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4.3: Série Infinita de Constantes - Matemática


4.3: Série Infinita de Constantes - Matemática

Palestra: Lista de constantes matemáticas

Todas as constantes aqui parecem ter pelo menos 1 curso secundário que dá um nome para cada constante a (s) referência (s) são independentes do nome ou homônimo. Eu espero que isso ajude. Marvin Ray Burns () 23:31, 17 de fevereiro de 2015 (UTC)

A constante de Tetranacci é definida como uma raiz particular de um determinado polinômio com coeficientes inteiros. Isso deve tornar a constante algébrica. Os números transcendentais são precisamente aqueles reais, que não são a raiz de nenhum polinômio com coeficientes racionais. Atenciosamente, Slubbert Slamberti () 18:04, 28 de janeiro de 2015 (UTC)

Slubbert, A página não diz que a constante de Tetranacci é transcendental, ela diz que tem "T" como símbolo. Marvin Ray Burns () 23:41, 17 de fevereiro de 2015 (UTC)

Há um pequeno erro na definição da constante de Viswanath, é dito ser um certo limite onde umn = Sequência de Fibonacci, mas, de acordo com a entrada Wolfram MathWorld [1], é um certo limite que é obtido a partir de uma sequência aleatória do tipo Fibonacci com probabilidade um. Além disso, o en: s na constante de Vardi devem ser explicados (parecem ser a sequência de Sylvester). K9re11 () 14:17, 12 de agosto de 2015 (UTC)

Acabei de modificar um link externo em constantes e funções matemáticas. Por favor, reserve um momento para revisar minha edição. Se você tiver alguma dúvida ou precisar que o bot ignore os links ou a página, visite este FaQ simples para obter informações adicionais. Fiz as seguintes alterações:

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As noções do tipo do Journal of Smarandache são uma referência falsa. Além disso, o link [19] vai para o artigo da série Fourier de Eric Weinstein, não para aquela suposta Enciclopédia. Veja também Florentin Smarandache no seguinte link: [2]

Algum comentário? Mdob () 18:47, 21 de junho de 2018 (UTC)

Prezados, gostaria de mover para que a coluna "gráficos" seja removida, pois não adiciona muitas informações úteis e confunde a página. Saúde, Jam Jamgoodman () 13:47, 31 de março de 2019 (UTC)

Apenas uma ideia para pensar: eles adicionam uma definição muito rápida da constante ou do que a constante se trata. Assim, não é necessário clicar em um link e ler nada para ter uma primeira impressão dele. O gráfico também serve como uma maneira rápida de reconhecer a constante, que pode ser mais fácil do que lembrar o nome. Marvin Ray Burns () 04:26, 1 de abril de 2019 (UTC) Obrigado pela resposta, @Marburns:. Suponho que você esteja certo de que pode ser útil para uma interpretação visual rápida, mas ainda assim, sem uma lenda, muitos deles são inúteis. Além disso, ainda acho que a página está muito confusa. Eu acho que um gráfico oculto padrão (que os usuários clicam para expandir) e a remoção da "expansão decimal formatada da web" (que não adiciona nenhuma informação útil) organizaria adequadamente a página. Jamgoodman (conversa) 20:54, 11 de abril de 2019 ( UTC) PS. Eu consertei a formatação ruim da tabela - estava tornando impossível editar e significava que 4 entradas estavam escondidas por anos. Também excluí a coluna 'formato da web', pois ela não adicionava nenhuma informação útil e estava apenas reapresentando a primeira coluna. Os dados desta coluna podem ser facilmente recuperados da primeira coluna.

O critério de inclusão é que a constante deve ter sido usada em pelo menos uma fonte publicada. Mas e quanto à área de um círculo com raio r = 4? ou r = 7? ou r = 8? Todos esses círculos foram usados ​​inúmeras vezes em fontes publicadas, mas não foram incluídos. E quanto a números inteiros arbitrários: 194 ou 182? Ou valores arbitrários de funções comuns: sin (1) e tan (1/2)? Eles também foram usados ​​em muitas fontes publicadas, mas não estão na lista. Sem uma razão genuína para incluir ou excluir constantes, essa lista dificilmente faz qualquer sentido. Proponho as seguintes opções:

  • A lista deve excluir itens se eles forem múltiplos triviais, recíprocos ou combinações de outros elementos. É realmente necessário incluir 1 π < displaystyle < frac <1> < pi >>> se já incluímos π < displaystyle pi>?
  • A lista deve excluir valores específicos de funções, como ζ (2) < displaystyle zeta (2)> ou log ⁡ (3) < displaystyle log (3)>. Esses valores podem ser incluídos nas próprias páginas dessas funções. Para esclarecer, quero dizer valores que primeiro surgiu com essas funções. Não estou sugerindo excluir π < displaystyle pi> da lista apenas porque é um (múltiplo de) um valor de arctan ⁡ (x)
  • O número de fontes publicadas necessárias para inclusão deve ser aumentado. Se realmente incluirmos cada número que já foi publicado, a lista iria durar para sempre.
  • A lista pode ser dividida em artigos separados com base nas características dos números. Por exemplo, listas de constantes transcendentais, lista de séries infinitas, etc. Jamgoodman () 21:37, 11 de abril de 2019 (UTC)

A mesa realmente não deveria estar transbordando. Ele contém muitas entradas em linhas e colunas. Proponho que a tabela seja dividida em linhas por 'ano de descoberta' e que algumas de suas colunas (como fração contínua e 'fórmula de volfrâmio') sejam movidas para artigos separados ou simplesmente excluídas por completo. Se a tabela contiver muitas informações para realmente ser navegável, ela se tornará inútil

Fiz uma lista de melhorias que acho que podem ser feitas no artigo e gostaria de ouvir a opinião de outros usuários. Se eu não ouvir objeções até maio, irei implementá-las:

  • Organizando as tabelas
    • 1. Transformar os links OEIS em referências embutidas e colocá-los pela expansão decimal dos números. Isso ocorre porque a coluna não adiciona nenhuma informação direta; ela é apenas um link clicável que funcionaria tão bem quanto um link em outra coluna
    • 2. Removendo a seção de código do Wolfram Alpha. Esta coluna é essencialmente apenas uma reiteração da coluna Fórmula.
    • 3. Transformar a coluna 'Figura' em uma galeria no final de cada mesa. Apenas algumas poucas constantes derivadas de geometria / geometria analítica terão números relevantes que podem ser facilmente interpretados. Para a grande maioria das entradas no artigo, ele não tem figura ou não tem sentido sem uma legenda. Qualquer figura complicada será impossível de interpretar sem uma legenda suficientemente descritiva.
    • 1. Transformar todas as constantes em notas de rodapé se forem meramente modificações triviais. Caso em questão, 1 / pi, 1 / e, 1 / (2 * pi), etc. Estes não são suficientemente diferentes da constante original para realmente ter alguma nota particular.
    • 2. Metade das fórmulas listadas no artigo são formas completamente complicadas de expressar a constante. Por que sqrt (5) é representado como uma soma de exponenciais complexas? Isso é totalmente ridículo. Chame uma pá de pá. Claramente sqrt (5) é ox tal que x ^ 2 = 5.
    • 3. Estabeleça uma lista de critérios a serem seguidos para inclusão no artigo. Por exemplo, se eles recebem (1) um nome, (2) são suficientemente notáveis ​​(3) não são modificações triviais de outras constantes, etc. Sem isso, algum constante que já foi usada em um artigo publicado seria incluída na tabela, o que é estúpido. A lista teria 100.000 entradas. Wikipedia não é um diretório, é um site de artigos sobre notável coisas. No entanto, reconheço que este critério de 'notabilidade' irá - como acontece com todas as coisas na Wikipedia - exigir julgamentos subjetivos. Portanto, proponho que as constantes no artigo sejam examinadas quanto à sua notabilidade e removidas se não forem suficientemente notáveis.

    Não tenho certeza de quais constantes merecem inclusão neste artigo, mas há uma que gosto que esteja faltando. É do artigo de 1936 de Einar Hille Um problema em "Factorisatio Numerorum". Um número inteiro positivo pode ser fatorado no produto de números inteiros maiores que 1 de várias maneiras. Por exemplo, 12 pode ser escrito de oito maneiras distintas quando a ordem dos fatores importa: 12 = 6 × 2 = 4 × 3 = 3 × 4 = 3 × 2 × 2 = 2 × 6 = 2 × 3 × 2 = 2 × 2 × 3. Em alguns casos, um grande número n pode ser escrito em n ρ caminhos onde ρ = ζ −1 (2) ≈ 1,72 e ζ -1 é o inverso da função zeta de Riemann. Essa é a constante que eu gostaria de ver. 165.156.39.49 (falar) 14:44, 17 de junho de 2019 (UTC)

    Olá, 165.156.39.49. Esta é uma boa sugestão, mas o consenso sobre o artigo é adicionar apenas constantes que possuem artigos. Isso é para restringir a possibilidade de adicionar milhares de constantes indiscutivelmente notáveis ​​à página. Portanto, o inverso da função zeta de Riemann em 2 ainda não se encaixaria nesse critério. No futuro, não é uma má ideia ser ousado nas suas edições e fazer qualquer alteração que considere necessária: WP: OUSADO. Páginas como esta podem estagnar se não tiverem edições com frequência. Examinar os arquivos da página de discussão em busca de discussões sobre mudanças que você gostaria de propor e ousar com as edições que você acha que são úteis pode ser uma ótima maneira de promover melhorias no artigo. Jamgoodman () 15:09, 17 de junho de 2019 (UTC) Você considerou adicioná-lo aos valores particulares do artigo da função zeta de Riemann (que acabei de associar no Veja também)? NeilOnWiki () 13:39, 21 de março de 2021 (UTC)

    Se você acha que detectou um erro, seja ousado e vá em frente: faça a mudança que achar adequada. Sem pessoas adicionando citações ou removendo conteúdo não confiável, a página ficará estagnada e propagará informações incorretas. Se você encontrar uma citação para essa série, adicione-a. Se não houver um, sinta-se à vontade para removê-lo da página. Jamgoodman () 17:19, 9 de junho de 2020 (UTC)

    Em primeiro lugar, gostaria de elogiar @Deacon Vorbis:, @ XOR'easter: e @Joel B. Lewis: por sua ajuda na limpeza deste artigo. Estava uma bagunça total antes do ano passado e demorei muitas horas para desmontá-lo e remover o cotão. Acho que para um artigo como este, é fácil preenchê-lo com exemplos dignos de nota, pois há muitas constantes para incluir em um único artigo. Eu detalhei em (uma seção anterior desta página de discussão) minhas sugestões para critérios para constantes serem suficientemente notáveis ​​para serem incluídas.

    O motivo pelo qual classifiquei o artigo por uma coluna "Ano (de descoberta)" foi para agrupar as constantes "mesmas" (por exemplo, pi x 2pi). Classificando o artigo pelo valor das constantes significa que essas duas constantes estariam distantes, apesar de sua óbvia similaridade (o que tornava mais difícil remover duplicatas como essas). Além disso, deve haver uma maneira de separar a página e não ter uma lista ridiculamente longa (por exemplo, por períodos de tempo). no entanto, o ano da descoberta de muitas das constantes aqui não pode ser facilmente encontrado, então, recorri a incluir a data mais antiga que pude encontrar de sua menção (em todos esses casos, incluí "Antes" com a data). Mas esta não é uma solução ideal, uma vez que se baseia em pesquisas originais e a data mais antiga que eu encontrar pode não estar em qualquer lugar perto da verdadeira data da descoberta.

