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10: Frações


O “Pies Per Child[1]A abordagem das frações usada nesta parte vem de James Tanton e é usada com sua permissão. Veja o desenvolvimento dessas e de outras idéias em http://gdaymath.com/.


  1. Imagem de pizza de Claus Ableiter (Trabalho do próprio) [GFDL, CC-BY-SA-3.0 ou CC BY-SA 2.5-2.0-1.0], via Wikimedia Commons

Calculadora de frações

O resultado escrito em palavras é sete quintos (ou um e dois quintos).

Como você resolve as frações passo a passo?

  1. Dividir: 7/10: 1/2 = 7/10 · 2/1 = 7 · 2/10 · 1 = 14/10 = 2 · 7/2 · 5 = 7/5
    Dividir duas frações é o mesmo que multiplicar a primeira fração pelo valor recíproco da segunda fração. A primeira subetapa é encontrar o recíproco (inverta o numerador e o denominador, o recíproco de 1/2 é 2/1) da segunda fração. Em seguida, multiplique os dois numeradores. Então, multiplique os dois denominadores. Na próxima etapa intermediária,, cancelar por um fator comum de 2 resulta em 7/5.
    Em palavras - sete décimos divididos pela metade = sete quintos.

Regras para expressões com frações:

Frações - use a barra “/” entre o numerador e o denominador, ou seja, para cinco centésimos, insira 5/100. Se você estiver usando números mistos, certifique-se de deixar um único espaço entre o todo e a parte fracionária.
A barra separa o numerador (número acima de uma linha de fração) e denominador (número abaixo).

Numerais mistos (frações mistas ou números mistos) são escritos como inteiros diferentes de zero separados por um espaço e fração, ou seja, 1 2/3 (tendo o mesmo sinal). Um exemplo de uma fração mista negativa: -5 1/2.
Como a barra é um sinal de linha de fração e divisão, recomendamos o uso de dois pontos (:) como o operador de frações de divisão, ou seja, 1/2 : 3.

Decimais (números decimais) entram com um ponto decimal . e eles são automaticamente convertidos em frações - ou seja, 1.45.

O cólon : e barra / é o símbolo da divisão. Pode ser usado para dividir números mistos 1 2/3 : 4 3/8 ou pode ser usado para escrever frações complexas, ou seja, 1/2 : 1/3.
Um asterisco * ou × é o símbolo de multiplicação.
Mais + é adição, sinal de menos - é subtração e ()[] é parênteses matemáticos.
O símbolo de exponenciação / potência é ^ - por exemplo: (7/8-4/5)^2 = (7/8-4/5) 2

Exemplos:

A calculadora segue regras bem conhecidas para ordem de operações. Os mnemônicos mais comuns para lembrar essa ordem de operações são:
PEMDAS - Parênteses, expoentes, multiplicação, divisão, adição, subtração.
BEDMAS - Parênteses, expoentes, divisão, multiplicação, adição, subtração
BODMAS - Parênteses, de ou ordem, divisão, multiplicação, adição, subtração.
GEMDAS - Símbolos de agrupamento - colchetes () <>, expoentes, multiplicação, divisão, adição, subtração.
Tenha cuidado, sempre faça multiplicação e divisão antes da adição e subtração. Alguns operadores (+ e -) e (* e /) têm a mesma prioridade e devem ser avaliados da esquerda para a direita.


Em vez disso, é necessário encontrar a fração mais próxima com o denominador que é uma potência de 2, também conhecido como fração diádica ou número racional diádico. [1] As frações típicas em polegadas serão semelhantes a 1/64, 1/32, 1/16, 1/8, 1/4 ou 1/2. Use nossa calculadora de pés e polegadas para adicionar ou subtrair frações em pés e polegadas.

Encontrar as medidas em uma régua ou fita métrica pode ser confuso no início, mas depois que você entender como as marcas são dispostas, será muito mais simples. As marcações entre os números maiores em polegadas variam em comprimento.

As marcações mais longas serão marcações de um quarto de polegada, ou seja, a primeira marcação é de 1/4 de polegada, a segunda é de 1/2 (2/4) de polegada, a terceira é de 3/4 de polegada.

As próximas marcações mais longas serão as marcações de oitava polegada, ou seja, a primeira marcação é de 1/8 de polegada, a segunda é de 3/8 de polegada, a terceira é de 5/8 de polegada, etc.

As próximas marcações mais longas serão as marcações de décimo sexto polegada, ou seja, a primeira marcação é 1/16 polegada, a segunda é 3/16 polegada, a terceira é 5/16 polegada, etc.


As 10 maneiras para os alunos dominarem as frações

1.) Observe a linguagem que usamos na sala de aula. Às vezes, a linguagem que usamos na sala de aula pode realmente confundir os alunos. Por exemplo, se dissermos uma fração imprópria (embora eu saiba que alguns distritos exigem isso), pode ser confuso e parecer que se eles escreverem uma fração dessa forma, está errado. Em vez disso, pode chamá-lo de fração & ldquog maior que um & rdquo, que também pode ser usado quando você usa o termo número misto. (Eu sei que parece loucura, mas é verdade!) Outro exemplo é quando usamos o termo & ldquoreduzir frações. & Rdquo Para os alunos, isso soa como se a fração estivesse ficando menor quando, na realidade, não estamos fazendo frações menores & ndash lembre-se, elas são equivalentes com maior peças. Você vê com que rapidez um aluno pode começar a pensar que 2/5 é menor que 4/10 porque dissemos que o reduzimos? Nem sempre nos parece confuso porque conhecemos bem o material.

2.) Ajude os alunos a ver que o numerador e o denominador de uma fração são um único valor& ndash um único número. Freqüentemente, os alunos os vêem como dois valores separados porque nos referimos a eles como & ldquothe número superior & rdquo e & ldquothe número inferior. & Rdquo (veja, há & rsquos esse idioma novamente). Às vezes, também o chamaremos de & ldquothree em quatro & rdquo ou & ldquothree em quatro. & Rdquo Em vez disso, devemos chamá-lo do número que é, três quartos. Se você quiser enfatizar a relação com a divisão, lembre aos alunos de ver o denominador como o divisor e o numerador como o multiplicador. Isso significa, 3 vezes o que você obtém quando divide um todo em 4 partes, ou 3 e divide 4. Além disso, você pode ajudar os alunos a ver que as frações são números, usando continuamente uma reta numérica.

