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6.2: Equações Paramétricas - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Trace uma curva descrita por equações paramétricas.
  • Converta as equações paramétricas de uma curva na forma (y = f (x) ).
  • Reconheça as equações paramétricas de curvas básicas, como uma linha e um círculo.
  • Reconheça as equações paramétricas de um ciclóide.

Nesta seção, examinamos as equações paramétricas e seus gráficos. O parâmetro é uma variável independente da qual (x ) e (y ) dependem, e conforme o parâmetro aumenta, os valores de (x ) e (y ) traçam um caminho ao longo de uma curva plana . Por exemplo, se o parâmetro for (t ) (uma escolha comum), então (t ) pode representar o tempo. Então (x ) e (y ) são definidos como funções do tempo, e ((x (t), y (t)) ) pode descrever a posição no plano de um determinado objeto conforme ele se move ao longo um caminho curvo.

Equações paramétricas e seus gráficos

Considere a órbita da Terra em torno do sol. Nosso ano dura aproximadamente 365,25 dias, mas para essa discussão usaremos 365 dias. Em 1º de janeiro de cada ano, a localização física da Terra em relação ao Sol é quase a mesma, exceto nos anos bissextos, quando o atraso introduzido pelo ( frac {1} {4} ) dia extra de tempo orbital está embutido no calendário. Chamamos 1 de janeiro de “dia 1” do ano. Então, por exemplo, o dia 31 é 31 de janeiro, o dia 59 é 28 de fevereiro e assim por diante.

O número do dia em um ano pode ser considerado uma variável que determina a posição da Terra em sua órbita. Conforme a Terra gira em torno do Sol, sua localização física muda em relação ao Sol. Após um ano completo, estamos de volta ao ponto de partida e um novo ano começa. De acordo com as leis de movimento planetário de Kepler, a forma da órbita é elíptica, com o Sol em um dos focos da elipse. Estudamos essa ideia com mais detalhes nas Seções cônicas.

Figura ( PageIndex {1} ) representa Órbita terrestre ao redor do Sol durante um ano. O ponto identificado como (F_2 ) é um dos focos da elipse; o outro foco é ocupado pelo sol. Se sobrepormos eixos de coordenadas sobre este gráfico, podemos atribuir pares ordenados a cada ponto na elipse (Figura ( PageIndex {2} )). Então, cada valor (x ) no gráfico é um valor de posição em função do tempo, e cada valor (y ) também é um valor de posição em função do tempo. Portanto, cada ponto no gráfico corresponde a um valor da posição da Terra em função do tempo.

Podemos determinar as funções para (x (t) ) e (y (t) ), parametrizando assim a órbita da Terra em torno do Sol. A variável (t ) é chamada de parâmetro independente e, neste contexto, representa o tempo relativo ao início de cada ano.

Uma curva no plano ((x, y) ) pode ser representada parametricamente. As equações que são usadas para definir a curva são chamadas equações paramétricas.

Definição: Equações Paramétricas

Se (x ) e (y ) são funções contínuas de (t ) em um intervalo (I ), então as equações

[x = x (t) ]

e

[y = y (t) ]

são chamadas de equações paramétricas e (t ) é chamado de parâmetro. O conjunto de pontos ((x, y) ) obtido conforme (t ) varia no intervalo (I ) é chamado de gráfico das equações paramétricas. O gráfico de equações paramétricas é chamado de curva paramétrica ou curva plana, e é denotado por (C ).

Observe nesta definição que (x ) e (y ) são usados ​​de duas maneiras. O primeiro é como funções da variável independente (t ). Como (t ) varia no intervalo (I ), as funções (x (t) ) e (y (t) ) geram um conjunto de pares ordenados ((x, y) ) . Este conjunto de pares ordenados gera o gráfico das equações paramétricas. Neste segundo uso, para designar os pares ordenados, (x ) e (y ) são variáveis. É importante distinguir as variáveis ​​ (x ) e (y ) das funções (x (t) ) e (y (t) ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Representando graficamente uma curva definida parametricamente

Esboce as curvas descritas pelas seguintes equações paramétricas:

