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4.4: Multiplicação de Frações - Matemática


Frações de Frações

Sabemos que uma fração representa uma parte de uma quantidade total. Por exemplo, dois quintos de uma unidade podem ser representados por

( dfrac {2} {5} ) do todo é sombreado.

Uma pergunta natural é: o que é uma parte fracionária de uma quantidade fracionária ou o que é uma fração de uma fração? Por exemplo, o que ( dfrac {2} {3} ) de ( dfrac {1} {2} )?

Podemos sugerir uma resposta a esta questão usando uma imagem para examinar ( dfrac {2} {3} ) de ( dfrac {1} {2} ).

Primeiro, vamos representar ( dfrac {1} {2} ).

( dfrac {1} {2} ) do todo é sombreado.

Em seguida, divida cada uma das partes de ( dfrac {1} {2} ) em 3 partes iguais.

Cada parte é ( dfrac {1} {6} ) do todo.

Agora vamos pegar ( dfrac {2} {3} ) da unidade ( dfrac {1} {2} ).

( dfrac {2} {3} ) de ( dfrac {1} {2} ) é ( dfrac {2} {6} ), que se reduz a ( dfrac {1} { 3} ).

Multiplicação de frações

Agora perguntamos, qual operação aritmética ((+, -, times, div) ) irá produzir ( dfrac {2} {6} ) de ( dfrac {2} {3} ) de ( dfrac {1} {2} )?

Observe que, se nas frações ( dfrac {2} {3} ) e ( dfrac {1} {2} ), multiplicarmos os numeradores e os denominadores juntos, obtemos precisamente ( dfrac {2} {6} ).

( dfrac {2 cdot 1} {3 cdot 2} = dfrac {2} {6} )

Isso se reduz a ( dfrac {1} {3} ) como antes.

Usando essa observação, podemos sugerir o seguinte:

A palavra "de" se traduz na operação aritmética "tempos".
Para multiplicar duas ou mais frações, multiplique os numeradores e depois multiplique os denominadores. Reduza se necessário.

( dfrac { text {numerador 1}} { text {denominador 1}} cdot dfrac { text {numerador 2}} { text {denominador 2}} = dfrac { text {numerador 1} } { text {denominator 1}} cdot dfrac { text {numerator 2}} { text {denominator 2}} )

Conjunto de amostra A

Faça as seguintes multiplicações.

( dfrac {3} {4} cdot dfrac {1} {6} = dfrac {3 cdot 1} {4 cdot 6} = dfrac {3} {24} ) Agora, reduza,

(= dfrac { begin {array} {c} {^ 1} { cancel {3}} end {array}} { begin {array} {c} { cancel {24}} {^ {8}} end {array}} = dfrac {1} {8} )

Desse modo

( dfrac {3} {4} cdot dfrac {1} {6} = dfrac {1} {8} )

Isso significa que ( dfrac {3} {4} ) de ( dfrac {1} {6} ) é ( dfrac {1} {8} ), ou seja, ( dfrac { 3} {4} ) de ( dfrac {1} {6} ) de uma unidade é ( dfrac {1} {8} ) da unidade original.

Conjunto de amostra A

( dfrac {3} {8} cdot 4 ). Escreva 4 como uma fração escrevendo ( dfrac {4} {1} )

( dfrac {3} {8} cdot dfrac {4} {1} = dfrac {3 cdot 4} {8 cdot 1} = dfrac {12} {8} = dfrac { begin {array} {c} {^ 3} { cancel {12}} end {array}} { begin {array} {c} { cancel {8}} {^ 2} end { matriz}} = dfrac {3} {2} )

( dfrac {3} {8} cdot 4 = dfrac {3} {2} )

Isso significa que ( dfrac {3} {8} ) de 4 unidades inteiras é ( dfrac {3} {2} ) de uma unidade inteira.

Conjunto de amostra A

( dfrac {2} {5} cdot dfrac {5} {8} cdot dfrac {1} {4} = dfrac {2 cdot 5 cdot 1} {5 cdot 8 cdot 4 } = dfrac { begin {array} {c} {^ 1} { cancel {10}} end {array}} { begin {array} {c} { cancel {160}} {^ {16}} end {array}} = dfrac {1} {16} )

Isso significa que ( dfrac {2} {5} ) de ( dfrac {5} {8} ) de ( dfrac {1} {4} ) de uma unidade inteira é ( dfrac {1} {16} ) da unidade original.

Conjunto de Prática A

Faça as seguintes multiplicações.

( dfrac {2} {5} cdot dfrac {1} {6} )

Responder

( dfrac {1} {15} )

Conjunto de Prática A

( dfrac {1} {4} cdot dfrac {8} {9} )

Responder

( dfrac {2} {9} )

Conjunto de Prática A

( dfrac {4} {9} cdot dfrac {15} {16} )

Responder

( dfrac {5} {12} )

Conjunto de Prática A

(( dfrac {2} {3}) ( dfrac {2} {3}) )

Responder

( dfrac {4} {9} )

Conjunto de Prática A

(( dfrac {7} {4}) ( dfrac {8} {5}) )

Responder

( dfrac {14} {5} )

Conjunto de Prática A

( dfrac {5} {6} cdot dfrac {7} {8} )

Responder

( dfrac {35} {48} )

Conjunto de Prática A

( dfrac {2} {3} cdot 5 )

Responder

( dfrac {10} {3} )

Conjunto de Prática A

(( dfrac {3} {10}) (10) )

Responder

( dfrac {15} {2} )

Conjunto de Prática A

( dfrac {3} {4} cdot dfrac {8} {9} cdot dfrac {5} {12} )

Responder

( dfrac {5} {18} )

Multiplicando frações pela divisão de fatores comuns

Vimos que, para multiplicar duas frações juntas, multiplicamos numeradores juntos, depois denominadores juntos e, a seguir, reduzimos aos termos mais baixos, se necessário. A redução pode ser entediante se os números nas frações forem grandes. Por exemplo,

( dfrac {9} {16} cdot dfrac {10} {21} = dfrac {9 cdot 10} {16 cdot 21} = dfrac {90} {336} = dfrac {45} {168} = dfrac {15} {28} )

Evitamos o processo de redução se dividirmos os fatores comuns antes da nós nos multiplicamos.

( dfrac {9} {16} cdot dfrac {10} {21} = dfrac { begin {array} {c} {^ 3} { cancel {9}} end {array} } { begin {array} {c} { cancel {16}} {^ 8} end {array}} cdot dfrac { begin {array} {c} {^ 5} { cancel {10}} end {array}} { begin {array} {c} { cancel {21}} {^ 7} end {array}} = dfrac {3 cdot 5} {8 cdot 7} = dfrac {15} {56} )

Divida 3 em 9 e 21 e divida 2 em 10 e 16. O produto é uma fração que é reduzida aos termos mais baixos.

Como fazer: o processo de multiplicação por meio da divisão de fatores comuns

Para multiplicar as frações dividindo os fatores comuns, divida os fatores que são comuns ao numerador e ao denominador. O fator sendo dividido pode aparecer em qualquer numerador e qualquer denominador.

Conjunto de amostra A

Faça as seguintes multiplicações.

