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3.2: Combinando Probabilidades com “E” e “Ou” - Matemática


Muitas probabilidades na vida real envolvem mais de um resultado. A palavra “ou” amplia o campo de resultados possíveis para aqueles que satisfazem um ou mais eventos.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Contando Alunos

Suponha que um professor queira saber a probabilidade de que um único aluno em sua classe de 30 alunos esteja cursando artes ou inglês. Ela pede à turma que levante a mão se estiverem fazendo artes e conta 13 mãos. Em seguida, ela pede à turma para levantar a mão se eles estão fazendo inglês e conta 21 mãos. O professor então calcula

[P ( text {Art or English}) = dfrac {13 + 21} {30} = dfrac {33} {30} nonumber ]

O professor sabe que isso está errado porque as probabilidades devem estar entre zero e um, inclusive. Depois de pensar sobre isso, ela se lembra que nove alunos estão cursando artes e inglês. Esses alunos levantavam as mãos cada vez que ela contava, então a professora os contou duas vezes. Quando calculamos as probabilidades, devemos ter o cuidado de contar cada resultado apenas uma vez.

Eventos mutuamente exclusivos

Um experimento consiste em tirar uma carta de um baralho bem embaralhado de 52 cartas. Considere os eventos E: o cartão é vermelho, F: o cartão é um cinco, e G: o cartão é uma espada. É possível que uma carta seja vermelha e cinco ao mesmo tempo, mas não é possível que uma carta seja vermelha e uma espada ao mesmo tempo. Seria fácil contar acidentalmente um cinco vermelho duas vezes por engano. Não é possível contar duas vezes uma pá vermelha.

Definição: Mutuamente Exclusivo

Dois eventos são Mutualmente exclusivo se não tiverem resultados em comum.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Mutuamente exclusivo com dados

Dois dados justos são lançados e eventos diferentes são registrados. Deixe os eventos E, F e G seja o seguinte:

  • E = {a soma é cinco} = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
  • F = {ambos os números são pares} = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2) , (6, 4), (6, 6)}
  • G = {ambos os números são menores que cinco} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4,1), (4, 2), (4, 3) , (4,4)}
  1. São eventos E e F Mutualmente exclusivo?

sim. E e F são mutuamente exclusivos porque não têm resultados em comum. Não é possível somar dois números pares para obter uma soma de cinco.

  1. São eventos E e G Mutualmente exclusivo?

Não. E e G não são mutuamente exclusivos porque têm alguns resultados em comum. Os pares (1, 4), (2, 3), (3, 2) e (4, 1) têm somas de 5 e ambos os números são menores que cinco.

  1. São eventos F e G Mutualmente exclusivo?

Não. F e G não são mutuamente exclusivos porque têm alguns resultados em comum. Os pares (2, 2), (2, 4), (4, 2) e (4, 4) têm todos dois números pares menores que cinco.

Regra de adição para probabilidades “ou”

A regra de adição para probabilidades é usada quando os eventos são conectados pela palavra “ou”. Lembra do nosso professor em Exemplo ( PageIndex {1} ) no início da seção? Ela queria saber a probabilidade de seus alunos estudarem arte ou inglês. Seu problema era que ela contou alguns alunos duas vezes. Ela precisava somar o número de alunos que estudavam arte ao número de alunos que estudavam inglês e, em seguida, subtrair o número de alunos que contava duas vezes. Depois de dividir o resultado pelo número total de alunos, ela encontrará a probabilidade desejada. O cálculo é o seguinte:

[ begin {align *} P ( text {art ou inglês}) & = dfrac { # text {levando arte +} # text {levando inglês -} # text {levando ambos}} { text {número total de alunos}} [4pt] & = dfrac {13 + 21-9} {30} [4pt] & = dfrac {25} {30} aprox {0,833} fim {alinhar *} ]

A probabilidade de um aluno estudar arte ou inglês é de 0,833 ou 83,3%.

Quando calculamos a probabilidade de eventos compostos conectados pela palavra “ou”, precisamos ter cuidado para não contar a mesma coisa duas vezes. Se quisermos a probabilidade de tirar um cartão vermelho ou um cinco, não podemos contar os cincos vermelhos duas vezes. Se quisermos a probabilidade de uma pessoa ter cabelos loiros ou olhos azuis, não podemos contar as loiras de olhos azuis duas vezes. A regra de adição para probabilidades adiciona o número de pessoas de cabelos loiros ao número de pessoas de olhos azuis e, em seguida, subtrai o número de pessoas que contamos duas vezes.

