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6.4: Contando Moléculas pelo Gram - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Defina a massa molecular e a massa da fórmula.
  • Execute conversões entre massa e moles de um composto.
  • Execute conversões entre massa e número de partículas.

Massa molecular e fórmula

A massa molecular de uma substância é a soma das massas médias dos átomos em uma molécula de uma substância. É calculado somando as massas atômicas dos elementos na substância, cada uma multiplicada por seu subscrito (escrito ou implícito) na fórmula molecular. Como as unidades de massa atômica são unidades de massa atômica, as unidades de massa molecular também são unidades de massa atômica. O procedimento para calcular as massas moleculares é ilustrado no Exemplo ( PageIndex {1} ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Etanol

Calcule a massa molecular do etanol, cuja fórmula estrutural condensada é ( ce {CH_3CH_2OH} ). Entre seus diversos usos, o etanol é combustível para motores de combustão interna

Solução

Etapas para a solução de problemasCalcule a massa molecular do etanol, cuja fórmula estrutural condensada é ( ce {CH_3CH_2OH} )
Identifique as informações "fornecidas" e o que o problema está pedindo que você "encontre".Dado: Molécula de etanol (CH3CH2OH)
Encontre: massa molecular

Determine o número de átomos de cada elemento da molécula.

A fórmula molecular do etanol pode ser escrita de três maneiras diferentes:

  • CH3CH2OH (que ilustra a presença de um grupo etil
  • CH3CH2−e um grupo −OH)
  • C2H5OH e C2H6O;

Todos mostram que o etanol tem dois átomos de carbono, seis átomos de hidrogênio e um átomo de oxigênio.

Obtenha as massas atômicas de cada elemento da tabela periódica e multiplique a massa atômica de cada elemento pelo número de átomos desse elemento.

1 átomo C = 12,011 amu

Átomo de 1 H = 1,0079 amu

1 átomo de O = 15,9994 amu

Some as massas para obter a massa molecular.

2C: (2 átomos) (12,011 amu / átomo) = 24,022 amu

6H: (6 átomos) (1,0079amu / átomo) = 6,0474amu

+ 1O: (1 átomo) (15.9994amu / átomo) = 15.9994amu

C2H6O: massa molecular de etanol = 46,069amu

Exercício ( PageIndex {1} ): Freon

Calcule a massa molecular do triclorofluorometano, também conhecido como Freon-11, que tem uma fórmula estrutural condensada de ( ce {CCl3F} ). Até recentemente, era usado como refrigerante. A estrutura de uma molécula de Freon-11 é a seguinte:

Figura ( PageIndex {1} ): Estrutura molecular do freon-11, ( ce {CCl_3F} ).

Responder
137,37 amu

Ao contrário das moléculas, que formam ligações covalentes, os compostos iônicos não têm uma unidade molecular facilmente identificável. Portanto, para compostos iônicos, o massa da fórmula (também chamada de fórmula empírica massa) do composto é usada em vez da massa molecular. A massa da fórmula é a soma das massas atômicas de todos os elementos na fórmula empírica, cada uma multiplicada por seu subscrito (escrito ou implícito). É diretamente análogo à massa molecular de um composto covalente. As unidades são unidades de massa atômica.

A massa atômica, a massa molecular e a massa da fórmula têm todas as mesmas unidades: unidades de massa atômica.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Fosfato de cálcio

Calcule a massa da fórmula de ( ce {Ca3 (PO4) 2} ), comumente chamada de fosfato de cálcio. Este composto é a principal fonte de cálcio encontrada no leite bovino.

Solução

Etapas para solução de problemasCalcule a massa da fórmula de ( ce {Ca3 (PO4) 2} ), comumente chamada de fosfato de cálcio.
Identifique as informações "fornecidas" e o que o problema está pedindo que você "encontre".Dado: Fosfato de cálcio [Ca3(PO4)2] unidade de fórmula
Encontre: massa da fórmula

Determine o número de átomos de cada elemento da molécula.

  • A fórmula empírica - Ca3(PO4)2- indica que a unidade eletricamente neutra mais simples de fosfato de cálcio contém três Ca2+ íons e dois PO43− íons.
  • A massa da fórmula desta unidade molecular é calculada somando as massas atômicas de três átomos de cálcio, dois átomos de fósforo e oito átomos de oxigênio.

Obtenha as massas atômicas de cada elemento da tabela periódica e multiplique a massa atômica de cada elemento pelo número de átomos desse elemento.

1 átomo de Ca = 40,078 amu

1 átomo P = 30,973761 amu

1 átomo de O = 15,9994 amu

Some as massas para obter a massa da fórmula.

3Ca: (3 átomos) (40,078 amu / átomo) = 120,234 amu

2P: (2 átomos) (30,973761amu / átomo) = 61,947522amu

+ 8O: (8 átomos) (15,9994amu / átomo) = 127,9952amu


Massa da fórmula de Ca3(PO4)2= 310,177amu

Exercício ( PageIndex {2} ): Nitreto de Silício

Calcule a massa da fórmula de ( ce {Si3N4} ), comumente chamada de nitreto de silício. É um material extremamente duro e inerte, utilizado na fabricação de ferramentas de corte para usinagem de ligas de metal duro.

Figura ( PageIndex {2} ): ( ce {Si_3N_4} ) peças de rolamento. (Domínio público; David W. Richerson e Douglas W. Freitag; Oak Ridge National Laboratory).

Responder
140,29 amu

Massa molar

A massa molar de uma substância é definida como a massa em gramas de 1 mol dessa substância. Um mol de carbono-12 isotopicamente puro tem uma massa de 12 g. Para um elemento, a massa molar é a massa de 1 mol de átomos desse elemento; para um composto molecular covalente, é a massa de 1 mol de moléculas desse composto; para um composto iônico, é a massa de 1 mol de unidades de fórmula. Ou seja, a massa molar de uma substância é a massa (em gramas por mol) de 6,022 × 1023 átomos, moléculas ou unidades de fórmula dessa substância. Em cada caso, o número de gramas em 1 mol é igual ao número de unidades de massa atômica que descrevem a massa atômica, a massa molecular ou a massa da fórmula, respectivamente.

