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0.3: Trigonometria - Matemática


O triângulo retângulo

Funções trigonométricas

Normalmente em um triângulo, quando não há chance de ambigüidade, os lados opostos a cada vértice têm comprimento denotado pela letra minúscula correspondente.

No diagrama, o triângulo (ABC ) tem um ângulo reto em (B. )

[ sin (A) = frac { mbox {comprimento do lado oposto}} { mbox {comprimento da hipotenusa}} = frac {a} {b}. [
[ cos (A) = frac { mbox {comprimento do lado adjacente}} { mbox {comprimento da hipotenusa}} = frac {c} {b}. [
[ tan (A) = frac { mbox {comprimento do lado oposto}} { mbox {comprimento do comprimento do lado adjacente}} = frac {a} {c} = frac { sin (A)} { cos (A)}. [
As funções de remanufatura podem ser consideradas funções recíprocas.
[ csc (A) = frac {1} { sin (A)}, [
[ sec (A) = frac {1} { cos (A)}, [
[ cot (A) = frac {1} { tan (A)}. ]

Resolvendo o triângulo geral

Regras

Considere o triângulo (ABC ) no diagrama:

1. A lei seno:
[ frac {a} { sin (A)} = frac {b} { sin (B)} = frac {c} { sin (C)} [
2. A lei do cosseno:
[a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2bc cos (A) [ou equivalentemente,
[ cos (A) = frac {b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2} {2bc} [
3. A área do triângulo (ABC ) é ( frac {1} {2} bc sin (A). )
4. Se o perímetro do triângulo (= 2s = a + b + c, ) então [ sin (A) = frac {2} {bc} sqrt {s (sa) (sb) (sc )} [
e a área do triângulo é ( sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} ).

Círculo de Unidade

Definição

Círculo unitário é um círculo com centro na origem ((0,0) ) e raio (1 ).
O círculo unitário tem a equação (x ^ 2 + y ^ 2 = 1. )

O medida de radiano de um ângulo é igual ao valor numérico do comprimento do arco do círculo unitário do ponto
((1,0) ) para o ponto ((x, y). )

Assim, ( mbox {comprimento do arco} AP = alpha mbox {unidades de radianos}. )
Portanto, obtemos a conversão de graus em radianos e vice-versa: [ pi , { rm radianos} = 180 ^ { circ} ]

Definição das funções trigonométricas

Existem duas maneiras de definir funções trigonométricas:

Definição

Usando triângulos ou círculos.

1. A definição de triângulos é muito restritiva, pois trata apenas de ângulos entre (0 ) graus e (90 ) graus.

2. A definição por círculos, por outro lado, leva a uma definição muito mais geral, uma vez que o ângulo pode agora assumir qualquer valor real.

No diagrama acima, (A (1,0) ) é o ponto fixo a partir do qual as medições começam. Ângulos e comprimentos de arco são medidos de (A ) no sentido anti-horário.

Se (P (x, y) ) for qualquer ponto na circunferência do círculo unitário, então se o comprimento do arco de (AP = alpha ) unidades, então ( ângulo AOP = alpha ) radianos , definimos [ sin ( alpha) = x mbox {e} cos ( alpha) = y. [

Além disso, definimos [ tan ( alpha) = frac { sin ( alpha)} { cos ( alpha)} [
[ cot ( alpha) = frac { cos ( alpha)} { sin ( alpha)}, [
[ sec ( alpha) = frac {1} { cos ( alpha)}, [
[ csc ( alpha) = frac {1} { sin ( alpha)}. [

Algumas relações importantes no círculo unitário

Regras

[ left. begin {array} {c}
sin ( pi- alpha) = sin ( alpha).
cos ( pi- alpha) = - cos ( alpha).
tan ( pi- alpha) = - tan ( alpha).
end {array}
right } mbox {Quadrante II} ]

[ left. begin {array} {c}
sin ( pi + alpha) = - sin ( alpha).
cos ( pi + alpha) = - cos ( alpha).
tan ( pi + alpha) = tan ( alpha).
end {array}
right } mbox {Quadrant III} ]

[ left. begin {array} {c}
sin (2 pi- alpha)) = sin (- alpha) = - sin ( alpha).
cos (2 pi- alpha) = cos (- alpha = cos ( alpha).
tan (2 pi- alpha) = tan (- alpha) = - tan ( alpha).
end {array}
right } mbox {Quadrante IV} ]

