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1.5: Estrelas e Barras - Matemática


Investigar!

Suponha que você tenha um certo número de cubos de Rubik idênticos para distribuir aos seus amigos. Imagine que você comece com uma única linha de cubos.

  1. Encontre o número de maneiras diferentes de distribuir os cubos fornecidos:
    1. Você tem 3 cubos para dar a 2 pessoas.
    2. Você tem 4 cubos para dar a 2 pessoas.
    3. Você tem 5 cubos para dar a 2 pessoas.
    4. Você tem 3 cubos para dar a 3 pessoas.
    5. Você tem 4 cubos para dar a 3 pessoas.
    6. Você tem 5 cubos para dar a 3 pessoas.
  2. Faça uma conjectura sobre de quantas maneiras diferentes você poderia distribuir 7 cubos para 4 pessoas. Explique.
  3. E se cada pessoa fosse obrigada a obter pelo menos um cubo? Como suas respostas mudariam?

Considere o seguinte problema de contagem:

Você tem 7 biscoitos para dar a 4 crianças. De quantas maneiras você pode fazer isso?

Reserve um momento para pensar em como você pode resolver esse problema. Você pode presumir que é aceitável não dar cookies a uma criança. Além disso, os cookies são todos idênticos e a ordem em que você os distribui não importa.

Antes de resolver o problema, aqui está uma resposta errada: Você pode adivinhar que a resposta deveria ser (4 ^ 7 ) porque para cada um dos 7 cookies, há 4 opções de crianças para as quais você pode dar o cookie. Isso é razoável, mas errado. Para ver o motivo, considere alguns resultados possíveis: poderíamos atribuir os primeiros seis cookies à criança A e o sétimo cookie à criança B. Outro resultado atribuiria o primeiro cookie à criança B e os seis cookies restantes à criança A. Ambos os resultados estão incluídos na resposta (4 ^ 7 ). Mas para o nosso problema de contagem, ambos os resultados são realmente os mesmos - a criança A ganha seis biscoitos e a criança B ganha um biscoito.

Qual é a aparência real dos resultados? Como podemos representá-los? Uma abordagem seria escrever um resultado como uma sequência de quatro números como este:

begin {equation *} 3112, end {equation *}

que representam o resultado em que a primeira criança ganha 3 biscoitos, a segunda e a terceira crianças ganham 1 biscoito cada e a quarta criança ganha 2 biscoitos. Representado dessa forma, a ordem em que os números ocorrem é importante. 1312 é um resultado diferente, porque a primeira criança recebe um cookie em vez de 3. Cada número na string pode ser qualquer inteiro entre 0 e 7. Mas a resposta não é (7 ^ 4 text {.} ) Nós precisa do soma dos números a ser 7.

Outra maneira de representar os resultados é escrever uma sequência de sete letras:

begin {equation *} mbox {ABAADCD}, end {equation *}

que representa que o primeiro cookie vai para o filho A, o segundo cookie vai para o filho B, o terceiro e o quarto vão para o filho A e assim por diante. Na verdade, esse resultado é idêntico ao anterior - A recebe 3 cookies, B e C recebem 1 cada e D obtém 2. Cada uma das sete letras na string pode ser qualquer uma das 4 letras possíveis (uma para cada criança) , mas o número de tais strings não é (4 ^ 7 text {,} ) porque aqui a ordem não importar. Na verdade, outra maneira de escrever o mesmo resultado é

begin {equation *} mbox {AAABCDD}. end {equação *}

Esta será a representação preferida do resultado. Uma vez que podemos escrever as letras em qualquer ordem, podemos também escrevê-las em em ordem alfabética pedido para fins de contagem. Então, vamos escrever todos os A's primeiro, depois todos os B's e assim por diante.

Agora pense em como você poderia especificar esse resultado. Tudo o que realmente precisamos fazer é dizer quando mudar de uma letra para a próxima. Em termos de cookies, precisamos dizer depois de quantos cookies paramos de dar cookies para a primeira criança e passamos a dar cookies para a segunda criança. E depois de quantos mudamos para o terceiro filho? E depois de quantos mudamos para o quarto? Portanto, outra maneira de representar um resultado é assim:

begin {equation *} *** | * | * | ** end {equation *}

Três cookies vão para a primeira criança, então trocamos e damos um cookie para a segunda criança, então trocamos, um para a terceira criança, trocamos, dois para a quarta criança. Observe que precisamos de 7 estrelas e 3 barras - uma estrela para cada biscoito e uma barra para cada troca entre crianças, portanto, uma barra a menos do que o número de crianças (não precisamos trocar depois da última criança - terminamos) .

Por que fizemos tudo isso? Simples: para contar quantas maneiras de distribuir 7 cookies para 4 crianças, tudo o que precisamos fazer é contar quantas estrelas e bares gráficos existem. Mas um estrelas e gráfico de barras é apenas uma sequência de símbolos, algumas estrelas e algumas barras. Se, em vez de estrelas e barras, usássemos 0 e 1, seria apenas uma string de bits. Nós sabemos como contá-los.

Antes de ficarmos muito animados, devemos ter certeza de que realmente algum seqüência de (no nosso caso) 7 estrelas e 3 barras corresponde a uma forma diferente de distribuir biscoitos para crianças. Em particular, considere uma string como esta:

begin {equation *} | *** || **** end {equation *}

Isso corresponde a uma distribuição de cookies? sim. Representa a distribuição em que a criança A recebe 0 cookies (porque mudamos para a criança B antes de qualquer estrela), a criança B recebe três cookies (três estrelas antes da próxima barra), a criança C recebe 0 cookies (sem estrelas antes da próxima barra) e a criança D recebe os 4 cookies restantes. Não importa como as estrelas e as barras estão dispostas, podemos distribuir cookies dessa forma. Além disso, dada a forma de distribuição de cookies, podemos representar isso com um gráfico de estrelas e barras. Por exemplo, a distribuição em que a criança A recebe 6 cookies e a criança B recebe 1 cookie tem o seguinte gráfico:

begin {equation *} ****** | * || end {equação *}

Depois de todo esse trabalho, finalmente estamos prontos para contar. Cada forma de distribuição de biscoitos corresponde a um gráfico de estrelas e barras com 7 estrelas e 3 barras. Portanto, existem 10 símbolos e devemos escolher 3 deles para serem barras. Desse modo:

begin {equation *} mbox {Existem} {10 choose 3} mbox {maneiras de distribuir 7 cookies para 4 crianças.} end {equation *}

Enquanto estamos nisso, também podemos responder a uma pergunta relacionada: quantas maneiras existem para distribuir 7 cookies para 4 crianças para que cada criança receba pelo menos um cookie? O que você pode dizer sobre os gráficos de estrelas e barras correspondentes? Os gráficos devem começar e terminar com pelo menos uma estrela (para que as crianças A e D) recebam os cookies, e também não podem haver duas barras adjacentes (para que as crianças B e C não sejam puladas). Uma maneira de garantir isso é colocar apenas barras nos espaços entre as estrelas. Com 7 estrelas, existem 6 pontos entre as estrelas, então devemos escolher 3 desses 6 pontos para preencher com barras. Portanto, existem ({6 escolha 3} ) maneiras de distribuir 7 cookies para 4 crianças, dando pelo menos um cookie para cada criança.

