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3.3: Composição Contínua - Matemática


Continuamos a discussão que foi iniciada na Seção 3.1: Juros simples e compostos.

Resumindo:

  1. Você investe algum dinheiro (o diretor) em um banco que paga juros.
  2. Depois de um tempo especificado (o período de composição), você adiciona os juros que foram ganhos sobre o principal.
  3. Após outro período de composição, você adiciona os juros ganhos sobre o principal mais os juros acumulados.

Repita.

Juros compostos, por definição, são os juros calculados sobre o valor principal junto com os juros acumulados. Os juros podem ser adicionados em diferentes intervalos fixos: anual, mensal, semanal, diário e assim por diante. Adicionar juros cada vez mais freqüentemente produz um acúmulo ligeiramente melhor. (A maioria dos bancos acrescenta juros diariamente.)

O que acontece quando você aumenta o número de vezes que esses juros são adicionados a cada ano?

Seus ganhos aumentarão. Quanto maior? Seus ganhos aumentarão sem limites?

Da mesma forma, o que acontece quando você adiciona interesse em períodos cada vez mais curtos?

Em outras palavras, o que acontece quando você deixa o período de composição se aproximar de zero?

Você vai acabar com mais dinheiro. Quanto mais? Você vai ficar rico?

A quantidade de dinheiro produzida nessas situações NÃO aumenta sem limites! (Desejo, mas não acontece.)

Em vez disso, o número irracional 'e' emerge para descrever a quantia limitada ganha.

A fórmula resultante é chamada de Fórmula de Composição Contínua e é o assunto desta seção.

Uma rápida revisão da Fórmula de Juros Compostos

  1. Coloque (P ) dólares (o diretor) em um banco.
  2. Suponha que o banco ofereça uma taxa de juros anual (r ). Por exemplo, 3% ao ano corresponde a (r ) = 0,03.
  3. Adicione os juros ganhos (n ) vezes igualmente espaçadas a cada ano. Em outras palavras, suponha que haja (n ) períodos compostos por ano. Por exemplo, adicionar os juros mensais corresponde a (n ) = 12. Adicionar juros diariamente corresponde a (n ) = 365
  4. Continue este processo por (t ) anos.
  5. A acumulação (principal mais juros) é dada pela variável (A ) na fórmula de juros compostos: (A = P left (1+ dfrac {r} {n} right) ^ {nt} )

Deixando (n ) ir para o infinito na Fórmula de Juros Compostos

À medida que (n ) fica grande, ( dfrac {r} {n} ) fica pequeno. Ou seja, como (n rightarrow infty ), temos ( dfrac {r} {n} rightarrow 0 ).

Conforme ( dfrac {r} {n} ) se aproxima de zero, (1+ dfrac {r} {n} ) se aproxima de 1. Ou seja, como ( dfrac {r} {n} rightarrow 0 ), temos (1+ dfrac {r} {n} rightarrow 1 )

À medida que (n ) fica grande, (nt ) fica grande. Ou seja, como (n rightarrow infty ), temos (n t rightarrow infty )

Portanto, à medida que adicionamos interesse cada vez com mais frequência (let (n rightarrow infty )), eis o que acontece na fórmula de juros compostos:

[A = P left (1+ dfrac {r} {n} right) ^ {n t} nonumber ]

Estamos olhando para uma forma '1' - que é apenas uma abreviatura para dizer que a base se aproxima de 1 e o expoente se aproxima.
Mas, aqui está a questão importante:

À medida que a base e o expoente viajam juntos ao longo de suas viagens até 1 e, respectivamente, qual número (se houver) o expressão inteira aproximação?

Uma discussão sobre a forma ‘ (1 ^ { infty} )’

Existem muitas coisas que tornam a forma ‘ (1 ^ { infty} ) 'interessante e difícil de analisar. Todas as opções a seguir são verdadeiras:

  • 1 para qualquer potência finita é igual a 1. Por exemplo, (1 ^ {1.000.000.000} = 1 )
  • Quando um número um pouco menor que 1 é elevado a potências cada vez mais altas, ele se aproxima de zero. Por exemplo, ( left ( dfrac {99} {100} right) ^ {n} ) se aproxima de 0 conforme (n ) se aproxima do infinito. (Isto é um função exponencial com base entre zero e um.)
  • Quando um número um pouco maior que 1 é elevado a poderes cada vez mais altos, ele se aproxima do infinito. Por exemplo, ( left ( dfrac {101} {100} right) ^ {n} ) se aproxima conforme (n ) se aproxima do infinito. (Isto é um função exponencial com base maior que um.)

