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12.4E: Exercícios para a Seção 12.4


Determinando o Comprimento do Arco

Nas questões 1 - 6, encontre o comprimento do arco da curva no intervalo dado.

1) ( vecs r (t) = t ^ 2 , hat { mathbf {i}} + (2t ^ 2 + 1) , hat { mathbf {j}}, quad 1≤t ≤3 )

Responder:
(8 sqrt {5} ) unidades

2) ( vecs r (t) = t ^ 2 , hat { mathbf {i}} + 14t , hat { mathbf {j}}, quad 0≤t≤7 ). Esta parte do gráfico é mostrada aqui:

3) ( vecs r (t) = ⟨t ^ 2 + 1,4t ^ 3 + 3⟩, quad −1≤t≤0 )

Responder:
( frac {1} {54} (37 ^ {3/2} −1) ) unidades

4) ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩, quad 0≤t≤π ). Esta parte do gráfico é mostrada aqui:

5) ( vecs r (t) = ⟨e ^ {- t cos t}, e ^ {- t sin t}⟩ ) no intervalo ([0, frac {π} {2} ] ). Aqui está a parte do gráfico no intervalo indicado:

6)

7) Encontre o comprimento de uma volta da hélice dada por ( vecs r (t) = frac {1} {2} cos t , hat { mathbf {i}} + frac {1} {2} sin t , hat { mathbf {j}} + sqrt { frac {3} {4}} t , hat { mathbf {k}} ).

Responder:
Comprimento (= 2π ) unidades

8) Encontre o comprimento do arco da função de valor vetorial ( vecs r (t) = - t , hat { mathbf {i}} + 4t , hat { mathbf {j}} + 3t , hat { mathbf {k}} ) sobre ([0,1] ).

9) Uma partícula viaja em um círculo com a equação do movimento ( vecs r (t) = 3 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf { j}} +0 , hat { mathbf {k}} ). Encontre a distância percorrida ao redor do círculo pela partícula.

Responder:
(6π ) unidades

10) Configure uma integral para encontrar a circunferência da elipse com a equação ( vecs r (t) = cos t , hat { mathbf {i}} + 2 sin t , hat { mathbf {j}} + 0 , hat { mathbf {k}} ).

11) Encontre o comprimento da curva ( vecs r (t) = ⟨ sqrt {2} t, e ^ t, e ^ {- t}⟩ ) no intervalo (0≤t≤1 ) . O gráfico é mostrado aqui:

Responder:
( left (e− frac {1} {e} right) ) unidades

12) Encontre o comprimento da curva ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩ ) para (t∈ [−10,10] ).

Vetores Tangentes Unitários e Vetores Normais Unitários

13) A função de posição para uma partícula é ( vecs r (t) = a cos (ωt) , hat { mathbf {i}} + b sin (ωt) , hat { mathbf { j}} ). Encontre o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário em (t = 0 ).

Solução:
( vecs r '(t) = -aω sin (ωt) , hat { mathbf {i}} + bω cos (ωt) , hat { mathbf {j}} )
( | vecs r '(t) | = sqrt {a ^ 2 ω ^ 2 sin ^ 2 (ωt) + b ^ 2ω ^ 2 cos ^ 2 (ωt)} )
( vecs T (t) = dfrac { vecs r '(t)} { | vecs r' (t) |} = dfrac {-aω sin (ωt) , hat { mathbf {i}} + bω cos (ωt) , hat { mathbf {j}}} { sqrt {a ^ 2 ω ^ 2 sin ^ 2 (ωt) + b ^ 2ω ^ 2 cos ^ 2 (ωt)}} )
( vecs T (0) = dfrac {bω , hat { mathbf {j}}} { sqrt {(bω) ^ 2}} = dfrac {bω , hat { mathbf {j }}} {| bω |} )
If (bω> 0, ; vecs T (0) = hat { mathbf {j}}, ) e if (bω <0, ; T (0) = - hat { mathbf { j}} )
Responder:
If (bω> 0, ; vecs T (0) = hat { mathbf {j}}, ) e if (bω <0, ; vecs T (0) = - hat { mathbf {j}} )
If (a> 0, ; vecs N (0) = - hat { mathbf {i}}, ) e if (a <0, ; vecs N (0) = hat { mathbf {i}} )

14) Dado ( vecs r (t) = a cos (ωt) , hat { mathbf {i}} + b sin (ωt) , hat { mathbf {j}} ), encontre o vetor binormal ( vecs B (0) ).

15) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), determine o vetor tangente unitário ( vecs T (t) ).

Responder:
( begin {align *} vecs T (t) & = ⟨ frac {2} { sqrt {6}}, , frac { cos t− sin t} { sqrt {6}} , , frac { cos t + sin t} { sqrt {6}}⟩ [4pt]
& = ⟨ Frac { sqrt {6}} {3}, , frac { sqrt {6}} {6} ( cos t− sin t), , frac { sqrt {6} } {6} ( cos t + sin t)⟩ end {alinhar *} )

16) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), encontre o vetor tangente unitário ( vecs T (t) ) avaliado em (t = 0 ), ( vecs T (0) ).

17) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), determine o vetor normal unitário ( vecs N (t) ).

Responder:
( vecs N (t) = ⟨0, , - frac { sqrt {2}} {2} ( sin t + cos t), , frac { sqrt {2}} {2 } ( cos t- sin t)⟩ )

18) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), encontre o vetor normal unitário ( vecs N (t) ) avaliado em (t = 0 ), ( vecs N (0) ).

Responder:
( vecs N (0) = ⟨0, ; - frac { sqrt {2}} {2}, ; frac { sqrt {2}} {2}⟩ )

19) Dado ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + t ^ 2 , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k }} ), encontre o vetor tangente unitário ( vecs T (t) ). O gráfico é mostrado aqui:

Responder:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {4t ^ 2 + 2}} <1,2t, 1> )

20) Encontre o vetor tangente unitário ( vecs T (t) ) e o vetor normal unitário ( vecs N (t) ) em (t = 0 ) para a curva plana ( vecs r (t ) = ⟨T ^ 3−4t, 5t ^ 2−2⟩ ). O gráfico é mostrado aqui:

21) Encontre o vetor tangente unitário ( vecs T (t) ) para ( vecs r (t) = 3t , hat { mathbf {i}} + 5t ^ 2 , hat { mathbf {j}} + 2t , hat { mathbf {k}} ).

Responder:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {100t ^ 2 + 13}} (3 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j} } +2 , hat { mathbf {k}}) )

22) Encontre o vetor normal principal para a curva ( vecs r (t) = ⟨6 cos t, 6 sin t⟩ ) no ponto determinado por (t = frac {π} {3} )

23) Encontre ( vecs T (t) ) para a curva ( vecs r (t) = (t ^ 3−4t) , hat { mathbf {i}} + (5t ^ 2−2 ) , hat { mathbf {j}} ).