( dfrac {4} {5} cdot dfrac {5} {6} )

( dfrac { begin {array} {c} {^ 2} { cancel {4}} end {array}} { begin {array} {c} { cancel {5}} {^ 1} end {array}} cdot dfrac { begin {array} {c} {^ 1} { cancel {5}} end {array}} { begin {array} {c } { cancel {6}} {^ 1} end {array}} = dfrac {2 cdot 1} {1 cdot 3} = dfrac {2} {3} )

Divida 4 e 6 por 2
Divida 5 e 5 por 5

Conjunto de amostra A

( dfrac {8} {12} cdot dfrac {8} {10} )

( dfrac { begin {array} {c} {^ 4} { cancel {8}} end {array}} { begin {array} {c} { cancel {12}} {^ 3} end {array}} cdot dfrac { begin {array} {c} {^ 2} { cancel {8}} end {array}} { begin {array} {c } { cancel {10}} {^ 5} end {array}} = dfrac {4 cdot 2} {3 cdot 5} = dfrac {8} {15} )

Divida 8 e 10 por 2.
Divida 8 e 12 por 4.

Conjunto de amostra A

(8 cdot dfrac {5} {12} = dfrac { begin {array} {c} {^ 2} { cancel {8}} end {array}} {1} cdot dfrac {5} { begin {array} {c} { cancel {12}} {^ 3} end {array}} = dfrac {2 cdot 5} {1 cdot 3} = dfrac {10} {3} )

Conjunto de amostra A

( dfrac {35} {18} cdot dfrac {63} {105} )

( dfrac { begin {array} {c} {^ {^ 1}} {^ { cancel {7}}} { cancel {35}} end {array}} { begin {array} {c} { cancel {18}} {^ 2} end {array}} dfrac { begin {array} {c} {^ 7} { cancel {63}} end {array}} { begin {array} {c} { cancel {105}} {^ { cancel {21}}} {^ {^ 3}} end {array}} = dfrac {1 cdot 7} {2 cdot 3} = dfrac {7} {6} )

Conjunto de amostra A

( dfrac {13} {9} cdot dfrac {6} {39} cdot dfrac {1} {12} )

( dfrac { begin {array} {c} {^ 1} { cancel {13}} end {array}} {9} cdot dfrac { begin {array} {c} {^ {^ 1}} {^ { cancel {2}}} { cancel {6}} end {array}} { begin {array} {c} { cancel {39}} {^ { cancel {3}}} {^ {^ 1}} end {array}} cdot dfrac {1} { begin {array} {c} { cancel {12}} {^ 6} end {array}} = dfrac {1 cdot 1 cdot 1} {9 cdot 1 cdot 6} = dfrac {1} {54} )

Conjunto de Prática B

Faça as seguintes multiplicações.

( dfrac {2} {3} cdot dfrac {7} {8} )

Responder

( dfrac {7} {12} )

Conjunto de Prática B

( dfrac {25} {12} cdot dfrac {10} {45} )

Responder

( dfrac {25} {54} )

Conjunto de Prática B

( dfrac {40} {48} cdot dfrac {72} {90} )

Responder

( dfrac {2} {3} )

Conjunto de Prática B

(7 cdot dfrac {2} {49} )

Responder

( dfrac {2} {7} )

Conjunto de Prática B

(12 cdot dfrac {3} {8} )

Responder

( dfrac {9} {2} )

Conjunto de Prática B

(( dfrac {13} {7}) ( dfrac {14} {26}) )

Responder

1

Conjunto de Prática B

( dfrac {16} {10} cdot dfrac {22} {6} cdot dfrac {21} {44} )

Responder

( dfrac {14} {5} )

Multiplicação de números mistos

Multiplicando Misto Números
Para realizar uma multiplicação na qual existem números mistos, é conveniente primeiro converter cada número misturado em uma fração imprópria e, em seguida, multiplicar.

Conjunto de amostra C

Faça as seguintes multiplicações. Converta frações impróprias em números mistos.

(1 dfrac {1} {8} cdot 4 dfrac {2} {3} )

Converta cada número misto em uma fração imprópria.

(1 dfrac {1} {8} = dfrac {8 cdot 1 + 1} {8} = dfrac {9} {8} )

(4 dfrac {2} {3} = dfrac {4 cdot 3 + 2} {3} = dfrac {14} {3} )

( dfrac { begin {array} {c} {^ 3} { cancel {9}} end {array}} { begin {array} {c} { cancel {8}} {^ 4} end {array}} cdot dfrac { begin {array} {c} {^ 7} { cancel {14}} end {array}} { begin {array} {c } { cancel {3}} {^ 1} end {array}} = dfrac {3 cdot 7} {4 cdot 1} = dfrac {21} {4} = 5 dfrac {1 } {4} )

Conjunto de amostra C

(16 cdot 8 dfrac {1} {5} )

Converta (8 dfrac {1} {5} ) em uma fração imprópria.

(8 dfrac {1} {5} = dfrac {5 cdot 8 + 1} {5} = dfrac {41} {5} )

( dfrac {16} {1} cdot dfrac {41} {5} ).

Não há fatores comuns a serem divididos.

( dfrac {16} {1} cdot dfrac {41} {5} = dfrac {16 cdot 41} {1 cdot 5} = dfrac {656} {5} = 131 dfrac {1 } {5} )

Conjunto de amostra C

(9 dfrac {1} {6} cdot 12 dfrac {3} {5} )

Converta em frações impróprias.

(9 dfrac {1} {6} = dfrac {6 cdot 9 + 1} {6} = dfrac {55} {6} )

(12 dfrac {3} {5} = dfrac {5 cdot 12 + 3} {5} = dfrac {63} {5} )

( dfrac { begin {array} {c} {^ {11}} { cancel {55}} end {array}} { begin {array} {c} { cancel {6}} {^ 2} end {array}} cdot dfrac { begin {array} {c} {^ {21}} { cancel {63}} end {array}} { begin { matriz} {c} { cancel {5}} {^ 1} end {matriz}} = dfrac {11 cdot 21} {2 cdot 1} = dfrac {231} {2} = 115 dfrac {1} {2} )

Conjunto de amostra C

( begin {array} {rcl} { dfrac {11} {8} cdot 4 dfrac {1} {2} cdot 3 dfrac {1} {8}} & = & { dfrac {11 } {8} cdot dfrac { begin {array} {c} {^ 3} { cancel {9}} end {array}} { begin {array} {c} { cancel {2 }} {^ 1} end {array}} cdot dfrac { begin {array} {c} {^ 5} { cancel {10}} end {array}} { begin { matriz} {c} { cancel {3}} {^ 1} end {matriz}}} {} & = & { dfrac {11 cdot 3 cdot 5} {8 cdot 1 cdot 1} = dfrac {165} {8} = 20 dfrac {5} {8}} end {array} )

Conjunto de prática C

Faça as seguintes multiplicações. Converta frações impróprias em números mistos.

(2 dfrac {2} {3} cdot 2 dfrac {1} {4} )

Responder

6

Conjunto de prática C

(6 dfrac {2} {3} cdot 3 dfrac {3} {10} )

Responder

22

Conjunto de prática C

(7 dfrac {1} {8} cdot 12 )

Responder

(85 dfrac {1} {2} )

Conjunto de prática C

(2 dfrac {2} {5} cdot 3 dfrac {3} {4} cdot 3 dfrac {1} {3} )

Responder

30

Poderes e raízes das frações

Conjunto de amostra D

Encontre o valor de cada um dos seguintes.

(( dfrac {1} {6}) ^ 2 = dfrac {1} {6} cdot dfrac {1} {6} = dfrac {1 cdot 1} {6 cdot 6} = dfrac {1} {36} )

Conjunto de amostra D

( sqrt { dfrac {9} {100}} ). Estamos procurando um número, chamá-lo?, De modo que quando for elevado ao quadrado, ( dfrac {9} {100} ) seja produzido.