Regra de adição para probabilidades “ou”

Se UMA e B são quaisquer eventos então

[P (A , text {ou} , B) = P (A) + P (B) - P (A , text {and} , B). ]

Se UMA e B são eventos mutuamente exclusivos então (P (A , text {e} , B) = 0 ), então

[P (A , text {ou} , B) = P (A) + P (B). ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): Regra adicional para cartões de compra

Uma única carta é retirada de um baralho bem embaralhado de 52 cartas. Encontre a probabilidade de que a carta seja um clube ou uma carta de rosto.

Solução

Existem 13 cartas de paus, 12 cartas de figuras (J, Q, K em cada naipe) e 3 cartas de figuras de paus.

[ begin {align *} P ( text {club ou face card}) & = P ( text {club}) + P ( text {face card}) - P ( text {club and face card} ) [4pt] & = dfrac {13} {52} + dfrac {12} {52} - dfrac {3} {52} [4pt] & = dfrac {22} {52} = dfrac {11} {26} aprox {0,423} end {align *} ]

A probabilidade de a carta ser um clube ou uma carta de face é de aproximadamente 0,423 ou 42,3%.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Regra de adição para jogar uma moeda e lançar um dado

Um experimento consiste em jogar uma moeda e depois lançar um dado. Encontre a probabilidade de que a moeda saia cara ou o número seja cinco.

Solução

Deixe H representar cara para cima e T representar coroa para cima. O espaço de amostra para este experimento é S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}.

  • Existem seis maneiras de a moeda cair cara, {H1, H2, H3, H4, H5, H6}.
  • Existem duas maneiras de o dado cair em cinco, {H5, T5}.
  • Há uma maneira de a moeda cair cara e o dado cair em cinco, {H5}.

[ begin {align *} P ( text {heads or five}) & = P ( text {heads}) + P ( text {five}) - P ( text {both heads and five}) [4pt] & = dfrac {6} {12} + dfrac {2} {12} - dfrac {1} {12} [4pt] & = dfrac {7} {12} = aprox {0,583} end {align *} ]

A probabilidade de a moeda cair cara ou o número ser cinco é de aproximadamente 0,583 ou 58,3%.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Regra de adição para satisfação de compradores de automóveis

Duzentas e cinquenta pessoas que compraram um carro recentemente foram questionadas e os resultados estão resumidos na tabela a seguir.

Tabela ( PageIndex {2} ): Satisfação dos compradores de automóveis
x 10x 10x 10x 10
x 10x 10x 10x 10
x 10x 10x 10x 10
x 10x 10x 10x 10

Encontre a probabilidade de que uma pessoa comprou um carro novo ou não ficou satisfeita.

Solução

[ begin {align *} P ( text {novo carro ou não satisfeito}) & = P ( text {novo carro}) + P ( text {não satisfeito}) - P ( text {novo carro e não satisfeito}) [4pt] & = dfrac {120} {250} + dfrac {75} {250} - dfrac {28} {250} = dfrac {167} {250} aproximadamente 0,668 fim {alinhar *} ]

A probabilidade de que uma pessoa comprou um carro novo ou não ficou satisfeita é de aproximadamente 0,668 ou 66,8%.

Eventos Independentes

Às vezes, precisamos calcular probabilidades para eventos compostos que são conectados pela palavra "e". Temos dois métodos para escolher, eventos independentes ou probabilidades condicionais (Seção 3.3). Jogar uma moeda várias vezes ou lançar dados são eventos independentes. Cada vez que você joga uma moeda justa, a probabilidade de obter cara é ½. Não importa o que aconteceu da última vez que você jogou a moeda. É semelhante para dados. Se você rolou o dobro de seis da última vez, isso não muda a probabilidade de você rolar o dobro de seis desta vez. Tirar duas cartas sem substituição não é um evento independente. Quando você tira a primeira carta e a coloca de lado, a probabilidade para a segunda carta é agora de 51 cartas, não 52 cartas.

Definição: Eventos Independentes

Dois eventos são eventos independentes se a ocorrência de um evento não tem efeito sobre a probabilidade de ocorrência do outro evento.

Regra de multiplicação para probabilidades “E”: eventos independentes

Se eventos UMA e B são eventos independentes, então (P ( text {A e B}) = P (A) cdot P (B) ).

