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18.3: Resolva Equações Quadráticas Completando o Quadrado - Matemática


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Complete o quadrado de uma expressão binomial
  • Resolva as equações quadráticas da forma (x ^ {2} + bx + c = 0 ) completando o quadrado
  • Resolva as equações quadráticas da forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) completando o quadrado

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Expanda: ((x + 9) ^ {2} ).
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 5.32.
  2. Fator (y ^ {2} -14 y + 49 ).
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 6.9.
  3. Fator (5 n ^ {2} +40 n + 80 ).
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 6.14.

Até agora, resolvemos equações quadráticas fatorando e usando a propriedade de raiz quadrada. Nesta seção, vamos resolver equações quadráticas por um processo chamado Completando o quadrado, o que é importante para nosso trabalho posterior em cônicas.

Complete o quadrado de uma expressão binomial

Na última seção, pudemos usar a propriedade de raiz quadrada para resolver a equação ((y-7) ^ {2} = 12 ) porque o lado esquerdo era um quadrado perfeito.

Também resolvemos uma equação na qual o lado esquerdo era um trinômio quadrado perfeito, mas tivemos que reescrever a forma ((x − k) ^ {2} ) para usar a propriedade de raiz quadrada.

O que acontece se a variável não fizer parte de um quadrado perfeito? Podemos usar álgebra para fazer um quadrado perfeito?

Vejamos dois exemplos para nos ajudar a reconhecer os padrões.

Nós reafirmamos os padrões aqui para referência.

Definição ( PageIndex {1} ): Padrão de quadrados binomiais

Se (a ) e (b ) forem números reais,

Podemos usar esse padrão para “fazer” um quadrado perfeito.

Começaremos com a expressão (x ^ {2} +6 x ). Como há um sinal de mais entre os dois termos, usaremos o padrão ((a + b) ^ {2} ), (a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} = (a + b) ^ {2} ).

Em última análise, precisamos encontrar o último termo desse trinômio que o tornará um trinômio quadrado perfeito. Para fazer isso, precisaremos encontrar (b ). Mas primeiro começamos determinando (a ). Observe que o primeiro termo de (x ^ {2} + 6x ) é um quadrado, (x ^ {2} ). Isso nos diz que (a = x ).

Qual número, (b ), quando multiplicado por (2x ) dá (6x )? Teria que ser (3 ), que é ( frac {1} {2} (6) ). Portanto, (b = 3 ).

Agora, para completar o trinômio quadrado perfeito, encontraremos o último termo elevando ao quadrado (b ), que é (3 ^ {2} = 9 ).

Agora podemos fatorar.

Portanto, descobrimos que adicionar (9 ) a (x ^ {2} +6 x ) ‘completa o quadrado’ e o escrevemos como ((x + 3) ^ {2} ).

Howto: Complete um quadrado de (x ^ {2} + bx )

  1. Identifique (b ), o coeficiente de (x ).
  2. Encontre ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ), o número para completar o quadrado.
  3. Adicione o ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ) a (x ^ {2} + bx ).
  4. Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Complete o quadrado para fazer um trinômio quadrado perfeito. Em seguida, escreva o resultado como um quadrado binomial.

  1. (x ^ {2} -26 x )
  2. (y ^ {2} -9 y )
  3. (n ^ {2} + frac {1} {2} n )

Solução:

uma.

O coeficiente de (x ) é -26.

Encontre ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ).

( left ( frac {1} {2} cdot (-26) right) ^ {2} )
((13)^{2})
169

Adicione (169 ) ao binômio para completar o quadrado.

(x ^ {2} -26 x + 169 )

Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.

((x-13) ^ {2} )

b.

O coeficiente de (y ) é (- 9 ).

Encontre ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ).

( left ( frac {1} {2} cdot (-9) right) ^ {2} )
( left (- frac {9} {2} right) ^ {2} )
( frac {81} {4} )

Adicione ( frac {81} {4} ) ao binômio para completar o quadrado.

(y ^ {2} -9 y + frac {81} {4} )

Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.

( left (y- frac {9} {2} right) ^ {2} )

c.

O coeficiente de (n ) é ( frac {1} {2} ).

Encontre ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ).

( left ( frac {1} {2} cdot frac {1} {2} right) ^ {2} )
( left ( frac {1} {4} right) ^ {2} )
( frac {1} {16} )

Adicione ( frac {1} {16} ) ao binômio para completar o quadrado. (n ^ {2} + frac {1} {2} n + frac {1} {16} )
Reescreva como um quadrado binomial. ( left (n + frac {1} {4} right) ^ {2} )

Exercício ( PageIndex {1} )

Complete o quadrado para fazer um trinômio quadrado perfeito. Em seguida, escreva o resultado como um quadrado binomial.

  1. (a ^ {2} -20 a )
  2. (m ^ {2} -5 m )
  3. (p ^ {2} + frac {1} {4} p )
Responder
  1. ((a-10) ^ {2} )
  2. ( left (b- frac {5} {2} right) ^ {2} )
  3. ( left (p + frac {1} {8} right) ^ {2} )

Exercício ( PageIndex {2} )

Complete o quadrado para fazer um trinômio quadrado perfeito. Em seguida, escreva o resultado como um quadrado binomial.

  1. (b ^ {2} -4 b )
  2. (n ^ {2} +13 n )
  3. (q ^ {2} - frac {2} {3} q )
Responder
  1. ((b-2) ^ {2} )
  2. ( left (n + frac {13} {2} right) ^ {2} )
  3. ( left (q- frac {1} {3} right) ^ {2} )

Resolva Equações Quadráticas da Forma (x ^ {2} + bx + c = 0 ) Completando o Quadrado

Ao resolver equações, devemos sempre fazer a mesma coisa com os dois lados da equação. Isso é verdade, é claro, quando resolvemos um Equação quadrática de Completando o quadrado também. Quando adicionamos um termo a um lado da equação para fazer um trinômio quadrado perfeito, devemos também adicionar o mesmo termo ao outro lado da equação.

