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3.4: Desigualdades lineares em duas variáveis ​​- Matemática


3.4: Desigualdades lineares em duas variáveis ​​- Matemática

3.4: Desigualdades lineares em duas variáveis ​​- Matemática

Sabemos formular equações de diferentes graus, e isso é muito usado na vida real, mas surge a pergunta: sempre é possível converter uma situação em uma equação? Às vezes, recebemos declarações como, o número de casos da Covid por dia em Delhi chegou a mais de 10.000. Esta frase “Menor que”, “Maior que”, “menor ou igual a” etc. Tais frases são difíceis de traduzir em equações. Para tais casos, precisamos aprender a fazer equações com desigualdades neles. Vamos ver isso em detalhes.

O que são desigualdades?

Vamos considerar um exemplo: Anil quer comprar algumas bebidas geladas. Cada bebida fria custa Rs 20 e ele tem um total de Rs 190 com ele. Suponha que ele compre x bebidas geladas. Qual pode ser o valor máximo de x? Pode ser representado na forma de uma equação fornecida abaixo,

Alguns exemplos gerais de desigualdades são,

A partir das equações acima, as equações (1) e (2) são chamadas de desigualdades estritas e (3) e (4) são chamadas de desigualdades de folga.

Soluções de Desigualdades

  1. Números iguais podem ser adicionados ou subtraídos de ambos os lados da desigualdade.
  2. Ambos os lados de uma desigualdade podem ser multiplicados (ou divididos) pelo mesmo número positivo. Mas quando ambos os lados são multiplicados ou divididos por um número negativo, o sinal de desigualdade é invertido.

Essas operações não afetam a desigualdade e podem ser usadas para simplificar a desigualdade para nós.

Pergunta: Resolva a desigualdade 20x & lt 80 e mostre suas soluções em um gráfico.

Nos é dado,

20x e 80

Sabemos que dividir a desigualdade por um número positivo não muda nada. Vamos dividir a desigualdade por 20.

x & lt 4.

Agora, todos os valores menores que 10 são soluções para essa desigualdade. A figura abaixo representa esta solução no gráfico.

Representações Gráficas de Desigualdades em Duas Variáveis

Vimos o gráfico de uma desigualdade linear em uma variável. Uma equação linear em duas variáveis ​​representa uma linha que divide o plano em duas partes. Chamamos cada parte de meio plano. Se a linha for vertical, ela dividirá o plano no semiplano esquerdo e no semiplano direito e a linha não vertical dividirá o plano em semiplano superior esquerdo e semiplano inferior.

Qualquer ponto no plano cartesiano estará na linha ou em qualquer um dos semiplanos I e II.

  1. machado + por> c
  2. machado + por & lt c
  3. ax + by = c

Caso (i): ax + por> c

Digamos que & # 8217s b> 0. Considere um ponto (h, k) que satisfaça a equação. Então,

ah + bk = c

Pegando outro ponto arbitrário (h, l). A figura abaixo representa os dois pontos junto com a linha. Nós sabemos,

l> k

bl> bk

ah + bl> ah + bk

ah + bl> c

Assim, o ponto (h, l) satisfaz a propriedade ax + por> c. Assim, todos os pontos situados no semiplano II satisfazem esta desigualdade. Para b & lt 0 também, isso pode ser provado de forma semelhante.

Caso (ii): ax + by = c

Todos os pontos que satisfazem a linha, que está na linha, satisfazem esta equação.

Caso (iii): ax + por & lt c

Todos os pontos restantes, ou seja, os pontos situados no semiplano, eu satisfaço esta desigualdade.

Vejamos alguns problemas com esses conceitos.

Problemas de amostra

Questão 1: Resolva a equação 5x + 3y> 6 graficamente.

Primeiro precisamos desenhar o gráfico para 5x + 3y = 6. Isso pode ser feito trazendo a equação na forma de interceptação de inclinação ou a forma de interceptação.

Agora selecione um ponto arbitrariamente para verificar. Vamos pegar (0,0).

Substituindo este ponto (0,0) na equação,

5 (0) + 3 (0) = 0 & lt 6.

Assim, os pontos na metade inferior irão satisfazer 5x + 3y & lt 6. Assim, todos os pontos que satisfazem a equação dada estarão na metade superior do plano.

Questão 2: Resolva a equação 6x + 2y> 3 graficamente.

Primeiro precisamos desenhar o gráfico para 6x + 2y = 3. Isso pode ser feito trazendo a equação na forma de interceptação de inclinação ou a forma de interceptação.

Colocando (0,0) na equação,

6 (0) + 2 (0) = 0 & lt 3. Assim, os pontos na metade superior do plano satisfazem a equação dada.

6x + 2y> 3

Pergunta 3: Resolva a equação x + y & lt 2 graficamente.


Colocando o (0, 0) na equação,

0 e 2.

Este ponto satisfaz a equação fornecida. Assim, o gráfico será,

Questão 4: Resolva a equação 3x & # 8211 5y & lt 20 graficamente.

Como de costume, tomaremos (0, 0) como o ponto que queremos testar.

