Artigos

6: Probabilidade


objetivos de aprendizado

Neste capítulo, você aprenderá a:

  1. Escreva espaços de amostra.
  2. Determine se dois eventos são mutuamente exclusivos.
  3. Use a regra de adição.
  4. Calcule as probabilidades usando diagramas de árvore e combinações.
  5. Faça problemas envolvendo probabilidade condicional.
  6. Determine se dois eventos são independentes.

6: Probabilidade

Existem vários motivos pelos quais você pode estar vendo esta página. Para ler a edição online de The Feynman Lectures on Physics, o javascript deve ser compatível com o seu navegador e ativado. Se você já visitou este site anteriormente, é possível que haja uma mistura de arquivos incompatíveis (.js, .css e .html) no cache do navegador. Se você usar um bloqueador de anúncios, ele pode impedir que nossas páginas baixem os recursos necessários. Então, tente o seguinte: certifique-se de que o javascript está habilitado, limpe o cache do navegador (pelo menos dos arquivos de feynmanlectures.caltech.edu), desative as extensões do navegador e abra esta página:

Se ele não abrir ou apenas mostrar esta mensagem novamente, informe-nos:

  • qual navegador você está usando (incluindo a versão #)
  • qual sistema operacional você está usando (incluindo a versão #)

Esse tipo de problema é raro e há uma boa chance de ser corrigido se tivermos algumas pistas sobre a causa. Então, se você puder, depois de habilitar o javascript, limpar o cache e desabilitar as extensões, abra o console javascript do seu navegador, carregue a página acima, e se isso gerar alguma mensagem (especialmente erros ou avisos) no console, faça uma cópia (texto ou captura de tela) dessas mensagens e enviá-las com as informações listadas acima para o endereço de e-mail fornecido abaixo.

Ao nos enviar informações, você estará ajudando não só a si mesmo, mas também a outras pessoas que possam ter problemas semelhantes para acessar a edição online do The Feynman Lectures on Physics. Agradecemos muito seu tempo e consideração.

Atenciosamente,
Mike Gottlieb
[email protected]
Editor, The Feynman Lectures on Physics New Millennium Edition


As planilhas de probabilidade da 6ª série permitem que as crianças entendam o básico da probabilidade. Os problemas primeiro ajudam as crianças com a fundação do princípio da probabilidade e depois permitem que apreciem como diferentes tipos de tipos de eventos, como eventos mutuamente exclusivos ou eventos independentes e dependentes, empregam o princípio da probabilidade. As planilhas de probabilidade da 6ª série conscientizam os alunos e os ajudam a praticar as probabilidades condicionais. A variedade de problemas fornecidos introduz as crianças ao rico uso da probabilidade. Essas planilhas de matemática da 6ª série ajudarão os alunos a ganhar a confiança necessária para lidar com questões de probabilidade.

Essas planilhas devem ser praticadas regularmente e podem ser baixadas gratuitamente em formatos PDF.


Como calcular a probabilidade

Este artigo foi coautor de Mario Banuelos, Ph.D. Mario Banuelos é professor assistente de matemática na California State University, Fresno. Com mais de oito anos de experiência de ensino, Mario é especializado em biologia matemática, otimização, modelos estatísticos para evolução do genoma e ciência de dados. Mario é bacharel em matemática pela California State University, Fresno, e é Ph.D. em Matemática Aplicada pela Universidade da Califórnia, Merced. Mario lecionou tanto no ensino médio quanto no colegial.

Existem 10 referências citadas neste artigo, que podem ser encontradas no final da página.

O wikiHow marca um artigo como aprovado pelo leitor assim que recebe feedback positivo suficiente. Neste caso, vários leitores escreveram para nos dizer que este artigo foi útil para eles, ganhando nosso status de aprovado de leitor.

Este artigo foi visto 2.819.862 vezes.

