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5.7: Variação de Parâmetros - Matemática


Nesta seção, fornecemos um método chamado variação de parâmetros para encontrar uma solução particular de

[ label {eq: 5.7.1} P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = F (x) ]

se conhecermos um conjunto fundamental ( {y_1, y_2 } ) de soluções da equação complementar

[ label {eq: 5.7.2} P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0. ]

Tendo encontrado uma solução particular (y_p ) por este método, podemos escrever a solução geral da Equação ref {eq: 5.7.1} como

[y = y_p + c_1y_1 + c_2y_2. enhum número ]

Uma vez que precisamos apenas de uma solução não trivial da Equação ref {eq: 5.7.2} para encontrar a solução geral da Equação ref {eq: 5.7.1} por redução da ordem, é natural perguntar por que estamos interessados ​​na variação de parâmetros, o que requer duas soluções linearmente independentes da Equação ref {eq: 5.7.2} para atingir o mesmo objetivo. Aqui está a resposta:

  • Se já conhecemos duas soluções linearmente independentes da Equação ref {eq: 5.7.2}, então a variação dos parâmetros provavelmente será mais simples do que a redução da ordem.
  • A variação dos parâmetros generaliza naturalmente para um método para encontrar soluções particulares de equações lineares de ordem superior (Seção 9.4) e sistemas lineares de equações (Seção 10.7), enquanto a redução de ordem não.
  • A variação de parâmetros é uma ferramenta teórica poderosa usada por pesquisadores em equações diferenciais. Embora uma discussão detalhada sobre isso esteja além do escopo deste livro, você pode ter uma ideia do que isso significa Exercícios 5.7.37-5.7.39.

Vamos agora derivar o método. Como de costume, consideramos soluções da Equação ref {eq: 5.7.1} e Equação ref {eq: 5.7.2} em um intervalo ((a, b) ) onde (P_0 ), (P_1 ), (P_2 ) e (F ) são contínuos e (P_0 ) não tem zeros. Suponha que ( {y_1, y_2 } ) seja um conjunto fundamental de soluções da equação complementar Equação ref {eq: 5.7.2}. Procuramos uma solução particular da Equação ref {eq: 5.7.1} no formulário

[ label {eq: 5.7.3} y_p = u_1y_1 + u_2y_2 ]

onde (u_1 ) e (u_2 ) são funções a serem determinadas de modo que (y_p ) satisfaça a Equação ref {eq: 5.7.1}. Você pode não achar que é uma boa ideia, uma vez que agora existem duas funções desconhecidas a serem determinadas, em vez de uma. No entanto, uma vez que (u_1 ) e (u_2 ) têm que satisfazer apenas uma condição (que (y_p ) é uma solução da Equação ref {eq: 5.7.1}), podemos impor uma segunda condição que produz uma simplificação conveniente, como segue.

Equação de diferenciação ref {eq: 5.7.3} produz

[ label {eq: 5.7.4} y_p '= u_1y_1' + u_2y_2 '+ u_1'y_1 + u_2'y_2. ]

Como nossa segunda condição em (u_1 ) e (u_2 ), exigimos que

[ label {eq: 5.7.5} u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0. ]

Então a Equação ref {eq: 5.7.4} torna-se

[y_p '= u_1y_1' + u_2y_2 '; label {eq: 5.7.6} ]

ou seja, a Equação ref {eq: 5.7.5} nos permite diferenciar (y_p ) (uma vez!) como se (u_1 ) e (u_2 ) fossem constantes. Equação de diferenciação ref {eq: 5.7.4} produz

[ label {eq: 5.7.7} y_p '' = u_1y '' _ 1 + u_2y '' _ 2 + u_1'y_1 '+ u_2'y_2'. ]

(Não há termos envolvendo (u_1 '' ) e (u_2 '' ) aqui, como haveria se não tivéssemos exigido a Equação ref {eq: 5.7.5}.) Substituindo a Equação ref { eq: 5.7.3}, Equação ref {eq: 5.7.6}, e Equação ref {eq: 5.7.7} na Equação ref {eq: 5.7.1} e coletar os coeficientes de (u_1 ) e (u_2 ) rendimentos

[u_1 (P_0y '' _ 1 + P_1y_1 '+ P_2y_1) + u_2 (P_0y' '_ 2 + P_1y_2' + P_2y_2) + P_0 (u_1'y_1 '+ u_2'y_2') = F. enhum número ]

Como na derivação do método de redução de ordem, os coeficientes de (u_1 ) e (u_2 ) aqui são ambos zero porque (y_1 ) e (y_2 ) satisfazem a equação complementar. Portanto, podemos reescrever a última equação como

[ label {eq: 5.7.8} P_0 (u_1'y_1 '+ u_2'y_2') = F. ]

Portanto, (y_p ) na Equação ref {eq: 5.7.3} satisfaz a Equação ref {eq: 5.7.1} se

[ label {eq: 5.7.9} begin {array} {rcl} u_1'y_1 + u_2'y_2 & = 0 u_1'y_1 '+ u_2'y_2' & = {F over P_0}, fim {array} ]

onde a primeira equação é igual à Equação ref {eq: 5.7.5} e a segunda é da Equação ref {eq: 5.7.8}.

