Artigos

1.2: Outras Regras - Matemática


Vamos jogar o jogo dos pontos e caixas, mas mude a regra.

A regra 1 ← 3

Sempre que houver três pontos em uma única caixa, eles “explodem”, desaparecem e se tornam um ponto na caixa à esquerda.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Quinze pontos no sistema 1 ← 3

Aqui está o que acontece com quinze pontos:

Responder

O código 1 ← 3 para quinze pontos é: 120.

Problema 2

  1. Mostre que o código 1 ← 3 para vinte pontos é 202.
  2. Qual é o código 1 ← 3 para treze pontos?
  3. Qual é o código 1 ← 3 para vinte e cinco pontos?
  4. Qual número de pontos tem 1 ← 3 código 1022?
  5. É possível que uma coleção de pontos tenha 1 ← 3 código 2031? Explique sua resposta.

Problema 3

  1. Descreva como a regra 1 ← 4 funcionaria.
  2. Qual é o código 1 ← 4 para treze pontos?

Problema 4

  1. Qual é o código 1 ← 5 para os treze pontos?
  2. Qual é o código 1 ← 5 para cinco pontos?

Problema 5

  1. Qual é o código 1 ← 9 para treze pontos?
  2. Qual é o código 1 ← 9 para trinta pontos?

Problema 6

  1. Qual é o código 1 ← 10 para treze pontos?
  2. Qual é o código 1 ← 10 para trinta e sete pontos?
  3. Qual é o código 1 ← 10 para duzentos e trinta e oito pontos?
  4. Qual é o código 1 ← 10 para cinco mil oitocentos e trinta e três pontos?

Pense / Emparelhe / Compartilhe

Depois de resolver os problemas sozinho, compare suas ideias com um parceiro. Você pode descrever o que está acontecendo no Problema 6 e por quê?


Ao arredondar os números, você deve primeiro entender o termo "dígito de arredondamento". Ao trabalhar com números inteiros e arredondamento para o 10 mais próximo, o O dígito de arredondamento é o segundo número da direita - ou a casa do 10. Ao arredondar para a centena mais próxima, a terceira casa da direita é o dígito de arredondamento - ou a casa do 100.

Primeiro, determine qual é o seu dígito de arredondamento e, em seguida, observe o dígito no lado direito.

  • Se o dígito for 0, 1, 2, 3 ou 4, não altere o dígito de arredondamento. Todos os dígitos que estão no lado direito do dígito de arredondamento solicitado tornam-se 0.
  • Se o dígito for 5, 6, 7, 8 ou 9, o dígito de arredondamento será arredondado para cima em um número. Todos os dígitos que estão no lado direito do dígito de arredondamento solicitado se tornarão 0.

Regras de assinatura

Número é um objeto matemático usado para medir, rotular e outras operações matemáticas. As operações matemáticas básicas são adição, subtração, multiplicação e divisão.

O Adição de dois números inteiros é a quantidade total dessas quantidades combinadas.

A adição é escrita usando o sinal de mais & # 8220 + & # 8221 entre os termos, ou seja, em notação de infixo. O resultado é expresso com um sinal de igual. Por exemplo,

(& # 8220 um mais um é igual a dois & # 8221) (& # 8220 dois mais dois é igual a quatro & # 8221) e etc.,

REGRAS DE SINAL DE ADIÇÃO:

Se os sinais forem iguais, adicione e mantenha o mesmo:

Caso 1: Se o sinal de ambos os números for positivo, o resultado terá sinal positivo.

Caso 2: Se os sinais de ambos os números forem negativos, o resultado terá sinal negativo.

Se os sinais forem diferentes, subtraia e mantenha o sinal de maior valor.

Caso 1: Se o sinal do maior valor for sinal positivo, então, o resultado terá sinal positivo.

Caso 2: Se o sinal do maior valor for sinal negativo, então, o resultado terá sinal negativo.

SUBTRAÇÃO:

Subtração é a operação de remoção de objetos de uma coleção. Ele é escrito com o sinal & # 8220 - & # 8221 entre os termos. O resultado é expresso com um sinal de igual. Por exemplo,

2 & # 8211 1 = 1 (& # 8220two menos um é igual a 1 & # 8221) 5 & # 8211 3 = 2 (& # 8220five menos três é igual a dois & # 8221) e etc.

