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Livro: A Primer of Real Analysis (Sloughter) - Matemática


Esta é uma breve introdução aos fundamentos da análise real. Embora os pré-requisitos sejam poucos, escrevi o texto presumindo que o leitor tenha o nível de maturidade matemática de quem concluiu a sequência padrão de cursos de cálculo, teve alguma exposição às ideias de prova matemática (incluindo indução) e tem um familiaridade com idéias básicas como relações de equivalência e as propriedades algébricas elementares dos inteiros.

Miniatura: A espiral logarítmica da concha do Nautilus é uma imagem clássica usada para representar o crescimento e a mudança relacionados ao cálculo. (CC BY-SA 3.0; via Wikipedia).


A Primer of Real Analysis de Dan Sloughter

Descrição:
Esta é uma breve introdução aos fundamentos da análise real. Embora os pré-requisitos sejam poucos, escrevi o texto presumindo que o leitor tenha o nível de maturidade matemática de alguém que completou a sequência padrão de cursos de cálculo e teve alguma exposição às idéias da prova matemática.

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Refresher Matemática

Os alunos que retornam têm o desafio adicional de tentar se lembrar de materiais que podem não ver há anos. No ano passado, isso geralmente criava a necessidade de refazer um curso ou pagar por aulas particulares. Agora, o aluno que retorna ou qualquer pessoa que precise de um pouco de prática extra pode encontrar vários materiais para aprender online. Eles podem estudar em seu próprio ritmo ou escolher os tópicos que precisam revisar.

Eu incluí o índice de cada um dos livros didáticos de matemática gratuitos apresentados na The Free Textbook List. Esperançosamente, isso tornará mais fácil se concentrar em tópicos específicos que você pode precisar revisar.


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A Primer of Real Functions

Esta é uma edição revisada, atualizada e significativamente aumentada de uma monografia clássica de Carus (um best-seller por mais de 25 anos) sobre a teoria das funções de uma variável real. As edições anteriores desta monografia clássica da Carus cobriam conjuntos, espaços métricos, funções contínuas e funções diferenciáveis. A quarta edição adiciona seções sobre funções e conjuntos mensuráveis, integrais de Lebesgue e Stieltjes e aplicativos. O livro mantém o estilo conversador informal das edições anteriores, permanecendo acessível aos leitores com alguma sofisticação matemática e uma formação em cálculo. O livro é, portanto, adequado para auto-estudo ou para leitura complementar em um curso de cálculo avançado ou análise real. Não pretendendo ser um tratado sistemático, este livro tem mais o caráter de uma seqüência de palestras sobre uma variedade de tópicos interessantes relacionados com funções reais. Muitos desses tópicos não são comumente encontrados em livros didáticos de graduação: por exemplo, a existência de funções oscilantes em todos os lugares contínuas (por meio do teorema da categoria de Baire) o teorema universal do acorde duas funções com derivadas iguais, mas não diferindo por uma constante e aplicação de Stieltjes integração à velocidade de convergência de séries infinitas.

Avaliações

É um grande prazer ver a quarta edição desta joia, que é conhecida em todo o mundo. Este é um trabalho importante, principalmente para professores e até mesmo para alunos (treinados).

Fonte: Acta Sci. Matemática (Szeged)

Eu recomendo fortemente esta monografia para alunos de matemática que desejam revisar ou estender seus conhecimentos de análise real, e para trabalhadores em outras áreas que desejam aprender sobre os principais resultados da análise.


Livros de problemas recomendados para análise real de graduação

Portanto, estou tendo um curso de análise na minha universidade e quero um livro de problemas para ele.

Os tópicos incluídos no plano de ensino são

Números reais: Introdução ao campo dos números reais, supremo, ínfimo, axioma de completude, propriedades básicas dos números reais, expansão decimal, construção de números reais.

Sequências e Séries: Convergência de uma sequência, Sequências de Cauchy e subsequências, Convergência absoluta e condicional de uma série infinita, Teorema de Riemann, vários testes de convergência.

Topologia pontual de:: Conjuntos abertos e fechados, interior, limite e fechamento de um conjunto Teorema de Bolzano-Weierstrass definição sequencial de compactação e teorema de Heine-Borel.

Limite de uma função: Limite de uma função, propriedades elementares dos limites.

Continuidade: Funções contínuas, propriedades elementares de funções contínuas, teorema do valor intermediário, continuidade uniforme, propriedades de funções contínuas definidas em conjuntos compactos, conjunto de descontinuidades.

Já estou acompanhando o de Michael J. Schramm Introdução à Análise Real para minha teoria

Mas um livro de problemas com questões variadas sobre os conceitos me ajudaria muito.

Por favor, recomende alguns livros de problemas.

P.S: Já pedi ao meu professor para recomendar alguns livros, mas ele sempre recomenda o bebê Rudin e também não dá muitas atribuições. Não sou compatível com o livro de Rudin. Além disso, seus testes são muito difíceis porque ele quer que inventemos contra-exemplos e eu sou muito pobre nisso. Portanto, preciso de um bom livro de problemas para dominar a análise real.


Fundamentos

Conjuntos e relações

Os inteiros

Kronecker disse uma vez: “Deus fez os inteiros, todo o resto é obra do homem”. Tomando isso como nosso ponto de partida, assumimos a existência do conjunto

o conjunto de inteiros. Além disso, assumimos as propriedades das operações de adição e multiplicação de inteiros, juntamente com outras propriedades elementares, como o Teorema Fundamental da Aritmética, ou seja, a afirmação de que todo inteiro pode ser fatorado em um produto de números primos e essa fatoração é essencialmente única.

Adotaremos uma visão ingênua dos conjuntos: dada qualquer propriedade p, podemos determinar um conjunto coletando todos os objetos que possuem a propriedade p. Isso pode ser feito por enumeração explícita, como, p é a propriedade de ser um de a, b ou c, que cria o conjunto, ou declarando a propriedade desejada, como pis a propriedade de ser um número inteiro positivo, que cria o conjunto

A notação x∈A indica que x é um elemento do conjuntoA. Dados os conjuntos A e B, dizemos que A é um subconjunto de B, denotado A⊂B, se do fato de que x∈A segue necessariamente que x∈B. Dizemos que os conjuntosA e B são iguais se A⊂B e B ⊂A.

Dados dois conjuntos A e B, chamamos o conjunto

a união de A e B e o conjunto

a seção de impressão de A e B. Nós chamamos o conjunto

Mais geralmente, se eu for um conjunto e é uma coleção de conjuntos, um para

cada elemento de I, então temos a união

Exemplo 1.1.1. Por exemplo, ifI = <2,3,4,. . .> e nós deixamos

i∈IAi é o conjunto de números primos.

Se A e B são ambos conjuntos, chamamos o conjunto

o produto cartesiano de AeB. IfA = B, nós escrevemos

Z, n∈Z> é o conjunto de todos os pares ordenados de inteiros.