3.) Os alunos devem entender que as partes tem que ser partes de tamanhos iguais. Conheci muitos alunos ao longo dos anos que acreditam que 2/3 significa 2 partes, não partes de tamanhos iguais. Neste exemplo abaixo, se você perguntasse a seus alunos quanto está sombreado, eles diriam 3/4 ou 1/2?

O que favorece esse mal-entendido, às vezes, são nossos modelos de área desenhados pelos alunos. Como os alunos do ensino fundamental têm falta de precisão, eles podem facilmente criar partições desiguais e acreditam que as partes não precisam ser iguais. Uma maneira de combater isso é fornecer modelos de contorno, mas outra é mostrar contra-exemplos de modelos desenhados de maneira imprecisa. O lembrete contínuo de que as partes precisam ser iguais também é importante.

4.) Precisamos construir um senso de & ldquofraction. & Rdquo Isso significa que precisamos ter certeza de que estamos enfatizando muito mais o significado das frações. Na verdade, é altamente recomendável que os professores esperem para ensinar os & ldquoalgorithms & rdquo ou & ldquoprocedures & rdquo de quaisquer frações até que os alunos tenham explorado completamente os métodos concretos de quaisquer conceitos de fração. Por exemplo, muitas vezes os alunos são levados para o método de multiplicação cruzada quando se trata de comparar frações, a multiplicação de frações equivalentes ou números impróprios / mistos, ou o algoritmo para multiplicar e dividir sem nem mesmo entender por quê. Em minha postagem, Ensinando matemática para que os alunos entendam, eu explico como os alunos aprendem matemática melhor.

5.) Ajude os alunos a realmente entender o tamanho das frações. Freqüentemente, os alunos ficam confusos porque pensam em termos de números inteiros. Com números inteiros, 5 é menor que 10. Com frações, 1/5 é na verdade muito maior que 1/10. Isso é confuso para as crianças, a menos que elas tenham MUITA prática observando TONELADAS de imagens. Eles precisam praticar até que possam instantaneamente dizer que 1/10 é menor porque tem mais peças. Apenas dizer a uma criança que quanto maior o denominador, menor o número não vai ajudar em nada. Em especial, não ajudaria muito quando eles chegassem a problemas como 7/10 vs 1/5. Peça aos alunos que pratiquem isso e olhem repetidamente até que consigam visualizá-lo! É SOOO crítico!

6.) Use uma variedade de modelos de fração e conecte esses modelos a contextos do mundo real. O uso repetido dessas ferramentas físicas pode levar ao uso de modelos mentais e compreensão. Às vezes é útil fazer a mesma atividade com duas representações diferentes para ajudar os alunos a realmente entender. Esses modelos de fração seriam:

  • Modelos de Área & ndash Normalmente compartilhando tarefas, corte em partes menores. Este é o mais comumente usado. Os exemplos seriam peças & ldquopie & rdquo, regiões retangulares, geoboard, blocos de padrão, dobra de papel, desenhos em papel quadriculado ou papel pontilhado.
  • Modelos de comprimento ou medição & ndash Estes mostram comprimentos contínuos ou medidas são comparadas. Eles são linhas numéricas ou faixas de frações. As linhas são normalmente subdivididas, embora uma ferramenta de medição com uma escala também possa ser usada (régua, copo medidor, termômetro). Os exemplos seriam tiras de frações, hastes Cuisenaire, tiras de papel dobradas, régua, linha numérica. ** O número em uma linha designa a distância do ponto identificado de zero, não o ponto em si. **
  • Definir modelos & ndash O todo é entendido como um conjunto de objetos individuais (discretos) e subconjuntos do todo, constituindo partes fracionárias. Um exemplo seria um conjunto de 12 objetos é o todo, enquanto 3 objetos são circundados com fios, então 3/12 ou 1/4. Pode ser usado com contadores de duas cores.

7.) Encorajar o uso de estimativas e benchmarks. A estimativa ajuda os alunos a saber & ldquoabout & rdquo o tamanho de uma fração específica e os alunos devem ser capazes de usá-la para comparar frações e, mais tarde, com operações. Como os alunos geralmente ficam menos confiantes com as estimativas, ajude-os usando benchmarks em uma reta numérica. Eu uso os benchmarks (pontos de referência) 0, 1/2 e 1. Se o número for maior que um, ainda uso os mesmos benchmarks, apenas com os números entre os quais o número misto se enquadra. Como acima, pratique até que os alunos possam realmente visualizar isso.

8.) Gaste muito tempo ensinando frações equivalentes. Frações equivalentes são um conceito importante que é fundamental para tudo em frações & ndash das operações aos relacionamentos, à magnitude. Fornece aos alunos muita prática com frações equivalentes em uma variedade de modelos. Certifique-se de que eles realmente entendam e entendam por que as frações são iguais. Don & rsquot ensina o método de multiplicação até que os alunos possam ilustrar para você por que as frações são equivalentes. Em seguida, faça com que comecem a notar o padrão e trabalhem até o método de multiplicação.

9.) Cuidado com o uso de regras de operações com números inteiros sendo usados ​​com frações. Tenho certeza de que todos nós já vimos alunos adicionarem, até mesmo frações unitárias, antes como se estivessem adicionando números inteiros. Por exemplo, 1/2 + 1/2 = 2/4. O que eles estão fazendo é somar as frações como se fossem números inteiros, em vez de pensar no significado das frações. Isso demonstra que eles não têm senso de fração e não estão visualizando a fração. Podemos evitar isso proporcionando muita prática com partes fracionárias para que eles possam começar a visualizá-lo & ndash mesmo se for apenas as frações unitárias.

10.) Incorpore frações tão frequentemente quanto possível. Por exemplo, se você tiver um minuto durante a aula, pergunte rapidamente, & ldquowhat fração da classe está usando suéteres hoje? & Rdquo Seja criativo. Encontrar maneiras de incluir frações em sua rotina diária ajudará a dar aos alunos uma prática diária regular, mantê-la fresca em sua mente e ajudá-los a ver a relevância disso.

