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1: Preliminares algébricos


Miniatura: Paralelepípedo. (CC BY-SA 3.0; Startswithj via Wikipedia)


10 - Preliminares Algébricos

Em todo o livro, presume-se que o leitor já tenha um bom conhecimento (prático) de álgebra básica de graduação. Para facilidade de referência, devemos primeiro relembrar algumas definições centrais e resultados elementares úteis sobre grupos, anéis, campos, módulos, espaços vetoriais e álgebras. Para teoria básica adicional, detalhes completos e mais, consulte, por exemplo, a Álgebra de Serge Lang [126].

Além disso, em alguns pontos precisaremos de alguns resultados da teoria de campos e da teoria algébrica dos números, bem como da álgebra multilinear, especificamente no que diz respeito a campos de números ciclotômicos e produtos tensores. Em cada um desses casos, faremos uma breve introdução e apresentaremos os resultados necessários. Para obter detalhes completos e mais, consulte as referências 125, 126, 127. Nossa exposição desses tópicos (vagamente) segue Lang [126], exceto onde indicado de outra forma.

Finalmente, precisaremos de resultados da teoria dos campos de função algébrica (em uma variável) sobre campos finitos, ou seja, curvas algébricas sobre campos finitos. Isso foi adiado para a Seção 12.7. Especificamente, o foco será em famílias de curvas com muitos pontos racionais assintoticamente. Daremos uma introdução geral a este tópico, que é independente, pois assume como pano de fundo apenas o material de álgebra básica abordado anteriormente. Para um tratamento completo da teoria básica dos campos de função algébrica, bem como de resultados como os mencionados anteriormente, nos referimos a Campos e códigos de função algébrica de Henning Stichtenoth [172]. Exceto quando afirmado de forma diferente, nossa exposição segue Stichtenoth [172], especificamente partes dos Capítulos 1, 3, 5 e 7. Provas completas estão, em grande parte, além do escopo desta introdução. Às vezes, um esboço é dado. No entanto, devemos declarar todos os resultados necessários para nossos propósitos.

As definições básicas e os resultados que são cobertos em detalhes pela maioria dos manuais introdutórios padrão são mencionados sem referência (mas às vezes uma prova é fornecida). No caso de suspeitarmos que um resultado que citamos não é tão fácil de procurar em outros lugares com todos os detalhes (digamos, se estiver disfarçado como um caso especial de teoria mais avançada ou escondido em exercícios), damos uma referência explícita a um texto adequado .

Em alguns lugares do texto, forneceremos referências apropriadas ao discutir certos aspectos algorítmicos específicos (avançados).


Métodos de geometria algébrica

“ESTE volume é a primeira parte de um trabalho projetado para fornecer um relato conveniente dos fundamentos e métodos da geometria algébrica moderna.” Estas palavras do prefácio dos autores explicam o escopo do presente volume e dão conta da seleção dos tópicos tratados. Tornou-se cada vez mais claro nos últimos anos que um tratamento rigoroso da geometria algébrica deve ser baseado, em uma extensão muito maior do que as descrições clássicas do assunto, em princípios algébricos. Portanto, não é motivo para surpresa que mais de um terço do volume em discussão seja puramente algébrico. Os primeiros quatro capítulos constituem, de fato, uma introdução clara e concisa à teoria dos campos algébricos, polinômios e matrizes (sobre um campo fundamental que não é necessariamente comutativo). Este relato é em si mesmo muito valioso, visto que o ponto de vista moderno em álgebra não se encontra em muitas obras inglesas, embora vários relatos tenham sido publicados nos Estados Unidos.

Métodos de geometria algébrica

Por Prof. W. V. D. Hodge Dr. D. Pedoe. Vol. 1. Livro 1: Preliminares algébricos Livro 2: Espaço projetivo. Pp. viii + 440. (Cambridge: At the University Press, 1947.) 30s. líquido.


Pesquisa de Álgebra e Probabilidade: MAT 101

A reta numérica, na verdade, continua indefinidamente em ambas as direções. Designamos um ponto para representar “zero”, (0, ) e o usamos como um ponto de referência. Em seguida, escolhemos uma “unidade” de medida. O número (1 ) é uma “unidade” à direita de zero. O número (2 ) é uma distância de duas unidades à direita de zero e assim por diante. O, (1, 2, 3, dots text <,> ) representa unidades inteiras de distâncias à direita de (0. ) The, (- 1, -2, -3, dots texto <,> ) representam unidades inteiras de distâncias à esquerda de (0. ) Alguns fatos a serem observados são:

Conforme nos movemos para a direita na reta numérica, os inteiros aumentam de valor.

  • (3 ) é maior que (2 text <.> ) Observe que está à direita de (2 ) na linha do número.
  • Mas (- 2 ) é maior que (- 3 ), pois está à direita de (- 3 ) na reta numérica.

