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10: Sistemas Lineares de Equações Diferenciais - Matemática


NESTE CAPÍTULO, consideramos sistemas de equações diferenciais envolvendo mais de uma função desconhecida. A SEÇÃO 10.7 apresenta o método de variação de parâmetros para sistemas lineares não homogêneos.


Um exemplo é a aplicação da lei de resfriamento de Newton a um objeto submerso em um refrigerante ou fluido de aquecimento, que por sua vez é exposto a um ambiente.

Suponha que um pai amoroso esteja esquentando uma mamadeira refrigerada de leite para seu filho bebê, mergulhando-a em uma tigela de água quente. Se $ M $ é a temperatura do leite na garrafa e $ W $ é a temperatura da água na tigela, então

Onde os coeficientes $ K_, $ $ K_$ e $ K_$ são dados ou determinados experimentalmente. Isso torna o sistema linear não homogêneo simples.

Tenho problemas de entrada / saída com mais de um tanque. Se x (t) representa a quantidade de sal em um tanque em função do tempo, e você tem salmoura (ou água pura) entrando e salmoura completamente misturada saindo, então a equação diferencial para um tanque é

dx / dt = TAXA DE FLUXO - TAXA DE SAÍDA

Se você tem dois tanques, um com x (t) kg de sal e o outro com y (t) kg de sal, e eles estão interligados, você obtém um sistema de equações diferenciais:

dx / dt = TAXA DE FLUXO - TAXA DE SAÍDA dy / dt = TAXA DE FLUXO - TAXA DE SAÍDA

No entanto, as taxas podem ser interdependentes.

Uma aplicação popular são os sistemas de presas predadoras. É bastante óbvio, mas sem dúvida interessante.

Você tem o sistema começar frac

= x (a-por) fim começar frac
= cy (x-d) end Onde $ x $ é a população de zebras, $ y $ é a população de leões e $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ são apenas constantes de sua escolha. (Você pode apenas fazer $ a = b = c = d = 1 $. Você precisaria do MATLAB, ou MAPLE, ou qualquer software que possa desenhar curvas de solução ao sistema de EDOs. Você pode então explicar a seus alunos o que significa a curva de solução.

Existem muitos estados neste sistema predador-presa.

[A] A população de leões e zebras é relativamente pequena.

[B] O pequeno número de leões permite que a população de zebras aumente.

[C] O aumento do número de zebras permite que a população de leões aumente.

[D] O aumento da população de leões faz com que a população de zebras diminua.

[E] A diminuição da população de zebras faz com que a população de leões diminua. Em seguida, voltamos ao Estágio A.

Pessoalmente, acho que os modelos predador-presa são uma ótima aplicação de sistemas de EDOs. Na maioria das vezes, espera-se que os alunos apenas resolvam sistemas de EDOs, mas ser capaz de observar quanta informação uma curva de solução para um sistema de EDOs pode lhe dizer é incrível.


Sistema Linear de Equações Diferenciais - Por que os coeficientes podem ser variáveis?

Considere $ n $ variáveis ​​$ x_1, cdots, x_n $ em um sistema linear de equações diferenciais.

i: x_i '= f_i (t, x_1, cdots, x_n) $

Agora, se todos os $ f_i $ são funcionais lineares, então dizemos que temos um sistema linear de equações diferenciais.

Se $ f_i $ é um funcional linear, isso significa: $ f_i (t, x_1, cdots, x_n) = lambda_0 t + lambda_1x_1 + cdots + lambda_nx_n cdots cdots (1) $

onde $ lambda_i $ são escalares reais.

Mas meu livro menciona especificamente um sistema linear de equação diferencial com respeito a cada $ x_i $ como tendo a forma:

$ x_i '= a_(t) x_1 + cdots + a_(t) x_n + b_i (t) $

Minha confusão aqui é como os coeficientes $ a_$ é uma função da variável independente $ t $ aqui e contradiz a definição de um funcional linear conforme $ (1) $? Não deveriam ser constantes reais puras para satisfazer a definição de linearidade?

Em segundo lugar, temos um $ b_i (t) $ em cada linha também. Como isso contribui para a linearidade?


10: Sistemas Lineares de Equações Diferenciais - Matemática

Na introdução a esta seção, discutimos brevemente como um sistema de equações diferenciais pode surgir de um problema populacional em que rastreamos a população tanto da presa quanto do predador. Faz sentido que o número de presas presentes afetará o número de predadores presentes. Da mesma forma, o número de predadores presentes afetará o número de presas presentes. Portanto, a equação diferencial que governa a população da presa ou do predador deve de alguma forma depender da população do outro. Isso levará a duas equações diferenciais que devem ser resolvidas simultaneamente para determinar a população da presa e do predador.

O ponto principal disso é notar que sistemas de equações diferenciais podem surgir com bastante facilidade em situações que ocorrem naturalmente. O desenvolvimento de um sistema de equações diferenciais predador-presa eficaz não é o assunto deste capítulo. No entanto, os sistemas podem surgir de (n ^ < text> ) ordenar equações diferenciais lineares também. Antes de entrarmos nisso, no entanto, vamos escrever um sistema e tirar algumas terminologias do caminho.

Estaremos examinando sistemas lineares de equações diferenciais de primeira ordem. Esses termos significam a mesma coisa que significavam até este ponto. A maior derivada em qualquer parte do sistema será uma primeira derivada e todas as funções desconhecidas e suas derivadas ocorrerão apenas na primeira potência e não serão multiplicadas por outras funções desconhecidas. Aqui está um exemplo de um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Chamamos esse tipo de sistema de acoplado sistema uma vez que o conhecimento de (x_ <2> ) é necessário para encontrar (x_ <1> ) e da mesma forma o conhecimento de (x_ <1> ) é necessário para encontrar (x_ <2> ) . Vamos nos preocupar em como resolveremos isso mais tarde. Neste ponto, estamos apenas interessados ​​em nos familiarizar com alguns dos princípios básicos dos sistemas.

Agora, como mencionado anteriormente, podemos escrever um (n ^ < text> ) ordenar a equação diferencial linear como um sistema. Vamos ver como isso pode ser feito.

Podemos escrever equações diferenciais de ordem superior como um sistema com uma mudança muito simples de variável. Começaremos definindo as duas novas funções a seguir.

[começar left (t right) & = y left (t right) left (t right) & = y ' left (t right) end]

Agora observe que, se diferenciarmos os dois lados, obtemos,

Observe o uso da equação diferencial na segunda equação. Também podemos converter as condições iniciais para as novas funções.

[começar left (3 right) & = y left (3 right) = 6 left (3 right) & = y ' left (3 right) = - 1 end]

Juntar tudo isso dá o seguinte sistema de equações diferenciais.

Chamaremos o sistema do exemplo acima de um Problema de valor inicial exatamente como fizemos para as equações diferenciais com as condições iniciais.

Vamos dar uma olhada em outro exemplo.

Assim como fizemos no último exemplo, precisaremos definir algumas novas funções. Desta vez, precisaremos de 4 novas funções.

[começar & = y & Rightarrow hspace <0.25in> <_1> & = y '= \ & = y '& Rightarrow hspace <0.25in> <_2> & = y '' = \ & = y '' & Rightarrow hspace <0.25in> <_3> & = y '' '= \ & = y '' '& Rightarrow hspace <0.25in> <_4>& = > = - 8y + sin left (t right) y '- 3y' '+ = - 8 + sin left (t right) - 3 + fim]

O sistema junto com as condições iniciais é então,

[começar<_1> & = & hspace <0.25in> left (0 right) & = 1 <_2> & = & hspace <0.25in> left (0 right) & = 2 <_3> & = & hspace <0.25in> left (0 right) & = 3 <_4> & = - 8 + sin left (t right) - 3 + & hspace <0.25in> left (0 right) & = 4 end]

Agora, quando finalmente conseguirmos resolvê-los, veremos que geralmente não resolvemos sistemas da forma que lhes demos nesta seção. Sistemas de equações diferenciais podem ser convertidos para forma de matriz e esta é a forma que geralmente usamos na resolução de sistemas.

Primeiro escreva o sistema de forma que cada lado seja um vetor.

Agora, o lado direito pode ser escrito como uma multiplicação de matriz,

O sistema pode então ser escrito na forma de matriz,

Começaremos com o sistema do Exemplo 1.

Agora, vamos fazer o sistema do Exemplo 2.

Neste caso, precisamos ter cuidado com o t 2 na última equação. Vamos começar escrevendo o sistema como um vetor novamente e, em seguida, dividi-lo em dois vetores, um vetor que contém as funções desconhecidas e o outro que contém quaisquer funções conhecidas.

Agora, o primeiro vetor agora pode ser escrito como uma multiplicação de matriz e vamos deixar o segundo vetor sozinho.

Observe que, ocasionalmente, para sistemas "grandes" como este, iremos um passo adiante e escreveremos o sistema como,

[ vec x '= A vec x + vec g left (t right) ]

A última coisa que precisamos fazer nesta seção é tirar um pouco da terminologia do caminho. Começando com

[ vec x '= A vec x + vec g left (t right) ]

dizemos que o sistema é homogêneo if ( vec g left (t right) = vec 0 ) e dizemos que o sistema é não homogêneo if ( vec g left (t right) ne vec 0 ).


Biocalculus Calculus for the Life Sciences

Especifique se cada sistema é autônomo ou não autônomo e se é linear ou não linear. Se for linear, especifique se é homogêneo ou não homogêneo.
$ d x / d t = x-y, quad d y / d t = -3 t y + x $

Problema 2

Especifique se cada sistema é autônomo ou não autônomo e se é linear ou não linear. Se for linear, especifique se é homogêneo ou não homogêneo.
$ d y / d x = 2 y, quad d z / d x = x-z + 3 $

Problema 3

Especifique se cada sistema é autônomo ou não autônomo e se é linear ou não linear. Se for linear, especifique se é homogêneo ou não homogêneo.
$ d y / d t = 3 y z-2 z, quad d z / d t = 2 z + 5 y $

Problema 4

Especifique se cada sistema é autônomo ou não autônomo e se é linear ou não linear. Se for linear, especifique se é homogêneo ou não homogêneo.
$ d y / d x = 3 y-2, quad d z / d x = 7 z + y $

Problema 5

Especifique se cada sistema é autônomo ou não autônomo e se é linear ou não linear. Se for linear, especifique se é homogêneo ou não homogêneo.
$ d x / d z = 3 x-2 y, quad d y / d z = 2 z + 3 y $

Problema 6

Especifique se cada sistema é autônomo ou não autônomo e se é linear ou não linear. Se for linear, especifique se é homogêneo ou não homogêneo.
$ d x / d t = x y-y, quad d y / d t = 4 t x-x y $

Problema 7

Escreva cada sistema de equações diferenciais lineares em notação de matriz.
$ d x / d t = 5 x-3 y, quad d y / d t = 2 y-x $

Problema 8

Escreva cada sistema de equações diferenciais lineares em notação de matriz.
$ d x / d t = x-2, quad d y / d t = 2 y + 3 x-1 $

Problema 9

Escreva cada sistema de equações diferenciais lineares em notação de matriz.
$ d x / d t = 3 t v-7, quad d v / d t = 2 x-3 y $

Problema 10

Escreva cada sistema de equações diferenciais lineares em notação de matriz.
$ d x / d t = 5 y, quad d y / d t = 2 x-y $

Problema 11

Escreva cada sistema de equações diferenciais lineares em notação de matriz.
$ d x / d t = 2 x-5, quad d y / d t = 3 x + 7 y $

Problema 12

Escreva cada sistema de equações diferenciais lineares em notação de matriz.
$ d x / d t = 2 x-y sin t, quad d y / d t = y-x $

Problema 13

Escreva cada sistema de equações diferenciais lineares em notação de matriz.
$ d x / d t = x + 4 y-3 t, quad d y / d t = y-x $