Relações

Dados dois conjuntos A e B, chamamos um subconjunto R de A × B de relação. Dado um relacionamento R, vamos escrever a∼Rb, ou simplesmente a∼b ifR é claro a partir do contexto,

Exemplo 1.1.3. Dizemos que an integermdivides and integernifn = mifor some integeri. Se deixarmos

Considere um conjunto A e uma relação R ⊂A2. Para fins de concisão, nós

diga simplesmente que R é uma relação em A. IfR é tal que a∼Ra para cadaa∈A,

dizemos que R é reflexivo se R é tal que b ∼R a sempre que a ∼R b, dizemos que R é

ifa∼Rb eb∼Rc simétricos implicam em um∼Rc, dizemosRistransitivo.

Chamamos uma relação reflexiva, simétrica e transitiva de relação de equivalência.

Exercício 1.1.1. Mostre que o relacionamentoRonZdefinido porm∼Rnifmdivides

n é reflexivo e transitivo, mas não simétrico.

Exercício 1.1.2. Mostre que a relação R em Z definida por m∼Rnifm − nis

mesmo é uma relação de equivalência.

Dada uma relação de equivalência R em um conjuntoA e um elementox∈A, chamamos

Exercício 1.1.3. Dada uma relação de equivalência R em um conjunto A, mostre que

Como consequência do exercício anterior, as classes de equivalência de uma relação de equivalência em um conjunto A constituem a separação de A (isto é, Amay pode ser escrita como a união disjunta das classes de equivalência).

Exercício 1.1.4. Encontre as classes de equivalência para a relação de equivalência no Exercício 1.1.2.

Funções

Se A e B são conjuntos, chamamos uma relação R⊂A × B de função com domínio A se para cada a∈A existe um, e apenas um, b ∈B tal que (a, b) ∈R. Normalmente indicamos tal relação com a notação f: A → B, e escrevemos f (a) = b para indicar que (a, b) ∈ R. Chamamos o conjunto de todo b ∈ B tal que f (a) = b para somea∈A gama de f. Com essa notação, frequentemente nos referimos a R como o gráfico desligado.

Dizemosf: A → Bisone-a-um se para todo o intervalo existe uma única∈Como quef (a) = b. Dizemos que f isontoif para todo b∈Bexiste pelo menos umComo quef (a) = b. Por exemplo, a função f:Z+

definido porf (z) = z2é um para um, mas não para, enquanto a funçãof :

Z → Z definido por f (z) = z + 1 é um-para-um e para.

Dadas duas funções, g: A → B ef: B → C, definimos a composição, denotada por ◦g: A → C, como a função definida por f◦g (a) = f (g (a)).

Se f: A → B é tanto um para um quanto on, então podemos definir uma função f − 1 : B UMAexigindo f−1(b) = umase e apenas se f(a) =b. Observe que este

Dada qualquer coleção de conjuntos não vazios,, α∈I, assumimos a existência

α∈IAα, com a propriedade queφ (α) ∈Aα. Nós

chame essa função de função de escolha. A suposição de que as funções de escolha sempre existem é conhecida como Axioma da Escolha.

Números racionais

Seja P = <(p, q): p, q ∈Z, q 6 = 0>. Definimos uma relação de equivalência em P dizendo (p, q) ∼ (s, t) ifpt = qs.

Exercício 1.3.1. Mostre que a relação conforme definida é de fato uma relação de equivalência.

Vamos denotar a classe de equivalência de (p, q) ∈P byp / q, ou pq. Chamamos o conjunto de todas as classes de equivalência de números Racionais, que denotamos porQ. Ifp∈Z, vamos denotar a classe de equivalência de (p, 1) byp, ou seja, vamos

Desta forma, podemos pensar emZcomo um subconjunto deQ.

Propriedades do campo

Queremos definir operações de adição e multiplicação em elementos de Q. Começamos definindo operações nos elementos de P. Nomeadamente, dado (p, q) ∈P e (s, t) ∈P, defina

Agora suponha (p, q) ∼ (a, b) e (s, t) ∼ (c, d). Segue-se que (p, q) ⊕ (s, t) ∼ (a, b) ⊕ (c, d), ou seja, (pt + sq, qt) ∼ (ad + cb, bd), uma vez que

(pt + sq) bd = pbtd + sdqb = qatd + tcqb = (ad + cb) qt. (1.3.4)

Além disso, (p, q) ⊗ (s, t) ∼ (a, b) ⊗ (c, d), ou seja, (ps, qt) ∼ (ac, bd), uma vez que

Isso mostra que a classe de equivalência de uma soma ou produto depende apenas das classes de equivalência dos elementos que estão sendo somados ou multiplicados. Assim, podemos definir adição e multiplicação emQde

e os resultados não dependerão de quais representantes escolhermos para cada classe de equivalência. Claro, a multiplicação é frequentemente denotada usando justaposição, isto é,

e a multiplicação repetida pode ser denotada por exponenciação, isto é, um, a∈Qandn∈Z +, representa o produto de um mesmo tempo.

Observe que se (p, q) ∈P, então (−p, q) ∼ (p, −q). Portanto, se a = pq ∈Q, então vamos

Para anya, b∈Q, escreveremosea − b para denotar a + (−b). Ifa = pq ∈Qwithp6 = 0, então vamos

Agora é fácil mostrar que

Juntas, essas declarações implicam queQé um campo.

Ordem e propriedades métricas

Dizemos que um número racional é positivo se houver p, q∈Z + tal quea = pq.

Denotamos o conjunto de todos os elementos positivos deQdeQ+.

Dado a, b∈Q, dizemos que é menor que b, ou, equivalentemente, bis maior que a, denotado por a & lt bor b & gt a, se b − a for positivo. Em particular, a & gt 0 se e somente se a for positivo. Se a & lt 0, dizemos que a é negativo. Escrevemos a ≤b, ou, equivalentemente, b≥a, se eithera & lt b ora = b.

Exercício 1.3.2. Mostre que para qualquer a∈ Q, um e apenas um dos seguintes deve ser válido: (a) a & lt0, (b) a = 0, (c) a & gt0.

Exercício 1.3.3. Mostre que ifa, b∈Q +, thena + b∈Q +.

Exercício 1.3.4. Suponha que a, b, c∈Q. Mostre cada um dos seguintes: a. Um, e apenas um, dos seguintes deve conter:

Exercício 1.3.5. Mostre que ifa, b∈Qwitha & gt0 andb & lt0, thenab & lt0.

Exercício 1.3.6. Mostre que ifa, b, c∈Qwitha & lt b, então ac & lt bcifc & gt0 e ac & gt bcifc & lt0.

Exercício 1.3.7. Mostre que ifa, b∈Qwitha & lt b, então

Como consequência do Exercício 1.3.4, dizemosQé um campo ordenado. Para anya∈Q, nós chamamos

Exercício 1.3.8. Mostre que para anya∈Q, - | a | ≤a≤ | a |.

Proposição 1.3.1. Para anya, b∈Q, | a + b | ≤ | a | + | b |.

