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1.2: Os Sistemas de Coordenadas Retangulares e Gráficos - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Plote pares ordenados em um sistema de coordenadas cartesianas.
  • Representar graficamente as equações traçando pontos.
  • Representar graficamente as equações com um utilitário gráfico.
  • Encontre (x ) - intercepta e (y ) - intercepta.
  • Use a fórmula da distância.
  • Use a fórmula do ponto médio.

Tracie partiu de Elmhurst, IL, para ir para Franklin Park. No caminho, ela fez algumas paradas para fazer recados. Cada parada é indicada por um ponto vermelho na Figura ( PageIndex {1} ). Colocando uma grade de coordenadas retangular sobre o mapa, podemos ver que cada parada se alinha com uma interseção de linhas de grade. Nesta seção, aprenderemos como usar linhas de grade para descrever locais e mudanças em locais.

Traçando pares ordenados no sistema de coordenadas cartesianas

Uma velha história descreve como o filósofo / matemático do século XVII René Descartes inventou o sistema que se tornou a base da álgebra quando estava doente na cama. De acordo com a história, Descartes estava olhando para uma mosca rastejando no teto quando percebeu que poderia descrever a localização da mosca em relação às linhas perpendiculares formadas pelas paredes adjacentes de seu quarto. Ele viu as linhas perpendiculares como eixos horizontais e verticais. Além disso, ao dividir cada eixo em comprimentos unitários iguais, Descartes viu que era possível localizar qualquer objeto em um plano bidimensional usando apenas dois números - o deslocamento do eixo horizontal e o deslocamento do eixo vertical.

Embora haja evidências de que ideias semelhantes ao sistema de grade de Descartes existiam séculos antes, foi Descartes quem introduziu os componentes que compõem o sistema de coordenadas cartesianas, um sistema de grade com eixos perpendiculares. Descartes chamou o eixo horizontal de eixo (x ) e o eixo vertical de eixo (y ).

O sistema de coordenadas cartesianas, também chamado de sistema de coordenadas retangulares, é baseado em um plano bidimensional que consiste no eixo (x ) e no eixo (y ). Perpendiculares entre si, os eixos dividem o plano em quatro seções. Cada seção é chamada de quadrante; os quadrantes são numerados no sentido anti-horário, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {2} ).

O centro do plano é o ponto em que os dois eixos se cruzam. É conhecido como origem ou ponto ((0,0) ). A partir da origem, cada eixo é dividido em unidades iguais: números positivos crescentes à direita no eixo (x ) e para cima no eixo (y ); números negativos decrescentes à esquerda no eixo (x ) e abaixo no eixo (y ). Os eixos se estendem ao infinito positivo e negativo, conforme mostrado pelas pontas de seta na Figura ( PageIndex {3} ).

Cada ponto no plano é identificado por sua coordenada (x ), ou deslocamento horizontal da origem, e sua coordenada (y ), ou deslocamento vertical da origem. Juntos, nós os escrevemos como um par ordenado indicando a distância combinada da origem na forma ((x, y) ). Um par ordenado também é conhecido como par de coordenadas porque consiste em coordenadas (x ) - e (y ) -. Por exemplo, podemos representar o ponto ((3, −1) ) no plano movendo três unidades para a direita da origem na direção horizontal e uma unidade para baixo na direção vertical. Veja a Figura ( PageIndex {4} ).

Ao dividir os eixos em incrementos igualmente espaçados, observe que o eixo (x ) pode ser considerado separadamente do eixo (y ). Em outras palavras, enquanto o eixo (x ) pode ser dividido e rotulado de acordo com inteiros consecutivos, o eixo (y ) pode ser dividido e rotulado por incrementos de (2 ) ou (10 ​​ ) ou (100 ). Na verdade, os eixos podem representar outras unidades, como anos contra o saldo de uma conta de poupança, ou quantidade contra custo, e assim por diante. Considere o sistema de coordenadas retangulares principalmente como um método para mostrar a relação entre duas quantidades.

Sistema de coordenada cartesiana

Um plano bidimensional onde o

  • (x ) - o eixo é o eixo horizontal
  • (y ) - o eixo é o eixo vertical

Um ponto no plano é definido como um par ordenado, ((x, y) ), de modo que (x ) é determinado por sua distância horizontal da origem e (y ) é determinado por sua distância vertical da origem.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Pontos de plotagem em um sistema de coordenadas retangulares

Trace os pontos ((- 2,4) ), ((3,3) ) e ((0, −3) ) no plano.

Solução

Para plotar o ponto ((- 2,4) ), comece na origem. A coordenada (x ) - é (- 2 ), então mova duas unidades para a esquerda. A coordenada (y ) - é (4 ), então mova quatro unidades para cima na direção positiva (y ).

Para plotar o ponto ((3,3) ), comece novamente na origem. A coordenada (x ) - é (3 ), então mova três unidades para a direita. A coordenada (y ) - também é (3 ), então mova três unidades para cima na direção positiva (y ).

Para plotar o ponto ((0, −3) ), comece novamente na origem. A coordenada (x ) - é (0 ). Isso nos diz para não mover em nenhuma direção ao longo do eixo (x ). A coordenada (y ) - é (- 3 ), então mova três unidades para baixo na direção (y ) negativa. Veja o gráfico na Figura ( PageIndex {5} ).

Análise

Observe que quando qualquer coordenada é zero, o ponto deve estar em um eixo. Se a coordenada (x ) - for zero, o ponto está no eixo (y ). Se a coordenada (y ) é zero, o ponto está no eixo (x ).

Representação gráfica de equações por pontos de plotagem

Podemos traçar um conjunto de pontos para representar uma equação. Quando tal equação contém uma variável (x ) e uma variável (y ), é chamada de equação em duas variáveis. Seu gráfico é chamado de gráfico em duas variáveis. Qualquer gráfico em um plano bidimensional é um gráfico em duas variáveis.

Suponha que queremos representar graficamente a equação (y = 2x − 1 ). Podemos começar substituindo um valor de (x ) na equação e determinando o valor resultante de (y ). Cada par de valores (x ) - e (y ) - é um par ordenado que pode ser plotado. A tabela ( PageIndex {1} ) lista os valores de (x ) de (- 3 ) a (3 ) e os valores resultantes de (y ).

Tabela ( PageIndex {1} )
(x ) (y = 2x − 1 ) ((x, y) )
(−3) (y = 2 (−3) −1 = −7 )((−3,−7))
(−2) (y = 2 (−2) −1 = −5 )((−2,−5))
(−1) (y = 2 (−1) −1 = −3 )((−1,−3))
(0) (y = 2 (0) −1 = −1 )((0,−1))
(1) (y = 2 (1) −1 = 1 )((1,1))
(2) (y = 2 (2) −1 = 3 )((2,3))
(3) (y = 2 (3) −1 = 5 )((3,5))

Podemos traçar os pontos na tabela. Os pontos para esta equação particular formam uma linha, então podemos conectá-los (Figura ( PageIndex {6} )). Isso não é verdade para todas as equações.

Observe que os valores (x ) - escolhidos são arbitrários, independentemente do tipo de equação que estamos representando. Claro, algumas situações podem exigir que valores particulares de (x ) sejam plotados para ver um resultado particular. Caso contrário, é lógico escolher valores que podem ser calculados facilmente e é sempre uma boa ideia escolher valores que sejam negativos e positivos. Não há regra determinando quantos pontos devem ser plotados, embora precisemos de pelo menos dois para representar graficamente uma linha. Lembre-se, entretanto, de que quanto mais pontos traçarmos, mais precisamente podemos esboçar o gráfico.

Howto: dada uma equação, gráfico por pontos de plotagem

  1. Faça uma tabela com uma coluna rotulada (x ), uma segunda coluna rotulada com a equação e uma terceira coluna listando os pares ordenados resultantes.
  2. Insira (x ) - valores na primeira coluna usando valores positivos e negativos. Selecionar os valores (x ) - em ordem numérica tornará a representação gráfica mais simples.
  3. Selecione (x ) - valores que produzirão (y ) - valores com pouco esforço, de preferência aqueles que podem ser calculados mentalmente.
  4. Trace os pares ordenados.
  5. Conecte os pontos se eles formarem uma linha.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Representando graficamente uma equação em duas variáveis ​​por pontos de plotagem

Represente graficamente a equação (y = −x + 2 ) traçando pontos.

Solução

Primeiro, construímos uma tabela semelhante a Table ( PageIndex {2} ). Escolha os valores (x ) e calcule (y ).