3 (0) & # 8211 5 (0) & lt 20.

Este ponto satisfaz a desigualdade dada. Assim, o meio plano superior esquerdo satisfaz a desigualdade.

Questão 5: Forme a desigualdade a partir do gráfico abaixo.

Podemos ver que essa linha é paralela a um dos eixos. A equação da linha é,

x = 4

Agora queremos formar a desigualdade linear para a região sombreada. (0,0) na região sombreada, então vamos verificar isso.

x = 0 & lt 4

Assim, a região sombreada satisfaz,

x & lt 4

Questão 6: Forme a desigualdade a partir do gráfico abaixo.

A partir do gráfico, vamos primeiro & # 8217s deduzir a equação da reta. Podemos ver que as interceptações dos eixos xey têm comprimento 4.

Agora precisamos descobrir qual condição é satisfeita pelo meio plano inferior. Vamos usar (0,0) porque pertence ao meio plano inferior. Substituindo o valor (0,0) na equação,

Então,


Como você resolve desigualdades lineares com duas variáveis?

A solução de uma desigualdade linear em duas variáveis, como Ax + By & gt C, é um par ordenado (x, y) que produz uma afirmação verdadeira quando os valores de xey são substituídos na desigualdade.

Resolver desigualdades lineares é o mesmo que resolver equações lineares; a diferença que ela mantém é do símbolo de desigualdade.

Resolvemos desigualdades lineares da mesma maneira que as equações lineares.

Passo 1: Simplifique a desigualdade em ambos os lados, tanto no LHS quanto no RHS de acordo com as regras de desigualdade.
Etapa 2: Assim que o valor for obtido, temos:

  • desigualdades estritas, nas quais os dois lados das desigualdades não podem ser iguais.
  • desigualdades não estritas, nas quais os dois lados das desigualdades também podem ser iguais.

Considere a seguinte desigualdade:

Quando falamos sobre como encontrar o solução para esta desigualdade, estamos falando sobre todos aqueles pares de valores do x e y para o qual esta desigualdade é satisfeita. Isso significa, por exemplo, que (x = 4, y = 3 ) é uma solução possível para essa desigualdade em particular. No entanto, (x = 0, y = 0 ) não é, porque quando você substitui x e y igual a 0 no LHS da desigualdade, acaba sendo menor que 7.

Vimos que, para qualquer equação linear em duas variáveis, existem infinitas soluções. Pode ser óbvio para você agora que para qualquer desigualdade linear também teremos infinitas soluções. Todas essas soluções constituirão o conjunto de solução da desigualdade linear.

  1. PEMDAS e BODMAS desempenham um papel crucial na resolução de desigualdades.
  2. Se o número for negativo em qualquer lado de um sinal (não em ambos), a direção permanece a mesma.

Equações lineares

Um desconhecido

Uma equação linear em um desconhecido pode sempre ser declarada na forma padrão

onde x é um desconhecido e aeb são constantes. Se a não for igual a zero, esta equação tem uma solução única

Duas Desconhecidas

Uma equação linear em duas incógnitas, x e y, pode ser colocada na forma

onde xey são duas incógnitas e a, b, c são números reais. Além disso, assumimos que aeb não são zero.

Solução da Equação Linear

Uma solução da equação consiste em um par de números, u = (k1, k2), que satisfaz a equação ax + by = c. Matematicamente falando, uma solução consiste em u = (k1, k2) de tal modo que ak1 + bk2 = c. A solução da equação pode ser encontrada atribuindo valores arbitrários ax e resolvendo para y OU atribuindo valores arbitrários para y e resolvendo para x.

Geometricamente, qualquer solução u = (k1, k2) da equação linear ax + by = c determinar um ponto no plano cartesiano. Como aeb não são zero, a solução u corresponde precisamente aos pontos em uma linha reta.

Duas Equações nas Duas Desconhecidas

Um sistema de duas equações lineares nas duas incógnitas x e y é


Onde um1, uma2, b1, b2 não são zero. Um par de números que satisfaça ambas as equações é chamado de solução simultânea das equações dadas ou solução do sistema de equações.

  1. Se o sistema tiver exatamente uma solução, o gráfico das equações lineares se cruzam em um ponto.
  2. Se o sistema não tiver soluções, os gráficos das equações lineares são paralelos.
  3. Se o sistema possui um número infinito de soluções, os gráficos das equações lineares coincidem.

O sistema não tem solução quando

pode ser obtido pelo processo de eliminação, pelo qual reduz o sistema a uma única equação em apenas uma incógnita. Isso é realizado pelo seguinte algoritmo

Etapa 1 Multiplique as duas equações por dois números que são tais que
os coeficientes resultantes de um dos desconhecidos são negativos de
uns aos outros.

Etapa 2 Adicione as equações obtidas na Etapa 1.


A saída desse algoritmo é uma equação linear em uma incógnita. Esta equação pode ser resolvida para aquela incógnita, e a solução pode ser substituída em uma das equações originais produzindo o valor da outra incógnita.