Problema 14

Escreva cada sistema de equações diferenciais lineares em notação de matriz.
$ d x / d t = y-2 x sqrt+7, quad d y / d t = 3 x + 2 $

Problema 15

Dado o sistema de equações diferenciais $ d mathbf / d t = A mathbf$, constrói o plano de fase, incluindo as nullclines. O equilíbrio se parece com uma sela, um nó ou uma espiral?
$ A = left [ begin <-3> & amp <1> <2> & amp <-2> end right] $

Problema 16

Dado o sistema de equações diferenciais $ d mathbf / d t = A mathbf$, constrói o plano de fase, incluindo as nullclines. O equilíbrio se parece com uma sela, um nó ou uma espiral?
$ A = left [ begin <-2> & amp <1> <-1> & amp <-1> end right] $

Problema 17

Dado o sistema de equações diferenciais $ d mathbf / d t = A mathbf$, constrói o plano de fase, incluindo as nullclines. O equilíbrio se parece com uma sela, um nó ou uma espiral?
$ A = left [ begin <1> & amp <2> <-2> & amp <1> end right] $

Problema 18

Dado o sistema de equações diferenciais $ d mathbf / d t = A mathbf$, constrói o plano de fase, incluindo as nullclines. O equilíbrio se parece com uma sela, um nó ou uma espiral?
$ A = left [ begin <1> e amp <2> <2> e amp <-1> end right] $

Problema 19

Dado o sistema de equações diferenciais $ d mathbf / d t = A mathbf$, constrói o plano de fase, incluindo as nullclines. O equilíbrio se parece com uma sela, um nó ou uma espiral?
$ A = left [ begin <-1> & amp <2> <-3> & amp <0> end right] $

Problema 20

Dado o sistema de equações diferenciais $ d mathbf / d t = A mathbf$, constrói o plano de fase, incluindo as nullclines. O equilíbrio se parece com uma sela, um nó ou uma espiral?
$ A = left [ begin <1> e amp <1> <0> e amp <1> end right] $

Problema 21

Dado o sistema de equações diferenciais $ d mathbf / d t = A mathbf$, constrói o plano de fase, incluindo as nullclines. O equilíbrio se parece com uma sela, um nó ou uma espiral?
$ A = left [ begin <2> & amp <-1> <-1> & amp <2> end right] $

Problema 22

Dado o sistema de equações diferenciais $ d mathbf / d t = A mathbf$, constrói o plano de fase, incluindo as nullclines. O equilíbrio se parece com uma sela, um nó ou uma espiral?
$ A = left [ begin <0> & amp <1> <1> & amp <0> end right] $

Problema 23

Considere o sistema de equações diferenciais lineares $ d mathbf / d t = A mathbf+ mathbf, $ where $ mathbf$ é um vetor de constantes. Suponha que $ A $ não seja singular.

(a) Qual é o equilíbrio desse sistema de equações?
(b) Usando $ hat < mathbf> $ denotam o equilíbrio encontrado na parte $ (a) $ definem um novo vetor de variáveis ​​$ mathbf= mathbf- hat < mathbf>. $ O que os componentes de y representam?
(c) Mostre que $ y $ satisfaz a equação diferencial $ d mathbf / d t = A mathbf . $ Isso demonstra como podemos reduzir um sistema não homogêneo de equações diferenciais lineares a um sistema homogêneo usando uma mudança de variáveis.

Problema 24

Considere o sistema de equações diferenciais lineares

O sistema é não genérico, ou seja, o determinante da matriz de coeficientes é zero.
(a) Há um número infinito de equilíbrios, todos situados em uma linha no plano de fase. Qual é a equação desta linha?
(b) Construa o plano de fase para este sistema.

Problema 25

Considere um sistema homogêneo autônomo de equações linear diferenciais com matriz de coeficiente

Suponha que det $ A = 0. $ Mostre que há um número infinito de equilíbrios.

Problema 26

Considere o seguinte sistema homogêneo de três equações diferenciais lineares:

$ begin d x / d t & amp = 3 x + 2 y-z d y / d t & amp = x-y-z d z / d t & amp = y + 3 z end$

Suponha que $ x + y = 5 $ sempre. Mostre que este sistema
pode ser reduzido a dois diferenciais lineares não homogêneos
equações dadas por

$ d x / d t = x-z + 10 $
$ d z / d t = -x + 3 z + 5 $

Problema 27

Considere o seguinte sistema homogêneo de quatro equações diferenciais lineares:

$ begin d w / d t & amp = 2 x + y-z d x / d t & amp = 3 x + z d y / d t & amp = -y + 2 z d z / d t & amp = 3 x-5 y end$

Suponha que $ x + z = 2 $ e $ y + w = ​​3 $ em todos os momentos. mostrar
que este sistema pode ser reduzido a duas não homogêneas
equações diferenciais lineares dadas por

$ d w / d t = 3 x-w + 1 $
$ d x / d t = 2 x + 2 $

Problema 28

Considere qualquer sistema homogêneo e autônomo de três equações diferenciais lineares para as quais as variáveis ​​satisfazem $ a x_ <1> + b x_ <2> + c x_ <3> = d, $ onde $ a, b, c, $ e $ d $ são constantes, nem todas são zero. Mostre que o sistema pode ser reduzido a um sistema não homogêneo de duas equações diferenciais lineares.

Problema 29

Equações diferenciais lineares de segunda ordem assumem a forma

onde $ p, q, $ e $ g $ são funções contínuas de $ t. $ Suponha que temos condições iniciais $ y (0) = a $ e $ y ^ < prime> (0) = b. $ Mostre que isto equação pode ser reescrita como um sistema de duas equações diferenciais lineares de primeira ordem tendo a forma

Problema 30

Dinâmica de metapopulação O Exemplo 2 apresenta um modelo para uma população de camundongos cervos que é dividida em dois fragmentos por meio da fragmentação do habitat. O modelo é

(a) Construa o plano de fase, incluindo as nulas.
(b) Descreva o que acontece com a população em cada patch como $ t rightarrow infty $ se ambos começarem com tamanhos diferentes de zero.

Problema 31

Regulação do gene Os genes produzem moléculas chamadas mRNA, que então produzem proteínas. Altos níveis de proteína podem inibir a produção de mRNA, resultando em um feedback que regula a expressão gênica. Usando $ m $ e $ p $ para denotar as quantidades de mRNA e proteína em uma célula vezes (X 10 ^ <2> copia a célula), certo. um modelo simples de regulação gênica é

$ begin d m / d t & amp = 1-p-m d p / d t & amp = m-p end$

Construa o plano de fase, incluindo as nulas.
[Dica: este sistema não é homogêneo.]

Problema 32

Câncer de próstata Durante o tratamento, as células tumorais da próstata podem se tornar resistentes por meio de uma variedade de mecanismos bioquímicos. Alguns deles são reversíveis - as células voltam a ser sensíveis quando o tratamento é interrompido - e outros não. Usando $ x_ <1>, x_ <2>, $ e $ x_ <3> $ para denotar a fração de células que são sensíveis, temporariamente resistentes e permanentemente resistentes, respectivamente, um modelo simples para sua dinâmica durante o tratamento é

$ begin d x_ <1> / dt & amp = -a x_ <1> -c x_ <1> + b x_ <2> d x_ <2> / dt & amp = a x_ <1> -b x_ <2> - d x_ <2> d x_ <3> / dt & amp = c x_ <1> + d x_ <2> end$

Use o fato de que $ x_ <1> + x_ <2> + x_ <3> = 1 $ para reduzir isso a um sistema não homogêneo de duas equações diferenciais lineares para $ x_ <1> $ e $ x_ <3>. $

Problema 33

O Exemplo 1 de radioimunoterapia apresenta um modelo de
radioimunoterapia. O modelo é

onde $ x_ <1> $ e $ x_ <2> $ denotam a quantidade de anticorpo $ ($ em $ mu mathrm) $ na corrente sanguínea e tumor, respectivamente, no tempo $ t $ (em minutos), e todas as constantes são positivas.

(a) Construa o plano de fase, incluindo as nulas, para determinar o comportamento qualitativo do sistema.
(b) Descreva o que acontece com a quantidade de anticorpos em cada parte do corpo como $ t rightarrow infty $

Problema 34

Locomoção das medusas As medusas se movem contraindo uma parte elástica de seu corpo, chamada de sino, que cria um jato de água de alta pressão. Quando a força de contração cessa, o sino volta à sua forma natural. A locomoção da medusa foi modelada usando uma equação diferencial linear de segunda ordem tendo a forma

onde $ x (t) $ é o deslocamento do sino no tempo $ t, m $ é a massa do sino (em gramas), $ b $ é uma medida do atrito entre o sino e a água (em unidades de $ N / m cdot s), $ e $ k $ é uma medida da rigidez do sino (em unidades de $ N / m) $ Suponha que $ m = 100 mathrm, b = 0,1 mathrm / mathrm cdot mathrm, $ e $ k = 1 mathrm / mathrm$

(a) Defina as novas variáveis ​​$ z_ <1> (t) = x (t) $ e $ z_ <2> (t) = x ^ < prime> (t), $ e mostre que o modelo pode ser expresso como um sistema de duas equações diferenciais lineares de primeira ordem.
(b) Construa o plano de fase, incluindo as linhas nulas, para as equações da parte (a).


Equação diferencial ordinária linear

onde $ x (t) $ é a função desconhecida e $ a _ (t) $, $ f (t) $ recebem funções o número $ n $ é chamado de ordem da equação (1) (abaixo a teoria geral de equações diferenciais ordinárias lineares é apresentada para equações de segunda ordem ver também Ordinária linear equação diferencial de segunda ordem).

1) Se em (1) as funções $ a _ <1> dots a _ , f $ são contínuos no intervalo $ (a, b) $, então para quaisquer números $ x _ <0>, x _ <0> ^ prime dots x _ <0> ^ <(> n- 1) $ e $ t _ <0> in (a, b) $ existe uma solução única $ x (t) $ de (1) definida em todo o intervalo $ (a, b) $ e satisfazendo as condições iniciais

$ x (t _ <0>) = x _ <0>, x ^ prime (t _ <0>) = x _ <0> ^ prime dots x ^ <(> n- 1) (t _ <0>) = x _ <0> ^ <(> n- 1). $

$ tag <2> x ^ <(> n) + a _ <1> (t) x ^ <(> n- 1) + dots + a _ (t) x = 0 $

é chamada de equação homogênea correspondente à equação não homogênea (1). Se $ x (t) $ é uma solução de (2) e

$ x (t _ <0>) = x ^ prime (t _ <0>) = dots = x ^ <(> n- 1) (t _ <0>) = 0, $

então $ x (t) equiv 0 $. Se $ x _ <1> (t) dots x _ (t) $ são soluções de (2), então qualquer combinação linear

$ C _ <1> x _ <1> (t) + dots + C _ x _ (t) $

é uma solução de (2). Se as funções $ n $

são soluções linearmente independentes de (2), então para cada solução $ x (t) $ de (2) existem constantes $ C _ <1> dots C _ $ tal que

$ tag <4> x (t) = C _ <1> x _ <1> (t) + dots + C _ x _ (t). $

Assim, se (3) é um sistema fundamental de soluções de (2) (ou seja, um sistema de $ n $ soluções linearmente independentes de (2)), então sua solução geral é dada por (4), onde $ C _ <1 > dots C _ $ são constantes arbitrárias. Para cada não singular $ n vezes n $ matriz $ B = | b _ | $ e cada $ t _ <0> in (a, b) $ existe um sistema fundamental de soluções (3) da equação (2) tal que

$ x _ ^ <(> n- j) (t _ <0>) = b _ , i, j = 1 pontos n. $

Para as funções (3) o determinante

$ W (t) = mathop < rm det> left | começar x _ <1> (t) & dots & x _ (t) x _ <1> ^ prime & dots & x _ ^ prime (t) dots & dots & dots x _ <1> ^ <(> n- 1) (t) & dots & x _ ^ <(> n- 1) (t) fim certo | $

é chamado de determinante Wronski ou Wronskian. Se (3) é um sistema fundamental de soluções de (2), então $ W (t) neq 0 $ para todo $ t in (a, b) $. Se $ W (t _ <0>) = 0 $ por pelo menos um ponto $ t _ <0> $, então $ W (t) equiv 0 $ e as soluções (3) da equação (2) são linearmente dependentes nesse caso. Para o Wronskiano das soluções (3) da equação (2), a fórmula de Liouville-Ostrogradski é válida:

$ W (t) = W (t _ <0>) mathop < rm exp> left (- int limits _ > ^ a _ <1> ( tau) d tau right). $

A solução geral de (1) é a soma da solução geral da equação homogênea (2) e uma solução particular $ x _ <0> (t) $ da equação não homogênea (1), e é dada pela fórmula

$ x (t) = C _ <1> x _ <1> (t) + pontos + C _ x _ (t) + x _ <0> (t), $

onde $ x _ <1> (t) dots x _ (t) $ é um sistema fundamental de soluções de (2) e $ C _ <1> dots C _ $ são constantes arbitrárias. Se um sistema fundamental de soluções (3) da equação (2) é conhecido, então uma solução particular da equação não homogênea (1) pode ser encontrada pelo método de variação de constantes.

