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8: Probabilidade - Matemática


objetivos de aprendizado

Neste capítulo, você aprenderá a:

  1. Escreva espaços de amostra.
  2. Determine se dois eventos são mutuamente exclusivos.
  3. Use a regra de adição.
  4. Calcule as probabilidades usando diagramas de árvore e combinações.
  5. Faça problemas envolvendo probabilidade condicional.
  6. Determine se dois eventos são independentes.

8 exemplos de probabilidade da vida real

Probabilidade tem algo a ver com chance. É o estudo das coisas que podem acontecer ou não. Nós o usamos na maioria das vezes, geralmente sem pensar nisso. Não realizamos problemas reais de probabilidade em nossa vida diária, mas usamos a probabilidade subjetiva para determinar o curso da ação ou qualquer julgamento. Tudo, desde a previsão do tempo até nossa chance de morrer em um acidente, é uma probabilidade.

Probabilidade é um termo matemático para a probabilidade de que algo ocorrerá. É a capacidade de compreender e estimar a probabilidade de qualquer combinação diferente de resultados.

Vamos discutir alguns exemplos da vida real de probabilidade

1. Previsão do tempo

Antes de planejar um passeio ou um piquenique, sempre verificamos a previsão do tempo. Suponha que diga que há 60% de chance de chuva. Você já se perguntou de onde vêm esses 60%? Os meteorologistas usam uma ferramenta e técnica específica para prever a previsão do tempo. Eles examinam todos os outros bancos de dados históricos dos dias, que têm características semelhantes de temperatura, umidade e pressão, etc. E determinam que em 60 dos 100 dias semelhantes no passado, choveu.

2. Média de rebatidas no críquete

A média de rebatidas no críquete representa quantas corridas um batedor marcaria antes de sair. Por exemplo, se um batedor marcou 40 corridas de 100 de limites na partida anterior. Então, há uma chance de que ele marque 40% de suas corridas na próxima partida dos limites.

3. Política

Muitos analistas políticos usam as táticas de probabilidade para prever o resultado das eleições & # 8217s. Por exemplo, eles podem prever que um determinado partido político chegará ao poder com base nos resultados das pesquisas eleitorais.

4. Jogando uma moeda ou dados

Jogar uma moeda é um dos eventos mais importantes antes do início da partida. Não há garantia, a cabeça virá ou não. Tanto a cabeça quanto a cauda têm 1 em 2, ou seja, 50% de chance de ocorrer. Portanto, a probabilidade de obter o resultado desejado é 0,5. Da mesma forma, ao jogar com dados, há 1 em 6 chances de que o número necessário venha.

5. Seguro

A probabilidade ajuda a analisar o melhor plano de seguro que mais se adapta a você e sua família. Por exemplo, você é um fumante ativo e as chances de contrair doenças pulmonares são maiores. Portanto, em vez de escolher um plano de seguro para o seu veículo ou casa, você pode optar primeiro pelo seguro saúde, porque as chances de adoecer são maiores. Por exemplo, hoje em dia as pessoas estão tendo seus telefones celulares segurados porque sabem que as chances de seus celulares serem danificados ou perdidos são altas.

6. É provável que morramos em um acidente?

As taxas de acidentes de carro aumentaram rapidamente nas últimas décadas. Por exemplo, se uma cidade tem uma população de um lakh e a taxa de mortalidade em acidentes de carro é 500. Portanto, a chance de morrer em um acidente é de 500/1 lakh é de 0,05%. Assim, uma pessoa tem 0,05% de chance de morrer em um acidente de carro.

7. Bilhetes de loteria

Ganhar ou perder na loteria é um dos exemplos mais interessantes de probabilidade. Em um jogo de loteria típico, cada jogador escolhe seis números distintos de um determinado intervalo. Se todos os seis números em um bilhete coincidirem com os do bilhete de loteria vencedor, o portador do bilhete é o vencedor do Jackpot - independentemente da ordem dos números. A probabilidade de isso acontecer é de 1 em 10 lakh.

8. Cartas de jogar

Há uma probabilidade de obter a carta desejada quando escolhemos aleatoriamente uma de 52. Por exemplo, a probabilidade de pegar um ás em um baralho de 52 cartas é 4/52, pois há 4 ases no baralho. A probabilidade de pegar qualquer outra carta é, portanto, 52/52 & # 8211 4/52 = 48/52.


