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6: Variedades de equilíbrio estáveis ​​e instáveis ​​- Matemática


Para equilíbrios hiperbólicos de campos vetoriais autônomos, a linearização captura o comportamento local próximo ao equilíbrio para o campo vetorial não linear. Descrevemos os resultados que justificam esta afirmação no contexto de sistemas autônomos bidimensionais.

Consideramos um campo vetorial autônomo bidimensional (C ^ r ), (r ge 1 ) da seguinte forma:

( ponto {x} = f (x, y) ),

[ dot {y} = g (x, y), (x, y) in mathbb {R} ^ 2. label {6.1} ]

Seja ( phi_ {t} ( cdot) ) o fluxo gerado por (6.1). Suponha que ((x_ {0}, y_ {0}) ) seja um ponto de equilíbrio hiperbólico deste campo vetorial, ou seja, os dois valores próprios da matriz Jacobiana:

( begin {pmatrix} { frac { partial f} { partial x} (x_ {0}, y_ {0})} & { frac { partial f} { partial y} (x_ {0 }, y_ {0})} { frac { parcial g} { parcial x} (x_ {0}, y_ {0})} & { frac { parcial g} { parcial y} ( x_ {0}, y_ {0})} end {pmatrix} )

  • ((x_ {0}, y_ {0}) ) é uma fonte para o campo vetorial linearizado,
  • ((x_ {0}, y_ {0}) ) é um sumidouro para o campo vetorial linearizado,
  • ((x_ {0}, y_ {0}) ) é uma sela para o campo vetorial linearizado.

Consideramos cada caso individualmente.

  • Neste caso ((x_ {0}, y_ {0}) ) é uma fonte para (6.1). Mais precisamente, existe uma vizinhança U de ((x_ {0}, y_ {0}) ) tal que para qualquer (p in U ), ( phi_ {t} (p) ) folhas U conforme t aumenta.
  • Neste caso ((x_ {0}, y_ {0}) ) é um sumidouro para (6.1). Mais precisamente, existe uma vizinhança S de ((x_ {0}, y_ {0}) ) tal que para qualquer abordagem (p in S ), ( phi_ {t} (p) ) ((x_ {0}, y_ {0}) ) a uma taxa exponencial conforme t aumenta. Neste caso ((x_ {0}, y_ {0}) ) é um exemplo de um conjunto de atração e sua base de atração é dada por:

    (B equiv bigcup_ {t le 0} phi_ {t} (S). )

  • Para o caso de pontos de sela hiperbólicos, a estrutura do ponto de sela ainda é mantida perto do ponto de equilíbrio para sistemas não lineares. Agora explicamos precisamente o que isso significa. Para fazer isso, precisaremos examinar (6.1) mais de perto. Em particular, precisaremos transformar (6.1) em um sistema de coordenadas que "localiza" o comportamento próximo ao ponto de equilíbrio e exibe especificamente a estrutura da parte linear. Já fizemos isso várias vezes ao examinar o comportamento próximo a soluções específicas, portanto, não repetiremos esses detalhes.

Transformando localmente próximo a ((x_ {0}, y_ {0}) ) desta maneira, podemos expressar (6.1) da seguinte forma:

[ begin {pmatrix} { dot { zeta}} { dot { eta}} end {pmatrix} = begin {pmatrix} {- alpha} & {0} {0} & { beta} end {pmatrix} begin {pmatrix} { zeta} { eta} end {pmatrix} + begin {pmatrix} {u ( zeta, eta)} {v ( zeta, eta)} end {pmatrix}, alpha, beta> 0, ( zeta, eta) in mathbb {R} ^ 2, label {6.2} ]

onde o Jacobiano na origem,

[ begin {pmatrix} {- alpha} & {0} {0} & { beta} end {pmatrix}, label {6.3} ]

reflete a natureza hiperbólica do ponto de equilíbrio. A linearização de (6.1) sobre a origem é dada por:

[ begin {pmatrix} { dot { zeta}} { dot { eta}} end {pmatrix} = begin {pmatrix} {- alpha} & {0} {0} & { beta} end {pmatrix} begin {pmatrix} { zeta} { eta} end {pmatrix}, label {6.4} ]

É fácil ver para o sistema linearizado que

[E ^ s = {( zeta, eta) | eta = 0}, label {6.5} ]

é o subespaço estável invariável e

[E ^ u = {( zeta, eta) | zeta = 0}, label {6.6} ]

é o subespaço instável invariável.

Agora declaramos como essa estrutura do ponto de sela é herdada pelo sistema não linear, declarando os resultados do teorema de variedade estável e instável para equilíbrios hiperbólicos para campos vetoriais não autônomos bidimensionais.

Primeiro, consideramos dois intervalos dos eixos coordenados contendo a origem da seguinte forma:

[I _ { zeta} equiv {- epsilon < zeta < epsilon}, label {6.7} ]

e

[I _ { eta} equiv {- epsilon < eta < epsilon}, label {6.8} ]

para algum pequeno ( epsilon> 0 ). Uma vizinhança da origem é construída tomando o produto cartesiano desses dois intervalos:

[B _ { epsilon} equiv {( zeta, eta) in mathbb {R} ^ 2 | ( zeta, eta) in I _ { zeta} times I _ { eta} }, label {6.9} ]

e é ilustrado na Fig. 6.1. O teorema da variedade estável e instável para pontos de equilíbrio hiperbólico de campos vetoriais autônomos afirma o seguinte.