Tabela ( PageIndex {2} )
(x ) (y = −x + 2 ) ((x, y) )
(−5) (y = - (- 5) + 2 = 7 )((−5,7))
(−3) (y = - (- 3) + 2 = 5 )((−3,5))
(−1) (y = - (- 1) + 2 = 3 )((−1,3))
(0) (y = - (0) + 2 = 2 )((0,2))
(1) (y = - (1) + 2 = 1 )((1,1))
(3) (y = - (3) + 2 = −1 )((3,−1))
(5) (y = - (5) + 2 = −3 )((5,−3))

Agora, trace os pontos. Conecte-os se eles formarem uma linha. Veja a Figura ( PageIndex {7} ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Construa uma tabela e represente graficamente a equação traçando os pontos: (y = dfrac {1} {2} x + 2 ).

Responder

Por favor, consulte a Tabela ( PageIndex {3} ) e o gráfico abaixo.

Tabela ( PageIndex {3} )
(x ) (y = 12x + 2 ) ((x, y) )
(-2) (y = 12 (−2) + 2 = 1 )((−2,1))
(-1) (y = 12 (-1) + 2 = 32 )((−1,32))
(0) (y = 12 (0) + 2 = 2 )((0,2))
(1) (y = 12 (1) + 2 = 52 )((1,52))
(2) (y = 12 (2) + 2 = 3 )((2,3))

Representação gráfica de equações com um utilitário de representação gráfica

A maioria das calculadoras gráficas requer técnicas semelhantes para representar graficamente uma equação. As equações às vezes precisam ser manipuladas para que sejam escritas no estilo (y = ) _____. A TI-84 Plus, e muitas outras marcas e modelos de calculadora, têm uma função de modo, que permite que a janela (a tela para visualizar o gráfico) seja alterada para que as partes pertinentes de um gráfico possam ser vistas.

Por exemplo, a equação (y = 2x − 20 ) foi inserida na TI-84 Plus mostrada na Figura ( PageIndex {9a} ). Na Figura ( PageIndex {9b} ), o gráfico resultante é mostrado. Observe que não podemos ver na tela onde o gráfico cruza os eixos. A tela da janela padrão na TI-84 Plus mostra (- 10≤x≤10 ) e (- 10≤y≤10 ). Veja a Figura ( PageIndex {9c} ).

Ao alterar a janela para mostrar mais do eixo (x ) positivo e mais do eixo (y ) negativo, temos uma visão muito melhor do gráfico e dos eixos (x ) - e ( y ) - intercepta. Veja a Figura ( PageIndex {10a} ) e a Figura ( PageIndex {10b} ).

Exemplo ( PageIndex {3} ): Usando um utilitário de representação gráfica para representar graficamente uma equação

Use um utilitário gráfico para representar graficamente a equação: (y = - dfrac {2} {3} x− dfrac {4} {3} ).

Solução

Insira a equação na (y = text {função} ) da calculadora. Defina as configurações da janela para que as interceptações (x ) - e (y ) - sejam exibidas na janela. Veja a Figura ( PageIndex {11} ).

Encontrando (x ) -intercepta e (y ) -intercepta

O intercepta de um gráfico são os pontos nos quais o gráfico cruza os eixos. A interceptação (x ) - é o ponto em que o gráfico cruza o (x ) - eixo. Neste ponto, a coordenada (y ) - é zero. A interceptação (y ) - é o ponto em que o gráfico cruza o eixo (y ). Neste ponto, a coordenada (x ) - é zero.

Para determinar a interceptação (x ), definimos (y ) igual a zero e resolvemos para (x ). Da mesma forma, para determinar a interceptação (y ), definimos (x ) igual a zero e resolvemos para (y ). Por exemplo, vamos encontrar as interceptações da equação (y = 3x − 1 ).

Para encontrar a interceptação (x ), defina (y = 0 ).

[ begin {align *} y & = 3x - 1 0 & = 3x - 1 1 & = 3x dfrac {1} {3} & = x end {align *} ]

(x ) - interceptar: ( left ( dfrac {1} {3}, 0 right) )

Para encontrar a interceptação (y ), defina (x = 0 ).

[ begin {align *} y & = 3x - 1 y & = 3 (0) - 1 y & = -1 end {align *} ]

(y )−intercept: ((0,−1))

Podemos confirmar que nossos resultados fazem sentido observando um gráfico da equação como na Figura ( PageIndex {12} ). Observe que o gráfico cruza os eixos onde previmos que cruzaria.

Howto: DÊ UMA EQUAÇÃO, ENCONTRE OS INTERCEITOS

  1. Encontre a interceptação (x ) - definindo (y = 0 ) e resolvendo para (x ).
  2. Encontre a interceptação (y ) - definindo (x = 0 ) e resolvendo para (y ).

Exemplo ( PageIndex {4} ): Encontrando as interceptações da equação fornecida

Encontre as interceptações da equação (y = −3x − 4 ). Em seguida, esboce o gráfico usando apenas as interceptações.

Solução

Defina (y = 0 ) para encontrar a interceptação (x ).

[ begin {align *} y & = -3x - 4 0 & = -3x - 4 4 & = -3x dfrac {4} {3} & = x end {align *} ]

(x ) - interceptar: ( left (- dfrac {4} {3}, 0 right) )

Defina (x = 0 ) para encontrar a interceptação (y ).

[ begin {align *} y & = -3x - 4 y & = -3 (0) - 4 y & = -4 end {align *} ]

(y )−intercept: ((0,−4))

Trace os dois pontos e desenhe uma linha passando por eles como na Figura ( PageIndex {13} ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre as interceptações da equação e esboce o gráfico: (y = - dfrac {3} {4} x + 3 ).

Responder

(x ) - a interceptação é ((4,0) ); (y ) - a interceptação é ((0,3) )

Usando a fórmula de distância

Derivado do Teorema de Pitágoras, a fórmula de distância é usado para encontrar a distância entre dois pontos no plano. O Teorema de Pitágoras, (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ), é baseado em um triângulo retângulo onde (a ) e (b ) são os comprimentos das pernas adjacentes ao ângulo reto, e (c ) é o comprimento da hipotenusa. Veja a Figura ( PageIndex {15} ).

A relação dos lados (| x_2 − x_1 | ) e (| y_2 − y_1 | ) para o lado (d ) é a mesma que a dos lados (a ) e (b ) para o lado (c ). Usamos o símbolo de valor absoluto para indicar que o comprimento é um número positivo porque o valor absoluto de qualquer número é positivo. (Por exemplo, (| -3 | = 3 ).) Os símbolos (| x_2 − x_1 | ) e (| y_2 − y_1 | ) indicam que os comprimentos dos lados do triângulo são positivos. Para encontrar o comprimento (c ), tire a raiz quadrada de ambos os lados do Teorema de Pitágoras.

[c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 rightarrow c = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ]

Segue-se que a fórmula da distância é dada como

[d ^ 2 = {(x_2 − x_1)} ^ 2 + {(y_2 − y_1)} ^ 2 rightarrow d = sqrt {{(x_2 − x_1)} ^ 2 + {(y_2 − y_1)} ^ 2} ]

Não precisamos usar os símbolos de valor absoluto nesta definição porque qualquer número ao quadrado é positivo.

distância entre dois pontos

Dados endpoints ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) ), a distância entre dois pontos é dada por

[d = sqrt {{(x_2 − x_1)} ^ 2 + {(y_2 − y_1)} ^ 2} ]

Exemplo ( PageIndex {5} ): Encontrando a distância entre dois pontos

Encontre a distância entre os pontos ((- 3, −1) ) e ((2,3) ).

Solução

Vejamos primeiro o gráfico dos dois pontos. Conecte os pontos para formar um triângulo retângulo como na Figura ( PageIndex {16} )

Em seguida, calcule o comprimento de (d ) usando a fórmula da distância.

[ begin {align *} d & = sqrt {{(x_2 - x_1)} ^ 2 + {(y_2 - y_1)} ^ 2} & = sqrt {{(2 - (- 3))} ^ 2 + {(3 - (- 1))} ^ 2} & = sqrt {{(5)} ^ 2 + {(4)} ^ 2} & = sqrt {25 + 16} & = sqrt {41} end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre a distância entre dois pontos: ((1,4) ) e ((11,9) ).

Responder

( sqrt {125} = 5 sqrt {5} )

Exemplo ( PageIndex {6} ): Encontrando a distância entre dois locais

Voltemos à situação apresentada no início desta seção.

Tracie partiu de Elmhurst, IL, para ir para Franklin Park. Encontre a distância total que Tracie viajou. Compare isso com a distância entre as posições inicial e final.

Solução

A primeira coisa que devemos fazer é identificar pares ordenados para descrever cada posição. Se definirmos a posição inicial na origem, podemos identificar cada um dos outros pontos contando as unidades leste (direita) e norte (para cima) na grade. Por exemplo, a primeira parada é (1 ) bloco leste e (1 ) bloco norte, então é em ((1,1) ). A próxima parada é (5 ) quarteirões ao leste, portanto, é em ((5,1) ). Depois disso, ela viajou (3 ) blocos para o leste e (2 ) blocos para o norte para ((8,3) ). Por último, ela viajou (4 ) quarteirões ao norte para ((8,7) ). Podemos rotular esses pontos na grade como na Figura ( PageIndex {17} ).