[ sin ( pi / 2- alpha) = cos ( alpha). [
[ cos ( pi / 2- alpha) = sin ( alpha). ]

Identidades básicas

Identidades básicas

begin {eqnarray} sin ^ 2 (A) + cos ^ 2 (A) & = & 1.
1+ tan ^ 2 (A) & = & sec ^ 2 (A).
1+ cot ^ 2 (A) & = & csc ^ 2 (A).
cos (A + B) & = & cos (A) cos (B) - sin (A) sin (B).
cos (A-B) & = & cos (A) cos (B) + sin (A) sin (B).
sin (A + B) & = & sin (A) cos (B) + cos (A) sin (B).
sin (A-B) & = & sin (A) cos (B) - cos (A) sin (B).
sin (2A) & = & 2 sin (A) cos (A).
cos (2A) & = & cos ^ 2 (A) - sin ^ 2 (A)
& = & 2 cos ^ 2 (A) -1
& = & 1-2 sin ^ 2 (A).
tan (A + B) & = & displaystyle frac { tan (A) + tan (B)} {1- tan (A) tan (B)}.
tan (A-B) & = & displaystyle frac { tan (A) - tan (B)} {1+ tan (A) tan (B)}.
tan (2A) & = & displaystyle frac {2 tan (A)} {1- tan ^ 2 (A)}.
end {eqnarray}

Um aplicativo para funções trigonométricas


Trigonometria

Trigonometria (do grego Trigōnon, "triângulo" e metron, "medir" [1]) é um ramo da matemática que estuda as relações entre comprimentos laterais e ângulos de triângulos. O campo surgiu no mundo helenístico durante o século III aC a partir de aplicações da geometria aos estudos astronômicos. [2] Os gregos se concentraram no cálculo de acordes, enquanto os matemáticos na Índia criaram as primeiras tabelas conhecidas de valores para razões trigonométricas (também chamadas de funções trigonométricas), como o seno. [3]

Ao longo da história, a trigonometria foi aplicada em áreas como geodésia, levantamento topográfico, mecânica celeste e navegação. [4]

A trigonometria é conhecida por suas muitas identidades. Essas identidades trigonométricas [5] [6] são comumente usadas para reescrever expressões trigonométricas com o objetivo de simplificar uma expressão, encontrar uma forma mais útil de uma expressão ou resolver uma equação. [7]


Symbolab Blog

Em um post anterior, aprendemos sobre avaliação de trigonometria. É importante que o tópico seja dominado antes de continuar. Nesta postagem do blog, falaremos sobre equações trigonométricas, que envolvem avaliação trigonométrica. Resolver equações trigonométricas é semelhante a resolver equações algébricas. Recebemos uma variável desconhecida, que temos que resolver. Para resolver o desconhecido, somos capazes de fatorar uma expressão, multiplicar ou dividir, elevar ao quadrado ou obter a raiz quadrada e substituir identidades. Resolver equações trigonométricas pode ser um pouco complicado porque não existe um procedimento padrão para resolver equações trigonométricas.

Vejamos algumas dicas para nos ajudar a resolver equações trigonométricas. . .

  1. Se houver mais de uma função trigonométrica, reescreva a equação em termos de apenas uma função trigonométrica. Isso exigirá o uso de identidades trigonométricas e / ou manipulação algébrica.
  2. Use a fatoração se você vir uma expressão na forma quadrática.
  3. Memorize o círculo unitário
  4. Resolver equações trigonométricas envolve tentativa e erro. Se errar na primeira vez, tente resolver de uma maneira diferente.

Felizmente, isso não foi muito complicado. Pode parecer difícil no início porque tudo é muito mais fácil com um procedimento direto. No entanto, quanto mais você praticar, mais rápido as respostas virão para você. Não se esqueça de respeitar as restrições! Certifique-se de verificar se sua resposta é válida nas restrições. Faça algumas tentativas para resolver equações trigonométricas e você estará pronto para começar.


Exemplos

Primeiro, consideramos se (u ) -substituição funcionaria aqui. não - para ver isso, deixe (u = 1-2x ^ 2 ) e veja o que acontece. Para se livrar do radical, consideramos os três tipos de substituições e quando eles se aplicam. Nesse caso, não corresponde exatamente a nenhuma das três formas, mas é mais parecido com a primeira. Podemos reescrever o termo radical:

Agora, (a ^ 2 = 1/2 Longrightarrow a = 1 / sqrt <2> ).

