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4A.4: Estratégia geral para polinômios de fatoração


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Reconhecer e usar o método apropriado para fatorar um polinômio completamente

Reconhecer e usar o método apropriado para fatorar um polinômio completamente

Agora você se familiarizou com todos os métodos de fatoração de que precisará neste curso. O gráfico a seguir resume todos os métodos de fatoração que cobrimos e descreve uma estratégia que você deve usar ao fatorar polinômios.

ESTRATÉGIA GERAL PARA FATORES DE POLINOMIAIS

USE UMA ESTRATÉGIA GERAL PARA FATAR POLINOMIAIS.

  1. Existe um maior fator comum?
    Fatore isso.
  2. O polinômio é binomial, trinomial ou há mais de três termos?
    Se for um binômio:
    • É uma soma?
      De praças? As somas dos quadrados não são consideradas.
      De cubos? Use o padrão de soma de cubos.
    • É uma diferença?
      De praças? Fator como o produto de conjugados.
      De cubos? Use a diferença do padrão de cubos.
    Se for um trinômio:
    • Tem a forma (x ^ 2 + bx + c )? Desfazer FOIL.
    • Tem a forma (ax ^ 2 + bx + c )?
      Se uma e c são quadrados, verifique se ele se encaixa no padrão de quadrado trinomial.
      Use o método de tentativa e erro ou “ (ac )”.
    Se tiver mais de três termos:
    • Use o método de agrupamento.
  3. Verificar.
    É totalmente fatorado?
    Os fatores se multiplicam de volta ao polinômio original?

Lembre-se, um polinômio é completamente fatorado se, diferente de monômios, seus fatores são melhor!

Exemplo ( PageIndex {1} )

Fatore completamente: (7x ^ 3−21x ^ 2−70x ).

Solução

( begin {array} {ll} {7x ^ 3−21x ^ 2−70x} & text {Existe um GCF? Sim,} 7x. & text {Fatorar o GCF.} & 7x (x ^ 2−3x − 10) text {Nos parênteses, é um binomial, trinomial,} & text {ou existem mais termos?} & text {Trinomial com coeficiente inicial 1 .} & text {“Desfazer” FOIL.} & 7x (x hspace {8mm}) (x hspace {8mm}) & 7x (x + 2) (x − 5) text {Is a expressão fatorada completamente? Sim.} & text {Nenhum binômio pode ser fatorado.} & text {Verifique sua resposta.} & text {Multiplique.} & & & hspace {15mm} 7x (x + 2) (x − 5) & hspace {10mm} 7x (x ^ 2−5x + 2x − 10) & hspace {15mm} 7x (x ^ 2− 3x − 10) & hspace {13mm} 7x ^ 3−21x ^ 2−70x checkmark & ​​ end {array} )

Experimente ( PageIndex {1} )

Fatore completamente: (8y ^ 3 + 16y ^ 2−24y ).

Responder

(8y (y − 1) (y + 3) )

Experimente ( PageIndex {2} )

Fatore completamente: (5y ^ 3−15y ^ 2−270y ).

Responder

(5y (y − 9) (y + 6) )

Tenha cuidado quando for solicitado a fatorar um binômio, pois há várias opções!

Exemplo ( PageIndex {2} )

Fatore completamente: (24y ^ 2−150 )

Solução

( begin {array} {ll} & 24y ^ 2−150 text {Existe um GCF? Sim,} 6. & text {Fatore o GCF.} & 6 (4y ^ 2-25) text {Entre parênteses, é um binomial, trinomial} & text {ou existem mais de três termos? Binomial.} & text {É uma soma? Não.} & text {É uma diferença? De quadrados ou cubos? Sim, quadrados.} & 6 ((2y) ^ 2− (5) ^ 2) text {Escreva como um produto de conjugados.} & 6 (2y − 5 ) (2y + 5) & & hspace {5mm} text {A expressão é fatorada completamente?} & hspace {5mm} text {Nenhum binômio pode ser fatorado.} & text {Check:} & & & hspace {5mm} text {Multiply.} & & hspace {15mm} 6 (2y − 5) (2y + 5) & & hspace {18mm} 6 (4y ^ 2−25) & hspace {18mm} 24y ^ 2−150 checkmark end {array} )

Experimente ( PageIndex {3} )

Fatore completamente: (16x ^ 3−36x ).

Responder

(4x (2x − 3) (2x + 3) )

Experimente ( PageIndex {4} )

Fatore completamente: (27y ^ 2−48 ).

Responder

(3 (3y − 4) (3y + 4) )

O próximo exemplo pode ser fatorado usando vários métodos. Reconhecer o padrão de quadrados trinomiais tornará seu trabalho mais fácil.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Fatore completamente: (4a ^ 2−12ab + 9b ^ 2 ).