Em seguida, podemos calcular a distância. Observe que cada unidade de grade representa (1.000 ) pés.

  • De sua localização inicial até sua primeira parada em ((1,1) ), Tracie pode ter dirigido para o norte (1.000 ) pés e depois para o leste (1.000 ) pés ou vice-versa. De qualquer maneira, ela dirigiu (2.000 ) pés até sua primeira parada.
  • Sua segunda parada é em ((5,1) ). Portanto, de ((1,1) ) a ((5,1) ), Tracie dirigiu para o leste (4.000 ) pés.
  • Sua terceira parada é em ((8,3) ). Existem várias rotas de ((5,1) ) para ((8,3) ). Qualquer que seja a rota que Tracie decidiu usar, a distância é a mesma, já que não há ruas angulares entre os dois pontos. Digamos que ela dirigiu para o leste (3.000 ) pés e depois para o norte (2.000 ) pés para um total de (5.000 ) pés.
  • A parada final de Tracie é em ((8,7) ). Este é um trajeto direto para o norte de ((8,3) ) para um total de (4.000 ) pés.

A seguir, adicionaremos as distâncias listadas na Tabela ( PageIndex {4} ).

Tabela ( PageIndex {4} )
De paraNúmero de pés acionados
((0,0) ) a ((1,1) )(2,000)
((1,1) ) a ((5,1) )(4,000)
((5,1) ) para ((8,3) )(5,000)
((8,3) ) a ((8,7) )(4,000)
Total(15,000)

A distância total que Tracie percorreu foi de (15.000 ) pés ou (2,84 ) milhas. Esta não é, entretanto, a distância real entre suas posições inicial e final. Para encontrar essa distância, podemos usar a fórmula da distância entre os pontos ((0,0) ) e ((8,7) ).

[ begin {align *} d & = sqrt {{(0-8)} ^ 2 + {(7-0)} ^ 2} & = sqrt {64 + 49} & = sqrt {113} & = 10,63 text {unidades} end {alinhar *} ]

A (1.000 ) pés por unidade de grade, a distância entre Elmhurst, IL, até Franklin Park é de (10.630,14 ) pés, ou (2,01 ) milhas. A fórmula da distância resulta em um cálculo mais curto porque é baseada na hipotenusa de um triângulo retângulo, uma diagonal reta da origem ao ponto ((8,7) ). Talvez você já tenha ouvido o ditado “em linha reta”, que significa a distância mais curta entre dois pontos porque um corvo pode voar em linha reta mesmo que uma pessoa no solo tenha que percorrer uma distância maior nas estradas existentes.

Usando a fórmula do ponto médio

Quando os pontos finais de um segmento de linha são conhecidos, podemos encontrar o ponto intermediário entre eles. Este ponto é conhecido como ponto médio e a fórmula é conhecida como fórmula de ponto médio. Dados os pontos finais de um segmento de linha, ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) ), a fórmula do ponto médio indica como encontrar as coordenadas do ponto médio M.

[M = left ( dfrac {x_1 + x_2} {2}, dfrac {y_1 + y_2} {2} right) ]

Uma visão gráfica de um ponto médio é mostrada na Figura ( PageIndex {18} ).Observe que os segmentos de linha em cada lado do ponto médio são congruentes.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Encontrando o ponto médio do segmento de linha

Encontre o ponto médio do segmento de linha com os pontos finais ((7, −2) ) e ((9,5) ).

Solução

Use a fórmula para encontrar o ponto médio do segmento de linha.

[ begin {align *} left ( dfrac {x_1 + x_2} {2}, dfrac {y_1 + y_2} {2} right) & = left ( dfrac {7 + 9} {2} , dfrac {-2 + 5} {2} right) & = left (8, dfrac {3} {2} right) end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Encontre o ponto médio do segmento de linha com os pontos finais ((- 2, −1) ) e ((- 8,6) ).

Responder

( left (-5, dfrac {5} {2} right) )

Exemplo ( PageIndex {8} ): Encontrando o centro de um círculo

O diâmetro de um círculo tem pontos finais ((- 1, −4) ) e ((5, −4) ). Encontre o centro do círculo.

Solução

O centro de um círculo é o centro, ou ponto médio, de seu diâmetro. Assim, a fórmula do ponto médio produzirá o ponto central.

[ begin {align *} left ( dfrac {x_1 + x_2} {2}, dfrac {y_1 + y_2} {2} right) & = left ( dfrac {-1 + 5} {2 }, dfrac {-4-4} {2}) right) & = left ( dfrac {4} {2}, - dfrac {8} {2} right) & = ( 2,4) end {align *} ]

meios de comunicação

Acesse esses recursos online para obter instruções e práticas adicionais com o sistema de coordenadas cartesianas.

1. Plotagem de pontos no plano de coordenadas

2. Encontre as interceptações xey com base no gráfico de uma linha

Conceitos chave

  • Podemos localizar, ou plotar, pontos no sistema de coordenadas cartesianas usando pares ordenados, que são definidos como deslocamento de (x )-eixo e deslocamento de (y )-eixo. Consultar exemplo.
  • Uma equação pode ser representada graficamente no plano criando uma tabela de valores e pontos de plotagem. Consultar exemplo.
  • Usar uma calculadora gráfica ou um programa de computador torna a representação gráfica das equações mais rápida e precisa. As equações geralmente devem ser inseridas no formato (y = ) _____. Consultar exemplo.
  • Encontrando o (x ) - e (y )-as interceptações podem definir o gráfico de uma linha. Esses são os pontos onde o gráfico cruza os eixos. Consultar exemplo.
  • A fórmula da distância é derivada do Teorema de Pitágoras e é usada para encontrar o comprimento de um segmento de linha. Veja Exemplo e Exemplo.
  • A fórmula do ponto médio fornece um método para encontrar as coordenadas do ponto médio dividindo a soma das coordenadas (x ) e a soma das coordenadas (y ) dos pontos finais por (2 ). Veja Exemplo e Exemplo.

1.2: Os Sistemas de Coordenadas Retangulares e Gráficos - Matemática

Álgebra Inicial
Tutorial 20: O sistema de coordenadas retangulares

  1. Plote pontos em um sistema de coordenadas retangular.
  2. Identifique em qual quadrante ou eixo um ponto se encontra.
  3. Diga se um par ordenado é a solução de uma equação em duas variáveis ​​ou não.
  4. Complete um par pedido que tenha um valor ausente.

Sistema de Coordenadas Retangulares

  1. A linha de número horizontal é o x - eixo.
  2. A linha numérica vertical é o y - eixo.

É dividido em quatro quadrantes que são marcados neste gráfico com algarismos romanos.

Cada ponto no gráfico está associado a um par ordenado. Ao lidar com um x, y gráfico, o x coordenada é sempre primeiro e o y coordenada é sempre o segundo no par ordenado ( x, y ). É uma solução para uma equação em duas variáveis. Mesmo que haja dois valores no par ordenado, tome cuidado para que ele se associe a APENAS UM ponto no gráfico, o ponto se alinha com os x valor do par ordenado ( x -eixo) e o y valor do par ordenado ( y -eixo).

B (-1, 2) está no quadrante II.

C (-3, -4) encontra-se no quadrante III.

D (2, 0) encontra-se no x -eixo.

E (0, 5) encontra-se no y -eixo.

Uma vez que o ponto A corresponde a 2 no x -eixo e -3 no y -eixo, então Um par ordenado & # 8217s é (2, -3).

Uma vez que o ponto B corresponde a 3 no x -eixo e 2 no y -eixo, então O par ordenado de B & # 8217s é (3, 2).

Uma vez que o ponto C corresponde a -2 no x -eixo e 3 no y -eixo, então O par ordenado de C & # 8217s é (-2, 3).

Uma vez que o ponto D corresponde a -3 no x -eixo e - 4 no y -eixo, então O par ordenado de D & # 8217s é (-3, - 4).

Uma vez que o ponto E corresponde a -3 no x -eixo e 0 no y -eixo, então O par pedido de E & # 8217s é (-3, 0).

Uma vez que o ponto F corresponde a 0 no x -eixo e 2 no y -eixo, então O par ordenado de F & # 8217s é (0, 2).

Soluções de Equações
em duas variáveis

Em outras palavras, se sua equação tem duas variáveis x e y , e você insere um valor para x e seu valor correspondente para y e a afirmação matemática torna-se verdadeira, então o x e y valor que você inseriu juntos seria uma solução para a equação.

Equações em duas variáveis ​​podem ter mais de uma solução.

Normalmente escrevemos as soluções para as equações em duas variáveis ​​em pares ordenados.

