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2.6: Transformação de Funções


objetivos de aprendizado

  • Funções de gráfico usando deslocamentos verticais e horizontais.
  • Funções de gráfico usando reflexões sobre o eixo xe o eixo y.
  • Determine se uma função é par, ímpar ou nenhum de seu gráfico.
  • Gráfico de funções usando compressões e alongamentos.
  • Combine transformações.

Todos nós sabemos que um espelho plano nos permite ver uma imagem precisa de nós mesmos e de tudo o que está atrás de nós. Quando inclinamos o espelho, as imagens que vemos podem mudar horizontalmente ou verticalmente. Mas o que acontece quando dobramos um espelho flexível? Como um espelho de parque de diversões de carnaval, ele nos apresenta uma imagem distorcida de nós mesmos, esticada ou comprimida horizontalmente ou verticalmente. De maneira semelhante, podemos distorcer ou transformar funções matemáticas para melhor adaptá-las para descrever objetos ou processos no mundo real. Nesta seção, daremos uma olhada em vários tipos de transformações.

Freqüentemente, quando temos um problema, tentamos modelar o cenário usando matemática na forma de palavras, tabelas, gráficos e equações. Um método que podemos empregar é adaptar os gráficos básicos das funções do kit de ferramentas para construir novos modelos para um determinado cenário. Existem maneiras sistemáticas de alterar funções para construir modelos apropriados para os problemas que estamos tentando resolver.

Identificação de mudanças verticais

Um tipo simples de transformação envolve o deslocamento de todo o gráfico de uma função para cima, para baixo, para a direita ou para a esquerda. O deslocamento mais simples é um deslocamento vertical, movendo o gráfico para cima ou para baixo, porque essa transformação envolve a adição de uma constante positiva ou negativa à função. Em outras palavras, adicionamos a mesma constante ao valor de saída da função, independentemente da entrada. Para uma função (g (x) = f (x) + k ), a função (f (x) ) é deslocada verticalmente (k ) unidades. Veja a Figura ( PageIndex {2} ) para um exemplo.

Para ajudá-lo a visualizar o conceito de deslocamento vertical, considere que (y = f (x) ). Portanto, (f (x) + k ) é equivalente a (y + k ). Cada unidade de (y ) é substituída por (y + k ), então o valor de (y ) aumenta ou diminui dependendo do valor de (k ). O resultado é uma mudança para cima ou para baixo.

Definição: Deslocamento Vertical

Dada uma função (f (x) ), uma nova função (g (x) = f (x) + k ), onde (k ) é uma constante, é um mudança vertical da função (f (x) ). Todos os valores de saída mudam em unidades (k ). Se (k ) for positivo, o gráfico será deslocado para cima. Se (k ) for negativo, o gráfico será deslocado para baixo.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Adicionando uma constante a uma função

Para regular a temperatura em um edifício verde, as aberturas de ventilação perto do telhado abrem e fecham ao longo do dia. A Figura ( PageIndex {3} ) mostra a área de aberturas abertas (V ) (em pés quadrados) ao longo do dia em horas após a meia-noite, (t ). Durante o verão, o gerente das instalações decide tentar regular melhor a temperatura aumentando a quantidade de aberturas de ventilação em 6 metros quadrados durante o dia e a noite. Esboce um gráfico desta nova função.

Solução

Podemos esboçar um gráfico dessa nova função adicionando 20 a cada um dos valores de saída da função original. Isso terá o efeito de deslocar o gráfico verticalmente para cima, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {4} ).

Observe que na Figura ( PageIndex {4} ), para cada valor de entrada, o valor de saída aumentou em 20, então se chamarmos a nova função (S (t) ), poderíamos escrever

[S (t) = V (t) +20 ]

Essa notação nos diz que, para qualquer valor de (t ), (S (t) ) pode ser encontrado avaliando a função (V ) na mesma entrada e adicionando 20 ao resultado. Isso define (S ) como uma transformação da função (V ), neste caso um deslocamento vertical de até 20 unidades. Observe que, com um deslocamento vertical, os valores de entrada permanecem os mesmos e apenas os valores de saída mudam. Veja Tabela ( PageIndex {1} ).

Tabela ( PageIndex {1} )

(t )

0810171924

(V (t) )

0022022000

(S (t) )

20202402402020

Como...

Dada uma função tabular, crie uma nova linha para representar um deslocamento vertical.

  1. Identifique a linha ou coluna de saída.
  2. Determinar o magnitude da mudança.
  3. Adicione a mudança ao valor em cada célula de output. Adicione um valor positivo para cima ou um valor negativo para baixo.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Deslocando uma função tabular verticalmente

Uma função (f (x) ) é fornecida na Tabela ( PageIndex {2} ). Crie uma tabela para a função (g (x) = f (x) −3 ).

Tabela ( PageIndex {2} )

(x )

2468

(f (x) )

13711

Solução

A fórmula (g (x) = f (x) −3 ) nos diz que podemos encontrar os valores de saída de (g ) subtraindo 3 dos valores de saída de (f ). Por exemplo:

[ begin {align *} f (x) & = 1 & text {Dado} [4pt] g (x) & = f (x) -3 & text {Dado Transformação} [4pt] g (2) & = f (2) −3 & = 1-3 & = - 2 end {alinhar *} ]

Subtraindo 3 de cada valor (f (x) ), podemos completar uma tabela de valores para (g (x) ) como mostrado na Tabela ( PageIndex {3} ).

Tabela ( PageIndex {3} )

(x )

2468

(f (x) )

13711

(g (x) )

-2048

Análise

Como com a mudança vertical anterior, observe que os valores de entrada permanecem os mesmos e apenas os valores de saída mudam.

Exercício ( PageIndex {1} )

A função (h (t) = - 4,9t ^ 2 + 30t ) dá a altura (h ) de uma bola (em metros) lançada do solo para cima após (t ) segundos. Suponha que a bola tenha sido lançada do topo de um edifício de 10 m. Relacione esta nova função de altura (b (t) ) a (h (t) ) e, em seguida, encontre uma fórmula para (b (t) ).

Responder

(b (t) = h (t) + 10 = −4,9t ^ 2 + 30t + 10 )

Identificação de mudanças horizontais

Acabamos de ver que o deslocamento vertical é uma mudança na saída, ou fora, da função. Veremos agora como as mudanças na entrada, dentro da função, mudam seu gráfico e significado. Uma mudança na entrada resulta em um movimento do gráfico da função para a esquerda ou direita no que é conhecido como um mudança horizontal, mostrado na Figura ( PageIndex {4} ).

Por exemplo, se (f (x) = x ^ 2 ), então (g (x) = (x − 2) ^ 2 ) é uma nova função. Cada entrada é reduzida em 2 antes de elevar a função ao quadrado. O resultado é que o gráfico é deslocado 2 unidades para a direita, porque precisaríamos aumentar a entrada anterior em 2 unidades para produzir o mesmo valor de saída dado em (f ).

Definição: deslocamento horizontal

Dada uma função (f ), uma nova função (g (x) = f (x − h) ), onde (h ) é uma constante, é um mudança horizontal da função (f ). Se (h ) for positivo, o gráfico se deslocará para a direita. Se (h ) for negativo, o gráfico se deslocará para a esquerda.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Adicionando uma constante a uma entrada

Voltando ao nosso exemplo de fluxo de ar do edifício da Figura ( PageIndex {2} ), suponha que no outono o gerente das instalações decida que o plano de ventilação original começa muito tarde e deseja iniciar todo o programa de ventilação 2 horas antes. Esboce um gráfico da nova função.

Solução

Podemos definir (V (t) ) como o programa original e (F (t) ) como o programa revisado.

[V (t) = text {o plano de ventilação original} nonumber ]

[F (t) = text {começando 2 horas antes} nonumber ]

No novo gráfico, a cada momento, o fluxo de ar é o mesmo que a função original (V ) era 2 horas depois. Por exemplo, na função original (V ), o fluxo de ar começa a mudar às 8h, enquanto para a função (F ), o fluxo de ar começa a mudar às 6h. Os valores da função comparável são (V (8 ) = F (6) ). Veja a Figura ( PageIndex {5} ). Observe também que as aberturas abriram pela primeira vez para (220 text {ft} ^ 2 ) às 10 horas sob o plano original, enquanto sob o novo plano as aberturas alcançam (220 text {ft} ^ 2 ) às 8 am, então (V (10) = F (8) ).

Em ambos os casos, vemos que, porque (F (t) ) começa 2 horas antes, (h = −2 ). Isso significa que os mesmos valores de saída são alcançados quando (F (t) = V (t - (- 2)) = V (t + 2) ).

Análise

Observe que (V (t + 2) ) tem o efeito de deslocar o gráfico para a esquerda.

Mudanças horizontais ou “mudanças internas” afetam o domínio de uma função (a entrada) em vez do intervalo e muitas vezes parecem contra-intuitivas. A nova função (F (t) ) usa as mesmas saídas que (V (t) ), mas associa essas saídas às entradas 2 horas antes daquelas de (V (t) ). Dito de outra forma, devemos adicionar 2 horas à entrada de (V ) para encontrar a saída correspondente para (F: F (t) = V (t + 2) ).

Como...

Dada uma função tabular, crie uma nova linha para representar um deslocamento horizontal.