    Portanto, outra maneira de classificar a página seria em ordem alfabética pelo nome da constante. No entanto, isso dependeria de removendo todas as constantes não nomeadas. Se as pessoas pudessem dar suas opiniões sobre esta decisão, ou fornecer soluções alternativas, eu os encorajo a contribuir para a página de discussão. Muito obrigado, Jamgoodman () 19:14, 18 de junho de 2020 (UTC)

    Isso parece uma quantidade incrível de trabalho para todos. Pessoalmente, gosto da ordem cronológica, que dá uma sensação de desenvolvimento de ideias e provavelmente atua como um proxy para aumentar o nível de conhecimento do leitor. Se eu precisar de um valor nomeado, posso facilmente fazer uma pesquisa de string na página, mas não pesquisar automaticamente por período de tempo. As tabelas são (obviamente) muito largas e eu me pergunto se valeria a pena dividi-las em duas dentro de cada seção, onde a primeira é descritiva (nome, símbolo, fórmula, ano, conjunto? - Não tenho certeza de onde o conjunto deve ir ) e o segundo é baseado em valor (nome, símbolo, valor, fonte (s)). Uma coluna de origem (que suspeito que tínhamos antes) manteria a origem com o valor e forneceria acesso de clique único, sem uma longa lista separada no final do artigo. Acho que valeria a pena receber feedback de alguém com muito mais conhecimento sobre acessibilidade do que eu sobre isso, mas espero que esse seja o tipo de opinião que você deseja. () 14:28, 21 de março de 2021 (UTC) Eu gostaria apenas de ponderar Acho que aliviaria muitas dessas questões se houvesse alguma maneira de dividir as constantes por notabilidade de alguma forma. Ashorocetus (falar | contribs) 18:17, 21 de março de 2021 (UTC)

    Não gosto da limpeza deste artigo e acho que deveria ser apenas uma mesa gigante novamente classificada pelo valor das constantes. 63.227.221.214 (falar) 19:54, 24 de maio de 2021 (UTC)


    Chame essa soma de $ S $. Agora subtraia de $ S $ a soma $ frac <1> <4> + frac <1> <4 ^ 2> + frac <1> <4 ^ 3> + cdots. $ Se fizermos isso no maneira óbvia, termo por termo, obtemos $ frac <1> <4 ^ 2> + frac <2> <4 ^ 3> + frac <3> <4 ^ 4> + cdots. $

    Observe que esta última soma é $ (1/4) S $.

    Juntando as coisas e usando seu cálculo para $ 1 + 1/4 + 1/4 ^ 2 + cdots $ (não exatamente, começamos em $ 1/4 $), obtemos $ S- frac <1> <3> = frac<4>. $ Resolva para $ S $. Descobrimos que $ S = 4/9 $.

    Comente: O cálculo é um pouco desleixado, ele assume que somas infinitas podem ser manipuladas de forma muito semelhante a somas finitas. Lá está teoremas sobre séries de potências que podem ser usados ​​para justificar as manipulações.

    Mas (neste caso) não precisamos de tais teoremas. Seja $ S_n $ a soma dos termos até o termo $ n / 4 ^ n $. Mais ou menos o mesmo tipo de cálculo que fiz pode ser usado para encontrar uma fórmula explícita para $ S_n $. Então podemos calcular $ lim_S_n $, e obtenha uma derivação totalmente rigorosa.

    Poderíamos usar os resultados do cálculo de $ sum n / 4 ^ n $ para resolver $ sum n ^ 2/4 ^ n $ e assim por diante. Mas a abordagem dos derivados é certamente mais esperta!


    A tabela a seguir contém algumas constantes matemáticas importantes:

    Nome Símbolo Valor Significado
    Pi, constante de Arquimedes ou número de Ludoph π ≈3.141592653589793 Um número transcendental que é a razão entre o comprimento da circunferência de um círculo e seu diâmetro. É também a área do círculo unitário.
    E, constante de Napier e ≈2.718281828459045 Um número transcendental que é a base dos logaritmos naturais, às vezes chamado de "número natural".
    proporção áurea φ 5 + 1 2 ≈ 1,618 < displaystyle < frac << sqrt <5>>+1> <2>> approx 1,618> É o valor de um valor maior dividido por um valor menor se for igual ao valor da soma dos valores dividido pelo valor maior.
    Raiz quadrada de 2, constante de Pitágoras 2 < displaystyle < sqrt <2> >> ≈ 1.414 Um número irracional que é o comprimento da diagonal de um quadrado com lados de comprimento 1. Esse número não pode ser escrito como uma fração.

    A tabela a seguir contém uma lista de constantes e séries em matemática, com as seguintes colunas:

    • Valor: Valor numérico da constante.
    • Látex: Fórmula ou série em formato TeX.
    • Fórmula: Para uso em programas como Mathematica ou Wolfram Alpha.
    • OEIS: Link para a Enciclopédia On-Line de Sequências Inteiras (OEIS), onde as constantes estão disponíveis com mais detalhes.
    • Fração contínua: Na forma simples [para o inteiro frac1, frac2, frac3,. ] (entre parênteses se for periódico)
    • Modelo:
      • R - número racional
      • I - número irracional
      • T - número transcendental
      • C - número complexo

      Observe que a lista pode ser ordenada de forma correspondente clicando no título do cabeçalho na parte superior da tabela.


      Conteúdo

      O símbolo usado pelos matemáticos para representar a proporção da circunferência de um círculo em relação ao seu diâmetro é a letra grega minúscula π, às vezes soletrada como pi, e derivado da primeira letra da palavra grega perímetros, significando circunferência. [11] Em inglês, π é pronunciado como "pie" (/ p aɪ / PY ) [12] No uso matemático, a letra minúscula π se distingue de sua contraparte ampliada e maiúscula ∏, que denota um produto de uma sequência, análogo a como ∑ denota soma.

      A escolha do símbolo π é discutida na seção Adoção do símbolo π .

      Definição

      π é comumente definido como a proporção da circunferência de um círculo C ao seu diâmetro d : [13] [3]

      A proporção C/d é constante, independentemente do tamanho do círculo. Por exemplo, se um círculo tem o dobro do diâmetro de outro círculo, ele também terá o dobro da circunferência, preservando a proporção C/d . Esta definição de π faz uso implicitamente da geometria plana (euclidiana), embora a noção de um círculo possa ser estendida a qualquer geometria de curva (não euclidiana), esses novos círculos não irão mais satisfazer a fórmula π = C/d . [13]

      Aqui, a circunferência de um círculo é o comprimento do arco em torno do perímetro do círculo, uma quantidade que pode ser definida formalmente independentemente da geometria usando limites - um conceito em cálculo. [14] Por exemplo, pode-se calcular diretamente o comprimento do arco da metade superior do círculo unitário, dado em coordenadas cartesianas pela equação x 2 + y 2 = 1, como o integral: [15]

      Uma integral como essa foi adotada como a definição de π por Karl Weierstrass, que a definiu diretamente como uma integral em 1841. [a]

      A integração não é mais comumente usada em uma primeira definição analítica porque, como explica Remmert 2012, o cálculo diferencial normalmente precede o cálculo integral no currículo universitário, então é desejável ter uma definição de π que não dependa do último. Uma dessas definições, devido a Richard Baltzer [16] e popularizada por Edmund Landau, [17] é a seguinte: π é duas vezes o menor número positivo em que a função cosseno é igual a 0. [13] [15] [18] O cosseno pode ser definida independentemente da geometria como uma série de potências, [19] ou como a solução de uma equação diferencial. [18]

      Em um espírito semelhante, π pode ser definido usando propriedades do exponencial complexo, exp z , de uma variável complexa z . Como o cosseno, o exponencial complexo pode ser definido de várias maneiras. O conjunto de números complexos em que exp z é igual a um é então uma progressão aritmética (imaginária) da forma:

      e há um número real positivo único π com essa propriedade. [15] [20]

      Uma variação mais abstrata da mesma ideia, fazendo uso de conceitos matemáticos sofisticados de topologia e álgebra, é o seguinte teorema: [21] há um único (até automorfismo) isomorfismo contínuo do grupo R/Z de números reais sob números inteiros de módulo de adição (o grupo de círculo), para o grupo multiplicativo de números complexos de valor absoluto um. O número π é então definido como a metade da magnitude da derivada desse homomorfismo. [22]

      Irracionalidade e normalidade

      Os dígitos de π não têm padrão aparente e passaram nos testes de aleatoriedade estatística, incluindo testes de normalidade. Um número de comprimento infinito é chamado de normal quando todas as sequências possíveis de dígitos (de qualquer comprimento dado) aparecem com a mesma frequência. [25] A conjectura de que π é normal não foi provada ou refutada. [25]

      Desde o advento dos computadores, um grande número de dígitos de π estão disponíveis para realizar análises estatísticas. Yasumasa Kanada realizou análises estatísticas detalhadas nos dígitos decimais de π e os considerou consistentes com a normalidade. Por exemplo, as frequências dos dez dígitos de 0 a 9 foram submetidas a testes de significância estatística e nenhuma evidência de um padrão foi encontrada. [26] Qualquer sequência aleatória de dígitos contém subsequências arbitrariamente longas que parecem não aleatórias, pelo teorema do macaco infinito. Assim, como a sequência de dígitos de π passa nos testes estatísticos de aleatoriedade, ela contém algumas sequências de dígitos que podem parecer não aleatórios, como uma sequência de seis 9s consecutivos que começa na 762ª casa decimal da representação decimal de π . [27] Isso também é chamado de "ponto de Feynman" no folclore matemático, após Richard Feynman, embora nenhuma conexão com Feynman seja conhecida.