Existe uma curva (C ^ r ), dada pelo gráfico de uma função das variáveis ​​ ( zeta ):

[ eta = S ( zeta), zeta in I _ { zeta}, label {6.10} ]

Esta curva possui três propriedades importantes.

Ele passa pela origem, ou seja, S (0) = 0.

É tangente a (E ^ s ) na origem, ou seja, ( frac {dS} {d zeta} (0) = 0 ).

É localmente invariante no sentido de que qualquer trajetória começando na curva se aproxima da origem a uma taxa exponencial como (t rightarrow infty ), e sai de (B _ { epsilon} ) como (t rightarrow - infty ).

Além disso, a curva que satisfaz essas três propriedades é única. Por essas razões, esta curva é referida como a variedade estável local da origem e é denotada por:

[W_ {loc} ^ {s} ((0, 0)) = {( zeta, eta) in B _ { epsilon} | eta = S ( zeta) }. label {6.11} ]

Da mesma forma, existe outra curva (C ^ {r} ), dada pelo gráfico de uma função das variáveis ​​ ( eta ):

[ zeta = U ( eta), eta in I _ { eta}, label {6.12} ]

Esta curva possui três propriedades importantes.

Ele passa pela origem, ou seja, U (0) = 0.

É tangente a (E ^ u ) na origem, ou seja, ( frac {dU} {d eta} (0) = 0 ).

É localmente invariante no sentido de que qualquer trajetória começando na curva se aproxima da origem a uma taxa exponencial como (t rightarrow - infty ), e sai de (B _ { epsilon} ) como (t rightarrow infty ).

Por essas razões, essa curva é referida como a variedade instável local da origem e é denotada por:

[W_ {loc} ^ {u} ((0, 0)) = {( zeta, eta) in B _ { epsilon} | zeta = S ( zeta) }. label {6.13} ]

A curva que satisfaz essas três propriedades é única.

Essas variedades locais estáveis ​​e instáveis ​​são as "sementes" para as variedades globais estáveis ​​e instáveis ​​que são definidas da seguinte forma:

[W ^ {s} ((0, 0)) equiv bigcup_ {t le 0} phi_ {t} (W_ {loc} ^ {s} ((0, 0))), label { 6,14} ]

e

[W ^ {u} ((0, 0)) equiv bigcup_ {t ge 0} phi_ {t} (W_ {loc} ^ {u} ((0, 0))), label { 6,15} ]

Agora consideraremos uma série de exemplos que mostram como essas idéias são usadas.

Exemplo ( PageIndex {13} )

Consideramos o seguinte campo vetorial autônomo e não linear no plano:

( ponto {x} = x ),

[ dot {y} = y + x ^ 2, (x, y) in mathbb {R} ^ 2. label {6.16} ]

Este campo vetorial possui um ponto de equilíbrio na origem, (x, y) = (0, 0). O Jacobiano do campo vetorial avaliado na origem é dado por:

[ begin {pmatrix} {1} & {0} {0} & {- 1} end {pmatrix}. label {6.17} ]

A partir desse cálculo, podemos concluir que a origem é um ponto de sela hiperbólico. Além disso, o eixo x é o subespaço instável para o campo vetorial linearizado e o eixo y é o subespaço estável para o campo vetorial linearizado.

A seguir, consideramos o campo vetorial não linear (6.16). Por inspeção, vemos que o eixo y (ou seja, x = 0) é a variedade estável global para a origem. A seguir, consideramos a variedade instável. Dividindo a segunda equação pela primeira equação em (6.16), obtém-se:

[ frac { dot {y}} { dot {x}} = frac {dy} {dx} = - frac {y} {x} + x. label {6.18} ]

Esta é uma equação linear não autônoma. Uma solução desta equação passando pela origem é dada por:

[y = frac {x ^ 2} {3}, label {6.19} ]

Também é tangente ao subespaço instável na origem. É a variedade global instável.

Examinamos esta declaração mais detalhadamente. É fácil calcular o fluxo gerado por (6.16). O componente x pode ser resolvido e substituído no componente y para produzir uma equação linear não autônoma de primeira ordem. Portanto, o fluxo gerado por (6.16) é dado por:

(X (t, x_ {0}) = x_ {0} e ^ t ),

[y (t, t_ {0}) = (y_ {0} - frac {x_ {0} ^ 2} {3}) e ^ {- t} + frac {x_ {0} ^ 2} { 3} e ^ {2t}, label {6.20} ]

A variedade global instável da origem é o conjunto de condições iniciais que têm a propriedade de que as trajetórias através dessas condições iniciais se aproximam da origem a uma taxa exponencial como (t rightarrow - infty ). Ao examinar os dois componentes de (6.20), vemos que o componente x se aproxima de zero como (t rightarrow - infty ) para qualquer escolha de (x_ {0} ). No entanto, o componente y só se aproximará de zero quando (t rightarrow - infty ) se (y_ {0} ) e (x_ {0} ) forem escolhidos de forma que

[y_ {0} = frac {x_ {0} ^ 2} {3}, label {6.21} ]

Portanto, (6.21) é a variedade global instável da origem.