  1. Identifique a linha ou coluna de entrada.
  2. Determine a magnitude da mudança.
  3. Adicione a mudança ao valor em cada célula de entrada.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Deslocando uma função tabular horizontalmente

Uma função (f (x) ) é fornecida na Tabela ( PageIndex {4} ). Crie uma tabela para a função (g (x) = f (x − 3) ).

Tabela ( PageIndex {4} )

(x )

2468

(f (x) )

13711

Solução

A fórmula (g (x) = f (x − 3) ) nos diz que os valores de saída de (g ) são iguais aos valores de saída de (f ) quando o valor de entrada é 3 menor que o valor original. Por exemplo, sabemos que (f (2) = 1 ). Para obter a mesma saída da função (g ), precisaremos de um valor de entrada 3 maior. Introduzimos um valor que é 3 maior para (g (x) ) porque a função tira 3 antes de avaliar a função (f ).

[ begin {align *} g (5) & = f (5-3) & = f (2) & = 1 end {align *} ]

Continuamos com os outros valores para criar Table ( PageIndex {5} ).

Tabela ( PageIndex {5} )

(x )

57911

(x-3 )

2468

(f (x) )

13711

(g (x) )

13711

O resultado é que a função (g (x) ) foi deslocada para a direita em 3. Observe que os valores de saída para (g (x) ) permanecem os mesmos que os valores de saída para (f (x) ), mas os valores de entrada correspondentes, (x ), mudaram para a direita em 3. Especificamente, 2 mudou para 5, 4 mudou para 7, 6 mudou para 9 e 8 mudou para 11.

Análise

Figura ( PageIndex {6} ) representa ambas as funções. Podemos ver o deslocamento horizontal em cada ponto.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Identificando um deslocamento horizontal de uma função do kit de ferramentas

Figura ( PageIndex {7} ) representa uma transformação da função do kit de ferramentas (f (x) = x ^ 2 ). Relacione esta nova função (g (x) ) com (f (x) ) e, em seguida, encontre uma fórmula para (g (x) ).

Solução

Observe que o gráfico é idêntico em forma à função (f (x) = x ^ 2 ), mas os valores (x ) - são deslocados para as 2 unidades à direita. O vértice costumava estar em ((0,0) ), mas agora o vértice está em ((2,0) ). O gráfico é a função quadrática básica deslocada 2 unidades para a direita, então

[g (x) = f (x − 2) nonumber ]

Observe como devemos inserir o valor (x = 2 ) para obter o valor de saída (y = 0 ); os valores (x ) - devem ser 2 unidades maiores por causa do deslocamento para a direita em 2 unidades. Podemos então usar a definição da função (f (x) ) para escrever uma fórmula para (g (x) ) avaliando (f (x − 2) ).

[ begin {align *} f (x) & = x ^ 2 g (x) & = f (x-2) g (x) & = f (x-2) = (x-2) ) ^ 2 end {alinhar *} ]

Análise

Para determinar se o deslocamento é (+ 2 ) ou (- 2 ), considere um único ponto de referência no gráfico. Para um quadrático, olhar para o ponto do vértice é conveniente. Na função original, (f (0) = 0 ). Em nossa função deslocada, (g (2) = 0 ). Para obter o valor de saída 0 da função (f ), precisamos decidir se um sinal de mais ou menos funcionará para satisfazer (g (2) = f (x − 2) = f (0) = 0 ). Para que isso funcione, precisaremos subtrair 2 unidades de nossos valores de entrada.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Interpretando deslocamentos horizontais versus verticais

A função (G (m) ) fornece o número de galões de gás necessários para conduzir (m ) milhas. Interpretar (G (m) +10 ) e (G (m + 10) )

Solução

(G (m) +10 ) pode ser interpretado como a adição de 10 à saída, galões. Este é o gás necessário para conduzir (m ) milhas, mais outros 10 galões de gás. O gráfico indicaria uma mudança vertical.

(G (m + 10) ) pode ser interpretado como a adição de 10 à entrada, milhas. Portanto, este é o número de galões de gás necessários para dirigir 10 milhas a mais do que (m ) milhas. O gráfico indicaria uma mudança horizontal.

Exercício ( PageIndex {7} )

Dada a função (f (x) = sqrt {x} ), represente graficamente a função original (f (x) ) e a transformação (g (x) = f (x + 2) ) no mesmos eixos. É uma mudança horizontal ou vertical? Em que direção o gráfico é deslocado e em quantas unidades?

Responder

Os gráficos de (f (x) ) e (g (x) ) são mostrados abaixo. A transformação é uma mudança horizontal. A função é deslocada para a esquerda em 2 unidades.

Combinando mudanças verticais e horizontais

Agora que temos duas transformações, podemos combiná-las. Os deslocamentos verticais são mudanças externas que afetam os valores do eixo de saída ((y -) ) e deslocam a função para cima ou para baixo. Os deslocamentos horizontais são mudanças internas que afetam os valores do eixo de entrada ((x -) ) e deslocam a função para a esquerda ou direita. Combinar os dois tipos de deslocamento fará com que o gráfico de uma função se desloque para cima ou para baixo e para a direita ou esquerda.

Como...

Dada uma função e um deslocamento vertical e horizontal, esboce o gráfico.

  1. Identifique as mudanças verticais e horizontais da fórmula.
  2. O deslocamento vertical resulta de uma constante adicionada à saída. Mova o gráfico para cima para uma constante positiva e para baixo para uma constante negativa.
  3. O deslocamento horizontal resulta de uma constante adicionada à entrada. Mova o gráfico para a esquerda para uma constante positiva e para a direita para uma constante negativa.
  4. Aplique as mudanças ao gráfico em qualquer ordem.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Representação gráfica de deslocamentos verticais e horizontais combinados

Dado (f (x) = | x | ), esboce um gráfico de (h (x) = f (x + 1) −3 ).

Solução

A função (f ) é a função de valor absoluto do nosso kit de ferramentas. Sabemos que este gráfico tem a forma de V, com o ponto na origem. O gráfico de (h ) transformou (f ) de duas maneiras: (f (x + 1) ) é uma mudança no interior da função, dando um deslocamento horizontal para a esquerda em 1 e a subtração por 3 em (f (x + 1) −3 ) é uma mudança para o exterior da função, dando um deslocamento vertical para baixo em 3. A transformação do gráfico é ilustrada na Figura ( PageIndex {9} )

Vamos seguir um ponto do gráfico de (f (x) = | x | ).

  • O ponto ((0,0) ) é transformado primeiro deslocando 1 unidade para a esquerda: ((0,0) rightarrow (−1,0) )
  • O ponto ((- 1,0) ) é transformado em seguida deslocando 3 unidades para baixo: ((- 1,0) rightarrow (−1, −3) )

A Figura ( PageIndex {10} ) mostra o gráfico de (h ).

Exercício ( PageIndex {8} )

Dado (f (x) = | x | ), esboce um gráfico de (h (x) = f (x − 2) +4 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {9} ): Identificando deslocamentos verticais e horizontais combinados

Escreva uma fórmula para o gráfico mostrado na Figura ( PageIndex {12} ), que é uma transformação da função de raiz quadrada do kit de ferramentas.

Solução

O gráfico da função do kit de ferramentas começa na origem, portanto, este gráfico foi deslocado 1 para a direita e para cima 2. Em notação de função, poderíamos escrever isso como

[h (x) = f (x − 1) +2 nonumber ]

Usando a fórmula para a função de raiz quadrada, podemos escrever

[h (x) = sqrt {x − 1} +2 nonumber ]

Análise

Observe que essa transformação mudou o domínio e o intervalo da função. Este novo gráfico tem domínio ( left [1, infty right) ) e intervalo ( left [2, infty right) ).

Exercício ( PageIndex {9} )

Escreva uma fórmula para uma transformação da função recíproca do kit de ferramentas (f (x) = frac {1} {x} ) que desloca o gráfico da função uma unidade para a direita e uma unidade para cima.

Responder

[g (x) = dfrac {1} {x-1} +1 não numérico ]

Gráficos de funções usando reflexões sobre os eixos

Outra transformação que pode ser aplicada a uma função é uma reflexão sobre o eixo x ou y. UMA reflexão vertical reflete um gráfico verticalmente no eixo x, enquanto um reflexão horizontal reflete um gráfico horizontalmente no eixo y. Os reflexos são mostrados na Figura ( PageIndex {13} ).

.

Observe que a reflexão vertical produz um novo gráfico que é uma imagem espelhada da base ou gráfico original sobre o eixo x. A reflexão horizontal produz um novo gráfico que é uma imagem espelhada da base ou gráfico original sobre o eixo y.

Definições: Reflexões

Dada uma função (f (x) ), uma nova função (g (x) = - f (x) ) é um reflexão vertical da função (f (x) ), às vezes chamada de reflexão sobre (ou sobre ou através) do eixo x.

Dada uma função (f (x) ), uma nova função (g (x) = f (−x) ) é um reflexão horizontal da função (f (x) ), às vezes chamada de reflexão sobre o eixo y.

Como...

Dada uma função, reflita o gráfico vertical e horizontalmente.

  1. Multiplique todas as saídas por -1 para obter uma reflexão vertical. O novo gráfico é um reflexo do gráfico original sobre o eixo x.
  2. Multiplique todas as entradas por -1 para uma reflexão horizontal. O novo gráfico é um reflexo do gráfico original sobre o eixo y.