Outra maneira (e mais geral) de abordar esse problema modificado é primeiro dar a cada criança um cookie. Agora os 3 cookies restantes podem ser distribuídos às 4 crianças sem restrições. Portanto, temos 3 estrelas e 3 barras para um total de 6 símbolos, 3 dos quais devem ser barras. Novamente, vemos que existem ({6 choose 3} ) maneiras de distribuir os cookies.

Estrelas e barras podem ser usadas na contagem de problemas que não sejam crianças e biscoitos. Aqui estão alguns exemplos:

Exemplo ( PageIndex {1} )

Sua rede de pizza matemática favorita oferece 10 coberturas. Quantas pizzas você pode fazer se tiver 6 coberturas? A ordem das coberturas não importa, mas agora você pode repetir. Portanto, uma pizza possível é linguiça tripla, abacaxi duplo e cebola.

Solução

Recebemos 6 coberturas (contando as repetições possíveis). Represente cada uma dessas coberturas como uma estrela. Pense em descer no menu uma cobertura de cada vez: você vê as anchovas primeiro e pula para a próxima, a salsicha. Você diz sim para a salsicha 3 vezes (use 3 estrelas) e depois muda para a próxima cobertura da lista. Você continua pulando até chegar ao abacaxi, para o qual você diz sim duas vezes. Outra mudança e você está nas cebolas. Você diz sim uma vez. Então você continua trocando até chegar à última cobertura, nunca dizendo sim novamente (já que você já disse sim 6 vezes. Existem 10 coberturas para escolher, então devemos mudar de considerar uma cobertura para as próximas 9 vezes. os bares.

Agora que estamos confiantes de que temos o número certo de estrelas e barras, respondemos à pergunta de forma simples: há 6 estrelas e 9 barras, portanto, 15 símbolos. Precisamos escolher 9 deles para serem bares, então o número de pizzas possíveis é

begin {equation *} {15 escolha 9}. end {equação *}


Comandante Geral
Joseph Judson Smith III
2021-2022

Nosso site também mostra as várias relações colaterais de nossos membros com os generais Robert E. Lee, Stonewall Jackson, Nathan Bedford Forrest, JEB Stuart e o presidente Jefferson Davis. Basta clicar em Ancestrais e em Garantias. Você pode descobrir que também é parente desses americanos famosos.

A cada ano a Ordem retribui ao nosso país. Nós concedemos bolsas de estudo para faculdades e reconhecemos professores de destaque por meio de nosso programa Professor do Ano. Reconhecemos autores notáveis ​​que escrevem sobre nossa herança sulista. Também doamos dinheiro a outras organizações de patrimônio para ajudá-los em seus próprios projetos de patrimônio.

Estamos atentos aos quase um milhão de americanos que morreram neste conflito, bem como aos que sobreviveram a ele. Nossa missão é perpetuar o idealismo que animou a Causa Confederada e honrar a coragem, devoção e resistência daqueles que dedicaram suas vidas e serviços durante quatro anos de guerra devastadora, e que, durante a terrível década de reconstrução, trabalharam heroicamente pela restauração do autogoverno como o patrimônio mais precioso da Revolução Americana.

Muitos de nossos membros também serviram nas forças armadas dos Estados Unidos. Somos americanos leais, orgulhosos de nossa herança sulista e continuaremos nossos esforços para preservá-la. Nós nos esforçamos para trabalhar lado a lado com outras organizações de patrimônio para preservar nosso rico patrimônio e história.

Joseph Judson Smith III
Comandante Geral
Ordem Militar das Estrelas e Barras

Membros da Ordem das Estrelas e Barras Militares presentes na Reunião Nacional da SCV em Franklin, Tennessee
Julho de 2018

Carolina do Norte MOS & ampB Memorial Cannon Crew disparando uma saudação & # 8211 15 de abril de 2012, Salisbury, Carolina do Norte.

A primeira bandeira nacional é hasteada diariamente sobre o castelo do membro do MOS & ampB na Escócia. Castelo Balgonie, de Markinch, Fife, Escócia.


GtMath

Esta postagem vem em resposta ao primeiro pedido do leitor:

Meu pedido é para um tópico sobre problemas de conjunto de objetos que surgem com frequência no GRE: permutações e combinações. Eu sei o básico, como combinação = ordem não importa e permutação = ordem importa, e o primeiro é reduzido em número em relação ao último. Onde fica difícil para mim é quando se trata de situações de repetição vs. nenhuma repetição.

Então, por exemplo, com uma combinação com repetição (uma loja vende camisetas que vêm em 6 cores diferentes e eu tenho um cupom para comprar 3 camisetas de qualquer cor, quantas variações disso posso fazer?) Qual é a melhor maneira de resolver para isso quando puder ter duas ou mais cores iguais? Eu sei que existem fórmulas para cada cenário que você pode usar, mas acho que estou curioso sobre a prova básica por trás das fórmulas (especialmente a combinação com repetição).

Na verdade, existe uma fórmula para esse cenário exato, mas, como você mencionou, vamos usar a pergunta da solicitação acima para ilustrar os processos de pensamento necessários para resolver esse problema de algumas maneiras diferentes e, em seguida, derivar a fórmula geral como resultado.

A questão aqui é quantos conjuntos diferentes de 3 camisetas podemos fazer, dadas as 6 opções de cores da camisa. Se estivéssemos escolhendo uma camisa para segunda-feira, uma para terça-feira e uma para quarta-feira (ou seja, se o pedido importasse), haveria $ 6 ^ 3 = 216 $ opções, já que podemos escolher em um conjunto de 6, 3 vezes. Mas uma vez que o pedido faz não questão nesta questão, isso seria a contagem dupla de muitos combos diferentes: se fizermos 3 seleções sequenciais do conjunto de 6 cores, haverá 3 que resultam em, por exemplo, 2 camisas azuis e 1 camisa vermelha (R - B - B, B - R - B e B - B - R). E haveria $ 6 = 3! $ (Que são 3 fatoriais) maneiras diferentes de terminar com o conjunto B, Y, G: B - Y - G, B - G - Y, G - B - Y, G - Y - B, Y ​​- G - B e Y - B - G.

Como podemos ver nos dois exemplos acima, começar com $ 6 ^ 3 $ e depois subtrair as repetições é um pouco complicado porque o número de repetições depende de quais cores escolhemos (mais precisamente, de quantas cores diferentes acabam em nosso conjunto de 3). Se cada camisa for da mesma cor, não há repetições a contar; se todas as 3 camisas forem de cores diferentes, haverá 6 repetições. E se escolhermos 1 de uma cor e 2 de outra, haverá 3 repetições. Precisamos considerar esses casos separadamente para contar corretamente todas as possibilidades.

Caso 1: 3 camisas de 3 cores diferentes
Neste caso, só precisamos escolher 3 cores das 6 possíveis, e então nosso conjunto está completamente determinado, então há $ 6 escolha 3 $ possibilidades, onde $ 6 escolha 3 $ é o coeficiente binomial, calculado como $ dfrac <6!> <3! (6-3)!> $.