Seja (x = frac <1> < sqrt <2>> sin theta ). Então, para o termo radical, temos

Ok, agora temos o termo radical: ( sqrt <1-2x ^ 2> Longrightarrow cos ^ 2 theta ). Também precisamos encontrar (dx ).

Agora podemos substituir tudo em:

Para integrar ( sin ^ 2 theta ), precisamos usar a fórmula de ângulo duplo: ( sin ^ 2 theta = frac12 - frac12 cos <2 theta> )

[ int frac < sin ^ 2 theta> <2 sqrt <2 >> dx = frac <1> <2 sqrt2> int left ( frac12 - frac12 cos <2 theta> right) dx = frac <1> <2 sqrt2> left ( frac12 theta - frac14 sin <2 theta> right) ]

Agora, para obter tudo de volta em termos de (x ).

  • ( sin <2 theta> = 2 sin < theta> cos < theta> )
  • Como (x = frac <1> < sqrt2> sin < theta> ), temos que ( sin < theta> = sqrt2 x ) e ( theta = arcsin <2 x> ).
  • De nossa simplificação do termo radical na integral original, temos ( cos < theta> = sqrt <1 - 2 x ^ 2> ).

[ frac <1> <2 sqrt2> left ( frac12 theta - frac14 sin <2 theta> right) = frac <1> <2 sqrt2> left ( frac12 ( arcsin <2 theta>) - frac14 (2 sin < theta> cos < theta>) right) ]

[= frac <1> <2 sqrt2> left ( frac12 ( arcsin <2 theta>) - frac12 ( sqrt2 x) ( sqrt <1 - 2 x ^ 2>) right) ]

Neste exemplo, temos um termo radical da forma ( sqrt ), onde (a = 2 ).

  • O termo radical torna-se ( sqrt <4 - (2 sin theta) ^ 2> = sqrt <4 - 4 sin ^ 2 theta> = 2 cos theta )
  • Para (dx ), obtemos (dx = 2 cos theta d theta ).
  • Para o limite inferior temos ( sqrt2 - 2 sin theta ), então ( theta = pi / 4 ).
  • Para o limite superior temos (2 = 2 sin theta ), então ( theta = pi / 2 ).
  • O termo denominador torna-se (x ^ 2 = (2 sin theta) ^ 2 = 4 sin ^ 2 theta ).

Substituindo tudo que recebemos

Para integrar ( cot ^ 2 theta ), usamos a identidade trigonométrica ( cot ^ 2 < theta> + 1 = csc ^ 2 theta ).

[ int_ < pi / 4> ^ < pi / 2> cot ^ 2 < theta> d theta = int_ < pi / 4> ^ < pi / 2> left ( csc ^ 2 < theta> - 1 direita) d theta = - cot theta - theta biggr rvert_ < pi / 4> ^ < pi / 2> ]

[- cot theta - theta biggr rvert_ < pi / 4> ^ < pi / 2> = (0 - pi / 2) - (-1 - pi / 4) = boxed < displaystyle 1 - frac < pi> <4>> ]

HW # 13: Área de uma elipse

Neste problema, estamos tentando encontrar a área da elipse ( displaystyle frac <9> + frac <4> = 1 ). Para tornar as coisas um pouco mais fáceis, vamos apenas encontrar a área do quarto superior direito e multiplicá-la por 4.

Primeiro, resolva para y (para a metade superior da elipse):

[ frac <9> + frac <4> = 1 Longrightarrow y = 2 sqrt <1 - frac <9 >> ]

A área da elipse será dada por

Observe que isso pode ser feito usando substituição trigonométrica. Seja (x = 3 sin theta ).

