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8.1: Equações de Laplace - Matemática


Introdução

A seguinte equação diferencial parcial é chamada de equação de Laplace bidimensional:
begin {equation} displaystyle frac { partial ^ {2} w} { parcial x ^ {2}} + frac { parcial ^ {2} w} { parcial y ^ {2}} = 0 label {laplace} end {equation}

onde (w (x, y) ) é a função desconhecida com duas variáveis ​​ (x ) e (y ). O problema é encontrar uma solução para esta equação, a saber, encontrar uma função (w (x, y) ) que satisfaça a Equação ref {laplace}. Esta equação é usada para modelar várias quantidades físicas.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Seja (k ) um número real. Mostre que as funções (w = e ^ {kx} cos (ky) ) e (w = e ^ {kx} sin (ky) ) satisfazem a Equação de lapalce ref {laplace} em cada ponto em ( mathbb {R ^ 2} ).

Solução

Seja (w = e ^ {kx} cos (ky) ). Então nós temos,
(
dfrac { parcial w} { parcial x} = ke ^ {kx} cos (ky), dfrac { parcial w} { parcial y} = - ke ^ {kx} sin (ky), )
o que implica ( displaystyle frac { partial ^ {2} w} { partial x ^ {2}} = k ^ {2} e ^ {kx} cos (ky), displaystyle frac { parcial ^ {2} w} { parcial y ^ {2}} = - k ^ {2} e ^ {kx} cos (ky) ).

Considere ( displaystyle frac { partial ^ {2} w} { partial x ^ {2}} + frac { partial ^ {2} w} { partial y ^ {2}} = k ^ { 2} e ^ {kx} cos (ky) -k ^ {2} e ^ {kx} cos (ky) = 0 ).

Portanto, que a função (w = e ^ {kx} cos (ky) ) satisfaz a Equação ref {laplace}. Da mesma forma, a função (w = e ^ {kx} sin (ky) ) satisfaz a Equação ref {laplace}.

Definição

Uma função (w (x, y) ) de duas variáveis ​​tendo derivadas secundárias parciais contínuas em uma região do plano é considerada harmônica se satisfizer a Equação de Laplace ref {laplace}.

Exercício ( PageIndex {1} )

Mostre que ( ln (y ^ 2 + x ^ 2) ) é hamornic em todos os lugares, exceto na origem.

Convertendo a equação de Laplace em coordenadas polares

Considere a transformação em coordenadas polares, (x = r cos ( theta), y = r sin ( theta), ) implica que (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) e ( tan ( theta) = y / x. ) Podemos usar essas equações para expressar ( dfrac { parcial ^ 2w} { parcial x ^ 2} + dfrac { parcial ^ 2w} { parcial y ^ 2} ) em termos de parciais de (w ) em relação a (r ) e ( theta. )


Equação de Laplace

Isso é chamado de equação de Poisson, uma generalização da equação de Laplace. A equação de Laplace e a equação de Poisson são os exemplos mais simples de equações diferenciais parciais elípticas. A equação de Laplace também é um caso especial da equação de Helmholtz.

A teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial. As soluções da equação de Laplace são as funções harmônicas, [1] que são importantes em vários ramos da física, notadamente eletrostática, gravitação e dinâmica de fluidos. No estudo da condução de calor, a equação de Laplace é a equação do calor em estado estacionário. [2] Em geral, a equação de Laplace descreve situações de equilíbrio, ou aquelas que não dependem explicitamente do tempo.


MWF 11h-11h50 (Face-Face Lewis 304)

T 11h - 11h50 (WeBeX online)

T é apenas mais uma palestra, mas online.

Classificação: A% do curso é determinada por:

Meio do semestre 1 M1 100
Midterm 2 M2 100
Final F 100
Questionários Q 100
________________________________
400

A final não é abrangente.
Seis questionários valendo 20 pontos cada
será dado. Seus 5 melhores quiz
pontuações determinam Q acima.

As pontuações dos exames e questionários serão
postado em D2L.

As datas dos exames e questionários são indicadas
no programação abaixo. O conteúdo deles
será anunciado em aula e
postado abaixo

Todos os exames / questionários são de livro fechado.

Sem aparelhos / telefones eletrônicos
são permitidos.

Programa de Estudos: O material coberto no texto é de:

Capítulo 1 Definições introdutórias
Capítulo 2 Métodos ODE de primeira ordem
Capítulo 3 Modelos de primeira ordem
Capítulo 4 Métodos ODE lineares de segunda ordem
Capítulo 6 Equações diferenciais de ordem superior
Capítulo 7 Transformações de Laplace
Capítulo 9 Sistemas Lineares

Trabalho de casa: Sugerido o dever de casa está listado abaixo.

Embora o dever de casa seja não classificado
é representativo dos tipos de
perguntas que estarão em questionários
e exames.

Folhetos de revisão e palestras adicionais
as notas serão postadas em D2L debaixo
"Conteúdo" à medida que o curso se desenvolve.