REGRAS DO SINAL DE SUBTRAÇÃO:

Por exemplo,

= (-10) + (-8) = (-18) [Mudou o sinal de (+8) para (-8) e seguiu a regra do sinal de adição]

= (-10) + (+8) = (-2) [Mudou o sinal de (-8) para (+8) e seguiu a regra do sinal de adição]

= (+10) + (+8) = (+18) [Mudou o sinal de (+8) para (-8) e seguiu a regra do sinal de adição]

= (+10) + (-8) = (+2) [Mudou o sinal de (+8) para (-8) e seguiu a regra do sinal de adição]

Multiplicação:

A multiplicação pode ser pensada como uma adição repetida, ou seja, a multiplicação de dois números é equivalente a somar tantas cópias de um deles, o multiplicando, como o valor do outro, o multiplicador.

& # 8220Normalmente, o multiplicador é escrito primeiro e o multiplicando em segundo. & # 8221

A multiplicação é escrita usando o sinal & # 8220x & # 8221 entre os termos. O resultado é expresso com um sinal de igual. Por exemplo,

Por exemplo, 4 multiplicado por 3 (frequentemente escrito como 3 x 4 e dito como & # 82203 vezes 4 & # 8221) pode ser calculado adicionando 3 cópias de 4 juntos:

SE OS SINAIS SÃO OS MESMOS, MULTIPLIQUE E COLOQUE O SINAL POSITIVO.

Caso 1: Se os sinais forem positivos, multiplique e coloque o sinal positivo.

Caso 2: Se os sinais forem negativos, multiplique e coloque o sinal positivo.

SE OS SINAIS FOREM DIFERENTES, MULTIPLICAR E COLOCAR SINAL NEGATIVO IRRESPECTIVO AO VALOR DO NÚMERO.

Divisão é o oposto de multiplicação. Ele é escrito com o sinal & # 8220 ÷ ou / & # 8221 entre os termos. O resultado é expresso com um sinal de igual.

Quando sabemos um fato de multiplicação, podemos encontrar umdivisão facto:

REGRA DO SINAL DE DIVISÃO:

A REGRA DO SINAL DE DIVISÃO É MESMA QUE MULTIPLICAÇÃO, SIGA AS REGRAS DO SINAL DE MULTIPLICAÇÃO.

(a) (-15) /3 = (-5) [Regra do sinal de multiplicação: se os sinais forem diferentes, coloque o sinal negativo]

(b) (15) /(-3) = (-5) [Regra do sinal de multiplicação: se os sinais forem diferentes, coloque o sinal negativo]

(c) (-15) /(-3) = (+5) [Regra do sinal de multiplicação: se os sinais forem iguais, coloque o sinal positivo]

(d) (+15) /(+3) = (+5) [Regra do sinal de multiplicação: se os sinais forem iguais, coloque o sinal positivo]


Outras Regras

Vamos jogar o jogo dos pontos e caixas, mas mude a regra.

A regra 1 ← 3

Sempre que houver três pontos em uma única caixa, eles “explodem & # 8221 desaparecem e se tornam um ponto na caixa à esquerda.

Exemplo: quinze pontos no sistema 1 ← 3

Aqui está o que acontece com quinze pontos:

Solução: O código 1 ← 3 para quinze pontos é: 120.

Problema 2

  1. Mostre que o código 1 ← 3 para vinte pontos é 202.
  2. Qual é o código 1 ← 3 para treze pontos?
  3. Qual é o código 1 ← 3 para vinte e cinco pontos?
  4. Qual número de pontos tem 1 ← 3 código 1022?
  5. É possível que uma coleção de pontos tenha 1 ← 3 código 2031? Explique sua resposta.

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Problema 6

  1. Qual é o código 1 ← 10 para treze pontos?
  2. Qual é o código 1 ← 10 para trinta e sete pontos?
  3. Qual é o código 1 ← 10 para duzentos e trinta e oito pontos?
  4. Qual é o código 1 ← 10 para cinco mil oitocentos e trinta e três pontos?

Pense / Emparelhe / Compartilhe

Depois de resolver os problemas sozinho, compare suas ideias com um parceiro. Você pode descrever o que está acontecendo no Problema 6 e por quê?


