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5.3: Limites ao infinito e limites infinitos


Definição

Seja (D subset mathbb {R}, f: D rightarrow mathbb {R}, ) e suponha que (a ) seja um ponto limite de (D ). Dizemos que (f ) diverge para (+ infty ) conforme (x ) se aproxima de (a ), denotado

[ lim _ {x rightarrow a} f (x) = + infty, ]

se para cada número real (M ) existe um ( delta> 0 ) tal que

[f (x)> M text {sempre que} x neq a text {e} x in (a- delta, a + delta) cap D. ]

Da mesma forma, dizemos que (f ) diverge para (- infty ) conforme (x ) se aproxima de (a, ) denotado

[ lim _ {x rightarrow a} f (x) = - infty, ]

se para cada número real (M ) existe um ( delta> 0 ) tal que

[f (x)

Exercício ( PageIndex {1} )

Fornece definições para

uma. ( lim _ {x rightarrow a ^ {+}} f (x) = + infty ),

b. ( lim _ {x rightarrow a ^ {-}} f (x) = + infty ),

c. ( lim _ {x rightarrow a ^ {+}} f (x) = - infty ),

d. ( lim _ {x rightarrow a ^ {-}} f (x) = - infty ).

Modele suas definições nas definições anteriores.

Exercício ( PageIndex {2} )

Mostre que ( lim _ {x rightarrow 4 ^ {+}} frac {7} {4-x} = - infty ) e ( lim _ {x rightarrow 4 ^ {-}} frac {7} {4-x} = + infty ).

Definição

Suponha que (D subset mathbb {R} ) não tenha um limite superior, (f: D rightarrow mathbb {R} ), e (L in mathbb {R}. ) Nós diga que o limite de (f ) conforme (x ) se aproxima de (+ infty ) é (L, ) denotado

[ lim _ {x rightarrow + infty} f (x) = L, ]

se para cada ( epsilon> 0 ) existe um número real (M ) tal que

[| f (x) -L | < epsilon text {sempre que} x in (M, + infty) cap D. ]

Definição

Suponha que (D subset mathbb {R} ) não tenha um limite inferior, (f: D rightarrow mathbb {R} ), e (L in mathbb {R}. ) Nós diga que o limite de (f ) conforme (x ) se aproxima de (- infty ) é (L, ) denotado

[ lim _ {x rightarrow- infty} f (x) = L, ]

se para cada ( epsilon> 0 ) existe um número real (M ) tal que

[| f (x) -L | < epsilon text {sempre que} x in (- infty, M) cap D. ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Verifique se ( lim _ {x rightarrow + infty} frac {x + 1} {x + 2} = 1 ).

Exercício ( PageIndex {4} )

Fornece definições para

uma. ( lim _ {x rightarrow + infty} f (x) = + infty ),

b. ( lim _ {x rightarrow + infty} f (x) = - infty ),

c. ( lim _ {x rightarrow- infty} f (x) = + infty ),

d. ( lim _ {x rightarrow- infty} f (x) = - infty ).

Modele suas definições nas definições anteriores.

Exercício ( PageIndex {5} )

Suponha

[f (x) = a x ^ {3} + b x ^ {2} + c x + d, ]

onde (a, b, c, d in mathbb {R} ) e (a> 0. ) Mostre que

[ lim _ {x rightarrow + infty} f (x) = + infty text {e} lim _ {x rightarrow- infty} f (x) = - infty. ]


Vamos começar com um exemplo interessante.

Por que não sabemos?

A razão mais simples é que o Infinito não é um número, é uma ideia.

Então 1 é um pouco como dizer 1 beleza ou 1 alta .

Talvez pudéssemos dizer que 1 = 0,. mas isso também é um problema, porque se dividirmos 1 em pedaços infinitos e eles terminarem em 0 cada, o que acontecerá com o 1?

Na verdade 1 é conhecido por ser Indefinido.

Mas podemos abordá-lo!

Então, em vez de tentar calcular o infinito (porque não podemos obter uma resposta sensata), vamos tentar valores cada vez maiores de x:

x 1 x
1 1.00000
2 0.50000
4 0.25000
10 0.10000
100 0.01000
1,000 0.00100
10,000 0.00010

Agora podemos ver que conforme x fica maior, 1 x tende para 0

Estamos agora diante de uma situação interessante:

  • Não podemos dizer o que acontece quando x chega ao infinito
  • Mas podemos ver que 1x é indo em direção a 0

Queremos dar a resposta "0", mas não podemos, então, em vez disso, os matemáticos dizem exatamente o que está acontecendo usando a palavra especial "limite"

O limite do 1 x quando x se aproxima do infinito 0

Conforme x se aproxima do infinito, então 1 x aproxima-se de 0

Quando você vir "limite", pense "se aproximando"

É uma forma matemática de dizer "não estamos falando sobre quando x = ∞, mas sabemos que à medida que x fica maior, a resposta fica cada vez mais perto de 0".

Resumo

Então, às vezes o Infinity não pode ser usado diretamente, mas nós posso use um limite.


5.3: Limites ao infinito e limites infinitos

Nesta seção, daremos uma olhada nos limites cujo valor é infinito ou menos infinito. Esses tipos de limite aparecerão com bastante regularidade nas seções posteriores e em outros cursos e, portanto, você precisará ser capaz de lidar com eles quando os encontrar.

A primeira coisa que provavelmente devemos fazer aqui é definir exatamente o que queremos dizer quando dizemos que um limite tem um valor infinito ou menos infinito.

Definição

[ mathop < lim> limits_ f left (x right) = infty ]

se pudermos tornar (f (x) ) arbitrariamente grande para todos (x ) suficientemente perto de (x = a ), de ambos os lados, sem realmente deixar (x = a ).

[ mathop < lim> limits_ f left (x right) = - infty ]

se pudermos tornar (f (x) ) arbitrariamente grande e negativo para todos (x ) suficientemente perto de (x = a ), de ambos os lados, sem realmente deixar (x = a ).

