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5: Modelos de Tempo Discreto II - Análise - Matemática


  • 5.1: Encontrando Pontos de Equilíbrio
    Quando você analisa um sistema dinâmico de tempo discreto autônomo de primeira ordem (também conhecido como mapa iterativo), uma das primeiras coisas que você deve fazer é encontrar seus pontos de equilíbrio (também chamados de pontos fixos ou estados estacionários), ou seja, estados onde o sistema pode permanecer inalterado ao longo do tempo.
  • 5.2: 5.2 Visualização do Espaço de Fase de Modelos de Tempo Discreto de Estado Contínuo
    Depois de descobrir onde estão os pontos de equilíbrio do sistema, o próximo passo natural da análise seria desenhar a imagem completa de seu espaço de fase (se o sistema for bidimensional ou tridimensional).
  • 5.3: 5.3 Gráficos de teia de aranha para mapas iterativos unidimensionais
    Uma maneira possível de resolver o espaço de fase superlotado de um sistema de tempo discreto é criar dois espaços de fase, um para o tempo t − 1 e outro para t, e então desenhar trajetórias do estado do sistema em um espaço de metáfase que é obtido colocando esses dois espaços de fase ortogonalmente entre si. Dessa forma, você poderia desenredar as trajetórias emaranhadas para torná-las visualmente compreensíveis.
  • 5.4: 5.4 Visualização de espaço de fase baseada em gráfico de modelo de tempo discreto de estado discreto
    A abordagem de trama de teia de aranha discutida acima funciona apenas para sistemas unidimensionais, porque não podemos incorporar tais plotagens para qualquer sistema de dimensão superior em um espaço físico 3-D. No entanto, esta restrição dimensional desaparece se os estados do sistema forem discretos e finitos. Para tal sistema, você sempre pode enumerar todas as transições de estado possíveis e criar todo o espaço de fase do sistema como um gráfico de transição de estado, que pode ser visualizado razoavelmente bem mesmo dentro de um espaço de visualização 2-D.
  • 5.5: Reescalonamento Variável de Modelos de Tempo Discreto
    O reescalonamento de variável é uma técnica para eliminar parâmetros de seu modelo sem perder a generalidade. A ideia básica é esta: Variáveis ​​que aparecem em seu modelo representam quantidades que são medidas em algum tipo de unidade, mas essas unidades podem ser escolhidas arbitrariamente sem alterar a dinâmica do sistema que está sendo modelado. Isso deve ser verdade para todas as grandezas científicas que têm dimensões físicas - mudar de polegadas para centímetros não deve causar nenhuma mudança no funcionamento da física!
  • 5.6: Comportamento assintótico de sistemas dinâmicos lineares em tempo discreto
    Um dos principais objetivos da modelagem baseada em regras é fazer previsões do futuro. Portanto, é uma pergunta natural perguntar para onde o sistema irá no final das contas no (infinito) longo prazo. Isso é chamado de comportamento assintótico do sistema quando o tempo é levado ao infinito, o que acaba sendo totalmente previsível se o sistema for linear.
  • 5.7: 5.7 Análise de estabilidade linear de sistemas dinâmicos não lineares em tempo discreto
    Todas as discussões acima sobre autovalores e autovetores são para sistemas dinâmicos lineares. Podemos aplicar a mesma metodologia para estudar o comportamento assintótico de sistemas não lineares? Infelizmente, a resposta é um deprimente não. Os comportamentos assintóticos de sistemas não lineares podem ser muito complexos e não existe uma metodologia geral para analisá-los e predizê-los sistematicamente. Iremos revisitar este problema mais tarde.

Análise da transmissão COVID-19 na província de Shanxi com caixas importadas de tempo discreto

Desde dezembro de 2019, um surto de uma nova pneumonia por coronavírus (OMS denominado COVID-19) varreu a China. Na província de Shanxi, os casos confirmados cumulativos finalmente chegaram a 133 desde que o primeiro caso confirmado apareceu em 22 de janeiro de 2020, e a maioria dos quais eram casos importados da província de Hubei. As razões para este aumento contínuo na província de Shanxi, tanto de casos de infecção importados quanto autóctones, atualmente não são claras e exigem investigação urgente. Neste trabalho, desenvolvemos um modelo de equação de diferenças SEIQR do COVID-19 que leva em consideração a transmissão com casos importados de tempo discreto, para realizar avaliação e análise de risco. Nossas descobertas sugerem que, se a data de bloqueio em Wuhan for anterior, os casos infecciosos serão menores. Além disso, revelamos os efeitos da data de bloqueio da cidade na escala final de casos: se a data for avançada dois dias, os casos podem diminuir pela metade (67, IC 95%: 66-68) se a data for atrasada para dois dias, os casos podem chegar a cerca de 196 (IC 95%: 193-199). Nosso modelo de investigação pode ser potencialmente útil para estudar a transmissão de COVID-19, em outras províncias da China, exceto Hubei. Especialmente, o método também pode ser usado em países com o primeiro caso confirmado importado.

Palavras-chave: Casos importados da equação de diferença de estratégia de bloqueio de cidade modelo COVID-19 SEIQR.


Uma abordagem discreta para modelagem de cima para baixo de redes bioquímicas

Reinhard Laubenbacher, Pedro Mendes, em Biologia de Sistemas Computacionais, 2006

VI UMA TEORIA MATEMÁTICA PARA MODELOS DISCRETOS

Modelos discretos não são bem compreendidos em um nível teórico. Em particular, a relação entre a estrutura de um modelo e sua dinâmica permaneceu indefinida. Não há resultados gerais sobre o número de componentes do espaço de estados de modelos discretos booleanos ou multiestados ou sobre a existência de estados estacionários. Especialmente a questão dos estados estacionários é importante para os modelos biológicos. Ter resultados bastante gerais sobre a relação entre estrutura e dinâmica para classes de modelos suficientemente grandes é um problema importante.

Não surpreendentemente, essas perguntas podem ser respondidas algoritmicamente para sistemas lineares. Deixar X ser um campo finito e f: X n → X n um sistema linear. Ou seja, as funções de coordenada de f são polinômios lineares sem termo constante. Então f pode ser representado por uma matriz após a escolha da base. Acontece que a estrutura do espaço de fase de f pode ser completamente determinado a partir da fatoração do polinômio característico de f, em particular o número de componentes e a duração de todos os ciclos limite (Hernandez Toledo 2003).

