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5.1: Introdução e Sistemas Básicos de Número e Contagem - Matemática


Introdução

À medida que começamos nossa jornada pela história da matemática, uma pergunta a ser feita é "Por onde começamos?" Dependendo de como você vê a matemática ou os números, você pode escolher qualquer um dos vários pontos de partida por onde começar. Howard Eves sugere a seguinte lista de possibilidades. [I]

Por onde começar o estudo da história da matemática ...

  • Nas primeiras “provas” geométricas lógicas, tradicionalmente creditadas a Tales de Mileto (600 aC).
  • Com a formulação de métodos de medição feitos pelos egípcios e mesopotâmicos / babilônios.
  • Onde povos pré-históricos fizeram esforços para organizar os conceitos de tamanho, forma e número.
  • Em tempos pré-humanos, no sentido de número muito simples e reconhecimento de padrões que podem ser exibidos por certos animais, pássaros, etc.
  • Mesmo antes disso, nas incríveis relações de números e formas encontradas nas plantas.
  • Com as nebulosas espirais, o curso natural dos planetas e outros fenômenos do universo.

Não podemos escolher nenhum ponto de partida e, em vez disso, concordar que a matemática tem sempre existia e estava simplesmente esperando nos bastidores que os humanos descobrissem. Cada uma dessas posições pode ser defendida em algum grau e qual delas você adota (se houver) depende muito de suas idéias filosóficas sobre matemática e números.

No entanto, precisamos de um ponto de partida. Sem julgar a validade de nenhuma dessas possibilidades particulares, escolheremos como nosso ponto de partida o surgimento da ideia de número e o processo de contagem como nossa plataforma de lançamento. Isso é feito principalmente como uma questão prática, dada a natureza deste curso. No capítulo seguinte, tentaremos nos concentrar em duas idéias principais. O primeiro será um exame de números básicos e sistemas de contagem e os símbolos que usamos para números. Veremos nosso próprio sistema numérico moderno (ocidental), bem como os de algumas civilizações selecionadas, para ver as diferenças e a diversidade possíveis quando os humanos começam a contar. A segunda ideia que examinaremos serão os sistemas básicos. Comparando nosso próprio sistema de base dez (decimal) com outras bases, rapidamente nos tornaremos cientes de que o sistema ao qual estamos tão acostumados, quando ligeiramente alterado, desafiará nossas noções sobre números e o que os símbolos para esses números realmente significam.

Reconhecimento de mais vs. menos

A ideia dos números e do processo de contagem remonta muito além de quando a história começou a ser registrada. Existem algumas evidências arqueológicas que sugerem que os humanos estavam contando desde 50.000 anos atrás. [Ii] No entanto, não sabemos realmente como esse processo começou ou se desenvolveu ao longo do tempo. O melhor que podemos fazer é adivinhar como as coisas progrediram. Provavelmente não é difícil acreditar que mesmo os primeiros humanos tinham algum senso de mais e menos. Até mesmo alguns animais pequenos demonstraram ter esse sentido. Por exemplo, um naturalista conta como ele secretamente removeria um ovo todos os dias do ninho de uma tarambola. A mãe foi diligente em botar um ovo extra todos os dias para compensar o ovo perdido. Algumas pesquisas mostraram que as galinhas podem ser treinadas para distinguir entre números pares e ímpares de alimentos. [Iii] Com esses tipos de descobertas em mente, não é difícil conceber que os primeiros humanos tivessem (pelo menos) um senso semelhante de mais ou menos. No entanto, nossas conjecturas sobre como e quando essas ideias surgiram entre os humanos são simplesmente isso; suposições fundamentadas com base em nossas próprias suposições sobre o que poderia ou poderia ter sido.

A necessidade de contagem simples

À medida que as sociedades e a humanidade evoluíram, simplesmente ter uma sensação de mais ou menos, par ou ímpar, etc., provou ser insuficiente para atender às necessidades da vida cotidiana. Conforme as tribos e grupos se formavam, tornou-se importante saber quantos membros estavam no grupo e talvez quantos estavam no acampamento inimigo. Certamente era importante para eles saber se o rebanho de ovelhas ou outros animais possuídos estava aumentando ou diminuindo de tamanho. "Quantos deles nós temos, afinal?" é uma pergunta que não temos dificuldade em imaginá-los se perguntando (ou um ao outro).

A fim de contar itens como animais, muitas vezes se conjectura que um dos primeiros métodos de fazer isso seria com "gravetos". Esses são objetos usados ​​para rastrear o número de itens a serem contados. Com este método, cada “pau” (ou pedra, ou qualquer dispositivo de contagem sendo usado) representa um animal ou objeto. Este método usa a ideia de correspondência um para um. Em uma correspondência um para um, os itens que estão sendo contados são unicamente vinculados a alguma ferramenta de contagem.

Na imagem à direita, você vê cada pau correspondendo a um cavalo. Ao examinar a coleção de gravetos em mãos, sabe-se quantos animais devem estar presentes. Você pode imaginar a utilidade de tal sistema, pelo menos para um número menor de itens a serem monitorados. Se um pastor quisesse “contar” seus animais para ter certeza de que todos estavam presentes, ele poderia mentalmente (ou metodicamente) atribuir cada vara a um animal e continuar a fazê-lo até que estivesse satisfeito de que todos foram contabilizados.

Claro, em nosso sistema moderno, substituímos as varas por objetos mais abstratos. Em particular, o stick superior é substituído pelo nosso símbolo “1”, o segundo stick é substituído por um “2” e o terceiro stick é representado pelo símbolo “3”, mas estamos nos adiantando aqui. Esses símbolos modernos levaram muitos séculos para surgir.

Outra maneira possível de empregar o método de contagem do “tally stick” é fazendo marcas ou entalhes em pedaços de madeira, ou mesmo amarrando nós com barbante (como veremos mais tarde). Em 1937, Karl Absolom descobriu um osso de lobo que remonta possivelmente a 30.000 anos. Acredita-se que seja um dispositivo de contagem. [Iv] Outro exemplo deste tipo de ferramenta é o Osso de Ishango, descoberto em 1960 em Ishango e mostrado abaixo. [V] É relatado que tem entre seis e nove mil anos de idade e mostra o que parecem ser marcações usadas para fazer algum tipo de contagem.