Lembre-se de que adicionar um número inteiro resulta em mover para o certo ( rightarrow ) na linha numérica.

Exemplo 0.0.1. Adicione (3 ) a (1 ).

Plotar (1 + 3 text <:> ) Começar em (1 ) na linha numérica

Mova três lugares para a direita

Nossa solução: (4 checkmark ) (sabíamos disso!)

Da mesma forma, adicionar um número inteiro resulta em mover para o deixou ( leftarrow ) na linha numérica.

Exemplo 0.0.2. Adicione (- 2 ) a (- 1 ).

Plotar ((- 1) + (- 2) text <:> ) Começar em (- 1 ) na linha numérica

Observe no Exemplo 0.0.2 que adicionar dois números negativos é equivalente a adicionar os dois números positivos correspondentes, mas o resultado final é negativo: (1 + 2 = 3 ) e (- 1 + (- 2) = - 3 text <.> )

Exemplo 0.0.3. Adicione dois inteiros negativos.

Se você tivesse que esboçar uma reta numérica para resolver o Exemplo 0.0.3, você começaria em (- 4 ) e moveria para a esquerda (11 ) posições. O resultado terminaria em (- 15 text <.> )

Agora vamos considerar a adição de dois números com sinais opostos.

Exemplo 0.0.4. Adicione (- 3 ) a (1 ).

Plotagem (1 + (- 3) text <:> ) Comece em (1 ) na linha numérica

Mova três lugares para a esquerda

Ao adicionar inteiros com sinais opostos, usamos os inteiros positivos correspondentes, subtraímos o menor do maior e, em seguida, usamos o sinal do número maior em nosso resultado. Isso significa que se o número maior for positivo, a resposta é positiva. Se o número maior for negativo, a resposta será negativa. Considere os seguintes exemplos:

Exemplo 0.0.5. Adicione números inteiros de sinais diferentes.
Exemplo 0.0.6. Adicione números inteiros de sinais diferentes.

Para subtrair um número assinado, nós adicione o oposto do número após o sinal de subtração usando as regras de adição descritas acima.

Exemplo 0.0.7. Subtrair inteiros: adicione o oposto.
Exemplo 0.0.8. Subtrair inteiros: adicione o oposto.
Ponto de verificação 0.0.9.

Subseção 0.0.2 Multiplicação e Divisão de Inteiro

Pense em multiplicar números inteiros positivos como uma adição repetida. Observe que podemos adicionar (4 ) três vezes:

Como isso funciona com inteiros negativos? Pense em subtração repetida. Poderíamos subtrair (2 ) cinco vezes

Com dois inteiros negativos, podemos subtrair (- 4 ) duas vezes

Observe o padrão ao multiplicar: o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo. O produto de dois números com sinais opostos é negativo. Não precisamos fazer a multiplicação escrevendo as adições ou subtrações. Basta multiplicar os números e tornar o resultado negativo se um número for positivo e o outro negativo. Caso contrário, o resultado é positivo.

Exemplo 0.0.10. Multiplicar.
Exemplo 0.0.11. Multiplicar.

As regras para divisão são as mesmas que para multiplicação. Para ver o motivo, considere (6 div -2. ) O resultado da divisão é o inteiro que, quando multiplicado por (- 2 ), produz (6. ) Para obter um inteiro positivo ao multiplicar um inteiro negativo requer multiplicação por outro número inteiro negativo. Uma vez que (- 2 cdot -3 = 6, ) a resposta para a divisão é (6 div -2 = -3. ) Da mesma forma, (- 6 div -2 = 3 ), pois ( -2 cdot 3 = -6. )

Portanto, o quociente de dois números com o mesmo sinal é positivo. O quociente de dois números com sinais opostos é negativo.

Exemplo 0.0.12. Dividir.
Exemplo 0.0.13. Dividir.
Ponto de verificação 0.0.14.

Há um caso especial que devemos considerar. O zero inteiro não é positivo nem negativo. Não está à direita nem à esquerda de si mesmo. Quando consideramos a multiplicação por zero, isso significa adicionar o outro inteiro a ele mesmo zero vezes. Se não houver nada a acrescentar, o resultado é zero. Por exemplo: (0 cdot 3 = 0. ) Ou podemos somar zero a ele mesmo (3 ) vezes, (3 cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0. ) De qualquer maneira, multiplicação por zero resulta em zero.

Que tal dividir com zero? Para (0 div 5, ) uma vez que (5 cdot 0 = 0 ), a resposta é (0 div 5 = 0. ) No entanto, se dividirmos por zero, temos um problema. Considere (8 div 0. ) A resposta deve ser o inteiro que multiplica zero para dar (8. ) Nenhum número pode se multiplicar (0 ) para dar (8. ) Uma vez que não há resposta para (8 div 0, ) é comum dizer que a expressão é

Ponto de verificação 0.0.15.

são usados ​​para denotar a multiplicação repetida de um número vezes ela mesma. Chamamos o número de do expoente.