Exemplo ( PageIndex {10} ): Refletindo um gráfico horizontal e verticalmente

Reflita o gráfico de (s (t) = sqrt {t} ) (a) verticalmente e (b) horizontalmente.

Solução

uma. Refletir o gráfico verticalmente significa que cada valor de saída será refletido sobre o eixo t horizontal, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {14} ).

Como cada valor de saída é o oposto do valor de saída original, podemos escrever

[V (t) = - s (t) text {ou} V (t) = - sqrt {t} nonumber ]

Observe que esta é uma mudança externa, ou deslocamento vertical, que afeta os valores de saída (s (t) ), portanto, o sinal negativo pertence fora da função.

b. Refletir horizontalmente significa que cada valor de entrada será refletido sobre o eixo vertical, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {15} ).

Como cada valor de entrada é o oposto do valor de entrada original, podemos escrever

[H (t) = s (−t) text {ou} H (t) = sqrt {−t} nonumber ]

Observe que esta é uma mudança interna ou horizontal que afeta os valores de entrada, portanto, o sinal negativo está dentro da função.

Observe que essas transformações podem afetar o domínio e o intervalo das funções.Embora a função de raiz quadrada original tenha domínio ( left [0, infty right) ) e intervalo ( left [0, infty right) ), a reflexão vertical fornece o (V (t) ) função o intervalo ( left (- infty, 0 right] ) e a reflexão horizontal dá à função (H (t) ) o domínio ( left (- infty, 0 right] ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Reflita o gráfico de (f (x) = | x − 1 | ) (a) verticalmente e (b) horizontalmente.

Responder

uma.

b.

Exemplo ( PageIndex {11} ): Refletindo uma função tabular horizontal e verticalmente

Uma função (f (x) ) é fornecida como Tabela ( PageIndex {6} ). Crie uma tabela para as funções abaixo.

uma. (g (x) = - f (x) )
b. (h (x) = f (−x) )

Tabela ( PageIndex {6} )

(x )

2468

(f (x) )

13711

uma. Para (g (x) ), o sinal negativo fora da função indica uma reflexão vertical, então os valores x permanecem os mesmos e cada valor de saída será o oposto do valor de saída original. Veja Tabela ( PageIndex {7} ).

Tabela ( PageIndex {7} )

(x )

2468

(g (x) )

-1-3-7-11

b. Para (h (x) ), o sinal negativo dentro da função indica uma reflexão horizontal, então cada valor de entrada será o oposto do valor de entrada original e os valores de (h (x) ) permanecem os mesmos que o (f (x) ) valores. Veja Tabela ( PageIndex {8} ).

Tabela ( PageIndex {8} )

(x )

-2-4-6-8

(h (x) )

13711

Exercício ( PageIndex {6} )

Uma função (f (x) ) é fornecida como Tabela ( PageIndex {9} ). (h (x) = f (−x) )

Tabela ( PageIndex {9} )

(x )

-2024

(f (x) )

5101520
Responder

uma. (g (x) = - f (x) )

Tabela ( PageIndex {10} )

(x )

-2024

(g (x) )

-5-10-15-20

b. (h (x) = f (−x) )

Tabela ( PageIndex {11} )

(x )

-202-4

(h (x) )

1510520

Exemplo ( PageIndex {12} ): Aplicando uma Equação de Modelo de Aprendizagem

Um modelo comum de aprendizagem tem uma equação semelhante a (k (t) = - 2 ^ {- t} +1 ), onde (k ) é a porcentagem de domínio que pode ser alcançada após (t ) sessões práticas. Esta é uma transformação da função (f (t) = 2 ^ t ) mostrada na Figura ( PageIndex {18} ). Esboce um gráfico de (k (t) ).

Solução

Esta equação combina três transformações em uma equação.

  • Uma reflexão horizontal: (f (−t) = 2 ^ {- t} )
  • Uma reflexão vertical: (- f (−t) = - 2 ^ {- t} )
  • Um deslocamento vertical: (- f (−t) + 1 = −2 ^ {- t} +1 )

Podemos esboçar um gráfico aplicando essas transformações, uma de cada vez, à função original. Vamos seguir dois pontos em cada uma das três transformações. Vamos escolher os pontos ((0, 1) ) e ((1, 2) ).

  • Primeiro, aplicamos uma reflexão horizontal: ((0, 1) ; (–1, 2) ).
  • Em seguida, aplicamos uma reflexão vertical: ((0, −1) ; (-1, –2) ).
  • Finalmente, aplicamos um deslocamento vertical: ((0, 0) ; (-1, -1) ).

Isso significa que os pontos originais, ((0,1) ) e ((1,2) ) tornam-se ((0,0) ) e ((- 1, -1) ) após nós aplique as transformações.

Na Figura ( PageIndex {19} ), o primeiro gráfico resulta de uma reflexão horizontal. O segundo resulta de uma reflexão vertical. O terceiro resulta de um deslocamento vertical para cima 1 unidade.

Análise

Como modelo de aprendizagem, esta função estaria limitada a um domínio de (t geq0 ), com intervalo correspondente ( left [0,1 right) ).

Exercício ( PageIndex {7} )

Dada a função do kit de ferramentas (f (x) = x ^ 2 ), gráfico (g (x) = - f (x) ) e (h (x) = f (−x) ). Observe qualquer comportamento surpreendente para essas funções.

Responder

Observe: (g (x) = f (−x) ) parece o mesmo que (f (x) ).

Determinando funções pares e ímpares

Algumas funções exibem simetria de modo que os reflexos resultam no gráfico original. Por exemplo, refletir horizontalmente as funções do kit de ferramentas (f (x) = x ^ 2 ) ou (f (x) = | x | ) resultará no gráfico original. Dizemos que esses tipos de gráficos são simétricos em relação ao eixo y. As funções cujos gráficos são simétricos em relação ao eixo y são chamadas até funções.

Se os gráficos de (f (x) = x ^ 3 ) ou (f (x) = frac {1} {x} ) fossem refletidos em ambos os eixos, o resultado seria o gráfico original, como mostrado na Figura ( PageIndex {21} ).

Dizemos que esses gráficos são simétricos em relação à origem. Uma função com um gráfico simétrico em relação à origem é chamada de Função estranha.

Nota: Uma função não pode ser par nem ímpar se não exibir nenhuma das simetrias. Por exemplo, (f (x) = 2 ^ x ) não é par nem ímpar. Além disso, a única função par e ímpar é a função constante (f (x) = 0 ).

Definições: funções pares e ímpares

Uma função é chamada de função par se para cada entrada (x )

(f (x) = f (−x) )

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.

Uma função é chamada de Função estranha se para cada entrada (x )

(f (x) = - f (−x) )

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

Como...

Dada a fórmula para uma função, determine se a função é par, ímpar ou nenhuma.

  1. Determine se a função satisfaz (f (x) = f (−x) ). Se isso acontecer, é mesmo.
  2. Determine se a função satisfaz (f (x) = - f (−x) ). Se isso acontecer, é estranho.
  3. Se a função não atender a nenhuma das regras, não será par nem ímpar.

Exemplo ( PageIndex {13} ): Determinando se uma função é par, ímpar ou nenhuma

A função (f (x) = x ^ 3 + 2x ) é par, ímpar ou nenhum?

Solução

Sem olhar para um gráfico, podemos determinar se a função é par ou ímpar, encontrando fórmulas para as reflexões e determinando se elas nos devolvem à função original. Vamos começar com a regra para funções pares.

[f (−x) = (- x) ^ 3 + 2 (−x) = - x ^ 3−2x nonumber ]

Isso não nos retorna à função original, portanto, essa função não é uniforme. Agora podemos testar a regra para funções estranhas.

[- f (−x) = - (- x ^ 3−2x) = x ^ 3 + 2x nonumber ]

Porque (- f (−x) = f (x) ), esta é uma função ímpar.

Análise

Considere o gráfico de (f ) na Figura ( PageIndex {22} ). Observe que o gráfico é simétrico em relação à origem. Para cada ponto ((x, y) ) no gráfico, o ponto correspondente ((- x, −y) ) também está no gráfico. Por exemplo, ((1, 3) ) está no gráfico de (f ), e o ponto correspondente ((- 1, −3) ) também está no gráfico.

Exercício ( PageIndex {8} )

A função (f (s) = s ^ 4 + 3s ^ 2 + 7 ) é par, ímpar ou nenhum?

Responder

até

Gráficos de funções usando alongamentos e compressões

Adicionar uma constante às entradas ou saídas de uma função mudou a posição de um gráfico em relação aos eixos, mas não afetou a forma de um gráfico. Agora exploramos os efeitos da multiplicação das entradas ou saídas por alguma quantidade.

Podemos transformar o interior (valores de entrada) de uma função ou podemos transformar o exterior (valores de saída) de uma função. Cada mudança tem um efeito específico que pode ser visto graficamente.

Alongamentos e compressões verticais

Quando multiplicamos uma função por uma constante positiva, obtemos uma função cujo gráfico é alongado ou comprimido verticalmente em relação ao gráfico da função original. Se a constante for maior que 1, obtemos um alongamento vertical; se a constante está entre 0 e 1, obtemos um compressão vertical. A Figura ( PageIndex {23} ) mostra uma função multiplicada por fatores constantes 2 e 0,5 e o alongamento vertical e compressão resultantes.

