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2.1: Áreas entre Curvas - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Determine a área de uma região entre duas curvas integrando em relação à variável independente.
  • Encontre a área de uma região composta.
  • Determine a área de uma região entre duas curvas integrando em relação à variável dependente.

Em Introdução à Integração, desenvolvemos o conceito de integral definida para calcular a área abaixo de uma curva em um determinado intervalo. Nesta seção, expandimos essa ideia para calcular a área de regiões mais complexas. Começamos encontrando a área entre duas curvas que são funções de ( displaystyle x ), começando com o caso simples em que um valor de função é sempre maior que o outro. Em seguida, examinamos os casos em que os gráficos das funções se cruzam. Por último, consideramos como calcular a área entre duas curvas que são funções de ( displaystyle y ).

Área de uma região entre duas curvas

Sejam ( displaystyle f (x) ) e ( displaystyle g (x) ) funções contínuas ao longo de um intervalo ( displaystyle [a, b] ) tal que ( displaystyle f (x) ≥ g (x) ) em ( displaystyle [a, b] ). Queremos encontrar a área entre os gráficos das funções, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {1} ).

Como fizemos antes, vamos particionar o intervalo no eixo x e aproximar a área entre os gráficos das funções com retângulos. Então, para ( displaystyle i = 0,1,2,…, n ), deixe ( displaystyle P = {x_i} ) ser uma partição regular de ( displaystyle [a, b] ). Então, para ( displaystyle i = 1,2,…, n, ) escolha um ponto ( displaystyle x ^ ∗ _ i∈ [x_ {i − 1}, x_i] ), e em cada intervalo ( displaystyle [x_ {i − 1}, x_i] ) constrói um retângulo que se estende verticalmente de ( displaystyle g (x ^ ∗ _ i) ) para ( displaystyle f (x ^ ∗ _ i) ). A Figura ( PageIndex {2a} ) mostra os retângulos quando ( displaystyle x ^ ∗ _ i ) é selecionado para ser o ponto final esquerdo do intervalo e ( displaystyle n = 10 ). A Figura ( PageIndex {2b} ) mostra um retângulo representativo em detalhes.

A altura de cada retângulo individual é ( displaystyle f (x ^ ∗ _ i) −g (x ^ ∗ _ i) ) e a largura de cada retângulo é ( displaystyle Δx ). Somando as áreas de todos os retângulos, vemos que a área entre as curvas é aproximada por

[ displaystyle A≈ sum_ {i = 1} ^ n [f (x ^ ∗ _ i) −g (x ^ ∗ _ i)] Δx. ]

Esta é uma soma de Riemann, então tomamos o limite como ( displaystyle n → ∞ ) e obtemos

[ displaystyle A = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ n [f (x ^ ∗ _ i) −g (x ^ ∗ _ i)] Δx = int ^ b_a [f (x) −g (x)] dx. ]

Essas descobertas são resumidas no teorema a seguir.

Encontrando a Área entre Duas Curvas

Sejam ( displaystyle f (x) ) e ( displaystyle g (x) ) funções contínuas tais que ( displaystyle f (x) ≥g (x) ) ao longo de um intervalo [ ( displaystyle a, b] ). Deixe R denotar a região limitada acima pelo gráfico de ( displaystyle f (x) ), abaixo pelo gráfico de ( displaystyle g (x) ), e à esquerda e à direita pelas linhas ( displaystyle x = a ) e ( displaystyle x = b ), respectivamente. Então, a área de ( textbf {R} ) é dada por

[A = int ^ b_a [f (x) −g (x)] dx. ]

Aplicamos esse teorema no exemplo a seguir.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando a área de uma região entre duas curvas I

Se (R ) é a região limitada acima pelo gráfico da função ( displaystyle f (x) = x + 4 ) e abaixo pelo gráfico da função ( displaystyle g (x) = 3− dfrac {x} {2} ) no intervalo ( displaystyle [1,4] ), encontre a área da região ( textbf {R} ).

Solução

A região é ilustrada na figura a seguir.

Nós temos

[ begin {align *} A = int ^ b_a [f (x) −g (x)] , dx [4pt] = int ^ 4_1 [(x + 4) - (3− dfrac {x} {2})] , dx = int ^ 4_1 left [ dfrac {3x} {2} +1 right] , dx [4pt] = [ dfrac {3x ^ 2} { 4} + x] bigg | ^ 4_1 = (16− dfrac {7} {4}) = dfrac {57} {4}. end {align *} ]

A área da região é ( displaystyle dfrac {57} {4} unidades ^ 2 ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Se ( textbf {R} ) é a região limitada pelos gráficos das funções ( displaystyle f (x) = dfrac {x} {2} +5 ) e ( displaystyle g (x) = x + dfrac {1} {2} ) no intervalo ( displaystyle [1,5] ), encontre a área da região ( textbf {R} ).