Dependendo precisamente Como as a base se aproxima de 1, e Como as o expoente se aproxima do infinito, a forma (1 ^ { infty} ) pode se aproximar de números diferentes!

‘ (1 ^ { infty} )’ é um exemplo do que é chamado (em cálculo) um forma indeterminada. Um forma indeterminada ocorre quando você não consegue descobrir o que está acontecendo sem uma análise mais aprofundada. Ou seja, cada ocorrência de deve ser investigada separadamente. Para nós, a investigação envolverá a seguinte definição do número irracional (e )

[ left (1+ dfrac {1} {n} right) ^ {n} rightarrow rightarrow rightarrow rightarrow rightarrow rightarrow e approx 2.718 quad text {as} n rightarrow infty enhum número ]

Composto Contínuo

Deixando (n rightarrow infty ) na Fórmula de Juros Compostos, (A = P left (1+ dfrac {r} {n} right) ^ {n t} ) produz o Contínuo

Fórmula de Composição:

[A = P e ^ {r t} não numérico ]

Aproximadamente, composição contínua descreve o interesse sendo adicionado no instante é conquistado.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Suponha que $ 1000 sejam investidos com juros anuais de 3%. Qual é a acumulação após dez anos, se composta mensalmente, diariamente e continuamente?

Solução

Composto mensalmente:

[A = P left (1+ dfrac {r} {n} right) ^ {nt} = 1000 left (1+ dfrac {0.03} {12} right) ^ {12 cdot 10} = $ 1.349,35 não numérico ]

Composto diariamente:

[A = 1000 left (1+ dfrac {0,03} {365} right) ^ {365 cdot 10} = $ 1.349,84 nonumber ]

Composto continuamente:

[A = P e ^ {r t} = 1000 e ^ {0,03 cdot 10} = $ 1349,86 nonumber ]

Pouca diferença! Você não ficará rico se seu banco decidir capitalizar continuamente!


Juros Compostos Contínuos

Os juros compostos são os juros calculados sobre o principal inicial e também sobre os juros acumulados de períodos anteriores de um depósito ou empréstimo. O efeito dos juros compostos depende da frequência.

Suponha uma taxa de juros anual de 12%. Se começarmos o ano com $ 100 e compostos apenas uma vez, no final do ano, o principal aumentará para $ 112 ($ 100 x 1,12 = $ 112). Os juros aplicados apenas ao principal são chamados de juros simples. Se em vez disso combinássemos cada mês a 1%, terminamos com mais de $ 112 no final do ano. Ou seja, $ 100 x 1,01 ^ 12 é igual a $ 112,68. (É maior porque combinamos com mais frequência.)

Retornos continuamente compostos aumentam com mais freqüência. A composição contínua é o limite matemático que os juros compostos podem atingir. É um caso extremo de capitalização, pois a maioria dos juros é composta mensal, trimestral ou semestralmente.

Principais vantagens

  • Os juros simples são aplicados apenas ao principal e não aos juros acumulados.
  • Os juros compostos são os juros acumulados sobre o principal e os juros previamente aplicados.
  • O efeito dos juros compostos depende da frequência com que são aplicados.
  • Para títulos, o rendimento equivalente do título é o retorno anual esperado.
  • Escala de retornos continuamente composta em vários períodos.
  • Diz-se que os juros compostos em sua frequência mais alta são compostos continuamente.

Fórmula de Composição Contínua

A composição contínua calcula o limite no qual os juros compostos podem atingir, compondo constantemente por um período indefinido de tempo, aumentando assim o componente de juros e, finalmente, o valor do portfólio dos investimentos totais

Fórmula de Composição Contínua

Você é livre para usar esta imagem em seu site, modelos, etc., forneça-nos um link de atribuição Como fornecer atribuição? Link do artigo a ser hiperlinkado
Por exemplo:
Fonte: Fórmula de Composição Contínua (wallstreetmojo.com)

O cálculo assume uma composição constante ao longo de um número infinito de períodos de tempo. Como o período de tempo é infinito, o expoente ajuda na multiplicação do investimento atual. Isso é multiplicado pela taxa e hora atuais. Apesar do grande número de investimentos, a diferença nos juros totais obtidos por meio da composição contínua do excel é menor em comparação à composição tradicional, que será analisada por meio de exemplos.