Essas definições também podem ser modificadas apropriadamente para os limites unilaterais. Para ver uma definição mais precisa e matemática desse tipo de limite, consulte a seção A Definição do Limite no final deste capítulo.

Vamos começar com um exemplo bastante típico que ilustra limites infinitos.

Então, vamos dar uma olhada em alguns limites unilaterais, bem como o limite normal aqui. Em todos os três casos, observe que não podemos simplesmente conectar (x = 0 ). Se o fizéssemos, teríamos divisão por zero. Lembre-se também de que as definições acima podem ser facilmente modificadas para fornecer definições semelhantes para os dois limites unilaterais de que precisaremos aqui.

Agora, há várias maneiras de proceder aqui para obter valores para esses limites. Uma maneira é conectar alguns pontos e ver a que valor a função está se aproximando. Na seção anterior, dissemos que não faríamos mais isso, mas, neste caso, é uma boa maneira de ilustrar o que está acontecendo com esta função.

Então, aqui está uma tabela de valores de (x ) ’s da esquerda e da direita. Usando estes valores seremos capazes de estimar o valor dos dois limites unilaterais e uma vez feito isso podemos usar o fato de que o limite normal só existirá se os dois limites unilaterais existirem e tiverem o mesmo valor .

(x ) ( displaystyle frac <1>) (x ) ( displaystyle frac <1>)
-0.1 -10 0.1 10
-0.01 -100 0.01 100
-0.001 -1000 0.001 1000
-0.0001 -10000 0.0001 10000

A partir desta tabela, podemos ver que à medida que tornamos (x ) cada vez menor a função ( frac <1>) fica cada vez maior e manterá o mesmo sinal que (x ) originalmente tinha. Deve fazer sentido que essa tendência continue para qualquer valor menor de (x ) que escolhemos usar. A função é uma constante (um neste caso) dividida por um número cada vez menor. A fração resultante deve ser um número cada vez maior e, conforme observado acima, a fração manterá o mesmo sinal de (x ).

Podemos tornar a função tão grande e positiva quanto quisermos para todos os (x ) 's suficientemente perto de zero enquanto permanecemos positivos (ou seja, à direita). Da mesma forma, podemos tornar a função tão grande e negativa quanto quisermos para todos os (x ) 's suficientemente perto de zero enquanto permanecemos negativos (ou seja, à esquerda). Portanto, de acordo com nossa definição acima, parece que devemos ter os seguintes valores para os limites unilaterais.

Outra forma de ver os valores dos limites unilaterais aqui é representar graficamente a função. Mais uma vez, na seção anterior, mencionamos que não faríamos isso com muita frequência, pois a maioria das funções não é algo que possamos simplesmente esboçar, bem como os problemas de precisão na leitura de valores fora do gráfico. Neste caso, no entanto, não é muito difícil esboçar um gráfico da função e, neste caso, como veremos, a precisão não será um problema. Então, aqui está um esboço rápido do gráfico.

Portanto, podemos ver neste gráfico que a função se comporta da mesma forma que previmos a partir dos valores de nossa tabela. Quanto mais próximo (x ) chega de zero da direita, maior (no sentido positivo) fica a função, enquanto quanto mais próximo (x ) chega de zero da esquerda, maior (no sentido negativo) fica a função .

Por fim, o limite normal, neste caso, não existirá, pois os dois limites unilaterais têm valores diferentes.

Então, em resumo, aqui estão os valores dos três limites para este exemplo.

Para a maioria dos exemplos restantes nesta seção, tentaremos "explicar nosso caminho através" de cada limite. Isso significa que veremos se podemos analisar o que deve acontecer com a função à medida que nos aproximamos do ponto em questão, sem realmente inserir nenhum valor na função. Para a maioria dos exemplos a seguir, esse tipo de análise não deve ser tão difícil de fazer. Também verificaremos nossa análise com um gráfico rápido.

Então, vamos fazer mais alguns exemplos.

Como no exemplo anterior, vamos começar observando os dois limites unilaterais. Assim que tivermos esses, poderemos determinar um valor para o limite normal.

Então, vamos dar uma olhada no limite do lado direito primeiro e, conforme observado acima, vamos ver se podemos descobrir o que cada limite fará sem realmente inserir nenhum valor de (x ) na função. À medida que tomamos valores cada vez menores de (x ), enquanto permanecemos positivos, elevá-los ao quadrado apenas os tornará menores (lembre-se de elevar ao quadrado um número entre zero e um o tornará menor) e, claro, permanecerá positivo. Portanto, temos uma constante positiva dividida por um número positivo cada vez menor. O resultado deve ser um número positivo cada vez maior. Parece que devemos ter o seguinte valor para o limite da direita neste caso,

Agora, vamos dar uma olhada no limite da mão esquerda. Neste caso, vamos usar valores cada vez menores de (x ), enquanto permanecemos negativos desta vez. Quando os elevarmos ao quadrado, eles ficarão menores, mas ao elevar ao quadrado o resultado agora é positivo. Portanto, temos uma constante positiva dividida por um número positivo cada vez menor. O resultado, como com o limite da direita, será um número positivo cada vez maior e, portanto, o limite da esquerda será,

Agora, neste exemplo, ao contrário do primeiro, o limite normal existirá e será infinito, uma vez que os dois limites unilaterais existem e têm o mesmo valor. Então, em resumo, aqui estão todos os limites para este exemplo, bem como um gráfico rápido verificando os limites.

Com este próximo exemplo, vamos nos afastar de apenas um (x ) no denominador, mas, como veremos nos próximos exemplos, eles funcionam praticamente da mesma maneira.

Vamos começar novamente com o limite da mão direita. Com o limite da direita, sabemos que temos,

Além disso, conforme (x ) fica cada vez mais perto de -2, então (x + 2 ) ficará cada vez mais perto de zero, enquanto permanece positivo, conforme observado acima. Portanto, para o limite do lado direito, teremos uma constante negativa dividida por um número positivo cada vez menor. O resultado será um número cada vez maior e negativo. Portanto, parece que o limite do lado direito será infinito negativo.