Responder:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {9t ^ 4 + 76t ^ 2 + 16}} ([3t ^ 2−4] , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}}) )

24) Encontre ( vecs N (t) ) para a curva ( vecs r (t) = (t ^ 3−4t) , hat { mathbf {i}} + (5t ^ 2−2 ) , hat { mathbf {j}} ).

25) Encontre o vetor tangente unitário ( vecs T (t) ) para ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, , 5t, , 2 cos t⟩ ).

Responder:
( vecs T (t) = ⟨ frac {2 sqrt {29}} {29} cos t, , frac {5 sqrt {29}} {29}, , - frac {2 sqrt {29}} {29} sin t⟩ )

26) Encontre o vetor normal unitário ( vecs N (t) ) para ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, , 5t, , 2 cos t⟩ ).

Responder:
( vecs N (t) = ⟨− sin t, 0, - cos t⟩ )

Parametrizações de comprimento de arco

27) Encontre a função de comprimento de arco ( vecs s (t) ) para o segmento de linha dado por ( vecs r (t) = ⟨3−3t, , 4t⟩ ). Em seguida, escreva a parametrização do comprimento do arco de (r ) com (s ) como o parâmetro.

Responder:
Função de comprimento de arco: (s (t) = 5t ); A parametrização do comprimento do arco de ( vecs r (t) ): ( vecs r (s) = (3− frac {3s} {5}) , hat { mathbf {i}} + frac {4s} {5} , hat { mathbf {j}} )

28) Parametrize a hélice ( vecs r (t) = cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ) usando o parâmetro de comprimento de arco (s ), de (t = 0 ).

29) Parametrize a curva usando o parâmetro de comprimento de arco (s ), no ponto em que (t = 0 ) para ( vecs r (t) = e ^ t sin t , hat { mathbf {i}} + e ^ t cos t , hat { mathbf {j}} )

Responder:
( vecs r (s) = (1+ frac {s} { sqrt {2}}) sin ( ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})) , hat { mathbf {i}} + (1+ frac {s} { sqrt {2}}) cos [ ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})] , chapéu { mathbf {j}} )

Curvatura e o Círculo Osculante

30) Encontre a curvatura da curva ( vecs r (t) = 5 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} ) em (t = π / 3 ). (Observação: O gráfico é uma elipse.)

31) Encontre a coordenada (x ) na qual a curvatura da curva (y = 1 / x ) é um valor máximo.

Responder:
O valor máximo da curvatura ocorre em (x = 1 ).

32) Encontre a curvatura da curva ( vecs r (t) = 5 cos t , hat { mathbf {i}} + 5 sin t , hat { mathbf {j}} ) . A curvatura depende do parâmetro (t )?

33) Encontre a curvatura (κ ) para a curva (y = x− frac {1} {4} x ^ 2 ) no ponto (x = 2 ).

Responder:
( frac {1} {2} )

34) Encontre a curvatura (κ ) para a curva (y = frac {1} {3} x ^ 3 ) no ponto (x = 1 ).

35) Encontre a curvatura (κ ) da curva ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + 6t ^ 2 , hat { mathbf {j}} + 4t , hat { mathbf {k}} ). O gráfico é mostrado aqui:

Responder:
(κ≈ dfrac {49,477} {(17 + 144t ^ 2) ^ {3/2}} )

36) Encontre a curvatura de ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩ ).

37) Encontre a curvatura de ( vecs r (t) = sqrt {2} t , hat { mathbf {i}} + e ^ t , hat { mathbf {j}} + e ^ {−t} , hat { mathbf {k}} ) no ponto (P (0,1,1) ).

Responder:
( frac {1} {2 sqrt {2}} )

38) Em que ponto a curva (y = e ^ x ) tem curvatura máxima?

39) O que acontece com a curvatura como (x → ∞ ) para a curva (y = e ^ x )?

Responder:
A curvatura se aproxima de zero.

40) Encontre o ponto de curvatura máxima na curva (y = ln x ).

41) Encontre as equações do plano normal e do plano osculante da curva ( vecs r (t) = ⟨2 sin (3t), t, 2 cos (3t)⟩ ) no ponto ((0 , π, −2) ).

Responder:
(y = 6x + π ) e (x + 6y = 6π )

42) Encontre as equações dos círculos osculantes da elipse (4y ^ 2 + 9x ^ 2 = 36 ) nos pontos ((2,0) ) e ((0,3) ).

43) Encontre a equação para o plano osculante no ponto (t = π / 4 ) na curva ( vecs r (t) = cos (2t) , hat { mathbf {i}} + sin (2t) , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ).

Responder:
(x + 2z = frac {π} {2} )

44) Encontre o raio de curvatura de (6y = x ^ 3 ) no ponto ((2, frac {4} {3}). )

45) Encontre a curvatura em cada ponto ((x, y) ) na hipérbole ( vecs r (t) = ⟨a cosh (t), b sinh (t)⟩ ).

Responder:
( dfrac {a ^ 4b ^ 4} {(b ^ 4x ^ 2 + a ^ 4y ^ 2) ^ {3/2}} )

46) Calcule a curvatura da hélice circular ( vecs r (t) = r sin (t) , hat { mathbf {i}} + r cos (t) , hat { mathbf { j}} + t , hat { mathbf {k}} ).

47) Encontre o raio de curvatura de (y = ln (x + 1) ) no ponto ((2, ln 3) ).

Responder:
( frac {10 sqrt {10}} {3} )

48) Encontre o raio de curvatura da hipérbole (xy = 1 ) no ponto ((1,1) ).

Uma partícula se move ao longo da curva plana (C ) descrita por ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + t ^ 2 , hat { mathbf {j}} ). Use esta parametrização para responder às perguntas 49 - 51.

49) Encontre o comprimento da curva no intervalo ([0,2] ).

Responder:
( frac {1} {4} big [4 sqrt {17} + ln left (4+ sqrt {17} right) big] text {unidades} aprox. 4,64678 text {unidades } )

50) Encontre a curvatura da curva plana em (t = 0,1,2 ).

51) Descreva a curvatura como t aumenta de (t = 0 ) para (t = 2 ).

Responder:
A curvatura está diminuindo neste intervalo.

A superfície de uma xícara grande é formada girando o gráfico da função (y = 0,25x ^ {1,6} ) de (x = 0 ) a (x = 5 ) sobre o (y ) -eixo (medido em centímetros).

52) [T] Use a tecnologia para representar graficamente a superfície.

53) Encontre a curvatura (κ ) da curva de geração em função de (x ).

Responder:
(κ = dfrac {30} {x ^ {2/5} left (25 + 4x ^ {6/5} right) ^ {3/2}} )

Observe que inicialmente sua resposta pode ser:
( dfrac {6} {25x ^ {2/5} left (1+ frac {4} {25} x ^ {6/5} right) ^ {3/2}} )

Podemos simplificar da seguinte forma:
( begin {align *} dfrac {6} {25x ^ {2/5} left (1+ frac {4} {25} x ^ {6/5} right) ^ {3/2} } & = dfrac {6} {25x ^ {2/5} big [ frac {1} {25} left (25 + 4x ^ {6/5} right) big] ^ {3/2 }} [4pt]
& = dfrac {6} {25x ^ {2/5} left ( frac {1} {25} right) ^ {3/2} big [25 + 4x ^ {6/5} big] ^ {3/2}} [4pt]
& = dfrac {6} { frac {25} {125} x ^ {2/5} big [25 + 4x ^ {6/5} big] ^ {3/2}} [4pt]
& = dfrac {30} {x ^ {2/5} left (25 + 4x ^ {6/5} right) ^ {3/2}} end {align *} )

54) [T] Use a tecnologia para representar graficamente a função de curvatura.