Muito poucos resultados estão disponíveis para sistemas não lineares. Um primeiro passo modesto em direção a resultados gerais para classes suficientemente grandes de sistemas polinomiais foi dado por Colon-Reyes et al. (2004). Suponha que f é um sistema polinomial booleano cujas funções de coordenadas consistem em monômios, isto é, f é construído usando o E operador. Deixar G seja o gráfico direcionado cujos vértices são as variáveis ​​de f. Há uma borda direcionada de xeu para xj E se xj aparece em feu. Invertendo as setas de G, obtém-se o diagrama de fiação da rede. Pode-se definir um número inteiro positivo, o número do laço do G, que pode ser calculado em tempo polinomial (em relação ao número de vértices em G) O principal resultado de Colon-Reyes et al. (2004) é que f tem apenas estados estáveis ​​se e somente se o número do loop de todos os componentes fortemente conectados de G é igual a 1.


Colocação avançada

O departamento concede 3 créditos para uma pontuação de 4 ou 5 no exame AP Calculus AB, desde que os alunos concluam MATH UN1102 CALCULUS II ou MATH UN1201 Calculus III com uma nota C ou melhor. O departamento concede 3 créditos para uma pontuação de 4 no exame AP Calculus BC, desde que os alunos concluam MATH UN1102 CALCULUS II ou MATH UN1201 Calculus III com uma nota C ou melhor. O departamento concede 6 créditos para uma pontuação de 5 no exame AP Calculus BC desde que os alunos concluam MATH UN1201 Calculus III ou MATH UN1205 Cálculo multivariável acelerado MATH UN1207 Honras Matemática A com uma nota C ou melhor. Os alunos podem receber crédito por apenas uma sequência de cálculo.


Material Auxiliar

Introdução à Modelagem e Análise de Sistemas Complexos apresenta aos alunos modelagem matemática / computacional e análise desenvolvida no emergente campo interdisciplinar da Ciência de Sistemas Complexos. Os sistemas complexos são sistemas feitos de um grande número de componentes microscópicos interagindo uns com os outros de maneiras não triviais. Muitos sistemas do mundo real podem ser entendidos como sistemas complexos, onde informações criticamente importantes residem nas relações entre as partes e não necessariamente dentro das próprias partes.

Este livro oferece uma introdução acessível, mas tecnicamente orientada, para a modelagem e análise de sistemas complexos. Os tópicos abordados incluem: fundamentos de modelagem, noções básicas de sistemas dinâmicos, modelos de tempo discreto, modelos de tempo contínuo, bifurcações, caos, autômatos celulares, modelos de campo contínuo, redes estáticas, redes dinâmicas e modelos baseados em agentes. A maioria desses tópicos é discutida em dois capítulos, um enfocando a modelagem computacional e o outro na análise matemática. Esta abordagem única fornece uma visão abrangente dos conceitos e técnicas relacionados e permite que os leitores e instrutores escolham com flexibilidade os materiais relevantes com base em seus objetivos e necessidades. Os códigos de amostra do Python são fornecidos para cada exemplo de modelagem.


5: Modelos de Tempo Discreto II - Análise - Matemática

Professor: Professor R. J. Williams, AP&M 7161.
Horário da aula: Tu Th, 5-6.30pm.
Não haverá aula na terça-feira, 11 de fevereiro (este horário está sendo compensado por horário estendido nos outros dias).
Local de reunião da classe: AP&M B402A.
Horário de atendimento do professor: AP&M 7161, terça-feira das 4-4h45. (exceto 11 de fevereiro) e quinta-feira 4-4h45 (exceto não em 16 de janeiro).
TA: Toni Gui, AP&M 1220. Horário comercial: quartas-feiras, das 14h00 às 14h00

DESCRIÇÃO: Este curso é uma introdução à matemática dos modelos financeiros em nível de pós-graduação. O objetivo é fornecer aos alunos uma introdução a alguns modelos básicos de finanças e à maquinaria matemática associada.

ESBOÇO: O curso começará com o desenvolvimento das idéias básicas de hedge e precificação por arbitragem na configuração de tempo discreto de modelos de árvore binomial. Os principais conceitos probabilísticos de expectativa condicional, martingale, mudança de medida e representação serão introduzidos primeiro nesta estrutura simples como uma ponte para a configuração do modelo contínuo. Fundamentos matemáticos para o desenvolvimento e análise de modelos de tempo contínuo serão cobertos, incluindo movimento browniano, cálculo estocástico, mudança de medida, teorema de representação de martingale. Em seguida, eles serão combinados para desenvolver a fórmula de precificação de opções Black-Scholes. Preços e cobertura para opções de compra europeias e americanas podem ser discutidos. Conforme o tempo permitir, tópicos adicionais serão discutidos.

TEXTO: Introdução à Matemática de Finanças, R. J. Williams, American Mathematical Society, 2006. Os membros da AMS recebem um desconto se comprarem o livro diretamente da AMS.

PRÉ-REQUISITOS: Um curso de probabilidade ou consentimento do instrutor. Um curso de probabilidade possível é Math 280AB (Probabilidade de Pós-Graduação). No entanto, outros cursos de probabilidade podem ser usados ​​no lugar deste com o consentimento do instrutor. Algum conhecimento de expectativa condicional e martingales é uma vantagem. Para uma leitura de fundo, os alunos podem querer olhar os livros abaixo, de Billingsley ou Chung. O curso Matemática 286 (Equações Diferenciais Estocásticas) é um complemento muito útil para Matemática 294 e os alunos podem achar útil fazer Matemática 286 antes ou depois do Matemática 294.

Por favor, encaminhe quaisquer perguntas para o Professor R. J. Williams, e-mail: williams at math ponto ucsd dot edu Última atualização em 2 de novembro de 2019.


MATEMÁTICA (MATEMÁTICA)

Funções polinomiais, racionais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas (ênfase em computação, gráficos e localização de raízes), linhas retas e seções cônicas. Principalmente um curso de pré-cálculo para o aluno sem um bom conhecimento em funções trigonométricas e gráficos e / ou geometria analítica. Não está aberto a alunos com crédito para MATH 121 ou MATH 125. Pré-requisito: Três anos de matemática do ensino médio.

MATEMÁTICA 121. Cálculo para Ciência e Engenharia I. 4 Unidades.