As marcações nas linhas (a) e (b) somam 60 cada uma. A linha (b) contém os números primos entre 10 e 20. A linha (c) parece ilustrar o método de duplicação e multiplicação usado pelos egípcios. Acredita-se que isso também possa representar um contador de fase lunar.

Palavras faladas

À medida que os métodos de contagem se desenvolveram e também à medida que a linguagem progredia, é natural esperar que apareçam palavras faladas para números. Infelizmente, o desenvolvimento dessas palavras, especialmente aquelas correspondentes aos números de um a dez, não são fáceis de rastrear. No entanto, após dez anos, vemos alguns padrões:

Onze vem de "ein lifon", que significa "um que sobrou".

Doze vem de “twe lif”, que significa “sobraram dois”.

Treze vem de “Três e dez”, assim como catorze a dezenove.

Vinte parece vir de "twe-tig", que significa "duas dezenas".

Cem provavelmente vem de um termo que significa "dez vezes".

Números Escritos

Quando falamos de números “escritos”, devemos ter cuidado porque isso pode significar uma variedade de coisas. É importante ter em mente que o papel moderno tem apenas pouco mais de 100 anos, portanto, “escrever” no passado costumava assumir formas que podem parecer pouco familiares para nós hoje.

Como vimos antes, alguns podem considerar as varas de madeira com entalhes como escrita, pois são meios de registrar informações em um meio que pode ser “lido” por outras pessoas. É claro que os símbolos usados ​​(entalhes simples) certamente não deixavam muita flexibilidade para comunicar uma grande variedade de ideias ou informações.

Outros meios em que a "escrita" pode ter ocorrido incluem entalhes em pedra ou tabletes de argila, papel de trapo feito à mão (12º século na Europa, mas antes na China), papiro (inventado pelos egípcios e usado até os gregos) e pergaminhos de peles de animais. E essas são apenas algumas das muitas possibilidades.

Estes são apenas alguns exemplos dos primeiros métodos de contagem e símbolos simples para representar números. Muitos livros, artigos e pesquisas foram feitos sobre este tópico e poderiam fornecer informações suficientes para preencher todo o curso se permitíssemos. A gama e a diversidade do pensamento criativo que foi usado no passado para descrever números e contar objetos e pessoas é impressionante. Infelizmente, não temos tempo para examiná-los todos, mas é divertido e interessante observar um sistema com mais detalhes para ver o quão engenhosas as pessoas têm sido.


[i] Eves, Howard; Uma Introdução à História da Matemática, p. 9

[ii] Eves, p. 9

[iii] McLeish, John; The Story of Numbers - How Mathematics Has Shaped Civilization, p. 7

[iv] Bunt, Lucas; Jones, Phillip; Bedient, Jack; The Historical Roots of Elementary Mathematics, p. 2

[v] http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_zaire-uganda.html


Antes de começar, vamos tentar uma pequena atividade para nos divertir. Existem muitas maneiras diferentes de representar uma cor, mas uma das mais comuns é o modelo de cores RGB. Usando este modelo, cada cor é composta por uma combinação de diferentes quantidades de vermelho, verde e azul.

Você pode estar se perguntando como as cores se relacionam com os sistemas numéricos. Resumindo, em um computador, qualquer cor é armazenada como um grande número: uma combinação de vermelho, verde e azul. (Entraremos em mais detalhes sobre isso mais tarde.) Por ser apenas um número, ele pode ser representado de várias maneiras usando diferentes sistemas numéricos.

Seu trabalho é adivinhar quanto vermelho, verde e azul está na cor de fundo da atividade abaixo. Os valores de vermelho, verde e azul podem variar de 0 a 255.

Sinta-se à vontade para usar as várias dicas fornecidas para ajudá-lo. Se você ainda não entende as dicas numéricas, não tem problema! Você pode ver como fica seu palpite usando o Verificar palpite botão. E se a cor de fundo dificultar a leitura do texto, pressione Nova cor. No momento, pode parecer complicado, mas espero que no final do artigo pareça fácil.


Números em Matemática

Na matemática, os números são usados ​​para contar, medir e calcular.

A introdução mencionou o decimal ou base 10 sistema, que muitos de nós usamos e reconhecemos.

No sistema decimal, usamos 10 dígitos para representar os números:

0 zero | 1 um | 2 dois | 3 três | 4 quatro | 5 cinco | 6 seis | 7 sete | 8 oito | 9 nove

Os números que não podem ser representados por um único dígito são organizados em colunas chamadas valores de lugar. Os valores de posição nos exemplos a seguir são mostrados como caixas rotuladas para cada coluna. Normalmente não temos colunas rotuladas para nos ajudar, então temos que imaginá-las.

Quando contamos de zero a nove, ficamos sem um dígito para descrever os números de dez em diante. Para exibir o número dez, precisamos de duas colunas. Dez é composto por um dez e zero unidades:

Da mesma forma, o número vinte e sete é composto por duas dezenas e sete unidades e, portanto, é exibido como:

Ficamos sem colunas novamente quando nossas colunas de dezenas e unidades alcançam 9 (noventa e nove, 99). Então, quando queremos expressar cem, temos que usar uma terceira coluna:

Portanto, o número trezentos e cinqüenta e oito seria exibido em três colunas como:

À medida que contamos para números cada vez maiores, precisamos adicionar mais e mais colunas. Os números continuam até o infinito, então o sistema de colunas também continua infinitamente.

Um milhão, duzentos e cinquenta e quatro mil, oitocentos e vinte e seis, por exemplo, seria escrito como:

Esse sistema também funciona para números negativos, ou seja, números menores que zero. Os números negativos são geralmente mostrados com um símbolo & lsquo - & lsquo precedente, então menos 1 seria escrito como −1.

Observação: Ao escrever grandes números de mil ou mais, podemos tornar o número mais fácil de ler, dividindo-o em grupos de três dígitos com espaços ou vírgulas. O número acima pode ser escrito

Não é necessário fazer isso, mas pode ser mais gentil com o leitor. É mais confortável ler números grandes em grupos de três dígitos. As vírgulas ou espaços estão convenientemente posicionados para separar milhares, milhões, bilhões, trilhões, etc.