Exemplo 3 : Determine se cada par ordenado é uma solução da equação fornecida.
y = 5 x - 7 (2, 3), (1, 5), (-1, -12)

Qual número é o x valor e qual é o y valor? Se você disse x = 2 e y = 3, você está correto!

Vamos inserir (2, 3) na equação e ver o que obtemos:

Esta é uma afirmação VERDADEIRA, então (2, 3) é uma solução para a equação y = 5 x - 7.

Agora, vamos dar uma olhada em (1, 5).

Qual número é o x valor e qual é o y valor? Se você disse x = 1 e y = 5, você está certo!

Vamos inserir (1, 5) na equação e ver o que obtemos:

Opa, parece que temos nós mesmos uma instrução FALSE. Isso significa que (1, 5) NÃO é uma solução para a equação 5 x - 7.

Qual número é o x valor e qual é o y valor? Se você disse x = -1 e y = -12, você está certo!

Vamos inserir (-1, -12) na equação e ver o que obtemos:

Observe que você recebeu apenas três pares ordenados para verificar; no entanto, há um número infinito de soluções para essa equação. Seria muito complicado encontrar todos eles.

Qual número é o x valor e qual é o y valor? Se você disse x = 3 e y = 5, você está correto!

Vamos inserir (3, 5) na equação e ver o que obtemos:

Esta é uma afirmação VERDADEIRA, então (3, 5) é uma solução para a equação x = 3.

Agora, vamos dar uma olhada em (2, 3).

Qual número é o x valor e qual é o y valor? Se você disse x = 2 e y = 3, você está certo!

Vamos inserir (2, 3) na equação e ver o que obtemos:

Opa, parece que temos nós mesmos uma instrução FALSE. Isso significa que (2, 3) NÃO é uma solução para a equação x = 3.

Qual número é o x valor e qual é o y valor? Se você disse x = 3 e y = 4, você está certo!

Vamos inserir (3, 4) na equação e ver o que obtemos:

Observe que você recebeu apenas três pares ordenados para verificar; no entanto, há um número infinito de soluções para essa equação. Seria muito complicado encontrar todos eles.


Encontrando o Valor Correspondente em um Par Ordenado
Dado o valor de uma variável e # 8217s

Às vezes, você recebe o valor de uma das variáveis ​​e precisa encontrar o valor correspondente da outra variável. As etapas envolvidas em fazer isso são:

Etapa 1: Insira o valor dado para a variável na equação.

Etapa 2: Resolva a equação para a variável restante.

Se você disse x , você está certo.

Conectando 1 para x na equação dada e resolvendo para y Nós temos:

No par ordenado (, -1), é o -1 que é dado o x ou o y valor?

Se você disse y , você está certo.

Conectando -1 para y na equação dada e resolvendo para x Nós temos:

Exemplo 6 : Complete a tabela de valores para a equação.

Conectando 0 para y na equação dada e resolvendo para x Nós temos:

Conectando -1 para y na equação dada e resolvendo para x Nós temos:

Conectando 1 para y na equação dada e resolvendo para x Nós temos:

Preenchendo a tabela, obtemos:

Para tirar o máximo proveito disso, você deve resolver o problema sozinho e, em seguida, verificar sua resposta clicando no link para a resposta / discussão para esse problema. No link, você encontrará a resposta, bem como todas as etapas necessárias para encontrá-la.

Problema prático 1a: Trace cada ponto e nomeie o quadrante ou eixo no qual o ponto se encontra.

Problema prático 2a: Encontre o x- e y- coordenadas dos seguintes pontos marcados.


Relações e sistema de coordenadas retangulares

Muitas coisas na vida diária estão relacionadas. Por exemplo, a nota do aluno em um curso geralmente está relacionada à quantidade de tempo gasto no estudo, enquanto o número de milhas por galão de gasolina usado em uma viagem de carro depende da velocidade do carro. Dirigir a 55 mph pode dar 31 milhas por galão, enquanto dirigir a 65 mph pode reduzir a milhagem de gás para 28 milhas por galão.

Pares de números relacionados, como 55 e 31 ou 65 e 28 na ilustração de milhagem de gás, podem ser escritos como pares ordenados. Um par ordenado de números consiste em dois números, escritos entre parênteses, nos quais a sequência dos números é importante. Por exemplo, (4, 2) e (2, 4) são pares ordenados diferentes porque a ordem dos números é diferente. Uma notação como (3, 4) já foi usada neste livro para mostrar um intervalo na reta numérica. Agora, a mesma notação é usada para indicar um par ordenado de números. Em praticamente todos os casos, o uso pretendido ficará claro no contexto da discussão.

RELAÇÕES Um conjunto de pares ordenados é denominado relação. O domínio de uma relação é o conjunto dos primeiros elementos nos pares ordenados, e o intervalo da relação é o conjunto de todos os segundos elementos possíveis. No exemplo de direção acima, o domínio é o conjunto de todas as velocidades possíveis e o intervalo é o conjunto de milhas por galão resultantes. Neste texto, confinamos domínios e intervalos a valores de números reais.

Os pares ordenados são usados ​​para expressar as soluções das equações em duas variáveis.

Por exemplo, dizemos que (1, 2) é uma solução de 2x -y = 0, uma vez que substituir 1 por x e 2 por y na equação resulta

uma declaração verdadeira. Quando um par ordenado representa a solução de uma equação com as variáveis ​​xey, o valor y é escrito primeiro.

Embora qualquer conjunto de pares ordenados seja uma relação, em matemática estamos mais interessados ​​nas relações que são conjuntos de solução de equações. Podemos dizer que uma equação define uma relação, ou que é a equação da relação. Para simplificar, muitas vezes nos referimos a equações como

y = 3x + 5 ou x ^ 2 + y ^ 2 = 16
como relações, embora tecnicamente o conjunto de solução da equação seja a relação.

Exemplo 1 ENCONTRANDO PARES, DOMÍNIOS E RANGES PEDIDOS

Para cada relação definida abaixo, dê três pares ordenados que pertencem à relação e indique o domínio e o intervalo da relação.
(uma)

Três pares ordenados da relação são quaisquer três dos cinco pares ordenados do conjunto. O domínio é o conjunto dos primeiros elementos,
<2, 7, 10, -4, 0>,
e o intervalo é o conjunto de segundos elementos,
<5, -1, 3, 0>,

Para encontrar um par ordenado da relação, escolha qualquer número para x ou y e substitua na equação para obter o valor correspondente da outra variável. Para ex-
amplo, seja x = -2. Então

dando o par ordenado (-2, -9). Se y = 3, então

1 = x,
e o par ordenado é (1, 3). Verifique se (0, -1) também pertence à relação. Como x e y podem assumir qualquer valor de número real, tanto o domínio quanto o intervalo são (-inf, inf),

Verifique se os pares ordenados (1,2), (0, 1) e (2,5) pertencem à relação. Como x é igual à raiz quadrada principal de y - 1, o domínio é restrito a (0, inf). Além disso, apenas os números não negativos têm uma raiz quadrada real, então o intervalo é determinado pela desigualdade

O SISTEMA DE COORDENADAS RETANGULARES Visto que o estudo das relações frequentemente envolve a observação de seus gráficos, esta seção inclui uma breve revisão do plano de coordenadas. Conforme mencionado no Capítulo 1, cada número real corresponde a um ponto em uma reta numérica. Esta correspondência é configurada estabelecendo um sistema de coordenadas para a linha. Esta ideia é estendida às duas dimensões de um plano, desenhando duas linhas perpendiculares, uma horizontal e outra vertical. Essas linhas se cruzam em um ponto chamado de origem. A linha horizontal é chamada de eixo x, e a linha vertical é chamada de eixo y.

Começando na origem, o eixo x pode ser transformado em uma reta numérica colocando números positivos à direita e números negativos à esquerda. O eixo y pode ser transformado em uma reta numérica com números positivos subindo e números negativos descendo.

Os eixos xey juntos formam um sistema de coordenadas retangular, ou sistema de coordenadas cartesianas (nomeado em homenagem a um de seus co-inventores, Ren & eacute Descartes, o outro co-inventor foi Pierre de Fermat). O plano no qual o sistema de coordenadas é introduzido é o plano de coordenadas, ou plano xy. Os eixos x ey dividem o plano em quatro regiões, ou quadrantes, identificados como mostrado na Figura 3.1. Os pontos nos eixos xey não pertencem a nenhum quadrante.

Cada ponto P no plano xy corresponde a um único par ordenado (a, b) de números reais. Os números aeb são as coordenadas do ponto P. Para localizar no plano xy o ponto correspondente ao par ordenado (3, 4), por exemplo, desenhe uma linha vertical através de 3 no eixo xe uma linha horizontal através de 4 no eixo y. Essas duas linhas se cruzam no ponto A da Figura 3.2. O ponto A corresponde ao par ordenado (3, 4). Também na Figura 3.2, B corresponde ao par ordenado (-5, 6), C a (-2, -4), D a (4, -3) e E a (-3, 0). O ponto P correspondente ao par ordenado (a, b) geralmente é escrito como P (a, b) como na Figura 3.1 e referido como & ldquothe ponto (a, b). & Rdquo

Como veremos mais adiante neste capítulo, o gráfico de uma relação é o conjunto de pontos no plano que corresponde aos pares ordenados da relação.