Solução

( begin {array} {ll} & 4a ^ 2−12ab + 9b ^ 2 text {Existe um GCF? Não.} & text {É um binômio, trinômio ou há mais termos ?} & text {Trinomial com} a neq 1. text {Mas o primeiro termo é um quadrado perfeito.} text {O último termo é um quadrado perfeito? Sim.} & (2a) ^ 2−12ab + (3b) ^ 2 text {Ele se encaixa no padrão,} a ^ 2−2ab + b ^ 2? Text {Sim.} & (2a) ^ 2 −12ab + (3b) ^ 2 & hspace {7mm} {,} ^ { searrow} {,} _ {- 2 (2a) (3b)} {,} ^ { swarrow} text {Escreva como um quadrado .} & (2a − 3b) ^ 2 & & quad text {A expressão está completamente fatorada? Sim.} & quad text {O binômio não pode ser fatorado.} & text {Verifique sua resposta.} & & quad text {Multiplicar.} & hspace {30mm} (2a − 3b) ^ 2 hspace {20mm} (2a) ^ 2−2 · 2a · 3b + (3b) ^ 2 hspace {24mm} 4a ^ 2−12ab + 9b ^ 2 checkmark & ​​ end {array} )

Experimente ( PageIndex {5} )

Fatore completamente: (4x ^ 2 + 20xy + 25y ^ 2 ).

Responder

((2x + 5y) ^ 2 )

Experimente ( PageIndex {6} )

Fatore completamente: (9x ^ 2−24xy + 16y ^ 2 ).

Responder

((3x − 4y) ^ 2 )

Lembre-se, as somas dos quadrados não são computadas, mas as somas dos cubos sim!

Exemplo ( PageIndex {4} )

Fatore completamente (12x ^ 3y ^ 2 + 75xy ^ 2 ).

Solução

( begin {array} {ll} & 12x ^ 3y ^ 2 + 75xy ^ 2 text {Existe um GCF? Sim,} 3xy ^ 2. & text {Fatorar o GCF.} & 3xy ^ 2 (4x ^ 2 + 25) text {Entre parênteses, é um binômio, trinômio ou} & texto {há mais de três termos? Binomial.} & & texto {É uma soma? De quadrados? Sim.} & Text {As somas dos quadrados são primos.} & & quad text {A expressão é fatorada completamente? Sim.} & text {Check:} & & & quad text {Multiply.} & hspace {15mm} 3xy ^ 2 (4x ^ 2 + 25) & hspace {14mm} 12x ^ 3y ^ 2 + 75xy ^ 2 checkmark end {array} )

Experimente ( PageIndex {7} )

Fatore completamente: (50x ^ 3y + 72xy ).

Responder

(2xy (25x ^ 2 + 36) )

Experimente ( PageIndex {8} )

Fatore completamente: (27xy ^ 3 + 48xy ).

Responder

(3xy (9y ^ 2 + 16) )

Ao usar o padrão de soma ou diferença de cubos, tome cuidado com os sinais.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Fatore completamente: (24x ^ 3 + 81y ^ 3 ).

Solução

Existe um GCF? Sim, 3.
Fatore isso.
Entre parênteses, é um binômio, trinômio,
de existem mais de três termos? Binomial.
É uma soma ou diferença? Soma.
De quadrados ou cubos? Soma de cubos.
Escreva usando o padrão de soma de cubos.
A expressão é fatorada completamente? sim.
Verifique multiplicando.

Experimente ( PageIndex {9} )

Fatore completamente: (250m ^ 3 + 432n ^ 3 ).

Responder

(2 (5m + 6n) (25m ^ 2−30mn + 36n ^ 2) )

Experimente ( PageIndex {10} )

Fatore completamente: (2p ^ 3 + 54q ^ 3 ).

Responder

(2 (p + 3q) (p ^ 2−3pq + 9q ^ 2) )

Exemplo ( PageIndex {6} )

Fatore completamente: (3x ^ 5y − 48xy ).

Solução

( begin {array} {ll} & 3x ^ 5y − 48xy text {Existe um GCF? Fatorar} 3xy & 3xy (x ^ 4-16) begin {array} {l} text { O binômio é uma soma ou diferença? De quadrados ou cubos?} text {Escreva como uma diferença de quadrados.} End {array} & 3xy left ((x ^ 2) ^ 2− (4) 2 direita) text {Fatore-o como um produto de conjugados} & 3xy (x ^ 2−4) (x ^ 2 + 4) text {O primeiro binômio é novamente uma diferença de quadrados.} & 3xy left ( (x) ^ 2− (2) ^ 2 right) (x ^ 2 + 4) text {Fatore como um produto de conjugados.} & 3xy (x − 2) (x + 2) (x ^ 2 +4) text {A expressão é fatorada completamente? Sim.} & text {Verifique sua resposta.} & text {Multiplique.} & 3xy (x − 2) (x + 2 ) (x ^ 2 + 4) & 3xy (x ^ 2−4) (x ^ 2 + 4) & 3xy (x ^ 4−16) & 3x ^ 5y − 48xy checkmark & ​​ end {variedade})

Experimente ( PageIndex {11} )

Fatore completamente: (4a ^ 5b − 64ab ).

Responder

(4ab (a ^ 2 + 4) (a − 2) (a + 2) )

Experimente ( PageIndex {12} )

Fatore completamente: (7xy ^ 5−7xy ).

Responder

(7xy (y ^ 2 + 1) (y − 1) (y + 1) )

Exemplo ( PageIndex {7} )

Fatore completamente: (4x ^ 2 + 8bx − 4ax − 8ab ).