Seção 4 da Lei de Direitos de Voto

Este documento é fornecido apenas para fins históricos. O Departamento de Justiça não usará, citará ou confiará neste documento, exceto para estabelecer um fato histórico. Não deve haver expectativa de que as informações contidas neste documento sejam atuais ou corretas.

A decisão da Suprema Corte em Shelby County v. Holder, 570 US 529 (2013) considerou que a fórmula de cobertura estabelecida na Seção 4 (b) da Lei era inconstitucional e, como consequência, nenhuma jurisdição está agora sujeita à fórmula de cobertura na Seção 4 (b) ou nas Seções 4 (f) (4) e 5 da Lei. Consequentemente, as informações de orientação sobre o encerramento da cobertura nos termos da Seção 4 (a) da Lei de Direitos de Voto (ou seja, resgate) de algumas das disposições especiais da Lei não são mais necessárias. As informações sobre resgates nos termos da Seção 4 (a) e casos anteriores de resgates são apresentadas aqui nesta página de arquivo para fins históricos.


Resumo

Uma linha de regressão, ou uma linha de melhor ajuste, pode ser desenhada em um gráfico de dispersão e usada para prever resultados para as variáveis ​​ (x ) e (y ) em um determinado conjunto de dados ou dados de amostra. Existem várias maneiras de encontrar uma linha de regressão, mas normalmente a linha de regressão de mínimos quadrados é usada porque cria uma linha uniforme. Os resíduos, também chamados de & ldquoerrors & rdquo, medem a distância do valor real de (y ) e o valor estimado de (y ). A Soma dos Erros Quadrados, quando definida para o mínimo, calcula os pontos na linha de melhor ajuste. As linhas de regressão podem ser usadas para prever valores dentro de um determinado conjunto de dados, mas não devem ser usadas para fazer previsões para valores fora do conjunto de dados.

O coeficiente de correlação (r ) mede a força da associação linear entre (x ) e (y ). A variável (r ) deve estar entre & ndash1 e +1. Quando (r ) é positivo, (x ) e (y ) tendem a aumentar e diminuir juntos. Quando (r ) for negativo, (x ) aumentará e (y ) diminuirá, ou o contrário, (x ) diminuirá e (y ) aumentará. O coeficiente de determinação (r ^ <2> ), é igual ao quadrado do coeficiente de correlação. Quando expresso como uma porcentagem, (r ^ <2> ) representa a porcentagem de variação na variável dependente (y ) que pode ser explicada pela variação na variável independente (x ) usando a linha de regressão.

Glossário

onde (n ) é o número de pontos de dados. O coeficiente não pode ser maior que 1 e menor que & ndash1. Quanto mais próximo o coeficiente estiver de ( pm 1 ), mais forte será a evidência de uma relação linear significativa entre (x ) e (y ).


12.4 Teorema Binomial

Em nosso trabalho anterior, temos binômios ao quadrado usando FOIL ou usando o Padrão de Quadrados Binomiais. Também podemos dizer que expandimos (a + b) 2. (a + b) 2.

Para encontrar um método menos tedioso que funcione para expansões mais altas como (a + b) 7, (a + b) 7, procuramos novamente por padrões em algumas expansões.

Geralmente, não mostramos os expoentes zero, assim como costumamos escrever x ao invés de 1x.

Padrões na expansão de (a + b) n (a + b) n

Vejamos um exemplo para destacar os três últimos padrões.

A partir dos padrões que identificamos, vemos que as variáveis ​​na expansão de (a + b) n, (a + b) n, seriam

Para encontrar os coeficientes dos termos, escrevemos nossas expansões novamente com foco nos coeficientes. Reescrevemos os coeficientes à direita formando uma matriz de coeficientes.

A matriz à direita é chamada de Triângulo de Pascal. Observe que cada número na matriz é a soma dos dois números mais próximos na linha acima. Podemos encontrar a próxima linha começando e terminando com um e depois adicionando dois números adjacentes.

Este triângulo fornece os coeficientes dos termos quando expandimos os binômios.

Triângulo de Pascal

No próximo exemplo, usaremos esse triângulo e os padrões que reconhecemos para expandir o binômio.

Exemplo 12.31

Use o triângulo de Pascal para expandir (x + y) 6. (x + y) 6.

Solução

Sabemos que as variáveis ​​para essa expansão seguirão o padrão que identificamos. Os expoentes diferentes de zero de x começará às seis e diminuirá para um. Os expoentes diferentes de zero de y começará em um e aumentará para seis. A soma dos expoentes em cada termo será seis. Em nosso padrão, a = x a = x e b = y. b = y.

Use o triângulo de Pascal para expandir (x + y) 5. (x + y) 5.

Use o triângulo de Pascal para expandir (p + q) 7. (p + q) 7.

No próximo exemplo, queremos expandir um binômio com uma variável e uma constante. Precisamos identificar o uma e b para aplicar cuidadosamente o padrão.

Exemplo 12.32

Use o triângulo de Pascal para expandir (x + 3) 5. (x + 3) 5.

Solução

Nós identificamos o uma e b do padrão.

Sabemos que as variáveis ​​para essa expansão seguirão o padrão que identificamos. A soma dos expoentes em cada termo será cinco.

Use o triângulo de Pascal para expandir (x + 2) 4. (x + 2) 4.

Use o triângulo de Pascal para expandir (x + 1) 6. (x + 1) 6.

No próximo exemplo, o binômio é uma diferença e o primeiro termo tem uma constante vezes a variável. Depois de identificarmos o uma e b do padrão, devemos mais uma vez aplicar cuidadosamente o padrão.

Exemplo 12.33

Use o triângulo de Pascal para expandir (3 x - 2) 4. (3 x - 2) 4.

Solução

Nós identificamos o uma e b do padrão.

Use o triângulo de Pascal para expandir (2 x - 3) 4. (2 x - 3) 4.

Use o triângulo de Pascal para expandir (2 x - 1) 6. (2 x - 1) 6.

Avalie um coeficiente binomial

Embora o Triângulo de Pascal seja um método para expandir um binômio, também examinaremos outro método. Antes de chegarmos a isso, precisamos introduzir mais algumas notações fatoriais. Essa notação não é usada apenas para expandir binômios, mas também no estudo e uso de probabilidade.

Para encontrar os coeficientes dos termos dos binômios expandidos, precisaremos ser capazes de avaliar a notação (n r) (n r) que é chamada de coeficiente binomial. Lemos (n r) (n r) como “n escolher r" ou "n ocupado r de uma vez".

