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4.2: Frações Equivalentes


Nesta seção, lidamos com frações, números ou expressões da forma a / b.

Definição: Frações

Uma série do formulário

[ dfrac {a} {b} nonumber ]

onde (a ) e (b ) são números é chamado de fração. O número (a ) é chamado de numerador da fração, enquanto o número (b ) é chamado de denominador da fração.

Perto do final desta seção, veremos que o numerador e o denominador de uma fração também podem ser expressões algébricas, mas no momento restringimos nossa atenção às frações cujos numeradores e denominadores são inteiros. Começamos nosso estudo de frações com a definição de frações equivalentes.

Frações equivalentes

Duas frações são equivalente se eles representarem o mesmo valor numérico.

Mas como podemos saber se duas frações representam o mesmo número? Bem, uma técnica envolve algumas visualizações simples. Considere a imagem mostrada na Figura 4.1, onde a região sombreada representa 1/3 da área total da figura (uma das três regiões iguais está sombreada).

Na Figura 4.2, sombreamos 2/6 de toda a região (duas das seis regiões iguais estão sombreadas).

Na Figura 4.3, sombreamos 4/12 de toda a região (quatro das doze regiões iguais estão sombreadas).

Vamos pegar os diagramas da Figura 4.1, Figura 4.2 e Figura 4.3 e empilhá-los um sobre o outro, como mostrado na Figura 4.4.

A Figura 4.4 fornece evidências visuais sólidas de que as seguintes frações são equivalentes.

[ dfrac {1} {3} = dfrac {2} {6} = dfrac {4} {12} não numérico ]

Observações Chave

1. Se começarmos com a fração 1/3 e multiplicarmos o numerador e o denominador por 2, obteremos o seguinte resultado.

[ begin {alinhados} dfrac {1} {3} = dfrac {1 cdot 2} {3 cdot 2} ~ & textcolor {red} { text {Multiplique o numerador e o denominador por 2.} } = dfrac {2} {6} ~ & textcolor {red} { text {Simplifique o numerador e o denominador.}} end {alinhado} nonumber ]

Isso é exatamente a mesma coisa que acontece na Figura 4.1 para 4.2, onde duplicamos o número de caixas disponíveis (passando de 3 disponíveis para 6 disponíveis) e dobramos o número de caixas sombreadas (passando de 1 sombreado para 2 sombreadas).

2. Se começarmos com a fração 1/3 e multiplicarmos o numerador e o denominador por 4, obteremos o seguinte resultado.

[ begin {alinhados} = dfrac {1} {3} = dfrac {1 cdot 4} {3 cdot 4} ~ & textcolor {red} { text {Multiplique o numerador e o denominador por 4.} } = dfrac {4} {12} ~ & textcolor {red} { text {Simplifique o numerador e o denominador.}} end {alinhado} nonumber ]

Isso é exatamente a mesma coisa que acontece indo da Figura 4.1 para 4.3, onde multiplicamos o número de caixas disponíveis por 4 (indo de 3 disponíveis para 12 disponíveis) e multiplicamos o número de caixas sombreadas por 4 (passando de 1 sombreado para 4 sombreado).

A discussão acima motiva o seguinte resultado fundamental.

Criação de frações equivalentes

Se você começar com uma fração e, em seguida, multiplicar seu numerador e denominador pelo mesmo número, a fração resultante é equivalente (tem o mesmo valor numérico) à fração original. Em símbolos,

[ dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot x} {b cdot x} nonumber ]

Discutindo ao contrário

Reverter o argumento acima também é verdadeiro.

1. Se começarmos com a fração 2/6, dividirmos o numerador e o denominador por 2, obteremos o seguinte resultado.

[ begin {alinhados} dfrac {2} {6} = dfrac {2 div 2} {6 div 2} ~ & textcolor {red} { text {Divida o numerador e o denominador por 2.}} = dfrac {1} {3} ~ & textcolor {red} { text {Simplifique o numerador e o denominador.}} end {alinhado} nonumber ]

Isso é precisamente a mesma coisa que acontece voltando da Figura 4.2 para 4.1, onde dividimos o número de caixas disponíveis por 2 (indo de 6 disponíveis para 3 disponíveis) e dividindo o número de caixas sombreadas por 2 (passando de 2 sombreadas para 1 sombreado).

