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3.4E: Exercícios - Resolvendo Sistemas com Inversos - Matemática


Encontre o inverso de cada matriz (se possível).

1. [A = left [ begin {array} {rr} 2 & 1 -1 & 3 end {array} right] nonumber ]

2. [A = left [ begin {array} {rr} 0 & 1 5 & 3 end {array} right] nonumber ]

3. [A = left [ begin {array} {rr} 2 & 1 4 & 2 end {array} right] nonumber ]

4. [A = left [ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 3 2 & 3 & 4 1 & 0 & 2 end {array} right] nonumber ]

Use inversos para resolver todas as variáveis.

5.

( begin {bmatrix} -3 & 1 nonumber [4pt] 4 e -2 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} = begin {bmatrix} - 7 nonumber [4pt] 12 end {bmatrix} )

6. [ begin {align *} 3x + y & = 2 10x + 7y & = -8 end {align *} nonumber ]

7. [ begin {align *} x + 6y + 3z & = 4 2x + y + 2z & = 3 3x-2y + z & = 0 end {align *} nonumber ]

Escreva um sistema de equações para representar cada cenário. Em seguida, use inversos para encontrar a quantidade desejada.

8) Um restaurante fast-food tem um custo de produção (C (x) = 11x + 120 ) e uma função de receita (R (x) = 5x ). Quando a empresa começa a ter lucro?

9) Um músico cobra (C (x) = 64x + 20.000 ), onde (x ) é o número total de participantes no concerto. O local cobra ( $ 80 ) por ingresso. Depois de quantas pessoas compram ingressos, o local fica empatado e qual é o valor do total de ingressos vendidos naquele momento?

10) Se um investidor investe ( $ 23.000 ) em dois títulos, um que paga (4 \% ) em juros simples e o outro paga (2 \% ) juros simples, e o investidor ganha ( $ 710,00 ) juros anuais, quanto foi investido em cada conta?


SOLUCIONANDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES USANDO PLANILHA DE MATRIZES INVERSAS

(1) & # xa0 Resolva o seguinte sistema de equações lineares pelo método de inversão de matriz:

(iii) & # xa0 2x + 3y - z = 9, x + y + z = 9, 3x - y - z = -1

(iv) & # xa0 x + y + z - 2 = 0, 6x - 4y + 5z - 31 = 0, 5x + 2y + 2z = 13

encontre os produtos AB e BA e, portanto, resolva o sistema de equações x + y + 2z = 1,3x + 2y + z = 7,2x + y + 3z = 2.

(3) & # xa0 & # xa0 Um homem é nomeado para um cargo com um salário mensal de certa quantia e uma quantia fixa de acréscimo anual. Se seu salário era de & # xa0 ₹ 1. 9.800 por mês no final do primeiro mês após 3 anos de serviço e & # xa0 ₹ 23.400 por mês no final do primeiro mês após 9 anos de serviço, encontre seu salário inicial e seu anual incremento. (Use o método de inversão de matriz para resolver o problema.) & # Xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 Solução

(4) & # xa0 Quatro homens e 4 mulheres podem terminar um trabalho em conjunto em 3 dias, enquanto 2 homens e 5 mulheres & # xa0 podem terminar o mesmo trabalho em 4 dias. Encontre o tempo gasto por um homem sozinho e o de & # xa0 uma mulher sozinha para terminar o mesmo trabalho usando o método de inversão de matriz. & # Xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 Solução

(5) & # xa0 Os preços das três commodities A, B e C são & # xa0 $ & # xa0x, yez por unidades, respectivamente. Uma pessoa & # xa0 P compra 4 unidades de B e vende duas unidades de A e 5 unidades de C. A pessoa Q compra 2 & # xa0 unidades de C e vende 3 unidades de A e uma unidade de B. A pessoa R compra uma unidade de A e & # xa0 vende 3 unidades de B e uma unidade de C. No processo, P, Q e R ganham & # xa0 & # xa015.000, & # xa0 ₹ & # xa01.000 e & # xa0 ₹ 4.000 respectivamente. Encontre os preços por unidade de A, B e C. (Use o método de inversão de matriz para & # xa0 resolver o problema.) & # Xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 Solução

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Introdução às Congruências Lineares

As congruências lineares são o principal objeto de discussão deste artigo.

Definição. Dados inteiros $ a, b $ e um módulo $ n, $ a equação de congruência da forma $ a x equiv b pmod $ é chamado de congruência linear onde $ x $ é um desconhecido.

Capacidade de resolução de uma congruência linear $ a x equiv b pmod$ pode ser facilmente descrito pelo seguinte:

(i) se $ a $ e $ n $ são relativamente primos, então há precisamente um módulo de solução incongruente $ n $,

(ii) se o maior divisor comum de $ a $ e $ n $ não divide $ b $, então a congruência linear não tem solução, e

(iii) se o mdc de $ a $ e $ n $ divide $ b $, então existem exatamente $ (a, n) $ soluções incongruentes distintas módulo $ n. $


O `` problema '' do sistema linear

O `` problema '' do sistema linear pode ser colocado da seguinte maneira. Encontre um -vetor que satisfaça a equação da matriz

onde é uma matriz e é um vetor.

Você provavelmente já sabe que existe `` geralmente "uma solução se a matriz for quadrada, (isto é, se). Vamos nos concentrar neste caso por enquanto. Mas você pode se perguntar se há uma resposta inteligente para este problema para o casos de uma matriz quadrada, mas singular, ou um sistema retangular, seja sobredeterminado ou subdeterminado.

Em um momento ou outro, você provavelmente foi apresentado a vários algoritmos para produzir uma solução para o problema do sistema linear, incluindo a regra de Cramer (usando determinantes), construção da matriz inversa, eliminação de Gauss-Jordan e fatoração de Gauss. Veremos que geralmente não é uma boa ideia construir a matriz inversa e nos concentraremos na fatoração de Gauss para solução de sistemas lineares.

Estaremos preocupados com vários tópicos: Eficiência: quais algoritmos produzem um resultado com menos trabalho? Precisão: quais algoritmos produzem uma resposta que provavelmente será mais precisa? Dificuldade: o que torna um problema difícil ou impossível de resolver? Casos especiais: como resolvemos problemas grandes? simétrico? Unido? singular? retangular?