Mostraremos agora que você sempre pode resolver a Equação ref {eq: 5.7.9} para (u_1 ') e (u_2' ). (O método que usamos aqui sempre funcionará, mas métodos mais simples geralmente funcionam quando você está lidando com equações específicas.) Para obter (u_1 '), multiplique a primeira equação na Equação ref {eq: 5.7.9} por (y_2 ') e a segunda equação por (y_2 ). Isso produz

[ begin {alinhado} u_1'y_1y_2 '+ u_2'y_2y_2' & = 0 u_1'y_1'y_2 + u_2'y_2'y_2 & = {Fy_2 over P_0}. end {alinhado} ]

Subtraindo a segunda equação da primeira resulta

[ label {eq: 5.7.10} u_1 '(y_1y_2'-y_1'y_2) = - {Fy_2 over P_0}. ]

Uma vez que ( {y_1, y_2 } ) é um conjunto fundamental de soluções da Equação ref {eq: 5.7.2} em ((a, b) ), o Teorema 5.1.6 implica que o Wronskiano ( y_1y_2'-y_1'y_2 ) não tem zeros em ((a, b) ). Portanto, podemos resolver a Equação ref {eq: 5.7.10} para (u_1 '), para obter

[ label {eq: 5.7.11} u_1 '= - {Fy_2 over P_0 (y_1y_2'-y_1'y_2)}. ]

Deixamos para você começar a partir da Equação ref {eq: 5.7.9} e mostrar por um argumento semelhante que

[ label {eq: 5.7.12} u_2 '= {Fy_1 over P_0 (y_1y_2'-y_1'y_2)}. ]

Agora podemos obter (u_1 ) e (u_2 ) integrando (u_1 ') e (u_2' ). As constantes de integração podem ser zero, uma vez que qualquer escolha de (u_1 ) e (u_2 ) na Equação ref {eq: 5.7.3} será suficiente.

Você não deve memorizar a Equação ref {eq: 5.7.11} e a Equação ref {eq: 5.7.12}. Por outro lado, você não quer rederenciar todo o procedimento para cada problema específico. Recomendamos um compromisso:

  1. Escreva [ label {eq: 5.7.13} y_p = u_1y_1 + u_2y_2 ] para se lembrar do que está fazendo.
  2. Escreva o sistema [ label {eq: 5.7.14} begin {array} {rcl} u_1'y_1 + u_2'y_2 & = 0 u_1'y_1 '+ u_2'y_2' & = {F over P_0 } end {array} ] para o problema específico que você está tentando resolver.
  3. Resolva a Equação ref {eq: 5.7.14} para (u_1 ') e (u_2' ) por qualquer método conveniente.
  4. Obtenha (u_1 ) e (u_2 ) integrando (u_1 ') e (u_2' ), considerando as constantes de integração zero.
  5. Substitua (u_1 ) e (u_2 ) na Equação ref {eq: 5.7.13} para obter (y_p ).

Exemplo ( PageIndex {1} )

Encontre uma solução particular (y_p ) de

[ label {eq: 5.7.15} x ^ 2y '' - 2xy '+ 2y = x ^ {9/2}, ]

dado que (y_1 = x ) e (y_2 = x ^ 2 ) são soluções da equação complementar

[x ^ 2y '' - 2xy '+ 2y = 0. enhum número ]

Em seguida, encontre a solução geral da Equação ref {eq: 5.7.15}.

Solução

Montamos

[y_p = u_1x + u_2x ^ 2, nonumber ]

Onde

[ begin {alinhados} u_1'x + phantom {2} u_2'x ^ 2 & = 0 u_1 ' phantom {x} + 2u_2'x phantom {^ 2} & = {x ^ {9/2 } over x ^ 2} = x ^ {5/2}. end {alinhado} ]

Da primeira equação, (u_1 '= - u_2'x ). Substituir isso na segunda equação resulta em (u_2'x = x ^ {5/2} ), então (u_2 '= x ^ {3/2} ) e, portanto, (u_1' = - u_2'x = -x ^ {5/2} ). Integrar e tomar as constantes de integração como sendo zero resulta

[u_1 = - {2 over7} x ^ {7/2} quad text {e} quad u_2 = {2 over5} x ^ {5/2}. enhum número ]

Portanto

[y_p = u_1x + u_2x ^ 2 = - {2 over7} x ^ {7/2} x + {2 over5} x ^ {5/2} x ^ 2 = {4 over35} x ^ {9 / 2}, nonumber ]

e a solução geral da Equação ref {eq: 5.7.15} é

[y = {4 over35} x ^ {9/2} + c_1x + c_2x ^ 2. enhum número ]

Exemplo ( PageIndex {2} )

Encontre uma solução particular (y_p ) de

[ label {eq: 5.7.16} (x-1) y '' - xy '+ y = (x-1) ^ 2, ]

dado que (y_1 = x ) e (y_2 = e ^ x ) são soluções da equação complementar

[(x-1) y '' - xy '+ y = 0. enhum número ]

Em seguida, encontre a solução geral da Equação ref {eq: 5.7.16}.

Solução

Montamos

[y_p = u_1x + u_2e ^ x, nonumber ]

Onde

[ begin {alinhado} u_1'x + u_2'e ^ x & = 0 u_1 ' phantom {x} + u_2'e ^ x & = {(x-1) ^ 2 over x-1} = x -1. End {alinhado} ]

Subtraindo a primeira equação da segunda resulta (- u_1 '(x-1) = x-1 ), então (u_1' = - 1 ). Desta e da primeira equação, (u_2 '= - xe ^ {- x} u_1' = xe ^ {- x} ). Integrar e tomar as constantes de integração como sendo zero resulta

[u_1 = -x quad text {e} quad u_2 = - (x + 1) e ^ {- x}. enhum número ]

Portanto

[y_p = u_1x + u_2e ^ x = (- x) x + (- (x + 1) e ^ {- x}) e ^ x = -x ^ 2-x-1, não numérico ]

então a solução geral da Equação ref {eq: 5.7.16} é

[ label {eq: 5.7.17} y = y_p + c_1x + c_2e ^ x = -x ^ 2-x-1 + c_1x + c_2e ^ x = -x ^ 2-1 + (c_1-1) x + c_2e ^ x. ]

No entanto, como (c_1 ) é uma constante arbitrária, também é (c_1-1 ); portanto, melhoramos a aparência desse resultado renomeando a constante e escrevendo a solução geral como

[ label {eq: 5.7.18} y = -x ^ 2-1 + c_1x + c_2e ^ x. ]