Cronograma

Sugestão de lição de casa e plano de estudos

Final: Quarta. 28 de abril, 11h00-11h50

Lews Hall 304 (aula regular)

Capítulo 9: descrição abaixo

Revise os problemas postados no D2L

Exame e Quiz Descrições de conteúdo:

Definições básicas (linear, ordem.), Soluções explícitas e implícitas de equações diferenciais, verificando y (x) é uma solução, encontrando o EDO para soluções implícitas, equações separáveis ​​e resolvendo Problemas de Valor Inicial (PIV). NÃO haverá nada sobre o problema do corpo em queda em (2.1) nem o método da série de Taylor no Capítulo 1.

saber separáveis, lineares, exatos, homogêneos, definições de Bernoulli e técnicas de solução. Uma pergunta será um gráfico onde você decide se um Bernoulli exato é linear, homogêneo, separável. Três questões serão soluções diretas de EDOs de primeira ordem dos tipos acima mencionados.

Matrizes fundamentais, soluções gerais e resolução de problemas de valor inicial. Para a matriz A 2 por 2, encontrar uma solução geral de x '= Ax onde A tem i) autovalores reais distintos, autovalores complexos e autovalores repetidos reais

O exame cobrirá o material das seguintes seções do livro:

  1. Seção 1.1 Definições e teoria de ODE
  2. Seção 1.2 Soluções explícitas / implícitas de IVP, exclusividade de existência
  3. Seção 2.2 Equações separáveis
  4. Seção 2.3 Equações Lineares
  5. Seção 2.4 Equações Exatas
  6. Seção 2.6 Equações homogêneas e equações de Bernoulli apenas
  7. Seção 3.2 Problemas de mistura (sem problemas de população)
  8. Seção 3.4 Mecânica Newtoniana - corpos caindo, fricção, foguetes
  • Você terá que resolver uma equação separável, linear, exata, homogênea e de Bernoulli. Isso constitui a maior parte do exame (cerca de 70%)
  • Haverá um problema de aplicação: apenas um problema de mistura (15%)
  • Haverá não perguntas sobre outras aplicações: Mecânica Newtoniana, Circuitos.
  • Uma pergunta exigirá que você categorize os tipos de equações diferenciais (15%).
  • Os exemplos de problemas postados no D2L são uma boa indicação do nível de dificuldade dos problemas.

Descrição do conteúdo do meio do semestre 2

O exame cobrirá o material das seguintes seções do livro: 4.2-4.7, 4.9

  1. Coeficiente constante de 2ª ordem homogêneo y h (t)
  2. Coeficiente constante de 3ª ordem homogêneo y h (t) com uma solução conhecida (ver folha de revisão)
  3. Coeficiente constante de 2ª ordem: Método de coeficientes indeterminados para y p (t)
  4. Soluções Gerais y (t) = y h (t) + y p (t), Problemas de valor inicial, Wronskian para independência
  5. Cauchy Euler 2ª Ordem homogênea y h (t)
  6. Método de variação do parâmetro para y p (t) - formulário padrão.
  7. Redução da ordem: solução homogênea y 2 (t) de dado y homogêneo 1 (t)
  8. Vibrações mecânicas: Fase de amplitude Forma y = A sin (wt + phi) para sem caso de atrito
  • Haverá um problema de amplitude-fase (10-15%). Na verdade, haverá uma pergunta de cada ponto 1-8 acima, com a única exceção possível de 2.
  • Os exemplos de problemas de revisão publicados em D2L são uma boa indicação do nível de dificuldade dos problemas, mas esta ficha tem apenas um problema de amplitude-fase.
  • Nota: Coeficientes indeterminados são SOMENTE para L (y) = ay '' + por '+ cy = f e não L (y) = ax 2 y' '+ bxy' + cy = f
  • Não haverá perguntas sobre a Transformação de Laplace

Final: descrição do conteúdo

Quarta-feira, 28 de abril - 11h00-11h50 no Lewis Hall 304 (local da classe regular)

Material das seções 9.4-9.8 do livro didático

Assuntos abordados

  • Sistemas: Independência, Wronskian, Matriz Fundamental X (t)
  • Sistemas: Solução Geral para sistemas homogêneos / não homogêneos
  • Sistemas: resolvendo problemas de valor inicial usando a matriz fundamental X (t)
  • Sistemas: Constante A (2x2): autovalores reais distintos
  • Sistemas: Constante A (2x2): autovalores reais repetidos
  • Sistemas: Constante A (2x2): autovalor complexo
  • Sistemas: Variação de Parâmetros

Mark Pernarowski
professor adjunto
Departamento de Ciências Matemáticas
Montana State University
Bozeman, MT 59717


8.1: Equações de Laplace - Matemática

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Editor de Expressão Matemática

Dado, a transformada de Laplace de alguma função, estudamos técnicas para recuperar a função.

A Transformada Inversa de Laplace

Definição da Transformada Inversa de Laplace

Na Trincheira 8.1, definimos a transformada de Laplace de por. Também diremos que é um Transformada de Laplace inversa de, e escrever Para resolver equações diferenciais com a transformada de Laplace, devemos ser capazes de obter a partir de sua transformada. Existe uma fórmula para fazer isso, mas não podemos usá-la porque requer a teoria das funções de uma variável complexa. Felizmente, podemos usar a tabela de transformações de Laplace para encontrar as transformações inversas de que precisaremos.

item: 8.2.1b A configuração no par de transformação mostra que

O próximo teorema nos permite encontrar transformadas inversas de combinações lineares de transformadas na tabela. Omitimos a prova.