Funções, geometria analítica de linhas e polinômios, limites, derivadas de funções algébricas e trigonométricas. Integral definido, antiderivadas, teorema fundamental do cálculo, mudança de variáveis. Preparação recomendada: três anos e meio de matemática do ensino médio. Crédito para no máximo um dos MATH 121, MATH 123 e MATH 125 pode ser aplicado às horas exigidas para a graduação. Contagens para o requisito de raciocínio quantitativo do CAS. Pré-requisito: MATH 120 ou uma pontuação de 30 no teste de diagnóstico de matemática ou isento do teste de diagnóstico de matemática.

MATEMÁTICA 122. Cálculo para Ciência e Engenharia II. 4 unidades.

Continuação da MATEMÁTICA 121. Exponenciais e logaritmos, crescimento e decadência, funções trigonométricas inversas, taxas relacionadas, técnicas básicas de integração, área e volume, coordenadas polares, equações paramétricas. Polinômios de Taylor e o teorema de Taylor. Crédito para no máximo um dos MATH 122, MATH 124 e MATH 126 pode ser aplicado às horas exigidas para a graduação. Pré-requisitos: MATH 121, MATH 123 ou MATH 126.

MATEMÁTICA 123. Cálculo I. 4 unidades.

Limites, continuidade, derivados de funções algébricas e transcendentais, incluindo aplicações, propriedades básicas de integração. Técnicas de integração e aplicações. Os alunos devem ter 31/2 anos de matemática do ensino médio. Crédito para no máximo um dos MATH 121, MATH 123 e MATH 125 pode ser aplicado às horas exigidas para a formatura. Contagens para o requisito de raciocínio quantitativo do CAS.

MATEMÁTICA 124. Cálculo II. 4 unidades.

Revisão da diferenciação. Técnicas de integração e aplicações da integral definida. Equações paramétricas e coordenadas polares. Teorema de Taylor. Sequências, séries, séries de potências. Aritmética complexa. Introdução ao cálculo multivariável. Crédito para no máximo um dos MATH 122, MATH 124 e MATH 126 pode ser aplicado às horas exigidas para a graduação. Pré-requisito: MATH 121 e colocação por departamento.

MATH 125. Math and Calculus Applications for Life, Management, and Social Sci I. 4 Units.

Diferencial de probabilidade discreta e contínua e cálculo integral de uma representação gráfica de variável, taxas relacionadas, máximas e mínimas. Técnicas de integração, métodos numéricos, volumes, áreas. Aplicações às ciências físicas, da vida e sociais. Os alunos que planejam fazer mais de dois semestres de matemática introdutória devem fazer a MATEMÁTICA 121. Preparação recomendada: três anos e meio de matemática do ensino médio. Crédito para no máximo um dos MATH 121, MATH 123 e MATH 125 pode ser aplicado às horas exigidas para a formatura. Contagens para o requisito de raciocínio quantitativo do CAS. Pré-requisito: MATH 120 ou uma pontuação de 30 no teste de diagnóstico de matemática ou isento do teste de diagnóstico de matemática.

MATEMÁTICA 126. Aplicativos de matemática e cálculo para a vida, a gestão e a ciência social II. 4 unidades.

Continuação do MATH 125 cobrindo equações diferenciais, cálculo multivariável, métodos discretos. Derivadas parciais, máximos e mínimos para funções de duas variáveis, regressão linear. Equações diferenciais equações de primeira e segunda ordem, sistemas, métodos da série de Taylor Equações das diferenças do método de Newton. Crédito para no máximo um dos MATH 122, MATH 124 e MATH 126 pode ser aplicado às horas exigidas para a graduação. Pré-requisitos: MATH 121, MATH 123 ou MATH 125.

MATEMÁTICA 150. Matemática da perspectiva de um matemático. 3 unidades.

Um tópico matemático interessante e acessível não coberto no currículo padrão é desenvolvido. Os alunos são expostos a métodos de raciocínio matemático e progressão histórica de conceitos matemáticos. Introdução à forma como os matemáticos trabalham e sua atitude em relação à profissão. Deve ser tirado no primeiro ano para contar para uma especialização em matemática. Pré-requisito: três anos e meio de matemática do ensino médio. Contagens para o requisito de raciocínio quantitativo do CAS.

MATH 201. Introdução à Álgebra Linear para Aplicações. 3 unidades.

Operações matriciais, sistemas de equações lineares, espaços vetoriais, subespaços, bases e independência linear, autovalores e autovetores, diagonalização de matrizes, transformações lineares, determinantes. Menos teórico do que MATEMÁTICA 307. Apropriado para especializações em ciências, engenharia, economia. Pré-requisitos: MATH 122, MATH 124 ou MATH 126.

MATEMÁTICA 223. Cálculo para Ciência e Engenharia III. 3 unidades.

Introdução às linhas e planos da álgebra vetorial. Funções de várias variáveis: derivadas parciais, gradientes, regra da cadeia, derivada direcional, máximos / mínimos. Integrais múltiplos, coordenadas cilíndricas e esféricas. Derivadas de funções com valores vetoriais, velocidade e aceleração. Campos de vetores, integrais de linha, teorema de Green. Crédito para no máximo um dos MATH 223 e MATH 227 pode ser aplicado às horas exigidas para a graduação. Pré-requisitos: MATH 122 ou MATH 124.

MATEMÁTICA 224. Equações diferenciais elementares. 3 unidades.

Um primeiro curso em equações diferenciais ordinárias. Equações e aplicações de primeira ordem, equações lineares com coeficientes constantes, sistemas lineares, transformadas de Laplace, métodos numéricos de solução. Crédito para no máximo um dos MATH 224 e MATH 228 pode ser aplicado às horas exigidas para a graduação. Pré-requisitos: MATH 223 ou MATH 227.

MATEMÁTICA 227. Cálculo III. 3 unidades.

Álgebra e geometria vetorial. Mapas e matrizes lineares. Cálculo de funções com valor vetorial. Derivadas de funções de várias variáveis. Integrais múltiplos. Campos de vetor e integrais de linha. Crédito para no máximo um dos MATH 223 e MATH 227 pode ser aplicado às horas exigidas para a graduação. Pré-requisito: MATEMÁTICA 124 e colocação pelo departamento.

MATEMÁTICA 228. Equações diferenciais. 3 unidades.