Por exemplo, se começarmos com a equação (x ^ {2} + 6x = 40 ) e quisermos completar o quadrado à esquerda, adicionaremos 9 a ambos os lados da equação.

Agora a equação está na forma de resolver usando o Propriedade de Raiz Quadrada! Completar o quadrado é uma maneira de transformar uma equação na forma de que precisamos para poder usar a propriedade de raiz quadrada.

Exemplo ( PageIndex {2} ) Como resolver uma equação quadrática da forma (x ^ {2} + bx + x = 0 ) completando o quadrado

Resolva completando o quadrado: (x ^ {2} + 8x = 48 ).

Solução:

Passo 1: Isole os termos variáveis ​​de um lado e os termos constantes do outro.Esta equação possui todas as variáveis ​​à esquerda. ( begin {array} {l} { color {red} {x ^ {2} + bx quad : : : c}} {x ^ {2} +8 x = 48} fim {array} )
Passo 2: Encontre ( left ( frac {1} {2} cdot b right) ^ {2} ), o número para completar o quadrado. Adicione-o a ambos os lados da equação.

Pegue metade de (8 ) e eleve ao quadrado.

(4^{2}=16)

Adicione (16 ) a AMBOS os lados da equação.

(x ^ {2} +8 x + frac {} { color {red} { left ( frac {1} {2} cdot 8 right) ^ {2}}} color {black} { =} 48 )

(x ^ {2} +8 x color {red} {+ 16} color {black} {=} 48 color {red} {+ 16} )

etapa 3: Fatore o trinômio quadrado perfeito como um quadrado binomial.

(x ^ {2} +8 x + 16 = (x + 4) ^ {2} )

Adicione os termos à direita.

((x + 4) ^ {2} = 64 )
Passo 4: Use a propriedade de raiz quadrada. (x + 4 = pm sqrt {64} )
Etapa 5: Simplifique o radical e resolva as duas equações resultantes.

(x + 4 = pm 8 )

Etapa 6: Verifique as soluções.Coloque cada resposta na equação original para verificar. Substitua (x = 4 ) e (x = -12 ).

( begin {array} {r} {x ^ {2} +8 x = 48} {( color {red} {4} color {black} {)} ^ {2} +8 ( cor {vermelho} {4} color {preto} {)} stackrel {?} {=} 48} {16 + 32 stackrel {?} {=} 48} {48 = 48} end {variedade})

Exercício ( PageIndex {3} )

Resolva completando o quadrado: (x ^ {2} +4 x = 5 ).

Responder

(x = -5, x = -1 )

Exercício ( PageIndex {4} )

Resolva completando o quadrado: (y ^ {2} −10y = −9 ).

Responder

(y = 1, y = 9 )

As etapas para resolver uma equação quadrática completando o quadrado estão listadas aqui.

Resolva uma equação quadrática da forma (x ^ {2} + bx + c = 0 ) completando o quadrado

  1. Isole os termos variáveis ​​de um lado e os termos constantes do outro.
  2. Encontre ( left ( frac {1} {2} cdot b right) ^ {2} ), o número necessário para completar o quadrado. Adicione-o a ambos os lados da equação.
  3. Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um binomial ao quadrado à esquerda e simplifique adicionando os termos à direita
  4. Use a propriedade de raiz quadrada.
  5. Simplifique o radical e resolva as duas equações resultantes.
  6. Verifique as soluções.

Quando resolvemos uma equação completando o quadrado, as respostas nem sempre serão inteiros.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolva completando o quadrado: (x ^ {2} +4 x = -21 ).

Solução:

Os termos variáveis ​​estão no lado esquerdo.

Pegue metade de (4 ) e eleve ao quadrado.

( left ( frac {1} {2} (4) right) ^ {2} = 4 )
Adicione (4 ) a ambos os lados.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.
Use a propriedade de raiz quadrada.
Simplificando usando números complexos.
Subtraia (2 ) de cada lado.
Reescreva para mostrar duas soluções.
Deixamos o cheque para você.

Exercício ( PageIndex {5} )

Resolva completando o quadrado: (y ^ {2} -10 y = -35 ).

Responder

(y = 5 + sqrt {15} i, y = 5- sqrt {15 i} )

Exercício ( PageIndex {6} )

Resolva completando o quadrado: (z ^ {2} +8 z = -19 ).

Responder

(z = -4 + sqrt {3} i, z = -4- sqrt {3} i )

No exemplo anterior, nossas soluções eram números complexos. No próximo exemplo, as soluções serão números irracionais.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolva completando o quadrado: (y ^ {2} -18 y = -6 ).

Solução:

Os termos variáveis ​​estão no lado esquerdo. Pegue metade de (- 18 ) e eleve ao quadrado.
( left ( frac {1} {2} (- 18) right) ^ {2} = 81 )
Adicione (81 ) a ambos os lados.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.
Use a propriedade de raiz quadrada.
Simplifique o radical.
Resolva para (y ).

Verificar.

Outra maneira de verificar isso seria usar uma calculadora. Avalie (y ^ {2} −18y ) para ambas as soluções. A resposta deve ser (- 6 ).

Exercício ( PageIndex {7} )

Resolva completando o quadrado: (x ^ {2} -16 x = -16 ).

Responder

(x = 8 + 4 sqrt {3}, x = 8-4 sqrt {3} )

Exercício ( PageIndex {8} )

Resolva completando o quadrado: (y ^ {2} +8 y = 11 ).