Exemplo

Vamos analisar algumas das instâncias:

  • P = $ 1.000, r = 8%, n = 5 anos
  • FV = P * e rt = 1.000 * e (0,08) (5) = 1.000 * e (0,40) [Expoente de 0,4 é 1,491] = 1.000 * 1,491
  • = $1,491.8

Vamos calcular os efeitos do mesmo na composição regular:

Composição Anual:

Composição semestral:

Composição Trimestral:

  • FV = 1.000 * [(1 + 0,08 / 4)] ^ 4
  • = 1,000 * (1.02) ^ 4
  • = 1,000 * 1.08243
  • = $1,082.43

Composição Mensal:

  • FV = 1.000 * [(1 + 0,08 / 12)] ^ 12
  • = 1,000 * (1.006) ^ 4
  • = 1,000 * 1.083
  • = $1,083

Composição contínua:

Como pode ser observado no exemplo acima, os juros ganhos com a composição contínua é de $ 83,28, o que é apenas 0,28 a mais do que a composição mensal.

Outro exemplo pode dizer que uma conta poupança paga juros de 6% ao ano, compostos continuamente. Quanto deve ser investido agora para ter $ 100.000 na conta daqui a 30 anos?

  • FV = PV * e rt
  • PV = FV * e - rt
  • PV = 100.000 * e & # 8211 (0,06) (30)
  • PV = 100.000 * e & # 8211 (1,80)
  • PV = 100.000 * 0,1652988
  • PV = $16,529.89

Portanto, se uma quantia de $ 16.530 (arredondado) for investida hoje, ela renderá $ 100.000 após 30 anos na taxa determinada.

Outra instância pode ser se um agiota cobra 80% de juros, compostos de forma contínua, qual será a taxa de juros anual efetiva?

  1. Em vez de composição contínua de juros em uma base mensal, trimestral ou anual, isso efetivamente reinvestirá os ganhos perpetuamente.
  2. O efeito permite que o valor dos juros seja reinvestido, permitindo assim que um investidor ganhe a uma taxa exponencial.
  3. Isso determina que não é apenas o valor do principal que renderá dinheiro, mas a composição contínua do valor dos juros também continuará se multiplicando.

Calculadora de composição contínua

Você pode usar a seguinte calculadora

Fórmula de composição contínua em Excel (com modelo Excel)

Isso é muito simples. Você precisa fornecer as duas entradas de valor principal, tempo e taxa de juros.

Você pode calcular facilmente a proporção no modelo fornecido.

Você pode calcular facilmente a proporção no modelo fornecido.

Vamos calcular os efeitos do mesmo na composição regular:

Como pode ser observado no exemplo de composição contínua, os juros ganhos com essa composição são $ 83,28, o que é apenas 0,28 a mais do que a composição mensal.

Artigos recomendados:

Este foi um guia para a fórmula de composição contínua, seus usos junto com exemplos práticos. Aqui também fornecemos a Calculadora de Composição Contínua com um modelo do Excel para download. Você também pode consultar os seguintes artigos & # 8211


Juros compostos continuamente

Para calcular juros compostos continuamente, use a fórmula abaixo. Na fórmula, A representa o valor final na conta que começa com um P inicial (principal) usando a taxa de juros r para t anos. Esta fórmula faz uso da constante matemática e.

Os juros compostos de forma contínua são excelentes quando você está ganhando! Juros compostos continuamente significam que seu principal está constantemente rendendo juros e os juros continuam rendendo sobre os juros ganhos!

Problemas de prática

Problema 1

Se você investir $ 1.000 a uma taxa de juros anual de 5% composta continuamente, calcule o valor final que terá na conta após cinco anos.

Problema 2

Se você investir $ 500 a uma taxa de juros anual de 10% composta continuamente, calcule o valor final que terá na conta após cinco anos.

Problema 3

Se você investir $ 2.000 a uma taxa de juros anual de 13% composta continuamente, calcule o valor final que terá na conta após 20 anos.

Problema 4

Se você investir $ 20.000 a uma taxa de juros anual de 1% composta continuamente, calcule o valor final que terá na conta após 20 anos.