Equações diferenciais ordinárias elementares: equações de primeira ordem, sistemas lineares, aplicações de métodos numéricos de solução. Crédito para no máximo um dos MATH 224 e MATH 228 pode ser aplicado às horas exigidas para a graduação. Pré-requisito: MATEMÁTICA 227 ou colocação pelo departamento.

MATEMÁTICA 301. Curso de Graduação em Leitura. 1 - 3 unidades.

Os alunos devem obter a aprovação de um professor supervisor antes da inscrição. Mais de uma hora de crédito deve ser aprovada pela comissão de graduação do departamento.

MATEMÁTICA 302. Seminário Departamental. 3 unidades.

Um seminário dedicado à compreensão da formulação e solução de problemas matemáticos. Seminário do Departamento SAGES. Os alunos irão investigar, de diferentes pontos de vista possíveis, por meio de estudos de caso, como a matemática avança como uma disciplina - o que os matemáticos fazem. O curso será em grande parte em formato de seminário. Haverá duas tarefas envolvendo redação no estilo da disciplina. Inscrição com permissão (limitada a majors dependendo da demanda). Conta como Seminário Departamental SAGES.

MATEMÁTICA 303. Teoria dos Números Elementares. 3 unidades.

Primos e divisibilidade, teoria das congruências e funções teóricas dos números. Equações diofantinas, teoria dos resíduos quadráticos e outros tópicos determinados pelo interesse do aluno. Ênfase na resolução de problemas (formular conjecturas e justificá-las). Pré-requisitos: MATH 122 ou MATH 124.

MATEMÁTICA 304. Matemática Discreta. 3 unidades.

Uma introdução geral à terminologia matemática básica e às técnicas de matemática abstrata no contexto da matemática discreta. Os tópicos introduzidos são raciocínio matemático, conectivos booleanos, dedução, indução matemática, conjuntos, funções e relações, algoritmos, gráficos, raciocínio combinatório. Oferecido como CSDS 302, ECSE 302 e MATH 304. Pré-requisitos: MATH 122 ou MATH 124 ou MATH 126.

MATEMÁTICA 305. Introdução à matemática avançada. 3 unidades.

Um curso de teoria e prática da escrita e da leitura matemática. Os tópicos principais são lógica e a linguagem da matemática, técnicas de prova, teoria dos conjuntos e funções. Tópicos adicionais podem incluir introduções à teoria dos números, teoria dos grupos, topologia ou outras áreas da matemática avançada. Pré-requisitos: MATH 122, MATH 124 ou MATH 126.

MATH 307. Linear Algebra. 3 unidades.

Um curso de álgebra linear que estuda os fundamentos dos espaços vetoriais, espaços do produto interno e transformações lineares em uma base axiomática. Os tópicos incluem: soluções de sistemas lineares, álgebra de matriz sobre os números reais e complexos, independência linear, bases e dimensão, autovalores e autovetores, decomposição de valor singular e determinantes. Outros tópicos podem incluir mínimos quadrados, produto interno geral e espaços normados, projeções ortogonais, teorema espectral de dimensão finita. Este curso é obrigatório para todos os alunos com especialização em matemática e matemática aplicada. Mais teórico do que MATH 201. Pré-requisitos: MATH 122 ou MATH 124.

MATEMÁTICA 308. Introdução à Álgebra Abstrata. 3 unidades.

Um primeiro curso de álgebra abstrata, estudado numa base axiomática. As principais estruturas algébricas estudadas são grupos, anéis e campos. Os tópicos incluem homomorfismos e estruturas de quociente. Este curso é obrigatório para todos os alunos com especialização em matemática. É útil, mas não necessário, que um aluno tenha feito a MATEMÁTICA 307 antes da MATEMÁTICA 308. Pré-requisito: MATEMÁTICA 122 ou MATEMÁTICA 124.

MATEMÁTICA 319. Probabilidade Aplicada e Processos Estocásticos à Biologia. 3 unidades.

Aplicações de probabilidade e processos estocásticos a sistemas biológicos. Os tópicos matemáticos incluirão: introdução a espaços de probabilidade discretos e contínuos (incluindo geração numérica de amostras pseudo aleatórias de distribuições de probabilidade especificadas), processos de Markov em tempo discreto e contínuo com espaços de amostra discretos e contínuos, processos de ponto incluindo processos de Poisson homogêneos e não homogêneos e Markov cadeias em gráficos e processos de difusão, incluindo movimento browniano e o processo de Ornstein-Uhlenbeck. Os tópicos biológicos serão determinados pelos interesses dos alunos e do instrutor. Os tópicos prováveis ​​incluem: canais de íons estocásticos, motores moleculares e catracas estocásticas, polimerização de actina e tubulina, modelos de passeio aleatório para trens de pico neural, quimiotaxia bacteriana, sinalização e redes regulatórias genéticas e dinâmica estocástica de predador-presa. A ênfase será na simulação prática e análise de fenômenos estocásticos em sistemas biológicos. Os métodos numéricos serão desenvolvidos usando uma combinação de MATLAB, o pacote estatístico R, MCell e / ou URDME, a critério do instrutor. Os projetos dos alunos compreenderão a maior parte do curso. Oferecido como BIOL 319, ECSE 319, MATH 319, SYBB 319, BIOL 419, EBME 419, MATH 419, PHOL 419 e SYBB 419. Pré-requisitos: MATH 224 ou MATH 223 e BIOL 300 ou BIOL 306 e MATH 201 ou MATH 307 ou consentimento do instrutor.

MATEMÁTICA 321. Fundamentos de Análise I. 3 Unidades.

Raciocínio matemático abstrato no contexto da análise no espaço euclidiano. Introdução ao raciocínio formal, conjuntos e funções e sistemas numéricos. Sequências e séries Sequências de Cauchy e convergência. Obrigatório para todos os cursos de matemática. Trabalho adicional necessário para alunos de pós-graduação. (Não pode ser obtido como crédito de pós-graduação por alunos de pós-graduação no Departamento de Matemática.) Oferecido como MATEMÁTICA 321 e MATEMÁTICA 421. Pré-requisito: MATEMÁTICA 223 ou MATEMÁTICA 227.

MATEMÁTICA 322. Fundamentos de Análise II. 3 unidades.