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Conceitos cobertos em Matemática e Estatística 2 (Comércio) 12º Padrão HSC Maharashtra State Board, capítulo 8 Distribuições de probabilidade são médias de uma variável aleatória, tipos de variáveis ​​aleatórias, variáveis ​​aleatórias e suas distribuições de probabilidade, distribuição de probabilidade de variáveis ​​aleatórias discretas, distribuição de probabilidade de um Variável Aleatória Contínua, Distribuição Binomial, Teste de Bernoulli, Média da Distribuição Binomial (PMF), Variância da Distribuição Binomial (PMF), Distribuição de Poisson.

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Índice

Este livro cobre os fundamentos da moderna teoria da probabilidade. Ele começa com a teoria da probabilidade em espaços de amostra finitos e contáveis ​​e, em seguida, passa de um curso conciso sobre a teoria da medida, que é seguido por algumas aplicações iniciais à teoria da probabilidade, incluindo independência e expectativas condicionais. A segunda metade do livro trata das variáveis ​​aleatórias gaussianas, das cadeias de Markov, de alguns processos de parâmetros contínuos, incluindo o movimento browniano e, por fim, dos martingales, tanto os de parâmetros discretos quanto os contínuos.

O livro é uma introdução independente à teoria da probabilidade e à teoria da medida necessária para estudá-la.

Alunos de pós-graduação e pesquisadores interessados ​​em probabilidade.

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Este livro é um curso avançado de graduação / pós-graduação muito completo em teoria das probabilidades para alunos que têm uma boa base em idéias matemáticas modernas. . O que distingue este livro de seus muitos concorrentes é a eficácia do argumento e a escolha de bom gosto dos tópicos auxiliares que complementam o menu principal. . O livro está repleto de exercícios cuidadosamente escolhidos para que os leitores testem sua compreensão. Outro toque interessante é que o autor sempre tem o cuidado de informar ao leitor quem originalmente inventou um argumento ou método particularmente inteligente. Desta forma, os leitores obtêm uma exposição saudável às formas de pensar originárias de Doeblin, Doob, Dynkin, Huygens, Kac, Kolmogorov, Livy, Marcinkiewicz e Wiener, entre muitos outros. Este é um livro muito bom para servir de base para um curso de pós-graduação ou para auto-estudo.

- David Applebaum, University of Sheffield, South Yorkshire, Reino Unido

Matemática de Probabilidade é um livro muito agradável. É definitivamente um livro para alunos de pós-graduação, mas consegue começar a explorar o assunto sem muitos pré-requisitos. . Consegue discutir rigorosamente, e de uma maneira bastante independente, tópicos avançados que não são encontrados em livros de graduação. . É um bom livro para estudo independente. Não sobrecarrega o leitor com exercícios (cada seção termina com vários problemas). As notas de rodapé e os comentários no final de cada capítulo vão ao ponto e ajudam o leitor a manter o foco. . Em suma, considero este livro altamente e o recomendo para uso em cursos, bem como para estudo independente.

- Avaliações de Florin Catrina, MAA


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Probabilidade

O Departamento de Matemática da Universidade de Illinois tem historicamente uma forte reputação em probabilidade, tanto por meio de seu corpo docente quanto pelos muitos visitantes de pós-doutorado que estiveram aqui. Abaixo está um esboço das áreas gerais da teoria das probabilidades estudadas aqui em Illinois e descreve os cursos avançados de graduação e pós-graduação que são oferecidos regularmente.

Membros da faculdade

Partha Dey - Ph.D. UC-Berkeley, 2010. Física matemática, probabilidade, método de Stein, redes aleatórias.

Runhuan Feng - Ph.D. University of Waterloo, 2008. Ciências atuariais, Finanças matemáticas, Processos estocásticos aplicados, Análise aplicada.

Kay Kirkpatrick - Ph.D. UC-Berkeley, 2007. Mecânica estatística, probabilidade, equações diferenciais e aplicações à física e biologia.

Shu Li - Ph.D. University of Waterloo, 2015. Ciências atuariais, processos estocásticos aplicados, gestão quantitativa de riscos.

Renming Song - Ph.D. Florida, 1993. Análise estocástica, processos de Markov, física matemática, finanças matemáticas.

Richard B. Sowers - Ph.D. Maryland, 1991. Processos estocásticos aplicados, assintóticos de processos estocásticos, sistemas dinâmicos aleatoriamente perturbados e PDE estocásticos.

Pós-doutorado

Jing Wang - Ph.D. Purdue University 2014. Campos de probabilidade, análise e geometria sub-Riemanniana. Em particular, semigrupos de difusão em variedades sub-Riemannianas e as desigualdades funcionais relacionadas com os conteúdos geométricos, estimativas de pequeno tempo de densidades de transição de processos de difusão fortemente hipoelípticos.