Exemplo ( PageIndex {6} ): Eventos independentes para jogar moedas

Suponha que uma moeda justa seja jogada quatro vezes. Qual é a probabilidade de que todos os quatro lançamentos de terra heads-up?

Solução

Os lançamentos das moedas são eventos independentes. Saber que uma cabeça foi lançada na primeira tentativa não muda a probabilidade de uma cabeça ser jogada na segunda tentativa.

(P ( text {quatro cabeças seguidas}) = P ( text {1ª cara e 2ª cara e 3ª cara e 4ª cara}) )

(= P ( text {1ª cabeça}) cdot P ( text {2ª cabeça}) cdot P ( text {3ª cabeça}) cdot P ( text {4ª cabeça}) )

(= dfrac {1} {2} cdot dfrac {1} {2} cdot dfrac {1} {2} cdot dfrac {1} {2} )

(= dfrac {1} {16} )

A probabilidade de que todos os quatro lançamentos de terra heads up é ( dfrac {1} {16} ).

Exemplo ( PageIndex {7} ): Eventos Independentes para Desenho de Mármores

Um saco contém cinco bolas de gude vermelhas e quatro brancas. Uma bola de gude é retirada da bolsa, sua cor registrada e a bola de gude é devolvida à bolsa. Uma segunda bola de gude é então desenhada. Qual é a probabilidade de a primeira bola de gude ser vermelha e a segunda bola de gude ser branca?

Como a primeira bola de gude é colocada de volta na bolsa antes que a segunda bola de gude seja sacada, esses são eventos independentes.

[ begin {align *} P ( text {1o vermelho e 2o branco}) & = P ( text {1o vermelho}) cdot P ( text {2o branco}) [4pt] & = dfrac {5} {9} cdot dfrac {4} {9} = dfrac {20} {81} end {align *} ]

A probabilidade de a primeira bola ser vermelha e a segunda bola ser branca é ( dfrac {20} {81} ).

Exemplo ( PageIndex {8} ): Eventos independentes para despertadores com defeito

Abby tem uma reunião importante pela manhã. Ela define três despertadores alimentados por bateria apenas por segurança. Se cada despertador tem uma probabilidade de 0,03 de mau funcionamento, qual é a probabilidade de que todos os três despertadores falhem ao mesmo tempo?

Solução

Como os relógios são alimentados por bateria, podemos supor que uma falha não afetará o funcionamento dos outros dois. O funcionamento dos relógios é independente.

[ begin {align *} P ( text {todos os três falham}) & = P ( text {primeiro falha}) cdot P ( text {segundo falha}) cdot P ( text {terceiro falha} ) [4pt] & = (0,03) (0,03) (0,03) [4pt] & = 2,7 vezes 10 ^ {- 5} end {alinhar *} ]

A probabilidade de que todos os três relógios falhem é de aproximadamente 0,000027 ou 0,0027%. É muito improvável que todos os três despertadores falhem.

Regra pelo menos uma vez para eventos independentes

Muitas vezes, precisamos calcular a probabilidade de um evento acontecer pelo menos uma vez em muitas tentativas. O cálculo pode ser bastante complicado se houver mais do que algumas tentativas. Usar o complemento para calcular a probabilidade pode simplificar o problema consideravelmente. O exemplo a seguir o ajudará a entender a fórmula.

Exemplo ( PageIndex {9} ): Regra pelo menos uma vez

A probabilidade de uma criança esquecer seu dever de casa em um determinado dia é de 0,15. Qual é a probabilidade de ela esquecer seu dever de casa pelo menos uma vez nos próximos cinco dias?

Solução

Suponha que o fato de ela esquecer ou não um dia não afeta o fato de ela esquecer ou não o segundo dia.

Se P(esquece) = 0,15, então P(não esquece) = 0,85.

[ begin {align *} P ( text {esquece pelo menos uma vez em 5 tentativas}) & = P ( text {esquece 1, 2, 3, 4 ou 5 vezes em 5 tentativas}) [4pt] & = 1 - P ( text {esquece 0 vezes em 5 tentativas}) [4pt] & = 1 - P ( text {não se esqueça}) cdot P ( text {não esqueça}) cdot P ( text {não esquecer}) cdot P ( text {não esquecer}) cdot P ( text {não esquecer}) [4pt] & = 1 - (0,85) (0,85) (0,85) (0,85) (0,85) [4pt] & = 1 - (0,85) ^ {5} = 0,556 end {alinhar *} ]

A probabilidade de a criança esquecer o dever de casa pelo menos um dia nos próximos cinco dias é de 0,556 ou 55,6%

A ideia em Example ( PageIndex {9} ) pode ser generalizada para obter a Regra pelo menos uma vez.