Para o limite da mão esquerda, temos,

e (x + 2 ) se aproximará cada vez mais de zero (e será negativo) conforme (x ) se aproximará cada vez mais de -2. Nesse caso, teremos uma constante negativa dividida por um número negativo cada vez menor. O resultado será um número positivo cada vez maior e, portanto, parece que o limite esquerdo será infinito positivo.

Finalmente, uma vez que os dois limites unilaterais não são iguais, o limite normal não existirá.

Aqui estão as respostas oficiais para este exemplo, bem como um gráfico rápido da função para fins de verificação.

Neste ponto, devemos reconhecer brevemente a ideia de assíntotas verticais. Cada um dos três gráficos anteriores teve um. Lembre-se de uma aula de álgebra que uma assíntota vertical é uma linha vertical (a linha tracejada em (x = - 2 ) no exemplo anterior) na qual o gráfico irá para o infinito e / ou menos infinito em um ou ambos os lados de a linha.

Em uma aula de álgebra, eles são um pouco difíceis de definir além de dizer muito bem o que acabamos de dizer. Agora que temos limites infinitos sob o nosso cinto, podemos facilmente definir uma assíntota vertical da seguinte forma,

Definição

A função (f (x) ) terá uma assíntota vertical em (x = a ) se tivermos qualquer um dos seguintes limites em (x = a ).

[ mathop < lim> limits_> f left (x right) = pm , infty hspace <0.25in> mathop < lim> limits_> f left (x right) = pm , infty hspace <0.25in> mathop < lim> limits_ f left (x right) = pm , infty ]

Observe que é necessário apenas um dos limites acima para que uma função tenha uma assíntota vertical em (x = a ).

Usando esta definição, podemos ver que os primeiros dois exemplos tinham assíntotas verticais em (x = 0 ), enquanto o terceiro exemplo tinha uma assíntota vertical em (x = - 2 ).

Não vamos realmente fazer muito com assíntotas verticais aqui, mas gostaríamos de mencioná-las neste ponto, pois alcançamos um bom ponto para fazer isso.

Vamos agora dar uma olhada em mais alguns exemplos de limites infinitos que podem causar alguns problemas ocasionalmente.

Vamos começar com o limite da mão direita. Para este limite temos,

[x & gt 4 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.25in> 4 - x & lt 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.5in> < left (<4 - x> right) ^ 3> & lt 0 ]

também, (4 - x a 0 ) como (x a 4 ). Portanto, temos uma constante positiva dividida por um número negativo cada vez menor. Os resultados serão um número negativo cada vez maior e, portanto, parece que o limite do lado direito será infinito negativo.

Para o limite de canhotos, temos,

[x & lt 4 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.25in> 4 - x & gt 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.5in> < left (<4 - x> right) ^ 3> & gt 0 ]

e ainda temos, (4 - x a 0 ) como (x a 4 ). Nesse caso, temos uma constante positiva dividida por um número positivo cada vez menor. Os resultados serão um número positivo cada vez maior e, portanto, parece que o limite esquerdo será infinito positivo.

O limite normal não existirá, pois os dois limites unilaterais não são iguais. As respostas oficiais a este exemplo são,

Aqui está um esboço rápido para verificar nossos limites.

Todos os exemplos até este ponto tiveram uma constante no numerador e provavelmente devemos dar uma olhada rápida em um exemplo que não possui uma constante no numerador.

Vamos dar uma olhada no limite para destros primeiro. Para este limite, teremos,

[x & gt 3 hspace <0,5in> Rightarrow hspace <0,5in> x - 3 & gt 0 ]

A principal diferença aqui com este exemplo é o comportamento do numerador conforme deixamos (x ) ficar cada vez mais perto de 3. Neste caso, temos o seguinte comportamento para o numerador e o denominador.

Então, conforme deixamos (x ) ficar cada vez mais perto de 3 (sempre ficando à direita, é claro) o numerador, embora não seja uma constante, está cada vez mais perto de uma constante positiva enquanto o denominador está cada vez mais perto a zero e será positivo uma vez que estamos do lado direito.

Isso significa que teremos um numerador que está cada vez mais perto de um número diferente de zero e positivo dividido por um número positivo cada vez menor e, portanto, o resultado deve ser um número positivo cada vez maior. O limite do lado direito deve ser infinito positivo.

Para o limite da mão esquerda, teremos,

[x & lt 3 hspace <0,5in> Rightarrow hspace <0,5in> x - 3 & lt 0 ]

Tal como acontece com o limite do lado direito, teremos os seguintes comportamentos para o numerador e o denominador,

A principal diferença neste caso é que o denominador agora será negativo. Então, teremos um numerador que está se aproximando de uma constante positiva diferente de zero dividida por um número negativo cada vez menor. O resultado será um número cada vez maior e negativo.

As respostas formais para este exemplo são, então,

Como acontece com a maioria dos exemplos nesta seção, o limite normal não existe, pois os dois limites unilaterais não são iguais.

Aqui está um gráfico rápido para verificar nossos limites.

Até agora, tudo o que fizemos foi olhar para os limites das expressões racionais, vamos fazer alguns exemplos rápidos com algumas funções diferentes.

Primeiro, observe que só podemos avaliar o limite da mão direita aqui. Sabemos que o domínio de qualquer logaritmo são apenas os números positivos e por isso não podemos nem falar sobre o limite para canhotos, porque isso exigiria o uso de números negativos. Da mesma forma, uma vez que não podemos lidar com o limite da mão esquerda, então não podemos falar sobre o limite normal.

Esse limite é bastante simples de se obter a partir de um esboço rápido do gráfico.

A partir disso, podemos ver que,

[ mathop < lim> limits_> ln left (x right) = - infty ]

Aqui está um esboço rápido do gráfico da função tangente.