Transformações Laplace inversas de funções racionais

Usar a transformada de Laplace para resolver equações diferenciais frequentemente requer encontrar a transformada inversa de uma função racional onde e são polinômios sem fatores comuns. Uma vez que pode ser mostrado que if é uma transformada de Laplace, precisamos apenas considerar o caso em que. Para obter, encontramos a expansão da fração parcial de, obtemos as transformadas inversas dos termos individuais na expansão da tabela das transformadas de Laplace e usamos a propriedade de linearidade da transformada inversa. Os próximos dois exemplos ilustram isso.

O atalho empregado na segunda solução do exemplo de exemplo: 8.2.4 é o método de Heaviside. O próximo teorema afirma este método formalmente.

O lado esquerdo de (eq: 8.2.12) sugere que consideremos obter e obter. Agora podemos escolher qualquer terceiro valor de para determinar. Obtendo rendimentos. Desde e isso implica isso. Portanto e

Alguns pacotes de software que fazem álgebra simbólica podem localizar facilmente expansões de fração parcial. Recomendamos que você use esse pacote, se houver algum disponível para você, mas somente depois de ter feito expansões de fração parcial suficientes por conta própria para dominar a técnica.

Fonte do Texto

Trench, William F., ”Elementary Differential Equations” (2013). Livros e CDs de autoria e edição do corpo docente. 8. (CC-BY-NC-SA)


8.1: Equações de Laplace - Matemática

Este curso é uma introdução especial às equações diferenciais. Cobriremos a maior parte do material do curso padrão, bem como alguns tópicos adicionais. Nosso foco principal será estudar sistemas lineares e, em seguida, usar esse conhecimento para estudar o comportamento qualitativo de sistemas não lineares.

As palestras são de segunda e quarta-feira, das 12h às 13h15, em Krieger 308. A seção se reúne na sexta-feira, das 12h às 12h50, em Krieger 308.

Os conjuntos de problemas serão entregues na aula às quartas-feiras - consulte a programação abaixo para as datas. Nenhum trabalho de casa atrasado será aceito. A nota mais baixa do dever de casa será descartada.

Horário de atendimento: Alex Grounds: segunda-feira, das 15h às 16h. Jacob Bernstein: terça-feira, das 15h às 16h ou mediante agendamento.

Referências

  • M. W. Hirsch, S. Smale e R. Devaney, "Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos," 3rd Ed. (Obrigatório)
  • W. Boyce e R. DiPrima, "Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems", 10ª Ed. (referência opcional)

Exames

Haverá três exames. Dois exames intermediários e um final.

As datas dos exames são: Primeiro Período: Quarta-feira, 8 de outubro. Segundo Período: Quarta, 5 de novembro. Exame Final: Quarta, 17 de dezembro, 9h-12h.

Informática

Embora não seja essencial para o curso, ser capaz de traçar soluções com a ajuda de um computador pode ajudar muito na sua compreensão. Como aluno do Hopkins, você tem direito a uma cópia gratuita do Mathematica, que possui todas as ferramentas (e muito mais!) Para fazer isso. As instruções sobre como obter sua cópia estão aqui. Se você quiser usar algo com uma curva de aprendizado menos acentuada, você pode encontrar um miniaplicativo Java online que plota campos de declive e soluções aqui. Consulte esta página se estiver tendo problemas para executar o miniaplicativo.


8.1: Equações de Laplace - Matemática

A próxima equação diferencial parcial que vamos resolver é a equação de Laplace 2-D,

Uma pergunta natural a se fazer antes de começarmos a aprender como resolver isso é esta equação surge naturalmente em algum lugar? A resposta é um sim retumbante! Se considerarmos a equação de calor 2-D,

Podemos ver que a equação de Laplace corresponderia a encontrar a solução de equilíbrio (ou seja, solução independente do tempo) se não houver fontes. Então, essa é uma equação que pode surgir de situações físicas.

Como resolvemos a equação de Laplace dependerá da geometria do objeto 2-D no qual estamos resolvendo. Vamos começar resolvendo no retângulo dado por (0 le x le L ), (0 le y le H ). Para esta geometria, a equação de Laplace junto com as quatro condições de contorno serão,

Uma das coisas importantes a se notar aqui é que, ao contrário da equação do calor, não teremos nenhuma condição inicial aqui. Ambas as variáveis ​​são variáveis ​​espaciais e cada variável ocorre em uma derivada de 2ª ordem e, portanto, precisaremos de duas condições de contorno para cada variável.

A seguir, vamos notar que, embora a equação diferencial parcial seja linear e homogênea, as condições de contorno são apenas lineares e não são homogêneas. Isso cria um problema porque a separação de variáveis ​​requer condições de contorno homogêneas.

Para resolver completamente a equação de Laplace, teremos de resolvê-la quatro vezes. Cada vez que o resolvemos, apenas uma das quatro condições de contorno pode ser não homogênea, enquanto as três restantes serão homogêneas.

Os quatro problemas são provavelmente mais bem mostrados com um esboço rápido, então vamos considerar o esboço a seguir.

Agora, depois de resolvermos todos esses quatro problemas, a solução para nosso sistema original, ( eqref), será,

Porque sabemos que a equação de Laplace é linear e homogênea e cada uma das peças é uma solução para a equação de Laplace, então a soma também será uma solução. Além disso, isso irá satisfazer cada uma das quatro condições de contorno originais. Vamos verificar o primeiro e deixar o resto para você verificar.