Não há nada errado com sair da solução geral da Equação ref {eq: 5.7.16} na forma Equação ref {eq: 5.7.17}; no entanto, achamos que você concordará que a Equação ref {eq: 5.7.18} é preferível. Também podemos ver a transição da Equação ref {eq: 5.7.17} para a Equação ref {eq: 5.7.18} de maneira diferente. Neste exemplo, a solução particular (y_p = -x ^ 2-x-1 ) continha o termo (- x ), que satisfaz a equação complementar. Podemos abandonar este termo e redefinir (y_p = -x ^ 2-1 ), uma vez que (- x ^ 2-x-1 ) é uma solução da Equação ref {eq: 5.7.16} e ( x ) é uma solução da equação complementar; portanto, (- x ^ 2-1 = (- x ^ 2-x-1) + x ) também é uma solução da Equação ref {eq: 5.7.16}. Em geral, é sempre legítimo descartar combinações lineares de ( {y_1, y_2 } ) de soluções particulares obtidas por variação de parâmetros. (Ver Exercício 5.7.36 para uma discussão geral desta questão.) Faremos isso nos exemplos a seguir e nas respostas aos exercícios que pedem uma solução específica. Portanto, não se preocupe se a sua resposta a tal exercício diferir da nossa apenas por uma solução da equação complementar.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Encontre uma solução particular de

[ label {eq: 5.7.19} y '' + 3y '+ 2y = {1 over 1 + e ^ x}. ]

Em seguida, encontre a solução geral.

Solução

O polinômio característico da equação complementar

[ label {eq: 5.7.20} y '' + 3y '+ 2y = 0 ]

é (p (r) = r ^ 2 + 3r + 2 = (r + 1) (r + 2) ), então (y_1 = e ^ {- x} ) e (y_2 = e ^ { -2x} ) formam um conjunto fundamental de soluções da Equação ref {eq: 5.7.20}. Procuramos uma solução particular da Equação ref {eq: 5.7.19} no formulário

[y_p = u_1e ^ {- x} + u_2e ^ {- 2x}, não numérico ]

Onde

[ begin {alinhados} phantom {-} u_1'e ^ {- x} + phantom {2} u_2'e ^ {- 2x} & = 0 -u_1'e ^ {- x} -2u_2 'e ^ {- 2x} & = {1 over 1 + e ^ x}. end {alinhado} ]

Adicionar essas duas equações resulta

[- u_2'e ^ {- 2x} = {1 over1 + e ^ x}, quad text {so} quad u_2 '= - {e ^ {2x} over 1 + e ^ x}. enhum número ]

Da primeira equação,

[u_1 '= - u_2'e ^ {- x} = {e ^ x sobre 1 + e ^ x}. enhum número ]

Integrar por meio da substituição (v = e ^ x ) e tomar as constantes de integração como sendo zero resulta

[u_1 = int {e ^ x over 1 + e ^ x} , dx = int {dv over 1 + v} = ln (1 + v) = ln (1 + e ^ x) enhum número ]

e

[ begin {alinhado} u_2 & = - int {e ^ {2x} over 1 + e ^ x} , dx = - int {v over 1 + v} , dv = int left [ {1 over 1 + v} -1 right] , dv & = ln (1 + v) -v = ln (1 + e ^ x) -e ^ x. End {alinhado} ]

Portanto

[ begin {alinhados} y_p & = u_1e ^ {- x} + u_2e ^ {- 2x} & = [ ln (1 + e ^ x)] e ^ {- x} + left [ ln ( 1 + e ^ x) -e ^ x right] e ^ {- 2x}, end {alinhado} ]

assim

[y_p = left (e ^ {- x} + e ^ {- 2x} right) ln (1 + e ^ x) -e ^ {- x}. enhum número ]

Como o último termo à direita satisfaz a equação complementar, nós o abandonamos e redefinimos

[y_p = left (e ^ {- x} + e ^ {- 2x} right) ln (1 + e ^ x). enhum número ]

A solução geral da Equação ref {eq: 5.7.19} é

[y = y_p + c_1e ^ {- x} + c_2e ^ {- 2x} = left (e ^ {- x} + e ^ {- 2x} right) ln (1 + e ^ x) + c_1e ^ {- x} + c_2e ^ {- 2x}. enhum número ]

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolva o problema do valor inicial

[ label {eq: 5.7.21} (x ^ 2-1) y '' + 4xy '+ 2y = {2 over x + 1}, quad y (0) = - 1, quad y' (0) = - 5, ]

dado que

[y_1 = {1 over x-1} quad mbox {e} quad y_2 = {1 over x + 1} nonumber ]

são soluções da equação complementar

[(x ^ 2-1) y '' + 4xy '+ 2y = 0. enhum número ]

Solução

Primeiro usamos a variação de parâmetros para encontrar uma solução particular de

[(x ^ 2-1) y '' + 4xy '+ 2y = {2 sobre x + 1} não número ]

em ((- 1,1) ) no formulário

[y_p = {u_1 over x-1} + {u_2 over x + 1}, nonumber ]

Onde

[ label {eq: 5.7.22} frac {u_ {1} '} {x-1} + frac {u_ {2}'} {x + 1} = 0 ]

[- frac {u_ {1} '} {(x-1) ^ {2}} - frac {u_ {2}'} {(x + 1) ^ {2}} = frac {2} {(x + 1) (x ^ {2} -1)} não numérico ]

Multiplicar a primeira equação por (1 / (x-1) ) e adicionar o resultado à segunda equação produz

[ label {eq: 5.7.23} left [{1 over x ^ 2-1} - {1 over (x + 1) ^ 2} right] u_2 '= {2 over (x + 1) (x ^ 2-1)}. ]

Desde

[ left [{1 over x ^ 2-1} - {1 over (x + 1) ^ 2} right] = {(x + 1) - (x-1) over (x + 1 ) (x ^ 2-1)} = {2 over (x + 1) (x ^ 2-1)}, nonumber ]