Exemplo 0.0.16. Expoentes: Avalie (6 ^ 2 ).
Exemplo 0.0.17. Expoentes: Avalie ((- 5) ^ 4 ).

Compare o exemplo acima com o próximo exemplo e observe a diferença que os parênteses fazem.

Exemplo 0.0.18. Expoentes: Avalie (- 5 ^ 4 ).

Tenha cuidado ao trabalhar com inteiros. Por exemplo, compare a expressão (- 3-8 ) com (- 3 (-8) text <.> ) A segunda expressão é um produto. Se não houver nenhum símbolo de operação entre parênteses, presumimos que estamos multiplicando. Por outro lado, a expressão (- 3-8 ) é subtração.

Além disso, tome cuidado para não confundir as regras de adição e subtração de inteiros com as regras de multiplicação e divisão de inteiros. Por exemplo, (- 3 + (- 7) = - 10 texto <,> ) mas ((- 3) (- 7) = 21 texto <.> )

Subseção 0.0.3 Operações de Números

Ao simplificar uma expressão, é importante que executemos as operações na ordem correta. Considere o seguinte problema feito de duas maneiras diferentes:

Exemplo 0.0.19. AVISO! Apenas uma das soluções abaixo está correta :.

O Exemplo 0.0.19 anterior ilustra que, se o mesmo problema for feito de duas maneiras diferentes, chegaremos a duas soluções diferentes. No entanto, apenas um método pode ser correto. Acontece que o segundo método, com solução (17 text <,> ) é o método correto. Esta lista é a ordem das operações que usaremos para simplificar as expressões.

Ordem de operações:
parênteses (agrupamento)
Expoentes
Multiplicar e dividir (da esquerda para a direita)
Adicionar e subtrair (da esquerda para a direita)

Multiply e Divide estão no mesmo nível porque são a mesma operação (a divisão é apenas multiplicar pelo recíproco). Isso significa que eles devem ser feitos da esquerda para a direita, então alguns problemas iremos dividir primeiro, outros iremos multiplicar primeiro. O mesmo é verdadeiro para somar e subtrair (subtrair é apenas adicionar o oposto). Freqüentemente, os alunos usam a palavra para lembrar a ordem das operações, pois a primeira letra de cada operação cria a palavra. No entanto, é sugestão do autor pensar em uma palavra vertical escrita como:

por isso não esquecemos que a multiplicação e a divisão são feitas da esquerda para a direita (o mesmo com a adição e subtração). Outra maneira que os alunos usam para lembrar a ordem das operações é pensar em uma frase como “Por favor, desculpe minha cara tia Sally”, em que cada palavra começa com as mesmas letras com que a ordem das operações começa.

Exemplo 0.0.20. Ordem de operações.

O erro mais comum em um problema como esse é adicionar (2 ) e (3 ) primeiro. Lembre-se de que a multiplicação deve ser feita antes da adição.

Ponto de verificação 0.0.21.

Como mostra o próximo exemplo, é muito importante lembrar de multiplicar e dividir da esquerda para a direita!

Exemplo 0.0.22. Ordem de operações.
Exemplo 0.0.23. Ordem das operações: expoentes e sinais negativos.

Este exemplo ilustra um ponto importante sobre expoentes. Os expoentes se aplicam apenas ao número ao qual estão anexados. Isso significa que quando vemos (- 4 ^ 2 text <,> ) apenas (4 ) é elevado ao quadrado, nos dando (- (4 ^ 2) ) ou (- 16 text <.> ) Mas quando o negativo está entre parênteses, como (- 5) ^ 2 ) o negativo é parte do número e também é ao quadrado, dando-nos uma solução positiva, (25 text <.> )

Se houver vários parênteses em um problema, começaremos com os parênteses internos e trabalharemos para resolvê-lo.

Exemplo 0.0.24. Ordem de operações.

Como o exemplo acima ilustra, podem ser necessárias várias etapas para simplificar uma expressão. A chave para seguir a ordem das operações com êxito é dedicar um tempo para mostrar seu trabalho e dar um passo de cada vez. Isso reduzirá a chance de cometer um erro ao longo do caminho.

Em álgebra, muitas vezes precisaremos simplificar uma expressão para torná-la mais fácil de usar. Existem três formas básicas de simplificação que revisaremos aqui.

Subseção 0.0.4 Trabalhando com Variáveis

Podemos avaliar uma expressão quando sabemos qual número cada variável na expressão representa. Substituímos cada variável pelo número equivalente e simplificamos o que resta usando a ordem das operações.

Exemplo 0.0.25. Avalie o Expression.