  1. (x (t) = t − 1, quad y (t) = 2t + 4, quad text {para} −3≤t≤2 )
  2. (x (t) = t ^ 2−3, quad y (t) = 2t + 1, quad text {para} −2≤t≤3 )
  3. (x (t) = 4 cos t, quad y (t) = 4 sin t, quad text {para} 0≤t≤2π )

Solução

uma. Para criar um gráfico desta curva, primeiro configure uma tabela de valores. Como a variável independente em (x (t) ) e (y (t) ) é (t ), deixe (t ) aparecer na primeira coluna. Em seguida, (x (t) ) e (y (t) ) aparecerão na segunda e terceira colunas da tabela.

(t ) (x (t) ) (y (t) )
−3−4−2
−2−30
−1−22
0−14
106
218

A segunda e a terceira colunas desta tabela fornecem um conjunto de pontos a serem traçados. O gráfico desses pontos aparece na Figura ( PageIndex {3} ). As setas no gráfico indicam o orientação do gráfico, ou seja, a direção em que um ponto se move no gráfico à medida que t varia de −3 a 2.

b. Para criar um gráfico desta curva, configure novamente uma tabela de valores.

(t ) (x (t) ) (y (t) )
−21−3
−1−2−1
0−31
1−23
215
367

A segunda e a terceira colunas nesta tabela fornecem um conjunto de pontos a serem plotados (Figura ( PageIndex {4} )). O primeiro ponto no gráfico (correspondendo a (t = −2 )) tem coordenadas ((1, −3) ), e o último ponto (correspondendo a (t = 3 )) tem coordenadas ( (6,7) ). Conforme (t ) progride de (- 2 ) para (3 ), o ponto na curva viaja ao longo de uma parábola. A direção em que o ponto se move é novamente chamada de orientação e é indicada no gráfico.

c. Neste caso, use múltiplos de (π / 6 ) para (t ) e crie outra tabela de valores:

(t ) (x (t) ) (y (t) ) (t ) (x (t) ) (y (t) )
040 ( frac {7π} {6} ) (- 2 sqrt {3} ≈ − 3,5 )-2
( frac {π} {6} ) (2 sqrt {3} ≈3,5 )2 ( frac {4π} {3} )−2 (- 2 sqrt {3} ≈ − 3,5 )
( frac {π} {3} )2 (2 sqrt {3} ≈3,5 ) ( frac {3π} {2} )0−4
( frac {π} {2} )04 ( frac {5π} {3} )2 (- 2 sqrt {3} ≈ − 3,5 )
( frac {2π} {3} )−2 (2 sqrt {3} ≈3,5 ) ( frac {11π} {6} ) (2 sqrt {3} ≈3,5 )-2
( frac {5π} {6} ) (- 2 sqrt {3} ≈ − 3,5 )2 (2π )40
(π )−40

O gráfico desta curva plana aparece no gráfico a seguir.

Este é o gráfico de um círculo com raio (4 ) centrado na origem, com orientação anti-horária. Os pontos inicial e final da curva têm coordenadas ((4,0) ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Esboce a curva descrita pelas equações paramétricas

[x (t) = 3t + 2, quad y (t) = t ^ 2−1, quad text {para} −3≤t≤2. enhum número]

Dica

Faça uma tabela de valores para (x (t) ) e (y (t) ) usando valores (t ) de (- 3 ) a (2 ).

Responder

Eliminando o parâmetro

Para entender melhor o gráfico de uma curva representada parametricamente, é útil reescrever as duas equações como uma única equação relacionando as variáveis ​​ (x ) e (y ). Então, podemos aplicar qualquer conhecimento prévio de equações de curvas no plano para identificar a curva. Por exemplo, as equações que descrevem a curva plana em Exemplo ( PageIndex {1b} ) são

[ begin {align} x (t) & = t ^ 2−3 label {x1} [4pt] y (t) & = 2t + 1 label {y1} end {align} ]

sobre a região (- 2 le t le 3. )

Resolvendo a equação ref {y1} para (t ) dá

[t = dfrac {y − 1} {2}. enhum número]