Solução

( begin {array} {ll} & 4x ^ 2 + 8bx − 4ax − 8ab text {Existe um GCF? Fatore o GCF,} 4. & 4 (x ^ 2 + 2bx − ax − 2ab) text {Existem quatro termos. Use agrupamento.} & 4 [x (x + 2b) −a (x + 2b)] 4 (x + 2b) (x − a) text {A expressão é fatorada completamente ? Sim.} & text {Verifique sua resposta.} & text {Multiplique.} & hspace {25mm} 4 (x + 2b) (x − a) & hspace {20mm } 4 (x ^ 2 − ax + 2bx − 2ab) & hspace {20mm} 4x ^ 2 + 8bx − 4ax − 8ab checkmark end {array} )

Experimente ( PageIndex {13} )

Fatore completamente: (6x ^ 2−12xc + 6bx − 12bc ).

Responder

(6 (x + b) (x − 2c) )

Experimente ( PageIndex {14} )

Fatore completamente: (16x ^ 2 + 24xy − 4x − 6y ).

Responder

(2 (4x − 1) (2x + 3y) )

Tirar o GCF completo na primeira etapa sempre tornará seu trabalho mais fácil.

Exemplo ( PageIndex {8} )

Fatore completamente: (40x ^ 2y + 44xy − 24y ).

Solução

( begin {array} {ll} & 40x ^ 2y + 44xy − 24y text {Existe um GCF? Fatore o GCF,} 4y. & 4y (10x ^ 2 + 11x − 6) text { Fatore o trinômio com} a neq 1. & 4y (10x ^ 2 + 11x − 6) & 4y (5x − 2) (2x + 3) text {A expressão é fatorada completamente? Sim.} & text {Verifique sua resposta.} & text {Multiplicar.} & hspace {25mm} 4y (5x − 2) (2x + 3) & hspace {24mm} 4y (10x ^ 2 + 11x − 6) & hspace {22mm} 40x ^ 2y + 44xy − 24y checkmark end {array} )

Experimente ( PageIndex {15} )

Fatore completamente: (4p ^ 2q − 16pq + 12q ).

Responder

(4q (p − 3) (p − 1) )

Experimente ( PageIndex {16} )

Fatore completamente: (6pq ^ 2−9pq − 6p ).

Responder

(3p (2q + 1) (q − 2) )

Quando fatoramos um polinômio com quatro termos, na maioria das vezes o separamos em dois grupos de dois termos. Lembre-se de que também podemos separá-lo em um trinômio e depois em um termo.

Exemplo ( PageIndex {9} )

Fatore completamente: (9x ^ 2−12xy + 4y ^ 2−49 ).

Solução

( begin {array} {ll} & 9x ^ 2−12xy + 4y ^ 2−49 text {Existe um GCF? Não.} & begin {array} {l} text {Com mais de 3 termos, use agrupamento. Últimos 2 termos} text {não tem GCF. Tente agrupar os primeiros 3 termos.} end {array} & 9x ^ 2−12xy + 4y ^ 2−49 begin {array} {l} text {Fatore o trinômio com} a neq 1. text {Mas o primeiro termo é um} text {quadrado perfeito.} end {array} & text {É o último termo do trinômio um quadrado perfeito? Sim.} & (3x) ^ 2−12xy + (2y) ^ 2−49 text {O trinômio se ajusta ao padrão,} a ^ 2−2ab + b ^ 2? text {Sim.} & (3x) ^ 2 −12xy + (2y) ^ 2−49 & hspace {7mm} {,} ^ { searrow} {,} _ {- 2 (3x) (2y) )} {,} ^ { swarrow} text {Escreva o trinômio como um quadrado.} & (3x − 2y) ^ 2−49 begin {array} {ll} text {Este é o binômio uma soma ou diferença? De quadrados ou} text {cubos? Escreva como uma diferença de quadrados.} End {array} & (3x − 2y) ^ 2−72 text {Escreva como um produto de conjugados.} & ((3x − 2y) −7) (( 3x − 2y) +7) & (3x − 2y − 7) (3x − 2y + 7) text {A expressão é fatorada completamente? Sim.} & text {Verifique sua resposta.} & text {Multiplique.} & hspace {23mm} (3x − 2y − 7) (3x − 2y + 7) & hspace {10mm} 9x ^ 2−6xy − 21x − 6xy + 4y ^ 2 + 14y + 21x − 14y − 49 qquad & hspace {25mm} 9x ^ 2−12xy + 4y ^ 2−49 checkmark & ​​ end {variedade})

Experimente ( PageIndex {17} )

Fatore completamente: (4x ^ 2−12xy + 9y ^ 2−25 ).

Responder

((2x − 3y − 5) (2x − 3y + 5) )

Experimente ( PageIndex {18} )

Fatore completamente: (16x ^ 2−24xy + 9y ^ 2−64 ).

Responder

((4x − 3y − 8) (4x − 3y + 8) )

Conceitos chave

  • Como usar uma estratégia geral para fatorar polinômios.
    1. Existe um maior fator comum?
      Fatore isso.
    2. O polinômio é binomial, trinomial ou há mais de três termos?
      Se for um binômio:
      É uma soma?
      De praças? As somas dos quadrados não são consideradas.
      De cubos? Use o padrão de soma de cubos.
      É uma diferença?
      De praças? Fator como o produto de conjugados.
      De cubos? Use a diferença do padrão de cubos.
      Se for um trinômio:
      Tem a forma (x ^ 2 + bx + c )? Desfazer FOIL.
      Tem a forma (ax ^ 2 + bx + c )?
      Se uma e c são quadrados, verifique se ele se encaixa no padrão de quadrado trinomial.
      Use o método de tentativa e erro ou “ (ac )”.
      Se tiver mais de três termos:
      Use o método de agrupamento.
    3. Verificar.
      É totalmente fatorado?
      Os fatores se multiplicam de volta ao polinômio original?