Ao calcular a probabilidade, você está tentando descobrir a probabilidade de um evento específico acontecer, dado um certo número de tentativas. [1] X Fonte de pesquisa Probabilidade é a probabilidade de que um determinado evento ocorrerá e podemos encontrar a probabilidade de um evento usando a razão número de resultados favoráveis ​​/ número total de resultados. Calcular a probabilidade de eventos múltiplos é uma questão de dividir o problema em probabilidades separadas e multiplicar as probabilidades separadas umas pelas outras.


Probabilidades mais complexas

Você sabe como eles dizem que o dinheiro pode comprar felicidade para você? Bem, é verdade que há momentos em que uma moeda não é suficiente se você quiser contar a probabilidade de algo acontecer. Se o seu problema ainda cai sob o guarda-chuva da probabilidade clássica - o que significa que você pode determinar quantos resultados bem-sucedidos existem e quantas possibilidades existem em geral - então a fórmula de probabilidade de cara ou coroa da primeira seção funcionará perfeitamente. Se você está procurando suas chances de ganhar na loteria ou sobreviver em uma ilha deserta, então as coisas começam a ficar mais complicadas do que uma simples probabilidade de sorteio. Confira nossa seção de estatísticas para ajudá-lo em sua jornada na busca da probabilidade mais provável que possa haver!


Descrição do Curso

Bem-vindo ao 6.041 / 6.431, um assunto sobre modelagem e análise de fenômenos e processos aleatórios, incluindo noções básicas de inferência estatística. Hoje em dia, há um amplo consenso de que a capacidade de pensar probabilisticamente é um componente fundamental da alfabetização científica. Por exemplo:

  • O conceito de significância estatística (a ser abordado no final deste curso) é considerado pelo Financial Times como uma das & quotAs dez coisas que todos deveriam saber sobre ciência & quot.
  • Um artigo recente da Scientific American argumenta que a alfabetização estatística é crucial para a tomada de decisões relacionadas à saúde.
  • Finalmente, um artigo no New York Times identifica a análise de dados estatísticos como uma profissão em ascensão, valiosa em qualquer lugar, do Google e Netflix ao Office of Management and Budget.

O objetivo desta aula é apresentar os modelos, habilidades e ferramentas relevantes, combinando matemática com compreensão conceitual e intuição.


Planilhas de probabilidade

Navegue por esta variedade de planilhas de probabilidade para impressão que inclui exercícios de probabilidade básica com base em eventos mais prováveis, menos prováveis, igualmente prováveis, certos e impossíveis, planilhas em pdf com base na identificação de eventos adequados, problemas giratórios simples, para alunos na 4ª série, 5ª série e grau 6. Com a introdução necessária, os iniciantes aumentam seus conhecimentos com habilidades como probabilidade em moeda única, duas moedas, dias em uma semana, meses em um ano, dado justo, par de dados, baralho de cartas, números e mais. Eventos mutuamente exclusivos e inclusivos, probabilidade de probabilidade e outras planilhas de probabilidade desafiadoras são úteis para a 7ª, 8ª série e o ensino médio. Pegue algumas dessas planilhas de probabilidade de graça!

Planilhas de probabilidade simples baseadas no lançamento de uma única moeda ou duas moedas. Identifique o espaço de amostra adequado antes de encontrar a probabilidade.

Probabilidade em dias e meses

PDFs de planilha preenchidos com diversão com base em dias da semana e meses do ano. O espaço da amostra é fácil de encontrar, mas é necessário cuidado na identificação de eventos semelhantes.

O dado justo é numerado de 1 a 6. Compreenda os múltiplos, divisores e fatores e aplique-os nestas planilhas de probabilidade.

Probabilidade em par de dados

O espaço da amostra é um pouco grande, contendo 36 elementos. Escreva todos eles em papéis antes de começar a responder às questões de probabilidade para a 7ª e 8ª série.

Os alunos devem aprender os conceitos de múltiplos, divisores e fatores antes de começar a praticar essas planilhas para impressão.