Isso pode ser substituído na Equação ref {x1}:

[ begin {align} x & = left ( dfrac {y − 1} {2} right) ^ 2−3 [4pt] & = dfrac {y ^ 2−2y + 1} {4 } −3 [4pt] & = dfrac {y ^ 2−2y − 11} {4}. label {y2} end {align} ]

A equação ref {y2} descreve (x ) como uma função de (y ). Essas etapas fornecem um exemplo de eliminação do parâmetro. O gráfico desta função é uma parábola abrindo para a direita (Figura ( PageIndex {4} )). Lembre-se de que a curva plana começou em ((1, −3) ) e terminou em ((6,7) ). Essas terminações foram devido à restrição do parâmetro (t ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Eliminando o parâmetro

Elimine o parâmetro para cada uma das curvas planas descritas pelas seguintes equações paramétricas e descreva o gráfico resultante.

  1. (x (t) = sqrt {2t + 4}, quad y (t) = 2t + 1, quad text {para} −2≤t≤6 )
  2. (x (t) = 4 cos t, quad y (t) = 3 sin t, quad text {para} 0≤t≤2π )

Solução

uma. Para eliminar o parâmetro, podemos resolver qualquer uma das equações para (t ). Por exemplo, resolver a primeira equação para (t ) dá

[ begin {align *} x & = sqrt {2t + 4} [4pt] x ^ 2 & = 2t + 4 [4pt] x ^ 2−4 & = 2t [4pt] t & = dfrac {x ^ 2−4} {2}. end {align *} ]

Observe que quando elevamos os dois lados ao quadrado, é importante observar que (x≥0 ). Substituir (t = dfrac {x ^ 2−4} {2} ) em (y (t) ) resulta

[y (t) = 2t + 1 ]

[y = 2 left ( dfrac {x ^ 2−4} {2} right) +1 ]

[y = x ^ 2−4 + 1 ]

[y = x ^ 2−3. ]

Esta é a equação de uma parábola se abrindo para cima. Há, no entanto, uma restrição de domínio devido aos limites do parâmetro (t ). Quando (t = −2 ), (x = sqrt {2 (−2) +4} = 0 ), e quando (t = 6 ), (x = sqrt {2 (6 ) +4} = 4 ). O gráfico desta curva plana segue.

b. Às vezes é necessário ser um pouco criativo para eliminar o parâmetro. As equações paramétricas para este exemplo são

[x (t) = 4 cos t nonumber ]

e

[y (t) = 3 sin t nonumber ]

Resolver qualquer uma das equações para (t ) diretamente não é aconselhável porque seno e cosseno não são funções um-para-um. No entanto, dividir a primeira equação por (4 ) e a segunda equação por (3 ) (e suprimir o (t )) nos dá

[ cos t = dfrac {x} {4} nonumber ]

e

[ sin t = dfrac {y} {3}. nonumber ]

Agora use a identidade pitagórica ( cos ^ 2t + sin ^ 2t = 1 ) e substitua as expressões para ( sin t ) e ( cos t ) pelas expressões equivalentes em termos de (x ) e (y ). Isto dá

[ left ( dfrac {x} {4} right) ^ 2 + left ( dfrac {y} {3} right) ^ 2 = 1 nonumber ]

[ dfrac {x ^ 2} {16} + dfrac {y ^ 2} {9} = 1. enhum número]

Esta é a equação de uma elipse horizontal centrada na origem, com semi-eixo maior (4 ) e semi-eixo menor (3 ) conforme mostrado no gráfico a seguir.

Como t progride de (0 ) para (2π ), um ponto na curva atravessa a elipse uma vez, no sentido anti-horário. Lembre-se do abridor de seção que a órbita da Terra em torno do Sol também é elíptica. Este é um exemplo perfeito do uso de curvas parametrizadas para modelar um fenômeno do mundo real.

Exercício ( PageIndex {2} )

Elimine o parâmetro da curva plana definida pelas seguintes equações paramétricas e descreva o gráfico resultante.