Duas fórmulas, as fórmulas da distância e do ponto médio, serão úteis em nosso estudo das relações neste capítulo.

A FÓRMULA DE DISTÂNCIA Usando o teorema de Pitágoras, podemos desenvolver uma fórmula para encontrar a distância entre quaisquer dois pontos em um plano. Por exemplo, a Figura 3.3 mostra os pontos P (-4, 3) e R (8, -2).

Para encontrar a distância entre esses dois pontos, complete um triângulo retângulo como mostrado na figura. Este triângulo retângulo tem seu ângulo de 90 graus em (8, 3). O lado horizontal do triângulo tem comprimento

onde o valor absoluto é usado para garantir que a distância não seja negativa. O lado vertical do triângulo tem comprimento
|3 - (-2)| = 5
Pelo teorema de Pitágoras, o comprimento do lado restante do triângulo é
root (12 ^ 2 + 5 ^ 2) = root (144 + 25) = root (169) = 13
A distância entre (-4,3) e (8, -2) é 13.

Para obter uma fórmula geral para a distância entre dois pontos em um plano de coordenadas, sejam P (x_1, y_1) e R (x_2, y_2) quaisquer dois pontos distintos em um plano, como mostrado na Figura 3.4. Complete um triângulo localizando o ponto Q com as coordenadas (x_2, y_1). Usando o teorema de Pitágoras dá a distância entre P e R, escrito d (P, R), como

NOTA O uso de barras de valor absoluto não é necessário nesta fórmula, uma vez que para todos os números reais aeb, | a-b | ^ 2 = (a-b) ^ 2.
A fórmula da distância pode ser resumida como segue.

FÓRMULA DE DISTÂNCIA Suponha que P (x_1, y_1) e R (x_2, y_2) são dois pontos em um plano de coordenadas. Então, a distância entre P e R, escrita d (P, R), é dada pela fórmula da distância d (P, R) = root ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2

Embora a prova da fórmula da distância presuma que P e R não estão em uma linha horizontal ou vertical, o resultado é verdadeiro para quaisquer dois pontos.

Exemplo 2 USANDO A FÓRMULA DE DISTÂNCIA

Encontre a distância entre P (-8,4) e Q (3, -2).
De acordo com a fórmula da distância,

NOTA Conforme mostrado no Exemplo 2, é comum deixar a distância entre dois pontos na forma radical em vez de aproximar com uma calculadora (a menos, é claro, que seja especificado de outra forma).

Uma declaração da forma & ldquoIf p, então q & rdquo é chamada de declaração condicional. A declaração relacionada & ldquoIf q, então p & rdquo é chamada de seu inverso. No Capítulo 2, estudamos o teorema de Pitágoras. O inverso do teorema de Pitágoras também é uma afirmação verdadeira: se os lados a, b e c de um triângulo satisfazem, então o triângulo é um triângulo retângulo com pernas tendo comprimentos aeb e hipotenusa tendo comprimento c. Isso pode ser usado para determinar se três pontos são os vértices de um triângulo retângulo, conforme mostrado no próximo exemplo.

Exemplo 3 DETERMINANDO SE OS TRÊS PONTOS SÃO OS VERTICES DE UM TRIÂNGULO DIREITO

Os três pontos M (-2,5), N (12,3) e M (10, -11) são os vértices de um triângulo retângulo?
Um triângulo com os três pontos dados como vértices é mostrado na Figura 3.5. Este triângulo é um triângulo retângulo se o quadrado do comprimento do lado mais longo for igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados. Use a fórmula da distância para encontrar o comprimento de cada lado do triângulo.

d (M, N) = raiz ([12 - (- 2) ^ 2] + (3-5) ^ 2) = raiz (196 + 4) = raiz (200) d (M, Q) = raiz ([ 10 - (- 2) ^ 2] + (- 11-5) ^ 2) = raiz (144 + 256) = raiz (400) = 20 d (N, Q) = raiz ((10-12) ^ 2 + (-11-3) ^ 2) = raiz (4 + 196) = raiz (200)

uma vez que 20 ^ 2 = root (200) + root ((200) ^ 2), ou 400 = 400, é uma afirmação verdadeira.

Isso prova que o triângulo é um triângulo retângulo com a hipotenusa conectando M e Q.
Usando um procedimento semelhante ao do Exemplo 3, pode-se determinar se os três pontos estão em uma linha reta. Os pontos que ficam em uma linha são chamados de colineares. Três pontos são colineares se a soma das distâncias entre dois pares de pontos for igual à distância entre o par de pontos restante.

Exemplo 4 DETERMINANDO SE TRÊS PONTOS SÃO COLLINEARES

Os pontos (-1, 5), (2, -4) e (4, -10) são colineares?

A distância entre (-1, 5) e (2, -4) é

A distância entre (2, -4) e (4, -10) é

Finalmente, a distância entre o par de pontos restantes, (-1, 5) e (4, -10) é

Como 3root (10) + 2root (10) = 5root (10), os três pontos são colineares.

A FÓRMULA DO PONTO MÉDIO A fórmula do ponto médio é usada para encontrar as coordenadas do ponto médio de um segmento de linha. (Lembre-se de que o ponto médio de um segmento de linha é equidistante dos pontos finais do segmento.) Para desenvolver a fórmula do ponto médio, sejam (x_1, y_1) e (x_2, y_2) quaisquer dois pontos distintos em um plano. (Embora a Figura 3.6 mostre (x_1 & lty_2), nenhuma ordem particular é necessária.) Suponha que os dois pontos não estejam em uma linha horizontal ou vertical. Seja (x, y) o ponto médio do segmento que conecta (x_1, y_1) e (x_2, y_2). Desenhe linhas verticais de cada um dos três pontos até o eixo x, conforme mostrado na Figura 3.6.
Uma vez que (x, y) é o ponto médio do segmento de linha que conecta (x_1, y_1)
e (x_2, y_2), a distância entre x e x_1, é igual à distância entre x e x_2 para que

Por este resultado, a coordenada x do ponto médio é a média das coordenadas dos pontos finais do segmento. De maneira semelhante, a coordenada y do ponto médio é (y_1 + y_2) / 2, provando a seguinte afirmação.

FÓRMULA DE PONTO MÉDIO O ponto médio do segmento de linha com pontos finais (x_1, y_1)) e (x_2, y_2) é

Em outras palavras, a fórmula do ponto médio diz que as coordenadas do ponto médio de um segmento são encontradas calculando a média das coordenadas x e a média das coordenadas y dos pontos finais do segmento. No Exercício 43, você deve verificar se as coordenadas acima satisfazem a definição de ponto médio.

Exemplo 5: USANDO A FÓRMULA DE PONTO MÉDIO

Encontre o ponto médio M do segmento com os pontos finais (8, -4) e (-9, 6).
Use a fórmula do ponto médio para descobrir que as coordenadas de M são

Exemplo 6 USANDO A FÓRMULA DO PONTO MÉDIO

Um segmento de linha tem um ponto final em (2, -8) e ponto médio em (-1, -3) Encontre o outro ponto final do segmento.

A fórmula para a coordenada x do ponto médio é (x_1 + x_2) / 2. Aqui, a coordenada x do ponto médio é -1. Deixando x_1 = 2 dá


Problema de exemplo:

Solução: Substituindo x = −1, 0, 1 na equação da reta, obtemos y = −4, −1, 2 correspondentemente.

x -1 0 1
y -4 -1 2

A escala para ambos os eixos é escolhida com base nos valores das coordenadas obtidas na etapa anterior.

Em um gráfico, plote os pontos das coordenadas cartesianas (−1, −4), (0, −1) e (1, 2).

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Junte os pontos por um segmento de linha e estenda-o em ambas as direções. Assim, obtemos o gráfico necessário


Horizontal linhas são quando “ (y = ) um número” por exemplo, “ (y = 5 )” (sem “ (x )” na equação) é uma linha horizontal onde (y ) é igual 5 . O inclinação é zero ( 0 ), uma vez que (0x ) significa que não há (x ). Você pode se lembrar disso porque um “ (y )” parece um “ (h )” invertido e “ (h )” é o início da palavra “horizontal”. A linha “ (y = 0 )” fica no eixo (x ).

Vertical linhas são quando “ (x = ) um número” por exemplo, “ (x = 2 )” (sem “ (y )” na equação) é uma linha vertical onde (x ) é igual 2 . A inclinação é Indefinido, como se a linha estivesse caindo do céu. Você pode se lembrar disso, pois pode desenhar um “ (v )” em um “ (x )”, e “ (v )” é o início da palavra “vertical”. A linha “ (x = 0 )” fica no eixo (y ).