Continuação do MATH 321. Topologia de conjunto de pontos em espaços métricos com atenção à completude, compactação, conectividade e continuidade de funções do espaço n-dimensional. Tópicos em sequências, séries de funções, convergência uniforme, séries de Fourier e aproximação polinomial. Desenvolvimento teórico da diferenciação e integração Riemann. Obrigatório para todos os cursos de matemática. Trabalho adicional necessário para alunos de pós-graduação. (Não pode ser obtido como crédito de graduação por alunos de pós-graduação no Departamento de Matemática.) Oferecido como MATEMÁTICA 322 e MATEMÁTICA 422. Pré-requisito: MATEMÁTICA 321.

MATEMÁTICA 324. Introdução à análise complexa. 3 unidades.

Propriedades, singularidades e representações de funções analíticas, integração complexa. Teoremas de Cauchy, resíduos de séries, mapeamento conforme e continuação analítica. Superfícies de Riemann. Relevância para a teoria dos problemas físicos. Pré-requisitos: MATH 224 ou MATH 228.

MATEMÁTICA 327. Convexidade e otimização. 3 unidades.

Introdução à teoria de conjuntos e funções convexas e aos extremos em problemas em áreas da matemática onde a convexidade desempenha um papel. Entre os tópicos discutidos estão propriedades básicas de conjuntos convexos (pontos extremos, estrutura facial de politopos), teoremas de separação, dualidade e polares, propriedades de funções convexas, mínimos e máximos de funções convexas sobre conjuntos convexos, vários problemas de otimização. Oferecido como MATH 327, MATH 427 e OPRE 427. Pré-requisito: MATH 223 ou MATH 227.

MATH 330. Introdução à computação científica. 3 unidades.

Uma pesquisa introdutória à Computação Científica, dos princípios às aplicações. Os tópicos que serão abordados no curso incluem: solução de sistemas lineares e mínimos quadrados, aproximação e interpolação, solução de sistemas não lineares, integração e diferenciação numérica e solução numérica de equações diferenciais. Projetos onde os métodos numéricos são usados ​​para resolver problemas de várias áreas de aplicação serão atribuídos ao longo do semestre. Pré-requisitos: MATH 224 ou MATH 228.

MATEMÁTICA 332. Equações que mudaram o mundo. 3 unidades.

Este curso apresentará aos alunos algumas das equações fundamentais que mudaram os mundos. Uma equação por semana, os alunos irão investigar a matemática por trás de algumas das equações ou ideias mais influentes, por exemplo, a transformada de Fourier, as equações de Maxwell, a equação de Schrödinger e a equação de onda. Os alunos irão pesquisar o clima científico e social no qual as equações surgiram e relatar o impacto que as equações tiveram na maneira como vemos o mundo e vivemos nossas vidas hoje. A aula irá alternar entre aulas expositivas, onde o instrutor introduz os fundamentos matemáticos necessários para enunciar e compreender a equação, e apresentações, nas quais os alunos apresentarão os resultados das suas investigações. Os alunos deverão redigir um trabalho de conclusão de curso relacionado a uma determinada equação e fazer uma apresentação final. A avaliação incidirá tanto sobre a maturidade matemática dos alunos como sobre a organização e apresentação do trabalho. Conta como Seminário Departamental SAGES. Pré-requisitos: (MATH 223 ou MATH 227) e (MATH 224 ou 228).

MATEMÁTICA 333. Matemática e Cérebro. 3 unidades.

Este curso é destinado a alunos de graduação de nível superior em Matemática, Ciências Cognitivas, Engenharia Biomédica, Biologia ou Neurociências que tenham interesse na investigação quantitativa do cérebro e suas funções. Os alunos serão apresentados a uma variedade de técnicas matemáticas necessárias para modelar e simular diferentes funções cerebrais e para analisar os resultados das simulações e dos dados medidos disponíveis. A exposição matemática será seguida - quando for o caso - pela implementação correspondente em Matlab. O curso cobrirá alguns tópicos básicos nos aspectos matemáticos das equações diferenciais, eletromagnetismo, problemas inversos e imagens relacionadas às funções cerebrais. Será abordada a validação e falsificação dos modelos matemáticos à luz dos dados experimentais disponíveis. Este curso será um primeiro passo para organizar as diferentes modalidades de investigação do cérebro dentro de uma estrutura matemática unificada. As palestras incluirão uma parte de discussão. A apresentação final e o relatório escrito fazem parte dos requisitos do curso. Conta como Seminário Departamental SAGES. Pré-requisitos: MATH 224 ou MATH 228.

MATEMÁTICA 338. Introdução aos Sistemas Dinâmicos. 3 unidades.

Sistemas dinâmicos discretos não lineares em uma e duas dimensões. Dinâmica caótica, teoria da bifurcação elementar, hiperbolicidade, dinâmica simbólica, estabilidade estrutural, teoria das variedades estáveis. Pré-requisitos: MATH 223 ou MATH 227.

MATEMÁTICA 343. Ciência da Computação Teórica. 3 unidades.

Introdução às diferentes classes de autómatos e sua correspondência com diferentes classes de linguagens e gramáticas formais, computabilidade, complexidade e várias técnicas de prova. Oferecido como CSDS 343 e MATH 343. Pré-requisitos: MATH 304 e EECS 340.

MATEMÁTICA 351. Projeto Sênior do Programa de Matemática e Física. 2 unidades.

Um curso de dois semestres (2 créditos por semestre) no B.S. no programa de Matemática e Física. Projeto baseado em pesquisa numérica e / ou teórica sob orientação de um docente de matemática, eventualmente em conjunto com um docente de física. Estudo das técnicas utilizadas em uma área específica de pesquisa e da literatura recente associada ao projeto. Trabalhos conducentes a resultados significativos que serão apresentados como trabalho de conclusão de curso e relatório oral no final do segundo semestre. O corpo docente supervisor irá revisar o progresso com o aluno regularmente, incluindo relatórios de progresso detalhados feitos duas vezes a cada semestre, para garantir a conclusão bem-sucedida do trabalho. Conta como Capstone Sênior SAGES.

MATEMÁTICA 352. Capstone da Matemática. 3 unidades.