[x (t) = 2 + dfrac {3} {t}, quad y (t) = t − 1, quad text {para} 2≤t≤6 nonumber ]

Dica

Resolva uma das equações para (t ) e substitua na outra equação.

Responder

(x = 2 + frac {3} {y + 1}, ) ou (y = −1 + frac {3} {x − 2} ). Esta equação descreve uma parte de uma hipérbole retangular centrada em ((2, −1) ).

Até agora vimos o método de eliminação do parâmetro, assumindo que conhecemos um conjunto de equações paramétricas que descrevem uma curva plana. E se quisermos começar com a equação de uma curva e determinar um par de equações paramétricas para essa curva? Isso certamente é possível e, de fato, é possível fazer isso de muitas maneiras diferentes para uma determinada curva. O processo é conhecido como parametrização de uma curva.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Parametrizando uma Curva

Encontre dois pares diferentes de equações paramétricas para representar o gráfico de (y = 2x ^ 2−3 ).

Solução

Primeiro, é sempre possível parametrizar uma curva definindo (x (t) = t ), depois substituindo (x ) por (t ) na equação para (y (t) ). Isso dá a parametrização

[x (t) = t, quad y (t) = 2t ^ 2−3. enhum número]

Como não há restrição no domínio no gráfico original, não há restrição nos valores de (t ).

Temos total liberdade na escolha da segunda parametrização. Por exemplo, podemos escolher (x (t) = 3t − 2 ). A única coisa que precisamos verificar é se não há restrições impostas a (x ); ou seja, o intervalo de (x (t) ) são todos números reais. Este é o caso de (x (t) = 3t − 2 ). Agora, como (y = 2x ^ 2−3 ), podemos substituir (x (t) = 3t − 2 ) por (x ). Isto dá

[y (t) = 2 (3t − 2) ^ 2−2 = 2 (9t ^ 2−12t + 4) −2 = 18t ^ 2−24t + 8−2 = 18t ^ 2−24t + 6. enhum número]

Portanto, uma segunda parametrização da curva pode ser escrita como

(x (t) = 3t − 2 ) e (y (t) = 18t ^ 2−24t + 6. )

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre dois conjuntos diferentes de equações paramétricas para representar o gráfico de (y = x ^ 2 + 2x ).

Dica

Siga as etapas em Exemplo ( PageIndex {3} ). Lembre-se de que temos liberdade para escolher a parametrização para (x (t) ).

Responder

Uma possibilidade é (x (t) = t, quad y (t) = t ^ 2 + 2t. ) Outra possibilidade é (x (t) = 2t − 3, quad y (t) = (2t −3) ^ 2 + 2 (2t − 3) = 4t ^ 2−8t + 3. ) Há, de fato, um número infinito de possibilidades.

Ciclóides e outras curvas paramétricas

Imagine fazer um passeio de bicicleta pelo país. Os pneus ficam em contato com a estrada e giram em um padrão previsível. Agora, suponha que uma formiga muito determinada esteja cansada após um longo dia e queira voltar para casa. Então ele se pendura na lateral do pneu e ganha uma carona grátis. O caminho que esta formiga percorre em uma estrada reta é chamado de ciclóide (Figura ( PageIndex {8} )). Um ciclóide gerado por um círculo (ou roda de bicicleta) de raio a é dado pelas equações paramétricas

[x (t) = a (t− sin t), quad y (t) = a (1− cos t). nonumber ]

Para ver por que isso é verdade, considere o caminho que o centro da roda percorre. O centro se move ao longo do eixo (x ) a uma altura constante igual ao raio da roda. Se o raio for (a ), então as coordenadas do centro podem ser dadas pelas equações

[x (t) = at, quad y (t) = a nonumber ]

para qualquer valor de (t ). Em seguida, considere a formiga, que gira em torno do centro ao longo de um caminho circular. Se a bicicleta estiver se movendo da esquerda para a direita, as rodas estão girando no sentido horário. Uma possível parametrização do movimento circular da formiga (em relação ao centro da roda) é dada por

[ begin {align *} x (t) & = - a sin t [4pt] y (t) & = - a cos t. end {align *} ]

(O sinal negativo é necessário para inverter a orientação da curva. Se o sinal negativo não estivesse lá, teríamos que imaginar a roda girando no sentido anti-horário.) A soma dessas equações fornece as equações para o ciclóide.