((?) ^ 2 = dfrac {9} {100} )

Nós sabemos isso

(3 ^ 2 = 9 ) e (10 ​​^ 2 = 100 )

Tentaremos ( dfrac {3} {10} ). Desde

(( dfrac {3} {10}) ^ 2 = dfrac {3} {10} cdot dfrac {3} {10} = dfrac {3 cdot 3} {10 cdot 10} = dfrac {9} {100} )

( sqrt { dfrac {9} {100}} = dfrac {3} {10} )

Conjunto de amostra D

(4 dfrac {2} {5} cdot sqrt { dfrac {100} {121}} )

( dfrac { begin {array} {c} {^ 2} { cancel {22}} end {array}} { begin {array} {c} { cancel {5}} {^ 1} end {array}} cdot dfrac {^ 2} { cancel {10}} = dfrac { begin {array} {c} { cancel {11}} {^ 1} end {array}} { begin {array} {c} {} {} end {array}} = dfrac {4} {1} = 4 )

(4 dfrac {2} {5} cdot sqrt { dfrac {100} {121}} = 4 )

Conjunto de Prática D

Encontre o valor de cada um dos seguintes.

(( dfrac {1} {8}) ^ 2 )

Responder

( dfrac {1} {64} )

Conjunto de Prática D

(( dfrac {3} {10}) ^ 2 )

Responder

( dfrac {9} {100} )

Conjunto de Prática D

( sqrt { dfrac {4} {9}} )

Responder

( dfrac {2} {3} )

Conjunto de Prática D

( sqrt { dfrac {1} {4}} )

Responder

( dfrac {1} {2} )

Conjunto de Prática D

( dfrac {3} {8} cdot sqrt { dfrac {1} {9}} )

Responder

( dfrac {1} {8} )

Conjunto de Prática D

(9 dfrac {1} {3} cdot sqrt { dfrac {81} {100}} )

Responder

(8 dfrac {2} {5} )

Conjunto de Prática D

(2 dfrac {8} {13} cdot sqrt { dfrac {169} {16}} )

Responder

(8 dfrac {1} {2} )

Exercícios

Para os seis problemas a seguir, use os diagramas para encontrar cada uma das seguintes partes. Use a multiplicação para verificar seu resultado.

Exercício ( PageIndex {1} )

( dfrac {3} {4} ) de ( dfrac {1} {3} )

Responder

( dfrac {1} {4} )

Exercício ( PageIndex {2} )

( dfrac {2} {3} ) de ( dfrac {3} {5} )

Exercício ( PageIndex {3} )

( dfrac {2} {7} ) de ( dfrac {7} {8} )

Responder

( dfrac {1} {4} )

Exercício ( PageIndex {4} )

( dfrac {5} {6} ) de ( dfrac {3} {4} )

Exercício ( PageIndex {5} )

( dfrac {1} {8} ) de ( dfrac {1} {8} )

Responder

( dfrac {1} {64} )

Exercício ( PageIndex {6} )

( dfrac {7} {12} ) de ( dfrac {6} {7} )

​​​​​​

Para os problemas a seguir, encontre cada parte sem usar um diagrama.

Exercício ( PageIndex {7} )

( dfrac {1} {2} ) de ( dfrac {4} {5} )

Responder

( dfrac {2} {5} )

Exercício ( PageIndex {8} )

( dfrac {3} {5} ) de ( dfrac {5} {12} )

Exercício ( PageIndex {9} )

( dfrac {1} {4} ) de ( dfrac {8} {9} )

Responder

( dfrac {2} {9} )

Exercício ( PageIndex {10} )

( dfrac {3} {16} ) de ( dfrac {12} {15} )

Exercício ( PageIndex {11} )

( dfrac {2} {9} ) de ( dfrac {6} {5} )

Responder

( dfrac {4} {15} )

Exercício ( PageIndex {12} )

( dfrac {1} {8} ) de ( dfrac {3} {8} )

Exercício ( PageIndex {13} )

( dfrac {2} {3} ) de ( dfrac {9} {10} )

Responder

( dfrac {3} {5} )

Exercício ( PageIndex {14} )

( dfrac {18} {19} ) de ( dfrac {38} {54} )

Exercício ( PageIndex {15} )

( dfrac {5} {6} ) de (2 dfrac {2} {5} )

Responder

2

Exercício ( PageIndex {16} )

( dfrac {3} {4} ) de (3 dfrac {3} {5} )

Exercício ( PageIndex {17} )

( dfrac {3} {2} ) de (2 dfrac {2} {9} )

Responder

( dfrac {10} {3} ) ou (3 dfrac {1} {3} )

Exercício ( PageIndex {18} )

( dfrac {15} {4} ) de (4 dfrac {4} {5} )

Exercício ( PageIndex {19} )

(5 dfrac {1} {3} ) de (9 dfrac {3} {4} )

Responder

52

Exercício ( PageIndex {20} )

(1 dfrac {13} {15} ) de (8 dfrac {3} {4} )

Exercício ( PageIndex {21} )

( dfrac {8} {9} ) de ( dfrac {3} {4} ) de ( dfrac {2} {3} )

Responder

( dfrac {4} {9} )

Exercício ( PageIndex {22} )

( dfrac {1} {6} ) de ( dfrac {12} {13} ) de ( dfrac {26} {36} )

Exercício ( PageIndex {23} )

( dfrac {1} {2} ) de ( dfrac {1} {3} ) de ( dfrac {1} {4} )

Responder

( dfrac {1} {24} )

Exercício ( PageIndex {24} )

(1 dfrac {3} {7} ) de (5 dfrac {1} {5} ) de (8 dfrac {1} {3} )

Exercício ( PageIndex {25} )

(2 dfrac {4} {5} ) de (5 dfrac {5} {6} ) de (7 dfrac {5} {7} )

Responder

126

Para os problemas a seguir, encontre os produtos. Certifique-se de reduzir.

Exercício ( PageIndex {26} )

( dfrac {1} {3} cdot dfrac {2} {3} )

Exercício ( PageIndex {27} )

( dfrac {1} {2} cdot dfrac {1} {2} )

Responder

( dfrac {1} {4} )

Exercício ( PageIndex {28} )

( dfrac {3} {4} cdot dfrac {3} {8} )

Exercício ( PageIndex {29} )

( dfrac {2} {5} cdot dfrac {5} {6} )

Responder

( dfrac {1} {3} )

Exercício ( PageIndex {30} )

( dfrac {3} {8} cdot dfrac {8} {9} )

Exercício ( PageIndex {31} )

( dfrac {5} {6} cdot dfrac {14} {15} )

Responder

( dfrac {7} {9} )

Exercício ( PageIndex {32} )

( dfrac {4} {7} cdot dfrac {7} {4} )

Exercício ( PageIndex {33} )

( dfrac {3} {11} cdot dfrac {11} {3} )

Responder

1

Exercício ( PageIndex {34} )

( dfrac {9} {16} cdot dfrac {20} {27} )

Exercício ( PageIndex {35} )

( dfrac {35} {36} cdot dfrac {48} {55} )

Responder

( dfrac {28} {33} )

Exercício ( PageIndex {36} )

( dfrac {21} {25} cdot dfrac {15} {14} )

Exercício ( PageIndex {37} )

( dfrac {76} {99} cdot dfrac {66} {38} )

Responder

( dfrac {4} {3} )

Exercício ( PageIndex {38} )