Como exemplo, considere o seguinte sistema

Etapa 1: multiplique a equação (1) por 2 e a equação (2) por -3

Etapa 2: adicionar equações, saída da Etapa 1

Assim, obtemos uma equação envolvendo apenas y desconhecido. nós resolvemos para y obter

Em seguida, substituímos y = 1 na equação (1) para obter

Portanto, x = 2 ey = 1 é a solução única para o sistema.

N Equações em n desconhecidos

Agora, considere um sistema de n equações lineares em n incógnitas


Onde o aeu j, beu são números reais. O número aeu j é chamado de coeficiente de xj na i ésima equação, e o número beu é chamada de constante da i-ésima equação. Uma lista de valores para as incógnitas,

ou equivalentemente, uma lista de n números

é chamado de solução do sistema se, com kj substituído por xj, o lado esquerdo de cada equação na verdade é igual ao lado direito.

O sistema acima é equivalente à equação da matriz.

ou, simplesmente, podemos escrever A & times = B, onde A = (aeu j), & times = (xeu), e B = (beu).

A matriz é chamada de matriz de coeficiente do sistema de n equações lineares no sistema de n desconhecido.

A matriz é chamada de matriz aumentada de n equações lineares em n desconhecido.


Nota para nerds algorítmicos: armazenamos um sistema no computador como sua matriz aumentada. Especificamente, o sistema é armazenado no computador como um N & times (N + 1) matriz matriz A, a matriz aumentada matriz A, a matriz aumentada do sistema. Portanto, as constantes b1, b2,. . . , bn são respectivamente armazenados como A1, N + 1, UMA2, N + 1,. . . , UMAN, N + 1.

Solução de um sistema triangular

Se umeu j = 0 para i & gt j, então o sistema de n equações lineares em n desconhecido assume a forma triangular.

Método de substituição de costas

obtemos a solução de um sistema triangular pela técnica de substituição de volta, considere o sistema triangular geral acima.

1. Primeiro, resolvemos a última equação para a última incógnita, xn

2. Em segundo lugar, substituímos o valor de xn na penúltima equação e resolva para a penúltima incógnita, xn-1:

3. Terceiro, substituímos esses valores por xn e xn-1 na equação da terceira a partir da última e resolva para a incógnita da terceira a partir da última, xn-2 :

Em geral, determinamos xk substituindo os valores de x obtidos anteriormenten, xn-1,. . . , xk + 1 na k ésima equação.

Eliminação gaussiana

  1. Esta parte consiste em colocar o sistema passo a passo em um sistema triangular.
  2. Esta parte consiste em resolver o sistema triangular por substituição reversa.

Elimine o primeiro x desconhecido das equações 2 e 3.

(a) multiplique -2 à equação (1) e adicione-o à equação (2). Equação (2) torna-se

(b) Multiplique 3 à equação (1) e some-o à equação (3). Equação (3) torna-se

E o sistema original é reduzido ao sistema

Agora, temos que remover a segunda incógnita, y, da nova equação 3, usando apenas as novas equações 2 e 3 (acima).

a, multiplique a equação (2) por 1/2 e adicione-a à equação (3). A equação (3) torna-se 6z = 12.

Portanto, nosso sistema dado de três equações lineares de 3 desconhecidos é reduzido ao sistema triangular

Segunda parte

Na segunda parte, resolvemos a equação por substituição reversa e obtemos

No primeiro estágio do algoritmo, o coeficiente de x na primeira equação é chamado de pivô, e no segundo estágio do algoritmo, o coeficiente de y na segunda equação é o ponto. Claramente, o algoritmo não pode funcionar se um dos pivôs for zero. Nesse caso, deve-se trocar a equação de modo que um pivô não seja zero. Na verdade, se alguém quiser codificar esse algoritmo, a maior precisão será obtida quando o pivô for o maior em valor absoluto possível. Por exemplo, gostaríamos de trocar a equação 1 e a equação 2 no sistema original no exemplo acima antes de eliminar x da segunda e da terceira equação.

Ou seja, a primeira etapa do sistema de transferência de algoritmo como

Determinantes e sistemas de equações lineares

Considere um sistema de n equações lineares em n incógnitas. Ou seja, para o seguinte sistema

Deixe D denotar o determinante da matriz A + (aeu j) de coeficientes, ou seja, seja D = | A |. Além disso, deixe Neu denotam os determinantes da matriz obtidos pela substituição da i-ésima coluna de A pela coluna de constantes.

Teorema. Se D 0, o sistema de equações lineares acima tem a solução única.

Este teorema é amplamente conhecido como Regra de Cramer. É importante notar que a eliminação gaussiana é geralmente muito mais eficiente para resolver sistemas de equações lineares do que o uso de determinantes.


Resolva Desigualdades com Duas Variáveis

Este é um tutorial sobre como resolver desigualdades com duas variáveis. Vários exemplos e problemas com soluções e explicações detalhadas são apresentados.