[ begin {align *} x (t) & = a (t− sin t) [4pt] y (t) & = a (1− cos t) end {align *} ]

Agora, suponha que a roda da bicicleta não viaje ao longo de uma estrada reta, mas se mova ao longo do interior de uma roda maior, como na Figura ( PageIndex {9} ). Neste gráfico, o círculo verde está viajando ao redor do círculo azul no sentido anti-horário. Um ponto na borda do círculo verde traça o gráfico vermelho, que é chamado de hipociclóide.

As equações paramétricas gerais para um hipociclóide são

[x (t) = (a − b) cos t + b cos ( dfrac {a − b} {b}) t nonumber ]

[y (t) = (a − b) sin t − b sin ( dfrac {a − b} {b}) t. enhum número]

Essas equações são um pouco mais complicadas, mas a derivação é um tanto semelhante às equações do ciclóide. Neste caso, assumimos que o raio do círculo maior é (a ) e o raio do círculo menor é (b ). Então o centro da roda viaja ao longo de um círculo de raio (a − b. ) Este fato explica o primeiro termo em cada equação acima. O período da segunda função trigonométrica em (x (t) ) e (y (t) ) é igual a ( dfrac {2πb} {a − b} ).

A proporção ( dfrac {a} {b} ) está relacionada ao número de cúspides no gráfico (as cúspides são os cantos ou extremidades pontiagudas do gráfico), conforme ilustrado na Figura ( PageIndex {10} ). Essa proporção pode levar a alguns gráficos muito interessantes, dependendo se a proporção é racional ou não. Figura ( PageIndex {9} ) corresponde a (a = 4 ) e (b = 1 ). O resultado é um hipociclóide com quatro cúspides. A Figura ( PageIndex {10} ) mostra algumas outras possibilidades. Os dois últimos hipociclóides têm valores irracionais para ( dfrac {a} {b} ). Nestes casos, os hipociclóides têm um número infinito de cúspides, portanto nunca voltam ao ponto de partida. Estes são exemplos do que é conhecido como curvas de preenchimento de espaço.

A bruxa de Agnesi

Muitas curvas planas na matemática têm o nome das pessoas que as investigaram pela primeira vez, como o fólio de Descartes ou a espiral de Arquimedes. No entanto, talvez o nome mais estranho para uma curva seja bruxa de Agnesi. Por que uma bruxa?

Maria Gaetana Agnesi (1718–1799) foi uma das poucas mulheres matemáticas reconhecidas da Itália do século XVIII. Ela escreveu um livro popular sobre geometria analítica, publicado em 1748, que incluía uma curva interessante que havia sido estudada por Fermat em 1630. O matemático Guido Grandi mostrou em 1703 como construir essa curva, que ele mais tarde chamou de "versoria", a Termo latino para uma corda usada na navegação. Agnesi usou o termo italiano para esta corda, "versiera", mas em latim, esta mesma palavra significa uma "goblin fêmea". Quando o livro de Agnesi foi traduzido para o inglês em 1801, o tradutor usou o termo "bruxa" para a curva, em vez de corda. O nome “bruxa de Agnesi” ficou desde então.

A bruxa de Agnesi é uma curva definida da seguinte forma: Comece com um círculo de raio a de modo que os pontos ((0,0) ) e ((0,2a) ) sejam pontos no círculo (Figura ( PageIndex {11} )). Deixe O denotar a origem. Escolha qualquer outro ponto A no círculo e desenhe a linha secante OA. Seja B o ponto em que a linha OA intercepta a linha horizontal através de ((0,2a) ). A linha vertical que passa por B cruza a linha horizontal que passa por A no ponto P. Como o ponto A varia, o caminho que o ponto P percorre é a curva de Agnesi para o círculo dado.