Responder

(y = -4 + 3 sqrt {3}, y = -4-3 sqrt {3} )

Começaremos o próximo exemplo isolando os termos variáveis ​​no lado esquerdo da equação.

Exercício ( PageIndex {9} )

Resolva completando o quadrado: (a ^ {2} +4 a + 9 = 30 ).

Responder

(a = -7, a = 3 )

Exercício ( PageIndex {10} )

Resolva completando o quadrado: (b ^ {2} +8 b-4 = 16 ).

Responder

(b = -10, b = 2 )

Para resolver a próxima equação, devemos primeiro coletar todos os termos variáveis ​​do lado esquerdo da equação. Em seguida, procedemos como fizemos nos exemplos anteriores.

Exemplo ( PageIndex {6} )

Resolva completando o quadrado: (n ^ {2} = 3 n + 11 ).

Solução:

Subtraia (3n ) para obter os termos variáveis ​​no lado esquerdo.
Pegue metade de (- 3 ) e eleve ao quadrado.
( left ( frac {1} {2} (- 3) right) ^ {2} = frac {9} {4} )
Adicione ( frac {9} {4} ) a ambos os lados.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.
Adicione as frações do lado direito.
Use a propriedade de raiz quadrada.
Simplifique o radical.
Resolva para (n ).
Reescreva para mostrar duas soluções.

Verificar:

Deixamos o cheque para você!

Exercício ( PageIndex {11} )

Resolva completando o quadrado: (p ^ {2} = 5 p + 9 ).

Responder

(p = frac {5} {2} + frac { sqrt {61}} {2}, p = frac {5} {2} - frac { sqrt {61}} {2} )

Exercício ( PageIndex {12} )

Resolva completando o quadrado: (q ^ {2} = 7 q-3 ).

Responder

(q = frac {7} {2} + frac { sqrt {37}} {2}, q = frac {7} {2} - frac { sqrt {37}} {2} )

Observe que o lado esquerdo da próxima equação está na forma fatorada. Mas o lado direito não é zero. Portanto, não podemos usar o Propriedade de Produto Zero uma vez que diz “Se (a⋅b = 0 ), então (a = 0 ) ou (b = 0 ).” Em vez disso, multiplicamos os fatores e, em seguida, colocamos a equação na forma padrão para resolver completando o quadrado.

Exemplo ( PageIndex {7} )

Resolva completando o quadrado: ((x-3) (x + 5) = 9 ).

Solução:

Multiplicamos os binômios à esquerda.
Adicione (15 ) para isolar os termos constantes à direita.
Pegue metade de (2 ) e eleve ao quadrado.
( left ( frac {1} {2} cdot (2) right) ^ {2} = 1 )
Adicione (1 ) a ambos os lados.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.
Use a propriedade de raiz quadrada.
Resolva para (x ).
Reescreva para mostrar duas soluções.
Simplificar.

Verificar:

Deixamos o cheque para você!

Exercício ( PageIndex {13} )

Resolva completando o quadrado: ((c-2) (c + 8) = 11 ).

Responder

(c = -9, c = 3 )

Exercício ( PageIndex {14} )

Resolva completando o quadrado: ((d-7) (d + 3) = 56 ).

Responder

(d = 11, d = -7 )

Resolva Equações Quadráticas da Forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) Completando o Quadrado

O processo de Completando o quadrado funciona melhor quando o coeficiente de (x ^ {2} ) é (1 ), então o lado esquerdo da equação tem a forma (x ^ {2} + bx + c ). Se o termo (x ^ {2} ) tiver um coeficiente diferente de (1 ), daremos alguns passos preliminares para tornar o coeficiente igual a (1 ).

Às vezes, o coeficiente pode ser fatorado de todos os três termos do trinômio. Essa será nossa estratégia no próximo exemplo.

Exercício ( PageIndex {15} )

Resolva completando o quadrado: (2 m ^ {2} +16 m + 14 = 0 ).

Responder

(m = -7, m = -1 )

Exercício ( PageIndex {16} )

Resolva completando o quadrado: (4 n ^ {2} -24 n-56 = 8 ).

Responder

(n = -2, n = 8 )

Para completar o quadrado, o coeficiente de (x ^ {2} ) deve ser (1 ). Quando o principal coeficiente não é um fator de todos os termos, vamos dividir os dois lados da equação pelo coeficiente líder! Isso nos dará uma fração para o segundo coeficiente. Já vimos como completar o quadrado com frações nesta seção.

Exemplo ( PageIndex {9} )

Resolva completando o quadrado: (2 x ^ {2} -3 x = 20 ).

Solução:

Para completar o quadrado, precisamos que o coeficiente de (x ^ {2} ) seja um. Vamos dividir os dois lados da equação pelo coeficiente de (x ^ {2} ). Então, podemos continuar resolvendo a equação, completando o quadrado.

Divida ambos os lados por (2 ) para obter o coeficiente de (x ^ {2} ) para ser (1 ).
Simplificar.
Pegue metade de (- frac {3} {2} ) e eleve ao quadrado.
( left ( frac {1} {2} left (- frac {3} {2} right) right) ^ {2} = frac {9} {16} )
Adicione ( frac {9} {16} ) a ambos os lados.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.
Adicione as frações do lado direito.
Use a propriedade de raiz quadrada.
Simplifique o radical.
Resolva para (x ).
Reescreva para mostrar duas soluções.
Simplificar.

Verificar:

Deixamos o cheque para você!

Exercício ( PageIndex {17} )

Resolva completando o quadrado: (3 r ^ {2} -2 r = 21 ).