Dica

Represente graficamente as funções para determinar qual gráfico da função forma o limite superior e qual forma o limite inferior, em seguida, siga o processo usado no Exemplo.

Responder

( displaystyle 12 ) unidades2

No Exemplo, definimos o intervalo de interesse como parte da definição do problema. Muitas vezes, porém, queremos definir nosso intervalo de interesse com base na intersecção dos gráficos das duas funções. Isto é ilustrado no exemplo seguinte.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontrando a área de uma região entre duas curvas II

Se ( textbf {R} ) é a região limitada acima pelo gráfico da função ( displaystyle f (x) = 9− (x / 2) ^ 2 ) e abaixo pelo gráfico da função ( displaystyle g (x) = 6 − x ), encontre a área da região ( textbf {R} ).

Solução

A região é ilustrada na figura a seguir.

Primeiro, precisamos calcular onde os gráficos das funções se cruzam. Configurando ( displaystyle f (x) = g (x), ) obtemos

[ begin {align *} displaystyle f (x) = g (x) [4pt] 9 - ( dfrac {x} {2}) ^ 2 = 6 − x [4pt] 9− dfrac {x ^ 2} {4} = 6 − x [4pt] 36 − x ^ 2 = 24−4x [4pt] x ^ 2−4x − 12 = 0 [4pt] (x − 6 ) (x + 2) = 0. end {align *} ]

Os gráficos das funções se cruzam quando ( displaystyle x = 6 ) ou ( displaystyle x = −2, ) então queremos integrar de ( displaystyle −2 ) a ( displaystyle 6 ) . Como ( displaystyle f (x) ≥g (x) ) para ( displaystyle −2≤x≤6, ) obtemos

[ begin {align *} displaystyle A = int ^ b_a [f (x) −g (x)] , dx = int ^ 6 _ {- 2} left [9 - ( dfrac { x} {2}) ^ 2− (6 − x) right] , dx = int ^ 6 _ {- 2} left [3− dfrac {x ^ 2} {4} + x right ] , dx = left. left [3x− dfrac {x ^ 3} {12} + dfrac {x ^ 2} {2} right] right | ^ 6 _ {- 2} = dfrac {64} {3}. end {align *} ]

A área da região é ( displaystyle 64/3 ) unidades2.

Exercício ( PageIndex {2} )

Se R é a região limitada acima pelo gráfico da função ( displaystyle f (x) = x ) e abaixo pelo gráfico da função ( displaystyle g (x) = x ^ 4 ), encontre o área da região ( textbf {R} ).

Dica

Use o processo de Exemplo ( PageIndex {2} ).

Responder

Unidade ( displaystyle dfrac {3} {10} )2

Áreas de regiões compostas

Até agora, exigimos ( displaystyle f (x) ≥g (x) ) ao longo de todo o intervalo de interesse, mas e se quisermos olhar as regiões delimitadas pelos gráficos de funções que se cruzam? Nesse caso, modificamos o processo que acabamos de desenvolver usando a função de valor absoluto.

Encontrando a área de uma região entre curvas que se cruzam

Sejam ( displaystyle f (x) ) e ( displaystyle g (x) ) funções contínuas em um intervalo ( displaystyle [a, b] ). Seja ( textbf {R} ) a região entre os gráficos de ( displaystyle f (x) ) e ( displaystyle g (x) ), e seja limitada à esquerda e à direita pelas linhas ( displaystyle x = a ) e ( displaystyle x = b ), respectivamente. Então, a área de ( textbf {R} ) é dada por

[A = int ^ b_a | f (x) −g (x) | dx. ]

Na prática, a aplicação deste teorema exige que dividamos o intervalo ( displaystyle [a, b] ) e avaliemos várias integrais, dependendo de qual dos valores da função é maior em uma determinada parte do intervalo. Estudamos esse processo no exemplo a seguir.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Encontrando a área de uma região delimitada por funções que se cruzam

Se R for a região entre os gráficos das funções ( displaystyle f (x) = sin x ) e ( displaystyle g (x) = cos x ) no intervalo ( displaystyle [0, π] ), encontre a área da região ( textbf {R} ).