A massa molar de qualquer substância é sua massa atômica, massa molecular ou massa da fórmula em gramas por mol.

A tabela periódica lista a massa atômica do carbono como 12,011 amu; a massa molar média de carbono - a massa de 6,022 × 1023 átomos de carbono - é, portanto, 12,011 g / mol:

Tabela ( PageIndex {1} ): Massa molar de substâncias selecionadas
Substância (fórmula)Unidade BásicaMassa atômica, molecular ou de fórmula (amu)Massa molar (g / mol)
carbono (C)átomo12,011 (massa atômica)12.011
etanol (C2H5OH)molécula46,069 (massa molecular)46.069
fosfato de cálcio [Ca3(PO4)2]unidade de fórmula310,177 (massa da fórmula)310.177

Conversão entre gramas e toupeiras de um composto

A massa molar de qualquer substância é a massa em gramas de um mol de partículas representativas dessa substância. As partículas representativas podem ser átomos, moléculas ou unidades de fórmula de compostos iônicos. Essa relação é freqüentemente usada no laboratório. Suponha que para um determinado experimento você precise de 3,00 moles de cloreto de cálcio ( left ( ce {CaCl_2} right) ). Como o cloreto de cálcio é um sólido, seria conveniente usar uma balança para medir a massa necessária. A análise dimensional permitirá que você calcule a massa de ( ce {CaCl_2} ) que você deve medir como mostrado no Exemplo ( PageIndex {3} ).

Exemplo ( PageIndex {3} ): Cloreto de cálcio

Calcule a massa de 3,00 moles de cloreto de cálcio (CaCl2).

Figura ( PageIndex {3} ): O cloreto de cálcio é usado como um agente de secagem e como um descongelador de estradas.

Solução

Etapas para a solução de problemasCalcule a massa de 3,00 moles de cloreto de cálcio (CaCl2).
Identifique as informações "fornecidas" e o que o problema está pedindo que você "encontre".Dado: 3,00 moles de CaCl2
Encontre: g CaCl2
Liste outras quantidades conhecidas.1 mol CaCl2 = 110,98 g CaCl2

Prepare um mapa conceitual e use o fator de conversão adequado.

Cancele unidades e calcule. (3.00 : cancel { text {mol} : ce {CaCl_2}} times dfrac {110.98 : text {g} : ce {CaCl_2}} {1 : cancel { texto {mol} : ce {CaCl_2}}} = 333 : text {g} : ce {CaCl_2} )
Pense no seu resultado.

Exercício ( PageIndex {3} ): Óxido de cálcio

Qual é a massa de (7.50 : text {mol} ) de (óxido de cálcio) ( ce {CaO} )?

Responder
420,60 g

Exemplo ( PageIndex {4} ): Água

Quantos mols estão presentes em 108 gramas de água?

Solução

Etapas para a solução de problemasQuantos mols estão presentes em 108 gramas de água?
Identifique as informações "fornecidas" e o que o problema está pedindo que você "encontre".Dado: 108 g H2O
Encontre: mol H2O
Liste outras quantidades conhecidas. (1 : text {mol} : ce {H_2O} = 18,02 : text {g} ) H2O

Prepare um mapa conceitual e use o fator de conversão adequado.

Cancele unidades e calcule. (108 : cancel { text {g} : ce {H_2O}} times dfrac {1 : text {mol} : ce {H_2O}} {18.02 : cancel { texto {g} : ce {H_2O}}} = 5,99 : texto {mol} : ce {H_2O} )
Pense no seu resultado.

Exercício ( PageIndex {4} ): Gás nitrogênio

Qual é a massa de (7.50 : text {mol} ) do gás nitrogênio ( ce {N2} )?

Responder
210 g

Conversões entre massa e número de partículas

Em "Conversões entre moles e massa", você aprendeu como converter entre moles e o número de partículas representativas. Agora você viu como converter e para trás entre os moles e a massa de uma substância em gramas. Podemos combinar os dois tipos de problemas em um. A massa e o número de partículas estão ambos relacionados aos moles. Para converter de massa em número de partículas ou vice-versa, primeiro será necessária uma conversão em moles, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {1} ) e Exemplo ( PageIndex {5} ).

Figura ( PageIndex {4} ): A conversão do número de partículas em massa, ou de massa em número de partículas, requer duas etapas.

Exemplo ( PageIndex {5} ): cloro

Quantas moléculas tem (20.0 : text {g} ) de cloro gasoso, ( ce {Cl_2} )?

Solução

Etapas para solução de problemasQuantas moléculas tem (20.0 : text {g} ) de cloro gasoso, ( ce {Cl_2} )?
Identifique as informações "fornecidas" e o que o problema está pedindo que você "encontre".Dado: 20,0 g Cl2
Encontre: # Cl2 moléculas
Liste outras quantidades conhecidas.1 mol Cl2 = 70,90 g Cl2, 1mol Cl2 = 6,022 x 1023 Cl2 moléculas

Prepare um mapa conceitual e use o fator de conversão adequado.

Cancele unidades e calcule. (20.0 : cancel { text {g} : ce {Cl_2}} times dfrac {1 : cancel { text {mol} : ce {Cl_2}}} {70,90 : cancel { text {g} : ce {Cl_2}}} times dfrac {6.02 times 10 ^ {23} : text {moléculas} : ce {Cl_2}} {1 : cancelar { text {mol} : ce {Cl_2}}} = 1,70 vezes 10 ^ {23} : text {moléculas} : ce {Cl_2} )
Pense no seu resultado.Uma vez que a massa dada é menos da metade da massa molar do cloro, o número resultante de moléculas é menos da metade do número de Avogadro.

Exercício ( PageIndex {5} ): Cloreto de cálcio

Quantas unidades da fórmula existem em 25,0 g de CaCl2 ?

