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5.2: 5.2 Visualização do Espaço de Fase de Modelos de Tempo Discreto de Estado Contínuo


Depois de descobrir onde estão os pontos de equilíbrio do sistema, o próximo passo natural da análise seria desenhar a imagem completa de seu espaço de fase (se o sistema for bidimensional ou tridimensional).

Para sistemas de tempo discreto com variáveis ​​de estado contínuo (ou seja, variáveis ​​de estado que assumem valores reais), desenhar um espaço de fase pode ser feito muito facilmente usando simulações de computador diretas, assim como fizemos na Fig. 4.4.2. Para revelar uma estrutura em grande escala do espaço de fase, entretanto, você provavelmente precisará desenhar muitos resultados de simulação a partir de diferentes estados iniciais. Isso pode ser alcançado modificando a função de inicialização para que possa receber valores iniciais específicos para variáveis ​​de estado e, então, você pode colocar o código de simulação em loops for que varrem os valores dos parâmetros para um determinado intervalo. Por exemplo:


As partes revisadas do exemplo anterior são marcadas com ###. Aqui oarangefunção foi usada para variar o inicialxeyvalores acima de ([- 2,2] ) no intervalo 0,5. Para cada estado inicial, uma simulação é conduzida por 30 etapas e, em seguida, o resultado é plotado em azul (a opção 'b' deenredo) A saída desse código é a Fig. 5.2.1, que mostra claramente que o espaço de fase desse sistema é feito de muitas trajetórias concêntricas em torno da origem.

Exercício ( PageIndex {1} )

Desenhe um espaço de fase do seguinte modelo de equação de diferença bidimensional em Python:

[x_ {t} = x_ {t-1} +0,1 (x_ {t-1} -x_ {t-1} y_ {t-1}) label {(5.11)} ]

[y_ {t} = y_ {t-1} +0,1 (y_ {t-1} -x_ {t-1} y_ {t-1}) label {(5.12)} ]

[(x> 0, x> 0) label {(5.13)} ]

Os sistemas tridimensionais também podem ser visualizados de maneira semelhante. Por exemplo, vamos tentar visualizar o seguinte modelo de equação de diferença tridimensional:

[x_ {t} = 0,5x + y label {(5.14)} ]

[y_ {t} = -0,5x + y label {(5.15)} ]

[z_ {t} = -x-y + z label {(5.16)} ]

Plotar em 3-D requer um adicionalmatplotlibcomponente chamadoAxes3D. Um código de amostra é fornecido no Código 5.2. Observe o novoimportar Axes3Dlinha no início, bem como as duas linhas adicionais antes dos loops for. Esse código produz o resultado mostrado na Fig. 5.2.2.

Observe que geralmente não é uma boa ideia desenhar muitas trajetórias em um espaço de fase 3-D, porque a visualização ficaria muito lotada e difícil de ver. Desenhar um pequeno número de trajetórias características é mais útil.

Em geral, você deve ter em mente que a visualização do espaço de fase de modelos de tempo discreto nem sempre pode fornecer imagens que são facilmente visíveis ao olho humano. Isso ocorre porque o estado de um sistema de tempo discreto pode pular no espaço de fase e, portanto, as trajetórias podem se cruzar (isso não acontecerá para modelos de tempo contínuo). Aqui está um exemplo. Substitua o conteúdo da função de atualização no Código 5.1 pelo seguinte:


Como resultado, você obtém a Fig. 5.2.3. Embora isso possa ser esteticamente agradável, não ajuda muito a nossa compreensão do sistema, porque existem muitas trajetórias sobrepostas no diagrama. Nesse sentido, a visualização direta do espaço de fase nem sempre pode ser útil para analisar sistemas dinâmicos de tempo discreto. Nas seções a seguir, discutiremos algumas soluções alternativas possíveis para esse problema.


Assista o vídeo: Kap. 12: Diskret stokastisk variabel, sannsynlighetsfordeling og kumulativ fordelingsfunksjon (Dezembro 2021).