Probabilidade no baralho de cartas

O baralho de cartas contém 52 cartas, 26 são pretas, 26 são vermelhas, quatro flores diferentes, cada flor contém 13 cartas, como A, 1, 2,. 10, J, Q, K.

Planilhas interativas para crianças da 4ª e 5ª série para entender a probabilidade usando spinners. Spinners coloridos estão incluídos para mais diversão.

As planilhas de probabilidade em probabilidades podem ser amplamente classificadas como favoráveis ​​aos eventos ou contra os eventos.

Probabilidade de Independente e Dependente

Aí vem nossas planilhas de probabilidade desafiadoras definidas para alunos da 8ª série e do ensino médio com base em eventos dependentes e independentes com várias aplicações da vida real.

Probabilidade em eventos diferentes

Planilhas de probabilidade básicas para iniciantes na 6ª e 7ª séries para entender os diferentes tipos de eventos, como mais provável, menos provável, igualmente provável e assim por diante.


2.6.1. Teoria de Probabilidade Básica¶

Digamos que lançamos um dado e queremos saber qual é a chance de ver um 1 em vez de outro dígito. Se o dado for justo, todos os seis resultados ( <1, ldots, 6 > ) têm a mesma probabilidade de ocorrer e, portanto, veríamos um (1 ) em um dos seis casos. Formalmente, afirmamos que (1 ) ocorre com probabilidade ( frac <1> <6> ).

Para um dado real que recebemos de uma fábrica, podemos não saber essas proporções e precisaríamos verificar se ele está contaminado. A única maneira de investigar o dado é lançando-o várias vezes e registrando os resultados. Para cada lançamento do dado, observaremos um valor em ( <1, ldots, 6 > ). Dados esses resultados, queremos investigar a probabilidade de observar cada resultado.

Uma abordagem natural para cada valor é pegar a contagem individual para aquele valor e dividi-la pelo número total de jogadas. Isso nos dá um estimativa da probabilidade de um dado evento. O lei dos grandes números diga-nos que, à medida que o número de lançamentos aumenta, essa estimativa se aproxima cada vez mais da verdadeira probabilidade subjacente. Antes de entrar em detalhes sobre o que está acontecendo aqui, vamos experimentar.

Para começar, importemos os pacotes necessários.

Em seguida, queremos ser capazes de lançar o dado. Em estatística, chamamos este processo de desenho de exemplos de distribuições de probabilidade amostragem. A distribuição que atribui probabilidades a uma série de escolhas discretas é chamada de distribuição multinomial. Daremos uma definição mais formal de distribuição mais tarde, mas em um nível elevado, pense nisso apenas como uma atribuição de probabilidades a eventos.

Para desenhar uma única amostra, simplesmente passamos um vetor de probabilidades. A saída é outro vetor de mesmo comprimento: seu valor no índice (i ) é o número de vezes que o resultado da amostragem corresponde a (i ).

Se você executar o amostrador várias vezes, descobrirá que obterá valores aleatórios a cada vez. Tal como acontece com a estimativa da imparcialidade de uma matriz, muitas vezes queremos gerar muitas amostras da mesma distribuição. Seria insuportavelmente lento fazer isso com um loop for do Python, portanto, a função que estamos usando suporta o desenho de várias amostras de uma vez, retornando uma matriz de amostras independentes em qualquer forma que desejarmos.

Agora que sabemos como obter amostras de rolos de um dado, podemos simular 1000 rolos. Podemos então passar e contar, após cada um dos 1000 lançamentos, quantas vezes cada número foi lançado. Especificamente, calculamos a frequência relativa como a estimativa da probabilidade verdadeira.

Como geramos os dados de um dado justo, sabemos que cada resultado tem probabilidade verdadeira ( frac <1> <6> ), aproximadamente (0,167 ), então as estimativas de saída acima parecem boas.

Também podemos visualizar como essas probabilidades convergem ao longo do tempo para a probabilidade verdadeira. Vamos conduzir 500 grupos de experimentos em que cada grupo extrai 10 amostras.