Crie uma regra para gerar um padrão numérico



Vídeos, soluções, planilhas e exemplos para ajudar os alunos da 5ª série a aprender como criar uma regra para gerar um padrão numérico e plotar os pontos.

Módulo 6 do Common Core Math do Estado de Nova York, 5º ano, Lição 12

1. Escreva uma regra para a linha que contém os pontos (0, 4) e (2 1/2, 2 3/4).
uma. Identifique mais 2 pontos nesta linha e desenhe-o na grade abaixo.
b. Escreva uma regra para uma linha que é paralela a BC e passa pelo ponto (1, 2 1/4)

2. Dê a regra para a linha que contém os pontos (1, 2 1/2), (2 1/2, 2 1/2)
uma. Identifique mais 2 pontos nesta linha e desenhe-o na grade acima.
b. Escreva uma regra para uma linha paralela ao GH.

3. Dê a regra para uma linha que contém o ponto (3/4, 1 1/2), usando a operação ou descrição abaixo. Em seguida, nomeie 2 outros pontos que cairiam em cada linha.
uma. Adição: _________
b. Uma linha paralela ao eixo x: _________
c. Multiplicação: _________
d. Uma linha paralela ao eixo y: _________
e. Multiplicação com adição: ________

(Conjunto de problemas) 4. A Sra. Boyd pediu a seus alunos que dessem uma regra que pudesse descrever uma linha que contém o ponto (0,6, 1,8). Avi disse que a regra pode ser multiplicada por 3. Ezra afirma que esta pode ser uma linha vertical, e a regra pode ser sempre 0,6. Erik acha que a regra poderia ser adicionada de 1,2 à Sra. Boyd diz que todas as linhas que eles estão descrevendo podem descrever uma linha que contém o ponto que ela deu. Explique como isso é possível e desenhe as linhas no plano de coordenadas para apoiar sua resposta.

Experimente a calculadora e solucionador de problemas Mathway grátis abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

Agradecemos seus comentários, comentários e perguntas sobre este site ou página. Envie seus comentários ou perguntas por meio de nossa página de comentários.


1.2: Outras Regras - Matemática

Uma introdução à lógica

Em debates, muitas vezes descubro que as pessoas não estão dispostas a aceitar as regras da lógica e fazem comentários tolos como, & # 8220 bem, você & # 8217 tem direito à sua opinião. & # 8221 Na realidade, as regras da lógica são como as regras da matemática. Eles são uma propriedade inerente e imutável da existência, não opiniões. Assim como 2 + 2 sempre é igual a quatro, as regras da lógica são sempre verdadeiras e sempre devem ser seguidas. Para ilustrar, a regra mais básica na qual todas as outras regras se baseiam é conhecida como Lei da Não-Contradição. Afirma que algo não pode ser A e não A simultaneamente. Em outras palavras, duas coisas mutuamente exclusivas não podem existir simultaneamente. Por exemplo, você não pode ter um triângulo circular, porque um círculo, por definição, não tem linhas retas e nem cantos, e um triângulo, por definição, tem três linhas retas e três cantos. Um objeto não pode ter simultaneamente zero cantos e zero linhas e três cantos e três linhas. Isso não é uma opinião, é uma propriedade imutável. Se você rejeita as regras da lógica, então acaba de reconhecer a possibilidade de um círculo triangular e, de fato, todo pensamento racional se desintegra. Veja, todos nós sabemos intrinsecamente e intuitivamente que as regras da lógica funcionam, e as aplicamos em nossas vidas diárias, simplesmente não pensamos nelas em termos técnicos. Por exemplo, suponha que seu indicador de combustível mostre que você está com pouca gasolina e você sabe que seu indicador de combustível está funcionando. O que você conclui? Obviamente, você vai concluir que está com pouco combustível, mas por que chegou a essa conclusão? Mesmo sem você saber, seu cérebro fez o seguinte:

  1. Meu medidor de combustível é projetado para me dizer quanto combustível eu tenho
  2. Eu sei que meu medidor de combustível funciona
  3. Meu medidor de combustível diz que estou com pouco combustível
  4. Portanto, estou com pouco combustível.