      Transcendência

      A transcendência de π tem duas consequências importantes: primeiro, π não pode ser expresso usando qualquer combinação finita de números racionais e raízes quadradas ou n-ésimas raízes (como 3 √ 31 ou √ 10). Em segundo lugar, uma vez que nenhum número transcendental pode ser construído com compasso e régua, não é possível "quadrar o círculo". Em outras palavras, é impossível construir, usando apenas o compasso e a régua, um quadrado cuja área seja exatamente igual à área de um determinado círculo. [29] Quadrar um círculo era um dos problemas de geometria importantes da antiguidade clássica. [30] Matemáticos amadores nos tempos modernos às vezes tentam fazer a quadratura do círculo e reivindicar o sucesso - apesar do fato de que é matematicamente impossível. [31]

      Frações contínuas

      Como todos os números irracionais, π não pode ser representado como uma fração comum (também conhecida como fração simples ou vulgar), pela própria definição de número irracional (ou seja, não um número racional). Mas todo número irracional, incluindo π, pode ser representado por uma série infinita de frações aninhadas, chamada de fração contínua:

      Truncar a fração contínua em qualquer ponto resulta em uma aproximação racional para π. Os quatro primeiros são 3, 22/7, 333/106 e 355/113. Esses números estão entre as aproximações históricas mais conhecidas e amplamente utilizadas da constante. Cada aproximação gerada dessa forma é a melhor aproximação racional, ou seja, cada uma está mais próxima de π do que qualquer outra fração com o mesmo ou um denominador menor. [32] Como π é conhecido como transcendental, por definição não é algébrico e, portanto, não pode ser um irracional quadrático. Portanto, π não pode ter uma fração contínua periódica. Embora a fração contínua simples para π (mostrado acima) também não exiba nenhum outro padrão óbvio, [33] os matemáticos descobriram várias frações contínuas generalizadas que exibem, como: [34]

      Valor aproximado e dígitos

      • Inteiros: 3
      • Frações: As frações aproximadas incluem (em ordem crescente de precisão)
      • 22 / 7 ,
      • 333 / 106 ,
      • 355 / 113 ,
      • 52163 / 16604 ,
      • 103993 / 33102 ,
      • 104348/33215, e
      • 245850922/78256779. [32] (A lista é termos selecionados de OEIS: A063674 e OEIS: A063673.)
      • Dígitos: Os primeiros 50 dígitos decimais são 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510. [35] (ver OEIS: A000796)

      Dígitos em outros sistemas numéricos

      • Os primeiros 48 dígitos binários (base 2) (chamados bits) são 11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011. (consulte OEIS: A004601)
      • Os primeiros 20 dígitos em hexadecimal (base 16) são 3.243F 6A88 85A3 08D3 1319. [36] (ver OEIS: A062964)
      • Os primeiros cinco dígitos sexagesimais (base 60) são 38,29,44,0,47 [37] (ver OEIS: A060707)

      Números complexos e identidade de Euler

      Qualquer número complexo, digamos z , pode ser expresso usando um par de números reais. No sistema de coordenadas polares, um número (raio ou r) é usado para representar z a distância da origem do plano complexo, e o outro (ângulo ou φ) a rotação no sentido anti-horário a partir da linha real positiva: [38]

      Onde eu é a unidade imaginária que satisfaz eu 2 = -1. O aparecimento frequente de π na análise complexa pode estar relacionado ao comportamento da função exponencial de uma variável complexa, descrita pela fórmula de Euler: [39]

      onde a constante e é a base do logaritmo natural. Esta fórmula estabelece uma correspondência entre poderes imaginários de e e pontos no círculo unitário centrado na origem do plano complexo. Configuração φ = π na fórmula de Euler resulta na identidade de Euler, celebrada na matemática por conter as cinco constantes matemáticas mais importantes: [39] [40]

      Existem n diferentes números complexos z satisfatório z n = 1, e estes são chamados de " n -ésimas raízes da unidade "[41] e são dadas pela fórmula:

      Antiguidade

      As aproximações mais conhecidas para datação de π antes da Era Comum eram precisas com duas casas decimais, o que foi melhorado na matemática chinesa em particular em meados do primeiro milênio, com uma precisão de sete casas decimais. Depois disso, nenhum progresso foi feito até o final do período medieval.

      Era de aproximação de polígono

      O astrônomo persa Jamshīd al-Kāshī produziu 9 dígitos sexagesimais, aproximadamente o equivalente a 16 dígitos decimais, em 1424 usando um polígono com 3 × 2 28 lados, [65] [66] que permaneceu como o recorde mundial por cerca de 180 anos. [67] O matemático francês François Viète em 1579 alcançou 9 dígitos com um polígono de 3 × 2 17 lados. [67] O matemático flamengo Adriaan van Roomen chegou a 15 casas decimais em 1593. [67] Em 1596, o matemático holandês Ludolph van Ceulen atingiu 20 dígitos, um recorde que posteriormente aumentou para 35 dígitos (como resultado, π foi chamado de "Ludolphian número "na Alemanha até o início do século 20). [68] O cientista holandês Willebrord Snellius atingiu 34 dígitos em 1621, [69] e o astrônomo austríaco Christoph Grienberger chegou a 38 dígitos em 1630 usando 10 40 lados, [70] que continua sendo a aproximação mais precisa alcançada manualmente usando algoritmos poligonais. [69]

      Série infinita

      O cálculo de π foi revolucionado pelo desenvolvimento de técnicas de séries infinitas nos séculos XVI e XVII. Uma série infinita é a soma dos termos de uma sequência infinita. [71] As séries infinitas permitiram aos matemáticos calcular π com muito mais precisão do que Arquimedes e outros que usaram técnicas geométricas. [71] Embora as séries infinitas tenham sido exploradas para π mais notavelmente por matemáticos europeus como James Gregory e Gottfried Wilhelm Leibniz, a abordagem foi descoberta pela primeira vez na Índia entre 1400 e 1500 DC. [72] [73] A primeira descrição escrita de uma série infinita que poderia ser usada para calcular π foi apresentada em verso sânscrito pelo astrônomo indiano Nilakantha Somayaji em seu Tantrasamgraha, por volta de 1500 DC. [74] As séries são apresentadas sem provas, mas as provas são apresentadas em uma obra indiana posterior, Yuktibhāṣā, por volta de 1530 DC. Nilakantha atribui a série a um matemático indiano anterior, Madhava de Sangamagrama, que viveu c. 1350 - c. 1425. [74] Várias séries infinitas são descritas, incluindo séries de seno, tangente e cosseno, que agora são chamadas de série de Madhava ou série de Gregory-Leibniz. [74] Madhava usou séries infinitas para estimar π em 11 dígitos por volta de 1400, mas esse valor foi melhorado por volta de 1430 pelo matemático persa Jamshīd al-Kāshī, usando um algoritmo poligonal. [75]

      A primeira sequência infinita descoberta na Europa foi um produto infinito (em vez de uma soma infinita, que é mais comumente usado em cálculos π) encontrado pelo matemático francês François Viète em 1593: [77] [78] [79]

      A descoberta do cálculo, pelo cientista inglês Isaac Newton e o matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz na década de 1660, levou ao desenvolvimento de muitas séries infinitas para aproximar π. O próprio Newton usou uma série de arcsin para calcular uma aproximação de 15 dígitos de π em 1665 ou 1666, escrevendo mais tarde "Tenho vergonha de dizer a você quantas algarismos carreguei esses cálculos, não tendo nenhum outro assunto na época." [76]

      Na Europa, a fórmula de Madhava foi redescoberta pelo matemático escocês James Gregory em 1671 e por Leibniz em 1674: [80] [81]

      Esta fórmula, a série de Gregory-Leibniz, é igual a π / 4 quando avaliada com z = 1. [81] Em 1699, o matemático inglês Abraham Sharp usou a série Gregory – Leibniz para z = 1 3 < textstyle z = < frac <1> < sqrt <3> >>> para calcular π com 71 dígitos , quebrando o recorde anterior de 39 dígitos, que foi definido com um algoritmo poligonal. [82] A série de Gregory – Leibniz para z = 1 < displaystyle z = 1> é simples, mas converge muito lentamente (ou seja, aproxima-se da resposta gradualmente), por isso não é usada em cálculos π modernos. [83]

      Em 1706, John Machin usou a série Gregory – Leibniz para produzir um algoritmo que convergiu muito mais rápido: [84]

      Machin atingiu 100 dígitos de π com esta fórmula. [85] Outros matemáticos criaram variantes, agora conhecidas como fórmulas semelhantes a Machin, que foram usadas para definir vários registros sucessivos para calcular dígitos de π. [85] Fórmulas semelhantes a máquinas permaneceram o método mais conhecido para calcular π bem na era dos computadores e foram usadas para estabelecer recordes por 250 anos, culminando em uma aproximação de 620 dígitos em 1946 por Daniel Ferguson - a melhor aproximação alcançada sem a ajuda de um dispositivo de cálculo. [86]

      Um recorde foi estabelecido pelo calculista prodígio Zacharias Dase, que em 1844 empregou uma fórmula semelhante à de Machin para calcular 200 decimais de π em sua cabeça a pedido do matemático alemão Carl Friedrich Gauss. [87] O matemático britânico William Shanks levou 15 anos para calcular π para 707 dígitos, mas cometeu um erro no 528º dígito, tornando todos os dígitos subsequentes incorretos. [87]

      Taxa de convergência

      Algumas séries infinitas para π convergem mais rápido do que outras. Dada a escolha de duas séries infinitas para π, os matemáticos geralmente usarão aquela que converge mais rapidamente porque a convergência mais rápida reduz a quantidade de computação necessária para calcular π para qualquer precisão dada. [88] Uma série infinita simples para π é a série de Gregory – Leibniz: [89]

      À medida que os termos individuais dessa série infinita são adicionados à soma, o total gradualmente se aproxima de π e - com um número suficiente de termos - pode chegar tão próximo de π quanto desejado. Porém, ele converge muito lentamente - depois de 500.000 termos, ele produz apenas cinco dígitos decimais corretos de π. [90]

      Uma série infinita para π (publicada por Nilakantha no século 15) que converge mais rapidamente do que a série Gregory-Leibniz é: [91] Observe que (n − 1)n(n + 1) = n 3 − n. [92]

      A tabela a seguir compara as taxas de convergência dessas duas séries:

      Série infinita para π Após o 1º semestre Após o 2º período Após o 3º período Após o 4º período Após o 5º período Converge para:
      π = 4 1 - 4 3 + 4 5 - 4 7 + 4 9 - 4 11 + 4 13 + ⋯ < displaystyle pi = < frac <4> <1>> - < frac <4> <3> > + < frac <4> <5>> - < frac <4> <7>> + < frac <4> <9>> - < frac <4> <11>> + < frac < 4> <13>> + cdots> 4.0000 2.6666 . 3.4666 . 2.8952 . 3.3396 . π = 3,1415.
      π = 3 + 4 2 × 3 × 4 - 4 4 × 5 × 6 + 4 6 × 7 × 8 + ⋯ < displaystyle pi = <3> + < frac <4> <2 vezes 3 vezes 4 >> - < frac <4> <4 vezes 5 vezes 6 >> + < frac <4> <6 vezes 7 vezes 8 >> + cdots> 3.0000 3.1666 . 3.1333 . 3.1452 . 3.1396 .