  • O termo radical torna-se ( sqrt <1 - frac <9 >> = sqrt <1 - frac <9 sin ^ 2 theta> <9 >> = sqrt <1 - sin ^ 2 theta> = cos theta )
  • O limite inferior: (0 = 3 sin theta Longrightarrow theta = 0 )
  • O limite superior: (3 = 3 sin theta Longrightarrow theta = pi / 2 )
  • O termo (dx ): (dx = 3 cos theta d theta )

Substituindo tudo que recebemos

[4 int_ <0> ^ <3> 2 sqrt <1 - frac <9 >> dx = 4 int_ <0> ^ < pi / 2> 2 (3) cos ^ 2 theta d theta = 24 int_ <0> ^ < pi / 2> cos ^ 2 theta d theta ]

Para integrar ( cos ^ 2 theta ), precisamos usar a fórmula de ângulo duplo ( cos ^ 2 theta = frac12 + frac12 cos 2 theta )

[24 int_ <0> ^ < pi / 2> cos ^ 2 theta d theta = 24 int_ <0> ^ < pi / 2> left ( frac12 + frac12 cos 2 theta right) d theta = 12 int_ <0> ^ < pi / 2> left (1 + cos 2 theta right) d theta ]

[12 int_ <0> ^ < pi / 2> left (1 + cos 2 theta right) d theta = 12 left ( theta + frac12 sin 2 theta right) biggr rvert_ <0> ^ < pi / 2> = boxed <6 pi. > ]

Todos esses exemplos usaram a substituição de seno, vamos examinar alguns usando tangente e secante.

O termo radical no denominador se ajusta a ( sqrt ), portanto, usaremos a substituição tangente.

  • O termo radical torna-se ( sqrt <16 + (4 tan theta) ^ 2> = sqrt <16 + 16 tan ^ 2 theta> = 4 sec theta )
  • O termo (dx ) torna-se (dx = 4 sec ^ 2 theta ).

Podemos simplificar um pouco aqui, escrevendo essas funções trigonométricas em termos de seno e cosseno:

[ int frac < sec theta> <16 tan ^ 2 theta> d theta = frac <1> <16> int cot theta csc theta d theta = frac <1> <16> (- csc theta) + C ]

Finalmente, reescrevemos nossa resposta em termos de (x ):

  • Nossa substituição original foi (x = 4 tan theta ). Podemos reescrever isso como ( displaystyle tan theta = frac <4> ).
  • Usando trigonometria básica, desenhamos um triângulo com [lado oposto] = (x ) e [lado adjacente] = (4 ).
  • Do teorema de Pitágoras, obtemos [hipotenusa] = ( sqrt <16 + x ^ 2> ).
  • ( csc theta ) = [hipotenusa] / [lado oposto] = ( sqrt <16 + x ^ 2> / x ).

O termo radical no numerador tem a forma ( sqrt ), então usaremos a substituição secante.

  • Seja (x = sec theta )
  • Termo radical: ( sqrt = sqrt < sec ^ 2 theta - 1> = sqrt < tan ^ 2 theta> = tan theta ).
  • (dx ) term: (dx = sec theta tan theta d theta ).
  • Limite inferior: (1 = sec theta Longrightarrow theta = 0 ).
  • Limite superior: (2 = sec theta Longrightarrow theta = pi / 3 ).

Substituindo tudo que temos

[ int_1 ^ 2 frac < sqrt > dx = int_ <0> ^ < pi / 3> frac < tan theta> < sec theta > sec theta tan theta d theta = int_ <0> ^ < pi / 3> tan ^ 2 theta d theta ]

Aplique a identidade (1 + tan ^ 2 theta = sec ^ 2 theta ):

[ int_ <0> ^ < pi / 3> tan ^ 2 theta d theta = int_ <0> ^ < pi / 3> ( sec ^ 2 theta - 1) d theta ]

Agora podemos integrar diretamente:

[ int_ <0> ^ < pi / 3> ( sec ^ 2 theta - 1) d theta = tan theta - theta biggr rvert_0 ^ < pi / 3> = boxed < sqrt3 - pi / 3> ]


Aproximação rápida de $ tanh (x) $

Este é um tipo de questão cruzada de processamento / programação / matemática de sinais. No momento, parece mais relacionado à matemática para mim, mas se os moderadores acharem que pertence a outro lugar, sinta-se à vontade para migrá-lo.

Estou trabalhando em um projeto em que limitei o poder computacional e preciso fazer uma aproximação rápida da função tangente hiperbólica em um intervalo bastante grande de argumentos de entrada. Assumindo que os números são armazenados em ponto fixo com uma parte fracionária de 8 bits, a aproximação de $ tanh (x) $ deve funcionar até o limite implícito pela resolução, ou para argumentos $ tanh ^ <-1> ( pm [ 1 - frac <1> <2 ^ 8>]) approx pm3.1 $. Sei que a série de Taylor não convergirá rápido o suficiente neste intervalo e não a examinei completamente, mas também não acredito que uma aproximação polinomial de Chebyshev convergirá com rapidez suficiente. Por vários motivos, uma consulta de tabela também não é possível.