Em primeiro lugar, esclarecemos o que é uma solução para uma desigualdade em duas variáveis ​​x e y?
Um par ordenado (a, b) é uma solução para uma dada desigualdade em duas variáveis ​​xey se a desigualdade for verdadeira quando xey são substituídos por aeb respectivamente. Como o par ordenado pode ser representado por um ponto, em geral, o conjunto solução (todas as soluções) da inequação é um conjunto de pontos que formam uma região no plano x-y.
Se substituirmos o símbolo de desigualdade em uma desigualdade em duas variáveis ​​por um sinal de igual, obteremos a equação correspondente à desigualdade dada. O gráfico da equação correspondente divide o plano em regiões tais que: ou todos os pontos em uma determinada região são soluções para a desigualdade de nenhum dos pontos nessa região são soluções para a desigualdade. Vamos esclarecer tudo acima por meio de exemplos com explicações detalhadas.

Exemplo 1: Resolva graficamente a desigualdade [x & # 8805 2 ]

Solução do Exemplo 1:

Três passos para encontrar a solução definem a desigualdade dada.
1) Represente graficamente a equação correspondente (x = 2 ), isso dividirá o plano em duas regiões. Uma das regiões representa o conjunto de soluções.
2) Selecione um ponto situado em qualquer uma das duas regiões obtidas e teste a desigualdade. Se o ponto selecionado for uma solução, então toda a região é o conjunto de solução. Se o ponto selecionado não for uma solução, a outra (segunda) região representa o conjunto de solução.
3) Teste: neste exemplo, vamos por exemplo selecionar o ponto com as coordenadas (3, 2) que está na região à direita da linha x = 2. Se você substituir x na desigualdade (x & # 8805 2 ) em 3 torna-se (3 & # 8805 2 ) que é uma afirmação verdadeira e, portanto, (3, 2) é uma solução. Portanto, podemos concluir que a região à direita da linha vertical x = 2 é um conjunto solução incluindo a própria linha que é mostrada como uma linha sólida por causa do símbolo de desigualdade (& # 8805 ) contém o (= ) símbolo. O conjunto de soluções é representado pela região hash azul no gráfico abaixo, incluindo a linha x = 2.

.

Exemplo 2: Resolva graficamente a desigualdade [y lt 1 ]

Solução do Exemplo 2:

Três passos para encontrar a solução definem a desigualdade dada.
1) Represente graficamente a equação correspondente (y = 1 ). É uma linha horizontal que divide o plano em duas regiões.
2) Selecione o ponto ((1, -1) ) situado na região abaixo da linha horizontal.
3) Teste o ponto ((1, -1) ) na desigualdade substituindo y por -1 na desigualdade para resolver: -1 & lt 1 é uma afirmação verdadeira.
O conjunto de solução é a região abaixo do gráfico de (y = -1 ), a região mostrada em azul abaixo. Como o símbolo de desigualdade é estritamente & lt (não inclui o = como & # 8804), o gráfico da reta y = 1 é quebrado.

.

Exemplo 3: Resolva graficamente a desigualdade

Solução do Exemplo 3:

Três passos para encontrar a solução definem a desigualdade dada.
1) Represente graficamente a equação (2y = - 4x + 4 ). É uma linha com interceptação de x em (1, 0) ey interceptação de (0, 2).
2) Selecione o ponto ((0, 0) ) situado em uma das regiões feitas pelo gráfico na etapa 1.
3) Teste o ponto ((0, 0) ) na desigualdade substituindo x por 0 ey por 0 na desigualdade para resolver:
(2 (0) lt - 4 (0) + 4 )
Simplifique o acima
(0 lt 4 ): é uma afirmação verdadeira
O conjunto de solução é a região contendo o ponto (0, 0) a região roxa mostrada abaixo. Como a desigualdade é "estritamente menor que" (em oposição a "menor ou igual"), a linha é quebrada.

.

Exemplo 4: Resolva graficamente a desigualdade

Solução do Exemplo 4:

1) Represente graficamente a equação (y = x ^ 2 - 2 x - 3 ). É uma parábola com 2 interceptações x: em (-1, 0) e (3, 0) e uma interceptação y em (0, -3).
2) Selecione o ponto ((0, 0) ) situado em uma das regiões feitas pelo gráfico na etapa 1.
3) Teste o ponto ((0, 0) ) na desigualdade substituindo x por 0 ey por 0 na desigualdade para resolver:
[0 gt (0) ^ 2 - 2 (0) - 3 ]
Simplificar
(0 gt - 3 ): é uma afirmação verdadeira
O conjunto de soluções é a região que contém o ponto (0, 0) da região roxa mostrada abaixo. Como a desigualdade é "estritamente maior que" (em oposição a "maior ou igual"), os gráficos são quebrados.

.