Membros do corpo docente em áreas relacionadas

Philippe Di Francesco - Ph.D. Universite Paris 6, 1989. Física Matemática, Combinatória Enumerativa e Algébrica, Modelos integráveis ​​de Física Estatística, Álgebra de Cluster, Modelos matriciais, Teoria Quântica (Conformal) de Campos.

Burak Erdogan - Ph.D. Caltech, 2001. Análise harmônica em espaços euclidianos e PDEs.

Lee DeVille - Ph.D. Boston University, 2001. Análise estocástica, equações diferenciais, sistemas dinâmicos.

Zoltan Furedi - Ph.D. 1981, D.Sc. Instituto de Matemática da Academia de Ciências da Hungria, 1990. Teoria dos conjuntos finitos com aplicações em geometria, projetos e ciência da computação.

Eduard Kirr - Ph.D., Michigan, 2002. Existência e estabilidade de estruturas coerentes em equações da física matemática, seu acoplamento com radiação sob perturbações, teoria e simulação numérica de ondas em meios homogêneos e aleatórios.

Jang-Mei Wu - Ph.D. Illinois, 1974. Teoria do potencial, mapeamento conforme, conjuntos excepcionais, teoria da função complexa.

Corpo Docente Emeriti

Lester Helms - Ph.D. Purdue, 1956. Teoria da probabilidade, equações de difusão, equações diferenciais parciais elípticas de segunda ordem, equação do calor, processos estocásticos.

Robert Kaufman - Ph.D. Yale, 1965. Análise clássica, teoria da função complexa, medida de Hausdorff, conjuntos analíticos.

Peter Loeb - Ph.D. Stanford, 1964. Análise não padronizada, teoria do potencial, teoremas de cobertura, teoria da integração.

Joseph Rosenblatt - Ph.D. Washington, 1972. Análise harmônica, teoria ergódica, análise funcional.

Estudo de Pós-Graduação em Teoria da Probabilidade

A teoria da probabilidade fornece a estrutura matemática para o estudo de experimentos cujo resultado é imprevisível em virtude de algum mecanismo de chance intrínseco. As idéias e métodos que estão continuamente sendo desenvolvidos para isso fornecem ferramentas poderosas para muitas outras coisas, por exemplo, a descoberta e prova de novos teoremas em outras partes da matemática.

Os tópicos de interesse do corpo docente da University of Illinois incluem teoria de martingale, sistemas de partículas em interação, teoria geral dos processos de Markov, campos aleatórios, equações diferenciais estocásticas, processos de difusão e teoremas de limite. Um elemento comum desses tópicos é um triplo (w, £, P) que consiste em uma coleção de resultados w, uma classe £ de subconjuntos A dos quais são chamados de eventos e uma função de probabilidade P que atribui a cada evento A uma probabilidade P (UMA). Cada um dos tópicos surge especificando uma coleção (X (t): t em T) de funções, chamadas variáveis ​​aleatórias ou vetores, definidas em 2 assumindo valores em algum espaço prescrito e declarações probabilísticas relacionadas ao X.

Teoria Martingale

No caso particular em que o conjunto de parâmetros T é ordenado e cada variável aleatória de valor real X (t) está relacionada a X (s) para s & lt t por uma propriedade de média, o processo é chamado de martingale. As martingales foram introduzidas no final da década de 1930 e amplamente desenvolvidas nas décadas de 1940 e 1950 pelo professor emérito Joseph L. Doob, da Universidade de Illinois. A teoria da Martingale revelou-se uma ferramenta poderosa para o probabilista moderno. Os martingales não são apenas interessantes por si próprios como modelos para sistemas de jogos de azar, mas também ocorrem naturalmente em muitas partes da análise. As aplicações vão desde o estudo de soluções de equações diferenciais parciais até o estudo de propriedades geométricas de espaços de Banach.

Interacting Particle Systems

O tópico de sistemas de partículas em interação tem sua origem na mecânica estatística da física e se tornou um ramo da teoria da probabilidade no final dos anos 1960 com o trabalho pioneiro de R. L. Dobrushin da União Soviética e F. Spitzer da Universidade Cornell. O objetivo deste tópico é descrever a evolução temporal aleatória de sistemas de partículas interagentes e analisar as características de probabilidade de longo prazo do sistema. Um objetivo em particular é explicar o fenômeno da transição de fase dos sistemas físicos.