Essa é a lógica dedutiva pura e simples. Se, no entanto, você nega as leis da lógica e afirma que elas são apenas opiniões, então você simplesmente negou esse silogismo. Em outras palavras, se as regras da lógica não funcionam, então o fato de seu medidor de combustível funcionar e estar mostrando que você está com pouco combustível não significa que você está com pouco combustível. As relações de causa e efeito operam por causa das regras da lógica. Portanto, se você negar as regras da lógica, negará causa e efeito.

Mencionei anteriormente que as regras da lógica são como as regras da matemática. Na verdade, eles não são exatamente como a matemática, a matemática depende deles. Por exemplo, qualquer pessoa que estudou geometria provavelmente foi apresentada às provas. Esses são silogismos lógicos simples. Por exemplo,

  1. A soma dos ângulos de qualquer triângulo igual a 180 graus
  2. Para triângulo ABC, ângulo A = 90
  3. Para triângulo ABC, ângulo B = 45
  4. Portanto, para o triângulo ABC, ângulo C = 45

Observe, a conclusão é feita absolutamente necessária pelas premissas. Se 1–3 for verdadeiro, então 4 deve ser absolutamente verdadeiro. O ângulo C não pode ser diferente de 45. Isso é lógico. Não é uma opinião, é uma propriedade inerente do universo que deve ser absolutamente aceita. Se você rejeita as regras da lógica, também deve rejeitar as regras da matemática.

Os cristãos devem seguir as regras da lógica?

Pode parecer estranho que eu esteja destacando cristãos em um blog sobre ciência, mas em questões científicas como mudança climática e evolução, muitas vezes acho que os cristãos hesitam em aceitar argumentos lógicos e muitas vezes respondem a eles com afirmações como & # 8220Logic é apenas a sabedoria do homem, mas Deus é superior ao homem, portanto, não devemos confiar na lógica do homem e, em vez disso, devemos confiar em Deus. & # 8221 Quero abordar esse argumento, porque o encontro com frequência, e parece que muitas vezes ser uma razão subjacente para rejeitar a ciência. Para ser claro, não vou entrar em um debate sobre teísmo ou ateísmo, ao invés disso, vou simplesmente abordar a questão de se a crença em Deus de alguma forma o torna isento das regras da lógica.

Primeiro, esse argumento é obviamente dependente da crença de que Deus é realmente real. Portanto, o argumento é baseado na fé, o que é problemático para dizer o mínimo (novamente, eu & # 8217m não estou dizendo a você em que acreditar, mas você deve estar ciente de que este argumento é baseado em uma premissa que não pode ser provada, o que significa que vai ser totalmente convincente para quem não compartilha de sua fé). No entanto, para fins de argumentação, vamos supor por um segundo que os cristãos estão certos e que Deus realmente existe. Se ele é real, então ele, como tudo o mais, deve estar sujeito às leis da lógica. Posso provar isso por meio da lei da não-contradição. Considere o seguinte diálogo hipotético entre dois cristãos:

1. (Cristão 1) & # 8220Pode Deus fazer algo de mal? & # 8221
2. (Cristão 2) & # 8220Não & # 8221 3. (Cristão 1) & # 8220Por que não?
4. (Cristão 2) & # 8220 Porque sua natureza inerente é perfeitamente boa. & # 8221
5. (Cristão 1) & # 8220 Por que sua natureza inerente o impede de fazer qualquer coisa má? & # 8221
6. (Cristão 2) & # 8220Porque, & # 8217s impossível ser perfeitamente bom e fazer algo mau. & # 8221

O nº 6 parece familiar? É uma afirmação da lei da não contradição. Se Deus não fosse limitado pelas leis da lógica, então ele poderia ser mau e perfeitamente bom simultaneamente, mas todo cristão concorda que ele não pode fazer nada de mal, portanto, se ele existe, ele deve ser limitado pelas leis da lógica (nota: isto também é a resposta apropriada aos criacionistas & # 8217 absurdos e Ad hoc alegação de que a lógica não existiria sem Deus, é claro que sim, uma vez que, se ele existe, deve estar vinculado a ela).