RESOLVER PROBLEMAS DE PALAVRA USANDO MATRIZ INVERSA

encontre os produtos AB e BA e, portanto, resolva o sistema de equações x + y + 2z = 1,3x + 2y + z = 7,2x + y + 3z = 2.

x + y + 2z = 1, 3x + 2y + z = 7, 2x + y + 3z = 2

Assim, os valores de x, y e z são 2, 1 e -1, respectivamente.

Um homem é nomeado para um cargo com um salário mensal de certa quantia e uma quantia fixa de acréscimo anual. Se seu salário era de & # xa0 ₹ 1. 9.800 por mês no final do primeiro mês após 3 anos de serviço e & # xa0 ₹ 23.400 por mês no final do primeiro mês após 9 anos de serviço, encontre seu salário inicial e seu anual incremento. (Use o método de inversão de matriz para resolver o problema.)

Sejam "x" e "y" o salário mensal & # xa0 e um valor fixo de incremento anual, respectivamente.

Portanto, o salário mensal é de 18.000 e o incremento anual é de 600.

Quatro homens e 4 mulheres podem terminar um trabalho em conjunto em 3 dias, enquanto 2 homens e 5 mulheres & # xa0 podem terminar o mesmo trabalho em 4 dias. Encontre o tempo gasto por um homem sozinho e o de & # xa0 uma mulher sozinha para terminar o mesmo trabalho usando o método de inversão de matriz & # xa0.

Seja "x" o número de dias gasto pelos homens e "y" o número de dias gasto pelas mulheres.

Trabalho de um dia feito por 1 homem & # xa0 = & # xa0 1 / x

Trabalho de um dia feito por 1 mulher & # xa0 = & # xa0 1 / y

Assim, os homens podem levar 18 dias para terminar o trabalho e as mulheres 36 dias para terminar o trabalho.

Os preços das três commodities A, B e C são & # xa0 $$ & # xa0x, y e z por unidades, respectivamente. Uma pessoa & # xa0 P compra 4 unidades de B e vende duas unidades de A e 5 unidades de C. A pessoa Q compra 2 & # xa0 unidades de C e vende 3 unidades de A e uma unidade de B. A pessoa R compra uma unidade de A e & # xa0 vende 3 unidades de B e uma unidade de C. No processo, P, Q e R ganham & # xa0 & # xa015.000, & # xa0 ₹ & # xa01.000 e & # xa0 ₹ 4.000 respectivamente. Encontre os preços por unidade de A, B e C. (Use o método de inversão de matriz para & # xa0 resolver o problema.)

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Exercícios para desenvolver habilidades de tomada de decisão e solução de problemas

Use os exercícios a seguir para ajudar os membros de sua equipe a resolver problemas e tomar decisões em conjunto com mais eficácia.

Exercício 1: Perdido no Mar *

Nesta atividade, os participantes devem fingir que naufragaram e estão presos em um bote salva-vidas. Cada equipe tem uma caixa de fósforos e vários itens que resgataram do navio que está afundando. Os membros devem concordar com quais itens são mais importantes para sua sobrevivência.

Baixe e imprima nossa planilha de exercícios de construção de equipe para ajudá-lo com este exercício.

Esta atividade desenvolve habilidades de resolução de problemas à medida que os membros da equipe analisam informações, negociam e cooperam uns com os outros. Também os incentiva a ouvir e a pensar sobre a maneira como tomam decisões.

O que você precisará

  • Até cinco pessoas em cada grupo.
  • Uma grande sala privada.
  • Um gráfico de classificação de "perdidos no mar" para cada membro da equipe. Deve compreender seis colunas. O primeiro simplesmente lista cada item (veja abaixo). O segundo está vazio para que cada membro da equipe possa classificar os itens. O terceiro é para classificações de grupo. A quarta é para as classificações "corretas", que são reveladas no final do exercício. E o quinto e o sexto são para a equipe inserir a diferença entre a pontuação individual e correta e a pontuação da equipe e correta, respectivamente.
  • Os itens a serem classificados são: um mosquiteiro, uma lata de gasolina, um recipiente de água, um espelho de barbear, um sextante, rações de emergência, um mapa do mar, um assento ou almofada flutuante, uma corda, algumas barras de chocolate, um lençol impermeável , uma vara de pescar, repelente de tubarão, uma garrafa de rum e um rádio VHF. Eles podem ser listados no gráfico de classificação ou exibidos em um quadro branco, ou ambos.
  • A experiência pode ser mais divertida com alguns adereços perdidos no mar na sala.

Flexível, mas normalmente entre 25 e 40 minutos.

Instruções

  1. Divida os participantes em suas equipes e forneça a todos uma folha de classificação.
  2. Peça aos membros da equipe que dediquem 10 minutos sozinhos para classificar os itens em ordem de importância. Eles devem fazer isso na segunda coluna de sua planilha.
  3. Dê às equipes mais 10 minutos para conferir e decidir sobre a classificação do grupo. Uma vez acordado, eles devem listá-los na terceira coluna de suas folhas.
  4. Peça a cada grupo para comparar suas classificações individuais com as coletivas e considere por que as pontuações diferem. Alguém mudou de ideia sobre suas próprias classificações durante as discussões da equipe? Quanto as pessoas foram influenciadas pela conversa em grupo?
  5. Agora leia em voz alta a ordem "correta", compilada pelos especialistas da Guarda Costeira dos EUA (do mais para o menos importante):
    • Espelho de barbear. (Uma de suas ferramentas mais poderosas, porque você pode usá-la para sinalizar sua localização refletindo o sol.)
    • Lata de gasolina. (Mais uma vez, potencialmente vital para sinalizar, pois a gasolina flutua na água e pode ser acesa por seus fósforos.)
    • Recipiente de água. (Essencial para coletar água para restaurar seus fluidos perdidos.)
    • Rações de emergência. (Valioso para ingestão alimentar básica.)
    • Folha de plástico. (Pode ser usado como abrigo ou para coletar água da chuva.)
    • Barras de chocolate. (Um útil suprimento de comida.)
    • Cana de pesca. (Potencialmente útil, mas não há garantia de que você será capaz de pescar. Também pode funcionar como uma vara de barraca.)
    • Corda. (Útil para amarrar equipamentos, mas não necessariamente vital para a sobrevivência.)
    • Assento ou almofada flutuante. (Útil como salva-vidas.)
    • Repelente de tubarão. (Potencialmente importante quando na água.)
    • Garrafa de rum. (Pode ser útil como um anti-séptico para tratar ferimentos, mas só desidratará se você beber.)
    • Rádio. (Provavelmente, você está fora do alcance de qualquer sinal.)
    • Mapa do mar. (Inútil sem equipamento de navegação.)
    • Mosquiteiro. (Supondo que você naufragou no Atlântico, onde não há mosquitos, isso é praticamente inútil.)
    • Sextante. (Impraticável sem tabelas relevantes ou um cronômetro.)