Tomando o conjunto de parâmetros T como sendo os reais positivos e especificando que os valores de X (t) são vetores com muitos componentes contáveis, cada um dos quais descreve o comportamento dinâmico de uma única partícula, um sistema de partícula interagente é obtido se o probabilístico declarações relacionadas a X (t) trazem interações entre componentes. As ferramentas usadas no estudo de tais sistemas envolvem uma combinação de probabilidade clássica, análise funcional e teoria de martingale. Uma técnica importante neste tópico envolve o uso de um acoplamento pelo qual um sistema de partículas é comparado a um sistema sobre o qual algo é conhecido, a fim de se obter alguma compreensão do sistema original.

Sistemas de partículas em interação têm sido usados ​​como modelos para magnetismo, disseminação de infecções, crescimento de tumor e sistemas comportamentais.

Processos Markov

Os processos de Markov têm uma longa história com os primeiros resultados significativos obtidos pelo matemático soviético AA Markov em 1906. Tais processos (X (t): t em T) requerem que T seja um subconjunto dos reais e tenha a propriedade de declarações de probabilidade a respeito de um valor futuro, dada a história do processo até o presente, depende apenas do valor no momento presente.

Usando a solução fundamental da equação do calor em n-dimensões para especificar as declarações de probabilidade relacionadas a X (t), um processo (X (t): t ³ 0) é obtido, o qual é chamado de movimento browniano n-dimensional. Cientistas notáveis ​​como A. Einstein e N. Weiner fizeram contribuições importantes para o estudo do movimento browniano. Uma conexão fundamental entre o movimento browniano e a análise foi feita na década de 1940 por S. Kakutani. J. L. Doob expandiu e explorou esta conexão na década de 1950 para provar novos teoremas em análise usando métodos de probabilidade e novos teoremas em teoria de probabilidade usando resultados conhecidos em análise. Essa interação entre a teoria da probabilidade e a análise foi e continuará sendo uma área fértil de pesquisa.

Campos Aleatórios

Os campos aleatórios (X (t): t em T) são obtidos permitindo que o conjunto de parâmetros T seja multidimensional, por exemplo, permitindo que T seja um subconjunto do espaço euclidiano n-dimensional. Tal campo pode surgir como um ruído aleatório sobreposto a uma imagem bidimensional ou como a distribuição de equilíbrio de longo prazo de um sistema de partículas em interação.

Uma área da pesquisa atual sobre campos aleatórios tem a ver com valores ausentes da seguinte maneira. Suponha que S esteja contido em T e X (r) seja considerado conhecido por todo r em T S. Somos obrigados a estimar X (t) para t em S usando o dado X (r) r em T S. Outra área tem a ver com o conceito de um campo aleatório de Markov que pode ser descrito crua e inadequadamente como segue. Pensando no (X (r): r em S) como no "passado", no (X (t): t em T S) como no "futuro", e no (X (s): s em limite S) como o "presente", exigimos que o passado e o futuro sejam independentes do presente. Este tópico da teoria da probabilidade é de origem recente e tem potencial para ser de grande importância em aplicações.

Equações diferenciais estocásticas

O estudo de equações diferenciais estocásticas é outra área ativa para probabilistas. Essas equações foram introduzidas pela primeira vez como um meio de construir modelos de probabilidade para processos de difusão com determinadas taxas de difusão e taxas de deriva. O primeiro trabalho importante nesta área foi realizado na década de 1940 por K. Ito. Se (b (t): t ³ 0) denota movimento browniano unidimensional, o diferencial dbt não pode ser definido da maneira usual como no cálculo, mas um significado pode ser atribuído a ele e um cálculo de tais diferenciais pode ser desenvolvido. Dadas as funções suaves feg nos reais, é então possível considerar a equação diferencial estocástica dX (T) = f (X (T)) db (T) + g (X (T)) dt e construir um processo ( X (T): t ³ 0) que resolve a equação. A construção de processos de difusão dessa forma tornou-se uma ferramenta importante na física, engenharia e ciências biológicas.

Teoremas de Limite

Os primeiros teoremas de limite remontam a de Moivre, Laplace e aos irmãos Bernoulli. Esses teoremas afirmam que, sob condições adequadas, somas de variáveis ​​aleatórias independentes, adequadamente padronizadas, têm funções de distribuição que convergem para a função de distribuição normal. Durante a primeira parte deste século, novos teoremas importantes desse tipo foram provados por Bernstein, Lindeberg, Levy, Feller e Kolmogorov, entre outros. O pressuposto da independência foi substituído um pouco mais tarde por condições mais fracas. O termo "teorema do limite" descreveu uma variedade de resultados sobre distribuições limitantes de somas de variáveis ​​aleatórias, o comportamento oscilatório de caminhos de amostra de processos e a dependência de resultados limitantes em apenas alguns parâmetros.