Caso 2: 2 de uma cor e 1 de outra
Para escolher esse conjunto de 3, precisamos primeiro escolher duas cores entre as 6. Existem $ 6 escolha 2 $ maneiras de fazer isso. Em seguida, precisamos escolher qual das duas cores será a cor de 2 camisetas e qual será a cor de 1. Existem 2 opções para isso, então o número de maneiras de criar um conjunto neste caso é $ 2 vezes <6 escolha 2> $.

Caso 3: 3 camisas da mesma cor
Este é o caso mais fácil - há claramente 6 maneiras de escolher 3 camisetas da mesma cor, já que tudo o que precisamos fazer é escolher a cor. Observe que também podemos escrever isso como $ 6 escolha 1 $.

Finalmente, a resposta a esta pergunta é $
começar
text <# conjuntos de 3 camisetas com 6 opções de cores> & amp = sum _ < text> < text <# por caso >> [3mm]
& amp = <6 escolha 3> + esquerda [2 vezes <6 escolha 2> direita] + <6 escolha 1> [3mm]
& amp = 20 + [2 vezes 15] + 6 [3mm]
& amp = 56
fim
$ Podemos realmente retirar $ 6 ^ 3 $ do caso em que a ordem é importante com base no acima, multiplicando pelo número de repetições em cada caso: $ 6 ^ 3 = 216 = (6 vezes 20) + (3 vezes 2 vezes 15) + 6 $.

A fórmula geral: "estrelas e barras" (ou "camisas e barras".)

No exemplo acima, no caso em que escolhemos 2 cores, digamos vermelho e azul, para 3 camisas, precisamos escolher quantas das 3 serão vermelhas e quantas serão azuis. Obviamente, existem 2 opções para isso: 1 - 2 e 2 - 1.

Se tivéssemos que escolher, por exemplo, 5 camisas, teria sido um pouco mais complicado: poderíamos ter escolhido entre 1 e 5 cores diferentes. Se olharmos para o caso em que escolhemos 3 cores diferentes (digamos, azul, vermelho e fuschia) para 5 camisas, precisaríamos escolher quantas camisas seriam de cada uma das 3 cores, existem 6 maneiras de fazer isso: 1 - 1 - 3, 1 - 3 - 1, 3 - 1 - 1, 1 - 2 - 2, 2 - 1 - 2 e 2 - 2 - 1. Existem também inúmeras outras combinações para contar, portanto, este caso é muito mais difícil de contar diretamente do que o exemplo acima.

Felizmente, existe uma ferramenta fácil chamada estrelas e bares que nos ajuda a visualizar e contar nesses exemplos mais difíceis. Vou usar camisas e barras, já que estamos falando de camisas, mas é a mesma coisa.

Se tivermos 5 camisas e 3 cores, podemos ver nas fotos abaixo que existem 5 camisas e, portanto, $ 5-1 = 4 $ slots para inserir $ 3-1 = 2 $ barras para dividir as camisas em 3 grupos para ser colorido. A segunda / terceira imagem corresponde à opção 1 - 2 - 2 de cima.

Isso ilustra claramente que, se houver 6 cores e precisarmos escolher 5 camisetas, no caso em que tivermos 3 cores diferentes, o número de combinações possíveis será: $
começar
& amp text times text [3mm]
& amp = <6 escolha 3> vezes <<5-1> escolha <3-1>> [3mm]
& amp = 20 vezes 6 [3mm]
& amp = 120
fim
$ Usando essa lógica, podemos ver que a fórmula geral para o número de maneiras de escolher $ k $ camisas de um conjunto de $ n $ cores é a soma dos números para cada caso: $
soma_^< <escolher >> tag <1>
$ onde $ j $ é o número de cores diferentes, $$ é o número de maneiras de escolher essas cores e $ <escolher > $ é o número de maneiras de colorir $ k $ camisetas usando as cores $ j $, que obtivemos por meio de estrelas e barras acima. Tente esta fórmula para o caso em que $ n = 6 $ e $ k = 3 $, e você verá que recuperamos a resposta 56 de nosso primeiro exemplo.

Observe que a soma em (1) só vai até $ k $, já que não podemos selecionar mais cores do que o número de camisas (aqui, estou assumindo $ n & gtk $ como em nosso exemplo). No entanto, se $ j & gtk $, então o número de maneiras de escolher $ j $ itens de um conjunto de $ k $ é 0, então $ <escolher > = 0 $. Isso significa que podemos estender o limite de soma até $ n $ sem alterar o valor da soma. Também podemos estender o limite inferior de soma de 1 para 0, uma vez que o fator $ j-1 $ zera o segundo termo quando $ j = 0 $ (ou seja, não há maneiras de escolher um número negativo de itens de um pool de $ k-1 $). Observe que a mesma lógica é válida se $ n leq k $, visto que o fator $ n choose j $ torna-se zero quando $ j & gtn $. Assim, independentemente de $ n & gtk $ ou $ n leq k $, temos: $
soma_^< <escolher >>
=
soma_^< <escolher >>
$ mas além disso: $
começar
soma_^< <escolher >>
& amp = sum_^< < escolha <(k-1) - (j-1) >>> [3mm]
& amp = sum_^< <escolher >> [3mm]
& amp = <escolher >
fim
$ onde a primeira igualdade é devido ao fato de que para quaisquer inteiros positivos $ m, r $ com $ r & ltm $, temos $ = > $. Isso significa apenas que selecionar $ r $ itens de um pool de $ m $ é equivalente a escolher $ m-r $ itens não para incluir na sua seleção. A terceira igualdade é chamada de Convolução de Vandermonde, e se você leu o post sobre o handicapping da piscina, deve ter adivinhado que ele contém uma prova tanto algébrica quanto combinatória. Vou deixá-los para você descobrir (veja o final deste post para uma dica sobre cada um).

O fato de que a soma de antes se reduz a um único coeficiente binomial sugere que há uma solução mais simples para nosso problema de contagem. De fato existe, e na verdade é outro método de estrelas e barras.

Voltando ao exemplo das 6 cores e 3 camisas, vamos desenhar 3 camisas e colocar barras $ 6-1 = 5 $ em qualquer lugar à esquerda ou direita de qualquer camisa. Temos permissão (e, neste exemplo, somos forçados) a colocar duas barras uma ao lado da outra sem nenhuma camisa entre elas. Suponha que então colorimos as camisas em uma ordem fixa (por exemplo, azul, vermelho, verde, amarelo, fuschia, laranja): todas as camisas à esquerda da primeira barra (se houver camisas) serão azuis, as camisas entre a primeira e a segunda barra seria vermelho, entre o segundo e o terceiro verde e assim por diante. As camisas à direita da quinta barra seriam laranja. Portanto, o caso de 2 azuis e 1 vermelho ficaria assim:

Observe que existem $ 6 + 3-1 $ objetos ($ 6-1 $ deles são barras e 3 são camisetas), e escolher um conjunto de 3 camisetas entre as 6 opções de cores é equivalente a simplesmente escolher onde no alinhamento de 8 objetos, as 3 camisetas devem ir. Assim, o número de maneiras de fazer isso é $ << 6 + 3-1> choose <3>> = <8 choose 3> = 56 $, a mesma resposta de antes.

Para recapitular, agora você conhece dois métodos diferentes de estrelas e barras que podem ser aplicados em problemas de contagem combinatória. Espero que tenha sido informativo e tenha respondido totalmente ao pedido. Se ainda houver dúvidas, sinta-se à vontade para perguntar na seção de comentários.