Resumindo a estratégia geral para polinômios de fatoração

  • Estratégia geral para fatorar polinômios Veja a figura abaixo.

  • Como fatorar polinômios
    1. Existe um maior fator comum? Fatore isso.
    2. O polinômio é binomial, trinomial ou há mais de três termos?
      • Se for um binômio:
      • De praças? Fator como o produto de conjugados.
      • De cubos? Use a diferença do padrão de cubos.
      • Se 'a' e 'c' são quadrados, verifique se ele se encaixa no padrão de quadrado trinomial.
      • Use o método de tentativa e erro ou 'ac'.

      [Atribuições e licenças]

      Este artigo modificado está licenciado sob uma licença CC BY-NC-SA 4.0.

      Aulas tutoriais

      Esta é uma lição do tutorial, Fatoração e Fatoração I e você é incentivado a fazer o login ou registrar-se, para que possa acompanhar seu progresso.


      Resolvendo Equações Polinomiais por Fatoração

      Nesta seção, revisaremos uma técnica que pode ser usada para resolver certas equações polinomiais. Começamos com a propriedade de produto zero Um produto é igual a zero se e somente se pelo menos um dos fatores for zero. :

      a ⋅ b = 0 se e somente se a = 0 ou b = 0

      A propriedade de produto zero é verdadeira para qualquer número de fatores que compõem uma equação. Em outras palavras, se algum produto for igual a zero, pelo menos um dos fatores variáveis ​​deve ser igual a zero. Se uma expressão é igual a zero e pode ser fatorada em fatores lineares, então seremos capazes de definir cada fator igual a zero e resolver para cada equação.

      Exemplo 4

      Resolva: 2 x (x - 4) (5 x + 3) = 0.

      Defina cada fator variável igual a zero e resolva.

      2 x = 0 ou x - 4 = 0 ou 5 x + 3 = 0 2 x 2 = 0 2 x = 4 5 x 5 = - 3 5 x = 0 x = - 3 5

      Para verificar se essas são soluções, podemos substituí-las de volta na equação original para ver se obtemos uma afirmação verdadeira. Observe que cada solução produz um fator zero. Isso é deixado para o leitor.

      Resposta: As soluções são 0, 4 e - 3 5.

      Obviamente, a maioria das equações não será fornecida de forma fatorada.

      Exemplo 5

      Resolva: 4 x 3 - x 2 - 100 x + 25 = 0.

      Comece fatorando o lado esquerdo completamente.

      4 x 3 - x 2 - 100 x + 25 = 0 F a c t o r por g r o u p i n g. x 2 (4 x - 1) - 25 (4 x - 1) = 0 (4 x - 1) (x 2 - 25) = 0 F a c t o r a s a d i f f e r e n c o f s q u a r e s. (4 x - 1) (x + 5) (x - 5) = 0

      Defina cada fator igual a zero e resolva.

      4 x - 1 = 0 ou x + 5 = 0 ou x - 5 = 0 4 x = 1 x = - 5 x = 5 x = 1 4

      Resposta: As soluções são 1 4, −5 e 5.

      Usar a propriedade de produto zero após fatorar uma equação igual a zero é a chave para essa técnica. No entanto, a equação pode não ser igual a zero e, portanto, pode haver algumas etapas preliminares antes da fatoração. As etapas necessárias para resolver por fatoração O processo de resolver uma equação que é igual a zero fatorando-a e, em seguida, definindo cada fator variável igual a zero. são descritos no exemplo a seguir.

      Exemplo 6

      Resolva: 15 x 2 + 3 x - 8 = 5 x - 7.

      Passo 1: Expresse a equação na forma padrão, igual a zero. Neste exemplo, subtraia 5 x de e adicione 7 a ambos os lados.

      15 x 2 + 3 x - 8 = 5 x - 7 15 x 2 - 2 x - 1 = 0

      Passo 2: Fatore a expressão.

      Etapa 3: Aplique a propriedade de produto zero e defina cada fator de variável igual a zero.

      Passo 4: Resolva as equações lineares resultantes.

      3 x - 1 = 0 ou 5 x + 1 = 0 3 x = 1 5 x = - 1 x = 1 3 x = - 1 5

      Resposta: As soluções são 1 3 e - 1 5. A verificação é opcional.

      Exemplo 7

      Esta equação quadrática parece ser fatorada, portanto, pode ser tentador definir cada fator igual a 4. No entanto, isso levaria a resultados incorretos. Devemos reescrever a equação igual a zero, para que possamos aplicar a propriedade do produto zero.

      (3 x + 2) (x + 1) = 4 3 x 2 + 3 x + 2 x + 2 = 4 3 x 2 + 5 x + 2 = 4 3 x 2 + 5 x - 2 = 0

      Uma vez que esteja na forma padrão, podemos fatorar e definir cada fator igual a zero.

      (3 x - 1) (x + 2) = 0 3 x - 1 = 0 ou x + 2 = 0 3 x = 1 x = - 2 x = 1 3

      Resposta: As soluções são 1 3 e −2.