2) Um sistema de equações diferenciais ordinárias lineares de ordem $ n $ é um sistema

$ ponto _ = sum _ 1 ^ a _ (t) x _ + b _ (t), i = 1 pontos n, $

onde $ x (t) in mathbf R ^ $ é um vetor de coluna desconhecido, $ A (t) $ é uma matriz quadrada da ordem $ n $ e $ b (t) $ é uma dada função vetorial. Suponha também que $ A (t) $ e $ b (t) $ são contínuos em algum intervalo $ (a, b) $. Neste caso, para qualquer $ t _ <0> in (a, b) $ e $ x _ <0> in mathbf R ^ $ existe uma solução única $ x (t) $ do sistema (5) definida em todo o intervalo $ (a, b) $ e satisfazendo a condição inicial $ x (t _ <0>) = x _ <0> $.

é denominado sistema homogêneo, correspondendo ao sistema não homogêneo (5). Se $ x (t) $ é uma solução de (6) e $ x (t _ <0>) = 0 $, então $ x (t) equiv 0 $ se $ x _ <1> (t) dots x _ (t) $ são soluções, então qualquer combinação linear

$ C _ <1> x _ <1> (t) + dots + C _ x _ (t) $

é uma solução de (6) se $ x _ <1> (t) dots x _ (t) $ são soluções linearmente independentes de (6), então os vetores $ x _ <1> (t) dots x _ (t) $ são linearmente independentes para qualquer $ t in (a, b) $. Se o vetor $ n $ funcionar

formam um sistema fundamental de soluções de (6), então para cada solução $ x (t) $ de (6) existem constantes $ C _ <1> dots C _ $ tal que

$ tag <8> x (t) = C _ <1> x _ <1> (t) + dots + C _ x _ (t). $

Assim, a fórmula (8) fornece a solução geral de (6). Para qualquer $ t _ <0> in (a, b) $ e quaisquer vetores linearmente independentes $ a _ <1> dots a _ in mathbf R ^ $ existe um sistema fundamental de soluções (7) do sistema (6) tal que

$ x _ <1> (t _ <0>) = a _ <1> pontos x _ (t _ <0>) = a _ . $

Para funções vetoriais (7) que são soluções de (6), o determinante $ W (t) $ da matriz

$ tag <9> X (t) = left | começar x _ <11> (t) & dots & x _ (t) dots & dots & dots x _ <1n> (t) & dots & x _ ( tratar certo | , $

onde $ x _ (t) $ é o $ j $ - ésimo componente da $ i $ - ésima solução, é chamado de determinante Wronski ou Wronskian. Se (7) é um sistema fundamental de soluções de (6), então $ W (t) neq 0 $ para todo $ t in (a, b) $ e (9) é chamada de matriz fundamental. Se as soluções (7) do sistema (6) são linearmente dependentes de pelo menos um ponto $ t _ <0> $, então elas são linearmente dependentes de qualquer $ t in (a, b) $, e neste caso $ W (t) equiv 0 $. Para o Wronskian das soluções (7) do sistema (6), a fórmula de Liouville é válida:

$ W = W (t _ <0>) mathop < rm exp> left ( int limits _ ^ mathop < rm Tr> (A ( tau)) d tau right), $

onde $ mathop < rm Tr> (A ( tau)) = a _ <11> ( tau) + dots + a _ ( tau) $ é o traço da matriz $ A ( tau) $. A matriz (9) satisfaz a equação da matriz $ ponto = A (t) X (t) $. Se $ X (t) $ é uma matriz fundamental do sistema (6), então para cada outra matriz fundamental $ Y (t) $ deste sistema existe uma constante não singular $ n vezes n $ matriz $ C $ de modo que $ Y (t) = X (t) C $. Se $ X (t _ <0>) = E $, onde $ E $ é a matriz unitária, então a matriz fundamental $ X (t) $ é considerada normalizada no ponto $ t _ <0> $ e no a fórmula $ x (t) = X (t) x _ <0> $ fornece a solução de (6) satisfazendo a condição inicial $ x (t _ <0>) = x _ <0> $.

Se a matriz $ A (t) $ comuta com sua integral, então a matriz fundamental de (6) normalizada no ponto $ t _ <0> in (a, b) $ é dada pela fórmula

$ X (t) = mathop < rm exp> left ( int limits _ > ^ A ( tau) d tau direita). $

Em particular, para uma matriz constante $ A $ a matriz fundamental normalizada no ponto $ t _ <0> $ é dada pela fórmula $ X (t) = mathop < rm exp> A (t - t _ <0 >) $. A solução geral de (5) é a soma da solução geral do sistema homogêneo (6) e uma solução particular $ x _ <0> (t) $ de (5) e é dada pela fórmula

$ x (t) = C _ <1> x _ <1> (t) + pontos + C _ x _ (t) + x _ <0> (t), $

onde $ x _ <1> (t) dots x _ (t) $ é um sistema fundamental de soluções de (6) e $ C _ <1> dots C _ $ são constantes arbitrárias. Se um sistema fundamental de soluções (7) do sistema (6) é conhecido, então uma solução particular do sistema não homogêneo (5) pode ser encontrada pelo método de variação de constantes. Se $ X (t) $ é uma matriz fundamental do sistema (6), então a fórmula

$ x (t) = X (t) X ^ <-> 1 (t _ <0>) x _ <0> + int limits _ > ^ X (t) X ^ <-> 1 ( tau) b ( tau) d tau $

fornece a solução de (5) satisfazendo a condição inicial $ x (t _ <0>) = x _ <0> $.

3) Suponha que no sistema (5) e (6) $ A (t) $ e $ b (t) $ sejam contínuos em uma meia-linha $ [a, + infty) $. Todas as soluções de (5) são simultaneamente estáveis ​​ou instáveis, então o sistema (5) é dito estável (uniformemente estável, assintoticamente estável) se todas as suas soluções são estáveis ​​(respectivamente, uniformemente estáveis, assintoticamente estáveis, cf. Assintoticamente- solução estável Lyapunov estabilidade). O sistema (5) é estável (uniformemente estável, assintoticamente estável) se e somente se o sistema (6) for estável (respectivamente, uniformemente estável, assintoticamente estável). Portanto, na investigação de questões sobre a estabilidade de sistemas diferenciais lineares, é suficiente considerar apenas sistemas homogêneos.

O sistema (6) é estável se e somente se todas as suas soluções são limitadas na meia-linha $ [a, + infty) $. O sistema (6) é assintoticamente estável se e somente se

para todas as suas soluções $ x (t) $. A última condição é equivalente a (10) ser satisfeita por $ n $ solutions $ x _ <1> (t) dots x _ (t) $ do sistema que forma um sistema fundamental de soluções. Um sistema assintoticamente estável (6) é assintoticamente estável no grande.

Um sistema linear com coeficientes constantes

é estável se e somente se todos os valores próprios $ lambda _ <1> dots lambda _ $ de $ A $ têm partes reais não positivas (ou seja, $ mathop < rm Re> lambda _ leq 0 $, $ i = 1 dots n $), e os valores próprios com parte real zero podem ter apenas divisores elementares simples. O sistema (11) é assintoticamente estável se e somente se todos os valores próprios de $ A $ tiverem partes reais negativas.

onde $ A ^ (t) $ é a matriz transposta de $ A (t) $, é chamado de sistema adjunto do sistema (6). Se $ x (t) $ e $ y (t) $ são soluções arbitrárias de (6) e (12), respectivamente, então o produto escalar

Se $ X (t) $ e $ Y (t) $ são matrizes fundamentais das soluções de (6) e (12), respectivamente, então

onde $ C $ é uma matriz constante não singular.

5) A investigação de várias propriedades especiais de sistemas lineares, particularmente a questão da estabilidade, está conectada com o conceito do expoente característico de Lyapunov de uma solução e o primeiro método na teoria da estabilidade desenvolvido por A.M. Lyapunov (consulte Sistema linear regular Estabilidade de Lyapunov do sistema linear redutível).

6) Dois sistemas da forma (6) são considerados assintoticamente equivalentes se houver uma correspondência um-para-um entre suas soluções $ x _ <1> (t) $ e $ x _ <2> (t) $ de tal modo que

Se o sistema (11) com uma matriz constante $ A $ é estável, então é assintoticamente equivalente ao sistema $ dot = (A + B (t)) x $, onde a matriz $ B (t) $ é contínua em $ [a, + infty) $ e

$ tag <13> int limits _ <0> ^ infty | B (t) | dt & lt infty. $

Se (13) for satisfeito, o sistema $ ponto = B (t) x $ é assintoticamente equivalente ao sistema $ dot = 0 $.

Dois sistemas da forma (11) com coeficientes constantes são considerados topologicamente equivalentes se houver um homeomorfismo $ h: mathbf R ^ rightarrow mathbf R ^ $ que leva as trajetórias orientadas de um sistema em trajetórias orientadas do outro. Se duas matrizes quadradas $ A $ e $ B $ de ordem $ n $ têm o mesmo número de valores próprios com parte real negativa e não têm valores próprios com parte real zero, então os sistemas $ ponto = A x $ e $ ponto = B x $ são topologicamente equivalentes.

7) Suponha que no sistema (6) a matriz $ A (t) $ seja contínua e limitada em todo o eixo real. Diz-se que o sistema (6) tem dicotomia exponencial se o espaço $ mathbf R ^ $ se divide em uma soma direta: $ mathbf R ^ = mathbf R ^ > oplus mathbf R ^ > $, $ n _ <1> + n _ <2> = n $, de modo que para cada solução $ x (t) $ com $ x (0) in mathbf R ^ > $ a desigualdade

detém, e para cada solução $ x (t) $ com $ x (0) in mathbf R ^ > $ a desigualdade

vale para todos $ t _ <0> in mathbf R $ e $ t geq t _ <0> $, onde $ 0 & lt c leq 1 $ e $ k & gt 0 $ são constantes. Por exemplo, a dicotomia exponencial está presente em um sistema (11) com matriz constante $ A $ se $ A $ não tem valores próprios com parte real zero (tal sistema é considerado hiperbólico). Se a função vetorial $ b (t) $ é limitada em todo o eixo real, então um sistema (5) com dicotomia exponencial tem uma solução única que é limitada em toda a linha $ mathbf R $.