( dfrac {3} {7} cdot dfrac {14} {18} cdot dfrac {6} {2} )

Exercício ( PageIndex {39} )

( dfrac {4} {15} cdot dfrac {10} {3} cdot dfrac {27} {2} )

Responder

12

Exercício ( PageIndex {40} )

( dfrac {14} {15} cdot dfrac {21} {28} cdot dfrac {45} {7} )

Exercício ( PageIndex {41} )

( dfrac {8} {3} cdot dfrac {15} {4} cdot dfrac {16} {21} )

Responder

(7 dfrac {13} {21} ) ou ( dfrac {160} {21} )

Exercício ( PageIndex {42} )

( dfrac {18} {14} cdot dfrac {21} {35} cdot dfrac {36} {7} )

Exercício ( PageIndex {43} )

( dfrac {3} {5} cdot 20 )

Responder

12

Exercício ( PageIndex {44} )

( dfrac {8} {9} cdot 18 )

Exercício ( PageIndex {45} )

( dfrac {6} {11} cdot 33 )

Responder

18

Exercício ( PageIndex {46} )

( dfrac {18} {19} cdot 38 )

Exercício ( PageIndex {47} )

( dfrac {5} {6} cdot 10 )

Responder

( dfrac {25} {3} ) ou (8 dfrac {1} {3} )

Exercício ( PageIndex {48} )

( dfrac {1} {9} cdot 3 )

Exercício ( PageIndex {49} )

(5 cdot dfrac {3} {8} )

Responder

( dfrac {15} {8} = 1 dfrac {7} {8} )

Exercício ( PageIndex {50} )

(16 cdot dfrac {1} {4} )

Exercício ( PageIndex {51} )

( dfrac {2} {3} cdot 12 cdot dfrac {3} {4} )

Responder

6

Exercício ( PageIndex {52} )

( dfrac {3} {8} cdot 24 cdot dfrac {2} {3} )

Exercício ( PageIndex {53} )

( dfrac {5} {18} cdot 10 cdot dfrac {2} {5} )

Responder

( dfrac {10} {9} = 1 dfrac {1} {9} )

Exercício ( PageIndex {54} )

( dfrac {16} {15} cdot 50 cdot dfrac {3} {10} )

Exercício ( PageIndex {55} )

(5 dfrac {1} {3} cdot dfrac {27} {32} )

Responder

( dfrac {9} {2} = 4 drac {1} {2} )

Exercício ( PageIndex {56} )

(2 dfrac {6} {7} cdot 5 dfrac {3} {5} )

Exercício ( PageIndex {57} )

(6 dfrac {1} {4} cdot 2 dfrac {4} {15} )

Responder

( dfrac {85} {6} = 14 drac {1} {6} )

Exercício ( PageIndex {58} )

(9 dfrac {1} {3} cdot dfrac {9} {16} cdot 1 dfrac {1} {3} )

Exercício ( PageIndex {59} )

(3 dfrac {5} {9} cdot 1 dfrac {13} {14} cdot 10 dfrac {1} {2} )

Responder

72

Exercício ( PageIndex {60} )

(20 dfrac {1} {4} cdot 8 dfrac {2} {3} cdot 16 dfrac {4} {5} )

Exercício ( PageIndex {61} )

(( dfrac {2} {3}) ^ 2 )

Responder

( dfrac {4} {9} )

Exercício ( PageIndex {62} )

(( dfrac {3} {8}) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {63} )

(( dfrac {2} {11}) ^ 2 )

Responder

( dfrac {4} {121} )

Exercício ( PageIndex {64} )

(( dfrac {8} {9}) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {65} )

(( dfrac {1} {2}) ^ 2 )

Responder

( dfrac {1} {4} )

Exercício ( PageIndex {66} )

(( dfrac {3} {5}) ^ 2 cdot dfrac {20} {3} )

Exercício ( PageIndex {67} )

(( dfrac {1} {4}) ^ 2 cdot dfrac {16} {15} )

Responder

( dfrac {1} {15} )

Exercício ( PageIndex {68} )

(( dfrac {1} {2}) ^ 2 cdot dfrac {8} {9} )

Exercício ( PageIndex {69} )

(( dfrac {1} {2}) ^ 2 cdot ( dfrac {2} {5}) ^ 2 )

Responder

( dfrac {1} {25} )

Exercício ( PageIndex {70} )

(( dfrac {3} {7}) ^ 2 cdot ( dfrac {1} {9}) ^ 2 )

Para os problemas a seguir, encontre cada valor. Reduza as respostas para os termos mais baixos ou converta para números mistos.

Exercício ( PageIndex {71} )

( sqrt { dfrac {4} {9}} )

Responder

( dfrac {2} {3} )

Exercício ( PageIndex {72} )

( sqrt { dfrac {16} {25}} )

Exercício ( PageIndex {73} )

( sqrt { dfrac {81} {121}} )

Responder

( dfrac {9} {11} )

Exercício ( PageIndex {74} )

( sqrt { dfrac {36} {49}} )

Exercício ( PageIndex {75} )

( sqrt { dfrac {144} {25}} )

Responder

( dfrac {12} {5} = 2 dfrac {2} {5} )

Exercício ( PageIndex {76} )

( dfrac {2} {3} cdot sqrt { dfrac {9} {16}} )

Exercício ( PageIndex {77} )

( dfrac {3} {5} cdot sqrt { dfrac {25} {81}} )

Responder

( dfrac {1} {3} )

Exercício ( PageIndex {78} )

(( dfrac {8} {5}) ^ 2 cdot sqrt { dfrac {25} {64}} )

Exercício ( PageIndex {79} )

((1 dfrac {3} {4}) ^ 2 cdot sqrt { dfrac {4} {49}} )

Responder

( dfrac {7} {8} )

Exercício ( PageIndex {80} )

((2 dfrac {2} {3}) ^ 2 cdot sqrt { dfrac {36} {49}} cdot sqrt { dfrac {64} {81}} )

Exercícios para revisão

Exercício ( PageIndex {81} )

Quantos milhares em 342.810?

Responder

2

Exercício ( PageIndex {82} )

Encontre a soma de 22, 42 e 101.

Exercício ( PageIndex {83} )

É 634.281 divisível por 3?

Responder

sim

Exercício ( PageIndex {84} )

O número inteiro 51 é primo ou composto?

Exercício ( PageIndex {85} )

Reduza ( dfrac {36} {150} ) para os termos mais baixos

Responder

( dfrac {6} {25} )


Frações: multiplicação de números mistos

Os vários recursos listados abaixo estão alinhados ao mesmo padrão, (5NF04) retirado do CCSM (Common Core Standards For Mathematics) conforme a planilha de frações mostrada acima.

Aplique e amplie os conhecimentos anteriores de multiplicação para multiplicar uma fração ou número inteiro por uma fração.

  • Interprete o produto (uma/b) x q como partes de uma partição de q para dentro b partes iguais de forma equivalente, como resultado de uma sequência de operações uma x q ÷ b. Por exemplo, use um modelo de fração visual para mostrar (2/3) x 4 = 8/3 e crie um contexto de história para esta equação. Faça o mesmo com (2/3) x (4/5) = 8/15. (Em geral, (a / b) x (c / d) = ac / bd.)
  • Encontre a área de um retângulo com comprimentos laterais fracionários, colocando-o lado a lado com quadrados unitários dos comprimentos laterais de fração unitários apropriados e mostre que a área é a mesma que seria encontrada multiplicando os comprimentos laterais. Multiplique os comprimentos laterais fracionários para encontrar áreas de retângulos e representar produtos fracionários como áreas retangulares.