Definições: alongamentos e compressões verticais

Dada uma função (f (x) ), uma nova função (g (x) = af (x) ), onde (a ) é uma constante, é uma alongamento vertical ou compressão vertical da função (f (x) ).

Como...

Dada uma função, represente graficamente seu alongamento vertical.

  1. Identifique o valor de (a ).
  2. Multiplique todos os valores do intervalo por (a )
  3. Se (a> 1 ), o gráfico é alongado por um fator de (a ).
  4. Se (0
  5. Se (a <0 ), o gráfico é alongado ou compactado e também refletido sobre o eixo x.

Exemplo 1.5.14: Representando graficamente um alongamento vertical

Uma função (P (t) ) modela a população de moscas-das-frutas. O gráfico é mostrado na Figura ( PageIndex {24} ).

Um cientista está comparando essa população a outra população, (Q ), cujo crescimento segue o mesmo padrão, mas é duas vezes maior. Esboce um gráfico desta população.

Solução

Como a população é sempre duas vezes maior, os valores de produção da nova população são sempre duas vezes os valores de produção da função original. Graficamente, isso é mostrado na Figura ( PageIndex {25} ).

Se escolhermos quatro pontos de referência, ((0, 1) ), ((3, 3) ), ((6, 2) ) e ((7, 0) ) iremos multiplicar todos das saídas por 2.

O seguinte mostra onde os novos pontos para o novo gráfico serão localizados.

[(0, 1) rightarrow (0, 2) ]

[(3, 3) rightarrow (3, 6) ]

[(6, 2) rightarrow (6, 4) ]

[(7, 0) rightarrow (7, 0) ]

Simbolicamente, o relacionamento é escrito como

[Q (t) = 2P (t) não numérico ]

Isso significa que para qualquer entrada (t ), o valor da função (Q ) é duas vezes o valor da função (P ). Observe que o efeito no gráfico é um alongamento vertical do gráfico, onde cada ponto dobra sua distância do eixo horizontal. Os valores de entrada, (t ), permanecem os mesmos, enquanto os valores de saída são duas vezes maiores do que antes.

Como...

Dada uma função tabular e assumindo que a transformação é um alongamento ou compressão vertical, crie uma tabela para uma compressão vertical.

  1. Determine o valor de (a ).
  2. Multiplique todos os valores de saída por (a ).

Exemplo ( PageIndex {15} ): Encontrando uma compressão vertical de uma função tabular

Uma função (f ) é fornecida como Tabela ( PageIndex {12} ). Crie uma tabela para a função (g (x) = frac {1} {2} f (x) ).

Tabela ( PageIndex {12} )

(x )

2468

(f (x) )

13711

Solução

A fórmula (g (x) = frac {1} {2} f (x) ) nos diz que os valores de saída de (g ) são metade dos valores de saída de (f ) com o mesmo entradas. Por exemplo, sabemos que (f (4) = 3 ). Então

[g (4) = frac {1} {2} f (4) = frac {1} {2} (3) = frac {3} {2} nonumber ]

Fazemos o mesmo para os outros valores para produzir Table ( PageIndex {13} ).

Tabela ( PageIndex {13} )

(x )

2468

(g (x) )

( dfrac {1} {2} ) ( dfrac {3} {2} ) ( dfrac {7} {2} ) ( dfrac {11} {2} )

Análise

O resultado é que a função (g (x) ) foi comprimida verticalmente por ( frac {1} {2} ). Cada valor de saída é dividido pela metade, então o gráfico tem a metade da altura original.

Exercício ( PageIndex {9} )

Uma função (f ) é fornecida como Tabela ( PageIndex {14} ). Crie uma tabela para a função (g (x) = frac {3} {4} f (x) ).

Tabela ( PageIndex {14} )

(x )

2468

(f (x) )

1216200
Responder
Tabela ( PageIndex {15} )

(x )

2468

(g (x) )

912150

Exemplo ( PageIndex {16} ): Reconhecendo um alongamento vertical

O gráfico na Figura ( PageIndex {26} ) é uma transformação da função do kit de ferramentas (f (x) = x ^ 3 ). Relacione esta nova função (g (x) ) com (f (x) ) e, em seguida, encontre uma fórmula para (g (x) ).

Ao tentar determinar um alongamento ou deslocamento vertical, é útil procurar um ponto no gráfico que seja relativamente claro. Neste gráfico, parece que (g (2) = 2 ). Com a função cúbica básica na mesma entrada, (f (2) = 2 ^ 3 = 8 ). Com base nisso, parece que as saídas de (g ) são ( frac {1} {4} ) as saídas da função (f ) porque (g (2) = frac {1 } {4} f (2) ). Disto podemos concluir com bastante segurança que (g (x) = frac {1} {4} f (x) ).

Podemos escrever uma fórmula para (g ) usando a definição da função (f ).

[g (x) = frac {1} {4} f (x) = frac {1} {4} x ^ 3. ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Escreva a fórmula para a função que obtemos quando expandimos a função do kit de ferramentas de identidade por um fator de 3 e, em seguida, a deslocamos para baixo em 2 unidades.

Responder

(g (x) = 3x-2 )

Alongamentos e compressões horizontais

Agora, consideramos as alterações no interior de uma função. Quando multiplicamos a entrada de uma função por uma constante positiva, obtemos uma função cujo gráfico é alongado ou comprimido horizontalmente em relação ao gráfico da função original. Se a constante está entre 0 e 1, obtemos um trecho horizontal; se a constante for maior que 1, obtemos um compressão horizontal da função.

Dada uma função (y = f (x) ), a forma (y = f (bx) ) resulta em um alongamento ou compressão horizontal. Considere a função (y = x ^ 2 ). Observe a Figura ( PageIndex {27} ). O gráfico de (y = (0,5x) ^ 2 ) é uma extensão horizontal do gráfico da função (y = x ^ 2 ) por um fator de 2. O gráfico de (y = (2x) ^ 2 ) é uma compressão horizontal do gráfico da função (y = x ^ 2 ) por um fator de 2.

Definições: alongamentos e compressões horizontais

Dada uma função (f (x) ), uma nova função (g (x) = f (bx) ), onde (b ) é uma constante, é uma trecho horizontal ou compressão horizontal da função (f (x) ).

  • Se (b> 1 ), então o gráfico será compactado por ( frac {1} {b} ).
  • Se (0
  • Se (b <0 ), então haverá uma combinação de um alongamento horizontal ou compressão com uma reflexão horizontal.

Como...

Dada a descrição de uma função, esboce uma compressão ou alongamento horizontal.

  1. Escreva uma fórmula para representar a função.
  2. Defina (g (x) = f (bx) ) onde (b> 1 ) para uma compressão ou (0

Exemplo ( PageIndex {17} ): Representando graficamente uma compressão horizontal

Suponha que um cientista esteja comparando uma população de moscas-das-frutas a uma população que progride em sua vida duas vezes mais rápido que a população original. Em outras palavras, esta nova população, (R ), irá progredir em 1 hora na mesma quantidade que a população original em 2 horas, e em 2 horas, ela irá progredir tanto quanto a população original em 4 horas. Esboce um gráfico desta população.

Solução

Simbolicamente, poderíamos escrever

( begin {align} R (1) & = P (2), R (2) & = P (4), & text {e em geral,} R (t) & = P ( 2t). End {align} )

Veja a Figura ( PageIndex {28} ) para uma comparação gráfica da população original e da população compactada.

Análise

Observe que o efeito no gráfico é uma compressão horizontal onde todos os valores de entrada estão a metade de sua distância original do eixo vertical.

Exemplo ( PageIndex {18} ): Encontrando um alongamento horizontal para uma função tabular

Uma função (f (x) ) é fornecida como Tabela ( PageIndex {16} ). Crie uma tabela para a função (g (x) = f ( frac {1} {2} x) ).

Tabela ( PageIndex {16} )

(x )

2468

(f (x) )

13711

A fórmula (g (x) = f ( frac {1} {2} x) ) nos diz que os valores de saída para (g ) são iguais aos valores de saída para a função (f ) em uma entrada com metade do tamanho. Observe que não temos informações suficientes para determinar (g (2) ) porque (g (2) = f ( frac {1} {2} ⋅2) = f (1) ), e fazemos não tem um valor para (f (1) ) em nossa tabela. Nossos valores de entrada para (g ) precisarão ser duas vezes maiores para obter entradas para (f ) que possamos avaliar. Por exemplo, podemos determinar (g (4) ).

[g (4) = f ( dfrac {1} {2} ⋅4) = f (2) = 1 ]

Fazemos o mesmo para os outros valores para produzir Table ( PageIndex {17} ).

Tabela ( PageIndex {17} )

(x )

481216

(g (x) )

13711

A Figura ( PageIndex {29} ) mostra os gráficos de ambos os conjuntos de pontos.

Análise

Como cada valor de entrada foi duplicado, o resultado é que a função (g (x) ) foi esticada horizontalmente por um fator de 2.

Exemplo ( PageIndex {19} ): Reconhecendo uma compressão horizontal em um gráfico

Relacione a função (g (x) ) com (f (x) ) na Figura ( PageIndex {30} ).

