Artigos

10.3.1: Teoria Básica de Sistemas Lineares Homogêneos (Exercícios)


Q10.3.1

1. Prove: Se ({ bf y} _1 ), ({ bf y} _2 ),…, ({ bf y} _n ) são soluções de ({ bf y} ' = A (t) { bf y} ) em ((a, b) ), então qualquer combinação linear de ({ bf y} _1 ), ({ bf y} _2 ), …, ({ Bf y} _n ) também é uma solução de ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) em ((a, b) ).

2. Na Seção 5.1, o Wronskian de duas soluções (y_1 ) e (y_2 ) da equação escalar de segunda ordem

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0 tag {A} ]

foi definido para ser

[W = left | begin {array} {cc} y_1 & y_2 y'_1 & y'_2 end {array} right |. Nonumber ]

  1. Reescreva (A) como um sistema de equações de primeira ordem e mostre que (W ) é o Wronskian (conforme definido nesta seção) de duas soluções desse sistema.
  2. Aplique a Equação 10.3.6 ao sistema derivado em (a) e mostre que [W (x) = W (x_0) exp left {- int ^ x_ {x_0} {P_1 (s) over P_0 (s)} , ds right }, nonumber ] que é a forma da fórmula de Abel dada no Teorema 9.1.3.

3. Na Seção 9.1, o Wronskian de (n ) soluções (y_1 ), (y_2 ),…, (y_n ) da equação de ordem (n - )

[P_0 (x) y ^ {(n)} + P_1 (x) y ^ {(n-1)} + cdots + P_n (x) y = 0 tag {A} ]

foi definido para ser

[W = left | begin {array} {cccc} y_1 & y_2 & cdots & y_n y'_1 & y'_2 & cdots & y_n ' vdots & vdots & ddots & vdots y_1 ^ {(n-1)} & y_2 ^ {(n-1)} & cdots & y_n ^ {(n-1)} end {array} right |. nonumber ]

  1. Reescreva (A) como um sistema de equações de primeira ordem e mostre que (W ) é o Wronskiano (conforme definido nesta seção) de (n ) soluções deste sistema.
  2. Aplique a Equação 10.3.6 ao sistema derivado em (a) e mostre que [W (x) = W (x_0) exp left {- int ^ x_ {x_0} {P_1 (s) over P_0 (s)} , ds right }, nonumber ] que é a forma da fórmula de Abel dada no Teorema 9.1.3.

4. Suponha

[{ bf y} _1 = left [ begin {array} {c} {y_ {11}} {y_ {21}} end {array} right] quad text {e} quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {c} {y_ {12}} {y_ {22}} end {array} right] nonumber ]

são soluções do sistema (2 times 2 ) ({ bf y} '= A { bf y} ) em ((a, b) ), e deixe

[Y = left [ begin {array} {cc} {y_ {11}} & {y_ {12}} {y_ {21}} & {y_ {22}} end {array} right ] quad text {e} quad W = left | begin {array} {cc} {y_ {11}} & {y_ {12}} {y_ {21}} & {y_ {22} } end {array} right | nonumber ]

assim, (W ) é o Wronskian de ( {{ bf y} _1, { bf y} _2 } ).

  1. Deduza da definição de determinante que [W '= left | begin {array} {cc} {y' _ {11}} & {y '_ {12}} {y_ {21}} & { y_ {22}} end {array} right | + left | begin {array} {cc} {y_ {11}} & {y_ {12}} {y '_ {21}} & {y' _ {22}} end {array} direita |. nonumber ]
  2. Use a equação (Y '= A (t) Y ) e a definição da multiplicação da matriz para mostrar que [[y' _ {11} quad y '_ {12}] = a_ {11} [y_ { 11} quad y_ {12}] + a_ {12} [y_ {21} quad y_ {22}] nonumber ] e [[y '_ {21} quad y' _ {22}] = a_ {21} [y_ {11} quad y_ {12}] + a_ {22} [y_ {21} quad y_ {22}]. não numérico ]
  3. Use as propriedades dos determinantes para deduzir de (a) e (a) que [ left | begin {array} {cc} {y '_ {11}} & {y' _ {12}} {y_ { 21}} & {y_ {22}} end {array} right | = a_ {11} W quad text {and} quad left | begin {array} {cc} {y_ {11}} & {y_ {12}} {y '_ {21}} & {y' _ {22}} end {array} right | = a_ {22} W. nonumber ]
  4. Conclua de (c) que [W '= (a_ {11} + a_ {22}) W, não numérico ] e use isso para mostrar que se (a

5. Suponha que a matriz (n vezes n ) (A = A (t) ) seja contínua em ((a, b) ). Deixar

[Y = left [ begin {array} {cccc} y_ {11} & y_ {12} & cdots & y_ {1n} y_ {21} & y_ {22} & cdots & y_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots y_ {n1} & y_ {n2} & cdots & y_ {nn} end {array} right], nonumber ]

onde as colunas de (Y ) são soluções de ({ bf y} '= A (t) { bf y} ). Deixar

[r_i = [y_ {i1} , y_ {i2} , dots , y_ {in}] nonumber ]

seja a (i ) ésima linha de (Y ), e seja (W ) o determinante de (Y ).

  1. Deduza da definição de determinante que [W '= W_1 + W_2 + cdots + W_n, nonumber ] onde, para (1 le m le n ), a (i ) ésima linha de ( W_m ) é (r_i ) se (i ne m ), e (r'_m ) se (i = m ).
  2. Use a equação (Y '= A Y ) e a definição da multiplicação da matriz para mostrar que [r'_m = a_ {m1} r_1 + a_ {m2} r_2 + cdots + a_ {mn} r_n. Nonumber ]
  3. Use as propriedades dos determinantes para deduzir de (b) que [ det (W_m) = a_ {mm} W. nonumber ]
  4. Conclua de (a) e (c) que [W '= (a_ {11} + a_ {22} + cdots + a_ {nn}) W, nonumber ] e use isso para mostrar que se (a

6. Suponha que a matriz (n vezes n ) (A ) seja contínua em ((a, b) ) e (t_0 ) é um ponto em ((a, b) ). Seja (Y ) uma matriz fundamental para ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) em ((a, b) ).

  1. Mostre que (Y (t_0) ) é invertível.
  2. Mostre que se ({ bf k} ) é um vetor (n ) arbitrário, então a solução do problema de valor inicial [{ bf y} '= A (t) { bf y}, quad { bf y} (t_0) = { bf k} nonumber ] is [{ bf y} = Y (t) Y ^ {- 1} (t_0) { bf k}. nonumber ]

7. Deixe

[A = left [ begin {array} {cc} {2} & {4} {4} & {2} end {array} right], quad { bf y} _1 = esquerda [ begin {array} {c} e ^ {6t} e ^ {6t} end {array} right], quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {r } e ^ {- 2t} -e ^ {- 2t} end {array} right], quad { bf k} = left [ begin {array} {r} -3 9 end {array} right]. nonumber ]

  1. Verifique se ( {{ bf y} _1, { bf y} _2 } ) é um conjunto fundamental de soluções para ({ bf y} '= A { bf y} ).
  2. Resolva o problema do valor inicial [{ bf y} '= A { bf y}, quad { bf y} (0) = { bf k}. tag {A} ]
  3. Use o resultado de Exercício 10.3.6 (b) para encontrar uma fórmula para a solução de (A) para um vetor inicial arbitrário ({ bf k} ).

8. Repita Exercício 10.3.7 com

[A = left [ begin {array} {cc} {- 2} & {- 2} {- 5} & {1} end {array} right], quad { bf y} _1 = left [ begin {array} {r} e ^ {- 4t} e ^ {- 4t} end {array} right], quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {r} -2e ^ {3t} 5e ^ {3t} end {array} right], quad { bf k} = left [ begin {array} {r} 10 -4 end {array} right]. Nonumber ]

9. Repita Exercício 10.3.7 com

[A = left [ begin {array} {cc} {- 4} & {- 10} {3} & {7} end {array} right], quad { bf y} _1 = left [ begin {array} {r} -5e ^ {2t} 3e ^ {2t} end {array} right], quad { bf y} _2 = left [ begin {array } {r} 2e ^ t - e ^ t end {array} right], quad { bf k} = left [ begin {array} {r} -19 11 end {array } right]. nonumber ]

10. Repita Exercício 10.3.7 com

[A = left [ begin {array} {cc} {2} & {1} {1} & {2} end {array} right], quad { bf y} _1 = esquerda [ begin {array} {r} e ^ {3t} e ^ {3t} end {array} right], quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {r } e ^ t -e ^ t end {array} right], quad { bf k} = left [ begin {array} {r} 2 8 end {array} right] . enhum número ]

11. Deixe

[ begin {align} A & = left [ begin {array} {ccc} {3} & {- 1} & {- 1} {- 2} & {3} & {2} { 4} & {- 1} & {- 2} end {array} right], { bf y} _1 & = left [ begin {array} {c} e ^ {2t} 0 e ^ {2t} end {array} right], quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {c} e ^ {3t} - e ^ {3t} e ^ {3t} end {array} right], quad { bf y} _3 = left [ begin {array} {c} e ^ {- t} - 3e ^ {- t} 7e ^ {- t} end {array} right], quad { bf k} = left [ begin {array} {r} 2 - 7 20 end {array} right ]. end {alinhado} nonumber ]

  1. Verifique se ( {{ bf y} _1, { bf y} _2, { bf y} _3 } ) é um conjunto fundamental de soluções para ({ bf y} '= A { bf y} ).
  2. Resolva o problema do valor inicial [{ bf y} '= A { bf y}, quad { bf y} (0) = { bf k}. tag {A} ]
  3. Use o resultado de Exercício 10.3.6 (b) para encontrar uma fórmula para a solução de (A) para um vetor inicial arbitrário ({ bf k} ).