2. Se começarmos com a fração 4/12, dividirmos o numerador e o denominador por 4, obteremos o seguinte resultado.

[ begin {alinhados} dfrac {4} {12} = dfrac {4 div 4} {12 div 4} ~ & textcolor {red} { text {Multiplique o numerador e o denominador por 4.}} = dfrac {1} {3} ~ & textcolor {red} { text {Simplifique o numerador e o denominador.}} end {alinhado} nonumber ]

Isso é precisamente a mesma coisa que acontece voltando da Figura 4.3 a 4.1, onde dividimos o número de caixas disponíveis por 4 (indo de 12 disponíveis para 3 disponíveis) e dividimos o número de alinhamentos de caixas sombreadas por 4 (indo de 4 sombreadas a 1 sombreado).

A discussão acima motiva o seguinte resultado fundamental.

Criação de frações equivalentes

Se você começar com uma fração e dividir seu numerador e denominador pelo mesmo número, a fração resultante é equivalente (tem o mesmo valor numérico) à fração original. Em símbolos,

[ dfrac {a} {b} = dfrac {a div x} {b div x}. nonumber ]

O Maior Divisor Comum

Precisamos de um pouco mais de terminologia.

Divisor

Se d e a são números naturais, dizemos que “d divide a” se e somente se quando a é dividido por d, o resto é zero. Nesse caso, dizemos que "d é um divisor de a."

Por exemplo, quando 36 é dividido por 4, o resto é zero. Nesse caso, dizemos que “4 é um divisor de 36”. Por outro lado, quando 25 é dividido por 4, o resto não é zero. Neste caso, dizemos que “4 não é um divisor de 25.”

Maior Divisor Comum

Sejam aeb números naturais. Os divisores comuns de a e b são aqueles números naturais que dividem a e b. O maior divisor comum é o maior desses divisores comuns.

Exemplo 1

Encontre o máximo divisor comum de 18 e 24.

Solução

Primeiro liste os divisores de cada número, os números que dividem cada número com resto zero.

Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 e 18

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24

Os divisores comuns são:

Divisores comuns: 1, 2, 3 e 6

O maior divisor comum é o maior dos divisores comuns. Isso é,

Maior divisor comum = 6.

Ou seja, o maior número que divide 18 e 24 é o número 6.

Exercício

Encontre o máximo divisor comum de 12 e 18.

Responder

6

Reduzindo uma fração aos termos mais baixos

Primeiro, uma definição.

Termos mais baixos

Diz-se que uma fração é reduzido para termos mais baixos se o maior divisor comum do numerador e do denominador for 1.

Assim, por exemplo, 2/3 é reduzido aos termos mais baixos porque o maior divisor comum de 2 e 3 é 1. Por outro lado, 4/6 é não reduzido aos termos mais baixos porque o maior divisor comum de 4 e 6 é 2.

Exemplo 2

Reduza a fração 18/24 para os termos mais baixos.

Solução

Uma técnica que funciona bem é dividir o numerador e o denominador pelo maior divisor comum do numerador e do denominador. No Exemplo 1, vimos que o maior divisor comum de 18 e 24 é 6. Dividimos o numerador e o denominador por 6 para obter

[ begin {alinhados} dfrac {18} {24} = dfrac {18 div 6} {24 div 6} ~ & textcolor {red} { text {Divida o numerador e o denominador por 6.}} = dfrac {3} {4} ~ & textcolor {red} { text {Simplifique o numerador e os dados.}} end {alinhado} nonumber ]

Observe que o máximo divisor comum de 3 e 4 agora é 1. Assim, 3/4 é reduzido aos termos mais baixos.