Quando um número negativo é substituído em uma expressão, pode ser útil colocá-lo entre parênteses para que as etapas de simplificação sejam claras.

Exemplo 0.0.26. Avalie o Expression.
Ponto de verificação 0.0.27.

Será mais comum em nosso estudo de álgebra não sabermos o valor das variáveis. Nesse caso, teremos que simplificar o que pudermos e deixar as variáveis ​​em nossa solução final.

Uma maneira de simplificar as expressões é combinar. “Termos semelhantes” são termos em que as variáveis ​​correspondem exatamente (expoentes incluídos). Por exemplo, (3x ^ 2y ) e (- 7x ^ 2y ) são termos semelhantes, uma vez que as variáveis ​​e seus poderes são os mesmos, mas (4xy ) não tem os mesmos poderes e não é um termo semelhante com os outros. Observe que (3x ^ 2y ) significa que há três (x ^ 2y ) se (- 7x ^ 2y ) significa sete negativos (x ^ 2y ) s. Se combinarmos os termos semelhantes, haverá quatro negativos (x ^ 2y ) s: (3x ^ 2y + (-7x ^ 2y) = -4x ^ 2y text <.> )

Para combinar termos semelhantes, adicione (ou subtraia) os números antes das variáveis ​​e, em seguida, mantenha as variáveis ​​iguais. Isso é mostrado nos seguintes exemplos:

Exemplo 0.0.28. Combine os termos semelhantes.
Exemplo 0.0.29. Combine os termos semelhantes.
WeBWorK: Inserindo expoentes.

Quando combinamos termos semelhantes, interpretamos os sinais de menos como parte do termo. Isso significa que o termo a seguir é um termo negativo, o sinal sempre permanece com o termo. Em seguida, adicionamos os termos.

Outra técnica de simplificação usa o.

Vários exemplos de uso da propriedade distributiva são fornecidos abaixo.

Exemplo 0.0.30. Distribua um positivo.
Exemplo 0.0.31. Distribua um negativo.

No Exemplo 0.0.31 anterior, usamos novamente o fato de que o sinal se aplica ao número seguinte. Isso significa que tratamos o (- 6 ) como um número negativo, o que dá ((- 7) (- 6) = 42 text <,> ) um número positivo. O erro mais comum na distribuição é um erro de sinal. Tenha muito cuidado com seus sinais!

É possível distribuir apenas um negativo entre parênteses. Se tivermos um negativo antes dos parênteses, podemos pensar nele como um (- 1 ) na frente e distribuir o (- 1 ).

Exemplo 0.0.32. Distribua um negativo.

Podemos precisar usar a propriedade distributiva e combinar termos semelhantes para simplificar uma expressão. A ordem das operações nos diz para multiplicar (distribuir) primeiro e depois adicionar ou subtrair por último (combinar termos semelhantes). Assim, simplificamos em duas etapas, distribuímos e depois combinamos.

Exemplo 0.0.33. Simplificar.
Exemplo 0.0.34. Simplificar.

No Exemplo 0.0.34 anterior, distribuímos (- 2 text <,> ) não apenas (2 text <.> ) Isso ocorre porque um sinal negativo vai com o número depois dele. Observe que (- 2 ) vezes (- 5 ) é positivo (10. )

Ponto de verificação 0.0.35.

A seguir estão exemplos mais complexos de distribuição e combinação de termos semelhantes.


1: Preliminares algébricos

Suponha que estejamos interessados ​​em construir um modelo discreto de um sistema físico situado em um espaço euclidiano específico. Sentimos que um modelo de rede hipercúbica de alguma forma faz isso. Mas como podemos obter uma melhor compreensão desse processo?
Começamos com algumas definições, levando a uma construção para a rede hipercúbica que é passível de generalização.

Seja E um espaço euclidiano dimensional.
Um subconjunto S de E é localmente finito se cada bola finita em E contiver muitos elementos finitos de S.
(Assim, os inteiros são localmente finitos na linha real.)

UMA hiperplano h em E é um subespaço afim dimensional d-1 de E.

Observe que dois hiperplanos são paralelos ou se cruzam em um subespaço afim d-2 dimensional de E e assim por diante.
Vamos escrever h_ para a interseção dos hiperplanos h_a e h_b.

Qualquer par distinto de pontos em E define uma linha entre eles e, portanto, um hiperplano h que é perpendicular à linha entre eles e equidistante de cada um.

Qualquer hiperplano em um espaço E divide E em duas partes (topologicamente abertas), chamadas meio-espaços, mais o próprio hiperplano.

Um subconjunto de E especificado por um número finito de meios-espaços (aberto / fechado) é chamado de (aberto / fechado) politopo convexo.