Responder

(r = - frac {7} {3}, r = 3 )

Exercício ( PageIndex {18} )

Resolva completando o quadrado: (4 t ^ {2} +2 t = 20 ).

Responder

(t = - frac {5} {2}, t = 2 )

Agora que vimos que o coeficiente de (x ^ {2} ) deve ser (1 ) para completarmos o quadrado, atualizamos nosso procedimento para resolver um Equação quadrática completando o quadrado para incluir as equações da forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

Howto: Resolva uma Equação Quadrática da Forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ) Completando o Quadrado

  1. Divida por aa para fazer o coeficiente de (x ^ {2} ) term (1 ).
  2. Isole os termos variáveis ​​de um lado e os termos constantes do outro.
  3. Encontre ( left ( frac {1} {2} cdot b right) ^ {2} ), o número necessário para completar o quadrado. Adicione-o a ambos os lados da equação.
  4. Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um binomial ao quadrado à esquerda e simplifique adicionando os termos à direita
  5. Use a propriedade de raiz quadrada.
  6. Simplifique o radical e resolva as duas equações resultantes.
  7. Verifique as soluções.

Exemplo ( PageIndex {10} )

Resolva completando o quadrado: (3 x ^ {2} +2 x = 4 ).

Solução:

Novamente, nosso primeiro passo será fazer o coeficiente de (x ^ {2} ) um. Dividindo ambos os lados da equação pelo coeficiente de (x ^ {2} ), podemos continuar com a resolução da equação completando o quadrado.

Divida os dois lados por (3 ) para tornar o coeficiente de (x ^ {2} ) igual a (1 ).
Simplificar.
Pegue metade de ( frac {2} {3} ) e eleve ao quadrado.
( left ( frac {1} {2} cdot frac {2} {3} right) ^ {2} = frac {1} {9} )
Adicione ( frac {1} {9} ) a ambos os lados.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.
Use a propriedade de raiz quadrada.
Simplifique o radical.
Resolva para (x ).
Reescreva para mostrar duas soluções.

Verificar:

Deixamos o cheque para você!

Exercício ( PageIndex {19} )

Resolva completando o quadrado: (4 x ^ {2} +3 x = 2 ).

Responder

(x = - frac {3} {8} + frac { sqrt {41}} {8}, x = - frac {3} {8} - frac { sqrt {41}} {8 } )

Exercício ( PageIndex {20} )

Resolva completando o quadrado: (3 y ^ {2} -10 y = -5 ).

Responder

(y = frac {5} {3} + frac { sqrt {10}} {3}, y = frac {5} {3} - frac { sqrt {10}} {3} )

Acesse esses recursos online para obter instruções adicionais e praticar como completar o quadrado.

  • Completando os Trinômios do Quadrado Perfeito
  • Completando o quadrado 1
  • Completando o quadrado para resolver equações quadráticas
  • Completando o quadrado para resolver equações quadráticas: mais exemplos
  • Completando o Quadrado 4

Conceitos chave

  • Padrão de quadrados binomiais
    Se (a ) e (b ) forem números reais,
  • Como preencher um quadrado
    1. Identifique (b ), o coeficiente de (x ).
    2. Encontre ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ), o número para completar o quadrado.
    3. Adicione o ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ) a (x ^ {2} + bx )
    4. Reescrever o trinômio como um quadrado binomial
  • Como resolver uma equação quadrática do formulário (a x ^ {2} + b x + c = 0 ) completando o quadrado.
    1. Divida por (a ) para fazer o coeficiente de (x ^ {2} ) termo (1 ).
    2. Isole os termos variáveis ​​de um lado e os termos constantes do outro.
    3. Encontre ( left ( frac {1} {2} cdot b right) ^ {2} ), o número necessário para completar o quadrado. Adicione-o a ambos os lados da equação.
    4. Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um binômio ao quadrado à esquerda e simplifique adicionando os termos à direita.
    5. Use a propriedade de raiz quadrada.
    6. Simplifique o radical e resolva as duas equações resultantes.
    7. Verifique as soluções.

Resolva Equações Quadráticas Completando o Quadrado: Exemplos



Vídeos, planilhas, soluções e atividades para ajudar os alunos de Álgebra e da 9ª série a aprender como resolver equações quadráticas completando o quadrado.

Completando o quadrado
Como completar o quadrado de uma equação quadrática onde o coeficiente de x ao quadrado é igual a um ou maior que um?
Etapa 1. Escreva a quadrática no formulário
ax 2 + bx + ____ = c + ____

Etapa 2. Se a & ne 1, divida ambos os lados das equações por um

Etapa 3. Adicione (b / 2) 2 a ambos os lados da equação

Etapa 4. Fatore o lado esquerdo da equação. Deve ser um trinômio quadrado perfeito. Escreva como um quadrado binomial.

Etapa 5. Faça a raiz quadrada de ambos os lados da equação e resolva para x.

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Passo 4 :

Teoria - raízes de um produto:

4.1 Um produto de vários termos é igual a zero.

Quando um produto de dois ou mais termos é igual a zero, pelo menos um dos termos deve ser zero.

Devemos agora resolver cada termo = 0 separadamente

Em outras palavras, vamos resolver tantas equações quantos forem os termos do produto

Qualquer solução de term = 0 resolve product = 0 também.

Equações que nunca são verdadeiras:

Esta equação não tem solução.
Uma constante diferente de zero nunca é igual a zero.