$ tanh (x) $ é algebricamente equivalente a $ mathrm(x) (1 - frac <2> + 1>) $. Isso parece promissor, uma expansão em série de $ e ^ x $ converge melhor do que $ tanh (x) $. Para um cálculo numérico rápido em hardware limitado, o "+ 1" no denominador joga uma chave no trabalho - significa que uma divisão deve ser realizada e, uma vez que muitos processadores simples não têm "divisão de hardware", a divisão deve ser feito no software por meio de mudanças e subtrações repetidas, o que é dolorosamente lento.

Para contornar isso, estou considerando a seguinte abordagem. Em vez de usar $ mathrm(x) (1 - frac <2> + 1>) $ para representar exatamente tanh (x), defina o seguinte tipo de função semelhante: $ mathrm(x) A (1 - e ^ <- B | x |>) $ para constantes desconhecidas A e B. Em seguida, defina uma função de perda:

Em seguida, use um método numérico (gradiente descendente?) Para encontrar os valores de A e B que minimizam a perda. O problema de aproximar $ tanh (x) $ rapidamente é então convertido em aproximar $ e ^ <-x> $ rapidamente mais uma subtração extra e multiplicação.

$ e ^ <-x> = dfrac <1> = dfrac <1> <2 ^> = dfrac <2 ^ <-x>> <2 ^ y> $, onde y é a parte inteira ex é a parte fracionária. Expressar $ e ^ <-x> $ dessa maneira me permite reduzir o intervalo do argumento de entrada dividindo um número sem sinal por $ 2 ^ y $, onde y é um inteiro positivo, pode ser realizado por deslocamento lógico. Para argumentos entre 0 e -1, apenas observar uma expansão da série de Taylor de $ 2 ^ x $ parece muito bom para apenas 3 termos.

Essa abordagem parece razoável, de uma perspectiva matemática? Armadilhas que não considerei? Obrigado por qualquer conselho.

Edit: Devo acrescentar que neste aplicativo (processamento de áudio) estou disposto a negociar a precisão absoluta do valor calculado em troca de velocidade de processamento e uma função que funciona "razoavelmente" bem em toda a gama de argumentos de entrada - o o valor de retorno para cada argumento na aproximação não precisa ser preciso até o limite de $ 2 ^ <-8> $ implícito na resolução.


Amplitude, período e frequência

Algo que se repete uma vez por segundo tem um período de 1 s. Ele também tem uma frequência de # 1 / s #. Um ciclo por segundo recebe um nome especial Hertz (Hz). Você também pode dizer que tem uma frequência de 1 Hz.

Uma função sin se repete regularmente. Sua frequência (e período) pode ser determinado quando escrito desta forma:

Responder:

#color (vermelho) ("Ponto" = 1 / "Frequência" ou "T = 1 / f #

Explicação:

A frequência é o número de ocorrências de um evento repetido por unidade de tempo.

É também conhecida como frequência temporal, que enfatiza o contraste entre a frequência espacial e a frequência angular.

O período é a duração de um ciclo em um evento repetido, portanto, o período é o recíproco da frequência.

A relação entre o período e a frequência é a seguinte:

A frequência de uma onda descreve o número de ciclos completos que são completados durante um determinado período de tempo.

Como tal, frequência é uma quantidade de taxa que descreve a taxa de oscilações ou vibrações ou ciclos ou ondas por segundo.

Uma unidade comum de frequência é o Hertz, abreviado como Hz.

#color (vermelho) ("Frequência" = 1 / "Período" #

f = c / λ = velocidade da onda c (m / s) / comprimento de onda λ (m).


0.3: Trigonometria - Matemática

Os recursos nesta página destinam-se a ajudar os alunos que ingressam nos cursos de cálculo da Brown University (particularmente Matemática 90, mas também potencialmente Matemática 100/170/190) a aprimorar sua trignometria (se necessário). Este módulo de "treinamento" consiste em uma revisão de conteúdo, um conjunto de problemas práticos e soluções de vídeo para esses problemas. Você pode usá-los da maneira que achar útil, mas é mais provável que a solução dos problemas seja útil do que observar passivamente a revisão e as soluções.