A partir disso, é fácil ver que temos os seguintes valores para cada um desses limites,

[ mathop < lim> limits_<2>> ^ + >> tan left (x right) = - infty hspace <0.5in> mathop < lim> limits_<2>> ^ - >> tan left (x right) = infty ]

Observe que o limite normal não existirá porque os dois limites unilaterais não são iguais.

Deixaremos esta seção com alguns fatos sobre limites infinitos.

Fatos

para alguns números reais (c ) e (L ). Então,

  1. ( mathop < lim> limits_ deixou[ right] = infty )
  2. Se (L & gt 0 ) then ( mathop < lim> limits_ deixou[ right] = infty )
  3. Se (L & lt 0 ) então ( mathop < lim> limits_ deixou[ right] = - infty )
  4. ( displaystyle mathop < lim> limits_ frac <><> = 0)

Para ver a prova desse conjunto de fatos, consulte a seção Prova de várias propriedades de limite no capítulo Extras.

Observe também que o conjunto de fatos acima também é válido para limites unilaterais. Eles também serão válidos se ( mathop < lim> limits_ f left (x right) = - infty ), com mudança de sinal nos infinitos nas três primeiras partes. As provas dessas mudanças nos fatos são quase idênticas às provas dos fatos originais e, portanto, são deixadas para você.


Limites no Infinito --- Conceito

Lembre-se de que uma assíntota é um valor do qual a função se torna muito, muito próxima à medida que $ x $ se torna cada vez maior, como no gráfico abaixo.

Essa é exatamente a ideia de um limite no infinito!

Definição

Suponha que $ f (x) $ se torne arbitrariamente próximo de um valor finito particular $ L $, pois $ x $ torna-se infinitamente grande. Então $ L $ é o limite de $ f (x) $, pois $ x $ vai para o infinito, e escrevemos

Explicação da notação

Limites no infinito negativo

Da mesma forma, $ displaystyle lim_ f (x) = L $ significa que a função se aproxima de $ L $ à medida que $ x $ cresce infinitamente na direção negativa.

Estimando limites no infinito com gráficos e tabelas

Exemplo 1

Use o gráfico abaixo para estimar $ lim limits_ f (x) $.

O gráfico parece indicar que o valor da função fica próximo de 4 conforme $ x $ fica maior.

Exemplo 2

Use o gráfico abaixo para estimar o valor de

  1. $ displaystyle lim_ f (x) $
  2. $ displaystyle lim_ f (x) $
  1. $ displaystyle lim_ f (x) aproximadamente 3 $
  2. $ displaystyle lim_ f (x) aprox 0 $
Exemplo 3

Use a tabela abaixo para estimar $ lim limits_ f (x) $.

$ begin & hline -10 & 8.5 -50 & 8.1 -100 & 8.013 -1000 & 8.0014 -10000 & 8.00013 -100000 & 8.000014 end $

Quanto mais $ x $ fica na direção negativa, mais perto a função parece chegar de 8.

Quando os limites no infinito não existem

Para que exista um limite no infinito, a função deve se aproximar de um determinado valor finito. Considere o seguinte exemplo.

Exemplo 4

A função seno sempre oscila entre 1 e $ -1 $. Não importa o quão grande se torne o valor $ x $, este comportamento não mudará (veja abaixo).

Responder

$ lim limits_ sin x $ não existe.

Limites infinitos no infinito

Se o valor da função se torna infinitamente grande à medida que $ x $ fica maior, podemos usar a ideia de limites infinitos para descrever o que está acontecendo com a função.

Exemplo 5

À medida que $ x $ cresce, $ x ^ 2 $ também aumenta.

Como $ x ^ 2 $ eventualmente se tornará maior do que qualquer valor particular, podemos dizer que a função se torna infinitamente grande.

$ displaystyle lim_ x ^ 2 = infty $

Importante! Assim como antes, dizer que o limite é infinito também significa que o limite não existe.

Exemplo 6

Use o gráfico de $ f (x) = x + frac 1 3 x sin 2x $ para entender $ displaystyle lim_ f (x) $.

Mesmo que a função oscile, ela nunca fica abaixo da linha $ g (x) = frac 2 3 x $. Uma das leis de limite nos diz que, como $ f (x) geq g (x) $, então $ lim limits_ f (x) geq lim limits_ g (x) = infty $.

Exemplo 7

Use o gráfico abaixo para entender $ displaystyle lim_ x sin ^ 2 (2x) $.

As oscilações desta função continuam a aumentar em amplitude, mas como a função sempre retorna ao eixo $ x $, não podemos dizer que o limite é infinito.


Obviamente, depende da definição de & quotexiste & quot. Alguns autores trabalham explicitamente sobre a linha real estendida com $ pm infty $ adjunto, de modo que tais limites infinitos "existam" explicitamente como valores de primeira classe. Mas não há consenso. É preciso prestar atenção às definições e convenções do autor.

Talvez valha a pena mencionar - embora este caso seja bastante trivial - que os pontos adjacentes no infinito são um caso especial de várias construções que tentam simplificar as coisas por algum tipo de fechamento existencial. Abaixo, anexei um trecho de minha postagem de 15 de outubro de 1996 na ficção científica.

Esta discussão se originou em uma pergunta sobre se infinito ou $ 1/0 $ poderia ser admitido como um & quotvalor & quot, e logo derivou para a discussão da esfera de Riemann e outras manifestações topológicas do infinito via compactificação. A seguir, aponto algumas referências maravilhosas sobre esses tópicos. Além disso, gostaria de trazer à sua atenção uma perspectiva muito mais ampla sobre esses tópicos, a saber, o fechamento existencial conforme estudado na teoria dos modelos.

Há uma bela exposição de pontos no infinito, fechamento projetivo, compactificações, modificações, etc. em [FM] [1] Capítulo 7, Pontos no infinito, de H. Behnke e H. Grauert. Este é o volume III da excelente série & quotFundamentals of Mathematics & quot, que merece estar na estante de todos os matemáticos iniciantes.