AVISO! Convenções internacionais se aplicam ...

A convenção de usar vírgulas ou espaços não é a mesma em todo o mundo.

Na Holanda, por exemplo, são usados ​​pontos. Nosso exemplo seria, portanto, escrito 1.254.826. No Reino Unido, um ponto é usado para denotar um ponto decimal ao escrever uma fração de um número (veja nossas páginas em Frações e Decimais), mas na Holanda eles usam uma vírgula para esse fim.

Sempre tome cuidado para verificar a convenção do país em que você está - isso pode significar a diferença entre ter um saco ou um caminhão cheio de batatas!


Números e sistemas numéricos

Um número é uma unidade básica da matemática. Os números são usados ​​para contar, medir e comparar valores. Um sistema numérico é um conjunto de símbolos, ou numerais, usados ​​para representar números. O sistema numérico mais comum usa 10 símbolos chamados dígitos - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 - e combinações desses dígitos.

Tipos de Números

Os números podem ser classificados de várias maneiras. A classe mais simples são os números naturais ou contáveis ​​(1, 2, 3, ...). Com a adição de 0, eles são conhecidos como números inteiros.

Os números naturais também são chamados de números positivos porque são maiores que 0. Para cada um dos números positivos, há também um número negativo (−1, −2, −3, ...). Os números negativos são menores que 0. Os números naturais, seus equivalentes negativos e 0 constituem o conjunto de números chamados inteiros. Os inteiros podem ser representados como pontos em uma linha que continua para sempre em ambas as direções.

Frações são números que representam partes de um todo. As frações são escritas como dígitos separados por uma linha, como em 3 /4. O dígito abaixo da linha é chamado de denominador. O dígito acima da linha é chamado de numerador. Ao ler uma fração, o numerador é indicado primeiro. Por exemplo, 3 /4 é lido como "três quartos". As frações também podem ser mostradas em uma linha numérica.

As frações também podem ser escritas em uma forma chamada decimais. Os decimais são escritos com os dígitos (0–9) junto com um ponto denominado ponto decimal. Uma fração pode ser alterada para um decimal dividindo o numerador pelo denominador. Desta forma, 3 /4 pode ser alterado para o decimal 0,75.

Sistemas Numéricos Antigos

O primeiro sistema de números foi provavelmente o sistema de contagem. Neste sistema, uma marca separada foi feita para cada item sendo contado. Este sistema era útil apenas com pequenos números.

Os antigos egípcios desenvolveram um sistema complexo para escrever grandes números em símbolos chamados hieróglifos. Havia um único símbolo hieroglífico para o número 1.000. Mas para escrever o número 999, foi necessário escrever o símbolo para 100 nove vezes, depois o símbolo para 10 nove vezes e, finalmente, o símbolo para 1 nove vezes.

Os antigos romanos usavam letras para representar números - I para 1, V para 5, X para 10, L para 50, C para 100, D para 500 e M para 1.000. Este sistema é conhecido como algarismos romanos. Em algarismos romanos, 256 é escrito como CCLVI.

Base dez e outros sistemas

O sistema numérico mais comum usado hoje é chamado de sistema de base dez, ou decimal. Possui 10 dígitos (0–9) que podem ser combinados para escrever qualquer número. O sistema de base dez foi inventado pelos hindus na Índia antiga. Mais tarde, os árabes aprimoraram o sistema. Por esse motivo, os dígitos de 0 a 9 são chamados de numerais hindu-arábicos.

No sistema de base dez, o valor de cada dígito é baseado em sua posição, ou “lugar”, em um número. Existe um “lugar para uns”, um “lugar para dez”, um “lugar para centenas” e assim por diante. No número 456, por exemplo, o 4 está na casa das centenas, o 5 está na casa das dezenas e o 6 está na casa das unidades. Escrito de outra forma, o número 456 realmente representa (4 × 100) + (5 × 10) + (6 × 1).

Para alguns propósitos, outros sistemas numéricos são mais úteis do que base dez. Por exemplo, os computadores usam o sistema numérico de base dois, ou binário. Em vez de 10 dígitos, este sistema usa apenas dois - 0 e 1. Em um computador, esses números representam "desligado" e "ligado", os únicos dois estados possíveis dos interruptores elétricos do computador.


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Este relato descreve como o número se desenvolve na faixa pré-escolar, de cerca de três a cinco anos, e fornece uma visão geral mais detalhada das várias habilidades e entendimentos de que as crianças precisam para atingir a competência em contagem. Um currículo com ensino intencional deve abordar todos esses tópicos.

Contexto e visão geral
Crianças pequenas, mesmo bebês, desenvolvem conceitos básicos essencialmente não-verbais de quantidade: mais / menos, ordenar, igualar e somar / subtrair. As crianças aprendem muitas dessas coisas por conta própria, sem a ajuda de um adulto. As crianças costumam usar esses conceitos na vida cotidiana, por exemplo, para determinar quem tem mais ou menos sorvete. Os conceitos e procedimentos das crianças são úteis sob certas condições, mas precisam ser enriquecidos. (Talvez seja por isso que o número foi inventado: o pastor precisa saber não só que tem muitas ovelhas, mas exatamente quantas.) Isso é o que as crianças sabem e o que elas precisam aprender com aproximadamente três, quatro e cinco anos.

Mais ou menos
As crianças precisam ser capazes de ver que há mais objetos aqui do que ali. Freqüentemente, resolvem esse problema não contando, mas pela aparência física. "Este bando de gansos no céu deve ser maior porque cobre uma área maior do que o outro bando." Essa abordagem geralmente é adequada, mas pode levar a respostas erradas e confusão.

Pedido
Julgamentos de mais ou menos são suficientes para muitos propósitos, mas às vezes uma comparação entre mais de duas coisas precisa ser feita. Daí a ideia de ordem, que inclui ideias sutis:

  • Em um grupo de três objetos, o segundo item é maior do que o anterior, mas menor do que o seguinte.
  • Além disso, o item que veio primeiro pode se tornar o último em um novo pedido.

Mais uma vez, as crianças tendem a confiar demais nas aparências para resolver os problemas.