Por fim, aqui estão as dicas para as duas provas da convolução de Vandermonde:

Prova algébrica: Observe que $ <escolher > $ é o coeficiente de $ x ^ k $ na expansão de $ (1 + x) ^$. Qual é o coeficiente de $ x ^ k $ na expansão de $ (1 + x) ^ (1 + x) ^$?

Prova Combinatória: Suponha que tenhamos um saco de $ n + k-1 $ (numerados) mármores, dos quais $ n $ são azuis e $ k-1 $ são vermelhos. Quantos conjuntos diferentes de bolas de gude $ k $ podemos criar a partir do saco? De quantas maneiras podemos escolher $ k $ mármores do saco, onde $ j $ são azuis e $ k-j $ são vermelhos?


Distribuição de maçãs: pelo menos uma para cada

O próximo problema tem uma pequena reviravolta.

O que discutimos até agora permitia a possibilidade de que algumas urnas estivessem vazias. E se não permitirmos isso?

Claramente, as maçãs (indistinguíveis) serão representadas por estrelas, e os filhos (presumivelmente distinguíveis) são os recipientes. O Dr. Anthony fez isso primeiro:

Parece a mesma ideia, mas algo está diferente. O Dr. Mitteldorf viu que uma explicação adicional seria útil:

Temos a mesma representação de antes, mas com o novo requisito de que nenhuma criança pode ficar de mãos vazias, devemos exigir que duas barras não possam ser adjacentes. Eles devem ser separados por estrelas. Portanto, em vez de apenas colocar barras livremente em qualquer lugar, agora pensamos em intervalos entre as estrelas e colocamos apenas uma barra (se houver) em cada intervalo. Para 8 estrelas e 4 urnas (3 barras), podemos colocar barras em qualquer um dos 7 espaços entre as estrelas (não do lado de fora, pois isso deixaria uma urna vazia):

Isso corresponde ao arranjo:

Este método leva à fórmula geral (para (b ) bolas em (u ) urnas, novamente, onde colocamos (u-1 ) barras em (b-1 ) lacunas) $ <escolher> text <escolher>.$

Novamente, podemos verificar nosso trabalho listando todas as possibilidades ou imaginando fazê-lo e usar alguns atalhos:


Conteúdo

Primeira bandeira nacional ("as estrelas e as barras")

A primeira bandeira oficial da Confederação, chamada de "Estrelas e barras, "voou de 5 de março de 1861 a 26 de maio de 1863.

A primeira bandeira nacional da Confederação foi desenhada pelo artista prussiano Nicola Marschall em Marion, Alabama. [1] A bandeira Stars and Bars foi adotada em 4 de março de 1861 em Montgomery, Alabama, e erguida sobre a cúpula do primeiro Capitólio Confederado. Marschall também desenhou o uniforme dos confederados. [2]

Um dos primeiros atos do Congresso Confederado Provisório foi criar o Comitê sobre a Bandeira e o Selo, presidido por William Porcher Miles da Carolina do Sul. O comitê pediu ao público que apresentasse pensamentos e idéias sobre o assunto e foi, como afirma o historiador John M. Coski, "oprimido por pedidos para não abandonar a 'velha bandeira' dos Estados Unidos." Miles já havia desenhado uma bandeira que mais tarde se tornaria a bandeira de batalha da Confederação, e ele favoreceu sua bandeira em vez da proposta "Estrelas e Barras". Mas devido ao apoio popular a uma bandeira semelhante à bandeira dos EUA ("the Stars and Stripes"), o design da Stars and Bars foi aprovado pelo comitê. [3] Quando a guerra estourou, o Stars and Bars causou confusão no campo de batalha por causa de sua semelhança com a bandeira dos EUA do Exército dos EUA. [4]

Eventualmente, um total de treze estrelas seria mostrado na bandeira, refletindo as alegações da Confederação de ter admitido Kentucky e Missouri em sua união. A primeira aparição pública da bandeira de 13 estrelas foi fora da Ben Johnson House em Bardstown, Kentucky. O design de 13 estrelas também foi usado como base de uma bandeira naval.

Primeira bandeira nacional com 7 estrelas
(4 de março de 1861 - 21 de maio de 1861)

Primeira bandeira nacional com 9 estrelas
(21 de maio de 1861 - 2 de julho de 1861)

Primeira bandeira nacional com 11 estrelas
(2 de julho de 1861 - 28 de novembro de 1861)

Primeira bandeira nacional com 13 estrelas
(28 de novembro de 1861 - 1 de maio de 1863)

Segunda bandeira nacional ("a Bandeira de Inox")

Durante a solicitação da segunda bandeira nacional, muitos tipos diferentes de desenhos foram propostos, quase todos fazendo uso da bandeira de batalha, que em 1863 já havia se tornado conhecida e popular. O novo desenho foi especificado pelo Congresso Confederado como um campo branco "com o sindicato (agora usado como a bandeira de batalha) como um quadrado de dois terços da largura da bandeira, tendo o fundo vermelho sobre ele um amplo salgado [sic ] de azul, com bordas brancas e brasonadas com salmonetes ou estrelas de cinco pontas, correspondendo em número ao dos Estados Confederados. " [5]

O apelido "inoxidável" referia-se ao campo branco puro. O ato da bandeira de 1864 não declarou o que o branco simbolizava e os defensores ofereceram várias interpretações. A interpretação mais comum é que o campo branco simboliza a pureza da Causa. O Congresso Confederado debateu se o campo branco deveria ter uma faixa azul e se deveria ser delimitado em vermelho. William Miles fez um discurso sobre o design branco simples que acabou sendo aprovado. Ele argumentou que a bandeira de batalha deve ser usada, mas para uma bandeira nacional era necessário brasoná-la, mas da forma mais simples possível, com um campo branco liso. [6]

As bandeiras realmente feitas pelo Richmond Clothing Depot usavam a proporção de 1,5: 1 adotada para a bandeira de batalha da Marinha Confederada, em vez da proporção oficial de 2: 1. [7]

A reação inicial à segunda bandeira nacional foi favorável, mas com o tempo ela foi criticada por ser "muito branca". The Columbia Daily South Carolinian observou que era essencialmente uma bandeira de batalha sobre uma bandeira de trégua e poderia enviar uma mensagem ambígua. Oficiais militares expressaram queixas sobre a bandeira ser muito branca, por vários motivos, incluindo o perigo de ser confundida com uma bandeira de trégua, especialmente em navios de guerra, e que se sujava com muita facilidade. [8] Esta bandeira é, no entanto, um símbolo histórico da guerra civil.

Segunda bandeira nacional
(1 de maio de 1863 - 4 de março de 1865)

Segunda bandeira nacional, bandeira de batalha da Marinha Confederada, proporção de 1,5: 1

[editar] Terceira Bandeira Nacional ("a Bandeira Manchada de Sangue")

A terceira bandeira nacional foi adotada em 4 de março de 1865, pouco antes da queda da Confederação. A faixa vertical vermelha foi proposta pelo Major Arthur L. Rogers, que argumentou que o campo branco puro da segunda bandeira nacional poderia ser confundido com uma bandeira de trégua. Quando está pendurada sem vento, o canto colorido da bandeira pode ser acidentalmente escondido, então a bandeira pode facilmente aparecer toda branca.