Com essas 10 práticas recomendadas, você com certeza ajudará seus alunos a dominar as frações e criar um conceito difícil em salas de aula de matemática elementar em todos os lugares!

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Sobre frações

Uma fração é o resultado da divisão de dois números inteiros. Em outras palavras, uma fração descreve quantas partes de um determinado tamanho existem, por exemplo, metade, cinco oitavos, três quartos ou sete nove. Uma fração consiste em um numerador e um denominador (o número acima da pontuação é chamado de numerador, o número abaixo da pontuação é o denominador). O numerador representa várias partes iguais e o denominador indica quantas dessas partes formam um todo. O denominador não pode ser zero. Se o numerador for menor que o denominador, a fração está localizada entre 0 e 1.


Instruções básicas para as planilhas

Cada planilha é gerada aleatoriamente e, portanto, única. O a chave de resposta é gerada automaticamente e é colocado na segunda página do arquivo.

Você pode gerar as planilhas em formato html ou PDF & mdash são fáceis de imprimir. Para obter a planilha em PDF, basta apertar o botão intitulado "Criar PDF" ou "Faça planilha em PDF". Para obter a planilha em formato html, aperte o botão"Ver no navegador" ou "Faça planilha html". A vantagem é que você pode salvar a planilha diretamente do navegador (escolha Arquivo e salvar) e depois Edite-o no Word ou outro programa de processamento de texto.

Às vezes, a planilha gerada não é exatamente o que você deseja. Apenas tente novamente! Para obter uma planilha diferente usando as mesmas opções:


Conteúdo

Edição de Definição

O maior divisor comum (GCD) de dois inteiros diferentes de zero aeb é o maior inteiro positivo d tal que d é um divisor de aeb, ou seja, existem números inteiros e e f tais que uma = de e b = df , e d é o maior desses números inteiros. O GCD de a e b é geralmente denotado por gcd (uma, b) . [9]

Esta definição também se aplica quando um de a e b é zero. Neste caso, o GCD é o valor absoluto do número inteiro diferente de zero: gcd (uma, 0) = mdc (0, uma) = | uma | . Este caso é importante como a etapa final do algoritmo euclidiano.

A definição acima não pode ser usada para definir mdc (0, 0), uma vez que 0 × n = 0 e zero, portanto, não tem o maior divisor. No entanto, zero é seu próprio maior divisor se o melhor é entendido no contexto da relação de divisibilidade, então mdc (0, 0) é comumente definido como 0. Isso preserva as identidades usuais para GCD, e em particular a identidade de Bézout, ou seja, aquele mdc (uma, b) gera o mesmo ideal que <uma, b>. [10] [11] [12] Esta convenção é seguida por muitos sistemas de álgebra computacional. [13] No entanto, alguns autores deixam mdc (0, 0) indefinido. [14]

O GCD de aeb é seu maior divisor comum positivo na relação de divisibilidade de pré-ordem. Isso significa que os divisores comuns de aeb são exatamente os divisores de seu GCD. Isso é comumente provado usando o lema de Euclides, o teorema fundamental da aritmética ou o algoritmo euclidiano. Este é o significado de "maior" que é usado para generalizações do conceito de GCD.

Edição de exemplo

O número 54 pode ser expresso como um produto de dois inteiros de várias maneiras diferentes:

54 × 1 = 27 × 2 = 18 × 3 = 9 × 6.

Destes, o maior é 6, por isso é o maior divisor comum:

Calcular todos os divisores dos dois números dessa maneira geralmente não é eficiente, especialmente para números grandes com muitos divisores. Métodos muito mais eficientes são descritos em § Cálculo.

Edição de números coprime

Dois números são chamados de relativamente primos, ou coprimos, se seu maior divisor comum for igual a 1. [15] Por exemplo, 9 e 28 são relativamente primos.

Uma vista geométrica Editar

Por exemplo, uma área retangular de 24 por 60 pode ser dividida em uma grade de: quadrados 1 por 1, quadrados 2 por 2, quadrados 3 por 3, quadrados 4 por 4, 6 por -6 quadrados ou quadrados 12 por 12. Portanto, 12 é o maior divisor comum de 24 e 60. Uma área retangular de 24 por 60 pode ser dividida em uma grade de quadrados de 12 por 12, com dois quadrados ao longo de uma borda (24/12 = 2) e cinco quadrados ao longo do outro (60/12 = 5).

Edição de redução de frações

O maior divisor comum é útil para reduzir as frações aos termos mais baixos. [16] Por exemplo, mdc (42, 56) = 14, portanto,

Edição múltipla menos comum

O máximo divisor comum pode ser usado para encontrar o mínimo múltiplo comum de dois números quando o máximo divisor comum é conhecido, usando a relação, [1]

Usando fatorações primárias Editar

Os maiores divisores comuns podem ser calculados determinando as fatorações principais dos dois números e comparando os fatores. Por exemplo, para calcular o mdc (48, 180), encontramos as fatorações principais 48 = 2 4 · 3 1 e 180 = 2 2 · 3 2 · 5 1 o GCD é então 2 min (4,2) · 3 min ( 1,2) · 5 min (0,1) = 2 2 · 3 1 · 5 0 = 12, conforme mostrado no diagrama de Venn. O LCM correspondente é então 2 máx. (4,2) · 3 máx. (1,2) · 5 máx. (0,1) = 2 4 · 3 2 · 5 1 = 720.

Na prática, esse método só é viável para números pequenos, pois o cálculo das fatorações de primos leva muito tempo.

Algoritmo de Euclides Editar

O método introduzido por Euclides para calcular os maiores divisores comuns é baseado no fato de que, dados dois inteiros positivos a e b tais que uma & gt b , os divisores comuns de a e b são os mesmos que os divisores comuns de umab e B .

Portanto, o método de Euclides para calcular o maior divisor comum de dois inteiros positivos consiste em substituir o maior número pela diferença dos números e repetir isso até que os dois números sejam iguais: esse é seu maior divisor comum.