Há uma segunda maneira de mostrar a divisão do numerador e do denominador por 6. Primeiro, fatorar tanto o numerador quanto o denominador da seguinte maneira:

[ begin {align} dfrac {18} {24} = dfrac {3 cdot 6} {4 cdot 6} ~ & textcolor {red} { text {Fatorar 6.}} end {alinhado} não numérico ]

Você pode então mostrar a "divisão" do numerador e do denominador por 6, "riscando" ou "cancelando" um 6 no numerador para um 6 no denominador, assim:

[ begin {alinhados} = dfrac {3 cdot cancel {6}} {4 cdot cancel {6}} ~ & textcolor {red} { text {Cancelar fator comum.}} = dfrac {3} {4} end {alinhado} nonumber ]

Observe que temos a mesma fração equivalente, reduzida aos termos mais baixos, ou seja, 3/4.

Exercício

Reduza a fração 12/18 para os termos mais baixos.

Responder

2/3

Ponto importante

No Exemplo 2, vimos que 6 era um divisor e um fator de 18. As palavras divisor e fator são equivalentes.

Usamos a seguinte técnica em nossa segunda solução no Exemplo 2.

Regra de Cancelamento

Se você expressar o numerador e o denominador como um produto, poderá cancelar os fatores comuns do numerador e do denominador. O resultado será uma fração equivalente.

Por causa da “Regra de Cancelamento”, uma das maneiras mais eficazes de reduzir uma fração aos termos mais baixos é primeiro encontrar as fatorações primárias para o numerador e o denominador e, em seguida, cancelar todos os fatores comuns.

Exemplo 3

Reduza a fração 18/24 para os termos mais baixos.

Solução

Use árvores de fator para o numerador e denominador de fator primordial.

Depois de fatorar o numerador e o denominador, cancelamos os fatores comuns.

[ begin {alinhados} dfrac {18} {24} = dfrac {2 cdot 3 cdot 3} {2 cdot 2 cdot 2 cdot 3} ~ & textcolor {vermelho} { text { Numerador e denominador do fator primo.}} = dfrac { cancel {2} cdot cancel {3} cdot 3} { cancel {2} cdot 2 cdot 2 cdot cancel {3}} ~ & textcolor {red} { text {Cancelar fatores comuns.}} = dfrac {3} {2 cdot 2} ~ & textcolor {red} { text {Fatores restantes.}} = dfrac {3} {4} ~ & textcolor {red} { text {Simplifique o denominador.}} end {alinhado} nonumber ]

Assim, 18/24 = 3/4.

Exercício ( PageIndex {1} )

Reduza a fração 28/35 para os termos mais baixos.

Responder

4/5

Exemplo 4

Reduza a fração 28/42 para os termos mais baixos.

Solução

Use árvores de fator para o numerador e denominador de fator principal.

Agora podemos cancelar fatores comuns.

[ begin {alinhados} dfrac {28} {42} = dfrac {2 cdot 2 cdot 7} {2 cdot 3 cdot 7} ~ & textcolor {red} { text {Numerador do fator principal e denominador.}} = dfrac { cancel {2} cdot 2 cdot cancel {7}} { cancel {2} cdot 3 cdot cancel {7}} ~ & textcolor {red } { text {Cancelar fatores comuns.}} = dfrac {2} {3} end {alinhados} nonumber ]

Assim, 28/42 = 2/3.

Exercício

Reduza a fração 36/60 para os termos mais baixos.

Responder

3/5

Reduzindo Frações com Variáveis

Usamos exatamente a mesma técnica para reduzir frações cujos numeradores e denominadores contêm variáveis.

Exemplo 5

Reduzir

[ dfrac {56x ^ 2y} {60xy ^ 2} nonumber ]

para os termos mais baixos.

Solução

Use árvores de fator para fatorar os coeficientes do numerador e denominador.

Agora cancele os fatores comuns.