Cursos de Teoria das Probabilidades

Os cursos regularmente programados de interesse para alunos de probabilidade são Matemática 461, 466, 561, 562 e 564. As descrições detalhadas dos cursos estão abaixo. Depois de passar esses cursos, o aluno é levado ao nível de pesquisa profissional por meio de cursos de leitura e cursos de tópicos especiais. Pelo menos um curso de tópicos é oferecido a cada semestre por um membro do corpo docente que é um especialista no assunto.

Matemática 561: Teoria da Probabilidade, I
Esta é a primeira metade do curso básico de pós-graduação em teoria da probabilidade teórica da medida. É oferecido no semestre da primavera de cada ano. O objetivo deste curso é uma compreensão bastante rigorosa da teoria básica da probabilidade moderna. O material deste curso é fundamental não apenas na análise probabilística abstrata, mas também em várias áreas aplicadas, como teoria das comunicações, teoria das filas e finanças matemáticas. Os materiais abordados neste curso incluem o seguinte: (1) Conceitos básicos da teoria da probabilidade: variáveis ​​aleatórias, distribuições, expectativas, variâncias, independência e convergência de variáveis ​​aleatórias (2) os teoremas de limite básicos: a lei dos grandes números, grandes desvios e o teorema do limite central (3) expectativas condicionais, martingales e aplicações (4) Movimento browniano, convergências fracas de medidas de probabilidade e construção da medida de Wiener. Às vezes, a teoria das cadeias de Markov e processos estacionários também é abordada no curso.

Dois dos livros didáticos usados ​​mais recentemente para este curso são:

  1. Probability: Theory and Examples, 2ª Edição, R. Durrett, Duxbury Press, 1996.
  2. Teoria da Probabilidade, S. R. S. Varadhan, American Mathematical Society, 2001

O pré-requisito para este curso são os materiais do Math 540.

Matemática 562: Teoria da Probabilidade, II
Esta é a segunda metade do curso básico de pós-graduação em teoria da probabilidade teórica da medida. É oferecido no semestre de outono de cada ano. O objetivo deste curso é uma boa compreensão da teoria do movimento browniano e da análise estocástica. O material desta unidade curricular é fundamental não apenas na análise probabilística abstracta, mas também em várias áreas aplicadas, como a teoria das comunicações, teoria das filas, finanças matemáticas e física matemática. Os materiais abordados neste curso incluem o seguinte: (1) Movimento browniano e martingales de tempo contínuo (2) integrais estocásticos (3) Fórmula de Ito (4) Transformadas de Girsanov (5) equações diferenciais estocásticas e problemas de martingales (4) processos de difusão. Às vezes, as aplicações para outras áreas, como finanças matemáticas, também são abordadas neste curso.

Dois dos livros didáticos usados ​​mais recentemente para este curso são:

  1. Movimento Browniano e Cálculo Estocástico, 2ª Edição, Karatzas e Shreve, Springer, 1994.
  2. Stochastic Differential Equations, 5th Edition, B. Oksendal, Springer, 1998.

O pré-requisito para este curso são os materiais do Math 561.

Matemática 564: Processos Estocásticos Aplicados
Este é um curso de pós-graduação em processos estocásticos aplicados e a teoria da medida não é um pré-requisito para este curso. É oferecido no semestre de outono de cada ano. O objetivo deste curso é uma boa compreensão dos processos estocásticos básicos e suas aplicações. Este curso é voltado para os alunos de pós-graduação que precisarão usar processos estocásticos em suas pesquisas, mas não possuem a base teórica de medidas para fazer a sequência Matemática 451 - Matemática 452. Os materiais abordados neste curso incluem o seguinte: (1) cadeias de Markov de tempo discreto (2) cadeias de Markov de tempo contínuo (3) martingales de tempo discreto, (4) processos estacionários (5) aplicações à teoria de filas e outros campos aplicados. As aplicações abordadas neste curso podem ser personalizadas de acordo com os interesses do público.

Dois dos livros didáticos usados ​​mais recentemente para este curso são:

  1. Markov Chains, J. R. Norris, Cambridge University Press, 1997.
  2. Stochastic Processes, S. M. Ross, Wiley, 1996.
  • O pré-requisito para este curso são os materiais do Math 461.