Conselhos para o facilitador

O cenário ideal é que as equipes cheguem a uma decisão consensual em que a opinião de todos seja ouvida. No entanto, isso nem sempre acontece naturalmente: pessoas assertivas tendem a receber mais atenção. Os membros da equipe menos diretos muitas vezes podem se sentir intimidados e nem sempre se manifestam, principalmente quando suas ideias são diferentes da visão popular. Quando as discussões são unilaterais, atraia as pessoas mais caladas para que todos estejam envolvidos, mas explique por que você está fazendo isso, para que as pessoas aprendam com isso.

Você pode usar a técnica da escada quando a discussão da equipe é desequilibrada. Aqui, peça a cada membro da equipe para pensar sobre o problema individualmente e, um de cada vez, apresentar novas idéias a um líder de grupo designado & ndash sem saber quais idéias já foram discutidas. Depois que as duas primeiras pessoas apresentam suas ideias, elas as discutem juntas. Em seguida, o líder adiciona uma terceira pessoa, que apresenta suas idéias antes de ouvir a opinião anterior. Este ciclo de apresentação e discussão continua até que toda a equipe tenha a chance de expressar suas opiniões.

Depois que todos tiverem terminado o exercício, convide suas equipes para avaliar o processo para extrair suas experiências. Por exemplo, pergunte quais são as principais diferenças entre as classificações individuais, de equipe e oficiais e por quê. Isso vai provocar a discussão sobre como as equipes chegam às decisões, o que fará as pessoas pensarem sobre as habilidades que devem usar em cenários de equipe futuros, como ouvir, negociar e tomar decisões, bem como habilidades de criatividade para pensar "fora da caixa". "

Um problema comum que surge na tomada de decisão da equipe é o pensamento de grupo. Isso pode acontecer quando um grupo coloca o desejo de harmonia mútua acima do desejo de chegar à decisão certa, o que impede as pessoas de explorar totalmente soluções alternativas.

Se houver decisões unânimes frequentes em qualquer um de seus exercícios, o pensamento de grupo pode ser um problema. Sugira que as equipes investiguem novas maneiras de incentivar os membros a discutir suas opiniões ou compartilhá-las anonimamente.


RESOLVER SISTEMAS DE EQUAÇÕES USANDO MATRIZES INVERSAS

Resolva o seguinte sistema de equações lineares pelo método de inversão de matriz:

Portanto, os valores de x e y são -11 e 4, respectivamente.

Portanto, os valores de xey são 2 e -4, respectivamente.

(iii) 2x + 3y - z = 9, x + y + z = 9, 3x - y - z = −1

Portanto, os valores de x, y e z são 2, 3 e 4, respectivamente. & # Xa0

(iv) x + y + z - 2 = 0, 6x - 4y + 5z - 31 = 0, 5x + 2y + 2z = 13

| A | & # xa0 = & # xa0 1 (-8 - 10) - 1 (12 - 25) + 1 (12 + 20)

Portanto, os valores de x, y e z são 3, -2 e 1, respectivamente.

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Recursos Relacionados

Já estou multiplicando matrizes, mas certamente é hora de discutir as regras para a multiplicação de matrizes.

E a parte interessante são as muitas maneiras de fazer isso, e todas dão a mesma resposta.

Então, a multiplicação da matriz e, em seguida, vêm os inversos.

Então, mencionamos o inverso de uma matriz.

Muito o que fazer sobre inversos e como encontrá-los.

Ok, então começarei explicando como multiplicar duas matrizes.

Primeira maneira, ok, então suponha que eu tenha uma matriz A multiplicando uma matriz B e - dando-me um resultado - bem, eu poderia chamá-la de C.

Então, deixe-me revisar a regra para esta entrada.

Essa é a entrada na linha i e coluna j.

Sempre escrevemos o número da linha e depois o número da coluna.

Então eu poderia - eu poderia - talvez eu considerasse C 3 4, apenas para torná-lo específico.

Portanto, em vez de i j, deixe-me usar números.

C 3 4. Então, de onde vem isso, a entrada três quatro?

Vem da linha três, aqui, da linha três e da coluna quatro, como você sabe.

E posso apenas escrever ou podemos escrever a fórmula para isso?

Se olharmos para a linha inteira e a coluna inteira, a maneira rápida de dizer que é a linha três de A - eu poderia usar um ponto para produto escalar.

Não vou usar isso com frequência, na verdade.

Mas isso nos dá a chance de usar um pouco de notação de matriz.

Qual é a primeira entrada na linha três?

Esse número que está bem ali está.

A, então tem dois índices e quais são eles?

3 1. Portanto, há um 3 1 aqui.

Qual é o primeiro cara no topo da coluna quatro?

Então, o que está sentado aí?

Para que este produto escalar comece com A 3 1 vezes B 1 4. E então qual é o próximo - então é como se eu estivesse acumulando essa soma, então vem o próximo cara, A 3 2, segunda coluna, vezes B 2 4 , segunda linha.

Portanto, é b A 3 2, B 2 4 e assim por diante.

Pratique apenas com índices.

Oh, deixe-me praticar com uma fórmula de soma.

Então isso é - na maior parte do curso, eu uso vetores inteiros.

Raramente procuro os detalhes dessas entradas em particular, mas é melhor fazê-lo aqui.

Então é algum tipo de soma, certo?

Das coisas na linha três, coluna K, devo dizer?

Vezes as coisas na linha K, coluna quatro.

Você vê que é isso que estamos vendo aqui?

Este é K é um, aqui K é dois, ao longo - então a soma vai ao longo de toda a linha e desce na coluna, digamos, um até N.

Então é assim que a entrada C três quatro se parece.

Uma soma de três K b K quatro.