Então aqui está o que “ 0 ”E inclinações indefinidas se parecem com:


Coordenadas no plano e equação gráfica em duas variáveis

Seja PI um plano e sejam X e Y retas perpendiculares entre si em PI que se cruzam no ponto O. Usando as linhas X e Y, vamos associar um par de números a cada ponto do plano. Se P é um ponto e (a, b) é o par associado a P, então a e b são as coordenadas de P. O número a é a abcissa ou primeira coordenada de P. enquanto b é a ordenada ou segunda coordenada de P. Denotamos um ponto e suas coordenadas por
P: (a, b).
As coordenadas de P são determinadas da seguinte maneira. Escolha uma direção de O ao longo de X como a direção positiva em X e, da mesma forma, escolha uma direção positiva para Y. É comum escolher as direções positivas conforme indicado pelas setas na Figura 1. Escolhendo alguma unidade de medida em cada uma das duas linhas, marcamos distâncias positivas na direção positiva em X e Y e distâncias negativas na outra direção em cada linha, de modo que cada ponto em um eixo esteja a uma distância direcionada da origem O. Veja a Figura 2. Sejam k e h as linhas na

& emsp & emsp

& emsp & emsp

& emsp & emsp P que são paralelos a X e Y, respectivamente. Então h intercepta X em um ponto na distância direcionada do ponto O, enquanto k intercepta Y em um ponto na distância direcionada b do ponto O. Então, o par de coordenadas de P é (a, b). Na Figura 2, o par de coordenadas de P é (3, 3,5).
As linhas X e Y junto com as direções positivas e a unidade de medida são chamadas de sistema de coordenadas cartesianas para o plano. Um plano no qual um sistema de coordenadas é introduzido é chamado de plano de coordenadas. As linhas X e Y são os eixos horizontal e vertical, respectivamente, do sistema, e seu ponto de intersecção O é a origem do sistema.
Observamos que os eixos dividem o plano em quatro partes chamadas quadrantes do plano. Numerando no sentido anti-horário a partir do quadrante superior direito, eles são o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto quadrantes do plano. Todos os pontos no primeiro quadrante têm ambas as coordenadas positivas, aqueles no segundo têm a primeira coordenada negativa e a segunda coordenada positiva, e assim por diante.
Um problema simples que surge é localizar ou traçar um ponto cujas coordenadas são fornecidas. A segunda é estimar as coordenadas de um determinado ponto.

Exemplo 1.& emsp & emspPlot (-2,4,5) e (3, -7).

& emsp & emsp

Exemplo 2. Estime as coordenadas de P e Q fornecidas abaixo.

& emsp & emsp

& emsp & emspUsando a fórmula pitagórica da geometria plana, podemos chegar a uma fórmula para a distância entre dois pontos em termos da coordenada desses pontos. Seja P: (X1, Y1) e Q: (X2, Y2) seja dado. Denote a distância entre P e Q por d (P, Q). Veja a Figura 3. Pelo teorema de Pitágoras

& emsp & emsp

Exemplo 3. Trace os pontos P: (-4,3) e Q: (2, -1) e encontre a distância entre eles.

& emsp & emsp

7.2 & emsp & emspGrafando equações em duas variáveis
& emsp & emsp & emsp & emsp

& emsp & emsp & emsp Considere a equação em duas variáveis

Uma solução desta equação é um par de números (a, b) tal que, ao fazer a substituição x = a, y = b em (1), resulta uma afirmação numérica verdadeira. Assim, (4,0) e (6, 1) são soluções, enquanto (1, 2) não é uma solução. O conjunto de solução de (1) é o conjunto de todos os pares de solução.
& emsp & emspNós simbolizamos a situação geral da seguinte maneira. Deixar (x, y) representam qualquer expressão nas variáveis ​​x e y. Então uma solução de

é um par de números (a, b) tal que a substituição x = a, y = b em (2) resulta em uma afirmação numérica verdadeira. O conjunto de soluções é o conjunto de todos os pares de soluções.
Como o conjunto solução de (2) é um conjunto de pares de números reais, podemos plotar esses pares como pontos em um plano de coordenadas. A figura resultante no plano é chamada de gráfico de (2). Para a maioria das equações, podemos representar graficamente apenas um número finito de pontos com exatidão e, em seguida, fazer uma suposição (mais ou menos) fundamentada nos outros pontos.

Exemplo 1. & emsp & emspGráfico x-2y = 4.

& emsp & emspPrimeiro construímos uma tabela listando alguns dos pares de soluções

x & emsp & emsp y & emsp & emspComputações
-2 -3 & emsp & emsp -2-2y = 4 então -2y = 6, y = -3
-1 -(5/2) -1-2y = 4 então -2y = 5, y = - (5/2)
0 -2
1 -(3/2)
2 -1
3 -(1/2)
4 0
5 1/2
6 1

Em seguida, plote esses pontos em um plano de coordenadas. Esses pontos parecem estar em uma linha reta e podemos supor que sim. Na verdade, logo veremos que são colineares.

Vamos ver como nosso solucionador gera o gráfico desta equação e equações semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

Exemplo 2. & emsp & emspGráfico x ^ 2 + y ^ 2 = 4.

& emsp & emspConstrua uma tabela de pares de soluções.

x y Computações
-2 0 (-2) ^ 2 + y ^ 2 = 4, y ^ 2 = 0 então y = 0
-1 + - & radic3 (-1) ^ 2 + y ^ 2 = 4, y ^ 2 = 3 então y = + - & radic3
0 +-2
1 + - & radic3
2 0

Plote esses pontos em um plano de coordenadas. Esses pontos parecem estar no círculo com centro (0,0) e raio 2. Acabaremos por mostrar que esse é realmente o caso.

Vamos ver como nosso solucionador gera o gráfico desta equação e equações semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

Exemplo 3. & emsp & emspGráfico y = x ^ 2 + 1.

& emsp & emspConstrua uma tabela de pares de soluções.

x y
-3 10
-2 5
-1 2
0 1
1 2
2 5
3 10

& emsp & emspPlote esses pontos em um plano de coordenadas e conecte-os com uma curva suave.

& emsp & emsp

Vamos ver como nosso solucionador gera o gráfico desta equação e equações semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.


Sistema de Coordenadas Retangulares - Conceito

Carl ensinou matemática de nível superior em várias escolas e atualmente dirige sua própria empresa de reforço escolar. Ele aposta que ninguém supera seu amor por atividades intensivas ao ar livre!

Em álgebra, costumamos usar o sistema de coordenadas retangulares para representar graficamente linhas, parábolas e outras fórmulas. Termos importantes para se familiarizar incluem o eixo y, o eixo x, coordenadas y, coordenadas xe pontos. O sistema de coordenadas retangulares também pode ser chamado de sistema de coordenadas ou eixo xy.

O sistema de coordenadas retangulares é uma maneira geral de representar graficamente muitas informações. Você o ouve chamar de sistema de coordenadas retangulares, você vai ouvi-lo chamado de sistema de coordenadas, às vezes você chama de eixo xy. Existem diferentes maneiras de formular todas as quais sempre estarão se referindo a essa grade padrão de classificação que você provavelmente viu antes, então as poucas coisas que precisamos falar sobre isso são um eixo xe um eixo y.
O eixo x é o que está na horizontal e o eixo y é o que sobe e desce. Ok, como nos referimos a pontos específicos é, uma coordenada xe uma coordenada y estão bem? Então, se eu disser o ponto 3, -2, isso significa que descemos o eixo x 3, então o positivo está na direção certa, então passamos por três 1, 2, 3 e depois descemos 2, 1, 2 para que o o ponto -3, 2 está aproximadamente aqui, meu desenho está incompleto com a escala, então posso estar um pouco errado, mas vai estar certo em torno deste ponto.

Ok, alguma outra terminologia que queremos fazer é descrever é ver aqui que quatro áreas diferentes para este gráfico, refiro-me a eles são quadrantes, certo? E então, por razões desconhecidas para mim, este é o quadrante 1 e então vamos no sentido anti-horário, então este é o 2 quadrante 3 e aquele ponto que plotamos está no quadrante 4, certo? Portanto, é uma maneira realmente fácil de distinguirmos quando estamos nos referindo a um ponto, onde vários pontos estão acontecendo, poderíamos dizer & quotoh! O ponto no quadrante 2, sabemos que estamos falando sobre algo aqui. & Quot
Essa é uma espécie de breve visão geral do sistema de coordenadas retangulares, à medida que avançamos, exploraremos muito mais gráficos e veremos muito mais disso.