Por exemplo, para calcular mcd (48,18), procede-se da seguinte forma:

Este método pode ser muito lento se um número for muito maior que o outro. Portanto, a variante a seguir é geralmente preferida.

Algoritmo Euclidiano Editar

Um método mais eficiente é o Algoritmo euclidiano, uma variante em que a diferença dos dois números a e b é substituída pelo restante da divisão euclidiana (também chamada de divisão com resto) de a por b.

Denotando este resto como uma mod b , o algoritmo substitui (uma, b) de (b, uma mod b) repetidamente até que o par seja (d, 0), onde d é o máximo divisor comum.

Por exemplo, para calcular o gcd (48,18), o cálculo é o seguinte:

Isso novamente dá mdc (48, 18) = 6.

Algoritmo GCD de Lehmer Editar

O algoritmo de Lehmer é baseado na observação de que os quocientes iniciais produzidos pelo algoritmo de Euclides podem ser determinados apenas com base nos primeiros dígitos, o que é útil para números maiores do que uma palavra de computador. Em essência, extrai-se os dígitos iniciais, normalmente formando uma ou duas palavras de computador, e executam-se os algoritmos de Euclides nesses números menores, desde que seja garantido que os quocientes sejam iguais aos que seriam obtidos com os números originais. Esses quocientes são coletados em uma pequena matriz de transformação 2 por 2 (que é uma matriz de inteiros de uma única palavra), para usá-los todos de uma vez para reduzir os números originais [ esclarecimento necessário ] Este processo é repetido até que os números sejam pequenos o suficiente para que o algoritmo binário (veja abaixo) seja mais eficiente.

Este algoritmo melhora a velocidade, porque reduz o número de operações em números muito grandes e pode usar aritmética de hardware para a maioria das operações. Na verdade, a maioria dos quocientes são muito pequenos, então um bom número de etapas do algoritmo euclidiano pode ser coletado em uma matriz 2 por 2 de inteiros de uma única palavra. Quando o algoritmo de Lehmer encontra um quociente muito grande, ele deve retornar a uma iteração do algoritmo euclidiano, com uma divisão euclidiana de números grandes.

Algoritmo Binário GCD Editar

O algoritmo binário GCD usa apenas subtração e divisão por 2. O método é o seguinte: Let uma e b ser os dois inteiros não negativos. Deixe o inteiro d seja 0. Existem cinco possibilidades:

Como gcd (uma, uma) = uma, o GCD desejado é uma × 2 d (Como uma e b são alterados nos outros casos, e d registra o número de vezes que uma e b foram divididos por 2 na próxima etapa, o GCD do par inicial é o produto de uma e 2 d ).

Então 2 é um divisor comum. Divida os dois uma e b por 2, incremento d por 1 para registrar o número de vezes que 2 é um divisor comum e continuar.

Então 2 não é um divisor comum. Dividir uma por 2 e continue.

Então 2 não é um divisor comum. Dividir b por 2 e continue.

Como gcd (uma,b) = gcd (b,uma), E se uma & lt b então troque uma e b. O número c = umab é positivo e menor que uma. Qualquer número que divide uma e b também deve dividir c então cada divisor comum de uma e b também é um divisor comum de b e c. Similarmente, uma = b + c e cada divisor comum de b e c também é um divisor comum de uma e b. Então, os dois pares (uma, b) e (b, c) têm os mesmos divisores comuns e, portanto, gcd (uma,b) = gcd (b,c) Além disso, como uma e b são ambos estranhos, c é uniforme, o processo pode ser continuado com o par (uma, b) substituídos pelos números menores (c/2, b) sem alterar o GCD.

Cada uma das etapas acima reduz pelo menos um dos uma e b embora os deixe não negativos e, portanto, só podem ser repetidos um número finito de vezes. Assim, eventualmente, o processo resulta em uma = b, o caso de parada. Então o GCD é uma × 2 d .

Exemplo: (uma, b, d) = (48, 18, 0) → (24, 9, 1) → (12, 9, 1) → (6, 9, 1) → (3, 9, 1) → (3, 3, 1) o GCD original é, portanto, o produto 6 de 2 d = 2 1 e uma= b= 3.

O algoritmo binário GCD é particularmente fácil de implementar em computadores binários. Sua complexidade computacional é

A complexidade computacional é geralmente dada em termos do comprimento n da entrada. Aqui, este comprimento é n = log ⁡ a + log ⁡ b, < displaystyle n = log a + log b,> e a complexidade é assim

Outros métodos Editar

Se uma e b são ambos diferentes de zero, o maior divisor comum de uma e b pode ser calculado usando o mínimo múltiplo comum (LCM) de uma e b:

mas mais comumente o LCM é calculado a partir do GCD.

que generaliza para uma e b números racionais ou números reais comensuráveis.

Keith Slavin mostrou que por estranho uma ≥ 1:

que é uma função que pode ser avaliada para b. [18] Wolfgang Schramm mostrou que

é uma função inteira na variável b para todos os inteiros positivos uma Onde cd(k) é a soma de Ramanujan. [19]

Complexidade Editar

A complexidade computacional do cálculo dos maiores divisores comuns tem sido amplamente estudada. [20] Se alguém usar o algoritmo Euclidiano e os algoritmos elementares para multiplicação e divisão, o cálculo do máximo divisor comum de dois inteiros de no máximo n bits é O (n 2). < displaystyle O (n ^ <2>).> Isso significa que o cálculo do maior divisor comum tem, até um fator constante, a mesma complexidade da multiplicação.

No entanto, se um algoritmo de multiplicação rápida for usado, pode-se modificar o algoritmo euclidiano para melhorar a complexidade, mas o cálculo de um maior divisor comum torna-se mais lento do que a multiplicação. Mais precisamente, se a multiplicação de dois inteiros de n bits levar um tempo de T(n), então o algoritmo conhecido mais rápido para o maior divisor comum tem uma complexidade O (T (n) log ⁡ n). < displaystyle O left (T (n) log n right).> Isso implica que o algoritmo conhecido mais rápido tem uma complexidade de O (n (log ⁡ n) 2). < displaystyle O left (n , ( log n) ^ <2> right).>

Complexidades anteriores são válidas para os modelos usuais de computação, especificamente máquinas de Turing multitape e máquinas de acesso aleatório.