      Conteúdo

      Suponha que f é um polinômio k -degree sobre Q (os números racionais) e r é uma raiz complexa de f. Então, f(r) = 0, que pode ser reorganizado para expressar r k como uma combinação linear de potências de r menor que k. Esta equação pode ser usada para reduzir quaisquer poderes de r com expoente ek . Por exemplo, se f(x) = x 2 + 1 e r é a unidade imaginária i, então eu 2 + 1 = 0, ou eu 2 = -1. Isso nos permite definir o produto complexo:

      (a + b i) (c + d i) = a c + (a d + b c) i + (b d) i 2 = (a c - b d) + (a d + b c) i. < displaystyle (a + bi) (c + di) = ac + (ad + bc) i + (bd) i ^ <2> = (ac-bd) + (ad + bc) i.>

      Em geral, isso leva diretamente ao campo de número algébrico Q[r], que pode ser definido como o conjunto de números complexos dados por:

      O produto de quaisquer dois desses valores pode ser calculado tomando o produto como polinômios, reduzindo então quaisquer potências de r com expoente ek conforme descrito acima, produzindo um valor na mesma forma. Para garantir que este campo seja realmente k-dimensional e não colapse em um campo ainda menor, é suficiente que f seja um polinômio irredutível sobre os racionais. Da mesma forma, pode-se definir o anel de inteiros OQ[r] como o subconjunto de Q[r] que são raízes de polinômios mônicos com coeficientes inteiros. Em alguns casos, este anel de inteiros é equivalente ao anel Z[r] No entanto, existem muitas exceções, como para Q[√ d] quando d é igual a 1 módulo 4. [2]

      Dois polinômios f(x) e g(x) de pequenos graus d e e são escolhidos, os quais têm coeficientes inteiros, que são irredutíveis sobre os racionais, e que, quando interpretados mod n, tem uma raiz inteira comum m. Uma estratégia ótima para escolher esses polinômios não é conhecida, um método simples é escolher um grau d para um polinômio, considere a expansão de n na base m (permitindo dígitos entre -m e m) para uma série de diferentes m de ordem n 1/d e escolha f(x) como o polinômio com os menores coeficientes e g(x) Como xm.

      Considere os anéis do campo numérico Z[r1] e Z[r2], Onde r1 e r2 são raízes dos polinômios f e g. Desde f é de grau d com coeficientes inteiros, se uma e b são inteiros, então serão b d ·f(uma/b), que chamamos de r. Similarmente, s = b e ·g(uma/b) é um número inteiro. O objetivo é encontrar valores inteiros de uma e b que simultaneamente faz r e s suave em relação à base escolhida de primos. Se uma e b são pequenos então r e s será pequeno também, do tamanho de m, e temos uma chance melhor de serem suaves ao mesmo tempo. A abordagem mais conhecida atualmente para esta pesquisa é a peneira treliça para obter rendimentos aceitáveis, é necessário usar uma base de fator grande.

      Tendo esses pares suficientes, usando a eliminação de Gauss, pode-se obter produtos de certas r e do correspondente s para ser quadrados ao mesmo tempo. É necessária uma condição um pouco mais forte - que eles sejam as normas dos quadrados em nossos campos numéricos, mas essa condição também pode ser alcançada por esse método. Cada r é uma norma de umar1b e, portanto, o produto dos fatores correspondentes umar1b é um quadrado em Z[r1], com uma "raiz quadrada" que pode ser determinada (como um produto de fatores conhecidos em Z[r1]) - normalmente será representado como um número algébrico irracional. Da mesma forma, o produto dos fatores umar2b é um quadrado em Z[r2], com uma "raiz quadrada" que também pode ser calculada. Deve-se observar que o uso da eliminação gaussiana não fornece o tempo de execução ótimo do algoritmo. Em vez disso, algoritmos de resolução de matriz esparsa, como Block Lanczos ou Block Wiedemann, são usados.

      Desde m é a raiz de ambos f e g mod n, existem homomorfismos dos anéis Z[r1] e Z[r2] para o ringue Z/nZ (o módulo de inteiros n), que mapa r1 e r2 para m, e esses homomorfismos mapearão cada "raiz quadrada" (normalmente não representada como um número racional) em seu representante inteiro. Agora, o produto dos fatores umaMB mod n pode ser obtido como um quadrado de duas maneiras - uma para cada homomorfismo. Assim, pode-se encontrar dois números x e y, com x 2 − y 2 divisíveis por n e novamente com probabilidade de pelo menos metade, obtemos um fator de n encontrando o maior divisor comum de n e xy.

      A escolha do polinômio pode afetar drasticamente o tempo para concluir o restante do algoritmo. O método de escolha de polinômios com base na expansão de n na base m mostrado acima é subótimo em muitas situações práticas, levando ao desenvolvimento de métodos melhores.

      Um tal método foi sugerido por Murphy e Brent [3], eles introduzem uma pontuação de duas partes para polinômios, com base na presença de raízes modulo pequenos primos e no valor médio que o polinômio assume na área de peneiramento.

      Os melhores resultados relatados [4] foram alcançados pelo método de Thorsten Kleinjung, [5] que permite g(x) = machado + b , e pesquisa sobre um composto de pequenos fatores primos congruentes a 1 módulo 2 d e sobre os coeficientes principais de f que são divisíveis por 60.