A equação ref {eq: 5.7.23} implica que (u_2 '= 1 ). Da Equação ref {eq: 5.7.22},

[u_1 '= - {x-1 sobre x + 1} u_2' = - {x-1 sobre x + 1}. enhum número ]

Integrar e tomar as constantes de integração como sendo zero resulta

[ begin {alinhado} u_1 & = - int {x-1 over x + 1} , dx = - int {x + 1-2 over x + 1} , dx & = int left [{2 over x + 1} -1 right] , dx = 2 ln (x + 1) -x end {alinhado} ]

e

[u_2 = int , dx = x. enhum número ]

Portanto

[ begin {alinhado} y_p & = {u_1 over x-1} + {u_2 over x + 1} = left [2 ln (x + 1) -x right] {1 over x-1 } + x {1 over x + 1} & = {2 ln (x + 1) over x-1} + x left [{1 over x + 1} - {1 over x- 1} right] = {2 ln (x + 1) over x-1} - {2x over (x + 1) (x-1)}. End {alinhado} ]

No entanto, desde

[{2x over (x + 1) (x-1)} = left [{1 over x + 1} + {1 over x-1} right] nonumber ]

é uma solução da equação complementar, redefinimos

[y_p = {2 ln (x + 1) sobre x-1}. enhum número ]

Portanto, a solução geral da Equação ref {eq: 5.7.24} é

[ label {eq: 5.7.24} y = {2 ln (x + 1) over x-1} + {c_1 over x-1} + {c_2 over x + 1}. ]

Diferenciar isso rende

[y '= {2 over x ^ 2-1} - {2 ln (x + 1) over (x-1) ^ 2} - {c_1 over (x-1) ^ 2} - { c_2 over (x + 1) ^ 2}. enhum número ]

Definir (x = 0 ) nas duas últimas equações e impor as condições iniciais (y (0) = - 1 ) e (y '(0) = - 5 ) resulta no sistema

[ begin {alinhado} -c_1 + c_2 & = - 1 phantom {.} -2-c_1-c_2 & = - 5. end {alinhado} ]

A solução deste sistema é (c_1 = 2, , c_2 = 1 ). Substituindo-os na Equação ref {eq: 5.7.24} produz

[ begin {alinhados} y & = {2 ln (x + 1) over x-1} + {2 over x-1} + {1 over x + 1} & = {2 ln (x + 1) over x-1} + {3x + 1 over x ^ 2-1} end {alinhado} ]

como a solução da Equação ref {eq: 5.7.21}. Figura ( PageIndex {1} ) é um gráfico da solução.

Agora consideramos três métodos para resolver equações lineares não homogêneas: coeficientes indeterminados, redução de ordem e variação de parâmetros. É natural perguntar qual método é o melhor para um determinado problema. O método de coeficientes indeterminados deve ser usado para equações de coeficientes constantes com funções de força que são combinações lineares de polinômios multiplicadas por funções da forma (e ^ { alpha x} ), (e ^ { lambda x} cos omega x ), ou (e ^ { lambda x} sin omega x ). Embora os outros dois métodos possam ser usados ​​para resolver tais problemas, eles serão mais difíceis, exceto nos casos mais triviais, por causa das integrações envolvidas.

Se a equação não for uma equação de coeficiente constante ou a função de força não for da forma que acabou de ser especificada, o método de coeficientes indeterminados não se aplica e a escolha é necessariamente entre os outros dois métodos. Pode-se argumentar que a redução da ordem é melhor porque requer apenas uma solução da equação complementar, enquanto a variação dos parâmetros requer duas. No entanto, a variação dos parâmetros provavelmente será mais fácil se você já conhece um conjunto fundamental de soluções da equação complementar.


Equações diferenciais: variação de parâmetros

Usando a variação de parâmetros, calcule o Wronskian da seguinte equação.

Para calcular o Wronskian, primeiro calcula as raízes da porção homogênea.

Portanto, uma das soluções complementares está no formulário,

Em seguida, calcule o Wronskian:

Agora pegue o determinante para terminar de calcular o Wronskian.

Pergunta de exemplo nº 2: variação de parâmetros

Usando a variação de parâmetros, calcule o Wronskian da seguinte equação.

Para calcular o Wronskian, primeiro calcula as raízes da porção homogênea.

Portanto, uma das soluções complementares está no formulário,

Em seguida, calcule o Wronskian:

Agora pegue o determinante para terminar de calcular o Wronskian.

Pergunta de exemplo nº 1: variação de parâmetros

Resolva a seguinte equação diferencial não homogênea.

Como a não homogeneidade não assume uma forma que possamos explorar com coeficientes indeterminados, devemos usar a variação de parâmetros. Assim, primeiro encontramos a solução complementar. A equação característica de é, com soluções de. Isso significa que e.

Para fazer variação de parâmetros, precisaremos do Wronskian,

A variação dos parâmetros nos diz que o coeficiente na frente de é onde está o Wronskian com a linha substituída por todos os 0s e um 1 na parte inferior. No caso 2x2, isso significa que

. Conectando, a primeira metade simplifica para

e a segunda metade se torna

Juntando tudo isso com a solução complementar, temos uma solução geral de

Exemplo de pergunta nº 11: Equações diferenciais de ordem superior

Encontre uma solução geral para o seguinte ODE

Nenhuma das outras soluções

Sabemos que a solução consiste em uma solução homogênea e uma solução particular.

A equação auxiliar para a solução homogênea é

A solução homogênea é

A solução particular é a forma

Requer variação de parâmetros para resolver

Resolver o sistema nos leva

Todos os recursos de equações diferenciais

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Trabalho de casa online:

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Política de classificação:

A nota do seu curso será determinada da seguinte forma: 20% de cada exame de meio do semestre, 30% do exame final, 15% de trabalhos de casa online e 15% de trabalhos de casa corrigidos manualmente.

