Artigos

8.4: Superfícies e sólidos de revolução


Muito antes de o cálculo ser inventado, os gregos antigos (por exemplo, Arquimedes) descobriram as fórmulas para o volume e a área de superfície de objetos tridimensionais familiares, como a esfera.6 Volumes e áreas de superfície de sólidos e superfícies arbitrárias podem ser encontrados usando cálculo multivariável. No entanto, o cálculo de variável única pode ser usado no caso especial dos objetos que possuem simetria em torno de um eixo, por meio de métodos que envolvem a rotação de uma curva ou região no plano (xy ) - em torno de um eixo.

Por exemplo, revolva uma curva (y = f (x) ge 0 ) em torno do eixo (x ), para (a le x le b ). Isso produz um superfície de revolução em três dimensões, como na Figura [fig: surfarea] (a).

Para encontrar a área de superfície lateral total (S ), escolha (x ) em ( lival {a} {b} ), em seguida, encontre a área de superfície infinitesimal (d ! S ) varrida sobre o intervalo infinitesimal ( ival {x} {x + dx} ), como na Figura [fig: surfarea] (b). Pela propriedade de microtectura, a curva (y = f (x) ) é um segmento de linha reta de comprimento ( ds ) sobre esse intervalo, de modo que a superfície infinitesimal é um frustrum—Um cone circular reto com o vértice cortado por um plano paralelo ao círculo de base. Da geometria7 você deve se lembrar da fórmula para a área da superfície lateral do frustrum na Figura [fig: frustrum]: ( pi , (r_1 + r_2) , l ). Use essa fórmula com (r_1 = f (x) ), (r_2 = f (x + dx) = f (x) + dy ), e (l = ds = sqrt {1 + ( f '(x)) ^ 2} , dx ) (pela fórmula ([eqn: arclength]) na Seção 8.3) como na Figura [fig: surfarea] (c), de modo que (d ! S ) é

[ begin {alinhados} d ! S ~ & = ~ pi , (f (x) + (f (x) + dy)) , sqrt {1 + (f '(x)) ^ 2} , dx & = ~ 2 , pi , f (x) , sqrt {1 + (f '(x)) ^ 2} , dx ~ + ~ pi , sqrt {1 + (f '(x)) ^ 2} , dy , dx & = ~ 2 , pi , f (x) , sqrt {1 + (f' ( x)) ^ 2} , dx ~ + ~ 0 end {alinhado} ] desde ( dy , dx = f '(x) , ( dx) ^ 2 = 0 ). A área da superfície (S ) é então a soma de todas as áreas (d ! S ):

Observe que a fórmula ([eqn: surfareagen]) é válida pela simetria e a fórmula ([eqn: surfarea]). Uma curva (y = f (x) <0 ) e a curva (y = Abs {f (x)} = - f (x) ) são simétricas em relação ao eixo (x ) - , como na figura à direita. Assim, ambas as curvas varrem a mesma superfície de revolução quando giradas em torno do eixo (x ). Isso significa que a fórmula ([eqn: surfareagen]) também é válida se (y = f (x) ) mudar o sinal em ( ival {a} {b} ): semelhante à área entre duas curvas, você dividiria a integral em diferentes subintervalos dependendo do sinal.

Mostre que a área de superfície de uma esfera de raio (r ) é (4 pi r ^ 2 ).

Solução: Use o círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ). A metade superior desse círculo é a curva (y = f (x) = sqrt {r ^ 2-x ^ 2} ) ao longo do intervalo ( ival {-r} {r} ), como em a figura à direita. Revolver essa curva em torno do eixo (x ) produz uma esfera de raio (r ), cuja área de superfície (S ) é:

[ begin {alinhados} S ~ & = ~ int _ {- r} ^ r 2 , pi , f (x) , sqrt {1 + (f '(x)) ^ 2} ~ dx & = ~ int _ {- r} ^ r 2 , pi , sqrt {r ^ 2-x ^ 2} , sqrt {1 + left ( frac {-x} { sqrt {r ^ 2-x ^ 2}} right) ^ 2} ~ dx & = ~ int _ {- r} ^ r 2 , pi , cancel { sqrt {r ^ 2- x ^ 2}} , sqrt { frac {r ^ 2} { cancel {r ^ 2-x ^ 2}}} ~ dx & = ~ 2 , pi , rx ~ Biggr | _ {- r} ^ r ~ = ~ 4 , pi r ^ 2 quad checkmark end {alinhado} ]