Matemática 461: Teoria da Probabilidade I
Este é um curso de graduação em teoria básica da probabilidade. Várias seções deste curso são oferecidas a cada semestre. Os materiais deste curso são essenciais para vários campos. O objetivo deste curso é uma boa compreensão dos conceitos básicos da teoria da probabilidade. Os materiais abordados neste curso incluem o seguinte: (1) Axiomas de probabilidade (2) espaços de amostra com resultados igualmente prováveis ​​(3) probabilidade condicional e independência (4) variáveis ​​aleatórias, funções de distribuição e funções de densidade (5) expectativa e variância de variáveis ​​aleatórias (6) distribuição conjunta e densidade conjunta de variáveis ​​aleatórias, variáveis ​​aleatórias independentes (7) lei dos grandes números e teorema do limite central (8) funções geradoras de momento e funções características.

O pré-requisito para este curso são os materiais da sequência de cálculo de graduação.

Matemática 466: Teoria da Probabilidade II
Este é um curso de graduação em processos estocásticos aplicados. Ele tem oferecido irregularmente ao longo dos anos. O objetivo deste curso é uma boa compreensão dos processos estocásticos básicos e suas aplicações. Este curso é projetado para aqueles alunos de graduação que desejam aprender mais sobre probabilidade e processos estocásticos além dos materiais de matemática 361. Os materiais abordados neste curso incluem o seguinte: (1) passeios aleatórios e cadeias de Markov de tempo discreto (2) tempo contínuo Cadeias de Markov (3) martingales de tempo discreto (4) aplicações.

O pré-requisito para este curso são os materiais de Matemática 461 e a sequência de cálculo de graduação.


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Exercício 8.3: Probabilidade

1. Escreva o espaço de amostra para lançar três moedas usando o diagrama de árvore.


2. Write the sample space for selecting two balls from a bag containing 6 balls numbered 1 to 6 (using tree diagram).


3. If A is an event of a random experiment such that P(A) : P ( />) =17:15 and n(S)=640 then find (i) P ( />) (ii) n(A).



4. A coin is tossed thrice. What is the probability of getting two consecutive tails?


5. At a fete, cards bearing numbers 1 to 1000, one number on one card are put in a box. Each player selects one card at random and that card is not replaced. If the selected card has a perfect square number greater than 500, the player wins a prize. What is the probability that (i) the first player wins a prize (ii) the second player wins a prize, if the first has won?


6. A bag contains 12 blue balls and x red balls. If one ball is drawn at random (i) what is the probability that it will be a red ball? (ii) If 8 more red balls are put in the bag, and if the probability of drawing a red ball will be twice that of the probability in (i), then find x.


7. Two unbiased dice are rolled once. Find the probability of getting

(i) a doublet (equal numbers on both dice)

(ii) the product as a prime number

(iii) the sum as a prime number


8. Three fair coins are tossed together. Find the probability of getting


9. Two dice are numbered 1,2,3,4,5,6 and 1,1,2,2,3,3 respectively. They are rolled and the sum of the numbers on them is noted. Find the probability of getting each sum from 2 to 9 separately.


10. A bag contains 5 red balls, 6 white balls, 7 green balls, 8 black balls. One ball is drawn at random from the bag. Find the probability that the ball drawn is

(iv) neither white nor black


11. In a box there are 20 non-defective and some defective bulbs. If the probability that a bulb selected at random from the box found to be defective is 3/8 then, find the number of defective bulbs.


12. The king and queen of diamonds, queen and jack of hearts, jack and king of spades are removed from a deck of 52 playing cards and then well shuffled. Now one card is drawn at random from the remaining cards. Determine the probability that the card is


13. Some boys are playing a game, in which the stone thrown by them landing in a circular region (given in the figure) is considered as win and landing other than the circular region is considered as loss. What is the probability to win the game?



14. Two customers Priya and Amuthan are visiting a particular shop in the same week (Monday to Saturday). Each is equally likely to visit the shop on any one day as on another day. What is the probability that both will visit the shop on


15. In a game, the entry fee is 150. The game consists of tossing a coin 3 times. Dhana bought a ticket for entry. If one or two heads shows she gets her entry fee back. If she throwns 3 heads she receives double the entry fees. Otherwise she will lose. Find the probability that she (i) gets double entry fee (ii) just gets her entry fee (iii) loses the entry fee.


Ideas that Lead to Probability

The activity and two discussions that make up this lesson introduce ideas that are the basis of probability theory. By using everyday experiences and intuitive understanding, this lesson gives students a gradual introduction to probability.