[ begin {alinhados} dfrac {56x ^ 2y} {60xy ^ 2} = dfrac {2 cdot 2 cdot 2 cdot 7 cdot x cdot x cdot y} {2 cdot 2 cdot 3 cdot 5 cdot x cdot y cdot y} ~ & textcolor {vermelho} { text {Numerador e denominador do fator primo.}} = dfrac { cancel {2} cdot cancel {2 } cdot 2 cdot 7 cdot cancel {x} cdot x cdot cancel {y}} { cancel {2} cdot cancel {2} cdot 3 cdot 5 cdot cancel {x } cdot y cdot cancel {y}} ~ & textcolor {red} { text {Cancelar fatores cmmon.}} = dfrac {2 cdot 7 cdot x} {3 cdot 5 cdot y} ~ & textcolor {red} { text {Fatores restantes.}} = dfrac {14x} {15y} ~ & textcolor {red} { text {Simplifique o numerador e o denominador.}} end { alinhado} nonumber ]

Assim, 56x2y / (60xy2) = 14x / (15y).

Exercício

Reduzir:

[ dfrac {25a ^ 3b} {40a ^ 2b ^ 3} não numérico ]

Responder

[ dfrac {5a} {8b ^ 2} nonumber ]

Uma palavra sobre notação matemática

Existem dois tipos de notação matemática: (1) notação matemática embutida e (2) notação matemática exibida.

Notação Matemática Inline

A notação 14x/(15y) é chamado notação matemática inline. Quando a mesma expressão está centrada em sua própria linha, como em

[ dfrac {14x} {15y}, nonumber ]

este tipo de notação é denominado notação matemática exibida.

Quando você trabalha um problema manualmente, usando cálculos de lápis e papel, o formato preferido é a notação exibida, como a notação exibida usada para simplificar a expressão fornecida no Exemplo 5. No entanto, computadores e calculadoras exigem que você insira suas expressões usando notação matemática embutida . Portanto, é extremamente importante que você seja igualmente competente com a notação matemática: exibida ou embutida.

A propósito, a ordem das operações, quando aplicada à expressão inline 14x / (15y), requer que façamos a multiplicação dentro dos parênteses primeiro. Em seguida, devemos realizar multiplicações e divisões conforme elas ocorrem, conforme nos movemos da esquerda para a direita através da expressão. É por isso que a notação embutida 14x / (15y) é equivalente à notação exibida

[ dfrac {14x} {15y}. nonumber ]

No entanto, a expressão 14x / 15y é uma besta diferente. Não há parênteses, portanto, executamos a multiplicação e a divisão à medida que ocorrem, movendo da esquerda para a direita através da expressão. Portanto, devemos primeiro pegar o produto de 14 ex, dividir o resultado por 15 e, em seguida, multiplicar por y. Na notação exibida, este resultado é equivalente a

[ dfrac {14x} {15} cdot y, nonumber ]

que é um resultado diferente.

Alguns leitores podem se perguntar por que não usamos a notação (14x) / (15y) para descrever a solução no Exemplo 5. Afinal, essa notação embutida também é equivalente à notação exibida

[ dfrac {14x} {15y}. nonumber ]

No entanto, a questão é que não precisamos, pois a ordem das operações já exige que tiremos o produto de 14 ex antes de dividir por 15y. Se isso está doendo sua cabeça, saiba que é bastante aceitável usar a notação equivalente (14x) / (15y) em vez de 14x / (15y). Ambos estão corretos.

Frações equivalentes em termos superiores

Às vezes, surge a necessidade de encontrar uma fração equivalente com um denominador diferente e maior.

Exemplo 6

Expresse 3/5 como uma fração equivalente com denominador 20.

Solução

A chave aqui é lembrar que multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número produz uma fração equivalente. Para obter uma fração equivalente com um denominador de 20, teremos que multiplicar o numerador e o denominador de 3/5 por 4.

[ begin {alinhados} dfrac {3} {5} ~ & textcolor {red} { text {Multiplique o numerador e o denominador por 4.}} = dfrac {12} {20} ~ & textcolor {red} { text {Simplifique o numerador e o denominador.}} end {alinhado} nonumber ]

Portanto, 3/5 é igual a 12/20.