Uma apreciação muito mais profunda da metodologia por trás dessas construções pode ser obtida estudando-as de uma perspectiva teórica do modelo, em particular do ponto de vista do fechamento existencial e da conclusão do modelo. Kenneth Manders escreveu uma série de artigos instigantes [2], [3] a partir dessa perspectiva. Concluo com um trecho da introdução de [2]:

& quotA adjunção sistemática de raízes, ou soluções para outras condições simples, como na formação dos números complexos por imaginários adjacentes, ou em adjunção de pontos & quotat infinito & quot na geometria tradicional, pode ser analisada como fechamento existencial e conclusão do modelo. 'Fechamento existencial' refere-se a uma classe de processos que tentam arredondar um domínio e simplificar sua teoria por elementos adjacentes - mais apropriadamente, se refere à relação formal que existe em tal processo. 'Conclusão do modelo' é um dos termos empregados quando este processo é bem-sucedido. A formação dos números complexos e a passagem da geometria afim para a projetiva são sucessos desse tipo. Assim, a teoria do fechamento existencial fornece uma base teórica do "método dos elementos ideais" de Hilbert. Eu agora esboço a teoria do fechamento existencial, para revelar quando, como e em que sentido o fechamento existencial dá uma simplificação conceitual. & Quot

[FM] Fundamentos de matemática. Vol. III. Análise.
Editado por H. Behnke, F. Bachmann, K. Fladt e W. Suss.
Traduzido da segunda edição alemã por S. H. Gould.
Reimpressão da edição de 1974. MIT Press,
Cambridge, Mass.-London, 1983. xiii + 541 pp. ISBN: 0-262-52095-8 00A05


Limites: limites infinitos

Para discutir os limites infinitos, vamos investigar a função f (x) = 5 x & # x2212 1. Olhando para o gráfico desta função mostrado aqui, você pode ver que quando x & # x2192 1 & # x2212 o valor de f (x) diminui sem limite e quando x & # x2192 1 + o valor de f (x) aumenta sem limite. Uma tabela de valores mostrará o mesmo comportamento.

Um limite no qual f (x) aumenta ou diminui sem limite conforme o valor de x se aproxima de um número arbitrário c é chamado de limite infinito .

Isso não significa que exista um limite ou que & # x221E seja um número. Na verdade, o limite não existe. Os valores de & # x00B1 & # x221E simplesmente informam como o limite não existe porque os valores conforme x se aproxima de c aumentam / diminuem sem limite.

Limites infinitos são denotados por:


e é lido como "o limite de f (x) conforme x se aproxima de a é infinito".

DEFINIÇÃO DE UM LIMITE INFINITO

Seja f (x) uma função que pode ser definida em qualquer lado de um ponto a, e pode ou não ser definida em:

significa que à medida que x se aproxima de a, mas não é igual a a, o valor de f (x) aumenta / diminui sem limite.

A linha na qual o limite de uma função aumenta ou diminui sem limite é chamada de assíntota vertical .

DEFINIÇÃO DE UM ASSIMTOTO VERTICAL

A linha x = a é uma assíntota vertical de f (x) se uma das seguintes opções for verdadeira:

lim x & # x2192 a f (x) = & # x221E lim x & # x2192 a & # x2212 f (x) = & # x221E lim x & # x2192 a + f (x) = & # x221E

Vamos encontrar os limites infinitos em alguns exemplos.

Etapa 1: Encontre o limite x & # x2192 4 + x x & # x2212 4

Crie uma tabela de valores para f (x) como x & # x2192 4 + ou justifique o comportamento dos valores para f (x). Não inclua x = 4.


Você deve lembre-se de que $ x = - sqrt$ em qualquer problema em que $ x to , - infty $, uma vez que você está então olhando automaticamente para valores negativos de x.

Os problemas abaixo ilustram, começando com a parte (b) do primeiro.

Observe que na última etapa, usamos o fato de que $ displaystyle < lim_ frac <2> = 0>$.



Podemos verificar o resultado com uma rápida olhada no gráfico da função. Observe que a linha horizontal $ y = sqrt <5> $ é uma assíntota horizontal para este gráfico.

Para obter esse resultado, usamos novamente nosso & # 8220trick & # 8221 usual de dividir o numerador e o denominador pelo maior termo no denominador, que aqui é $ x $.

Observe que obtivemos um número negativo como nossa resposta, o que corresponde ao nosso raciocínio inicial rápido acima.

Podemos verificar o resultado com uma rápida olhada no gráfico da função. Observe que a linha horizontal $ y = - sqrt <5> $ é uma assíntota horizontal para este gráfico.

Para continuar, vamos usar a mesma abordagem que usamos anteriormente ao avaliar os limites que tinham raízes quadradas: nós & # 8217 vamos racionalizar a expressão multiplicando por seu conjugado $ sqrt + x $ dividido por ele mesmo:

[ começar
lim_ left ( sqrt & # 8211 x right) & # 038 = lim_ left ( frac < sqrt& # 8211 x> <1> cdot frac < sqrt+ x> < sqrt+ x> direita) [8px] & # 038 = lim_ frac < left ( sqrt direita) ^ 2 + x sqrt -x sqrt -x ^ 2> < sqrt+ x> [8px] & # 038 = lim_ frac <(x ^ 2 + x) -x ^ 2> < sqrt+ x> [8px] & # 038 = lim_ frac < sqrt+ x>
fim ] Vamos agora usar nosso truque usual de dividir o numerador e o denominador pelo maior potência no denominador. Essa potência é $ x $: embora haja um $ x ^ 2 $ presente, ele está sob uma raiz quadrada $ left ( sqrt right) $ e, portanto, sua potência efetiva é $ x ^ 1 $.