Fórmulas de juros compostos

Seja [latex] P [/ latex] o principal (investimento inicial), [latex] r [/ latex] seja a taxa de juros anual expressa como decimal e [latex] A (t) [/ latex] seja o valor na conta no final de [latex] t [/ latex] anos.

Composto [latex] n [/ latex] vezes por ano

[A (t) = P left (1+ frac direita) ^ ]
onde n é determinado com base na frequência da composição da seguinte forma:

Tipos de composição
Modelo N
Composição Anual n = 1
Composição Semestral n = 2
Composição Trimestral n = 4
Composição Mensal n = 12
Composição Diária n = 365

Composto continuamente

Se você estiver usando esta fórmula para descobrir quanto valerá uma conta no futuro, [latex] t gt 0 [/ latex] e [latex] A (t) [/ latex] é chamado de valor futuro.

Se você estiver usando a fórmula para encontrar o que precisa depositar hoje para ter um determinado valor [latex] P [/ latex] em algum momento no futuro, [latex] t lt 0 [/ latex] e [latex] A ( t) [/ latex] é chamado de valor presente.

Exemplo 1

Susan gostaria de iniciar um fundo de poupança da faculdade para seu filho recém-nascido. Ela investe $ 20.000 em uma conta de poupança que paga 3,5% de juros anuais compostos mensalmente. O plano é deixar o dinheiro na conta por 20 anos até que o filho precise do fundo para a faculdade. Quanto valerá a poupança em 20 anos?

Resumindo as informações fornecidas:
P = $ 20.000
r = 3,5% = 0,035
n = 12 (com base na composição mensal)
t = 20

Assim, a conta poupança da faculdade cresceu de $ 20.000 para $ 40.234,04 ao longo de 20 anos com base na capitalização mensal. Observe que o valor da conta dobrou!

Exemplo 2

Vamos repetir o Exemplo 1, mas em vez de capitalizar mensalmente, vamos supor que Susan investe em uma conta de poupança que paga 3,5% de juros anuais com base na capitalização contínua.

Quanto valerá a conta de poupança em 20 anos com base na capitalização contínua?

Resumindo as informações fornecidas:
P = $ 20.000
r = 3,5% = 0,035
t = 20

Substituindo na fórmula de juros compostos contínuos:
[A = Pe ^= 20000e ^ <0,035 cdot20> = 40275,05 ]

Assim, a conta poupança da faculdade cresceu de $ 20.000 para $ 40.275,05 ao longo de 20 anos com base na capitalização contínua. Observe que o valor da conta é ligeiramente maior com base na composição contínua em comparação com a composição mensal.


O que a composição contínua pode lhe dizer

Em teoria, juros compostos continuamente significam que o saldo de uma conta está constantemente rendendo juros, bem como realimentando esses juros de volta ao saldo para que também receba juros.

A composição contínua calcula os juros partindo do pressuposto de que os juros serão compostos ao longo de um número infinito de períodos. Embora a composição contínua seja um conceito essencial, não é possível no mundo real ter um número infinito de períodos para que os juros sejam calculados e pagos. Como resultado, os juros são compostos normalmente com base em um prazo fixo, como mensal, trimestral ou anual.

Mesmo com valores de investimento muito grandes, a diferença nos juros totais obtidos por meio de composição contínua não é muito alta quando comparada aos períodos de capitalização tradicionais.


Conteúdo

Essas são constantes que provavelmente encontramos durante a educação pré-universitária em muitos países.

Constante de Arquimedes π Editar

A constante π (pi) tem uma definição natural na geometria euclidiana como a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo. Ela pode ser encontrada em muitos outros lugares na matemática: por exemplo, a integral gaussiana, as raízes complexas da unidade e as distribuições de probabilidade de Cauchy. No entanto, sua onipresença não se limita à matemática pura. Ele aparece em muitas fórmulas da física, e várias constantes físicas são mais naturalmente definidas com π ou seu recíproco fatorado. Por exemplo, a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio é

O valor numérico de π é aproximadamente 3,1415926536 (sequência A000796 no OEIS). Memorizar dígitos cada vez mais precisos de π é uma busca pelo recorde mundial.

A unidade imaginária eu edito

O unidade imaginária ou número imaginário da unidade, denotado como i, é um conceito matemático que estende o sistema de números reais R < displaystyle mathbb > para o sistema numérico complexo C. < displaystyle mathbb .> A propriedade central da unidade imaginária é que eu 2 = -1. O termo "imaginário" foi cunhado porque não há (real) número com um quadrado negativo.