Responder
1,36 x 1023 CaCl2 unidades de fórmula

Resumo

  • Cálculos para massa da fórmula e massa molecular são descritos.
  • Cálculos envolvendo conversões entre os moles de um material e a massa desse material são descritos.
  • Os cálculos são ilustrados para conversões entre massa e número de partículas.

Contribuições e atribuições


Graham & # 39s Number

Dê uma chance e explore a matemática da imprevisibilidade.

Álgebra I

Fortaleça suas habilidades de álgebra explorando fatores, expoentes e o desconhecido.

Concurso de Matemática I

Aprenda as principais técnicas e treine duro para a matemática do concurso.

Concurso de Matemática II

Formação orientada para resolução de problemas matemáticos ao nível do AMC 10 e 12.

Número de Graham é um número finito tremendamente grande que é um limite superior comprovado para a solução de um certo problema na teoria de Ramsey. Seu nome é uma homenagem ao matemático Ronald Graham, que usou o número como uma explicação simplificada dos limites superiores do problema no qual ele estava trabalhando em conversas com o popular escritor de ciência Martin Gardner. O número foi publicado no Guinness Book of World Records de 1980, o que aumentou o interesse popular pelo número. O número de Graham é muito maior do que qualquer outro número que você possa imaginar. É tão grande que o universo observável é muito pequeno para conter uma representação digital comum do número de Graham, assumindo que cada dígito ocupa um volume de Planck que é igual a cerca de 4,2217 × 1 0 - 105 m 3 4,2217 vezes 10 ^ <- 105 > text ^ <3> 4. 2 2 1 7 × 1 0 - 1 0 5 m 3. Até torres de energia na forma a b c ⋅ ⋅ ⋅ < displaystyle scriptstyle a ^<>>>>>> a b c ⋅ ⋅ ⋅ são insuficientes para esse propósito, embora possam ser descritos por fórmulas recursivas usando a notação de seta para cima de Knuth. Embora muito grande para ser calculado por completo, muitos dos últimos dígitos do número de Graham podem ser derivados por meio de algoritmos simples.

Conteúdo


Um corretor de apostas se esforça para aceitar apostas no resultado de um evento nas proporções corretas, a fim de obter lucro, independentemente do resultado prevalecer. Veja o livro holandês e coerência (estratégia filosófica de jogo). Isto é conseguido principalmente ajustando o que é determinado como sendo as verdadeiras probabilidades dos vários resultados de um evento de uma forma descendente (ou seja, o bookmaker pagará usando as suas probabilidades reais, uma quantia que é menor do que as probabilidades reais pagariam, garantindo assim um lucro). [3]

As probabilidades cotadas para um evento específico podem ser fixas, mas são mais propensas a flutuar, a fim de levar em consideração o tamanho das apostas feitas pelos apostadores na preparação para o evento real (por exemplo, uma corrida de cavalos). Este artigo explica a matemática de fazer um livro no caso (mais simples) do primeiro evento. Para o segundo método, consulte Apostas Parimutuel.

É importante entender a relação entre as probabilidades fracionárias e decimais. As probabilidades fracionais são aquelas escritas a-b (a / b ou aeb) significam que um apostador vencedor receberá seu dinheiro de volta mais a unidades para cada b unidades que apostar. Multiplicando-se aeb pelo mesmo número, obtemos probabilidades equivalentes a a-b. As probabilidades decimais são um único valor, maior do que 1, representando o valor a ser pago por cada unidade de aposta. Por exemplo, uma aposta de £ 40 em 6-4 (probabilidades fracionárias) pagará £ 40 + £ 60 = £ 100. As probabilidades decimais equivalentes são 2,5 £ 40 x 2,5 = £ 100. Podemos converter probabilidades fracionárias em decimais pela fórmula D = b + a ⁄ b. Portanto, as probabilidades fracionárias de a-1 (ou seja, b = 1) podem ser obtidas a partir das probabilidades decimais por a = D-1.

Edição de exemplo

Ao considerar uma partida de futebol (o evento) que pode ser uma 'vitória em casa', 'empate' ou 'vitória fora' (os resultados), as seguintes probabilidades podem ser encontradas para representar o verdadeiro chance de cada um dos três resultados:

Essas probabilidades podem ser representadas como probabilidades implícitas (ou porcentagens multiplicando por 100) da seguinte forma:

Ao somar as percentagens, um 'livro' total de 100% é alcançado (representando um feira livro). O corretor de apostas, em seu desejo de obter lucro, invariavelmente reduzirá essas probabilidades. Considere o modelo mais simples de redução, que usa uma diminuição proporcional das probabilidades. Para o exemplo acima, as seguintes probabilidades estão na mesma proporção em relação às suas probabilidades implícitas (3: 2: 1):

Adicionando esses percentagens juntas um 'livro' de 120% é alcançado.

O valor pelo qual o 'livro' real excede 100% é conhecido como 'overround', [4] [5] 'margem do bookmaker' [3] ou 'vigorish' ou 'vig': [3] representa o bookmaker's lucro esperado. [3] Assim, em uma situação "ideal", se o bookmaker aceitar £ 120 em apostas em suas próprias probabilidades cotadas na proporção correta, ele pagará apenas £ 100 (incluindo apostas devolvidas), não importa qual seja o resultado real do partida de futebol. Examinando como ele potencialmente consegue isso:

Uma aposta de £ 60,00 @ 4-6 retorna £ 100,00 (exatamente) para uma vitória em casa. Uma aposta de £ 40,00 @ 6-4 retorna £ 100,00 (exatamente) para uma partida empatada. Uma aposta de £ 20,00 @ 4-1 retorna £ 100,00 (exatamente) para uma vitória fora

Na realidade, as casas de apostas utilizam modelos de redução mais complicados do que o modelo da situação "ideal".