Rajasthan Board RBSE Classe 10 Matemática Capítulo 4 Equação Linear e Desigualdades em Duas Variáveis ​​Ex 4.1

Questão 1
Comparando [latex] frac < _ <1 >> < _ <2 >>, frac < _ <1 >> < _ <2 >> [/ latex] e [latex] frac < _ <1 >> < _ <2 >> [/ latex] find,
se o seguinte par de equações lineares (RBSESolutions.com) é consistente ou inconsistente.
(i) 2r & # 8211 3y = 8 4c & # 8211 6y = 9
(ii) 3x & # 8211 y = 2 6x & # 8211 2y = 4
(iii) 2x & # 8211 2y = 2 4x & # 8211 4y = 5
(iv) [latex] frac <4> <3> [/ latex] + 2y = 8 2x + 3y = 12
Solução:
(i) Dado par linear de equações
23 & # 8211 3y = 8 ou 2x & # 8211 3y & # 8211 8 = 0
e 4x & # 8211 6y = 9 ou 4x & # 8211 6y & # 8211 9 = 0
Comparando as equações acima por um1 x + b1y + c1 e a2 x + b2 y + c2 = 0,
uma1 = 2, b1 = & # 8211 3, c1 = – 8
e um2 = 4, b2 = & # 8211 6, c2 = – 9.
[latex] frac <
_ <1 >> < _ <2 >> = frac <2> <4> = frac <1> <2>, frac < _ < 1 >> < _ <2 >> = frac <-3> <-6> = frac <1> <2>, frac < _ <1 >> < _ < 2 >> = frac <-8> <-9> = frac <8> <9> [/ latex]
∴ [latex] frac <
_ <1 >> < _ <2 >> = frac < _ <1 >> < _ <2 >> neq frac < _ <1 >> < _ <>> [/ latex]
∴ O par linear dado não tem solução.
Portanto, determinado par linear é inconsistente.

(ii) Dado par de (RBSESolutions.com) equações lineares
3x & # 8211 y = 2
ou 3x & # 8211 y & # 8211 2 = 0 & # 8230 (i)
e 6x & # 8211 2y = 4
ou 6x & # 8211 2y & # 8211 4 = 0
ou 3x & # 8211 y & # 8211 2 = 0 & # 8230 (ii)
Comparando as equações (i) e (ii) por um1x + b1y + c1 = 0 e um2x + b2y + c2 = 0
uma1 = 3, b1 = -1 e c1 = -2
e um2 = 3, b2 = -1 e c2= -2

O par linear é coincidente, então (RBSESolutions.com) o par linear tem soluções infinitas.
Assim, determinado par é consistente.

(iii) Par linear dado
2x & # 8211 2y = 2
ou 2x & # 8211 2y & # 8211 2 = 0
ou x & # 8211 y & # 8211 1 = 0 & # 8230 (i)
e 4x & # 8211 4y & # 8211 5 = 0 & # 8230 (ii)
Comparando as equações (i) e (ii) por um1x + b1y + c1 = 0 e um2x + b2y + c2 = 0
uma1 = 1, b1 = -1 e c1 = -1
e um2 = 4, b2 = -4 e c2= -5

O par linear dado não tem solução.
Assim, o par Linear dado é inconsistente.

(iv) Par linear dado (RBSESolutions.com)
[latex] frac <4> <3> [/ latex] x + 2y = 8
[latex] frac <4> <3> [/ latex] x + 2y & # 8211 8 = 0 & # 8230 (i)
e 2x + 3y = 12
2x + 3y & # 8211 12 = 0 & # 8230 (ii)
Comparando a equação (i) e (ii) pelo par a1x + b1y + c1 = 0 e um2x + b2y + c2 = 0

O par linear dado tem soluções infinitas, então o par linear é consistente.

Questão 2
Resolva o seguinte par de (RBSESolutions.com) equações lineares graficamente e escreva a natureza da solução.
(i) x + y = 3 3x & # 8211 2y = 4
(ii) 2x & # 8211 y = 4 x + y = -1
(iii) x + y = 5 2x + 2y = 10
(iv) 3x + y = 2 2x & # 8211 3y = 5
Solução:
(i) Dado par linear
x + y = 3
x + y -3 = 0 & # 8230. (i)
3x & # 8211 2y = 4
3x & # 8211 2y & # 8211 4 = 0 & # 8230 & # 8230 & # 8230 (ii)
Comparando a equação (i) e (ii) pelo par a1x + b1y + c1 = 0 e um2x + b2y + c2 = 0
uma1 = 1, b1 = 1 e c1 = -3
e um2 = 3, b2 = -2 e c2= -4

O par linear tem (RBSESolutions.com) solução única.
Assim, o par linear é consistente.

Método Gráfico:
Pela equação (i),
x + y = 3
x = 3 & # 8211 y
Colocando y = 0, x = 3 & # 8211 0 = 3
Colocando y = 1, x = 3 & # 8211 1 = 2
Colocando y = 2, x = 3 & # 8211 2 = 1
Tabela 1 para a equação (i),

Tabela 2 para a equação (ii),

Trace os pontos das Tabelas (1) e (2) em papel gráfico (RBSESolutions.com) e, unindo esses pontos, obtêm-se duas retas.

Do gráfico acima, é claro que duas linhas retas cortam no ponto P (2, 1). Assim, x = 2 ey = 1 é a solução necessária.