Rogers fez lobby com sucesso para que seu projeto fosse apresentado no Senado Confederado. Ele defendeu seu projeto como tendo "o mínimo possível do azul ianque", e o descreveu como simbolizando as origens primárias do povo do Sul, com a cruz da Grã-Bretanha e a barra vermelha da bandeira da França. [8]

A Lei da Bandeira de 1865 descreve a bandeira na seguinte linguagem: "O Congresso dos Estados Confederados da América promulgou, que a bandeira dos Estados Confederados será a seguinte: A largura de dois terços de seu comprimento, com a união ( agora usado como a bandeira de batalha) ter três quintos de largura da largura da bandeira, e proporcional a ponto de deixar o comprimento do campo do lado da união duas vezes a largura do campo abaixo dele para ter o solo vermelho e um azul salgado largo sobre ele, delimitado com branco e brasonado com cinco estrelas pontiagudas, correspondendo em número ao dos Estados Confederados o campo ser branco, exceto a metade externa da união ser uma barra vermelha estendendo a largura do bandeira." [9]


Conteúdo

Primeira bandeira com 7 estrelas
(4 de março - 21 de maio de 1861)

Bandeira com 9 estrelas
(21 de maio a 2 de julho de 1861)

Bandeira com 11 estrelas
(2 de julho a 28 de novembro de 1861)

Última bandeira com 13 estrelas
(28 de novembro de 1861 - 1 de maio de 1863)

A primeira bandeira nacional oficial da Confederação, muitas vezes chamada de Estrelas e barras, voou de 4 de março de 1861 a 1 de maio de 1863. Foi projetada pelo artista prussiano-americano Nicola Marschall em Marion, Alabama, e lembrava a bandeira da Áustria, com a qual Marschall estaria familiarizado. [14] [15] A versão original da bandeira apresentava um círculo de sete estrelas brancas no cantão azul marinho, representando os sete estados do Sul que originalmente constituíam a Confederação: Carolina do Sul, Mississippi, Flórida, Alabama, Geórgia, Louisiana e Texas. A bandeira "Stars and Bars" foi adotada em 4 de março de 1861, na primeira capital nacional temporária de Montgomery, Alabama, e erguida sobre a cúpula da primeira capital confederada. Marschall também desenhou o uniforme do exército confederado. [15]

Um monumento em Louisburg, Carolina do Norte, afirma que as "Estrelas e Barras" "foram projetadas por um filho da Carolina do Norte / Orren Randolph Smith / e feitas sob sua direção por / Catherine Rebecca (Murphy) Winborne. / Encaminhado para Montgomery, Alabama. 12 de fevereiro de 1861, / Adotado pelo Congresso Provisório em 4 de março de 1861 ". [16]

Um dos primeiros atos do Congresso Confederado Provisório foi criar o Comitê da Bandeira e do Selo, presidido por William Porcher Miles, um congressista e Fire-Eater da Carolina do Sul. O comitê pediu ao público que apresentasse pensamentos e idéias sobre o assunto e foi, como afirma o historiador John M. Coski, "oprimido por pedidos para não abandonar a 'velha bandeira' dos Estados Unidos." Miles já havia desenhado uma bandeira que mais tarde ficou conhecida como Confederada Bandeira de batalha, e ele preferiu sua bandeira à proposta "Estrelas e Barras". Mas dado o apoio popular a uma bandeira semelhante à bandeira dos EUA ("the Stars and Stripes" - originalmente estabelecida e projetada em junho de 1777 durante a Guerra Revolucionária), o design "Stars and Bars" foi aprovado pelo comitê. [17]

À medida que a Confederação crescia, também crescia o número de estrelas: duas foram adicionadas para Virginia e Arkansas em maio de 1861, seguidas por mais duas representando o Tennessee e a Carolina do Norte em julho e, finalmente, mais duas para Missouri e Kentucky (nenhum desses dois estados se separou , mas "governos" partidários de facções declararam secessão sem conseguir o controle de um território ou população substancial em nenhum dos casos).

Quando a Guerra Civil Americana estourou, as "Estrelas e Barras" confundiram o campo de batalha na Primeira Batalha de Bull Run por causa de sua semelhança com a bandeira dos Estados Unidos, especialmente quando ela estava pendurada no mastro. [18] O "Stars and Bars" também foi criticado por motivos ideológicos por sua semelhança com a bandeira dos EUA. Muitos confederados não gostavam das estrelas e barras, vendo-as como um símbolo de um poder federal centralizado do qual os estados confederados afirmavam estar se separando. [19] Já em abril de 1861, um mês após a adoção da bandeira, alguns já a criticavam, chamando-a de uma "imitação servil" e uma "detestada paródia" da bandeira dos EUA. [3] Em janeiro de 1862, George William Bagby, escrevendo para o Mensageiro Literário do Sul, escreveu que muitos confederados não gostaram da bandeira. "Todo mundo quer uma nova bandeira confederada", escreveu Bagby. "O presente é odiado universalmente. Assemelha-se à bandeira ianque, e isso é o suficiente para torná-lo indizivelmente detestável." O editor do Charleston Mercury expressou uma opinião semelhante: "Parece ser geralmente aceito que as 'Estrelas e Barras' nunca servirão para nós. Elas se parecem demais com a desonrada 'Bandeira do Doodle Yankee' ... imaginamos que a 'Bandeira de Batalha' se tornará o Sul Sinalizar por aclamação popular. " William T. Thompson, o editor do jornal baseado em Savannah Daily Morning News também se opôs à bandeira, devido à sua semelhança estética com a bandeira dos EUA, que para alguns confederados tinha associações negativas com a emancipação e o abolicionismo. Thompson declarou em abril de 1863 que não gostava da bandeira adotada "por causa de sua semelhança com a do despotismo abolicionista contra o qual lutamos". [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

Ao longo do uso da bandeira pela CSA, estrelas adicionais foram adicionadas ao cantão, eventualmente elevando o número total para treze - um reflexo das alegações da Confederação de ter admitido os estados fronteiriços de Kentucky e Missouri, onde a escravidão ainda era amplamente praticada . [nota 4] A primeira exibição da bandeira de 13 estrelas foi do lado de fora da Ben Johnson House em Bardstown, Kentucky, o desenho de 13 estrelas também estava em uso como estandarte de batalha da Marinha Confederada [ citação necessária ] .