12. Repita Exercício 10.3.11 com

[ begin {align} A & = left [ begin {array} {ccc} {0} & {2} & {2} {2} & {0} & {2} {2} & {2} & {0} end {array} right], { bf y} _1 & = left [ begin {array} {c} -e ^ {- 2t} 0 e ^ {-2t} end {array} right], quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {c} -e ^ {- 2t} e ^ {- 2t} 0 end {array} right], quad { bf y} _3 = left [ begin {array} {c} e ^ {4t} e ^ {4t} e ^ {4t} end {array} right], quad { bf k} = left [ begin {array} {r} 0 - 9 12 end {array} right]. end {alinhados} nenhum número ]

13. Repita Exercício 10.3.11 com

[ begin {align} A & = left [ begin {array} {ccc} {- 1} & {2} & {3} {0} & {1} & {6} {0} & {0} & {- 2} end {array} right], { bf y} _1 & = left [ begin {array} {c} e ^ t e ^ t 0 end {array} right], quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {c} e ^ {- t} 0 0 end {array} right], quad { bf y} _3 = left [ begin {array} {c} e ^ {- 2t} - 2e ^ {- 2t} e ^ {- 2t} end {array} right] , quad { bf k} = left [ begin {array} {r} 5 5 - 1 end {array} right]. end {alinhado} nonumber ]

14. Suponha que (Y ) e (Z ) sejam matrizes fundamentais para o sistema (n vezes n ) ({ bf y} '= A (t) { bf y} ). Então, algumas das quatro matrizes (YZ ^ {- 1} ), (Y ^ {- 1} Z ), (Z ^ {- 1} Y ), (ZY ^ {- 1} ) são necessariamente constantes. Identifique-os e prove que são constantes.

15. Suponha que as colunas de uma matriz (n vezes n ) (Y ) sejam soluções do sistema (n vezes n ) ({ bf y} '= A { bf y} ) e (C ) é uma matriz constante (n vezes n ).

  1. Mostre que a matriz (Z = YC ) satisfaz a equação diferencial (Z '= AZ ).
  2. Mostre que (Z ) é uma matriz fundamental para ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) se e somente se (C ) é invertível e (Y ) é uma matriz fundamental para ({ bf y} '= A (t) { bf y} ).

16. Suponha que a matriz (n vezes n ) (A = A (t) ) é contínua em ((a, b) ) e (t_0 ) está em ((a, b) ). Para (i = 1 ), (2 ),…, (n ), seja ({ bf y} _i ) a solução do problema do valor inicial ({ bf y} _i '= A (t) { bf y} _i, ; { bf y} _i (t_0) = { bf e} _i ), onde

[{ bf e} _1 = left [ begin {array} {c} 1 0 vdots 0 end {array} right], quad { bf e} _2 = esquerda [ begin {array} {c} 0 1 vdots 0 end {array} right], quad cdots quad { bf e} _n = left [ begin {array } {c} 0 0 vdots 1 end {array} right]; nonumber ]

ou seja, o (j ) ésimo componente de ({ bf e} _i ) é (1 ) se (j = i ), ou (0 ) se (j ne i ).

  1. Mostre que ( {{ bf y} _1, { bf y} _2, dots, { bf y} _n } ) é um conjunto fundamental de soluções de ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) em ((a, b) ).
  2. Concluir de (a) e Exercício 10.3.15 que ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) tem infinitamente muitos conjuntos fundamentais de soluções em ((a, b) ).

17. Mostre que (Y ) é uma matriz fundamental para o sistema ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) se e somente se (Y ^ {- 1} ) é uma matriz fundamental para ({ bf y} '= - A ^ T (t) { bf y} ), onde (A ^ T ) denota a transposição de (A ). DICA: Consulte o Exercício 10.3.11.

18. Seja (Z ) a matriz fundamental para o sistema de coeficientes constantes ({ bf y} '= A { bf y} ) tal que (Z (0) = I ).

  1. Mostre que (Z (t) Z (s) = Z (t + s) ) para todos (s ) e (t ). DICA: Para consertar (s ) deixar ( Gamma _ {1} (t) = Z (t) Z (s) ) e ( Gamma _ {2} (t) = Z (t + s) ). Mostra isso ( Gamma _ {1} ) e ( Gamma_ {2} ) são ambas as soluções do problema do valor inicial da matriz ( Gamma '= A Gamma, : Gamma (0) = Z (s) ). Em seguida, conclua do Teorema 10.2.1 que ( Gamma _ {1} = Gamma _ {2} ).
  2. Mostre que ((Z (t)) ^ {- 1} = Z (-t) ).
  3. A matriz (Z ) definida acima às vezes é denotada por (e ^ {tA} ). Discuta a motivação para esta notação.

Teoria do Modelo Linear

Este livro apresenta uma abordagem unificada e rigorosa para a melhor estimativa linear imparcial e previsão de parâmetros e quantidades aleatórias em modelos lineares, bem como outra teoria na qual grande parte da metodologia estatística associada a modelos lineares se baseia. O recurso mais exclusivo do livro é que cada conceito ou resultado principal é ilustrado com um ou mais exemplos concretos ou casos especiais. As metodologias comumente usadas com base na teoria são apresentadas em interlúdios metodológicos espalhados ao longo do livro, junto com uma riqueza de exercícios que irão beneficiar alunos e instrutores. Inversos generalizados são usados ​​por toda parte, de modo que a matriz do modelo e várias outras matrizes não precisam ter classificação completa. Consideravelmente mais ênfase é dada à estimabilidade, análises particionadas de variância, mínimos quadrados restritos, efeitos de especificação incorreta do modelo e, mais especialmente, previsão do que em muitos outros livros sobre modelos lineares. Este livro é destinado a alunos de mestrado e doutorado com uma compreensão básica de teoria estatística, álgebra de matriz e análise de regressão aplicada e para instrutores de cursos de modelos lineares. Soluções para os exercícios do livro estão disponíveis no volume que acompanha Teoria do Modelo Linear - Exercícios e Soluções pelo mesmo autor.


Matrizes em MATLAB

Para inserir uma matriz no MATLAB, usamos colchetes para iniciar e terminar o conteúdo da matriz e ponto-e-vírgulas para separar as linhas. Os componentes de uma única linha são separados por vírgulas. Por exemplo, o comando

resultará na atribuição de uma matriz à variável A:

Podemos inserir um vetor de coluna pensando nele como uma matriz m & times1, então o comando

resultará em um vetor de coluna 2 & times1:

Existem muitas propriedades de matrizes que o MATLAB calculará por meio de comandos simples. A maior parte deste material é abordada no Math 20F, mas algumas propriedades básicas podem ser úteis para nós na solução de sistemas de equações diferenciais.

Autovalores e autovetores

Um autovalor & lambda para a matriz UMA está relacionado ao seu autovetor b pela equação

O MATLAB pode ser usado para encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz usando o comando eig. Ao aplicar o comando por si só, como em eig (A), o MATLAB retornará um vetor coluna com os autovalores de UMA como seus componentes. Por exemplo, com nossa matriz UMA acima, obtemos a seguinte saída:

Se também quisermos que o MATLAB calcule os vetores próprios de UMA , precisamos especificar duas variáveis ​​de saída. O comando e sua saída estão abaixo:

Como você pode ver, usando este comando, obtemos duas matrizes como saída. A primeira matriz, chamada eigvec, tem os autovetores de UMA como suas colunas. A segunda matriz, autovalor, tem os autovalores de UMA em sua diagonal principal e zeros em todos os outros lugares. O autovetor na primeira coluna de eigvec corresponde ao autovalor na primeira coluna de eigvec e assim por diante.

Deixar B seja a matriz.

  1. Defina a matriz B no MATLAB com os valores acima. Copie e cole a entrada e a saída de seu comando em seu documento do Word.
  2. Use os comandos do MATLAB para encontrar os valores e vetores próprios para a matriz B . Copie e cole a entrada e a saída de seu comando em seu documento do Word.

Agora que vimos como usar matrizes no MATLAB, devemos estar prontos para resolver sistemas de equações como (1) acima.


Matemática 22B: Equações diferenciais Trimestre da primavera de 2008 Seção 2

As soluções finais estão postadas abaixo. As notas do curso serão publicadas na próxima sexta-feira.

Instrutor

Palestras: MWF 14h10 e # 1503h da tarde, 2205 Haring Hall

  • Último dia para adicionar: terça-feira, 15 de abril de 2008
  • Último dia para cair: sexta-feira, 25 de abril de 2008
  • Última aula: quarta-feira, 4 de junho de 2008
  • Feriado acadêmico: segunda-feira, 26 de maio
  • Martha Schott (3229 MSB)
    Horário de atendimento: W 9h45 e # 150 11h00
  • Josh Oyoung (2232 MSB)
    Horário comercial: T 14h e # 150 15h15, quinta-feira 15h e # 150 16h15

Exames

Meio do período 1

  • Sec. 1.1: Modelos matemáticos que conduzem a EDOs.
  • Sec. 1.2: Alguns ODEs simples.
  • Sec. 1.3: Classificação de EDOs.
  • Sec. 2.1: Método do fator de integração para EDOs lineares.
  • Sec. 2.2: Separação de variáveis.
  • Sec. 2.4: Teoremas de existência / unicidade.Princípio de superposição para EDOs lineares.
  • Sec. 2.5: ODEs autônomos. Linhas de fase, equilíbrio e estabilidade.

Meio do período 2

  • Sec. 3.1: ODEs homogêneos de coeficiente constante
    • soluções exponenciais
    • equação característica
    • solução de EDOs homogêneas quando a equação característica tem raízes reais distintas
    • princípio de superposição para equações homogêneas
    • conjuntos de soluções fundamentais
    • Wronskians
    • solução de problemas de valor inicial
    • dependência linear e independência de funções
    • relação entre independência linear e Wronskian
    • Teorema de Abel
    • Números complexos
    • Fórmula de Euler e exponenciais complexos
    • solução de EDOs homogêneas quando a equação característica tem raízes complexas
    • solução de ODEs homogêneos quando a equação característica tem raiz repetida
    • princípio de superposição para ODEs não homogêneos
    • expressão para solução geral de ODE não homogênea em termos de solução particular e soluções de ODE homogênea
    • uso do método de coeficientes indeterminados para encontrar soluções particulares
    • frequência natural de uma vibração não amortecida
    • efeitos de pequeno e grande amortecimento (vibrações subamortecidas e superamortecidas)
    • ressonância

    Intermediário 2: Exemplo de perguntas 2 (a pergunta 5 não é representativa)

    Final

    • Sec. 7.1: Sistemas lineares de primeira ordem
    • Sec. 7.2 & # 1507.3: Álgebra Linear
    • Sec. 7.4: Teoria básica de sistemas lineares
    • Sec. 7.5: Sistemas lineares de coeficiente constante homogêneo com autovalores reais
      • pontas de sela
      • nós (estáveis ​​e instáveis)
      • pontos espirais (estáveis ​​e instáveis)
      • centros

      Final: Amostra de perguntas 2 (ignorar a pergunta 10 sobre variação de parâmetros, que não cobrimos neste trimestre)

      Soluções: Exemplo de perguntas 2 (infelizmente, as soluções que tenho não correspondem exatamente às perguntas)

      Trabalho de casa

      Nota do curso

      Texto para Matemática 22B

      • Equações diferenciais de primeira ordem
      • Equações lineares de segunda ordem
      • Transformações de Laplace
      • Sistemas lineares de primeira ordem

      O programa do departamento fornece um esboço detalhado.