      Depois de cinco termos, a soma da série de Gregory-Leibniz está dentro de 0,2 do valor correto de π, enquanto a soma da série de Nilakantha está dentro de 0,002 do valor correto de π. A série de Nilakantha converge mais rápido e é mais útil para calcular dígitos de π. As séries que convergem ainda mais rápido incluem a série de Machin e a série de Chudnovsky, a última produzindo 14 dígitos decimais corretos por termo. [88]

      Irracionalidade e transcendência

      Nem todos os avanços matemáticos relacionados a π tiveram como objetivo aumentar a precisão das aproximações. Quando Euler resolveu o problema de Basel em 1735, encontrando o valor exato da soma dos quadrados recíprocos, ele estabeleceu uma conexão entre π e os números primos que mais tarde contribuíram para o desenvolvimento e estudo da função zeta de Riemann: [93]

      O cientista suíço Johann Heinrich Lambert em 1761 provou que π é irracional, o que significa que não é igual ao quociente de quaisquer dois números inteiros. [23] A prova de Lambert explorou uma representação de fração contínua da função tangente. [94] O matemático francês Adrien-Marie Legendre provou em 1794 que π 2 também é irracional. Em 1882, o matemático alemão Ferdinand von Lindemann provou que π é transcendental, [95] confirmando uma conjectura feita por Legendre e Euler. [96] [97] Hardy e Wright afirmam que "as provas foram posteriormente modificadas e simplificadas por Hilbert, Hurwitz e outros escritores". [98]

      Adoção do símbolo π

      Nos primeiros usos, a letra grega π era uma abreviatura da palavra grega para periferia (περιφ featureεια), [100] e era combinada em proporções com δ (para diâmetro) ou ρ (para raio) para formar constantes de círculo. [101] [102] [103] (Antes disso, os matemáticos às vezes usavam letras como c ou p em vez de. [104]) O primeiro uso registrado é o "δ. Π < displaystyle delta. Pi>" de Oughtred, para expressar a proporção de periferia e diâmetro em 1647 e edições posteriores de Clavis Mathematicae. [105] [104] Barrow da mesma forma usou "π δ < textstyle < frac < pi> < delta >>>" para representar a constante 3.14. [106] enquanto Gregory usou "π ρ < textstyle < frac < pi> < rho >>>" para representar 6,28. . [107] [102]

      O primeiro uso conhecido da letra grega π sozinha para representar a proporção da circunferência de um círculo em relação ao seu diâmetro foi feito pelo matemático galês William Jones em seu trabalho de 1706 Sinopse Palmariorum Matheseos ou, uma nova introdução à matemática. [108] [109] A letra grega aparece pela primeira vez lá na frase "1/2 Periferia (π)" na discussão de um círculo com raio um. [110] No entanto, ele escreve que suas equações para π são da "caneta pronta do verdadeiramente engenhoso Sr. John Machin", levando à especulação de que Machin pode ter empregado a letra grega antes de Jones. [104] A notação de Jones não foi imediatamente adotada por outros matemáticos, com a notação de fração ainda sendo usada até 1767. [101] [111]

      Euler começou a usar o formulário de uma única letra, começando com seu Ensaio que explica as propriedades do ar, embora ele tenha usado π = 6,28. , a relação entre o raio e a periferia, neste e em alguns escritos posteriores. [112] [113] Euler primeiro usou π = 3,14. em seu trabalho de 1736 Mechanica, [114] e continuou em sua obra amplamente lida de 1748 Introductio in analysin infinitorum (ele escreveu: "por uma questão de brevidade, escreveremos este número como π, portanto, π é igual a metade da circunferência de um círculo de raio 1"). [115] Como Euler se correspondia fortemente com outros matemáticos na Europa, o uso da letra grega se espalhou rapidamente, e a prática foi universalmente adotada depois disso no mundo ocidental, [104] embora a definição ainda variasse entre 3,14. e 6,28. até 1761. [116]

      Era do computador e algoritmos iterativos

      Então, uma estimativa para π é dada por

      O desenvolvimento dos computadores em meados do século 20 revolucionou novamente a busca pelos dígitos de π. Os matemáticos John Wrench e Levi Smith alcançaram 1.120 dígitos em 1949 usando uma calculadora de mesa. [117] Usando uma série infinita de tangente inversa (arctan), uma equipe liderada por George Reitwiesner e John von Neumann naquele mesmo ano atingiu 2.037 dígitos com um cálculo que consumiu 70 horas de tempo de computador no computador ENIAC.[118] [119] O recorde, sempre baseado em uma série arctan, foi quebrado repetidamente (7.480 dígitos em 1957 10.000 dígitos em 1958 100.000 dígitos em 1961) até que 1 milhão de dígitos foram alcançados em 1973. [118]

      Dois desenvolvimentos adicionais por volta de 1980 mais uma vez aceleraram a capacidade de calcular π. Primeiro, a descoberta de novos algoritmos iterativos para calcular π, que eram muito mais rápidos do que a série infinita e, segundo, a invenção de algoritmos de multiplicação rápida que podiam multiplicar grandes números muito rapidamente. [120] Esses algoritmos são particularmente importantes em cálculos π modernos porque a maior parte do tempo do computador é dedicado à multiplicação. [121] Eles incluem o algoritmo Karatsuba, multiplicação de Toom-Cook e métodos baseados na transformada de Fourier. [122]

      Os algoritmos iterativos foram publicados de forma independente em 1975-1976 pelo físico Eugene Salamin e pelo cientista Richard Brent. [123] Isso evita a dependência de séries infinitas. Um algoritmo iterativo repete um cálculo específico, cada iteração usando as saídas das etapas anteriores como suas entradas e produz um resultado em cada etapa que converge para o valor desejado. A abordagem foi inventada mais de 160 anos antes por Carl Friedrich Gauss, no que agora é denominado método da média aritmética-geométrica (método AGM) ou algoritmo Gauss-Legendre. [123] Conforme modificado por Salamin e Brent, também é conhecido como o algoritmo Brent-Salamin.

      Os algoritmos iterativos foram amplamente usados ​​depois de 1980 porque são mais rápidos do que os algoritmos de série infinita: enquanto as séries infinitas normalmente aumentam o número de dígitos corretos em termos sucessivos, os algoritmos iterativos geralmente multiplicar o número de dígitos corretos em cada etapa. Por exemplo, o algoritmo Brent-Salamin dobra o número de dígitos em cada iteração. Em 1984, os irmãos John e Peter Borwein produziram um algoritmo iterativo que quadruplica o número de dígitos em cada etapa e, em 1987, aumenta o número de dígitos cinco vezes em cada etapa. [124] Métodos iterativos foram usados ​​pelo matemático japonês Yasumasa Kanada para estabelecer vários recordes para calcular π entre 1995 e 2002. [125] Essa rápida convergência tem um preço: os algoritmos iterativos requerem significativamente mais memória do que séries infinitas. [125]

      Motivos para calcular π

      Para a maioria dos cálculos numéricos envolvendo π, alguns dígitos fornecem precisão suficiente. De acordo com Jörg Arndt e Christoph Haenel, trinta e nove dígitos são suficientes para realizar a maioria dos cálculos cosmológicos, porque essa é a precisão necessária para calcular a circunferência do universo observável com a precisão de um átomo. [126] Considerando os dígitos adicionais necessários para compensar os erros de arredondamento computacional, Arndt conclui que algumas centenas de dígitos seriam suficientes para qualquer aplicação científica. Apesar disso, as pessoas trabalharam arduamente para calcular π para milhares e milhões de dígitos. [127] Este esforço pode ser parcialmente atribuído à compulsão humana de quebrar recordes, e tais conquistas com π muitas vezes chegam às manchetes em todo o mundo. [128] [129] Eles também têm benefícios práticos, como testar supercomputadores, testar algoritmos de análise numérica (incluindo algoritmos de multiplicação de alta precisão) e dentro da própria matemática pura, fornecendo dados para avaliar a aleatoriedade dos dígitos de π. [130]

      Série rapidamente convergente

      As calculadoras π modernas não usam algoritmos iterativos exclusivamente. Novas séries infinitas foram descobertas nas décadas de 1980 e 1990 que são tão rápidas quanto algoritmos iterativos, mas são mais simples e requerem menos memória. [125] Os algoritmos iterativos rápidos foram antecipados em 1914, quando o matemático indiano Srinivasa Ramanujan publicou dezenas de novas fórmulas inovadoras para π, notáveis ​​por sua elegância, profundidade matemática e convergência rápida. [131] Uma de suas fórmulas, baseada em equações modulares, é

      Esta série converge muito mais rapidamente do que a maioria das séries arctan, incluindo a fórmula de Machin. [132] Bill Gosper foi o primeiro a usá-lo para avanços no cálculo de π, estabelecendo um recorde de 17 milhões de dígitos em 1985. [133] As fórmulas de Ramanujan anteciparam os algoritmos modernos desenvolvidos pelos irmãos Borwein (Jonathan e Peter) e os Irmãos Chudnovsky. [134] A fórmula de Chudnovsky desenvolvida em 1987 é

      Ele produz cerca de 14 dígitos de π por termo, [135] e tem sido usado para vários cálculos de π para estabelecer recordes, incluindo o primeiro a ultrapassar 1 bilhão (10 9) de dígitos em 1989 pelos irmãos Chudnovsky, 10 trilhões (10 13) dígitos em 2011 por Alexander Yee e Shigeru Kondo, [136] mais de 22 trilhões de dígitos em 2016 por Peter Trueb [137] [138] e 50 trilhões de dígitos por Timothy Mullican em 2020. [139] Para fórmulas semelhantes, veja também o Ramanujan– Sato series.

      Em 2006, o matemático Simon Plouffe usou o algoritmo de relação inteira PSLQ [140] para gerar várias novas fórmulas para π, de acordo com o seguinte modelo:

      Onde q é e π (Constante de Gelfond), k é um número ímpar, e uma, b, c são certos números racionais que Plouffe calculou. [141]

      Métodos de Monte Carlo

      Os métodos de Monte Carlo, que avaliam os resultados de vários testes aleatórios, podem ser usados ​​para criar aproximações de π. [142] A agulha de Buffon é uma dessas técnicas: se uma agulha de comprimento caiu n vezes em uma superfície na qual linhas paralelas são traçadas t unidades separadas, e se x dessas vezes vem para descansar cruzando uma linha ( x & gt 0), então pode-se aproximar π com base nas contagens: [143]

      Outro método de Monte Carlo para calcular π é desenhar um círculo inscrito em um quadrado e colocar pontos aleatoriamente no quadrado. A proporção dos pontos dentro do círculo em relação ao número total de pontos será aproximadamente igual a π / 4. [144]

      Outra maneira de calcular π usando a probabilidade é começar com um passeio aleatório, gerado por uma sequência de sorteios (justos): variáveis ​​aleatórias independentes Xk de tal modo que Xk ∈ <−1,1> com probabilidades iguais. O passeio aleatório associado é

      de modo que, para cada n, Cn é extraído de uma distribuição binomial deslocada e escalonada. Como n varia, Cn define um processo estocástico (discreto). Então π pode ser calculado por [145]

      Este método de Monte Carlo é independente de qualquer relação com os círculos e é uma consequência do teorema do limite central, discutido abaixo.

