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1.8: Funções com valor vetorial - Matemática


Agora que estamos familiarizados com vetores e suas operações, podemos começar a discutir funções cujos valores são vetores.

Definição 1.10

UMA função com valor vetorial de uma variável real é uma regra que associa um vetor ( textbf {f} (t) ) com um número real (t ), onde (t ) está em algum subconjunto (D ) de ( mathbb { R} ^ 1 ) (chamado de domínio desligado)). Nós escrevemos f: (D → ) ( mathbb {R} ^ 3 ) para denotar que f é um mapeamento de (D ) em ( mathbb {R} ^ 3 ).

Por exemplo, ( textbf {f} (t) = t textbf {i} + t ^ 2 textbf {j} + t ^ 3 textbf {k} ) é uma função com valor vetorial em ( mathbb {R} ^ 3 ), definido para todos os números reais (t ). Nós escreveríamos f : ( mathbb {R} → mathbb {R} ^ 3 ). Em (t = 1 ), o valor da função é o vetor eu + j + k, que em coordenadas cartesianas tem o ponto terminal ((1,1,1) ).

Uma função com valor de vetor de uma variável real pode ser escrita em forma de componente como

[ nonumber textbf {f} (t) = f_1 (t) textbf {i} + f_2 (t) textbf {j} + f_3 (t) textbf {k} ]

ou na forma

[ nonumber textbf {f} (t) = (f_1 (t), f_2 (t), f_3 (t)) ]

para algumas funções de valor real (f_1 (t), f_2 (t), f_3 (t) ), chamadas de funções do componente do f. A primeira forma é freqüentemente usada para enfatizar que ( textbf {f} (t) ) é um vetor, e a segunda forma é útil quando se considera apenas os pontos terminais dos vetores. Ao identificar vetores com seus pontos terminais, uma curva no espaço pode ser escrita como uma função de valor vetorial.

Exemplo 1.35

Definir f: ( mathbb {R} → mathbb {R} ^ 3 ) por ( textbf {f} (t) = ( cos t, sin t, t) ). Esta é a equação de um hélice (veja a Figura 1.8.1). Conforme o valor de (t ) aumenta, os pontos terminais de ( textbf {f} (t) ) traçam uma curva em espiral para cima. Para cada (t ), as coordenadas (x- text {e} y - ) de ( textbf {f} (t) text {são} x = cos t text {e} y = sin t ), então

[ nonumber x ^ 2 + y ^ 2 = cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 ]

Assim, a curva encontra-se na superfície do cilindro circular direito (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

Pode ajudar pensar em funções de valor vetorial de uma variável real em ( mathbb {R} ^ 3 ) como uma generalização das funções paramétricas em ( mathbb {R} ^ 2 ) que você aprendeu em cálculo de variável única. Muito da teoria das funções com valor real de uma única variável real pode ser aplicada a funções com valor vetorial de uma variável real. Uma vez que cada uma das três funções componentes tem valor real, às vezes será o caso de que os resultados do cálculo de variável única possam simplesmente ser aplicados a cada uma das funções componentes para produzir um resultado semelhante para a função com valor vetorial. No entanto, há momentos em que essas generalizações não são válidas (consulte o Exercício 13). O conceito de limite, entretanto, pode ser estendido naturalmente para funções com valor vetorial, como na definição a seguir.

Definição 1.11

Seja ( textbf {f} (t) ) uma função com valor vetorial, seja (a ) um número real e seja c ser um vetor. Então dizemos que o limite de ( textbf {f} (t) ) conforme (t ) se aproxima de (a ) é igual a c, escrito como ( lim limits_ {t para a} textbf {f} (t) = textbf {c} ), se ( lim limits_ {t para a} norm { textbf {f} (t) - textbf {c}} = 0 ). Se ( textbf {f} (t) = (f_1 (t), f_2 (t), f_3 (t)) ), então

[ nonumber lim limits_ {t para a} textbf {f} (t) = left ( lim limits_ {t para a} f_1 (t), , lim limits_ {t para a} f_2 (t), , lim limits_ {t para a} f_3 (t) direita) ]

desde que todos os três limites do lado direito existam.

A definição acima mostra que a continuidade e a derivada de funções com valor vetorial também podem ser definidas em termos de suas funções componentes.

Definição 1.12

Seja ( textbf {f} (t) = (f_1 (t), f_2 (t), f_3 (t)) ) uma função com valor vetorial, e seja (a ) um número real em seu domínio. Então ( textbf {f} (t) ) é contínuo em (a ) se ( lim limits_ {t a} textbf {f} (t) = textbf {f} (a) ). Equivalentemente, ( textbf {f} (t) ) é contínuo em (a ) se e somente se (f_1 (t), f_2 (t), text {e} f_3 (t) ) são contínuo em (a ).

O derivado de ( textbf {f} (t) ) em (a ), denotado por ( textbf {f} ′ (a) ) ou ( dfrac {d textbf {f}} {dt } (a) ), é o limite

[ nonumber textbf {f} ′ (a) = lim limits_ {h a 0} dfrac { textbf {f} (a + h) - textbf {f} (a)} {h} ]

se esse limite existe. Equivalentemente, ( textbf {f} ′ (a) = (f_1 ′ (a), f_2 ′ (a), f_3 ′ (a)) ), se as derivadas dos componentes existem. Dizemos que ( textbf {f} (t) ) é diferenciável em (a ) se ( textbf {f} ′ (a) ) existe.

Lembre-se de que a derivada de uma função de valor real de uma única variável é um número real, representando a inclinação da reta tangente ao gráfico da função em um ponto. Da mesma forma, a derivada de uma função com valor de vetor é um vetor tangente para a curva no espaço que a função representa, e está no linha tangente à curva (ver Figura 1.8.2).

Exemplo 1.36

Seja ( textbf {f} (t) = ( cos t, sin t, t) ). Então ( textbf {f} ′ (t) = (- sin t, cos t, 1) text {para todos} t ). A linha tangente (L ) à curva em ( textbf {f} (2π) = (1,0,2π) text {é} L = textbf {f} (2π) + s textbf { f} ′ (2π) = (1,0,2π) + s (0,1,1) ), ou na forma paramétrica: (x = 1, y = s, z = 2π + s text {para } −∞

UMA função escalar é uma função com valor real. Observe que se (u (t) ) é uma função escalar e ( textbf {f} (t) ) é uma função com valor vetorial, então seu produto, definido por ( (u textbf {f} ) (t) = u (t) textbf {f} (t) ) para todos (t ), é uma função com valor vetorial (já que o produto de um escalar com um vetor é um vetor).

As propriedades básicas das derivadas de funções com valor vetorial são resumidas no teorema a seguir.

Teorema 1.20

Sejam ( textbf {f} (t) text {e} textbf {g} (t) ) funções diferenciáveis ​​de valor vetorial, seja (u (t) ) uma função escalar diferenciável, seja (k ) seja um escalar, e deixe c ser um vetor constante. Então

  1. ( dfrac {d} {dt} ( textbf {c}) = textbf {0} )
  2. ( dfrac {d} {dt} (k textbf {f}) = k dfrac {d textbf {f}} {dt} )
  3. ( dfrac {d} {dt} ( textbf {f} + textbf {g}) = dfrac {d textbf {f}} {dt} + dfrac {d textbf {g}} {dt } )
  4. ( dfrac {d} {dt} ( textbf {f − g}) = dfrac {d textbf {f}} {dt} - dfrac {d textbf {g}} {dt} )
  5. ( dfrac {d} {dt} (u textbf {f}) = dfrac {du} {dt} textbf {f} + u dfrac {d textbf {f}} {dt} )
  6. ( dfrac {d} {dt} ( textbf {f} · textbf {g}) = dfrac {d textbf {f}} {dt} · textbf {g} + textbf {f} · dfrac {d textbf {g}} {dt} )
  7. ( dfrac {d} {dt} ( textbf {f} × textbf {g}) = dfrac {d textbf {f}} {dt} × textbf {g} + textbf {f} × dfrac {d textbf {g}} {dt} )

Prova

As provas das partes (a) - (e) seguem facilmente diferenciando as funções dos componentes e usando as regras para derivadas do cálculo de uma variável. Provaremos a parte (f), e deixaremos a prova da parte (g) como um exercício para o leitor.

(f) Escreva ( textbf {f} (t) = (f_1 (t), f_2 (t), f_3 (t)) text {e} textbf {g} (t) = (g_1 (t) , g_2 (t), g_3 (t)) ), onde o componente funciona (f_1 (t), f_2 (t), f_3 (t), g_1 (t), g_2 (t), g_3 (t) ) são todas funções de valor real diferenciáveis. Então

[ nonumber begin {align} dfrac {d} {dt} ( textbf {f} (t) · textbf {g} (t)) & = dfrac {d} {dt} (f_1 (t) ) g_1 (t) + f_2 (t) g_2 (t) + f_3 (t) g_3 (t)) [4pt] nonumber & = dfrac {d} {dt} (f_1 (t) g_1 (t) ) + dfrac {d} {dt} (f_2 (t) g_2 (t)) + dfrac {d} {dt} (f_3 (t) g_3 (t)) [4pt] nonumber & = dfrac {d f_1} {dt} (t) g_1 (t) + f_1 (t) dfrac {d g_1} {dt} (t) + dfrac {d f_2} {dt} (t) g_2 (t) + f_2 (t) dfrac {d g_2} {dt} (t) + dfrac {d f_3} {dt} (t) g_3 (t) + f_3 (t) dfrac {d g_3} {dt} (t) [4pt] nonumber & = left ( dfrac {d f_1} {dt} (t), dfrac {d f_2} {dt} (t), dfrac {d f_3} {dt} (t) direita) · (g_1 (t), g_2 (t), g_3 (t)) [4pt] não-numérico & quad + (f_1 (t), f_2 (t), f_3 (t)) · esquerda ( dfrac {d g_1} {dt} (t), dfrac {d g_2} {dt} (t), dfrac {d g_3} {dt} (t) right) [4pt] nonumber & = dfrac {d textbf {f}} {dt} (t) · textbf {g} (t) + textbf {f} (t) · dfrac {d textbf {g}} {dt} (t ) text {para todos} t. tag { ( textbf {QED} )} [4pt] end {align} ]

(quadrado)

Exemplo 1.37

Suponha que ( textbf {f} (t) ) seja diferenciável. Encontre a derivada de ( norm { textbf {f} (t)} ).