Objectives

  • have been introduced to the concept of probability
  • have worked with random number generators
  • have learned what it means for a game to be fair

Standards Addressed:

  • Statistics and Probability
    • The student demonstrates a conceptual understanding of probability and counting techniques.
    • Statistics and Probability
      • The student demonstrates a conceptual understanding of probability and counting techniques.
      • Statistics and Probability
        • The student demonstrates a conceptual understanding of probability and counting techniques.
        • Statistics and Probability
          • The student demonstrates a conceptual understanding of probability and counting techniques.
          • Statistics and Probability
            • The student demonstrates a conceptual understanding of probability and counting techniques.
            • Statistics and Probability
              • Investigate chance processes and develop, use, and evaluate probability models.

              Statistics and Probability

              • Conditional Probability and the Rules of Probability
                • Understand independence and conditional probability and use them to interpret data
                • Use the rules of probability to compute probabilities of compound events in a uniform probability model
                • Understand and evaluate random processes underlying statistical experiments
                • Make inferences and justify conclusions from sample surveys, experiments, and observational studies
                • Calculate expected values and use them to solve problems
                • Use probability to evaluate outcomes of decisions

                Advanced Functions and Modeling

                • Data Analysis and Probability
                  • Competency Goal 1: The learner will analyze data and apply probability concepts to solve problems.
                  • Data Analysis and Probability
                    • Competency Goal 2: The learner will analyze data and apply probability concepts to solve problems.
                    • Number and Operations, Measurement, Geometry, Data Analysis and Probability, Algebra
                      • COMPETENCY GOAL 4: The learner will understand and determine probabilities.
                      • Data Analysis and Probability
                        • Standard 4-6: The student will demonstrate through the mathematical processes an understanding of the impact of data-collection methods, the appropriate graph for categorical or numerical data, and the analysis of possible outcomes for a simple event.
                        • Data Analysis and Probability
                          • The student will demonstrate through the mathematical processes an understanding of the relationships between two populations or samples.
                          • Data Analysis and Probability
                            • The student will demonstrate through the mathematical processes an understanding of the relationships between two variables within one population or sample.
                            • Probability and Statistics
                              • 4.19.a The student will predict the likelihood of outcomes of a simple event, using the terms certain, likely, unlikely, impossible
                              • 4.19.a
                              • Probability and Statistics
                                • 7.14 The student will investigate and describe the difference between the probability of an event found through simulation versus the theoretical probability of that same event.
                                • 7.15 The student will identify and describe the number of possible arrangements of several objects, using a tree diagram or the Fundamental (Basic) Counting Principle.
                                • Probability and Statistics
                                  • 8.11 The student will analyze problem situations, including games of chance, board games, or grading scales, and make predictions, using knowledge of probability.
                                  • 8.11 The student will analyze problem situations, including games of chance, board games, or

                                  Textbooks Aligned:

                                  • 6th
                                    • [ Module 2 - Math Detectives ] Section 1: Probability
                                      • Reason for Alignment: Ideas that Lead to Probability is an introductory lesson on probability which matches the initial probability lesson in the text. The Racing Game activity used in the lesson is simple, yet illustrates many concepts of probability. It is also a preview of a fair game, which is introduced later in Book 1.
                                      • [ Module 2 - Bright Ideas ] Section 5: Probability
                                        • Reason for Alignment: This lesson contains the basics for understanding probability on an intuitive level. It employs a number of different experimental situations to get students started with these concepts.
                                        • [ Module 2 - At the Mall ] Section 3: Exploring Probability
                                          • Reason for Alignment: This is an introductory lesson that ties to several of the simpler activites related to probability.

                                          Student Prerequisites

                                          • Arithmetic: Student must be able to:
                                            • use addition when working with dice
                                            • perform basic mouse manipulations such as point, click and drag
                                            • use a browser for experimenting with the activities

                                            Teacher Preparation

                                            • Access to a browser
                                            • Copies of the supplemental materials:
                                              • A printed copy of the Racing Game Field if they play the Racing Game with One Die without using the computer.
                                              • Racing Game Worksheet

                                              Dice with various numbers of sides.