      Algumas implementações se concentram em uma certa classe menor de números. Elas são conhecidas como técnicas de peneira de campo de número especial, como as usadas no projeto Cunningham. Um projeto chamado NFSNET foi executado de 2002 [6] até pelo menos 2007. Ele usou computação distribuída voluntária na Internet. [7] Paul Leyland do Reino Unido e Richard Wackerbarth do Texas estavam envolvidos. [8]

      Até 2007, a implementação do padrão ouro era um conjunto de software desenvolvido e distribuído pelo CWI na Holanda, que estava disponível apenas sob uma licença relativamente restritiva. [ citação necessária ] Em 2007, Jason Papadopoulos desenvolveu uma implementação mais rápida do processamento final como parte do msieve, que é de domínio público. Ambas as implementações apresentam a capacidade de serem distribuídas entre vários nós em um cluster com uma interconexão suficientemente rápida.

      A seleção polinomial é normalmente realizada por software GPL escrito por Kleinjung, ou por msieve, e peneiramento de rede por software GPL escrito por Franke e Kleinjung, estes são distribuídos em GGNFS.


      Técnicas para fatorar polinômios

      Nessas lições, aprenderemos as diferentes técnicas básicas para fatorar polinômios.

      Isso faz parte de uma série de aulas de álgebra básicas gratuitas. Aqui, vamos cobrir

      • como fatorar um polinômio fatorando o maior fator comum.
      • como fatorar um polinômio por agrupamento.
      • como fatorar a diferença de quadrados perfeitos.
      • como fatorar trinômios com uma = 1
      • como fatorar trinômios com uma & gt 1

      O diagrama a seguir mostra alguns exemplos de Técnicas de Factoring. Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções de técnicas de fatoração.


      Maiores Fatores Comuns

      Ao trabalhar com polinômios e frações complexas, é importante entender e ser capaz de encontrar os maiores fatores comuns. Ser capaz de encontrar os maiores fatores comuns ajudará na fatoração dos trinômios por agrupamento. Ao fatorar, podemos encontrar os maiores fatores comuns de dois inteiros ou encontrar os maiores fatores comuns de duas expressões complexas.

      Fatorando o maior fator comum.

      Fator por agrupamento

      Diferença de quadrados perfeitos

      Um caso especial importante ao tentar fatorar polinômios é a identificação da diferença de quadrados perfeitos. Aprendemos a reconhecer a diferença de quadrados perfeitos porque eles têm uma forma especial e facilmente fatorada. Também é importante reconhecer a forma fatorada para facilitar a multiplicação dos binômios. Reconhecer facilmente a diferença de quadrados perfeitos é útil ao fatorar quadráticas que não são uma diferença de quadrados perfeitos.

      Fatorando a diferença de dois quadrados - Ex 1

      Fatorando a diferença de dois quadrados - Ex 2

      Fatorando a diferença de dois quadrados - Ex 3

      Fatorando trinômios, a = 1

      Quando dado um trinômio, ou um quadrático, pode ser útil para fins de cancelamento e simplificação para fatorá-lo. A fatoração de trinômios é mais fácil quando o coeficiente líder (o coeficiente do termo ao quadrado) é um. Uma situação mais complexa é a fatoração de trinômios quando o coeficiente líder não é um. Para fatorar trinômios, usamos métodos que envolvem encontrar os fatores de seus coeficientes.

      Fatorando um Trinomial com Coeficiente Principal de 1 - O Básico

      Fatorando trinômios básicos, com a = 1

      Fatorar trinômios com & ldquoa & rdquo diferente de um

      Uma das etapas finais para aprender a fatorar trinômios é fatorar trinômios com & ldquoa & rdquo diferente de um. Nesse caso, & ldquoa & rdquo é o coeficiente líder, ou o coeficiente do termo ao quadrado. Ao fatorar trinômios com & ldquoa & rdquo diferente de um, além de usar os métodos usados ​​quando & ldquoa & rdquo é um, devemos levar os fatores de & ldquoa & rdquo em consideração ao encontrar os termos dos binômios fatorados.

      Este vídeo fornece exemplos de como fatorar um trinômio quando o coeficiente principal não é igual a 1 usando o método de agrupamento.

      Como fatorar um trinômio quando o coeficiente principal não é igual a 1 usando o método de tentativa e erro?

      Exemplos de como fatorar um trinômio quando o coeficiente líder não é igual a 1 usando o método de baixo para cima

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      Exemplo 4

      Fator x 3 + 2x 2 - 4x - 8

      Os factrs no polinômio já estão em ordem, então podemos ir direto para a etapa de agrupamento.

      (x 3 + 2x 2 ) + (-4x - 8)

      Observe como eu mantive o sinal - com os quatro e adicionei os dois grupos. Agora, como ambos os termos do segundo grupo são negativos, vou fatorar um -4 dele.

      x 2 (x + 2) - 4(x + 2)

      Agora posso fatorar o x + 2 para obter

      Agora, se você olhar de perto x 2 - 4, você verá que pode ser fatorado posteriormente usando as técnicas da lição "Fatorando trinômios 1".

      (x - 2)(x + 2)(x + 2)

      Se você realmente quiser simplificar a resposta, os dois últimos fatores podem ser combinados para nos dar


      Fatorar trinômios por agrupamento

      Nessas lições, aprenderemos a fatorar trinômios por agrupamento.