Política de maquiagem:

Não haverá exames de reposição (semestrais e finais), exceto em circunstâncias extremas (como: morte de familiares próximos, obrigações militares, etc.) a critério do instrutor. O instrutor deve ser informado ANTECIPADAMENTE por e-mail. Você será solicitado a fornecer a documentação adequada. Não há queda para os deveres de casa e nem atrasos. Para compensar isso, sua nota de HW será dimensionada por um fator de 1,1 (ou seja, qualquer pessoa que obtiver 91% ou mais em HW será dimensionada para 100%).

Se você discordar da nota em um dever de casa, você deve fornecer uma explicação por escrito, incluindo os motivos para discordar, e reenviar o trabalho para Caixa de correio do TA para reclassificar dentro de uma semana após o trabalho ser devolvido à classe pela primeira vez.

Existem dois exames intermediários em sala de aula e um exame final abrangente. Calculadoras, livros e notas não são permitidos durante os exames. A tabela de transformação de Laplace será fornecida quando necessário.

Datas importantes Teste 1 19 de fevereiro
Teste 2 Abril. 4
Exame final 5 de maio às 8h em CL50 224

Programa provisório de aula (começa em 11/01/15) e trabalhos de casa

Os trabalhos de casa avaliados manualmente devem ser entregues no início das aulas, às segundas-feiras. Quando não houver aula na segunda-feira, o prazo será na quarta-feira. A data de entrega dos trabalhos de casa online é publicada online.

Semana # (data de vencimento) Seções HW classificado manualmente
Semana 1 5.1, 5.2 5.2: 7 (a) (b)
Semana 2 5.3, 5.4 5.4: 11, 35
Semana 3 5.5, 5.6 5.5: 6 Parte (c) (d) só precisa encontrar os três primeiros termos de cada solução em série
Semana 4 5.6, 6.1, 6.2 6.2: 23
Semana 5 6.3, 6.4, 6.5 6,4: 10 (a)
Semana 6 6,6, teste 1
Semana 7 7.1, 7.2, 7.3, 7.4 7.3: 25
Semana 8 7.5, 7.6, 7.7 7,5: 18, bônus: solução detalhada do Teste 1
Semana 9 (23/03) 7.7, 7.8, 7.9 7,7: 17 (a) (c)
Semana 10 Férias de primavera férias de primavera
Semana 11 (28/03) 7.9, 8.1, 8.2 7,9: 1 Use o método de coeficientes atenuados e variação de parâmetros
Semana 12 (4/1) 10.1, teste 2 10.1:15
Semana 13 (11/4) 10.2, 10.3 10.2: 15
Semana 14 (18/4) 10.4, 10.5 10.5: 8, bônus: solução detalhada do Teste 2
Semana 15 (25/4 10.6, 10.7 10,6: 9 (a)
Semana 16 10.8, Revisão
Semana 17 Exame final Exame final

A presença das aulas é esperada. Recomenda-se a leitura das seções do livro com antecedência. Se você perder uma palestra, será responsável por tudo o que for abordado, incluindo os anúncios em aula.

AJUSTES ACADÊMICOS PARA ALUNOS COM DEFICIÊNCIA

  • Se você foi certificado pelo Disability Resource Center (DRC) como elegível para ajustes acadêmicos em exames ou questionários, consulte http://www.math.purdue.edu/ada para procedimentos de exame e questionário para seu curso de matemática ou vá para MATH 242 para cópias em papel.
  • No caso de você estar esperando para ser certificado pelo Disability Resource Center, nós o encorajamos a revisar nossos procedimentos antes de ser certificado.

Para todas as acomodações em sala de aula, consulte seus instrutores fora do horário de aula, antes ou depois das aulas ou durante o horário comercial, para compartilhar seu Memorando de Acomodação para o semestre atual e discutir suas acomodações o mais rápido possível.

A integridade acadêmica é esperada para todos os alunos em todos os momentos deste curso. Você é livre (até mesmo incentivado) para trabalhar com outros alunos para resolver os problemas do dever de casa. Porém, você deve redigir soluções para cada tarefa usando suas próprias palavras e explicações. Claro, você deve fazer seu próprio trabalho em cada exame.


5.7: Variação de Parâmetros - Matemática

Agora precisamos dar uma olhada no segundo método para determinar uma solução particular para uma equação diferencial. Como vimos pela primeira vez a Variação de Parâmetros, percorreremos todo o processo e obteremos um conjunto de fórmulas que podem ser usadas para gerar uma solução específica.

No entanto, como vimos anteriormente ao observar as equações diferenciais de 2ª ordem, esse método pode levar a integrais que não são fáceis de avaliar. Portanto, embora esse método sempre possa ser usado, ao contrário dos Coeficientes Indeterminados, para pelo menos escrever uma fórmula para uma solução particular, nem sempre será possível realmente obter uma solução.

Então, vamos começar o processo. Vamos começar com a equação diferencial,

e suponha que encontramos um conjunto fundamental de soluções, ( left (t right), left (t right), ldots, left (t right) ), para a equação diferencial homogênea associada.

Porque temos um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial homogênea, agora sabemos que a solução complementar é,

[y left (t right) = left (t right) + left (t right) + cdots + esquerda (t direita) ]

O método de variação de parâmetros envolve tentar encontrar um conjunto de novas funções, ( left (t right), left (t right), ldots, left (t right) ) para que,

[começarY left (t right) = left (t right) left (t right) + left (t right) left (t right) + cdots + left (t right) left (t right) labelfim]

será uma solução para a equação diferencial não homogênea. A fim de determinar se isso é possível e encontrar o ( left (t right) ) se for possível, precisaremos de um total de (n ) equações envolvendo as funções desconhecidas que podemos (esperançosamente) resolver.