Mesmo número
A ideia de mesmo número evolui, mesmo sem a assistência de um adulto, por várias etapas:

  • O primeiro passo é ver que dois grupos idênticos em forma e disposição também são iguais em número. Assim, se um urso marrom e um canário amarelo forem colocados diretamente abaixo de outro urso marrom e canário amarelo, as duas fileiras serão iguais em número (bem como em forma, cor e disposição).
  • A segunda etapa é ver que dois grupos com cores ou formas diferentes ainda podem ser iguais em número. Assim, se um urso marrom e um canário amarelo forem colocados diretamente sob um porco rosa e uma garça azul, as duas fileiras serão iguais em número (e arranjo, embora difiram em forma e cor).
  • O terceiro passo é ver que dois grupos que diferem apenas na disposição são iguais em número. Assim, se um urso marrom e um canário amarelo são não colocados diretamente sob um porco rosa e uma garça azul, mas em vez disso, encontram-se em outro lugar, ambos os grupos são iguais em número (embora difiram em arranjo, forma e cor).
  • A quarta é ver que um grupo, quando reorganizado, tem o mesmo número que tinha antes de ser movido. Assim, se a criança primeiro vê um urso pardo e um canário amarelo em um arranjo, que é então transformado, a criança percebe que o número não mudou em relação ao que era antes do rearranjo.
  • O quinto é primeiro ver que duas quantidades são o mesmo número quando parecem semelhantes, por exemplo, cinco ovos em uma fileira e cinco xícaras de ovos em uma fileira, ambos têm o mesmo número. Mas então, se houver uma transformação (por exemplo, espalhar os ovos para que a linha de ovos seja mais longa do que a linha de xícaras de ovos), a criança deve ser capaz de entender que os ovos e as xícaras são iguais em número par embora as duas linhas pareçam diferentes.

A ideia de adicionando resultando em mais e subtraindo em menos
As crianças aprendem que:

  • Quando você adiciona algo a um conjunto existente, o resultado é que você tem mais do que tinha no início.
  • Se você começar com dois grupos do mesmo número, e por magia (enquanto a criança não está olhando), um conjunto agora é mais numeroso do que o outro, você deve ter adicionado a um ou subtraído do outro
  • Você não precisa contar para chegar a esses julgamentos sobre mais e sobre adição e subtração: você pode resolver o problema apenas pela razão.

A instrução posterior precisa se basear em todas essas idéias quando os números escritos são introduzidos.

Contexto e visão geral
Na vida cotidiana, usamos palavras de contagem o tempo todo, selecionando itens do supermercado ("precisamos de duas bananas") ou jogando "10, nove, oito, ... decolar!" As crianças adoram contar o mais alto que podem, como os adultos. Eles podem até estar interessados ​​no nome do maior número. A fluência na contagem de palavras auxilia na computação posterior.

Memória Rote plus
No início, as crianças memorizam as palavras de contagem de cerca de um a dez ou mais. Mas sua aprendizagem não envolve apenas a memória. As crianças também aprendem algumas idéias e regras sobre os números, a saber, que a ordem correta é essencial, os números são diferentes das letras e não se espera que você pule ou repita os números ao contar.

Estrutura
Mais tarde, as crianças pegam a estrutura subjacente de número: dez é a unidade básica (20, 30, etc.) e colocamos as unidades nas dezenas (vinte e um etc.). As regras para dizer em inglês, contando palavras de onze para dezenove são especialmente difíceis de aprender porque são mal projetados. Onze deve ser "dez-um", assim como vinte e um. Quinze deve ser "dez e cinco", como vinte e cinco. As línguas do leste asiático acertam, mas o inglês e muitas outras línguas não. Em contraste, o inglês é bastante bem projetado para as palavras numéricas que começam com vinte. Cada uma das dezenas de palavras se assemelha a uma palavra unitária. Quarenta é como quatro oitenta Como oito, e assim por diante. Cinquenta vem antes sessenta. (Um problema menor é que vinte deve soar mais como dois e idealmente deve ser "dois dez" trinta deve ser “três-dez” e assim por diante). Depois de dizer uma dezena de palavras, a criança acrescenta as palavras unitárias, 1 Através dos nove. Aprender a contar até 20 e além é a primeira experiência de uma criança com ideias de base dez. Nesse caso, o ensino precisa enfatizar o padrão de base dez subjacente aos números de contagem: a estrutura. Precisamos “instruir” (ensinar a estrutura), não “instruir”.

Contexto e visão geral
As ideias das crianças sobre o mesmo, mais, menos e ordem são fortemente influenciadas pela percepção e por sua própria lógica imperfeita (por exemplo, que o que parece mais é mais). Essas são boas ideias, mas carecem de precisão, então as crianças precisam de ajuda para dar o próximo passo. As palavras de contagem que as crianças aprendem desde cedo podem ser usadas para enumeração na determinação do número exato de uma coleção, é o número cardinal isso diz quantos. A enumeração precisa e a compreensão do número cardinal são fundamentais para toda a aritmética (e medição) e não são tão simples quanto parecem. Em vez disso, envolvem ideias matemáticas fundamentais e pensamento estratégico.

Princípios necessários para entender a enumeração
Enumeração refere-se ao uso de palavras de contagem para descobrir o número de objetos. (Isso inclui qualquer objeto, de monstros imaginários a bolinhas de gude.) As crianças devem aprender a seguir várias regras e princípios para enumerar com precisão. Este conjunto de regras é fundamental:

  • Diga palavras numéricas na ordem correta.
  • Combine uma palavra numérica com apenas uma coisa (correspondência um a um entre a palavra numérica e a coisa).
  • Conte cada coisa uma vez e apenas uma vez.

Dadas essas regras e princípios, existem várias maneiras de enumerar com precisão. As crianças precisam ser capazes de:

  • "Veja" pequenos números (até quatro ou mais) sem contar. subitizing, o que pode reduzir o trabalho enfadonho de contar.
  • Conte um objeto de cada vez.
  • Aponte para objetos.
  • Empurre os objetos de lado para controlar quais foram contados.
  • Coloque os objetos em uma linha ou outro arranjo ordenado.
  • Conte nos dedos.
  • Agrupe objetos em grupos convenientes que podem ser subdivididos ou contados.
  • Agrupe por 10s.
  • Verifique a resposta.