Solução

A região é ilustrada na figura a seguir.

Os gráficos das funções se cruzam em ( displaystyle x = π / 4 ). Para ( displaystyle x∈ [0, π / 4], cos x≥ sin x, ) então

( displaystyle | f (x) −g (x) | = | sin x - cos x | = cos x− sin x. )

Por outro lado, para ( displaystyle x∈ [π / 4, π], sin x ≥ cos x, ) então

( displaystyle | f (x) −g (x) | = | sin x - cos x | = sin x - cos x. )

Então

[ begin {align *} A = int ^ b_a | f (x) −g (x) | dx [4pt] = int ^ π_0 | sin x - cos x | dx = int ^ {π / 4} _0 ( cos x− sin x) dx + int ^ {π} _ {π / 4} ( sin x - cos x) dx [4pt] = [ sin x + cos x] | ^ {π / 4} _0 + [- cos x− sin x] | ^ π_ {π / 4} [4pt] = ( sqrt {2} −1) + (1+ sqrt {2}) = 2 sqrt {2}. end {align *} ]

A área da região é ( displaystyle 2 sqrt {2} ) unidades2.

Exercício ( PageIndex {3} )

Se R é a região entre os gráficos das funções ( displaystyle f (x) = sin x ) e ( displaystyle g (x) = cos x ) no intervalo ( displaystyle [π / 2, 2π] ), encontre a área da região ( textbf {R} ).

Dica

As duas curvas se cruzam em ( displaystyle x = (5π) / 4. )

Responder

( displaystyle 2 + 2 sqrt {2} ) unidades2

Exemplo ( PageIndex {4} ): Encontrando a área de uma região complexa

Considere a região representada na Figura ( PageIndex {6} ). Encontre a área de ( textbf {R} ).

Solução

Como com Example PageIndex {3}, precisamos dividir o intervalo em duas partes. Os gráficos das funções se cruzam em ( displaystyle x = 1 ) (definir ( displaystyle f (x) = g (x) ) e resolver para x), então avaliamos duas integrais separadas: uma no intervalo ( displaystyle [0,1] ) e um sobre o intervalo ( displaystyle [1,2] ).

No intervalo ( displaystyle [0,1] ), a região é delimitada acima por ( displaystyle f (x) = x ^ 2 ) e abaixo pelo eixo x, então temos

( displaystyle A_1 = int ^ 1_0x ^ 2dx = dfrac {x ^ 3} {3} ∣ ^ 1_0 = dfrac {1} {3}. )

Durante o intervalo ( displaystyle [1,2], ) a região é limitada acima por ( displaystyle g (x) = 2 − x ) e abaixo por eixo x, então nós temos

( displaystyle A_2 = int ^ 2_1 (2 − x) dx = [2x− dfrac {x ^ 2} {2}] ∣ ^ 2_1 = dfrac {1} {2}. )

Somando essas áreas, obtemos

( displaystyle A = A_1 + A_2 = dfrac {1} {3} + dfrac {1} {2} = dfrac {5} {6}. )

A área da região é ( displaystyle 5/6 ) unidades2.

Exercício ( PageIndex {4} )

Considere a região representada na figura a seguir. Encontre a área de ( textbf {R} )

Dica

As duas curvas se cruzam em x = 1

Responder

( displaystyle dfrac {5} {3} ) unidades2

Regiões definidas com respeito a y

No exemplo, tivemos que avaliar duas integrais separadas para calcular a área da região. No entanto, há outra abordagem que requer apenas uma integral. E se tratarmos as curvas como funções de ( displaystyle y ), em vez de como funções de ( displaystyle x )? Reveja a figura. Observe que o gráfico à esquerda, mostrado em vermelho, é representado pela função ( displaystyle y = f (x) = x ^ 2 ). Poderíamos facilmente resolver isso para x e representar a curva pela função ( displaystyle x = v (y) = sqrt {y} ). (Observe que ( displaystyle x = - sqrt {y} ) também é uma representação válida da função ( displaystyle y = f (x) = x ^ 2 ) como uma função de ( displaystyle y ). No entanto, com base no gráfico, está claro que estamos interessados ​​na raiz quadrada positiva.) Da mesma forma, o gráfico direito é representado pela função ( displaystyle y = g (x) = 2 − x ), mas poderia ser facilmente representado pela função ( displaystyle x = u (y) = 2 − y ). Quando os gráficos são representados como funções de ( displaystyle y ), vemos que a região é limitada à esquerda pelo gráfico de uma função e à direita pelo gráfico da outra função. Portanto, se integrarmos em relação a ( displaystyle y ), precisaremos avaliar apenas uma integral. Vamos desenvolver uma fórmula para esse tipo de integração.