Uma das equações é fácil. O palpite, ( eqref), precisará satisfazer a equação diferencial original, ( eqref). Então, vamos começar a tomar alguns derivados e como fizemos quando olhamos pela primeira vez para a variação dos parâmetros, faremos algumas suposições ao longo do caminho que simplificarão nosso trabalho e no processo geraremos as equações restantes de que precisaremos.

A primeira derivada de ( eqref) é,

Observe que reorganizamos os resultados do processo de diferenciação um pouco aqui e removemos a parte ( left (t right) ) em (u ) e (y ) para tornar isso um pouco mais fácil de ler . Agora, se continuarmos diferenciando isso, rapidamente se tornará pesado e, portanto, vamos fazer uma suposição para simplificar as coisas aqui. Porque estamos atrás de ( left (t right) ) provavelmente devemos tentar evitar que as derivadas se tornem muito grandes. Então, vamos supor que,

A questão natural neste ponto é que isso faz sentido fazer? A resposta é, se terminarmos com um sistema de (n ) equações que podemos resolver para o ( left (t right) ) então sim, faz sentido fazer. Claro, a outra resposta é, não estaríamos fazendo essa suposição se não soubéssemos que iria funcionar. No entanto, aceitar essa resposta exige que você confie em nós para fazer as suposições corretas, então talvez a primeira resposta seja a melhor neste momento.

Neste ponto, a primeira derivada de ( eqref) é,

e agora podemos pegar a segunda derivada para obter,

Isso se parece muito com a primeira derivada original antes de simplificá-la, então vamos fazer uma simplificação novamente. Mais uma vez, queremos manter os derivados no ( left (t right) ) ao mínimo, então, desta vez, vamos assumir que,

e com esta suposição, a segunda derivada torna-se,

Esperançosamente, você está começando a ver um padrão se desenvolver aqui. Se continuarmos este processo para as primeiras (n - 1 ) derivadas, chegaremos à seguinte fórmula para essas derivadas.

Para chegar a cada uma dessas fórmulas, também tivemos que assumir que,

e lembre-se de que a 0ª derivada de uma função é apenas a própria função. Portanto, por exemplo, (y_2 ^ < left (0 right)> left (t right) = left (t right) ).

Observe também que o conjunto de suposições em ( eqref) realmente nos dá (n - 1 ) equações em termos das derivadas das funções desconhecidas: ( left (t right), left (t right), ldots, left (t right) ).

Tudo o que precisamos fazer então é terminar de gerar a primeira equação que iniciamos este processo para encontrar (ou seja, conectando ( eqref) em ( eqref)). Para fazer isso, precisamos de mais uma derivada da estimativa. Diferenciando o (< left ( direita) ^ << mbox>>> ) derivada, que podemos obter em ( eqref), para obter a (n ) ésima derivada dá,

Desta vez, também não faremos nenhuma suposição para simplificar isso, mas, em vez disso, apenas conectaremos isso junto com os derivados dados em ( eqref) na equação diferencial, ( eqref)

Em seguida, reorganize um pouco para obter,

Lembre-se de que ( left (t right), left (t right), ldots, left (t right) ) são todas as soluções para a equação diferencial homogênea e, portanto, todas as quantidades em ( left [<, ,> right] ) são zero e isso se reduz a,

Então, esta equação, junto com aquelas dadas em ( eqref), forneça as (n ) equações de que precisávamos. Vamos listar todos eles aqui para fins de completude.

Então, temos (n ) equações, mas observe que, assim como quando fizemos isso para equações diferenciais de 2ª ordem, as incógnitas no sistema não são ( left (t right), left (t right), ldots, left (t right) ) mas, em vez disso, são os derivados, ( left (t right), left (t right), ldots, left (t right) ). No entanto, este não é um grande problema. Desde que possamos resolver esse sistema, podemos então apenas integrar as soluções para obter as funções que buscamos.

Além disso, lembre-se de que o ( left (t right), left (t right), ldots, left (t right) ) são assumidos como funções conhecidas e, portanto, juntamente com suas derivadas (que aparecem no sistema), são todas quantidades conhecidas no sistema.

Agora, precisamos pensar em como resolver esse sistema. Se não houver muitas equações, podemos simplesmente resolvê-las diretamente, se quisermos. No entanto, para grandes (n ) (e não vai demorar muito para ficar grande aqui), isso pode ser um tanto tedioso e sujeito a erros e não funcionará em geral (n ) como temos aqui .

O melhor método de solução a ser usado neste ponto é a Regra de Cramer. Usamos a Regra de Cramer várias vezes neste curso, mas a melhor referência para nossos propósitos aqui é quando a usamos quando definimos Conjuntos Fundamentais de Soluções pela primeira vez no material de 2ª ordem.

Ao usar a regra de Cramer para resolver o sistema, a solução resultante para cada () será um quociente de dois determinantes de matrizes (n ) x (n ). O denominador de cada solução será o determinante da matriz dos coeficientes conhecidos,

No entanto, este é apenas o Wronskian de ( left (t right), left (t right), ldots, left (t right) ) como observado acima e porque assumimos que elas formam um conjunto fundamental de soluções, também sabemos que o Wronskian não será zero. Isso, por sua vez, nos diz que o sistema acima é de fato solucionável e todas as suposições que aparentemente fizemos do nada acima de fato funcionaram.

Os numeradores da solução para () será o determinante da matriz de coeficientes com a (i ) ésima coluna substituída pela coluna ( left (<0,0,0, ldots, 0, g left (t right)> certo)). Por exemplo, o numerador do primeiro, () é,

Agora, por uma boa propriedade dos determinantes, se fatorarmos algo de uma das colunas de uma matriz, o determinante da matriz resultante será o fator vezes o determinante da nova matriz. Em outras palavras, se fatorarmos (g left (t right) ) desta matriz, chegamos a,

Fizemos isso apenas para o primeiro, mas poderíamos facilmente fazer isso com qualquer uma das (n ) soluções. Então deixe () representam o determinante que obtemos substituindo a (i ) ésima coluna do Wronskian pela coluna ( left (<0,0,0, ldots, 0,1> right) ) e a solução para o sistema pode então ser escrito como,

Uau! Foi um grande esforço gerar e resolver o sistema, mas estamos quase lá. Com a solução para o sistema em mãos, podemos agora integrar cada um desses termos para determinar apenas quais funções desconhecidas, ( left (t right), left (t right), ldots, left (t right) ) afinal estamos.