      Ao fatorar trinômios por agrupamento, primeiro dividimos o termo do meio em dois termos. Em seguida, reescrevemos os pares de termos e retiramos o fator comum.

      O diagrama a seguir mostra um exemplo de fatoração de um trinômio por agrupamento. Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções sobre como fatorar trinômios por agrupamento.


      Exemplo:
      Fatore o trinômio a seguir usando o método de agrupamento.
      x 2 + 6x + 8

      Solução:
      Etapa 1: Encontre o produto ac:
      (1)(8) = 8

      Etapa 2: Encontre dois fatores de 8 que somam 6:
      4 e 2

      Etapa 3: escreva 6x como a soma de 2x e 4x:
      x 2 + 2x + 4x + 8

      Etapa 4: agrupe os dois pares de termos:
      (x 2 + 2x) + (4x + 8)

      Etapa 5: Retire os fatores comuns de cada grupo:
      x (x + 2) + 4 (x + 2)

      Etapa 6: já que as duas quantidades entre parênteses agora são idênticas. Isso significa que podemos fatorar um fator comum de (x + 2):
      (x + 4) (x + 2)

      Exemplo:
      Fatore o trinômio a seguir usando o método de agrupamento.
      5x 2 - 13 x + 6

      Solução:
      Etapa 1: Encontre o produto ac:
      (5)(6) = 30

      Etapa 2: Encontre dois fatores de 30 que somam 13:
      3 e 10

      Etapa 3: escreva -13x como a soma de -3x e -10x:
      5x 2 - 3x - 10x + 6

      Etapa 4: agrupe os dois pares de termos:
      (5x 2 - 3x) - (10x + 6)

      Etapa 5: Retire os fatores comuns de cada grupo:
      x (5x - 3) - 2 (5x - 3)

      Etapa 6: já que as duas quantidades entre parênteses agora são idênticas. Isso significa que podemos fatorar um fator comum de (x - 2):
      (x - 2) (5x - 3)

      Como fatorar trinômios por agrupamento?

      Exemplo:
      Fator 12x 2 + 34x + 10

      Fator Trinomial por Agrupamento
      Fator: 6x 2 + 15x - 21

      Fator Trinomial, GCF e Método de Agrupamento
      Fator: -6x 2 + 60x - 28

      Trinômios de fatoração: o método de agrupamento
      Fator: 8x 2 + 35x + 12

      Como fatorar trinômios usando GCF e o método de agrupamento?
      Fator: 6x 2 - 3x - 45

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      Conteúdo

      Edição de fundo

      A fórmula em álgebra elementar para calcular o quadrado de um binomial é:

      Em qualquer quadrado perfeito, o coeficiente de x é o dobro do número p, e o termo constante é igual a p 2 .

      Exemplo básico de edição

      Considere o seguinte polinômio quadrático:

      Esta quadrática não é um quadrado perfeito, pois 28 não é o quadrado de 5:

      No entanto, é possível escrever a quadrática original como a soma deste quadrado e uma constante:

      Isso é chamado Completando o quadrado.

      Descrição geral Editar

      é possível formar um quadrado que tenha os mesmos dois primeiros termos:

      Este quadrado difere do quadrático original apenas no valor do termo constante. Portanto, podemos escrever

      Edição de caso não monic

      Dado um polinômio quadrático da forma

      é possível fatorar o coeficiente umae, em seguida, complete o quadrado do polinômio mônico resultante.

      Isso permite a gravação de qualquer polinômio quadrático na forma

      Edição de Fórmula

      Edição de caso escalar

      O resultado de completar o quadrado pode ser escrito como uma fórmula. Para o caso geral: [1]

      Especificamente, quando uma = 1:

      Matrix case Editar

      O caso da matriz é muito semelhante:

      Na geometria analítica, o gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola no xy-avião. Dado um polinômio quadrático da forma

      os números h e k pode ser interpretado como as coordenadas cartesianas do vértice (ou ponto estacionário) da parábola. Isso é, h é o x- coordenada do eixo de simetria (ou seja, o eixo de simetria tem a equação x = h), e k é o valor mínimo (ou valor máximo, se uma & lt 0) da função quadrática.

      Uma maneira de ver isso é observar que o gráfico da função ƒ(x) = x 2 é uma parábola cujo vértice está na origem (0, 0). Portanto, o gráfico da função ƒ(xh) = (xh) 2 é uma parábola deslocada para a direita por h cujo vértice está em (h, 0), como mostrado na figura superior. Em contraste, o gráfico da função ƒ(x) + k = x 2 + k é uma parábola deslocada para cima por k cujo vértice está em (0, k), conforme mostrado na figura central. Combinando mudanças horizontais e verticais, produz ƒ(xh) + k = (xh) 2 + k é uma parábola deslocada para a direita por h e para cima por k cujo vértice está em (h, k), conforme mostrado na figura inferior.

      O preenchimento do quadrado pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática. Por exemplo:

      A primeira etapa é completar o quadrado:

      Em seguida, resolvemos o termo ao quadrado:

      Isso pode ser aplicado a qualquer equação quadrática. Quando o x 2 tem um coeficiente diferente de 1, o primeiro passo é dividir a equação por este coeficiente: para um exemplo, veja o caso não-mônico abaixo.