O cálculo dos maiores divisores comuns pertence, portanto, à classe de problemas solucionáveis ​​em tempo quase-linear. Uma fortiori, o problema de decisão correspondente pertence à classe P de problemas solucionáveis ​​em tempo polinomial. O problema de GCD não é conhecido como NC e, portanto, não há maneira conhecida de paralelizá-lo de forma eficiente nem como P-completo, o que implicaria que é improvável que seja possível paralelizar de forma eficiente a computação de GCD. Shallcross et al. mostraram que um problema relacionado (EUGCD, determinando a sequência restante que surge durante o algoritmo euclidiano) é NC-equivalente ao problema de programação linear inteira com duas variáveis ​​se algum dos problemas estiver NC ou é P-completo, o outro também. [21] Desde NC contém NL, também não se sabe se existe um algoritmo de espaço eficiente para calcular o GCD, mesmo para máquinas de Turing não determinísticas.

Embora o problema não seja conhecido NC, algoritmos paralelos assintoticamente mais rápidos que o algoritmo Euclidiano existem, o algoritmo determinístico mais rápido conhecido é o de Chor e Goldreich, que (no modelo CRCW-PRAM) pode resolver o problema em O(n/registro n) tempo com n 1 + ε processadores. [22] Algoritmos randomizados podem resolver o problema em O((registro n) 2) tempo em exp ⁡ (O (n log ⁡ n)) < displaystyle exp left (O left (< sqrt > right) right)> processadores [ esclarecimento necessário ] (isso é superpolinomial). [23]

  • Cada divisor comum de uma e b é um divisor de mdc (uma, b) .
  • gcd (uma, b) , Onde uma e b não são ambos zero, podem ser definidos alternativamente e equivalentemente como o menor número inteiro positivo d que pode ser escrito na forma d = umap + bq , Onde p e q são inteiros. Essa expressão é chamada de identidade de Bézout. Números p e q assim, pode ser calculado com o algoritmo Euclidiano estendido.
  • gcd (uma, 0) = | uma | , para uma ≠ 0, uma vez que qualquer número é um divisor de 0, e o maior divisor de uma é | uma | [3] [6] Isso geralmente é usado como o caso base no algoritmo euclidiano.
  • Se uma divide o produto bc, e gcd (uma, b) = d , então uma/d divide c.
  • Se m é um número inteiro não negativo, então gcd (muma, mb) = m⋅gcd (uma, b) .
  • Se m é qualquer número inteiro, então gcd (uma + mb, b) = gcd (uma, b) .
  • Se m é um divisor comum positivo de uma e b, então gcd (uma/m, b/m) = gcd (uma, b)/m .
  • O GCD é uma função multiplicativa no seguinte sentido: se uma1 e uma2 são relativamente primos, então gcd (uma1uma2, b) = gcd (uma1, b) ⋅gcd (uma2, b) Em particular, lembrando que GCD é uma função de valor inteiro positivo, obtemos que gcd (uma, bc) = 1 se e somente se mdc (uma, b) = 1 e mdc (uma, c) = 1 .
  • O GCD é uma função comutativa: gcd (uma, b) = gcd (b, uma) .
  • O GCD é uma função associativa: gcd (uma, gcd (b, c)) = mdc (mdc (uma, b), c) Assim, gcd (uma, b, c,. ) pode ser usado para denotar o GCD de vários argumentos.
  • gcd (uma, b) está intimamente relacionado ao lcm múltiplo menos comum (uma, b): temos mdc (uma, b) ⋅lcm (uma, b) = | umab | .
  • As seguintes versões de distributividade são verdadeiras: gcd (uma, lcm (b, c)) = lcm (gcd (uma, b), gcd (uma, c)) lcm (uma, gcd (b, c)) = mdc (lcm (uma, b), lcm (uma, c)) .
  • Se tivermos as fatorações primárias únicas de uma = p1e1p2e2 ⋅⋅⋅ pmem e b = p1f1p2f2 ⋅⋅⋅ pmfm Onde eeu ≥ 0 e feu ≥ 0 , então o GCD de uma e b é gcd (uma,b) = p1 min (e1,f1) p2 min (e2,f2) ⋅⋅⋅ pm min (em,fm) .
  • Às vezes é útil definir gcd (0, 0) = 0 e lcm (0, 0) = 0, porque então os números naturais tornam-se uma rede de distribuição completa com GCD como encontro e LCM como operação de junção. [24] Esta extensão da definição também é compatível com a generalização para anéis comutativos dada abaixo.
  • Em um sistema de coordenadas cartesianas, gcd (uma, b) pode ser interpretado como o número de segmentos entre pontos com coordenadas integrais no segmento de linha reta que une os pontos (0, 0) e (uma, b) .
  • Para inteiros não negativos uma e b, Onde uma e b não são ambos zero, prováveis ​​considerando o algoritmo euclidiano na base n: [25] gcd (numa − 1, nb − 1) = n gcd (uma,b) − 1 .
  • Uma identidade envolvendo a função totiente de Euler: mdc (a, b) = ∑ k | a e k | b φ (k). < displaystyle gcd (a, b) = sum _> k | b> varphi (k).>

Em 1972, James E. Nymann mostrou que k inteiros, escolhidos independentemente e uniformemente de <1,. n>, são coprimes com probabilidade 1 /ζ(k) Como n vai para o infinito, onde ζ refere-se à função zeta de Riemann. [26] (Veja coprime para uma derivação.) Este resultado foi estendido em 1987 para mostrar que a probabilidade de que k inteiros aleatórios têm o maior divisor comum d é d −k / ζ (k). [27]

Usando essas informações, o valor esperado da função do maior divisor comum pode ser visto (informalmente) como não existindo quando k = 2. Neste caso, a probabilidade de que o GCD seja igual d é d −2 / ζ (2), e como ζ (2) = π 2/6, temos

Este último somatório é a série harmônica, que diverge. Porém, quando k ≥ 3, o valor esperado é bem definido e, pelo argumento acima, é

Para k = 3, isso é aproximadamente igual a 1,3684. Para k = 4, é aproximadamente 1,1106.