Observe que esta é uma revisão concisa destinada a alunos que já estudaram trigonometria e que se esqueceram do material ou não o compreenderam totalmente da primeira vez. Os alunos que nunca viram trigonometria antes podem se sair melhor fazendo Matemática 50 e 60 (uma versão de dois semestres do Matemática 90 que inclui trigonometria e outros tópicos de pré-cálculo) ou obtendo um livro sobre trigonometria e estudando o material independentemente.

Revisão de conteúdo

O vídeo de revisão de conteúdo (42 minutos) está postado no Youtube aqui.

Se não quiser ouvir minha voz, você pode conferir os slides usados ​​para produzir o vídeo (em formato PDF) aqui. Lembre-se que alguns pontos podem ser esclarecidos e / ou elaborados no vídeo, então se algo nos slides não fizer sentido, pode ajudar assistir a parte correspondente do vídeo.

Pratica exercícios

A planilha de problemas práticos pode ser baixada aqui.

Soluções

As respostas para os problemas de prática podem ser baixadas aqui.

O vídeo das soluções (47 minutos) está postado no Youtube aqui. A folha de respostas acima inclui um carimbo de data / hora para cada resposta que você pode pular para esse ponto no vídeo de soluções se desejar ver uma solução específica.


Razões trigonométricas


Fonte da imagem: http://www.fanpop.com

O Teorema de Pitágoras e a trigonometria foram os principais métodos matemáticos usados ​​para ajudar a construir as pirâmides.

Pitágoras olhou para a relação dos lados, e pessoas como Hipparcus olharam para a relação entre os ângulos e os lados.

Eles nomearam Angles and Sides mathematics & # 8220Trigonometry & # 8221.


Copyright da imagem 2013 por Passy & # 8217s World of Mathematics

Nesta lição, examinamos as & # 8220Rácios trigonométricos & # 8221 associados aos triângulos retos.

Esta lição assume que as pessoas já sabem como rotular os lados da trigonometria de um triângulo direito como Hopenuse, Oposto e Adjacente.

Se você não sabe como fazer essa etiquetagem de lados, vá e faça nossa lição anterior sobre isso no link abaixo.

Exemplo de proporções trigonométricas

Hipparcus e outros matemáticos antigos descobriram que, quando temos triângulos retos semelhantes, (todos com o mesmo ângulo de base), obtemos as razões dos lados internos idênticos.


Copyright da imagem 2013 por Passy & # 8217s World of Mathematics

O acima é apenas um exemplo para um triângulo de base de 37 graus, entretanto, verificou-se que este conceito funciona para qualquer tamanho de ângulo de base.

Além disso, o exemplo acima olha apenas para a altura versus a base dos triângulos, mas existem cinco outras comparações que também podemos fazer.

O conjunto completo de seis razões trigonométricas é mostrado na próxima seção.

Um Triângulo Direito tem três lados: Hipotenusa, Oposto e Adjacente.

Se você não sabe como fazer essa etiquetagem de lados, vá e faça nossa lição anterior sobre isso no link abaixo.


Copyright da imagem 2013 por Passy & # 8217s World of Mathematics

As seis razões trigonométricas que podemos fazer para um Triângulo Direito têm nomes matemáticos especiais, conforme mostrado na Tabela a seguir.


Copyright da imagem 2013 por Passy & # 8217s World of Mathematics

Também temos seis expressões matemáticas que abreviam esses seis nomes e expressam as relações trigonométricas de forma abreviada.


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No restante desta lição, examinaremos apenas três dessas seis proporções: Seno, Cosseno e Tangente.

Para ajudar a memorizar as três relações de trigonometria de seno, cosseno e tangente, é usado o acrônimo & # 8220SOH & # 8211 CAH & # 8211 TOA & # 8221.


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Vídeos de proporções trigonométricas

Aqui está um pequeno vídeo de dois minutos e meio que mostra as relações seno, cosseno e tangente.

O próximo vídeo de dezessete minutos percorre as relações de trigonometria e calcula vários triângulos de exemplo.

Neste primeiro exemplo, recebemos um Triângulo Direito com os lados rotulados e alguns valores numéricos para esses lados.

Em seguida, usamos SOH-CAH-TOA para escrever a fração e os valores decimais para Sin, Cos e Tan para o ângulo de 37 graus que está no Triângulo Direito.


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Neste próximo exemplo, os lados não são rotulados e somos solicitados a encontrar o valor Tan do ângulo desconhecido teta.