(ii) Par linear dado
2x & # 8211 y = 4
2x & # 8211 y & # 8211 4 = 0 & # 8230 .. (i)
x + y = -1
x + y + 1 = 0 & # 8230. (ii)
Comparando (RBSESolutions.com) equação (i) e (ii) por par linear
uma1x + b1y + c1 = 0 e um2x + b2y + c2 = 0

O par linear é consistente, o que terá soluções exclusivas.

Método Gráfico:
Pela equação (i),
2x & # 8211 y = 4
Colocando x = 0, 2 x 0 & # 8211 y = 4
y = -4
Colocando x = 1, 2 x & # 8211 y = 4
-y = 4 & # 8211 2
Colocando x = 2, 2 x 2 & # 8211 y = 4
4 & # 8211 y = 4
y = 0

Pela equação (ii),
x + y = -1
Colocando x = 0. 0 + y = -1
y = -1
Colocando x = 1, +1 + y = -1
y = -1 & # 8211 1
y = -2
Colocando x = 2,
2 + y = -1
y = -3

Traçando os pontos (RBSESolutions.com) das Tabelas 1 e 2, obtemos duas linhas retas.

Do gráfico acima, é claro que ambas as linhas retas se cortam no ponto P (1, & # 8211 2).
Assim, x = 1, y = & # 8211 2 são a solução necessária

(iii) Par linear dado:
x + y = 5 ou x + y & # 8211 5 = 0 & # 8230 (i)
2x + 2y = 10 ou 2x + 2y & # 8211 10 = 0 & # 8230 & # 8230 .. (ii)
Comparando o par acima (RBSESolutions.com) por par linear geral
uma1x + b1y + c1 = 0 e um2x + b2y + c2 = 0

∴ As linhas representadas pelo par linear serão coincidentes e o par linear terá soluções infinitas.
Assim, determinado par linear é consistente.

Método Gráfico:
Pela equação (i),
x + y = 5
⇒ x = 5 & # 8211 y
Colocando y = 0, x = 5 & # 8211 0 = 5
Colocando y = 3, x = 5 & # 8211 3 = 2
Colocando y = 5, x = 5 & # 8211 5 = 0

Juntando (RBSESolutions.com) os pontos A (5, 0), B (2, 3) e C (0, 5) em papel milimetrado.
Obtemos uma linha reta que indica a equação x + y = 5.
Pela equação (ii),
2x + 2y = 10
⇒ 2 (x + y) = 10
⇒ x + y = 5
⇒ x = 5 & # 8211 y
Colocando y = 0, x = 5 & # 8211 0 = 5
Colocando y = 2, x = 5 & # 8211 2 = 3
Colocando y = 5, x = 5 & # 8211 5 = 0

Ao juntar os pontos (RBSESolutions.com) A (5, 0), 8 (3,2) e C (0, 5) em papel milimetrado, obtemos uma linha reta que indica a equação 2x + 2y = 10.

A partir do gráfico, fica claro que um determinado par de equações lineares são coincidentes. Portanto, eles têm infinitas soluções.

(iv) Dado par de (RBSESolutions.com) equações lineares
3x + y = 2 ou 3x + y & # 8211 2 = 0
2x & # 8211 3y = 5 ou 2x & # 8211 3y & # 8211 5 = 0 & # 8230 (ii)
Comparando a equação (i) e (ii) por par
uma1x + b1y + c1 = 0 e um2x + b2y + c2 = 0

Assim, determinada equação terá soluções exclusivas.
∴ O par fornecido é consistente.

Método gráfico:
Pela equação (i)
3x + y = 2
y = 2 & # 8211 3x
Colocando x = 0, y = -3 x 0
y = 2
Colocando x = -1, y = 2 & # 8211 3 x (-1)
y = 2 + 3
y = 5

Da Tabela (1) e (2), plote os pontos em (RBSESolutions.com) papel milimetrado e, juntando-os, obtemos duas linhas retas.

Do gráfico acima, é claro que duas linhas retas se cruzam no ponto P (1, & # 8211 1)
Assim, x = 1 ey = & # 8211 1 é a solução necessária.

Questão 3
Resolva o seguinte par de equações lineares, (RBSESolutions.com) graficamente e encontre as coordenadas desses pontos onde as linhas representadas por esses cortes no eixo y.
(i) 2x & # 8211 5y + 4 = 0 2x + y & # 8211 8 = 0
(ii) 3x + 2 = 12 5x & # 8211 2y = 4
Solução:
(i) Dado par de equações lineares
2x & # 8211 5y + 4 = 0 & # 8230 (i)
e 2x + y & # 8211 8 = 0 & # 8230 (ii)
Da equação (i),

Pela equação (ii),
2x + y & # 8211 8 = 0
ou y & # 8211 2x + 8 = 0
Colocando x = 4, y = & # 8211 2 x 4 + 8
= -8 + 8
= 0
Colocando x = 3, y = & # 8211 2 x 3 + 8
= -6 + 8
= 2
Colocando x = 2, y = & # 8211 2 x 2 + 8
= -4 + 8
= 4

Trace os pontos (RBSESolutions.com) da Tabela (1) e (2) no gráfico.
Ao unir esses pontos, duas linhas retas são obtidas.