      Esses métodos de Monte Carlo para aproximar π são muito lentos em comparação com outros métodos e não fornecem nenhuma informação sobre o número exato de dígitos obtidos. Portanto, eles nunca são usados ​​para aproximar π quando a velocidade ou a precisão são desejadas. [146]

      Algoritmos Spigot

      Dois algoritmos foram descobertos em 1995 que abriram novos caminhos de pesquisa em π. Eles são chamados de algoritmos de torneira porque, como a água pingando de uma torneira, eles produzem dígitos únicos de π que não são reutilizados após serem calculados. [147] [148] Isso está em contraste com as séries infinitas ou algoritmos iterativos, que retêm e usam todos os dígitos intermediários até que o resultado final seja produzido. [147]

      Os matemáticos Stan Wagon e Stanley Rabinowitz produziram um algoritmo spigot simples em 1995. [148] [149] [150] Sua velocidade é comparável aos algoritmos arctan, mas não tão rápida quanto os algoritmos iterativos. [149]

      Outro algoritmo spigot, o algoritmo de extração de dígitos BBP, foi descoberto em 1995 por Simon Plouffe: [151] [152]

      Esta fórmula, ao contrário de outras anteriores, pode produzir qualquer dígito hexadecimal individual de π sem calcular todos os dígitos anteriores. [151] Dígitos binários individuais podem ser extraídos de dígitos hexadecimais individuais, e dígitos octais podem ser extraídos de um ou dois dígitos hexadecimais. Variações do algoritmo foram descobertas, mas ainda não foi encontrado nenhum algoritmo de extração de dígitos que produza rapidamente dígitos decimais. [153] Uma aplicação importante de algoritmos de extração de dígitos é validar novas reivindicações de cálculos π de registro: Depois que um novo registro é reivindicado, o resultado decimal é convertido em hexadecimal e, em seguida, um algoritmo de extração de dígitos é usado para calcular vários dígitos hexadecimais aleatórios próximos no final, se eles corresponderem, isso fornece uma medida de confiança de que todo o cálculo está correto. [136]

      Entre 1998 e 2000, o projeto de computação distribuída PiHex usou a fórmula de Bellard (uma modificação do algoritmo BBP) para calcular o quatrilionésimo (10-15º) bit de π, que acabou sendo 0. [154] Em setembro de 2010, um Yahoo ! O funcionário usou o aplicativo Hadoop da empresa em mil computadores por um período de 23 dias para calcular 256 bits de π no bit dois quatrilionésimo (2 × 10 15), que também é zero. [155]

      Como π está intimamente relacionado ao círculo, ele é encontrado em muitas fórmulas dos campos da geometria e trigonometria, particularmente aquelas relativas a círculos, esferas ou elipses. Outros ramos da ciência, como estatística, física, análise de Fourier e teoria dos números, também incluem π em algumas de suas fórmulas importantes.

      Geometria e trigonometria

      π aparece em fórmulas para áreas e volumes de formas geométricas baseadas em círculos, como elipses, esferas, cones e toros. Abaixo estão algumas das fórmulas mais comuns que envolvem π. [156]

      • A circunferência de um círculo com raio r é 2πr .
      • A área de um círculo com raio r é πr 2 .
      • O volume de uma esfera com raio r é
      • 4/3 πr 3 .
      • A área de superfície de uma esfera com raio r é 4πr 2 .

      As fórmulas acima são casos especiais do volume do nesfera dimensional e a área de superfície de seu limite, o (n-1) -esfera dimensional, dada abaixo.

      Além dos círculos, existem outras curvas de largura constante (orbiformes [157]). Pelo teorema de Barbier, toda curva de largura constante tem perímetro π vezes sua largura. [158] O triângulo de Reuleaux (formado pela interseção de três círculos, cada um centrado onde os outros dois círculos se cruzam [159]) tem a menor área possível para sua largura e o círculo o maior. Também existem curvas suaves não circulares de largura constante. [160]

      Integrais definidos que descrevem circunferência, área ou volume de formas geradas por círculos normalmente têm valores que envolvem π. Por exemplo, uma integral que especifica metade da área de um círculo de raio um é dada por: [161]

      Nessa integral a função √ 1 - x 2 representa a metade superior de um círculo (a raiz quadrada é uma consequência do teorema de Pitágoras), e a integral ∫ 1
      −1 calcula a área entre aquela metade de um círculo e o x eixo.

      As funções trigonométricas dependem de ângulos e os matemáticos geralmente usam radianos como unidades de medida. π desempenha um papel importante nos ângulos medidos em radianos, que são definidos de forma que um círculo completo se estenda por um ângulo de 2 π radianos. [162] A medida do ângulo de 180 ° é igual a π radianos e 1 ° = π / 180 radianos. [162]

      Funções trigonométricas comuns têm períodos que são múltiplos de π, por exemplo, seno e cosseno têm período de 2 π, [163] para qualquer ângulo θ e qualquer inteiro k ,

      Autovalores

      Muitas das aparições de π nas fórmulas da matemática e das ciências têm a ver com sua estreita relação com a geometria. No entanto, π também aparece em muitas situações naturais, aparentemente sem ter nada a ver com geometria.

      Em muitas aplicações, ele desempenha um papel distinto como autovalor. Por exemplo, uma corda vibrante idealizada pode ser modelada como o gráfico de uma função f no intervalo unitário [0,1], com extremidades fixas f(0) = f(1) = 0. Os modos de vibração da corda são soluções da equação diferencial f ″ (x) + λ f (x) = 0 < displaystyle f '' (x) + lambda f (x) = 0>, ou f ″ ( t) = - λ f (x) < displaystyle f '' (t) = - lambda f (x)>. Assim, λ é um autovalor do segundo operador derivado f ↦ f ″ < displaystyle f mapsto f ''>, e é limitado pela teoria de Sturm-Liouville a assumir apenas certos valores específicos. Deve ser positivo, visto que o operador é definido negativo, então é conveniente escrever λ = ν 2, onde ν & gt 0 é chamado de número de onda. Então f(x) = sin (π x) satisfaz as condições de contorno e a equação diferencial com ν = π. [164]

      O valor π é, na verdade, o ao menos tal valor do número de onda, e está associado ao modo fundamental de vibração da corda. Uma maneira de mostrar isso é estimando a energia, que satisfaz a desigualdade de Wirtinger: [165] para uma função f : [0, 1] → ℂ com f(0) = f(1) = 0 e f , f 'ambos quadrados integráveis, temos:

      com igualdade precisamente quando f é um múltiplo de pecado (π x) Aqui π aparece como uma constante ótima na desigualdade de Wirtinger, e segue-se que é o menor número de onda, usando a caracterização variacional do autovalor. Como consequência, π é o menor valor singular do operador derivado no espaço de funções em [0,1] desaparecendo em ambos os pontos finais (o espaço de Sobolev H 0 1 [0, 1] < displaystyle H_ <0> ^ < 1> [0,1]>).

      Desigualdades

      O número π serve aparece em problemas de autovalor semelhantes na análise de dimensão superior. Como mencionado acima, ela pode ser caracterizada por meio de seu papel como a melhor constante na desigualdade isoperimétrica: a área A delimitada por uma curva de Jordan plana de perímetro P satisfaz a desigualdade

      e a igualdade é claramente alcançada para o círculo, já que nesse caso UMA = πr 2 e P = 2πr . [166]

      Em última análise, como consequência da desigualdade isoperimétrica, π aparece na constante ótima para a desigualdade crítica de Sobolev em n dimensões, que assim caracterizam o papel de π em muitos fenômenos físicos também, por exemplo aqueles da teoria clássica do potencial. [167] [168] [169] Em duas dimensões, a desigualdade crítica de Sobolev é

      para f uma função suave com suporte compacto em R 2, ∇ f < displaystyle nabla f> é o gradiente de f, e ‖ f ‖ 2 < displaystyle | f | _ <2>> e ‖ ∇ f ‖ 1 < displaystyle | nabla f | _ <1>> referem-se respectivamente a L 2 e L 1 - norma. A desigualdade de Sobolev é equivalente à desigualdade isoperimétrica (em qualquer dimensão), com as mesmas melhores constantes.

      A desigualdade de Wirtinger também se generaliza para desigualdades de Poincaré de dimensões superiores que fornecem as melhores constantes para a energia de Dirichlet de um nmembrana dimensional. Especificamente, π é a maior constante de tal forma que

      para todos os subconjuntos convexos G do R n de diâmetro 1 e funções quadradas integráveis você em G de média zero. [170] Assim como a desigualdade de Wirtinger é a forma variacional do problema de autovalor de Dirichlet em uma dimensão, a desigualdade de Poincaré é a forma variacional do problema de autovalor de Neumann, em qualquer dimensão.

      Transformada de Fourier e princípio de incerteza de Heisenberg

      A constante π também aparece como um parâmetro espectral crítico na transformada de Fourier. Esta é a transformação integral, que assume uma função integrável de valor complexo f na linha real para a função definida como:

      Embora existam várias convenções diferentes para a transformada de Fourier e sua inversa, qualquer convenção deve envolver π em algum lugar. A definição acima é a mais canônica, no entanto, dando o único operador unitário em eu 2 que também é um homomorfismo de álgebra de eu 1 para eu ∞ . [171]

      O princípio da incerteza de Heisenberg também contém o número π. O princípio da incerteza dá um limite inferior nítido na extensão em que é possível localizar uma função no espaço e na frequência: com nossas convenções para a transformada de Fourier,

      A consequência física, sobre a incerteza na posição simultânea e observações de momento de um sistema mecânico quântico, é discutida abaixo. O aparecimento de π nas fórmulas da análise de Fourier é, em última análise, uma consequência do teorema de Stone-von Neumann, afirmando a singularidade da representação de Schrödinger do grupo de Heisenberg. [172]

      Integrais de Gauss

      Os campos de probabilidade e estatística freqüentemente usam a distribuição normal como um modelo simples para fenômenos complexos. Por exemplo, os cientistas geralmente assumem que o erro de observação na maioria dos experimentos segue uma distribuição normal. [173] A função Gaussiana, que é a função densidade de probabilidade da distribuição normal com média μ e desvio padrão σ, contém naturalmente π: [174]

      que diz que a área sob a curva básica do sino na figura é igual à raiz quadrada de π.

      O teorema do limite central explica o papel central das distribuições normais e, portanto, de π, na probabilidade e na estatística. Este teorema está, em última análise, conectado com a caracterização espectral de π como o autovalor associado ao princípio da incerteza de Heisenberg, e o fato de que a igualdade vale no princípio da incerteza apenas para a função gaussiana. [175] Equivalentemente, π é a única constante que faz a distribuição normal gaussiana ex 2 igual à sua própria transformada de Fourier. [176] De fato, de acordo com Howe (1980), o "negócio todo" de estabelecer os teoremas fundamentais da análise de Fourier se reduz à integral de Gauss.

      Geometria projetiva

      Topologia

      A constante π aparece na fórmula de Gauss-Bonnet que relaciona a geometria diferencial das superfícies à sua topologia. Especificamente, se uma superfície compacta Σ tem curvatura de Gauss K, então

      Onde χ(Σ) é a característica de Euler, que é um número inteiro. [178] Um exemplo é a área de superfície de uma esfera S de curvatura 1 (de modo que seu raio de curvatura, que coincide com seu raio, também é 1.) A característica de Euler de uma esfera pode ser calculada a partir de seus grupos de homologia e é considerada igual a dois. Assim nós temos

      reproduzindo a fórmula para a área de superfície de uma esfera de raio 1.

      A constante aparece em muitas outras fórmulas integrais em topologia, em particular, aquelas envolvendo classes características por meio do homomorfismo de Chern-Weil. [179]

      Cálculo vetorial

      O cálculo vetorial é um ramo do cálculo que se preocupa com as propriedades dos campos vetoriais e tem muitas aplicações físicas, como eletricidade e magnetismo. O potencial newtoniano para uma fonte pontual Q situada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional é [180]

      que representa a energia potencial de uma unidade de massa (ou carga) colocada a uma distância | x | da fonte ek é uma constante dimensional. O campo, denotado aqui por E , que pode ser o campo gravitacional (Newtoniano) ou o campo elétrico (Coulomb), é o gradiente negativo do potencial:

      Casos especiais incluem a lei de Coulomb e a lei da gravitação universal de Newton. A lei de Gauss afirma que o fluxo externo do campo através de qualquer superfície S lisa, simples, fechada e orientável contendo a origem é igual a 4 π kQ :

      É padrão absorver este fator de 4π na constante k, mas este argumento mostra por que ele deve aparecer em algum lugar. Além disso, 4π é a área da superfície da esfera unitária, mas não assumimos que S seja a esfera. No entanto, como consequência do teorema da divergência, como a região afastada da origem é o vácuo (livre da fonte), é apenas a classe de homologia da superfície S em R 3 <0> que importa no cálculo da integral, portanto, pode ser substituída por qualquer superfície conveniente na mesma classe de homologia, em particular, uma esfera, onde as coordenadas esféricas podem ser usadas para calcular a integral.