Basta um pouco de prática para fazer isso.

OK. E - bem, talvez eu deva dizer - quando podemos multiplicar essas matrizes?

Quais são as formas dessas coisas?

As formas são - se permitirmos que não sejam matrizes necessariamente quadradas.

Se eles são quadrados, eles têm que ser os mesmos

Tamanho. Se forem retangulares, não têm o mesmo tamanho.

Se eles forem retangulares, isso pode ser - bem, sempre penso em A como m por n. m linhas, n colunas.

Agora, qual é o ponto - quantas linhas B precisa ter?

n. O número de linhas em B, o número de caras que encontramos descendo tem que corresponder ao número de unidades.

Portanto, B terá que ser n por alguma coisa.

P. Portanto, o número de colunas aqui tem que corresponder ao número de linhas ali, e qual é o resultado?

Qual é a forma do resultado?

Qual é a forma de C, a saída?

Bem, ele tem as mesmas m linhas - ele tem m linhas.

Portanto, há m vezes P pequenos números ali, entradas, e cada um se parece com isso.

OK. Então essa é a regra padrão.

É assim que as pessoas pensam sobre a multiplicação de matrizes.

Mas eu quero falar sobre outras maneiras de olhar para o mesmo cálculo, olhando para colunas inteiras e linhas inteiras.

OK. Posso fazer A B C de novo?

Então aqui vai A, novamente, vezes B produzindo C.

Este é n por P e este é m por P. Ok.

Agora quero ver colunas inteiras.

Eu quero olhar para as colunas de - aqui está a segunda maneira de multiplicar matrizes.

Porque vou construir sobre o que já sei.

Como faço para multiplicar uma matriz por uma coluna?

Eu sei como multiplicar esta matriz por aquela coluna.

Devo chamar essa coluna um?

Isso me diz a primeira coluna da resposta.

A matriz vezes a primeira coluna é a primeira coluna.

Porque nenhuma dessas coisas entrou nessa parte da resposta.

A matriz vezes a segunda coluna é a segunda coluna da resposta.

Você entende o que estou dizendo?

Que eu poderia pensar em multiplicar uma matriz por um vetor, o que eu já sabia fazer, e posso pensar em apenas P colunas sentadas lado a lado, exatamente como descansando uma ao lado da outra.

E eu multiplico A por cada um deles.

E recebo as colunas P da resposta.

Você vê isso como - isso é muito bom, ser capaz de pensar, ok, a multiplicação de matrizes funciona de forma que eu posso apenas pensar em ter várias colunas, multiplicar por A e obter as colunas da resposta.

Então, tipo, aqui está a coluna um, devo chamá-la de coluna um?

E o que está acontecendo lá é A vez, coluna um.

Essa é a imagem, uma coluna de cada vez.

Então o que isso me diz?

O que isso me diz sobre essas colunas?

Essas colunas de C são combinações, porque já vimos isso antes, de colunas de A.

Cada um deles vem de A vezes isso e A vezes um vetor é uma combinação das colunas de A.

E faz sentido, porque as colunas de A têm comprimento me as colunas de C têm comprimento m.

E cada coluna de C é alguma combinação das colunas de A.

E são esses números aqui que me dizem qual é a combinação.

Que nessa resposta, C, estou vendo coisas que são combinações dessas colunas.

Agora, suponha que eu olhe para isso - há duas maneiras agora.

A terceira maneira é examiná-lo por linhas.

Agora, deixe-me mudar para as linhas.

Portanto, agora posso pensar em uma linha de A - uma linha de A multiplicando todas essas linhas aqui e produzindo uma linha do produto.

Portanto, esta linha leva uma combinação dessas linhas e essa é a resposta.

Portanto, essas linhas de C são combinações de quê?

Diga-me como terminar isso.

As linhas de C, quando eu tenho uma matriz B, ela tem suas linhas e eu multiplico por A, e o que isso faz?

Ele cria combinações das linhas de B, obrigado.

Isso é o que eu queria ver, essa resposta - eu posso ver de onde as peças estão vindo.

As linhas na resposta vêm como combinações dessas

linhas. As colunas da resposta vêm como combinações daquelas

colunas. E então são três maneiras.

Agora você pode dizer, ok, qual é a quarta maneira?

A quarta forma - então é - agora temos, tipo, a forma regular, a forma de coluna, a forma de linha e - o que resta?

O que eu posso - bem, uma maneira é colunas vezes linhas.

O que acontece se eu multiplicar - Então, era linha vezes coluna, deu um número.

OK. Agora eu quero perguntar sobre coluna vezes linha.

Se eu multiplicar uma coluna de A por uma linha de B, com que forma acabo?

Então, se eu pegar uma coluna vezes uma linha, isso é definitivamente diferente de pegar uma linha vezes uma coluna.

Portanto, uma coluna de A era - qual é a forma de uma coluna de A?

Uma coluna de A é uma coluna.

Tem m entradas e uma coluna.

Tem uma linha e P colunas.

Então, qual é a forma - o que eu ganho se multiplicar uma coluna por uma linha?

Se eu multiplicar uma coluna por uma linha - devemos fazer apenas uma?

Deixe-me pegar a coluna dois três quatro vezes a linha um seis.

Aquele produto ali - quero dizer, quando estou apenas seguindo as regras de multiplicação de matrizes, essas regras parecem - meio pequenas, meio pequenas, porque as linhas aqui são muito curtas e as colunas lá são muito curtas , mas eles têm o mesmo comprimento, uma entrada.

Qual é a resposta se eu fizer dois três quatro vezes um seis, apenas para praticar?

Bem, qual é a primeira linha da resposta?

E a segunda linha da resposta é três e dezoito.

E a terceira linha da resposta é quatro e vinte e quatro.

Essa é uma matriz muito especial.

O que você pode me dizer sobre suas colunas, as colunas dessa matriz?

Eles são múltiplos desse cara, certo?

Eles são múltiplos daquele.

Dissemos que as colunas da resposta eram combinações, mas há apenas - para pegar a combinação de um cara, é apenas um múltiplo.

As linhas da resposta, o que você pode me dizer sobre essas três linhas?

Eles são todos múltiplos desta linha.

Eles são todos múltiplos de um seis, como esperávamos.

Mas estou obtendo uma matriz de tamanho normal.