Cada curva sólida corresponde a um dos seis valores do dado e dá nossa probabilidade estimada de que o dado aumente aquele valor conforme avaliado após cada grupo de experimentos. A linha preta tracejada fornece a verdadeira probabilidade subjacente. À medida que obtemos mais dados conduzindo mais experimentos, as curvas sólidas (6 ) convergem para a probabilidade real.

2.6.1.1. Axiomas da Teoria da Probabilidade¶

Ao lidar com as jogadas de um dado, chamamos o conjunto de ( mathcal = <1, 2, 3, 4, 5, 6 > ) o espaço amostral ou espaço de resultado, onde cada elemento é um resultado. Um evento é um conjunto de resultados de um determinado espaço amostral. Por exemplo, “vendo um (5 )” ( ( <5 > )) e “vendo um número ímpar” ( ( <1, 3, 5 > )) são eventos válidos de rolando um dado. Observe que se o resultado de um experimento aleatório estiver no evento ( mathcal ), então o evento ( mathcal ) ocorreu. Ou seja, se (3 ) pontos virados para cima após rolar um dado, uma vez que (3 em <1, 3, 5 > ), podemos dizer que o evento “ver um número ímpar” tem ocorreu.

Formalmente, probabilidade pode ser pensada como uma função que mapeia um conjunto para um valor real. A probabilidade de um evento ( mathcal ) no espaço amostral dado ( mathcal), denotado como (P ( mathcal) ), satisfaz as seguintes propriedades:

A probabilidade de todo o espaço amostral é (1 ), ou seja, (P ( mathcal) = 1)

Esses são também os axiomas da teoria da probabilidade, propostos por Kolmogorov em 1933. Graças a esse sistema de axiomas, podemos evitar qualquer disputa filosófica sobre a aleatoriedade, podemos raciocinar rigorosamente com uma linguagem matemática. Por exemplo, permitindo que o evento ( mathcal_1 ) seja todo o espaço da amostra e ( mathcal_i = conjunto vazio ) para todos (i & gt 1 ), podemos provar que (P ( conjunto vazio) = 0 ), ou seja, a probabilidade de um evento impossível é (0 ).

2.6.1.2. Variáveis ​​aleatórias¶

Em nosso experimento aleatório de lançar um dado, introduzimos a noção de um variável aleatória. Uma variável aleatória pode ser praticamente qualquer quantidade e não é determinística. Ele pode assumir um valor entre um conjunto de possibilidades em um experimento aleatório. Considere uma variável aleatória (X ) cujo valor está no espaço amostral ( mathcal = <1, 2, 3, 4, 5, 6 > ) de lançar um dado. Podemos denotar o evento “vendo um (5 )” como () ou (X = 5 ), e sua probabilidade como (P () ) ou (P (X = 5) ). Por (P (X = a) ), fazemos uma distinção entre a variável aleatória (X ) e os valores (por exemplo, (a )) que (X ) pode assumir. No entanto, esse pedantismo resulta em uma notação complicada. Para uma notação compacta, por um lado, podemos apenas denotar (P (X) ) como o distribuição sobre a variável aleatória (X ): a distribuição nos diz a probabilidade de (X ) assumir qualquer valor. Por outro lado, podemos simplesmente escrever (P (a) ) para denotar a probabilidade de uma variável aleatória assumir o valor (a ). Como um evento na teoria da probabilidade é um conjunto de resultados do espaço amostral, podemos especificar uma faixa de valores para uma variável aleatória tomar. Por exemplo, (P (1 leq X leq 3) ) denota a probabilidade do evento ( <1 leq X leq 3 > ), o que significa (, 3 > ). De forma equivalente, (P (1 leq X leq 3) ) representa a probabilidade de que a variável aleatória (X ) pode assumir um valor de ( <1, 2, 3 > ).