Na verdade, existem duas raízes quadradas complexas de -1, a saber i e -eu , assim como há duas raízes quadradas complexas de todos os outros números reais (exceto zero, que tem uma raiz quadrada dupla).

Em contextos onde o símbolo i é ambíguo ou problemático, j ou o grego iota (ι) é às vezes usado. Este é o caso em particular na engenharia elétrica e na engenharia de sistemas de controle, onde a unidade imaginária é freqüentemente denotada por j, porque i é comumente usado para denotar corrente elétrica.

Número de Euler e Editar

O número de Euler e, também conhecido como constante de crescimento exponencial, aparece em muitas áreas da matemática, e uma definição possível dele é o valor da seguinte expressão:

A constante e está intrinsecamente relacionada à função exponencial x ↦ e x < displaystyle x mapsto e ^> .

O matemático suíço Jacob Bernoulli descobriu que e surge em juros compostos: se uma conta começa em $ 1 e rende juros a uma taxa anual R , então, como o número de períodos de capitalização por ano tende a infinito (uma situação conhecida como capitalização contínua), a quantidade de dinheiro no final do ano se aproximará e R dólares.

A constante e também tem aplicações na teoria da probabilidade, onde surge de uma forma não obviamente relacionada ao crescimento exponencial. Por exemplo, suponha que uma máquina caça-níqueis com um em n probabilidade de ganhar é jogada n vezes, então para n grande (por exemplo, um milhão), a probabilidade de que nada será ganho tende a 1 /e já que n tende ao infinito.

Outra aplicação de e, descoberta em parte por Jacob Bernoulli junto com o matemático francês Pierre Raymond de Montmort, é no problema de desarranjos, também conhecido como o problema de verificação do chapéu. [3] Aqui, n convidados são convidados para uma festa e, na porta, cada convidado verifica seu chapéu com o mordomo, que os coloca em caixas etiquetadas. O mordomo não sabe o nome dos convidados e, portanto, deve colocá-los em caixas selecionadas ao acaso. O problema de de Montmort é: qual é a probabilidade de que Nenhum dos chapéus é colocado na caixa certa. A resposta é

que, como n tende ao infinito, se aproxima de 1 /e .

O valor numérico de e é aproximadamente 2,7182818284 (sequência A001113 no OEIS).

Constante de Pitágoras √ 2 Editar

A raiz quadrada de 2, frequentemente conhecida como root 2, radical 2, ou Constante de Pitágoras, e escrito como √ 2, é o número algébrico positivo que, quando multiplicado por ele mesmo, dá o número 2. É mais precisamente chamado de raiz quadrada principal de 2, para distingui-lo do número negativo com a mesma propriedade.

Geometricamente, a raiz quadrada de 2 é o comprimento de uma diagonal em um quadrado com lados de uma unidade de comprimento, o que segue do teorema de Pitágoras. Foi provavelmente o primeiro número irracional. Seu valor numérico truncado para 65 casas decimais é:

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799. (sequência A002193 no OEIS).

Alternativamente, a aproximação rápida 99/70 (≈ 1,41429) para a raiz quadrada de dois era frequentemente usada antes do uso comum de calculadoras eletrônicas e computadores. Apesar de ter um denominador de apenas 70, difere do valor correto em menos de 1 / 10.000 (aproximadamente 7,2 × 10 −5).

Constante de Teodoro √ 3 Editar

O valor numérico de √ 3 é aproximadamente 1,7320508075 (sequência A002194 no OEIS).

Essas são constantes encontradas com frequência na matemática superior.


OpenAlgebra.com

Responder: Ao final de 3 anos, o valor é de $ 576,86.

Responder: Ao final de 5 anos, a conta possui $ 15.415,42.

A ideia básica é primeiro determinar as informações fornecidas e, em seguida, substituir os valores apropriados na fórmula e avaliar. Para evitar o erro de arredondamento, use a calculadora e arredondamento apenas uma vez como última etapa.

  • Anual n = 1
  • Semestral n = 2
  • Trimestral n = 4
  • Mensal n = 12
  • Diário n = 365

Exemplo: Quanto tempo leva para dobrar $ 1000 a uma taxa de juros anual de 6,35% composta mensalmente?