      Uma consequência da lei de Gauss é que o Laplaciano negativo do potencial V é igual a 4πkQ vezes a função delta de Dirac:

      Distribuições mais gerais de matéria (ou carga) são obtidas a partir disso por convolução, dando a equação de Poisson

      onde ρ é a função de distribuição.

      A constante π também desempenha um papel análogo nos potenciais quadridimensionais associados às equações de Einstein, uma fórmula fundamental que forma a base da teoria geral da relatividade e descreve a interação fundamental da gravitação como resultado do espaço-tempo sendo curvado por matéria e energia: [181]

      Onde Rμν é o tensor de curvatura de Ricci, R é a curvatura escalar, gμν é o tensor métrico, Λ é a constante cosmológica, G é a constante gravitacional de Newton, c é a velocidade da luz no vácuo, e Tμν é o tensor tensão-energia. O lado esquerdo da equação de Einstein é um análogo não linear do Laplaciano do tensor métrico, e se reduz ao limite do campo fraco, com o termo Λ g < displaystyle Lambda g> desempenhando o papel de um Lagrange multiplicador, e o lado direito é o análogo da função de distribuição, vezes 8π.

      Fórmula integral de Cauchy

      Uma das principais ferramentas na análise complexa é a integração do contorno de uma função sobre uma curva de Jordan positivamente orientada (retificável). Uma forma da fórmula integral de Cauchy afirma que se um ponto z0 é interior a γ, então [182]

      Embora a curva γ não seja um círculo e, portanto, não tenha nenhuma conexão óbvia com a constante π, uma prova padrão desse resultado usa o teorema de Morera, que implica que a integral é invariante sob a homotopia da curva, de modo que pode ser deformado em um círculo e então integrado explicitamente em coordenadas polares. Mais geralmente, é verdade que se uma curva fechada retificável γ não contém z0 , então a integral acima é 2πeu vezes o número de enrolamento da curva.

      A forma geral da fórmula integral de Cauchy estabelece a relação entre os valores de uma função analítica complexa f(z) na curva de Jordan γ e o valor de f(z) em qualquer ponto interno z0 de γ: [183] ​​[184]

      forneceu f(z) é analítico na região delimitada por γ e se estende continuamente até γ. A fórmula integral de Cauchy é um caso especial do teorema do resíduo, que se g(z) é uma função meromórfica a região delimitada por γ e é contínua em uma vizinhança de γ, então

      onde a soma é dos resíduos nos pólos de g(z) .

      A função gama e a aproximação de Stirling

      A função fatorial n! é o produto de todos os inteiros positivos por meio de n . A função gama estende o conceito de fatorial (normalmente definido apenas para inteiros não negativos) para todos os números complexos, exceto os inteiros reais negativos. Quando a função gama é avaliada em meio-inteiros, o resultado contém π por exemplo Γ (1/2) = π < displaystyle Gamma (1/2) = < sqrt < pi >>> e Γ (5 / 2) = 3 π 4 < textstyle Gamma (5/2) = < frac <3 < sqrt < pi >>> <4> >>. [185]

      A função gama é definida por seu desenvolvimento de produto Weierstrass: [186]

      onde γ é a constante de Euler-Mascheroni. Avaliado em z = 1/2 e ao quadrado, a equação Γ (1/2) 2 = π se reduz à fórmula do produto de Wallis. A função gama também está conectada à função zeta de Riemann e identidades para o determinante funcional, no qual a constante π desempenha um papel importante.

      A função gama é usada para calcular o volume Vn(r) do nesfera de raio dimensional r em euclidiano nespaço dimensional, e a área de superfície Sn−1(r) de sua fronteira, o (n-1) esfera dimensional: [187]

      Além disso, segue-se da equação funcional que

      A função gama pode ser usada para criar uma aproximação simples para a função fatorial n! para grande n : n! ∼ 2 π n (n e) n < textstyle n! Sim < sqrt <2 pi n >> left (< frac > right) ^> que é conhecido como aproximação de Stirling. [188] Equivalentemente,

      Como uma aplicação geométrica da aproximação de Stirling, seja Δn denotam o simplex padrão em nespaço euclidiano dimensional, e (n + 1) Δn denotam o simplex com todos os seus lados escalados por um fator de n + 1. Então

      A conjectura de volume de Ehrhart é que este é o limite superior (ótimo) no volume de um corpo convexo contendo apenas um ponto de rede. [189]

      Teoria dos números e função zeta de Riemann

      A função zeta de Riemann ζ(s) é usado em muitas áreas da matemática. Quando avaliado em s = 2 pode ser escrito como

      Encontrar uma solução simples para essa série infinita era um problema famoso em matemática chamado de problema de Basel. Leonhard Euler o resolveu em 1735, quando mostrou que era igual a π 2/6. [93] O resultado de Euler leva ao resultado da teoria dos números de que a probabilidade de dois números aleatórios serem relativamente primos (ou seja, não tendo fatores compartilhados) é igual a 6 / π 2. [190] [191] Esta probabilidade é baseada na observação de que a probabilidade de qualquer número ser divisível por um primo p é 1 /p (por exemplo, todo 7º inteiro é divisível por 7). Portanto, a probabilidade de que dois números sejam divisíveis por este primo é 1 /p 2, e a probabilidade de que pelo menos um deles não seja 1 - 1 /p 2 Para primos distintos, esses eventos de divisibilidade são mutuamente independentes, então a probabilidade de que dois números sejam relativamente primos é dada por um produto sobre todos os primos: [192]

      Essa probabilidade pode ser usada em conjunto com um gerador de números aleatórios para aproximar π usando uma abordagem de Monte Carlo. [193]

      A solução para o problema de Basel implica que a quantidade derivada geometricamente π está profundamente ligada à distribuição dos números primos. Este é um caso especial da conjectura de Weil sobre os números de Tamagawa, que afirma a igualdade de semelhantes produtos infinitos de aritmética quantidades, localizadas em cada primo p, e um geométrico quantidade: o recíproco do volume de um certo espaço localmente simétrico. No caso do problema de Basel, é a hiperbólica 3-manifold SL2(R) / SL2(Z) . [194]

      A função zeta também satisfaz a equação funcional de Riemann, que envolve tanto π quanto a função gama:

      Além disso, a derivada da função zeta satisfaz

      Uma consequência é que π pode ser obtido a partir do determinante funcional do oscilador harmônico. Este determinante funcional pode ser calculado por meio de uma expansão do produto e é equivalente à fórmula do produto Wallis. [195] O cálculo pode ser reformulado na mecânica quântica, especificamente a abordagem variacional do espectro do átomo de hidrogênio. [196]

      Séries de Fourier

      A constante π também aparece naturalmente na série de Fourier de funções periódicas. As funções periódicas são funções no grupo T =R/Z de partes fracionárias de números reais. A decomposição de Fourier mostra que uma função de valor complexo f em T pode ser escrito como uma superposição linear infinita de caracteres unitários de T . Ou seja, homomorfismos de grupo contínuos de T para o grupo do círculo você(1) de números complexos de módulo de unidade. É um teorema que todo personagem de T é uma das exponenciais complexas e n (x) = e 2 π i n x < displaystyle e_(x) = e ^ <2 pi inx >>.

      Há um personagem único em T , até a conjugação complexa, que é um isomorfismo de grupo. Usando a medida de Haar no grupo do círculo, a constante π é a metade da magnitude da derivada Radon-Nikodym desse caractere. Os outros caracteres têm derivadas cujas magnitudes são múltiplos inteiros positivos de 2 π. [22] Como resultado, a constante π é o número único de tal forma que o grupo T, equipado com sua medida Haar, é Pontrjagin dual à rede de múltiplos inteiros de 2 π. [198] Esta é uma versão da fórmula de soma de Poisson unidimensional.

      Formas modulares e funções theta

      A constante π está profundamente ligada à teoria das formas modulares e funções theta. Por exemplo, o algoritmo de Chudnovsky envolve de uma maneira essencial o invariante j de uma curva elíptica.

      que é um tipo de forma modular chamada forma Jacobi. [199] Às vezes, é escrito em termos do nome q = e π i τ < displaystyle q = e ^ < pi i tau >>.

      A constante π é a única constante que torna a função teta de Jacobi uma forma automórfica, o que significa que ela se transforma de uma maneira específica. Certas identidades são válidas para todas as formas automórficas. Um exemplo é

      o que implica que θ se transforma como uma representação sob o grupo de Heisenberg discreto. As formas modulares gerais e outras funções theta também envolvem π, mais uma vez por causa do teorema de Stone-von Neumann. [199]

      Distribuição de Cauchy e teoria potencial

      é uma função de densidade de probabilidade. A probabilidade total é igual a um, devido à integral:

      A entropia de Shannon da distribuição de Cauchy é igual a ln (4π), que também envolve π.

      A distribuição de Cauchy desempenha um papel importante na teoria do potencial porque é a medida de Furstenberg mais simples, o kernel de Poisson clássico associado a um movimento browniano em um semiplano. [200] Funções harmônicas conjugadas e, portanto, também a transformada de Hilbert estão associadas à assintótica do kernel de Poisson. A transformação de Hilbert H é a transformada integral dada pelo valor principal de Cauchy da integral singular

      A constante π é o único fator de normalização (positivo) de tal forma que H define uma estrutura linear complexa no espaço de Hilbert de funções quadradas integráveis ​​de valor real na linha real. [201] A transformada de Hilbert, como a transformada de Fourier, pode ser caracterizada puramente em termos de suas propriedades de transformação no espaço de Hilbert L 2 (R): até um fator de normalização, é o único operador linear limitado que comuta com dilatações positivas e anti-comuta com todas as reflexões da linha real. [202] A constante π é o único fator de normalização que torna esta transformação unitária.

      Dinâmica complexa

      Uma ocorrência de π no fractal do conjunto de Mandelbrot foi descoberta por David Boll em 1991. [203] Ele examinou o comportamento do conjunto de Mandelbrot próximo ao "pescoço" em (-0,75, 0). Se pontos com coordenadas (−0,75, ε) são considerados, como ε tende a zero, o número de iterações até a divergência para o ponto multiplicado por ε converge para π. O ponto (0,25 + ε, 0) na cúspide do grande "vale" do lado direito do conjunto de Mandelbrot se comporta de maneira semelhante: o número de iterações até a divergência multiplicado pela raiz quadrada de ε tende a π. [203] [204]

      Descrevendo fenômenos físicos

      Embora não seja uma constante física, π aparece rotineiramente em equações que descrevem os princípios fundamentais do universo, muitas vezes por causa da relação de π com o círculo e com os sistemas de coordenadas esféricas. Uma fórmula simples do campo da mecânica clássica dá o período aproximado T de um pêndulo simples de comprimento eu , balançando com uma pequena amplitude ( g é a aceleração gravitacional da Terra): [205]

      Uma das fórmulas-chave da mecânica quântica é o princípio da incerteza de Heisenberg, que mostra que a incerteza na medição da posição de uma partícula (Δ x ) e momento (Δ p ) não podem ser arbitrariamente pequenos ao mesmo tempo (onde h é a constante de Planck): [206]

      O fato de que π é aproximadamente igual a 3 desempenha um papel na vida relativamente longa do ortopositrônio. A vida útil inversa para a ordem mais baixa na constante de estrutura fina α é [207]

      Onde m é a massa do elétron.