Projeto Capstone Matemática. Os alunos realizam pesquisas teóricas, experimentais ou de ensino sob a supervisão de um Conselheiro Capstone - normalmente um membro do corpo docente do Departamento do MAMS. Os resultados e conclusões do projeto são resumidos por escrito e em uma apresentação pública, por exemplo, no Simpósio MAMS Capstone anual ou no Simpósio de Intersecções CWRU e Sessões de Cartazes. Para se inscrever, o aluno deve primeiro obter o consentimento de um Conselheiro Capstone. Os alunos são fortemente encorajados a começar bem antes do registro para iniciar as discussões com um Conselheiro Capstone potencial. Antes de conceder a aprovação, um consultor pode exigir uma Proposta Capstone descrevendo os objetivos, histórico esperado, metodologia e prazo do projeto. A determinação de se as expectativas para o Projeto Capstone e para o Requisito de Capstone do SAGES foram atendidas são de responsabilidade exclusiva do Consultor Capstone. Conta como Capstone Sênior SAGES.

MATEMÁTICA 357. Modelagem Matemática Across the Sciences. 3 unidades.

Um curso de três créditos sobre modelagem matemática no que se refere às ciências das origens. Os alunos ganham experiência prática em uma ampla gama de técnicas para modelar questões de pesquisa em cosmologia e astrofísica, biologia evolutiva integrativa (incluindo antropologia física, ecologia, paleontologia e ciência cognitiva evolutiva) e ciências planetárias e astrobiologia. Oferecido como ORIG 301, ORIG 401 e MATH 357. Pré-requisitos: ORIG 201, ORIG 202, BIOL 225, MATH 122, CHEM 106 e (PHYS 122 ou PHYS 124).

MATEMÁTICA 361. Geometria I. 3 unidades.

Uma introdução às várias geometrias bidimensionais, incluindo euclidiana, esférica, hiperbólica, projetiva e afim. O curso examinará as bases axiomáticas da geometria, com ênfase nas transformações. Os tópicos incluem o postulado paralelo e suas alternativas, isometria e grupos de transformação, tilings, o plano hiperbólico e seus modelos, geometria esférica, transformações afins e projetivas e outros tópicos. Examinaremos o papel dos números complexos e hipercomplexos na representação algébrica de transformações. O curso é independente. Conta como Seminário Departamental SAGES. Pré-requisitos: MATH 224.

MATEMÁTICA 363. Teoria do nó. 3 unidades.

Uma introdução à teoria matemática de nós e elos, com ênfase nos métodos combinatórios modernos. Reidemeister se move em projeções de link, isotopias ambientais e regulares, ligando número tricolorability, emaranhados racionais, tranças, nós de toro, superfícies seifert e gênero, os polinômios de nó (colchete, X, Jones, Alexander, HOMFLY), números de cruzamento de nós alternados e anficheiralidade . Conexões com a física teórica, biologia molecular e outras aplicações científicas serão buscadas em projetos de termo, conforme apropriado para a formação e os interesses dos alunos. Pré-requisitos: MATH 223 ou MATH 227.

MATH 365. Introduction To Algebraic Geometry. 3 Units.

This is a first introduction to algebraic geometry--the study of solutions of polynomial equations-- for advanced undergraduate students. Recent applications of this large and important area include number theory, combinatorics, theoretical physics, robotics, cryptology and coding theory. The contents of the course may vary from one semester to another, and may include, for example: the classical theory of algebraic curves in the setting of affine and projective planes over the real or complex fields affine and projective equivalence invariants tangents singularities intersection multiplicities resultants and Bezout's Theorem linear systems rational curves flexes and group structure on a cubic. Prereq: MATH 307 and Coreq: MATH 308.

MATH 376. Mathematical Analysis of Biological Models. 3 Units.

This course focuses on the mathematical methods used to analyze biological models, with examples drawn largely from ecology but also from epidemiology, developmental biology, and other areas. Mathematical topics include equilibrium and stability in discrete and continuous time, some aspects of transient dynamics, and reaction-diffusion equations (steady state, diffusive instabilities, and traveling waves). Biological topics include several "classic" models, such as the Lotka-Volterra model, the Ricker model, and Michaelis-Menten/type II/saturating responses. The emphasis is on approximations that lead to analytic solutions, not numerical analysis. An important aspect of this course is translating between verbal and mathematical descriptions: the goal is not just to solve mathematical problems but to extract biological meaning from the answers we find. Offered as BIOL 306 and MATH 376. Prereq: BIOL 300 or MATH 224 or consent of instructor.

MATH 378. Computational Neuroscience. 3 Units.

Computer simulations and mathematical analysis of neurons and neural circuits, and the computational properties of nervous systems. Students are taught a range of models for neurons and neural circuits, and are asked to implement and explore the computational and dynamic properties of these models. The course introduces students to dynamical systems theory for the analysis of neurons and neural learning, models of brain systems, and their relationship to artificial and neural networks. Term project required. Students enrolled in MATH 478 will make arrangements with the instructor to attend additional lectures and complete additional assignments addressing mathematical topics related to the course. Recommended preparation: MATH 223 and MATH 224 or BIOL 300 and BIOL 306. Offered as BIOL 378, COGS 378, MATH 378, BIOL 478, CSDS 478, EBME 478, ECSE 478, MATH 478 and NEUR 478.

MATH 380. Introduction to Probability. 3 Units.

Combinatorial analysis. Permutations and combinations. Axioms of probability. Sample space and events. Equally likely outcomes. Conditional probability. Bayes' formula. Independent events and trials. Discrete random variables, probability mass functions. Expected value, variance. Bernoulli, binomial, Poisson, geometric, negative binomial random variables. Continuous random variables, density functions. Expected value and variance. Uniform, normal, exponential, Gamma random variables. The De Moivre-Laplace limit theorem. Joint probability mass functions and densities. Independent random variables and the distribution of their sums. Covariance. Conditional expectations and distributions (discrete case). Moment generating functions. Law of large numbers. Central limit theorem. Additional topics (time permitting): the Poisson process, finite state space Markov chains, entropy. Prereq: MATH 223 or MATH 227.

MATH 382. High Dimensional Probability. 3 Units.

Behavior of random vectors, random matrices, and random projections in high dimensional spaces, with a view toward applications to data sciences. Topics include tail inequalities for sums of independent random variables, norms of random matrices, concentration of measure, and bounds for random processes. Applications may include structure of random graphs, community detection, covariance estimation and clustering, randomized dimension reduction, empirical processes, statistical learning, and sparse recovery problems. Additional work is required for graduate students. Offered as MATH 382, MATH 482, STAT 382 and STAT 482. Prereq: MATH 307 and (MATH 380 or STAT 345 or STAT 445).

MATH 383. Topics in Probability. 3 Units.