Do gráfico acima, fica claro que duas linhas retas se cruzam no ponto P (3, 2).
∴ Suas soluções necessárias são x = 3 ey = 2
e duas linhas retas cortam o eixo y em (0, 0,8) e (0, 8).

(ii) Dado par de (RBSESolutions.com) equações lineares
3x + 2y = 12 & # 8230 (i)
e 5x & # 8211 2y = 4 & # 8230 (ii)
Da equação (i),
3x + 2y = 12


Trace os pontos da Tabela (1) e (2) (RBSESolutions.com) em papel milimetrado. Ao unir esses pontos, duas linhas retas são obtidas.

Do gráfico acima, é claro que duas linhas retas se cruzam no ponto P (2, 3).
∴ x = 2 ey = 3 são soluções necessárias e duas linhas retas cortam o eixo y em (0, 6) e (0, & # 8211 2).

Questão 4
Resolva o seguinte par de (RBSESolutions.com) equações lineares grapycally e encontre as coordenadas do triângulo assim formado com o eixo y e as linhas.
4x & # 8211 5y = 20,
3x + 5y = 15
Solução:
Dado, par de equação linear
4x & # 8211 5y = 20 & # 8230 & # 8230 & # 8230 .. (i)
e 3x + 5y = 15 & # 8230 & # 8230 & # 8230 (ii)
Da equação (i),
4x & # 8211 5y = 20
5y = 4x & # 8211 20


Trace os pontos obtidos na Tabela (1) e (2) (RBSESolutions.com) em papel milimetrado. Ao unir esses pontos, duas linhas retas são obtidas.

A partir do gráfico acima, é (RBSESolutions.com) claro que duas linhas se cruzam no ponto P (5, 0)
∴ x = 5 ey = 0 são a solução necessária.
(0, 3), (0, & # 8211 4) e (5, 0) são coordenadas dos vértices de ΔABP formados por duas linhas retas no eixo y & # 8211.

Esperamos que as Soluções RBSE fornecidas para Matemática da Classe 10, Capítulo 4 Equação Linear e Desigualdades em Duas Variáveis ​​Ex 4.1, ajudem você. Se você tiver alguma dúvida sobre Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Capítulo 4 Equação Linear e Desigualdades em Duas Variáveis ​​Exercício 4.1, deixe um comentário abaixo e nós entraremos em contato com você o mais breve possível.


3.4: Desigualdades lineares em duas variáveis ​​- Matemática

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Os usuários do Yahoo chegaram a esta página ontem digitando estas frases-chave:


Representando graficamente as desigualdades lineares em duas variáveis

Para representar graficamente uma desigualdade linear em duas variáveis ​​(digamos, x e y), primeiro pegue y sozinho em um lado. Então considere o equação relacionada obtido alterando o sinal de desigualdade para um sinal de igual. O gráfico desta equação é uma reta.

Se a desigualdade for estrito (& lt ou & gt), represente graficamente uma linha tracejada. Se a desigualdade é não estrito ( & le e & ge ), represente graficamente uma linha sólida.

Finalmente, escolha um ponto fora da linha ((0, 0) é geralmente o mais fácil) e decida se essas coordenadas satisfazem a desigualdade ou não. Em caso afirmativo, sombreie o semiplano que contém esse ponto. Caso contrário, sombreie o outro meio plano.

Represente graficamente a desigualdade y & le 4 x & menos 2.

Esta linha já está em forma de declive-interceptação, com y sozinho no lado esquerdo. Sua inclinação é 4 e seu intercepto y é & menos 2. Portanto, é simples representar graficamente. Neste caso, fazemos um sólido linha uma vez que temos uma desigualdade "menor ou igual a".

Agora, substitua x = 0, y = 0 para decidir se (0, 0) satisfaz a desigualdade.

Isto é falso. Então, sombreie o semiplano que faz não inclui o ponto (0, 0).


(6.4.6) & # 8211 Aplicações de sistemas de desigualdades lineares

Em nosso primeiro exemplo, mostraremos como escrever e representar graficamente um sistema de desigualdades lineares que modela a quantidade de vendas necessária para obter uma determinada quantia de dinheiro.

Exemplo

Cathy está vendendo casquinhas de sorvete em uma festa para arrecadação de fundos para uma escola. Ela está vendendo dois tamanhos: pequeno (que tem 1 colher) e grande (que tem 2 colheres). Ela sabe que pode obter no máximo 70 colheres de sorvete de seu estoque. Ela cobra $ 3 por um cone pequeno e $ 5 por um cone grande.

Cathy quer ganhar pelo menos $ 120 para retribuir à escola. Escreva e represente graficamente um sistema de desigualdades que modele essa situação.

Primeiro, identifique as variáveis. Existem duas variáveis: o número de cones pequenos e o número de cones grandes.

Escreva a primeira equação: o número máximo de colheres que ela pode dar. As colheres que ela tem disponíveis (70) devem ser maiores ou iguais ao número de colheres para os cones pequenos [látex] (s) [/ latex] e os cones grandes [latex] (2eu) [/ latex] ela vende.