Recursos abertos para álgebra de faculdades comunitárias

Quando modelamos uma relação entre duas variáveis ​​visualmente, usamos o Sistema de coordenada cartesiana. Esta seção cobre o vocabulário básico e as idéias que acompanham o sistema de coordenadas cartesiano.

Figura 3.1.1. Aula de vídeo alternativa

René Descartes.

Várias idéias e convenções usadas em matemática são atribuídas a (ou pelo menos em homenagem a) René Descartes 1 en.wikipedia.org/wiki/René_Descartes. O sistema de coordenadas cartesianas é um deles.

O sistema de coordenadas cartesianas identifica a localização de cada ponto em um plano. Basicamente, o sistema dá a cada ponto em um plano seu próprio “endereço” em relação a um ponto de partida. Usaremos uma grade de ruas como analogia. Aqui está um mapa com a casa de Carl no centro. O mapa também mostra algumas empresas próximas. Suponha que cada unidade na grade represente um quarteirão da cidade.

Se Carl tiver um hóspede de fora da cidade que lhe pergunta como chegar ao restaurante, Carl poderia dizer:

“Primeiro vá (2 ) blocos para o leste (à direita no mapa), depois vá (3 ) blocos para o norte (para cima no mapa).”

Dois números são usados ​​para localizar o restaurante. No sistema de coordenadas cartesianas, esses números são chamados e escritos como ((2,3) text <.> ) A primeira coordenada, (2 text <,> ) representa a distância percorrida da casa de Carl para o leste (ou para a direita horizontalmente no gráfico). A segunda coordenada, (3 text <,> ) representa a distância ao norte (para cima verticalmente no gráfico).

Para viajar da casa de Carl para a loja de animais, ele iria (3 ) quarteirões a oeste e, em seguida, (2 ) quarteirões ao norte.

No sistema de coordenadas cartesianas, o positivo as direções são para o certo horizontalmente e pra cima verticalmente. O negativo as direções são para o deixou horizontalmente e baixa verticalmente. Portanto, as coordenadas cartesianas do pet shop são ((- 3,2) text <.> )

Observação 3.1.5.

É importante saber que a ordem das coordenadas cartesianas é (horizontal, vertical). Essa ideia de comunicar informações horizontais antes da a informação vertical é consistente na maior parte da matemática.

Ponto de verificação 3.1.6.
Aviso 3.1.7. Problema de notação: Coordenadas ou intervalo?

Infelizmente, a notação para um par ordenado se parece exatamente com a notação de intervalo para um intervalo aberto. Contexto irá ajudá-lo a entender se ((1,3) ) indica o ponto (1 ) unidade à direita da origem e (3 ) unidades acima, ou se ((1,3) ) indica o intervalo de todos os números reais entre (1 ) e (3 text <.> )

Tradicionalmente, a variável (x ) representa números no eixo horizontal, por isso é chamada de. A variável (y ) representa números no eixo vertical, por isso é chamada de. Os eixos se encontram no ponto ((0,0) text <,> ) que é chamado de. Cada ponto no plano é representado por um, ((x, y) text <.> )

Em um sistema de coordenadas cartesianas, o mapa da vizinhança de Carl seria assim:

Definição 3.1.9. Sistema de coordenada cartesiana.

O sistema de coordenadas cartesianas 2 en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system é um sistema de coordenadas que especifica cada ponto exclusivamente em um plano por um par de coordenadas numéricas, que são as distâncias com sinal (positivo / negativo) até o ponto de duas perpendiculares fixas linhas direcionadas, medidas na mesma unidade de comprimento. Essas duas linhas de referência são chamadas de e, e o ponto onde elas se encontram é. Os eixos horizontal e vertical são freqüentemente chamados de e.

O plano baseado no eixo (x ) e no eixo (y ) é denominado a. O par ordenado usado para localizar um ponto é chamado de ponto, que consiste em um e a. Por exemplo, o ponto ((1,2) text <,> ) tem (x ) - coordenada (1 text <,> ) e (y ) - coordenada (2 text <.> ) A origem tem coordenadas ((0,0) text <.> )

Um sistema de coordenadas cartesianas é dividido em quatro, conforme mostrado na Figura 3.1.10. Os quadrantes são tradicionalmente rotulados com algarismos romanos.

Exemplo 3.1.11.

No papel, esboce um sistema de coordenadas cartesianas com unidades e, a seguir, plote os seguintes pontos: ((3,2), (- 5, -1), (0, -3), (4,0) text <. > )


1.2: Os Sistemas de Coordenadas Retangulares e Gráficos - Matemática

Em Coordenadas cartesianas (ou coordenadas retangulares), o `` endereço '' de um ponto P é dado por dois números reais indicando as posições das projeções perpendiculares do ponto a duas linhas fixas, perpendiculares, graduadas, chamadas de eixos. Se uma coordenada é denotada x e o outro y, os eixos são chamados de x-eixo e a y-eixo, e nós escrevemos P=(x,y) Normalmente o x-eixo é desenhado horizontalmente, com x aumentando para a direita, e o y-eixo é desenhado na vertical, com y aumentando subindo. O ponto x=0, y= 0 é o origem, onde os eixos se cruzam. Veja a Figura 1.

  
Figura 1: Em coordenadas cartesianas, P=(4,3), Q=(-1.3,2.5), R=(-1.5,-1.5), S= (3,5, -1) e T= (4,5,0). Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes: P está no primeiro quadrante, Q no segundo, R no terceiro, e S no quarto. T está no positivo x-eixo.

Silvio Levy
Quarta, 4 de outubro 16:41:25 PDT 1995

Este documento foi extraído da 30ª edição do Tabelas e fórmulas matemáticas padrão CRC (CRC Press). A duplicação não autorizada é proibida.


11.1 Use o sistema de coordenadas retangulares

Por exemplo, o Centro de Alunos está na seção 2B. Ele está localizado na seção da grade acima do número 2 2 e ao lado da letra B. Em qual seção da grade está o Estádio? O estádio está na seção 4D.

Exemplo 11.1

Solução

Assim como os mapas usam um sistema de grade para identificar localizações, um sistema de grade é usado em álgebra para mostrar uma relação entre duas variáveis ​​em um sistema de coordenadas retangular. Para criar um sistema de coordenadas retangular, comece com uma linha numérica horizontal. Mostre os números positivos e negativos como você fez antes, usando uma unidade de escala conveniente. Esta linha numérica horizontal é chamada de x-eixo.

Agora, faça uma reta numérica vertical passando pelo eixo x eixo x em 0. 0 Coloque os números positivos acima de 0 0 e os números negativos abaixo de 0. 0 Veja a Figura 11.3. Esta linha vertical é chamada de y-eixo.

No sistema de coordenadas retangulares, cada ponto é representado por um par ordenado. O primeiro número do par ordenado é o x-coordenada do ponto, e o segundo número é o y-coordenada do ponto.

Par Ordenado

Então, como as coordenadas de um ponto ajudam a localizar um ponto no plano x - y x - y?

Exemplo 11.2

Solução

Observe que a ordem das coordenadas importa, portanto, (1, 3) (1, 3) não é o mesmo ponto que (3, 1). (3, 1).

Trace cada ponto no mesmo sistema de coordenadas retangulares: (5, 2), (2, 5). (5, 2), (2, 5).

Trace cada ponto no mesmo sistema de coordenadas retangulares: (4, 2), (2, 4). (4, 2), (2, 4).

Exemplo 11.3

Trace cada ponto no sistema de coordenadas retangulares e identifique o quadrante no qual o ponto está localizado:

Solução

Trace cada ponto em um sistema de coordenadas retangular e identifique o quadrante no qual o ponto está localizado.

Trace cada ponto em um sistema de coordenadas retangular e identifique o quadrante no qual o ponto está localizado.

Como os sinais afetam a localização dos pontos?

Exemplo 11.4

Solução

Você deve ter notado alguns padrões ao representar graficamente os pontos nos dois exemplos anteriores.

Para cada ponto no quadrante IV, o que você nota sobre os sinais das coordenadas?

E quanto aos sinais das coordenadas dos pontos do terceiro quadrante? O segundo quadrante? O primeiro quadrante?

Você pode dizer apenas olhando para as coordenadas em qual quadrante o ponto (−2, 5) está localizado? Em que quadrante (2, −5) está localizado?

Podemos resumir os padrões de sinais dos quadrantes da seguinte maneira. Veja também a Figura 11.7.

Pontos nos eixos

Qual é o par ordenado do ponto onde os eixos se cruzam? Nesse ponto, ambas as coordenadas são zero, então seu par ordenado é (0, 0) (0, 0). O ponto tem um nome especial. É chamado de origem.