Definição: Regra pelo menos uma vez

Se um experimento é repetido n vezes, as n tentativas são independentes e a probabilidade de o evento A ocorrer uma vez é P (A) então a probabilidade de A ocorrer pelo menos uma vez é: (P ( text {A ocorre pelo menos uma vez em n tentativas}) = 1 - P ( overline {A}) ^ {n} )

Exemplo ( PageIndex {10} ): Regra de pelo menos uma vez para observação de pássaros

A probabilidade de ver um falcão perto do lago durante um dia de observação de pássaros é de 0,21. Qual é a probabilidade de um observador de pássaros ver um falcão pelo menos uma vez em oito viagens ao lago?

Solução

Seja A o evento em que ele vê um falcão, então P (A) = 0,21. Então, (P ( overline {A}) = 1 - 0,21 = 0,79 ).

(P ( text {pelo menos uma vez em oito tentativas}) = 1 - P ( overline {A}) ^ {8} )

( = 1 - (0.79)^{8})

( = 1 - (0.152) = 0.848)

A probabilidade de ver um falcão pelo menos uma vez em oito viagens ao lago é de aproximadamente 0,848 ou 84,8%.

Exemplo ( PageIndex {11} ): Regra de pelo menos uma vez para adivinhar testes de múltipla escolha

Um teste de múltipla escolha consiste em seis questões. Cada pergunta tem quatro opções de resposta, apenas uma delas é a correta. Um aluno adivinha todas as seis perguntas. Qual é a probabilidade de ele obter pelo menos uma resposta correta?

Solução

Seja A o evento em que a resposta a uma pergunta está correta. Como cada questão tem quatro opções e apenas uma escolha correta, (P ( text {correto}) = dfrac {1} {4} ).

Isso significa (P ( text {not correct}) = 1 - dfrac {1} {4} = dfrac {3} {4} ).

[ begin {align *} P ( text {pelo menos um correto em seis tentativas}) & = 1 - P ( text {not correct}) ^ {6} [4pt] & = 1 - left ( dfrac {3} {4} right) ^ {6} [4pt] & = 1 - (0,178) = 0,822 end {align *} ]

A probabilidade de ele acertar pelo menos uma resposta é 0,822 ou 82,2%.

Probabilidades “E” de tabelas bidirecionais

Probabilidades “E” geralmente são feitas por um de dois métodos. Se você sabe que os eventos são independentes, você pode usar a regra (P (A text {e} B) = P (A) cdot P (B) ). Se os eventos não forem independentes, você pode usar as probabilidades condicionais da Seção 3.3. Existe uma exceção quando temos dados fornecidos em uma tabela bidirecional. Podemos calcular as probabilidades “e” sem saber se os eventos são independentes ou não.

Exemplo ( PageIndex {12} ): Probabilidade “E” de uma tabela bidirecional

Continuação do exemplo ( PageIndex {5} ):

Duzentas e cinquenta pessoas que compraram um carro recentemente foram questionadas e os resultados estão resumidos na tabela a seguir.

Tabela ( PageIndex {2} ): Satisfação dos compradores de automóveis
x 10x 10x 10x 10
x 10x 10x 10x 10
x 10x 10x 10x 10
x 10x 10x 10x 10

Uma pessoa é escolhida aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que a pessoa:

  1. comprou um carro novo e ficou satisfeito.

[ begin {align *} P ( text {carro novo e satisfeito}) & = dfrac { text {número do carro novo e satisfeito}} { text {número de pessoas}} [4pt] & = dfrac {92} {250} = 0,368 = 36,8 \% end {alinhar *} ]

  1. comprei um carro usado e não ficou satisfeito.

[ begin {align *} P ( text {carro usado e não satisfeito}) & = dfrac { text {número de usados ​​e não satisfeito}} { text {número de pessoas}} [4pt] & = dfrac {47} {250} = 0,188 = 18,8 \% end {align *} ]


Assista o vídeo: #Гражданская Оборона #Отряд не заметил потери бойца в исполнении Алексея Артемьева (Novembro 2021).