[Você saiu( direita) = deixou( direita) + deixou( direita) + deixou( direita) + deixou( direita) = left (x right) + 0 + 0 + 0 = left (x right) ]

Em cada um desses casos, a única condição de contorno não homogênea ocupará o lugar da condição inicial nos problemas de equação de calor que resolvemos algumas seções atrás. Aplicaremos a separação de variáveis ​​a cada problema e encontraremos uma solução de produto que satisfaça a equação diferencial e as três condições de contorno homogêneas. Usando o Princípio da Superposição, encontraremos uma solução para o problema e, em seguida, aplicaremos a condição de contorno final para determinar o valor da (s) constante (s) que sobraram no problema. O processo é quase idêntico em muitos aspectos ao que fizemos quando estávamos resolvendo a equação do calor.

Faremos dois dos casos aqui e deixaremos os dois restantes para você fazer.

Começaremos assumindo que nossa solução estará na forma,

[deixou( direita) = h esquerda (x direita) varphi esquerda (y direita) ]

e então lembre-se de que realizamos a separação de variáveis ​​neste problema (com uma pequena mudança na notação) no Exemplo 5 da seção Separação de Variáveis. Portanto, a partir desse problema, sabemos que a separação de variáveis ​​produz as seguintes duas equações diferenciais ordinárias que precisaremos resolver.

[começar & frac <<h >> <<>>> - lambda h = 0 & hspace <0.25in> & frac << varphi >> <<>>> + lambda varphi = 0 & h left (L right) = 0 & hspace <0.25in> & varphi left (0 right) = 0 hspace <0.25in> varphi esquerda (H direita) = 0 fim]

Observe que, neste caso, ao contrário da equação do calor, devemos primeiro resolver o problema do valor limite. Sem saber o que é ( lambda ), não há como resolver a primeira equação diferencial aqui com apenas uma condição de contorno, pois o sinal de ( lambda ) afetará a solução.

Notemos também que resolvemos o problema do valor limite no Exemplo 1 de Resolvendo a Equação de Calor e, portanto, não há razão para resolvê-lo aqui. Levando em consideração uma mudança de letras, os autovalores e autofunções para o problema de valor de contorno aqui são,

Agora que sabemos quais são os autovalores, vamos escrever a primeira equação diferencial com ( lambda ) conectado.

Como o coeficiente de (h left (x right) ) na equação diferencial acima é positivo, sabemos que a solução para isso é,

No entanto, isso não é realmente adequado para lidar com a condição de contorno (h left (L right) = 0 ). Então, vamos também notar que o seguinte também é uma solução.

Você deve verificar isso conectando-o à equação diferencial e verificando se é de fato uma solução. Aplicar a condição de limite solitário a esta solução "deslocada" dá,

A solução para a primeira equação diferencial é agora,

e isso é o mais longe que podemos ir com isso, porque tínhamos apenas uma única condição de contorno. Isso não é realmente um problema, no entanto, porque agora temos informações suficientes para formar a solução do produto para esta equação diferencial parcial.

Uma solução de produto para esta equação diferencial parcial é,

O Princípio da Superposição, então, nos diz que uma solução para a equação diferencial parcial é,

e esta solução irá satisfazer as três condições de contorno homogêneas.

Para determinar as constantes, tudo o que precisamos fazer é aplicar a condição de contorno final.

Agora, nos problemas anteriores que fizemos, isso foi claramente uma série de Fourier de algum tipo e de fato ainda é. A diferença aqui é que os coeficientes da série senoidal de Fourier são agora,

em vez de apenas (). Podemos ficar um pouco mais tentados a usar a ortogonalidade dos senos para derivar fórmulas para o (), no entanto, ainda podemos reutilizar o trabalho que fizemos anteriormente para obter fórmulas para os coeficientes aqui.

Lembre-se de que uma série de seno de Fourier é apenas uma série de coeficientes (dependendo de (n ) vezes um seno. Ainda temos isso aqui, exceto os "coeficientes" são um pouco mais confusos desta vez do que o que vimos quando tratamos pela primeira vez Série de Fourier. Portanto, os coeficientes podem ser encontrados usando exatamente a mesma fórmula da seção da série senoidal de Fourier de uma função em (0 le y le H ), só precisamos ter cuidado com os coeficientes.

As fórmulas para o () estão um pouco bagunçados desta vez em comparação com os outros problemas que fizemos, mas eles não são realmente tão bagunçados.

Ok, vamos resolver um dos outros problemas aqui para que possamos fazer alguns pontos.

Ok, pela primeira vez, encontramos um problema em que não havíamos feito a separação de variáveis ​​anteriormente, então vamos examinar isso. Vamos assumir que a solução está na forma,

[deixou( direita) = h esquerda (x direita) varphi esquerda (y direita) ]

Vamos aplicar isso às condições de contorno homogêneas primeiro, pois precisaremos delas assim que chegarmos ao ponto de escolher a constante de separação. Vamos permitir que você verifique se as condições de limite se tornam,

[h left (0 right) = 0 hspace <0.25in> h left (L right) = 0 hspace <0.25in> varphi left (0 right) = 0 ]

A seguir, conectaremos a solução do produto na equação diferencial.

Agora, neste ponto, precisamos escolher uma constante de separação. Temos duas condições de contorno homogêneas em (h ), então vamos escolher a constante para que a equação diferencial para (h ) produza um problema de valor de contorno familiar, de modo que não precisamos refazer nenhum trabalho. Neste caso, ao contrário do () caso, vamos precisar de (- lambda ).