Resolvendo uma Equação de Variável Única:

Subtraia 6 de ambos os lados da equação:
x = -6

Resolvendo uma Equação de Variável Única:

Adicione 1 a ambos os lados da equação:
x = 1

Suplemento: Resolvendo Equação Quadrática Diretamente

Anteriormente, fatoramos esse polinômio dividindo o termo do meio. vamos agora resolver a equação completando o quadrado e usando a fórmula quadrática

Parábola, encontrando o vértice:

5.1 Encontre o vértice de y = x 2 + 5x-6

As parábolas têm um ponto mais alto ou mais baixo denominado Vértice. Nossa parábola se abre e, portanto, tem um ponto mais baixo (também conhecido como mínimo absoluto). Sabemos disso antes mesmo de traçar "y" porque o coeficiente do primeiro termo, 1, é positivo (maior que zero).

Cada parábola possui uma linha vertical de simetria que passa por seu vértice. Por causa dessa simetria, a linha de simetria passaria, por exemplo, pelo ponto médio dos dois interceptos x (raízes ou soluções) da parábola. Ou seja, se a parábola tiver de fato duas soluções reais.

As parábolas podem modelar muitas situações da vida real, como a altura acima do solo, de um objeto jogado para cima, após algum período de tempo. O vértice da parábola pode nos fornecer informações, como a altura máxima que o objeto, lançado para cima, pode atingir. Por esta razão, queremos ser capazes de encontrar as coordenadas do vértice.

Para qualquer parábola, Ax 2 + Bx + C, a coordenada x do vértice é dada por -B / (2A). No nosso caso, a coordenada x é -2,5000

Conectando-se à fórmula da parábola -2,5000 para x, podemos calcular a coordenada y:
y = 1,0 * -2,50 * -2,50 + 5,0 * -2,50 - 6,0
ou y = -12,250

Parábola, vértice gráfico e interceptações X:

Gráfico raiz para: y = x 2 + 5x-6
Eixo de simetria (tracejado) = <-2.50>
Vértice em = <-2.50,-12.25>
x -Intercepts (Roots):
Root 1 em = <-6.00, 0.00>
Root 2 em =

Resolva a equação quadrática completando o quadrado

5.2 Resolvendo x 2 + 5x-6 = 0 completando o quadrado.

Adicione 6 a ambos os lados da equação:
x 2 + 5x = 6

Agora a parte mais inteligente: pegue o coeficiente de x, que é 5, divida por dois, resultando em 5/2 e, por fim, eleve ao quadrado, resultando em 25/4

Adicione 25/4 a ambos os lados da equação:
No lado direito, temos:
6 + 25/4 ou, (6/1) + (25/4)
O denominador comum das duas frações é 4 Somando (24/4) + (25/4) dá 49/4
Assim, adicionando os dois lados, finalmente obtemos:
x 2 + 5x + (25/4) = 49/4

Adicionar 25/4 completou o lado esquerdo em um quadrado perfeito:
x 2 + 5x + (25/4) =
(x + (5/2)) • (x + (5/2)) =
(x + (5/2)) 2
Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais umas às outras. Desde
x 2 + 5x + (25/4) = 49/4 e
x 2 + 5x + (25/4) = (x + (5/2)) 2
então, de acordo com a lei da transitividade,
(x + (5/2)) 2 = 49/4

Vamos nos referir a esta equação como Eq. # 5.2.1

O Princípio da Raiz Quadrada diz que quando duas coisas são iguais, suas raízes quadradas são iguais.

Observe que a raiz quadrada de
(x + (5/2)) 2 é
(x + (5/2)) 2/2 =
(x + (5/2)) 1 =
x + (5/2)

Agora, aplicando o princípio da raiz quadrada à Eq. # 5.2.1 obtemos:
x + (5/2) = √ 49/4

Subtraia 5/2 de ambos os lados para obter:
x = -5/2 + √ 49/4

Como uma raiz quadrada tem dois valores, um positivo e outro negativo
x 2 + 5x - 6 = 0
tem duas soluções:
x = -5/2 + √ 49/4
ou
x = -5/2 - √ 49/4

Observe que √ 49/4 pode ser escrito como
√ 49 / √ 4 que é 7/2

Resolva a equação quadrática usando a fórmula quadrática

5.3 Resolvendo x 2 + 5x-6 = 0 pela Fórmula Quadrática.

De acordo com a Fórmula Quadrática, x, a solução para Ax 2 + Bx + C = 0, onde A, B e C são números, muitas vezes chamados de coeficientes, é dada por:

- B ± √ B 2 -4AC
x = ————————
2A


18.3: Resolvendo todos os tipos de quadráticas (15 minutos)

Atividade

Nesta atividade de jogo de linha, os alunos resolvem equações quadráticas equivalentes fornecidas em diferentes formas e, em seguida, comparam seus resultados. A estrutura de um jogo de linha dá aos alunos a oportunidade de construir argumentos viáveis ​​e criticar o raciocínio dos outros (MP3).

Procure grupos onde um parceiro usa fórmula quadrática enquanto o outro parceiro usa um método diferente para uma linha específica para compartilhar durante a discussão. Procure também grupos em que os parceiros discordem porque suas soluções parecem superficialmente diferentes, por exemplo, se um parceiro obtém (x = 2 pm frac < sqrt <32>> <2> ) enquanto o outro parceiro obtém (x = 2 pm sqrt <8> ) para a primeira pergunta.

Lançar

Organize os alunos em grupos de 2, designando um aluno como parceiro A e o outro como parceiro B. Explique aos alunos que haverá duas colunas de problemas e que eles só resolvem os problemas da coluna deles. Incentive os alunos a usar um método diferente do que seus parceiros em cada questão e verifique se as soluções são equivalentes.

