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9.2E: Equações homogêneas de coeficiente constante de ordem superior (exercícios) - Matemática


Q9.2.1

Em Exercícios 9.2.1-9.2.14 encontre a solução geral.

1. (y '' '- 3y' '+ 3y'-y = 0 )

2. (y ^ {(4)} + 8y '' - 9y = 0 )

3. (y '' '- y' '+ 16y'-16y = 0 )

4. (2y '' '+ 3y' '- 2y'-3y = 0 )

5. (y '' '+ 5y' '+ 9y' + 5y = 0 )

6. (4y '' '- 8y' '+ 5y'-y = 0 )

7. (27y '' '+ 27y' '+ 9y' + y = 0 )

8. (y ^ {(4)} + y '' = 0 )

9. (y ^ {(4)} - 16y = 0 )

10. (y ^ {(4)} + 12y '' + 36y = 0 )

11. (16y ^ {(4)} - 72y '' + 81y = 0 )

12. (6y ^ {(4)} + 5y '' '+ 7y' '+ 5y' + y = 0 )

13. (4y ^ {(4)} + 12y '' '+ 3y' '- 13y'-6y = 0 )

14. (y ^ {(4)} - 4y '' '+ 7y' '- 6y' + 2y = 0 )

Q9.2.2

Em Exercícios 9.2.15-9.2.27 resolver o problema do valor inicial. Represente graficamente a solução para Exercícios 9.2.17-9.2.19 e 9.2.27.

15. (y '' '- 2y' '+ 4y'-8y = 0, quad y (0) = 2, quad y' (0) = - 2, ; y '' (0) = 0 )

16. (y '' '+ 3y' '- y'-3y = 0, quad y (0) = 0, quad y' (0) = 14, quad y '' (0) = - 40 )

17. (y '' '- y' '- y' + y = 0, quad y (0) = - 2, quad y '(0) = 9, quad y' '(0) = 4 )

18. (y '' '- 2y'-4y = 0, quad y (0) = 6, quad y' (0) = 3, quad y '' (0) = 22 )

19. (3y '' '- y' '- 7y' + 5y = 0, quad y (0) = frac {14} {5}, quad y '(0) = 0, quad y' '(0) = 10 )

20. (y '' '- 6y' '+ 12y'-8y = 0, quad y (0) = 1, quad y' (0) = - 1, quad y '' (0) = - 4 )

21. (2y '' '- 11y' '+ 12y' + 9y = 0, quad y (0) = 6, quad y '(0) = 3, quad y' '(0) = 13 )

22. (8y '' '- 4y' '- 2y' + y = 0, quad y (0) = 4, quad y '(0) = - 3, quad y' '(0) = - 1 )

23. (y ^ {(4)} - 16y = 0, quad y (0) = 2, ; y '(0) = 2, ; y' '(0) = - 2, ; y '' '(0) = 0 )

24. (y ^ {(4)} - 6y '' '+ 7y' '+ 6y'-8y = 0, quad y (0) = - 2, quad y' (0) = - 8, quad y '' (0) = - 14, quad y '' '(0) = - 62 )

25. (4y ^ {(4)} - 13y '' + 9y = 0, quad y (0) = 1, quad y '(0) = 3, quad y' '(0) = 1, quad y '' '(0) = 3 )

26. (y ^ {(4)} + 2y '' '- 2y' '- 8y'-8y = 0, quad y (0) = 5, quad y' (0) = - 2, quad y '' (0) = 6, quad y '' '(0) = 8 )

27. (4y ^ {(4)} + 8y '' '+ 19y' '+ 32y' + 12y = 0, quad y (0) = 3, quad y '(0) = - 3, quad y '' (0) = - frac {7} {2}, quad y '' '(0) = frac {31} {4} )

Q9.2.3

28. Encontre um conjunto fundamental de soluções da equação dada e verifique se é um conjunto fundamental avaliando seu Wronskian em (x = 0 ).