Uma derivação semelhante usando um frustrum produz a área de superfície (S ) da superfície de revolução obtida ao girar uma curva (y = f (x) ) em torno do eixo (y ), para (0 le a le x le b ):

[ label {eqn: surfareageny} S ~ = ~ int_a ^ bd ! S ~ = ~ int_a ^ b 2 , pi , abs {x} ~ ds ~ = ~ int_a ^ b 2 , pi , x , sqrt {1 + (f '(x)) ^ 2} ~ dx ] Agora suponha que você revolva a região entre uma curva (y = f (x) ge 0 ) e o eixo (x ) - em torno do eixo (x ), para (a le x le b ) (ver Figura [fig: solidvolume] (a)). Isso produz um sólido de revolução em três dimensões, como na Figura [fig: solidvolume] (b). Observe que esse sólido consiste na superfície de revolução como antes, juntamente com seu interior.

O objetivo é encontrar o volume (V ) deste sólido. A ideia é dividir o sólido em fatias, como um pão. Primeiro, o volume infinitesimal (d ! V ) do frustrum varrido por uma faixa de largura infinitesimal ( dx ) em (x ) em ( lival {a} {b} ) - mostrado na Figura [fig: solidvolume] (c) - é necessário. Pela propriedade de microtectura, a curva (y = f (x) ) é uma linha reta de comprimento ( ds ) no intervalo ( ival {x} {x + dx} ). Há, portanto, um triângulo retângulo no topo da faixa - sem sombreado na Figura [fig: solidvolume] (c) - cuja área (A ) é zero: (A = tfrac {1} {2} ( dy ) ( dx) = tfrac {1} {2} f '(x) ( dx) ^ 2 = 0 ).

Esse triângulo, portanto, não contribui com nenhum volume quando girado em torno do eixo (x ): o volume (d ! V ) varrido por essa faixa vem todo do retângulo sombreado de altura (f (x) ) e largura ( dx ). Esse retângulo varre um cilindro circular direito de raio (f (x) ) e altura ( dx ) (ver Figura [fig: discmethod]). O volume de um cilindro circular direito de raio (r ) e altura (h ) é definido como a área do círculo base vezes a altura: ( pi r ^ 2h ). Por isso,

[d ! V ~ = ~ pi , (f (x)) ^ 2 ; dx ~~. ] O volume total (V ) do sólido é então a soma de todos os volumes infinitesimais (d ! V ):

Este método para encontrar o volume é chamado de método de disco, uma vez que o cilindro de volume (d ! V ) se assemelha a um disco. Pense nos discos como sendo semelhantes a fatias infinitesimalmente finas de um pão. Observe que os valores absolutos não são necessários na fórmula ([eqn: volumedisc]), uma vez que (f (x) ) é ao quadrado, então a fórmula é válida mesmo quando (f (x) ) é negativo.

Mostre que o volume de uma esfera de raio (r ) é ( frac {4} {3} pi r ^ 3 ).

Solução: Use o círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ). Revolve a região entre a metade superior do círculo (y = f (x) = sqrt {r ^ 2-x ^ 2} ) e o eixo (x ) - em torno do eixo (x ) no intervalo ( ival {-r} {r} ), como na figura à direita. O sólido de revolução varrido é uma esfera de raio (r ), cujo volume (V ) é:

[ begin {alinhados} V ~ & = ~ int _ {- r} ^ r pi , (f (x)) ^ 2 ~ dx ~ = ~ int _ {- r} ^ r pi , (r ^ 2-x ^ 2) ~ dx ~ = ~ pi , r ^ 2 x ~ - ~ frac {1} {3} pi x ^ 3 ~ Biggr | _ {- r} ^ r & = ~ left ( pi , r ^ 3 - frac {1} {3} pi r ^ 3 right) ~ - ~ left (- pi , r ^ 3 + frac { 1} {3} pi r ^ 3 right) ~ = ~ frac {4} {3} , pi r ^ 3 quad checkmark end {alinhado} ]

Em vez de memorizar a fórmula ([eqn: volumedisc]), tente se lembrar da abordagem mais genérica de girar uma faixa retangular infinitesimal em torno de um eixo, que pode não ser o eixo (x ). A ideia é encontrar o raio (r ) e a altura (h ) - normalmente ( dx ) ou ( dy ) - do disco varrido por essa faixa, de modo que o volume do disco seja (d ! V = pi r ^ 2 h ). Em seguida, integre (d ! V ) no intervalo apropriado para encontrar o volume (V ) de todo o sólido.