E agora, apenas para completar este pensamento, se eu tenho - deixe-me escrever da quarta maneira.

A B é a soma das colunas de A vezes as linhas de B.

Assim, por exemplo, se minha matriz fosse dois três quatro e tivesse outra coluna, digamos, sete oito nove, e minha matriz aqui tivesse - digamos, começado com um seis e depois tivesse outra coluna como zero zero, então - aqui está a quarta via, ok?

Eu tenho duas colunas lá, eu tenho duas linhas lá.

Portanto, a bela regra é - veja, a coisa toda por colunas e linhas é que eu posso pegar a primeira coluna vezes a primeira linha e adicionar a segunda coluna vezes a segunda linha.

Essa é a quarta maneira - posso pegar colunas vezes linhas, primeira coluna vezes primeira linha, segunda coluna vezes segunda linha e adicionar.

Qual será a resposta para essa multiplicação de matrizes?

Bem, este aqui vai nos dar zero, então, na verdade, estou de volta a isso - essa é a resposta, para a multiplicação de matrizes.

Estou feliz em colocar aqui esses fatos sobre a multiplicação de matrizes, porque me dá a chance de escrever matrizes especiais como esta.

Todas essas linhas estão na mesma linha.

Todas essas linhas estão na linha por meio de um seis.

Se eu fizer um desenho de todos esses vetores de linha, eles estarão todos na mesma direção.

Se eu fizer um desenho desses dois vetores de coluna, eles estarão na mesma direção.

Mais tarde, usaria essa linguagem.

Não muito depois, também.

Eu diria que o espaço de linha, que é como todas as combinações de linhas, é apenas uma linha para esta matriz.

O espaço de linha é a linha que passa pelo vetor um seis.

Todas as linhas estão nessa linha.

E o espaço da coluna também é uma linha.

Todas as colunas estão na reta que passa pelo vetor dois, três, quatro.

Então, isso é como uma matriz realmente mínima.

E é por causa desses.

OK. Portanto, esta é uma terceira via.

Agora, quero dizer mais uma coisa sobre a multiplicação de matrizes, já que estamos no assunto.

Você também pode multiplicar - Você também pode cortar a matriz em blocos e fazer a multiplicação por blocos.

Ainda assim, é realmente tão útil que quero mencioná-lo.

Então eu poderia pegar minha matriz A e dividi-la, como, talvez apenas para simplificar, deixe-me dividi-la em dois - em quatro blocos quadrados.

Vamos pegar um bom caso.

E B, suponha que também seja quadrado, do mesmo tamanho.

Portanto, esses tamanhos não precisam ser iguais.

O que eles precisam fazer é combinar corretamente.

Aqui eles certamente vão combinar.

Então aqui está a regra para a multiplicação de blocos, que se isso tiver blocos como A - então talvez A1, A2, A3, A4 sejam os blocos aqui, e esses blocos são B1, B2,3 e B4? Então, a resposta que posso encontrar bloco.

E se você me disser o que há nesse bloco, não falarei sobre a multiplicação de matrizes pelo resto do dia.

O que se passa nesse bloco?

Veja, essas podem ser - essa matriz pode ser - essas matrizes podem ser, tipo, vinte por vinte com blocos que são dez por dez, para pegar o caso fácil em que todos os blocos têm a mesma forma.

E a questão é que eu poderia multiplicar isso por blocos.

O que é esse bloqueio na resposta? A1 B1, que é uma matriz vezes uma matriz, é do tamanho certo, dez por dez.

Além disso, o que mais vai lá? A2 B3, certo?

É como linhas de bloco vezes colunas de bloco.

Ninguém, eu acho, nem mesmo Gauss pode ver instantaneamente que funciona.

Mas de alguma forma, se verificarmos, todas as cinco maneiras estão fazendo as mesmas multiplicações.

Portanto, essa multiplicação familiar é o que realmente fazemos quando a fazemos por colunas, por linhas por colunas vezes linhas e por blocos.

Eu só tenho que definir as regras para multiplicação de matrizes.

Tudo bem, estou pronto para o segundo tópico, que é inverso.

E deixe-me fazer isso para matrizes quadradas primeiro.

OK. Então, eu tenho uma matriz quadrada A.

E pode ou não ter o inverso, certo?

Nem todas as matrizes têm inversos.

Na verdade, essa é a pergunta mais importante que você pode fazer sobre a matriz, se ela é - se você sabe que é quadrada, é invertível ou não?

Se for invertível, então existe alguma outra matriz, devo chamá-la de inversa?

E qual é - se existe um inverso - há um grande & quotif & quot aqui.

Se essa matriz existe, será realmente importante descobrir quando ela existe?

E então, se ele existir, como você o encontrará?

Mas qual é a equação aqui que eu não tenho - que tenho que terminar agora?

Essa matriz, se existir, multiplica A e produz, eu acho, a identidade.

Mas um real - um inverso para uma matriz quadrada poderia estar à direita também - isso também é verdade, que é - se eu tiver um - sim, na verdade, isso não é - provavelmente é o - - isso é algo que não é fácil de provar, mas funciona.

Que matrizes quadradas à esquerda, uma inversa à esquerda também é uma matriz direita

inverso. Se eu conseguir encontrar uma matriz à esquerda que obtenha a identidade, então também essa matriz à direita produzirá essa identidade.

Para matrizes retangulares, veremos um inverso à esquerda que não é um inverso à direita.

Na verdade, as formas não permitiriam.

Mas para matrizes quadradas, as formas permitem e isso acontece, se A tiver uma inversa.

Ok, então me dê alguns casos - vamos ver.

Eu odeio ser negativo aqui, mas vamos falar sobre o caso sem o inverso.

Então - essas matrizes são chamadas de invertíveis ou não singulares - essas são as boas.

E queremos ser capazes de identificar como - se recebemos uma matriz, ela tem uma inversa?

Posso falar sobre o caso singular?

Melhor começar com um exemplo.

Diga-me um exemplo - vamos ver um exemplo aqui.

Vamos fazer dois a dois - de uma matriz que não tem inversa.

Deixe-me escrever - um três dois seis.

Por que essa matriz não tem inversa?

Você poderia responder a isso de várias maneiras.

Bem, você poderia - se você conhece os determinantes, o que não deveria, você poderia pegar seu determinante e obteria - Zero.