Segunda bandeira nacional (1 de maio de 1863 - 4 de março de 1865), proporção de 2: 1 Segunda bandeira nacional (1 de maio de 1863 - 4 de março de 1865), também usada como insígnia da Marinha Confederada, proporção 3: 2 Uma variante de 12 estrelas do Stainless Banner produzida em Mobile, Alabama Variante capturada após a Batalha de Painesville, 1865 Bandeira da Guarnição do Forte Fisher, o "Sul de Gibraltar"

Many different designs were proposed during the solicitation for a second Confederate national flag, nearly all based on the Battle Flag. By 1863, it had become well-known and popular among those living in the Confederacy. The Confederate Congress specified that the new design be a white field ". with the union (now used as the battle flag) to be a square of two-thirds the width of the flag, having the ground red thereupon a broad saltire of blue, bordered with white, and emblazoned with mullets or five-pointed stars, corresponding in number to that of the Confederate States." [11]

The flag is also known as the Stainless Banner, and the matter of the person behind its design remains a point of contention. On April 23, 1863, the Savannah Morning News editor William Tappan Thompson, with assistance from William Ross Postell, a Confederate blockade runner, published an editorial championing a design featuring the battle flag on a white background he referred to later as "The White Man's Flag." [6] In explaining the white background, Thompson wrote, "As a people we are fighting to maintain the Heaven-ordained supremacy of the white man over the inferior or colored race a white flag would thus be emblematical of our cause." [1] [2] [3] [4] [7] [8] [9] [10] In a letter to Confederate Congressman C. J. Villeré, dated April 24, 1863, a design similar to Thompson's was proposed by General P. G. T. Beauregard, "whose earlier penchant for practicality had established the precedent for visual distinctiveness on the battlefield, proposed that 'a good design for the national flag would be the present battle-flag as Union Jack, and the rest all white or all blue'. The final version of the second national flag, adopted May 1, 1863, did just this: it set the St. Andrew's Cross of stars in the Union Jack with the rest of the civilian banner entirely white." [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27]

The Confederate Congress debated whether the white field should have a blue stripe and whether it should be bordered in red. William Miles delivered a speech supporting the simple white design that was eventually approved. He argued that the battle flag must be used, but it was necessary to emblazon it for a national flag, but as simply as possible, with a plain white field. [28] When Thompson received word the Congress had adopted the design with a blue stripe, he published an editorial on April 28 in opposition, writing that "the blue bar running up the centre of the white field and joining with the right lower arm of the blue cross, is in bad taste, and utterly destructive of the symmetry and harmony of the design." [1] [5] Confederate Congressman Peter W. Gray proposed the amendment that gave the flag its white field. [29] Gray stated that the white field represented "purity, truth, and freedom." [30]

Regardless of who truly originated the Stainless Banner's design, whether by heeding Thompson's editorials or Beauregard's letter, the Confederate Congress officially adopted the Stainless Banner on May 1, 1863. The flags that were actually produced by the Richmond Clothing Depot used the 1.5:1 ratio adopted for the Confederate navy's battle ensign, rather than the official 2:1 ratio. [11]

Initial reaction to the second national flag was favorable, but over time it became criticized for being "too white." Military officers also voiced complaints about the flag being too white, for various reasons, such as the danger of being mistaken for a flag of truce, especially on naval ships it was too easily soiled. [13] The Columbia-based Daily South Carolinian observed that it was essentially a battle flag upon a flag of truce and might send a mixed message. Due to the flag's resemblance to one of truce, some Confederate soldiers cut off the flag's white portion, leaving only the canton. [31]

The first official use of the "Stainless Banner" was to drape the coffin of General Thomas J. "Stonewall" Jackson as it lay in state in the Virginia capitol, May 12, 1863. [32] [33] As a result of this first usage, the flag received the alternate nickname of the "Jackson Flag".

Third national flag (after March 4, 1865) Third national flag as commonly manufactured, with a square canton

The third national flag (also called the "Blood-Stained Banner") was adopted March 4, 1865. The red vertical bar was proposed by Major Arthur L. Rogers, who argued that the pure white field of the Second National flag could be mistaken as a flag of truce: when hanging limp in no wind, the flag's "Southern Cross" canton could accidentally stay hidden, so the flag could mistakenly appear all white.

Rogers lobbied successfully to have this alteration introduced in the Confederate Senate. He defended his redesign as having "as little as possible of the Yankee blue", and described it as symbolizing the primary origins of the people of the Confederacy, with the saltire of the Scottish flag and the red bar from the flag of France. [13]

The Flag Act of 1865, passed by the Confederate congress near the very end of the War, describes the flag in the following language:

The Congress of the Confederate States of America do enact, That the flag of the Confederate States shall be as follows: The width two-thirds of its length, with the union (now used as the battle flag) to be in width three-fifths of the width of the flag, and so proportioned as to leave the length of the field on the side of the union twice the width of the field below it to have the ground red and a broad blue saltire thereon, bordered with white and emblazoned with mullets or five pointed stars, corresponding in number to that of the Confederate States the field to be white, except the outer half from the union to be a red bar extending the width of the flag. [12]

Very few of these third national flags were actually manufactured and put into use in the field, with many Confederates never seeing the flag. Moreover, the ones made by the Richmond Clothing Depot used the square canton of the second national flag rather than the slightly rectangular one that was specified by the law. [12]

Flag of Alabama (obverse)
(January 11, 1861)

Flag of Alabama (reverse)
(January 11, 1861)

Flag of Florida
(September 13, 1861)

Flag of Louisiana
(February 11, 1861)

At the First Battle of Manassas, near Manassas, Virginia, the similarity between the "Stars and Bars" and the "Stars and Stripes" caused confusion and military problems. Regiments carried flags to help commanders observe and assess battles in the warfare of the era. At a distance, the two national flags were hard to tell apart. [34] Also, Confederate regiments carried many other flags, which added to the possibility of confusion.

After the battle, General P. G. T. Beauregard wrote that he was "resolved then to have [our flag] changed if possible, or to adopt for my command a 'Battle flag', which would be Entirely different from any State or Federal flag". [18] He turned to his aide, who happened to be William Porcher Miles, the former chairman of the Confederate Congress's Committee on the Flag and Seal. Miles described his rejected national flag design to Beauregard. Miles also told the Committee on the Flag and Seal about the general's complaints and request that the national flag be changed. The committee rejected the idea by a four-to-one vote, after which Beauregard proposed the idea of having two flags. He described the idea in a letter to his commanding General Joseph E. Johnston:

I wrote to [Miles] that we should have 'two' flags – a 'peace' or parade flag, and a 'war' flag to be used only on the field of battle – but congress having adjourned no action will be taken on the matter – How would it do us to address the War Dept. on the subject of Regimental or badge flags made of red with two blue bars crossing each other diagonally on which shall be introduced the stars, . We would then on the field of battle know our friends from our Enemies. [18]

The flag that Miles had favored when he was chairman of the "Committee on the Flag and Seal" eventually became the battle flag and, ultimately, the Confederacy's most popular flag. According to Museum of the Confederacy Director John Coski, Miles' design was inspired by one of the many "secessionist flags" flown at the South Carolina secession convention in Charleston of December 1860. That flag was a blue St George's Cross (an upright or Latin cross) on a red field, with 15 white stars on the cross, representing the slave-holding states, [35] [36] and, on the red field, palmetto and crescent symbols. Miles received various feedback on this design, including a critique from Charles Moise, a self-described "Southerner of Jewish persuasion." Moise liked the design but asked that ". the symbol of a particular religion not be made the symbol of the nation." Taking this into account, Miles changed his flag, removing the palmetto and crescent, and substituting a heraldic saltire ("X") for the upright cross. The number of stars was changed several times as well. He described these changes and his reasons for making them in early 1861. The diagonal cross was preferable, he wrote, because "it avoided the religious objection about the cross (from the Jews and many Protestant sects), because it did not stand out so conspicuously as if the cross had been placed upright thus." He also argued that the diagonal cross was "more Heraldric [sic] than Ecclesiastical, it being the 'saltire' of Heraldry, and significant of strength and progress." [37]