                                              Key Terms

                                              experimental probabilityThe chances of something happening, based on repeated testing and observing results. It is the ratio of the number of times an event occurred to the number of times tested. For example, to find the experimental probability of winning a game, one must play the game many times, then divide the number of games won by the total number of games played
                                              probabilidadeThe measure of how likely it is for an event to occur. The probability of an event is always a number between zero and 100%. The meaning (interpretation) of probability is the subject of theories of probability. However, any rule for assigning probabilities to events has to satisfy the axioms of probability
                                              random number generatorsA device used to produce a selection of numbers in a fair manner, in no particular order and with no favor being given to any numbers. Examples include dice, spinners, coins, and computer programs designed to randomly pick numbers
                                              theoretical probabilityThe chances of events happening as determined by calculating results that would occur under ideal circumstances. For example, the theoretical probability of rolling a 4 on a four-sided die is 1/4 or 25%, because there is one chance in four to roll a 4, and under ideal circumstances one out of every four rolls would be a 4. Contrast with experimental probability

                                              Lesson Outline

                                              Remind students what has been learned in previous lessons that will be pertinent to this lesson and/or have them begin to think about the words and ideas of this lesson:

                                              • If I bet you that we could play a game and that I could win every time, would you believe me?
                                              • This game is a racing game in which we take turns rolling a six sided die and advancing on the numbers that we each are assigned. I bet you I can assign us an equal quantity of numbers that we move on and no matter how many times we play I will always win.
                                              • Then tell them that the numbers that you assign yourself are 1, 2, 3, 4, 5, and 6, while the numbers you assign the person who takes you up on your bet are 7, 8, 9, 10, 11, and 12. (If you are only playing with one die then it is impossible to roll anything higher than a 6 so the person assigned 6 -12 will never move).
                                              • Who thinks this game is fair?
                                              • Today, class, we are going to begin learning about random number generators and probability.
                                              • We are going to use the computers to learn about random number generators and probability, but please do not turn your computers on until I ask you to. I want to show you a little about this activity first.
                                              • Lead a discussion about Fair Choice
                                              • Lead a discussion about Random Number Generators . Everybody has some expertise with random choices. This fact allows the following questions to lead to spark a discussion:
                                                1. " How can you randomly choose between any given numbers? Can you use some devices to help you with that? What devices?"
                                                2. "How do you know if the choice is truly random? How do you know if it is fair?"
                                              • Have students can use as The Racing Game with One Die an example of a game that is either fair or not. Make sure to adjust the settings on the game so that the race is only one step long. Since the game is used for illustration only, it can be played by each student individually, by groups of students, or by one person who broadcasts it for everybody else to see.
                                              • Have them discuss different ways that they can make the game fair and not fair.
                                              • Now have the students play The Racing Game with One Die Each group of students can come up with their own way of randomly choosing which players move on which rolls
                                              • Also have them adjust the number of steps in the race and observe the affect it has on the probability that one player will win over the other.
                                              • You might also challenge the students to find the combination of race length and numbers needed to cause one player to have a specific probability of winning.
                                              • You may wish to bring the class back together for a discussion of the findings. Once the students have been allowed to share what they found, summarize the results of the lesson.

                                              Alternate Outline

                                              • If computers are not available, after describing the game as it is in The Racing Game with One Die students can use dice or spinners and a printed copy of The Racing Game Field to record their moves.
                                              • To go into more depth, use the The Racing Game with One Die activity to show that multiple steps increase whatever advantage a player has of winning, and then lead a discussion about the Probability of simultaneous events to reinforce the idea.
                                              • If not used earlier, use the Probability vs. Statistics discussion to demonstrate the difference between these two concepts.
                                              • Combine this lesson with the Introduction to the Concept of Probability lesson to give students an understanding of outcomes, events, and set operations along with the concepts of randomness and fair choice that are part of this lesson.

                                              Suggested Follow-Up

                                              After these discussions and activities, the students will have the beginnings of an understanding of probability, randomness and fair choice. The next lesson, Unexpected Answers, continues the initial exploration of probability and presents some unusual examples of games that require close examination to determine if they are fair.


                                              Thought Starter: What are the chances of that?

                                              1. Following ‘The Chance Game’ that you play with your class at the start of this lesson, discuss these questions with your class and then note down the things that you SEE, THINK and WONDER about the probability of different events that you discussed in the game:

                                              • In the Chance Game, what was the likelihood or chance that you’d be knocked out on any given turn? Como você sabe?
                                              • If you chose an even number in a turn, what is the chance the die would roll an even number? Como você sabe?
                                              • If you were allowed to, and you chose a ‘7’ as a number, what would be the chances of being knocked out in a round? Why?
                                              • What were your chances of being the last person standing? Como você sabe?
                                              • Can you think of any events in this game that could be described as ‘certain’?
                                                .

                                              2. To work out the chance or probability of a player winning your game, we’ll need to:


                                              Assista o vídeo: 8º ano - Exercícios com probabilidade - Aula 64 (Dezembro 2021).