Responder: A conta dobrará em aproximadamente 10,9 anos.

A etapa chave neste processo é aplicar o logaritmo comum a ambos os lados para que possamos aplicar a regra do poder e resolver o tempo t. Use a calculadora na última etapa e arredonde apenas uma vez.

Exemplo: Quanto tempo levará $ 30.000 para acumular até $ 110.000 em um fundo que ganha um retorno de 10% composto semestralmente?

Responder: Aproximadamente 13,3 anos.

Exemplo: Quanto tempo nosso dinheiro levará para triplicar em uma conta bancária com uma taxa de juros anual de 8,45% composta anualmente?

Responder: Aproximadamente 13,5 anos para triplicar.

Observe que dobrar ou triplicar o tempo independe do diretor. No problema anterior, observe que o principal não foi dado e que a variável P cancelado.

Use a fórmula de juros compostos continuamente para resolver o seguinte.

Exemplo: Se um certificado de depósito de $ 500 rende 4 1/4% de juros anuais compostos continuamente, então quanto será acumulado ao final de um período de 3 anos?

Responder: o valor ao final de 3 anos será de $ 576,99.

Exemplo: Um determinado investimento ganha 8 3/4% compostos continuamente. Se $ 10.000 dólares forem investidos, quanto haverá na conta após 5 anos?

Responder: O valor ao final de cinco anos será de $ 15.488,30.

Os dois exemplos anteriores são os mesmos com os quais começamos este capítulo. Isso nos permite comparar os valores acumulados com os juros compostos regulares.

A resposta é mais de 8 milhões de dólares. Só podemos imaginar quanto isso valeria em um século.

Dados os juros compostos continuamente, muitas vezes somos solicitados a encontrar o tempo de duplicação. Em vez de tirar o tronco comum de ambos os lados, será mais fácil tirar o tronco natural de ambos os lados, caso contrário, os passos são os mesmos.

Exemplo: Quanto tempo leva para dobrar $ 1000 a uma taxa de juros anual de 6,35% compostos continuamente?

Responder: A conta dobrará em cerca de 10,9 anos.

A etapa principal neste processo é aplicar o logaritmo natural a ambos os lados para que possamos aplicar a regra de potência e resolver para t. Use a calculadora na última etapa e arredonde apenas uma vez.

Exemplo: Quanto tempo levará $ 30.000 para acumular até $ 110.000 em um fundo que ganha um retorno anual de 10% composto continuamente?

Responder: Aproximadamente 13 anos.

Exemplo: Quanto tempo nosso dinheiro levará para triplicar em uma conta bancária com uma taxa de juros anual de 8,45% composta continuamente?


Calculadora de juros compostos

Exemplo: Suponha que você dê $ 100 a um banco que lhe paga juros compostos de 10% no final de cada ano. Após um ano, você terá $ 100 + 10% = $ 110 e, após dois anos, você terá $ 110 + 10% = $ 121.

Se você depositar $4500 em uma conta de pagamento 7% juros anuais compostos semi anualmente. Encontre o valor e os juros após 9 anos?

A quantia é $8358.7 e o interesse é $3858.7.

PASSO 1: Para encontrar a quantidade, usamos a fórmula:

$ A = P left (1 + frac direita) ^ < Grande> $ UMA = montante total
P = principal ou quantia de dinheiro depositada,
r = taxa de juros anual
n = número de vezes compostas por ano
t = tempo em anos

Depois de conectar as informações fornecidas, temos

$ begin A & = 4500 left (1 + frac <0,07> <2> right) ^ < Large <2 cdot 9 >> A & = 4500 cdot <1.035> ^ <18> A & = 4500 cdot 1.857489 A & = 8358.7 end $

PASSO 2: Para encontrar os juros, usamos a fórmula $ A = P + I $, uma vez que $ A = $ 8358,7 $ e $ P = $ 4500 $ temos:

$ begin A & = P + I 8358,7 & = 4500 + I I & = 8358,7 - 4500 I & = 3858,7 end$


Fórmula Trimestral de Composição

A composição trimestral pode ser considerada como o valor dos juros ganhos trimestralmente em uma conta ou um investimento em que os juros ganhos também serão reinvestidos. e é útil no cálculo da receita de depósito fixo, já que a maioria dos bancos oferece receita de juros sobre os depósitos que são compostos trimestralmente. Além disso, também pode ser usado para calcular qualquer receita de outros produtos financeiros ou instrumentos do mercado monetário que ofereçam receita trimestral.