Usando SOH-CAH-TOA, o valor Tan é obtido colocando o valor do lado oposto sobre o valor do lado adjacente.


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Nosso próximo exemplo tem o valor Cos dado a nós e temos que usá-lo para calcular o lado Adjacente desconhecido do Triângulo.


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O próximo exemplo é semelhante ao exemplo anterior, mas estamos usando o valor Sine fornecido para calcular o & # 8220Opposite Side & # 8221 desconhecido.


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Este exemplo final tem um valor Cos fornecido, mas é para o ângulo superior do Triângulo.

Precisamos rotular o Triângulo e, em seguida, usar Cos = Adjacente / Hipotenusa para descobrir o lado Adjacente desconhecido & # 8220a & # 8221.


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Podemos usar um conjunto de três pirâmides para obter todas as nossas Fórmulas de Razão de Trig.

Algumas pessoas podem achar útil configurar as seguintes Pirâmides de Fórmula SOH-CAH-TOA e usá-las para obter fórmulas.


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As Pirâmides certamente fornecem uma versão muito mais compacta do conjunto completo de Fórmulas Trig Ratios.


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As pirâmides podem ser feitas em três etapas simples:


Copyright da imagem 2013 por Passy & # 8217s World of Mathematics

Na segunda etapa, dividimos cada pirâmide em três, regendo uma linha horizontal para formar um triângulo semelhante menor no topo

Em seguida, dividimos a metade inferior da forma trapezoidal em metade.

Na terceira etapa, escrevemos SOH CAH TOA em nossas pirâmides, trabalhando da esquerda para a direita.

O diagrama a seguir mostra como as coisas devem ficar após a conclusão das etapas 2 e 3.


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Por mais que amemos o Egito e as pirâmides, NÃO inventamos essas pirâmides SOH-CAH-TOA aqui no Passy World.

Recentemente, vimos um professor de matemática usá-los e também encontramos fotos e explicações sobre eles na Internet.

Folha de resumo de trigonometria


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Se você quiser uma Folha de Resumo A4 gratuita que fornece todas as fórmulas Sin Cos e Tan que usamos em Trig Ratios, clique no link abaixo.

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O great_circle_midpoint () é apenas um caso especial de

Onde $ way é um valor de zero ($ theta0, $ phi0) a um ($ theta1, $ phi1). Observe que os pontos antípodais (onde sua distância é pi radianos) não têm waypoints entre eles (eles teriam um & quotequator & quot entre eles) e, portanto, undef é retornado para pontos antípodas. Se os pontos são iguais e a distância, portanto, zero e todos os waypoints, portanto, idênticos, o primeiro ponto (qualquer um dos pontos) é retornado.

Os thetas, phis, direção e distância acima estão todos em radianos.

Você pode importar todas as fórmulas do grande círculo por

Observe que as direções resultantes podem ser um tanto surpreendentes se você estiver olhando para um mapa mundial plano: em tais projeções de mapa, os grandes círculos muitas vezes não parecem as rotas mais curtas - mas, por exemplo, as rotas mais curtas possíveis da Europa ou América do Norte para a Ásia cruzam frequentemente as regiões polares. (A projeção comum de Mercator faz não mostram grandes círculos como linhas retas: as linhas retas na projeção de Mercator são linhas de direção constante.)


(3-0-3)
Pré-requisito: (MATH 30530 e (MATH 20750 ou MATH 30650) e (MATH 30750 ou MATH 30850)) ou FIN 30600 ou FIN 70670
Uma introdução aos problemas econômicos financeiros usando métodos matemáticos, incluindo a decisão da carteira de um investidor e a determinação do preço de equilíbrio das ações em tempo discreto e contínuo, será discutida. O preço de títulos derivativos em tempo contínuo, incluindo várias opções de ações e taxas de juros, também será incluído. Projetos que refletem os interesses e experiências dos alunos são parte integrante deste curso.

(3-0-3)
Este curso permite que os alunos desenvolvam um tópico especial em matemática avançada. É oferecido como parte do SUMR (Seminário de Iniciação Científica em Matemática). É necessário o consentimento do Diretor de Graduação em Matemática.


Assista o vídeo: TRIGONOMETRIA - Triângulo Retângulo - Exercício 16 - Valores de Seno, Cosseno e Tangente (Novembro 2021).