Sejam ( displaystyle u (y) ) e ( displaystyle v (y) ) funções contínuas ao longo de um intervalo ( displaystyle [c, d] ) tal que ( displaystyle u (y) ≥ v (y) ) para todos ( displaystyle y∈ [c, d] ). Queremos encontrar a área entre os gráficos das funções, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {7} ).

Desta vez, vamos particionar o intervalo no eixo y e use retângulos horizontais para aproximar a área entre as funções. Portanto, para ( displaystyle i = 0,1,2,…, n ), deixe ( displaystyle Q = {y_i} ) ser uma partição regular de ( displaystyle [c, d] ). Então, para ( displaystyle i = 1,2,…, n ), escolha um ponto ( displaystyle y ^ ∗ _ i∈ [y_ {i − 1}, y_i] ), depois sobre cada intervalo ( displaystyle [y_ {i − 1}, y_i] ) constrói um retângulo que se estende horizontalmente de ( displaystyle v (y ^ 0 ∗ _i) ) a ( displaystyle u (y ^ ∗ _ i) ). A Figura ( PageIndex {8a} ) mostra os retângulos quando ( displaystyle y ^ ∗ _ i ) é selecionado para ser o ponto final inferior do intervalo e ( displaystyle n = 10 ). A Figura ( PageIndex {8b} ) mostra um retângulo representativo em detalhes.

A altura de cada retângulo individual é ( displaystyle Δy ) e a largura de cada retângulo é ( displaystyle u (y ^ ∗ _ i) −v (y ^ ∗ _ i) ). Portanto, a área entre as curvas é de aproximadamente

[A≈ sum_ {i = 1} ^ n [u (y ^ ∗ _ i) −v (y ^ ∗ _ i)] Δy. enhum número]

Esta é uma soma de Riemann, então tomamos o limite como ( displaystyle n → ∞, ) obtendo

[ begin {align *} A = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ n [u (y ^ ∗ _ i) −v (y ^ ∗ _ i)] Δy [4pt] = int ^ d_c [u (y) −v (y)] dy. end {align *} ]

Essas descobertas são resumidas no teorema a seguir.

Encontrando a área entre duas curvas, integrando ao longo do eixo y

Sejam ( displaystyle u (y) ) e ( displaystyle v (y) ) funções contínuas tais que ( displaystyle u (y) ≥v (y) ) para todos ( displaystyle y∈ [CD]). Vamos ( textbf {R} ) denotam a região limitada à direita pelo gráfico de ( displaystyle u (y) ), à esquerda pelo gráfico de ( displaystyle v (y) ), e acima e abaixo pelas linhas ( displaystyle y = d ) e ( displaystyle y = c ), respectivamente. Então, a área de ( textbf {R} ) é dada por

[A = int ^ d_c [u (y) −v (y)] dy. ]

Exemplo ( PageIndex {5} ): Integrando com Respeito a y

Vamos revisitar o Exemplo, só que desta vez vamos integrar em relação a ( displaystyle y ). Seja ( textbf {R} ) a região representada na Figura ( PageIndex {9} ). Encontre a área de ( textbf {R} ) integrando em relação a ( displaystyle y ).

Solução

Devemos primeiro expressar os gráficos como funções de ( displaystyle y ). Como vimos no início desta seção, a curva à esquerda pode ser representada pela função ( displaystyle x = v (y) = sqrt {y} ), e a curva à direita pode ser representada por a função ( displaystyle x = u (y) = 2 − y ).

Agora temos que determinar os limites da integração. A região é limitada abaixo pelo eixo x, então o limite inferior de integração é ( displaystyle y = 0 ). O limite superior de integração é determinado pelo ponto onde os dois gráficos se cruzam, que é o ponto ( displaystyle (1,1) ), então o limite superior de integração é ( displaystyle y = 1 ). Assim, temos ( displaystyle [c, d] = [0,1] ).

Calculando a área da região, obtemos

[ begin {align *} A = int ^ d_c [u (y) −v (y)] dy [4pt] = int ^ 1_0 [(2 − y) - sqrt {y}] dy [4pt] = [2y− dfrac {y ^ 2} {2} - dfrac {2} {3} y ^ {3/2}] ∣ ^ 1_0 [4pt] = dfrac {5} {6} end {align *} ]

A área da região é ( displaystyle 5/6 ) unidades2.