Este é um bom problema porque ilustra claramente que às vezes você precisa de ( lambda ) como uma constante de separação e outras vezes você precisa de (- lambda ). Não apenas isso, mas às vezes basta uma pequena mudança nas condições de contorno para forçar a mudança.

Então, depois de adicionar a constante de separação, obtemos,

e duas equações diferenciais ordinárias que obtemos deste caso (junto com suas condições de contorno) são,

Agora, como observamos acima, quando estávamos decidindo com qual constante de separação trabalhar, já resolvemos o primeiro problema de valor limite. Assim, os autovalores e autofunções para o primeiro problema de valor de contorno são,

A segunda equação diferencial é então,

Como o coeficiente do ( varphi ) é positivo, sabemos que uma solução para isso é,

Neste caso, ao contrário do exemplo anterior, não precisaremos usar uma versão deslocada da solução porque isso funcionará muito bem com a condição de contorno que temos para isso. Então, aplicando a condição de contorno a isso,

e essa solução se torna,

A solução do produto para este caso é então,

A solução para esta equação diferencial parcial é, então,

Finalmente, vamos aplicar a condição de contorno não homogênea para obter os coeficientes para esta solução.

Como esperamos, esta é novamente uma série senoidal de Fourier (embora nem sempre seja um seno) e, portanto, usando o trabalho feito anteriormente em vez de usar a ortogonalidade dos senos para vermos que,

Ok, trabalhamos em dois dos quatro casos que precisariam ser resolvidos para resolver completamente ( eqref). Como vimos, cada caso era muito semelhante, mas também tinha algumas diferenças. Vimos o uso de ambas as constantes de separação e às vezes precisamos usar uma solução “deslocada” para lidar com uma das condições de contorno.

Antes de prosseguirmos, vamos observar que usamos as condições de limite de temperatura prescritas aqui, mas poderíamos simplesmente ter usado as condições de limite de fluxo prescritas ou uma mistura das duas. Não importa que tipo de condições de contorno tenhamos, eles funcionarão da mesma forma.

Como um exemplo final nesta seção, vamos dar uma olhada na solução da equação de Laplace em um disco de raio (a ) e uma temperatura prescrita no limite. Como agora estamos em um disco, faz sentido que provavelmente devamos resolver esse problema em coordenadas polares e, portanto, a primeira coisa que precisamos fazer é escrever a equação de Laplace em termos de coordenadas polares.

A equação de Laplace em termos de coordenadas polares é,

Ok, isso é muito mais complicado do que a forma cartesiana da equação de Laplace e adicionará algumas complexidades ao processo de solução, mas não é tão ruim quanto parece. O principal problema que temos aqui realmente é o fato de que temos uma única condição de contorno. Nomeadamente,

[Você saiu( direita) = f esquerda ( theta direita) ]

Isso especifica a temperatura no limite do disco. Vamos claramente precisar de mais três condições, no entanto, uma vez que temos uma 2ª derivada em (r ) e ( theta ).

Quando resolvemos a equação de Laplace em um retângulo, usamos condições nos pontos finais do intervalo de cada variável e, portanto, faz algum sentido aqui que provavelmente deveríamos precisar do mesmo tipo de condições aqui também. O intervalo em nossas variáveis ​​aqui são,

[0 le r le a hspace <0.25in> - pi le theta le pi ]

Observe que os limites em ( theta ) são um tanto arbitrários aqui e são escolhidos por conveniência aqui. Qualquer conjunto de limites que cubra o disco completo funcionará, no entanto, como veremos com esses limites, teremos outro problema familiar de valor de limite surgindo. A melhor escolha aqui geralmente não é conhecida até que a separação das variáveis ​​seja feita. Nesse ponto, você pode voltar e fazer suas escolhas.

Ok, agora precisamos de condições para (r = 0 ) e ( theta = pm , pi ). Primeiro, observe que a equação de Laplace em termos de coordenadas polares é singular em (r = 0 ) (ou seja, obtemos divisão por zero). No entanto, sabemos por considerações físicas que a temperatura deve permanecer finita em todos os lugares do disco e, portanto, vamos impor a condição de que,

Isso pode parecer uma condição estranha e definitivamente não está em conformidade com as outras condições de contorno que vimos até este ponto, mas funcionará para nós como veremos.

Agora, para as condições de contorno para ( theta ), faremos algo semelhante ao que fizemos para a equação de cabeça 1-D em um anel fino. Os dois limites em ( theta ) são realmente apenas lados diferentes de uma linha no disco, então vamos usar as condições periódicas aí. Em outras palavras,

Com tudo isso resolvido, vamos resolver a equação de Laplace em um disco de raio (a ).

Neste caso, vamos supor que a solução estará na forma,

[Você saiu( direita) = varphi esquerda ( theta direita) G esquerda (r direita) ]

Conectar isso às condições de contorno periódicas dá,

Agora vamos conectar a solução do produto na equação diferencial parcial.

Isso é definitivamente mais uma bagunça do que vimos até este ponto quando se trata de separar variáveis. Nesse caso, simplesmente dividir pela solução do produto, embora ainda seja necessário, não será suficiente para separar as variáveis. Também teremos que multiplicar por () para separar completamente as variáveis. Então, fazendo tudo isso, movendo cada termo para um lado do sinal de igual e a introdução de uma constante de separação dá,

Usamos ( lambda ) como a constante de separação desta vez para obter a equação diferencial de ( varphi ) para corresponder a uma que já fizemos.