Exemplo ( PageIndex {14} )

Considere o seguinte campo vetorial autônomo não linear no plano:

( ponto {x} = x-x ^ 3 ),

[ dot {y} = -y, (x, y) in mathbb {R} ^ 2. label {6.22} ]

Observe que os componentes xey evoluem independentemente.

Os pontos de equilíbrio e os Jacobianos associados às suas linearizações são dados da seguinte forma:

[(x, y) = (0, 0); begin {pmatrix} {1} & {0} {0} & {- 1} end {pmatrix}; saddle label {6.23} ]

[(x, y) = ( pm 1, 0); begin {pmatrix} {-2} & {0} {0} & {- 1} end {pmatrix}; coletores rótulo {6.24} ]

Agora calculamos as variedades globais estáveis ​​e instáveis ​​desses equilíbrios. Começamos com o ponto de sela na origem.

(W ^ {s} ((0, 0)) = {(x, y) | x = 0 } )

[W ^ {u} ((0, 0)) = {(x, y) | -1

Para os sumidouros, o coletor estável global é sinônimo da bacia de atração do coletor.

[(1, 0): W ^ {s} ((1, 0)) = {(x, y) | x> 0 } label {6.26} ]

[(- 1, 0): W ^ {s} ((-1, 0)) = {(x, y) | x <0 } label {6.27} ]

Exemplo ( PageIndex {15} )

Neste exemplo, consideramos o seguinte campo vetorial autônomo não linear no plano:

( ponto {x} = -x ),

[ dot {y} = y ^ {2} (1-y ^ {2}), (x, y) in mathbb {R} ^ 2. label {6.28} ]

Observe que os componentes xey evoluem independentemente.

Os pontos de equilíbrio e os Jacobianos associados às suas linearizações são dados da seguinte forma:

[(x, y) = (0, 0), (0, pm 1) label {6,29} ]

[(x, y) = (0, 0); begin {pmatrix} {-1} & {0} {0} & {0} end {pmatrix}; não hiperbólico label {6,30} ]

[(x, y) = (0, 1); begin {pmatrix} {-1} & {0} {0} & {- 2} end {pmatrix}; coletor rótulo {6.31} ]

[(x, y) = (0, -1); begin {pmatrix} {-1} & {0} {0} & {2} end {pmatrix}; saddle label {6.32} ]

Agora calculamos a estrutura de variedade invariante global para cada um dos equilíbrios, começando com (0, 0).

(W ^ {s} ((0, 0)) = {(x, y) | y = 0 } )

[W ^ {u} ((0, 0)) = {(x, y) | -1

O eixo x é claramente a variedade estável global para este ponto de equilíbrio. O segmento no eixo y entre (- 1 ) e 1 é invariante, mas não corresponde a uma direção hiperbólica. É conhecido como a variedade central da origem, e aprenderemos muito mais sobre variedades invariantes associadas a direções não hiperbólicas posteriormente.

O ponto de equilíbrio (0, 1) é um sumidouro. Sua variedade estável global (bacia de atração) é dada por:

[W ^ {s} ((0, 1)) = {(x, y) | y> 0 } label {6.34} ]

O ponto de equilíbrio ((0, -1) ) é um ponto de sela com variedades globais estáveis ​​e instáveis ​​dadas por:

(W ^ {s} ((0, -1)) = {(x, y) | y = -1 } )

[W ^ {u} ((0, -1)) = {(x, y) | - infty

Exemplo ( PageIndex {16} )

Neste exemplo, consideramos o seguinte campo vetorial autônomo não linear no plano:

( ponto {x} = y ),

[ dot {y} = x-x ^ {3} - delta y, (x, y) in mathbb {R} ^ 2, delta> 0, label {6,36} ]

onde ( delta> 0 ) deve ser visto como um parâmetro. Os pontos de equilíbrio são dados por:

[(x, y) = (0, 0), ( pm 1, 0). label {6,37} ]

Queremos classificar a estabilidade linearizada dos equilíbrios. O Jacobiano do campo vetorial é dado por:

[A = begin {pmatrix} {0} & {1} {1-3x ^ 2} & {- delta} end {pmatrix}, label {6.38} ]

e os autovalores do Jacobiano são:

[ lambda _ { pm} = - frac { delta} {2} pm frac {1} {2} sqrt { delta ^ 2 + 4-12x ^ 2}. label {6.39} ]

Avaliamos esta expressão para os valores próprios em cada um dos equilíbrios para determinar sua estabilidade linearizada.

[(0, 0); lambda _ { pm} = - frac { delta} {2} pm frac {1} {2} sqrt { delta ^ 2 + 4} label {6.40} ]

Observe que

( Delta ^ 2 + 4> delta ^ 2 )

portanto, os autovalores são sempre reais e de sinal oposto. Isso implica que (0, 0) é uma sela.

[( pm 1, 0); lambda _ { pm} = - frac { delta} {2} pm frac {1} {2} sqrt { delta ^ 2-8} label {6.41} ]

Primeiro, observe que

( delta ^ 2-8 < delta ^ 2 ).