Margem de apostas em ligas de futebol inglesas Editar

A margem de apostas nas ligas inglesas de futebol diminuiu nos últimos anos. [6] O estudo de seis grandes casas de apostas entre a temporada 2005/06 e 2017/2018 mostrou que a margem média na Premier League diminuiu de 9% para 4%, no Campeonato da Liga de Futebol Inglês, na Liga Um de Futebol da Inglaterra e na Liga Dois de Futebol da Inglaterra de 11% a 6% e na Liga Nacional de 11% a 8%.

Quando um apostador (apostador) combina mais de uma seleção em, por exemplo, um duplo, um triplo ou um acumulador, então o efeito do overround no livro de cada seleção é agravado em detrimento do apostador em termos de retorno financeiro em comparação com o probabilidades verdadeiras de todas as seleções vencedoras e, portanto, resultando em uma aposta bem-sucedida.

Para explicar o conceito nas situações mais básicas, será analisado um exemplo que consiste em um double composto por selecionar o vencedor de cada uma das duas partidas de tênis:

Em geral, o overround combinado em um duplo (OD), expresso como uma porcentagem, é calculado a partir dos livros individuais B1 e B2, expresso em decimais, por OD = B1 × B2 × 100 - 100. No exemplo, temos OD = 1.0909 × 1.0909 × 100 − 100 = 19.01%.

Este enorme aumento no lucro potencial para o bookmaker (19% em vez de 9% em um evento, neste caso o dobro) é a principal razão pela qual os bookmakers pagam bônus para a seleção bem-sucedida dos vencedores em apostas múltiplas: compare oferecendo um bônus de 25% em a escolha correta de quatro vencedores de quatro seleções em um Yankee, por exemplo, quando o potencial overround em um simples quádruplo de corridas com livros individuais de 120% é superior a 107% (um livro de 207%). É por isso que as casas de apostas oferecem apostas como Lucky 15, Lucky 31 e Sorte 63 oferecendo o dobro das chances para um vencedor e aumentando os bônus de porcentagem para dois, três e mais vencedores.

Em geral, para qualquer aposta acumuladora de dois a eu seleções, a porcentagem combinada de livros de B1, B2, . Beu dado em termos de decimais, é calculado por B1 × B2 × . × Beu × 100 - 100. Por exemplo, o quádruplo mencionado anteriormente, consistindo em livros individuais de 120% (1,20), dá um overround de 1,20 × 1,20 × 1,20 × 1,20 × 100 - 100 = 107,36%.

Ao definir as apostas ganhadoras, as probabilidades decimais são usadas ou uma é adicionada às probabilidades fracionárias: isso inclui a aposta no retorno. A parte da posição das apostas em cada sentido é calculada separadamente da parte da vitória o método é idêntico mas as probabilidades são reduzidas por qualquer que seja o fator da posição para o evento em particular (ver Acumulador abaixo para um exemplo detalhado). Todas as apostas são consideradas apostas 'win', a menos que 'each-way' seja especificamente declarado. Todos mostram o uso de probabilidades fracionárias: substitua (probabilidades fracionárias + 1) por probabilidades decimais se as probabilidades decimais forem conhecidas. Os não corredores são tratados como vencedores com chances fracionárias de zero (chances decimais de 1). Frações de pence em total os ganhos são invariavelmente arredondados baixa por bookmakers até o centavo mais próximo abaixo. Os cálculos abaixo para apostas múltiplas resultam em totais sendo mostrados para as categorias separadas (por exemplo, duplas, triplas, etc.) e, portanto, os retornos gerais podem não ser exatamente o mesmo que o valor recebido usando o software de computador disponível para as casas de apostas para calcular o total ganhos. [7] [8]

Edição de solteiros

Por exemplo. £ 100 individual com total apostado 9-2 = £ 100

Retorna = £ 100 × (9/2 + 1) = £ 100 × 5,5 = £ 550

Retorna (vitória) = £ 100 × (11/4 + 1) = £ 100 × 3,75 = £ 375 Retorna (lugar) = £ 100 × (11/20 + 1) = £ 100 × 1,55 = £ 155 Total de retornos se a seleção ganha = £ 530 se apenas colocado = £ 155

Múltiplas apostas Editar

As apostas múltiplas each-way são geralmente resolvidas usando um padrão "Vencer para vencer, lugar para lugar"método, o que significa que a aposta consiste em um acumulador de vitória e um acumulador de lugar separado (Nota: um duplo ou triplo é um acumulador com 2 ou 3 seleções respectivamente). No entanto, uma forma mais incomum de liquidar este tipo de apostas é"Cada Caminho, Cada Caminho" (conhecido como "Igualmente dividido", que normalmente deve ser solicitado como tal no boletim de apostas) em que os retornos de uma seleção no acumulador são divididos para formar uma aposta igual em cada sentido na próxima seleção e assim por diante até que todas as seleções tenham sido usadas. [9] [10] O primeiro exemplo abaixo mostra as duas abordagens diferentes para resolver esses tipos de apostas.

Observação: "Vencer para vencer, lugar para lugar"sempre fornecerá um retorno maior se todas as seleções vencerem, enquanto"Cada Caminho, Cada Caminho"oferece maior compensação se uma seleção for perdedora, já que cada um dos outros vencedores fornece uma quantia maior de dinheiro para as seleções subsequentes.

Por exemplo. £ 100 triplos com vencedores em 3-1, 4-6 e 11-4 no total apostado = £ 100

Retorna = £ 100 × (3/1 + 1) × (4/6 + 1) × (11/4 + 1) = £ 2.500

Nota: 'Tudo pronto para ganhar' significa que não há participantes suficientes no evento para que as probabilidades de lugar sejam dadas (por exemplo, 4 ou menos corredores em uma corrida de cavalos). O único 'lugar', portanto, é o primeiro lugar, para o qual as chances de vitória são dadas.