According to Coski, the Saint Andrew's Cross (also used on the flag of Scotland as a white saltire on a blue field) had no special place in Southern iconography at the time. If Miles had not been eager to conciliate the Southern Jews, his flag would have used the traditional upright "Saint George's Cross" (as used on the flag of England, a red cross on a white field). James B. Walton submitted a battle flag design essentially identical to Miles' except with an upright Saint George's cross, but Beauregard chose the diagonal cross design. [38]

Miles' flag and all the flag designs up to that point were rectangular ("oblong") in shape. General Johnston suggested making it square to conserve material. Johnston also specified the various sizes to be used by different types of military units. Generals Beauregard and Johnston and Quartermaster General Cabell approved the 12-star Confederate Battle Flag's design at the Ratcliffe home, which served briefly as Beauregard's headquarters, near Fairfax Court House in September 1861. The 12th star represented Missouri. President Jefferson Davis arrived by train at Fairfax Station soon after and was shown the design for the new battle flag at the Ratcliffe House. Hetty Cary and her sister and cousin made prototypes. One such 12-star flag resides in the collection of Richmond's Museum of the Confederacy and the other is in the Confederate Memorial Hall Museum in New Orleans.

On November 28, 1861, Confederate soldiers in General Robert E. Lee's newly reorganized Army of Northern Virginia received the new battle flags in ceremonies at Centreville and Manassas, Virginia, and carried them throughout the Civil War. Beauregard gave a speech encouraging the soldiers to treat the new flag with honor and that it must never be surrendered. Many soldiers wrote home about the ceremony and the impression the flag had upon them, the "fighting colors" boosting morale after the confusion at the Battle of First Manassas. From then on, the battle flag grew in its identification with the Confederacy and the South in general. [39] The flag's stars represented the number of states in the Confederacy. The distance between the stars decreased as the number of states increased, reaching thirteen when the secessionist factions of Kentucky and Missouri joined in late 1861. [40]

The Army of Northern Virginia battle flag assumed a prominent place post-war when it was adopted as the copyrighted emblem of the United Confederate Veterans. Its continued use by the Southern Army's post-war veteran's groups, the United Confederate Veterans (U.C.V.) and the later Sons of Confederate Veterans, (S.C.V.), and elements of the design by related similar female descendants organizations of the United Daughters of the Confederacy, (U.D.C.), led to the assumption that it was, as it has been termed, "the soldier's flag" or "the Confederate battle flag."

The square "battle flag" is also properly known as "the flag of the Army of Northern Virginia". It was sometimes called "Beauregard's flag" or "the Virginia battle flag". A Virginia Department of Historic Resources marker declaring Fairfax, Virginia, as the birthplace of the Confederate battle flag was dedicated on April 12, 2008, near the intersection of Main and Oak Streets, in Fairfax, Virginia. [41] [42] [43]

The fledgling Confederate States Navy adopted and used several types of flags, banners, and pennants aboard all CSN ships: jacks, battle ensigns, and small boat ensigns, as well as commissioning pennants, designating flags, and signal flags. [ citation needed ]

The First Confederate Navy jacks, in use from 1861 to 1863, consisted of a circle of seven to fifteen five-pointed white stars against a field of "medium blue." It was flown forward aboard all Confederate warships while they were anchored in the port. One seven-star jack still exists today (found aboard the captured ironclad CSS Atlanta) that is actually "dark blue" in color (see illustration below, left). [44]

The Second Confederate Navy Jack was a rectangular cousin of the Confederate Army's battle flag and was in use from 1863 until 1865. It existed in a variety of dimensions and sizes, despite the CSN's detailed naval regulations. The blue color of the diagonal saltire's "Southern Cross" was much lighter than the battle flag's dark blue. [44]


Discrete Mathematics: An Open Introduction (2016) 3rd

Your wardrobe consists of 5 shirts, 3 pairs of pants, and 17 bow ties. bow ties How many different outfits can you make?

Problem 2

For your college interview, you must wear a tie. You own 3 regular (boring) ties and 5 (cool) bow ties.
(a) How many choices do you have for your neck-wear?
(b) You realize that the interview is for clown college, so you should probably wear both a regular tie and a bow tie. How many choices do you have now?
(c) For the rest of your outfit, you have 5 shirts, 4 skirts, 3 pants, and 7 dresses. You want to select either a shirt to wear with a skirt or pants, or just a dress. How many outfits do you have to choose from?

Problem 3

Your Blu-ray collection consists of 9 comedies and 7 horror movies. Give an example of a question for which the answer is:
(a) 16 .
(b) 63 .

Problem 4

hexadecimal We usually write numbers in decimal form (or base 10), meaning numbers are composed using 10 different "digits" $<0,1, ldots, 9>$. Sometimes though it is useful to write numbers hexadecimal or base
16. Now there are 16 distinct digits that can be used to form numbers:
$<0,1, ldots, 9, mathrm<

B>, mathrm, mathrm, mathrm, mathrm> .$ So for example, a 3 digit hexadecimal
number might be $2 mathrm<

B> 8$.
(a) How many 2 -digit hexadecimals are there in which the first digit is $E$ or $F$ ? Explain your answer in terms of the additive principle (using either events or sets).
(b) Explain why your answer to the previous part is correct in terms of the multiplicative principle (using either events or sets). Why do both the additive and multiplicative principles give you the same answer?
(c) How many 3 -digit hexadecimals start with a letter (A-F) and end with a numeral $(0-9) ?$ Explain.
(d) How many 3 -digit hexadecimals start with a letter (A-F) or end with a numeral $(0-9)$ (or both)? Explique.


1.5: Stars and Bars - Mathematics

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Mathematical Expression Editor

We utilize exponential generating functions

Recall the problem of finding the number of permutations of the letters in the word MISSISSIPPI. The answer was . Let’s modify the question slightly. Find the number of permutations of 9 of the letters in the word MISSISSIPPI.

The answer is the sum of the number of permutations of each of the possible combinations of 9 of the letters.

In other words, we must first select 9 of the 11 letters, then we must count the number of permutations of these 9 letters. After doing this for every possible selection of 9 of the 11 letters, we sum these answers. There are 9 different combinations of 9 of the 11 letters:

SSISSIPPI, ISISSIPPI, ISSISSIPI, MSSSSIPPI, MSISSIPPI, MSSISSIPI, MIISSIPPI, MISISSIPI, and MISSISSII.

Thus the total number of ways to permute 9 of the 11 letters in the word MISSISSIPPI is

We would like to see this answer a coefficient in some generating function. For the letter M, consider the function . For the letter I, consider . For the letter S, consider , and for the letter P, consider . The product of these functions is Note that this function is a polynomial of degree . Since we are considering the permutations of 9 of the 11 letters in the word, let’s inspect the coefficient of . We notice that is almost matches the solution to our problem. It is Thus the answer to our problem can be considered the coefficient not of , but of . This discussion both motivates the following definition of exponential generating functions and verifies the proposition that follows.


1.5: Stars and Bars - Mathematics

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Mathematical Expression Editor

We use De Morgan’s Law to enumerate sets.

We begin by counting the number of elements in the union of two sets.