Isso implica que esses dois pontos fixos são sempre sumidouros. No entanto, existem dois subcasos.

( delta ^ 2-8 <0 ): os autovalores têm uma parte imaginária diferente de zero.

( delta ^ 2-8> 0 ): os autovalores são puramente reais.

Na fig. 6.4 esboçamos a estrutura de variedade invariante local para esses dois casos.

Na fig. 6.5 esboçamos a estrutura de variedade invariante global para os dois casos. Nas próximas palestras, aprenderemos como podemos justificar esse número. No entanto, observe o papel que o coletor estável da sela desempenha na definição das bacias de atração das duas pias.

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Equações diferenciais ordinárias

Atribuição
CC BY


Hipercaos em um circuito memristivo 4D com infinitos equilíbrios estáveis

Este artigo estuda um sistema memristivo quadridimensional (4D) modificado a partir do sistema caótico 3D proposto por Lü e Chen. O novo sistema mantém a simetria e dissipatividade do sistema original e tem um número infinito incontável de equilíbrios estáveis ​​e instáveis. Variando a força do memristor, encontramos uma dinâmica complexa rica, como ciclos limite, toro, caos e hipercaos, que podem coexistir pacificamente com os equilíbrios estáveis. Para explicar tal coexistência, calculamos as variedades instáveis ​​dos equilíbrios, descobrimos que as variedades criam uma zona segura para o atrator hipercaótico e também encontramos muitas órbitas heteroclínicas. Para verificar a existência de hipercaos no circuito memristivo 4D, realizamos uma prova assistida por computador via ferradura topológica com expansões bidirecionais, bem como um experimento de circuito em vistas de osciloscópio.

Esta é uma prévia do conteúdo da assinatura, acesso por meio de sua instituição.


Soluções de equilíbrio estável, semi-estável e instável

Lembre-se de que se $ frac

= f (t, y) $ é uma equação diferencial, então as soluções de equilíbrio podem ser obtidas definindo $ frac
= 0 $. Por exemplo, se $ frac = y (y + 2) $, então as soluções de equilíbrio podem ser obtidas resolvendo $ y (y + 2) = 0 $ por $ y $. Portanto, vemos que $ y = 0 $ e $ y = -2 $ são as soluções de equilíbrio.

Veremos agora como classificar essas soluções de equilíbrio.

Definição: Uma solução de equilíbrio é considerada Assintoticamente Estável se em ambos os lados desta solução de equilíbrio, existem outras soluções que se aproximam desta solução de equilíbrio. Uma solução de equilíbrio é considerada Semi-Estável se de um lado dessa solução de equilíbrio existem outras soluções que se aproximam dessa solução de equilíbrio, e do outro lado da solução de equilíbrio, outras soluções divergem dessa solução de equilíbrio. Uma solução de equilíbrio é considerada Instável se em ambos os lados desta solução de equilíbrio outras soluções divergem desta solução de equilíbrio.

A imagem a seguir é o campo de inclinação da equação diferencial $ frac = (y - 1) ^ 2 (y - 2) (y- 3) $ que tem três soluções de equilíbrio, $ y = 1 $, $ y = 2 $ e $ y = 3 $.


Conteúdo

Muitas partes da teoria qualitativa de equações diferenciais e sistemas dinâmicos lidam com propriedades assintóticas de soluções e as trajetórias - o que acontece com o sistema após um longo período de tempo. O tipo mais simples de comportamento é exibido por pontos de equilíbrio, ou pontos fixos, e por órbitas periódicas. Se uma órbita particular for bem compreendida, é natural perguntar a seguir se uma pequena mudança na condição inicial levará a um comportamento semelhante. A teoria da estabilidade aborda as seguintes questões: Uma órbita próxima permanecerá indefinidamente próxima a uma determinada órbita? Vai convergir para a órbita dada? No primeiro caso, a órbita é chamada estábulo no último caso, é chamado assintoticamente estável e a órbita dada é considerada atraindo.

Estabilidade significa que as trajetórias não mudam muito sob pequenas perturbações. A situação oposta, onde uma órbita próxima está sendo repelida da órbita dada, também é de interesse. Em geral, perturbar o estado inicial em algumas direções resulta na trajetória se aproximando assintoticamente daquela dada e em outras direções na trajetória se afastando dela. Também pode haver direções para as quais o comportamento da órbita perturbada é mais complicado (nem convergindo nem escapando completamente), e então a teoria da estabilidade não fornece informações suficientes sobre a dinâmica.

Uma das idéias-chave na teoria da estabilidade é que o comportamento qualitativo de uma órbita sob perturbações pode ser analisado usando a linearização do sistema próximo à órbita. Em particular, em cada equilíbrio de um sistema dinâmico suave com um nespaço de fase dimensional, há um certo n×n matriz UMA cujos autovalores caracterizam o comportamento dos pontos próximos (teorema de Hartman-Grobman). Mais precisamente, se todos os valores próprios forem números reais negativos ou números complexos com partes reais negativas, então o ponto é um ponto fixo de atração estável e os pontos próximos convergem para ele a uma taxa exponencial, cf estabilidade de Lyapunov e estabilidade exponencial. Se nenhum dos valores próprios for puramente imaginário (ou zero), as direções de atração e repulsão estão relacionadas aos espaços próprios da matriz UMA com autovalores cuja parte real é negativa e, respectivamente, positiva. Declarações análogas são conhecidas por perturbações de órbitas mais complicadas.