Retorna (ganhar cinco vezes) = £ 100 × (1/1 + 1) × (11/8 + 1) × (5/4 + 1) × (1/2 + 1) × (3/1 + 1) = £ 6412,50 Retorna (lugar quíntuplo) = £ 100 × (1/4 + 1) × (11/40 + 1) × (5/16 + 1) × (1/2 + 1) × (3/5 + 1) = £ 502,03 Retornos totais = £ 6914,53

Apostas full-cover Editar

Trixie, ianque, canadense, Heinz, Super Heinz e Golias formam uma família de apostas conhecida como full cover bets, que têm todos os múltiplos possíveis presentes. Exemplos de vitória Trixie e ianque as apostas foram mostradas acima. As outras apostas nomeadas são calculadas de maneira semelhante, observando todas as combinações possíveis de seleções em seus múltiplos. Nota: A Dobro pode ser considerada como uma aposta de cobertura total com apenas duas seleções.

Deve uma seleção em uma dessas apostas não ganhar, então os vencedores restantes são tratados como uma aposta totalmente bem-sucedida no próximo 'membro da família' a perder. Por exemplo, apenas dois vencedores de três em um Trixie significa que a aposta é definida como um duplo, apenas quatro vencedores de cinco em um canadense significa que é resolvido como um ianque apenas cinco vencedores de oito em um Golias significa que é resolvido como um canadense. A parte da posição das apostas em cada sentido é calculada separadamente usando as probabilidades reduzidas. Assim, uma via Super Heinz em sete cavalos com três vencedores e mais dois cavalos colocados é considerada uma vitória Trixie e um lugar canadense. Praticamente todas as casas de apostas usam software de computador para facilidade, velocidade e precisão de cálculo para a liquidação de apostas múltiplas.

Apostas full cover com singles Editar

Patente, Lucky 15, Lucky 31, Sorte 63 e mais alto Por sorte As apostas formam uma família de apostas conhecidas como apostas full cover com singles, que têm todos os múltiplos possíveis presentes junto com apostas simples em todas as seleções. Um exemplo de um vencedor Patente aposta foi mostrada acima. As outras apostas nomeadas são calculadas de forma semelhante, observando todas as combinações possíveis de seleções em seus múltiplos e simples.

Deve uma seleção em uma dessas apostas não ganhar, então os vencedores restantes são tratados como uma aposta totalmente bem-sucedida no próximo 'membro da família' a perder. Por exemplo, apenas dois vencedores de três em um Patente significa que a aposta é definida como dupla e duas individuais, apenas três vencedores de quatro em um Lucky 15 significa que é resolvido como um Patente apenas quatro vencedores de seis em um Sorte 63 significa que é resolvido como um Lucky 15. A parte da posição das apostas em cada sentido é calculada separadamente usando as probabilidades reduzidas. Assim, uma via Sorte 63 em seis cavalos com três vencedores e mais dois cavalos colocados é considerada uma vitória Patente e um lugar Lucky 31.

Os retornos de qualquer aposta podem ser considerados calculados como 'unidade de aposta' × 'multiplicador de probabilidades'. O No geral 'multiplicador de probabilidades' é um valor de probabilidades decimais combinado e é o resultado de todas as apostas individuais que constituem uma aposta de cobertura total, incluindo simples, se necessário. Por exemplo. se um Yankee de £ 10 bem-sucedido retornasse £ 461,35, então o 'multiplicador de probabilidades' geral (OM) é 46,135.

Se uma, b, c, d. representar o probabilidades decimais, ou seja, (probabilidades fracionárias + 1), então um OM pode ser calculado algebricamente multiplicando as expressões (uma + 1), (b + 1), (c + 1). etc. juntos da maneira exigida e subtraindo 1. Se necessário, (odds decimais + 1) pode ser substituído por (odds fracionários + 2). [13] [14]

Edição de exemplos

3 seleções com probabilidades decimais uma, b e c. Expandindo (uma + 1)(b + 1)(c + 1) dá algebricamente abc + ab + ac + ac + uma + b + c + 1. Isso é equivalente ao OM para uma patente (triplo: abc duplas: ab, ac e ac Músicas: uma, b e c) mais 1. Portanto, para calcular os retornos de uma patente vencedora é apenas um caso de multiplicação (uma + 1), (b + 1) e (c + 1) juntos e subtraindo 1 para obter o OM para a aposta vencedora, ou seja, OM = (uma + 1)(b + 1)(c + 1) − 1. Agora multiplique pela aposta unitária para obter o retorno total da aposta. [15] [16]

Por exemplo. A patente vencedora descrita anteriormente pode ser avaliada de forma mais rápida e simples pelo seguinte:

Retornos totais = £ 2 × [(4/6 + 2) × (2/1 + 2) × (11/4 + 2) - 1] = £ 99,33

Retorna (parte da vitória) = 0,50 × [(2/1 + 2) × (5/2 + 2) × (7/2 + 2) × (6/4 + 2) - 1] = £ 172,75 ou mais simplesmente como 0,50 × (4 × 4,5 × 5,5 × 3,5 - 1) Retorna (parte do lugar) = 0,50 × [(2/5 + 2) × (5/10 + 2) × (7/10 + 2) × (6/16 + 2) × (9/10 + 2) - 1 ] = £ 11,79 ou mais simplesmente como 0,50 × (2,4 × 2,5 × 2,7 × 2,375 × 2,9 - 1) Retorno total = £ 184,54

Para a família de apostas full cover que não incluem apostas simples, é feito um ajuste no cálculo para deixar apenas as duplas, as triplas e os acumuladores. Assim, um Yankee vencedor de £ 10 descrito anteriormente com vencedores em 1-3, 5-2, 6-4 e Evens tem retornos calculados por:

£10 × [(1/3 + 2) × (5/2 + 2) × (6/4 + 2) × (1/1 + 2) − 1 − [(1/3 + 1) + (5/2 + 1) + (6/4 + 1) + (1/1 + 1)]] = £999.16

Com efeito, a aposta foi calculada como Lucky 15 menos os singles. Observe que o valor total de retorno de £ 999,16 é um centavo maior do que o valor calculado anteriormente, pois este método mais rápido envolve apenas o arredondamento do final resposta, e não arredondamento em cada etapa individual.