Solução

O gráfico de (g (x) ) se parece com o gráfico de (f (x) ) comprimido horizontalmente. Como (f (x) ) termina em (6,4) e (g (x) ) termina em (2,4), podemos ver que os valores x foram compactados por ( frac { 1} {3} ), porque (6 ( frac {1} {3}) = 2 ). Também podemos notar que (g (2) = f (6) ) e (g (1) = f (3) ). De qualquer maneira, podemos descrever essa relação como (g (x) = f (3x) ). Esta é uma compressão horizontal por ( frac {1} {3} ).

Análise

Observe que o coeficiente necessário para um alongamento ou compressão horizontal é o recíproco do alongamento ou compressão. Portanto, para esticar o gráfico horizontalmente por um fator de escala de 4, precisamos de um coeficiente de ( frac {1} {4} ) em nossa função: (f ( frac {1} {4} x) ) .Isso significa que os valores de entrada devem ser quatro vezes maiores para produzir o mesmo resultado, exigindo que a entrada seja maior, causando o alongamento horizontal.

Exercício ( PageIndex {11} )

Escreva uma fórmula para a função de raiz quadrada do kit de ferramentas alongada horizontalmente por um fator de 3.

Responder

(g (x) = f ( frac {1} {3} x) ), então usando a função raiz quadrada obtemos (g (x) = sqrt { frac {1} {3} x} )

Executando uma sequência de transformações

Ao combinar transformações, é muito importante considerar a ordem das transformações. Por exemplo, deslocar verticalmente em 3 e, em seguida, alongar verticalmente em 2 não cria o mesmo gráfico que alongar verticalmente em 2 e, em seguida, deslocar verticalmente em 3, porque quando mudamos primeiro, a função original e o deslocamento são alongados, enquanto apenas a função original é esticada quando esticamos primeiro.

Quando vemos uma expressão como (2f (x) +3 ), com qual transformação devemos começar? A resposta aqui segue muito bem a ordem das operações. Dado o valor de saída de (f (x) ), primeiro multiplicamos por 2, causando o alongamento vertical, e depois adicionamos 3, causando o deslocamento vertical. Em outras palavras, multiplicação antes da adição.

As transformações horizontais são um pouco mais complicadas de se pensar. Quando escrevemos (g (x) = f (2x + 3) ), por exemplo, temos que pensar sobre como as entradas para a função (g ) se relacionam com as entradas para a função (f ) . Suponha que saibamos (f (7) = 12 ). Que entrada para (g ) produziria essa saída? Em outras palavras, qual valor de (x ) permitirá (g (x) = f (2x + 3) = 12? ) Precisamos de (2x + 3 = 7 ). Para resolver para (x ), primeiro subtrairíamos 3, resultando em um deslocamento horizontal, e então dividiríamos por 2, causando uma compressão horizontal.

Esse formato acaba sendo muito difícil de trabalhar, porque geralmente é muito mais fácil esticar um gráfico horizontalmente antes de mudá-lo. Podemos contornar isso fatorando dentro da função.

[f (bx + p) = f (b (x + frac {p} {b})) nonumber ]

Vamos trabalhar com um exemplo.

[f (x) = (2x + 4) ^ 2 não numérico ]

Podemos fatorar um 2.

[f (x) = (2 (x + 2)) ^ 2 não numérico ]

Agora podemos observar mais claramente um deslocamento horizontal para a esquerda 2 unidades e uma compressão horizontal. Fatorar dessa forma nos permite alongar primeiro horizontalmente e depois deslocar horizontalmente.

Combinando Transformações

  • Ao combinar transformações verticais escritas na forma (af (x) + k ), primeiro estique verticalmente em (a ) e depois desloque verticalmente em (k ).
  • Ao combinar transformações horizontais escritas na forma (f (bx + h) ), primeiro desloque horizontalmente por (h ) e depois estique horizontalmente por ( frac {1} {b} ).
  • Ao combinar transformações horizontais escritas na forma (f (b (x + h)) ), primeiro estique horizontalmente em ( frac {1} {b} ) e depois desloque horizontalmente em (h ).
  • As transformações horizontais e verticais são independentes. Não importa se as transformações horizontais ou verticais são realizadas primeiro.

Exemplo ( PageIndex {20} ): Encontrando uma transformação tripla de uma função tabular

Dada a Tabela ( PageIndex {18} ) para a função (f (x) ), crie uma tabela de valores para a função (g (x) = 2f (3x) +1 ).

Tabela ( PageIndex {18} )

(x )

6121824

(f (x) )

10141517

Solução

Existem três etapas para essa transformação e trabalharemos de dentro para fora. Começando com as transformações horizontais, (f (3x) ) é uma compressão horizontal por ( frac {1} {3} ), o que significa que multiplicamos cada valor (x ) por ( frac { 1} {3} ). Consulte a Tabela ( PageIndex {19} ).

Tabela ( PageIndex {19} )

(x )

2468

(f (3x) )

10141517

Olhando agora para as transformações verticais, começamos com o alongamento vertical, que multiplicará os valores de saída por 2. Aplicamos isso à transformação anterior. Veja Tabela ( PageIndex {20} ).

Tabela ( PageIndex {20} )

(x )

2468

(2f (3x) )

20283034

Finalmente, podemos aplicar o deslocamento vertical, que adicionará 1 a todos os valores de saída. Veja Tabela ( PageIndex {21} ).

Tabela ( PageIndex {21} )

(x )

2468

(g (x) = 2f (3x) + 1 + 1 )

21293135

Exemplo ( PageIndex {21} ): Encontrando uma transformação tripla de um gráfico

Use o gráfico de (f (x) ) na Figura ( PageIndex {31} ) para esboçar um gráfico de (k (x) = f Big ( frac {1} {2} x + 1 Big) −3 ).

Para simplificar, vamos começar fatorando o interior da função.

[f Grande ( dfrac {1} {2} x + 1 Grande) −3 = f Grande ( dfrac {1} {2} (x + 2) Grande) −3 ]

Fatorando o interior, podemos primeiro alongar horizontalmente por 2, conforme indicado pelo ( frac {1} {2} ) no interior da função. Lembre-se de que duas vezes o tamanho de 0 ainda é 0, então o ponto (0,2) ) permanece em (0,2) ) enquanto o ponto ((2,0) ) se estenderá para ((4,0) ). Veja a Figura ( PageIndex {32} ).

Em seguida, deslocamos horizontalmente para a esquerda em 2 unidades, conforme indicado por (x + 2 ). Veja a Figura ( PageIndex {33} ).

Por último, deslocamos verticalmente para baixo em 3 para completar nosso esboço, conforme indicado por −3 do lado de fora da função. Veja a Figura ( PageIndex {34} ).

Equações Chave

Conceitos chave

Glossário

função par

uma função cujo gráfico não é alterado pela reflexão horizontal, (f (x) = f (−x) ), e é simétrico em relação ao eixo y

compressão horizontal
uma transformação que comprime o gráfico de uma função horizontalmente, multiplicando a entrada por uma constante b> 1

reflexão horizontal
uma transformação que reflete o gráfico de uma função no eixo y multiplicando a entrada por -1

mudança horizontal
uma transformação que desloca o gráfico de uma função para a esquerda ou direita adicionando uma constante positiva ou negativa à entrada

trecho horizontal
uma transformação que estende o gráfico de uma função horizontalmente, multiplicando a entrada por uma constante 0

Função estranha
uma função cujo gráfico não é alterado pela reflexão horizontal e vertical combinadas, (f (x) = - f (−x) ), e é simétrico em relação à origem

compressão vertical
uma transformação de função que comprime o gráfico da função verticalmente, multiplicando a saída por uma constante 0

reflexão vertical
uma transformação que reflete o gráfico de uma função no eixo x multiplicando a saída por -1

mudança vertical
uma transformação que muda o gráfico de uma função para cima ou para baixo, adicionando uma constante positiva ou negativa à saída

alongamento vertical
uma transformação que estende o gráfico de uma função verticalmente, multiplicando a saída por uma constante a> 1


Álgebra II: Transformações de funções polinomiais

Quais transformações foram decretadas em comparação com sua função pai,?

alongamento vertical por um fator de 4

alongamento horizontal por um fator de 2

translação horizontal 6 unidades para a direita

alongamento vertical por um fator de 4

compressão horizontal por um fator de 2

translação horizontal 3 unidades à direita

alongamento vertical por um fator de 4

compressão horizontal por um fator de 2

translação horizontal 6 unidades para a direita

alongamento vertical por um fator de 4

alongamento horizontal por um fator de 2

translação horizontal 3 unidades à direita

alongamento vertical por um fator de 4

compressão horizontal por um fator de 2

translação horizontal 3 unidades à direita

Primeiro, precisamos colocar essa função em uma forma mais padrão.

Agora podemos ver que enquanto a função é sendo comprimido horizontalmente por um fator de 2, ele está sendo transladado 3 unidades para a direita, não 6. (Ele também está sendo alongado verticalmente por um fator de 4, é claro.)