Deixe-me perguntar outras razões.

Quer dizer, por outras razões essa matriz não é invertível.

Aqui, eu poderia usar o que estou dizendo aqui.

Suponha que A vezes outra matriz forneça a identidade.

Porque - ah, sim - estou pensando em colunas aqui.

Se eu multiplicar esta matriz A por alguma outra matriz, então o - o resultado - o que você pode me dizer sobre as colunas?

Eles são todos múltiplos dessas colunas, certo?

Se eu multiplicar A por outra matriz que - o produto tem colunas que vêm dessas colunas.

Posso obter a matriz de identidade?

As colunas da matriz de identidade, como um zero - não é uma combinação dessas colunas, porque essas duas colunas estão na - ambas estão na mesma linha.

Cada combinação vai estar nessa linha e não consigo obter um zero.

Então, você vê esse tipo de imagem em coluna da matriz não sendo invertível.

Na verdade, aqui está outro motivo.

Este é um motivo ainda mais importante.

Bem, como posso dizer mais importante?

Essa é outra maneira de ver isso.

Uma matriz não tem inversa - sim - aqui - agora isso é importante.

Uma matriz não tem - uma matriz quadrada não terá uma inversa se não houver inversa porque eu posso resolver - posso encontrar um X de - um vetor X com A vezes - este A vezes X dando zero.

É por isso que gosto mais.

Essa matriz não terá uma inversa.

Você pode - bem, deixe-me mudar de I para U.

Então me diga um vetor X que resolve A X igual a zero.

Quer dizer, esta é, tipo, a equação chave.

Em matemática, todas as equações-chave têm zero no lado direito.

Diga-me um X aqui - agora vou colocar - deslize o X que você me diz e vou obter zero.

É aquele que você escolheu, ou - sim.

Ou outro - bem, se você escolheu zero com zero, não estou tão animado, certo?

Porque isso sempre funcionaria.

Portanto, é realmente o fato de que esse vetor não é zero que é importante.

É um vetor diferente de zero e três vetores negativos o fariam.

Isso apenas diz que três desta coluna menos um dessa coluna é a coluna zero.

OK. Portanto, agora eu sei que A não pode ser invertido.

Se A X for zero, suponha que multipliquei por A inverso.

Sim, bem, aqui está a razão.

Aqui - é por isso que isso significa desastre para o inverso.

A matriz não pode ter uma inversa se alguma combinação das colunas dá z- ela não dá nada.

Porque, eu poderia pegar A X igual a zero, eu poderia multiplicar por A inverso e o que eu descobriria?

Suponha que eu pegue essa equação e multiplique por - se A inversa existisse, o que, é claro, vou chegar à conclusão de que não pode porque se ela existisse, se houvesse uma inversa A para essa matriz estúpida, eu multiplique essa equação pelo inverso e eu descobriria que X é zero.

Se eu multiplicar A pelo inverso A à esquerda, obtenho X.

Se eu multiplicar por A inverso à direita, obtenho zero.

Então, eu descobriria que X era zero.

Portanto, conclusão - apenas, leva-nos algum tempo para realmente trabalhar com essa conclusão - nossa conclusão será que matrizes não invertíveis, matrizes singulares, algumas combinações de suas colunas resultam na coluna zero.

Eles levam algum vetor X a zero.

E não há como A inversa pode se recuperar, certo?

Isso é o que esta equação diz.

Esta equação diz que eu pego esse vetor X e multiplicando por A dá zero.

Mas então, quando eu multiplico por A inverso, nunca posso escapar de zero.

Portanto, não poderia haver um inverso de A.

Onde aqui - ok, agora conserte - tudo bem.

Agora deixe-me ver - tudo bem, de volta ao lado positivo.

Vamos pegar uma matriz que tem uma inversa.

OK. Posso - deixe-me pegar nesta terceira placa uma matriz - devo consertar isso um pouco?

Diga-me uma matriz que tem uma inversa.

Bem, deixe-me dizer um três dois - o que devo colocar aí?

Bem, não coloque seis, eu acho que é - certo?

Acreditamos que essa matriz seja invertível.

Those who like determinants have quickly taken its determinant and found it wasn't zero.

Those who like columns, and probably that -- that department is not totally popular yet -- but those who like columns will look at those two columns and say, hey, they point in different directions.

Now, let me see, what do I mean?

How I going to computer A inverse?

So A inverse -- here's A inverse, now, and I have to find it.

And what do I get when I do this multiplication?

You know, forgive me for taking two by two-s, but -- lt's good to keep the computations manageable and let the ideas come out.

Okay, now what's the idea I want?

I'm looking for this matrix A inverse, how I going to find it?

Right now, I've got four numbers to find.

I'm going to look at the first column.

Let me take this first column, A B.

What equation does the first column satisfy?

The first column satisfies A times that column is one zero.

The first column of the answer.

And the second column, C D, satisfies A times that second column is zero one.

You see that finding the inverse is like solving two systems.

One system, when the right-hand side is one zero -- I'm just going to split it into two pieces.

I don't even need to rewrite it.

I can take A times -- so let me put it here.

A times column j of A inverse is column j of the identity.

I've got, well, two in this case.

And they have the same matrix, A, but they have different right-hand sides.

The right-hand sides are just the columns of the identity, this guy and this guy.

And these are the two solutions.

Do you see what I'm going -- I'm looking at that equation by columns.

I'm looking at A times this column, giving that guy, and A times that column giving that guy.

So -- Essentially -- so this is like the Gauss -- we're back to Gauss.

We're back to solving systems of equations, but we're solving -- we've got two right-hand sides instead of one.

That's where Jordan comes in.

So at the very beginning of the lecture, I mentioned Gauss-Jordan, let me write it up again.

Here's the Gauss-Jordan idea. Gauss-Jordan solve two equations at once.

Okay. Let me show you how the mechanics go.

How do I solve a single equation?

So the two equations are one three two seven, multiplying A B gives one zero.

And the other equation is the same one three two seven multiplying C D gives zero one.

That'll tell me the two columns of the inverse.

In other words, if I can solve with this matrix A, if I can solve with that right-hand side and that right-hand side, I'm invertible.

And Jordan sort of said to Gauss, solve them together, look at the matrix -- if we just solve this one, I would look at one three two seven, and how do I deal with the right-hand side?