As equações diferenciais ordinárias que obtemos são, então,

Agora, resolvemos o problema do valor de contorno acima no Exemplo 3 da seção Valores próprios e funções próprias do capítulo anterior e, portanto, não há razão para refazê-lo aqui. Os autovalores e autofunções para este problema são,

Conectando isso à primeira equação diferencial ordinária e usando a regra do produto na derivada que obtemos,

Esta é uma equação diferencial de Euler e por isso sabemos que as soluções serão na forma (G left (r right) = ) desde que (p ) seja uma raiz de,

Então, porque o caso (n = 0 ) produzirá uma raiz dupla, contra duas raízes reais distintas se (n ne 0 ), temos dois casos aqui. Eles estão,

Agora precisamos lembrar a condição que ( left | certo | & lt infty ). Cada uma das soluções acima terá (G left (r right) to infty ) como (r to 0 ) Portanto, para atender a esta condição de contorno, devemos ter ( = < overline_2> = 0).

Portanto, a solução se reduz a,

[G left (r right) = hspace <0.25in> n = 0,1,2,3, ldots ]

e observe que, com o fim do segundo termo, podemos combinar as duas soluções em uma única solução.

Portanto, temos duas soluções de produtos para esse problema. Eles estão,

Nossa solução é então a soma de todas essas soluções ou,

Aplicando nossa condição de contorno final a isso dá,

Esta é uma série completa de Fourier para (f left ( theta right) ) no intervalo (- pi le theta le pi ), ou seja, (L = pi ). Observe também que mais uma vez os “coeficientes” da série de Fourier são um pouco mais confusos do que o normal, mas não tão confusos como quando estávamos trabalhando em um retângulo acima. Poderíamos mais uma vez usar a ortogonalidade dos senos e cossenos para derivar fórmulas para o () e () ou podemos apenas usar as fórmulas da seção da série de Fourier para obter,

Ao resolver os coeficientes, obtemos,

Antes deste exemplo, a maioria dos problemas de separação de variáveis ​​tendia a ser muito semelhante e é fácil cair na armadilha de esperar que tudo se pareça com o que vimos anteriormente. Com este exemplo, podemos ver que os problemas podem definitivamente ser diferentes na ocasião, então não fique muito preso à expectativa de que eles sempre funcionem exatamente da mesma maneira.

Antes de encerrarmos esta seção, vamos falar brevemente sobre o que você precisa fazer em um disco parcial. As condições de contorno periódicas acima estavam lá apenas porque tínhamos um disco inteiro. E se tivéssemos apenas um disco entre, digamos, ( alpha le theta le beta ).

Quando temos um disco parcial, agora temos dois novos limites que não apresentamos em todo o disco e as condições de limite periódicas não farão mais sentido. As condições de contorno periódicas são usadas apenas quando temos os dois "limites" em contato um com o outro e isso claramente não será o caso com um disco parcial.

Então, se ficarmos com as condições de limite de temperatura prescritas, teremos as seguintes condições

Observe também que, para usar a separação de variáveis ​​nessas condições, precisaríamos ter ( left (r right) = left (r right) = 0 ) para ter certeza de que eles são homogêneos.

Como nota final, poderíamos simplesmente ter usado facilmente as condições de contorno de fluxo para os dois últimos, se quiséssemos. O problema do valor limite seria diferente, mas fora disso o problema funcionaria da mesma maneira.

Também poderíamos usar uma condição de fluxo no limite (r = a ), mas ainda não conversamos sobre como aplicar esse tipo de condição à nossa solução. Lembre-se de que essa é a condição que aplicamos à nossa solução para determinar os coeficientes. Não é difícil de usar, simplesmente não falamos sobre esse tipo de condição ainda. Faremos isso na próxima seção.


Matemática 267 Equações Diferenciais Elementares e Transformadas de Laplace Seção B1

As notas do curso já estão disponíveis. A solução para a final será postada ainda esta semana.