Exemplo de pergunta nº 2: transformações de funções polinomiais

Exemplo de pergunta nº 3: transformações de funções polinomiais

Exemplo de pergunta nº 1: transformações de funções polinomiais

Escreva a transformação da função dada movida cinco unidades para o deixou:

Para transformar a função horizontalmente, devemos fazer uma adição ou subtração à entrada, x. Como somos solicitados a mover a função para a esquerda, devemos adicionar o número de unidades que estamos movendo. Isso é o oposto do que se esperaria, mas se estivermos inserindo valores que estão à esquerda do original, eles são menos do que o que teria sido originalmente. Então, para contrabalançar isso, nós adicionar as unidades da transformação.

Para nossa função sendo transformada cinco unidades à esquerda, obtemos

Exemplo de pergunta # 5: transformações de funções polinomiais

Escreva a transformação da função dada invertida e movida uma unidade para a esquerda:

Para transformar uma função horizontalmente, devemos adicionar ou subtrair as unidades que transformamos em x diretamente. Para mover para a esquerda, nós adicionar unidades ax, que é o oposto do que se pensa que deveria acontecer, mas lembre-se de que mover para a esquerda é ser mais negativo. Para inverter uma função, toda a função muda de sinal.

Depois de fazer essas duas alterações, obtemos

Exemplo de pergunta # 6: transformações de funções polinomiais

Transforme a função movendo-a duas unidades para cima e cinco unidades para a esquerda:

Para transformar uma função, usamos a seguinte fórmula,

onde h representa o deslocamento horizontal ev representa o deslocamento vertical.

Neste caso particular, queremos mudar para as cinco unidades da esquerda,

e verticalmente até duas unidades,

Portanto, a função transformada torna-se,

Exemplo de pergunta nº 7: transformações de funções polinomiais

Mude uma unidade para cima. Qual é a nova equação?

Multiplique negativo por esta quantidade.

O polinômio na forma padrão é:

Mudar este gráfico um para cima mudará a interceptação y adicionando uma unidade.

Exemplo de pergunta # 8: transformações de funções polinomiais

Mude o gráfico duas unidades para cima. Qual é a nova equação?

Mudar essa parábola para cima em duas unidades requer a expansão do binômio.

Use o método FOIL para simplificar esta equação.

Deslocar este gráfico para duas unidades adicionará duas à interceptação y.

Exemplo de pergunta # 9: transformações de funções polinomiais

Mude para até duas unidades. Qual é a nova equação?

Precisamos determinar a equação da parábola na forma padrão, que é:

Use o método FOIL para expandir os binômios.

Deslocar duas unidades para cima adicionará dois ao valor de.

Exemplo de pergunta nº 10: transformações de funções polinomiais

Neste problema, o na equação torna-se - & gt.

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3.5 Transformação de Funções

Todos nós sabemos que um espelho plano nos permite ver uma imagem precisa de nós mesmos e de tudo o que está atrás de nós. Quando inclinamos o espelho, as imagens que vemos podem mudar horizontalmente ou verticalmente. Mas o que acontece quando dobramos um espelho flexível? Como um espelho de parque de diversões de carnaval, ele nos apresenta uma imagem distorcida de nós mesmos, esticada ou comprimida horizontal ou verticalmente. De maneira semelhante, podemos distorcer ou transformar funções matemáticas para melhor adaptá-las para descrever objetos ou processos no mundo real. Nesta seção, daremos uma olhada em vários tipos de transformações.

Funções gráficas usando deslocamentos verticais e horizontais

Freqüentemente, quando temos um problema, tentamos modelar o cenário usando matemática na forma de palavras, tabelas, gráficos e equações. Um método que podemos empregar é adaptar os gráficos básicos das funções do kit de ferramentas para construir novos modelos para um determinado cenário. Existem maneiras sistemáticas de alterar funções para construir modelos apropriados para os problemas que estamos tentando resolver.

Identificação de mudanças verticais

Um tipo simples de transformação envolve o deslocamento de todo o gráfico de uma função para cima, para baixo, para a direita ou para a esquerda. A mudança mais simples é um mudança vertical, movendo o gráfico para cima ou para baixo, porque essa transformação envolve a adição de uma constante positiva ou negativa à função. Em outras palavras, adicionamos a mesma constante ao valor de saída da função, independentemente da entrada. Para uma função g (x) = f (x) + k, g (x) = f (x) + k, a função f (x) f (x) é deslocada verticalmente unidades k k. Consulte a Figura 2 para obter um exemplo.


Transformação de funções

  • Funções de gráfico usando deslocamentos verticais e horizontais.
  • Funções de gráfico usando reflexões sobre o e a
  • Determine se uma função é par, ímpar ou nenhum a partir de seu gráfico.
  • Gráfico de funções usando compressões e alongamentos.
  • Combine transformações.

Figura 1. (crédito: & # 8220Misko & # 8221 / Flickr)

Todos nós sabemos que um espelho plano nos permite ver uma imagem precisa de nós mesmos e de tudo o que está atrás de nós. Quando inclinamos o espelho, as imagens que vemos podem mudar horizontalmente ou verticalmente. Mas o que acontece quando dobramos um espelho flexível? Como um espelho de parque de diversões de carnaval, ele nos apresenta uma imagem distorcida de nós mesmos, esticada ou comprimida horizontal ou verticalmente. De maneira semelhante, podemos distorcer ou transformar funções matemáticas para melhor adaptá-las para descrever objetos ou processos no mundo real. Nesta seção, daremos uma olhada em vários tipos de transformações.

Funções gráficas usando deslocamentos verticais e horizontais

Freqüentemente, quando temos um problema, tentamos modelar o cenário usando matemática na forma de palavras, tabelas, gráficos e equações. Um método que podemos empregar é adaptar os gráficos básicos das funções do kit de ferramentas para construir novos modelos para um determinado cenário. Existem maneiras sistemáticas de alterar funções para construir modelos apropriados para os problemas que estamos tentando resolver.

Identificação de mudanças verticais

Um tipo simples de transformação envolve deslocar todo o gráfico de uma função para cima, para baixo, para a direita ou para a esquerda. A mudança mais simples é um mudança vertical, movendo o gráfico para cima ou para baixo, porque essa transformação envolve a adição de uma constante positiva ou negativa à função. Em outras palavras, adicionamos a mesma constante ao valor de saída da função, independentemente da entrada. Para uma funçãoa funçãoé deslocado verticalmenteunidades. Veja (Figura) para um exemplo.

Figura 2. Mudança vertical porda função de raiz cúbica

Para ajudá-lo a visualizar o conceito de uma mudança vertical, considere quePortanto,é equivalente aCada unidade deé substituído porentão o y-valor aumenta ou diminui dependendo do valor deO resultado é uma mudança para cima ou para baixo.

Deslocamento Vertical

Dada uma função uma nova função Onde é uma constante, é uma mudança vertical da função Todos os valores de saída mudam por unidades. Se for positivo, o gráfico aumentará. Se for negativo, o gráfico será deslocado para baixo.

Adicionando uma constante a uma função

Para regular a temperatura em um edifício verde, as aberturas de ventilação perto do telhado abrem e fecham ao longo do dia. (Figura) mostra a área de aberturas de ventilação(em pés quadrados) ao longo do dia em horas após a meia-noite,Durante o verão, o gerente das instalações decide tentar regular melhor a temperatura, aumentando a quantidade de aberturas de ventilação em 6 metros quadrados ao longo do dia e da noite. Esboce um gráfico desta nova função.

Figura 3.

Podemos esboçar um gráfico dessa nova função adicionando 20 a cada um dos valores de saída da função original. Isso terá o efeito de deslocar o gráfico verticalmente para cima, conforme mostrado na (Figura).

Figura 4.

Observe que na (Figura), para cada valor de entrada, o valor de saída aumentou em 20, portanto, se chamarmos a nova funçãonós poderíamos escrever

Esta notação nos diz que, para qualquer valor depode ser encontrado avaliando a funçãona mesma entrada e adicionando 20 ao resultado. Isso definecomo uma transformação da funçãoneste caso, um deslocamento vertical de até 20 unidades. Observe que, com um deslocamento vertical, os valores de entrada permanecem os mesmos e apenas os valores de saída mudam. Veja a figura).

0 8 10 17 19 24
0 0 220 220 0 0
20 20 240 240 20 20

Como

Dada uma função tabular, crie uma nova linha para representar um deslocamento vertical.

  1. Identifique a linha ou coluna de saída.
  2. Determine a magnitude da mudança.
  3. Adicione a mudança ao valor em cada célula de output. Adicione um valor positivo para cima ou um valor negativo para baixo.

Mudando uma função tabular verticalmente

Uma funçãoé dado na (Figura). Crie uma tabela para a função

2 4 6 8
1 3 7 11

[Revelar-resposta q = & # 8221281112 & # 8243] Mostrar Solução [/ Revelar-resposta]
[resposta oculta a = & # 8221281112 & # 8243] A fórmulanos diz que podemos encontrar os valores de saída desubtraindo 3 dos valores de saída dePor exemplo:

Análise

Como com a mudança vertical anterior, observe que os valores de entrada permanecem os mesmos e apenas os valores de saída mudam.