Observe que há uma diferença sutil entre discreto variáveis ​​aleatórias, como os lados de um dado, e contínuo alguns, como o peso e a altura de uma pessoa. Não adianta perguntar se duas pessoas têm exatamente a mesma altura. Se tomarmos medidas precisas o suficiente, você descobrirá que duas pessoas no planeta não têm exatamente a mesma altura. Na verdade, se fizermos uma medição suficientemente precisa, você não terá a mesma altura ao acordar e ao dormir. Portanto, não há propósito em perguntar sobre a probabilidade de alguém ter 1,80139278291028719210196740527486202 metros de altura. Dada a população mundial de humanos, a probabilidade é virtualmente 0. Faz mais sentido neste caso perguntar se a altura de alguém cai em um determinado intervalo, digamos entre 1,79 e 1,81 metros. Nesses casos, quantificamos a probabilidade de vermos um valor como um densidade. A altura de exatamente 1,80 metros não tem probabilidade, mas densidade diferente de zero. No intervalo entre quaisquer duas alturas diferentes, temos probabilidade diferente de zero. No restante desta seção, consideramos a probabilidade no espaço discreto. Para probabilidade sobre variáveis ​​aleatórias contínuas, você pode consultar a Seção 18.6.


Como calcular a probabilidade de lançamento de dados?

Bem, a questão é mais complexa do que parece à primeira vista, mas você logo verá que a resposta não é tão assustadora! É tudo sobre matemática e estatística.

Em primeiro lugar, temos que determinar que tipo de probabilidade de lançamento de dados queremos encontrar. Podemos distinguir alguns que você pode encontrar nesta calculadora de probabilidade de dados.

Antes de fazer qualquer cálculo, vamos definir algumas variáveis ​​que são usadas nas fórmulas. n - o número de dados, s - o número de faces de um dado individual, p - a probabilidade de rolar qualquer valor de um dado e P - a probabilidade geral do problema. Existe uma relação simples - p = 1 / s, então a probabilidade de obter 7 em um dado de 10 lados é duas vezes maior do que em um dado de 20 lados.

A probabilidade de rolar o mesmo valor em cada dado - embora a chance de obter um determinado valor em um único dado seja p, só precisamos multiplicar essa probabilidade por ela mesma tantas vezes quanto o número de dados. Em outras palavras, a probabilidade P é igual a p à potência n, ou P = p & # x207F = (1 / s) & # x207F. Se considerarmos três dados de 20 lados, a chance de rolar 15 em cada um deles é: P = (1/20) & # xB3 = 0,000125 (ou P = 1,25 & # xB710 & # x207B & # x2074 em notação científica). E se você estiver interessado em lançar o conjunto de algum valores idênticos, basta multiplicar o resultado pelo total de faces da matriz: P = 0,000125 * 20 = 0,0025.

A probabilidade de rolar todos os valores iguais ou superiores a y - o problema é semelhante ao anterior, mas desta vez p é 1 / s multiplicado por todas as possibilidades que satisfazem a condição inicial. Por exemplo, vamos dizer que temos um dado regular ey = 3. Queremos que o valor acumulado seja 6, 5, 4 ou 3. A variável p é então 4 * 1/6 = 2/3, e a probabilidade final é P = (2/3) & # x207F.

A probabilidade de rolar todos os valores iguais ou inferiores a y - esta opção é quase igual à anterior, mas desta vez estamos interessados ​​apenas em números iguais ou inferiores ao nosso objetivo. Se tomarmos condições idênticas (s = 6, y = 3) e as aplicarmos neste exemplo, podemos ver que os valores 1, 2 e 3 satisfazem as regras e a probabilidade é: P = (3 * 1/6 ) & # x207F = (1/2) & # x207F.