Para cada linha, você e seu parceiro resolverão uma equação quadrática. Cada um de vocês deve obter a mesma resposta. Se você discordar, trabalhe para chegar a um acordo.

parceiro A parceiro B
(x ^ 2 - 4x - 4 = 0 ) ((x - 2) ^ 2 = 8 )
((y - 2) ^ 2 = text- 8 ) (y ^ 2 - 4y + 12 = 0 )
((z + frac32) ^ 2 = text- frac <29> <4> ) (2z ^ 2 + 6z = text- 19 )
(w ^ 2 + 3w = 5 ) ((w + frac32) ^ 2 = frac <29> <4> )
(4t ^ 2-20t + 25 = 0 ) (4 (t ^ 2-5t) = text-25 )

Resposta do Aluno

Os professores com um endereço de e-mail comercial válido podem clicar aqui para se registrar ou entrar para ter acesso gratuito à resposta do aluno.

Equívocos antecipados

Se os alunos ainda têm dificuldade em usar números imaginários para descrever raízes quadradas de números negativos, por exemplo ( sqrt < text-8> ), considere perguntar,

  • “What numbers square to make -1?” ( ( pm i ))
  • “Quais são os números ao quadrado para fazer 8?” ( ( pm sqrt <8> ))
  • “Então, quais números ao quadrado formar -8?” ( ( pm i sqrt <8> )) Em seguida, lembre aos alunos que, por convenção, ( sqrt < text-8> ) se refere ao número no eixo imaginário positivo quadrado para formar -8, então ( sqrt < text-8> = i sqrt <8> ).

Síntese de Atividades

Selecione alunos identificados anteriormente para compartilhar como eles resolveram suas equações e exibir seu trabalho para que todos possam ver. Certifique-se de que os alunos expliquem por que as soluções que parecem diferentes são realmente iguais. Pergunte aos alunos “O que é igual com as duas equações? O que está diferente?" (Uma das equações já envolve um quadrado perfeito, enquanto a outra usa a fórmula quadrática ou completando o quadrado para encontrar as soluções. Usar a fórmula quadrática dá a mesma solução, mas geralmente resultará em soluções parecendo diferentes superficialmente.)


Resolva equações quadráticas completando o quadrado

  • Complete o quadrado de uma expressão binomial
  • Resolva equações quadráticas do formulário completando o quadrado
  • Resolva equações quadráticas do formulário completando o quadrado

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    Expandir:

Até agora, resolvemos equações quadráticas fatorando e usando a propriedade de raiz quadrada. Nesta seção, resolveremos as equações quadráticas por um processo denominado completar o quadrado, que é importante para nosso trabalho posterior com as cônicas.

Complete o quadrado de uma expressão binomial

Na última seção, fomos capazes de usar a propriedade de raiz quadrada para resolver a equação (y - 7) 2 = 12 porque o lado esquerdo era um quadrado perfeito.

Também resolvemos uma equação em que o lado esquerdo era um trinômio quadrado perfeito, mas tivemos que reescrever a forma para usar a propriedade de raiz quadrada.

O que acontece se a variável não fizer parte de um quadrado perfeito? Podemos usar álgebra para fazer um quadrado perfeito?

Vejamos dois exemplos para nos ajudar a reconhecer os padrões.

Nós reafirmamos os padrões aqui para referência.

Se uma e b são números reais,

Podemos usar esse padrão para “fazer” um quadrado perfeito.

Vamos começar com a expressão x 2 + 6x. Como há um sinal de mais entre os dois termos, usaremos o (uma + b) 2 padrão, uma 2 + 2ab + b 2 = (uma + b) 2 .

Em última análise, precisamos encontrar o último termo desse trinômio que o tornará um trinômio quadrado perfeito. Para fazer isso, precisamos encontrar b. Mas primeiro começamos determinando uma. Observe que o primeiro termo de x 2 + 6x é um quadrado, x 2 Isso nos diz que uma = x.

Qual número, b, quando multiplicado por 2x dá 6x? Teria que ser 3, que é Então b = 3.

Agora, para completar o trinômio quadrado perfeito, encontraremos o último termo ao elevar ao quadrado b, que é 3 2 = 9.

Então descobrimos que adicionar 9 a x 2 + 6x ‘Completa o quadrado’, e nós o escrevemos como (x + 3) 2 .

Complete um quadrado de
  1. Identificar b, o coeficiente de x.
  2. Encontrar o número para completar o quadrado.
  3. Adicione o para x 2 + bx.
  4. Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um quadrado binomial.

Complete o quadrado para fazer um trinômio quadrado perfeito. Em seguida, escreva o resultado como um quadrado binomial.

O coeficiente de é −26.
Adicione 169 ao binômio para completar o quadrado.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como
O coeficiente de é .
Adicionar ao binômio para completar o quadrado.
Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como
O coeficiente de é
Adicionar ao binômio para completar o quadrado.
Reescreva como um quadrado binomial.

Complete o quadrado para fazer um trinômio quadrado perfeito. Em seguida, escreva o resultado como um quadrado binomial.

Complete o quadrado para fazer um trinômio quadrado perfeito. Em seguida, escreva o resultado como um quadrado binomial.

Resolva Equações Quadráticas do Formulário x 2 + bx + c = 0 por Completar o Quadrado

Ao resolver equações, devemos sempre fazer a mesma coisa com os dois lados da equação. Isso é verdade, é claro, quando resolvemos uma equação quadrática completando também o quadrado. Quando adicionamos um termo a um lado da equação para fazer um trinômio quadrado perfeito, devemos também adicionar o mesmo termo ao outro lado da equação.

Por exemplo, se começarmos com a equação x 2 + 6x = 40, e queremos completar o quadrado à esquerda, adicionaremos 9 a ambos os lados da equação.

Adicione 9 a ambos os lados para completar o quadrado.

Agora a equação está na forma de resolver usando a propriedade de raiz quadrada! Completar o quadrado é uma maneira de transformar uma equação na forma de que precisamos para poder usar a propriedade de raiz quadrada.