Exercício

Expresse 2/3 como uma fração equivalente com denominador 21.

Responder

14/21

Exemplo 7

Expresse 8 como uma fração equivalente com denominador 5.

Solução

A chave aqui é observar que

[ begin {alinhados} 8 = dfrac {8} {1} ~ & textcolor {red} { text {O denominador compreendido é 1.}} end {alinhado} nonumber ]

Para obter uma fração equivalente com um denominador de 5, teremos que multiplicar o numerador e o denominador de 8/1 por 5.

[ begin {alinhados} = dfrac {8 cdot 5} {1 cdot 5} ~ & textcolor {red} { text {Multiplique o numerador e o denominador por 5.}} = dfrac {40} {5} ~ & textcolor {red} { text {Simplifique o numerador e o denominador.}} End {alinhado} nonumber ]

Portanto, 8 é igual a 40/5.

Exercício

Expresse 5 como uma fração equivalente com denominador 7.

Responder

35/7

Exemplo 8

Expresse 2/9 como uma fração equivalente com denominador 18uma.

Solução

Para obter uma fração equivalente com um denominador de 18uma, teremos que multiplicar o numerador e o denominador de 2/9 por 2uma.

[ begin {alinhados} dfrac {2} {9} = dfrac {2 cdot 2a} {9 cdot 2a} ~ & textcolor {red} { text {Multiplique o numerador e o denominador por} 2a.} = dfrac {4a} {18a} ~ & textcolor {red} { text {Simplifique o numerador e o denominador.}} end {alinhado} nonumber ]

Portanto, 2/9 é igual a 4uma/(18uma), ou de forma equivalente, (4uma)/(18uma).

Exercício

Expresse 3/8 como uma fração equivalente com denominador 24uma.

Responder

[ dfrac {9a} {24a} não numérico ]

Frações Negativas

Temos que lidar também com frações que são negativas. Primeiro, vamos discutir a colocação do sinal negativo.

  • Positivo dividido por negativo é negativo, então

[ dfrac {3} {- 5} = - dfrac {3} {5}. nonumber ]

  • Mas também é verdade que negativo dividido por positivo é negativo. Desse modo,

[ dfrac {−3} {5} = dfrac {−3} {5}. nonumber ]

Essas duas observações implicam que todas as três das seguintes frações são equivalentes (o mesmo número):

[ dfrac {3} {- 5} = - dfrac {3} {5} = dfrac {-3} {5}. nonumber ]

Observe que há três posicionamentos possíveis para o sinal negativo: (1) o denominador, (2) a barra de fração ou (3) o numerador. Qualquer uma dessas colocações produz uma fração equivalente.

Frações e sinais negativos

Deixar uma e b ser quaisquer inteiros. Todas as três frações a seguir são equivalentes (mesmo número):

[ dfrac {a} {- b} = - dfrac {a} {b} = dfrac {-a} {b}. nonumber ]

Os matemáticos preferem colocar o sinal negativo no numerador ou na barra de fração. O uso de um sinal negativo no denominador é desencorajado.

Exemplo 9

Reduzir:

[ dfrac {50x ^ 3} {- 75x ^ 5} não numérico ]

para os termos mais baixos.

Solução

Numerador e denominador do fator primo e cancelar.

[ begin {alinhados} dfrac {50x ^ 3} {- 75x ^ 5} & = dfrac {2 cdot 5 cdot 5 cdot x cdot x cdot x} {- 3 cdot 5 cdot 5 cdot x cdot x cdot x cdot x cdot x} & = dfrac {2 cdot cancel {5} cdot cancel {5} cdot cancel {x} cdot cancel {x} cdot cancel {x}} {- 3 cdot cancel {5} cdot cancel {5} cdot cancel {x} cdot cancel {x} cdot cancel {x} cdot x cdot x} & = dfrac {2} {- 3 cdot x cdot x} & = dfrac {2} {- 3x ^ 2} end {alinhado} não numérico ]

No entanto, é preferível que não haja sinais negativos no denominador, então, vamos colocar o sinal negativo na barra de fração (o numerador também seria adequado). Desse modo,

[ dfrac {50x ^ 3} {- 75x ^ 5} = - dfrac {2} {3x ^ 2} nonumber ]

Também temos o seguinte resultado.