      O editor tem um site complementar para o texto, que inclui arquivos Maple, MATLAB e Mathematica para ODEs e informações sobre o software de arquitetura ODE incluído no texto.

      Um recurso adicional para o Math 22B são as Lectures on Ordinary Differential Equations de Craig Tracy.

      Contas de computador

      Vou postar alguns arquivos MATLAB simples para ODEs aqui, ou você pode escrever o seu próprio.


      10.3.1: Teoria Básica de Sistemas Lineares Homogêneos (Exercícios)

      Um dos problemas mais importantes da computação técnica é a solução de sistemas de equações lineares simultâneas.

      Na notação de matriz, o problema geral assume a seguinte forma: Dadas duas matrizes UMA e b, existe uma matriz única x, para que UMAx= b ou xUMA= b?

      É instrutivo considerar um exemplo 1 por 1. Por exemplo, a equação

      A resposta, claro, é sim. A equação tem a solução única x = 3. A solução é facilmente obtida por divisão:

      A solução é não normalmente obtido calculando o inverso de 7, que é 7 & # 82111 = 0,142857. e multiplicar 7 & # 82111 por 21. Isso daria mais trabalho e, se 7 & # 82111 for representado com um número finito de dígitos, menos preciso. Considerações semelhantes se aplicam a conjuntos de equações lineares com mais de um MATLAB desconhecido & # x00AE resolve tais equações sem calcular o inverso da matriz.

      Embora não seja uma notação matemática padrão, o MATLAB usa a terminologia de divisão familiar no caso escalar para descrever a solução de um sistema geral de equações simultâneas. Os dois símbolos de divisão, golpear , /, e barra invertida , , correspondem às duas funções do MATLAB mrdivide e mldivide. Esses operadores são usados ​​para as duas situações em que a matriz desconhecida aparece à esquerda ou à direita da matriz de coeficiente:

      Denota a solução para a equação da matriz xA = b, obtido usando mrdivide.

      Denota a solução para a equação da matriz Machado = b, obtido usando mldivide.

      Pense em “dividir” os dois lados da equação Machado = b ou xA = b de UMA. A matriz de coeficiente A está sempre no "denominador".

      As condições de compatibilidade de dimensão para x = A b requerem que as duas matrizes A e b tenham o mesmo número de linhas. A solução x então tem o mesmo número de colunas que b e sua dimensão de linha é igual à dimensão da coluna de A. Para x = b / A, os papéis das linhas e colunas são trocados.

      Na prática, as equações lineares da forma Machado = b ocorrem com mais frequência do que aqueles da forma xA = b. Conseqüentemente, a barra invertida é usada com muito mais frequência do que a barra. O restante desta seção concentra-se no operador barra invertida, as propriedades correspondentes do operador barra podem ser inferidas a partir da identidade:

      A matriz de coeficientes A não precisa ser quadrada. Se A tiver tamanho m-de-n, então há três casos:

      Sistema quadrado. Procure uma solução exata.

      Sistema sobredeterminado, com mais equações do que incógnitas. Encontre uma solução de mínimos quadrados.

      Sistema subdeterminado, com menos equações do que incógnitas. Encontre uma solução básica com no máximo m componentes diferentes de zero.

      O algoritmo mldivide

      O operador mldivide emprega diferentes solucionadores para lidar com diferentes tipos de matrizes de coeficientes. Os vários casos são diagnosticados automaticamente examinando a matriz de coeficientes. Para obter mais informações, consulte a seção “Algoritmos” da página de referência mldivide.

      Solução Geral

      A solução geral para um sistema de equações lineares Machado= b descreve todas as soluções possíveis. Você pode encontrar a solução geral por:

      Resolvendo o sistema homogêneo correspondente Machado = 0. Faça isso usando o comando null, digitando null (A). Isso retorna uma base para o espaço de solução para Machado = 0. Qualquer solução é uma combinação linear de vetores de base.

      Encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo Machado =b.

      Você pode então escrever qualquer solução para Machado= b como a soma da solução particular para Machado =b, da etapa 2, mais uma combinação linear dos vetores de base da etapa 1.

      O restante desta seção descreve como usar o MATLAB para encontrar uma solução específica para Machado =b, como na etapa 2.

      Sistemas Quadrados

      A situação mais comum envolve uma matriz de coeficiente quadrada A e um único vetor de coluna do lado direito b.

      Matriz de coeficiente não singular

      Se a matriz A for não singular, a solução, x = A b, terá o mesmo tamanho de b. Por exemplo:

      Pode-se confirmar que A * x é exatamente igual a u.

      Se A e b forem quadrados e do mesmo tamanho, x = A b também será desse tamanho:

      Pode-se confirmar que A * x é exatamente igual a b.

      Ambos os exemplos têm soluções inteiras exatas. Isso ocorre porque a matriz de coeficientes foi escolhida como pascal (3), que é uma matriz de classificação completa (não singular).

      Matriz de Coeficiente Singular

      Uma matriz quadrada UMA é singular se não tiver colunas linearmente independentes. Se UMA é singular, a solução para Machado = b ou não existe ou não é único. O operador de barra invertida, A b, emite um aviso se A for quase singular ou se detectar a singularidade exata.

      Se UMA é singular e Machado = b tem uma solução, você pode encontrar uma solução particular que não seja única, digitando

      pinv (A) é um pseudoinverso de UMA. Se Machado = b não tem uma solução exata, então pinv (A) retorna uma solução de mínimos quadrados.

      é singular, como você pode verificar digitando

      Desde UMA não é a classificação completa, tem alguns valores singulares iguais a zero.

      Soluções exatas. Para b = [5212], a equação Machado = b tem uma solução exata, fornecida por

      Verifique se pinv (A) * b é uma solução exata digitando

      Soluções de mínimos quadrados. No entanto, se b = [360], Machado = b não tem uma solução exata. Nesse caso, pinv (A) * b retorna uma solução de mínimos quadrados. Se você digitar

      você não recebe de volta o vetor original b.

      Você pode determinar se Machado =b tem uma solução exata encontrando a forma escalonada de linha reduzida da matriz aumentada [A b]. Para fazer isso neste exemplo, digite

      Como a linha inferior contém todos os zeros, exceto a última entrada, a equação não tem solução. Nesse caso, pinv (A) retorna uma solução de mínimos quadrados.

      Sistemas Sobredeterminados

      Este exemplo mostra como sistemas sobredeterminados são freqüentemente encontrados em vários tipos de ajuste de curva a dados experimentais.

      Uma quantidade y é medida em vários valores diferentes de tempo t para produzir as seguintes observações. Você pode inserir os dados e visualizá-los em uma tabela com as seguintes instruções.

      Tente modelar os dados com uma função exponencial decadente

      A equação anterior diz que o vetor y deve ser aproximado por uma combinação linear de dois outros vetores. Um é um vetor constante contendo todos uns e o outro é o vetor com componentes exp (-t). Os coeficientes desconhecidos, c 1 e c 2, podem ser calculados fazendo um ajuste de mínimos quadrados, que minimiza a soma dos quadrados dos desvios dos dados do modelo. Existem seis equações em duas incógnitas, representadas por uma matriz 6 por 2.

      Use o operador de barra invertida para obter a solução de mínimos quadrados.

      Em outras palavras, o ajuste de mínimos quadrados aos dados é

      y (t) = 0. 4 7 6 0 + 0. 3 4 1 3 e - t.

      As seguintes declarações avaliam o modelo em incrementos regularmente espaçados em t e, em seguida, plote o resultado junto com os dados originais:

      E * c não é exatamente igual ay, mas a diferença pode muito bem ser menor que os erros de medição nos dados originais.

      Uma matriz retangular A é deficiente em classificação se não tiver colunas linearmente independentes. Se A for deficiente na classificação, a solução de mínimos quadrados para AX = B não é única. A B emite um aviso se A for deficiente na classificação e produzir uma solução de mínimos quadrados. Você pode usar lsqminnorm para encontrar a solução X que tem a norma mínima entre todas as soluções.

      Sistemas Subdeterminados

      Este exemplo mostra como a solução para sistemas subdeterminados não é única. Sistemas lineares subdeterminados envolvem mais incógnitas do que equações. A operação de divisão à esquerda da matriz no MATLAB encontra uma solução básica de mínimos quadrados, que tem no máximo m componentes diferentes de zero para uma matriz de coeficientes m-por-n.

      Aqui está um pequeno exemplo aleatório:

      O sistema linear Rp = b envolve duas equações em quatro incógnitas. Como a matriz de coeficientes contém pequenos inteiros, é apropriado usar o comando format para exibir a solução em formato racional. A solução particular é obtida com

      Um dos componentes diferentes de zero é p (2) porque R (:, 2) é a coluna de R com a maior norma. O outro componente diferente de zero é p (4) porque R (:, 4) domina depois que R (:, 2) é eliminado.

      A solução geral completa para o sistema subdeterminado pode ser caracterizada pela adição de p a uma combinação linear arbitrária dos vetores de espaço nulos, que podem ser encontrados usando a função nula com uma opção solicitando uma base racional.