Como resolver uma equação quadrática da forma Completando o Quadrado

Resolva completando o quadrado:

Resolva completando o quadrado:

Resolva completando o quadrado:

As etapas para resolver uma equação quadrática completando o quadrado estão listadas aqui.

Resolva uma equação quadrática do formulário completando o quadrado.
  1. Isole os termos variáveis ​​de um lado e os termos constantes do outro.
  2. Encontrar o número necessário para completar o quadrado. Adicione-o a ambos os lados da equação.
  3. Fatore o trinômio quadrado perfeito, escrevendo-o como um binomial ao quadrado à esquerda e simplifique adicionando os termos à direita
  4. Use a propriedade de raiz quadrada.
  5. Simplifique o radical e resolva as duas equações resultantes.
  6. Verifique as soluções.

Quando resolvemos uma equação completando o quadrado, as respostas nem sempre serão inteiros.

Resolva completando o quadrado:

Os termos variáveis ​​estão no lado esquerdo.

Resolva completando o quadrado:

Resolva completando o quadrado:

No exemplo anterior, nossas soluções eram números complexos. No próximo exemplo, as soluções serão números irracionais.

Resolva completando o quadrado:

Os termos variáveis ​​estão no lado esquerdo.

Outra maneira de verificar isso seria usar uma calculadora. Avalie para ambas as soluções. A resposta deve ser

Resolva completando o quadrado:

Resolva completando o quadrado:

Começaremos o próximo exemplo isolando os termos variáveis ​​no lado esquerdo da equação.

Resolva completando o quadrado:


Infelizmente, a maioria das quadráticas não vem perfeitamente quadrada assim. Para sua quadrática cotidiana média, você primeiro tem que usar a técnica de & quotcompletar o quadrado & quot para reorganizar a quadrática no formato & quot (parte quadrada) igual a (um número) & quot puro demonstrado acima. Por exemplo:

Encontre o x -interceptações de y = 4x 2 & ndash 2x & ndash 5.

Em primeiro lugar, lembre-se de que encontrar as interceptações x significa definir y igual a zero e resolvendo para o x -valores, portanto, esta questão está realmente pedindo que você & quotSolva 4x 2 & ndash 2x & ndash 5 = 0 & quot.

Agora, vamos começar o processo de completar a quadratura. Para começar, temos a equação original (ou, se tivéssemos que resolver primeiro para & quot = 0 & quot, a forma "igual a zero" da equação). Neste caso, fomos solicitados a x -interceptos de uma função quadrática, o que significa que definimos a função igual a zero. Então, estamos prontos para ir. Nosso ponto de partida é esta equação:

Agora, ao contrário de tudo que aprendemos antes, vamos mover a constante (ou seja, o número que é não com uma variável) para o outro lado do sinal de "igual":

Ao resolver completando o quadrado, queremos que o x 2 para ser por si só, então vamos precisar dividir por tudo o que é multiplicado neste termo. Neste caso, temos um 4 multiplicado no x 2, então precisaremos dividir por 4 para nos livrarmos disso. Nosso resultado é:

Agora vamos fazer um trabalho paralelo. Olhando para a quadrática acima, temos um x 2 termos e um x termo no lado esquerdo. Vamos trabalhar com o coeficiente do x prazo. Em nosso caso presente, este valor, junto com seu signo, é:

Para criar nosso quadrado completo, precisamos dividir esse coeficiente numérico por 2 (ou, o que é a mesma coisa, multiplicá-lo pela metade). Em nosso caso, obtemos:

Agora vamos elevar ao quadrado esse valor derivado. (Claro, isso nos dará um número positivo como resultado.)

Ok, agora vamos voltar para a última etapa antes de nosso desvio:

. e adicionamos aquele & quot & quot a cada lado da equação:

Podemos simplificar as coisas estritamente numéricas do lado direito:

Neste ponto, estamos prontos para converter para a forma de quadrado completo porque, adicionando isso a cada lado, reorganizamos o lado esquerdo em um quadrático que é um quadrado perfeito. Em outras palavras, podemos converter esse lado esquerdo em um binômio bonito e quadrado. Mas como?

A maneira mais simples é voltar ao valor que obtivemos depois de dividir por dois (ou, o que é a mesma coisa, multiplicar pela metade) e, usando isso, junto com seu signo, para formar o binômio ao quadrado. Em outras palavras, neste caso, obtemos:

Yay! Forma quadrada completa! Agora podemos criar raiz quadrada de qualquer lado (lembrando do "mais-menos" no lado estritamente numérico):

Agora podemos resolver os valores da variável:

O "mais-menos" significa que temos dois soluções:

As soluções também podem ser escritas de forma arredondada ou para algum número razoável de casas decimais (como duas).

Provavelmente, você precisará de formas arredondadas para respostas de & quotrealidade & quot para problemas de palavras e para gráficos. Por exemplo, para o exercício acima, é muito mais fácil representar graficamente uma interceptação em x = -0,9 do que tentar representar graficamente o número na forma de raiz quadrada com um "menos" no meio. Mas (aviso!) Na maioria dos outros casos, você deve presumir que a resposta deve estar no formato & quotexato & quot, completo com todas as raízes quadradas.

Ao completar o quadrado, certifique-se de ter cuidado com o sinal no coeficiente numérico do x -term quando você multiplica esse coeficiente pela metade. Se você perder o sinal desse termo, poderá obter a resposta errada no final, porque esquecerá qual sinal está entre parênteses no formulário do quadrado preenchido.