As crianças precisam aprender a usar essas abordagens em situações apropriadas. Por exemplo, se houver apenas dois objetos, subitizing pode ser útil, mas se houver nove, então, empurrar os objetos para o lado pode ser indicado.

Compreendendo a cardinalidade
As crianças que enumeram com precisão também precisam entender o resultado alcançado. Suponha que uma criança conte cinco coisas com precisão. A enumeração correta por si só não significa necessariamente que a criança entende cardinalidade. Questionada sobre quantos são, a criança pode simplesmente contar os objetos outra vez. Para aquela criança, responder à pergunta de quantos simplesmente ativa a rotina de contagem, mas não fornece uma compreensão do resultado. As crianças precisam aprender várias coisas sobre o número cardinal. A ideia central é que a enumeração correta produz o valor cardinal de conjunto. A última palavra numérica não se refere ao último objeto contado, mas ao conjunto como um todo. Quando contamos, o número um se refere ao primeiro objeto dois se refere não ao segundo objeto contado, mas aos dois objetos no novo grupo, e assim por diante. Além disso, uma vez que a criança determinou que há cinco objetos no conjunto, não importa se eles estão ocultos ou se os objetos são simplesmente reorganizados (digamos de uma linha reta para um círculo). Ainda existem cinco objetos. Isso é conservação do número.

Erros comuns ou equívocos
Ao contar, as crianças costumam confiar demais na aparência física, assim como fizeram para determinar mais ou menos. Um dos objetivos do ensino deve ser ajudar as crianças a aprender que a razão deve prevalecer sobre a aparência. As crianças precisam pensar abstratamente sobre coisas tangíveis. Eventualmente, eles precisam incorporar a compreensão do número cardinal (por exemplo, a ideia abstrata de que existem cinco objetos aqui) dentro do sistema maior de número, por exemplo, que cinco vem depois de quatro e é metade de 10.

Contexto e visão geral
Em seguida, precisamos entender como os conceitos de mais / menos, ordem, mesmo, somando e subtraindo sem número exato (saber que adicionar significa tornar um conjunto maior, mesmo que você não saiba o número exato), e enumeração seja elaborado para criar adição e subtração numérica. As crianças aprendem um pouco sozinhas, mas os adultos podem e devem ajudar.

Adição de compreensão
Esses conceitos precisam ser aprendidos para entender a adição (a subtração é semelhante):

  • A adição pode ser pensada de várias maneiras, incluindo combinar dois conjuntos, aumentar o tamanho de um conjunto e avançar em uma reta numérica.
  • A contagem simples também adiciona, um de cada vez.
  • A ordem de adição não faz diferença (a propriedade comutativa).
  • Adicionar zero não altera nada.
  • Diferentes combinações de números podem resultar na mesma soma.
  • A adição é o inverso da subtração.

Estratégias usadas para adicionar (ou subtrair)
As crianças geralmente começam usando objetos concretos e dedos para adicionar, mas gradualmente aprendem o cálculo mental e se lembram de algumas das somas.

  • Usando objetos concretos, as crianças podem fazer o seguinte para resolver um problema simples como 3 + 2: Eles podem count todos ("Tenho três aqui e dois ali e agora coloco-os juntos e conto todos para obter cinco ") ou eles podem cnão partir do maior ("Posso começar com três e depois dizer quatro, cinco.")
  • Abordando o problema mentalmente, as crianças podem resolvê-lo por meio de fatos derivados, construindo sobre o que é conhecido ("Eu sei que dois e dois são quatro, então eu apenas adiciono um para obter cinco") e pela memória ("Eu simplesmente sei! ").

Mais recursos de adição e subtração numérica

  • É sempre útil ter estratégias de backup, caso uma não funcione. Por exemplo, se não tiver certeza sobre a memória, a criança sempre pode contar para obter a resposta.
  • É importante que a criança seja capaz de verificar a resposta.
  • É importante que a criança explique por que 3 + 2 dá cinco como resposta, uma vez que a prova é um ato social que requer linguagem.
  • A criança precisa aprender estratégias diferentes para conjuntos de tamanhos diferentes. (Contar um por um é bom para adicionar conjuntos pequenos, mas tedioso e ineficiente para conjuntos maiores.)
  • A criança também deve ser capaz de descrever como obteve a resposta. (A autoconsciência é um aspecto do metacognição. Claro, lembrar o que você acabou de fazer é essencial para descrevê-lo em palavras.)
  • A linguagem é vital para descrever o trabalho e o pensamento de uma pessoa e para convencer os outros que as crianças precisam aprender o vocabulário matemático.
  • A criança deve ser capaz de aplicar a matemática em situações reais ou histórias sobre situações reais (como problemas com palavras).

Contexto e visão geral
As crianças precisam desenvolver o senso numérico, um conceito que é notoriamente difícil de definir de uma forma simples e exclusiva. Gosto de pensar nisso como habilidades matemáticas de rua, que podem ser usadas em praticamente qualquer área de número, incluindo as discutidas acima. O senso numérico, que ajuda a criança a dar sentido ao mundo, tem vários componentes, cada um dos quais passa por um processo de desenvolvimento.

Pensando em vez de calcular
O senso numérico envolve o uso de idéias básicas para evitar o trabalho enfadonho computacional, como quando a criança sabe que se você soma dois e três e obtém cinco, não precisa calcular para obter a resposta três e dois.

Use o que for conveniente
O senso numérico envolve dividir os números em partes convenientes que tornam o cálculo mais fácil, como quando adicionamos mentalmente 5 + 5 + 1 em vez de 5 + 6.

Saber o que é plausível ou impossível
O senso numérico pode envolver uma "sensação" de números no sentido de saber se certos números são respostas plausíveis para certos problemas (se você está adicionando dois e três, você sabe que a resposta deve ser maior do que três, qualquer coisa menor não é apenas implausível, mas impossível )

Entendendo relacionamentos
O senso numérico envolve intuições sobre as relações entre os números. (Por exemplo, "isto é 'muito maior' que aquilo.")

Fluência
O senso numérico envolve fluência com os números, como quando a criança sabe imediatamente que oito é maior do que quatro, ou vê que há três animais sem ter que contar.