O tipo mais simples de órbita é um ponto fixo ou equilíbrio. Se um sistema mecânico está em um estado de equilíbrio estável, um pequeno empurrão resultará em um movimento localizado, por exemplo, pequenas oscilações como no caso de um pêndulo. Em um sistema com amortecimento, um estado de equilíbrio estável é, além disso, assintoticamente estável. Por outro lado, para um equilíbrio instável, como uma bola no topo de uma colina, certos pequenos empurrões resultarão em um movimento de grande amplitude que pode ou não convergir para o estado original.

Existem testes de estabilidade úteis para o caso de um sistema linear. A estabilidade de um sistema não linear pode frequentemente ser inferida a partir da estabilidade de sua linearização.

Maps Edit

Deixar f: RR ser uma função continuamente diferenciável com um ponto fixo uma , f(uma) = uma . Considere o sistema dinâmico obtido pela iteração da função f :

O ponto fixo uma é estável se o valor absoluto da derivada de f no uma é estritamente menor que 1 e instável se for estritamente maior que 1. Isso ocorre porque perto do ponto uma , a função f tem uma aproximação linear com inclinação f '(uma) :

f (x) ≈ f (a) + f ′ (a) (x - a).

xn + 1 - xn = f (xn) - xn ≃ f (a) + f ′ (a) (xn - a) - xn = a + f ′ (a) (xn - a) - xn = (f ′ ( a) - 1) (xn - a) → xn + 1 - xnxn - a = f ′ (a) - 1 < displaystyle x_-x_= f (x_) -x_ simeq f (a) + f '(a) (x_-machado_= a + f '(a) (x_-machado_= (f '(a) -1) (x_-a) para < frac <>-x_><>-a >> = f '(a) -1>

o que significa que a derivada mede a taxa na qual as iterações sucessivas se aproximam do ponto fixo uma ou divergir dela. Se a derivada em uma é exatamente 1 ou -1, então mais informações são necessárias para decidir a estabilidade.

Existe um critério análogo para um mapa continuamente diferenciável f: R nR n com um ponto fixo uma , expresso em termos de sua matriz Jacobiana em uma , Juma(f) Se todos os valores próprios de J são números reais ou complexos com valor absoluto estritamente menor que 1, então uma é um ponto fixo estável se pelo menos um deles tiver valor absoluto estritamente maior que 1, então uma é instável. Assim como para n = 1, o caso do maior valor absoluto sendo 1 precisa ser investigado mais a fundo - o teste da matriz Jacobiana é inconclusivo. O mesmo critério vale mais geralmente para difeomorfismos de uma variedade lisa.

Sistemas autônomos lineares Editar

A estabilidade de pontos fixos de um sistema de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes de primeira ordem pode ser analisada usando os autovalores da matriz correspondente.

Onde x(t) ∈ R n e UMA é um n×n matriz com entradas reais, tem uma solução constante

(Em um idioma diferente, a origem 0 ∈ R n é um ponto de equilíbrio do sistema dinâmico correspondente.) Esta solução é assintoticamente estável como t → ∞ ("no futuro") se e somente se para todos os autovalores λ do UMA , Re (λ) & lt 0. Da mesma forma, é assintoticamente estável como t → −∞ ("no passado") se e somente se para todos os autovalores λ do UMA , Re (λ) & gt 0. Se existe um autovalor λ do UMA com Re (λ) & gt 0, então a solução é instável para t → ∞ .

A aplicação desse resultado na prática, a fim de decidir a estabilidade da origem para um sistema linear, é facilitada pelo critério de estabilidade de Routh-Hurwitz. Os valores próprios de uma matriz são as raízes de seu polinômio característico. Um polinômio em uma variável com coeficientes reais é chamado de polinômio de Hurwitz se as partes reais de todas as raízes forem estritamente negativas. O teorema de Routh-Hurwitz implica uma caracterização dos polinômios de Hurwitz por meio de um algoritmo que evita o cálculo das raízes.

Sistemas autônomos não lineares Editar

A estabilidade assintótica de pontos fixos de um sistema não linear pode frequentemente ser estabelecida usando o teorema de Hartman-Grobman.

Suponha que v é um C 1 campo de vetor em R n que desaparece em um ponto p , v(p) = 0. Então, o sistema autônomo correspondente

Deixar Jp(v) seja o n×n Matriz Jacobiana do campo vetorial v no ponto p . Se todos os valores próprios de J ter parte real estritamente negativa, então a solução é assintoticamente estável. Essa condição pode ser testada usando o critério de Routh-Hurwitz.

Uma maneira geral de estabelecer a estabilidade de Lyapunov ou estabilidade assintótica de um sistema dinâmico é por meio das funções de Lyapunov.