      Pode-se confirmar que R * Z é zero e que o resíduo R * x - b é pequeno para qualquer vetor x, onde

      Uma vez que as colunas de Z são os vetores de espaço nulos, o produto Z * q é uma combinação linear desses vetores:

      Z q = (x ⇀ 1 x ⇀ 2) (u w) = u x ⇀ 1 + w x ⇀ 2.

      Para ilustrar, escolha um q arbitrário e construa x.

      Calcule a norma do residual.

      Quando infinitas soluções estão disponíveis, a solução com norma mínima é de particular interesse. Você pode usar lsqminnorm para calcular a solução de mínimos quadrados de norma mínima. Esta solução possui o menor valor possível para a norma (p).

      Resolvendo vários lados direitos

      Alguns problemas estão relacionados à solução de sistemas lineares que possuem a mesma matriz de coeficientes A, mas lados direitos b diferentes. Quando os diferentes valores de b estão disponíveis ao mesmo tempo, você pode construir b como uma matriz com várias colunas e resolver todos os sistemas de equações ao mesmo tempo usando um único comando de barra invertida: X = A [b1 b2 b3 ... ]

      No entanto, às vezes os diferentes valores de b não estão todos disponíveis ao mesmo tempo, o que significa que você precisa resolver vários sistemas de equações consecutivamente. Quando você resolve um desses sistemas de equações usando barra (/) ou barra invertida (), o operador fatoriza a matriz de coeficiente A e usa essa decomposição de matriz para calcular a solução. No entanto, cada vez que você resolve um sistema de equações semelhante com um b diferente, o operador calcula a mesma decomposição de A, que é um cálculo redundante.

      A solução para este problema é pré-calcular a decomposição de A e então reutilizar os fatores para resolver os diferentes valores de b. Na prática, entretanto, pré-computar a decomposição dessa maneira pode ser difícil, pois você precisa saber qual decomposição calcular (LU, LDL, Cholesky e assim por diante), bem como multiplicar os fatores para resolver o problema. Por exemplo, com a decomposição LU, você precisa resolver dois sistemas lineares para resolver o sistema original Axe = b:

      Em vez disso, o método recomendado para resolver sistemas lineares com vários lados direitos consecutivos é usar objetos de decomposição. Esses objetos permitem que você aproveite os benefícios de desempenho da pré-computação da decomposição da matriz, mas eles não requerem conhecimento de como usar os fatores da matriz. Você pode substituir a decomposição LU anterior por:

      Se você não tiver certeza de qual decomposição usar, a decomposição (A) escolherá o tipo correto com base nas propriedades de A, semelhante ao que a barra invertida faz.

      Aqui está um teste simples dos possíveis benefícios de desempenho dessa abordagem. O teste resolve o mesmo sistema linear esparso 100 vezes usando barra invertida () e decomposição.


      Exercícios de revisão

      Para os exercícios a seguir, determine se o par ordenado é uma solução para o sistema de equações.

      Para os exercícios a seguir, use a substituição para resolver o sistema de equações.

      10 x + 5 y = −5 3 x - 2 y = −12 10 x + 5 y = −5 3 x - 2 y = −12

      4 7 x + 1 5 y = 43 70 5 6 x - 1 3 y = - 2 3 4 7 x + 1 5 y = 43 70 5 6 x - 1 3 y = - 2 3

      Para os exercícios a seguir, use a adição para resolver o sistema de equações.

      Para os exercícios a seguir, escreva um sistema de equações para resolver cada problema. Resolva o sistema de equações.

      Sistemas de equações lineares: três variáveis

      Para os exercícios a seguir, resolva o sistema de três equações usando substituição ou adição.

      0,5 x - 0,5 y = 10 - 0,2 y + 0,2 x = 4 0,1 x + 0,1 z = 2 0,5 x - 0,5 y = 10 - 0,2 y + 0,2 x = 4 0,1 x + 0,1 z = 2

      5 x + 3 y - z = 5 3 x - 2 y + 4 z = 13 4 x + 3 y + 5 z = 22 5 x + 3 y - z = 5 3 x - 2 y + 4 z = 13 4 x + 3 y + 5 z = 22

      x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 1 3 x + 3 y = 2 x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 1 3 x + 3 y = 2

      2 x - 3 y + z = −1 x + y + z = −4 4 x + 2 y - 3 z = 33 2 x - 3 y + z = −1 x + y + z = −4 4 x + 2 y - 3 z = 33

      3 x + 2 y - z = −10 x - y + 2 z = 7 - x + 3 y + z = −2 3 x + 2 y - z = −10 x - y + 2 z = 7 - x + 3 y + z = −2

      3 x + 4 z = −11 x - 2 y = 5 4 y - z = −10 3 x + 4 z = −11 x - 2 y = 5 4 y - z = −10

      2 x - 3 y + z = 0 2 x + 4 y - 3 z = 0 6 x - 2 y - z = 0 2 x - 3 y + z = 0 2 x + 4 y - 3 z = 0 6 x - 2 y - z = 0

      6 x - 4 y - 2 z = 2 3 x + 2 y - 5 z = 4 6 y - 7 z = 5 6 x - 4 y - 2 z = 2 3 x + 2 y - 5 z = 4 6 y - 7 z = 5

      Para os exercícios a seguir, escreva um sistema de equações para resolver cada problema. Resolva o sistema de equações.

      Três números ímpares somam 61. O menor é um terço do maior e o número do meio é 16 menor que o maior. Quais são os três números?

      Um teatro local se esgota para seu show. Eles vendem todos os 500 ingressos por uma bolsa total de $ 8.070,00. Os ingressos custavam US $ 15 para estudantes, US $ 12 para crianças e US $ 18 para adultos. Se a banda vendeu três vezes mais ingressos adultos do que ingressos infantis, quantos de cada tipo foram vendidos?

      Sistemas de equações não lineares e desigualdades: duas variáveis

      Para os exercícios a seguir, resolva o sistema de equações não lineares.

      Para os exercícios a seguir, represente graficamente a desigualdade.

      Para os exercícios a seguir, represente graficamente o sistema de desigualdades.

      x 2 + y 2 + 2 x & lt 3 y & gt - x 2 - 3 x 2 + y 2 + 2 x & lt 3 y & gt - x 2 - 3

      x 2 - 2 x + y 2 - 4 x & lt 4 y & lt - x + 4 x 2 - 2 x + y 2 - 4 x & lt 4 y & lt - x + 4

      Frações Parciais

      Para os exercícios a seguir, decomponha em frações parciais.

      x 3 - 4 x 2 + 3 x + 11 (x 2 - 2) 2 x 3 - 4 x 2 + 3 x + 11 (x 2 - 2) 2

      4 x 4 - 2 x 3 + 22 x 2 - 6 x + 48 x (x 2 + 4) 2 4 x 4 - 2 x 3 + 22 x 2 - 6 x + 48 x (x 2 + 4) 2

      Matrizes e operações de matriz

      Para os exercícios a seguir, execute as operações solicitadas nas matrizes fornecidas.

      Resolvendo Sistemas com Eliminação Gaussiana

      Para os exercícios a seguir, escreva o sistema de equações lineares da matriz aumentada. Indique se haverá uma solução única.

      Para os exercícios a seguir, escreva a matriz aumentada do sistema de equações lineares.

      - 2 x + 2 y + z = 7 2 x - 8 y + 5 z = 0 19 x - 10 y + 22 z = 3 - 2 x + 2 y + z = 7 2 x - 8 y + 5 z = 0 19 x - 10 y + 22 z = 3

      4 x + 2 y - 3 z = 14 - 12 x + 3 y + z = 100 9 x - 6 y + 2 z = 31 4 x + 2 y - 3 z = 14 - 12 x + 3 y + z = 100 9 x - 6 y + 2 z = 31

      x + 3 z = 12 - x + 4 y = 0 y + 2 z = - 7 x + 3 z = 12 - x + 4 y = 0 y + 2 z = - 7

      Para os exercícios a seguir, resolva o sistema de equações lineares usando a eliminação de Gauss.

      3 x - 4 y = - 7 - 6 x + 8 y = 14 3 x - 4 y = - 7 - 6 x + 8 y = 14

      2 x + 3 y + 2 z = 1 - 4 x - 6 y - 4 z = - 2 10 x + 15 y + 10 z = 0 2 x + 3 y + 2 z = 1 - 4 x - 6 y - 4 z = - 2 10 x + 15 y + 10 z = 0

      - x + 2 y - 4 z = 8 3 y + 8 z = - 4 - 7 x + y + 2 z = 1 - x + 2 y - 4 z = 8 3 y + 8 z = - 4 - 7 x + y + 2 z = 1

      Resolvendo Sistemas com Inversos

      Para os exercícios a seguir, encontre o inverso da matriz.

      Para os exercícios a seguir, encontre as soluções calculando o inverso da matriz.

      0,3 x - 0,1 y = - 10 - 0,1 x + 0,3 y = 14 0,3 x - 0,1 y = - 10 - 0,1 x + 0,3 y = 14

      4 x + 3 y - 3 z = - 4,3 5 x - 4 y - z = - 6,1 x + z = - 0,7 4 x + 3 y - 3 z = - 4,3 5 x - 4 y - z = - 6,1 x + z = - 0,7

      - 2 x - 3 y + 2 z = 3 - x + 2 y + 4 z = - 5 - 2 y + 5 z = - 3 - 2 x - 3 y + 2 z = 3 - x + 2 y + 4 z = - 5 - 2 y + 5 z = - 3

      Para os exercícios a seguir, escreva um sistema de equações para resolver cada problema. Resolva o sistema de equações.

      Os alunos foram convidados a trazer suas frutas favoritas para a aula. 90% das frutas consistiam de banana, maçã e laranja. Se as laranjas fossem tão populares quanto as bananas e as maçãs 5% mais populares do que as bananas, quais seriam as porcentagens de cada fruta individual?

      Uma irmandade realizou uma venda de bolos para arrecadar dinheiro e vendeu brownies e biscoitos de chocolate. Eles cobraram os brownies em US $ 2 e os biscoitos de chocolate em US $ 1. Eles levantaram $ 250 e venderam 175 itens. Quantos brownies e quantos biscoitos foram vendidos?