Escreva a segunda equação: a quantidade de dinheiro que ela levanta. Ela quer a quantia total de dinheiro ganho com pequenos cones [látex] (3s) [/ látex] e cones grandes [látex] (5eu) [/ latex] em pelo menos $ 120.

Agora faça um gráfico do sistema. As variáveis ​​[latex] x [/ latex] e [latex] y [/ latex] foram substituídas por [latex] s [/ latex] e [latex] l [/ latex] gráfico s ao longo do [latex] x [/ latex] -eixo e [/ latex] l [/ latex] ao longo do [/ latex] y [/ latex] -eixo.

Primeiro, represente graficamente a região [látex]s + 2eu leq 70 [/ latex]. Represente graficamente a linha limite e teste os pontos individuais para ver qual região sombrear. O gráfico é mostrado abaixo.

Agora represente graficamente a região [latex] 3s + 5l ge120 [/ latex] Represente graficamente a linha limite e teste os pontos individuais para ver qual região sombrear. O gráfico é mostrado abaixo.

Representando graficamente as regiões juntas, você encontra o seguinte:

E representado apenas como a região de sobreposição, você tem:

Responder

A região em roxo é a solução. Contanto que a combinação de cones pequenos e cones grandes que Cathy vende possa ser mapeada na região roxa, ela terá ganho pelo menos US $ 120 e não terá usado mais de 70 colheres de sorvete.

Em um exemplo anterior para encontrar uma solução para um sistema de equações lineares, apresentamos as equações de custo e receita de um fabricante:

A equação de custo é mostrada em azul no gráfico abaixo, e a equação de receita é mostrada em laranja. O ponto em que as duas linhas se cruzam é ​​chamado de ponto de equilíbrio, aprendemos que esta é a solução para o sistema de equações lineares que neste caso compreendem as equações de custo e receita.

A região sombreada à direita do ponto de equilíbrio representa as quantidades para as quais a empresa obtém lucro. A região à esquerda representa as quantidades em que a empresa sofre prejuízo.

No próximo exemplo, você verá como as informações que aprendeu sobre os sistemas de desigualdades lineares podem ser aplicadas para responder a perguntas sobre custo e receita.

Observe como a região sombreada em azul entre as equações de custo e receita é denominada Lucro. Este é o & # 8220doce & # 8221 que a empresa deseja alcançar, onde produz quadros de bicicleta suficientes a um custo mínimo o suficiente para ganhar dinheiro. Eles não querem mais dinheiro saindo do que entrando!

Exemplo

Defina a região de lucro para o negócio de fabricação de skate usando desigualdades, dado o sistema de equações lineares:

Sabemos que, graficamente, as soluções para desigualdades lineares são regiões inteiras e aprendemos como representar graficamente sistemas de desigualdades lineares anteriormente neste módulo. Com base no gráfico abaixo e nas equações que definem custo e receita, podemos usar desigualdades para definir a região para a qual o fabricante de skates terá lucro.

Vamos começar com a equação da receita. Sabemos que o ponto de equilíbrio está em (50.000, 77.500) e a região de lucro é a área azul. Se escolhermos um ponto na região e testá-lo como fizemos para encontrar regiões de solução para as desigualdades, saberemos que tipo de sinal de desigualdade usar.

Vamos testar o ponto [latex] left (65,00,100,000 right) [/ latex] em ambas as equações para determinar qual sinal de desigualdade usar.

Precisamos usar & gt porque 100.000 é maior que 90.250

A desigualdade de custos que garantirá que a empresa tenha lucro & # 8211 não apenas equilíbrio & # 8211 é [latex] y & gt0.85x + 35.000 [/ latex]

Agora teste o ponto na equação de receita:

Precisamos usar & lt porque 100.000 é menos que 100.750

A desigualdade de receita que garantirá que a empresa tenha lucro & # 8211 não apenas equilíbrio & # 8211 é [latex] y & lt1.55x [/ latex]

Os sistemas de desigualdades que definem a região de lucro para o fabricante de bicicletas:

Responder

O custo de produção de 50.000 unidades é de $ 77.500 e a receita das vendas de 50.000 unidades também é de $ 77.500. Para ter lucro, a empresa deve produzir e vender mais de 50.000 unidades. O sistema de desigualdades lineares que representa o número de unidades que a empresa deve produzir para obter lucro é:

No vídeo a seguir, você verá um exemplo de como encontrar o ponto de equilíbrio para uma pequena empresa de sno-cones.

E aqui está mais um exemplo de vídeo de solução de um aplicativo usando um sustentem de desigualdades lineares.

Vimos que sistemas de equações lineares e desigualdades podem ajudar a definir comportamentos de mercado que são muito úteis para as empresas. A interseção das equações de custo e receita fornece o ponto de equilíbrio e também ajuda a definir a região para a qual a empresa terá lucro.


Assista o vídeo: R1 010505 - Rasjonale ulikheter (Dezembro 2021).