Estimativa
Isso envolve descobrir o número aproximado de um grupo de objetos e está relacionado à noção de respostas plausíveis.

Contexto e visão geral
A matemática formal e simbólica pode fornecer às crianças ferramentas e ideias mais poderosas do que aquelas fornecidas por meio de sua matemática cotidiana informal. A matemática formal (e seu uso de símbolos) se desenvolveu em várias culturas e agora é virtualmente universal. As crianças precisam aprender.

Origens cotidianas e matemática formal
As crianças encontram símbolos matemáticos na vida cotidiana: números de elevadores, números de ônibus, canais de televisão e placas de rua estão entre muitos. Freqüentemente, os pais, a televisão e as atividades de software introduzem alguma matemática simbólica simples, como ler os números escritos na televisão ou jogar cartas.

As escolas certamente precisam ensinar matemática formal. Mas fazer isso não é fácil. Mesmo que sejam competentes na matemática do dia-a-dia, as crianças podem ter dificuldade em entender e conectar seu conhecimento informal ao que é ensinado na escola. Os professores muitas vezes não ensinam o simbolismo de forma eficaz. Se as crianças começam com o pé simbólico errado, o resultado pode ser uma queda feia da escada educacional. So the goal for teachers is to help children, even beginning in preschool, to understand why symbols are used, and to use them in a meaningful way to connect already-known informal mathematics to formal symbolic mathematics. The teacher needs to “mathematize” children’s everyday, personal math that is, help children connect their informal system with the formal mathematics taught in school. It’s not ill-advised or developmentally inappropriate to introduce symbols to young children, if the activity is motivating and meaningful. On the contrary, it is crucial for the teaching of symbols to begin early on, but again, if and only if it is done in a meaningful way.

Here are key issues surrounding the introduction of formal math to young children:

Young children have a hard time connecting numerals and the symbols of arithmetic (+ and -) to their own everyday math
They may add well but be confounded by the expression 3 + 2. It is as if the child is living in alternate realities: the everyday world and the “academic” (in the pejorative sense) world. The everyday world makes sense and the world of school does not. You think for yourself in the former and do what you are told in the latter.

The equals sign (=) is a daunting challenge
The teacher intends to teach the equals sign as "equivalent," and thinks she has, but the child learns it as “makes” (e.g., 3 + 2 makes 5). This is a tale of how child egocentrism meets teacher egocentrism but neither talks with the other.

The solution
We should not avoid teaching symbols but need to introduce them in a meaningful way. This means taking account of what children already know and relating the introduction of symbols to that prior knowledge. It also means motivating the use of symbols. Thus if you want to tell a friend how many dolls you have at home, you need to have counted them with number words (symbols) and then use spoken words (“I have five dolls”), written words (“I have five dolls” written on a piece of paper or a computer screen), or written symbols (5) to communicate the result.

Manipulatives can help
Use of manipulatives can be effective in teaching symbolism and formal math, but they are often utilized badly. The goal is not to have the child play with concrete objects but to use these objects to help the child learn abstract ideas. The goal of manipulatives is to get rid of them by putting them in the child’s head to use as needed in thought. For example, suppose the child learns to represent tens and ones with base-ten blocks. Given the mental addition problem 13 plus 25, the child may understand that each number is composed of 10s (the 10 by 10 squares) and some units (the individual blocks), and that solving the problem involves adding one 10 and two more, which is easy, and then figuring out the number of units. The mental images of the 10s and ones provide the basis for her calculation, part of which may be done by memory (one plus two is three) and part of which may be done by counting on her fingers (five fingers and three more give eight).

The basics of number are interesting and deep. Although young children develop a surprisingly competent everyday mathematics, they have a lot to learn and teachers can help.


5.1: Introduction and Basic Number and Counting Systems - Mathematics

Mathematics is a basic tool. Some use of mathematics is found in every rating in the Navy, from the simple arithmetic of counting for inventory purposes to the complicated equations encountered in computer and engineering work. Storekeepers need mathematical compu tation in their bookkeeping. Damage Controlmen need mathematics to compute stress, centers of gravity, and maximum permissible roll. Electronics principles are frequently stated by means of mathematical formulas. Navigation and engineering also use mathematics to a great extent. As maritime warfare becomes more and more complex, mathematics achieves ever increasing importance as an essential tool. From the point of view of the individual there are many incentives for learning the subject. Mathematics better equips him to do his present job. It will help him in attaining promotions and the corresponding pay increases. Statistically it has been found that one of the best indicators of a mans potential success as a naval officer is his understanding of mathematics. This training course begins with the basic facts of arithmetic and continues through some of the early stages of algebra. An attempt is made throughout to give an understanding of why the rules of mathematics are true. This is done because it is felt that rules are easier to learn and remember if the ideas that led to their development are understood.

Many of us have areas in Our mathematics background that are hazy, barely understood, or troublesome. Thus, while it may at first seem beneath your dignity to read chapters on fundamental arithmetic, these basic concepts may be just the spots where your difficulties lie. These chapters attempt to treat the subject on an adult level that will be interesting and informative.

Counting is such a basic and natural process that we rarely stop to think about it. The process is based on the idea of ONE-TO-ONE CORRESPONDENCE, which is easily demonstrated by using the fingers. When children count on their fingers, they are placing each finger in one-to-one correspondence with one of the objects being counted. Having outgrown finger counting, we use numerals.

Numerals are number symbols. One of the simplest numeral systems is the Roman numeral system, in which tally marks are used to represent the objects being counted. Roman numerals appear to be a refinement of the tally method still in use today. By this method, one makes short vertical marks until a total of four is reached when the fifth tally is counted, a diagonal mark is drawn through the first four marks. Grouping by fives in this way is reminiscent of the Roman numeral system, in which the multiples of five are represented by special symbols.

A number may have many names." For example, the number 6 may be indicated by any of the following symbols: 9 - 3, 12/2, 5 + 1, or 2 x 3. The important thing to remember is that a number is an idea various symbols used to indicate a number are merely different ways of expressing the same idea.