A probabilidade de rolar exatamente X mesmos valores (igual a y) fora do conjunto - imagine que você tem um conjunto de sete dados de 12 lados e deseja saber a chance de obter exatamente dois 9s. É de alguma forma diferente do que antes porque apenas uma parte de todo o conjunto deve atender às condições. É aqui que a probabilidade binomial se torna útil. A fórmula de probabilidade binomial é:

onde r é o número de sucessos e nCr é o número de combinações (também conhecido como & quot n escolher r & quot). Em nosso exemplo, temos n = 7, p = 1/12, r = 2, nCr = 21, então o resultado final é: P (X = 2) = 21 * (1/12) & # xB2 * (11 / 12) & # x2075 = 0,09439 ou P (X = 2) = 9,439% como uma porcentagem.

A probabilidade de rolar pelo menos X mesmos valores (igual a y) fora do conjunto - o problema é muito parecido com o anterior, mas desta vez o resultado é a soma das probabilidades para X = 2,3,4,5,6,7. Passando para os números, temos: P = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7 ) = 0,11006 = 11,006%. Como você pode esperar, o resultado é um pouco maior. Às vezes, a formulação precisa do problema aumenta suas chances de sucesso.

A probabilidade de rolar uma soma exata r fora do conjunto de dados n lados - a fórmula geral é bastante complexa:

No entanto, também podemos tentar avaliar esse problema manualmente. Uma abordagem é encontrar o número total de somas possíveis. Com um par de dados regulares, podemos ter 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, mas esses resultados não são equivalentes!

Dê uma olhada, só há uma maneira de obter 2: 1 + 1, mas para 4 há três possibilidades diferentes: 1 + 3, 2 + 2, 3 + 1, e para 12 há, mais uma vez, apenas uma variante: 6 + 6. Acontece que 7 é o resultado mais provável com seis possibilidades: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2, 6 + 1. O número de permutações com repetições neste conjunto é 36. Podemos estimar as probabilidades como a proporção de resultados favoráveis ​​para todos os resultados possíveis: P (2) = 1/36, P (4) = 3/36 = 1/12, P (12) = 1/36, P (7 ) = 6/36 = 1/6.

Quanto maior o número de dados, mais próxima a função de distribuição de somas fica da distribuição normal. Como você pode esperar, conforme o número de dados e faces aumenta, mais tempo é consumido avaliando o resultado em uma folha de papel. Felizmente, este não é o caso de nossa calculadora de probabilidade de dados!

A probabilidade de rolar uma soma fora do conjunto, não inferior a X - como no problema anterior, temos que encontrar todos os resultados que correspondem à condição inicial e dividi-los pelo número de todas as possibilidades. Levando em consideração um conjunto de três dados de 10 lados, queremos obter uma soma pelo menos igual a 27. Como podemos ver, temos que adicionar todas as permutações para 27, 28, 29 e 30, que são 10, 6, 3 e 1, respectivamente. No total, existem 20 bons resultados em 1.000 possibilidades, então a probabilidade final é: P (X & # x2265 27) = 20 / 1.000 = 0,02.

A probabilidade de rolar uma soma fora do conjunto, não superior a X - o procedimento é exatamente o mesmo da tarefa anterior, mas devemos somar apenas somas abaixo ou iguais à meta. Tendo o mesmo conjunto de dados acima, qual é a chance de rolar no máximo 26? Se você fizesse isso passo a passo, demoraria muito para obter o resultado (para somar todas as 26 somas). Mas, se você pensar bem, acabamos de resolver o evento complementar do problema anterior. A probabilidade total de eventos complementares é exatamente 1 , então a probabilidade aqui é: P (X & # x2264 26) = 1 - 0,02 = 0,98.


Duração: 38 minutos Autor: Jason Complexidade: Fácil

Neste vídeo, volto aos mesmos dados da última pergunta, mas desta vez substituí as frequências fornecidas por probabilidades conjuntas e marginais. Isso tem um efeito drástico em nossa abordagem para resolver exatamente as mesmas questões. No entanto, você verá que, seguindo as fórmulas adequadas, chegaremos às mesmas respostas que calculamos originalmente.


Assista o vídeo: Statistikk 5A - Sannsynlighet (Novembro 2021).