Coeficiente binomial (n r) (n r)

Exemplo 12.34

Solução

Ⓐ Usaremos a definição de um coeficiente binomial, (n r) = n! r! (n - r)! . (n r) = n! r! (n - r)! .

Avalie cada coeficiente binomial:

Avalie cada coeficiente binomial:

No exemplo anterior, as partes (a), (b), (c) demonstram algumas propriedades especiais dos coeficientes binomiais.

Propriedades dos coeficientes binomiais

Use o Teorema Binomial para Expandir um Binomial

Agora estamos prontos para usar o método alternativo de expansão de binômios. O Teorema Binomial usa o mesmo padrão para as variáveis, mas usa o coeficiente binomial para o coeficiente de cada termo.

Teorema Binomial

Para qualquer número real uma e b, e inteiro positivo n,

Exemplo 12.35

Use o Teorema Binomial para expandir (p + q) 4. (p + q) 4.

Solução

Nós identificamos o uma e b do padrão.

Usamos o Teorema Binomial.

Substitua nos valores a = p, a = p, b = q b = q e n = 4. n = 4.

Avalie os coeficientes. Lembre-se, (n 1) = n, (n 1) = n, (n n) = 1, (n n) = 1, (n 0) = 1. (n 0) = 1.

Use o Teorema Binomial para expandir (x + y) 5. (x + y) 5.

Use o Teorema Binomial para expandir (m + n) 6. (m + n) 6.

O próximo exemplo, o binômio é uma diferença. Quando o binômio é uma diferença, devemos ter cuidado ao identificar os valores que usaremos no padrão.

Exemplo 12.36

Use o Teorema Binomial para expandir (x - 2) 5. (x - 2) 5.

Solução

Nós identificamos o uma e b do padrão.

Usamos o Teorema Binomial.

Substitua nos valores a = x, a = x, b = −2, b = −2 e n = 5. n = 5.

Simplifique os expoentes e avalie os coeficientes. Lembre-se, (n 1) = n, (n 1) = n, (n n) = 1, (n n) = 1, (n 0) = 1. (n 0) = 1.

Use o Teorema Binomial para expandir (x - 3) 5. (x - 3) 5.

Use o Teorema Binomial para expandir (y - 1) 6. (y - 1) 6.

As coisas podem ficar complicadas quando os dois termos têm um coeficiente e uma variável.

Exemplo 12.37

Use o Teorema Binomial para expandir (2 x - 3 y) 4. (2 x - 3 y) 4.

Solução

Nós identificamos o uma e b do padrão.

Usamos o Teorema Binomial.

Substitua nos valores a = 2 x, a = 2 x, b = −3 y b = −3 y e n = 4. n = 4.

Avalie os coeficientes. Lembre-se, (n 1) = n, (n n) = 1, (n 0) = 1. (n 1) = n, (n n) = 1, (n 0) = 1.

(2 x - 3 y) 4 = 1 (2 x) 4 + 4 (2 x) 3 (−3 y) 1 + 4! 2! (2)! (2 x) 2 (−3 y) 2 + 4! 3! (4 - 3)! (2 x) 1 (−3 y) 3 + 1 (−3 y) 4 (2 x - 3 y) 4 = 1 (2 x) 4 + 4 (2 x) 3 (−3 y) 1 + 4! 2! (2)! (2 x) 2 (−3 y) 2 + 4! 3! (4 - 3)! (2 x) 1 (−3 y) 3 + 1 (−3 y) 4

(2 x - 3 y) 4 = 16 x 4 + 4 · 8 x 3 (−3 y) + 6 (4 x 2) (9 y 2) + 4 (2 x) (−27 y 3) + 81 y 4 (2 x - 3 y) 4 = 16 x 4 + 4 · 8 x 3 (−3 y) + 6 (4 x 2) (9 y 2) + 4 (2 x) (−27 y 3) + 81 y 4

(2 x - 3 y) 4 = 16 x 4 - 96 x 3 y + 21 6 x 2 y 2 - 216 xy 3 + 81 y 4 (2 x - 3 y) 4 = 16 x 4 - 96 x 3 y + 21 6 x 2 y 2 - 216 xy 3 + 81 y 4

Use o Teorema Binomial para expandir (3 x - 2 y) 5. (3 x - 2 y) 5.

Use o Teorema Binomial para expandir (4 x - 3 y) 4. (4 x - 3 y) 4.

A verdadeira beleza do Teorema Binomial é que ele fornece uma fórmula para qualquer termo particular da expansão sem ter que calcular a soma inteira. Vamos procurar um padrão no Teorema Binomial.

Encontre um termo específico em uma expansão binomial

Exemplo 12.38

Encontre o quarto termo de (x + y) 7. (x + y) 7.

Solução

Encontre o terceiro termo de (x + y) 6. (x + y) 6.

Encontre o quinto termo de (a + b) 8. (a + b) 8.

Exemplo 12.39

Encontre o coeficiente do termo x 6 x 6 de (x + 3) 9. (x + 3) 9.

Solução

Encontre o coeficiente do termo x 5 x 5 de (x + 4) 8. (x + 4) 8.

Encontre o coeficiente do termo x 4 x 4 de (x + 2) 7. (x + 2) 7.

Meios de comunicação

Acesse esses recursos online para instruções adicionais e prática com sequências.

Seção 12.4 Exercícios

A prática leva à perfeição

Use o triângulo de Pascal para expandir um binômio

Nos exercícios a seguir, expanda cada binômio usando o Triângulo de Pascal.

Avalie um coeficiente binomial

Nos exercícios a seguir, avalie.

Use o Teorema Binomial para Expandir um Binomial

Nos exercícios a seguir, expanda cada binômio.

Nos exercícios a seguir, encontre o termo indicado na expansão do binômio.

Sétimo termo de (x - y) 11 (x - y) 11

Nos exercícios a seguir, encontre o coeficiente do termo indicado na expansão do binômio.

Exercícios de escrita

Com suas próprias palavras, explique como encontrar as linhas do Triângulo de Pascal. Escreva as primeiras cinco linhas do Triângulo de Pascal.

Em suas próprias palavras, explique o padrão dos expoentes para cada variável na expansão de.

Em suas próprias palavras, explique a diferença entre (a + b) n (a + b) n e (a - b) n. (a - b) n.

Em suas próprias palavras, explique como encontrar um termo específico na expansão de um binômio sem expandir tudo. Use um exemplo para ajudar a explicar.

Auto-verificação

Ⓐ Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

Ⓑ Em uma escala de 1 a 10, como você classificaria seu domínio desta seção à luz de suas respostas na lista de verificação? Como você pode melhorar isso?

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    • Autores: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / site: OpenStax
    • Título do livro: Álgebra intermediária 2e
    • Data de publicação: 6 de maio de 2020
    • Local: Houston, Texas
    • URL do livro: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL da seção: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/12-4-binomial-theorem

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    "Organização local para gerenciamento de emergência" significa uma organização criada de acordo com este capítulo pelo estado ou uma subdivisão política para desempenhar funções locais de gerenciamento de emergência.