Frações e sinais negativos

Sejam (a ) e (b ) quaisquer números inteiros. Então,

[ dfrac {-a} {- b} = dfrac {a} {b}. nonumber ]

Exemplo 10

Reduzir:

[ dfrac {-12xy ^ 2} {- 18x ^ 2y} nonumber ]

Solução

Ao contrário do Exemplo 9, alguns gostam de cuidar primeiro do sinal da resposta.

[ dfrac {-12xy ^ 2} {- 18x ^ 2y} = dfrac {12xy ^ 2} {18x ^ 2y} nonumber ]

Agora podemos fatorar o numerador e o denominador e cancelar os fatores comuns.

[ begin {alinhado} & = dfrac {2 cdot 2 cdot 3 cdot x cdot y cdot y} {2 cdot 3 cdot 3 cdot x cdot x cdot y} & = dfrac { cancel {2} cdot 2 cancel {3} cdot cancel {x} cdot y cdot cancel {y}} { cancel {2} cdot cancel {3} cdot 3 cdot cancel {x} cdot x cdot cancel {y}} & = dfrac {2y} {3x} end {alinhado} nonumber ]

Desse modo,

[ dfrac {-12xy ^ 2} {- 18x ^ 2y} = dfrac {2y} {3x}. nonumber ]

Exercício

Reduzir:

[ dfrac {-21a ^ 2b ^ 3} {- 56a ^ 3b} não numérico ]

Responder

[ dfrac {3b ^ 2} {8a} não numérico ]

Exercícios

Nos Exercícios 1-12, encontre o GCD dos números dados.

1. 72, 8

2. 76, 52

3. 52, 20

4. 56, 96

5. 36, 63

6. 63, 21

7. 72, 44

8. 10, 40

9. 16, 56

10. 54, 66

11. 84, 24

12. 75, 45


Nos Exercícios 13-28, reduza a fração dada aos termos mais baixos.

13. ( dfrac {22} {98} )

14. ( dfrac {28} {56} )

15. ( dfrac {93} {15} )

16. ( dfrac {90} {39} )

17. ( dfrac {69} {21} )

18. ( dfrac {74} {62} )

19. ( dfrac {74} {12} )

20. ( dfrac {66} {10} )

21. ( dfrac {66} {57} )

22. ( dfrac {34} {30} )

23. ( dfrac {33} {99} )

24. ( dfrac {20} {58} )

25. ( dfrac {69} {24} )

26. ( dfrac {18} {96} )

27. ( dfrac {46} {44} )

28. ( dfrac {92} {24} )


29. Expresse 3 como uma fração equivalente tendo denominador 24. 30. Expresse 3 como uma fração equivalente tendo denominador 8. 31. Expresse ( dfrac {25} {19} ) como uma fração equivalente tendo denominador 57. 32. Expresse ( dfrac {29} {22} ) como uma fração equivalente tendo denominador 44. 33. Expresse 2 como uma fração equivalente tendo denominador 2. 34. Expresse 2 como uma fração equivalente tendo denominador 8. 35. Expresse ( dfrac {18} {19} ) como uma fração equivalente com denominador 95. 36. Expresse ( dfrac {17} {22} ) como uma fração equivalente com denominador 44. 37. Expresso ( dfrac {1} {3} ) como uma fração equivalente com denominador 24. 38. Expresse ( dfrac {15} {19} ) como uma fração equivalente com denominador 95. 39. Expresse 16 como uma fração equivalente com denominador 4. 40. Expresse 5 como uma fração equivalente com denominador 2.


Nos Exercícios 41-56, reduza a fração dada aos termos mais baixos.