Como ( norm { textbf {f} (t)} ) é uma função de valor real de (t ), então pela Regra da Cadeia para funções de valor real, sabemos que ( dfrac {d } {dt} norm { textbf {f} (t)} ^ 2 = 2 norm { textbf {f} (t)} dfrac {d} {dt} norm { textbf {f} (t )} ).

Mas ( norm { textbf {f} (t)} ^ 2 = textbf {f} (t) · textbf {f} (t) ), então ( dfrac {d} {dt} norma { textbf {f} (t)} ^ 2 = dfrac {d} {dt} ( textbf {f} (t) · textbf {f} (t)) ). Portanto, temos

[ nonumber begin {align} 2 norm { textbf {f} (t)} dfrac {d} {dt} norm { textbf {f} (t)} & = dfrac {d} { dt} ( textbf {f} (t) · textbf {f} (t)) = textbf {f} ′ (t) · textbf {f} (t) + textbf {f} (t) · textbf {f} ′ (t) text {pelo Teorema 1.20 (f), então} [4pt] não numérico & = 2 textbf {f} ′ (t) · textbf {f} (t), text {então se} norm { textbf {f} (t)} neq 0 text {então} [4pt] nonumber dfrac {d} {dt} norm { textbf {f} ( t)} & = dfrac { textbf {f} ′ (t) · textbf {f} (t)} { norm { textbf {f} (t)}} [4pt] end {alinhar } ]

Sabemos que ( norm { textbf {f} (t)} ) é constante se e somente se ( dfrac {d} {dt} norm { textbf {f} (t)} = 0 ) para todos (t ). Além disso, ( textbf {f} (t) ⊥ textbf {f} ′ (t) text {se e somente se} textbf {f} ′ (t) · textbf {f} (t) = 0 ). Assim, o exemplo acima mostra este fato importante:

Se ( norm { textbf {f} (t)} neq 0, text {então} norm { textbf {f} (t)} text {é constante se e somente se} textbf {f } (t) ⊥ textbf {f} ′ (t) text {para todos} t ).

Isso significa que se uma curva está completamente em uma esfera (ou círculo) centrado na origem, o vetor tangente ( textbf {f} ′ (t) ) é sempre perpendicular ao Vetor de posição ( textbf {f} (t) ).

Exemplo 1.38

O espiral esférica ( textbf {f} (t) = left ( dfrac { cos t} { sqrt {1+ a ^ 2t ^ 2}}, dfrac { sin t} { sqrt {1+ a ^ 2t ^ 2}}, dfrac {−at} { sqrt {1+ a ^ 2t ^ 2}} right) ), para (a neq 0 ).

A Figura 1.8.3 mostra o gráfico da curva quando (a = 0,2 ). Nos exercícios, o leitor será solicitado a mostrar que esta curva está na esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ) e a verificar diretamente se ( textbf {f} ′ (t ) · Textbf {f} (t) = 0 text {para todos} t ).

Assim como no cálculo de variável única, derivadas de ordem superior de funções com valor vetorial são obtidas diferenciando repetidamente a (primeira) derivada da função:

[ nonumber textbf {f} ′ ′ (t) = dfrac {d} {dt} textbf {f} ′ (t), qquad textbf {f} ′ ′ ′ (t) = dfrac { d} {dt} textbf {f} ′ ′ (t), ..., dfrac {d ^ n textbf {f}} {dt ^ n} = dfrac {d} {dt} left ( dfrac {d ^ {n − 1} textbf {f}} {dt ^ {n − 1}} right) text {(para (n = 2,3,4, ... ))} ]

Podemos usar funções com valores vetoriais para representar quantidades físicas, como velocidade, aceleração, força, momento, etc. Por exemplo, deixe a variável real (t ) representar o tempo decorrido desde algum tempo inicial ( (t = 0 )), e suponha que um objeto de massa constante (m ) seja submetido a alguma força para que se mova no espaço, com sua posição ( (x, y, z )) no tempo (t ) a função de (t ). Ou seja, (x = x (t), y = y (t), z = z (t) ) para algumas funções de valor real (x (t), y (t), z (t) ) Chame ( textbf {r} (t) = (x (t), y (t), z (t)) ) o Vetor de posição do objeto. Podemos definir várias quantidades físicas associadas ao objeto da seguinte forma:

[ nonumber begin {align} textit {position}: , textbf {r} (t) & = (x (t), y (t), z (t)) [4pt] nonumber textit {velocidade}: , textbf {v} (t) & = dot { textbf {r}} (t) = textbf {r} ′ (t) = dfrac {d textbf {r} } {dt} [4pt] nonumber & = (x ′ (t), y ′ (t), z ′ (t)) [4pt] nonumber textit {aceleração}: , textbf { a} (t) & = dot { textbf {v}} (t) = textbf {v} ′ (t) = dfrac {d textbf {v}} {dt} [4pt] nonumber & = ddot { textbf {r}} (t) = textbf {r} ′ ′ (t) = dfrac {d ^ 2 textbf {r}} {dt ^ 2} [4pt] nonumber & = (x ′ ′ (t), y ′ ′ (t), z ′ ′ (t)) [4pt] nonumber textit {momentum}: , textbf {p} (t) & = m textbf {v} (t) [4pt] nonumber textit {force}: , textbf {F} (t) & = dot { textbf {p}} (t) = textbf {p } ′ (T) = dfrac {d textbf {p}} {dt} text {(Segunda Lei do Movimento de Newton)} [4pt] end {alinhar} ]

A magnitude ( norm { textbf {v} (t)} ) do vetor velocidade é chamada de Rapidez do objeto. Observe que, como a massa (m ) é uma constante, a equação de força se torna a familiar ( textbf {F} (t) = m textbf {a} (t) ).

Exemplo 1.39

Seja ( textbf {r} (t) = (5 cos t, 3 sin t, 4 sin t) ) o vetor posição de um objeto no tempo (t ≥ 0 ). Encontre seus vetores (a) velocidade e (b) aceleração.

Solução

  1. ( textbf {v} (t) = ponto { textbf {r}} (t) = (−5 sin t, 3 cos t, 4 cos t) )
  2. ( textbf {a} (t) = ponto { textbf {v}} (t) = (−5 cos t, −3 sin t, −4 sin t) )

Observe que ( norm { textbf {r} (t)} = sqrt {25 cos ^ 2 t + 25 sin ^ 2 t} = 5 ) para todos (t ), então pelo Exemplo 1.37 sabemos que ( textbf {r} (t) · dot { textbf {r}} (t) = 0 text {para todos} t ) (que podemos verificar na parte (a)). Na verdade, ( norm { textbf {v} (t)} = 5 ) para todos (t ) também. E não apenas ( textbf {r} (t) ) fica na esfera de raio 5 centrado na origem, mas talvez não seja tão óbvio é que está completamente dentro de um círculo de raio 5 centrado na origem. Além disso, observe que ( textbf {a} (t) = - textbf {r} (t) ). Acontece (consulte o Exercício 16) que sempre que um objeto se move em um círculo com velocidade constante, o vetor de aceleração apontará na direção oposta do vetor de posição (ou seja, em direção ao centro do círculo).

Lembre-se da Seção 1.5 que se ( textbf {r} _1, textbf {r} _2 ) são vetores de posição para pontos distintos, então ( textbf {r} _1 + t ( textbf {r} _2− textbf {r} _1) ) representa uma linha através desses dois pontos, pois (t ) varia em todos os números reais. Essa soma vetorial pode ser escrita como ((1 - t) textbf {r} _1 + t textbf {r} _2 ). Portanto, a função ( textbf {l} (t) = (1 - t) textbf {r} _1 + t textbf {r} _2 ) é uma linha através dos pontos terminais de ( textbf {r} _1 text {e} textbf {r} _2 ), e quando (t ) é restrito ao intervalo ([0,1] ) é o segmento de linha entre os pontos, com ( textbf {l} (0) = textbf {r} _1 text {e} textbf {l} (1) = textbf {r} _2 ).

Em geral, uma função da forma ( textbf {f} (t) = (a_1 t + b_1, a_2 t + b_2, a_3 t + b_3) ) representa uma linha em ( mathbb {R} ^ 3 ). Uma função da forma ( textbf {f} (t) = (a_1 t ^ 2 + b_1 t + c_1, a_2 t ^ 2 + b_2 t + c_2, a_3 t ^ 2 + b_3 t + c_3) ) representa uma (possivelmente degenerada) parábola em ( mathbb {R} ^ 3 ).

Exemplo 1.40: curvas de Bézier

Curvas de Bézier são usados ​​em Computer Aided Design (CAD) para aproximar a forma de um caminho poligonal no espaço (chamado de Polígono de Bézier ou polígono de controle) Por exemplo, dados três pontos (ou vetores de posição) ( textbf {b} _0, textbf {b} _1, textbf {b} _2 text {in} ) ( mathbb {R} ^ 3 ), definir

[ nonumber begin {align} textbf {b} _0 ^ 1 (t) & = (1− t) textbf {b} _0 + t textbf {b} _1 [4pt] nonumber textbf {b} _1 ^ 1 (t) & = (1− t) textbf {b} _1 + t textbf {b} _2 [4pt] nonumber textbf {b} _0 ^ 2 (t) & = (1− t) textbf {b} _0 ^ 1 (t) + t textbf {b} _1 ^ 1 (t) [4pt] nonumber & = (1− t) ^ 2 textbf {b} _0 + 2t (1− t) textbf {b} _1 + t ^ 2 textbf {b} _2 [4pt] end {alinhar} ]

para todo real (t ).Para (t ) no intervalo ([0,1] ), vemos que ( textbf {b} _0 ^ 1 (t) ) é o segmento de linha entre ( textbf {b} _0 text {e} textbf {b} _1 ), e ( textbf {b} _1 ^ 1 (t) ) é o segmento de linha entre ( textbf {b} _1 text {e} textbf {b} _2 ). A função ( textbf {b} _0 ^ 2 (t) ) é a curva de Bézier para os pontos ( textbf {b} _0, textbf {b} _1, textbf {b} _2 ). Observe a partir da última fórmula que a curva é uma parábola que passa por ( textbf {b} _0 ) (quando (t = 0 )) e ( textbf {b} _2 ) (quando (t = 1 )).