Suponha que a região delimitada pela curva (y = x ^ 2 ) e o eixo (x ) para (0 le x le 1 ) seja girado em torno da linha (x = 1 ). Encontre o volume do sólido de revolução resultante.

Solução: A região está sombreada na figura à direita. Como a região gira em torno de um eixo vertical, o método do disco usará discos com altura ( dy ), não ( dx ). Em um ponto (x ) em ( ival {0} {1} ) vá até a curva (y = x ^ 2 ) e desenhe uma faixa retangular horizontal até a linha (x = 1 ), conforme mostrado na figura. Deixe (h = dy ) e gire essa tira em torno da linha (x = 1 ), produzindo um disco de raio (r-1-x ) e altura (h = dy ). Uma vez que (y = x ^ 2 ) implica (x = sqrt {y} ), o volume (d ! V ) desse disco é

[d ! V ~ = ~ pi , r ^ 2 h ~ = ~ pi , (1-x) ^ 2 ~ dy ~ = ~ pi , (1- sqrt {y}) ^ 2 ~ dy ~ = ~ pi , (1 - 2 sqrt {y} + y) ~ dy ~. ] O volume (V ) de todo o sólido é então a soma desses volumes (d ! V ) ao longo do eixo (y ) para (0 le y le 1 ):

[V ~ = ~ int_0 ^ 1 d ! V ~ = ~ int_0 ^ 1 pi , (1 - 2 sqrt {y} + y) ~ dy ~ = ~ pi , left ( y - frac {4} {3} y ^ {3/2} + frac {1} {2} y ^ 2 right) ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ pi , left (1 - frac {4} {3} + frac {1} {2} direita) ~ = ~ frac { pi} {6} ]

O método de casca pode ser usado para encontrar o volume de um sólido com um “buraco” no meio, como no sólido de revolução produzido pela rotação da região sombreada na figura à direita em torno do eixo (y ). O furo no sólido entre (x = -a ) e (x = a ) é o resultado da lacuna entre o eixo (y ) e a região. Para encontrar o volume (V ) daquele sólido, em um ponto (x ) em ( lival {a} {b} ) forma uma faixa infinitesimal de largura ( dx ) a partir de ( x ) - eixo até a curva (y = f (x) ), como na Figura [fig: shellmethod] (a).

Assim como a faixa no método do disco, o triângulo retângulo no topo desta faixa - como na Figura [fig: shellmethod] (b) - tem área zero e, portanto, não contribui para o volume (d ! V ) da concha cilíndrica circular direita varrida pela tira, mostrada na Figura [fig: shellmethod] (c). O volume dessa casca é apenas o volume do cilindro "externo" do raio (x + dx ) menos o volume do cilindro "interno" do raio (x ), ambos com altura (f (x) ):

[ begin {alinhado} d ! V ~ & = ~ pi , (x + dx) ^ 2 , f (x) ~ - ~ pi , x ^ 2 , f (x)

[- 6pt] & = ~ cancelar { pi , x ^ 2 , f (x)} ~ + ~ 2 , pi , x , f (x) , dx ~ + ~ pi , cancelto {0} {( dx) ^ 2} , f (x) ~ - ~ cancel { pi , x ^ 2 , f (x)} & = ~ 2 , pi , x , f (x) , dx end {alinhado} ] O volume (V ) de todo o sólido é então a soma desses volumes (d ! V ), usando um valor absoluto para lidar com qualquer sinal de (f (x) ):

Suponha que a região limitada pela curva (y = x ^ 2 ) e o eixo (x ) para (0 le x le 1 ) seja girado em torno do eixo (y ). A faixa vertical em (x ) em ( lival {0} {1} ) com largura infinitesimal ( dx ) e altura ( Abs {f (x)} = f (x) ) é mostrado na figura. Essa faixa produz a casca com volume (d ! V ) na fórmula ([eqn: volumeshell]), então pelo método de casca o volume (V ) do sólido de revolução é:

[V ~ = ~ int_0 ^ 1 d ! V ~ = ~ int_0 ^ 1 2 , pi , x , Abs {f (x)} ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 2 , pi , x , cdot , x ^ 2 ~ dx ~ = ~ frac { pi} {2} , x ^ 4 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ frac { pi} {2} ]

O volume (d ! V ) na fórmula ([eqn: volumeshell]) pode ser generalizado para (d ! V = 2 pi rhw ), onde (r ) é a distância do eixo de revolução para uma faixa vertical genérica de largura infinitesimal (w ) na região, e (h ) é a altura da faixa.