Exercício ( PageIndex {5} )

Vamos revisitar o ponto de verificação associado ao Exemplo, só que desta vez, vamos integrar em relação a ( displaystyle y ). Seja a região representada na figura a seguir. Encontre a área de ( textbf {R} ) integrando em relação a ( displaystyle y ).

Dica

Siga o processo do exemplo anterior.

Responder

( displaystyle dfrac {5} {3} ) unidades2

Conceitos chave

  • Assim como as integrais definidas podem ser usadas para encontrar a área sob uma curva, elas também podem ser usadas para encontrar a área entre duas curvas.
  • Para encontrar a área entre duas curvas definidas por funções, integre a diferença das funções.
  • Se os gráficos das funções se cruzarem ou se a região for complexa, use o valor absoluto da diferença das funções. Nesse caso, pode ser necessário avaliar duas ou mais integrais e somar os resultados para encontrar a área da região.
  • Às vezes, pode ser mais fácil integrar em relação a y para localizar a área. Os princípios são os mesmos, independentemente de qual variável é usada como variável de integração.

Equações-chave

  • Área entre duas curvas, integrando-se no eixo x

( displaystyle A = int ^ b_a [f (x) −g (x)] dx )

  • Área entre duas curvas, integrando-se no eixo y

( displaystyle A = int ^ d_c [u (y) −v (y)] dy )

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Encontrando Áreas entre Curvas

Como o plano (xy ) - tem dois eixos diferentes, existem duas maneiras diferentes de calcular a área entre duas curvas: na direção (x ) - ou na direção (y ). A opção que você escolher dependerá de qual é mais fácil de integrar ou tem menos complicações.

    Se quisermos encontrar a integral entre as curvas para (y = f (x) ) e (y = g (x) ) no intervalo ([a, b] ), o primeiro passo é descobrir qual dos (f (x) ) e (g (x) ) está no topo. Vamos supor que (f (x) ) seja o maior. Isso significa que (f (x) geq g (x) ) para todos (x ) no intervalo ([a, b] ) conforme mostrado no diagrama abaixo:

Usamos a primeira fórmula para encontrar a distância total percorrida por Gus durante as sessões de treinamento do recorde mundial de velocidade terrestre acima.

Se você for como eu, achará mais fácil lembrar de fórmulas escritas em palavras, em vez de símbolos. Caso contrário, fique à vontade para ignorar as linhas a seguir.

Então, como diríamos isso em palavras?

  1. Para encontrar a área entre (f (x) ) e (g (x) ) no intervalo ([a, b] ), tome a integral da função superior menos a função inferior.
  2. Para encontrar a área entre (f (y) ) e (g (y) ) no intervalo ([c, d] ), tome a integral da função à direita menos a função à esquerda .

Dica: esboce claramente as duas equações em um único gráfico. Você encontrou os pontos de intersecção desses dois gráficos corretamente. Eles ocorrem em $ x = pm 1/2 $.

Agora, a coisa mais fácil a fazer a partir daqui é explorar a simetria. Se você encontrar a área entre as curvas no intervalo $ lbrack 0, 1/2 rbrack $, então ela será a mesma que a área no intervalo $ lbrack -1/2, 0 rbrack $. Portanto, é bom apenas encontrar a área limitada no intervalo $ lbrack 0, 1/2 rbrack $ e multiplicar nosso resultado por $ 2 $.

Então, como encontramos a área limitada por essas duas curvas limitadas por $ lbrack 0, 1/2 rbrack $? Bem, primeiro observe que podemos substituir $ y = abs (x) $ simplesmente $ y = x $, uma vez que estamos trabalhando neste intervalo. Agora pense em subtrair duas integrais.


Como vários outros apontaram, se $ f (x) geq g (x) $ no intervalo $ a leq x leq b $, então a área entre os gráficos de $ f $ e $ g $ é $ int_a ^ b left (f (x) -g (x) right) dx. $ Não importa se ambos os gráficos estão acima do eixo $ x $ ou não, o que importa é que a desigualdade $ f (x) geq g (x) $ é mantido.