      π está presente em algumas fórmulas de engenharia estrutural, como a fórmula de flambagem derivada de Euler, que dá a carga axial máxima F que uma coluna longa e esguia de comprimento eu , módulos de elasticidade E , e momento de inércia da área eu pode carregar sem deformar: [208]

      O campo da dinâmica dos fluidos contém π na lei de Stokes, que se aproxima da força de atrito F exercido sobre pequenos objetos esféricos de raio R , movendo-se com velocidade v em um fluido com viscosidade dinâmica η : [209]

      Em eletromagnetismo, a constante de permeabilidade do vácuo µ0 aparece nas equações de Maxwell, que descrevem as propriedades dos campos elétricos e magnéticos e da radiação eletromagnética. Antes de 20 de maio de 2019, era definido exatamente como

      Uma relação para a velocidade da luz no vácuo, c pode ser derivado das equações de Maxwell no meio do vácuo clássico usando uma relação entre μ0 e a constante elétrica (permissividade de vácuo), ε0 em unidades SI:

      Em condições ideais (declive suave uniforme em um substrato homogeneamente erodível), a sinuosidade de um rio sinuoso se aproxima de π. A sinuosidade é a razão entre o comprimento real e a distância em linha reta da fonte à boca. Correntes mais rápidas ao longo das bordas externas das curvas de um rio causam mais erosão do que ao longo das bordas internas, empurrando as curvas ainda mais para fora e aumentando a curvatura geral do rio. No entanto, essa curva eventualmente faz com que o rio dobre sobre si mesmo em alguns lugares e entre em "curto-circuito", criando um lago em forma de boi no processo. O equilíbrio entre esses dois fatores opostos leva a uma razão média de π entre o comprimento real e a distância direta entre a fonte e a boca. [210] [211]

      Memorizando dígitos

      A pipilologia é a prática de memorizar um grande número de dígitos de π, [212] e os registros mundiais são mantidos pelo Guinness World Records. O recorde para memorizar dígitos de π, certificado pelo Guinness World Records, é de 70.000 dígitos, recitado na Índia por Rajveer Meena em 9 horas e 27 minutos em 21 de março de 2015. [213] Em 2006, Akira Haraguchi, um engenheiro japonês aposentado, afirmou ter recitado 100.000 casas decimais, mas a afirmação não foi verificada pelo Guinness World Records. [214]

      Uma técnica comum é memorizar uma história ou poema em que os comprimentos das palavras representam os dígitos de π: a primeira palavra tem três letras, a segunda palavra tem uma, a terceira tem quatro, a quarta tem uma, a quinta tem cinco e em breve. Esses recursos de memorização são chamados de mnemônicos. Um dos primeiros exemplos de mnemônico para pi, originalmente inventado pelo cientista inglês James Jeans, é "Como eu quero uma bebida, alcoólica, é claro, após as pesadas aulas envolvendo mecânica quântica." [212] Quando um poema é usado, às vezes é referido como um piem. [215] Poemas para memorizar π foram compostos em várias línguas além do inglês. [212] Os memorizadores π que definem os registros normalmente não dependem de poemas, mas, em vez disso, usam métodos como lembrar padrões de números e o método dos lugares. [216]

      Alguns autores usaram os dígitos de π para estabelecer uma nova forma de escrita restrita, em que os comprimentos das palavras são necessários para representar os dígitos de π. O Cadenza Cadaeic contém os primeiros 3835 dígitos de π desta maneira, [217] e o livro completo Não acordado contém 10.000 palavras, cada uma representando um dígito de π. [218]

      Na cultura popular

      Talvez por causa da simplicidade de sua definição e sua presença onipresente nas fórmulas, π foi representado na cultura popular mais do que outras construções matemáticas. [219]

      Na coprodução de documentário da Open University e da BBC de 2008, A História da Matemática, exibido em outubro de 2008 na BBC Four, o matemático britânico Marcus du Sautoy mostra uma visualização da - historicamente primeira exata - fórmula para calcular π ao visitar a Índia e explorar suas contribuições para trigonometria. [220]

      No Palais de la Découverte (um museu de ciência em Paris), há uma sala circular conhecida como a sala pi. Em sua parede estão inscritos 707 dígitos de π. Os dígitos são grandes caracteres de madeira presos ao teto em forma de cúpula. Os dígitos foram baseados em um cálculo de 1874 pelo matemático inglês William Shanks, que incluiu um erro começando no 528º dígito. O erro foi detectado em 1946 e corrigido em 1949. [221]

      No romance de Carl Sagan Contato sugere-se que o criador do universo enterrou uma mensagem bem no fundo dos dígitos de π. [222] Os dígitos de π também foram incorporados à letra da música "Pi" do álbum Aéreo por Kate Bush. [223]

      No episódio Wolf in the Fold de Star Trek, um computador fora de controle é contido ao ser instruído a "Calcular até o último dígito o valor de π", embora "π seja uma figura transcendental sem resolução". [224]

      Nos Estados Unidos, o Dia do Pi cai em 14 de março (escrito em 14/3 no estilo americano) e é popular entre os estudantes. [225] π e sua representação digital são frequentemente usados ​​por autodescritos "geeks da matemática" para piadas internas entre grupos de mentalidade matemática e tecnológica. Vários aplausos da faculdade no Instituto de Tecnologia de Massachusetts incluem "3.14159". [226] O dia do Pi em 2015 foi particularmente significativo porque a data e hora em 14/03/15 9:26:53 refletiu muitos mais dígitos do pi [227] [228] Em partes do mundo onde as datas são comumente anotadas no formato dia / mês / ano, 22 de julho representa o "Dia de aproximação do Pi", pois 22/7 = 3,142857. [229]

      Durante o leilão de 2011 para o portfólio de patentes de tecnologia valiosas da Nortel, o Google fez uma série de lances incomumente específicos com base em constantes matemáticas e científicas, incluindo π. [230]

      Em 1958, Albert Eagle propôs substituir π por τ (tau), onde τ = π/ 2, para simplificar as fórmulas. [231] No entanto, nenhum outro autor é conhecido por usar τ desta forma. Algumas pessoas usam um valor diferente, τ = 2π = 6,28318. , [232] argumentando que τ, como o número de radianos em uma volta, ou como a razão entre a circunferência de um círculo e seu raio ao invés de seu diâmetro, é mais natural do que π e simplifica muitas fórmulas. [233] [234] Comemorações desse número, porque é aproximadamente igual a 6,28, por fazer de 28 de junho o "Dia do Tau" e comer "o dobro da torta", [235] foram relatadas na mídia. No entanto, esse uso de τ não fez seu caminho para a matemática convencional. [236]

      Em 1897, um matemático amador tentou persuadir a legislatura de Indiana a aprovar o Indiana Pi Bill, que descreveu um método para fazer a quadratura do círculo e continha texto que implicava vários valores incorretos para π, incluindo 3.2. O projeto de lei é notório como uma tentativa de estabelecer um valor de constante científica por meio de decreto legislativo. O projeto foi aprovado pela Câmara dos Representantes de Indiana, mas rejeitado pelo Senado, o que significa que não se tornou uma lei. [237]

      Na cultura da informática

      Na cultura contemporânea da Internet, indivíduos e organizações frequentemente prestam homenagem ao número π. Por exemplo, o cientista da computação Donald Knuth permitiu que os números de versão de seu programa TeX se aproximassem de π. As versões são 3, 3.1, 3.14 e assim por diante. [238]

      Notas

      1. ^ A integral precisa que Weierstrass usou foi π = ∫ - ∞ ∞ d x 1 + x 2. < displaystyle pi = int _ <- infty> ^ < infty> < frac <1 + x ^ <2> >>.> Remmert 2012, p. 148
      2. ^ O polinômio mostrado são os primeiros termos da expansão da série de Taylor da função seno.
      3. ^ Supostamente construído de forma que o círculo cujo raio é igual à altura da pirâmide tenha uma circunferência igual ao perímetro da base

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      • Rossi, Corinna (2004). Arquitetura e matemática no antigo Egito. Cambridge University Press. ISBN978-1-107-32051-2.
      • Roy, Ranjan (1990). "A descoberta da fórmula da série para pi por Leibniz, Gregory e Nilakantha". Revista Matemática. 63 (5): 291–306. doi: 10.2307 / 2690896. JSTOR2690896.
      • Schepler, H.C. (1950). "A cronologia do Pi". Revista Matemática. 23 (3): 165–170 (janeiro / fevereiro), 216–228 (março / abril) e 279–283 (maio / junho). doi: 10.2307 / 3029284. JSTOR3029284. . edição 3 jan / fev, edição 4 mar / abr, edição 5 mai / jun
      • Thompson, William (1894), "Isoperimetrical problems", Nature Series: palestras e discursos populares, II: 571–592