I stick it on as an extra column, right?

That's this augmented matrix.

That's the matrix when I'm watching the right-hand side at the same time, doing the same thing to the right side that I do to the left?

So I just carry it along as an extra column.

Now I'm going to carry along two extra columns.

And I'm going to do whatever Gauss wants, right?

I'm going to do elimination.

I'm going to get this to be simple and this thing will turn into the inverse.

I'm going to do elimination steps to make this into the identity, and lo and behold, the inverse will show up here.

So what are the elimination steps?

So you see -- here's my matrix A and here's the identity, like, stuck on, augmented on.

STUDENT: -- is the two and the three supposed to be switched?

STRANG: Did I -- oh, no, they weren't supposed to be switched. Sorry.

And there -- I've got them right.

Okay. So let's do elimination.

All right, it's going to be simple, right?

So I take two of this row away from this row.

So this row stays the same and two of those come away from this.

That leaves me with a zero and a one and two of these away from this is that what you're getting -- after one elimination step -- Let me sort of separate the -- the left half from the right half.

So two of that first row got subtracted from the second row.

Now this is an upper triangular form.

Gauss would quit, but Jordan says keeps going.

Subtract a multiple of equation two from equation one to get rid of the three.

So now I'm going to -- this guy is fine, but I'm going to -- what do I do now?

What's my final step that produces the inverse?

I multiply this by the right number to get up to ther to remove that three.

So I guess, I -- since this is a one, there's the pivot sitting there.

I multiply it by three and subtract from that, so what do I get?

I'll have one zero -- oh, yeah that was my whole point.

I'll multiply this by three and subtract from that, which will give me seven.

And I multiply this by three and subtract from that, which gives me a minus three.

Here I started with A and the identity, and I ended up with the identity and who?

That's the Gauss Jordan idea.

Start with this long matrix, double-length A I, eliminate, eliminate until this part is down to I, then this one will -- must be for some reason, and we've got to find the reason -- must be A inverse.

Shall I just check that it works?

Let me just check that -- can I multiply this matrix this part times A, I'll carry A over here and just do that multiplication.

You'll see I'll do it the old fashioned way.

Twenty one minus twenty one is a zero, minus two plus two is a zero, minus six plus seven is a one.

Verificar. So that is the inverse.

That's the Gauss-Jordan idea.

So, you'll -- one of the homework problems or more than one for Wednesday will ask you to go through those steps.

I think you just got to go through Gauss-Jordan a couple of times, but I -- yeah -- just to see the mechanics.

But the, important thing is, why -- is, like, what happened?

Why did we -- why did we get A inverse there?

We got -- so we take -- We do row reduction, we do elimination on this long matrix A I until the first half

Then a second half is A inverse. is up.

Let me put up here how I see that.

So here's my Gauss-Jordan thing, and I'm doing stuff to it.

So I'm -- well, whole lot of E's.

Remember those are those elimination matrices.

Those are the -- those are the things that we figured out last time.

Yes, that's what an elimination step is it's in matrix form, I'm multiplying by some Es.

And the result -- well, so I'm multiplying by a whole bunch of Es.

So, I get a -- can I call the overall matrix E?

That's the elimination matrix, the product of all those little

pieces. What do I mean by little pieces?

Well, there was an elimination matrix that subtracted two of that away from that.

Then there was an elimination matrix that subtracted three of that away from that.

I guess in this case, that was all.

So there were just two Es in this case, one that did this step and one that did this step and together they gave me an E that does both steps.

And the net result was to get an I here.

And you can tell me what that has to be.

This is, like, the picture of what happened.

If E multiplied A, whatever that E is -- we never figured it out in this way.

But whatever that E times that E is, E times A is -- What's E times A?

That E, whatever the heck it was, multiplied A and produced

So E must be -- E A equaling I tells us what E is, I. namely it is -- STUDENT: It's the inverse of A.

STRANG: It's the inverse of A.

And therefore, when the second half, when E multiplies I, it's E -- Put this A inverse.

You see the picture looking that way?

E times A is the identity.

It tells us what E has to be.

It has to be the inverse, and therefore, on the right-hand side, where E -- where we just smartly tucked on the identity, it's turning in, step by step -- It's turning into A inverse.

There is the statement of Gauss-Jordan elimination.

That's how you find the inverse.

Where we can look at it as elimination, as solving n equations at the same time -- -- and tacking on n columns, solving those equations and up goes the n columns of A inverse Okay, thanks.


3.4E: Exercises - Solving Systems with Inverses - Mathematics

The usual matrix addition is defined for two matrices of the same dimensions. The sum of two m × n (pronounced "m by n") matrices UMA e B, denoted by UMA + B, is again an m × n matrix computed by adding corresponding elements:

We can also subtract one matrix from another, as long as they have the same dimensions. UMAB is computed by subtracting corresponding elements of UMA e B, and has th e same dimensions as UMA e B . Por exemplo:


The following list is the problems and solutions/proofs of midterm exam 1 of linear algebra at the Ohio State University in Spring 2017.

    : Possibilities for the solution set of a system of linear equations : The vector form of the general solution of a system : Matrix operations (transpose and inverse matrices) : Linear combination : Inverse matrix Problem 6 and its solution (The current page): Nonsingular matrix satisfying a relation : Solve a system by the inverse matrix :A proof problem about nonsingular matrix

List of Quiz Problems of Linear Algebra (Math 2568) at OSU in Spring 2017

There were 13 weekly quizzes. Here is the list of links to the quiz problems and solutions.


Common Core State Standards*- Mathematics: 7th Grade

Common Core State Standards Adopted: 2011

CCSS.Math.Content.7.RP: Ratios and Proportional Relationships

CCSS.Math.Content.7.RP.A: Analyze proportional relationships and use them to solve real-world and mathematical problems.

CCSS.Math.Content.7.RP.A.2a: Decide whether two quantities are in a proportional relationship, e.g., by testing for equivalent ratios in a table or graphing on a coordinate plane and observing whether the graph is a straight line through the origin.

CCSS.Math.Content.7.RP.A.2b: Identify the constant of proportionality (unit rate) in tables, graphs, equations, diagrams, and verbal descriptions of proportional relationships.

CCSS.Math.Content.7.RP.A.2c: Represent proportional relationships by equations.