Ambos os termos à direita não são negativos pelo Exercício 1.3.8. Portanto, a soma é não negativa e a proposição segue. Ifa + b & lt0, então

Novamente, ambos os termos à direita são não negativos pelo Exercício 1.3.8. Portanto, a soma é não negativa e o teorema segue. Q.E.D.

Agora é fácil mostrar que o valor absoluto satisfaz

1. | a − b | ≥0 para alla, b∈Q, com | a − b | = 0 se e somente ifa = b,

Observe que a última afirmação, conhecida como desigualdade triangular, segue-se da escrita

e aplicando a proposição anterior. Essas propriedades mostram que a função

é uma métrica, e chamaremos | a − b | thedistance from atob. Suponha que, b ∈Q+ com a & lt b e deixarp, q, r, s

Se escolhermos n grande o suficiente para que nps − rq & gt 0, segue-se que na − b & gt 0, ou seja, na & gt b. Dizemos que o campo ordenado Qisarquimediano. Observe que também podemos escolher grande o suficiente para garantir que b

Limites superior e inferior

Definição 1.3.1. LetA⊂Q. Ses∈Q for tal que ≥a para cadaa∈A, então chamamos um limite superior paraA. Se s é um limite superior para A com a propriedade de que s≤t quando reverso é um limite superior para A, então chamamos sthe supremo, ou limite mínimo superior, de A, denotados = supA. Da mesma forma, se r∈Q é tal que r≤a para cadaa∈A, então chamamos o limite de chamada para A. Se for um limite inferior para A com a propriedade que é ≥ t quando reverso é um limite inferior para A, então chamamos o mínimo, ou o maior limite inferior, de A, denotado r = infA.

Exercício 1.3.9. Mostre que o supremo de um setA⊂Q, se existir, é único e, portanto, justifique o uso do artigo definido na definição anterior.

Um conjunto que não tem um limite superior não terá, a fortiori, um suprema. Além disso, mesmo os conjuntos que têm limites superiores não precisam ter uma supresuprema.

Exemplo 1.3.1. Q não tem um limite superior.

Exemplo 1.3.2. Considere o conjunto

Q + com 2 & gt2, então é um limite superior para A. Por exemplo, 4 é um limite superior para A.

Suponha 2 & lt2 e deixe = 2 − s2. Pela propriedade arquimediana de Q, podemos escolher∈Z + de modo que

2s + 1 n & lt, do qual segue-se que

n, isso contradiz a suposição

Se deixarmos = s2−2, então podemos escolher∈Z + para que

Thuss−n1 é um limite superior para Aands − 1n & lt s, contradizendo a suposição de que s = supA.

Portanto, devemos ter 2= 2. No entanto, isso é impossível à luz do

seguinte proposição. Portanto, devemos concluir que A não tem um supremo.

Proposição 1.3.2. Não existe um número racional com a propriedade de que s2= 2.

Prova. Suponha que exista∈Qisso é 2= 2. Escolhaa, b

Z + de modo que a andb são relativamente primos (ou seja, eles não têm nenhum fator diferente de 1 em comum) ands = a

então a2 = 2b2. Thusa2 e hencea são um número inteiro par. Portanto, existe c∈Z + tal quea = 2c. Por isso

do que se segue que b2 = 2c, e então b também é um número inteiro par. Mas isso contradiz a suposição de que aandb são relativamente primos. Q.E.D.

Exercício 1.3.10. Mostre que não existe um número racional com a propriedade de que s2 = 3.

Exercício 1.3.11. Mostre que não existe um número racional com a propriedade de que s2= 6.

1. Mostre que ifa∈Aandb & lt a, thenb∈A.

Seqüências

Definição 1.3.2. Suponha que Z, I =e A é um conjunto. Chamamos uma funçãoϕ: I → Aasequence com valores emA.

Freqüentemente, definiremos uma sequênciaϕ especificando seus valores com notação como, por exemplo, <ϕ(i)>eu, ou <ϕ(i)>∞i = n. Assim, por exemplo, ∞i = 1

Z definido porϕ (i) = i2. Além disso, é comum denotar os valores de uma sequência usando a notação subscrita. Assim, ifai = ϕ (i),

eu ∈ eu, entãoi∈I denota a sequência ϕ. Por exemplo, podemos definir o

sequência do exemplo anterior escrevendoai = i2, i = 1,2,3,. . ..

Definição 1.3.3. Suponhai∈I é uma sequência com valores em Q. Nós dizemos isso i∈I converge, e tem limite L, L ∈ Q, se para cada ∈ Q +, existe N ∈Zde tal modo que

Se a sequênciase eu convergir para L, nós escrevemos

1 i = 0, uma vez que, para qualquer número racional & gt0,

para anyi & gt N, onde N é qualquer número inteiro maior que 1.

Definição 1.3.4. Suponha i∈I é uma sequência com valores em Q. Chamamos i∈I uma sequência de Cauchy se para cada∈Q +, existe N ∈Z tal que

| ai − ak | & lt sempre que bothi & gt N andk & gt N. (1.3.22)

Proposição 1.3.3. Seeu converto, então i∈I é uma sequência de Cauchy.

para alli & gt N. Então, para anyi, k & gt N, temos

2 =. (1.3.24) Portantoi∈I é uma sequência de Cauchy. Q.E.D.

e considere a sequência construída da seguinte forma: Comece definindo a1 = 1,

b1 = 2 e x1 = 32. Iff (a1) f (x1) & lt0, definir

2, a2 ​​= a1 e b2 = x1 caso contrário, defina

a2 = x1 eb2 = b1. Em geral, dados an, xn e bn, iff (an) f (xn) & lt0, defina

2, an + 1 = an e bn + 1 = xn caso contrário, defina

an + 1 = xn e bn + 1 = bn. Observe que para qualquer número inteiro positivo N, f (aN) & lt0,

para todo i, k & gt N. Portanto, dado qualquer ∈Q+, se escolhermos um inteiroN de tal modo que

para todos i, k & gt N, mostrando que ∞i = 1 é uma sequência de Cauchy. Agora suponha

∞i = 1 converge para∈Q. Observe que devemos ter

Portanto, bN & lt t, o que implica que f (bN) & lt 0, contradizendo a construção

do ∞i = 1. Portanto, devemos ter f (s) & gt0. Mas se f (s) & gt0, então existe

implicando thatf (aN) & gt0, contradizendo a construção de∞i = 1. Daí nós

deve terf (s) = 0, o que não é possível uma vez que s∈Q. Portanto, devemos concluir que∞i = 1 não converge.

Numeros reais

Seja C o conjunto de todas as sequências de números racionais de Cauchy. Definimos uma relação em C como segue: Se eu e eu j∈J são sequências de Cauchy em Q, entãoeu j∈J, que escreveremos de forma mais simples asai∼bi, se para cada

número racional & gt0, existe um inteiro N tal que

sempre que i & gt N. Esta relação é claramente reflexiva e simétrica. Para mostrar que também é transitivo e, portanto, uma relação de equivalência, suponha que

bi ∼ci. Dado∈Q +, escolha N para que

para alli & gt M. LetL ser o maior deN eM. Então, para alli & gt L,

Definição 1.4.1. Usando a relação de equivalência que acabamos de definir, chamamos o conjunto de classes de equivalência dos números reais, denotado por R.