L. Arnold (1998) Random Dynamical Systems Springer New York

I. (1992). Attractors of Evolution Equations, North-Holland, Amsterdam, London, New York, Tokyo.

Bates, P., Lu, K. e Zeng, C. (1998) Existence and Persistence of Invariant Manifolds for Semiflows in Banach Space, Vol. 135 de Memórias da AMS

Caraballo, T., Kloeden, P. e Schmalfuß, B. (2003). Soluções estacionárias exponencialmente estáveis ​​para equações de evolução estocástica e sua perturbação. Manuscrito.

T. Caraballo J. Langa J. C. Robinson (2001) ArtigoTítulo Uma bifurcação de forquilha estocástica em uma equação de reação-difusão Proc. R. Soc. Lond. UMA 457 2041–2061

C. Castaing M. Valadier (1977) Convex Analysis and Measurable Multifunctions Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York.

S-N. Chow K. Lu X -B. Lin (1991) ArtigoTítulo Folheações suaves para fluxos no espaço de Banach J. Equações Diferenciais 94 266–291

G. Da Prato J. Zabczyk (1992) Stochastic Equations in Infinite Dimensions University Press Cambridge

G. Da Prato A. Debussche (1996) ArtigoTítulo Construção de variedades inerciais estocásticas usando integração reversa Stochastics Stochastics Rep. 59 IssueID 3-4 305-324

Duan, J., Lu, K. e Schmalfu ß, B. (2003). Variedades invariantes para equações diferenciais parciais estocásticas. Ann. Prob. na imprensa

T. V. Girya I. D. Chueshov (1995) Artigo Título Variedades inerciais e medidas estacionárias para sistemas dinâmicos dissipativos estocasticamente perturbados Sb. Matemática. 186 IssueID 1 29-45

J. Hadamard (1901) Artigo Título Sur l’iteration et les solutions asymptotiques des equations differentielles Touro. Soc. Matemática. França 29 224–228

D. Henry (1981) Teoria geométrica das equações parabólicas semilineares, vol. 840 de Notas de aula em matemática Springer-Verlag New York

H. Kunita (1990) Stochastic Flows and Stochastic Differential Equations Cambridge University Press Cambridge

MAR. Mohammed M. K. R. Scheutzow (1999) ArticleTitle O teorema da variedade estável para equações diferenciais estocásticas Ann. Prob 27 IssueID (2) 615-652

O. Perron (1928) Título do artigo < ”U> ber Stabilit ” em und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen Matemática. Z. 29 129–160

D. Ruelle (1982) Artigo Título Expoentes característicos e variedades invariantes em espaços de Hilbert Ann. da matemática. 115 243–290

B. Schmalfuß (1997) ArtigoTítulo O atrator aleatório do sistema estocástico de Lorenz ZAMP 48 951–975

B. Schmalfuß (2000) ArticleTitle Um teorema de ponto fixo aleatório e a transformação de gráfico aleatório J. Math. Anal. Appl. 225 IssueID 1 91-113

Schmalfu § B. (2000). Atratores para os sistemas dinâmicos não autônomos. In Gr < ”o> ger, K., Fiedler B. e Sprekels, J. (eds.), Proceedings , World Scientific, pp. 684-690.

T. Wanner (1995) Linearização de sistemas dinâmicos aleatórios C. Jones U. Kirchgraber H. O. Walther (Eds) Dynamics Reported Springer-Verlag New York 203-269


Conteúdo

Um site sobre software de sistemas dinâmicos é [a8].

O pacote de software mais amplamente usado para cálculos de sistemas dinâmicos é AUTO97 [a4]. Este software é distribuído gratuitamente, consulte [a1]. Um manual também está disponível neste site. AUTO tem muitos recursos interessantes:

Ele pode calcular ramificações de solução de (a2), detectar e calcular pontos de ramificação e computar as ramificações bifurcadas. Ele também pode detectar e calcular pontos limites e pontos Hopf e continuar estes em dois parâmetros. Além disso, ele pode encontrar extremos de uma função objetivo ao longo dos ramos da solução e continuar esses extremos em mais parâmetros.

Ele pode calcular pontos fixos para o sistema dinâmico discreto (a3). Ele pode computar ramos de tais pontos fixos, detectar, computar e continuar pontos de dobra, duplicação de período (flip) e bifurcações Neimark-Sacker de pontos fixos.

Ele pode realizar uma análise de bifurcação de (a1). Ele pode calcular ramificações de órbitas periódicas estáveis ​​e instáveis ​​e calcular os multiplicadores de Floquet. As órbitas periódicas podem ser iniciadas a partir de pontos de bifurcação de Hopf. Ao longo de ramos de órbitas periódicas, pontos de ramificação, pontos de dobra, duplicação de período e bifurcações de toro podem ser calculados. Em bifurcações de duplicação de ramo e período, a comutação de ramo é possível.

Bifurcações de duplicação de período, dobras, pontos de bifurcação de toro e órbitas com período fixo podem ser continuados em dois parâmetros.

Ele pode seguir curvas de órbitas homoclínicas e detectar e continuar várias codimensões - $ 2 $ órbitas homoclínicas.

Ele pode localizar extremos de uma função objetivo integral ao longo de um ramo de soluções periódicas e continuar tais extremos em mais parâmetros.