Exemplo ( PageIndex {1} ): shell1

Adicione texto aqui.

Solução

Suponha que a região delimitada pelas curvas (y = x ^ 2 ) e (y = x ) seja girada em torno do eixo (y ). Encontre o volume do sólido de revolução resultante.

Solução: A região está sombreada na figura à direita, junto com uma faixa vertical com largura infinitesimal (w = dx ) na distância (r = x ) do eixo (y ) na região e altura (h = xx ^ 2 ). Essa faixa produz a casca com volume (d ! V = 2 pi rhw = 2 pi x (xx ^ 2) , dx ), de modo que o volume (V ) do sólido de revolução é :

[V ~ = ~ int_0 ^ 1 d ! V ~ = ~ int_0 ^ 1 2 , pi , x , (xx ^ 2) ~ dx ~ = ~ frac {2 pi} { 3} , x ^ 3 ~ - ~ frac { pi} {2} , x ^ 4 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ frac { pi} {6} ]

[sec8dot4]

Para os Exercícios 1-3, encontre a área de superfície da superfície de revolução produzida girando a curva dada em torno do eixo (x ) para o intervalo dado.

3

(y = sqrt {4 - x ^ 2} ~ ) para (~ 1 le x le 2 vphantom { frac {x ^ 3} {6}} )

(y = cosh , x ~ ) para (~ 0 le x le 1 vphantom { frac {x ^ 3} {6}} )

(y = frac {x ^ 3} {6} + frac {1} {2x} ~ ) para (~ 1 le x le 3 )

Para os Exercícios 4-6, encontre o volume do sólido de revolução produzido pela rotação da região entre a curva dada e o eixo (x ) - ao redor do eixo (x ) para o intervalo dado. [[1.]]

3

(y = x ^ 3 ~ ) para (~ 0 le x le 1 )

(y = sin , x ~ ) para (~ 0 le x le pi )

(y = sqrt {x} ~ ) para (~ 0 le x le 1 )

Para os Exercícios 7-9, encontre o volume do sólido de revolução produzido pela rotação da região entre a curva dada e o eixo (x ) em torno do eixo (y ) para o intervalo dado. [[1.]]

3

(y = sin , (x ^ 2) ~ ) para (~ 0 le x le sqrt { pi} )

(y = sin , x ~ ) para (~ 0 le x le pi )

(y = x ^ 2 - x ^ 3 ~ ) para (~ 0 le x le 1 )

Revolve a região no Exemplo

Exemplo ( PageIndex {1} ): shell1

Adicione texto aqui.

Solução

em torno da linha (x = 1 ) e encontre o volume do sólido resultante.

[exer: elipsóide] Revolver a elipse ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) em torno do eixo (x ) - produz um elipsóide, para (a> b> 0 ). Mostre que a área da superfície do elipsóide é (2 , pi , b ^ 2 , left (1 + frac {a} {eb} , sin ^ {- 1} e right) ), onde (e ) é a excentricidade da elipse.

Mostre que o volume dentro do elipsóide do Exercício [exer: elipsóide] é ( frac {4} {3} , pi , a , b ^ 2 ).

Encontre a área da superfície e o volume de um cone circular direito de raio (r ) e altura (h ).

As fórmulas ([eqn: surfareagen]), ([eqn: volumedisc]) e ([eqn: volumeshell]) podem ser estendidas para incluir regiões em intervalos infinitos - as integrais nessas fórmulas simplesmente se tornam integrais impróprias. Considere a região entre a curva (y = frac {1} {x} ) e o eixo (x ) sobre o intervalo ( lival {1} ​​{ infty} ). Revolva essa região em torno do eixo (x ).

  1. Mostre que a área da superfície resultante da revolução é infinita.
  2. Mostre que o volume do sólido de revolução resultante é ( pi ).

[exer: torus] Para (0 toro. Mostre que o volume do toro é (2 pi ^ 2a ^ 2b ).

Use a fórmula ([eqn: surfareageny]) e simetria para mostrar que o toro do Exercício [exer: toro] tem área de superfície (4 pi ^ 2ab ).


Assista o vídeo: Sólidos de Revolução no Geogebra (Dezembro 2021).