41. ( dfrac {34} {- 86} )

42. ( dfrac {−48} {14} )

43. ( dfrac {−72} {- 92} )

44. ( dfrac {27} {- 75} )

45. ( dfrac {−92} {82} )

46. ​​ ( dfrac {−44} {- 62} )

47. ( dfrac {−21} {33} )

48. ( dfrac {57} {- 99} )

49. ( dfrac {22} {- 98} )

50. ( dfrac {−33} {69} )

51. ( dfrac {42} {- 88} )

52. ( dfrac {−100} {48} )

53. ( dfrac {94} {- 6} )

54. ( dfrac {−36} {- 38} )

55. ( dfrac {10} {- 86} )

56. ( dfrac {−100} {- 46} )


57. Expresse ( dfrac {3} {2} ) como uma fração equivalente com denominador 62n.

58. Expresse ( dfrac {6} {25} ) como uma fração equivalente com denominador 50a.

59. Expresse ( dfrac {13} {10} ) como uma fração equivalente com denominador 60m.

60. Expresse ( dfrac {1} {16} ) como uma fração equivalente com denominador 80p.

61. Expresse ( dfrac {3} {2} ) como uma fração equivalente com denominador 50n.

62. Expresse ( dfrac {43} {38} ) como uma fração equivalente com denominador 76a.

63. Expresse 11 como uma fração equivalente com denominador 4m. 64. Expresse 13 como uma fração equivalente com denominador 6n.

65. Expresse 3 como uma fração equivalente com denominador 10m.

66. Expresse 10 como uma fração equivalente com denominador 8b.

67. Expresse 6 como uma fração equivalente com denominador 5n.

68. Expresse 16 como uma fração equivalente com denominador 2y.


Nos Exercícios 69-84, reduza a fração dada aos termos mais baixos.

69. ( dfrac {82y ^ 5} {- 48y} )

70. ( dfrac {−40y ^ 5} {- 55y} )

71. ( dfrac {−77x ^ 5} {44x ^ 4} )

72. ( dfrac {−34x ^ 6} {- 80x} )

73. ( dfrac {−14y ^ 5} {54y ^ 2} )

74. ( dfrac {96y ^ 4} {- 40y ^ 2} )

75. ( dfrac {42x} {81x ^ 3} )

76. ( dfrac {26x ^ ​​2} {32x ^ 6} )

77. ( dfrac {−12x ^ 5} {14x ^ 6} )

78. ( dfrac {−28y ^ 4} {72y ^ 6} )

79. ( dfrac {−74x} {22x ^ 2} )

80. ( dfrac {56x ^ 2} {26x ^ ​​3} )

81. ( dfrac {−12y ^ 5} {98y ^ 6} )

82. ( dfrac {96x ^ 2} {14x ^ 4} )

83. ( dfrac {18x ^ 6} {- 54x ^ 2} )

84. ( dfrac {32x ^ 6} {62x ^ 2} )


Nos Exercícios 85-100, reduza a fração dada aos termos mais baixos.

85. ( dfrac {26y ^ 2x ^ 4} {- 62y ^ 6x ^ 2} )

86. ( dfrac {6x ^ 2y ^ 3} {40x ^ 3y ^ 2} )

87. ( dfrac {−2y ^ 6x ^ 4} {- 94y ^ 2x ^ 5} )

88. ( dfrac {90y ^ 6x ^ 3} {39y ^ 3x ^ 5} )

89. ( dfrac {30y ^ 5x ^ 5} {- 26yx ^ 4} )

90. ( dfrac {74x ^ 6y ^ 4} {- 52xy ^ 3} )

91. ( dfrac {36x ^ 3y ^ 2} {- 98x ^ 4y ^ 5} )

92. ( dfrac {84x ^ 3y} {16x ^ 4y ^ 2} )

93. ( dfrac {−8x ^ 6y ^ 3} {54x ^ 3y ^ 5} )

94. ( dfrac {70y ^ 5x ^ 2} {16y ^ 4x ^ 5} )

95. ( dfrac {34yx ^ 6} {- 58y ^ 5x ^ 4} )