This is a second undergraduate course in probability. Topics may include: Stochastic processes, Markov chains, Brownian motion, martingales, measure-theoretic foundations of probability, quantitative limit theory/rates of convergence, coupling methods, Fourier methods, and ergodic theory. Prereq: MATH 380.

MATH 394. Introduction to Information Theory. 3 Units.

This course is intended as an introduction to information and coding theory with emphasis on the mathematical aspects. It is suitable for advanced undergraduate and graduate students in mathematics, applied mathematics, statistics, physics, computer science and electrical engineering. Course content: Information measures-entropy, relative entropy, mutual information, and their properties. Typical sets and sequences, asymptotic equipartition property, data compression. Channel coding and capacity: channel coding theorem. Differential entropy, Gaussian channel, Shannon-Nyquist theorem. Information theory inequalities (400 level). Additional topics, which may include compressed sensing and elements of quantum information theory. Recommended preparation: MATH 201 or MATH 307. Offered as MATH 394, CSDS 394, ECSE 394, MATH 494, CSDS 494 and ECSE 494. Prereq: MATH 223 and MATH 380 or requisites not met permission.

MATH 401. Abstract Algebra I. 3 Units.

Basic properties of groups, rings, modules and fields. Isomorphism theorems for groups Sylow theorem nilpotency and solvability of groups Jordan-Holder theorem Gauss lemma and Eisenstein's criterion finitely generated modules over principal ideal domains with applications to abelian groups and canonical forms for matrices categories and functors tensor product of modules, bilinear and quadratic forms field extensions fundamental theorem of Galois theory, solving equations by radicals. Prereq: MATH 308.

MATH 402. Abstract Algebra II. 3 Units.

A continuation of MATH 401. Prereq: MATH 401.

MATH 405. Advanced Matrix Analysis. 3 Units.

An advanced course in linear algebra and matrix theory. Topics include variational characterizations of eigenvalues of Hermitian matrices, matrix and vector norms, characterizations of positive definite matrices, singular value decomposition and applications, perturbation of eigenvalues. This course is more theoretical than MATH 431, which emphasizes computational aspects of linear algebra Prereq: MATH 307.

MATH 406. Mathematical Logic and Model Theory. 3 Units.

Propositional calculus and quantification theory consistency and completeness theorems Gödel incompleteness results and their philosophical significance introduction to basic concepts of model theory problems of formulation of arguments in philosophy and the sciences. Offered as PHIL 306, MATH 406 and PHIL 406.

MATH 408. Introduction to Cryptology. 3 Units.

Introduction to the mathematical theory of secure communication. Topics include: classical cryptographic systems one-way and trapdoor functions RSA, DSA, and other public key systems Primality and Factorization algorithms birthday problem and other attack methods elliptic curve cryptosystems introduction to complexity theory other topics as time permits. Recommended preparation: MATH 303.

MATH 413. Graph Theory. 3 Units.

Building blocks of a graph, trees, connectivity, matchings, coverings, planarity, NP-complete problems, random graphs, and expander graphs various applications and algorithms. Prereq: MATH 201 or MATH 307.

MATH 419. Applied Probability and Stochastic Processes for Biology. 3 Units.

Applications of probability and stochastic processes to biological systems. Mathematical topics will include: introduction to discrete and continuous probability spaces (including numerical generation of pseudo random samples from specified probability distributions), Markov processes in discrete and continuous time with discrete and continuous sample spaces, point processes including homogeneous and inhomogeneous Poisson processes and Markov chains on graphs, and diffusion processes including Brownian motion and the Ornstein-Uhlenbeck process. Biological topics will be determined by the interests of the students and the instructor. Likely topics include: stochastic ion channels, molecular motors and stochastic ratchets, actin and tubulin polymerization, random walk models for neural spike trains, bacterial chemotaxis, signaling and genetic regulatory networks, and stochastic predator-prey dynamics. The emphasis will be on practical simulation and analysis of stochastic phenomena in biological systems. Numerical methods will be developed using a combination of MATLAB, the R statistical package, MCell, and/or URDME, at the discretion of the instructor. Student projects will comprise a major part of the course. Offered as BIOL 319, ECSE 319, MATH 319, SYBB 319, BIOL 419, EBME 419, MATH 419, PHOL 419, and SYBB 419.

MATH 421. Fundamentals of Analysis I. 3 Units.

Abstract mathematical reasoning in the context of analysis in Euclidean space. Introduction to formal reasoning, sets and functions, and the number systems. Sequences and series Cauchy sequences and convergence. Required for all mathematics majors. Additional work required for graduate students. (May not be taken for graduate credit by graduate students in the Department of Mathematics.) Offered as MATH 321 and MATH 421.

MATH 422. Fundamentals of Analysis II. 3 Units.

Continuation of MATH 321. Point-set topology in metric spaces with attention to n-dimensional space completeness, compactness, connectedness, and continuity of functions. Topics in sequences, series of functions, uniform convergence, Fourier series and polynomial approximation. Theoretical development of differentiation and Riemann integration. Required for all mathematics majors. Additional work required for graduate students. (May not be taken for graduate credit by graduate students in the Department of Mathematics.) Offered as MATH 322 and MATH 422. Prereq: MATH 321 or MATH 421.

MATH 423. Introduction to Real Analysis I. 3 Units.

General theory of measure and integration. Measures and outer measures. Lebesgue measure on n-space. Integration. Convergence theorems. Product measures and Fubini's theorem. Signed measures. Hahn-Jordan decomposition, Radon-Nikodym theorem, and Lebesgue decomposition. SpaceP-integrable function. Lebesgue differentiation theorem in n-space. Prereq: MATH 322 or MATH 422.

MATH 424. Introduction to Real Analysis II. 3 Units.

Measures on locally compact spaces. Riesz representation theorem. Elements of functional analysis. Normed linear spaces. Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, open mapping, closed graph theorems. Weak topologies. Banach-Alaoglu theorem. Function spaces. Stone-Weierstrass and Ascoli theorems. Basic Hilbert space theory. Application to Fourier series. Additional topics: Haar measure on locally compact groups. Prereq: MATH 423.

MATH 425. Complex Analysis I. 3 Units.

Analytic functions. Integration over paths in the complex plane. Index of a point with respect to a closed path Cauchy's theorem and Cauchy's integral formula power series representation open mapping theorem singularities Laurent expansion residue calculus harmonic functions Poisson's formula Riemann mapping theorem. More theoretical and at a higher level than MATH 324. Prereq: MATH 322 or MATH 422.