A origem

Exemplo 11.5

Trace cada ponto em uma grade de coordenadas:

Solução

Trace cada ponto em uma grade de coordenadas:

Trace cada ponto em uma grade de coordenadas:

Identificar pontos em um gráfico

Em álgebra, ser capaz de identificar as coordenadas de um ponto mostrado em um gráfico é tão importante quanto ser capaz de plotar pontos. Para identificar o x-coordenada de um ponto em um gráfico, leia o número no x-eixo diretamente acima ou abaixo do ponto. Para identificar o y-coordenada de um ponto, leia o número no y-eixo diretamente à esquerda ou direita do ponto. Lembre-se de escrever o par ordenado usando a ordem correta (x, y). (x, y).

Exemplo 11.6

Nomeie o par ordenado de cada ponto mostrado:

Solução

Nomeie o par ordenado de cada ponto mostrado:

Nomeie o par ordenado de cada ponto mostrado:

Exemplo 11.7

Nomeie o par ordenado de cada ponto mostrado:

Solução

Nomeie o par ordenado de cada ponto mostrado:

Nomeie o par ordenado de cada ponto mostrado:

Verifique as soluções para uma equação em duas variáveis

Todas as equações que resolvemos até agora são equações com uma variável. Em quase todos os casos, quando resolvemos a equação, obtivemos exatamente uma solução. O processo de resolução de uma equação terminou com uma declaração como x = 4. x = 4. Em seguida, verificamos a solução substituindo de volta na equação.

Aqui está um exemplo de uma equação linear em uma variável e sua única solução.

Mas as equações podem ter mais de uma variável. Equações com duas variáveis ​​podem ser escritas na forma geral A x + B y = C. A x + B y = C. Uma equação dessa forma é chamada de equação linear em duas variáveis.

Equação linear

Observe que a palavra “linha” é linear.

Aqui está um exemplo de uma equação linear em duas variáveis, x x e y: y:

Solução para uma equação linear em duas variáveis

Exemplo 11.8

Determine quais pares ordenados são soluções da equação x + 4 y = 8: x + 4 y = 8:

Solução

Determine quais pares ordenados são soluções para a equação dada: 2 x + 3 y = 6 2 x + 3 y = 6

Determine quais pares ordenados são soluções para a equação dada: 4 x - y = 8 4 x - y = 8

Exemplo 11.9

Determine quais pares ordenados são soluções da equação. y = 5 x - 1: y = 5 x - 1:

Solução

Determine quais pares ordenados são soluções da equação dada: y = 4 x - 3 y = 4 x - 3

Determine quais pares ordenados são soluções da equação dada: y = −2 x + 6 y = −2 x + 6

Complete uma tabela de soluções para uma equação linear

Começaremos observando as soluções da equação y = 5 x - 1 y = 5 x - 1 que encontramos no Exemplo 11.9. Podemos resumir essas informações em uma tabela de soluções.

Para encontrar uma terceira solução, vamos deixar x = 2 x = 2 e resolver para y. y.

O par ordenado é uma solução para y = 5 x - 1 y = 5 x - 1. Vamos adicioná-lo à tabela.

Exemplo 11.10

Complete a tabela para encontrar três soluções para a equação y = 4 x - 2: y = 4 x - 2:

Solução

Os resultados estão resumidos na tabela.

Complete a tabela para encontrar três soluções para a equação: y = 3 x - 1. y = 3 x - 1.

Complete a tabela para encontrar três soluções para a equação: y = 6 x + 1 y = 6 x + 1

Exemplo 11.11

Complete a tabela para encontrar três soluções para a equação 5 x - 4 y = 20: 5 x - 4 y = 20:

Solução

Os resultados estão resumidos na tabela.

Complete a tabela para encontrar três soluções para a equação: 2 x - 5 y = 20. 2 x - 5 y = 20.

Complete a tabela para encontrar três soluções para a equação: 3 x - 4 y = 12. 3 x - 4 y = 12.

Encontre soluções para equações lineares em duas variáveis

Exemplo 11.12

Encontre uma solução para a equação 3 x + 2 y = 6. 3 x + 2 y = 6.

Solução

Passo 1: Escolha qualquer valor para uma das variáveis ​​na equação. Podemos substituir qualquer valor que quisermos por x x ou qualquer valor por y. y.
Vamos escolher x = 0. x = 0.
Qual é o valor de y y se x = 0 x = 0?
Passo 2: Substitua esse valor na equação.
Resolva para a outra variável.

Substitua 0 0 por x. x.
Simplificar.

Divida os dois lados por 2.
Etapa 3: Escreva a solução como um par ordenado. Portanto, quando x = 0, y = 3. x = 0, y = 3. Esta solução é representada pelo par ordenado (0, 3). (0, 3).
Passo 4: Verificar.
O resultado é uma equação verdadeira?
Sim!

Encontre uma solução para a equação: 4 x + 3 y = 12. 4 x + 3 y = 12.

Encontre uma solução para a equação: 2 x + 4 y = 8. 2 x + 4 y = 8.

Dissemos que as equações lineares em duas variáveis ​​têm infinitas soluções e acabamos de encontrar uma delas. Vamos encontrar outras soluções para a equação 3 x + 2 y = 6. 3 x + 2 y = 6.

Exemplo 11.13

Encontre mais três soluções para a equação 3 x + 2 y = 6. 3 x + 2 y = 6.

Solução

Encontre três soluções para a equação: 2 x + 3 y = 6. 2 x + 3 y = 6.

Encontre três soluções para a equação: 4 x + 2 y = 8. 4 x + 2 y = 8.

Vamos encontrar algumas soluções para outra equação agora.

Exemplo 11.14

Encontre três soluções para a equação x - 4 y = 8. x - 4 y = 8.

Solução

Lembre-se de que há um número infinito de soluções para cada equação linear. Qualquer ponto que você encontrar é uma solução se tornar a equação verdadeira.

Encontre três soluções para a equação: 4 x + y = 8. 4 x + y = 8.

Encontre três soluções para a equação: x + 5 y = 10. x + 5 y = 10.

Meios de comunicação

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Seção 11.1 Exercícios

A prática leva à perfeição

Plotar pontos em um sistema de coordenadas retangulares

Nos exercícios a seguir, plote cada ponto em uma grade de coordenadas.

Nos exercícios a seguir, plote cada ponto em uma grade de coordenadas e identifique o quadrante no qual o ponto está localizado.

Nos exercícios a seguir, plote cada ponto em uma grade de coordenadas.

Identificar pontos em um gráfico

Nos exercícios a seguir, nomeie o par ordenado de cada ponto mostrado.

Verifique as soluções para uma equação em duas variáveis

Nos exercícios a seguir, determine quais pares ordenados são soluções para a equação fornecida.

Encontre soluções para equações lineares em duas variáveis

Nos exercícios a seguir, complete a tabela para encontrar soluções para cada equação linear.

Matemática cotidiana

Peso de um bebê Mackenzie registrou o peso de seu bebê a cada dois meses. A idade do bebê, em meses, e o peso, em libras, são listados na tabela e mostrados como um par ordenado na terceira coluna.

Ⓐ Plote os pontos em uma grade de coordenadas.

Ⓑ Por que apenas o Quadrante I é necessário?

Peso de uma criança Latresha registrou a altura e o peso de seu filho todos os anos. Sua altura, em polegadas, e peso, em libras, estão listados na tabela e mostrados como um par ordenado na terceira coluna.

Ⓐ Plote os pontos em uma grade de coordenadas.

Ⓑ Por que apenas o Quadrante I é necessário?

Exercícios de escrita

Você já usou um mapa com um sistema de coordenadas retangular? Descreva o mapa e como você o usou.

Como você determina se um par ordenado é uma solução para uma dada equação?

Auto-verificação

Ⓐ Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

Ⓑ Se a maioria de seus cheques fosse:

… Com confiança. Parabéns! Você atingiu os objetivos desta seção. Reflita sobre as habilidades de estudo que você usou para que possa continuar a usá-las. O que você fez para ter certeza de sua capacidade de fazer essas coisas? Seja específico.

… Com alguma ajuda. Isso deve ser abordado rapidamente porque os tópicos que você não domina tornam-se buracos no seu caminho para o sucesso. Em matemática, cada tópico se baseia em trabalhos anteriores. É importante ter certeza de que você tem uma base sólida antes de prosseguir. A quem você pode pedir ajuda? Seus colegas de classe e instrutor são bons recursos. Há algum lugar no campus onde professores de matemática estejam disponíveis? Suas habilidades de estudo podem ser melhoradas?

... não, eu não entendo! Este é um sinal de alerta e você não deve ignorá-lo. Você deve obter ajuda imediatamente ou ficará sobrecarregado rapidamente. Consulte seu instrutor assim que puder para discutir sua situação. Juntos, vocês podem traçar um plano para obter a ajuda de que você precisa.

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    • Autores: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / site: OpenStax
    • Título do livro: Prealgebra 2e
    • Data de publicação: 11 de março de 2020
    • Local: Houston, Texas
    • URL do livro: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
    • URL da seção: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/11-1-use-the-rectangular-coordinate-system

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