Fórmula de composição trimestral

Você é livre para usar esta imagem em seu site, modelos, etc., forneça-nos um link de atribuição Como fornecer atribuição? Link do artigo a ser hiperlinkado
Por exemplo:
Fonte: Compounding Quarterly Formula (wallstreetmojo.com)

  • Cq são os juros compostos trimestrais
  • P seria o valor principal
  • r é a taxa de juros composta trimestral
  • n é o número de períodos

A fórmula para composição trimestral é um subconjunto da fórmula de composição Fórmula de composição A fórmula de composição é usada para calcular os juros totais sobre o principal ganho quando o valor dos juros é ganho e reinvestido. É calculado pelo valor do principal multiplicado por um mais a taxa de aumento de juros para o número poderoso de períodos menos o valor do principal. consulte Mais informação . Aqui, o valor principal, o número de períodos e a taxa de juros seriam necessários. A única modificação é que a taxa de juros seria elevada para n * 4, o que é estático, pois devemos calcular os juros trimestralmente. Portanto, ele compõe os juros trimestralmente, e a receita cresce a cada trimestre, que é o que essa fórmula está tentando explicar e obter esses resultados.

Exemplos

Exemplo 1

O Sr. Kamal depositou $ 50.000 no banco KJK por 4 anos, e o banco paga 5% como taxa de juros, composta trimestralmente. Você deve calcular os juros compostos trimestrais.

Recebemos todas as variáveis ​​necessárias

  • Valor do principal: 50.000,00
  • Taxa de juros: 5%
  • Número de anos: 4,00
  • Frequência: 4,00

Portanto, o cálculo dos juros compostos trimestrais será & # 8211

  • Cq = P [(1 + r) 4 * n - 1]
  • = 50,000 [ (1+5%/4) 4*4 – 1 ]
  • = 50,000 [ (1.0125) 16 – 1 ]
  • = 10,994.48

Exemplo # 2

O banco cooperativo BCC tem dois esquemas para os quais eles estão avaliando as projeções de qual seria o mais preferido por seus clientes. Os detalhes de ambos os esquemas são fornecidos abaixo, conforme coletados pelo departamento financeiro.

  • Cq = P [(1 + r) n * 4 - 1]
  • =189,000 [ (1+(8.50%/4)) (6*4) – 1 ]
  • =189,000 [ (1.02125) 24 – 1 ]
  • = 1,24,062.81
  • Cq = P [(1 + r) n * 4 - 1]
  • = 375,000 [ (1+(8.25%/4) (7*4) – 1 ]
  • = 375,000 [ (1.020625) 28 – 1 ]
  • = 2,89,178.67

É difícil tomar uma decisão aqui, pois não estamos comparando maçãs com maçãs, pois um esquema é por 6 anos e outro por 7 anos e mais, se passarmos pelos benefícios da apólice, o cliente pode escolher o esquema I como menor investimento e cobertura da apólice de 1.000.000.

Exemplo # 3

A corporação SMC Municipal lançou novos produtos para captar dinheiro do mercado. O dinheiro deve ser investido em duas fases. Na fase I, 50% serão investidos e o restante será investido após cinco anos. Nos primeiros cinco anos, a taxa de juros a pagar é de 8% e nos próximos cinco anos será de 7,5%. Estes serão pagos trimestralmente. O Sr. W investiu 500.000 no período inicial. Você deve calcular a receita obtida no investimento para o Sr. W.

Todos os detalhes são fornecidos aqui, e podemos usar a fórmula abaixo para calcular a receita que será obtida investindo 10.000 por mês durante 12 anos a uma taxa de 11,50% composta mensalmente.

Use os seguintes dados para o cálculo de juros compostos trimestrais

Renda total

Portanto, a receita total auferida pelo Sr. W em seu investimento será de 1.221.486,85 + 1.12.487,01, que será de 2.33974.

Relevância e usos

A composição pode ser mensal, trimestral, semestral e anual e a maioria dos produtos financeiros, que também incluem contas de poupança, baseiam-se principalmente em uma base trimestral ou semestral. A composição faz o dinheiro crescer muito mais rápido do que os juros que são ganhos por meio de juros simples.

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