Observe que se a ∈ Q, podemos identificar a com a classe de equivalência da sequência ∞i = 1 onde bi = a, i = 1,2,3,. . . e, portanto, considere Q como um subconjunto deR.

Exercício 1.4.1. Suponhaeu ei∈J são sequências em Q com lim

Propriedades do campo

Suponha eu e eu j∈J são sequências de Cauchy de números racionais.

Seja K = I∩J e defina uma nova sequência k∈K definindo sk = ak + bk.

Dado qualquer racional & gt0, escolha inteiros N e M tais que | ai − aj | & lt

para alli, j & gt M. Se L for o maior de N e M, então, para alli, j & gt L, | si − sj | = | (ai − aj) + (bi − bj) | ≤ | ai − aj | + | bi − bj | & lt

2 =, (1.4.7) mostrando que k∈K também é uma sequência de Cauchy. Além disso, suponha que ai ∼ci

andbi∼di. Dado∈Q +, escolha N para que | ai − ci | & lt

para alli & gt N e escolha M para que

para alli & gt M. SeL for o maior de N e M, então, para alli & gt L, | (ai + bi) - (ci + di) | ≤ | ai − ci | + | bi − di | & lt

2 =. (1.4.10) Logo, ai + bi∼ci + di. Assim, ifu, v∈R, com ubeing a classe de equivalência de i∈I ev sendo a classe de equivalência dej∈J, então podemos

inequivocamente defineu + v como a classe de equivalência dei∈K, onde K = I∩J.

SuponhaiIandj∈Jare ambas sequências de números racionais de Cauchy.

Seja K = I∩J e defina uma nova sequência k∈K definindo pk = akbk. Deixar

B & gt0 seja um limite superior para o conjunto <| ai |: i∈I> ∪ <| bj |: j∈J>. Dado & gt0,

escolha inteiros N e M de modo que | ai − aj | & lt

para alli, j & gt M. Se L for o maior de N e M, então, para alli, j & gt L, | pi − pj | = | aibi − ajbj |

Por issok∈K é uma sequência de Cauchy.

Agora suponha i∈H e i∈G são sequências de Cauchy comhai ∼ci e

bi ∼di. Seja B & gt0 um limite superior para o conjunto <| bj |: j ∈J> ∪ <| ci |: i∈H>.

Dado & gt0, escolha inteiros N e M de modo que

para alli & gt M. IfL é o maior de N e M, então, para alli & gt L,

Henceaibi∼cidi. Assim, ifu, v ∈R, sem incluir a classe de equivalência deeu

e sendo a classe de equivalência dej∈J, então podemos definir inequivocamente

uvto ser a classe de equivalência de i∈K, onde K = I∩J.

Se vocêR, definimos − u = (−1) u. Observe que sei∈I é uma sequência de Cauchy

de números racionais na classe de equivalência de u, então <−ai> i∈I é um Cauchy

seqüência na classe de equivalência de − u.

Diremos que uma sequência i∈Eu estou limitado a 0 se houver

um número racional δ & gt0 e um inteiro N tal que | ai | & gt δ para todo i & gt N.

deve ficar claro que qualquer sequência que converge para 0 não é limitada a partir de 0. Além disso, como conseqüência do próximo exercício, qualquer sequência de Cauchy que não converge para 0 deve ser limitada longe de 0.

Exercício 1.4.2. Suponhai∈I é uma sequência de Cauchy que não é limitada

longe de 0. Mostre que a sequência converge e lim

Exercício 1.4.3. Suponhai∈I é uma sequência de Cauchy que é delimitada

de 0 andai∼bi. Mostra issoj∈J também está limitado a 0.

Agora suponha i∈I é uma sequência de Cauchy que está limitada a 0

e escolhaδ & gt0 e N de modo que | ai | & gt δpara todo i & gt N. Defina uma nova sequência

para todo i, j & gt M. Seja L o maior de N e M. Então, para todo i, j & gt L, temos

Por isso ∞i = N + 1 é uma sequência de Cauchy.

Agora suponhaj∈J é uma sequência de Cauchy comhai ∼bi. Por Exercício 1.4.3

nós sabemos issoj∈J também é limitado a partir de 0, então escolhaγ & gt0 e Ksuch

que | bj | & gt γ para allj & gt K. Dado & gt0, escolha P para que

para todo i & gt P. Seja S o maior de N, K e P. Então, para todo i, j & gt S, temos 1 ai -

bi. Assim, ifu6 = 0 é um número real que é a classe de equivalência de

i∈I (necessariamente limitado a 0), então podemos definir

ser a classe de equivalência de

onde N foi escolhido de modo que | ai | & gt δ para alli & gt N e someδ & gt0.

Ordem e propriedades métricas

Definição 1.4.2. Dado vocêR, dizemos que é positivo, escritou & gt 0, ifu é a classe de equivalência de uma sequência de Cauchy eu para o qual existe um

número racional & gt 0 e um inteiro N tal que ai & gt para cada i & gt N. A

número realu∈R é dito benegativo se −u & gt0. Nós deixamosR+ denotar o conjunto

de todos os números reais positivos.

Exercício 1.4.4. Mostre que ifu∈R, então um e apenas um dos seguintes é verdadeiro: (a) u & gt0, (b) u & lt0 ou (c) u = 0.

Exercício 1.4.5. Mostre que ifa, b∈R +, thena + b∈R +.

Definição 1.4.3. Dados os números reais uev, dizemos que u é maior que v, escritou & gt v, ou, equivalentemente, vislessthanu, escrito, v & lt u, ifu − v & gt0. Escrevemos u≥v, ou, equivalentemente, v ≤u, para indicar que é maior ou igual a v. Dizemos que não é negativo se ≥0.

Exercício 1.4.6. Mostre que R é um campo ordenado, ou seja, verifique o seguinte:

uma. Para anya, b∈R, um e apenas um dos seguintes deve conter: (i) a & lt b, (ii) a = b, (iii) a & gt b.

b. Ifa, b, c∈Rcom & lt bandb & lt c, então & lt c.

c. Ifa, b, c∈Rwitha & lt b, thena + c & lt b + c.

d. Ifa, b∈Rcom & gt0 andb & gt0, thenab & gt0.

Exercício 1.4.8. Mostre que se a, b, c∈Rcom & lt b, então ac & lt bcifc & gt0 e ac & gt bcifc & lt0.

Exercício 1.4.9. Mostre que se a, b∈Rwitha & lt b, então para qualquer número realλ com 0 & lt λ & lt1, a & lt λa + (1 − λ) b & lt b.

Definição 1.4.4. Para anya∈R, nós chamamos

Exercício 1.4.10. Mostre que para anya∈R, - | a | ≤a≤ | a |.