CCSS.Math.Content.7.RP.A.2d: Explain what a point (𝘹, 𝘺) on the graph of a proportional relationship means in terms of the situation, with special attention to the points (0, 0) and (1, 𝘳) where 𝘳 is the unit rate.

CCSS.Math.Content.7.RP.A.3: Use proportional relationships to solve multistep ratio and percent problems.

CCSS.Math.Content.7.NS: The Number System

CCSS.Math.Content.7.NS.A: Apply and extend previous understandings of operations with fractions to add, subtract, multiply, and divide rational numbers.

CCSS.Math.Content.7.NS.A.1a: Describe situations in which opposite quantities combine to make 0.

CCSS.Math.Content.7.NS.A.1b: Understand 𝘱 + 𝘲 as the number located a distance |𝘲| from 𝘱, in the positive or negative direction depending on whether 𝘲 is positive or negative. Show that a number and its opposite have a sum of 0 (are additive inverses). Interpret sums of rational numbers by describing real-world contexts.

CCSS.Math.Content.7.NS.A.1c: Understand subtraction of rational numbers as adding the additive inverse, 𝘱 – 𝘲 = 𝘱 + (–𝘲). Show that the distance between two rational numbers on the number line is the absolute value of their difference, and apply this principle in real-world contexts.

CCSS.Math.Content.7.NS.A.1d: Apply properties of operations as strategies to add and subtract rational numbers.

CCSS.Math.Content.7.EE: Expressions and Equations

CCSS.Math.Content.7.EE.A: Use properties of operations to generate equivalent expressions.

CCSS.Math.Content.7.EE.A.1: Apply properties of operations as strategies to add, subtract, factor, and expand linear expressions with rational coefficients.

CCSS.Math.Content.7.EE.B: Solve real-life and mathematical problems using numerical and algebraic expressions and equations.

CCSS.Math.Content.7.EE.B.3: Solve multi-step real-life and mathematical problems posed with positive and negative rational numbers in any form (whole numbers, fractions, and decimals), using tools strategically. Apply properties of operations to calculate with numbers in any form convert between forms as appropriate and assess the reasonableness of answers using mental computation and estimation strategies.

CCSS.Math.Content.7.EE.B.4a: Solve word problems leading to equations of the form 𝘱𝘹 + 𝘲 = 𝘳 and 𝘱(𝘹 + 𝘲) = 𝘳, where 𝘱, 𝘲, and 𝘳 are specific rational numbers. Solve equations of these forms fluently. Compare an algebraic solution to an arithmetic solution, identifying the sequence of the operations used in each approach.

CCSS.Math.Content.7.EE.B.4b: Solve word problems leading to inequalities of the form 𝘱𝘹 + 𝘲 > 𝘳 or 𝘱𝘹 + 𝘲 < 𝘳, where 𝘱, 𝘲, and 𝘳 are specific rational numbers. Graph the solution set of the inequality and interpret it in the context of the problem.

CCSS.Math.Content.7.G.A: Draw, construct, and describe geometrical figures and describe the relationships between them.

CCSS.Math.Content.7.G.A.1: Solve problems involving scale drawings of geometric figures, including computing actual lengths and areas from a scale drawing and reproducing a scale drawing at a different scale.

CCSS.Math.Content.7.G.B: Solve real-life and mathematical problems involving angle measure, area, surface area, and volume.

CCSS.Math.Content.7.G.B.4: Know the formulas for the area and circumference of a circle and use them to solve problems give an informal derivation of the relationship between the circumference and area of a circle.

CCSS.Math.Content.7.G.B.5: Use facts about supplementary, complementary, vertical, and adjacent angles in a multi-step problem to write and solve simple equations for an unknown angle in a figure.

CCSS.Math.Content.7.G.B.6: Solve real-world and mathematical problems involving area, volume and surface area of two- and three-dimensional objects composed of triangles, quadrilaterals, polygons, cubes, and right prisms.

CCSS.Math.Content.7.SP: Statistics and Probability

CCSS.Math.Content.7.SP.A: Use random sampling to draw inferences about a population.

CCSS.Math.Content.7.SP.A.1: Understand that statistics can be used to gain information about a population by examining a sample of the population generalizations about a population from a sample are valid only if the sample is representative of that population. Understand that random sampling tends to produce representative samples and support valid inferences.

CCSS.Math.Content.7.SP.A.2: Use data from a random sample to draw inferences about a population with an unknown characteristic of interest. Generate multiple samples (or simulated samples) of the same size to gauge the variation in estimates or predictions.

CCSS.Math.Content.7.SP.B: Draw informal comparative inferences about two populations.

CCSS.Math.Content.7.SP.B.4: Use measures of center and measures of variability for numerical data from random samples to draw informal comparative inferences about two populations.

CCSS.Math.Content.7.SP.C: Investigate chance processes and develop, use, and evaluate probability models.

CCSS.Math.Content.7.SP.C.5: Understand that the probability of a chance event is a number between 0 and 1 that expresses the likelihood of the event occurring. Larger numbers indicate greater likelihood. A probability near 0 indicates an unlikely event, a probability around 1/2 indicates an event that is neither unlikely nor likely, and a probability near 1 indicates a likely event.

CCSS.Math.Content.7.SP.C.6: Approximate the probability of a chance event by collecting data on the chance process that produces it and observing its long-run relative frequency, and predict the approximate relative frequency given the probability.

CCSS.Math.Content.7.SP.C.7a: Develop a uniform probability model by assigning equal probability to all outcomes, and use the model to determine probabilities of events.

CCSS.Math.Content.7.SP.C.7b: Develop a probability model (which may not be uniform) by observing frequencies in data generated from a chance process.

CCSS.Math.Content.7.SP.C.8a: Understand that, just as with simple events, the probability of a compound event is the fraction of outcomes in the sample space for which the compound event occurs.

CCSS.Math.Content.7.SP.C.8b: Represent sample spaces for compound events using methods such as organized lists, tables and tree diagrams. For an event described in everyday language (e.g., “rolling double sixes”), identify the outcomes in the sample space which compose the event.

CCSS.Math.Content.7.SP.C.8c: Design and use a simulation to generate frequencies for compound events.

Correlation last revised: 9/16/2020

* Copyright 2010 National Governors Association Center for Best Practices and Council of Chief State School Officers. Todos os direitos reservados.