Finalmente, uma solução particular para ( eqref) é então dado por,

Devemos também notar que no processo de derivação aqui assumimos que o coeficiente do (> ) termo era um e isso foi fatorado na fórmula acima. Se o coeficiente deste termo não for um, precisaremos nos certificar e dividi-lo antes de tentar usar esta fórmula.

Antes de trabalharmos com um exemplo aqui, realmente devemos observar que embora possamos escrever essa fórmula, computar essas integrais pode ser praticamente impossível de fazer.

Ok, vamos dar uma olhada em um exemplo rápido.

A equação característica é,

Portanto, temos três raízes reais distintas aqui e, portanto, a solução complementar é,

Ok, agora temos vários determinantes para calcular. Deixaremos que você verifique os seguintes cálculos determinantes.

Agora, dado que (g left (t right) = 3 + 4 << bf> ^ <- t >> ) podemos calcular cada um dos (). Aqui estão essas integrais.

Observe que não incluímos as constantes de integração em cada um deles porque incluí-los apenas introduziria um termo que seria absorvido pela solução complementar, assim como vimos quando estávamos lidando com equações diferenciais de 2ª ordem.

Finalmente, uma solução particular para esta equação diferencial é, então,

A solução geral é então,

Faremos apenas um único exemplo nesta seção para ilustrar o processo mais do que qualquer outra coisa, então fecharemos esta seção.


Questões

Para as questões de 1 a 12, escreva a fórmula que define a variação, incluindo a constante de variação

  1. varia diretamente como
  2. é conjuntamente proporcional a e
  3. varia inversamente como
  4. varia diretamente conforme o quadrado de
  5. varia conjuntamente como e
  6. é inversamente proporcional ao cubo de
  7. é juntamente proporcional com o quadrado de e a raiz quadrada de
  8. é inversamente proporcional a à sexta potência
  9. é juntamente proporcional com o cubo de e inversamente à raiz quadrada de
  10. é inversamente proporcional ao quadrado de e a raiz quadrada de
  11. varia conjuntamente como e e é inversamente proporcional ao cubo de
  12. é inversamente proporcional ao cubo de e quadrado de

Para as questões 13 a 22, encontre a fórmula que define a variação e a constante de variação

  1. Se varia diretamente como encontrar quando e
  2. Se é conjuntamente proporcional a e encontrar quando e
  3. Se varia inversamente como encontrar quando e
  4. Se varia diretamente conforme o quadrado de encontrar quando e
  5. Se varia conjuntamente como e encontrar quando e
  6. Se é inversamente proporcional ao cubo de encontrar quando e
  7. Se é diretamente proporcional a encontrar quando e
  8. Se é juntamente proporcional com o quadrado de e a raiz quadrada de encontrar quando e
  9. Se varia juntamente com e a praça de e inversamente com encontrar quando e
  10. Se varia diretamente como and inversely as find when e

For questions 23 to 37, solve each variation word problem.

  1. The electrical current (in amperes, A) varies directly as the voltage in a simple circuit. If the current is 5 A when the source voltage is 15 V, what is the current when the source voltage is 25 V?
  2. The current in an electrical conductor varies inversely as the resistance (in ohms, Ω) of the conductor. If the current is 12 A when the resistance is 240 Ω, what is the current when the resistance is 540 Ω?
  3. Hooke’s law states that the distance that a spring is stretched supporting a suspended object varies directly as the mass of the object If the distance stretched is 18 cm when the suspended mass is 3 kg, what is the distance when the suspended mass is 5 kg?
  4. The volume of an ideal gas at a constant temperature varies inversely as the pressure exerted on it. If the volume of a gas is 200 cm 3 under a pressure of 32 kg/cm 2 , what will be its volume under a pressure of 40 kg/cm 2 ?
  5. The number of aluminum cans used each year varies directly as the number of people using the cans. If 250 people use 60,000 cans in one year, how many cans are used each year in a city that has a population of 1,000,000?
  6. The time required to do a masonry job varies inversely as the number of bricklayers If it takes 5 hours for 7 bricklayers to build a park wall, how much time should it take 10 bricklayers to complete the same job?
  7. The wavelength of a radio signal (λ) varies inversely as its frequency A wave with a frequency of 1200 kilohertz has a length of 250 metres. What is the wavelength of a radio signal having a frequency of 60 kilohertz?
  8. The number of kilograms of water in a human body is proportional to the mass of the body If a 96 kg person contains 64 kg of water, how many kilograms of water are in a 60 kg person?
  9. The time required to drive a fixed distance varies inversely as the speed If it takes 5 hours at a speed of 80 km/h to drive a fixed distance, what speed is required to do the same trip in 4.2 hours?
  10. The volume of a cone varies jointly as its height and the square of its radius If a cone with a height of 8 centimetres and a radius of 2 centimetres has a volume of 33.5 cm 3 , what is the volume of a cone with a height of 6 centimetres and a radius of 4 centimetres?
  11. The centripetal force acting on an object varies as the square of the speed and inversely to the radius of its path. If the centripetal force is 100 N when the object is travelling at 10 m/s in a path or radius of 0.5 m, what is the centripetal force when the object’s speed increases to 25 m/s and the path is now 1.0 m?
  12. The maximum load that a cylindrical column with a circular cross section can hold varies directly as the fourth power of the diameter and inversely as the square of the height If an 8.0 m column that is 2.0 m in diameter will support 64 tonnes, how many tonnes can be supported by a column 12.0 m high and 3.0 m in diameter?
  13. The volume of gas varies directly as the temperature and inversely as the pressure If the volume is 225 cc when the temperature is 300 K and the pressure is 100 N/cm 2 , what is the volume when the temperature drops to 270 K and the pressure is 150 N/cm 2 ?
  14. The electrical resistance of a wire varies directly as its length and inversely as the square of its diameter A wire with a length of 5.0 m and a diameter of 0.25 cm has a resistance of 20 Ω. Find the electrical resistance in a 10.0 m long wire having twice the diameter.
  15. The volume of wood in a tree varies directly as the height and the diameter If the volume of a tree is 377 m 3 when the height is 30 m and the diameter is 2.0 m, what is the height of a tree having a volume of 225 m 3 and a diameter of 1.75 m?