Referências

[1] I.G. Petrovskii, "Equações diferenciais ordinárias", Prentice-Hall (1966) (traduzido do russo)
[2] L.S. Pontryagin, "Equações diferenciais ordinárias", Addison-Wesley (1962) (traduzido do russo)
[3] V.I. Arnol'd, "Equações diferenciais ordinárias", M.I.T. (1973) (traduzido do russo)
[4] SOU. [SOU. Lyapunov] Liapounoff, "Problème général de la Stabilité du mouvement", Princeton Univ. Press (1947) (traduzido do russo) (Reimpressão, Kraus, 1950)
[5] B.P. Demidovich, "Palestras sobre a teoria matemática da estabilidade", Moscou (1967) (em russo)
[6] B.F. Bylov, R.E. Vinograd, D.M. Grobman, V.V. Nemytskii, "A teoria dos expoentes de Lyapunov e suas aplicações a problemas de estabilidade", Moscou (1966) (em russo)
[7] P. Hartman, "Equações diferenciais ordinárias", Birkhäuser (1982)

Comentários

Se em (6) $ A (t) $ é periódico com período $ T $, a matriz fundamental é da forma

com $ Y (t) $ uma matriz com $ T $ - coeficientes periódicos e $ R $ uma matriz constante, consulte a teoria de Floquet para mais detalhes.


Os fundamentos da geometria

No final do século 19, a hegemonia da geometria euclidiana foi desafiada pela geometria não euclidiana e pela geometria projetiva. A primeira tentativa notável de reorganizar o estudo da geometria foi feita pelo matemático alemão Felix Klein e publicada em Erlangen em 1872. Em seu Programa Erlanger Klein propôs que a geometria euclidiana e a não euclidiana fossem consideradas casos especiais de geometria projetiva. Em cada caso, as características comuns que, na opinião de Klein, as transformavam em geometrias eram a existência de um conjunto de pontos, denominado “espaço”, e um conjunto de transformações por meio das quais as figuras podiam ser movidas no espaço sem alterar sua propriedades essenciais. Por exemplo, na geometria plana euclidiana, o espaço é o plano familiar, e as transformações são rotações, reflexos, translações e seus compostos, nenhum dos quais muda o comprimento ou o ângulo, as propriedades básicas das figuras na geometria euclidiana. Geometrias diferentes teriam espaços e grupos diferentes, e as figuras teriam propriedades básicas diferentes.

Klein produziu um relato que unificou uma grande classe de geometrias - grosso modo, todas aquelas que eram homogêneas no sentido de que cada pedaço do espaço se parecia com qualquer outra parte do espaço. Isso excluiu, por exemplo, geometrias em superfícies de curvatura variável, mas produziu um pacote atraente para o resto e gratificou a intuição daqueles que sentiam que de alguma forma a geometria projetiva era básica. Ela continuou a parecer a abordagem certa quando as ideias de Lie apareceram, e parecia haver uma boa conexão entre a classificação de Lie e os tipos de geometria organizados por Klein.

Os matemáticos agora podiam perguntar por que acreditavam que a geometria euclidiana era a única quando, na verdade, existiam muitas geometrias diferentes. O primeiro a abordar essa questão com sucesso foi o matemático alemão Moritz Pasch, que argumentou em 1882 que o erro fora confiar demais na intuição física. Em sua opinião, um argumento em matemática deveria depender, para sua validade, não da interpretação física dos termos envolvidos, mas de critérios puramente formais. Na verdade, o princípio da dualidade violou o sentido da geometria como uma formalização do que se acreditava sobre pontos e linhas (físicos) - não se acreditava que esses termos fossem intercambiáveis.

As ideias de Pasch chamaram a atenção do matemático alemão David Hilbert, que, com o matemático francês Henri Poincaré, passou a dominar a matemática no início do século XX. Ao se perguntar por que a matemática - e em particular a geometria - produzia resultados corretos, ele passou a sentir cada vez mais que não era por causa da lucidez de suas definições. Em vez disso, a matemática funcionou porque seus termos (elementares) não tinham sentido. O que o manteve na direção certa foram suas regras de inferência. As provas eram válidas porque foram construídas por meio da aplicação das regras de inferência, segundo as quais novas asserções poderiam ser declaradas verdadeiras simplesmente porque poderiam ser derivadas, por meio dessas regras, de axiomas ou teoremas previamente comprovados. Os teoremas e axiomas eram vistos como declarações formais que expressavam as relações entre esses termos.

As regras que governam o uso de termos matemáticos eram arbitrárias, argumentou Hilbert, e cada matemático poderia escolhê-las à vontade, contanto que as escolhas feitas fossem autoconsistentes. Um matemático produziu sistemas abstratos não restringidos pelas necessidades da ciência, e se os cientistas encontrassem um sistema abstrato que atendesse a uma de suas preocupações, eles poderiam aplicar o sistema com a certeza de que era logicamente consistente.

Hilbert ficou animado pela primeira vez com este ponto de vista (apresentado em seu Grundlagen der Geometrie [1899 "Fundamentos da Geometria") quando ele viu que isso levou não apenas a uma maneira clara de classificar as geometrias na hierarquia de Klein de acordo com os diferentes sistemas de axiomas que eles obedeciam, mas também a novas geometrias. Pela primeira vez, havia uma maneira de discutir a geometria que ia além mesmo dos termos muito gerais propostos por Riemann. Nem todas essas geometrias continuaram a ter interesse, mas a moral geral que Hilbert traçou pela primeira vez para a geometria, ele logo traçaria para toda a matemática.


10: Sistemas Lineares de Equações Diferenciais - Matemática

Como trabalharemos quase exclusivamente com sistemas de equações em que o número de incógnitas é igual ao número de equações, restringiremos nossa revisão a esses tipos de sistemas.

Tudo o que faremos aqui pode ser facilmente estendido a sistemas com mais incógnitas do que equações ou mais equações do que incógnitas, se necessário.

Vamos começar com o seguinte sistema de (n ) equações com as (n ) incógnitas, (x_ <1> ), (x_ <2> ),…, (x_).

Observe que nos índices dos coeficientes neste sistema, (a_), o (i ) corresponde à equação em que está o coeficiente e o (j ) corresponde à incógnita que é multiplicada pelo coeficiente.

Para usar álgebra linear para resolver este sistema, vamos primeiro escrever o matriz aumentada para este sistema. Uma matriz aumentada é, na verdade, apenas todos os coeficientes do sistema e os números do lado direito do sistema escritos em forma de matriz. Aqui está a matriz aumentada para este sistema.

Para resolver este sistema, usaremos operações de linha elementares (que definiremos em breve) para reescrever a matriz aumentada em forma triangular. A matriz terá a forma triangular se todas as entradas abaixo da diagonal principal (a diagonal contendo (a_ <11> ), (a_ <22> ),…, (a_)) são zeros.

Feito isso, podemos lembrar que cada linha da matriz aumentada corresponde a uma equação. Em seguida, converteremos nossa nova matriz aumentada de volta em equações e, neste ponto, será muito fácil resolver o sistema.

Antes de trabalhar com um exemplo, vamos primeiro definir as operações elementares de linha. Há três deles.

    Troque duas linhas. Isso é exatamente o que diz. Trocaremos a linha (i ) com a linha (j ). A notação que usaremos para denotar esta operação é: ( leftrightarrow )

É sempre um pouco mais fácil entender essas operações se as vemos em ação. Então, vamos resolver alguns sistemas.

O primeiro passo é escrever a matriz aumentada para este sistema. Não se esqueça de que os coeficientes de termos que não estão presentes são zero.

Agora, queremos que as entradas abaixo da diagonal principal sejam zero. A diagonal principal foi colorida de vermelho para que possamos acompanhá-la durante o primeiro exemplo. Por razões que ficarão aparentes, preferimos que todas as entradas diagonais principais também sejam uns.

Podemos obter um na posição mais superior observando que, se trocarmos a primeira e a segunda fileira, obteremos um na posição mais alta gratuitamente. Então vamos fazer isso.

Agora precisamos fazer com que as duas últimas entradas (-2 e 3) na primeira coluna sejam zero. Podemos fazer isso usando a operação da terceira linha. Observe que se pegarmos 2 vezes a primeira linha e adicioná-la à segunda linha, obteremos um zero na segunda entrada da primeira coluna e se pegarmos -3 vezes a primeira linha na terceira linha, obteremos 3 a seja um zero. Podemos fazer essas duas operações ao mesmo tempo, então vamos fazer isso.

Antes de prosseguir para a próxima etapa, vamos garantir que você seguiu o que acabamos de fazer. Vamos dar uma olhada na primeira operação que realizamos. Esta operação diz para multiplicar uma entrada na linha 1 por 2 e adicionar isso à entrada correspondente na linha 2 e, em seguida, substituir a entrada antiga na linha 2 por esta nova entrada. A seguir estão as quatro operações individuais que executamos para fazer isso.

[começar2 esquerda (1 direita) + esquerda (<- 2> direita) & = 0 2 esquerda (2 direita) + 1 & = 5 2 esquerda (3 direita) + esquerda (<- 1> direita) & = 5 2 esquerda (<13> direita) + 4 & = 30 fim]

Ok, a próxima etapa é opcional, mas novamente é conveniente de fazer. Tecnicamente, o 5 na segunda coluna está certo para sair. No entanto, isso tornará nossa vida mais fácil se for um 1. Podemos usar a operação da segunda linha para cuidar disso. Podemos dividir toda a linha por 5. Isso resulta em,

A próxima etapa é usar a operação da terceira linha para transformar -6 na segunda coluna em zero.

Agora, oficialmente terminamos, mas, novamente, é um pouco conveniente colocar todos na diagonal principal, então faremos uma última etapa.

Agora podemos converter de volta para equações.

Neste ponto, a solução é bastante fácil. Obtemos (x_ <3> ) gratuitamente e, uma vez que o obtemos, podemos conectá-lo à segunda equação e obter (x_ <2> ). Podemos então usar a primeira equação para obter (x_ <1> ). Observe também que ter 1 ao longo da diagonal principal ajudou um pouco neste processo.

A solução para este sistema de equação é

O processo usado neste exemplo é chamado Eliminação gaussiana. Vamos dar uma olhada em outro exemplo.

Primeiro, escreva a matriz aumentada.

Não colocaremos tantas palavras ao trabalhar neste exemplo. Aqui está o trabalho para esta matriz aumentada.

Não iremos mais longe neste exemplo. Vamos voltar às equações para ver o porquê.

A última equação deve causar alguma preocupação. Há uma das três opções aqui. Primeiro, de alguma forma conseguimos provar que 0 é igual a 8 e sabemos que isso não é possível. Em segundo lugar, cometemos um erro, mas depois de voltarmos ao nosso trabalho, não parece que cometemos um erro.

Isso deixa a terceira opção. Quando obtemos algo como a terceira equação que simplesmente não faz sentido, sabemos imediatamente que não há solução. Em outras palavras, não existe um conjunto de três números que tornará todas as três equações verdadeiras ao mesmo tempo.

Vamos trabalhar outro exemplo. Vamos obter o sistema para este novo exemplo fazendo uma pequena alteração no sistema do exemplo anterior.

Portanto, a única diferença entre este sistema e o sistema do segundo exemplo é que alteramos o 1 no lado direito do sinal de igual na terceira equação para a -7.

Agora escreva a matriz aumentada para este sistema.

As etapas para este problema são idênticas às etapas para o segundo problema, portanto, não as escreveremos todas. Ao realizar as mesmas etapas, chegamos à seguinte matriz.

Desta vez, a última equação se reduz a

e, ao contrário do segundo exemplo, isso não é um problema. Zero na verdade é igual a zero!

Poderíamos parar aqui e voltar às equações para obter uma solução e, neste caso, há uma solução. No entanto, se dermos mais um passo e obtivermos um zero acima do da segunda coluna, bem como abaixo dele, nossa vida será um pouco mais simples. Fazer isso dá,

Se voltarmos à equação, obteremos as duas equações a seguir.

Temos duas equações e três incógnitas. Isso significa que podemos resolver duas das variáveis ​​em termos da variável restante. Uma vez que (x_ <3> ) está em ambas as equações, resolveremos em termos disso.