    "Suprimentos médicos" significa qualquer medicamento, equipamento médico durável, instrumentos, roupas de cama ou qualquer outro material que um provedor de cuidados de saúde considere não essencial para a operação contínua da prática ou instalação do provedor. O termo suprimentos médicos não se aplica a medicamentos, equipamentos médicos duráveis ​​ou outro material que seja propriedade pessoal em uso por indivíduos ou que tenha sido emprestado, alugado ou alugado por indivíduos para fins de tratamento ou cuidado.


    12.4E: Exercícios para a Seção 12.4

    George precisa apresentar um esboço do discurso que foi designado para fazer. O discurso em si é daqui a duas semanas, mas o esboço é devido hoje. George já escreveu o discurso inteiro e não vê por que deveria perder tempo apagando partes dele para transformá-lo em um esboço. Ele sabe exatamente o que vai dizer quando fizer o discurso. Em seguida, ele descobre que o programa de processamento de texto em seu computador pode criar uma versão resumida de um documento. Aha! Tecnologia para o resgate! George felizmente entrega o esboço gerado por computador, sentindo-se confiante de que nunca mais terá que se preocupar em escrever um esboço sozinho.

    1. Você acha que o uso de um esboço gerado por computador por George cumpre o propósito de criar um esboço para um discurso? Por que ou por que não?
    2. Você acha que o professor de George será capaz de dizer que o esboço foi criado por um programa de processamento de texto?

    Avaliação de fim de capítulo

    Joe está começando a preparar seu discurso e construiu um breve esboço que esboça sua tese e pontos principais, mas ainda não tem uma conclusão ou transições totalmente desenvolvidas. Que tipo de contorno Joe construiu?

    1. esboço de fala
    2. esboço de frase completa
    3. esboço de abertura
    4. esboço de trabalho
    5. esboço transitório

    Brenda preparou seu esboço de discurso em um conjunto de seis blocos de notas, então ela acredita que terminou de se preparar para seu discurso. Você diz a ela que simplesmente preparar o esboço da fala não é suficiente; ela também precisa praticar o uso de seus cartões de anotações. Por que isso acontece?


    12.4 O Relatório de Demonstrações Financeiras Consolidadas

    No final desta seção, os alunos devem ser capazes de cumprir os seguintes objetivos:

    1. Liste os vários motivos pelos quais uma empresa busca obter controle sobre outra.
    2. Reconheça que as demonstrações financeiras consolidadas devem ser preparadas se uma empresa tiver controle sobre outra, que normalmente é assumida como a propriedade de qualquer valor acima de 50 por cento das ações em circulação da empresa.
    3. Explique o relato das receitas e despesas de uma subsidiária quando as demonstrações financeiras consolidadas são preparadas na data de aquisição.
    4. Explique o relato dos ativos e passivos de uma subsidiária quando as demonstrações financeiras consolidadas são preparadas na data de aquisição.
    5. Determine os totais consolidados subsequentes à data de aquisição.
    6. Calcule o giro do ativo total e o retorno sobre os ativos (ROA).

    Pergunta: Muitas empresas compram mais de 50% das ações de outras empresas para obter o controle. Em um grande número dessas aquisições, uma empresa obtém todas as ações em circulação da outra para que a propriedade seja completa. Se duas empresas forem reunidas para formar uma terceira, ocorreu uma fusão. Se uma empresa simplesmente compra outra, a transação é conhecida como aquisição. A Thomson Financial informou que aproximadamente 35.000 fusões e aquisições ocorreram em todo o mundo durante 2006 com um valor total de US $ 3,5 trilhões. A recente recessão reduziu um pouco essa tendência.

    Esses investimentos costumam ser feitos para expandir as operações em novos mercados ou novas indústrias. O Google, por exemplo, adquiriu o YouTube por US $ 1,65 bilhão para passar à apresentação de vídeos online. Conforme discutido anteriormente na cobertura de ativos intangíveis, uma empresa pode comprar outra para obter ativos valiosos, como patentes, imóveis, marcas registradas, tecnologia e semelhantes. A compra da Pixar por Walt Disney e sua experiência em animação digital parece se enquadrar nesta categoria. Essas transações também podem ser feitas para eliminar a concorrência ou na esperança de obter economias de escala. A fusão de US $ 35 bilhões da Sprint com a Nextel foi projetada para aumentar os lucros das empresas combinadas, reduzindo as despesas operacionais e, ao mesmo tempo, reduzindo o número de concorrentes na indústria de comunicação sem fio.

    Para ajudar a explicar o método apropriado de contabilização de tais investimentos, suponha que a Giant Company adquira 100 por cento da Tiny Company. Obviamente, o controle foi obtido. Como os relatórios da Giant são afetados? Porque mais de 50 por cento do estoque foi comprado, nenhum dos métodos de contabilidade descritos anteriormente são aplicáveis. Como uma empresa relata a aquisição de outra empresa onde o controle está estabelecido?

    Resposta: De acordo com o U.S. GAAP, o controle é obtido pela aquisição de mais de 50 por cento das ações com direito a voto de uma empresa. Os acionistas da Giant agora controlam Giant e Tiny. Como resultado, uma combinação de negócios foi formada a partir das duas empresas anteriormente independentes. Para fins de relatórios externos, são necessárias demonstrações financeiras consolidadas. A Giant não relata um investimento na conta minúscula em seu balanço patrimonial como com os outros métodos descritos acima. Em vez disso, na consolidação, os saldos de contas individuais de cada organização são reunidos de uma forma prescrita para representar a única entidade econômica que foi criada. Em termos simples, os ativos, passivos, receitas e despesas da Tiny (a subsidiária) são consolidados com os da Giant (a controladora) para refletir os negócios unidos.

    Como essas aquisições são comuns, as demonstrações financeiras relatadas por muitas empresas conhecidas na verdade incluem dados financeiros consolidados de centenas de subsidiárias diferentes, onde o controle foi adquirido ao longo de vários anos. Como apenas um exemplo, a Cisco Systems fez aproximadamente sessenta aquisições de outras empresas entre 2000 e 2007. Posteriormente, as demonstrações financeiras publicadas da Cisco Systems incluíram as receitas, despesas, ativos e passivos de cada uma dessas subsidiárias.

    A consolidação das demonstrações financeiras é um dos tópicos mais complexos em toda a contabilidade financeira. No entanto, o processo básico é bastante direto.

    Receitas e despesas subsidiárias. As receitas e despesas de cada subsidiária são incluídas nos números consolidados, mas apenas para o período após a obtenção do controle. Consequentemente, se a Giant obtiver a Tiny comprando 100 por cento de suas ações em 1o de abril, uma demonstração de resultados consolidada dessas duas empresas não conterá receitas e despesas reconhecidas pela Tiny antes dessa data. Os saldos da demonstração de resultados acumulados sob proprietários anteriores não têm impacto financeiro sobre o novo proprietário, Giant. Apenas as receitas e despesas desta controlada a partir de 1º de abril estão incluídas nos totais consolidados apurados para a Giant Company e sua controlada consolidada.