Esse limite é inesperado, pelo menos para nós! Mas você pode verificar alguns números para ver como funciona:
[ começar
f (x) & # 038 = sqrt & # 8211 x [8px] f (10) & # 038 = sqrt <100 + 10> & # 8211 10 approx 10.488 & # 8211 10 = 0.488 [8px] f (20) & # 038 = sqrt <400 + 20> & # 8211 20 approx 20,494 & # 8211 20 = 0,494 [8px] f (100) & # 038 = sqrt <10.000 + 100> & # 8211 100 approx 100,499 -100 = 0,499
fim ]


Para continuar, vamos usar a mesma abordagem que usamos anteriormente ao avaliar os limites que tinham raízes quadradas: nós & # 8217 vamos racionalizar a expressão multiplicando por seu conjugado $ sqrt> + sqrt$ dividido por ele mesmo:

Observe que no final, usamos o fato de que $ displaystyle < lim_ frac <1> < sqrt> = 0>$.

Esse limite é inesperado, pelo menos para nós! Mas você pode verificar alguns números para ver como funciona:
[ começar
f (x) & # 038 = sqrt> & # 8211 sqrt [8px] f (100) & # 038 = sqrt <100 + sqrt <100>> & # 8211 sqrt <100> aproximadamente 10,48 & # 8211 10 = 0,48 [8px] f (10.000) & # 038 = sqrt <10.000 + 100> & # 8211 100 aproximadamente 100,499 & # 8211 100 = 0,499 [8px] end ]

Para continuar, vamos usar a mesma abordagem que usamos anteriormente ao avaliar os limites que tinham raízes quadradas: nós & # 8217 vamos racionalizar a expressão multiplicando por seu conjugado $ sqrt + ax $ dividido por ele mesmo:

Vamos agora usar nosso truque usual de dividir o numerador e o denominador pelo maior potência no denominador. Essa potência é $ x: $ enquanto houver um $ x ^ 2 $ presente, ele está sob uma raiz quadrada $ left ( sqrt right) $, e assim sua potência efetiva é $ x ^ 1. $

Uma vez que estamos olhando para $ x to infty $, estamos interessados ​​apenas nos valores positivos de $ x $ e, portanto, temos $ x = sqrt$.

Vamos agora usar nosso truque usual de dividir o numerador e o denominador pelo maior potência no denominador. Essa potência é $ x $: embora haja um $ x ^ 2 $ presente, ele está sob uma raiz quadrada $ left ( sqrt right) $ e, portanto, sua potência efetiva é $ x ^ 1 $.

Uma vez que estamos olhando para $ x to infty $, estamos interessados ​​apenas nos valores positivos de $ x $ e, portanto, temos $ x = sqrt.$

Para continuar, vamos usar a mesma abordagem que usamos anteriormente ao avaliar os limites que tinham raízes quadradas: nós & # 8217 vamos racionalizar a expressão multiplicando por seu conjugado $ x & # 8211 sqrt$ dividido por ele mesmo:

Vamos agora usar nosso truque usual de dividir o numerador e o denominador pelo maior potência no denominador. Essa potência é $ x: $ enquanto houver um $ x ^ 2 $ presente, ele está sob uma raiz quadrada $ left ( sqrt right) $ e, portanto, sua potência efetiva é $ x ^ 1 $.

Observe que da penúltima linha, usamos o fato de que $ displaystyle < lim_ frac = 0 >.$

Como é frequentemente o caso, a fatoração fornece um caminho a seguir: observe que podemos puxar um $ sqrt$ de ambos os termos:

Passo 1: Como fizemos nos problemas acima, multiplicamos a expressão pelo seu conjugado dividido por ele mesmo:
começar
lim_ left ( sqrt>> & # 8211 sqrt direita) & # 038 = lim_ left ( sqrt>> & # 8211 sqrt right) cdot frac < sqrt>> + sqrt> < sqrt>> + sqrt> [8px] & # 038 = lim_ frac < left ( sqrt>> direita) esquerda ( sqrt>> right) + cancel < left ( sqrt>> & # 8211 sqrt direita) esquerda ( sqrt right)> & # 8211 cancelar < left ( sqrt direita) esquerda ( sqrt>> & # 8211 sqrt direita)> + esquerda (- sqrt direita) esquerda ( sqrt right)> < sqrt>> + sqrt> [8px] & # 038 = lim_ frac < left (x + sqrt> right) -x> < sqrt>> + sqrt> [8px] & # 038 = lim_ frac < sqrt>> < sqrt>> + sqrt>
fim
Com esta expressão reescrita, você pode olhar para ela e ver que o numerador é dominado pelo (primeiro) $ sqrt$ term, enquanto o numerador é dominado igualmente por dois fatores de $ sqrt$ e, portanto, o limite será $ dfrac <1> <2>. $


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limite da raiz quadrada de x ^ 2 + 1 & # 8211 raiz quadrada de x + 1 conforme x se aproxima do infinito

Atualizamos a página para fornecer a solução para esta questão como o Problema Prático nº 8 acima. É um bom problema e esperamos ter ajudado você (e os futuros alunos) a resolvê-lo com sucesso.

Atualizamos a página para fornecer a solução para esta questão como o Problema Prático nº 8 acima. É um bom problema e esperamos ter ajudado você (e os futuros alunos) a resolvê-lo com sucesso.

raiz de x (raiz de x + c & # 8211 raiz x) em lim x tende ao infinito

Obrigado por perguntar! (Observe que pode ser necessário atualizar a página do navegador para que a matemática abaixo seja exibida corretamente.)

Acontece que você precisa fazer dois movimentos estratégicos para encontrar esse limite.