O que esta solução significa é que podemos escolher o valor de (x_ <3> ) para ser qualquer coisa que quisermos e, em seguida, encontrar os valores de (x_ <1> ) e (x_ <2> ) . Nesses casos, normalmente escrevemos a solução da seguinte maneira,

Desta forma, obtemos um número infinito de soluções, uma para cada valor de (t ).

Esses três exemplos nos levam a um fato interessante sobre sistemas de equações.

Dado um sistema de equações, ( eqref), teremos uma das três possibilidades para o número de soluções.

Antes de passar para a próxima seção, precisamos dar uma olhada em mais uma situação. O sistema de equações em ( eqref) é chamado de sistema não homogêneo se pelo menos um dos beus não é zero. Se, no entanto, todos os (b_) 's são zero, chamamos o sistema homogêneo e o sistema será,

Agora, observe que no caso homogêneo temos a garantia de ter a seguinte solução.

Esta solução é frequentemente chamada de solução trivial.

Para sistemas homogêneos, o fato acima pode ser modificado para o seguinte.

Dado um sistema homogêneo de equações, ( eqref), teremos uma das duas possibilidades para o número de soluções.

    Exatamente uma solução, a solução trivial

Na segunda possibilidade, podemos dizer solução diferente de zero porque se houver infinitas soluções e sabemos que uma delas é a solução trivial, então todo o resto deve ter pelo menos um dos (x_) é diferente de zero e, portanto, obtemos uma solução diferente de zero.


Aula 24: Introdução aos Sistemas de Primeira Ordem de EDOs

Baixe o vídeo do iTunes U ou do Internet Archive.

Assuntos abordados: Introdução aos Sistemas de Primeira Ordem da Solução de ODE por Eliminação, Interpretação Geométrica de um Sistema.

Instrutor / palestrante: Prof. Arthur Mattuck

Aula 1: O Geométrico.

Aula 2: Numérica de Euler.

Aula 3: Resolvendo primeiro ou.

Aula 4: Subscrições de primeira ordem.

Aula 5: Auto de primeira ordem.

Aula 6: Números Complexos.

Aula 7: Linha de primeira ordem.

Aula 9: Resolvendo o Second-o.

Aula 10: Continuação: C.

Aula 11: Teoria de Ger.

Aula 12: Continuação: G.

Aula 13: Encontrando o Particu.

Aula 14: Interpretação.

Aula 15: Introdução a.

Aula 16: Continuação: M.

Aula 17: Encontrando o Particu.

Aula 19: Introdução a.

Aula 20: Forma Derivada.

Aula 21: Convolução para.

Aula 22: Usando Laplace T.

Aula 23: Uso com Impuls.

Aula 24: Introdução a.

Aula 25: Lin homogêneo.

Aula 26: Continuação: R.

Aula 27: Solução de Rascunho.

Aula 28: Métodos de Matriz.

Aula 29: Expoente da Matriz.

Aula 30: Linha de desacoplamento.

Aula 31: Auto não linear.

Aula 33: Relação Entre.

No restante do semestre, estudaremos não apenas uma equação diferencial de cada vez, mas sim os chamados sistemas de equações diferenciais.

Esses são como sistemas de equações lineares.

Eles devem ser resolvidos simultaneamente, em outras palavras, não apenas um de cada vez.

Então, como fica um sistema quando você o escreve?

Bem, como vamos falar sobre sistemas de equações diferenciais ordinárias, ainda haverá apenas uma variável independente, mas haverá várias variáveis ​​dependentes. Vou ligar, digamos dois. As variáveis ​​dependentes serão, vou chamá-las de xey, e então o sistema de primeira ordem, algo que envolve apenas derivadas iniciais, ficará assim. No lado esquerdo estará x primo, em outras palavras. No lado direito estarão as variáveis ​​dependentes e também as variáveis ​​independentes.

Vou indicar isso, vou separar tudo dos outros, colocando um ponto e vírgula lá.

E da mesma forma y linha, a derivada de y em relação a t, será alguma outra função de (x, y) e t. Vamos escrever explicitamente que x e y são variáveis ​​dependentes.

E eles dependem da variável independente t, tempo. Um sistema como esse será chamado de primeira ordem. E vamos considerar basicamente apenas sistemas de primeira ordem por um motivo secreto que explicarei no final do período.

Este é um sistema de primeira ordem, o que significa que os únicos tipos de derivadas que estão aqui são as primeiras derivadas.

Portanto, x linha é dx sobre dt e assim por diante.

Agora, ainda há mais terminologia.

É claro que praticamente todas as equações após o início do período letivo, praticamente todas as equações que consideramos são equações lineares, portanto, deve ser verdade que os sistemas lineares são o melhor tipo.

E, cara, eles certamente são. Quando vamos chamar um sistema de linear? Acho que no começo você deve aprender um pouco de terminologia antes de começarmos e realmente tentar começar a resolver essas coisas.

Bem, oxey, as variáveis ​​dependentes devem ocorrer linearmente. Em outras palavras, deve ser assim, machado mais perto.

Agora, o t pode ser uma bagunça. E então vou adicionar uma função extra de t lá. E y linha será alguma outra combinação linear de xey, mais alguma outra função confusa de t. Mas mesmo a, b, c e d podem ser funções de t.

Eles podem ter um cubo ou um seno ou algo parecido. Portanto, tenho que distinguir esses casos. O caso em que a, b, c e d são constantes, que chamarei ... Bem, existem diferentes coisas que você pode chamá-lo.

Vamos simplesmente chamá-lo de sistema de coeficientes constantes.

Um sistema com coeficientes provavelmente seria um inglês melhor. Por outro lado, a, b, c e d, este sistema ainda será chamado de linear se forem funções de t.

Também podem ser funções de t.

Portanto, seria um sistema linear perfeitamente bom ter x linha igual a tx mais seno t vezes y mais e elevado a menos t ao quadrado.

Você nunca veria algo assim, mas está tudo bem.

O que mais você precisa saber? Bem, o que seria um sistema homogêneo? Um sistema homogêneo é aquele sem esses caras extras. Isso não significa que não haja nada nele. Pode haver t em a, b, c e d, mas esses termos sem x e y neles não devem ocorrer. Então, um homogêneo linear.

E esse é o tipo que vamos começar a estudar primeiro, da mesma forma quando estudamos equações de ordem superior.

Estudamos primeiro homogêneo. Você tinha que saber como resolvê-los primeiro, e então você poderia aprender como resolver o tipo mais geral. Portanto, linear homogêneo significa que r1 é zero e r2 é zero para sempre.

Eles são idênticos a zero. Eles não estão lá.

Você não os vê. Eu deixei alguma coisa de fora?

Sim, as condições iniciais. Já que isso é bastante geral, vamos falar sobre como seriam as condições iniciais?

Bem, de uma forma geral, a razão pela qual você tem que ter condições iniciais é obter valores para as constantes arbitrárias que aparecem na solução.

A questão é: quantas constantes arbitrárias vão aparecer nas soluções dessas equações?

Bem, vou apenas dar-lhe a resposta.

Dois. O número de constantes arbitrárias que aparecem é a ordem total do sistema.

Por exemplo, se esta fosse uma segunda derivada e esta fosse uma primeira derivada, eu esperaria três constantes arbitrárias no sistema - - porque o total, a soma de dois e um são três. Portanto, você deve ter tantas condições iniciais quantas constantes arbitrárias na solução. E isso, é claro, explica quando estudamos equações de segunda ordem, tínhamos que ter duas condições iniciais.

Tive que especificar o ponto de partida inicial e a velocidade inicial.E a razão de termos duas condições era porque a solução geral continha duas constantes arbitrárias. A mesma coisa acontece aqui, mas a resposta é mais natural, as condições aqui são mais naturais. Não preciso especificar a velocidade. Por que não?

Bem, porque uma condição inicial, é claro, quer que eu diga qual é o valor inicial de x, algum número, e também vai querer saber qual é o valor inicial de y nesse mesmo ponto.

Bem, existem minhas duas condições.

E uma vez que isso terá duas constantes arbitrárias, são essas condições iniciais que irão satisfazer, as constantes arbitrárias terão que ser escolhidas de modo a satisfazer essas condições iniciais.

Em certo sentido, fornecer as condições iniciais para um sistema é uma atividade mais natural do que fornecer as condições iniciais de um sistema de segunda ordem.

Você não precisa ser nem um pouco perspicaz sobre isso.

Qualquer um daria esses dois números.

Considerando que, alguém diante de um sistema de segunda ordem pode coçar a cabeça. E, de fato, existem outros tipos de condições.

Existem condições de contorno sobre as quais você aprendeu um pouco, em vez de condições iniciais para uma equação de segunda ordem.

Não consigo pensar em nenhuma terminologia mais geral, então parece que vamos realmente ter que trabalhar.

Ok, vamos trabalhar. Quero configurar um sistema e resolvê-lo. E uma vez que uma das coisas neste curso deve ser uma modelagem simples, deve ser um sistema que modele alguma coisa.

Em geral, os tipos de modelos que usaremos quando estudarmos sistemas são os mesmos que usamos ao estudar apenas equações de primeira ordem. Mistura, decadência radioativa, temperatura, o movimento da temperatura.

Calor, condução de calor, em outras palavras.

Difusão. Eu lhe dei um problema de difusão para seu primeiro dever de casa sobre esse assunto.

O que mais nós fizemos? É tudo o que consigo pensar no momento, mas tenho certeza de que me ocorrerão.

Quando, a partir dessas idéias físicas, vamos obter um sistema? A resposta é: sempre que houver dois de algo, haverá apenas um de antes. Por exemplo, se eu tiver mistura com dois tanques onde o fluido vai assim.

Digamos que você queira ter um tanque grande e um tanque pequeno aqui e colocar algumas coisas no tanque pequeno para que se misture no tanque grande sem ter que subir uma grande escada e parar e colocar o material dentro. exigirá dois tanques, a concentração da substância em cada tanque, portanto, que exigirá um sistema de equações em vez de apenas um. Ou, para dar algo mais perto de casa, mais perto dessa tabela, de qualquer maneira, suponha que você tenha dah, dah, dah, não gemer, pelo menos não audivelmente, algo que se pareça com isso. E próximo a ele coloque um EMF lá. Essa é apenas uma primeira ordem.

Isso apenas leva a uma única equação de primeira ordem.

Mas suponha que seja um circuito de dois loops.

Agora preciso de um par de equações. Cada um desses loops fornece uma equação diferencial de primeira ordem, mas eles devem ser resolvidos simultaneamente para encontrar a corrente ou as cargas nos condensadores. E se eu quiser um sistema de três equações, coloque outro loop.

Agora, suponha que eu coloque uma bobina.

A que isso vai levar? Isso me dará um sistema de três equações, das quais esta será de primeira ordem, primeira ordem. E isso será de segunda ordem porque tem uma bobina. Você está pronto para isso, certo? Você já teve bobinas, indutância? Bom.

Portanto, a coisa toda contará como primeira ordem, primeira ordem, segunda ordem.

Para descobrir como é complicado, é necessário somar os pedidos. Isso é um e um e dois. Este é realmente o material de quarta ordem de que estamos falando aqui.

Podemos esperar que seja um pouco complicado.

Bem, agora vamos dar um pequeno problema modesto.

Voltarei a um problema que consideramos anteriormente no problema da condução de calor. Eu tinha esquecido se estava no conjunto de problemas ou se eu fiz em sala de aula, mas estou escolhendo porque leva a algo que seremos capazes de resolver.

E porque ilustra como adicionar um pouco de sofisticação a algo que antes não era sofisticado.

Uma panela de água. Temperatura externa Te de t.

Estou falando sobre a temperatura de alguma coisa. E do que estou falando da temperatura vai ser de um ovo cozinhando por dentro, mas com uma diferença. Este ovo não é homogêneo por dentro. Em vez disso, tem uma clara e uma gema no meio. Em outras palavras, é um ovo real e não um ovo falso.