O que acabei de argumentar muitas vezes deixa os cristãos irados porque veem isso como um ataque à onipotência de Deus, mas isso é apenas porque eles não entendem o conceito de onipotência. Os filósofos concordam universalmente que & # 8220a capacidade de fazer qualquer coisa & # 8221 é uma definição terrível para onipotência. A definição mais amplamente aceita é & # 8220A capacidade de fazer qualquer coisa logicamente possível, se quisermos. & # 8221 A razão para essa definição torna-se óbvia se voltarmos ao exemplo de um círculo triangular. Não importa o quão poderoso um ser possa ser, ele não seria capaz de fazer um círculo triangular porque não é logicamente possível que tal objeto exista.

Portanto, em suma, mesmo um ser onipotente teria de ser limitado pelas leis da lógica e não seria capaz de fazer nada que não fosse logicamente possível. Portanto, afirma que não devemos seguir as leis da lógica porque, & # 8220 são apenas opiniões, & # 8221 ou & # 8220 são a sabedoria do homem & # 8217s, & # 8221 ou & # 8220todas as coisas são possíveis para Deus & # 8221 são bobos e inválidos. As leis da lógica sempre são verdadeiras e devem sempre ser seguidas em todas as conversas e debates racionais, independentemente de suas crenças religiosas.


Fatos de multiplicação - dicas, regras e truques para ajudá-lo a aprender

Memorizar toda a Tabela de Multiplicação pode parecer bastante opressor no início. A chave para aprender seus fatos de multiplicação é quebrar o processo em lições gerenciáveis. Isso é feito por meio de uma série de regras ou “truques” que podem ser aprendidos. Depois de dominá-los, você verá que só é necessário memorizar dez fatos de multiplicação! Em primeiro lugar, entretanto, existem vários conceitos-chave que devem ser compreendidos. [legenda align = “aligncenter” largura = “640”] A multiplicação pode ser realizada com adição e subtração básicas [/ legenda]

  • O primeiro é aquele a multiplicação é simplesmente uma maneira rápida de unir grupos de tamanhos iguais por meio de adição repetida. Vamos analisar um problema juntos:

Sarah tem 4 caixas de giz de cera. Existem 3 lápis em cada caixa. Quantos lápis de cera Sarah tem no total? Este problema pode ser resolvido através da adição repetida:

Uma versão abreviada disso seria usar a frase de multiplicação:

  • O segundo conceito que deve ser entendido é o que cada número no problema de multiplicação representa. Vamos examinar o mesmo problema novamente:

Sarah tem 4 caixas de giz de cera. Existem 3 lápis em cada caixa. Quantos lápis de cera Sarah tem no total?

Nesse caso, o (4) representa o número de grupos no problema. (Havia 4 caixas.) O (3) representa quantos objetos / itens estavam em cada grupo. (Havia 3 lápis de cor em cada caixa.)

  • O terceiro conceito que o ajudará a aprender seus fatos de multiplicação é o Propriedade comutativa da multiplicação. Isso afirma que quando dois números são multiplicados juntos, o produto (ou resposta) é o mesmo, independentemente da ordem dos números. Por exemplo:

3 x 2 = 2 x 3


Regras básicas de divisibilidade

Aqui estão alguns exemplos de questões que podem ser resolvidas usando algumas das regras de divisibilidade acima.

  • Como o último dígito de 65973390 é 0, ele é divisível por 2.
  • Como 6 + 5 + 9 + 7 + 3 + 3 + 9 + 0 = 42 6 + 5 + 9 + 7 + 3 + 3 + 9 + 0 = 42 6 + 5 + 9 + 7 + 3 + 3 + 9 + 0 = 4 2, que é divisível por 3, segue-se que 65973390 é divisível por 3.
  • Como o último dígito de 65973390 é 0, ele é divisível por 5.
  • Para verificar a divisibilidade por 7, como etapa inicial, calculamos 6597339 - 2 (0) = 6597339 6597339-2 (0) = 6597339 6 5 9 7 3 3 9 - 2 (0) = 6 5 9 7 3 3 9. No entanto, esse número ainda é um pouco grande para sabermos se ele é divisível por 7. Nesses casos, aplicamos a regra de divisibilidade repetidamente até que tenhamos um número pequeno o suficiente para trabalhar: 659733 - 2 (9) = 659715 65971 - 2 (5) = 65961 6596 - 2 (1) = 6594 659 - 2 (4) = 651 65 - 2 (1) = 63. begin659733-2 (9) & amp = 659715 65971-2 (5) & amp = 65961 6596-2 (1) & amp = 6594 659-2 (4) & amp = 651 65-2 (1) & amp = 63. end 6 5 9 7 3 3 - 2 (9) 6 5 9 7 1 - 2 (5) 6 5 9 6 - 2 (1) 6 5 9 - 2 (4) 6 5 - 2 (1) = 6 5 9 7 1 5 = 6 5 9 6 1 = 6 5 9 4 = 6 5 1 = 6 3. Agora podemos ver que ficamos com 63, 63, 6 3, que podemos facilmente identificar como um múltiplo de 7. Portanto, 65973390 também é um múltiplo de 7.