Primeiro, como discutido acima, sempre que vemos duas raízes quadradas subtraídas uma da outra, nós automaticamente multiplicamos pelo conjugado
[1 = frac < sqrt+ sqrt> < sqrt+ sqrt>]
Então
começar
lim_ sqrt left ( sqrt & # 8211 sqrt direita) & # 038 = lim_ sqrt left [ left ( sqrt & # 8211 sqrt right) cdot left ( frac < sqrt+ sqrt> < sqrt+ sqrt> right) right] [8px]
& # 038 = lim_ sqrt left [ frac <(x + c) + sqrt sqrt & # 8211 sqrt sqrt-x> < sqrt+ sqrt> right] [8px]
& # 038 = lim_ sqrt left [ frac < sqrt+ sqrt> right] [8px]
fim
O outro movimento estratégico que precisamos fazer é um & # 8220 truque & # 8221 que desenvolvemos anteriormente: encontre a maior potência de $ x $ no denominador e, em seguida, calcule-a. Aqui, esse poder é $ sqrt$:
começar
phantom < lim_ sqrt left ( sqrt & # 8211 sqrt direita)> & # 038 = lim_sqrt left[ fracleft( sqrt<1+frac>> + 1 ight)> ight] [8px]
&= lim_frac>> left[ frac>> + 1> ight] [8px]
&= lim_ frac< sqrt<1+frac>> + 1>
end
Now, since $lim_ dfrac> = 0,$ when we take the limit we have
começar
phantom< lim_sqrt left( sqrt – sqrt ight)> &= frac< sqrt<1+cancelto<0>< frac>>> + 1> [8px]
&= frac <2>quad cmark
end
Whew! : )


How to Solve Limits Involving Infinity: General steps

Since infinity can’t be used directly, we use limits. Let’s take a simple function:

The limit of this function when x approaches infinity is:

As x gets nearer to infinity, the value 5x will also tend towards infinity. You’ll get the same result for:

For example, the limit of all of these functions (as x gets larger and larger) equal infinity:


5.3: Limits to Infinity and Infinite Limits

Conceptually, an asymptote is a line or a curve that the graph of a function approaches. Vertical asymptotes occur where function value magnitudes grow larger as x approaches a fixed number. Horizontal asymptotes occur when a function approaches a horizontal line as x approaches positive or negative infinity. Both types of asymptotes are discussed in this lesson and their formal definitions are given below.

Vertical Asymptote Definition

A function has a vertical asymptote no x = uma if as the input values approach uma from at least one side, the magnitude of the output increases without bound. That is, the line x = uma is a vertical asymptote if

The diagram below illustrates the vertical asymptote of the function . Notice the function approaches negative infinity as x approaches 0 from the left and that it approaches positive infinity as x approaches 0 from the right.

Horizontal Asymptote Definition

UMA horizontal asymptote is a horizontal line that the graph of a function approaches as the magnitude of the input increases without bound in either a positive or negative direction. That is, the line y = k is a horizontal asymptote of f(x) if

A function may cross a horizontal asymptote for finite values of the input.

The function has a horizontal asymptote y = 0, as shown below.

Comparing Vertical and Horizontal Asymptotes

A rational function is undefined at a vertical asymptote. The limits as or as will be the same if the function has a horizontal asymptote.

7.1.1 Graph the function in a [-20, 20, 5] x [-10, 10, 2] window. Use the graph to estimate the vertical and horizontal asymptotes and write their equations. Click here for the answer.

Calculators and Vertical Asymptotes

When a function has a vertical asymptote, a graphing calculator will often show what appears to be the graph of the asymptote along with the graph of the function. However, the calculator is actually connecting the bottom branch of the graph with the top branch. These two branches should not be connected so the calculator graph is flawed. The graph of a vertical asymptote is not part of the graph of the function.

Vertical Asymptotes from a Table of Values

A table of values of the function near the vertical asymptote x = 3 can be useful in illustrating the function's behavior near the asymptote.

7.1.2 Describe the behavior of the function near the vertical asymptote x = 3. Click here for the answer.

Finding a Vertical Asymptote Analytically

Factoring the numerator and denominator of a rational function and simplifying the fraction can provide information about the function near a possible asymptote. For example, can be written as

Because is the same as except when x = -2, the expression can be used in left and right-hand limits to determine the behavior of the function near x = 3.

Como x approaches 3 from the left the numerator of approaches 6 while the denominator approaches 0 through negative values. This means the fraction will approach negative infinity.

Como x approaches 3 from the right the numerator of approaches 6 while the denominator approaches 0 through positive values. This means the fraction will approach positive infinity.

Portanto, x = 3 is a vertical asymptote of .

Horizontal Asymptotes from a Table of Values

Make a table of values to show the behavior of the function as it approaches the horizontal asymptote y = 2 when x is large and positive and when x is negative and large in absolute value.

7.1.3 What do the two tables tell you about the behavior of the function as gets large? Click here for the answer.

Finding a Horizontal Asymptote Analytically

As the magnitude of x gets large, the term 2x 2 dominates the numerator and the term x 2 dominates the denominator. The end behavior of the rational function resembles the rational function . We say that y = 2 is an end behavior model for . In other words, the line
y = 2 is the horizontal asymptote of .


INFINITY ( &infin )

I NFINITY, along with its symbol &infin , is not a number and it is not a place. When we say in calculus that something is "infinite," we simply mean that there is no limit to its values.

Let f ( x ), for example, be . Then as the values of x become smaller and smaller, the values of f ( x ) become larger and larger. No matter what large number we name, it will be possible to name a value of x such that the value of f ( x ) will be larger than that number we named.

We then say that the values of f ( x ) become infinite, or tend to infinity. We say that as x approaches 0, the limit of f ( x ) is infinity.

Now a limit is a number&mdasha boundary. So when we say that the limit is infinity, we mean that there is no number that we can name.

The student should be aware that the word infinite as it is used and has been used historically in calculus, does not have the same meaning as in the theory of infinite sets. See this from Wikipedia, especially the views of Carl Friedrich Gauss in the section "Reception of the argument."

D EFINITION 4. becomes infinite. We say that a variable "becomes infinite" or "tends to infinity" if, beginning with a certain term in a sequence of its values, the absolute value of that term and of any subsequent term we name is greater than any positive number we name, however large.

When the variable is x and takes on only positive values, then x becomes positively infinite. Nós escrevemos

If x takes on only negative values, it becomes negatively infinite, in which case we write

In both cases, we mean: No matter what large number M we name, we get to a point in a sequence of values of x that their absolute values become greater than M.

When the variable is a function f ( x ), and it becomes positively or negatively infinite when x approaches the value c , then we write

Although we write the symbol "lim" for limit, those algebraic statements mean: The limit of f ( x ) as x approaches c does not exist. Again, a limit is a number. (Definition 2.1.)