Isso é uma panela pequena, ou é um ovo de avestruz.

[RISOS] Esse é o jugo. A gema está contida em uma pequena membrana interna. E há pequenas coisas nojentas que o mantêm na posição. E vamos deixar a temperatura da gema, se vocês podem ver no fundo da sala, ser T1. Essa é a temperatura da gema. A temperatura do branco, que presumiremos ser uniforme, será T2.

Oh, esse é o banho-maria. A temperatura do branco é T2 e, em seguida, a temperatura do banho-maria externo.

Em outras palavras, a razão para introduzir duas variáveis ​​em vez de apenas uma variável para a temperatura geral do ovo que tínhamos é porque a clara do ovo é proteína pura líquida, mais ou menos, e no T1, a gema tem muita gordura e colesterol e outras coisas semelhantes que deveriam ser ruins para você. Certamente tem uma condução diferente. É líquido, pelo menos no início, mas certamente tem constantes de condutividade diferentes das que teria a clara do ovo.

E a condição do calor pela casca do ovo seria diferente da condução do calor pela membrana que mantém a junta unida.

Portanto, é bastante razoável considerar que a clara e a gema estarão em temperaturas diferentes e terão propriedades de condutividade diferentes.

Vou usar as leis de Newton, mas com mais esse refinamento. Em outras palavras, introduzindo duas temperaturas. Ao passo que, antes, tínhamos apenas uma temperatura. Mas vamos usar a lei de Newton.

Vamos ver. A questão é como T1, a temperatura da gema, varia com o tempo?

Bem, a gema está tirando todo o seu calor da clara.

Portanto, a lei de condução de Newton será alguma constante de condutividade para a gema vezes T2 menos T1.

A gema não sabe nada sobre a temperatura externa do banho-maria. Ele está completamente cercado, confortável e seguro dentro de si mesmo. Mas e a temperatura da clara do ovo? Isso aquece e dá calor a duas fontes, da água externa e também da gema interna.

Portanto, você deve levar em consideração ambos.

Para sua condução do calor através dessa membrana, usaremos o mesmo a, que vai ser a vezes T1 menos T2. Lembre-se de que a ordem em que você deve escrevê-los é determinada pela gema de fora para a branca. Portanto, isso tem que vir primeiro quando eu escrevo para que seja uma constante positiva.

Mas também está recebendo calor do banho-maria.

E, presumivelmente, a condutividade através da casca é diferente do que é através da membrana ao redor da gema. Então, vou chamar isso de uma constante diferente. Esta é a condutividade através da casca para o branco.

E isso vai ser T, a temperatura externa menos a temperatura da clara do ovo.

Aqui eu tenho um sistema de equações porque quero fazer duas variáveis ​​dependentes refinando o problema original.

Agora, você sempre tem que escrever um sistema em formato padrão para resolvê-lo. Você verá que o lado esquerdo fornecerá as variáveis ​​dependentes em uma determinada ordem.

Neste caso, a temperatura da gema e depois a temperatura da clara.

A lei é que para não cometer erros - E é uma fonte de erros muito frequente, por isso aprenda desde o início a não o fazer. Você deve escrever as variáveis ​​do lado direito na mesma ordem da esquerda para a direita em que ocorrem de cima para baixo aqui. Em outras palavras, essa não é uma boa maneira de deixar isso.

Esta é a primeira tentativa de escrever este sistema, mas a versão final deve gostar disso.

T1 primo, não vou me preocupar em escrever dT / dt, é igual a - T1 deve vir primeiro, então menos a vezes T1 mais a vezes T2.

E a mesma lei para o segundo.

Deve vir na mesma ordem. Agora, o coeficiente de T1, isso é fácil. Isso é vezes T1.

O coeficiente de T2 é menos a menos b, então menos (a mais b) vezes T2.

Mas ainda não terminei. Ainda há essa temperatura externa que devo colocar na equação.

Agora, isso não é uma variável. Esta é uma determinada função de t. E qual é a função de t, é claro, depende de qual é o problema.

Então, por exemplo, quais poderiam ser algumas possibilidades, bem, suponha que o problema fosse que eu quisesse mimar o ovo. Eu acho que há uma lacuna de gerações aqui. Quantos de vocês sabem o que é um ovo mimado? Quantos de vocês não sabem?

Bem, só estou dizendo que minha filha não sabia.

Eu mencionei isso a ela. Eu disse que acho que vou fazer um ovo mimado amanhã na aula. E ela disse o que é isso?

E então eu disse um ovo acariciado? Ela disse por que alguém acaricia um ovo? Eu disse mimos.

E ela disse, oh, você quer dizer como uma pessoa, como o que você faz a alguém de quem você gosta ou não gosta ou não sei. Qualquer que seja.

Eu pensei um pouco e disse, sim, mais assim.

[RISOS] Enfim, para o enriquecimento de suas habilidades culinárias, mimar um ovo é considerado um produto de melhor qualidade do que ferver um ovo. É por isso que as pessoas fazem isso.

Você aquece a água até ferver, o ovo deve estar em temperatura ambiente, e então você coloca o ovo cuidadosamente na água. E você desliga o fogo para que o banho-maria esfrie exponencialmente enquanto a temperatura do ovo dentro dela aumenta. E então você espera quatro minutos ou seis minutos ou o que quer que seja e o retira.

Você tem um ovo perfeito. Então, para mimar, soletrado assim, qual será a temperatura externa?

Bem, começa no tempo zero a 100 graus centígrados porque a água deveria estar fervendo.

O motivo de você tê-lo fervendo é para calibração, de modo que você possa saber a temperatura sem ter que usar um termômetro, a menos que você esteja no Pike's Peak ou em algum lugar.

Começa em 100 graus. E depois disso, como a luz está apagada, esfria exponencial porque essa é outra lei. Você só precisa saber o que é K para o seu pote em particular e você será capaz de resolver o problema do ovo cozido. Em outras palavras, você será capaz de resolver essas equações e saber como a temperatura sobe. Vou resolver um problema diferente porque não quero ter que lidar com esse termo não homogêneo. Vamos usar, como um problema diferente, uma pessoa cozinha um ovo. Mima o ovo pelo primeiro processo, decide que o ovo está pronto, digamos cozido duro, e então você deve jogar um ovo cozido em água fria. Não apenas para esfriar, mas também porque acho que evita que aquela coisa escura se forme que parece meio sem atrativos. Vamos banho de gelo.

A única razão para colocar o ovo em um banho de gelo é para que você possa ter uma equação homogênea para resolver.

E como esse é o primeiro sistema que vamos resolver, vamos facilitar nossa vida.

Agora, todo o meu trabalho na preparação deste exemplo, e levou muito mais tempo do que realmente resolver o problema, foi escolher valores para aeb, o que faria tudo sair bem. É mais difícil do que parece.

Os valores que vamos usar, que não fazem nenhum sentido físico, mas a é igual a 2 e b é igual a 3. Esses são chamados de números bonitos.

Qual é a equação? Qual é o sistema?

Alguém pode ler para mim?

É T1 primo igual, o que é, menos 2T1 mais 2T2.

Acho que é 2T1. E o outro é menos a mais b, então menos 5.

Este é um sistema. Agora, na quarta-feira, vou lhe ensinar uma maneira sofisticada de resolver isso. Mas, para ser honesto, o jeito chique levará quase tanto tempo quanto o jeito que vou fazer agora. A principal razão para fazer isso é que ele introduz um novo vocabulário que todos desejam que você tenha. E também, por motivos mais importantes, ele fornece mais informações sobre a solução do que esse método. Esse método apenas produz a resposta, mas você também deseja obter uma visão.

E isso é tão importante. Mas, por enquanto, vamos usar um método que sempre funciona e que em 40 anos, depois de você ter esquecido todos os outros métodos sofisticados, ainda estará disponível para você porque é um método que você mesmo pode descobrir. Você não precisa se lembrar de nada. O método consiste em eliminar uma das variáveis ​​dependentes. É apenas a maneira como você resolve sistemas de equações lineares em geral, se não estiver fazendo algo sofisticado com determinantes e matrizes.

Se você apenas eliminar variáveis.

Vamos eliminar uma dessas variáveis.

Vamos eliminar T2. Você também pode eliminar T1.

O principal é eliminar um deles para que você tenha apenas um para trabalhar. Como faço para eliminar T2?

Perdão? Algo está errado?

Se alguém pensa que algo está errado, levante a mão.

Por que eu quero me livrar do T1? Bem, posso adicioná-los.

Mas, no lado esquerdo, terei T1 linha mais T2 linha. Que bom é isso?

[RISOS] Acho que você vai querer fazer do meu jeito.

[Aplausos] Resolva por T2 em termos de T1. Isso vai ser T1 primo mais 2T1 dividido por 2.

Agora, pegue isso e substitua-o na segunda equação.

Onde quer que você veja um T2, coloque-o e o que restará será algo apenas em T1.

Para ser honesto, não conheço nenhuma outra maneira boa de fazer isso. Há um método sofisticado que acho que é mencionado em seu livro, que leva a soluções estranhas e assim por diante, mas você não quer saber sobre isso. Isso funcionará para uma equação linear simples com coeficientes constantes, sempre. Substitua em.

O que eu faço? Agora, aqui eu não aconselho fazer isso mentalmente. É muito fácil cometer um erro. Aqui, farei isso com cuidado, escrevendo tudo como você faria.

T1 principal mais 2T1 sobre 2, principal, é igual a 2T1 menos 5 vezes T1 principal mais 2T1 sobre dois.

Eu peguei isso e substituí nesta equação. Agora, eu não gosto daqueles dois.

Vamos nos livrar deles multiplicando.

E agora escreva isso. O que é isso quando você olha para ele? Esta é uma equação apenas em T1.

Possui coeficientes constantes. E qual é a sua ordem?

Sua ordem é dois porque T1 está preparado.

Em outras palavras, posso eliminar T2 sem problemas, mas a equação que vou obter não é mais de primeira ordem.

Torna-se uma equação diferencial de segunda ordem.

E essa é uma lei básica. Mesmo se você tiver um sistema de mais equações, três ou quatro ou qualquer outra, a lei é que depois de fazer a eliminação com sucesso e terminar com uma única equação, normalmente a ordem dessa equação será a soma das ordens das coisas você começou. Portanto, duas equações de primeira ordem sempre produzirão uma equação de segunda ordem em apenas uma variável dependente, três produzirão uma equação de terceira ordem e assim por diante. Então, você troca uma complexidade por outra. Você troca a complexidade de ter que lidar com duas equações simultaneamente em vez de apenas uma pela complexidade de ter que lidar com uma única equação de ordem superior que é mais difícil de resolver.

É como todos os problemas matemáticos.

A menos que você tenha muita sorte, se você empurrá-los para baixo de uma maneira, eles são realmente simples agora, eles simplesmente aparecem em algum outro lugar. Você diz, oh, eu não salvei nada, afinal.

Essa é a lei da conservação da dificuldade matemática.

[RISOS] Você viu isso mesmo com a transformação de Laplace.

No começo parece ótimo, você tem essas tabelas, pega a equação, horrível de resolver.

Pegue alguma transformação, trivial para resolver para Y maiúsculo.

Agora tenho que encontrar a transformada de Laplace inversa.

E de repente todo o trabalho está lá, frações parciais, fórmulas engraçadas e assim por diante. É muito difícil em matemática se safar de alguma coisa. Acontece de vez em quando e todos aplaudem. Vamos escrever isso agora na forma em que parece uma equação que podemos realmente resolver.

Apenas tenha cuidado. Agora está tudo certo usar o método pelo qual você coleta os termos.

Existe apenas um termo envolvendo T1 double prime.

É o que vem daqui.

E os termos em T1 prime?