Experimente alguns problemas para ver se você entende este tópico:

Se sabemos que um inteiro é um múltiplo de 5, quantas possibilidades existem para os dois últimos dígitos do inteiro?


1.2 Decimais e Números Reais

Temos uma ótima maneira de representar números incluindo frações, e isso é como expansões decimais. Suponha que consideremos números como ( frac <1> <10> ), ( frac <2> <10> ), (que é o mesmo que ( frac <1> <5> )) , ( frac <3> <10> ) e assim por diante.

Nós os escrevemos como (. 1, .2, .3 ) e assim por diante. A vírgula decimal é um código que nos diz que o dígito imediatamente posterior deve ser dividido por dez.

Podemos estender isso para inteiros divididos por cem, adicionando um segundo dígito após a vírgula decimal. Portanto, (. 24 ) significa ( frac <24> <100> ). E podemos continuar em frente e descrever inteiros divididos por mil ou por milhão e assim por diante, por sequências cada vez mais longas de inteiros após a vírgula decimal.

No entanto, não obteremos todos os números racionais dessa maneira se pararmos. Obteremos apenas números racionais cujos denominadores sejam potências de dez. Um número como 1/3 se tornará (. 33333. ), Onde os três continuam para sempre. (Isso geralmente é escrito como (. 3 * ), a estrela indicando que o que imediatamente o precede deve ser repetido indefinidamente)

Para obter todos os números racionais usando essa notação decimal, você deve, portanto, estar disposto a continuar para sempre. Se você fizer isso, obterá ainda mais do que os números racionais. O conjunto de todas as sequências de dígitos começando com um ponto decimal fornece todos os números racionais entre 0 e 1 e ainda mais. O que você recebe são chamados de numeros reais entre 0 e 1. Os números racionais são aqueles que se repetem indefinidamente, como (. 33333. ), ou (. 1000. ), ou (. 14141414. ), (também conhecido como (. ( 14) * )).

Agora, nem você, nem eu, nem qualquer computador vamos continuar para sempre escrevendo um número, então há uma sensação de irrealidade sobre essa noção de números reais, mas e daí? Em sua imaginação, você pode visualizar um fluxo de números que dura para sempre. Isso representará um número real.

Se você parar um número real após um número finito de dígitos, obterá um número racional (porque todas as entradas depois de onde você parou são zeros). Como resultado, as regras de adição, subtração, multiplicação e divisão que funcionam para números racionais podem ser usadas para fazer as mesmas coisas também para números reais. Felizmente, os dígitos que estão bem à direita da vírgula decimal em um número têm pouco efeito nos cálculos quando há dígitos diferentes de zero muito mais próximos da vírgula decimal.

Uma vez que não podemos, na vida real, continuar para sempre a descrever um número real não racional, para fazê-lo temos de descrevê-lo de outra forma. Aqui está um exemplo de uma maneira diferente de descrever um número.
Definimos o número que tem expansão decimal (. 1101001000100001. ) Entre cada par consecutivo de (1 ) 's há um número de (0 )' s que é um a mais do que entre o par consecutivo anterior de 1s.Este número não é racional, não se repete.

Não precisamos fazer isso, mas apenas por diversão, vamos dar um passo adiante e estender nossos números mais uma vez, para números complexos. Isso é necessário se você quiser definir inversos para a operação de quadratura de um número. (Números complexos são entidades da forma (a + bi ) onde (a ) e (b ) são números reais e (i ) ao quadrado é (- 1 ).)


Regras de álgebra para expoentes

O produto de duas potências com a mesma base é igual àquela base elevada à soma dos dois expoentes.