A noção de máximo divisor comum pode mais geralmente ser definida para elementos de um anel comutativo arbitrário, embora em geral não precise existir um para cada par de elementos.

Se R é um anel comutativo, e aeb estão em R, então um elemento d de R é chamado de divisor comum de a e b se divide a e b (ou seja, se houver elementos x e y em R de modo que d·x = uma e d·y = b) Se d é um divisor comum de a e b, e cada divisor comum de a e b divide d, então d é chamado de a maior divisor comum de um e b.

Com essa definição, dois elementos aeb podem muito bem ter vários divisores comuns maiores ou nenhum. Se R for um domínio integral, quaisquer dois GCDs de aeb devem ser elementos associados, uma vez que, por definição, qualquer um deve dividir o outro, de fato, se existir um GCD, qualquer um de seus associados também é um GCD. A existência de um GCD não é garantida em domínios integrais arbitrários. No entanto, se R é um domínio de fatoração único, então quaisquer dois elementos têm um GCD e, mais geralmente, isso é verdadeiro em domínios de GCD. Se R é um domínio euclidiano em que a divisão euclidiana é dada algoritmicamente (como é o caso, por exemplo, quando R = F[X], onde F é um campo, ou quando R é o anel de inteiros gaussianos), os maiores divisores comuns podem ser calculados usando uma forma do algoritmo euclidiano baseado no procedimento de divisão.

A seguir está um exemplo de um domínio integral com dois elementos que não têm um GCD:

Os elementos 2 e 1 + √ −3 são dois divisores comuns máximos (ou seja, qualquer divisor comum que seja um múltiplo de 2 é associado a 2, o mesmo vale para 1 + √ −3, mas eles não estão associados, então há não é o maior divisor comum de a e b.

Correspondendo à propriedade Bézout, podemos, em qualquer anel comutativo, considerar a coleção de elementos da forma pa + qb, onde p e q variam ao longo do anel. Este é o ideal gerado por aeb, e é denotado simplesmente (uma, b) Em um anel em que todos os ideais são principais (um domínio ideal principal ou PID), este ideal será idêntico ao conjunto de múltiplos de algum elemento do anel d então este d é o maior divisor comum de a e b. Mas o ideal (uma, b) pode ser útil mesmo quando não há maior divisor comum de a e b. (De fato, Ernst Kummer usou este ideal como um substituto para um GCD em seu tratamento do Último Teorema de Fermat, embora ele o visse como o conjunto de múltiplos de alguns hipotéticos, ou ideal, elemento d do anel, de onde vem o termo da teoria do anel.)


Conteúdo

Em geral, uma estimativa está de acordo com um intervalo arbitrário conhecido por conter a raiz (como [x0, S / x0]). A estimativa é um valor específico de uma aproximação funcional para f (x) = √ x no intervalo. Obter uma estimativa melhor envolve obter limites mais estreitos no intervalo ou encontrar uma melhor aproximação funcional para f (x). O último geralmente significa usar um polinômio de ordem superior na aproximação, embora nem todas as aproximações sejam polinomiais. Os métodos comuns de estimativa incluem escalar, linear, hiperbólico e logarítmico. Uma base decimal é geralmente usada para estimativas mentais ou de papel e lápis. Uma base binária é mais adequada para estimativas de computador. Na estimativa, o expoente e a mantissa são geralmente tratados separadamente, pois o número seria expresso em notação científica.

Estimativas decimais Editar

Estimativas escalares Editar

Para dois intervalos, divididos geometricamente, a raiz quadrada S = a × 10 n < displaystyle < sqrt > = < sqrt> vezes 10 ^> pode ser estimado como [Nota 2]

Estimativas lineares Editar

Uma linha de regressão de mínimos quadrados minimiza a diferença média entre a estimativa e o valor da função. Sua equação é y = 8,7 x - 10 < displaystyle y = 8,7x-10>. Reordenando, x = 0,115 y + 1,15 < displaystyle x = 0,115y + 1,15>. Arredondando os coeficientes para facilidade de cálculo,

Essa é a melhor estimativa na média que pode ser alcançado com uma aproximação linear de peça única da função y = x 2 no intervalo [1.100]. Tem um erro absoluto máximo de 1,2 em a = 100 e erro relativo máximo de 30% em S = 1 e 10. [Nota 3]

Uma estimativa muito melhor pode ser obtida por uma aproximação linear por partes: vários segmentos de linha, cada um aproximando-se de algum subarco do original. Quanto mais segmentos de linha forem usados, melhor será a aproximação. A forma mais comum é usar linhas tangentes; as escolhas críticas são como dividir o arco e onde colocar os pontos tangentes. Uma maneira eficaz de dividir o arco de y = 1 a y = 100 é geometricamente: para dois intervalos, os limites dos intervalos são a raiz quadrada dos limites do intervalo original, 1 * 100, ou seja, [1, 2 √ 100 ] e [2 √ 100, 100]. For three intervals, the bounds are the cube roots of 100: [1, 3 √ 100 ], [ 3 √ 100 ,( 3 √ 100 ) 2 ], and [( 3 √ 100 ) 2 ,100], etc. For two intervals, 2 √ 100 = 10, a very convenient number. Tangent lines are easy to derive, and are located at x = √ 1* √ 10 and x = √ 10* √ 10 . Their equations are: y = 3.56x - 3.16 and y = 11.2x - 31.6. Inverting, the square roots are: x = 0.28y + 0.89 and x = .089y + 2.8. Thus for S = a * 10 2n :

The maximum absolute errors occur at the high points of the intervals, at a=10 and 100, and are 0.54 and 1.7 respectively. The maximum relative errors are at the endpoints of the intervals, at a=1, 10 and 100, and are 17% in both cases. 17% or 0.17 is larger than 1/10, so the method yields less than a decimal digit of accuracy.