Em termos algébricos, o OM para a aposta Yankee é dada por:

OM = (uma + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) − 1 − (uma + b + c + d)

Antes que o software se tornasse disponível para uso por bookmakers e aqueles que acertavam apostas em Licensed Betting Offices (LBOs), este método era virtualmente de rigueur para economizar tempo e evitar os múltiplos cálculos repetitivos necessários na liquidação de apostas do tipo cobertura completa.


  • O peso médio de um único DNA bp é 650 daltons. Isso também pode ser escrito como 650 g / mol (= massa molar).
  • Isso é o mesmo que dizer que um mol de um bp pesa 650 g.
  • O peso molecular ou massa molar de qualquer fragmento de DNA de fita dupla pode, portanto, ser calculado multiplicando seu comprimento (em bp) por 650 e a resposta será expressa como daltons ou g / mol.

Contanto que você saiba o comprimento da sequência (ou seja, o comprimento / tamanho do genoma), este cálculo funcionará para o DNA genômico de qualquer espécie. Para obter o comprimento de sua sequência em bp, conte os nucleotídeos na sequência de DNA - manualmente ou usando a contagem de caracteres em um programa de processamento de texto. Se precisar de ajuda para converter seus cálculos entre unidades diferentes, verifique nosso guia para resolver seus problemas de matemática de laboratório.


6.4: Contando Moléculas pelo Gram - Matemática

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O Artigo pode ser um artigo de pesquisa original, um estudo de pesquisa substancial que frequentemente envolve várias técnicas ou abordagens, ou um artigo de revisão abrangente com atualizações concisas e precisas sobre os últimos avanços no campo que analisa sistematicamente os avanços mais interessantes na área científica literatura. Este tipo de papel fornece uma perspectiva sobre as futuras direções de pesquisa ou possíveis aplicações.

Os artigos do Editor’s Choice são baseados em recomendações de editores científicos de periódicos MDPI de todo o mundo. Os editores selecionam um pequeno número de artigos publicados recentemente na revista que eles acreditam ser particularmente interessantes para os autores ou importantes neste campo. O objetivo é fornecer um instantâneo de alguns dos trabalhos mais interessantes publicados nas várias áreas de pesquisa da revista.


A Matemática das Reações Químicas

Anteriormente, conforme discutimos as reações, discutimos as mudanças em termos de moléculas ou átomos:

Diríamos que 2 átomos de hidrogênio reagem com 1 átomo de oxigênio para formar 2 moléculas de água. E introduzimos reações de equilíbrio em termos de manter o mesmo número de átomos em cada lado da equação de reação. Embora isso não seja completamente incorreto, não é a maneira que um químico estabeleceria a equação. Um químico diria que 2 moles de hidrogênio reagem com 1 mol de oxigênio para formar 2 moles de água. Portanto, a pergunta que você provavelmente está fazendo é "o que é uma toupeira?" e "por que precisamos usá-lo?"

Aqui estão as respostas para essas perguntas:

O MOLE (mol) é uma unidade de medida que é a quantidade de uma substância pura contendo o mesmo número de unidades químicas (átomos, moléculas etc.), pois existem átomos em exatamente 12 gramas de carbono-12 (ou seja, 6,023 X 10 23).

Portanto, a toupeira é o título usado para a quantia 6,023 x 10 23, da mesma forma que a palavra "dúzia" é usada para a quantia 12.

Portanto, se você tivesse uma verruga de donuts, teria 6,023 x 10 23 donuts e uma forte dor de estômago.

Usamos o mol (mol) para representar a quantidade de substâncias na química porque o número de átomos e moléculas em cada substância é muito grande. O valor dado 6,023 x 10 23 é chamado de número de Avagadro para o cientista que encontrou o número de átomos em 12 gramas de carbono 12. Por que usar 12 gramas? Esta é a massa atômica teórica do isótopo Carbon-12 (6 prótons e 6 nêutrons). Isso significa que a massa atômica ou peso atômico (12 gramas) do carbono é igual a exatamente 1 mol de carbono.

Usando o carbono como referência, os pesos atômicos que você vê na tabela periódica também são iguais a um mol dessas substâncias:

O lítio, por exemplo, tem uma massa atômica de 6,941 gramas e isso é igual a um mol de lítio. É por isso que declaramos as massas atômicas e moleculares em unidades de gramas por mol ou g / mol.

O que podemos fazer com as toupeiras? Usamos a unidade para fazer cálculos com base em equações químicas balanceadas. Usamos a estequiometria (forma sofisticada de dizer as razões molares em uma equação) para fazer previsões sobre quanto produto será feito ou reagente necessário se soubermos uma quantidade molar em uma reação.

Nesta reação, a estequiometria (razão molar) é 1 mol de ácido sulfúrico reage com 2 moles de hidróxido de sódio (razão 1: 2). Um mole de ácido sulfúrico produz um mole de sulfato de sódio (proporção de 1: 1) e dois moles de água (proporção de 1: 2). Por outro lado, dois moles de hidróxido de sódio produzem um mol de sulfato de sódio (proporção de 2: 1) e 2 moles de água (proporção de 1: 1).

Podemos usar essas informações para fazer previsões sobre a quantidade de produtos e reagentes na reação.

Se você tem quatro moles de ácido sulfúrico e 2 moles de hidróxido de sódio, quantos moles de água você pode fazer?

Com as quantidades de reagentes fornecidas, a quantidade de água do produto é muito diferente. Mas, como o ácido sulfúrico só pode produzir a quantidade de água permitida pela quantidade de hidróxido de sódio, a quantidade real de produto feito será de apenas dois moles de água. Isso ocorre porque, assim que acabar o hidróxido de sódio, a reação irá parar. O hidróxido de sódio é o que chamamos de REAGENTE LIMITADOR neste cenário de reação.

Também podemos usar a razão entre os dois reagentes para determinar quanto do ácido sulfúrico é usado e quanto sobrará:

De acordo com o cálculo, a reação usará apenas 2 moles de ácido sulfúrico antes de ficar sem hidróxido de sódio. Como tínhamos 4 moles de ácido sulfúrico para começar, sobrarão dois moles de ácido sulfúrico após a conclusão da reação. O ácido sulfúrico é denominado EXCESSO REAGENTE na reação.