Um complexo celular (ou complexo celular linear por partes) em E é.
. um conjunto C de politopos convexos (células) em E tal que
(1) se os interiores de duas células se cruzam, então eles são a mesma célula
(2) o limite de uma célula é uma união de células
(2 ') cada face de cada elemento em C está em C
(3) se as células c, c 'se cruzam, então essa intersecção é uma célula
(3 ') essa interseção é uma face de ambos.
(CF. [Moise77] Capítulo 17 PARA MAIS SOBRE ESTE DEFN POR AGORA!)

O Complexo de Voronoi V (S) para um subconjunto localmente finito S de E é a partição de E em várias partes como segue.
Para cada subconjunto não vazio S 'de S, defina v (S') como o conjunto de pontos igualmente próximos a cada s em S ', e mais próximos a estes do que a qualquer outro ponto em S.
Defina V (S) como o conjunto de v não vazio (S ').
Se v (S ') não for vazio, então é chamado de d + 1- | S' | -facet de V (S).

Afirmação: o conjunto V (S) é uma partição de E em politopos convexos abertos.

Evidentemente, nenhum v (s) está vazio. O ponto s define um hiperplano h como acima com cada ponto t em S, ev (s) é a interseção de todos os meios-espaços correspondentes contendo s. A união U_s v (s) é o conjunto de todos os pontos em E exclusivamente mais próximos de um único ponto em S.
A fronteira de v (s) (no sentido óbvio) é uma união de subconjuntos de alguns dos hiperplanos associados a s (NB, não em geral todos os hiperplanos associados a s). O conjunto v (s, t) é a intersecção do hiperplano s, t com o fechamento de v (s). (Se v (s, t) não for vazio, é uma faceta d-1.)

Exemplos: Em d = 2, v (s) é um polígono convexo aberto (possivelmente ilimitado) se v (s, t) não for vazio, é um segmento de linha, parte do limite de v (s) se v (s) , t, u) é não vazio, é um ponto (o centro de um círculo definido pelos pontos s, t, u). Se v (s, t, u) for vazio, pode ser porque este ponto está mais próximo de algum outro w em S, ou porque s, t, u são colineares.
Se v (s, t, u, w.) Não for vazio, é um ponto, e os pontos s, t, u. todos estão no mesmo círculo (ou seja, eles não estão na 'posição geral' em E).

Assim como um único hiperplano divide o espaço E em dois meios-espaços, mais o próprio hiperplano, uma coleção H de hiperplanos divide ainda mais o espaço. Podemos caracterizar a partição P (H) de E definida por H de várias maneiras.
(Assumiremos que H é tal que apenas um número finito de hiperplanos passa por qualquer ponto de E.)

Em primeiro lugar, deixe E H denotar o subconjunto de E com todos os hiperplanos removidos. Isso é naturalmente particionado em seus componentes conectados abertos máximos. Estas são chamadas de partes d-dimensionais, ou câmaras, de P (H).
Então, para cada hiperplano h, o conjunto h (H h) também pode ser particionado em componentes conectados abertos. A união desses para todo h em H são as partes d-1-dimensionais, ou paredes, de P (H).
Ainda não temos uma partição completa de E, em geral, uma vez que nenhum ponto situado em mais de um hiperplano foi incluído. Então continuamos.
As várias interseções de hiperplanos (h_ e assim por diante) podem ser particionados de forma semelhante em várias partes de dimensões inferiores (via o conjunto h_ (H h_) e assim por diante).
Essas partes da dimensão i são chamadas de facetas i.
Este processo termina, por nossa suposição. Em seguida, temos um particionamento completo de E.
Observe que o fechamento de uma câmara c cruza algum subconjunto do conjunto de paredes em P (H). Estes são chamados de paredes de c.

Outra maneira de ver isso é notar que cada parte em P (H) é a interseção de uma certa coleção de meios-espaços e hiperplanos.
Observação: Em geral, nem todo hiperplano em H é necessário para especificar uma parte dessa maneira (por exemplo, um hiperplano é redundante na especificação de uma parte se o fechamento da parte estiver inteiramente em um de seus meios-espaços).

Observe que um politopo convexo limitado de dimensão total (ou seja, um de hipervolume finito) deve ser a interseção de pelo menos d + 1 semiespaços.

Por exemplo, em 2D podemos ter politopos triangulares (polígonos), ou quadriláteros, e assim por diante.

Uma coleção H de hiperplanos adequadamente escolhida divide o espaço E em hipercubos.
Em particular, uma coleção adequada de linhas divide o plano em quadrados (e segmentos de linha e pontos).

Podemos agora passar de tal partição para um gráfico?