      Leitura adicional

      • Blatner, David (1999). A alegria do Pi. Walker & amp Company. ISBN978-0-8027-7562-7.
      • Borwein, Jonathan Borwein, Peter (1984). "A média aritmética-geométrica e a computação rápida de funções elementares" (PDF). Revisão SIAM. 26 (3): 351–365. CiteSeerX10.1.1.218.8260. doi: 10.1137 / 1026073.
      • Borwein, Jonathan Borwein, Peter Bailey, David H. (1989). "Ramanujan, equações modulares e aproximações de Pi ou como calcular um bilhão de dígitos de Pi". The American Mathematical Monthly (Manuscrito enviado). 96 (3): 201–219. doi: 10.2307 / 2325206. JSTOR2325206. e Chudnovsky, Gregory V., "Approximations and Complex Multiplication Segundo Ramanujan", em Ramanujan revisitado (G.E. Andrews et al. Eds), Academic Press, 1988, pp. 375-396, 468-472
      • Cox, David A. (1984). "A média aritmética-geométrica de Gauss". L'Enseignement Mathématique. 30: 275–330.
      • Delahaye, Jean-Paul (1997). Le Fascinant Nombre Pi. Paris: Bibliothèque Pour la Science. ISBN2-902918-25-9.
      • Engels, Hermann (1977). "Quadratura do Círculo no Egito Antigo". Historia Mathematica. 4 (2): 137-140. doi: 10.1016 / 0315-0860 (77) 90104-5. , "Sobre o uso das frações descobertas para somar séries infinitas", em Introdução à Análise do Infinito. Livro I, traduzido do latim por J.D. Blanton, Springer-Verlag, 1964, pp. 137-153
      • Hardy, G. H. Wright, E. M. (2000). Uma introdução à teoria dos números (quinta edição). Oxford, Reino Unido: Clarendon Press.
      • Heath, T.L., As Obras de Arquimedes, Cambridge, 1897 reimpresso em As Obras de Arquimedes com O Método de Arquimedes, Dover, 1953, pp. 91-98, "De Circuli Magnitudine Inventa", Ópera Varia I de Christiani Hugenii, Leiden 1724, pp. 384-388
      • Lay-Yong, Lam Tian-Se, Ang (1986). "Medições do Círculo na China Antiga". Historia Mathematica. 13 (4): 325–340. doi: 10.1016 / 0315-0860 (86) 90055-8.
      • Lindemann, Ferdinand (1882). "Ueber die Zahl pi". Mathematische Annalen. 20 (2): 213–225. doi: 10.1007 / bf01446522. S2CID120469397. Arquivado do original em 22 de janeiro de 2015.
      • Matar, K. Mukunda Rajagonal, C. (1944). "Na Quadratura Hindu do Círculo" (Apêndice de K. Balagangadharan) ". Journal of the Bombay Branch of the Royal Asiatic Society. 20: 77–82.
      • Niven, Ivan (julho de 1947). "Uma prova simples de que pi é irracional". Boletim da American Mathematical Society. 53 (7): 507. doi: 10.1090 / S0002-9904-1947-08821-2.
      • Ramanujan, Srinivasa (1914). "Modular Equations and Approximations to π". Jornal Trimestral de Matemática Pura e Aplicada. XLV: 350–372. Reimpresso em
      • Ramanujan, Srinivasa (2015) [1927]. Hardy, G. H. Seshu Aiyar, P. V. Wilson, B. M. (eds.). Srinivasa Ramanujan: artigos coletados. Cambridge University Press. pp. 23–29. ISBN978-1-107-53651-7. , Contribuições para a matemática compreendendo principalmente a retificação do círculo para 607 casas decimais, 1853, pp. I-xvi, 10
      • Shanks, Daniel Wrench, John William (1962). "Cálculo de pi a 100.000 decimais". Matemática da Computação. 16 (77): 76–99. doi: 10.1090 / s0025-5718-1962-0136051-9.
      • Tropfke, Johannes (1906). Geschichte Der Elementar-Mathematik em Systematischer Darstellung [A história da matemática elementar] (em alemão). Leipzig: Verlag Von Veit. , Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica (reimpressão), Georg Olms Verlag, 1970, pp. 398-401, 436-446
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      • Opera Mathematica. 1. Oxford: E Theatro Sheldoniano. 1695. pp. 357–478.
      • Zebrowski, Ernest (1999). Uma História do Círculo: Raciocínio Matemático e o Universo Físico . Rutgers University Press. ISBN978-0-8135-2898-4.

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      Calcula o pi da série infinita

      Eu sou totalmente novo em C # e não estou apenas me perguntando sobre a sintaxe, mas também a lógica de como fazer isso, meu professor apenas nos jogou para os lobos com esse problema e não examinamos nada da sintaxe ou algo assim , Não sou um graduado em matemática, então não estou familiarizado com a série infinita, nada explicado! E ainda é devido na segunda-feira.

      O problema é que ela quer um programa de console C # que calcule Pi a partir de uma série infinita

      Pi = 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 +.

      "Pergunte ao usuário o número de casas decimais em que você deve calcular o Pi e exiba o número de termos (contando os 4 iniciais) necessários para calcular o Pi nessa quantidade de casas. A fórmula pode ser usada para determinar se sua aproximação é próxima o suficiente

      Saída de amostra:
      Insira o número de casas decimais para calcular: 2

      São necessários 200 termos para aproximar o Pi de 2 casas decimais. "

      Por favor me ajude, estou completamente perdido, preciso de ajuda com a lógica e de como programar isso em C #.


      Tipos de Seqüências

      Existem vários tipos de séries e sequências sobre a natureza dos termos, o limite da sequência, a regra seguida, etc. Mas podemos falar sobre algumas sequências especiais que são mais comumente vistas e comentadas:

      1. Sequência aritmética
      2. Sequência Geométrica
      3. Sequência Harmônica
      4. Sequência de Fibonacci

      Pode haver muitas outras sequências, mas elas têm alguma importância em nossa vida cotidiana e em nossas aplicações práticas.

      Sequência aritmética é uma lista ordenada de números em que cada par de termos sucessivos tem uma diferença comum uniforme e constante. Para saber mais sobre isso, visite Sequência Aritmética.

      Sequência Geométrica por outro lado, é uma lista ordenada de números em que cada par de termos sucessivos tem uma proporção comum uniforme e constante. Isso significa que a divisão de dois termos consecutivos dará o mesmo valor. Para saber mais sobre isso, visite Sequência geométrica.

      Sequência Harmônica é uma sequência especial onde os recíprocos dos termos parecem estar em um arranjo aritmético e ter uma diferença comum. Para saber mais sobre isso, visite Sequência Harmônica.

      Sequência de Fibonacci é um arranjo ordenado de números muito interessante, em que a soma de dois termos sucessivos dá o valor do próximo na ordem.
      (começar1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ……… fim)

      Para dar uma olhada em outras sequências comuns, vamos passar para a próxima seção.


      Soma das séries geométricas infinitas

      Vamos voltar à situação na introdução: Pobre Sayber está preso limpando seu quarto. Ele limpa metade da sala em 60 minutos. Então ele limpa metade do que sobrou, mais 30 minutos, metade novamente por mais 15. Se ele continuar limpando metade da área restante, como ele vai terminar o quarto?

      Sabemos que as peças devem somar algum período de tempo finito (não importa como seja, Sayber PODE limpar o quarto), mas como é possível que a soma de um número infinito de termos seja um número finito?

      Para encontrar a soma de um número infinito de termos, devemos considerar alguns somas parciais. Três somas parciais, relativamente no início da série, podem ser: ( S_ <2> = 90 ), ( S_ <3> = 105 ) e ( S_ <6> = 118,125 ) ou ( 118 frac <1> <8> )

      Agora vamos & rsquos olhar para valores maiores de ( n ):

      ( S_ <7> ) ( = frac <60 left (1- left ( frac <1> <2> right) ^ <7> right)> <1- frac <1> <2>> aprox 119,06 text )
      ( S_ <8> ) ( = frac <60 left (1- left ( frac <1> <2> right) ^ <8> right)> <1- frac <1> <2>> aproximadamente 119,5 text )
      ( S_ <10> ) ( = frac <60 left (1- left ( frac <1> <2> right) ^ <10> right)> <1- frac <1> <2>> aproximadamente 119,9 text )

      Como n se aproxima do infinito, o valor de Sn parece se aproximar de 120 minutos. Em termos de somas reais, o que está acontecendo é o seguinte: como n aumenta, o n o termo fica cada vez menor, e assim o n o termo contribui cada vez menos para o valor de Sn. Dizemos que a série converge, e podemos escrever isso com um limite:

      ( lim _ S_) ( = lim _ left ( frac <60 left (1- left ( frac <1> <2> right) ^ right)> <1- frac <1> <2>> right) )
      ( = lim _ left ( frac <60 left (1- left ( frac <1> <2> right) ^ right)> < frac <1> <2>> right) )
      ( = lim _ left (120 left (1- left ( frac <1> <2> right) ^certo, certo))

      Como n aproxima-se do infinito, o valor de ( left ( frac <1> <2> right) ^) fica cada vez menor. Ou seja, o valor desta expressão se aproxima de 0. Portanto, o valor de ( 1- left ( frac <1> <2> right) ^) se aproxima de 1, e ( 120 left (1- left ( frac <1> <2> right) ^ right) ) aproxima-se ( 120 (1) = 120 ).

      Portanto, não importa quanto tempo o processo continue, Sayber não vai gastar mais do que 2 horas limpando o quarto. Claro, pode PARECER gostar muito mais!

      Podemos fazer a mesma análise para o caso geral de uma série geométrica, desde que os termos sejam cada vez menores. Isso significa que a razão comum deve ser um número entre -1 e 1: | r | & lt 1.

      ( lim _ S_) ( = lim _ left ( frac left (1-r ^ right)> <1-r> right) )
      ( = frac> <1-r>, text left (1-r ^ right) rightarrow 1 )

      Portanto, podemos encontrar a soma de uma série geométrica infinita usando a fórmula ( S = frac> <1-r> ).

      Quando uma soma infinita tem um valor finito, dizemos a soma converge. Caso contrário, a soma diverge. Uma soma converge apenas quando os termos se aproximam de 0 após cada etapa, mas isso por si só não é um critério suficiente para convergência. Por exemplo, a soma ( sum_^ < infty> frac <1>= 1 + frac <1> <2> + frac <1> <3> + frac <1> <4> + ldots ) ​​não convergir.


      ENCONTRE O VALOR DE UMA SÉRIE GEOMÉTRICA INFINITA

      Encontre & # xa0a soma da infinita série geométrica & # xa0.

      Para encontrar a soma das séries geométricas infinitas, temos que usar a fórmula a / (1- r)

      soma das séries infinitas fornecidas & # xa0 = & # xa0 1 / [1 - (3/4)]

      Portanto, a soma das séries infinitas é 4.

      Encontre & # xa0a soma da infinita série geométrica & # xa0.

      Para encontrar a soma das séries geométricas infinitas, temos que usar a fórmula a / (1- r)

      soma das séries infinitas fornecidas & # xa0 = & # xa0 1 / [1 - (2/3)]

      Portanto, a soma das séries infinitas é 3.

      Encontre & # xa0a soma da infinita série geométrica & # xa0.

      Para encontrar a soma das séries geométricas infinitas, temos que usar a fórmula a / (1- r)

      soma das séries infinitas fornecidas & # xa0 = & # xa0 1 / [1 - (1/2)]

      Portanto, a soma das séries infinitas é 2.

      Encontre & # xa0a soma da infinita série geométrica & # xa0.

      Para encontrar a soma das séries geométricas infinitas, temos que usar a fórmula a / (1- r)

      soma das séries infinitas fornecidas & # xa0 = & # xa0 1 / [1 - (3/5)]

      Portanto, a soma das séries infinitas é 2.

      Encontre & # xa0a soma da infinita série geométrica & # xa0.

      Para encontrar a soma das séries geométricas infinitas, temos que usar a fórmula a / (1- r)

      e razão comum (r) & # xa0 = & # xa0 & # xa0 a ₂ / a ₁

      soma das séries infinitas fornecidas & # xa0 = & # xa0 1 / [1 - (1/4)]

      Portanto, a soma das séries infinitas é 4/3.

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      Guia passo a passo para resolver séries geométricas infinitas

      • Séries geométricas infinitas: A soma de uma série geométrica é infinita quando o valor absoluto da proporção é maior que (1 ).
      • Fórmula da série geométrica infinita: ( color^ infty a_r ^ i = frac> <1-r>> )

      Série geométrica infinita e # 8211 Exemplo 1:

      Avalie as infinitas séries geométricas descritas. (S = soma_^ infty 9 ^)

      Série geométrica infinita e # 8211 Exemplo 2:

      Avalie as infinitas séries geométricas descritas. (S = soma_^ infty ( frac <1> <4>) ^)

      Série geométrica infinita e # 8211 Exemplo 3:

      Avalie as infinitas séries geométricas descritas. (S = soma_^ infty 8 ^)

      Série geométrica infinita & # 8211 Exemplo 4:

      Avalie as infinitas séries geométricas descritas. (S = soma_^ infty ( frac <1> <2>) ^)


      Assista o vídeo: Hvorfor lære matematikk? (Novembro 2021).