Tal como acontece com muitas regras relacionadas a expoentes, escrever os expoentes como multiplicações torna óbvio porque a regra é verdadeira

Um número elevado a uma potência elevada a uma potência é igual ao número elevado ao produto dos dois expoentes.

Como a regra anterior, esta pode ser demonstrada simplesmente expandindo os expoentes em uma série de multiplicações

Converta uma multiplicação com um expoente no produto de dois fatores, cada um elevado ao expoente.

Graças à propriedade comutativa da multiplicação, qualquer série de multiplicações pode ser reorganizada sem alterar seu valor. Isso significa que podemos pegar uma multiplicação elevada a uma potência e reorganizar a série de multiplicações resultante para fazer dois expoentes

O resultado de um expoente negativo é o inverso do mesmo expoente positivo.

Pode parecer estranho ter um expoente negativo (já que você não pode multiplicar algo por si mesmo um número negativo de vezes). No entanto, se olharmos mais de perto a regra `` a ^ na ^ m = a ^`` podemos ver que isso implica que `` a ^ <-n> `` deve ser igual a `` <1 sobre um ^ n> ``, o multiplicativo inverso ou recíproca de `` a ^ n``.

Isso fica claro olhando para o `` a ^`` lado da equação da regra 11. O que acontece se `` m`` for negativo? Obviamente, isso reduzirá o valor combinado do expoente (por exemplo, `` 2 ^ <4-2> = 2 ^ 2``). O que isso significa para o deixou lado da mão do `` a ^ na ^ m = a ^`` equação? Isso significa que o valor de, por exemplo, `` 2 ^ 4`` deve ser reduzido para `` 2 ^ 2`` quando é multiplicado por `` 2 ^ <-2> ``. Se, como esta regra afirma, `` a ^ <-n> = <1 over a ^ n> ``, isso funcionará perfeitamente: `` 2 ^ 4 * 2 ^ <-2> = 2 ^ 4 * < 1 over 2 ^ 2> = 16 * <1 over 4> = 4 = 2 ^ 2 = 2 ^ <4-2> ``

Uma fração elevada a um expoente negativo é igual ao inverso da fração elevada a um expoente positivo.

O recíproco de uma fração é a fração girada em sua cabeça: o recíproco de `` <2 over 3> `` é `` <3 over 2> ``. Sabemos pela regra anterior que `` a ^ <-n> `` é o recíproco de `` a ^ n``, então podemos simplesmente converter a fração em seu recíproco trocando o numerador e denominador, e então o expoente torna-se positivo. Positividade é uma coisa tão boa!

Uma fração com um expoente é igual à mesma fração com o expoente no numerador e denominador.

Isso parece estranho no início, mas as razões por trás disso são bem simples. Se estivéssemos prestando atenção quando alguém nos disse como multiplicar frações (isso é duvidoso, mas continuaremos de qualquer maneira), lembraremos que para multiplicar duas frações, você simplesmente multiplica os numeradores entre si e multiplica os denominadores entre si para obter a fração resultante. Esta regra decorre desse fato.

Se a parte superior e inferior de uma fração forem expoentes com a mesma base, a fração será igual à base elevada ao expoente do numerador menos o expoente do denominador.

Este é muito simples. Uma vez que a divisão é o inverso da multiplicação, multiplicar um número por ele mesmo algumas vezes e, em seguida, dividi-lo por si mesmo multiplicado algumas vezes é o mesmo que apenas multiplicá-lo por si mesmo algumas vezes menos.

Qualquer coisa elevada à potência zero é igual a 1.

Esta regra pode parecer arbitrária, mas é necessária para manter a consistência com outras propriedades dos expoentes. Considere a regra `` a ^ na ^ m = a ^``. O que acontece se `` m = 0``? O lado direito da equação será `` a ^`` ou `` a ^ n``. Isso significa que no lado esquerdo, `` a ^ n`` deve ser multiplicado pelo valor de `` a ^ 0``, mas permanecer inalterado. A única maneira de ser este o caso é `` a ^ 0 = 1``. (Para alguma discussão do caso peculiar de `` 0 ^ 0`` e por que (provavelmente) deve ser igual a `` 1``, ​​consulte este artigo.)