Exemplo / Orientação

Planilha

Semelhante à lista acima, os recursos abaixo estão alinhados aos padrões relacionados no Common Core for Mathematics que, juntos, suportam o seguinte resultado de aprendizagem:

Aplicar e estender conhecimentos anteriores de multiplicação e divisão para multiplicar e dividir frações


Multiplique após três frações





Você sempre pode encontrar essas três perguntas de multiplicação de fração na Internet. Resolva mais perguntas e a prática o deixará melhor.
Se você tiver alguma dúvida sobre o conteúdo deste artigo, sinta-se à vontade para deixar um comentário abaixo.


5/8 x 2/3 =?
Multiplique ambos os numeradores e multiplique os dois denominadores
5/8 x 2/3 = 5 x 2 8 x 3 = 10/24

Simplifique a fração resultante usando GCD
Encontre GCD para numerador e denominador
gcd_tools (10, 24) = 2
Divida o numerador e o denominador por GCD
10 24 = 10 ÷ 2 24 ÷ 2 = 5 12
5/8 x 2/3 = 5/12

Calculadora de multiplicação de frações

A Calculadora de Multiplicação de Frações é uma ferramenta fundamental para que professores, pais e alunos gerem um trabalho passo a passo para entender rapidamente o cálculo, resolver os problemas de lição de casa, resolver os problemas de trabalho de classe, preparar o documento-chave para avaliações somativas e formativas ou verificar imediatamente todo o cálculo para os valores de entrada fornecidos pelo usuário.


4.4: Multiplicação de Frações - Matemática

Multiplicando frações
Você sabia que pode DRAW para multiplicar frações?

A regra para multiplicar frações diz para multiplicar pelos numeradores, (parte superior das frações), e também multiplicar pelos denominadores, (parte inferior das frações).

Então, lembre-se sempre de declarar suas respostas em termos mais baixos (o que significa reduzi-las à menor fração igual ou número misto)

3 x 4 = 12
4 . 9 . 36
Agora, dividindo o numerador e o denominador desta resposta por 12, obtemos o resposta reduzida do. 1
3

* Na verdade, você tem permissão para fazer a redução ANTES de multiplicar, se houver um número que se divide nas seções superior e inferior.

Por exemplo, no problema acima, vejo que há um 4 sendo multiplicado nas seções superior e inferior do problema. Como eu sei que 4/4 = 1, este é um fator comum que posso dividir agora em vez de no final. Fazer isso me deixa com o problema,
3 x 1 = mas espere, há algo mais escondido este problema
1 . 9

Você vê que também pode dividir um 3 da parte superior e da parte inferior neste ponto?

Se virmos o fator comum de 3 e dividi-lo fora do numerador na primeira fração e dividi-lo fora do denominador na segunda fração, obtemos.

1 x 1 = 1
1 . 3 . 3

Um aspecto bastante interessante da multiplicação de frações é que você pode DESENHAR a multiplicação de frações.

Agora, digamos que queremos ilustrar 3/4 de 2/3 (isso significa 3/4 x 2/3). Nós apenas pegamos nosso quadrado e o cortamos em três partes e sombreamos 2 desses terços.

Agora cortamos o mesmo quadrado em QUARTOS usando fatias VERTICAIS e sombreamos 3 desses quartos.

Agora, para VER verdadeiramente a resposta para 3/4 de 2/3, tudo o que você precisa fazer é procurar a sobreposição. Você vê que a parte amarela é dois terços de todo o quadrado, e nós cortamos essa parte amarela em quartos e sombreamos 3 desses quartos. A seção amarela sombreada em vermelho consiste em 6 retângulos dos 12 retângulos inteiros do quadrado.

Em outras palavras, multiplicar pelos numeradores dá a você o número de sobreposto seções e multiplicar pelos denominadores dá o total seções na praça.

Abra seu programa de pintura a partir de seu arquivo de & quotaccessórios & quot e tente DESENHAR os seguintes produtos de fração.

Seja o mais criativo possível e imprima-os se quiser quando terminar. ( certifique-se de escrever a resposta em seu desenho)


Como dividir e multiplicar frações

Este artigo foi coautor de Grace Imson, MA. Grace Imson é professora de matemática com mais de 40 anos de experiência em ensino. Grace é atualmente professora de matemática no City College of San Francisco e anteriormente estava no Departamento de Matemática da Saint Louis University. Ela ensinou matemática nos níveis fundamental, médio, médio e superior. Ela tem um MA em Educação, com especialização em Administração e Supervisão pela Saint Louis University.

O wikiHow marca um artigo como aprovado pelo leitor assim que recebe feedback positivo suficiente. Este artigo tem 11 depoimentos de nossos leitores, ganhando o status de aprovado como leitor.

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Para multiplicar frações, basta multiplicar os numeradores e denominadores e simplificar o resultado. Para dividir frações, basta inverter o numerador e o denominador de uma das frações, multiplicar o resultado pela outra fração e simplificar. Se você quiser saber como dividir e multiplicar frações em um piscar de olhos, siga estas etapas.


Aprenda a somar duas frações

Como você está aprendendo apenas frações, elas provavelmente parecem muito complicadas agora. Lembre-se, porém, de que (neste ponto) uma fração é apenas um número e, portanto, eles podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados e divididos. Felizmente, adicionar duas frações não é tão difícil quanto você pode imaginar. Aqui está um exemplo realmente simples para nos ajudar a começar:

Exemplo:

Como podemos adicionar essas duas frações? Como eles têm um & quot denominador comum & quot (o número inferior é o mesmo), podemos apenas adicionar os números superiores juntos, assim:

Infelizmente, todas as frações não serão tão fáceis de adicionar. Para adicionar duas frações, você deve primeiro encontrar um denominador comum. Não podemos simplesmente adicionar 1/3 a 1/5 porque eles não têm o mesmo denominador. A resposta definitivamente NÃO é 2/8, então não cometa esse erro.

Vamos supor que tenhamos um problema como este: ( frac <1> <3> + frac <1> <6> =? ). Como resolveremos isso se não podemos simplesmente adicionar os numeradores (os números superiores)? Qual número deve ficar na parte inferior? Bem, o truque é reescrever uma ou ambas as frações para que tenham o mesmo denominador! Não é ( frac <1> <3> ) realmente o mesmo que ( frac <2> <6> ) afinal?

Como 1/3 = 2/6, podemos substituir sem alterar o valor:

Agora podemos apenas adicionar os numeradores (números principais) juntos:

E se não for tão simples encontrar um denominador comum? Uma maneira de encontrar um denominador comum é multiplicar os dois denominadores e usá-lo. No exemplo anterior, isso significaria usar 18 como denominador comum. Aqui está um exemplo:

Exemplo para encontrar denominador comum

Que denominador comum podemos usar? Não podemos simplesmente mudar um dos denominadores para torná-lo igual ao outro, então teremos que mudar os dois. Encontraremos um multiplicando os denominadores juntos. Quando multiplicamos (4 * 5 ), obtemos um denominador comum de 20. Portanto, precisamos reescrever ambas as frações com 20 na parte inferior. Faremos isso multiplicando ( frac <1> <4> * frac <5> <5> ) e depois multiplicando ( frac <2> <5> * frac <4> <4 > ). Como multiplicamos as frações por termos equivalentes a 1, não alteramos o valor de nada - apenas reescrevemos nossas frações para ter um denominador comum.