The numbers which are used for counting in our number system are sometimes called natural numbers. They are the positive whole numbers, or to use the more precise mathematical term, positive INTEGERS. The Arabic numerals from 0 through 9 are called digits, and an integer may have any number of digits. For example, 5, 22, and 7,049 are all integers. The number of digits in an integer indicates its rank that is, whether it fs "in the hundreds," "in the thousands," etc. The idea of ranking numbers in terms of tens, hundreds, thousands, etc., is based on the PLACE VALUE concept.

Although a system such as the Roman numeral system is adequate for recording the results of counting, it is too cumbersome for purposes of calculation. Before arithmetic could develop as we know it today, the following two important concepts were needed as additions to the counting process:

1. The idea of 0 as a number.

2. Positional notation (place value).

Positional notation is a form of coding in which the value of each digit of a number depends upon its position in relation to the other digits of the number. The convention used in our number system is that each digit has a higher place value than those digits to the right of it.

The place value which corresponds to a given position in a number is determined by the BASE of the number system. The base which is most commonly used is ten, and the system with ten as a base is called the decimal system (decem is the Latin word for ten). Any number is assumed to be a base-ten number, unless some other base is indicated. One exception to this rule occurs when the subject of an entire discussion is some base other than ten. For example, in the discussion of binary (base two) numbers later in this chapter, all numbers are assumed to be binary numbers unless some other base is indicated.

In the decimal system, each digit position in a number has ten times the value of the position adjacent to it on the right. For example, in the number 11, the 1 on the left is said to be in the "tens place, " and its value is 10 times as great as that of the 1 on the right. The 1 on the right is said to be in the "units place," with the understanding that the term "unit" in our system refers to the numeral 1. Thus the number 11 is actually a coded symbol which means "one ten plus one unit." Since ten plus one is eleven, the symbol 11 represents the number eleven. Figure l-l shows the names of several digit positions in the decimal system. If we apply this nomenclature to the digits of the integer 235, then this number symbol means "two hundreds plus three tens plus five units." This number may be expressed in mathematical symbols as follows:

Notice that this bears out our earlier statement: each digit position has 10 times the value of the position adjacent to it on the right.

Figure 1-l.-Names of digit positions.

The integer 4,372 is a number symbol whose meaning is "four thousands plus three hundreds plus seven tens plus two units." Expressed in mathematical symbols, this number is as follows:

This presentation may be broken down further, in order to show that each digit position as IO times the place value of the position on its right, as follows:

The comma which appears in a number symbol such as 4,372 is used for "pointing off" the digits into groups of three beginning at the right-hand side. The first group of three digits on the right is the units group the second group is the thousands group the third group is the millions group etc. Some of these groups are shown in table l-l.

Table 1-l.-Place values and grouping.

By reference to table l-l, we can verify that 5,432,786 is read as follows: five million, four hundred thirty-two thousand, seven hundred eighty-six. Notice that the word "and" is not, necessary when reading numbers of this hind.

1. Write the number symbol for seven thousand two hundred eighty-one.
2. Write the meaning, in words, of the symbol 23,469.
3. If a number is in the millions, it must have at least how many digits?
4. If a number has 10 digits, to what number group (thousands, millions, etc.) does it belong?

1. 7,281
2. Twenty-three thousand, four hundred sixty-nine.
3. 7
4. Billions

The binary number system is constructed in the same manner as the decimal system. However, since the base in this system is two, only two digit symbols are needed for writing numbers. These two digits are 1 and 0. In order to understand why only two digit symbols are needed in the binary system, we may make some observations about the decimal system and then generalize from these.

One of the most striking observations about number systems which utilize the concept of place value is that there is no single-digit symbol for the base. For example, in the decimal system the symbol for ten, the base is 10. This symbol is compounded from two digit symbols, and its meaning may be interpreted as "one base plus no units." Notice the implication of this where other bases are concerned: Every system uses the same symbol for the base, namely 10. Furthermore, the symbol 10 is not called "ten" except in the decimal system. Suppose that a number system were constructed with five as a base. Then the only digit symbols needed would be 0, 1, 2, 3, and 4. No single-digit symbol for five is needed, since the symbol 10 in a base-five system with place value means "one five plus no units." In general, in a number system using base N, the largest number for which a single-digit symbol is needed is N minus 1. Therefore, when the base is two the only digit symbols needed are 1 and O.

symbol by relating it to the decimal system. Figure l-2 shows that the place value of each digit position in the binary system is two times the place value of the position adjacent to it on the right. Compare this with figure l- 1, in which the base is ten rather than two.

Figure 1-2.-Digit positions in the binary system.

Placing the digits of the number 101 in their respective blocks on figure l-2, we find that 101 means "one four plus no twos plus one unit." Thus 101 is the binary equivalent of decimal 5. If we wish to convert a decimal number, such as 7, to its binary equivalent, we must break it into parts which are multiples of 2. Since 7 is equal to 4 plus 2 plus 1, we say that it "contains" one 4, one 2, and one unit. Therefore the binary symbol for decimal 7 is 111. The most common use of the binary number system is in electronic digital computers. All data fed to a typical electronic digital computer is converted to binary form and the computer performs its calculations using binary arithmetic rather than decimal arithmetic. One of the reasons for this is the fact that electrical and electronic equipment utilizes many switching circuits in which there are only two operating conditions. Either the circuit is "on" or it is "Off )" and a two-digit number system is ideally suited for symbolizing such a situation. Details concerning binary arithmetic are beyond the scope of this volume, but are available in Mathematics, Volume 3, NavPers 10073, and Basic Electronics, NavPers 10087-A.

1. Write the decimal equivalents of the binary numbers 1101, 1010, 1001, and 1111.
2. Write the binary equivalents of the decimal numbers 12, 7, 14, and 3.

1. 13, 10, 9, and 15
2. 1100, 111, 1110, and 11

student to investigate more than one text and more than one way of approaching each new topic. At the time of printing of this course, much emphasis is being placed on so-called modern math in the public schools. Consequently, the trainee who uses this course is likely to find considerable material, in his parallel reading, which uses the ideas and terminology of the "new" math.

In the following paragraphs, a very brief introduction to some of the set theory of modern math is presented. Although the remainder of this course is not based on set theory, this brief introduction should help in making the transi tion from traditional methods to newer, experimental methods.