    Ativos e passivos subsidiários. A consolidação de ativos e passivos subsidiários é um processo mais complicado. Na data da incorporação, um preço total de aquisição é determinado com base no valor justo entregue pela controladora para obter o controle. Em seguida, é feita uma pesquisa para identificar todos os ativos e passivos individuais detidos pela subsidiária naquele momento. Conforme discutido no capítulo anterior, a controladora reconhece todos os ativos subsidiários (1) que fornecem direitos contratuais ou legais ou (2) nos quais o ativo pode ser separado e então vendido. O valor justo é estabelecido e registrado para cada um como se a controladora os adquirisse individualmente. Ocorreu uma transação que coloca todos os ativos e passivos subsidiários sob o controle da empresa-mãe. Os valores de consolidação são relatados como se fossem comprados separadamente pela empresa-mãe.

    Além disso, conforme explicado anteriormente, se o preço de aquisição for maior do que o valor justo total de todos esses ativos e passivos identificáveis, o ágio do ativo intangível é relatado para a diferença. Como uma empresa em funcionamento, um valor total geralmente é atribuído a uma empresa que excede os valores individuais de seus ativos e passivos. Ter clientes fiéis e funcionários treinados, por exemplo, ajuda uma empresa a gerar mais lucros do que seus ativos poderiam gerar. Quando uma empresa está sendo comprada, essa lucratividade prevista geralmente leva a um aumento no preço negociado. Este valor excedente exige o reconhecimento de ágio no balanço patrimonial consolidado.

    Exercício

    Link para perguntas de múltipla escolha para fins de prática: http://www.quia.com/quiz/2092973.html

    Pergunta: Para ilustrar o processo de consolidação, suponha que a Tiny obteve receitas de $ 800.000 e despesas incorridas de $ 500.000 durante o ano até o momento. Além disso, a empresa relata um único ativo, um terreno que custa $ 400.000, mas com um valor justo de $ 720.000. A única obrigação é uma nota de $ 300.000 a pagar. Assim, o valor contábil líquido da empresa é de $ 100.000 ($ 400.000 de terras menos $ 300.000 de notas a pagar). A Tiny também detém os direitos de uma marca comercial bem conhecida que não tem valor contábil porque foi desenvolvida há muitos anos com pouco ou nenhum custo. No entanto, agora é estimado em US $ 210.000.

    Os ativos e passivos detidos pela Tiny têm um valor justo líquido de $ 630.000 ($ 720.000 de terras mais $ 210.000 da marca registrada menos $ 300.000 de notas a pagar). Como a empresa foi extremamente popular e desenvolveu uma grande base de clientes, a Giant concorda em pagar $ 900.000 para adquirir todas as ações em circulação. Se as demonstrações financeiras consolidadas forem criadas no momento da aquisição de uma empresa, quais números são relatados pela combinação de negócios?

    Resposta: Ao consolidar a Giant e sua subsidiária Tiny na data desta aquisição, nem as receitas da subsidiária de $ 800.000 nem suas despesas de $ 500.000 foram incluídas. Their financial impact occurred prior to the takeover by Giant those profits benefitted the previous owners. Therefore, only the revenues and expenses reported by Giant make up consolidated income statement totals determined on the day the parent acquires the subsidiary.

    At the same time, consolidated balance sheet totals will not show any “investment in Tiny Company” as in the other methods demonstrated above. Instead, Tiny’s land is added to Giant’s own totals at its $720,000 fair value. The trademark is consolidated at $210,000 to reflect the amounts paid by Giant to acquire ownership of the subsidiary. The note payable is added to the consolidated figures at $300,000, which was its fair value as well as its book value. Subsidiary assets and liabilities are included in consolidated totals as if purchased by the parent. Mechanically, a $320,000 increase is made to the land account while $210,000 is recorded to recognize the value of the trademark.

    The acquisition price of $900,000 paid by Giant exceeds the net value of the subsidiary’s identifiable assets and liabilities ($610,000) by $290,000. In consolidation, any excess acquisition payment is assumed to represent goodwill and is reported as an intangible asset.

    Figure 12.16 Consolidated Totals—Date of Acquisition

    Exercício

    Link to multiple-choice question for practice purposes: http://www.quia.com/quiz/2093014.html

    Question: On the date of acquisition, subsidiary revenues and expenses are omitted from consolidation totals but assets and liabilities are included at fair value. Any excess payment made by the parent in purchasing the subsidiary is reported as goodwill. In subsequent consolidations, what accounting is made of the subsidiary’s revenues, expenses, assets, and liabilities?

    Answer: For subsequent balance sheets created after a business combination is formed, the book value of each of the subsidiary’s assets and liabilities is added to the book value of those same accounts within the parent’s financial records. However, the initial adjustments made at the date of acquisition to establish fair value must continue to be included because they represent a cost incurred by Giant when the $900,000 payment was made to acquire Tiny Company.

    Thus, in future consolidations of these two companies, the $320,000 adjustment recorded to the land account will be present as will the $210,000 portion of the payment assigned to the subsidiary’s trademark and the $270,000 goodwill balance. Those costs were not recognized by Tiny but were incurred by Giant at the time of acquisition and must be reflected in the ongoing reporting of those assets.

    Recognition of these subsequent adjustments creates one final concern. A trademark has a finite life. Thus, the $210,000 cost paid by the parent and attributed to this asset must be amortized over time. This additional expense is only recognized in the consolidation process since it relates to the purchase of Tiny and not to the operations of either company. Neither land nor goodwill has a finite life so amortization is not appropriate for those purchase price adjustments. As discussed previously, these assets are checked periodically for impairment of value.

    Subsequently consolidated income statements report the parent’s revenues and expenses plus subsidiary amounts but only those recognized since the acquisition. In addition, the amortization of acquisition cost adjustments, such as for the trademark, will be recognized within the consolidation as an expense.

    Figure 12.17 Consolidated Totals—Subsequent to Date of Acquisition

    Exercício

    Link to multiple-choice question for practice purposes: http://www.quia.com/quiz/2093016.html

    Question: Chapter 12 “In a Set of Financial Statements, What Information Is Conveyed about Equity Investments?” completes coverage of the assets reported by a company on its balance sheet. In earlier chapters on receivables, inventory, and property and equipment, vital signs were computed and explained as figures and ratios often used in evaluating a company—especially its financial health and future prospects. Do any similar vital signs exist for assets as a whole that decision makers typically use as part of an overall evaluation?

    Answer: A company controls a specific amount of assets. Most investors and other decision makers are interested in how effectively management was able to use these resources. Individuals who study companies search for signs that an appropriate level of income was generated from the assets on hand.

    Total asset turnover. Total asset turnover is one such figure. It simply indicates management’s efficiency at generating sales. Sales must occur before profits can be earned from normal operations. If assets are not well used to create sales, profits will probably never arise.

    total asset turnover = sales revenue/average total assets

    For example, here is information reported for 2008 by PepsiCo Inc. and The Coca-Cola Company. Based on this information, the total asset turnover can be computed for each company.