Abaixo mostra algumas das maneiras como a toupeira pode ser usada para calcular materiais em uma reação. Observe que completamos os exemplos do primeiro tipo de cálculo. Agora precisamos completar alguns exemplos dos outros dois.

No laboratório, não medimos diretamente a quantidade de substâncias químicas em moles. Ou seja, medimos produtos químicos ou por meio de uma balança, que gera valores em gramas, ou por meio de um cilindro graduado, que gera unidades de mililitros ou litros. Para completar os cálculos mostrados acima, precisamos primeiro converter esses valores em mols.

Existem três etapas para converter gramas de uma substância em moles.

  1. Determine quantos gramas são dados no problema.
  2. Calcule a massa molar da substância.
  3. Divida o passo um pelo passo dois.

As três etapas acima podem ser expressas na seguinte proporção:

Quantos mols existem em 17,0 gramas de H2O2?

17,0 gramas são dados no texto do problema.

Primeiro, precisamos calcular a massa molar (peso molecular) de H2O2 (peróxido de hidrogênio) então sabemos quantos gramas equivalem a um mol da molécula. A massa molar é calculada usando a fórmula e os pesos atômicos em uma tabela periódica.

O hidrogênio tem massa atômica de 1,008 g / mol e o oxigênio tem massa atômica de 15,9993 g / mol. De acordo com a fórmula, existem 2 moles de hidrogênio e 2 moles de oxigênio em cada molécula de peróxido de hidrogênio.

Portanto, o peróxido de hidrogênio tem um peso molecular de 34,0146 gramas por mol.

Podemos usar essa quantidade para converter os gramas fornecidos de peróxido de hidrogênio em moles:

$ 17,0 text text _2 text_2 vezes <1 text text _2 text_2 sobre 34.0146 texto text _2 text_2> = 0,500 text text _2 text_2 $

Essa resposta foi arredondada para três algarismos significativos por causa do 17.0.

Agora que você sabe como converter gramas em moles, é simples o suficiente para reverter o processo e converter moles em gramas:

Existem três etapas para converter moles de uma substância em gramas:

  1. Determine quantos moles são dados no problema.
  2. Calcule a massa molar da substância.
  3. Multiplique o passo um pelo passo dois.

As três etapas acima podem ser expressas na seguinte proporção:

Tente completar o seguinte exemplo por conta própria:

Quantos gramas existem em 0,700 moles de H2O2? A resposta correta é 28,3 g.

We also stated above that we measure compounds in graduated cylinders which have units of liters or milliliters. How do we convert from units of volume to a unit of moles?

Molarity

Solutions of chemicals are described in terms of their concentration and the most common concentration unit used in the laboratory is MOLARITY (M). The molarity of a solution is the number of moles of solute in that solution per liters of the solution.

Now it should be more obvious how we would convert a solution volume measured in the lab in milliliters or liters into moles.

There are two steps to converting the volume of a solution to moles:

  1. Convert the given amount of volume into liters (L).
  2. Multiply the liters of the solution by its given molarity.

How many moles of Sodium Chloride (NaCl) are in a 24.5 mL volume of a 1.3M solution of NaCl?

First convert 24.5 mL into liters. Remember that there are a thousand milliliters in one liter

$ 25.4 ext < mL> imes <1 ext< L>over 1000 ext< mL>> = 0.0254 ext < L>$

Now take the liters of solution and calculate the number of moles NaCl in the solution:

Another way volumes can be converted to moles is by the density of the substance. In cases where the amount of a pure liquid or solid is given in units of volume, the density, which is given in terms of grams per unit volume, is used to convert the volume into grams. Once in grams, you already know how to convert the value further into moles.

  1. Multiply the volume by the density to get the mass.
  2. Divide the mass by the molar mass to get the number of moles.

A lead block was found to have a volume of 2.66 cm 3 . How many moles of lead are in the block?

The density of lead is 9.78 g/cm 3 . Convert the volume to grams first:

$ 2.66 ext< cm>^3 imes 9.78 ext< g>/ ext^3 = 26.0 ext < g lead>$

Now convert to moles using the molar mass of lead, 207.2 g/mol.

$ 26.0 ext < g Pb> imes 1 ext< mol>/207.2 ext < g Pb>= 0.126 ext < mol Pb>$

You now have been shown how to write and balance chemical reactions, how to convert their amounts into moles and use those values to calculate products and/or reactant amounts, and how to convert units of grams and volume into moles. So why was all this information needed?

We need to know this information to both create and use the forensic solutions we will need to complete our investigations in the lab.


Mr. R.’s World of Math

“Should I eat this one? No, how about this one! Não! This one looks the best!” she sang as she tried to decide which cupcake to eat first. As the witch continued to think, I wrote a note on a piece of paper and tossed it to Hannah. It said:

Hannah read the note, nodded, and reached over to the test tubes with the chemicals in them. The snack-witch was now sticking some candles into the cupcakes. I guessed she was going to have a birthday celebration with Jake’s cupcakes right in front of our faces.

I watched Hannah as she tried to remember how to mix the chemicals again. She poured some into the glass beaker, but nothing happened.

She looked frustrated and tried again. Still nothing happened.

The snack-witch blew out the candles. “I guess that means good luck for me,” she said as she lifted a cupcake and began to smell it.

I quickly threw Hannah another note, it said:

Your total mixture weighed 483 grams. You put 297 grams of chemical #1 in, figure out the difference to find out how much of chemical #2 you need to put in.

How much of chemical #2 did Hannah need to put in?

Hannah added the correct amount of chemical #2, and the Blue gas filled the room just as the snack-witch was about to gobble down the cupcake. The gas passed in front of her mouth and sealed it shut. We could see her trying to open her mouth with no luck at all! A look of anger and frustration come over her face, and a moment later the snack-witch disappeared, and the cupcake dropped back down into the tray.