Introduction to Counting & Probability Online Book

Learn the basics of counting and probability from former USA Mathematical Olympiad winner David Patrick. Topics covered in the book include permutations, combinations, Pascal's Triangle, basic combinatorial identities, expected value, fundamentals of probability, geometric probability, the Binomial Theorem, and much more.

The text is structured to inspire the reader to explore and develop new ideas. Each section starts with problems, so the student has a chance to solve them without help before proceeding. The text then includes solutions to these problems, through which counting and probability techniques are taught. Important facts and powerful problem solving approaches are highlighted throughout the text. In addition to the instructional material, the book contains over 400 problems. Full solutions to all of the problems, not just answers, are built into the book.

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Tips for Parents of Preschoolers

You’re probably in the habit of measuring your preschooler’s growth by checking his or her height and weight. But how can you measure your child’s development in other areas, such as numbers and counting — early math skills?

Think about all the ways that numbers and counting are part of your child’s life! From soapy toes in the bathtub to “get ready-set-go!” in the yard, you are well positioned to observe and gather information about the early math skills your 3- to 4-year-old child is developing. The questions and tips that follow will help you understand what math awareness and skills your child should have — and how you can support his development.

Is your child developing age-appropriate numbers and counting skills?

It’s helpful to know what numbers and counting skills your child should be developing by age 3 or 4. Review the following list of milestones and note how your child is doing in each area. My child:

  • Is aware of — and curious about — how numbers and counting apply to his life and the world around him.
  • Can correctly count at least five objects.
  • Can point to places on a number line and count with 1-to-1 correspondence along the line (from left to right, right to left)
  • Understands that the written numeral “3” means three objects — and the same with numerals 1-5.
  • Can add and subtract small numbers of familiar objects. For example: “I have three cookies. You have two. How many do we have all together?”
  • Can put written numbers (numerals) from 1 to 5 in the correct order, small to large.
  • Can count from one to ten in the correct order.
  • Understands concepts of quantity (for example, “more” and “less”) and size (such as, “bigger” and “smaller”) and uses those terms correctly.

Encouraging numbers and counting skills at home

Now that you are aware of some of the basic math skills and concepts your preschooler should have, you can reinforce and build upon these skills. There are many ways you and your child can play with numbers and counting throughout the day. Here are some ideas to get you started:

  • Show your child how numbers and counting apply to everyday life. Use number words, point out numbers, and involve your child in counting activities as you go through your day. For example: Have your child help you measure ingredients for a recipe by measuring and counting the number of cups or spoonfuls. Talk about how things or amounts are more, less, bigger and smaller, and be sure to praise his efforts and his progress in math awareness.
  • Collect a variety of materials your child can use for hands-on counting. Old keys, plastic bottle caps, and buttons all work well. Collect them in a bag or jar and pick a time to count and re-count them again and again. (For added fun, offer guesses at the total number of items and see who comes the closest.)
  • Use items from around the house to experiment with addition, subtraction and “more” and “less” activities.
  • Read, tell stories, sing songs, and recite poems that include numbers and counting. Try to include books in which characters come and go as the story progresses.
  • Play simple board games that call on players to count spaces on the board, objects used in the game, and to recognize printed numerals or their representation (such as “dots on dice”).

Note: If your child has a regular babysitter or daycare provider, be sure to pass these tips along to the caregiver.

Promoting number and counting skills at preschool

The preschool classroom is filled with opportunities to learn and practice number and counting skills. Be sure to talk to your child’s teacher about structured teaching activities to develop skills in this area. To keep track of your child’s progress in early math skills, you’ll want to:

  • Ask your child’s teacher what early math lessons, games, and activities your child is exposed to and where your child is succeeding or struggling.
  • Find out what early math skills your child will need to master in ensure a smooth start of the kindergarten year
  • Look at the work and projects your child brings home from school. Look for numbers and counting themes and elements and discuss them together.
  • Encourage your child to talk about school and whether she finds numbers and counting interesting (or difficult).

Cause for concern? Where to turn for advice and assistance

Rest assured that “normal” development of beginning math skills doesn’t progress in exactly the same way for all preschoolers. However, you may want to seek help if your child:

  • Has difficulty with simple counting.
  • Doesn’t understand the one-to-one correspondence between number symbols and items/objects.
  • Doesn’t seem to understand or notice variations in size, patterns, or shapes.
  • Doesn’t see how math concepts exist in everyday life, even when examples are pointed out to him or her.
  • Dislikes and avoids activities and games that involve numbers and counting.


Kristin Stanberry is a writer and editor specializing in parenting, education, and consumer health/wellness issues. Her areas of expertise include learning disabilities and AD/HD, topics which she wrote about extensively for Schwab Learning and GreatSchools.


Introduction to Counting & Probability

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The text is structured to inspire the reader to explore and develop new ideas. Each section starts with problems, so the student has a chance to solve them without help before proceeding. The text then includes solutions to these problems, through which counting and probability techniques are taught. Important facts and powerful problem solving approaches are highlighted throughout the text. In addition to the instructional material, the book contains over 400 problems. The solutions manual contains full solutions to all of the problems, not just answers.

This book is ideal for students who have mastered basic algebra, such as solving linear equations. Middle school students preparing for MATHCOUNTS, high school students preparing for the AMC, and other students seeking to master the fundamentals of counting and probability will find this book an instrumental part of their mathematics libraries.

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Combinations Counting Without Replacement Order Doesn't Matter

In mathematics, a combination is a way of selecting several things out of a larger group, where (unlike permutations) order does not matter. In smaller cases it is possible to count the number of combinations. For example given three fruits, say an apple, an orange and a pear, there are three combinations of two that can be drawn from this set: an apple and a pear an apple and an orange or a pear and an orange. More formally, a k-combination of a set S is a subset of k distinct elements of S. If the set has n elements the number of k-combinations is equal to the binomial coefficient.

Formula:

Combinations - Counting Techniques Advanced

How many words can be formed by ordering the letters ARKANSAS? randerson112358

Permutation - Counting Techniques

How many words can be formed by ordering the letters FLORIDA. randerson112358


Assista o vídeo: GAAL Introdução aos Sistemas de Equações Lineares (Novembro 2021).