Supondo que você acredita que o cálculo da área funciona quando leq g (x) leq f (x) $, aqui está uma explicação de porque ele ainda funciona sem o zero à esquerda. Simplesmente escolha um número $ c $ tal que $ c & ltg (x) $ para todo $ a leq x leq b $. (Isso certamente pode ser feito, se $ g $ for contínuo em $ [a, b] $.) Então, leq g (x) + c leq f (x) + c $. Assim, a área entre $ f (x) + c $ e $ g (x) + c $ pode certamente ser calculada por meio da fórmula integral, porque ambos os gráficos estão completamente acima do eixo $ x $. Por outro lado, esta área é certamente a mesmo como a área entre apenas $ f $ e $ g $, pois um é apenas um deslocamento vertical do outro. Para suas funções, a imagem é assim com $ c = 2 $.

Finalmente, observe que $ int_a ^ b left ((f (x) + c) - (g (x) + c) right) dx = int_a ^ b left (f (x) -g (x) right) dx, $ razão pela qual a fórmula simples à direita (sem os c $ s) funciona.


Somando verticalmente para encontrar a área entre 2 curvas

Da mesma forma, podemos somar verticalmente reexpressando ambas as funções para que sejam funções de y e encontramos:

Observe o `c` e` d` como os limites da integral (para nos lembrar que estamos somando verticalmente) e o `dy`. Ele nos lembra de expressar nossa função em termos de `y`.

Exemplo

Precisa de papel milimetrado?

Encontre a área entre as curvas `y = x ^ 2 + 5x` e` y = 3 & menos x ^ 2` entre `x = -2` e` x = 0`.


Fórmula - Área delimitada entre duas curvas

Dadas duas curvas (y = f (x) ) e (y = g (x) ), que se cruzam em dois pontos, com (x ) - coordenadas: [x = a quad text quad x = b ] tal que (f (x) geq g (x) ), para (a leq x leq b ), o que significa que (y = f (x) ) é maior que (ou acima) (y = g (x) ) no intervalo (a leq x leq b ).

A área delimitada por essas duas curvas pode ser calculada usando a fórmula: [ text = int_a ^ b beginf (x) -g (x) enddx ]

Tutorial 2: exemplo trabalhado

Neste segundo tutorial nós olhamos para um exemplo trabalhado, em que nos é dado o coordenadas dos pontos de intersecção das duas curvas. Isso deve nos dar uma boa idéia de como a fórmula "funciona".

O método de três etapas que acabamos de ver está resumido aqui (anote).


3. A área sob uma curva

Um edifício tem arcadas parabólicas e é necessário fornecer vidro para fechar as arcadas. Quanto vidro é necessário?

Para responder a isso, precisamos saber a área sob a curva.

Veremos como fazer isso de duas maneiras nesta página:

Antes da integração foi desenvolvido, os matemáticos só podiam aproximado a resposta dividindo o espaço em retângulos e adicionando as áreas desses retângulos, algo assim:

O altura de cada retângulo é encontrado calculando os valores da função, como mostrado para o caso típico x = c, onde a altura do retângulo é f (c). Obteremos um resultado melhor se pegarmos mais e mais retângulos.

No diagrama acima, estamos aproximando a área usando retângulos internos (cada retângulo está dentro da curva). Também podemos encontrar a área usando o retângulos externos.

[Este método era conhecido pelos Gregos Antigos. Veja Arquimedes e a área de um segmento parabólico.]

Veja o miniaplicativo Riemann Sums, onde você pode explorar interativamente esse conceito.

Exemplo 1: aproximação usando retângulos

(a) Encontre a área sob a curva y = 1 e menos x 2 entre x = 0,5 e x = 1, para n = 5, usando o método da soma das áreas dos retângulos.


Calculando a área sob uma curva.

Integrais Definidos

Até agora, ao integrar, sempre houve um termo constante restante. Por esse motivo, essas integrais são conhecidas como integrais indefinidas. Com integrais definidas, integramos uma função entre 2 pontos e, assim, podemos encontrar o valor preciso da integral e não há necessidade de nenhum termo de constante desconhecido [a constante se cancela].

A área sob uma curva

A área sob uma curva entre dois pontos pode ser encontrada fazendo uma integral definida entre os dois pontos.

Para encontrar a área sob a curva y = f (x) entre x = a e x = b, integre y = f (x) entre os limites de a e b.

As áreas sob o eixo x serão negativas e as áreas acima do eixo x serão positivas. Isso significa que você deve ter cuidado ao encontrar uma área que está parcialmente acima e parcialmente abaixo do eixo x.

Você também pode ser solicitado a encontrar a área entre a curva e o eixo y. Para fazer isso, integre em relação a y.


Assista o vídeo: Cálculo Integral: Área entre curvas - Aula (Novembro 2021).