96. ( dfrac {99y ^ 2x ^ 3} {88y ^ 6x} )

97. ( dfrac {−36y ^ 3x ^ 5} {51y ^ 2x} )

98. ( dfrac {44y ^ 5x ^ 5} {- 88y ^ 4x} )

99. ( dfrac {91y ^ 3x ^ 2} {- 28y ^ 5x ^ 5} )

100. ( dfrac {−76y ^ 2x} {- 57y ^ 5x ^ 6} )


101. Furacões. De acordo com a Administração Atmosférica e Oceânica Nacional, em 2008 houve 16 tempestades nomeadas, das quais 8 tornaram-se furacões e 5 foram grandes.

i) Qual fração de tempestades nomeadas se transformou em furacões? Reduza sua resposta aos termos mais baixos.

ii) Qual fração das tempestades nomeadas foram grandes furacões? Reduza sua resposta aos termos mais baixos.

iii) Qual fração dos furacões foi importante? Reduza sua resposta aos termos mais baixos.

102. Tigres. Os tigres estão em um declínio crítico devido à invasão humana, à perda de mais de nove décimos de seu habitat e ao crescente comércio de peles e partes do corpo de tigres. Associated Press-Times-Standard 01/24/10 A pressão é montada para salvar o tigre.

i) Escreva a perda de habitat como uma fração.

ii) Descreva em palavras o que o numerador e denominador desta fração representam.

iii) Se a fração representa a perda de todo o habitat original, quanto resta do habitat original?


Respostas

1. 8

3. 4

5. 9

7. 4

9. 8

11. 12

13. ( dfrac {11} {49} )

15. ( dfrac {31} {5} )

17. ( dfrac {23} {7} )

19. ( dfrac {37} {6} )

21. ( dfrac {22} {19} )

23. ( dfrac {1} {3} )

25. ( dfrac {23} {8} )

27. ( dfrac {23} {22} )

29. ( dfrac {72} {24} )

31. ( dfrac {75} {57} )

33. ( dfrac {4} {2} )

35. ( dfrac {90} {95} )

37. ( dfrac {8} {24} )

39. ( dfrac {64} {4} )

41. ( dfrac {−17} {43} )

43. ( dfrac {18} {23} )

45. ( dfrac {−46} {41} )

47. ( dfrac {- 7} {11} )

49. ( dfrac {−11} {49} )

51. ( dfrac {−21} {44} )

53. ( dfrac {−47} {3} )

55. ( dfrac {- 5} {43} )

57. ( dfrac {93 n} {62 n} )

59. ( dfrac {78 m} {60 m} )

61. ( dfrac {75 n} {50 n} )

63. ( dfrac {44 m} {4 m} )

65. ( dfrac {30 m} {10 m} )

67. ( dfrac {30 n} {5 n} )

69. ( dfrac {−41 y ^ 4} {24} )

71. ( dfrac {- 7x} {4} )

73. (- dfrac {7 y ^ 3} {27} )

75. ( dfrac {14} {27 x ^ 2} )

77. (- dfrac {6} {7x} )

79. (- dfrac {37} {11 x} )

81. (- dfrac {6} {49 a} )

83. (- dfrac {x ^ 4} {3} )

85. (- dfrac {13 x ^ 2} {31 y ^ 4} )

87. ( dfrac {y ^ 4} {47 x} )

89. (- dfrac {15 y ^ 4 x} {13} )

91. (- dfrac {18} {49xy ^ 3} )

93. (- dfrac {4 x ^ 3} {27 y ^ 2} )

95. (- dfrac {17 x ^ 2} {29 y ^ 4} )

97. (- dfrac {12yx ^ 4} {17} )

99. (- dfrac {13} {4y ^ 2x ^ 3} )

101.

i) ( dfrac {1} {2} )

ii) ( dfrac {5} {16} )

iii) ( dfrac {5} {8} )


Assista o vídeo: OPERAÇÕES COM FRAÇÕES - 7 ANO (Dezembro 2021).