    Figure 12.18 2008 Comparison of PepsiCo Inc. and The Coca-Cola Company

    Return on assets. Probably one of the most commonly used vital signs employed in studying the financial health of a company is return on assets , often known as ROA. It is simply net income divided by average total assets and is viewed by many as an appropriate means of measuring management’s efficiency in using company resources.

    return on assets (ROA) = net income/average total assets

    Some analysts modify the income figure in this computation by removing interest expense to eliminate the impact of different financing strategies.

    For 2008, PepsiCo reported net income of $5.1 billion so that its ROA for the year was 14.4 percent ($5.1 net income/$35.3 average total assets). For the same period, The Coca-Cola Company reported net income of $5.8 billion for an ROA of 13.8 percent ($5.8/$41.9).

    Key Takeaway

    Companies often attempt to obtain control over other companies for many reasons including gaining access to valuable assets and eliminating competition. According to U.S. GAAP, control is established by acquiring over 50 percent of the ownership shares. At that point, consolidated financial statements must be prepared bringing together the financial accounts from both companies. For the subsidiary, only revenues and expenses since the takeover are included. In consolidating the assets and liabilities of the subsidiary, any difference on the date of acquisition between fair value and book value is computed and assumed to represent an additional cost incurred by the parent. If the asset or liability has a finite life, this amount is then included in all subsequent consolidations after periodic amortization is removed. Goodwill is reported for any unexplained excess payment made in acquiring control over the subsidiary. Many analysts compute total asset turnover and return on assets (ROA) in evaluating the efficiency of management’s use of company assets.

    Talking with a Real Investing Pro (Continued)

    Following is a continuation of our interview with Kevin G. Burns.

    Question: For the year ended December 31, 2008, Yahoo! Inc. reported its net income as approximately $424 million. The company also disclosed comprehensive income of only $213 million. Does it disturb you that this one company reports two separate income figures and they can be so significantly different? Or do you find disclosing income in two distinct ways to be helpful when you analyze a company like this?

    Kevin Burns: Actually I think the idea of disclosing income in two different ways makes sense. Having said that, if I were a shareholder of Yahoo! I would want to ask, Why these numbers are so far apart? What exactly is included in (or excluded from) each of these income figures? Is the company’s core business sound? This question is probably best answered by net income. The reduction in arriving at comprehensive income is likely to have come from losses in the value of available-for-sale investments and from holding foreign currency balances. Is management distracted by trying to manage a large investment portfolio? How much of the difference comes from currency rate changes, and is there a way to hedge this volatility to reduce the impact? If there is a way to hedge the risk, why did company officials not do so?

    In sum, the reason I like including both income numbers is that anything that increases disclosure is a positive, especially when investing money. The more transparency the better is my feeling. Then, investors can make up their own minds as to management’s competence and the success of the overall business of the company.


    12.4E: Exercícios para a Seção 12.4

    Translate the following passages into plain English:

    • A prehearing conference was held on July 15, 2000, and the result of said conference was that Rawson was given an extension of time until August 6 to respond to Vicker's motion. Rawson subsequently failed to file any response thereto.
    • In the event that any employee is requested to testify in any judicial or administrative proceeding, said party will give the company prompt notice of such request in order that the company may seek an appropriate protective order.
    • The court asks whether the plaintiff is guilty of unreasonable delay in asserting its rights. Such determination is committed to the trial court's sound discretion. The emphasis is on the reasonableness of the delay, not the length of such delay.
    • Subsequent to the Bank's dishonor and return of the forged check, the United States served the aforementioned subpoena upon the Bank and directed the Bank to deliver to his office forthwith, upon receipt, at any time and from time to time, any and all bank checks, cashier's checks, and similar items stolen in the robbery that transpired on July 2, 2000.

    Intermediate

    Translate the following passages into plain English:

    • All modifications, interlineations, additions, supplements, and/or changes to this Contractual Amendment are subject to and conditioned upon a fully executed, signed, and dated acceptance, approval, and confirmation at Pantheon's corporate headquarters.
    • An interpreter is needed if, after examining a witness, the court arrives at the conclusion that the witness is without the ability to understand and speak English at a sufficient level of proficiency to comprehend the proceedings in such a way as to assist counsel in the conduct of the case.
    • This letter shall confirm our understanding and agreement that if your loan application on the above-described property is approved, you shall occupy the same as your primary residence within thirty (30) days of the closing date. You are aware that if you shall fail to do so, such failure shall constitute a default under the Note and Security Instrument executed in connection with your loan, and upon occurrence of such default the full and entire amount of the principal and interest payable pursuant to said Note shall become immediately due and payable at the option of the holder thereof.
    • Pursuant to the provisions of §§ 3670, 3671, and 3672 of the Internal Revenue Code of the United States, notice is hereby given that there have been assessed under the Internal Revenue Code of the United States, against the following-named taxpayer, taxes (including interest and penalties) which after demand for payment thereof remain unpaid, and that by virtue of the above-mentioned statutes the amount (or amounts) of said taxes, together with penalties, interest, and costs that may accrue in addition thereto, is (or are) a lien (or liens) in favor of the United States upon all property and rights to property belonging to said taxpayer.

    Advanced

    Find a published piece of legal writing that is thick with legalese. Prepare a short memo--no more than three pages--in which you (1) show at least two paragraphs from the original, (2) show how you would edit the passage, and (3) explain briefly why you made your edits. If possible, cite authority (such as a usage guide--see § 48) in support of your edits.

    In the literature on legal language and legal writing, find three quotable paragraphs (each from a different writer) discussing legalese. Assemble the quotations and citations. If you belong to a writing group or class, bring a copy of your quotations for each colleague.


    Q: A power supply maintains a potential difference of 64.3 V64.3 V across a 2950 Ω2950 Ω resistor. What.

    A: Click to see the answer

    Q: These are basic physics questions that I need help understanding for homework. Thank you for your he.

    A: Since you have posted a question with a multiple sub parts, we will solve first three sub - parts fo.

    Q: Write down three common applications of an oscilloscope.

    A: An oscilloscope, is a type of electronic test instrument that graphically displays varying signal vo.

    Q: Thanks in Advance!! 40) If something weighs 96N on earth, what will be its weight in Newton on the m.

    A: 40) Given data The weight of the object on earth is given as W = 96 N. The relational between gravi.

    Q: An electrician experienced a mild shock when he accidentally touched a wire carrying 5.0 mA for appr.

    A: Click to see the answer

    Q: Categorize each of the following as a physical or chemical change. Explain your reasoning: a) Squeez.

    A: The problem is based on physical and chemical change. Phycisal changes are that changes where the ch.

    Q: When a current flows in an aluminum wire of diameter 4.67 mm,4.67 mm, the drift speed of the conduct.

    A: Radius of the aluminium wire(r)=Diameter of the wire2=4.67×10-32=2.335×10-3mArea of the wire(A)=πr2=.

    Q: A large ship displace can displace a maximum of 12,000 m3 of sea water, how much load (in kg) can it.