Observe que um politopo convexo é um conjunto convexo com muitos (ou nenhum) pontos extremos. Os pontos extremos coincidem com os pontos onde d hiperplanos delimitadores se encontram - as facetas 0 do politopo.
Observe que um politopo convexo limitado é definido por seus pontos extremos.
Observe que certos pares de pontos extremos de um politopo convexo podem estar na mesma faceta única da câmara. Esses pares são chamados de pares adjacentes.
Para cada politopo p, podemos definir um grafo G (p) com vértices como pontos extremos, e arestas como linhas entre pares adjacentes de pontos extremos.
Para um conjunto de politopos P, possivelmente com facetas em comum, definimos um grafo G (P) tomando a união não disjunta dos grafos para os politopos individuais.

Agora observe que podemos considerar P (H) como um conjunto de politopos e, portanto, associar um gráfico a ele.

Por exemplo, o gráfico da partição hipercúbica é a rede hipercúbica.

Pode-se considerar cada grafo planar conectado (junto com um embedding específico no plano) como uma espécie de aproximação do plano. Mas nem todo gráfico plano surgiu em nossa construção até agora.
Podemos generalizar nossa construção de modo que pelo menos todo grafo planar embutido conectado finito apareça?

Observe que a união de duas câmaras que compartilham uma parede comum (junto com essa parede) ainda será um politopo convexo. Ou seja, essa fusão define uma partição mais grosseira de E (ainda em politopos convexos). Além disso, essas combinações podem (ou não) continuar a preservar a convexidade. Uma partição mais geral de E em politopos (convexos) é obtida a partir de uma partição da forma P (H) por combinações repetidas (convexas).
Observe que a noção de parede não sobrevive a essa generalização.
No momento, uma parede será uma parte dimensional d-1 comum ao limite de duas câmaras
(esta pode ser uma parede rígida de uma das câmaras, mas possivelmente apenas parte de uma parede da outra).


Funções Algébricas

Este site é sobre uma classe particular de funções multivaloradas e está atualmente em construção. Quando concluído, ele dará aos leitores um guia prático para compreender o que são funções algébricas, como plotar, ilustrar e analisar integrações de contorno sobre elas, explicar como calcular expansões de poder dessas funções, explicar, implementar e codificar o algoritmo de Polígono de Newton e mostre como toda a base da análise complexa para funções de valor único é aplicável a funções algébricas. Por exemplo, como aplicar o Teorema de Laurent a funções algébricas? Como pode uma expansão de potência (convergente) de uma função algébrica se estender por vários pontos singulares? As seções a seguir respondem a essas perguntas. O leitor é aconselhado a ler as seções em ordem sequencial à medida que cada seção é construída e faz referência frequente às seções anteriores.

O software usado neste site é o Mathematica.

Iterations é uma nova adição a este site e documentará meu trabalho com expressões iteradas.

  • Seção 0: Preliminares
  • Seção 1: Introdução
  • Seção 2: um método de plotagem aprimorado
  • Seção 3: Aplicando o Teorema de Laurent a Funções Algébricas
  • Seção 4: Aplicando o Teorema de Resíduos a Funções Algébricas
  • Seção 5: Código Mathematica
  • Seção 6: Série Puiseux (plano de fundo)
  • Seção 7: Série Puiseux (exemplos)
  • Seção 8: Projetando doPuiseux
  • Seção 9: Séries de potências finitas (polinômios)
  • Seção 10: Raio de convergência das séries de potência algébrica
  • Seção 11: Superfícies de Riemann
  • Seção 12: Avaliação da forma indeterminada
  • Seção 13: Analisando as integrais de Laurent anulares
  • Seção 14: Analisando a série Annular Laurent Puiseux

A página de código do Mathematica conterá o código completo para implementar o aplicativo Newton Polygon e outros conceitos revisados.


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Álgebra I é um curso desenvolvido para dar aos alunos uma compreensão sólida de equações matemáticas que envolvem variáveis, bem como ensiná-los noções básicas de representação gráfica e manipulação de funções simples. Os alunos normalmente fazem Álgebra I por volta da oitava ou nona série, embora alguns possam fazer a aula mais cedo ou mais tarde, depois de terem feito um curso de Pré-Álgebra, mas antes de tentar tópicos como Álgebra II, Geometria ou aulas de matemática mais difíceis. Ao estabelecer uma base sólida em Álgebra I, os alunos podem se preparar para o sucesso em cursos posteriores de matemática e ciências, todos os quais pressupõem conhecimento de conceitos algébricos. Quer você precise dos melhores tutores de Álgebra 1 em Boston, tutores de Álgebra 1 em Detroit ou dos melhores tutores de Álgebra 1 em Dallas Fort Worth, trabalhar com um profissional pode levar seus estudos para o próximo nível.