Há um 2. Aqui, há menos 5 T1 primos. Se eu colocá-lo do outro lado, dá mais 5 T1 primos mais estes dois perfazem 7 T1 primos.

E quantos T1's existem? Bem, nenhum do lado esquerdo. No lado direito, tenho 4 aqui menos 10. 4 menos 10 é 6 negativo.

Negativo 6 T1 colocado neste lado esquerdo da maneira que queremos fazer dá mais 6 T1.

Não há termos não homogêneos, então isso é igual a zero.

Se eu tivesse obtido um número negativo para um desses coeficientes, saberia instantaneamente se tivesse cometido um erro. Por quê?

Por que esses números devem ser positivos?

É porque o sistema deve ser, o sistema deve ser, preencha com uma palavra, estável.

E por que esse sistema deve ser estável?

Em outras palavras, as soluções de longo prazo devem ser zero, todas devem ir a zero, sejam elas quais forem.

Por que é que? Bem, porque você está colocando o ovo em uma banheira de gelo. Ou, porque sabemos que estava vivo, mas depois de cozido está morto e, portanto, os sistemas mortos são estáveis.

Essa não é uma boa razão, mas é, por assim dizer, a verdadeira. De qualquer forma, está claro que todas as soluções devem tender a zero fisicamente.

Isso é óbvio. E, portanto, a equação diferencial deve ter a mesma propriedade, e isso significa que seus coeficientes devem ser positivos.

Todos os seus coeficientes devem ser positivos.

Se isso não estivesse lá, eu obteria soluções oscilantes, que não iriam a zero.

Isso é fisicamente impossível para este ovo.

Agora o resto é só resolver. A equação característica, se você consegue se lembrar, nos tempos pré-históricos, quando estávamos resolvendo essas equações, é esta.

E o que você quer fazer é fatorá-lo.

É aí que estava todo o trabalho, pegando esses números para que isso fosse fatorado. Então é r mais 1 vezes r mais 6 E assim as soluções são, as raízes são r igual a 1. Estou apenas fazendo marcas no quadro, mas você já fez isso com frequência suficiente, você sabe do que estou falando.

Portanto, as raízes características são esses dois números.

E, portanto, a solução é, eu poderia escrever imediatamente com sua constante arbitrária como c1 vezes e elevado a t negativo mais c2 vezes e elevado a 6t negativo. Agora, preciso obter o T2.

Aqui, a primeira preocupação é que T2 vai me dar mais duas constantes arbitrárias. É melhor não.

O sistema só pode ter duas constantes arbitrárias em sua solução porque essas são as condições iniciais que estamos dando a ele.A propósito, esqueci de dar as condições iniciais. Vamos dar as condições iniciais.

Digamos que a temperatura inicial da gema, quando colocada no banho de gelo, seja de 40 graus centígrados, Celsius. E T2, digamos que a clara deva ser um pouco mais quente que a gema é sempre mais fria que a clara para um ovo cozido mole, sei lá, ou um ovo cozido se não foi esfriado por muito tempo.

Vamos fazer isso 45. Números realistas.

Agora, a única coisa a não fazer é dizer, ei, encontrei o T1.

Ok, vou encontrar T2 pelo mesmo procedimento.

Vou passar por tudo isso.

Em vez disso, eliminarei T1. Então, vou terminar com uma equação T2 e vou resolver isso e obter T2 igual a blah, blah, blah. Isso não é bom, A, porque você está trabalhando muito e, B, porque vai obter mais duas constantes arbitrárias não relacionadas a essas duas. E isso não é bom.

Porque a solução correta tem apenas duas constantes.

Não quatro. Portanto, esse procedimento está errado.

Você deve calcular T2 a partir do T1 que você encontrou, e essa é a equação que faz isso.

Esse é o que precisamos ter. Onde está o giz?

sim. Talvez eu possa ter uma coisinha, então posso simplesmente carregá-la comigo.

Essa é a relação entre T2 e T1.

Ou, se você não gostar, qualquer uma dessas equações expressará T2 em termos de T1 para você.

Não importa. Qualquer um que você usar, de qualquer maneira, é assim que você deve calcular T2. Então o que é?

T2 é calculado a partir dessa caixa rosa.

É metade de T1 prime mais T1.

Agora, se eu tirar a derivada disso, obtenho menos c1 vezes o exponencial. O coeficiente é menos c1, pegue metade disso, ou seja, menos metade c1 e adicione-o a T1. Menos meio c1 mais c1 me dá meio c1.

E aqui eu pego a derivada, é menos 6 c2.

Pegue a metade disso, menos 3 c2 e adicione este c2 a ele, menos 3 mais 1 faz menos 2.

Isso é T2. E observe que ele usa as mesmas constantes arbitrárias que T1 usa.

Portanto, acabamos com apenas dois porque calculamos T2 a partir dessa fórmula ou da equação que é equivalente a ela, não do zero. Ainda não colocamos as condições iniciais, mas isso é fácil de fazer.

Pessoal, ao trabalhar com exponenciais, é claro, você sempre quer que as condições iniciais sejam quando T é igual a zero porque isso torna todas as exponenciais um e você não precisa se preocupar com elas.

Mas isso você sabe. Se eu colocar nas condições iniciais, no tempo zero, T1 tem o valor 40.

Portanto, 40 deve ser igual a c1 + c2.

E a outra equação dirá que 45 é igual a meio c1 menos 2 c2. Agora devemos resolver isso. Bem, isso é chamado de resolução de equações lineares simultâneas. Poderíamos usar a regra de Kramer, matrizes inversas, mas por que não eliminamos? Deixe-me ver.

Se eu multiplicar por 45, então multiplique por dois, você obtém 90 é igual a c1 menos 4 c2.

Então subtraia esse cara daquele cara.

Então, 40 tirado de 90 dá 50. E c1 tirado de c1, porque eu multipliquei por dois, dá zero.

E c2 tirado de menos 4 c2, isso dá menos 5 c2, eu acho.

Parece que c2 é igual a 10 negativo.

E se c2 for negativo 10, então c1 deve ser 50.

Existem duas maneiras de verificar a resposta.

Um é conectá-lo às equações e o outro é atingir o pico. Sim está certo.

[RISOS] A resposta final é, em outras palavras, você coloca 50 aqui, 25 ali, 10 negativo aqui e 20 positivo ali. Isso dá a resposta ao problema. Em outras palavras, ele informa como a temperatura da gema varia com o tempo e como a temperatura da clara varia com o tempo. Como eu disse, vamos aprender uma maneira engenhosa de resolver esse problema, ou pelo menos uma maneira muito diferente de resolver o mesmo problema da próxima vez, mas vamos colocar isso no gelo por enquanto.

E, em vez disso, gostaria de passar o resto do período fazendo para os sistemas de primeira ordem a mesma coisa que fiz para você no primeiro dia do semestre.

Lembre-se, eu entrei presumindo que você sabia como separar variáveis ​​no primeiro dia do semestre, e não falei com você sobre como resolver equações mais sofisticadas por métodos mais sofisticados.

Em vez disso, falei com você sobre o significado geométrico, qual era o significado geométrico de uma única equação de primeira ordem e como esse significado geométrico permitiu que você resolvesse numericamente. E passamos algum tempo trabalhando nesses problemas porque hoje em dia, com computadores, é realmente importante que você tenha uma ideia do que essas coisas significam, em vez de apenas algoritmos para resolvê-las.

Como eu disse, a maioria das equações diferenciais, especialmente sistemas, provavelmente serão resolvidas por um computador de qualquer maneira.

Você tem que ser o gênio orientador que interpreta as respostas e pode ver quando erros estão sendo cometidos, coisas assim. O problema é, portanto, qual é o significado desse sistema?

Bem, você não vai chegar a lugar nenhum interpretando-o geometricamente, a menos que se livre desse t do lado direito. E a única maneira de se livrar dele é declarar que ele não existe.

Portanto, declaro que considerarei apenas, pelo resto do período, ou seja, apenas dez minutos, sistemas em que nenhum t apareça explicitamente no lado direito. Porque não sei o que fazer se isso acontecer aqui. Temos uma palavra para isso.

Lembra qual foi a palavra de primeira ordem?

Uma equação de primeira ordem onde não havia t explicitamente do lado direito, nós a chamávamos, alguém lembra? Apenas curioso.

Este é um sistema autônomo. Não é um sistema linear porque essas funções são confusas.

Isso poderia ser x vezes y ou x ao quadrado menos 3y ao quadrado dividido pelo seno de x mais y.

Pode ser uma bagunça. Definitivamente, não linear.

Mas autônomo significa não t. t significa que a variável independente aparece no lado direito.

Claro, ele está lá. Ele está enterrado em dx / dt e dy / dt. Mas não está do lado direito. Nenhum t aparece no lado direito.

Como nenhum t aparece no lado direito, agora posso fazer um desenho disso.

Mas, vejamos, como é uma solução?

Eu nunca nem falei sobre o que era uma solução, não é? Bem, finja que imediatamente depois de falar sobre isso, falei sobre isso.

Qual é a solução? Bem, a solução, talvez você a tenha dado como certa, é um par de funções, x de t, y de t, se quando você o conecta, ele satisfaz a equação. E então o que mais há de novo?

A solução é x igual a x de t, y igual a y de t.

Se eu fizer um desenho disso, como ficaria?

Este é o lugar onde seu conhecimento anterior de física, acima de tudo 18,02, talvez 18,01 se você aprendeu isso no colégio, o que é x igual a x de t e y igual a y de t?

Como você desenha isso? O que isso representa?

Uma curva. E qual será o título do capítulo do livro de cálculo em que isso é discutido?

Equações paramétricas. Esta é uma curva parametrizada.

Portanto, sabemos como é a solução.

Nossa solução é uma curva parametrizada.

E como é uma curva parametrizada?

Bem, ele viaja e em uma determinada direção.

Por que tenho várias dessas curvas?

Bem, porque tenho várias soluções.

Na verdade, dado qualquer ponto de partida inicial, existe uma solução que passa por ele.

Vou colocar em possíveis pontos de partida.

E você pode fazer isso na tela do computador com um pequeno programa que você terá, um dos visuais que você terá.

Está sendo feito agora. Você coloca o ponto inicial, um clique e então ele apenas desenha a curva que passa por aquele ponto.

Não fizemos isso no início do semestre?

sim. Mas há uma diferença agora que vou explicar. Esses são vários pontos de partida possíveis no tempo zero para esta solução, e então você verá o que acontece depois.

Na verdade, por cada ponto do plano passará uma curva solução, curva parametrizada. Agora, qual é então a representação disso? Bem, qual é o significado de x linha de t e y linha de t?

Não vou me preocupar no momento com o lado direito. O que isso significa por si só?

Se esta for a curva, o movimento parametrizado, então isso representa seu vetor de velocidade.

É a velocidade da solução no tempo t.

Se eu pensar na solução como sendo um movimento parametrizado.

Tudo que desenhei aqui é o traço, o caminho do movimento.

Isso não indicou o quão rápido estava indo.

Uma solução pode explodir e outra pode explodir.

Essa é uma velocidade, e essa velocidade muda de ponto a ponto. Ele muda de direção.

Bem, sabemos sua direção em cada ponto.

Isso é tangente. O que não sei dizer é a velocidade. A partir desta foto, não posso dizer qual foi a velocidade.

Que pena. Agora, qual é então o significado do sistema? O que o sistema faz, ele prescreve em cada ponto o vetor velocidade.

Se você me disser qual é o ponto (x, y) no plano, essas equações fornecem o vetor de velocidade naquele ponto.

E, portanto, o que eu acabo com, o sistema é o que você chama em física e o que você chama em 18.02 de um campo de velocidade. Portanto, em cada ponto existe um certo vetor. O vetor é sempre tangente à curva de solução por lá, mas não posso prever apenas a partir desta imagem qual será seu comprimento porque em alguns pontos, ele pode estar lento. A solução pode estar indo devagar. Em outras palavras, o avião está lotado com esses caras.