Hyperbolic estimates Edit

In some cases, hyperbolic estimates may be efficacious, because a hyperbola is also a convex curve and may lie along an arc of Y = x 2 better than a line. Hyperbolic estimates are more computationally complex, because they necessarily require a floating division. A near-optimal hyperbolic approximation to x 2 on the interval [1,100] is y=190/(10-x)-20. Transposing, the square root is x = -190/(y+20)+10. Thus for S = a ⋅ 10 2 n > :

The floating division need be accurate to only one decimal digit, because the estimate overall is only that accurate, and can be done mentally. A hyperbolic estimate is better on average than scalar or linear estimates. It has maximum absolute error of 1.58 at 100 and maximum relative error of 16.0% at 10. For the worst case at a=10, the estimate is 3.67. If one starts with 10 and applies Newton-Raphson iterations straight away, two iterations will be required, yielding 3.66, before the accuracy of the hyperbolic estimate is exceeded. For a more typical case like 75, the hyperbolic estimate is 8.00, and 5 Newton-Raphson iterations starting at 75 would be required to obtain a more accurate result.

Arithmetic estimates Edit

A method analogous to piece-wise linear approximation but using only arithmetic instead of algebraic equations, uses the multiplication tables in reverse: the square root of a number between 1 and 100 is between 1 and 10, so if we know 25 is a perfect square (5 × 5), and 36 is a perfect square (6 × 6), then the square root of a number greater than or equal to 25 but less than 36, begins with a 5. Similarly for numbers between other squares. This method will yield a correct first digit, but it is not accurate to one digit: the first digit of the square root of 35 for example, is 5, but the square root of 35 is almost 6.

A better way is to the divide the range into intervals half way between the squares. So any number between 25 and half way to 36, which is 30.5, estimate 5 any number greater than 30.5 up to 36, estimate 6. [Note 4] The procedure only requires a little arithmetic to find a boundary number in the middle of two products from the multiplication table. Here is a reference table of those boundaries:

The final operation is to multiply the estimate k by the power of ten divided by 2, so for S = a ⋅ 10 2 n > ,

The method implicitly yields one significant digit of accuracy, since it rounds to the best first digit.

The final operation, as above, is to multiply the result by the power of ten divided by 2

k is a decimal digit and R is a fraction that must be converted to decimal. It usually has only a single digit in the numerator, and one or two digits in the denominator, so the conversion to decimal can be done mentally.

Example: find the square root of 75. 75 = 75 × 10 2 · 0 , so a is 75 and n is 0. From the multiplication tables, the square root of the mantissa must be 8 point something because 8 × 8 is 64, but 9 × 9 is 81, too big, so k is 8 something is the decimal representation of R . The fraction R is 75 - k 2 = 11, the numerator, and 81 - k 2 = 17, the denominator. 11/17 is a little less than 12/18, which is 2/3s or .67, so guess .66 (it's ok to guess here, the error is very small). So the estimate is 8 + .66 = 8.66 . √ 75 to three significant digits is 8.66, so the estimate is good to 3 significant digits. Not all such estimates using this method will be so accurate, but they will be close.

Binary estimates Edit

which has maximum absolute error of 0.086 at 2 and maximum relative error of 6.1% at a =0.5 and a =2.0.


10: Fractions

USE THIS HANDY TABLE FOR YOUR ANTENNA
MEASUREMENTS AND CONVERSIONS.
It also has many other uses!
Convert fractions to decimals and millimeters and reverse.
(1 INCH = 25.4 MM EXACTLY)
Read from left to right - pick your fraction, decimal, or mm measurement.
Example = convert 1/64" to mm . Find 1/64 and read to the right under mm !
You will see 0.3969 under the mm column.
Another example = convert 0.125 decimal to inches . Look down the decimal column
until you find 0.125 , then follow that line to the left to find 1/8 inches
or look in the right column for mm!