<a href=”/intermediatealgebraberg/back-matter/answer-key-2-7/”>Answer Key 2.7


MathHelp.com

So variation equations may have complicated expressions, but they'll only ever have the one term. Their equations will never have two or more terms added together. Por exemplo, y = 3x is a variation equation, but y = 3x + 2 is not.

An example of a variation equation would be the formula for the area of the circle:

In the language of variation:

the area A varies directly with the square of the radius r

. and the constant of variation is k = &pi . This formula is an example of "direct" variation."Direct variation" means that, in the one term of the formula, the variable is "on top".

(By the way, if you see a formula with a " &prop " character in it instead of an "equals" sign, that character is pronounced as "is directly proportional to", and indicates that they've given you a direct-variation equation, but without telling you what the variation constant is.)

On the other hand, "inverse variation" means that the variable is underneath, in the bottom of a fraction. Suppose, for instance, that you inherit a money market account containing $100,000 , and you wonder how much money your rich uncle initially invested eight years ago. Depending on the average interest rate " r ", the formula you would use would be:

. Onde P is the principal that your uncle invested. (This formula is a variant of the compound-interest formula, by the way.) In the language of variation, this formula reads as:

the principal P varies inversely with

. with the constant of variation being k = 100,000 .

The other case of variation is "jointly". "Joint variation" means "directly, but with two or more variables". An example would be the formula for the area of a triangle with base " b " and height " h ":

a área UMA varies jointly with b e h

The constant of variation for this equation is .

  • " F varies as x " means F = kx
  • " F varies jointly as x e y " means F = kxy
  • " F varies as x + y " means F = k(x + y)
  • " F varies inversely as x " means

Be careful with those middle two statements above. Almost always, when you translate word problems from English into math, "and" means "plus" or "added to". But in joint variation, "and" just means "both of these are together on the same side of the fraction" (usually on top), and you multiply. If you are supposed to add two variables, they'll use the format in that third bulleted example above, or they'll say "varies as the sum of x e y .

(If they have you working with something that varies "directly" with one thing and "inversely" with another thing, this may be referred to as a "combined" variation.)

Translating variation problems isn't so bad, once you get the hang of it. But then they want you to move on to setting up and solving word problems. These generally fall into two categories: the ones where they want you to find the value of " k ", and the ones where they want you to find some other value, but only after you've found " k " first. Here are some examples:

Se y varies directly as x 2 and y = 8 when x = 2 , find y when x = 1 .

Since this is direct variation, the formula is " y = kx 2 ".The reason they've given me the data point (x, y) = (2, 8) is that I have to be able to find the value of " k & quot. So I'll plug in the information they've given me, and solve for k :

Now that I have k , I can rewrite the formula completely:

With this, I can answer the question they actually asked: "Find y when x = 1 ."


A PDE question using variation of parameters

Variation of parameters: Consider IBVP egin u_t − u_ = f(x, t) qquad & ext Omega = (0, pi) imes Bbb R^+ u(x, 0) = varphi(x) qquad & ext (0, pi) u(0, t) = h_0(t) qquad & ext Bbb R^+ u(pi, t) = h_1(t) qquad & ext Bbb R^+ end Find $v(x, t) = a(t) + b(t)x$ which satisfies the two boundary conditions and write down the problem solved by $w = u − v$ (for the sake of clarity, define new names for complicated expressions).

So I believe the idea is that we want $w_t - w_ = 0$ so it is reduced to what I have learned. We want $w_t - w_ = u_t - u_ - v_t = 0$. (Since we can get $v_=0$.) This means $v_t = f(x,t)$. However $v_t = a' + b'x$ has highest power to $x$ of $1$. What if $f$ is not of the form $a' + b'x$? Am I doing in the wrong way?


5.7: Variation of Parameters - Mathematics

Old exams are available in a repository maintained by Dr. Zachary Tseng, here.

Mini projects

Mini-project 1, due in class Friday Feb. 16. Options:
Chapter 1, Project C.
Chapter 2, Projects A, B, G.
Chapter 3, Projects A, B, C, E, F, G, I**.
** requires sections 1.4/3.6 on numerics which we did not discuss in class, but you're welcome to work on anyway! I'm happy to help.
Mini-project 2, due in class Friday Mar. 30 Options:
Chapter 5, Projects A**, B, D, E, F**.
Chapter 6, Projects C**, D.
Chapter 7, Project B.
Chapter 9, Project B .
** requires some numerics which we did not discuss in class, but you're welcome to work on anyway! I'm happy to help.
Mini-project 3, due in class Friday Apr. 27 Options:
Chapter 10, Project A, B, C, D**.
Chapter 12, Project D, E, F.
Zombie project description and associated paper.
** requires numerical approaches which we did not discuss in class, but you're welcome to work on anyway! I'm happy to help.


Zill/Wright
Differential Equations with Boundary Value Problems Cengage/ISU Custom Edition
ISBN: 9781305025172

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Trabalho de casa Date Due Solutions
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Exames

The following are Math 2070 exams given in recent semesters. Solutions are provided, if available.

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Some additional exams from earlier years. The coverage and notation may be slightly different.


Watch the video: Podaj przykład równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi x i y (Dezembro 2021).