

Além disso, não perca tempo calculando mais porque esse foi o máximo que fizemos. A melhor ideia é aprender a implementação real e entender como eles podem ser benéficos no mundo real. As fórmulas do cubo também são usadas em nossa vida diária e uma parte importante das derivações típicas da química e da física. Eles são usados ​​quando você está se preparando para exames competitivos e estudos superiores. Então, tudo de bom e comece a aprender as diferentes fórmulas de cubos imediatamente com a técnica e abordagem corretas.


Simplificando, a derivada de uma soma (ou diferença) é igual à soma (ou diferença) das derivadas.

Mais precisamente, suponha f e g são funções diferenciáveis ​​em um determinado intervalo (uma, b) Então o soma f + g e a diferença fg são diferenciáveis ​​nesse intervalo, e

Exemplo: Função de lucro desconhecida

Deixar C(x) ser o custo de produção x itens e R(x) ser a receita gerada pela venda x Itens. Então, o lucro gerado pela produção e venda x itens é P(x) = R(x) – C(x) Suponha que conheçamos os seguintes dados.

C(1000)C '(1000)R(1000)R '(1000)
$7800$8.50$10,320$7.80

Encontre o valor de P ‘(1000) e interpretar seu significado. A empresa deve produzir mais ou menos de 1000 itens com base em sua análise?

Como a derivada mede a taxa de mudança, concluímos que a empresa perderia 70 centavos por cada item adicional produzido e vendido além de 1000. Já que aumentar o nível de produção resulta em menos lucro, a empresa provavelmente deve reduzir a produção para menos de 1000 itens.

Exemplo: Polinômios

Raramente encontramos as regras de soma e diferença isoladamente. Junto com a regra de potência e a regra múltipla constante, essas regras permitem diferenciar qualquer polinômio.

Observe que, na prática, você não precisa escrever cada etapa dessa forma todas as vezes. Depois de se familiarizar com as regras, você pode obter a resposta em uma etapa - pelo menos para funções simples como polinômios!


Para ajudar na memorização, primeiro observe que o termos em cada uma das duas fórmulas de fatoração são exatamente as mesmas. Em seguida, observe que cada fórmula tem apenas um sinal & quot menos & quot. A distinção entre as duas fórmulas está na localização daquele sinal & quotminus & quot:

Para o diferença de cubos, o sinal & quotminus & quot vai no fator linear, uma & ndash b para o soma de cubos, o sinal & quotminus & quot vai para o fator quadrático, uma 2 & ndash ab + b 2 .

Algumas pessoas usam o mnemônico & quot SABÃO & quot para ajudar a acompanhar os sinais que as letras representam para o fator linear tendo o sinal & quotname & quot como o sinal no meio da expressão original, então o fator quadrático começando com o sinal & quotopposto & quot do que estava na expressão original e, finalmente o segundo sinal dentro do fator quadrático é & sempre positivo & quot.

uma 3 e mais b 3 = (uma [ Mesmo assinar] b)(uma 2 [ Oposto assinar] ab [ Sempre Positivo ] b 2 )

Qualquer método que melhor ajude a manter essas fórmulas corretas, use-o, porque você não deve presumir que receberá essas fórmulas no teste. Você deve esperar precisar conhecê-los.

Nota: A parte quadrática de cada fórmula de cubo não fator, então não perca tempo tentando fatorá-lo. Sim, uma 2 & ndash 2ab + b 2 e uma 2 + 2ab + b 2 fator, mas isso é por causa dos 2 em seus termos intermediários. Os termos quadráticos dessas fórmulas de soma e diferença de cubos não tem que & quot 2 & quot, e assim não pode fator.

Quando você recebe um par de cubos para fatorar, aplique cuidadosamente a regra apropriada. Por & quotocuidado & quot, quero dizer & quotusar parênteses para controlar tudo, especialmente os sinais negativos & quot. Aqui estão alguns problemas típicos:

Fator x 3 & ndash 8

Isso é equivalente a x 3 & ndash 2 3. Com o sinal & quotminus & quot no meio, é uma diferença de cubos. Para fazer a fatoração, estarei conectando x e 2 na fórmula de diferença de cubos. Fazendo isso, eu recebo:

Fator 27x 3 + 1

O primeiro termo contém o cubo de 3 e o cubo de x . Mas e o segundo mandato?

Antes de entrar em pânico com a falta de um cubo aparente, lembro que 1 pode ser considerado como tendo sido elevado a qualquer potência que eu quiser, já que 1 elevado a qualquer potência ainda é apenas 1. Nesse caso, a potência que eu gostaria é de 3, pois isso me dará uma soma de cubos. Isso significa que a expressão que eles me deram pode ser expressa como:

Então, para fatorar, estarei conectando 3x e 1 na fórmula da soma dos cubos. Isso me dá:

Fator x 3 y 6 & ndash 64

Em primeiro lugar, observo que eles me deram um binômio (um polinômio de dois termos) e que o poder do x no primeiro termo é 3, então, mesmo que eu não estivesse trabalhando na seção "somas e diferenças de cubos" do meu livro, estaria ciente de que talvez devesse estar pensando em termos dessas fórmulas.

Olhando para a outra variável, noto que uma potência de 6 é o cubo de uma potência de 2, então a outra variável no primeiro termo pode ser expressa em termos de cubos, também a saber, como o cubo do quadrado de y .

O segundo termo é 64, que eu me lembro é o cubo de 4. (Se não me lembrasse, ou se não tivesse certeza, teria pegado minha calculadora e tentado coisas em cubagem até obter o valor correto, ou então teria obtido a raiz cúbica de 64).

Então, agora eu sei que, com o "menos" no meio, essa é uma diferença de dois cubos, a saber:

Conectando-se à fórmula apropriada, eu obtenho:

Usando uma fórmula apropriada, fator 16x 3 & ndash 250.

Hum. Eu sei que 16 é não um cubo de qualquer coisa é realmente igual a 2 4. Estás bem?

O que acontece é que eles esperam que eu use o que aprendi sobre fatoração simples para primeiro converter isso em uma diferença de cubos. Sim, 16 = 2 4, mas 8 = 2 3, um cubo. Posso obter 8 de 16 dividindo por 2. O que acontece se eu dividir 250 por 2? Recebo 125, que é o cubo de 5. Então, o que eles me deram pode ser reafirmado como:

Posso aplicar a fórmula da diferença de cubos ao que está dentro dos parênteses:


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