Ele também pode calcular curvas de soluções para (a1) em um intervalo fixo $ [0,1] $ sujeito a condições gerais não lineares integrais e de contorno. Dobras e pontos de ramificação podem ser calculados ao longo dessas curvas. Curvas de dobras podem ser calculadas e a troca de ramificação em pontos de ramificação é fornecida.

Ele pode ainda fazer alguns cálculos estacionários e de onda para equações diferenciais parciais da forma

começar marcação dot = D _ > + G (x, alpha), end

onde $ D $ é uma matriz diagonal de constantes de difusão e $ x $ depende do tempo $ t $ e de uma variável de espaço unidimensional $ s $.

Em AUTO, a qualidade numérica dos algoritmos é fortemente enfatizada e a interface gráfica do usuário recebe menos atenção. Na verdade, AUTO pode ser usado no modo de comando, ou seja, sem qualquer interface gráfica.

CONTENTE.

Outro pacote importante é CONTENT [a10], cujo desenvolvedor principal é Yu.A. Kuznetsov.

CONTEÚDO é um ambiente de CONTINUAÇÃO e a interação do usuário é por meio de um sistema de janelas. Para as equações algébricas (a2) como soluções de equilíbrio de (a1), CONTENT fornece mais rotinas do que AUTO. Na verdade, permite detectar todas as bifurcações codimensionais e continuá-las numericamente se um terceiro parâmetro for liberado. Essas bifurcações com duas codimensões são: Bogdanov-Takens, Hopf zero, Hopf duplo, cúspide e Hopf generalizado. O comportamento de sistemas dinâmicos próximos a bifurcações de equilíbrio de codimensão dois é descrito em [a7] e [a9]. Genericamente, órbitas periódicas, órbitas homoclínicas, toros invariantes e comportamento caótico podem ser detectados. CONTEÚDO permite até mesmo detectar e calcular certas codimensões - $ 3 $ bifurcações, como zero triplo, cauda de andorinha, Hopf duplo ressonante e alguns outros. Além disso, na maioria dos casos, CONTENT oferece várias rotinas computacionais para calcular e continuar os pontos de bifurcação.

Para sistemas dinâmicos discretos (a3), CONTEÚDO oferece as mesmas possibilidades que AUTO, mas deixa ao usuário a opção de usar vários métodos.

Para sistemas dinâmicos (a1), CONTENT oferece menos rotinas do que AUTO. No entanto, permite calcular curvas de órbitas periódicas e detectar a dobra, a inversão e as bifurcações de Neimark-Sacker.

Para equações diferenciais parciais, CONTEÚDO permite uma classe mais ampla de problemas unidimensionais do que AUTO na verdade, em (a4) o lado direito pode ser substituído por praticamente qualquer função "razoável" e as condições de contorno podem ser bastante gerais. Por outro lado, apenas o cálculo da evolução temporal de tais sistemas é atualmente (2000) suportado e apenas pelos métodos implícitos de Euler e Crank-Nicolson.

Outros pacotes.

Um terceiro pacote quase comparável é CANDYS / QA (veja [a8] para mais informações).

DsTool [a8] pode calcular equilíbrios de equações diferenciais ordinárias e difeomorfismos e calcular suas variedades estáveis ​​e instáveis. Vários pacotes, notadamente DsTool, Dynamics Solver e XPP simulam e resolvem numericamente equações de sistemas dinâmicos. Vários outros pacotes, notavelmente Global Manifolds 1D, Global Manifolds 2D, GAIO e variedades invariantes de computação do método BOV. Veja [a8] para detalhes.

Para equações diferenciais parciais, a escolha do software é limitada. Além dos recursos de AUTO e CONTEÚDO, existe o PDECONT [a8] para a continuação de soluções periódicas de equações diferenciais parciais. Em seguida, existe o pacote de software PLTMG [a2] que permite resolver toda uma classe de problemas de valor de contorno em regiões do plano, continuar a solução em relação a um parâmetro e até mesmo calcular pontos de ramificação e pontos limites. Este software combina uma sofisticada discretização de elementos finitos com técnicas avançadas de álgebra linear.

Para equações diferenciais de atraso existe o pacote de bifurcação DDE-BIFTOOL [a5].


Modelo de crescimento logístico - Equilíbrio

bem como um gráfico da função de inclinação, f (P) = r P (1 - P / K). Clique na figura à esquerda para gerar soluções da equação logística para várias populações iniciais P (0). [Nota: A coordenada vertical do ponto em que você clica é considerada como P (0). A coordenada horizontal (tempo) é ignorada.]

  1. Explique porque P (t) = 0 é uma solução. Uma solução constante é chamada de equilíbrio.
  2. A equação logística tem outro equilíbrio, ou seja, uma solução da forma P (t) = constante. Qual é a constante? Explique como você sabe pela equação diferencial que esta função é uma solução.
  3. Se a população inicial P (0) é melhor que K, o que você pode dizer sobre a solução P (t)? O que você vê na equação diferencial que confirma esse comportamento?
  4. Se a população inicial P (0) é menor que K, o que você pode dizer sobre a solução P (t)? O que você vê na equação diferencial que confirma esse comportamento?
  5. Porque é capacidade de carga um nome apropriado para K?