Also, don't be sloppy and wait to do the plus/minus sign until the very end. On your tests, you won't have the answers in the back to "remind" you that you "meant" to use the plus-minus, and you will likely forget to put the plus-minus into the answer. Besides, there's no reason to go ticking off your instructor by doing something wrong when it's so simple to do it right.

On the same note, make sure you draw in the square root sign, as necessary, when you square root both sides. Don't wait until the answer in the back of the book "reminds" you that you "meant" to put the square root symbol in there.

If you get in the habit of being sloppy, you'll only hurt yourself!

Solve x 2 + 6x &ndash 7 = 0 by completing the square.

I'll do the same procedure as in the first exercise, in exactly the same order. (Study tip: Always working these problems in exactly the same way will help you remember the steps when you're taking your tests.)

First, I write down the equation they've given me.

I move the constant term (the loose number) over to the other side of the "equals".

The leading term is already only multiplied by 1 , so I don't have to divide through by anything. So that step is done.

Now I'll grab some scratch paper, and do my computations. First, the coefficient of the "linear" term (that is, the term with just x , not the x 2 term), with its sign, is:

My next step is to square this derived value:

square of derived value: ( +3 ) 2 = 9

Now I go back to my equation, and add this squared value to either side:

I'll simplify the strictly-numerical stuff on the right-hand side:

And now I'll convert the left-hand side to completed-square form, using the derived value (which I circled in my scratch-work, so I wouldn't lose track of it), along with its sign:

Now that the left-hand side is in completed-square form, I can square-root each side, remembering to put a "plus-minus" on the strictly-numerical side:

. and then I'll solve for my two solutions:

Please take the time to work through the above two exercise for yourself, making sure that you're clear on each step, how the steps work together, and how I arrived at the listed answers. And then take the time to practice extra exercises from your book. With practice, this process can become fairly easy, especially if you're careful to work the exact same steps in the exact same order. Yes, "in real life" you'd use the Quadratic Formula or your calculator, but you should expect at least one question on the next test (and maybe the final) where you're required to show the steps for completing the square.

Note: Because the solutions to the second exercise above were integers, this tells you that we could have solved it by factoring.

Warning: If you are not consistent with remembering to put your plus/minus in as soon as you square-root both sides, then this is an example of the type of exercise where you'll get yourself in trouble. You'll write your answer for the second exercise above as " x = &ndash3 + 4 = 1 ", and have no idea how they got " x = &ndash7 ", because you won't have a square root symbol "reminding" you that you "meant" to put the plus/minus in. In other words, if you're sloppy, these easier problems will embarrass you!

On the next page, we'll do another example, and then show how the Quadratic Formula can be derived from the completing-the-square procedure.


Completing the Square to Solve Quadratic Equations



Examples, solutions and videos to help GCSE Maths students learn how to complete the square in order to solve quadratic equations.

How to solve quadratic equations by completing the square?
1. If a &ne 1, divide each term of the quadratic equation by a.
2. Write the quadratic in the form
x 2 + bx + ____ = c + ____
3. Add (b/2) 2 to both sides of the equation.
3. Factor the left side of the equation. It should be a perfect square.
4. Square root both sides of the equation and solve for x.

GCSE Maths - Quadratic Equations 6 (Completing the Square) Higher Mathematics (IGCSE)

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Completing the Square

This is what is meant by completing the square, and the secret to it is to expand out the expression

and see what makes perfect squares tick. Applying our formula for squaring a binomial, we get

The key here is to look at the relationship between the coefficient on x and the constant coefficient. The coefficient on x is 2k and the constant term is k 2 . This means that if we know the coefficient on x, and we want to know what the constant term has to be for the expression to be a perfect square, then we need to divide the coefficient on x by 2 to get k, and then square to get k 2 .

So if you have an expression of the form x 2 +bx

Exemplo

I hope the above has helped you understand the process of completing the square. If not, there is another approach to it that I have written an article about that you might find interesting for further understanding. It is a geometrical approach based on the method that many earlier mathematician used. You can read my article A Geometrical Approach to Completing the Square to find out about it.


Solving Quadratic Equations by Completing the Square Game

A bingo game resource on solving equations by completing the square. Students practice using the complete the square method to solve quadratic equations.

Solving Quadratic Equations by Completing the Square Bingo! game

A bingo game on solving equations by completing the square.

Questions are projected on the board using the included PowerPoint. You can change the order of these if you want.

This is a great way to engage students in a spiral review activity students love the pace and competition of the activity. The game comes complete with printable unique bingo cards for up to 36 students.

Alternatively, there is a no print option where students draw their own 3 by 3 grid and choose nine numbers from the board.

If the answer to a slide is their number they cross it off. The first student who crosses off all nine numbers and calls out ‘bingo!’ is the winner. (For a speed version it can be the first to get a row or column). Usually, there is a small prize for the winner.


This is a ‘completing the square’ practice bingo game on solving quadratic equations.

Problems are displayed from the resources PowerPoint. There is a range of differentiated questions and the sequence of slides can be rearranged to your preference.

The game is a great way to have students practice solving quadratic equations by completing the square students enjoy the pace and competition that the bingo game naturally generates. The quiz includes pdf bingo cards sheet with printable bingo cards to cover classes of up to thirty-six.

It is also possible to play this completing the square quiz without printing the bingo sheets students can create their own answer sheet and select problems from the included ppt answer sheet.

How to play this completing the square game

Questions from the ppt are displayed on the board. Students draw a line through any matching answers on their answer card.

If a student matches all their answers they must be the first to call out ‘bingo!’ to win the game.

A reward can be given for extra motivation!

This algebra 2 quadratics game comes complete with an answer key.


Assista o vídeo: Como resolver Equações do 2 Grau Equações Quadráticas (Dezembro 2021).