      Resolvendo sistemas com a regra de Cramer

      Para os exercícios a seguir, encontre o determinante.

      Para os exercícios a seguir, use a regra de Cramer para resolver os sistemas lineares de equações.

      4 x - 2 y = 23 - 5 x - 10 y = - 35 4 x - 2 y = 23 - 5 x - 10 y = - 35

      0,2 x - 0,1 y = 0 - 0,3 x + 0,3 y = 2,5 0,2 x - 0,1 y = 0 - 0,3 x + 0,3 y = 2,5

      x + 6 y + 3 z = 4 2 x + y + 2 z = 3 3 x - 2 y + z = 0 x + 6 y + 3 z = 4 2 x + y + 2 z = 3 3 x - 2 y + z = 0

      4 x - 3 y + 5 z = - 5 2 7 x - 9 y - 3 z = 3 2 x - 5 y - 5 z = 5 2 4 x - 3 y + 5 z = - 5 2 7 x - 9 y - 3 z = 3 2 x - 5 y - 5 z = 5 2

      3 10 x - 1 5 y - 3 10 z = - 1 50 1 10 x - 1 10 y - 1 2 z = - 9 50 2 5 x - 1 2 y - 3 5 z = - 1 5 3 10 x - 1 5 y - 3 10 z = - 1 50 1 10 x - 1 10 y - 1 2 z = - 9 50 2 5 x - 1 2 y - 3 5 z = - 1 5

      Como um associado da Amazon, ganhamos com compras qualificadas.

      Quer citar, compartilhar ou modificar este livro? Este livro é Creative Commons Attribution License 4.0 e você deve atribuir o OpenStax.

        Se você estiver redistribuindo todo ou parte deste livro em formato impresso, deverá incluir em cada página física a seguinte atribuição:

      • Use as informações abaixo para gerar uma citação. Recomendamos o uso de uma ferramenta de citação como esta.
        • Autores: Jay Abramson
        • Editor / site: OpenStax
        • Título do livro: Pré-cálculo
        • Data de publicação: 23 de outubro de 2014
        • Local: Houston, Texas
        • URL do livro: https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions
        • URL da seção: https://openstax.org/books/precalculus/pages/9-review-exercises

        © 21 de janeiro de 2021 OpenStax. O conteúdo do livro didático produzido pela OpenStax é licenciado sob uma licença Creative Commons Attribution License 4.0. O nome OpenStax, logotipo OpenStax, capas de livro OpenStax, nome OpenStax CNX e logotipo OpenStax CNX não estão sujeitos à licença Creative Commons e não podem ser reproduzidos sem o consentimento prévio e expresso por escrito da Rice University.


        Sistemas lineares homogêneos de equações diferenciais com coeficientes constantes

        Onde ( left (t right), left (t right), ldots, left (t right) ) são funções desconhecidas da variável (t, ) que geralmente tem o significado de tempo, (<>> ) são certos coeficientes constantes, que podem ser reais ou complexos, ( left (t right) ) são dadas (no caso geral, com valores complexos) funções da variável (t. )

        Assumimos que todas essas funções são contínuas em um intervalo ( left [ right] ) do eixo do número real (t. )

        o sistema de equações diferenciais pode ser escrito em forma de matriz:

        [X & # 8217 left (t right) = AX left (t right) + f left (t right). ]

        Se o vetor (f left (t right) ) for identicamente igual a zero: (f left (t right) equiv 0, ) então o sistema é considerado homogêneo:

        [X & # 8217 left (t right) = AX left (t right). ]

        Sistemas homogêneos de equações com coeficientes constantes podem ser resolvidos de diferentes maneiras. Os métodos a seguir são os mais comumente usados:

        • método de eliminação (o método de redução de (n ) equações para uma única equação da (n ) ésima ordem)
        • método de combinações integráveis ​​(incluindo o método de coeficientes indeterminados ou usando a forma de Jordan no caso de raízes múltiplas da equação característica)
        • método da matriz exponencial.

        Abaixo nesta página, discutiremos em detalhes o método de eliminação. Outros métodos para resolver sistemas de equações são considerados separadamente nas páginas seguintes.

        Método de Eliminação

        Usando o método de eliminação, um sistema linear normal de (n ) equações pode ser reduzido a uma única equação linear de (n ) ésima ordem. Este método é útil para sistemas simples, especialmente para sistemas de ordem (2. )

        Considere um sistema homogêneo de duas equações com coeficientes constantes:

        onde as funções (,) dependem da variável (t. )

        Diferenciamos a primeira equação e substituímos a derivada () da segunda equação:

        Agora substituímos (>) da primeira equação. Como resultado, obtemos uma equação homogênea linear de segunda ordem:

        É fácil construir sua solução, se conhecermos as raízes da equação característica:

        No caso de coeficientes reais (<>>, ) as raízes podem ser reais (distintas ou múltiplas) e complexas. Em particular, se os coeficientes (> ) e (> ) têm o mesmo sinal, então o discriminante da equação característica será sempre positivo e, portanto, as raízes serão reais e distintas.

        Após a função ( left (t right) ) é determinado, a outra função ( left (t right) ) pode ser encontrado na primeira equação.

        O método de eliminação pode ser aplicado não apenas a sistemas lineares homogêneos. Também pode ser usado para resolver sistemas não homogêneos de equações diferenciais ou sistemas de equações com coeficientes variáveis.


        Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias

        Introdução às equações diferenciais ordinárias, segunda edição fornece uma introdução às equações diferenciais. Este livro apresenta o aplicativo e inclui problemas em química, biologia, economia, mecânica e circuitos elétricos. Organizado em 12 capítulos, esta edição começa com uma visão geral dos métodos para resolver equações diferenciais individuais. Este texto descreve as propriedades básicas importantes de soluções de equações diferenciais lineares e explica as equações lineares de ordem superior. Outros capítulos consideram a possibilidade de representar as soluções de certas equações diferenciais lineares em termos de séries de potências. Este livro discute também as propriedades importantes da função gama e explica a estabilidade das soluções e a existência de soluções periódicas. O capítulo final trata do método de construção de uma solução da equação integral e explica como estabelecer a existência de uma solução do sistema de valores inicial. Este livro é um recurso valioso para matemáticos, estudantes e pesquisadores.

        Introdução às equações diferenciais ordinárias, segunda edição fornece uma introdução às equações diferenciais. Este livro apresenta o aplicativo e inclui problemas em química, biologia, economia, mecânica e circuitos elétricos. Organizado em 12 capítulos, esta edição começa com uma visão geral dos métodos para resolver equações diferenciais individuais. Este texto descreve as propriedades básicas importantes de soluções de equações diferenciais lineares e explica as equações lineares de ordem superior. Outros capítulos consideram a possibilidade de representar as soluções de certas equações diferenciais lineares em termos de séries de potências. Este livro discute também as propriedades importantes da função gama e explica a estabilidade das soluções e a existência de soluções periódicas. O capítulo final trata do método de construção de uma solução da equação integral e explica como estabelecer a existência de uma solução do sistema de valores inicial. Este livro é um recurso valioso para matemáticos, estudantes e pesquisadores.


        12.3: Leis de taxas

        Q12.3.1

        Como a taxa de uma reação e sua constante de taxa diferem?

        S12.3.1

        A taxa de uma reação ou taxa de reação é a mudança na concentração do reagente ou do produto durante um período de tempo. Se as concentrações mudam, a taxa também muda.

        A constante de taxa (k) é uma constante de proporcionalidade que relaciona as taxas de reação aos reagentes. Se as concentrações mudam, a constante de taxa não muda.

        Para uma reação com a equação geral: (aA + bB & rarrcC + dD )

        a lei da taxa determinada experimentalmente geralmente tem a seguinte forma:

        Q12.3.2

        Dobrar a concentração de um reagente aumenta a taxa de uma reação quatro vezes. Com esse conhecimento, responda às seguintes perguntas:

        1. Qual é a ordem da reação com respeito a esse reagente?
        2. Triplicar a concentração de um reagente diferente aumenta a taxa de uma reação três vezes. Qual é a ordem da reação com respeito a esse reagente?

        Q12.3.3

        Triplicar a concentração de um reagente aumenta a taxa de reação nove vezes. Com esse conhecimento, responda às seguintes perguntas:

        1. Qual é a ordem da reação com respeito a esse reagente?
        2. Aumentar a concentração de um reagente por um fator de quatro aumenta a taxa de uma reação quatro vezes. Qual é a ordem da reação com respeito a esse reagente?

        Q12.3.4

        Quanto e em que direção cada um dos seguintes afetará a taxa da reação: ( ce(g) + ce(g) & # 10230 ce(g) + ce(g) ) se a lei da taxa para a reação é ( ce= k [ ce]^2)?

        1. Diminuindo a pressão do NÃO2 de 0,50 atm a 0,250 atm.
        2. Aumentando a concentração de CO de 0,01 M para 0,03 M.

        (a) O processo reduz a taxa por um fator de 4. (b) Como o CO não aparece na lei de taxas, a taxa não é afetada.

        Q12.3.5

        Como cada um dos seguintes afetará a taxa da reação: ( ce(g) + ce(g) & # 10230 ce(g) + ce(g) ) se a lei da taxa para a reação é ( ce= k [ ce] [ ce]) ?

        1. Aumentando a pressão de NÃO2 de 0,1 atm a 0,3 atm
        2. Aumentando a concentração de CO de 0,02 M para 0,06 M.

        Q12.3.6

        Os voos regulares de aeronaves supersônicas na estratosfera são motivo de preocupação porque tais aeronaves produzem óxido nítrico, NO, como um subproduto no escapamento de seus motores. O óxido nítrico reage com o ozônio, e foi sugerido que isso poderia contribuir para a destruição da camada de ozônio. A reação ( ce) é de primeira ordem com relação a NÃO e O3 com uma constante de taxa de 2,20 e vezes 10 7 L / mol / s. Qual é a taxa instantânea de desaparecimento de NO quando [NO] = 3,3 e vezes 10 e menos 6 M e [O3] = 5,9 e vezes 10 e menos7 M?