Tente

A funçãodá a alturade uma bola (em metros) lançada para cima a partir do solo apóssegundos. Suponha que a bola tenha sido lançada do topo de um edifício de 10 m. Relacionar esta nova função de alturaparae então encontrar uma fórmula para

[/ resposta-oculta]

Identificação de mudanças horizontais

Acabamos de ver que o deslocamento vertical é uma mudança na saída, ou fora, da função. Veremos agora como as mudanças na entrada, dentro da função, mudam seu gráfico e significado. Uma mudança na entrada resulta em um movimento do gráfico da função para a esquerda ou direita no que é conhecido como um mudança horizontal, mostrado na (Figura).

Figura 5. Mudança horizontal da funçãoObserve quedesloca o gráfico para a esquerda, ou seja, em direção a valores negativos de

Por exemplo, seentãoé uma nova função. Cada entrada é reduzida em 2 antes de elevar a função ao quadrado. O resultado é que o gráfico é deslocado 2 unidades para a direita, porque precisaríamos aumentar a entrada anterior em 2 unidades para produzir o mesmo valor de saída dado em

Mudança Horizontal

Dada uma funçãouma nova funçãoOndeé uma constante, é uma mudança horizontal da funçãoSefor positivo, o gráfico mudará para a direita. Sefor negativo, o gráfico se deslocará para a esquerda.

Adicionando uma constante a uma entrada

Voltando ao nosso exemplo de fluxo de ar do edifício da (Figura), suponha que no outono o gerente das instalações decida que o plano de ventilação original começa muito tarde e deseja iniciar todo o programa de ventilação 2 horas antes. Esboce um gráfico da nova função.

Podemos definirpara ser o programa original epara ser o programa revisado.

No novo gráfico, a cada vez, o fluxo de ar é o mesmo que a função originalfoi 2 horas depois. Por exemplo, na função originalo fluxo de ar começa a mudar às 8h, enquanto para a funçãoo fluxo de ar começa a mudar às 6h. Os valores de função comparáveis ​​sãoVeja a figura). Observe também que as aberturas primeiro abriram paraàs 10h sob o plano original, enquanto no novo plano as aberturas alcançamno

Em ambos os casos, vemos isso, porquecomeça 2 horas antes,Isso significa que os mesmos valores de saída são alcançados quando

Figura 6.

Análise

Observe quetem o efeito de deslocar o gráfico para o deixou.

Mudanças horizontais ou “mudanças internas” afetam o domínio de uma função (a entrada) em vez do intervalo e muitas vezes parecem contra-intuitivas. A nova funçãousa as mesmas saídas quemas combina essas saídas com as entradas 2 horas mais cedo do que as deDito de outra forma, devemos adicionar 2 horas à entrada depara encontrar a saída correspondente para

Como

Dada uma função tabular, crie uma nova linha para representar um deslocamento horizontal.

  1. Identifique a linha ou coluna de entrada.
  2. Determine a magnitude da mudança.
  3. Adicione a mudança ao valor em cada célula de entrada.

Mudando uma função tabular horizontalmente

Uma funçãoé dado na (Figura). Crie uma tabela para a função

2 4 6 8
1 3 7 11

A fórmulanos diz que os valores de saída desão iguais ao valor de saída de quando o valor de entrada é 3 menor que o valor original. Por exemplo, sabemos quePara obter a mesma saída da funçãovamos precisar de um valor de entrada que é 3 maior. Inserimos um valor que é 3 maior paraporque a função tira 3 antes de avaliar a função

Continuamos com os outros valores a serem criados (Figura).

5 7 9 11
2 4 6 8
1 3 7 11
1 3 7 11

O resultado é que a funçãofoi deslocado para a direita em 3. Observe os valores de saída parapermanecem os mesmos que os valores de saída paramas os valores de entrada correspondentes,mudaram para a direita em 3. Especificamente, 2 mudou para 5, 4 mudou para 7, 6 mudou para 9 e 8 mudou para 11.

Análise

(Figura) representa ambas as funções. Podemos ver o deslocamento horizontal em cada ponto.

Figura 7.

Folha de trabalho de transformações de funções - Respostas - Álgebra 2 - É tedioso quando seus filhos consultam você para ajudar esses trabalhos domésticos de álgebra, e você também não consegue realizar este trabalho de residência, ou você não aprende sobre eles em que não tenha concluído álgebra dentro de seus dias de escola superior e noites. Este tipo de cenário é realmente agitado e com a ajuda de alguma álgebra excelente ajuda, assim como seus filhos estão muito bem preparados para o próximo teste. Neste estágio, a web o ajudará a cuidar de sua preocupação, você pode obter uma série de Respostas da planilha de transformações de funções, Álgebra 2 e alguns outros equipamentos na web, que ajudarão no desafiador processo de aprendizagem. No entanto, essas ferramentas de álgebra são uma ótima maneira de aumentar seu talento matemático e um pouco de prática dará aspectos muito mais positivos na abordagem do teste de matemática. Essas planilhas consistem em um grande número de dificuldades e equações onde você pode verificar a si mesmo. E você pode encontrar uma resposta crucial para todas essas questões porque o site.

Além disso, você pode encontrar um programa de software de álgebra que o ajuda a resolver algumas equações difíceis de álgebra, cuja calculadora de álgebra é a melhor resposta que você está procurando. Essas calculadoras permitirão que você sempre que você, quando estiver preso a um problema e não for capaz de obter a resposta. Estas calculadoras baseadas na web podem fornecer alguns fornecerão a você mais informações e um esclarecimento detalhado do sintoma em um método passo a passo. Você pode encontrar uma grande variedade de calculadoras na web, que podem usar vários métodos para corrigir essas complicações. E alguns dos softwares de calculadora permitem que você faça uso de algumas outras estratégias, que o ajudam a corrigir questões de álgebra. Além disso, você encontrará outras calculadoras gráficas que planejam preocupações. Este tipo de calculadoras irá ajudá-lo a consertar questões gráficas sobre o Álgebra 2 das Respostas da Planilha de Transformações de Funções.

Além disso, você pode obter várias outras ferramentas extras on-line, o popular solucionador de álgebra. Quando comparado com a calculadora, os recursos são os mesmos e também este software de computador lhe dará respostas para as perguntas mais difíceis também. Tudo que você precisa para entrar na situação, e o programa de software fará todos esses outros pontos. Este software de computador pode fornecer um instrutor de Internet assim que seus filhos exigirem, e isso economizará muito dinheiro usando um tutor.

E agora uma questão surgiu em sua cabeça, como obter essas ferramentas de software de computador. Para encontrar essas ferramentas, você precisa fazer uma pequena pesquisa na web processando algumas frases-chave, dependendo de suas necessidades. Antes dias e noites, esta álgebra era um monstro para cada criança, mas com a ajuda dessas ferramentas, eles podem aprender álgebra muito mais rápido.

Obrigado por visitar nosso website e pesquisar por Transformations Of Functions Worksheet Answers Algebra 2.


Transformações de função

Existem muitos tipos diferentes de gráficos encontrados na vida. Os seis gráficos mais comuns são mostrados nas Figuras 1a-1f.

As funções mostradas acima são chamadas funções de pai . Deslocando o gráfico dessas funções pai para cima e para baixo, direita e esquerda e refletindo sobre os eixos xey, você pode obter muito mais gráficos e obter suas funções aplicando mudanças gerais à fórmula pai.

Para mudar a função pai para cima ou para baixo kunidades, adicionar ou subtrair k para a função pai:

f (x) + k Muda para cima k unidades

f (x) - k Desloca unidades k para baixo

Vejamos a função de valor absoluto quando 2 é adicionado e subtraído da função.

Para deslocar o gráfico para a esquerda k unidades, adicionar k ao valor de x. Para deslocar o gráfico para a direita k unidades, subtrair k a partir de x. Observe que para mudar para a direita requer subtração de x.

f (x + k) Muda para cima k unidades

f (x - k) Desloca unidades k para baixo

Vejamos a função de valor absoluto quando 2 é adicionado e subtraído de x.

Uma reflexão sobre o eixo x muda f (x) para -f (x). As reflexões sobre o eixo y mudam f (x) para f (-x).

f (x) & # x2192 & # x2212 f (x) Reflexão sobre o eixo x

f (x) & # x2192 f (& # x2212 x) Reflexão sobre o eixo y

Vejamos os gráficos da função de raiz quadrada após a reflexão sobre os eixos xey.

Deslocamentos verticais, deslocamentos horizontais e reflexos são chamados transformação rígida porque a forma do gráfico permanece inalterada.

As funções também podem ser dilatadas em relação à coordenada y ou à coordenada x. Estes são chamados transformação não rígida porque eles causam uma distorção no gráfico.

Para dilatar em relação ao eixo y, a função f (x) é multiplicada por uma constante k. Quando k> 1, o gráfico se estreitará e quando k DILAÇÃO DA COORDENADA Y:

k f (x) k> 1 gráfico estreita k

Vejamos o gráfico g (x) = k (x 2) quando k = 5 & # x00A0 a n d & # x00A0 1 5.


Q: Use coeficientes indeterminados para encontrar a solução particular para y & # x27 & # x27 + 3y & # x27 + 2y = 4e - 2t Y (t) =

P: Safety-Kleen opera a maior refinaria de petróleo do mundo em Elgin, Illinois. Você foi contratado por th.

R: Clique para ver a resposta

P: Qual é o tipo da seguinte equação diferencial? y ’+ (2xy + y) / 2 = 1 / e2x H. Exato separável

R: Clique para ver a resposta

P: Considere o seguinte problema de valor inicial. 2 x & # x27 = X, X (0) = 1 Encontre os autovalores do coeficiente.