Tarefas de lição de casa (em ordem cronológica reversa):
Problemas de seção de data (vencimento no próximo período, a menos que indicado de outra forma)
5/3 5.2,3 revisão
5/2 5,2 1,2,3,5: para y (x0) = - 2, y '(x0) = 1, encontre a0, a1,. a5.
Trace a solução usando somas parciais por meio de a4x ^ 4 e por meio de a5x ^ 5 sobre -1,5 & ltx & lt1.5
4/30 5.2 5,6
4/29 5.2 1,2,3
4/28 5.1 19, 21
4/25 5.1 1,2,3,10,11,13,14
4/24 6.5, 6.6 6.5:1,2,3,13
4/22 6.4 5
4/22 6.4 1,2,3,14,15
4/19 6.3 1-7
4/15 6.3
4/12 6.2 11-13
4/11 6.2 1-5,7
4/9 6,1 1,2,3 5ab
4/8 7.9, 6.1
4/5 7,9 1,2 e problema de valor inicial
4/4 7.9
4/2 7.7
4/1 7.4, 7.7 7.7: 1,3,5,11
3/29 7.8 2,3,5,7,8
28/03 7,8 7,6: 4 (entrega na segunda-feira 01/04), 25, 26 7,8: 1
3/26 7,6 2,3,8 planos de fase, 7,10
3/25 7.6 2,3,8,9
3/15 7.6 7.3: 18 7.5:10 7.6:1
3/14 7,5 devido 3/25: 5,6,14,16,18,29
3/8 7,5 devido 3/14: 1,11,12,13,15,17
3/7 7.3 15,19,22,24
3/5 7.3 1-7
3/4 7.2 4,6,10,12,13,14,18
3/1 7.2 1,2,3
2/28 3.2, 3.3 3.2: 7,8,14,16 3.3:1,2,3
26/02 NOTAS DE AULAS (incluindo lição de casa) para terça-feira 26/02
2/25 3.7 5,6
2/22 3,6 5,6 (também revise os problemas 3.1: 7,11,16 3,4: 11,16,24 3,5: 1,12,14)
2/21 3.6 1,2,4,13,17
2/19 3.8 1,2,3
2/18 3,8 5, 6, 9, 10, 11 + exemplo de conclusão em sala de aula
2/15 3.8 8,12
2/14 3.4/5 3.4: 17,18,19 3.5: 2,3,4,5,11,13
2/12 3.4 7,8,9,10,12
2/11 3,2 1,2 vencimento 2/12, 7, 8 vencimento mais tarde
2/8 3.1 1,3,5,6 devido 2/11, 9,10,17,20 devido 2/12
2/1 2.9 2,5,9
2/1 2.6 7,8,19,25,27
1/31 2.4 1, 2, 3
1/29 2.7 apostila, 1, 5, 6, 13
1/28 2,5 3,4,6, 14, 15a, 20, 21 (vencimento em 31/01)
Apostila 1/25 2.5
1/24 2,3 1,3,9,14,20,21,24,29 (vencimento em 28/01)
1/22 2,1 14,16,19 (foi coletado 1/24)
2.1 1,13
2.6 1-3,7,9,11
2.2 2,3,6,7,9,11
1.3 1,5,7,8,9
1.2 1,3,13
1.1 1

  • Linear de 1ª ordem: solução explícita (geral e IVP), como trabalho de casa 2.1, por exemplo, 2.1.16 (a fórmula linear de 1ª ordem é importante)
  • Aplicações lineares de 1ª ordem: mistura / lagoa (2.3.1), crescimento exponencial / decadência (2.3.14), movimento (2.3.22)
  • Separável de 1ª ordem: solução implícita (geral e IVP), como dever de casa 2.2, por exemplo, 2.2.2, separável por nota inclui autônomo
  • modelos populacionais, equilíbrios estáveis ​​(crescimento exponencial, equação logística, exemplos populacionais dos EUA): apostila. A fórmula explícita da solução da equação logística é importante.
  • equações exatas: determine se exatas e, em caso afirmativo, encontre solução implícita (geral e IVP), como 2.6.7
  • uso de fatores de integração para converter não exatos em exatos, por exemplo, 2.6.19, encontrando fatores de integração de 1 variável, por exemplo, 2.6.25
  • Método de solução numérica de Euler (requer programa de calculadora, a pergunta será opcional)
  • equações de diferença: solução linear de 1ª ordem, por exemplo, 2.9.2, e teste com pagamentos, por exemplo, 2.9.9
  • Homogêneo linear de 2ª ordem com coeficientes constantes (geral e IVP, todos os 3 tipos), como 3,1: 2,16 3,4: 11,20 3,5: 6,12
  • Não homogêneo linear de 2ª ordem por coeficientes indeterminados (uma solução específica, solução geral, IVP), como 3,6: 2, 3, 3, 13, 19a
  • Aplicações lineares homogêneas de 2ª ordem: molas e circuitos. 3.8: 7, 9 (omitir as últimas 3 sentenças), 12 (também representar graficamente)
  • Existência e singularidade de soluções para equações diferenciais lineares de 2ª ordem, independência linear de um conjunto fundamental de soluções e Wronskian 3.2: 4, 8 (explicar), 14, 16 3.3: 5, 11, 13, 24, 27
  • Aritmética de matriz (7.2: 1,13)
  • Solução de sistemas de equações lineares (algébricas) (7.3: 1,4)
    Eigenvalues and eigenvectors of matrices (7.3: 23, 24)
  • linear homogeneous with real eigenvalues and "enough" eigenvectors (general and IVP) such as (solution only) 7.5: 2-4,7,14-16
  • linear homogeneous with complex eigenvalues (general solution, IVP) such as (solution only) 7.6: 1, 2,3, 9, 10
  • linear homogeneous with repeated real eigenvalues (general and IVP) such as (solution only) 7.8 1,2,3,5, 8-10
  • linear independence and fundamental matrices such as 7.7 2, 4
  • nonhomogeneous systems 7.9
  • interpretation of phase planes
  • applications of linear homogeneous: circuits such as 7.2: 25, 26
  • derivation of the Laplace transform of a function such as 6.1: 5ab, 6
  • computation of inverse Laplace transform, such as 6.2: 3,4,8,9
  • Laplace transforms of functions and piecewise continuous functions such as 6.1:1, 6.3:6, 7
  • inverse Laplace transform such as 6.2:5,8, 6.3:7,
  • solution of a differential equation with initial conditions by Laplace transforms such as 6.2: 12,13, 6.4: 2,3, 6.5:2,3
  • series solution (general and IVP) of a differential equation at an ordinary point (partial sum through x^5 term and graph of solution of IVP) such as 5.2:5,15, 16
  • radius of convergence of a power series such as 5.1.4

The Final Exam was at the time for the Math 267 group (Thursday, May 9, 4:30-6:30 PM) in 2245 Coover .