Assim por diante e assim por diante. Podemos dizer que um sistema de equações de primeira ordem, EDOs de equações de primeira ordem, autônomo porque não deve haver t no lado direito, é igual a um campo de velocidade. Um campo de velocidade.

O plano coberto com vetores de velocidade.

E uma solução é uma curva parametrizada com a velocidade certa em todos os lugares.

Agora, obviamente deve haver uma conexão entre isso e os campos de direção que estudamos no início do semestre.

E aqui está. É uma conexão muito importante. É muito importante falar sobre isso em menos de um minuto. Quando precisarmos, terei que passar algum tempo falando sobre isso.


10: Sistemas Lineares de Equações Diferenciais - Matemática

A primeira definição que devemos cobrir deve ser a de equação diferencial. Uma equação diferencial é qualquer equação que contém derivadas, tanto derivadas ordinárias quanto derivadas parciais.

Existe uma equação diferencial que todos provavelmente conhecem, que é a Segunda Lei do Movimento de Newton. Se um objeto de massa (m ) está se movendo com aceleração (a ) e sendo acionado com força (F ), então a Segunda Lei de Newton nos diz.

Para ver que esta é de fato uma equação diferencial, precisamos reescrevê-la um pouco. Primeiro, lembre-se de que podemos reescrever a aceleração, (a ), de uma das duas maneiras.

Onde (v ) é a velocidade do objeto e (u ) é a função de posição do objeto a qualquer momento (t ). Devemos também lembrar neste ponto que a força, (F ) também pode ser uma função do tempo, velocidade e / ou posição.

Assim, com todas essas coisas em mente, a Segunda Lei de Newton pode agora ser escrita como uma equação diferencial em termos de velocidade, (v ), ou a posição, (u ), do objeto como segue.

Então, aqui está nossa primeira equação diferencial. Veremos ambas as formas disso em capítulos posteriores.

Aqui estão mais alguns exemplos de equações diferenciais.

Pedido

O pedido de uma equação diferencial é a maior derivada presente na equação diferencial. Nas equações diferenciais listadas acima ( eqref) é uma equação diferencial de primeira ordem, ( eqref), ( eqref), ( eqref), ( eqref), e ( eqref) são equações diferenciais de segunda ordem, ( eqref) é uma equação diferencial de terceira ordem e ( eqref) é uma equação diferencial de quarta ordem.

Observe que a ordem não depende de você ter ou não derivadas ordinárias ou parciais na equação diferencial.

Estaremos olhando quase exclusivamente para as equações diferenciais de primeira e segunda ordem nestas notas. Como você verá, a maioria das técnicas de solução para equações diferenciais de segunda ordem podem ser facilmente (e naturalmente) estendidas para equações diferenciais de ordem superior e discutiremos essa ideia mais tarde.

Equações diferenciais ordinárias e parciais

Uma equação diferencial é chamada de equação diferencial ordinária, abreviado por tributo, se contém derivados ordinários. Da mesma forma, uma equação diferencial é chamada de Equação diferencial parcial, abreviado por pde, se houver derivadas parciais. Nas equações diferenciais acima ( eqref) - ( eqref) são ode's e ( eqref) - ( eqref) são pde's.

A grande maioria dessas notas tratará de ode's. A única exceção a isso será o último capítulo, no qual daremos uma breve olhada em uma técnica de solução comum e básica para resolver pde.

Equações diferenciais lineares

UMA equação diferencial linear é qualquer equação diferencial que pode ser escrita da seguinte forma.

[começar left (t right)> left (t right) + <>> left (t right) direita) >> esquerda (t direita) + cdots + left (t right) y ' left (t right) + left (t right) y left (t right) = g left (t right) labelfim]

O importante a notar sobre as equações diferenciais lineares é que não há produtos da função, (y left (t right) ), e suas derivadas e nem a função ou suas derivadas ocorrem em qualquer potência diferente da primeira potência. Observe também que nem a função ou seus derivados estão "dentro" de outra função, por exemplo, ( sqrt ) ou (<< bf> ^ y> ).

Os coeficientes ( left (t right), , , ldots , ,, left (t right) ) e (g left (t right) ) podem ser funções zero ou não zero, funções constantes ou não constantes, funções lineares ou não lineares. Apenas a função, (y left (t right) ), e suas derivadas são usadas para determinar se uma equação diferencial é linear.

Se uma equação diferencial não pode ser escrita na forma, ( eqref) então é chamado de não linear equação diferencial.

Em ( eqref) - ( eqref) acima apenas ( eqref) é não linear, os outros dois são equações diferenciais lineares. Não podemos classificar ( eqref) e ( eqref) já que não sabemos qual a forma da função (F ). Eles podem ser lineares ou não lineares, dependendo de (F ).

Solução

UMA solução a uma equação diferencial em um intervalo ( alpha & lt t & lt beta ) é qualquer função (y left (t right) ) que satisfaça a equação diferencial em questão no intervalo ( alpha & lt t & lt beta ). É importante observar que as soluções geralmente são acompanhadas por intervalos e esses intervalos podem transmitir algumas informações importantes sobre a solução. Considere o seguinte exemplo.

Precisaremos da primeira e da segunda derivadas para fazer isso.

Conecte-os, bem como a função, na equação diferencial.

Então, (y left (x right) = <2> >> ) satisfaz a equação diferencial e, portanto, é uma solução. Por que então incluímos a condição que (x & gt 0 )? Não usamos essa condição em nenhum lugar do trabalho mostrando que a função satisfaria a equação diferencial.

Nesta forma, é claro que precisaremos evitar (x = 0 ) pelo menos, pois isso resultaria em divisão por zero.

Além disso, há uma regra geral que vamos usar nesta aula. Esta regra é: comece com números reais e termine com números reais. Em outras palavras, se nossa equação diferencial contém apenas números reais, então não queremos soluções que forneçam números complexos. Portanto, para evitar números complexos, também precisamos evitar valores negativos de (x ).

Então, vimos no último exemplo que embora uma função possa satisfazer simbolicamente uma equação diferencial, por causa de certas restrições trazidas pela solução, não podemos usar todos os valores da variável independente e, portanto, devemos fazer uma restrição na variável independente. Esse será o caso com muitas soluções para equações diferenciais.

No último exemplo, observe que existem de fato muito mais soluções possíveis para a equação diferencial fornecida. Por exemplo, todos os itens a seguir também são soluções

Deixaremos os detalhes para você verificar se essas são de fato soluções. Dados esses exemplos, você pode encontrar outras soluções para a equação diferencial? Na verdade, há um número infinito de soluções para essa equação diferencial.

Então, dado que há um número infinito de soluções para a equação diferencial no último exemplo (desde que você acredite em nós quando dizemos isso de qualquer maneira ...), podemos fazer uma pergunta natural. Qual é a solução que queremos ou faz diferença qual solução usamos? Essa questão nos leva à próxima definição nesta seção.

Condições iniciais)

Condições iniciais) são uma condição, ou conjunto de condições, na solução que nos permitirá determinar qual solução buscamos. As condições iniciais (muitas vezes abreviadas como i.c.'s, quando estamos com preguiça ...) são da forma,

Então, em outras palavras, as condições iniciais são valores da solução e / ou de sua (s) derivada (s) em pontos específicos. Como veremos eventualmente, as soluções para equações diferenciais "boas o suficiente" são únicas e, portanto, apenas uma solução atenderá às condições iniciais fornecidas.

O número de condições iniciais necessárias para uma dada equação diferencial dependerá da ordem da equação diferencial, como veremos.

Como vimos no exemplo anterior, a função é uma solução e podemos notar que

e, portanto, esta solução também atende às condições iniciais de (y left (4 right) = frac <1> <8> ) e (y ' left (4 right) = - frac <3> <<64>> ). Na verdade, (y left (x right) = <2> >> ) é a única solução para esta equação diferencial que satisfaz essas duas condições iniciais.

Problema de valor inicial

Um Problema de valor inicial (ou IVP) é uma equação diferencial junto com um número apropriado de condições iniciais.

Como observamos anteriormente, o número de condições iniciais necessárias dependerá da ordem da equação diferencial.

Intervalo de Validade

O intervalo de validade para um IVP com condição (ões) inicial (is)

é o maior intervalo possível no qual a solução é válida e contém ().Eles são fáceis de definir, mas podem ser difíceis de encontrar, então vamos adiar dizer mais alguma coisa sobre eles até que possamos realmente resolver as equações diferenciais e precisarmos do intervalo de validade.

Solução Geral

O solução geral a uma equação diferencial é a forma mais geral que a solução pode assumir e não leva em consideração quaisquer condições iniciais.

Deixaremos que você verifique se esta função é de fato uma solução para a equação diferencial fornecida. Na verdade, todas as soluções para esta equação diferencial serão nesta forma. Esta é uma das primeiras equações diferenciais que você aprenderá a resolver e poderá verificar em breve por si mesmo.

Solução Real

O solução real para uma equação diferencial é a solução específica que não apenas satisfaz a equação diferencial, mas também satisfaz a (s) condição (ões) inicial (is) dada (s).

Na verdade, isso é mais fácil de fazer do que pode parecer à primeira vista. Do exemplo anterior já sabemos (bem, desde que você acredite em nossa solução para este exemplo ...) que todas as soluções para a equação diferencial são da forma.

Tudo o que precisamos fazer é determinar o valor de (c ) que nos dará a solução que buscamos. Para encontrar isso, tudo o que precisamos fazer é usar nossa condição inicial da seguinte maneira.

[- 4 = y left (1 right) = frac <3> <4> + frac<<< 1 ^ 2 >>> hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> c = - 4 - frac <3> <4> = - frac <<19>> <4> ]

Portanto, a solução real para o PIV é.

A partir deste último exemplo, podemos ver que, uma vez que temos a solução geral para encontrar uma equação diferencial, a solução real nada mais é do que aplicar a (s) condição (ões) inicial (is) e resolver para as constantes que estão na solução geral.

Solução implícita / explícita

Neste caso, é mais fácil definir uma solução explícita, dizer o que uma solução implícita não é e, em seguida, dar um exemplo para mostrar a diferença. Então, é isso que vamos fazer.

Um solução explícita é qualquer solução fornecida na forma (y = y left (t right) ). Em outras palavras, o único lugar em que (y ) realmente aparece é uma vez no lado esquerdo e apenas elevado à primeira potência. Um solução implícita é qualquer solução que não esteja de forma explícita. Observe que é possível ter soluções implícitas / explícitas gerais e soluções implícitas / explícitas reais.

Neste ponto, pediremos que você confie em nós que esta é de fato uma solução para a equação diferencial. Você aprenderá como obter essa solução em uma seção posterior. O ponto deste exemplo é que, uma vez que existe um () no lado esquerdo em vez de um único (y left (t right) ) esta não é uma solução explícita!

Já sabemos do exemplo anterior que uma solução implícita para este IVP é ( = - 3 ). Para encontrar a solução explícita, tudo o que precisamos fazer é resolver para (y left (t right) ).

[y left (t right) = pm sqrt <- 3> ]

Agora, temos um problema aqui. Existem duas funções aqui e queremos apenas uma e, na verdade, apenas uma estará correta! Podemos determinar a função correta reaplicando a condição inicial. Apenas um deles irá satisfazer a condição inicial.

Neste caso podemos ver que a solução “-“ será a correta. A solução explícita real é então

Neste caso, conseguimos encontrar uma solução explícita para a equação diferencial. Deve-se notar, entretanto, que nem sempre será possível encontrar uma solução explícita.

Além disso, observe que, neste caso, só conseguimos obter a solução real explícita porque tínhamos a condição inicial para nos ajudar a determinar qual das duas funções seria a solução correta.

Agora, tiramos a maioria das definições básicas do caminho e podemos passar para outros tópicos.


Assista o vídeo: Układ równań różniczkowych 1-go rzedu (Dezembro 2021).