  1. ((D-1) ^ 2 (D-2) y = 0 )
  2. ((D ^ 2 + 4) (D-3) y = 0 )
  3. ((D ^ 2 + 2D + 2) (D-1) y = 0 )
  4. (D ^ 3 (D-1) y = 0 )
  5. ((D ^ 2-1) (D ^ 2 + 1) y = 0 )
  6. ((D ^ 2-2D + 2) (D ^ 2 + 1) y = 0 )

Q9.2.4

Em Exercícios 9.2.29-9.2.38 encontrar um conjunto fundamental de soluções.

29. ((D ^ 2 + 6D + 13) (D-2) ^ 2D ^ 3y = 0 )

30. ((D-1) ^ 2 (2D-1) ^ 3 (D ^ 2 + 1) y = 0 )

31. ((D ^ 2 + 9) ^ 3D ^ 2y = 0 )

32. ((D-2) ^ 3 (D + 1) ^ 2Dy = 0 )

33. ((D ^ 2 + 1) (D ^ 2 + 9) ^ 2 (D-2) y = 0 )

34. ((D ^ 4-16) ^ 2y = 0 )

35. ((4D ^ 2 + 4D + 9) ^ 3y = 0 )

36. (D ^ 3 (D-2) ^ 2 (D ^ 2 + 4) ^ 2y = 0 )

37. ((4D ^ 2 + 1) ^ 2 (9D ^ 2 + 4) ^ 3y = 0 )

38. ( left [(D-1) ^ 4-16 right] y = 0 )

Q9.2.5

39 Pode ser mostrado que [ left | begin {array} {cccc} 1 & 1 & cdots & 1 [4pt] a_1 & a_2 & cdots & a_n [4pt] a ^ 2_1 & a ^ 2_2 & cdots & a ^ 2_n [4pt] vdots & vdots & ddots & vdots [4pt] a ^ {n-1} _1 & a ^ {n-1} _2 & cdots & a ^ {n-1} _n end {array} right | = prod_ {1 leq i

onde o lado esquerdo é o Determinante de Vandermonde e o lado direito é o produto de todos os fatores da forma ((a_j-a_i) ) com (i ) e (j ) entre (1 ) e (n ) e (i

  1. Verifique (A) para (n = 2 ) e (n = 3 ).
  2. Encontre o Wronskian de ( {e ^ {{a_1} x}, quad e ^ {{a_2} x}, dots, e ^ {{a_n} x} } ).

40. Um teorema da álgebra diz que se (P_1 ) e (P_2 ) são polinômios sem fatores comuns, então existem polinômios (Q_1 ) e (Q_2 ) tais que [Q_1P_1 + Q_2P_2 = 1 . nonumber ] Isso implica que [Q_1 (D) P_1 (D) y + Q_2 (D) P_2 (D) y = y nonumber ] para cada função (y ) com derivadas suficientes para o lado esquerdo a ser definida.

  1. Use isto para mostrar que se (P_1 ) e (P_2 ) não têm fatores comuns e [P_1 (D) y = P_2 (D) y = 0 não numérico ] então (y = 0 ).
  2. Suponha que (P_1 ) e (P_2 ) sejam polinômios sem fatores comuns. Sejam (u_1 ), ..., (u_r ) soluções linearmente independentes de (P_1 (D) y = 0 ) e sejam (v_1 ), ..., (v_s ) soluções linearmente independentes de (P_2 (D) y = 0 ). Use (a) para mostrar que ( {u_1, dots, u_r, : v_1, dots, v_s } ) é um conjunto linearmente independente.
  3. Suponha que o polinômio característico da equação de coeficiente constante [a_0y ^ {(n)} + a_1y ^ {(n-1)} + cdots + a_ny = 0 tag {A} ] tem a fatoração [p (r ) = a_0p_1 (r) p_2 (r) cdots p_k (r), não numérico ] onde cada (p_j ) é da forma [p_j (r) = (r-r_j) ^ {n_j} mbox {ou} p_j (r) = [(r- lambda_j) ^ 2 + w ^ 2_j] ^ {m_j} quad ( omega_j> 0) não número ] e nenhum dos dois polinômios (p_1 ), (p_2 ),…, (p_k ) têm um fator comum. Mostre que podemos encontrar um conjunto fundamental de soluções ( {y_1, y_2, dots, y_n } ) de (A) encontrando um conjunto fundamental de soluções de cada uma das equações [p_j (D) y = 0, quad 1 le j le k, nonumber ] e tomando ( {y_1, y_2, dots, y_n } ) como o conjunto de todas as funções nesses conjuntos fundamentais separados.

41.

  1. Mostre que se [z = p (x) cos omega x + q (x) sin omega x, tag {A} ] onde (p ) e (q ) são polinômios de grau ( le k ), então [(D ^ 2 + omega ^ 2) z = p_1 (x) cos omega x + q_1 (x) sin omega x, nonumber ] onde ( p_1 ) e (q_1 ) são polinômios de grau ( le k-1 ).
  2. Aplique (a) (m ) vezes para mostrar que se (z ) é da forma (A) onde (p ) e (q ) são polinômios de grau ( le m-1 ), então [(D ^ 2 + omega ^ 2) ^ mz = 0. tag {B} ]
  3. Use a Equação 9.2.17 para mostrar que se (y = e ^ { lambda x} z ) então [[(D- lambda) ^ 2 + omega ^ 2] ^ my = e ^ { lambda x } (D ^ 2 + omega ^ 2) ^ mz. Nonumber ]
  4. Conclua de (b) e (c) que se (p ) e (q ) são polinômios arbitrários de grau ( le m-1 ) então [y = e ^ { lambda x} (p (x) cos omega x + q (x) sin omega x) nonumber ] é uma solução de [[(D- lambda) ^ 2 + omega ^ 2] ^ my = 0. tag {C} ]
  5. Conclua de (d) que as funções [ begin {array} {rl} e ^ { lambda x} cos omega x, xe ^ { lambda x} cos omega x, & dots, x ^ {m-1} e ^ { lambda x} cos omega x, e ^ { lambda x} sin omega x, xe ^ { lambda x} sin omega x, & pontos, x ^ {m-1} e ^ { lambda x} sin omega x end {array} tag {D} ] são todas soluções de (C).
  6. Complete a prova do Teorema 9.2.2 mostrando que as funções em (D) são linearmente independentes.

42.

  1. Use as identidades trigonométricas [ begin {alinhado} cos (A + B) & = cos A cos B- sin A sin B sin (A + B) & = cos A sin B + sin A cos B end {alinhado} nonumber ] para mostrar que [( cos A + i sin A) ( cos B + i sin B) = cos (A + B) + i sin (A + B). nonumber ]
  2. Aplique (a) repetidamente para mostrar que se (n ) é um número inteiro positivo, então [ prod_ {k = 1} ^ n ( cos A_k + i sin A_k) = cos (A_1 + A_2 + cdots + A_n) + i sin (A_1 + A_2 + cdots + A_n). Nonumber ]
  3. Inferir de (b) que se (n ) é um número inteiro positivo, então [( cos theta + i sin theta) ^ n = cos n theta + i sin n theta. tag {A} ]
  4. Mostre que (A) também vale se (n = 0 ) ou um número inteiro negativo. DICA: Verifique por cálculo direto que [( cos theta + i sin theta) ^ {- 1} = ( cos theta -i sin theta). nonumber ] Em seguida, substitua ( theta ) de (- theta ) em ((UMA)).
  5. Agora, suponha que (n ) seja um número inteiro positivo. Inferir de (A) que se [z_k = cos left (2k pi over n right) + i sin left (2k pi over n right), quad k = 0,1, dots, n-1, nonumber ] e [ zeta_k = cos left ((2k + 1) pi over n right) + i sin left ((2k + 1) pi sobre n right), quad k = 0,1, dots, n-1, nonumber ] then [z_k ^ n = 1 quad mbox {and} quad zeta_k ^ n = -1, quad k = 0,1, dots, n-1. nonumber ] (Por que não consideramos também outros valores inteiros para (k )?)
  6. Seja ( rho ) um número positivo. Use (e) para mostrar que [z ^ n- rho = (z- rho ^ {1 / n} z_0) (z- rho ^ {1 / n} z_1) cdots (z- rho ^ {1 / n} z_ {n-1}) nonumber ] e [z ^ n + rho = (z- rho ^ {1 / n} zeta_0) (z- rho ^ {1 / n} zeta_1) cdots (z- rho ^ {1 / n} zeta_ {n-1}). nonumber ]

43. Uso (e) de Exercício 9.2.42 para encontrar um conjunto fundamental de soluções da equação dada.

  1. (y '' '- y = 0 )
  2. (y '' '+ y = 0 )
  3. (y ^ {(4)} + 64y = 0 )
  4. (y ^ {(6)} - y = 0 )
  5. (y ^ {(6)} + 64y = 0 )
  6. ( left [(D-1) ^ 6-1 right] y = 0 )
  7. (y ^ {(5)} + y ^ {(4)} + y '' '+ y' '+ y' + y = 0 )

44. Uma equação da forma [a_0x ^ ny ^ {(n)} + a_1x ^ {n-1} y ^ {(n-1)} + cdots + a_ {n-1} xy '+ a_ny = 0, quad x> 0, tag {A} ] onde (a_0 ), (a_1 ),…, (a_n ) são constantes, é um Euler ou equidimensional equação. Mostre que se [x = e ^ t quad mbox {e} quad Y (t) = y (x (t)), tag {B} ] então

[ begin {alinhados} x frac {dy} {dx} & = frac {dY} {dt} x ^ {2} frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} & = frac {d ^ {2} Y} {dt ^ {2}} - frac {dY} {dt} x ^ {3} frac {d ^ {3} y} {dx ^ {3 }} & = frac {d ^ {3} Y} {dt ^ {3}} - 3 frac {d ^ {2} Y} {dt ^ {2}} + 2 frac {dY} {dt} . end {alinhado} nonumber ]

Em geral, pode ser mostrado que se (r ) for qualquer número inteiro ( ge2 ) então

[x ^ r {d ^ ry sobre dx ^ r} = {d ^ rY sobre dt ^ r} + A_ {1r} {d ^ {r-1} Y sobre dt ^ {r-1}} + cdots + A_ {r-1, r} {dY over dt} nonumber ]

onde (A_ {1r} ),…, (A_ {r-1, r} ) são inteiros. Use esses resultados para mostrar que a substituição (B) transforma (A) em uma equação de coeficiente constante para (Y ) como uma função de (t ).

45. Use Exercício 9.2.44 para mostrar que uma função (y = y (x) ) satisfaz a equação [a_0x ^ 3y '' '+ a_1x ^ 2y' '+ a_2xy' + a_3y = 0, tag {A} ] em ( (0, infty) ) se e somente se a função (Y (t) = y (e ^ t) ) satisfaz [a_0 {d ^ 3Y over dt ^ 3} + (a_1-3a_0) { d ^ 2Y over dt ^ 2} + (a_2-a_1 + 2a_0) {dY over dt} + a_3Y = 0. nonumber ] Supondo que (a_0 ), (a_1 ), (a_2 ), (a_3 ) são reais e (a_0 ne0 ), encontre as formas possíveis para a solução geral de (A).


Notas sobre Diffy Qs: Equações Diferenciais para Engenheiros

Nota: mais de 1 aula, segunda parte de §3.1 em [EP], §3.1 em [BD]

Subseção 2.2.1 Resolvendo equações de coeficiente constante

Esta é uma equação homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Coeficientes constantes significa que as funções na frente de (y '' text <,> ) (y ' text <,> ) e (y ) são constantes, não dependem de (x text < .> )

Para adivinhar uma solução, pense em uma função que permanece essencialmente a mesma quando a diferenciamos, de modo que possamos pegar a função e suas derivadas, somar alguns múltiplos delas e terminar com zero. Sim, estamos falando sobre o exponencial.

Vamos tentar 1 uma solução da forma (y = e ^ text <.> ) Então (y '= r e ^) e (y '' = r ^ 2 e ^ text <.> ) Conecte para obter

Portanto, se (r = 2 ) ou (r = 4 text <,> ) então (e ^) é uma solução. Então vamos (y_1 = e ^ <2x> ) e (y_2 = e ^ <4x> text <.> )

Exercício 2.2.1.

Verifique se (y_1 ) e (y_2 ) são soluções.

As funções (e ^ <2x> ) e (e ^ <4x> ) são linearmente independentes. Se eles não fossem linearmente independentes, poderíamos escrever (e ^ <4x> = C e ^ <2x> ) para alguma constante (C text <,> ) implicando que (e ^ <2x> = C ) para todos (x text <,> ) o que claramente não é possível. Portanto, podemos escrever a solução geral como

Precisamos resolver para (C_1 ) e (C_2 text <.> ) Para aplicar as condições iniciais, primeiro encontramos (y '= 2 C_1 e ^ <2x> + 4 C_2 e ^ <4x> text <.> ) Conectamos (x = 0 ) em (y ) e (y ') e resolvemos.

Aplique um pouco de álgebra de matriz ou apenas resolva com a matemática do ensino médio. Por exemplo, divida a segunda equação por 2 para obter (3 = C_1 + 2 C_2 text <,> ) e subtraia as duas equações para obter (5 = C_2 text <.> ) Então (C_1 = -7 ) as (- 2 = C_1 + 5 text <.> ) Portanto, a solução que estamos procurando é

Vamos generalizar este exemplo em um método. Suponha que temos uma equação

onde (a, b, c ) são constantes. Tente a solução (y = e ^) obter

Divida por (e ^) para obter o chamado equação característica da ODE:

Resolva para (r ) usando a fórmula quadrática.

Então (e ^) e (e ^) são soluções. Ainda há uma dificuldade se (r_1 = r_2 text <,> ), mas não é difícil de superar.

Teorema 2.2.1.

Suponha que (r_1 ) e (r_2 ) sejam as raízes da equação característica.

Se (r_1 ) e (r_2 ) são distintos e reais (quando (b ^ 2 - 4ac & gt 0 )), então (2.3) tem a solução geral

Se (r_1 = r_2 ) (acontece quando (b ^ 2 - 4ac = 0 )), então (2.3) tem a solução geral

Exemplo 2.2.1.

A equação característica é (r ^ 2 - k ^ 2 = 0 ) ou ((rk) (r + k) = 0 text <.> ) Consequentemente, (e ^ <-kx> ) e (e ^) são as duas soluções linearmente independentes, e a solução geral é

Uma vez que ( cosh s = frac> <2> ) e ( sinh s = frac> <2> text <,> ) também podemos escrever a solução geral como

Exemplo 2.2.2.

Encontre a solução geral de

A equação característica é (r ^ 2 - 8 r + 16 = <(r-4)> ^ 2 = 0 text <.> ) A equação tem uma raiz dupla (r_1 = r_2 = 4 text <. > ) A solução geral é, portanto,

Isso (e ^ <4x> ) resolve a equação é claro. Se (x e ^ <4x> ) resolver a equação, então sabemos que terminamos. Vamos calcular (y '= e ^ <4x> + 4xe ^ <4x> ) e (y' '= 8 e ^ <4x> + 16xe ^ <4x> text <.> ) Plug in

Em certo sentido, uma raiz duplicada raramente acontece. Se os coeficientes forem escolhidos aleatoriamente, uma raiz dobrada é improvável. Existem, no entanto, alguns fenômenos naturais (como a ressonância, como veremos) em que uma raiz dupla ocorre, portanto, não podemos simplesmente descartar esse caso.

Deixe-nos dar um breve argumento para o porquê da solução (x e ^) funciona quando a raiz é duplicada. Este caso é realmente um caso limite de quando as duas raízes são distintas e muito próximas. Observe que ( frac <>- e ^>) é uma solução quando as raízes são distintas. Quando tomamos o limite quando (r_1 ) vai para (r_2 text <,> ), estamos realmente tomando a derivada de (e ^) usando (r ) como a variável. Portanto, o limite é (x e ^ text <,> ) e, portanto, esta é uma solução no caso de raiz dupla.

Subseção 2.2.2 Números complexos e fórmula de Euler

Um polinômio pode ter raízes complexas. A equação (r ^ 2 + 1 = 0 ) não tem raízes reais, mas tem duas raízes complexas. Aqui, revisamos algumas propriedades dos números complexos.

Os números complexos podem parecer um conceito estranho, especialmente por causa da terminologia. Não há nada imaginário ou realmente complicado em números complexos. Um número complexo é simplesmente um par de números reais, ((a, b) text <.> ) Pense em um número complexo como um ponto no plano. Adicionamos números complexos de maneira direta: ((a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) text <.> ) Definimos a multiplicação por

Acontece que, com essa regra de multiplicação, todas as propriedades padrão da aritmética são mantidas. Além disso, e o mais importante ((0,1) times (0,1) = (-1,0) text <.> )

Geralmente escrevemos ((a, b) ) como (a + ib text <,> ) e tratamos (i ) como se fosse um desconhecido. Quando (b ) é zero, então ((a, 0) ) é apenas o número (a text <.> ) Fazemos aritmética com números complexos da mesma forma que faríamos com polinômios. A propriedade que acabamos de mencionar torna-se (i ^ 2 = -1 text <.> ) Portanto, sempre que vemos (i ^ 2 text <,> ), nós a substituímos por (- 1 text <.> ) Por exemplo,

Os números (i ) e (- i ) são as duas raízes de (r ^ 2 + 1 = 0 text <.> ) Os engenheiros costumam usar a letra (j ) em vez de (i ) para a raiz quadrada de (- 1 text <.> ) Usamos a convenção dos matemáticos e usamos (i text <.> )

Exercício 2.2.3.

Certifique-se de entender (que você pode justificar) as seguintes identidades:

((3-2i) (3 + 2i) = 3 ^ 2 - <(2i)> ^ 2 = 3 ^ 2 + 2 ^ 2 = 13 text <,> )

Também definimos o exponencial (e ^) de um número complexo. Fazemos isso anotando a série de Taylor e inserindo o número complexo. Como a maioria das propriedades do exponencial pode ser provada observando a série de Taylor, essas propriedades ainda são válidas para o exponencial complexo. Por exemplo, a propriedade muito importante: (e ^ = e ^ x e ^ y text <.> ) Isso significa que (e ^ = e ^ a e ^ text <.> ) Portanto, se pudermos calcular (e ^ text <,> ) podemos calcular (e ^ text <.> ) Para (e ^) usamos os chamados Fórmula de Euler.

Teorema 2.2.2. Fórmula de Euler.

e ^ = cos theta + i sin theta qquad text qquad e ^ <- i theta> = cos theta - i sin theta.

Em outras palavras, (e ^ = e ^ a bigl ( cos (b) + i sin (b) bigr) = e ^ a cos (b) + i e ^ a sin (b) text <.> )

Exercício 2.2.4.

Usando a fórmula de Euler, verifique as identidades:

Exercício 2.2.5.

Identidades de ângulo duplo: Comece com (e ^ = < bigl (e ^ bigr)> ^ 2 text <.> ) Use Euler em cada lado e deduza:

Para um número complexo (a + ib ) chamamos (a ) o parte real e (b ) o parte imaginária do número. Freqüentemente, a seguinte notação é usada,

Subseção 2.2.3 Raízes complexas

Suponha que a equação (ay '' + por '+ cy = 0 ) tenha a equação característica (a r ^ 2 + b r + c = 0 ) que possui raízes complexas. Pela fórmula quadrática, as raízes são ( frac <-b pm sqrt> <2a> text <.> ) Essas raízes são complexas se (b ^ 2 - 4ac & lt 0 text <.> ) Neste caso, as raízes são

Como você pode ver, sempre obtemos um par de raízes da forma ( alpha pm i beta text <.> ) Neste caso, ainda podemos escrever a solução como

No entanto, o exponencial agora tem valor complexo. Precisamos permitir que (C_1 ) e (C_2 ) sejam números complexos para obter uma solução de valor real (que é o que buscamos). Embora não haja nada de particularmente errado com essa abordagem, ela pode tornar os cálculos mais difíceis e geralmente é preferível encontrar duas soluções de valor real.

Combinações lineares de soluções também são soluções. Por isso,

também são soluções. Além disso, eles têm valor real. Não é difícil ver que eles são linearmente independentes (e não múltiplos um do outro). Portanto, temos o seguinte teorema.

Teorema 2.2.3.

Se a equação característica tem as raízes ( alpha pm i beta ) (quando (b ^ 2 - 4ac & lt 0 )), então a solução geral é

Exemplo 2.2.3.

Encontre a solução geral de (y '' + k ^ 2 y = 0 text <,> ) para uma constante (k & gt 0 text <.> )

A equação característica é (r ^ 2 + k ^ 2 = 0 text <.> ) Portanto, as raízes são (r = pm ik text <,> ) e pelo teorema, temos o geral solução

Exemplo 2.2.4.

Encontre a solução de (y '' - 6 y '+ 13 y = 0 text <,> ) (y (0) = 0 text <,> ) (y' (0) = 10 texto <.> )

A equação característica é (r ^ 2 - 6 r + 13 = 0 text <.> ) Ao completar o quadrado, obtemos (<(r-3)> ^ 2 + 2 ^ 2 = 0 ) e, portanto, as raízes são (r = 3 pm 2i text <.> ) Pelo teorema, temos a solução geral

Para encontrar a solução que satisfaça as condições iniciais, primeiro conectamos zero para obter

Portanto, (C_1 = 0 ) e (y = C_2 e ^ <3x> sin (2x) text <.> ) Diferenciamos,

Novamente conectamos a condição inicial e obtemos (10 ​​= y '(0) = 2C_2 text <,> ) ou (C_2 = 5 text <.> ) A solução que estamos procurando é

Subseção 2.2.4 Exercícios

Exercício 2.2.6.

Encontre a solução geral de (2y '' + 2y '-4 y = 0 text <.> )

Exercício 2.2.7.

Encontre a solução geral de (y '' + 9y '- 10 y = 0 text <.> )

Exercício 2.2.8.

Resolva (y '' - 8y '+ 16 y = 0 ) para (y (0) = 2 text <,> ) (y' (0) = 0 text <.> )

Exercício 2.2.9.

Resolva (y '' + 9y '= 0 ) para (y (0) = 1 text <,> ) (y' (0) = 1 text <.> )

Exercício 2.2.10.

Encontre a solução geral de (2y '' + 50y = 0 text <.> )

Exercício 2.2.11.

Encontre a solução geral de (y '' + 6 y '+ 13 y = 0 text <.> )

Exercício 2.2.12.

Encontre a solução geral de (y '' = 0 ) usando os métodos desta seção.

Exercício 2.2.13.

O método desta seção se aplica a equações de outras ordens além de duas. Veremos pedidos maiores mais tarde. Tente resolver a equação de primeira ordem (2y '+ 3y = 0 ) usando os métodos desta seção.

Exercício 2.2.14.

Vamos revisitar as equações de Cauchy-Euler do Exercício 2.1.6. Suponha agora que (<(ba)> ^ 2-4ac & lt 0 text <.> ) Encontre uma fórmula para a solução geral de (ax ^ 2 y '' + bxy '+ cy = 0 text <. > ) Dica: Observe que (x ^ r = e ^ text <.> )

Exercício 2.2.15.

Encontre a solução para (y '' - (2 alpha) y '+ alpha ^ 2 y = 0 text <,> ) (y (0) = a text <,> ) (y '(0) = b text <,> ) onde ( alpha text <,> ) (a text <,> ) e (b ) são números reais.

Exercício 2.2.16.

Construa uma equação de forma que (y = C_1 e ^ <-2x> cos (3x) + C_2 e ^ <-2x> sin (3x) ) seja a solução geral.


9.2E: Equações homogêneas de coeficiente constante de ordem superior (exercícios) - Matemática

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Problema

Um diferencial linear homogêneo de segunda ordem eq ...

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Problema 4 dificuldade fácil

Uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, duas funções $ y_ <1> $ e $ y_ <2> $ e um par de condições iniciais são dados. Primeiro verifique se $ y_ <1> $ e $ y_ <2> $ são soluções da equação diferencial. Em seguida, encontre uma solução particular da forma $ y = c_ <1> y_ <1> + c_ <2> y_ <2> $ que satisfaça as condições iniciais fornecidas. Primes denotam derivadas em relação a $ x $.
$
começar
& ampy ^ < prime prime> +25 y = 0 y_ <1> = cos 5 x, y_ <2> = sin 5 x y (0) = 10,
& ampy ^ < prime> (0) = - 10
fim
$