Proposição 1.4.1. Para anya, b∈R, | a + b | ≤ | a | + | b |.

Ambos os termos à direita não são negativos pelo Exercício 1.4.10. Portanto, a soma é não negativa e a proposição segue. Ifa + b & lt0, então

Novamente, ambos os termos à direita são não negativos pelo Exercício 1.4.10. Portanto, a soma é não negativa e a proposição segue. Q.E.D.

Agora é fácil mostrar que a função de valor absoluto satisfaz

1. | a − b | ≥0 para alla, b∈R, com | a − b | = 0 se e somente se a = b,

Essas propriedades mostram que a função

é uma métrica, e chamaremos | a − b | thedistance from ato b.

Prova. Deixar Eu sou uma sequência de Cauchy na classe de equivalência de a. Desde

a & gt0, existe um racional & gt 0 e um inteiro N tal que & gt para todos

i & gt N. Let r = 2. Então ui − r & gt 2 para cada i & gt N, soa − r & gt0, ou seja,

Agora escolha um inteiro M para que | ui −uj | & lt 1 para todo i, j & gt M. Let

para alli & gt M. Hences & gt a. Q.E.D.

Proposição 1.4.3. Ris um campo ordenado arquimediano.

Prova. Dados os números reais aeb com 0 & lt a & lt b, sejam r e s números racionais para os quais 0 & lt r & lt a & lt b & lt s. Uma vez que Q é um campo arquimediano, existe uma integração como essa quenr & gt s. Por isso

Proposição 1.4.4. Dado a, b ∈R com a & lt b, existe ∈Q de modo que a & lt r & lt b.

Prova. Deixareu sou uma sequência de Cauchy na classe de equivalência de e deixe

j∈J estar na classe de equivalência de b. Uma vez que b − a & gt0, existe um racional

& gt 0 e um inteiroN tal que vi − ui & gt para todo i & gt N. Agora escolha um

integerM de modo que | ui − uj | & lt 4 para alli, j & gt M. Letr = uM + 1 + 2. Então

Limites superior e inferior

Definição 1.4.5. LetA⊂R. Ses∈R é tal que ≥a para cadaa∈A, então chamamos um limite superior paraA. Se s é um limite superior para A com a propriedade de que s≤t quando reverso é um limite superior para A, então chamamos o supremum, ou limite mínimo superior, de A, denotado por s = supA. Similarmente, ifr∈R é tal que r≤a para cadaa∈A, então chamamos um limite inferior paraA. Se for um limite inferior para A com a propriedade que ≥t quando reverso é um limite inferior para A, então chamamos rtimo, orgreatest limite inferior, ofA, denotado r = infA.

Teorema 1.4.5. Suponha A ⊂R, A 6 = ∅, tem um limite superior. Então supA existe.

Prova. Leta∈Ae letbbe um limite superior paraA. Definir sequências∞i = 1

e∞i = 1 da seguinte forma: Leta1 = aandb1 = b. Fori & gt1, vamos

Ifc é um limite superior para A, letai = ai − 1 e letbi = c caso contrário, letai = c

fori = 1,2,3,. . .. Agora, fori = 1,2,3,. . ., letri seja um número racional tal que

ai & lt ri & lt bi. Dado qualquer & gt0, podemos escolher N para que

Então, sempre que i & gt N andj & gt N,

Por isso ∞i = 1 é uma sequência de Cauchy. Seja s ∈ R a classe de equivalência de

∞i = 1. Observe que, fori = 1,2,3,. . ., ai≤s≤bi.

Agora, ifs não é um limite superior para A, então existe a∈A com & gt s. Letδ = a − sand escolher um inteiro N tal que

Mas, por construção, bN + 1 é um limite superior para A. Portanto, deve ser superior

Agora, suponha que seja outro limite superior para A andt & lt s. Letδ = s − t e escolha um inteiro N tal que

o que implica que aN + 1 é um limite superior para A. Mas, por construção, aN + 1

não é um limite superior para A. Portanto, s deve ser o menor limite superior para A,

Capítulo 2


29 Respostas 29

Quando eu estava aprendendo a introdução à análise real, o texto que achei mais útil foi a Análise de compreensão de Stephen Abbott. É escrito de forma muito clara e concisa, o que lhe dá a vantagem de ser extremamente legível, tudo isso sem perder as formalidades de análise que são o foco neste nível. Embora não seja tão completo quanto os Princípios de análise de Rudin ou os Elementos de análise real de Bartle, é um ótimo texto para uma primeira ou segunda passagem na compreensão real da análise de variável real única.

Se você está procurando um livro para estudar sozinho, provavelmente irá folhear este. Nesse ponto, tentar um tratamento mais completo no livro de Rudin seria definitivamente acessível (e em qualquer caso, Rudin é uma ótima referência para se ter por perto).

Gosto dos volumes I e II das análises de Terrence Tao Por sua maneira simples de explicar as coisas, este livro deve ser lido por você.

Você pode ver aqui http://terrytao.wordpress.com/books/ todos os seus livros junto com os dois, que mencionei acima.

Para auto-estudo, sou um grande fã do livro de Strichartz "The way of analysis". É muito menos austero do que a maioria dos livros, embora algumas pessoas pensem que é um pouco discursivo demais. Eu tendo a recomendá-lo para jovens em nossa universidade que acham o "Princípio da análise matemática" de Rudin (o padrão ouro para cursos de análise de graduação) muito conciso, e todos parecem gostar muito dele.

EDIT: Olhando para sua pergunta novamente, você pode precisar de algo mais elementar. Uma boa escolha pode ser o livro "Cálculo" de Spivak, que apesar do título realmente se situa na fronteira entre cálculo e análise.

Análise Matemática I e II de Vladimir A Zorich, Universitext - Springer. Possui bom número de exemplos e as explicações são lúcidas.

Bryant [1] seria minha recomendação se você acabou de sair da sequência de cálculo / ODE e está estudando por conta própria. Se sua experiência for um pouco mais forte, Bressoud [2] pode ser melhor. Finalmente, você deve dar uma olhada no Abbott [3] independentemente, pois acho que é o livro introdutório de análise real mais bem escrito que apareceu pelo menos nas últimas duas décadas.

[1] Victor Bryant, "Yet Another Introduction to Analysis", Cambridge University Press, 1990.

[2] David M. Bressoud, "A Radical Approach to Real Analysis", 2ª edição, Mathematical Association of America, 2006.

[3] Stephen Abbott, "Understanding Analysis", Springer-Verlag, 2001.

Você pode querer dar uma olhada em Um texto problemático em cálculo avançado, de John Erdman. É gratuito, bem escrito e contém soluções para muitos dos exercícios. Esses atributos, em minha opinião, o tornam particularmente adequado para o auto-estudo. Uma das coisas que eu particularmente gosto no texto é o uso do autor de conceitos o-O para definir diferenciabilidade. Ele simplifica algumas provas dramaticamente (por exemplo, a Regra da Cadeia) e é consistente em espaços unidimensionais e n-dimensionais.