Exame final
This test requires a calculator capable graphing and of evaluating the reduced row echelon form (rref) of a matrix. A table of Laplace transforms will be provided. You may use a 3 page (3 sides total) help sheet (that you prepare) for the test. You may also use a table of integrals if desired, but you need to give it to me by Wednesday 5/8 with your name on it (it will be returned to you at the test).
This exam will have 2 parts:
Part 1 will resemble previous tests and will have material on Ch 1-2 and Ch 5-6. (60-70% of the test)
Part 2 will have longer questions on material from Chapters 3 and 7. You will have a choice as to which questions in part 2 to answer. (30-40% of the tes t)


Livro didático

Required textbook:

Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems by W.E. Boyce, R.C. DiPrima and D.B. Meade (9781119447542), 11th Ed., Wiley.


Recommended textbooks
:

  • Elementary linear algebra, lecture notes by K. R. Matthews, 1991. Available at http://www.numbertheory.org/book.
  • Linear algebra and its applications, by G. Strang, Thomson, Brooks/Cole.
  • Linear algebra and its applications, by D.C. Lay, S.R. Lay and J.J. McDonald, Pearson.

8.1: Laplace Equations - Mathematics

Course Description: Math 5587-8 is a year course that introduces the basics of partial differential equations, guided by applications in physics and engineering. Both analytical and numerical solution techniques will be discussed. Specific topics to be covered during the year include, in rough order:

Classification of PDEs the heat, wave, Laplace, Poisson and Helmholtz equations characteristics the maximum principle separation of variables Fourier series harmonic functions distributions Green's functions and fundamental solutions special functions, including Bessel functions and spherical harmonics finite element method Fourier and Laplace transforms nonlinear PDEs shocks and solitons. Choice of supplementary topics and applications will depend on the interests of the class.

Prerequisites: Strong background in linear algebra, multi-variable calculus and ordinary differential equations (3000 level). Some mathematical sophistication. Other topics will be introduced as needed.

Texto: Walter A. Strauss, Partial Differential Equations: an Introduction, John Wiley & Sons, New York, 1992.

Supplementary Text: Richard Haberman, Elementary Applied Partial Differential Equations, Third Edition, Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 1998.

  1. Quick review of ordinary differential equations
  2. Solution of first order linear PDEs (Strauss 1.1, 1.2)
  3. The one-dimensional wave equation: quick derivation, d'Alembert formula, conservation of energy, finite intervals and reflection of waves (Strauss 1.3, 2.1, 2.2, 3.2)
  4. The one-dimensional heat equation: derivation, separation of variables (Strauss 1.3, 4.1)
  5. Fourier series: basic properties, convergence, Gibbs phenomena, differentiation, delta functions and distributions (Strauss 5.1--5, 12.1)
  6. Solution to heat and wave by separation of variables (Strauss 4.1, 4.2)
  7. Fourier transforms (Strauss 12.3)
  8. More on the heat equation: fundamental solution, maximum principle, well-posedness (Strauss 1.5, 2.3--5)
  9. Laplace equation in two dimensions: separation of variables for rectangle and disk, classification of 2D PDEs -- elliptic, parabolic and hyperbolic (Strauss 6.1--3, 1.6)
  10. (time permitting) Numerical methods (Strauss 8.1--5)

Trabalho de casa: Each assignment will consist of problems from the text. Assignments handed out on a Tuesday will be due the following Tuesday.

Hour Exams: There will be two midterm exams. Make-up exams will only be given in exceptional circumstances, and then only when notice is given to me before hand and a suitable written excuse forthcoming.

First Midterm: Thursday, October 28. Will cover sections 1.2, 2.1, 2.2, 3.2, chapter 5, 12.1.

Second Midterm: Thursday, December 2. Will cover sections 2.3, 2.4, 2.5, 4.1, 4.2, 12.3, 12.4.

Take Home Final Exam: Due: Thursday, December 16, 6:00pm

Incompletes: Only given in extreme circumstances, and only when the student has satisfactorily completed all but a small portion of the work in the course. Students deve make prior arrangements with the professor well before the end of the quarter.

Grading Standards and Student Conduct: Students are expected to be familiar with University of Minnesota policies on grading standards and student conduct, including the consequences for students who violate standards of academic honesty.


Detalhes

Laplace&aposs equation in two dimensions is given by:

.

Let the unit square have a Dirichlet boundary condition everywhere except , where the condition is para . The formal solution is

,

Onde .

Solutions for boundary conditions on the other sides of the square are obtained by switching variables in the formula. For instance, the solution for applied to para simply switches e in the formula. Similar formulas are then obtained for applied at either ou , with switching as appropriate. (Reference: E. D. Rainville, Elementary Differential Equations, 3rd ed., New York: Macmillan, 1964 p. 474)

This Demonstration deals with the square e by shifting the variables, leading to slightly more complicated solutions.

Solutions to Laplace&aposs equation are called harmonic functions. One of the properties of harmonic functions is that they will not attain any local minima or maxima inside the boundary thus the minima and maxima are on the boundary, as defined by the Dirichlet conditions. Another property is that the solution at any point />has a value that is the average of the values over the area of a circle defined with />at its center.


Assista o vídeo: Problemløsningsoppgaver løst med ligninger (Novembro 2021).