      Raízes irracionais e complexas Editar

      Ao contrário dos métodos que envolvem a fatoração da equação, que é confiável apenas se as raízes forem racionais, completar o quadrado encontrará as raízes de uma equação quadrática, mesmo quando essas raízes são irracionais ou complexas. Por exemplo, considere a equação

      Completar o quadrado dá

      Equações com raízes complexas podem ser tratadas da mesma maneira. Por exemplo:

      Edição de caso não monic

      Para uma equação envolvendo um quadrático não-mônico, o primeiro passo para resolvê-los é dividir pelo coeficiente de x 2 Por exemplo:

      Aplicar este procedimento à forma geral de uma equação quadrática leva à fórmula quadrática.

      Edição de integração

      O preenchimento do quadrado pode ser usado para avaliar qualquer integral do formulário

      usando os integrais básicos

      Por exemplo, considere o integral

      Completar o quadrado no denominador dá:

      Isso agora pode ser avaliado usando a substituição você = x + 3, que produz

      Edição de números complexos

      Onde z e b são números complexos, z * e b * são os conjugados complexos de z e b, respectivamente, e c é um número real. Usando a identidade |você| 2 = uu * podemos reescrever isso como

      que é claramente uma quantidade real. Isto é porque

      Como outro exemplo, a expressão

      Onde uma, b, c, x, e y são números reais, com uma & gt 0 e b & gt 0, pode ser expresso em termos do quadrado do valor absoluto de um número complexo. Definir

      Edição de matriz idempotente

      Uma matriz M é idempotente quando M 2 = M. Matrizes idempotentes generalizam as propriedades idempotentes de 0 e 1. A conclusão do método quadrado de endereçamento da equação

      mostra que algumas matrizes 2 × 2 idempotentes são parametrizadas por um círculo no (uma,b)-avião:

      No (uma,b) -plano, esta é a equação de um círculo com centro (1/2, 0) e raio 1/2.

      Considere completar o quadrado da equação

      Desde x 2 representa a área de um quadrado com o lado do comprimento x, e bx representa a área de um retângulo com lados b e x, o processo de completar o quadrado pode ser visto como manipulação visual de retângulos.

      Tentativas simples de combinar o x 2 e o bx retângulos em um quadrado maior resultam em um canto ausente. O termo (b/ 2) 2 adicionado a cada lado da equação acima é precisamente a área do canto que falta, de onde deriva a terminologia "completar o quadrado".

      Como ensinado convencionalmente, completar o quadrado consiste em adicionar o terceiro termo, v 2 a

      para obter um quadrado. Também há casos em que se pode adicionar o termo do meio, seja 2uv ou -2uv, para

      Exemplo: a soma de um número positivo e sua edição recíproca

      mostramos que a soma de um número positivo x e seu recíproco é sempre maior ou igual a 2. O quadrado de uma expressão real é sempre maior ou igual a zero, o que dá o limite declarado e aqui alcançamos 2 apenas quando x é 1, fazendo com que o quadrado desapareça.

      Exemplo: fatoração de uma edição polinomial quártica simples

      Considere o problema de fatorar o polinômio

      então o termo do meio é 2 (x 2 )(18) = 36x 2 Assim nós obtemos

      (a última linha sendo adicionada apenas para seguir a convenção de graus decrescentes de termos).


      Exemplo 1: fatoração de um trinômio

      Fatore o trinômio: 3x 2 - 24x - 8.

      Nosso primeiro passo é "configurar" o problema para que possamos fatorar este trinômio por agrupamento. Para fatorar por agrupamento, precisaremos reescrever o trinômio com quatro termos. Preste muita atenção em como isso é feito.

      Primeiro precisamos identificar dois "Números Mágicos". Encontraremos esses números usando o seguinte método:

      Você notou como encontramos os dois "números mágicos" e eles nos ajudaram a reescrever os trinômios com quatro termos. Espero que você também tenha notado que o novo polinômio com quatro termos ainda é equivalente aos trinômios originais. Quando você combina termos semelhantes, acabamos com o mesmo termo do meio que está contido no trinômio original.

      Depois de ter uma nova configuração com quatro termos, você pode usar o método de agrupamento para continuar a fatorar este trinômio. Acho que é muito mais fácil do que o método de adivinhar e verificar e espero que você também!

      Agora vamos dar uma olhada em mais um exemplo. In this example take note of the my very first step.


      Graphing Polynomial Functions

      To sketch any polynomial function, you can start by finding the real zeros of the function and end behavior of the function .

      Steps involved in graphing polynomial functions:

      1 . Predict the end behavior of the function.

      2 Find the real zeros of the function. Check whether it is possible to rewrite the function in factored form to find the zeros. Otherwise, use Descartes' rule of signs to identify the possible number of real zeros.

      3 Make a table of values to find several points.

      4 Plot the points and draw a smooth continuous curve to connect the points.

      5 . Make sure that the graph follows the end behavior as found in the above step.

      Graph the polynomial function x 3 &minus 2 x 2 &minus 3 x .

      Predict the end behavior of the function.

      The degree of the polynomial function is odd and the leading coefficient is positive.

      The degree of the polynomial is 3 and there would be 3 zeros for the functions.

      The function can be factored as x ( x + 1 ) ( x &minus 3 ) . So, the zeros of the functions are x = &minus 1 , 0 and 3 .


      Assista o vídeo: 4ª aula Produtos notáveis Fatoração de polinômios 22 04 2021 (Dezembro 2021).