Normalmente, a primeira coisa que os alunos aprendem a fazer em Álgebra I é resolver uma equação de variável única & mdash, ou seja, uma equação na qual há apenas uma variável, & ldquox. & Rdquo Os alunos aprendem a representar graficamente funções lineares no formato & ldquoy = mx + b & rdquo esta parte do curso apresenta os conceitos de inclinação, interceptação y e interceptação x, e ensina os alunos a representar graficamente as equações lineares. Uma parte importante da Álgebra I é aprender a converter informações de equações em gráficos e de gráficos em equações, e entender como analisar equações e gráficos como conceitos relacionados é uma parte central do curso. Por exemplo, certos problemas em Álgebra I podem apresentar aos alunos dois pontos em um plano de coordenadas e, em seguida, pedir-lhes que encontrem a equação da linha que conecta os dois pontos, determinando as equações das linhas paralelas e perpendiculares a essa linha, respectivamente . O Varsity Tutors oferece recursos como testes de diagnóstico de álgebra 1 gratuitos para ajudar no seu estudo individualizado, ou você pode considerar um tutor de álgebra 1.

As desigualdades também são ensinadas em Álgebra I da mesma maneira que as equações - isto é, com ênfase em representá-las em retas numéricas ou representá-las graficamente. Depois de aprender a resolver e representar graficamente funções lineares simples e desigualdades, os alunos aprendem a resolver sistemas de equações ou desigualdades usando técnicas de substituição e eliminação.

Depois que os alunos dominam as equações lineares, a classe passa a abordar as equações quadráticas, cujos gráficos formam parábolas. Álgebra I se concentra na solução de funções quadráticas usando a fórmula quadrática e FOIL, bem como em gráficos de parábolas e na manipulação de sua aparência por meio de alterações feitas na equação de origem.

Outros conceitos que podem ser introduzidos em vários pontos das aulas de Álgebra I são estatística e probabilidade, porcentagem e mudança percentual. Embora não estejam diretamente relacionados às ideias gerais de equações, funções e gráficos, esses conceitos podem ser ensinados de uma forma que espelhe a lógica de ida e volta usada para ensinar os alunos sobre as funções e seus gráficos. Por exemplo, um foco ao aprender porcentagens é como converter uma porcentagem em decimal e vice-versa, e ao expressar a probabilidade de um evento ocorrer, os alunos também necessariamente calculam a probabilidade de o evento não ocorrer.

Os conceitos matemáticos que os alunos dominam em Álgebra I formam o núcleo de sua compreensão matemática em muitas aulas posteriores de matemática e ciências. Por esse motivo, é crucial que os alunos obtenham uma compreensão sólida dos conceitos algébricos antes de prosseguir para as aulas de matemática de nível superior. Se você deseja começar a aprender ou revisar o material de Álgebra I agora, você pode usar os Testes Práticos de Álgebra I gratuitos do Varsity Tutors & rsquo para fazê-lo. Cada Teste Prático de doze perguntas é dado como um pequeno teste de múltipla escolha abordando muitos conceitos que são ensinados nas aulas de Álgebra I. Depois de completar um questionário, você não só consegue ver sua pontuação bruta, mas também como sua pontuação se compara às pontuações de outras pessoas em uma base de pergunta por pergunta. Isso pode fornecer algum consolo se você não perceber problemas que outros também consideraram extremamente difíceis, ou alguma motivação se perceber que não percebeu perguntas que outros consideraram fáceis. Todas as perguntas do Varsity Tutors e rsquo Álgebra I também vêm com explicações completas, para que você possa aprender com as perguntas que errar. Além dos Testes Práticos de Álgebra 1 e das aulas de Álgebra 1, você também pode considerar fazer alguns de nossos Flashcards de Álgebra 1.

Você também pode iniciar o processo de revisão fazendo um Teste Prático de Álgebra I gratuito. O formato estendido desses testes práticos pode ajudá-lo a descobrir seu nível de proficiência atual e ritmo de realização do teste. Depois de terminar o teste, a página de resultados fornecerá as mesmas métricas informativas, explicações completas e recursos de revisão adicionais oferecidos pelos Testes Práticos de conceitos específicos. Esses testes práticos online também podem ajudá-lo a ajustar seu plano de estudo de Álgebra I personalizado, mostrando quais conceitos precisam de mais atenção. Depois de passar algum tempo na revisão, você pode avaliar seu progresso voltando para fazer outro Teste Prático de Álgebra I completo.

Ao usar os Testes Práticos de Álgebra I gratuitos do Varsity Tutors & rsquo e outros recursos de Álgebra I gratuitos, você pode reforçar seu conhecimento de Álgebra I e dominar o conteúdo do assunto em um piscar de olhos! Isso lhe dará uma ótima base para o conhecimento matemático e científico que você adquirirá em cursos futuros.