"Principles of Mathematical Analysis" 3ª edição (1974) de Walter Rudin é muitas vezes a primeira escolha. Este livro é adorável e elegante, mas se você não teve alguns cursos estruturados Def-Thm-Proof antes, ler o livro de Rudin pode ser difícil.

O cálculo de Thomas também parece se adequar bem às suas necessidades, já que eu mesmo usei esse livro e o achei mais atraente do que o de Rudin

Eu recomendo Mathematical Analysis de S. C. Malik, Savita Arora para estudar análise real. Um livro muito detalhado e amigável ao aluno!

O livro de Bartle é mais sistemático, com argumentos muito claros em todos os teoremas, bons exemplos - sempre para continuar estudando a análise.

Recentemente, descobri 'Como pensar sobre a análise' de Lara Alcock. Não é realmente um livro didático, é mais um guia de estudo sobre como fazer a análise da aprendizagem, mas acredito que também cobre as ideias-chave.

Eu realmente gosto de Idéias Fundamentais de Análise de Reed. É uma introdução amigável e clara à análise.

Se você fez um bom curso de Cálculo, eu recomendo fortemente o Cálculo Avançado da G.B. Folland. It is well known that Folland's an amazing expositor this book serves well to introduce you to the crucial transition from Calculus to Real analysis. This book should also prepare you sufficiently in terms of maturity for you to then be able to appreciate Baby Rudin.

1) Introduction to Real Analysis by mapa-

The contents are systematically structured with enough attention given to each topic. Some of the topics included in the book are Set Theory, Real numbers, Sets in R, Real Functions, Sequence, Series, Limits, Continuity and Differentiation. The book also contains solved exercises to help the readers understand the basic elements of the topics discussed in the contents

2) Elements of Real Analysis by denlinger

Two best books for self-study. Rudin and bartle are good if you have an instructor or in college but for self understanding these are best.

I read this question a month ago and I decided to go for three of the most suggested books: Abbott "Understanding Analysis", Rudin "Principles of Mathematical Analysis", and Kolmogorov and Fomin "Introductory Real Analysis".

The one I liked most, and I ended up reading entirely, is Rudin's one: I am a PhD student in engineering and I think the level of the book was perfect to me. Two critiques I have are: there is a general lack of comments (a bit too much "Theorem, Proof") and there are no images. However, I found the book very clear and rigorous, especially the first 7 chapters. I definitely suggest it.

I really liked Abbott's approach: he really makes you understand the logic of things, and you never get lost in the proofs. On the other hand the one thing I didn't quite like was the excessive use of exercises: every two pages some kind of proof is "left to the reader." Sometimes also people that are not undergrads are going to read the book! Moreover this book treats only real numbers, and sometimes you lose the "big picture."

I stopped Kolmogorov and Fomin's book almost immediately. It was too much of an encyclopedia for me. But from the look I had, I bet it would be a great read if one has the time!

I was recommended Introduction to Analysis by Mattuck. It was a bit difficult to use as it does not follow the progression other books (like Rudin or Apostol) follow. Maybe others can share more about their experience with this book, if they have used it.

Might not be a textbook but a very good supplement to a textbook would be the following book Yet Another Introduction to Analysis by Victor Bryant.

As a prerequisite the book assumes knowledge of basic calculus and no more.

This book may be a better starting point for some people.

For ones who read German, I strongly recommend Harro Heuser's 'Lehrbuch der Analysis Teil I'. There is also 'Teil II'. I tried couple of other German text books, but gave up continuing due to many errors or lack of completeness, etc. Then a person recommended me this book.

This book is self-contained and proofs are quite error-free as well as well-written for novices, though personally there were couple of proofs which were difficult to grasp, e.g. Cantor's Uncountability Proof and something else. The author tried to give proofs without the need of studying other subjects of mathematics, e.g. explaining compactness without referring to topology, which sometimes is a hard job. The author revised this book many times (lastest version is 17th edition). I feel sorry that the book has not been updated since the author has passed away in 2011. I recommend reading this book from the top to the bottom, even you have studied with another book before because the author builds up earlier proofs for later ones. I once tried to read from the middle, but gave up and re-started from the top.

The book also has good number of excercises and hints/solutions to selected problems at the end of the book, which I found good for self-learning.

This book assumes no prerequisites, but learnig other subjects parallely is always a good thing with math because it is hard to completely isolate a math subject from others.

There are horde of good books in all fields of mathematic. What you need is something you can learn from, not only the best and most glorious of this books. Books with so much problems and exercises with their hints and solutions are very appetizing. But what you really need is a mature and deep grasping of basics and concepts. After all thats all what you need to tackle this exercises with even a surprising ease and fun.

Analysis is among the most reachable field in math after high school, and a fare knowledge is required in most of the other fields for beginners.

I do understand the emphasize on solutions. I do because we all deal with self study, at least sometimes, and solutions and hints are crucial to make an evaluation of your own work. If you are really serious you will soon find out that what you really need are hints not solutions. Needless to say hints or solutions are supposed to be a last resort , when there seems to be no way out. Even then a hint is better taken only partially. And by the way : when tackling problems,It is when there seems be NO WAY OUT that the actual LEARNING process takes place.

I encourage you to take a deep look into The Trillia Groupe funded,and fee, Zakon's books: Mathematical Analysis I which followed by another volume, but to get some basics ,Basic Concepts of Mathematics might be a good place to start. In the third mentioned book , this was mentioned:

Several years’ class testing led the author to these conclusions:

1- The earlier such a course is given, the more time is gained in the
follow- up courses, be it algebra, analysis or geometry. The longer students are taught “vague analysis”, the harder it becomes to get
them used to rigorous proofs and formulations and the harder it is
for them to get rid of the misconception that mathematics is just
memorizing and manipulating some formulas.

2- When teaching the course to freshmen, it is advisable to start with Sec- tions 1–7 of Chapter 2, then pass to Chapter 3, leaving Chapter 1 and Sections 8–10 of Chapter 2 for the end. The students should be urged to preread the material to be taught next. (Freshmen must learn to read mathematics by rereading what initially seems “foggy” to them.) The teacher then may confine himself to a brief summary, and devote most of his time to solving as many problems (similar to those assigned ) as possible. This is absolutely necessary.

3-An early and constant use of logical quantifiers (even in the text) is ex- tremely useful. Quantifiers are there to stay in mathematics.

4- Motivations are necessary and good, provided they are brief and do not use terms that are not yet clear to students.

In the second book , This was mentioned :

Several years’ class testing led us to the following conclusions:

1- Volume I can be (and was) taught even to sophomores, though they only gradually learn to read and state rigorous arguments. A sophomore often does not even know how to start a proof. The main stumbling block remains the ε, δ-procedure. As a remedy, we provide most exercises with explicit hints, sometimes with almost complete solutions, leaving only tiny “whys” to be answered. 2- Motivations are good if they are brief and avoid terms not yet known. Diagrams are good if they are simple and appeal to intuition.