As curvas da Bruxa de Agnesi têm aplicações na física, incluindo modelagem de ondas de água e distribuição de linhas espectrais. Na teoria da probabilidade, a curva descreve a função de densidade de probabilidade do Distribuição Cauchy. Neste projeto você irá parametrizar essas curvas.

1. Na figura, identifique os seguintes pontos, comprimentos e ângulos:

uma. (C ) é o ponto no eixo (x ) com a mesma coordenada (x ) que (A ).

b. (x ) é a coordenada (x ) de (P ), e (y ) é a coordenada (y ) de (P ).

c. (E ) é o ponto ((0, a) ).

d. (F ) é o ponto no segmento de linha (OA ) tal que o segmento de linha (EF ) é perpendicular ao segmento de linha (OA ).

e. (b ) é a distância de (O ) a (F ).

f. (c ) é a distância de (F ) a (A ).

g. (d ) é a distância de (O ) a (C ).

h. (θ ) é a medida do ângulo (∠COA ).

O objetivo deste projeto é parametrizar a bruxa usando (θ ) como parâmetro. Para fazer isso, escreva as equações para (x ) e (y ) em termos de apenas (θ ).

2. Mostre que (d = dfrac {2a} { sin θ} ).

3. Observe que (x = d cos θ ). Mostre que (x = 2a cot θ ). Ao fazer isso, você terá parametrizado a coordenada (x ) da curva em relação a (θ ). Se você puder obter uma equação semelhante para (y ), terá parametrizado a curva.

4. Em termos de (θ ), qual é o ângulo (∠EOA )?

5. Mostre que (b + c = 2a cos left ( frac {π} {2} −θ right) ).

6. Mostre que (y = 2a cos left ( frac {π} {2} −θ right) sin θ ).

7. Mostre que (y = 2a sin ^ 2θ ). Você agora parametrizou a coordenada (y ) da curva em relação a (θ ).

8. Conclua que uma parametrização da curva de bruxa dada é

[x = 2a cot θ, quad y = 2a sin ^ 2θ, quad text {para} −∞ <θ <∞. ]

9. Use sua parametrização para mostrar que a curva de bruxa dada é o gráfico da função (f (x) = dfrac {8a ^ 3} {x ^ 2 + 4a ^ 2} ).

Travels with My Ant: The Curtate and Prolate Cycloids

Anteriormente nesta seção, vimos as equações paramétricas para um ciclóide, que é o caminho que um ponto na borda de uma roda traça quando a roda rola ao longo de um caminho reto. Neste projeto, examinamos duas variações diferentes do ciclóide, chamadas de cicloides curtato e prolato.

Primeiro, vamos revisitar a derivação das equações paramétricas para um ciclóide. Lembre-se de que consideramos uma formiga tenaz tentando chegar em casa pendurada na ponta de um pneu de bicicleta. Presumimos que a formiga subiu no pneu bem na borda, onde o pneu toca o solo. Conforme a roda gira, a formiga se move com a borda do pneu (Figura ( PageIndex {12} )).

Como discutimos, temos muita flexibilidade ao parametrizar uma curva. Nesse caso, deixamos nosso parâmetro t representar o ângulo em que o pneu girou. Olhando para a Figura ( PageIndex {12} ), vemos que após o pneu ter girado em um ângulo de (t ), a posição do centro da roda, (C = (x_C, y_C) ), É dado por

(x_C = em ) e (y_C = a ).

Além disso, deixando (A = (x_A, y_A) ) denotar a posição da formiga, notamos que

(x_C − x_A = a sin t ) e (y_C − y_A = a cos t )

Então

[x_A = x_C − a sin t = at − a sin t = a (t− sin t) ]

[y_A = y_C − a cos t = a − a cos t = a (1− cos t). ]

Observe que essas são as mesmas representações paramétricas que tínhamos antes, mas agora atribuímos um significado físico à variável paramétrica (t ).