Existe um método mais fácil de adicionar frações com denominadores diferentes? Pode apostar. É chamado de multiplicação cruzada e, na verdade, é apenas uma versão automatizada do que acabamos de fazer. Primeiro, você multiplica o número superior à esquerda pelo número inferior à direita e o número superior à direita pelo número inferior à esquerda. Veja por que é chamado de multiplicação cruzada? A imagem abaixo mostra como você pode começar a adicionar ( frac <3> <7> + frac <1> <2> ) por multiplicação cruzada (3 * 2 ) e (7 * 1 ). Depois disso, você adiciona os dois resultados.

No problema acima, depois de multiplicarmos (3 * 2 ) e (7 * 1 ), somamos os resultados. Isso nos dá (6 + 7 ), que é igual a (13 ). Esse será o número principal da resposta! Para obter o número inferior, basta multiplicar os números inferiores e isso é tudo. Portanto, a resposta final é (13/14 ).

Aqui estão mais alguns exemplos de multiplicação cruzada como forma de adicionar frações:


Histórias de multiplicação

Nesta unidade, os alunos exploram os diferentes tipos de situação aos quais a multiplicação pode ser aplicada. Particularmente, eles se envolvem com problemas de taxa, comparação e array.

  • Faça diferentes tipos de problemas com palavras.
  • Explique seu pensamento matemático na resolução de problemas.
  • Use uma variedade de equipamentos para modelar suas soluções.

O conceito básico de multiplicação é importante por causa de sua praticidade (quanto custam 4 sorvetes a $ 2 cada) e eficiência (é mais rápido determinar 4 x 2 do que calcular 2 + 2 + 2 + 2). A multiplicação é usada em muitas situações diferentes. Aqui, os alunos pensam na multiplicação como uma maneira curta de encontrar o resultado da adição repetida de conjuntos iguais. Eles fazem isso resolvendo problemas de taxa, problemas de comparação e problemas de array.

Um problema de taxa envolve uma afirmação de "tantos de uma quantidade para tantos de outra quantidade". Todas as situações de multiplicação contêm alguma forma de taxa, mas neste nível, os problemas são geralmente sobre conjuntos iguais ou medição. Veja este exemplo:

“Lena compra seis sacos de biscoitos. Cada saco contém quatro biscoitos. Quantos biscoitos ela compra no total? ”

Este é um problema de conjuntos iguais que contém a taxa de ‘quatro biscoitos para cada saco’. Um problema de taxa de medição geralmente é algo assim:

“A planta kumara de Hone cresce cinco centímetros a cada semana depois de brotar. Quanto tempo vai durar a planta dele depois de seis semanas? ”

A taxa no problema de Hone é "cinco centímetros para cada semana". Os problemas de comparação envolvem a relação entre duas quantidades. Por exemplo:

“O bloco de apartamentos de Min tem três andares. O bloco de Anshul tem 12 andares. Quanto mais alto é o bloco de Anshul do que o de Min? "

Uma resposta aditiva é 12 - 3 = 9 andares. Uma resposta multiplicativa é 4 x 3 = 12, então o bloqueio de Anshul é quatro vezes maior do que o de Min. Uma matriz é uma estrutura de linhas e colunas. Por exemplo, este bloco de chocolate tem duas fileiras de cinco peças (2 x 5 ou 5 x 2).

Uma matriz é uma estrutura de linhas e colunas. Por exemplo, este bloco de chocolate tem duas fileiras de cinco peças (2 x 5 ou 5 x 2).

Os problemas de matriz podem ajudar os alunos a ver a propriedade comutativa da multiplicação, por exemplo, que 5 x 2 = 2 x 5. Em outras palavras, a ordem dos fatores não afeta o produto (resposta) na multiplicação.

Além de pensar sobre a multiplicação em uma variedade de situações, os alunos são incentivados a usar uma variedade de materiais para resolver os problemas. Usar uma variedade de materiais pode ajudar os alunos a ver a estrutura multiplicativa que é comum a uma variedade de problemas e ajudá-los a transferir sua compreensão para situações que são novas para eles.

Esta unidade pode ser diferenciada variando a estrutura fornecida para tornar as oportunidades de aprendizagem acessíveis a uma variedade de alunos. Por exemplo:

  • aceitar o uso de estratégias de contagem pelos alunos para resolver problemas multiplicativos, conforme necessário
  • peça aos alunos que usem materiais ou diagramas para apoiar seu pensamento, conforme necessário
  • trabalhe em pequenos grupos com alunos que precisam de apoio adicional, resolvendo problemas juntos.

Concentre-se em contextos familiares que incluem situações multiplicativas para apelar aos interesses e experiências dos alunos e incentivar o envolvimento. Os exemplos podem incluir:

  • filas de alunos em grupos kapa haka
  • recolhendo sacos de pipi ou outro marisco
  • equipes de alunos competindo em waka ama
  • pães para uma escola ou evento comunitário
  • grupos de pessoas viajando em vans, carros ou ônibus
  • preparando feixes de harakeke para tecer.
  • Cubos interligados
  • Enfiando contas
  • Faixa de número
  • Papel gráfico
  • Dados de dez lados (ou dados normais)
  • Redatores um, dois e três

Começando

  1. Apresente a sessão pedindo aos alunos que trabalhem primeiro em vários grupos [conjuntos] iguais de problemas e depois peça-lhes que apresentem seus próprios problemas. Por exemplo:
    • Existem 8 carros. Cada um tem 2 pessoas. Quantas pessoas estão lá no total?
    • Existem 6 aquários. Cada tigela contém 4 peixes dourados. Quantos peixes dourados existem no total?
    • Existem 7 mesas. Cada mesa tem 3 pernas. Quantas pernas no total?
  2. Os alunos podem representar estes e outros problemas de ‘conjuntos iguais’ com:
    • torres de cubos interligados
    • enfiar contas
    • salta na linha numérica
    • cubos interligados em uma trilha numérica
    • desenhar uma imagem para mostrar o número de mesas e o número correspondente de pernas.
  3. Nota: É importante vincular os exemplos (quando possível) à estrutura de adição repetida de conjuntos equivalentes como multiplicação. Por exemplo: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28 ou 7 x 4 = 28. Discuta a que os números 4, 7 e 28 se referem e a que se referem os símbolos de operações + e x. Os símbolos de multiplicação podem ser considerados como significando "de". Por exemplo, 7 x 4 = 20 significa sete conjuntos de quatro.
  4. Agora peça aos alunos que criem problemas de palavras usando a estrutura do problema acima com respostas diferentes. Por exemplo, “Escreva um problema de multiplicação com uma resposta de 24”.
  5. Use vários conjuntos de vasilhas de sorvete (todas com o mesmo número de itens) com o conteúdo de cada uma coberta, exceto uma. Peça aos alunos que escrevam problemas de história para cada exemplo.
    • Qual estratégia os alunos usam para resolver os problemas?
    • Eles tentam contar o conteúdo de cada recipiente de sorvete pelos que são visíveis e os que estão escondidos?
    • Eles usam contagem de saltos, por exemplo 3, 6, 9, ..., ou adição repetida, por exemplo 3 + 3 = 6, 6 + 3 = 9,…?
    • Eles aplicam fatos de multiplicação, por exemplo 5 x 3 = 15 então 6 x 3 = 18 (mais 3)?
  6. Esteja ciente de que a escolha da estratégia dos alunos depende da conexão entre as condições de cada problema e a quantidade de recursos que eles têm disponíveis. Espere que as estratégias de cada aluno sejam variáveis.