fraction decimal mm fraction decimal mm fraction decimal mm
1/64 0.0156 0.3969 1 1/64 1.0156 25.7969 2 1/64 2.0156 51.1969
1/32 0.0313 0.7938 1 1/32 1.0313 26.1938 2 1/32 2.0313 51.5938
3/64 0.0469 1.1906 1 3/64 1.0469 26.5906 2 3/64 2.0469 51.9906
1/16 0.0625 1.5875 1 1/16 1.0625 26.9875 2 1/16 2.0625 52.3875
5/64 0.0781 1.9844 1 5/64 1.0781 27.3844 2 5/64 2.0781 52.7844
3/32 0.0938 2.3813 1 3/32 1.0938 27.7813 2 3/32 2.0938 53.1813
7/64 0.1094 2.7781 1 7/64 1.1094 28.1781 2 7/64 2.1094 53.5781
1/8 0.1250 3.1750 1 1/8 1.1250 28.5750 2 1/8 2.1250 53.9750
9/64 0.1406 3.5719 1 9/64 1.1406 28.9719 2 9/64 2.1406 54.3719
5/32 0.1563 3.9688 1 5/32 1.1563 29.3688 2 5/32 2.1563 54.7688
11/64 0.1719 4.3656 1 11/64 1.1719 29.7656 2 11/64 2.1719 55.1656
3/16 0.1875 4.7625 1 3/16 1.1875 30.1625 2 3/16 2.1875 55.5625
13/64 0.2031 5.1594 1 13/64 1.2031 30.5594 2 13/64 2.2031 55.9594
7/32 0.2188 5.5563 1 7/32 1.2188 30.9563 2 7/32 2.2188 56.3563
15/64 0.2344 5.9531 1 15/64 1.2344 31.3531 2 15/64 2.2344 56.7531
1/4 0.2500 6.3500 1 1/4 1.2500 31.7500 2 1/4 2.2500 57.1500
17/64 0.2656 6.7469 1 17/64 1.2656 32.1469 2 17/64 2.2656 57.5469
9/32 0.2813 7.1438 1 9/32 1.2813 32.5438 2 9/32 2.2813 57.9438
19/64 0.2969 7.5406 1 19/64 1.2969 32.9406 2 19/64 2.2969 58.3406
5/16 0.3125 7.9375 1 5/16 1.3125 33.3375 2 5/16 2.3125 58.7375
21/64 0.3281 8.3344 1 21/64 1.3281 33.7344 2 21/64 2.3281 59.1344
11/32 0.3438 8.7313 1 11/32 1.3438 34.1313 2 11/32 2.3438 59.5313
23/64 0.3594 9.1281 1 23/64 1.3594 34.5281 2 23/64 2.3594 59.9281
3/8 0.3750 9.5250 1 3/8 1.3750 34.9250 2 3/8 2.3750 60.3250
25/64 0.3906 9.9219 1 25/64 1.3906 35.3219 2 25/64 2.3906 60.7219
13/32 0.4063 10.3188 1 13/32 1.4063 35.7188 2 13/32 2.4063 61.1188
27/64 0.4219 10.7156 1 27/64 1.4219 36.1156 2 27/64 2.4219 61.5156
7/16 0.4375 11.1125 1 7/16 1.4375 36.5125 2 7/16 2.4375 61.9125
29/64 0.4531 11.5094 1 29/64 1.4531 36.9094 2 29/64 2.4531 62.3094
15/32 0.4688 11.9063 1 15/32 1.4688 37.3063 2 15/32 2.4688 62.7063
31/64 0.4844 12.3031 1 31/64 1.4844 37.7031 2 31/64 2.4844 63.1031
1/2 0.5000 12.7000 1 1/2 1.5000 38.1000 2 1/2 2.5000 63.5000
33/64 0.5156 13.0969 1 33/64 1.5156 38.4969 2 33/64 2.5156 63.8969
17/32 0.5313 13.4938 1 17/32 1.5313 38.8938 2 17/32 2.5313 64.2938
35/64 0.5469 13.8906 1 35/64 1.5469 39.2906 2 35/64 2.5469 64.6906
9/16 0.5625 14.2875 1 9/16 1.5625 39.6875 2 9/16 2.5625 65.0875
37/64 0.5781 14.6844 1 37/64 1.5781 40.0844 2 37/64 2.5781 65.4844
19/32 0.5938 15.0813 1 19/32 1.5938 40.4813 2 19/32 2.5938 65.8813
39/64 0.6094 15.4781 1 39/64 1.6094 40.8781 2 39/64 2.6094 66.2781
5/8 0.6250 15.8750 1 5/8 1.6250 41.2750 2 5/8 2.6250 66.6750
41/64 0.6406 16.2719 1 41/64 1.6406 41.6719 2 41/64 2.6406 67.0719
21/32 0.6563 16.6688 1 21/32 1.6563 42.0688 2 21/32 2.6563 67.4688
43/64 0.6719 17.0656 1 43/64 1.6719 42.4656 2 43/64 2.6719 67.8656
11/16 0.6875 17.4625 1 11/16 1.6875 42.8625 2 11/16 2.6875 68.2625
45/64 0.7031 17.8594 1 45/64 1.7031 43.2594 2 45/64 2.7031 68.6594
23/32 0.7188 18.2563 1 23/32 1.7188 43.6563 2 23/32 2.7188 69.0563
47/64 0.7344 18.6531 1 47/64 1.7344 44.0531 2 47/64 2.7344 69.4531
3/4 0.7500 19.0500 1 3/4 1.7500 44.4500 2 3/4 2.7500 69.8500
49/64 0.7656 19.4469 1 49/64 1.7656 44.8469 2 49/64 2.7656 70.2469
25/32 0.7813 19.8438 1 25/32 1.7813 45.2438 2 25/32 2.7813 70.6438
51/64 0.7969 20.2406 1 51/64 1.7969 45.6406 2 51/64 2.7969 71.0406
13/16 0.8125 20.6375 1 13/16 1.8125 46.0375 2 13/16 2.8125 71.4375
53/64 0.8281 21.0344 1 53/64 1.8281 46.4344 2 53/64 2.8281 71.8344
27/32 0.8438 21.4313 1 27/32 1.8438 46.8313 2 27/32 2.8438 72.2313
55/64 0.8594 21.8281 1 55/64 1.8594 47.2281 2 55/64 2.8594 72.6281
7/8 0.8750 22.2250 1 7/8 1.8750 47.6250 2 7/8 2.8750 73.0250
57/64 0.8906 22.6219 1 57/64 1.8906 48.0219 2 57/64 2.8906 73.4219
29/32 0.9063 23.0188 1 29/32 1.9063 48.4188 2 29/32 2.9063 73.8188
59/64 0.9219 23.4156 1 59/64 1.9219 48.8156 2 59/64 2.9219 74.2156
15/16 0.9375 23.8125 1 15/16 1.9375 49.2125 2 15/16 2.9375 74.6125
61/64 0.9531 24.2094 1 61/64 1.9531 49.6094 2 61/64 2.9531 75.0094
31/32 0.9688 24.6063 1 31/32 1.9688 50.0063 2 31/32 2.9688 75.4063
63/64 0.9844 25.0031 1 63/64 1.9844 50.4031 2 63/64 2.9844 75.8031
1" 1.0000 25.4000 2" 2.0000 50.8000 3" 3.0000 76.2000


MORE USEFUL CONVERSIONS
To convert decimal fractions of an inch to fractions of an inch.

Take the decimal fraction of feet and divide by 0.08333 (1/12th) and this will give you inches and decimals of an inch.
For example - 6.37 feet. Take the 0.37 feet and divide by 0.0833 = 4.44 inches .
So for 6.37 ft. we can also say 6 ft. - 4.44 in.
Now take the 0.44 in. and round it down to 0.4 which is 4/10"
We can now say 6.37' approximatly equals 6' - 4 4/10"

For fractions of an inch other than tenth's, take the decimal remainder of inches and divide by:
0.125 for the number of eighth's
0.0625 for the number of sixteenth's
0.03125 for the number of thirty-second's
0.015625 for the number of sixty-fourth's, and so on.

For example - 4.382 inches. For eighth's, divide the remainder, 0.382 by 0.125 and the answer is 3.056 so the fraction is a bit over 3 eighth's, therefore the answer ends up as approx. 4 3/8"


Fractions

We can describe numbers smaller than one by using decimals or fractions. Today, most systems use decimals, but it is still useful to know how to read and say simple fractions in English.

Look at these examples of fractions:

We write: We say:
½ a half OR one half
¼ a quarter OR one quarter
¾ three quarters
a third OR one third
two thirds
a fifth OR one fifth
three fifths
an eighth OR one eighth
five eighths
one and a half
five and three quarters

Although the system of fractions is not used much these days, we commonly use a few simple fractions in everyday speech, for example: