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8.2E: A Transformada Inversa de Laplace (Exercícios)


Q8.2.1

1. Use a tabela de transformadas de Laplace para encontrar a transformada de Laplace inversa.

  1. ({3 over (s-7) ^ 4} )
  2. ({2s-4 sobre s ^ 2-4s + 13} )
  3. ({1 sobre s ^ 2 + 4s + 20} )
  4. ({2 sobre s ^ 2 + 9} )
  5. ({s ^ 2-1 over (s ^ 2 + 1) ^ 2} )
  6. ({1 over (s-2) ^ 2-4} )
  7. ({12s-24 over (s ^ 2-4s + 85) ^ 2} )
  8. ({2 over (s-3) ^ 2-9} )
  9. ({s ^ 2-4s + 3 over (s ^ 2-4s + 5) ^ 2} )

2. Use o Teorema 8.2.1 e a tabela das transformadas de Laplace para encontrar a transformada de Laplace inversa.

  1. ({2s + 3 over (s-7) ^ 4} )
  2. ({s ^ 2-1 over (s-2) ^ 6} )
  3. ({s + 5 sobre s ^ 2 + 6s + 18} )
  4. ({2s + 1 sobre s ^ 2 + 9} )
  5. ({s over s ^ 2 + 2s + 1} )
  6. ({s + 1 over s ^ 2-9} )
  7. ({s ^ 3 + 2s ^ 2-s-3 over (s + 1) ^ 4} )
  8. ({2s + 3 over (s-1) ^ 2 + 4} )
  9. ({1 over s} - {s over s ^ 2 + 1} )
  10. ({3s + 4 over s ^ 2-1} )
  11. ({3 over s-1} + {4s + 1 over s ^ 2 + 9} )
  12. ({3 over (s + 2) ^ 2} - {2s + 6 over s ^ 2 + 4} )

3. Use o método de Heaviside para encontrar a transformada inversa de Laplace.

  1. ({3- (s + 1) (s-2) over (s + 1) (s + 2) (s-2)} )
  2. ({7+ (s + 4) (18-3s) over (s-3) (s-1) (s + 4)} )
  3. ({2+ (s-2) (3-2s) over (s-2) (s + 2) (s-3)} )
  4. ({3- (s-1) (s + 1) over (s + 4) (s-2) (s-1)} )
  5. ({3+ (s-2) (10-2s-s ^ 2) over (s-2) (s + 2) (s-1) (s + 3)} )
  6. ({3+ (s-3) (2s ^ 2 + s-21) over (s-3) (s-1) (s + 4) (s-2)} )

4. Encontre a transformada de Laplace inversa.

  1. ({2 + 3s over (s ^ 2 + 1) (s + 2) (s + 1)} )
  2. ({3s ^ 2 + 2s + 1 over (s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 2s + 2)} )
  3. ({3s + 2 over (s-2) (s ^ 2 + 2s + 5)} )
  4. ({3s ^ 2 + 2s + 1 over (s-1) ^ 2 (s + 2) (s + 3)} )
  5. ({2s ^ 2 + s + 3 over (s-1) ^ 2 (s + 2) ^ 2} )
  6. ({3s + 2 over (s ^ 2 + 1) (s-1) ^ 2} )

5. Use o método do Exemplo 8.2.9 para encontrar a transformada de Laplace inversa.

  1. ({3s + 2 over (s ^ 2 + 4) (s ^ 2 + 9)} )
  2. ({-4s + 1 over (s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 16)} )
  3. ({5s + 3 over (s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 4)} )
  4. ({-s + 1 over (4s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 1)} )
  5. ({17s-34 over (s ^ 2 + 16) (16s ^ 2 + 1)} )
  6. ({2s-1 over (4s ^ 2 + 1) (9s ^ 2 + 1)} )

6. Encontre a transformada de Laplace inversa.

  1. ({17 s-15 over (s ^ 2-2s + 5) (s ^ 2 + 2s + 10)} )
  2. ({8s + 56 over (s ^ 2-6s + 13) (s ^ 2 + 2s + 5)} )
  3. ({s + 9 over (s ^ 2 + 4s + 5) (s ^ 2-4s + 13)} )
  4. ({3s-2 over (s ^ 2-4s + 5) (s ^ 2-6s + 13)} )
  5. ({3s-1 over (s ^ 2-2s + 2) (s ^ 2 + 2s + 5)} )
  6. ({20s + 40 over (4s ^ 2-4s + 5) (4s ^ 2 + 4s + 5)} )

7. Encontre a transformada de Laplace inversa.

  1. ({1 over s (s ^ 2 + 1)} )
  2. ({1 over (s-1) (s ^ 2-2s + 17)} )
  3. ({3s + 2 over (s-2) (s ^ 2 + 2s + 10)} )
  4. ({34-17s over (2s-1) (s ^ 2-2s + 5)} )
  5. ({s + 2 over (s-3) (s ^ 2 + 2s + 5)} )
  6. ({2s-2 over (s-2) (s ^ 2 + 2s + 10)} )

8. Encontre a transformada de Laplace inversa.

  1. ({2s + 1 over (s ^ 2 + 1) (s-1) (s-3)} )
  2. ({s + 2 over (s ^ 2 + 2s + 2) (s ^ 2-1)} )
  3. ({2s-1 over (s ^ 2-2s + 2) (s + 1) (s-2)} )
  4. ({s-6 over (s ^ 2-1) (s ^ 2 + 4)} )
  5. ({2s-3 over s (s-2) (s ^ 2-2s + 5)} )
  6. ({5s-15 over (s ^ 2-4s + 13) (s-2) (s-1)} )

9. Dado que (f (t) leftrightarrow F (s) ), encontre a transformada de Laplace inversa de (F (as-b) ), onde (a> 0 ).

10.

  1. Se (s_1 ), (s_2 ),…, (s_n ) são distintos e (P ) é um polinômio de grau menor que (n ), então [{P (s) over (s-s_1) (s-s_2) cdots (s-s_n)} = {A_1 over s-s_1} + {A_2 over s-s_2} + cdots + {A_n over s-s_n}. nonumber ] Multiplique por (s-s_i ) para mostrar que (A_i ) pode ser obtido ignorando o fator (s-s_i ) à esquerda e definindo (s = s_i ) em outro lugar.
  2. Suponha que (P ) e (Q_1 ) sejam polinômios tais que ( mbox {grau} (P) le mbox {grau} (Q_1) ) e (Q_1 (s_1) ne0 ). Mostre que o coeficiente de (1 / (s-s_1) ) na expansão da fração parcial de [F (s) = {P (s) over (s-s_1) Q_1 (s)} não numérico ] é (P (s_1) / Q_1 (s_1) ).
  3. Explique como os resultados de (a) e (b) estão relacionados.

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Cálculo da transformada inversa de Laplace com base em um método de colocação que usa apenas valores reais

Desenvolvemos um algoritmo numérico para inverter uma transformada de Laplace (LT), baseado na expansão da série polinomial de Laguerre da função inversa sob a suposição de que a LT é conhecida apenas no eixo real. O método pertence à classe dos métodos de colocação (métodos C), e é aplicável quando a função LT é regular no infinito. As dificuldades associadas a esses problemas devem-se à sua má postura intrínseca. A principal contribuição deste artigo é fornecer estimativas computáveis ​​de erros de truncamento, discretização, condicionamento e arredondamento introduzidos por cálculos numéricos. Além disso, introduzimos a pseudo-precisão que será usada pelo algoritmo numérico a fim de fornecer precisão escalonada uniforme da aproximação computada para qualquer x com respeito a e σ x. Essas estimativas são então empregadas para truncar dinamicamente a expansão da série. Em outras palavras, o número de termos da série atua como o parâmetro de regularização que fornece a compensação entre os erros.

Com o objetivo de validar a confiabilidade e usabilidade do algoritmo, experimentos foram realizados em diversas funções de teste.


Resolvendo o problema de convolução com $ delta (x) $ function

Suponha que tenhamos as funções: $ g (t) = theta (t) (e ^ <-t> + 2e ^ <-2t>) +2 delta (t) $ e $ u (t) = 2 ( theta (t) - theta (t-2)) $ Então temos $ u * g = int _ <- infty> ^ < infty> g ( tau) u (t- tau) d tau = 2 int_^(e ^ <- tau> + 2e ^ <- 2 tau> +2 delta ( tau)) d tau $ que então se reduz a: $ u * g = -2e ^ <-t> + 2e ^ <-2t> + 2e ^ <- 2t + 4> -2e ^ <-2t> +4 ( theta (t) - theta (t-2)) $

No entanto, usando a transformação de Laplace cheguei a este resultado: $ u * g = ( theta (t) - theta (t-2)) (16-4e ^ <-t> -4e ^ <-2t>) $

O fato de os resultados não coincidirem me leva a acreditar que estou faltando algo muito importante ao fazer a parte de integração.

Em todas as linhas acima, $ theta (x) $ representa a função de passo unitário e $ delta (x) $ é a função de impulso de Dirac. Usando o conselho que recebi nos comentários que recebi: $ u * g = 2 int_^(e ^ <- tau> theta ( tau) + 2e ^ <- 2 tau> theta ( tau) +2 delta ( tau)) d tau $ Então, tentei resolver a integral, mas dando esta etapa suspeita nos cálculos: $ int_^e ^ <- tau> theta ( tau) d tau = -e ^ <- tau> theta ( tau) | ^_$


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Notas sobre Diffy Qs: Equações Diferenciais para Engenheiros

Vejamos como a transformada de Laplace é usada para equações diferenciais. Primeiro, vamos tentar encontrar a transformada de Laplace de uma função que é uma derivada. Suponha que (g (t) ) seja uma função diferenciável de ordem exponencial, ou seja, ( lvert g (t) rvert leq M e ^) para alguns (M ) e (c text <.> ) Então ( mathcal bigl ) existe, e o que é mais, ( lim_ e ^ <-st> g (t) = 0 ) quando (s & gt c text <.> ) Então

Repetimos este procedimento para derivadas superiores. Os resultados estão listados na Tabela 7.2.1. O procedimento também funciona para funções suaves por partes, ou seja, funções que são contínuas por partes com uma derivada contínua por partes.

Tabela 7.2.1. Transformadas de Laplace de derivadas ( (G (s) = mathcal bigl ) como de costume).

(f (t) ) ( mathcal bigl = F (s) )
(g '(t) ) (sG (s) -g (0) )
(g '' (t) ) (s ^ 2G (s) -sg (0) -g '(0) )
(g '' '(t) ) (s ^ 3G (s) -s ^ 2g (0) -sg '(0) -g' '(0) )

Exercício 6.2.1.

Subseção 6.2.2 Resolvendo ODEs com a transformada de Laplace

Observe que a transformada de Laplace transforma a diferenciação em multiplicação por (s text <.> ). Vejamos como aplicar esse fato às equações diferenciais.

Exemplo 6.2.1.

Tomaremos a transformada de Laplace de ambos os lados. Por (X (s) ) iremos, como de costume, denotar a transformação de Laplace de (x (t) text <.> )

Nós conectamos as condições iniciais agora - o que torna os cálculos mais simplificados - para obter

Usamos frações parciais (exercício) para escrever

Agora pegue a transformada inversa de Laplace para obter

O procedimento para equações de coeficientes constantes lineares é o seguinte. Usamos uma equação diferencial ordinária na variável de tempo (t text <.> ). Aplicamos a transformada de Laplace para transformar a equação em uma equação algébrica (não diferencial) no domínio da frequência. Todos os (x (t) text <,> ) (x '(t) text <,> ) (x' '(t) text <,> ) e assim por diante, serão convertido em (X (s) texto <,> ) (sX (s) - x (0) texto <,> ) (s ^ 2X (s) - sx (0) - x '( 0) text <,> ) e assim por diante. Resolvemos a equação para (X (s) text <.> ) Em seguida, tomando a transformação inversa, se possível, encontramos (x (t) text <.> )

Deve-se notar que, uma vez que nem toda função tem uma transformada de Laplace, nem toda equação pode ser resolvida dessa maneira. Além disso, se a equação não for um coeficiente constante linear ODE, então, aplicando a transformada de Laplace, podemos não obter uma equação algébrica.

Subseção 6.2.3 Usando a função Heaviside

Antes de passarmos para equações mais gerais do que aquelas que poderíamos resolver antes, queremos considerar a função de Heaviside. Consulte a Figura 6.1 para ver o gráfico.

Esta função é útil para reunir funções ou cortar funções. Mais comumente, é usado como (u (ta) ) para alguma constante (a text <.> ) Isso apenas desloca o gráfico para a direita em (a text <.> ) Ou seja, é uma função que é 0 quando (t & lt a ) e 1 quando (t geq a text <.> ) Suponha, por exemplo, que (f (t) ) é um “sinal” e você começou recebendo o sinal ( sin t ) no momento (t = pi text <.> ) A função (f (t) ) deve então ser definida como

Usando a função Heaviside, (f (t) ) pode ser escrito como

Da mesma forma, a função degrau que é 1 no intervalo ([1,2) ) e zero em todos os outros lugares pode ser escrita como

A função Heaviside é útil para definir funções definidas por partes. Se você deseja definir (f (t) ) de modo que (f (t) = t ) quando (t ) está em ([0,1] text <,> ) (f (t) = -t + 2 ) quando (t ) está em ([1,2] text <,> ) e (f (t) = 0 ) caso contrário, então você pode usar o expressão

Portanto, é útil saber como a função de Heaviside interage com a transformada de Laplace. Já vimos isso

Isso pode ser generalizado em um mudança de propriedade ou segunda propriedade de deslocamento.

Exemplo 6.2.2.

Suponha que a função de força não seja periódica. Por exemplo, suponha que tenhamos um sistema massa-mola

onde (f (t) = 1 ) if (1 leq t & lt 5 ) e zero caso contrário. Poderíamos imaginar um sistema mass-spring, onde um foguete é disparado por 4 segundos começando em (t = 1 text <.> ) Ou talvez um circuito RLC, onde a tensão é elevada a uma taxa constante por 4 segundos começando em (t = 1 text <,> ) e, em seguida, manteve-se estável novamente começando em (t = 5 text <.> )

Podemos escrever (f (t) = u (t-1) - u (t-5) text <.> ) Transformamos a equação e inserimos as condições iniciais como antes para obter

Resolvemos (X (s) ) para obter

Deixamos isso como um exercício para o leitor mostrar que

Em outras palavras ( mathcal <1 - cos t > = frac <1> text <.> ) Então, usando (6.1) encontramos

O gráfico desta solução é dado na Figura 6.2.

Figura 6.2. Gráfico de (x (t) text <.> )

Subseção 6.2.4 Funções de transferência

A transformada de Laplace leva ao seguinte conceito útil para estudar o comportamento em estado estacionário de um sistema linear. Considere uma equação da forma

onde (L ) é um operador diferencial de coeficiente constante linear. Então (f (t) ) é geralmente considerado como uma entrada do sistema e (x (t) ) é considerado como a saída do sistema. Por exemplo, para um sistema massa-mola, a entrada é a função de força e a saída é o comportamento da massa. Gostaríamos de ter uma maneira conveniente de estudar o comportamento do sistema para diferentes entradas.

Suponhamos que todas as condições iniciais sejam zero e tomemos a transformada de Laplace da equação, obtemos a equação

Resolvendo a proporção ( nicefrac) obtemos o chamado função de transferência (H (s) = nicefrac <1> text <,> ) ou seja,

Em outras palavras, (X (s) = H (s) F (s) text <.> ) Obtemos uma dependência algébrica da saída do sistema com base na entrada. Agora podemos estudar facilmente o comportamento de estado estacionário do sistema, dados diferentes entradas, simplesmente multiplicando pela função de transferência.

Exemplo 6.2.3.

Dado (x '' + omega_0 ^ 2 x = f (t) text <,> ), vamos encontrar a função de transferência (assumindo que as condições iniciais são zero).

Primeiro, pegamos a transformada de Laplace da equação.

Agora resolvemos para a função de transferência ( nicefrac text <.> )

Vamos ver como usar a função de transferência. Suponha que temos a entrada constante (f (t) = 1 text <.> ) Portanto, (F (s) = nicefrac <1> text <,> ) e

Tomando a transformada de Laplace inversa de (X (s) ), obtemos

Subseção 6.2.5 Transformadas de integrais

Uma característica das transformadas de Laplace é que ela também é capaz de lidar facilmente com equações integrais. Ou seja, equações nas quais aparecem integrais em vez de derivadas de funções. A propriedade básica, que pode ser comprovada aplicando a definição e fazendo a integração por partes, é

Às vezes é útil (por exemplo, para calcular a transformação inversa) escrever isso como

Exemplo 6.2.4.

Para calcular (< mathcal> ^ <-1> left < frac <1> right > ) podemos prosseguir aplicando esta regra de integração.

Exemplo 6.2.5.

Uma equação contendo uma integral da função desconhecida é chamada de equação integral. Por exemplo, pegue

onde desejamos resolver para (x (t) text <.> ) Aplicamos a transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento para obter

onde (X (s) = mathcal bigl text <.> ) Assim

Usamos a propriedade shifting novamente

Subseção 6.2.6 Exercícios

Exercício 6.2.2.

Usando a função Heaviside, escreva a função por partes que é 0 para (t & lt 0 text <,> ) (t ^ 2 ) para (t ) em ([0,1] ) e (t ) para (t & gt 1 text <.> )

Exercício 6.2.3.

Usando a solução de transformação de Laplace

onde (m & gt 0 text <,> ) (c & gt 0 text <,> ) (k & gt 0 text <,> ) e (c ^ 2 - 4km & gt 0 ) ( sistema está superamortecido).

Exercício 6.2.4.

Usando a solução de transformação de Laplace

onde (m & gt 0 text <,> ) (c & gt 0 text <,> ) (k & gt 0 text <,> ) e (c ^ 2 - 4km & lt 0 ) ( sistema está subamortecido).

Exercício 6.2.5.

Usando a solução de transformação de Laplace

onde (m & gt 0 text <,> ) (c & gt 0 text <,> ) (k & gt 0 text <,> ) e (c ^ 2 = 4km ) (o sistema é amortecido criticamente).

Exercício 6.2.6.

Resolva (x '' + x = u (t-1) ) para as condições iniciais (x (0) = 0 ) e (x '(0) = 0 texto <.> )

Exercício 6.2.7.

Mostre a diferenciação da propriedade de transformação. Suponha que ( mathcal bigl = F (s) text <,> ) e mostrar

Dica: diferencie sob o sinal de integral.

Exercício 6.2.8.

Resolva (x '' '+ x = t ^ 3 u (t-1) ) para as condições iniciais (x (0) = 1 ) e (x' (0) = 0 text <,> ) (x '' (0) = 0 texto <.> )

Exercício 6.2.9.

Mostra a segunda propriedade de deslocamento: ( mathcal bigl = e ^ <-as> mathcal bigl text <.> )

Exercício 6.2.10.

Vamos pensar no sistema massa-mola com um foguete do Exemplo 6.2.2. Percebemos que a solução continuou oscilar depois que o foguete parou de funcionar. A amplitude da oscilação depende do tempo que o foguete foi disparado (por 4 segundos no exemplo).

Encontre uma fórmula para a amplitude da oscilação resultante em termos da quantidade de tempo que o foguete é disparado.

Existe um tempo diferente de zero (em caso afirmativo, qual é?) Para o qual o foguete dispara e a oscilação resultante tem amplitude 0 (a massa não está se movendo)?

Exercício 6.2.11.

Esboce o gráfico de (f (t) text <.> )

Escreva (f (t) ) usando a função Heaviside.

Resolva (x '' + x = f (t) text <,> ) (x (0) = 0 text <,> ) (x '(0) = 0 ) usando a transformação de Laplace.

Exercício 6.2.12.

Encontre a função de transferência para (m x '' + c x '+ kx = f (t) ) (assumindo que as condições iniciais são zero).

Exercício 6.2.101.

Usando a função Heaviside (u (t) text <,> ) escreva a função

(f (t) = (t-1) bigl (u (t-1) - u (t-2) bigr) + u (t-2) )

Exercício 6.2.102.

Resolva (x '' - x = (t ^ 2-1) u (t-1) ) para as condições iniciais (x (0) = 1 text <,> ) (x '(0) = 2 ) usando a transformada de Laplace.

Exercício 6.2.103.

Encontre a função de transferência para (x '+ x = f (t) ) (assumindo que as condições iniciais são zero).


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