        Q12.3.7

        O fósforo radioativo é usado no estudo dos mecanismos de reação bioquímica porque os átomos de fósforo são componentes de muitas moléculas bioquímicas. A localização do fósforo (e a localização da molécula a que está ligado) pode ser detectada a partir dos elétrons (partículas beta) que ele produz:

        Qual é a taxa instantânea de produção de elétrons em uma amostra com concentração de fósforo de 0,0033 M?

        Q12.3.8

        A constante de taxa para o decaimento radioativo de 14 C é 1,21 e vezes 10 e menos 4 ano e menos 1. Os produtos do decaimento são átomos de nitrogênio e elétrons (partículas beta):

        Qual é a taxa instantânea de produção de átomos de N em uma amostra com um conteúdo de carbono-14 de 6,5 & vezes 10 & menos9 M?

        Q12.3.9

        Qual é a taxa instantânea de produção de átomos de N Q12.3.8 em uma amostra com um conteúdo de carbono-14 de 1,5 e vezes 10 e menos 9 M?

        Q12.3.10

        A decomposição do acetaldeído é uma reação de segunda ordem com uma constante de velocidade de 4,71 e vezes 10 e menos 8 L / mol / s. Qual é a taxa instantânea de decomposição do acetaldeído em uma solução com uma concentração de 5,55 e vezes 10 e menos 4 M?

        Q12.3.11

        O álcool é removido da corrente sanguínea por uma série de reações metabólicas. A primeira reação produz acetaldeído, em seguida, outros produtos são formados. Os dados a seguir foram determinados para a taxa na qual o álcool é removido do sangue de um homem médio, embora as taxas individuais possam variar em 25 e 30%. As mulheres metabolizam o álcool um pouco mais lentamente do que os homens:

        [C2H5OH] (M) 4,4 e vezes 10 e menos 2 3,3 e vezes 10 e menos 2 2,2 e vezes 10 e menos 2
        Taxa (mol / L / h) 2,0 e vezes 10 e menos 2 2,0 e vezes 10 e menos 2 2,0 e vezes 10 e menos 2

        Determine a equação da taxa, a constante da taxa e a ordem geral dessa reação.

        taxa = k k = 2,0 & vezes 10 & menos 2 mol / L / h (cerca de 0,9 g / L / h para o homem médio) A reação é de ordem zero.

        Q12.3.12

        Sob certas condições, a decomposição da amônia em uma superfície de metal fornece os seguintes dados:

        [NH3] (M) 1,0 e vezes 10 e menos 3 2,0 e vezes 10 e menos 3 3,0 e vezes 10 e menos 3
        Taxa (mol / L / h 1) 1,5 e vezes 10 e menos 6 1,5 e vezes 10 e menos 6 1,5 e vezes 10 e menos 6

        Determine a equação da taxa, a constante da taxa e a ordem geral dessa reação.

        Q12.3.13

        Cloreto de nitrosila, NOCl, se decompõe em NO e Cl2.

        Determine a equação da taxa, a constante da taxa e a ordem geral para esta reação a partir dos seguintes dados:

        [NOCl] (M) 0.10 0.20 0.30
        Taxa (mol / L / h) 8,0 e vezes 10 e menos10 3,2 e vezes 10 e menos 9 7,2 e vezes 10 e menos 9
        Solução

        Antes de descobrirmos a constante de taxa, devemos primeiro determinar a equação básica da taxa e a ordem das taxas. A equação da taxa básica para esta reação, onde n é a ordem da taxa de NOCl e k é a constante de taxa, é

        uma vez que NOCl é o reagente na reação.

        Para descobrir a ordem da reação, devemos encontrar a ordem do [NOCl], pois é o único reagente na reação. Para fazer isso, devemos examinar como a taxa de reação muda conforme a concentração de NOCl muda.

        Como [NOCl] dobra na concentração de 0,10 M para 0,20 M, a taxa vai de 8,0 x 10 -10 para 3,2 x 10 -9

        (3,2 x 10 -9 (mol / L / h)) / (8,0 x 10 -10 (mol / L / h)) = 4

        portanto, concluímos que à medida que [NOCl] dobra, a taxa aumenta em 4. Como 2 2 = 4, podemos dizer que a ordem de [NOCl] é 2, portanto nossa lei de taxa atualizada é

        Agora que temos a ordem, podemos substituir os primeiros valores experimentais da tabela fornecida para encontrar a constante de taxa, k

        (8,0 x 10 -10 (mol / L / h)) = k (0,10 M) 2 assim

        Fomos capazes de encontrar as unidades de k usando a ordem das taxas, quando a ordem das taxas é de 2 unidades de k são M -1 x seg -1

        Portanto, a equação da taxa é: taxa = k [NOCl] 2, é de segunda ordem e k = 8 x 10 -8 M -1 x seg -1

        Lei da taxa geral: [taxa = underbrace <(8 times 10 ^ <-8>)> _ < text <1 / (M x seg) >> [NOCl] ^ 2 nonumber ]

        taxa = k[NOCl] 2 k = 8,0 & vezes 10 & menos8 L / mol / s de segunda ordem

        Q12.3.14

        A partir dos dados a seguir, determine a equação da taxa, a constante da taxa e a ordem em relação a UMA para a reação (A & # 102302C ).

        [UMA] (M) 1,33 e vezes 10 e menos 2 2,66 e vezes 10 e menos 2 3,99 e vezes 10 e menos 2
        Taxa (mol / L / h) 3,80 e vezes 10 e menos 7 1,52 e vezes 10 e menos 6 3,42 e vezes 10 e menos 6
        Solução

        A. Usando os dados experimentais, podemos comparar os efeitos da mudança de [A] na taxa de reação, relacionando as razões de [A] às razões das taxas

        B. Disto sabemos que dobrar a concentração de A resultará em quadruplicar a taxa de reação. A ordem dessa reação é 2.

        C. Agora podemos escrever a equação da taxa, pois sabemos a ordem:

        D. Ao conectar um conjunto de dados experimentais em nossa equação de taxa, podemos resolver para a constante de taxa, k:

        [3,8 vezes 10 ^ <-7> = k vezes (1,33 vezes 10 ^ <-2>) ^ <2> não numérico ]

        Q12.3.15

        O óxido de nitrogênio (II) reage com o cloro de acordo com a equação:

        As seguintes taxas iniciais de reação foram observadas para certas concentrações de reagentes:

        [NO] (mol / L 1) [Cl2] (mol / L) Taxa (mol / L / h)
        0.50 0.50 1.14
        1.00 0.50 4.56
        1.00 1.00 9.12

        Qual é a equação da taxa que descreve a dependência da taxa e rsquos nas concentrações de NO e Cl2? Qual é a constante de taxa? Quais são as ordens com respeito a cada reagente?

        A taxa pode ser escrita como

        (taxa = k [A] ^[B] ^) onde k é a constante de velocidade e m e n são as ordens de reação.

        (2NO (g) + Cl_ <2> (g) rightarrow 2NOCl (g) )

        Agora, precisamos encontrar as ordens de reação. Ordens de reação só podem ser encontradas por meio de valores experimentais. Podemos comparar duas reações em que um dos reagentes tem a mesma concentração para os dois ensaios e resolver para a ordem das reações.

        Podemos usar os dados da tabela fornecida. Se inserirmos os valores das linhas 1 e 2, veremos que os valores da concentração de Cl serão cancelados, deixando apenas as taxas e as concentrações de NO.

        Agora podemos resolver para me descobrir que m = 2. Isso significa que a ordem de reação para [NO] é 2.

        Agora devemos encontrar o valor de n. Para fazer isso, podemos usar a mesma equação, mas com os valores das linhas 2 e 3. Desta vez, a concentração de NO será cancelada.

        Quando resolvemos para n, descobrimos que n = 1. Isso significa que a ordem de reação para [Cl2] é 1.

        Estamos um passo mais perto de terminar nossa equação de taxas.

        Finalmente, podemos resolver para a constante de taxa. Para fazer isso, podemos usar uma das tentativas do experimento e inserir os valores da taxa e das concentrações dos reagentes e, em seguida, resolver para k.

        (1,14 mol / L / h = k [0,5 mol / L] ^ <2> [0,5mol / L] )

        Então, nossa equação de taxa final é:

        * Um erro comum é esquecer unidades. Certifique-se de acompanhar suas unidades ao longo do processo de determinação de sua constante de taxa. Tenha cuidado porque as unidades mudarão em relação à ordem de reação.

        taxa = k[NO] 2 [Cl]2 k = 9,12 L 2 mol & menos 2 h & menos 1 segunda ordem em NO primeira ordem em Cl2

        Q12.3.17

        O hidrogênio reage com o monóxido de nitrogênio para formar monóxido de dinitrogênio (gás hilariante) de acordo com a equação:

        [ ce

        (g) + ce (g) & # 10230 ce(g) + ce(g) não numérico ] Determine a equação da taxa, a constante da taxa e as ordens em relação a cada reagente a partir dos seguintes dados: [NÃO] (M) 0.30 0.60 0.60 [H2] (M) 0.35 0.35 0.70 Taxa (mol / L / s) 2,835 e vezes 10 e menos 3 1,134 e vezes 10 e menos 2 2.268 e vezes 10 e menos2 Solução Determine a equação da taxa, a constante da taxa e as ordens em relação a cada reagente. A constante de taxa e as ordens podem ser determinadas por meio da lei da taxa diferencial. A forma geral da lei da taxa diferencial é fornecida abaixo: onde A, B e C são as concentrações dos reagentes, k é a constante de taxa e n, m e p referem-se à ordem de cada reagente. Para encontrar as ordens de cada reagente, vemos que quando [NO] dobra, mas [H2] não muda, a taxa quadruplica, o que significa que [NO] é uma reação de segunda ordem ([NO] 2). Quando h2] dobra, mas [NÃO] não muda, a taxa dobra, o que significa que [H2] é uma reação de primeira ordem. Portanto, a lei de taxas seria mais ou menos assim: Podemos usar essa lei de taxa para determinar o valor da constante de taxa. Insira os dados de concentração de reagente e taxa de um dos testes para resolver para k a constante de taxa. Nesse caso, optamos por utilizar os dados do ensaio 1 da segunda coluna da tabela de dados. Q12.3.18 Para a reação (A & # 10230B + C ), os seguintes dados foram obtidos a 30 & degC: Qual é a ordem da reação em relação a [UMA], e qual é a equação da taxa? Qual é a constante de taxa? 1. A equação da taxa para uma reação de ordem (n ) é dada como ( frac= ). Onde ([A] ) é a concentração em M, e ( frac) é a taxa em M / s. Podemos então usar cada conjunto de pontos de dados, inserir seus valores na equação de taxa e resolver para (n ). Observe que você pode usar qualquer um dos pontos de dados, desde que a concentração corresponda à sua taxa. Dividimos a equação 1 da taxa pela equação 2 da taxa para cancelar k, a constante da taxa. Agora, a única incógnita que temos é (n ). Usando regras de logaritmo, pode-se resolver isso. A equação da taxa é de segunda ordem em relação a A e é escrita como ( frac= ). 2. Podemos resolver para (k ) inserindo qualquer ponto de dados em nossa equação de taxa ( frac= ). Usando os primeiros pontos de dados por exemplo ([A] = 0,230 : frac) e ( frac = 4,17 vezes ^ : frac)] obtemos a equação (4,17 times ^ : frac=]^2>) Que resolve para (k = 7,88 times ^ frac) Uma vez que sabemos que esta é uma reação de segunda ordem, as unidades apropriadas para (k ) também podem ser escritas como ( frac ) (a) A equação da taxa é de segunda ordem em A e é escrita como taxa = k[UMA] 2. (b) k = 7,88 & vezes 10 & menos 13 L mol & menos1 s & menos1 Q12.3.19 Para a reação (Q & # 10230W + X ), os seguintes dados foram obtidos a 30 & degC: Qual é a ordem da reação em relação a [Q], e qual é a equação da taxa? Qual é a constante de taxa? Qual é a ordem da reação em relação a [Q], e qual é a equação da taxa? Reação da ordem: 2 porque quando você usa o teste de proporção 3: 2, terá a seguinte aparência: ( ( dfrac > > )) = ( ( dfrac >>)) 2,82 = 1,7 x x = 2, então a ordem de reação é 2 Equação da taxa de reação: Taxa = k [Q] 2 Para encontrar a constante de taxa (k), basta inserir e calcular uma das tentativas na equação de taxa 1,04 x 10 -2 = k [0,212] 2 k = 0,231 (M ^ s ^ ) Q12.3.20 A constante de taxa para a decomposição de primeira ordem a 45 & degC de pentóxido de dinitrogênio, N2O5, dissolvido em clorofórmio, CHCl3, é 6,2 & vezes 10 & menos4 min & menos1. Qual é a taxa da reação quando [N2O5] = 0.40 M? Passo 1: O primeiro passo é escrever a lei de taxas. Conhecemos a fórmula geral para uma lei de taxa de primeira ordem. É o seguinte: Taxa = k [A] Passo 2: Agora conectamos [N2O5] em para [A] em nossa lei geral de taxas. Também inserimos nossa constante de taxa (k), que nos foi fornecida. Agora nossa equação é a seguinte: etapa 3: Agora conectamos nossa molaridade dada. [N2O5] = 0,4 M. Agora nossa equação se parece com a seguinte: Passo 4: Agora resolvemos nossa equação. Taxa = (6,2x10 -4 min -1) (0,4 M) = 2,48x10 -4 M / min. Etapa 5: Use algarismos significativos e conversão de unidade para arredondar 2,48x10 -4 M / min para 2,5 e vezes 10 e menos4 (moles) L -1 min -1 Q12.3.21 A produção anual de HNO3 em 2013, foi de 60 milhões de toneladas métricas. A maior parte foi preparada pela seguinte sequência de reações, cada uma executada em um recipiente de reação separado. ( ce (g) + ce (g) & # 10230 ce (g) + ce (g) ) ( ce (g) + ce(g) & # 10230 ce (g) ) ( ce (g) + ce(l) & # 10230 ce (aq) + ce(g) ) A primeira reação é executada queimando amônia no ar sobre um catalisador de platina. Essa reação é rápida. A reação na equação (c) também é rápida. A segunda reação limita a taxa na qual o ácido nítrico pode ser preparado a partir da amônia. Se a equação (b) for de segunda ordem em NO e de primeira ordem em O2, qual é a taxa de formação de NO2 quando a concentração de oxigênio é 0,50 M e a concentração de óxido nítrico é 0,75 M? A constante de velocidade para a reação é 5,8 & vezes 10 & menos 6 L 2 / mol 2 / s. Para determinar a lei da taxa para uma equação, precisamos observar seu passo lento. Como ambas as equações a e c são rápidas, a equação b pode ser considerada a etapa lenta da reação. A etapa lenta também é considerada a etapa determinante da taxa do sistema. Portanto, a etapa de determinação da taxa é a segunda etapa, porque é a etapa lenta. taxa de produção de (NO_2 = k [A] ^ m [B] ^ n ) Q12.3.22 Os seguintes dados foram determinados para a reação: 1 2 3 ( mathrm >) (M) 0.10 0.20 0.30 ( mathrm >) (M) 0.050 0.050 0.010 Taxa (mol / L / s) 3,05 e vezes 10 e menos 4 6,20 e vezes 10 e menos 4 1,83 e vezes 10 e menos 4 Determine a equação da taxa e a constante da taxa para esta reação. Usando os reagentes, podemos formar a lei da taxa de reação: $ r = k [OCl ^ -] ^ n [I ^ -] ^ m ] A partir daí, precisamos usar os dados para determinar a ordem de ([OCl ^ -] ) e ([I ^ -] ). Ao fazer isso, precisamos comparar (r_1 ) a (r_2 ) de modo que: Podemos "cruzar" a concentração de ([OCl ^ -] ) porque ela tem a mesma concentração em ambos os ensaios usados. Agora que sabemos que m ( ([I ^ -] )) tem uma primeira ordem de 1. Não podemos & quotcruzar & quot ([I ^ -] ) para encontrar ([OCl ^ -] ) porque não há duas tentativas com a mesma concentração. Para resolver n, inseriremos 1 para m. Como sabemos que as ordens de n e m são iguais a um, não podemos substituí-los na equação da lei da taxa junto com as respectivas concentrações (da primeira, segunda ou terceira reação) e resolver para a constante da taxa, k . Assim, a lei geral da taxa é: $ r = (6,1 * 10 ^ frac ) [OCl ^ -] [I ^ -] ] As unidades de K dependem da ordem geral da reação. Para encontrar a ordem geral, adicionamos m e n juntos. Fazendo isso, encontramos uma ordem geral de 2. É por isso que as unidades de K são $ frac ] Q12.3.23 os reagentes e produtos são gases na temperatura da reação. Os seguintes dados de taxa foram medidos para três experimentos: A partir desses dados, escreva a equação da taxa para essa reação do gás. Qual é a ordem da reação em NO, Cl2e no geral? Calcule a constante de taxa específica para esta reação. uma. A equação da taxa pode ser determinada projetando experimentos que medem a (s) concentração (ões) de um ou mais reagentes ou produtos em função do tempo. Para a reação (A + B produtos rightarrow ), por exemplo, precisamos determinar k e os expoentes m e n na seguinte equação: [taxa = k [A] ^ m [B] ^ n não numérico ] Para fazer isso, a concentração inicial de B pode ser mantida constante ao variar a concentração inicial de A e calcular a taxa de reação inicial. Esta informação deduziria a ordem de reação em relação a A. O mesmo processo pode ser feito para encontrar a ordem de reação em relação a B. Neste exemplo particular, [ frac= frac enhum número ] Então, pegando os valores da tabela, [ frac > > = frac enhum número ] e ao cancelar os termos semelhantes, você fica com [ frac > > = frac não numérico ] Agora, resolva para m (4 = 2 ^ m Longrightarrow m = 2 ) Como m = 2, a reação em relação a (NO ) é 2. (NÃO ) é de segunda ordem. Você pode repetir o mesmo processo para encontrar n. Agora, desta vez, resolva para n Como n = 1, a reação em relação a (Cl_2 ) é 1. (Cl_2 ) é a primeira ordem. Portanto, a equação da taxa é [rate = k [NO] ^ 2 [Cl_2] ^ 1 nonumber ] Para encontrar a ordem geral das taxas, basta adicionar os pedidos. Segunda ordem + primeira ordem torna o reação geral de terceira ordem. b. A constante de taxa é calculada inserindo os dados de qualquer linha da tabela na lei de taxa determinada experimentalmente e resolvendo para k. Para uma reação de terceira ordem, as unidades de k são (frac ). Usando o Experimento 1, [taxa = k [NO] ^ 2 [Cl_2] ^ 1 Longrightarrow 5.1 * 10 ^ frac= k [0,5 m atm] ^ 2 [0,5 atm] ^ 1 não numérico ] [k = 0,0408 frac enhum número ] A ordem geral da reação é três. 10.3.1: Teoria Básica de Sistemas Lineares Homogêneos (Exercícios)

        Teoria de Flexão Elástica

        A tensão, deformação, dimensão, curvatura, elasticidade, estão todos relacionados, sob certas suposições, pela teoria da flexão simples. Esta teoria se refere à flexão da viga resultante de pares aplicados à viga sem consideração das forças de cisalhamento.

        Princípio da Superposição

        O princípio da superposição é uma das ferramentas mais importantes para resolver problemas de carregamento de vigas, permitindo a simplificação de problemas de projeto muito complicados.

        Para vigas sujeitas a várias cargas de diferentes tipos, a força cortante, o momento fletor, a inclinação e a deflexão resultantes podem ser encontrados em qualquer local, somando-se os efeitos devidos a cada carga atuando separadamente das demais cargas.

        e = tensão
        E = Módulo de Young = & # 963 / e (N / m 2)
        y = distância da superfície da superfície neutra (m).
        R = Raio da linha neutra (m).
        I = Momento de Inércia (m 4 - mais normalmente cm 4)
        Z = módulo de seção = I / ymax(m 3 - mais normalmente cm 3)
        F = Força (N)
        x = Distância ao longo do feixe
        & # 948 = deflexão (m)
        & # 952 = Inclinação (radianos)
        & # 963 = estresse (N / m 2)

        Uma barra reta de material homogêneo está sujeita a apenas um momento em uma extremidade e um momento igual e oposto na outra extremidade.