3- Flexibility is a must. One must adapt the course to the level of the class. “Starred” sections are best deferred. (Continuity is not affected.) 4-“Colloquial” language fails here. We try to keep the exposition rigorous and increasingly concise, but readable. 5- It is advisable to make the students preread each topic and prepare ques- tions in advance, to be answered in the context of the next lecture. 6- Some topological ideas (such as compactness in terms of open coverings) are hard on the students. Trial and error led us to emphasize the se- quential approach instead (Chapter 4, §6). “Coverings” are treated in Chapter 4, §7 (“starred”). 7- To students unfamiliar with elements of set theory we recommend our Basic Concepts of Mathematics for supplementary reading. (At Windsor, this text was used for a preparatory first-year one-semester course.) The first two chapters and the first ten sections of Chapter 3 of the present text are actually summaries of the corresponding topics of the author’s Basic Concepts of Mathematics, to which we also relegate such topics as the construction of the real number system, etc.

I did not take this points very seriously, until i started reading and working on it. It is hard to find yourself completely stuck somewhere: It seams that all have been packed for a person who is learning on his own. Hints are provided anywhere whenever needed. In many occasions there are questions like ". Why?" which helps in following the text rigorously.

I think Ross' Elementary Analysis: The Theory of Calculus is a good introductory text. It's very simple and well explained, but not quite at the level of Rudin's Principles of Mathematical Analysis (for example, everything is done using sequences in Ross, versus a general topological setting for open and closed sets in Rudin). But, if you master it, you can pick up the necessary ancillaries from Rudin or similar pretty quickly. FWIW, Rudin is the standard text for undergrad real analysis.

Another good option is Hoffman's Analysis in Euclidean Space. This was the book MIT used before Rudin arrived, and is a Dover book (so very cheap). I found its exposition to be comparable in level to Rudin, but easier to understand.

Finally, another book I can recommend is Hoffman's Elementary Classical Analysis. This is similar in level to Rudin, but has a lot more material worked out for you. Theres also a tiny bit on applications, so if you're an engineering/science student whose taking real analysis, it can be a bit helpful.

I think a good first book is 'A First Course in Mathematical Analysis' by David Alexandar Brannan and can suggest it as well as several that have already been mentioned on this page, but this one has the advantage that it was a byproduct of the Open University and is thus totally designed for self-study. Lots of problems placed near the relevant discussion, good margin notes for a beginner in analysis, and solutions to check your work.

If you still don't feel ready for Rudin after that, then I can recommend Alan Sultan's 'A Primer on Real Analysis' (which I'd recommend anyways because it should be better known) which is very nice and has lots of pictures to help development of intuition and lots of problems too with most solutions in the back of the book.

I'd also strongly recommend 'How to Prove It' by Daniel Velleman. You'll be writing proofs in Analysis and this is my favorite book in the proofs writing category. Very suitable to a beginner.

I found Real analysis by Frank Morgan published by AMS a very nice introduction and Methods of Real analysis by Richard Goldberg a next one.

I recommend Courant and John's 'An introduction to Calculus and Analysis', volumes I and II. The authors give a rigorous treatment of their subject while still telling what motivates the ideas. Unlike many modern textbooks, they are not an sequence of definition-lemmas-theorems. These books emphasize ideas over structure. The authors' distinguished careers in applied mathematics ensures that there are plenty of examples and diagrams to illustrate their point.

Volume I focuses on calculus on the real line while volume II teaches functions of several variables. On their way, they teach exterior differential forms, ODE, PDE and elementary complex analysis.

Those with an 'applied' bent of mind, who want to trace the origin of ideas, not lose touch with the sciences that motivated development of mathematics may find these venerable volumes more rewarding than the modern treatments.

I would recommend "Guide to Analysis" by Hart & Towers which is aimed at those making the transition from high school mathematics to university mathematics and university analysis in particular. This seems like the most sensible choice.

However, the classic text to study real analysis would be "Principles of Mathematical Analysis" by Rudin. If you have not studied much mathematics before it may be tough going.

How "dumb" do you want it? I would say, at a university level at least, Steven R. Lay's book "Analysis - With an Introduction to Proof" is dumb vis-a-vis, say, a B student in an undergraduate honors analysis class:

Check the Amazon "first pages" preview to see the level it's at. Even if you don't get some of the stuff in the video I'm about to recommend I'd pair it with Harvey Mudd's YouTube series here, which you may already know about.

"Calculus" by David Patrick from "The Art of Problem Solving" book series is pretty good, and if your last exposure to the topic was in high school this book is actually much better than what's given in public high school and it comes from a problem solving standpoint, which I like because that is what math is used for, ou seja,, solving problems:

6 years prior to my submission, so I guess when I say "you(r)" I mean the hypothetical to-be undergraduate mathematics student. $endgroup$ &ndash user435237 Aug 1 '17 at 1:47

I enjoyed Introduction to Analysis by Maxwell Rosenlicht. I consider it a beautiful and elegant work. Some of the problems are rather difficult but analysis is a difficult subject.

I had the pleasure of taking Differential Topology with him as an undergraduate at Berkeley. I thought he was pretty impressive. Also entertaining, with his "I'm getting all 'balled up'" comment from time to time.

It's sad to see that nobody recommends the one I think is the best book ever written on introductory analysis: An Introduction to Classical Real Analysis by Karl Stromberg. I know. It's subjective.

I would recommend "Understanding Analysis" by Stephen Abbott as well. I shall quote one paragraph that I like most.

In the first chapter, we established the Axiom of Completeness (AoC) to be the assertion that nonempty sets bounded above have least upper bounds. We then used this axiom as the crucial step in the proof of the Nested Interval Property (NIP). In this chapter, AoC was the central step in the Monotone Convergence Theorem (MCT), and NIP was the key to proving the Bolzano–Weierstrass Theorem (BW). Finally, we needed BW in our proof of the Cauchy Criterion (CC) for convergent sequences. The list of implications then looks like
AoC ⇒ NIP (&MCT)⇒ BW ⇒ CC.
But this one-directional list is not the whole story. Recall that in our original discussions about completeness, the fundamental problem was that the rational numbers contained “gaps.” The reason for moving from the rational numbers to the real numbers to do analysis is so that when we encounter a sequence that looks as if it is converging to some number—say √ 2—then we can be assured that there is indeed a number there that we can call the limit. The assertion that “nonempty sets bounded above have least upper bounds” is simply one way to mathematically articulate our insistence that there be no “holes” in our ordered field, but it is not the only way. Instead, we could have taken MCT to be our defining axiom and used it to prove NIP and the existence of least upper bounds. This is the content of Exercise 2.4.4. How about NIP? Could this property serve as a starting point for a proper axiomatic treatment of the real numbers? Almost. In Exercise 2.5.4 we showed that NIP implies AoC, but to prevent the argument from making implicit use of AoC we needed an extra assumption that is equivalent to the Archimedean Property (Theorem 1.4.2). This extra hypothesis is unavoidable. Whereas AoC andMCT canbothbeusedtoprove that N is not a bounded subset of R,there is no way to prove this same fact starting from NIP. The upshot is that NIP is a perfectly reasonable candidate to use as the fundamental axiom of the real numbers provided that we also include the Archimedean Property as a second unproven assumption. In fact, if we assume the Archimedean Property holds, then AoC, NIP, MCT, BW, and CC are equivalent in the sense that once we take any one of them to be true, it is possible to derive the other four. However, because we have an example of an ordered field that is not complete—namely, the set of rational numbers—we know it is impossible to prove any of them using only the field and order properties. Just how we decide which should be the axiom and which then become theorems depends largely on preference and context, and in the end is not especially significant. What is important is that we understand all of these results as belonging to the same family, each asserting the completeness of R in its own particular language. One loose end in this conversation is the curious and somewhat unpredictable relationship of the Archimedean Property to these other results. As we have mentioned, the Archimedean Property follows as a consequence of AoC as well as MCT, but not from NIP. Starting from BW, it is possible to prove MCT and thus also the Archimedean Property. On the other hand, the Cauchy Criterion is like NIP in that it cannot be used on its own to prove the Archimedean Property.1