    12.4E: Exercícios para a Seção 12.4

    (a) Guidance regarding tailoring of the paragraphs in the clause at 52.212-4, Contract Terms and Conditions&mdashCommercial Items, when the paragraphs do not reflect the customary practice for a particular market and

    (b) Guidance on the administration of contracts for commercial items in those areas where the terms and conditions in 52.212-4 differ substantially from those contained elsewhere in the FAR.

    12.402 Acceptance.

    (a) The acceptance paragraph in 52.212-4 is based upon the assumption that the Government will rely on the contractor&rsquos assurances that the commercial item tendered for acceptance conforms to the contract requirements. The Government inspection of commercial items will not prejudice its other rights under the acceptance paragraph. Additionally, although the paragraph does not address the issue of rejection, the Government always has the right to refuse acceptance of nonconforming items. This paragraph is generally appropriate when the Government is acquiring noncomplex commercial items.

    (b) Other acceptance procedures may be more appropriate for the acquisition of complex commercial items or commercial items used in critical applications. In such cases, the contracting officer shall include alternative inspection procedure(s) in an addendum and ensure these procedures and the postaward remedies adequately protect the interests of the Government. The contracting officer must carefully examine the terms and conditions of any express warranty with regard to the effect it may have on the Government&rsquos available postaward remedies (see 12.404).

    (c) The acquisition of commercial items under other circumstances such as on an &ldquoas is&rdquo basis may also require acceptance procedures different from those contained in 52.212-4. The contracting officer should consider the effect the specific circumstances will have on the acceptance paragraph as well as other paragraphs of the clause.

    12.403 Termination.

    (a) General. The clause at 52.212-4 permits the Government to terminate a contract for commercial items either for the convenience of the Government or for cause. However, the paragraphs in 52.212-4 entitled &ldquoTermination for the Government&rsquos Convenience&rdquo and &ldquoTermination for Cause&rdquo contain concepts which differ from those contained in the termination clauses prescribed in Part 49. Consequently, the requirements of Part 49 do not apply when terminating contracts for commercial items and contracting officers shall follow the procedures in this section. Contracting officers may continue to use Part 49 as guidance to the extent that Part 49 does not conflict with this section and the language of the termination paragraphs in 52.212-4.

    (b) Policy. The contracting officer should exercise the Government&rsquos right to terminate a contract for commercial items either for convenience or for cause only when such a termination would be in the best interests of the Government. The contracting officer should consult with counsel prior to terminating for cause.

    (1) The paragraph in 52.212-4 entitled &ldquoExcusable Delay&rdquo requires contractors notify the contracting officer as soon as possible after commencement of any excusable delay. In most situations, this requirement should eliminate the need for a show cause notice prior to terminating a contract. The contracting officer shall send a cure notice prior to terminating a contract for a reason other than late delivery.

    (2) The Government&rsquos rights after a termination for cause shall include all the remedies available to any buyer in the marketplace. The Government&rsquos preferred remedy will be to acquire similar items from another contractor and to charge the defaulted contractor with any excess reprocurement costs together with any incidental or consequential damages incurred because of the termination.

    (3) When a termination for cause is appropriate, the contracting officer shall send the contractor a written notification regarding the termination. At a minimum, this notification shall&mdash

    (i) Indicate the contract is terminated for cause

    (ii) Specify the reasons for the termination

    (iii) Indicate which remedies the Government intends to seek or provide a date by which the Government will inform the contractor of the remedy and

    (iv) State that the notice constitutes a final decision of the contracting officer and that the contractor has the right to appeal under the Disputes clause (see 33.211).

    (4) The contracting officer, in accordance with agency procedures, shall ensure that information related to termination for cause notices and any amendments are reported. In the event the termination for cause is subsequently converted to a termination for convenience, or is otherwise withdrawn, the contracting officer shall ensure that a notice of the conversion or withdrawal is reported. All reporting shall be in accordance with 42.1503(h).

    (d) Termination for the Government&rsquos convenience.

    (1) When the contracting officer terminates a contract for commercial items for the Government&rsquos convenience, the contractor shall be paid&mdash

    (A) The percentage of the contract price reflecting the percentage of the work performed prior to the notice of the termination for fixed-price or fixed-price with economic price adjustment contracts or

    (B) An amount for direct labor hours (as defined in the Schedule of the contract) determined by multiplying the number of direct labor hours expended before the effective date of termination by the hourly rate(s) in the Schedule and

    (ii) Any charges the contractor can demonstrate directly resulted from the termination. The contractor may demonstrate such charges using its standard record keeping system and is not required to comply with the cost accounting standards or the contract cost principles in Part 31. The Government does not have any right to audit the contractor&rsquos records solely because of the termination for convenience.

    (2) Generally, the parties should mutually agree upon the requirements of the termination proposal. The parties must balance the Government&rsquos need to obtain sufficient documentation to support payment to the contractor against the goal of having a simple and expeditious settlement.

    12.404 Warranties.

    (a) Implied warranties. The Government&rsquos post award rights contained in 52.212-4 are the implied warranty of merchantability, the implied warranty of fitness for particular purpose and the remedies contained in the acceptance paragraph.

    (1) The implied warranty of merchantability provides that an item is reasonably fit for the ordinary purposes for which such items are used. The items must be of at least average, fair or medium-grade quality and must be comparable in quality to those that will pass without objection in the trade or market for items of the same description.

    (2) The implied warranty of fitness for a particular purpose provides that an item is fit for use for the particular purpose for which the Government will use the items. The Government can rely upon an implied warranty of fitness for particular purpose when&mdash

    (i) The seller knows the particular purpose for which the Government intends to use the item and

    (ii) The Government relied upon the contractor&rsquos skill and judgment that the item would be appropriate for that particular purpose.

    (3) Contracting officers should consult with legal counsel prior to asserting any claim for a breach of an implied warranty.

    (b) Express warranties. 41 U.S.C. 3307(e)(5)(B) requires contracting officers to take advantage of commercial warranties. To the maximum extent practicable, solicitations for commercial items shall require offerors to offer the Government at least the same warranty terms, including offers of extended warranties, offered to the general public in customary commercial practice. Solicitations may specify minimum warranty terms, such as minimum duration, appropriate for the Government&rsquos intended use of the item.

    (1) Any express warranty the Government intends to rely upon must meet the needs of the Government. The contracting officer should analyze any commercial warranty to determine if&mdash

    (i) The warranty is adequate to protect the needs of the Government, e.g., items covered by the warranty and length of warranty

    (ii) The terms allow the Government effective postaward administration of the warranty to include the identification of warranted items, procedures for the return of warranted items to the contractor for repair or replacement, and collection of product performance information and

    (iii) The warranty is cost-effective.

    (2) In some markets, it may be customary commercial practice for contractors to exclude or limit the implied warranties contained in 52.212-4 in the provisions of an express warranty. In such cases, the contracting officer shall ensure that the express warranty provides for the repair or replacement of defective items discovered within a reasonable period of time after acceptance.

    (3) Express warranties shall be included in the contract by addendum (see 12.302).