Nos três dias seguintes, os alunos são expostos a uma variedade de tipos diferentes de problemas de história. Eles são encorajados a modelar os problemas usando equipamentos diferentes e explicar suas respostas aos outros. Eles pensam sobre as maneiras mais eficientes de resolver os problemas. É importante que os alunos tenham a oportunidade de construir fatos de multiplicação para 10 e depois para 20. Alguns alunos podem resolver esses problemas sem equipamento, usando o conhecimento numérico que têm disponível.

Problemas de taxa

  1. No primeiro dia, resolva vários problemas de taxa de medição. É bom se os alunos perceberem que as situações são estruturalmente semelhantes aos problemas de 'conjuntos iguais' da sessão anterior. Quantidades de medição, especialmente o tempo, são mais intangíveis do que 'sacos de' ou 'pacotes de' em situações de conjuntos iguais. A representação de problemas pode ajudar os alunos a ver a estrutura comum.
  2. Use estas situações de taxa de medição:
    [Nome] pode escrever seu nome em 10 segundos. Quanto tempo leva para escrever seu nome quatro vezes?
    Você pode selecionar um aluno para representar escrevendo seu nome e usar um relógio analógico (menos bateria) e / ou pilhas de cubos para controlar o tempo em segundos

[Nome] bebe quatro xícaras de água por dia. Quantas xícaras ele / ela bebe em uma semana?
Use copos de plástico para formar conjuntos iguais de quatro copos que estão envolvidos neste problema. Use outro material para rastrear o número de dias.

[Nome] costura cinco botões em cada camisa. Quantos botões ele precisa para oito camisetas?

[Nome] coloca três colheres de Milo em cada xícara. Quantas colheres de Milo precisa para 10 xícaras?

Multiplicative comparison

  1. On the second day of exploration use PowerPoint One to expose your students to comparison situations. The first preference of students may be to look for additive relationships. For example, here is a correct additive response to the question on Slide One.
    How much taller is Jill’s apartment block than Jack’s apartment block?
    S: Jill’s apartment block has 12 floors and Jack’s has four floors. Jill’s block is eight floors higher.

    Students may not offer a ‘times as many’ multiplicative answer. If that occurs pose this problem:
    Jill says that her apartment block is three time higher than Jack’s block. I wonder what she means?
  2. Slides Two and Three shows the additive and multiplicative comparisons that can be made.
    Look for students to note the inverse relationships:
    S: Jack’s apartment block is eight floors less (shorter) than Jill’s.
    S: Jack’s apartment block is one third of the height of Jill’s.
  1. Work through the other slides of PowerPoint One looking to see if students identify the common structure of finding difference (additive) and finding the scale factor (multiplicative).
    contains many multiplicative comparison problems. Some problems are in the form where the relationship is required while others require application of a given scale factor. Students are also encouraged to write equations to represent the situations. Let the students solve the problems, with the support of materials like counters if they need it. After a suitable time share the answers as a class.
  2. Do your students:
    • Recognise the meaning of “times as many.”?
    • Represent the situations correctly with materials?
    • Identify the scale factor and the set to be scaled?
    • Record the equations correctly?
  1. On the third day of exploration work through several array problems based on situations in which there are equal groups. When modelling arrays, it may be helpful to talk about the lines across as ‘rows’ and the lines up and down as ‘columns’. Teams with the same number of members in each are often used during the school day.
    Pose problems such as:
    The students are lined up in 3 teams for sport. Each team has 6 members. How many students are there altogether?
    Encourage the students to draw representations of problems like this using three rows (one for each team) and six columns (one for each team member). Alternatively, use the students as the objects in the problem. If students draw the situation as three columns of six it opens discussion of the commutative property since 6 x 3 = 3 x 6.
  2. Other problems you might use include:
    • A tray of eggs has five rows and six columns.How many eggs are in the tray altogether?
    • The carpark has four rows. Ten cars park in each row. How many cars can be parked altogether?
    • A chocolate block has six columns, with four pieces in each column. How many pieces are in the whole block?
    • A ‘Connect Four’ board has seven columns, with six holes in each column. How many counters can fit on the whole array?
  3. The students can model these and other array problems with
    • pegboards: pegs on a pegboard can be used to illustrate arrays in multiplication.
      For the problem above this could be talked about as 3 rows of 6 pegs or 3 sixes,
      or 3 rows of 6, or 3 x 6 = 18
      By turning the pegboard a quarter turn, the array still has a total of 18 pegs.
      This could be talked about as 6 columns of 3 pegs or 3 rows of 6 pegs or 6 threes
      or 6 columns of 3 or 6 X 3 + 18.
    • interlocking cubes
    • colouring grid paper
    • diagrams.
    contains some problems related to arrays. Encourage your students to record an equation for each array, to show how they found the total number of objects.

On the final day of the unit we play a game called Array Trap in which the students use graph paper to plot arrays.
For this activity you will need

  • a sheet of graph paper for each player (At least 30 x 20 squares)
  • 3 x ten-sided dice - each side has a different digit on it (You can use 3 x standard 1-6 dice, but the facts are limited)
  • different coloured felt pens
  1. Roll the dice and choose two, for example 8 and 2
  2. Mark out a rectangle of that size, for example 8 rows of 2, or 2 columns of 8 or a different pair of factors with the same area, for example, four columns of four.
  3. Write the multiplication basic fact in the rectangle, for example 8 x 2 = 16 or 2 x 8 = 16
  4. Players take turns until one player is trapped. That is, they are unable to find space for the array they have rolled.

Discuss strategies for the game such as:

  • Placing large arrays near the edge to maximise the space available for more arrays.
  • Renaming the factors so the array fits a given space

At school this week we have been solving multiplication problems. Here is an example of one we have worked on:

There are 6 fish bowls. Each bowl contains 4 goldfish. How many goldfish are there altogether?

At home this week I would like your child to make up two more multiplication problems for us to solve in maths.


4.4: Multiplication of Fractions - Mathematics

If two fractions have different numerators and denominators it is difficult to determine which fraction is larger. It is easier to determine which is larger if both fractions have the same denominator.

Multiply the numerator and denominator of one fraction by the same number so both fractions will have the same denominator. For example, if 5/12 and 1/3 are being compared, 1/3 should be multiplied by 4/4. It does not change the value of 1/3 to be multiplied by 4/4 (which is equal to 1) because any number multiplied by 1 is still the same number. After the multiplication (1/3 * 4/4 = 4/12), the comparison can be made between 5/12 and 4/12.

You may have to multiply both fractions by different numbers to produce the same denominator for both fractions. For example if 2/3 and 3/4 are compared, we need to multiply 2/3 by 4/4 to give 8/12 and multiply 3/4 by 3/3 to give 9/12. The fraction 3/4 which is equal to 9/12 is larger than 2/3 which is equal to 8/12.

The fraction with the larger numerator is the larger fraction if the denominators are the same.


4.4: Multiplication of Fractions - Mathematics

One of the areas most frustrating for teachers and students alike is the study of fractions, specifically operations with fractions. Year after year, students learn e forget how to add, subtract, multiply and divide with fractions. The main reason students have difficulties with fractions is that they seem to want to memorize formulas or algorithms instead of understanding them.

Manipulatives, when used to introduce concepts about fractions, help students understand the ideas about fractions. Pattern blocks and fraction blocks have many uses in learning mathematical concepts, but they are especially useful in learning about fractions.