As soon as the snack-witch disappeared, my students and I realized we could speak again, and we were no longer stuck to our chairs.

“Hurry, everyone! Out of the classroom now! We don’t want to breathe that gas!” I yelled.

We all rushed out of the classroom to safety. Of course I remembered to grab the box of birthday cupcakes and bring it outside with us.

When we were all outside, I said, “I guess we’re having cupcakes for snack E lunch today. I passed them out to my students and we all agreed it was the best snack and lunch we’d had that entire year.


THC percentages and mg/g explained, Under a liquor board’s influence

Cannabis legalization in Canada was celebrated with botched attempts to write various new laws. It was a rough ride bearing witness as our justice and health departments struggled to make up rules along the way. No better was the provincial liquor board’s use of language as they defined the market. An example is the quantity of CBD and THC either displayed as a percentage or mg/g depending on the province.

Influenced by THC percentages

Two different methods of describing the same number are likewise to one nation simultaneously implementing both the imperial and metric systems. Like different nations, provincial liquor boards have certain cannabis laws they must create independently. Has anyone visited the BCCS website and noticed their THC percentages, or rather the lack thereof?

An accurate quantity of THC is always given with legal cannabis, even just an average range of 45-90%. Or, should we say 450 to 900 mg/g of THC for anyone in the province of British Columbia. BCLBD decided during legalization 2.0 to do away with the traditional language of volume as a percentage that cannabis and alcohol consumers have both been accustomed to for years. Imagine if a beer was labeled 87ml of alcohol per liter (87ml/L) instead of 8.7%, and only in two province’s liquor markets. PEI Cannabis Corporation displays dried flower in percentage but concentrates in mg/g.

There is confusion currently being felt by cannabis consumers. Language slurs would be a clever way to fight against the potency lead that is held by their black-market competitors. I suppose, if you can’t beat them, confuse them.

We asked an expert

We called CLN’s resident scientist, Dr. Markus Roggen, who hosts his own series on CLN, Ask an Expert. He is a Ph.D. chemist who has been gaining a reputation by lab testing and researching cannabis as the founder and CEO of Complex Biotech Discovery Ventures (CBDV).

“Normally if we do weight by weight we would choose the same unit… So the percentage is grams [of analyte] divided by grams [of flower] times 100. And mg/g is basically milligrams of THC divided grams of material but you dont times by 100 anymore because instead of percentage you’re calculating for weight.”

– Dr. Markus Roggen

Is BC’s liquor board intentionally trying to use noise to debase their customers’ faith in THC percentages?

“People buy cannabis flower based on these percentages, like, oh this 25% THC flower must be really good, it’s really high. And then if you are a medical user and need a sublingual or a tincture the option is in milligrams per gram [or mg/ml.] There you see the reasoning behind it. I need to consume 40 mg of THC, so how many millilitres do I need to take… So, there is less math.”

– Dr. Markus Roggen

So, one reason behind the mg/g formula used by BCCS might be to make it easier to calculate doses, effective in oral formulations.

“If I need 50mg of THC, then I need one gram of flower at 5% THC”

– Dr. Markus Roggen

Dosages and bad measurements

To be frank, though, the idea of measuring the quality of cannabis products intended for smoking or vaping by the weight of THC alone is a well-known flaw. Clinicians and chemists are debasing the concept for their independent reasons. Outside of consumption, THC displayed by weight would have made it easier to possess a legal amount of THC during the early draft days of legalization in Canada.

This is an early proposal of Canada’s cannabis regulations presented by Lift&Co. These are NOT the finalized laws in Canada.

Nonsensical possession limits

It is illegal to possess more than thirty grams of dry flower under Canada’s current law. Other cannabis products have a designated mass that equals one gram of dry flower. For example, a quarter-gram of solid extract is legally identical to one gram of cannabis. Incredibly, one of the earlier drafts was even more complex in comparison, proposing an additional layer of nonsense.

Thirty grams of dry flower but no more than 6000 mg of THC was a suggested possession limit. This would have effectively set the limit to 21.4 grams of dry cannabis flower with 28% THC, for example. Therefore, the mg/g interpretation might have been suggested, in part, to ensure individuals can easily calculate when they are breaching possession limits.

Yet, no laws enforce you to lab test homegrown cannabis. Furthermore, consumers do not need to record the THC quantity of a legal batch before it is transferred to a different container. So, it does not break any laws if the amount of THC someone has in their possession is a mystery.

Counting THC molecules

Quantifying any cannabinoid requires an approved laboratory filled with equipment, such as CBDV, not just a gram scale. Furthermore, chemists do not measure cannabinoids by weight. So, not only is it preposterous to regulate the milligrams of THC a person can possess, it is impractical. The law was never adopted, but perhaps a change in the interpretation of THC percentages was kept by BC’s liquor board for the sake of dosing. We continued our conversation with CLN’s resident scientist, Markus Roggen, a Doctor of Philosophy in Chemistry, to ensure all angles and measurements are covered.

Is one interpretation between percentage and mg/g more accurate analytically for displaying THC quantity?

“I don’t think either option is very good. One might be okay for the end consumer, but I still think there could be a better way of labeling THC.”

– Dr. Markus Roggen

Do you have a preferred system of interpreting THC quantities?

“I don’t think so much in weight, I think in the number of molecules… moles.”

– Dr. Markus Roggen

CBDV offers infrared spectrometry services.

As a chemist, Dr. Roggen does not respect grams the same as common cannabis consumers. Molecules are sensitive. They morph and their mass changes regularly. So, this puts a further dent in possession limits based on the weight of a specific cannabinoid. Unless they regulate the number of THC molecules, but not just any THC molecule. Updates to cannabis label regulations beyond percentages or mg/g have recently been proposed which may change what THC e total THC truly define. Stay tuned for a discussion on different ways of explaining cannabinoid quantities.

Are milligrams per gram better than a percentage? Let us know your preference in the comments below.


Assista o vídeo: Escreva a formula molecular da adrenalina. (Dezembro 2021).