I haven't started my first term yet, while I decide to self-study analysis. Initially I read Dexter Chua's lecture notes in "Numbers and Sets", then I read Terence Tao's analysis, but I am quite confused that they start from different initial definitions and starting points. "Understanding Analysis" perfectly solved my confusion and it illustrates concepts clearly.


A Primer of Real Functions: Fourth Edition

This is a revised, updated, and significantly augmented edition of a classic Carus Monograph (a bestseller for over 25 years) on the theory of functions of a real variable. Earlier editions of this classic Carus Monograph covered sets, metric spaces, continuous functions, and differentiable functions.

The fourth edition adds sections on measurable sets and functions, the Lebesgue and Stieltjes integrals, and applications. The book retains the informal chatty style of the previous editions, remaining accessible to readers with some mathematical sophistication and a background in calculus. The book is, thus, suitable either for self-study or for supplemental reading in a course on advanced calculus or real analysis. Not intended as a systematic treatise, this book has more the character of a sequence of lectures on a variety of interesting topics connected with real functions. Many of these topics are not commonly encountered in undergraduate textbooks: e.g., the existence of continuous everywhere-oscillating functions (via the Baire category theorem) the universal chord theorem two functions having equal derivatives, yet not differing by a constant and application of Stieltjes integration to the speed of convergence of infinite series.

This book recaptures the sense of wonder that was associated with the subject in its early days. It is a must for mathematics libraries.

Reviews & Endorsements

The fourth edition of this classic introduction to analysis retains the freshness of the first edition as well as its charming conversational style &hellip This is not in any way a traditional textbook. It is more like a series of informal lectures, wordy, chatty, and not the least bit concise. The author's aim, and the book's great strength, is to bring back a sense of wonder to a subject that, in his opinion, had been lost.


A Primer of Real Analytic Functions

It is a pleasure and a privilege to write this new edition of A Primer 0/ Real Ana­ lytic Functions. The theory of real analytic functions is the wellspring of mathe­ matical analysis. It is remarkable that this is the first book on the subject, and we want to keep it up to date and as correct as possible. With these thoughts in mind, we have utilized helpful remarks and criticisms from many readers and have thereby made numerous emendations. We have also added material. There is a now a treatment of the Weierstrass preparation theorem, a new argument to establish Hensel's lemma and Puiseux's theorem, a new treat­ ment of Faa di Bruno's forrnula, a thorough discussion of topologies on spaces of real analytic functions, and a second independent argument for the implicit func­ tion theorem. We trust that these new topics will make the book more complete, and hence a more useful reference. It is a pleasure to thank our editor, Ann Kostant of Birkhäuser Boston, for mak­ ing the publishing process as smooth and trouble-free as possible. We are grateful for useful communications from the readers of our first edition, and we look for­ ward to further constructive feedback.

"This is the second, improved edition of the only existing monograph devoted to real-analytic functions, whose theory is rightly considered in the preface 'the wellspring of mathematical analysis.' Organized in six parts, [with] a very rich bibliography and an index, this book is both a map of the subject and its history. Proceeding from the most elementary to the most advanced aspects, it is useful for both beginners and advanced researchers. Names such as Cauchy-Kowalewsky (Kovalevskaya), Weierstrass, Borel, Hadamard, Puiseux, Pringsheim, Besicovitch, Bernstein, Denjoy-Carleman, Paley-Wiener, Whitney, Gevrey, Lojasiewicz, Grauert and many others are involved either by their results or by their concepts."

"Bringing together results scattered in various journals or books and presenting them in a clear and systematic manner, the book is of interest first of all for analysts, but also for applied mathematicians and researchers in real algebraic geometry."


I am taking Real Analysis with out background in proofs.

Do any of you recommend a small crash course? My courses start September 13th, and they are not letting me take the pre-requisite for Real analysis.

So any free (or cheap) textbooks? online courses? khanacademy?

You might like Rosenlicht's book, Introduction to Analysis. Google Books will show you the first 2 chapters for free. It's a Dover book, so it's good and also cheap. I believe that it is often used as the text for the first "serious" real analysis course.

Thank you for that link. I'm in the exact same boat as the OP and will be reading those first two chapters for sure

I took a course a few semesters ago that used a book called "An Introduction to Abstract Math" that provides an introduction to the very basics of proof writing. Depending on the level that your analysis book is written at it might not be a bad idea to peruse something like "Understanding Analysis."

Can you audit the prereq course? And by "audit" I mean just show up, if there's no formal way of auditing it.

Try A Primer of Real Analysis by Dan Sloughter? It is a free book, available online. A short description from his page:

This is a short introduction to the fundamentals of real analysis. Although the prerequisites are few, I have written the text assuming the reader has the level of mathematical maturity of one who has completed the standard sequence of calculus courses, has had some exposure to the ideas of mathematical proof (including induction), and has an acquaintance with such basic ideas as equivalence relations and the elementary algebraic properties of the integers.

Edit: yes, I realize this text suggests familiarity with proofs, but it really is very basic. Also, if you learn the ideas first, you can spend more time working out the proofs once you take the class.

Do you know what textbook you'll be using?

O best prerequisite for first course in analysis is good calculus background I think, despite what courses your school might offer. It will help to have familiarity with basic techniques of proof: induction, contrapostive, argument by contradiction, etc and the language of sets. For this, you could look at many books the Primer of real analysis that dpm1661 suggest looks good, also Nuts and bolts of proofs is very cool.

Try to abandon the online course/khan academy mentality preparing for real analysis. What I mean is this: video lectures and online explanations are pleasing and make you feel like you are learning a lot, but you are not developing problem solving /proof writing skills. You really need to spend most of your time solving problems/writing proofs yourself to develop these skills.


Assista o vídeo: Music And Measure Theory (Novembro 2021).