        O feixe é simétrico em relação a Y-Y
        As seções transversais do plano permanecem planas e normais às fibras longitudinais após a flexão (suposição de Beroulli)
        A relação fixa entre tensão e deformação (Módulo de Young) para o material da viga é a mesma para tensão e compressão (& # 963 = E.e)

        Considere duas seções muito próximas (AB e CD).
        Depois de dobrar, as seções estarão em A'B 'e C'D' e não serão mais paralelas. AC será estendido para A'C 'e BD será compactado para B'D'
        A linha EF será localizada de modo que não mude de comprimento. Esta superfície é chamada de superfície neutra e sua intersecção com Z_Z é chamada de eixo neutro
        As linhas de desenvolvimento de A'B 'e C'D' se cruzam em um ponto 0 em um ângulo de & # 952 radianos e o raio de E'F '= R
        Seja y a distância (E'G ') de qualquer camada H'G' originalmente paralela a EF .. Então

        E a cepa e na camada H'G '=

        e = (H'G'- HG) / HG = (H'G'- HG) / EF = [(R + y) & # 952 - R & # 952] / R & # 952 = y / R

        A relação aceita entre estresse e deformação é & # 963 = E.e, portanto

        Portanto, para o exemplo ilustrado, a tensão de tração está diretamente relacionada à distância acima da linha neutra. A tensão compressiva também está diretamente relacionada à distância abaixo da linha neutra. Supondo que E seja o mesmo para compressão e tensão, a relação é a mesma.

        Como a viga está em equilíbrio estático e sujeita apenas a momentos (sem forças de cisalhamento vertical), as forças ao longo da seção (AB) são inteiramente longitudinais e as forças compressivas totais devem equilibrar as forças de tração totais. O par interno resultante da soma de (& # 963 .dA .y) ao longo de toda a seção deve ser igual ao momento aplicado externamente.

        Isso só pode ser correto se & # 931 (y & # 948 a) ou & # 931 (y.z. & # 948 y) for o momento da área da seção sobre o eixo neutro. Isso só pode ser zero se o eixo passar pelo centro de gravidade (centróide) da seção.

        O par interno resultante da soma de (& # 963 .dA .y) ao longo de toda a seção deve ser igual ao momento aplicado externamente. Portanto, o par da força resultante da tensão em cada área quando totalizado sobre toda a área será igual ao momento aplicado

        Do acima exposto, os seguintes resultados importantes de relação de flexão de viga simples

        É claro de cima que uma viga simples sujeita a flexão gera uma tensão máxima na superfície mais distante do eixo neutro. Para seções simétricas em torno de Z-Z, as tensões de compressão e tração máximas são iguais.

        O fator I / ymax recebe o nome de seção Módulo (Z) e, portanto,

        Os valores de Z são fornecidos nas tabelas que mostram as propriedades das seções de aço padrão

        Abaixo é mostrado o arco do eixo neutro de uma viga sujeita a flexão.

        Para pequeno ângulo dy / dx = tan & # 952 = & # 952
        A curvatura de uma viga é identificada como d & # 952 / ds = 1 / R
        Na figura, & # 948 & # 952 é pequeno e & # 948 x é praticamente = & # 948 s, ou seja, ds / dx = 1

        A partir dessa aproximação simples, as seguintes relações são derivadas.

        Integrando entre os limites selecionados.

        A deflexão entre os limites é obtida por integração posterior.

        Foi provado ref Shear - Flexão que dM / dx = S e dS / dx = -w = d 2 M / dx
        Onde S = a força cortante M é o momento ew é a carga distribuída / comprimento unitário da viga. portanto

        Se w for constante ou uma função integrável de x, então essa relação pode ser usada para chegar a expressões gerais para S, M, dy / dx ou y por integrações progressivas com uma constante de integração sendo adicionada em cada estágio. As propriedades dos suportes ou fixações podem ser utilizadas para determinar as constantes. (x = 0 - simplesmente suportado, dx / dy = 0 final fixo etc)

        De maneira semelhante, se uma expressão para o momento fletor for conhecida, então a inclinação e a deflexão podem ser obtidas em qualquer ponto x por integração simples e dupla da relação e aplicando constantes de integração adequadas.

        As funções de singularidade podem ser usadas para determinar os valores ao carregar uma referência não simples. Funções de singularidade


        Exemplo - viga cantilever

        Considere uma viga cantilever (seção uniforme) com uma única carga concentrada no final. Na extremidade fixa x = 0, dy = 0, dy / dx = 0

        Do equilíbrio de equilíbrio .. No suporte existe um momento de resistência -FL e uma força vertical para cima F.
        Em qualquer ponto x ao longo da viga, há um momento F (x - L) = Mx = E I d 2 a / dx 2

        Exemplo - Viga simplesmente apoiada

        Considere uma viga de seção uniforme simplesmente apoiada com uma única carga F no centro. O feixe será desviado simetricamente em torno da linha central com inclinação 0 (dy / dx) na linha central. É conveniente selecionar a origem na linha central.

        Este é um método para determinar a mudança na inclinação ou a deflexão entre dois pontos em uma viga. É expresso como dois teoremas.

        Teorema 1
        Se A e B são dois pontos em uma viga, a mudança no ângulo (radianos) entre a tangente em A e a tangente em B é igual à área do diagrama de momento fletor entre os pontos dividido pelo valor relevante de EI (a flexão constante de rigidez).

        Teorema 2
        Se A e B são dois pontos em uma viga, o deslocamento de B em relação à tangente da viga em A é igual ao momento da área do diagrama de momento fletor entre A e B sobre a ordenada por B dividido pelo valor relevante de EI (a constante de rigidez flexural).

        Exemplos .. Dois exemplos simples são fornecidos abaixo para ilustrar esses teoremas

        Exemplo 1) Determine a deflexão e inclinação de um cantilever como mostrado.

        O momento fletor em A = MUMA = -FL
        A área do diagrama de momento fletor AM = -F.L 2/2
        A distância ao centroide do diagrama BM de B = xc = 2L / 3
        A deflexão de B = y b = A M.x c / E I = -F.L 3 / 3EI
        A inclinação em B em relação ao bronzeado em A = & # 952 b = AM / E I = -FL 2 / 2EI

        Exemplo 2) Determine a deflexão central e as inclinações finais da viga simplesmente apoiada, conforme mostrado.

        E = 210 GPa. I = 834 cm 4. EI = 1,7514. 10 6 Nm 2

        UMA1 = 10. 1,8. 1,8 / 2 = 16,2kNm 2
        UMA2 = 10. 1,8. 2 = 36kNm 2
        UMA3 = 10. 1,8. 2 = 36kNm 2
        UMA4 = 10. 1,8. 1,8 / 2 = 16,2kNm 2
        x1 = Centróide de A1 = (2/3). 1,8 = 1,2m
        x2 = Centróide de A2 = 1,8 + 1 = 2,8m
        x3 = Centróide de A3 = 1,8 + 1 = 2,8m
        x4 = Centróide de A4 = (2/3). 1,8 = 1,2m

        A inclinação em A é dada pela área do diagrama de momento entre A e C dividido por EI.

        θ UMA = (A1 + A2) / EI = (16,2 + 36) .10 3 / (1,7514. 10 6)
        = 0,029rads = 1,7 graus

        A deflexão no centro (C) é igual ao desvio do ponto A acima de uma linha que é tangente a C.
        Momentos devem, portanto, ser medidos sobre a linha de desvio em A.

        Vigas construídas com mais de um material podem ser tratadas usando a técnica de largura equivalente se as tensões máximas em cada um dos materiais estiverem dentro do limite elástico dos materiais relevantes. Considere uma viga composta conforme mostrado abaixo. O aço tem um módulo de elasticidade ES = 210,10 3 N / mm 2 e o alumínio tem um EUMA = 78,10 3 N / mm 2.

        A viga composta é analisada com base no pressuposto de que as superfícies planas permanecem planas durante a flexão dentro do limite elástico, portanto, em toda a profundidade da viga, a deformação (deflexão / comprimento original) é constante, ou seja, a deflexão é proporcional à distância do eixo neutro do feixe. A deformação é igual a (tensão / Módulo de Young (E)) Consulte a figura abaixo

        Agora, para obter a seção equivalente, que é todo alumínio, as dimensões do alumínio de substituição devem ser tais que as propriedades mecânicas sejam equivalentes ao material original. A profundidade geral da seção transformada é a mesma da seção original. A deformação resultante em qualquer elemento dA da seção transformada deve ser constante.

        A área equivalente da seção transformada com base em alumínio é igual à área da seção de aço original x nSA. Se a profundidade da seção transformada for a mesma da seção original, a largura da seção de alumínio transformada é igual a nSA x largura da seção de aço original.

        A área equivalente da seção de alumínio deve ser submetida à mesma deformação da seção de aço original posicionada na mesma distância do eixo neutro da seção. A teoria da viga simples pode ser usada para calcular as tensões de flexão na seção transformada. As tensões reais serão, é claro, n x as tensões calculadas na seção transformada.

        Exemplo em vigas compostas

        Considere uma viga composta que compreende seções de aço, latão e alumínio. Produza uma seção equivalente baseada em Alumínio. Calcule a posição da linha neutra e o momento de inércia da seção equivalente.

          . Mississipi State U. Pure Bending Lecture Notes .. muito útil. Conjunto de notas muito útil. Notas muito simples e fáceis de seguir

        Lembre-se - as informações neste site são apenas para fins de informação geral e enquanto nos esforçamos para manter as informações atualizadas e corretas, não fazemos representações ou garantias de qualquer tipo, expressas ou implícitas, sobre sua integridade, precisão, confiabilidade, adequação ou disponibilidade. Qualquer confiança que você depositar em tais informações é, portanto, estritamente por sua própria conta e risco.

        Roy Beardmore faleceu em 9 de março de 2013. Sua saudade é triste. Este site, Roymech, tem sido um recurso inestimável para engenheiros em todo o mundo e esperamos manter esse legado incrível no futuro.


        Assista o vídeo: 2 ordens differensligning (Novembro 2021).