For those unfamiliar with pattern blocks, the basic set consists of 6 shapes:

In recent years, fraction blocks have become available to supplement the basic pattern blocks. The additional shapes are:

For the purpose of studying fractions, we will be using the double hexagon, the hexagon, the chevron, the trapezoid, the blue rhombus and the triangle.

Have students work in pairs with the blocks. Have the students discover the relationships between these 6 blocks:

  • how many green blocks are equivalent to a blue block, or a red block, or a black block, or a yellow block, or a pink block?
  • how many red blocks are equivalent to a yellow block, or a pink block?
  • how many blue blocks are equivalent to a black block, or a yellow block, or a pink block?
  • How many black blocks are equivalent to a pink block?

We will use the pink double hexagon as the unit 1.

Each student should have an outline of this form to use with the blocks. The teacher should have this outline on an overhead to work along with the students.

Lesson 1-Equivalent Fractions

Have the students cover the form with yellow blocks. What fraction of the whole does 1 yellow block represent? (1/2) Write this fraction down on the overhead, the blackboard or chart paper for future reference.

Clear the outline. Have them cover the outline with black blocks. What fraction of the whole does 1 black block represent? (1/3) 2 black blocks? (2/3) 3 black blocks? 3/3 Write these fractions down.

Clear the outline. Have them cover the outline with red blocks. What fraction of the whole does 1 red block represent? (1/4) 2 red blocks? (2/4) 3 red blocks? (3/4) 4 blocks (4/4) Write these fractions down.

Which of these 4 fractions is the same as 1/2? Ask students to show this on their outline. Ask a student to show it on the overhead.

Clear the outline. Have the students cover the outline with blue blocks. What fraction of the whole does 1 blue block represent? (1/6) 2 blue blocks? (2/6) 3 blue blocks? (3/6) 4 blue blocks? (4/6) 5 blue blocks? (5/6) 6 blue blocks? (6/6) Write these fractions down.

Which of these fractions is the same as 1/2? Ask students to show and explain this using their blocks.

Which of these fractions is the same as 1/3? 2/3? Ask students to show and explain this using their blocks.

Clear the outline. Have the students cover the outline with green blocks. What fraction of the whole does 1 green block represent? (1/12) . 12 green blocks? (12/12) Write these fractions down.

Have the students show and list all fractions equivalent to 1/2.

Have the students show and list all fractions equivalent to 1/4, 3/4, 1/3, 2/3, 1, etc.

Have students list all fractions smaller (but greater than 0) than 1/2.

Have students list all fractions greater (but smaller than 1) than 1/2.

Have students list from smallest to greatest all the fractions which can be represented by the blocks (up to 1).

If the outline represents 1, show 1 1/2 using yellow blocks, or red blocks.

Show 2 1/4 using a variety of blocks.

This lesson allows students to understand and become familiar with equivalent fractions and the order of fractions.

Lesson 2-Addition of Fractions

  • start with 2 different blocks
  • ask what fraction of the whole it represents
  • exchange the blocks with "equivalents".

Lesson 3-Subtraction of Fractions

When students are comfortable with addition, they can then proceed with subtraction.

The principle is the same as for addition - the idea of equivalent fractions.

Lesson 4-Multiplication of Fractions

Cover the outline with 1 yellow block. Tell students you only want 1/2 of that block. How can they show that? (They could replace the yellow block with 2 red blocks and take one of these away). Now,what fraction of the whole outline does this block represent? (1/4)

Next write the following equation on the board: 1/2 x 1/2 = 1/4 and show with the blocks that this is what was just done.

Repeat using a yellow block but wanting 1/3 of the block. (The yellow block will be replaced with 3 blue blocks and one of them will be kept). What fraction of the whole outline does this block represent? (1/6)

Write the equation on the board (1/2 x 1/3 = 1/6) and show this with the blocks. Continue with (1/3 x 1/2 = 1/6).

Next write a new equation on the board (1/4 x 1/3 = ) and ask students to show and explain how they can solve this using the blocks.

Keep the equations on the board. Some students may discover that there is a pattern when it comes to multiplying fractions (multiplying the numerators and multiplying the denominators).

Many lessons can be used to develop these concepts, eventually using fractions with numerators larger than 1 and using fractions greater than 1.

Don't forget to always show the link between the blocks and the symbols.

Lesson 5- Division of Fractions

Sim! Pattern blocks can be used to show the concept of division of fractions.

Write the following equation on the board: 1/2 / 1/2 = . Indicate that this is not the same as 1/2 x 1/2. Cover the outline with 1 yellow block representing the first 1/2. Next pick up a second yellow block representing the second 1/2 and ask the following question: How many of this block would fit in the block on the outline? (1) Write the answer at the end of the equation. The question represents this particular concept of fraction.

Try another 1/2 / 1/4 = . Cover the outline with 1 yellow block to represent 1/2 and pick up a red block to represent 1/4. How many of this red block does it take to cover the yellow block? (2). Write the answer at the end of the equation.

Try 4 or 5 more. Students will become very good at this. Keep writing the equations and the answers on the board. The pattern is not so obvious but students may realize that by inverting the second fraction, they can find the answer.

What is important here is that students understand what it means when we divide fractions. It will help them visualize the kind of answer they should be getting, to estimate the answer. This is a very valuable tool.

At any time during the lessons, please allow time for students to express their thinking and concerns about what they are learning.

All of these "lessons" require more than one math period.

The outline can be made by tracing around one pink piece and photocopying it for the students and making an overhead for the teacher.

Pattern blocks are sold in buckets. Three buckets are the minimum number of buckets a classroom should have to ensure that students have enough of the pieces needed. Fraction blocks (the 2 new shapes) are sold separately. Blocks can be stored in Ziploc type bags, one bag for each pair of students (this saves a lot of class time).

Pattern blocks and fraction blocks can be purchased through Exclusive Educational Products (www.exclusiveeducational.ca), Spectrum (www.spectrumed.com) and other places.

Also available are pattern blocks for use on the overhead projector, magnetic fraction blocks (containing all the shapes needed for fractions) and binders of activities related to pattern blocks (French and English) these activities relate to problem solving, geometry, perimeter, area, fractions, etc. These binders include activities for K-8. In particular the binder called Fraction Blocks (French and English) is devoted exclusively to fractions. These binders are available through Exclusive Educational Products (www.exclusiveeducational.ca).

The use of the pattern blocks and fraction blocks to teach understanding of concepts related to fractions limits the fractions which can be used. But this is not necessarily a disadvantage. If students understand the concepts using these fractions, they will be able to make the connections to other fractions.

According to the Saskatchewan Mathematics Curriculum:

students should be able to add and subtract fractions with like denominators using manipulatives and pictures in grades 5 and 6

students should be able to add and subtract fractions with unlike denominators using denominators using manipulatives and pictures in grades 7 and 8

students should be able to multiply fractions using manipulatives and pictures in grades 7 and 8

students should be able to divide fractions using manipulatives and pictures in grades 7 and 8.

Only in grades 8 and 9 will students be expected to divide fractions using symbols only.

You can even evaluate students' knowledge of fractions using manipulatives.

As a test, hand out a sheet with problems involving fractions and let the students use the pattern blocks. Have the students' draw the outline of the blocks they have used to solve the problems.

What you will be assessing is the students' understanding of the concepts involved with fractions and operations.

Other ways of evaluating students' understanding using blocks can be devised. You may wish to share some of your ideas about teaching and assessing by sending them to this web site. Don't be shy!


Assista o vídeo: Mnożenie ułamków zwykłych o takich samych i różnych mianownikach (Dezembro 2021).