R: Clique para ver a resposta

P: Escreva (sem resolver) o problema do LP duplo. Minimize c = s + 6t + u 9s -t + v 23.000 u - v 21.000 su.

R: Clique para ver a resposta

P: posso obter ajuda com esta pergunta sobre o teorema da clairauta & # x27s

R: Clique para ver a resposta

R: Clique para ver a resposta

R: Clique para ver a resposta

Q: Use a eliminação de Gauss com pivotamento parcial para encontrar a solução do sistema abaixo de -1 3 13 2 -4 1 2 -1.


Lição 2

Nesta lição, os alunos usam a notação de transformação de coordenadas, como ((x, y) rightarrow (x + 1, y + 2) ). Essa notação apóia a compreensão das transformações como funções ao mesmo tempo que fornece um novo contexto para que os alunos examinem transformações rígidas, transformações de similaridade e transformações que não se encaixam em nenhum vocabulário que os alunos aprenderam. Os alunos calculam o resultado das regras de transformação começando com um ponto de cada vez. Em seguida, eles completam uma tabela de entradas e saídas. Na atividade final, eles transformam uma figura sem andaime. Ao longo da lição, os alunos geram hipóteses sobre como prever o resultado de uma regra antes de testá-la em uma figura.

Os alunos raciocinam abstratamente (MP2) enquanto traduzem de um lado para outro entre diagramas concretos e regras abstratas.

A tecnologia não é necessária para esta lição, mas há oportunidades para os alunos escolherem usar a tecnologia apropriada para resolver problemas. Recomendamos disponibilizar tecnologia.


Pesquisador Associado / Pesquisador Associado Sênior, Biologia Molecular

A Pacific Biosciences está procurando um Pesquisador Associado / Pesquisador Sênior Associado para trabalhar em uma equipe interdisciplinar dinâmica para nos ajudar a desenvolver e caracterizar nosso sistema de sequenciamento de DNA de molécula única. O candidato escolhido deve possuir uma sólida formação em biologia molecular. Os deveres incluirão principalmente trabalho de laboratório, juntamente com a análise de dados e verificação de amostra, este indivíduo também será responsável pelo gerenciamento de amostra e banco de dados. As funções de laboratório incluirão preparação de amostras de DNA e clonagem molecular. O candidato selecionado estará envolvido com o projeto experimental e implementação com supervisão limitada, com oportunidades de liderar em projetos de pesquisa individualizados. Este indivíduo fará uma interface próxima com outros membros do grupo para a transição de materiais.

  • Bacharel em Biologia Molecular, Bioquímica, Biologia ou outro campo relacionado.
  • São desejados 2 a 6 anos de experiência na indústria de biotecnologia.
  • Experiência em procedimentos de preparação de modelos de DNA de última geração.
  • Proficiência técnica em práticas laboratoriais gerais, particularmente experiência em PCR, técnicas de clonagem, transformações bacterianas e preparações de plasmídeo.
  • Conhecimento em softwares de análise de DNA, como Sequencher e Vector NTI.
  • Fortes habilidades organizacionais e de documentação.
  • Experiência com gerenciamento de banco de dados.
  • Capacidade de gerenciar vários projetos simultaneamente.
  • A comunicação eficaz (escrita / verbal) e a capacidade de trabalhar de forma independente e colaborativa como parte de uma equipe são essenciais.
  • Auto-partida que pode operar com supervisão mínima.

Todas as tarefas e responsabilidades listadas são consideradas funções essenciais para esta posição, no entanto, as condições de negócios podem exigir acomodações razoáveis ​​para tarefas e responsabilidades adicionais.

Todos os candidatos qualificados receberão consideração para emprego, independentemente de raça, sexo, cor, religião, nacionalidade, status de veterano protegido ou com base em deficiência, identidade de gênero e orientação sexual.


Transformações Mistas

A maioria dos problemas que você terá envolverá transformações mistas, ou várias transformações, e precisamos nos preocupar com a ordem em que realizamos as transformações.

Normalmente não importa se fazemos as alterações (x ) ou as alterações (y ) primeiro, mas dentro dos (x ) 'se (y )' s, precisamos realizar o transformações na seguinte ordem. Observe que isso é semelhante ao pedido com PEMDAS (parênteses, expoentes, multiplicação / divisão e adição / subtração).

Ao executar essas regras, os coeficientes do interior (x ) devem ser 1 por exemplo, precisaríamos ter (y = << left (<4 left ( right)> right)> ^ <2>> ) em vez de (y = << left (<4x + 8> right)> ^ <2>> ) (por fatoração). Se você não aprendeu dessa forma, veja NOTA IMPORTANTE abaixo de.

  1. Executar Invertendo os eixos primeiro (sinais negativos).
  2. Executar Alongamento e encolhimento em seguida (multiplicando e dividindo).
  3. Executar Mudanças horizontais e verticais duram (somando e subtraindo).

Mas podemos fazer etapas 1 e 2 juntas (a ordem realmente não importa), uma vez que podemos pensar nas duas primeiras etapas como um “estiramento / compressão negativa.”

Eu gosto de levar o Pontos críticos e talvez mais alguns pontos das funções pai, e realizar todas as transformações ao mesmo tempo com um t-gráfico! Nós apenas fazemos a multiplicação / divisão primeiro nos pontos (x ) ou (y ), seguido pela adição / subtração. Isso torna muito mais fácil!

Observe novamente que, uma vez que não temos um ( boldsymbol ) “Por si mesmo” (coeficiente de 1) do lado de dentro, temos que entender dessa forma por fatoração! Por exemplo, teríamos que mudar (y = << left (<4x + 8> right)> ^ <2>> text y = << left (<4 left ( right)> right)> ^ <2>> ).

Vamos tentar representar graficamente esta equação "complicada" e mostrarei como é fácil fazer com um t-gráfico:

(Observe que, para este exemplo, poderíamos mover o (<<2> ^ <2>> ) para fora para obter um alongamento vertical de (3 left (<< <2> ^ <2> >> right) = 12 ), mas não podemos fazer isso para muitas funções.)

Primeiro precisamos obter o (x ) por si próprio no interior por factoring, para que possamos realizar as traduções horizontais. Isso é o que acabamos com:

Agora, o que precisamos fazer é olhar para o que é feito do "lado de fora" (para os (y ) 's) e fazer todos os movimentos de uma vez, seguindo o matemática exata. Então, podemos olhar para o "interior" (para os (x ) 's) e fazer todos os movimentos de uma vez, mas faça o matemática oposta. Fazemos isso com um t-gráfico.

Estamos começando com a função pai (f (x) = <^ <2>> ). Se olharmos para o que estamos fazendo no lado de fora do que está sendo elevado ao quadrado, que é o ( displaystyle left (<2 left ( right)> right) ), estamos lançando no eixo (x ) - (o sinal de menos), alongamento por um fator de 3 , e adicionando 10 (mudando para cima 10 ) Estas são as coisas que estamos fazendo verticalmente, ou para o (y ).

Agora, se olharmos para o que estamos fazendo no interior do que estamos quadrando, estamos multiplicando por 2 , o que significa que temos que dividir por 2 (compressão horizontal por um fator de ( displaystyle frac <1> <2> )), e estamos adicionando 4 , o que significa que temos que subtrair 4 (um deslocamento para a esquerda de 4 ) Lembre-se de que fazemos o oposto quando estamos lidando com o (x ).

Lembre-se também de que sempre temos que fazer o multiplicação ou divisão primeiro com nossos pontos, e então o adicionando e subtraindo (mais ou menos como PEMDAS).

Aqui está o t-gráfico com a função original e, em seguida, as transformações nas partes externas. Agora podemos representar graficamente os pontos externos (pontos que não estão riscados) para obter o gráfico da transformação.

Oposto para (x ), “regular” para (y ):

Uma vez que este é um parábola e está em forma de vértice, a vértice da transformação é ( left (<-4,10> right) ).

Observe que o coeficiente de é –12 (movendo o (<<2> ^ <2>> ) para fora e multiplicando pelo –3 ) Então o alongamento vertical é 12 , e as parábola virada para baixo por causa do sinal negativo.

NOTA IMPORTANTE : Em alguns livros, por ( displaystyle f left (x right) = - 3 << left (<2x + 8> right)> ^ <2>> +10 ) , eles podem NÃO fazer você fatorar o 2 no interior, mas apenas mudar a ordem da transformação no ( boldsymbol).

Nesses casos, a ordem das transformações seria deslocamentos horizontais, reflexos / alongamentos horizontais, reflexos / alongamentos verticais e, em seguida, deslocamentos verticais. Por exemplo, para este problema, você moveria para a esquerda 8 primeiro para o ( boldsymbol)e, em seguida, comprimir com um fator de ( displaystyle frac <1> <2> ) para o ( boldsymbol) (que é o oposto de PEMDAS). Então você executaria o ( boldsymbol) (vertical) muda a forma regular - reflita e estique em 3 primeiro, e depois mude para cima em 10. Então, você teria ( displaystyle < left ( direita) para esquerda ( <2> esquerda ( right), - 3y + 10> right)> ). Experimente um t- gráfico você terá o mesmo t-chart como acima!


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