Depois de um tempo, a formiga fica tonta de dar voltas e mais voltas na borda do pneu. Então ele sobe um dos raios em direção ao centro da roda. Ao subir em direção ao centro da roda, a formiga mudou seu caminho de movimento. O novo caminho tem menos movimento para cima e para baixo e é chamado de curado ciclóide (Figura ( PageIndex {13} )). Conforme mostrado na figura, permitimos que b denote a distância ao longo do raio do centro da roda até a formiga. Como antes, deixamos t representar o ângulo em que o pneu girou. Além disso, deixamos (C = (x_C, y_C) ) representar a posição do centro da roda e (A = (x_A, y_A) ) representar a posição da formiga.

1. Qual é a posição do centro da roda após o pneu ter girado em um ângulo de (t )?

2. Use a geometria para encontrar expressões para (x_C − x_A ) e para (y_C − y_A ).

3. Com base em suas respostas às partes 1 e 2, quais são as equações paramétricas que representam o ciclóide curtato?

Assim que a cabeça da formiga clareia, ela percebe que o ciclista fez uma curva e agora está viajando para longe de sua casa. Então ele larga o pneu da bicicleta e olha em volta. Felizmente, há um conjunto de trilhos de trem nas proximidades, voltando na direção certa. Então a formiga segue para os trilhos do trem para esperar. Depois de um tempo, um trem passa, indo na direção certa, e ele consegue pular e agarrar a beirada da roda do trem (sem ser esmagado!).

A formiga ainda está preocupada em ficar tonta, mas a roda do trem está escorregadia e não tem raios para trepar, então ela decide apenas se segurar na ponta da roda e torcer pelo melhor. Agora, as rodas dos trens têm um flange para mantê-las girando nos trilhos. Então, neste caso, como a formiga está pendurada na borda do flange, a distância do centro da roda até a formiga é na verdade maior que o raio da roda (Figura ( PageIndex {14} )).

A configuração aqui é essencialmente a mesma de quando a formiga subiu no raio da roda da bicicleta. Deixamos b denotar a distância do centro da roda até a formiga, e deixamos t representar o ângulo pelo qual o pneu girou. Além disso, deixamos (C = (x_C, y_C) ) representar a posição do centro da roda e (A = (x_A, y_A) ) representar a posição da formiga (Figura ( PageIndex {14 } )).

Quando a distância do centro da roda até a formiga é maior que o raio da roda, seu caminho de movimento é denominado ciclóide prolato. Um gráfico de prolato ciclóide é mostrado na figura.

4. Usando a mesma abordagem que você usou nas partes 1– 3, encontre as equações paramétricas para o caminho de movimento da formiga.

5. O que você notou sobre sua resposta à parte 3 e sua resposta à parte 4?

Observe que a formiga está realmente viajando para trás às vezes (os “loops” no gráfico), embora o trem continue se movendo para frente. Ele provavelmente vai estar muito tonto quando chegar em casa!

Conceitos chave

  • As equações paramétricas fornecem uma maneira conveniente de descrever uma curva. Um parâmetro pode representar o tempo ou alguma outra quantidade significativa.
  • Freqüentemente, é possível eliminar o parâmetro em uma curva parametrizada para obter uma função ou relação que descreve essa curva.
  • Sempre existe mais de uma maneira de parametrizar uma curva.
  • Equações paramétricas podem descrever curvas complicadas que são difíceis ou talvez impossíveis de descrever usando coordenadas retangulares.

Glossário

ciclóide
a curva traçada por um ponto na borda de uma roda circular enquanto a roda rola ao longo de uma linha reta sem escorregar
cúspide
uma extremidade pontiaguda ou parte onde duas curvas se encontram
orientação
a direção em que um ponto se move em um gráfico à medida que o parâmetro aumenta
parâmetro
uma variável independente da qual (x ) e (y ) dependem em uma curva paramétrica; geralmente representado pela variável (t )
curva paramétrica
o gráfico das equações paramétricas (x (t) ) e (y (t) ) ao longo de um intervalo (a≤t≤b ) combinado com as equações
equações paramétricas
as equações (x = x (t) ) e (y = y (t) ) que definem uma curva paramétrica
parametrização de uma curva
reescrever a equação de uma curva definida por uma função (y = f (x) ) como equações paramétricas


Assista o vídeo: G. A. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA (Novembro 2021).