1: Preliminares algébricos

Resumo

A álgebra, gerada pelas matrizes-i introduzidas por Dirac para descrever o comportamento dos elétrons, revelou-se uma representação matricial fiel da álgebra de Clifford real do espaço-tempo de Minkowski 4-dimensional M. Conforme observado por D. Hestenes, é possível, de fato, dar um tratamento sem matriz dos campos eletromagnéticos e eletro-fracos. Neste artigo, fazemos um levantamento das estruturas algébricas da álgebra de Clifford de M. As teorias de campo atuais são baseadas em tais estruturas. Na Seção 1, discutimos as estruturas do produto e as involuções. Na Seção 2, as estruturas complexas são discutidas. Eles são baseados na escolha de uma unidade fixa pseudoescalar & ampquot (& ampquotorientation & ampquot). Na Seção 3, investigamos as estruturas algébricas dependendo da escolha de um vetor fixo semelhante ao tempo e (& ampquottime-axis & ampquot). Descobrimos que as álgebras de Lie su (2) e su (2) X u (l) são isomórficas às subestruturas da álgebra de Clifford. A álgebra de Lie su (3) pode ser renderizada pela parte não traçada hermitiana enviesada do produto tensorial de bivetores. Na Seção 4, os ideais mínimos são discutidos, eles dependem da escolha de um espaço fixo

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Chapter 1: Mathematical Preliminaries

Much of this chapter is devoted to describing and deriving some of the properties of the one-sided Laplace transform. The Laplace transform is the engineer's most important tool for analyzing the stability of linear, time-invariant, continuous-time systems. The Laplace transform is defined as:

We often write F( s) for the Laplace transform of f( t) It is customary to use lower-case letters for functions of time, t, and to use the same letter but in its upper-case form for the Laplace transform of the function throughout this book, we follow this practice.

We assume that the functions f( t) are of exponential type that they satisfy an inequality of the form />. If the real part of s, />, satisfies />? ? , then the integral that defines the Laplace transform converges. The Laplace transform usefulness comes largely from the fact that it allows us to convert differential and integro-differential equations into algebraic equations.

We now calculate the Laplace transform of some functions. We start with the unit step function (also known as the Heaviside [1] function):

From the definition of the Laplace transform, we find that:

Denote the real part of s by ? and its imaginary part by ? . Continuing our calculation, we find that:


If you never studied linear algebra or machine learning, then your past experience with math probably consisted of thinking about one number at a time. And, if you ever balanced a checkbook or even paid for dinner at a restaurant then you already know how to do basic things like adding and multiplying pairs of numbers. For example, the temperature in Palo Alto is (52) degrees Fahrenheit. Formally, we call values consisting of just one numerical quantity scalars. If you wanted to convert this value to Celsius (the metric system’s more sensible temperature scale), you would evaluate the expression (c = frac<5><9>(f - 32)) , setting (f) to (52) . In this equation, each of the terms— (5) , (9) , and (32) —are scalar values. The placeholders (c) and (f) are called variables and they represent unknown scalar values.

In this book, we adopt the mathematical notation where scalar variables are denoted by ordinary lower-cased letters (e.g., (x) , (y) , and (z) ). We denote the space of all (continuous) real-valued scalars by (mathbb) . For expedience, we will punt on rigorous definitions of what precisely espaço is, but just remember for now that the expression (x in mathbb) is a formal way to say that (x) is a real-valued scalar. The symbol (in) can be pronounced “in” and simply denotes membership in a set. Analogously, we could write (x, y in <0, 1>) to state that (x) and (y) are numbers whose value can only be (0) or (1) .

A scalar is represented by a NDArray with just one element. In the next snippet, we instantiate two scalars and perform some familiar arithmetic operations with them, namely addition, multiplication, division, and exponentiation.


  1. Groups: Basic group theory Group actions Abelian groups Group presentations.
  2. Rings: Basic ring theory Localization Unique factorization Polynomial rings.
  3. Modules: Basic definitions Operations Free and projective modules.
  4. Tensor products of modules and algebras.
  5. Representation Theory: Matrix algebras Semisimple rings Representation theory of finite groups.
  6. Field Extensions: Algebraic extensions Galois Theory Solvability.

General Background Required

  1. Undergraduate real analysis, as covered in MAT 25 and MAT 125A, B.
  2. Main concepts of complex analysis, as covered in MAT 185A. Minimum requirement: operations in the complex number system.
  3. Main concepts of topology, as covered in MAT 147. Topological spaces, bases, product topology, limit points, continuity, metric spaces, complete, connected, compact spaces.
  4. Graduate analysis, as covered in MAT 201A, B, and C.

The exam is based on the material covered in the textbook "Applied Analysis" by Hunter and Nachtergaele, and the textbook "Analysis" Chapters 1, 2, and 4-8 by Lieb and Loss. The Hunter and Nachtergaele text is available for free as a PDF File (Applied Analysis) or for purchase through Amazon Books (World Scientific, ISBN-10 #9810241917, $92.00). The Lieb and Loss text can also be purchased through Amazon Books (AMS, 2nd Edition, ISBN-10 #0821827839, $35.00).


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