Definition 4 is the definition of "becomes infinite" it is not the definition of a limit.

As for the symbol &infin , we employ it in algebraic statements to signify that the definition of becomes infinite has been satisfied. That symbol by itself has no meaning.

Let us see what happens to the values of y as x approaches 0 from the right:

As the sequence of values of x become very small numbers, then the sequence of values of y , the reciprocals, become very large numbers. The values of y will become and remain greater, for example, than 10 100000000 . y becomes infinite.

If x approaches 0 from the left, then the values of become large negative numbers. In that case, we write

When a function becomes infinite as x approaches a value c , then the function is discontinuous at x = c , and the straight line x = c is a vertical asymptote of the graph. (Topic 18 of Precalculus.) The graph of y = , then, is discontinuous at x = 0, and the straight line x = c is a vertical asymptote.

Next, let us consider the case when x becomes infinite, that is, when its values become large positive numbers to the extreme right of 0.

In that case, becomes a very small number, namely 0. We write

We should read that as "the limit as x becomes infinite," not as " x approaches infinity" because again, infinity is neither a number nor a place. On the other hand, we could read that however we please ("the limit as x becomes dizzy"), as long as whatever expression we use refers to the condition of Definition 4.

See First Principles of Euclid's Elements, Commentary on the Definitions. See especially that a definition is nominal it asserts only how a word or a name will be used and we must agree to that.

Finally, when x becomes infinite negatively, that is, when it assumes values to the extreme left of 0 (&minus &infin ), then again pproaches 0. We write

In other words, whenever x becomes infinite positively or negatively, the values of y = approach the horizontal line y = 0. That line is called a horizontal asymptote of the graph.

Para ver a resposta, passe o mouse sobre a área colorida.
Para cobrir a resposta novamente, clique em "Atualizar" ("Atualizar").
Do the problem yourself first!

At , tan x does not exist. (Topic 15 and Topic 18 of Trigonometry.)

As x approaches from the left, tan x becomes larger than any number we might name. (Definition 4.)

Limits of rational functions

A rational function is a quotient of polynomials (Topic 6 of Precalculus). It will have this form:

where f and g are polynomials ( g 0).

Apart from the constant term, each term of a polynomial will have a factor x n ( n &ge 1). Therefore let us investigate the following limits.

c could be any positive constant. The student should complete each right-hand side.

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Do it yourself first!

Solution . Divide the numerator and denominator by the highest power of x . In this case, divide them by x 2 :

According to 1), above, the limit of each term that contains x is 0. Therefore by the theorems of Topic 2, we have the required answer.

In similar cases, the first step is: Divide the numerator and denominator by the power of x that appears in the leading term of either one.

The result follows on dividing both numerator and denominator by x .

In other words: When the numerator and denominator are of equal degree,
then the limit as x becomes infinite is equal to the quotient of the leading coefficients.

In the following, the rational function is the reciprocal of the one above:

When the degree of the denominator is greater than the degree of the numerator -- that is, when the denominator dominates -- then the limit as x becomes infinite is 0. But when the numerator dominates -- when the degree of the numerator is greater -- then the limit as x becomes infinite is .

Rather than have the variable approach 0, we sometimes prefer that it become infinite. In that case, we do a change of variable . We put x = or , it does not matter. For, x approaching 0 is equivalent to z becoming infinite. Então

On replacing x with , we let z become infinite. The limit remains 1.

Where will this come up? In the limit from which we calculate the number e :

Problem 5. In the above limit, change the variable to n , and let it become infinite.

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Moderation limits

These limits control the moderation settings that are used for message approval applied to distribution groups and transport rules.

Maximum size of the arbitration mailbox: If the arbitration mailbox exceeds this limit, messages that require moderation are returned to the sender in a non-delivery report (NDR).

Maximum number of moderators: The maximum number of moderators that you can assign to a single moderated distribution group or that can be added to a message using a single transport rule. Note that you can't specify a distribution group as a moderator.

Expiration for messages waiting for moderation: By default, a message waiting for moderation expires after two days. However, the processing of expired moderated messages runs every seven days. This means that a moderated message can expire at any time between two and nine days.

Maximum rate for expired moderation notification messages: This limit sets the maximum number of notification messages for expired moderated messages in a one-hour period. This limit is placed on each mailbox database in the datacenter.

During periods of heavy usage, some senders may not receive notification messages for moderated messages that have expired. However, these notifications are still discoverable using delivery reports.

Moderation limits

Feature Microsoft 365 Business Basic Microsoft 365 Business Standard Office 365 Enterprise E1 Office 365 Enterprise E3 Office 365 Enterprise E5 Office 365 Enterprise F3
Maximum size of the arbitration mailbox 10 GB 10 GB 10 GB 10 GB 10 GB 10 GB
Maximum number of moderators 10 moderators 10 moderators 10 moderators 10 moderators 10 moderators 10 moderators
Expiration for messages waiting for moderation 2 days 2 days 2 days 2 days 2 days 2 days
Maximum rate for expired moderation notification messages 300 expiration notifications per hour 300 expiration notifications per hour 300 expiration notifications per hour 300 expiration notifications per hour 300 expiration notifications per hour 300 expiration notifications per hour

Moderation limits across standalone options

Feature Exchange Server 2013 Exchange Online Plan 1 Exchange Online Plan 2 Exchange Online Kiosk
Maximum size of the arbitration mailbox No limit 1 10 GB 10 GB 10 GB
Maximum number of moderators No limit 10 moderators 10 moderators 10 moderators
Expiration for messages waiting for moderation 5 days 1 2 days 2 days 2 days
Maximum rate for expired moderation notification messages 300 expiration notifications per hour 300 expiration notifications per hour 300 expiration notifications per hour 300 expiration notifications per hour

1 This is the default limit for Exchange Server 2013 organizations. Administrators can change this value for their organization.


Assista o vídeo: Przykłady granic w nieskończoności (Novembro 2021).