Como exemplo, deixe ( textbf {b} _0 = (0,0,0), , textbf {b} _1 = (1,2,3), text {e} textbf {b} _2 = (4,5,2) ). Então, a fórmula explícita para a curva de Bézier é ( textbf {b} _0 ^ 2 (t) = (2t + 2t ^ 2, 4t + t ^ 2, 6t −4t ^ 2) ), como mostrado na Figura 1.8 .4, onde os segmentos de linha são ( textbf {b} _0 ^ 1 (t) text {e} textbf {b} _1 ^ 1 (t) ), e a curva é ( textbf {b } _0 ^ 2 (t) ).

Em geral, o caminho poligonal determinado por (n ≥ 3 ) pontos não colineares em ( mathbb {R} ^ 3 ) pode ser usado para definir a curva de Bézier recursivamente por um processo chamado interpolação linear repetida. Esta curva será uma função com valor vetorial cujos componentes são polinômios de grau (n - 1 ), e sua fórmula é dada por algoritmo de de Casteljau. Nos exercícios, o leitor receberá o algoritmo para o caso de (n = 4 ) pontos e será solicitado a escrever a fórmula explícita para a curva de Bézier para os quatro pontos mostrados na Figura 1.8.5.


Seção 11.1 Funções com valor vetorial ¶ link permanente

Estamos muito familiarizados com funções de valor real, ou seja, funções cuja saída é um número real. Esta seção apresenta funções com valor vetorial - funções cuja saída é um vetor.

Definição 11.1.1 Funções com valor vetorial

UMA função com valor vetorial é uma função da forma begin vec r (t) = la , f (t), g (t) , ra text vec r (t) = la , f (t), g (t), h (t) , ra, end onde (f text <,> ) (g ) e (h ) são funções de valor real.

O domínio de ( vec r ) é o conjunto de todos os valores de (t ) para os quais ( vec r (t) ) é definido. O alcance de ( vec r ) é o conjunto de todos os vetores de saída possíveis ( vec r (t) text <.> )

Avaliação e representação gráfica de funções com valor vetorial

Avaliar uma função com valor vetorial em um valor específico de (t ) é simples, basta avaliar cada função de componente naquele valor de (t text <.> ) Por exemplo, se ( vec r (t) = la t ^ 2, t ^ 2 + t-1 ra text <,> ) então ( vec r (-2) = la 4,1 ra text <.> ) Podemos esboçar esse vetor, como é feito na Figura 11.1.2 (a). Traçar muitos vetores é complicado, portanto, geralmente não esboçamos o vetor inteiro, mas apenas o ponto terminal. O gráfico de uma função com valor vetorial é o conjunto de todos os pontos terminais de ( vec r (t) text <,> ) onde o ponto inicial de cada vetor é sempre a origem. Na Figura 11.1.2 (b) nós esboçamos o gráfico de ( vec r ) podemos indicar pontos individuais no gráfico com seus respectivos vetores, como mostrado.

As funções com valor vetorial estão intimamente relacionadas às equações paramétricas dos gráficos. Enquanto em ambos os métodos representamos pontos ( big (x (t), y (t) big) ) ou ( big (x (t), y (t), z (t) big) ) para produzir um gráfico, no contexto de funções com valor vetorial, cada um desses pontos representa um vetor. As implicações disso serão percebidas mais completamente na próxima seção, conforme aplicamos as idéias de cálculo a essas funções.

Exemplo 11.1.5 Representando gráficos de funções com valores vetoriais

Gráfico ( ds vec r (t) = la t ^ 3-t, frac <1> ra text <,> ) para (- 2 leq t leq 2 text <.> ) Sketch ( vec r (-1) ) e ( vec r (2) text <.> )

Começamos fazendo uma tabela de valores (t text <,> ) (x ) e (y ) como mostrado na Figura 11.1.6 (a). A plotagem desses pontos dá uma indicação da aparência do gráfico. Na Figura 11.1.6 (b), indicamos esses pontos e esboçamos o gráfico completo. Também destacamos ( vec r (-1) ) e ( vec r (2) ) no gráfico.

Exemplo 11.1.7 Representando graficamente funções com valores vetoriais.

Gráfico ( vec r (t) = la cos (t), sin (t), t ra ) para (0 leq t leq 4 pi text <.> )

Podemos representar pontos novamente, mas a consideração cuidadosa dessa função é muito reveladora. Ignorando momentaneamente o terceiro componente, vemos os componentes (x ) e (y ) traçar um círculo de raio 1 centrado na origem. Percebendo que o componente (z ) é (t text <,> ), vemos que conforme o gráfico gira em torno do eixo (z ), ele também está aumentando a uma taxa constante no positivo ( z ) direção, formando uma espiral. Isso está representado na Figura 11.1.8. No gráfico ( vec r (7 pi / 4) approx (0,707, -0,707,5,498) ) é destacado para nos ajudar a entender o gráfico.

Figura 11.1.8 O gráfico de ( vec r (t) ) no Exemplo 11.1.7.


Introdução à programação de jogos 3D com DirectX 12 (Ciência da computação) (2016)

Roger Bacon, Opus Majus parte 4 Distinctia Prima cap 1, 1267.

Os videogames tentam simular um mundo virtual. No entanto, os computadores, por sua própria natureza, analisam os números. Assim, surge o problema de como transmitir um mundo a um computador. A resposta é descrever nossos mundos e as interações neles, de forma completamente matemática. Consequentemente, a matemática desempenha um papel fundamental no desenvolvimento de videogames.

Nesta parte de pré-requisitos, apresentamos as ferramentas matemáticas que serão usadas ao longo deste livro. A ênfase está em vetores, sistemas de coordenadas, matrizes e transformações, já que essas ferramentas são usadas em quase todos os programas de amostra deste livro. Além das explicações matemáticas, é fornecida uma pesquisa e demonstração das classes e funções relevantes da biblioteca DirectX Math.

Observe que os tópicos abordados aqui são apenas aqueles essenciais para a compreensão do restante deste livro; não é de forma alguma um tratamento abrangente da matemática dos videogames, já que livros inteiros são dedicados a esse tópico. Para leitores que desejam uma referência mais completa à matemática dos videogames, recomendamos [Verth04] e [Lengyel02].

Capítulo 1, Álgebra vetorial: Os vetores são, talvez, os objetos matemáticos mais fundamentais usados ​​em jogos de computador. Usamos vetores para representar posições, deslocamentos, direções, velocidades e forças, por exemplo. Neste capítulo, estudamos vetores e as operações usadas para manipulá-los.

Capítulo 2, Matrix Algebra: As matrizes fornecem uma maneira eficiente e compacta de representar transformações. Neste capítulo, nos familiarizamos com as matrizes e as operações definidas nelas.

Capítulo 3, Transformações: Este capítulo examina três transformações geométricas fundamentais: escala, rotação e translação. Usamos essas transformações para manipular objetos 3D no espaço. Além disso, explicamos a mudança de transformações de coordenadas, que são usadas para transformar as coordenadas que representam a geometria de um sistema de coordenadas para outro.

Os vetores desempenham um papel crucial em computação gráfica, detecção de colisão e simulação física, todos componentes comuns em videogames modernos. Nossa abordagem aqui é informal e prática para um livro dedicado à matemática de jogos / gráficos 3D, recomendamos [Verth04]. Enfatizamos a importância dos vetores observando que eles são usados ​​em quase todos os programas de demonstração deste livro.

1. Aprender como os vetores são representados geométrica e numericamente.

2. Para descobrir as operações definidas em vetores e suas aplicações geométricas.

3. Familiarizar-se com as funções e classes vetoriais da biblioteca DirectXMath.

UMA vetor refere-se a uma quantidade que possui magnitude e direção. Quantidades que possuem magnitude e direção são chamadas quantidades com valor vetorial. Exemplos de grandezas com valor vetorial são forças (uma força é aplicada em uma direção particular com uma certa força & mdashmagnitude), deslocamentos (a direção e distância da partícula movida) e velocidades (velocidade e direção). Assim, os vetores são usados ​​para representar forças, deslocamentos e velocidades. Além disso, também usamos vetores para especificar direções puras, como a direção em que o jogador está olhando em um jogo 3D, a direção que um polígono está enfrentando, a direção em que um raio de luz viaja ou a direção em que um raio de a luz reflete em uma superfície.

Uma primeira etapa na caracterização matemática de um vetor é geometricamente: especificamos graficamente um vetor por um segmento de linha direcionado (ver Figura 1.1), onde o comprimento denota a magnitude do vetor e o objetivo denota a direção do vetor. Notamos que a localização na qual desenhamos um vetor é imaterial porque mudar a localização não muda a magnitude ou direção (as duas propriedades que um vetor possui). Portanto, dizemos que dois vetores são iguais se e somente se eles têm o mesmo comprimento e apontam na mesma direção. Assim, os vetores você e v desenhado na figura 1.1uma são realmente iguais porque têm o mesmo comprimento e apontam na mesma direção. Na verdade, como a localização não é importante para os vetores, sempre podemos traduzir um vetor sem mudar seu significado (já que uma translação não muda nem o comprimento nem a direção). Observe que poderíamos traduzir você de modo que se sobreponha completamente com v (e vice-versa), tornando-os indistinguíveis e, portanto, sua igualdade. Como um exemplo físico, os vetores você e v na figura 1.1b ambos dizem às formigas em dois pontos diferentes UMA e B para mover para o norte dez metros de onde eles estão. Novamente nós temos isso você = v. Os próprios vetores são independentes da posição, eles simplesmente instruem as formigas como se moverem de onde estão. Neste exemplo, eles dizem às formigas para se moverem para o norte (direção) dez metros (comprimento).

Figura 1.1. (a) Vetores desenhados em um plano 2D. (b) Vetores instruindo as formigas a se moverem 10 metros para o norte.

1.1.1 Vetores e Sistemas de Coordenadas

Poderíamos agora definir operações geométricas úteis em vetores, que podem então ser usadas para resolver problemas envolvendo quantidades com valores vetoriais. No entanto, como o computador não pode trabalhar com vetores geometricamente, precisamos encontrar uma maneira de especificar vetores numericamente. Então o que fazemos é introduzir um sistema de coordenadas 3D no espaço, e traduzir todos os vetores de forma que suas caudas coincidam com a origem (Figura 1.2) Então, podemos identificar um vetor especificando as coordenadas de sua cabeça e escrever v = (x, y, z) como mostrado na figura 1.3. Agora podemos representar um vetor com três flutuadores em um programa de computador.

Se estiver trabalhando em 2D, então usamos apenas um sistema de coordenadas 2D e o vetor tem apenas duas coordenadas: v = (x, y) e podemos representar um vetor com dois flutuadors em um programa de computador.

Considere Figura 1.4, que mostra um vetor v e dois quadros no espaço. (Observe que usamos os termos quadro, quadro de Referência, espaço, e sistema de coordenadas todos significam a mesma coisa neste livro.) Podemos traduzir v de modo que esteja na posição padrão em qualquer um dos dois quadros. Observe, no entanto, que as coordenadas do vetor v em relação ao quadro UMA são diferentes das coordenadas do vetor v em relação ao quadro B. Em outras palavras, o mesmo vetor v tem uma representação de coordenadas diferente para quadros distintos.

Figura 1.2. Nós traduzimos v de modo que sua cauda coincide com a origem do sistema de coordenadas. Quando um vetor e cauda rsquos coincide com a origem, dizemos que está em posição padrão.

Figura 1.3. Um vetor especificado por coordenadas relativas a um sistema de coordenadas.

Figura 1.4. O mesmo vetor v tem diferentes coordenadas quando descrito em relação a diferentes quadros.

A ideia é análoga a, digamos, temperatura. A água ferve a 100 graus Celsius ou 212 graus Fahrenheit. A temperatura física da água fervente é a mesmo não importa a escala (ou seja, podemos diminuir o ponto de ebulição escolhendo uma escala diferente), mas atribuímos um número escalar diferente à temperatura com base na escala que usamos. Da mesma forma, para um vetor, sua direção e magnitude, que estão embutidas no segmento de linha direcionado, não mudam apenas as coordenadas dele mudam com base no quadro de referência que usamos para descrevê-lo. Isso é importante porque significa que sempre que identificamos um vetor por coordenadas, essas coordenadas são relativas a algum referencial. Freqüentemente, em computação gráfica 3D, utilizaremos mais de um quadro de referência e, portanto, precisaremos acompanhar a qual quadro um vetor e as coordenadas rsquos são relativas, além disso, precisaremos saber como converter as coordenadas vetoriais de um quadro para outro.

Vemos que os vetores e pontos podem ser descritos por coordenadas (x, y, z) em relação a um quadro. No entanto, eles não são os mesmos um ponto representa uma localização no espaço 3, enquanto um vetor representa uma magnitude e direção. Teremos mais a dizer sobre os pontos da & sect1.5.

1.1.2 Sistemas de coordenadas para canhotos versus destros

O Direct3D usa um sistema de coordenadas para canhotos. Se você pegar sua mão esquerda e apontar seus dedos para o positivo x-eixo e, em seguida, curve seus dedos em direção ao positivo y-eixo, seu polegar aponta aproximadamente na direção do positivo z-eixo. Figura 1.5 ilustra as diferenças entre um sistema de coordenadas para canhotos e destros.

Observe que, para o sistema de coordenadas da mão direita, se você pegar sua mão direita e apontar seus dedos para o positivo x-eixo e, em seguida, curve seus dedos em direção ao positivo y-eixo, seu polegar aponta aproximadamente na direção do positivo z-eixo.

Figura 1.5. À esquerda, temos um sistema de coordenadas para canhotos. Observe que o positivo z-axis vai para a página. À direita, temos um sistema de coordenadas para destros. Observe que o positivo z-axis sai da página.

1.1.3 Operações básicas de vetor

Agora definimos igualdade, adição, multiplicação escalar e subtração em vetores usando a representação de coordenadas. Para essas quatro definições, vamos você = (vocêx, vocêy, vocêz) e v = (vx, vy, vz).

1. Dois vetores são iguais se e somente se seus componentes correspondentes são iguais. Isso é, você = v se e apenas se vocêx = vx, vocêy = vy, e vocêz = vz.

2. Adicionamos vetores em termos de componentes: você + v = (vocêx + vx, vocêy + vy, vocêz + vz). Observe que só faz sentido adicionar vetores da mesma dimensão.

3. Podemos multiplicar um escalar (ou seja, um número real) e um vetor e o resultado é um vetor. Deixar k seja um escalar, então kvocê = (kux, kuy, kuz) Isso é chamado multiplicação escalar.

4. Definimos a subtração em termos de adição vetorial e multiplicação escalar. Isso é, você &menos v = você + (& menos1 & middot v) = você + (e menosv) = (vocêx &menos vx, vocêy &menos vy, vocêz &menos vz).

Exemplo 1.1

Deixar você = (1, 2, 3), v = (1, 2, 3), C = (3, 0 e menos 2) e k = 2. Então,

1. você + C = (1, 2, 3) + (3, 0, & menos 2) = (4, 2, 1)

2. você = v

3. você &menos v = você + (e menosv) = (1, 2, 3) + (& menos1, & menos2, & menos3) = (0, 0, 0) = 0

4. kC = 2 (3, 0 e menos 2) = (6, 0 e menos 4)

A diferença no terceiro marcador ilustra um vetor especial, chamado de vetor zero, que tem zeros para todos os seus componentes e é denotado por 0.

Exemplo 1.2

Ilustraremos este exemplo com vetores 2D para simplificar os desenhos. As ideias são as mesmas que em 3D, apenas trabalhamos com um componente a menos em 2D.

1. Deixe v = (2, 1) Como fazer v e

comparar geometricamente? Nós notamos que

. Representando graficamente os dois v e

(Figura 1.6uma), notamos que

está na direção diretamente oposta a v e seu comprimento é 1/2 do v. Assim, geometricamente, negar um vetor pode ser considerado como & ldquoflipping "sua direção, e a multiplicação escalar pode ser considerada como dimensionar o comprimento de um vetor.

2. Deixe

e v = (1, 2). Então

. Figura 1.6b mostra o que a adição de vetores significa geometricamente: traduzimos em paralelo você para que seja cauda coincidiu com o cabeça do v. Então, a soma é o vetor originado na cauda de v e terminando no cabeçalho do traduzido você. (Obteremos o mesmo resultado se mantivermos você consertar e traduzir v de modo que sua cauda coincidisse com a cabeça de você. Nesse caso, você + v seria o vetor originado na cauda de você e terminando no cabeçalho do traduzido v.) Observe também que nossas regras de adição de vetores concordam com o que intuitivamente esperamos que aconteça fisicamente quando somamos forças para produzir uma força resultante: Se adicionarmos duas forças (vetores) na mesma direção, obtemos outra força resultante mais forte (vetor mais longo) nessa direção. Se somarmos duas forças (vetores) em oposição uma à outra, obtemos uma rede de força mais fraca (vetor mais curto). Figura 1.7 ilustra essas idéias.

3. Deixe

e v = (1, 2). Então

. Figura 1.6c mostra o que a subtração vetorial significa geometricamente. Essencialmente, a diferença v &menos você nos dá um vetor direcionado da cabeça de você para a cabeça de v. Se ao invés interpretarmos você e v como pontos, então v &menos você nos dá um vetor direcionado do ponto você ao ponto v essa interpretação é importante, pois muitas vezes queremos que o vetor seja direcionado de um ponto a outro. Observe também que o comprimento de v &menos você é a distância de você para v, ao pensar em você e v como pontos.

Figura 1.6. (a) A interpretação geométrica da multiplicação escalar. (b) A interpretação geométrica da adição de vetores. (c) A interpretação geométrica da subtração vetorial.

Figura 1.7. Forças aplicadas a uma bola.As forças são combinadas usando a adição vetorial para obter uma força resultante.

1.2 COMPRIMENTO E VETORES DE UNIDADE

Geometricamente, a magnitude de um vetor é o comprimento do segmento de linha direcionado. Denotamos a magnitude de um vetor por barras verticais duplas (por exemplo, ||você|| denota a magnitude de você) Agora, dado um vetor você = (x, y, z), desejamos calcular sua magnitude algebricamente. A magnitude de um vetor 3D pode ser calculada aplicando o teorema de Pitágoras duas vezes, ver Figura 1.8.

Primeiro, olhamos para o triângulo no xz- avião com lados x, ze hipotenusa a. Do teorema de Pitágoras, temos

. Agora olhe para o triângulo com lados uma, y, e hipotenusa ||você|| A partir do teorema de Pitágoras novamente, chegamos à seguinte fórmula de magnitude:

Para algumas aplicações, não nos importamos com o comprimento de um vetor porque queremos usar o vetor para representar uma direção pura. Para tais vetores apenas de direção, queremos que o comprimento do vetor seja exatamente 1. Quando fazemos uma unidade de comprimento vetorial, dizemos que somos normalizando o vetor. Podemos normalizar um vetor dividindo cada um de seus componentes por sua magnitude:

Figura 1.8. O comprimento 3D de um vetor pode ser calculado aplicando o teorema de Pitágoras duas vezes.

Para verificar se esta fórmula está correta, podemos calcular o comprimento de & ucirc:

Então & ucirc é de fato um vetor unitário.

Exemplo 1.3

Normalizar o vetor v = (& menos 1, 3, 4). Nós temos . Desse modo,

Para verificar isso é de fato um vetor unitário, calculamos seu comprimento:

1.3 O PRODUTO DOT

O produto escalar é uma forma de multiplicação vetorial que resulta em um valor escalar por esse motivo, às vezes é chamado de produto escalar. Deixar você = (vocêx, vocêy, vocêz) e v = (vx, vy, vz), então o produto escalar é definido da seguinte forma:

Em palavras, o produto escalar é a soma dos produtos dos componentes correspondentes.

A definição do produto escalar não apresenta um significado geométrico óbvio. Usando a lei dos cossenos (consulte o Exercício 10), podemos encontrar a relação,

Figura 1.9. Na figura à esquerda, o ângulo & theta entre você e v é um ângulo agudo. Na figura certa, o ângulo & theta entre você e v é um ângulo obtuso. Quando nos referimos ao ângulo entre dois vetores, sempre nos referimos ao menor ângulo, ou seja, o ângulo & theta tal que 0 & le & theta & le & pi.

onde & theta é o ângulo entre os vetores você e v de modo que 0 & le & theta & le & pi veja a Figura 1.9. Então, Equação 1.4 diz que o produto escalar entre dois vetores é o cosseno do ângulo entre eles escalado pelas magnitudes dos vetores. Em particular, se ambos você e v são vetores unitários, então você & middot v é o cosseno do ângulo entre eles (ou seja, você & middot v = cos & theta).

Equação 1.4 fornece-nos algumas propriedades geométricas úteis do produto escalar:

1. Se você & middot v = 0, então você e perp v (ou seja, os vetores são ortogonais).

2. Se você & middot v & gt 0, então o ângulo & theta entre os dois vetores é inferior a 90 graus (isto é, os vetores formam um ângulo agudo).

3. Se você & middot v & lt 0, o ângulo & theta entre os dois vetores é maior do que 90 graus (isto é, os vetores fazem um ângulo obtuso).

A palavra & ldquoorthogonal "pode ​​ser usada como sinônimo de & ldquoperpendicular."

Exemplo 1.4

Deixar você = (1, 2, 3) e v = (& menos 4, 0 e menos 1). Encontre o ângulo entre você e v. Primeiro calculamos:

Agora, aplicando a Equação 1.4 e resolvendo para teta, obtemos:

Exemplo 1.5

Considere Figura 1.10. Dado v e a unidade vetor n, encontre uma fórmula para p em termos de v e n usando o produto escalar.

Primeiro, observe a partir da figura que existe um escalar k de tal modo que p = kn além disso, uma vez que assumimos ||n|| = 1, temos ||p|| = ||kn|| = |k|||n|| = |k| (Observe que k pode ser negativo se e somente se p e n visar em direções opostas.) Usando trigonometria, temos que k = ||v|| cos & theta, portanto, p = kn = (||v|| cos & theta)n. No entanto, porque n é um vetor unitário, podemos dizer isso de outra maneira:

Em particular, isso mostra k = v & middot n, e isso ilustra a interpretação geométrica de v & middot n quando n é um vetor unitário. Nós chamamos p a projeção ortogonal do v em n, e é comumente denotado por

Se interpretarmos v como uma força, p pode ser pensado como a porção da força v que atua na direção n. Da mesma forma, o vetor C = perpn(v) = v & ndash p é a porção da força v que age ortogonalmente à direção n (é por isso que também o denotamos por criminoson(v) para perpendicular). Observe aquilo

, o que significa que decompomos o vetor v na soma de dois vetores ortogonais p e C.

Se n não tem comprimento unitário, podemos sempre normalizá-lo primeiro para torná-lo comprimento unitário. Substituindo n pelo vetor unitário

nos dá a fórmula de projeção mais geral:

Figura 1.10. O projeção ortogonal do v em n.

1.3.1 Ortogonalização

Um conjunto de vetores <v0, e diabos, vn-1> é chamado ortonormal se os vetores são mutuamente ortogonais (cada vetor do conjunto é ortogonal a todos os outros vetores do conjunto) e comprimento da unidade. Às vezes, temos um conjunto de vetores que são quase ortonormais, mas não exatamente. Uma tarefa comum é ortogonalizar o conjunto e torná-lo ortonormal. Na computação gráfica 3D, podemos começar com um conjunto ortonormal, mas devido a problemas de precisão numérica, o conjunto gradualmente se torna não ortonormal. Estamos principalmente preocupados com os casos 2D e 3D desse problema (ou seja, conjuntos que contêm dois e três vetores, respectivamente).

Examinamos primeiro o caso 2D mais simples. Suponha que temos o conjunto de vetores <v0, v1> que queremos ortogonalizar em um conjunto ortonormal <C0, C1> como mostrado na Figura 1.11. Começamos com C0 = v0 e modificar v1 para torná-lo ortogonal a C0 isso é feito subtraindo a porção de v1 que atua no C0 direção:

Agora temos um conjunto ortogonal de vetores <C0, C1> a última etapa para construir o conjunto ortonormal é normalizar C0 e C1 para torná-los de comprimento unitário.

O caso 3D segue o mesmo espírito do caso 2D, mas com mais etapas. Suponha que temos o conjunto de vetores <v0, v1, v2> que queremos ortogonalizar em um conjunto ortonormal <C0, C1, C2> como mostrado na Figura 1.12. Começamos com C0 = v0 e modificar v1 para torná-lo ortogonal a C0 isso é feito subtraindo a porção de v1 que atua no w0 direção:

Figura 1.11. Ortogonalização 2D.

Figura 1.12. Ortogonalização 3D.

Em seguida, modificamos v2 para torná-lo ortogonal a Ambas C0 e C1. Isso é feito subtraindo a parte de v2 que atua no C0 direção e a porção de v2 que atua no C1 direção:

Agora temos um conjunto mutuamente ortogonal de vetores <C0, C1, C2> a última etapa para construir o conjunto ortonormal é normalizar C0, C1 e C2 para torná-los de comprimento unitário.

Para o caso geral de n vetores <v0, e diabos, vn & menos1> que queremos ortogonalizar em um conjunto ortonormal <C0, e diabos, Cn & menos1>, temos o seguinte procedimento comumente chamado de Ortogonalização Gram-Schmidt processar:

Novamente, a ideia intuitiva é que quando escolhemos um vetor veu do conjunto de entrada para adicionar ao conjunto ortonormal, precisamos subtrair os componentes de veu que atuam nas direções dos outros vetores (C0, C1, e diabos, Ci & menos 1) que já estão no conjunto ortonormal para garantir que o novo vetor sendo adicionado seja ortogonal aos outros vetores já no conjunto ortonormal.

1.4 O PRODUTO CRUZADO

A segunda forma de vetor de multiplicação que a matemática define é o produto cruzado. Ao contrário do produto escalar, que avalia para um escalar, o produto vetorial avalia para outro vetor, além disso, o produto vetorial é definido apenas para vetores 3D (em particular, não há produto vetorial 2D). Pegando o produto cruzado de dois vetores 3D você e v produz outro vetor, C que é mutuamente ortogonal a você e v. Por isso queremos dizer C é ortogonal a você, e C é ortogonal a v Veja a figura 1.13. Se você = (vocêx, vocêy, vocêz) e v = (vx, vy, vz), então o produto vetorial é calculado da seguinte forma:

Se você estiver trabalhando em um sistema de coordenadas para destros, use a regra do polegar direito: se você pegar sua mão direita e apontar os dedos na direção do primeiro vetor vocêe, em seguida, curve seus dedos em direção v ao longo de um ângulo 0 & le & theta & le & pi, em seguida, seu polegar aponta aproximadamente na direção de C = você e vezes v.

Figura 1.13. O produto vetorial de dois vetores 3D você e v produz outro vetor C que é mutuamente ortogonal a você e v. Se você pegar sua mão esquerda e apontar os dedos na direção do primeiro vetor vocêe, em seguida, curve seus dedos em direção v ao longo de um ângulo 0 & le & theta & le & pi, então seu polegar aponta aproximadamente na direção de C = você e vezes v isso é chamado de regra do polegar esquerdo.

Exemplo 1.6

Deixar você = (2, 1,3) e v = (2, 0, 0). Calcular C = você e vezes v e z = v e vezes vocêe, em seguida, verifique se C é ortogonal a você e essa C é ortogonal a v. Aplicando Equação 1.5 temos,

C = você e vezes v

z = v e vezes você

Este resultado deixa uma coisa clara, de um modo geral você e vezes v & ne v e vezes você. Portanto, dizemos que o produto vetorial é anticomutativo. Na verdade, pode-se mostrar que você e vezes v = & menos v e vezes você. Você pode determinar o vetor retornado pelo produto vetorial pelo polegar esquerdo regra. Se você primeiro apontar seus dedos na direção do primeiro vetor e, em seguida, enrolar os dedos em direção ao segundo vetor (sempre pegue o caminho com o menor ângulo), seu polegar apontará na direção do vetor retornado, como mostrado na Figura 1.11.

Para mostrar isso C é ortogonal a você e essa C é ortogonal a v, lembramos da & sect1.3 que se você & middot v = 0, então você e perp v (isto é, os vetores são ortogonais). Porque

Figura 1.14. O pseudo produto cruzado 2D de um vetor você avalia para um vetor ortogonal v.

concluimos que C é ortogonal a você e essa C é ortogonal a v.

1.4.1 Produto Cruzado Pseudo 2D

O produto vetorial nos permite encontrar um vetor ortogonal a dois vetores 3D dados. Em 2D não temos exatamente a mesma situação, mas dado um vetor 2D você = (vocêx, vocêy) pode ser útil encontrar um vetor v ortogonal a você. Figura 1.14 mostra a configuração geométrica a partir da qual é sugerido que v = (& menosvocêy, vocêx) A prova formal é direta:

Desse modo você e perp v. Observe aquilo você& middot e menosv = vocêxvocêy + vcy (-vocêx) = 0, também, então também temos isso você & perp & minusv.

1.4.2 Ortogonalização com o produto cruzado

No & sect1.3.1, vimos uma maneira de ortogonalizar um conjunto de vetores usando o Gram-Schmidt processar. Para 3D, existe outra estratégia para ortogonalizar um conjunto de vetores <v0, v1, v2> que são quase ortonormais, mas talvez tenham se tornado não ortonormais devido a erros de precisão numérica acumulados, usando o produto vetorial. Consulte a Figura 1.15 para a geometria deste processo:

1. Definir

2. Definir

3. Definir C1 = C2 e vezes C0 Por exercício 14, ||C2 e vezes C0|| = 1 porque C2 e perp C0 e ||C2|| = ||C0|| = 1, portanto, não precisamos fazer nenhuma normalização nesta última etapa.

Figura 1.15. Ortogonalização 3D com o produto vetorial.

Neste ponto, o conjunto de vetores <C0, C1, C2> é ortonormal.

No exemplo acima, começamos com

o que significa que não mudamos a direção quando partimos de v0 para C0 nós apenas mudamos o comprimento. No entanto, as direções de C1 e C2 poderia ser diferente de v1 e v2, respectivamente. Dependendo da aplicação específica, o vetor escolhido para não alterar a direção pode ser importante. Por exemplo, posteriormente neste livro, representamos a orientação da câmera com três vetores ortonormais <v0, v1, v2> onde o terceiro vetor v2 descreve a direção para a qual a câmera está olhando. Ao ortogonalizar esses vetores, muitas vezes não queremos mudar a direção que estamos olhando e, portanto, iniciaremos o algoritmo acima com v2 e modificar v0e v1 para ortogonalizar os vetores.

Até agora estivemos discutindo vetores, que não descrevem posições. No entanto, também precisaremos especificar posições em nossos programas 3D, por exemplo, a posição da geometria 3D e a posição da câmera virtual 3D. Em relação a um sistema de coordenadas, podemos usar um vetor na posição padrão (Figura 1.16) para representar uma posição 3D no espaço, chamamos isso de Vetor de posição. Nesse caso, a localização da ponta do vetor é a característica de interesse, não a direção ou magnitude. Usaremos os termos & ldquoposition vector & rdquo e & ldquopoint & rdquo de forma intercambiável, uma vez que um vetor de posição é suficiente para identificar um ponto.

Um efeito colateral do uso de vetores para representar pontos, especialmente no código, é que podemos fazer operações vetoriais que não fazem sentido para pontos, por exemplo, geometricamente, o que a soma de dois pontos deve significar? Por outro lado, algumas operações podem ser estendidas a pontos. Por exemplo, definimos a diferença de dois pontos q &menos p ser o vetor de p para q. Além disso, definimos um ponto p mais um vetor v ser o ponto q obtido deslocando p pelo vetor v. Convenientemente, porque estamos usando vetores para representar pontos relativos a um sistema de coordenadas, nenhum trabalho extra precisa ser feito para as operações de ponto que acabamos de discutir, pois a estrutura de álgebra vetorial já cuida deles, veja a Figura 1.17.

Figura 1.16. O vetor de posição, que se estende da origem ao ponto, descreve totalmente onde o ponto está localizado em relação ao sistema de coordenadas.

Figura 1.17. (a) A diferença q &menos p entre dois pontos é definido como o vetor de p para q. (b) Um ponto p mais o vetor v é definido para ser o ponto q obtido deslocando p pelo vetor v.

Na verdade, existe uma maneira geométrica significativa de definir uma soma especial de pontos, chamada de combinação afim, que é como uma média ponderada de pontos.

1.6 VETORES DE MATEMÁTICA DIRECTX

Para o Windows 8 e superior, o DirectX Math é uma biblioteca matemática 3D para o aplicativo Direct3D que faz parte do SDK do Windows. A biblioteca usa o conjunto de instruções SSE2 (Streaming SIMD Extensions 2). Com registros SIMD de 128 bits (instrução única, dados múltiplos), as instruções SIMD podem operar em quatro floats ou ints de 32 bits com uma instrução. Isso é muito útil para cálculos de vetores, por exemplo, se você olhar para a adição de vetores:

vemos que apenas adicionamos componentes correspondentes. Usando o SIMD, podemos fazer a adição de vetores 4D com uma instrução SIMD em vez de quatro instruções escalares. Se precisássemos de apenas três coordenadas para o trabalho 3D, ainda podemos usar SIMD, mas simplesmente ignoraríamos a quarta coordenada da mesma forma, para 2D ignoraríamos a terceira e a quarta coordenadas.

Nossa cobertura da biblioteca DirectX Math não é abrangente e cobrimos apenas as partes principais necessárias para este livro. Para todos os detalhes, recomendamos a documentação online [DirectXMath]. Para os leitores que desejam compreender como uma biblioteca de vetores SIMD pode ser desenvolvida de maneira otimizada e, talvez, para obter algumas informações sobre por que a biblioteca DirectX Math tomou algumas das decisões de design que fez, recomendamos o artigo Projetando bibliotecas de vetores SIMD multiplataforma por [Oliveira2010].

Para usar a biblioteca DirectX Math, você precisa #include & ltDirectXMath.h & gt e, para alguns tipos de dados adicionais, #include & ltDirectXPackedVector.h & gt. Não há arquivos de biblioteca adicionais, pois todo o código é implementado embutido no arquivo de cabeçalho. O código DirectXMath.h reside no namespace DirectX e o código DirectXPackedVector.h reside no namespace DirectX :: PackedVector. Além disso, para a plataforma x86, você deve habilitar SSE2 (Propriedades do projeto & propriedades de configuração gt & gt C / C++ & gt Code Generation & gt Enable Enhanced Instruction Set), e para todas as plataformas você deve habilitar o modelo de ponto flutuante rápido / fp: fast (Propriedades do projeto & propriedades de configuração gt & gt C / C++ & gt Geração de código & gt Modelo de ponto flutuante) Você não precisa habilitar SSE2 para a plataforma x64 porque todas as CPUs x64 suportam SSE2 (http://en.wikipedia.org/wiki/SSE2).

1.6.1 Tipos de vetor

No DirectX Math, o tipo de vetor central é XMVECTOR, que mapeia para registros de hardware SIMD. Este é um tipo de 128 bits que pode processar quatro flutuadores de 32 bits com uma única instrução SIMD. Quando SSE2 está disponível, ele é definido como tal para plataformas x86 e x64:

onde __m128 é um tipo especial de SIMD. Ao fazer cálculos, os vetores devem ser desse tipo para aproveitar as vantagens do SIMD. Como já mencionado, ainda usamos esse tipo para vetores 2D e 3D para tirar proveito do SIMD, mas apenas zeramos os componentes não utilizados e os ignoramos.

O XMVECTOR precisa ser alinhado com 16 bytes, e isso é feito automaticamente para variáveis ​​locais e globais. Para membros de dados de classe, é recomendado usar XMFLOAT2 (2D), XMFLOAT3 (3D) e XMFLOAT4 (4D) em vez dessas estruturas são definidas abaixo:


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Thomas Calculus 12

Nos Exercícios 1-8, encontre a curva & # x27s vetor unitário tangente. Além disso, encontre o comprimento da parte indicada da curva.
$ mathbf(t) = (2 cos t) mathbf+ (2 sin t) mathbf+ sqrt <5> t mathbf, quad 0 leq t leq pi $

Problema 2

Nos Exercícios 1-8, encontre a curva & # x27s vetor unitário tangente. Além disso, encontre o comprimento da parte indicada da curva.
$ mathbf(t) = (6 sin 2 t) mathbf+ (6 cos 2 t) mathbf+5 t mathbf, quad 0 leq t leq pi $

Problema 3

Nos Exercícios 1-8, encontre a curva & # x27s vetor unitário tangente. Além disso, encontre o comprimento da parte indicada da curva.
$ mathbf(t) = t mathbf+ (2/3) t ^ <3/2> mathbf, quad 0 leq t leq 8 $

Problema 4

Nos Exercícios 1-8, encontre a curva & # x27s vetor unitário tangente. Além disso, encontre o comprimento da parte indicada da curva.
$ mathbf(t) = (2 + t) mathbf- (t + 1) mathbf+ t mathbf, quad 0 leq t leq 3 $

Problema 5

Nos Exercícios 1-8, encontre a curva & # x27s vetor unitário tangente. Além disso, encontre o comprimento da parte indicada da curva.
$ mathbf(t) = left ( cos ^ <3> t right) mathbf+ left ( sin ^ <3> t right) mathbf, quad 0 leq t leq pi / 2 $

Problema 5

Nos Exercícios 1-8, encontre a curva & # x27s vetor unitário tangente. Além disso, encontre o comprimento da parte indicada da curva.
$ mathbf(t) = left ( cos ^ <3> t right) mathbf+ left ( sin ^ <3> t right) mathbf, quad 0 leq t leq pi / 2 $

Problema 6

Nos Exercícios 1-8, encontre a curva & # x27s vetor unitário tangente. Além disso, encontre o comprimento da parte indicada da curva.
$ mathbf(t) = 6 t ^ <3> mathbf-2 t ^ <3> mathbf-3 t ^ <3> mathbf, quad 1 leq t leq 2 $

Problema 7

Nos Exercícios 1-8, encontre a curva & # x27s vetor unitário tangente. Além disso, encontre o comprimento da parte indicada da curva.
$ mathbf(t) = (t cos t) mathbf+ (t sin t) mathbf+ (2 sqrt <2> / 3) t ^ <3/2> mathbf, quad 0 leq t leq pi $

Problema 8

Nos Exercícios 1-8, encontre a curva & # x27s vetor unitário tangente. Além disso, encontre o comprimento da parte indicada da curva.
$ mathbf(t) = (t sin t + cos t) mathbf+ (t cos t- sin t) mathbf, quad sqrt <2> leq t leq 2 $

Problema 9

Encontre o ponto na curva
$ mathbf(t) = (5 sin t) mathbf+ (5 cos t) mathbf+12 t mathbf$
a uma distância de 26 $ pi $ unidades ao longo da curva do ponto $ (0,5,0) $ na direção de aumento são comprimento.

Problema 10

Encontre o ponto na curva
$ mathbf(t) = (12 sin t) mathbf- (12 cos t) mathbf+5 t mathbf$
a uma distância de 13 $ pi $ unidades ao longo da curva do ponto $ (0, -12,0) $ na direção oposta à direção de aumento do comprimento do arco.

Problema 11

Nos Exercícios 11-14, encontre o parâmetro de comprimento do arco ao longo da curva
do ponto onde t = 0 avaliando a integral
$ s = int_ <0> ^| mathbf( tau) | d tau $
da Equação (3). Então f & # x27md o comprimento da parte indicada da curva.
$ mathbf(t) = (4 cos t) mathbf+ (4 sin t) mathbf+3 t mathbf, quad 0 leq t leq pi / 2 $

Problema 12

Nos Exercícios 11-14, encontre o parâmetro de comprimento do arco ao longo da curva
do ponto onde t = 0 avaliando a integral
$ s = int_ <0> ^| mathbf( tau) | d tau $
da Equação (3). Então f & # x27md o comprimento da parte indicada da curva.
$ mathbf(t) = ( cos t + t sin t) mathbf+ ( sin t-t cos t) mathbf, quad pi / 2 leq t leq pi $

Problema 13

Encontre o parâmetro de comprimento do arco ao longo da curva do ponto onde $ t = 0 $ avaliando a integral $ s = int_ <0> ^| mathbf( tau) | d tau $ da Equação (3). Em seguida, encontre o comprimento da parte indicada da curva.
$
mathbf(t) = left (e ^ cos t right) mathbf+ left (e ^ sin t right) mathbf+ e ^ mathbf, quad- ln 4 leq t leq 0
$

Problema 14

Nos Exercícios 11-14, encontre o parâmetro de comprimento do arco ao longo da curva
a partir do ponto onde t = 0 avaliando a integral
$ s = int_ <0> ^| mathbf( tau) | d tau $
da Equação (3). Então f & # x27md o comprimento da parte indicada da curva.
$ mathbf(t) = (1 + 2 t) mathbf+ (1 + 3 t) mathbf+ (6-6 t) mathbf, quad-1 leq t leq 0 $

Problema 15

Comprimento do arco Encontre o comprimento da curva

$ mathbf(t) = ( sqrt <2> t) mathbf+ ( sqrt <2> t) mathbf+ left (1-t ^ <2> right) mathbf$ de $ (0,0,1) $ a $ ( sqrt <2>, sqrt <2>, 0) $

Problema 16

Comprimento da hélice O comprimento 2 $ pi sqrt <2> $ da volta da hélice no Exemplo 1 também é o comprimento da diagonal de um quadrado 2 $ pi $ unidades em um lado. Mostre como obter esse quadrado cortando e achatando uma parte do cilindro em torno do qual a hélice se enrola.

Problema 17

Elipse
uma. Mostre que a curva $ mathbf(t) = ( cos t) mathbf+ ( sin t) mathbf+ (1- cos t) mathbf,$
leq t leq 2 pi, $ é uma elipse, mostrando que é a interseção de um cilindro circular direito e um plano. Encontre equações para o cilindro e o plano.
b. Esboce a elipse no cilindro. Adicione ao seu esboço os vetores tangentes unitários em $ t = 0, pi / 2, pi, $ e 3 $ pi / 2 $.
c. Mostre que o vetor de aceleração sempre está paralelo ao plano (ortogonal a um vetor normal ao plano). Portanto, se você desenhar a aceleração como um vetor anexado à elipse, ela ficará no plano da elipse. Adicione os vetores de aceleração para $ t = 0, pi / 2, pi, $ e 3 $ pi / 2 $ ao seu esboço.
d. Escreva uma integral para o comprimento da elipse. Não tente avaliar a integral, ela é não elementar.
e. Integrador numérico Estimar o comprimento da elipse com duas casas decimais.

Problema 18

O comprimento é independente da parametrização Para ilustrar que o comprimento de uma curva de espaço suave não depende da parametrização que você usa para computá-la, calcule o comprimento de uma volta
da hélice no Exemplo 1 com as seguintes parametrizações.
uma. $ mathbf(t) = ( cos 4 t) mathbf+ ( sin 4 t) mathbf+4 t mathbf, quad 0 leq t leq pi / 2 $
b. $ mathbf(t) = [ cos (t / 2)] mathbf+ [ sin (t / 2)] mathbf+ (t / 2) mathbf, quad 0 leq t leq 4 pi $
c. $ mathbf(t) = ( cos t) mathbf- ( sin t) mathbf-t mathbf, quad-2 pi leq t leq 0 $

Problema 19

A involuta de um círculo Se uma corda enrolada em um círculo fixo for desenrolada enquanto mantida esticada no plano do círculo, sua extremidade $ P $ traça uma involuta do círculo. Na figura a seguir, o
o círculo em questão é o círculo $ x ^ <2> + y ^ <2> = 1 $ e o ponto de rastreamento começa em $ (1,0) $. A parte desenrolada da string é tangente ao círculo em $ Q, $ e $ t $ é a medida em radianos do ângulo do eixo $ x $ positivo para o segmento $ OQ. $ Derive as equações paramétricas $ x = cos t + t sin t, quad y = sin tt cos t, quad t & gt0 $ do ponto $ P (x, y) $ para o involuto.

Problema 20

(Continuação do exercício $ 19.) $ Encontre o vetor tangente unitário ao involuto do círculo no ponto $ P (x, y). $

Problema 21

Distância ao longo de uma linha Mostre que se $ u $ é um vetor unitário, então o parâmetro de comprimento do arco ao longo da linha $ mathbf(t) = P_ <0> + t mathbf$ do ponto $ P_ <0> left (x_ <0>, y_ <0>, z_ <0> right) $ onde $ t = 0, $ é o próprio $ t $.

Problema 22

Use a regra de Simpson & # x27s com $ n = 10 $ para aproximar o comprimento do arco de $ mathbf(t) = t mathbf+ t ^ <2> mathbf+ t ^ <3> mathbf$ da origem ao ponto $ (2,4,8). $


1.8: Funções com valor vetorial - Matemática

Departamento de Matemática

I. NÚMERO E TÍTULO DO CURSO

R. Os alunos precisam explorar e modelar matemática usando a tecnologia disponível atualmente, como calculadoras gráficas programáveis ​​e sistemas computacionais de álgebra. A pesquisa mostra que isso é melhor feito com atividades e projetos práticos.

B. Quando revisamos nosso programa de matemática em 1993, nossos avaliadores externos nos encorajaram fortemente a incorporar mais tecnologia em nossa seqüência de cálculo, como é a norma em muitos programas de cálculo atuais.

A. Os alunos usarão um sistema de álgebra computacional para explorar e modelar conceitos que são cobertos no Cálculo III. Sua compreensão das noções fundamentais de cálculo será aprimorada pela capacidade de visualizá-las melhor.

B. Os alunos irão escrever programas para executar algoritmos matemáticos e para ilustrar e aplicar conceitos de cálculo. Isso os preparará para tarefas de programação mais avançadas em cursos subsequentes.

C. Os alunos usarão um utilitário gráfico programável e sistemas de álgebra computacional para explorar e modelar problemas matemáticos desafiadores e instigantes.

Notas: Cada item numerado e digitado em negrito abaixo será o foco de uma aula. As sessões são inseridas no esboço do MAT 263.

A. Sequências / Séries 1. Representações numéricas e gráficas de sequências a. Explore a convergência plotando os pares (n, an).

b. Para y = f (x) onde f (n) = an, aplique a regra de l'Hopital e o teste da primeira derivada (para o Teorema de Convergência Monótona) para investigar a convergência como em MAT 163 e MAT 164.

c. Programe sequências recursivas, como a sequência de Fibonacci, e determine limites e formas fechadas.

uma. Representar séries infinitas graficamente (por exemplo, diagramas geométricos e dominós harmônicos).

b. Faça uma estimativa da soma de uma série convergente programando estimativas de erro para tipos especiais de série. Como consequência, aproximam-se de números irracionais bem conhecidos com qualquer grau de precisão.

c. Use técnicas de integração numérica do MAT 164 para verificar a convergência pelo teste integral.

uma. Confirme a precisão das representações da série Maclaurin animando gráficos de somas parciais sucessivas em relação ao gráfico da função dada.

b. Variando o centro x = a, determine graficamente a melhor série de Taylor para uma determinada função em um intervalo finito.

c. Estimativas do restante do programa para investigar aproximações polinomiais de uma dada função numericamente.

4. Coordenadas polares e equações paramétricas a. Faça o gráfico de representações paramétricas de curvas.

b. Explore as opções do CAS para personalizar gráficos.

c. Visualize e determine a área entre as curvas polares.

uma. Escreva programas para expressar seções cônicas e superfícies quádricas na forma padrão.

b. Faça o gráfico de seções cônicas e superfícies quádricas. Investigue mais as superfícies quádricas girando seus gráficos e traçando suas curvas de nível.

6. Operações de vetor a. Verifique as leis de ponto e produto cruzado simbolicamente.

b. Visualize e calcule a área de um triângulo e o volume de um paralelepípedo.

c. Anime o gráfico paramétrico de uma linha em forma de vetor (conforme x (t) se move ao longo da linha).

uma. Faça o gráfico de linhas e planos e determine os ângulos entre eles.

b. Programe os métodos vetoriais para medir a distância de um ponto a uma linha e de um ponto a um plano.

uma. Investigue limites, derivadas e integrais de funções com valor vetorial simbolicamente.

b. Analise o movimento de uma partícula ao longo de uma curva (ou seja, faça um gráfico e calcule a velocidade, aceleração, curvatura, bem como tangente unitária e vetores normais unitários).

9. Representações visuais e numéricas de funções dimensionais superiores a. Gráfico z = f (x, y) com várias opções de plotagem. Compare com várias curvas de nível.

b. Investigue os limites e a continuidade das funções de várias variáveis.

uma. Estime derivadas parciais graficamente e calcule Hem simbolicamente.

b. Verifique as regras da cadeia simbolicamente.

c. Trace uma função junto com seu plano tangente e linha normal em um determinado ponto.

uma. Determine e classifique os pontos críticos de uma determinada função pelo teste da segunda derivada, bem como por inspeção gráfica.

b. Resolva problemas de otimização restrita com multiplicadores de Lagrange.

12. Volumes e áreas de superfície a. Calcule múltiplos integrais numericamente e também simbolicamente.

b. Visualize e estime volumes e áreas de superfície de sólidos determinados por funções em regiões retangulares e não retangulares.

c. Converta múltiplas integrais em coordenadas polares, cilíndricas ou esféricas para obter 12 (a) e 12 (b) acima.

uma. Integre simbolicamente funções escalares sobre curvas e os componentes tangencial e normal de um campo vetorial ao longo de uma curva.

b. Integre funções escalares em superfícies e campos vetoriais em superfícies orientadas.

c. Programa que calcula a área de qualquer polígono usando o teorema de Green.


Capítulo I Um Levantamento de Problemas de Otimização com Critérios de Vetor

Este capítulo discute um levantamento de problemas de otimização com critérios de vetor. O problema de otimização de um critério de valoração vetorial surge em conexão com a solução de problemas nas áreas de planejamento e organização da produção. Os métodos de solução nos trabalhos acima mencionados para o problema de otimização vetorial podem ser classificados nos seguintes grupos: (1) a otimização de uma sequência hierárquica de índices de desempenho, (2) a determinação de um conjunto de pontos não improváveis, e ( 3) a determinação de uma solução baseada em uma forma de compromisso ou outro. O método de otimização de uma sequência hierárquica de critérios de desempenho é baseado na introdução de uma ordem de preferência dos critérios dados, de modo que a ordem de preferência seja reduzida a uma ordem de critérios escalares. Métodos para determinar uma solução com base em uma forma de compromisso ou outra são aplicados para a solução de grandes classes de problemas de otimização vetorial. O princípio do compromisso equitativo para a escolha de uma solução em problemas de otimização de vetores é baseado na ideia de que a diminuição relativa no valor de um ou vários critérios não deve exceder o aumento relativo nos critérios restantes. Uma das abordagens de compromisso possíveis é considerar uma escolha preliminar de coeficientes de ponderação e definir uma solução ótima.


Cálculo Ativo - Multivariável + Vetor

O que é uma curva orientada e como podemos representá-la algebricamente?

Qual é o significado da integral de linha de uma função com valor vetorial ao longo de uma curva e como podemos estimar se seu valor é positivo, negativo ou zero?

Quais são as propriedades importantes da integral de linha de funções com valor vetorial ao longo de uma curva?

Conforme discutimos na Seção 12.1, os campos vetoriais são frequentemente úteis como representações de forças como gravidade, vento e água corrente. Aprendemos na Seção 9.3 que o produto escalar de um vetor de força e um vetor de deslocamento nos diz quanto trabalho a força realizou no objeto à medida que ele se moveu da cauda de seu vetor de deslocamento até a ponta. No entanto, as coisas ficam mais complicadas quando o movimento de um objeto não é em linha reta e quando a força não é uniforme em toda a área em que o objeto se move. Por exemplo, quanto trabalho é feito por um vento de 30 mi ⁄h em direção ao noroeste em um avião que está voando 500 milhas ao norte? E se o vento ficar mais fraco quanto mais ao norte o avião vai? Nesta seção, começamos a investigar como a integração pode ser usada para calcular o trabalho que um campo de força faz em tais circunstâncias.

Atividade de visualização 12.2.1.

Lembre-se da Seção 9.3 que o trabalho feito por uma força ( vF ) em um objeto que se move com o vetor de deslocamento ( vv ) é ( vF cdot vv text <.> ) Nesta visualização Atividade, consideramos o trabalho feito por um vento soprando de leste a 45 mi ⁄h em um avião em vários estágios de sua jornada.

Um piloto voa por uma hora e descobre que está a 300 milhas de onde partiu, em um rumo de 20 graus a leste do norte. Encontre o trabalho que o vento fez no avião durante o vôo.

Uma hora depois, o piloto determina que está a 275 milhas ao norte de onde havia verificado sua posição.Encontre o trabalho realizado pelo vento no avião durante a segunda hora de vôo.

Encontre o deslocamento do piloto de sua posição original após duas horas de vôo e use-o para encontrar o trabalho realizado pelo vento no avião durante as primeiras duas horas de vôo.

Como sua resposta à parte anterior se conecta às respostas das duas primeiras partes?

Suponha que o piloto voe 45 ° a oeste do norte por 200 milhas. Encontre o trabalho realizado pelo vento no avião durante esta parte da viagem.

Subseção 12.2.1 Orientações de curvas

Dada a nossa motivação para calcular o trabalho que um campo de força faz sobre um objeto à medida que ele se move através do campo, é natural nos preocuparmos com Como as o objeto se move. Em particular, em muitas circunstâncias, será diferente se um objeto se mover do ponto ((0,1) ) para o ponto ((4,3) ) subindo primeiro no eixo (y ) para ((0,3) ) e, em seguida, movendo-se horizontalmente para (4,3) ) do que se o objeto se movesse ao longo do segmento de linha de ((0,1) ) diretamente para ((4, 3) text <.> ) Da mesma forma, dado um campo de força fixo, esperaríamos que o trabalho realizado fosse diferente (na verdade, oposto) se o objeto se movesse de ((4,3) ) para ( 0,1) ) diretamente ao longo de um segmento de linha. Dizemos que uma curva em ( R ^ 2 ) ou ( R ^ 3 ) é se tivermos especificado a direção de viagem ao longo da curva. Quando uma curva é fornecida parametricamente (incluindo uma função com valor vetorial), nossa convenção será que a orientação segue do menor valor permitido do parâmetro para o maior.

Atividade 12.2.2.

Para cada curva abaixo, encontre uma parametrização da curva. Certifique-se de que a orientação de cada curva corresponda à especificada.

O segmento de linha em ( R ^ 3 ) de ((0,1, -2) ) a ((3, -1,2) text <.> )

O segmento de linha em ( R ^ 3 ) de ((3, -1,2) ) a ((0,1, -2) text <.> )

O círculo de raio (3 ) (in ( R ^ 2 )) centralizado na origem, começando no ponto ((0, -3) ) e prosseguindo no sentido horário ao redor do círculo.

Em ( R ^ 2 text <,> ) a porção da parábola (y ^ 2 = x ) do ponto ((4,2) ) ao ponto ((1, -1 ) text <.> )

Observe que existem, em geral, muitas maneiras de parametrizar uma curva orientada. Com segmentos de linha, é comum ter o parâmetro na faixa de (0 ) a (1 text <,> ) embora às vezes haja boas razões para escolher outro método. Para círculos e elipses, você pode achar útil intercalar a colocação de ( cos (t) ) e ( sin (t) ) para mudar a orientação, mas então uma atenção cuidadosa pode precisar ser dada ao pontos inicial e final. O miniaplicativo gráfico interativo abaixo permite traçar curvas paramétricas. Clique no botão "Animar" para traçar a curva do seu valor inferior de (t ) ao valor superior de (t text <.> ) (Digite enter / return no teclado para atualizar o gráfico após a edição uma caixa de texto.) Para curvas em ( R ^ 2 text <,> ), marque “Restringir vista para 2D” para facilitar a visualização.

Figura 12.2.1. Um miniaplicativo CalcPlot3D para explorar curvas orientadas

Subseção 12.2.2 Integrais de linha

Assim como quando diferenciamos uma função com valor vetorial ( vr (t) ) para encontrar um vetor tangente, começamos dividindo uma curva (C ) orientada de um ponto (P ) a um ponto ( Q ) em (n ) pedaços pequenos e retos. Cada uma dessas peças está em uma área onde o campo vetorial ( vF ) é quase constante, desde que usemos peças suficientes. Na Figura 12.2.2, mostramos essa situação. Cada ( vr_i ) é a ponta de um vetor que traça a curva, o que torna os vetores ( Delta vr_i = vr_- vr_i ) (mostrado em azul) aproxima a curva (C text <.> ) Os vetores verdes são os vetores no campo vetorial ( vF ) em cada um dos pontos designados ao longo da curva.

Se estamos tentando determinar o quanto uma corrente de vento ajuda ou atrapalha uma aeronave voando ao longo de um caminho determinado pela curva, então o cálculo do produto escalar ( vF ( vr_i) cdot Delta vr_i ) faz sentido para o quantidade local de ajuda ou obstáculo. Isso ocorre porque se o vetor ( vr_i ) ao longo da curva e o vetor do campo de força ( vF ( vr_i) ) apontam em direções semelhantes, o produto escalar será positivo. 1 Por outro lado, se o ângulo entre eles for obtuso, o produto escalar será negativo e também notaríamos que o campo de força está atrapalhando o progresso da aeronave. Tomando a soma de (i = 0, dots, n-1 text <,> ), temos uma soma de Riemann que se aproxima do trabalho realizado pelo campo vetorial na aeronave enquanto ela voa (C text < :> )

Isso sugere a seguinte definição.

Definição 12.2.3.

Seja (C ) uma curva orientada e ( vF ) um campo vetorial definido em uma região contendo (C text <.> ) O of ( vF ) ao longo de (C ) é

desde que o limite exista.

Notação alternativa para integrais de linha.

Nossa notação para integrais de linha é uma das várias notações comuns. O ponto forte dessa notação é que ela enfatiza o papel de um campo vetorial e de um produto escalar. Outra notação comum para a integral de linha de um campo vetorial ( langle P, Q, R rangle ) ao longo de uma curva (C ) é ( int_C P , dx + Q , dy + R , dz text <.> ) Esta notação é comum em física e engenharia. Vamos nos limitar à notação ( int_C vF cdot d vr ) no corpo do texto, mas alguns exercícios podem usar notação alternativa.

O limite na Definição 12.2.3 existe desde que ( vF ) seja um campo vetorial contínuo, o que significa que cada função componente de ( vF ) é contínua como uma função de (2 ) ou (3 ) variáveis, e que (C ) é uma curva suave por partes traçada de seu ponto inicial até seu ponto terminal sem refazer qualquer parte da curva.

Porque os produtos escalares na definição da linha integral ( int_C vF cdot d vr ) podem ser vistos como o trabalho feito por ( vF ) conforme um objeto se move ao longo do vetor (muito pequeno) ( Delta vr_i text <,> ) a integral de linha dá o trabalho total feito pelo campo vetorial em um objeto que se move ao longo de (C ) (na direção de sua orientação).

Atividade 12.2.3.

Mostrados na Figura 12.2.4 estão dois campos de vetor, ( vF ) e ( vG ) e quatro curvas orientadas, conforme rotuladas nos gráficos. Para cada uma das integrais de linha abaixo, determine se seu valor deve ser positivo, negativo ou zero. Faça isso pensando se o campo vetorial está ajudando ou atrapalhando o movimento de uma partícula ao longo da curva orientada, em vez de fazer cálculos.


Índice

(NOTA: cada capítulo termina com exercícios verdadeiro / falso e exercícios diversos.)

Vetores em duas e três dimensões. Mais sobre vetores. O produto interno. O produto cruzado. Equações para problemas de distância de planos. Alguma geometria n-dimensional. Novos sistemas de coordenadas.

2. Diferenciação em várias variáveis.

Funções de várias variáveis ​​na representação gráfica de superfícies. Limites. O derivado. Propriedades de Derivados Parciais de Ordem Superior Método de Newton & rsquos. A regra da cadeia. Derivados direcionais e o gradiente.

Curvas parametrizadas e leis de Kepler & # 39s. Comprimento de arco e geometria diferencial. Campos de vetores: uma introdução. Gradient, Divergence, Curl e o Del Operator.

4. Máximos e mínimos em várias variáveis.

Diferenciais e Teorema de Taylor # 39. Extrema de funções. Multiplicadores de Lagrange. Algumas aplicações do Extrema.

Introdução: Áreas e Volumes. Integrais duplos. Mudando a ordem de integração. Integrais triplos. Mudança de variáveis. Aplicações de integração.

Integrais escalares e vetoriais de linha. Teorema de Green & # 39s. Campos de vetores conservadores.

7. Integrais de superfície e análise vetorial.

Superfícies parametrizadas. Integrais de superfície. Teoremas de Stokes & # 39s e Gauss & # 39s. Análise de vetor adicional Equações de Maxwell e # 39s.

8. Análise vetorial em dimensões superiores.

Uma introdução às formas diferenciais. Manifolds e integrais de formas k. The Generalized Stokes & # 39s Theorem.

Sugestões para leituras adicionais.

Respostas aos exercícios selecionados.


Assista o vídeo: - Ukjent lineær funksjon 1T Eksamen Høst 2017 (Novembro 2021).