Proof Let . Then is in or both.
Case 1. ( is in both) If is in both and , then the right hand side of the formula accounts for twice, once as an element of and again as an element of . But then, since is in both and , is in their intersection, . The coefficient of being , is “de-accounted” for once in the right hand side of the formula. In total, is accounted for twice and de-accounted for once, thereby accounting for it just once in total.
Case 2. ( is in only) If but , then the right hand side of the formula accounts for such exactly once, as a member of . Note that such an is not a member of and so it is not de-accounted for by the right hand side of the formula.
Case 3. ( is in only) This is the same as case 2 with the roles of and reversed.
Finally, we need to be sure that the right hand side of the formula does not count elements that are not in .
Case 4. ( is in neither nor ) In this case, none of the terms on the right hand side of the formula will either account for or de-account for (since either).

Recall set complements from section 1.2:

De Morgan’s Law gives us a formula for the complement of a union in terms of the intersection of their complements.

Proof First, let . Then which implies that and . By definition of complement, this means that and . Finally, by definition of intersection, . Thus .
Next, let . By definition of intersection, and . Then, and which implies that . Thus and we have shown that .
By virtue of being subsets of each other, the two sets are equal and De Morgan’s Law is proved.

The next example uses De Morgan’s Law in conjunction with the Rule for Complements and the Inclusion-Exclusion Principle (for two sets).

Let be the set of passwords that do not contain any digits and let be the set of passwords that do not contain any special symbols. Since our passwords must contain a digit and a special symbol, we seek . By De Morgan’s Law, Then according to the Rule for Complements, where is the set of all possible passwords with no restrictions. Combining the two equations above with the Inclusion-Exclusion Principle (for two sets), we have Each of the terms on the right hand side can be computed using the Fundamental Principle of Counting. Since there are 70 different characters in total with 10 digits and 8 special symbols, Note that the passwords in the set do not contain either digits or special symbols, so there are available characters for them. In conclusion, the number of acceptable passwords is

The number of elements in is the number of permutations of the symbols MATH, R, O, C, K, S. Since this is 6 distinct symbols, . The number of elements in is the number of permutations of the symbols M, A, T, H, ROCKS. Since this is 5 distinct symbols, . The number of elements in is 2 and the number of elements in is . Hence, the total number of ways to permute the letters in the phrase MATH ROCKS which do not include either of the words MATH or ROCKS is

where is the set of all non-negative integer solutions. By letting , we see that the number of elements in the set is the number of non-negative integer solutions to the equation: which is . By letting , we see that the number of elements in the set is the number of non-negative integer solutions to the equation: which is . Finally, by letting and we see that the number of elements in the set is the number of non-negative integer solutions to the equation: which is . Thus the total number of non-negative integer solutions to the equation with and is


1.5: Stars and Bars - Mathematics

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Mathematical Expression Editor

We use the Inclusion-Exclusion Principle to enumerate sets.

Recall the Inclusion-Exclusion Principle for two sets:

In this section, we will generalize this to sets, but first, let’s extend it from two sets to three sets.

Proof Consider as one set and as the second set and apply the Inclusion-Exclusion Principle for two sets. We have: Next, use the Inclusion-Exclusion Principle for two sets on the first term, and distribute the intersection across the union in the third term to obtain: Now, use the Inclusion Exclusion Principle for two sets on the fourth term to get: Finally, the set in the last term is just , so we have the final form of the Inclusion-Exclusion Principle for three sets:

We now extend De Morgan’s Law to three sets.

Proof Using De Morgan’s Law for two sets twice yields the result:

The next example uses De Morgan’s Law (for three sets) in conjunction with the Rule for Complements and the Inclusion-Exclusion Principle (for three sets).

Let be the set of passwords that do not contain any digits let be the set of passwords that do not contain any special symbols and let be the set of passwords that do not contain any capital letters. Since our passwords must contain a digit, a special symbol and a capital letter, we seek . By De Morgan’s Law (for three sets), Then according to the Rule for Complements, where is the set of all possible passwords with no restrictions. Combining the two equations above with the Inclusion-Exclusion Principle (for three sets), we have Each of the terms on the right hand side can be computed using the Fundamental Principle of Counting. Since there are 70 different characters in total with 10 digits, 8 special symbols and 26 capital letters, In conclusion, the number of acceptable passwords is

The number of elements in is the number of permutations of the symbols MATH, I, S, F, U, N. Since this is 6 distinct symbols, . The number of elements in is the number of permutations of the symbols M, A, T, H, IS, F, U, N. Since this is 8 distinct symbols, . The number of elements in is the number of permutations of the symbols M, A, T, H, I, S, FUN. Since this is 7 distinct symbols, . The number of elements in is the number of permutations of the symbols MATH, IS, F, U, N. Since this is 5 distinct symbols, . The number of elements in is the number of permutations of the symbols MATH, I, S, FUN. Since this is 4 distinct symbols, . The number of elements in is the number of permutations of the symbols M, A, T, H, IS, FUN. Since this is 6 distinct symbols, . The number of elements in is the number of permutations of the symbols MATH, IS, FUN. Since this is 3 distinct symbols, . The number of elements in is . Hence, the total number of ways to permute the letters in the phrase MATH IS FUN which do not include any of the words MATH, IS or FUN is

Notice that in our computation we took advantage of the fact that certain sets had the same number of elements.

For four sets, the Inclusion-Exclusion Principle states:

At this point, the number of terms is becoming quite large, so summation notation is to be preferred:

Now, the Inclusion-Exclusion Principle (for four sets) gives: Since the conditions on the four variables is the same (), the number of elements in each intersection of a particular number of sets will be equal. Thus, for the six intersections of this form for the four intersections of this form and . Hence,

We are now ready to state and prove the general case of the Inclusion-Exclusion Principle.

Proof We will prove the proposition by induction on the number of sets, . The base case, was proved in section 2.1. For the induction hypothesis, we assume that the result is true for some number of sets . We then wish to show that the result is true for sets. We will do this in a manner similar to the way we began this section, obtaining the Inclusion-Exclusion Principle for three sets as a consequence of the result for two sets. Thus, we consider the union of the first sets to be a single set and we obtain: In the last term, we can distribute the intersection over the unions to obtain a union of sets: We can apply the induction hypothesis the number of elements in this union, and noting that , we obtain Inserting this back into the first equation, and applying the induction hypothesis to the first term in that equation, we get

We now present a second proof, using a counting argument used in the proof of the two set case.

Proof (combinatorial proof)
Let and suppose that is an element of of the sets, . We need to show that the proposed formula accounts for exactly once. We will analyze the accounting for term by term. The first term of the Inclusion-Exclusion Principle is and this term accounts for exactly times, since is an element of of the sets in the sum. Note that is also . The second term of the Inclusion-Exclusion Principle is and this term accounts for exactly times since for to be in , both of these sets must be among the sets that contain . Similarly, the third term of the Inclusion-Exclusion Principle is and this term accounts for exactly times. Lastly, the term of the Inclusion-Exclusion Principle involves the intersections of of the sets. In this term, is accounted for times. The remaining terms of the Inclusion-Exclusion formula contain more than intersections and hence they will not account for at all (or zero times). In total, the number of times is accounted for by the Inclusion-Exclusion formula is From the binomial theorem with and and replacing and with and respectively, we have Thus the Inclusion-Exclusion formula accounts for in way, as desired.


Assista o vídeo: HELP MATEMÁTICA BÁSICA - Reajustes Sucessivos #249 (Dezembro 2021).