Uma solução de equilíbrio P = c é chamado estábulo se alguma solução P (t) que começa perto P = c fica Próximo disso. O equilíbrio P = c é chamado assintoticamente estável se alguma solução P (t) que começa perto P = c na realidade converge para ele - isto é,

Se um equilíbrio não é estável, é chamado instável. Isso significa que há pelo menos uma solução que começa perto do equilíbrio e foge dele.

  1. É a solução de equilíbrio P = 0 estável ou instável? Se estável, também é assintoticamente estável? Explique.
  2. A solução de equilíbrio que você encontrou na etapa 3 é estável ou instável? Se estável, também é assintoticamente estável? Explique.

Leonard Lipkin e David Smith, "Logistic Growth Model - Equilibria", Convergência (Dezembro de 2004)


Descrição da Pesquisa

  • O computador como o "laboratório" do matemático para estudar a dinâmica global de sistemas não lineares. I'm especially interested in the computation and visualization of smooth invariant manifolds.
  • Reformulation of qualitative questions about nonlinear dynamical systems into quantitative functional equations, and numerical methods for studying these functional equations.
  • Rigorous numerical methods and computer assisted proof in analysis, especially constructive a-posteriori existence (or "shadowing") theorems for invariant manifolds, connecting dynamics, and chaotic motions.

Saddle-node bifurcation

where $ f $ is a smooth function. Suppose that at $ alpha = 0 $ the system (a1) has an equilibrium (cf. also Equilibrium position) $ x = 0 $ with a simple eigenvalue $ lambda _ <1>= 0 $( cf. also Eigen value) of its Jacobian matrix $ A = f _ ( 0,0 ) $. Then, generically, two equilibria collide, form a saddle node singular point, and disappear when $ alpha $ passes through $ alpha = 0 $. This phenomenon is called the saddle-node (or fold) bifurcation [a1], [a2], [a4]. It is characterized by one bifurcation condition $ lambda _ <1>= 0 $( has codimension one) and appears generically in one-parameter families.

To formulate relevant facts more precisely, first consider a smooth differential equation

$ ag > = f ( x, alpha ) , quad x in mathbf R ^ <1>, alpha in mathbf R ^ <1>, $

that has at $ alpha = 0 $ the equilibrium $ x = 0 $ with $ lambda _ <1>= f _ ( 0,0 ) = 0 $. If the following non-degeneracy (genericity) conditions hold:

2) $ f _ alpha ( 0,0 ) eq 0 $, then (a2) is locally topologically equivalent (cf. Equivalence of dynamical systems) near the origin to the normal form

$ ag > = eta + sigma y ^ <2>, quad y in mathbf R ^ <1>, eta in mathbf R ^ <1>, $

where $ sigma = < mathop< m sign>> a = pm 1 $, [a2], [a6]. The system (a3) has two equilibria (one stable and one unstable) $ y _ <1,2 >= pm sqrt <- sigma eta >$ for $ sigma eta < 0 $ and no equilibria for $ sigma eta > 0 $.

In the $ n $- dimensional case, the Jacobian matrix $ A $ evaluated at the equilibrium $ x = 0 $ has a simple eigenvalue $ lambda _ <1>= 0 $, as well as $ n _ $ eigenvalues with $ < mathop< m Re>> lambda _ < 0 $, and $ n _ $ eigenvalues with $ < mathop< m Re>> lambda _ > 0 $( $ n _ + n _ + 1 = n $). According to the centre manifold theorem (cf. Centre manifold [a5], [a3], [a7]), there is an invariant one-dimensional centre manifold $ _ alpha $ near the origin, the restriction of (a1) to which has the form (a2). Moreover, [a2], under the non-degeneracy conditions 1) and 2), the system (a1) is locally topologically equivalent (cf. Equivalence of dynamical systems) near the origin to the suspension of the normal form (a3) by the standard saddle:

$ ag left < egin < > = eta + sigma y ^ <2>, y in mathbf R ^ <1>, eta in mathbf R ^ <1>, > < > _ = - y _ , y _ in mathbf R ^ > , > < > _ = + y _ , y _ in mathbf R ^ >. > end ight . $

Fig.a1 shows the phase portraits of the system (a4) in the planar case, when $ n = 2 $, $ n _ = 1 $, $ n _ = 0 $, and $ sigma = 1 $.

Saddle-node (fold) bifurcation on the plane

The coefficient $ a $ can be computed (to within a scalar multiple) in terms of the right-hand sides of (a1), given two eigenvectors $ v,w in mathbf R ^ $ corresponding to the zero eigenvalue of $ A $ and of its transpose $ A ^ $, respectively:

$ Av = A ^ w = 0, quad left langle ight angle = 1, $

where $ langle angle = sum _ ^ w _ v _ $ is the inner product in $ mathbf R ^ $. Namely [a6],

For discrete-time dynamical systems, similar results are valid concerning bifurcations of fixed points with a simple eigenvalue $ mu _ <1>= 1 $ of the Jacobian matrix [a2], [a8], [a6].


Assista o vídeo: Eksamen, matematikk 10 kl. Del 2 2016 (Dezembro 2021).