MATH 427. Convexity and Optimization. 3 Units.

Introduction to the theory of convex sets and functions and to the extremes in problems in areas of mathematics where convexity plays a role. Among the topics discussed are basic properties of convex sets (extreme points, facial structure of polytopes), separation theorems, duality and polars, properties of convex functions, minima and maxima of convex functions over convex set, various optimization problems. Offered as MATH 327, MATH 427, and OPRE 427.

MATH 431. Introduction to Numerical Analysis I. 3 Units.

Numerical linear algebra for scientists and engineers. Matrix and vector norms, computer arithmetic, conditioning and stability, orthogonality. Least squares problems: QR factorization, normal equations and Singular Value Decomposition. Direct solution of linear system: Gaussian elimination and Cholesky factorization. Eigenvalues and eigenvectors: the QR algorithm, Rayleigh quotient, inverse iteration. Introduction to iterative methods. Students will be introduced to MATLAB. Prereq: MATH 201 or MATH 307.

MATH 432. Numerical Differential Equations. 3 Units.

Numerical solution of differential equations for scientists and engineers. Solution of ordinary differential equations by multistep and single step methods. Stability, consistency, and convergence. Stiff equations. Finite difference schemes. Introduction to the finite element method. Introduction to multigrid techniques. The diffusion equation: numerical schemes and stability analysis. Introduction to hyperbolic equations. MATLAB will be used in this course. Prereq: MATH 224 or MATH 228.

MATH 433. Numerical Solutions of Nonlinear Systems and Optimization. 3 Units.

The course provides an introduction to numerical solution methods for systems of nonlinear equations and optimization problems. The course is suitable for upper-undergraduate and graduate students with some background in calculus and linear algebra. Knowledge of numerical linear algebra is helpful. Among the topics which will be covered in the course are Nonlinear systems in one variables Newton's method for nonlinear equations and unconstrained minimization Quasi-Newton methods Global convergence of Newton's methods and line searches Trust region approach Secant methods Nonlinear least squares. Prereq: MATH 223 or MATH 227, and MATH 431 or permission.

MATH 434. Optimization of Dynamic Systems. 3 Units.

Fundamentals of dynamic optimization with applications to control. Variational treatment of control problems and the Maximum Principle. Structures of optimal systems regulators, terminal controllers, time-optimal controllers. Sufficient conditions for optimality. Singular controls. Computational aspects. Selected applications. Recommended preparation: EECS/ECSE 408. Offered as ECSE 421 and MATH 434.

MATH 435. Ordinary Differential Equations. 3 Units.

A second course in ordinary differential equations. Existence, uniqueness, and continuation of solutions of ODE. Linear systems, fundamental matrix, qualitative methods (phase plane). Dependence on initial data and parameters (Gronwall's inequality, nonlinear variation of parameters). Stability for linear and nonlinear equations, linearization, Poincare-Bendixson theory. Additional topics may include regular and singular perturbation methods, autonomous oscillations, entrainment of forced oscillators, and bifurcations. Prereq: MATH 224 and either MATH 201 or MATH 307.

MATH 439. Bayesian Scientific Computing. 3 Units.

This course will embed numerical methods into a Bayesian framework. The statistical framework will make it possible to integrate a prori information about the unknowns and the error in the data directly into the most efficient numerical methods. A lot of emphasis will be put on understanding the role of the priors, their encoding into fast numerical solvers, and how to translate qualitative or sample-based information--or lack thereof--into a numerical scheme. Confidence on computed results will also be discussed from a Bayesian perspective, at the light of the given data and a priori information. The course should be of interest to anyone working on signal and image processing statistics, numerical analysis and modeling. Recommended Preparation: MATH 431. Offered as MATH 439 and STAT 439.

MATH 440. Computational Inverse Problems. 3 Units.

This course will introduce various computational methods for solving inverse problems under different conditions. First the classical regularization methods will be introduced, and the computational challenges which they pose, will be addressed. Following this, the statistical methods for solving inverse problems will be studied and their computer implementation discussed. We will combine the two approaches to best exploit their potentials. Applications arising from various areas of science, engineering, and medicine will be discussed throughout the course.

MATH 441. Mathematical Modeling. 3 Units.

Mathematics is a powerful language for describing real world phenomena and providing predictions that otherwise are hard or impossible to obtain. The course gives the students pre-requisites for translating qualitative descriptions given in the professional non-mathematical language into the quantitative language for mathematics. While the variety in the subject matter is wide, some general principles and methodologies that a modeler can pursue are similar in many applications. The course focuses on these similarities. The course is based on representative case studies that are discussed and analyzed in the classroom, the emphasis being on general principles of developing and analyzing mathematical models. The examples will be taken from different fields of science and engineering, including life sciences, environmental sciences, biomedical engineering and physical sciences. Modeling relies increasingly on computation, so the students should have basic skills for using computers and programs like Matlab or Mathematica. Prereq: MATH 224 or MATH 228.

MATH 444. Mathematics of Data Mining and Pattern Recognition. 3 Units.

This course will give an introduction to a class of mathematical and computational methods for the solution of data mining and pattern recognition problems. By understanding the mathematical concepts behind algorithms designed for mining data and identifying patterns, students will be able to modify to make them suitable for specific applications. Particular emphasis will be given to matrix factorization techniques. The course requirements will include the implementations of the methods in MATLAB and their application to practical problems. Prereq: MATH 201 or MATH 307.

MATH 445. Introduction to Partial Differential Equations. 3 Units.

Method of characteristics for linear and quasilinear equations. Second order equations of elliptic, parabolic, type initial and boundary value problems. Method of separation of variables, eigenfunction expansions, Sturm-Liouville theory. Fourier, Laplace, Hankel transforms Bessel functions, Legendre polynomials. Green's functions. Examples include: heat diffusion, Laplace's equation, wave equations, one dimensional gas dynamics and others. Appropriate for seniors and graduate students in science, engineering, and mathematics. Prereq: MATH 201 or MATH 307 and MATH 224 or MATH 228.

MATH 446. Numerical Methods for Partial Differential Equations. 3 Units.

This course is an introduction to numerical methods of PDEs, and in particular, to finite element methods (FEM), emphasizing the interconnection between the functional analytic viewpoint of PDEs and the practical and effective computation of the numerical approximations. In particular, the emphasis is on showing that many of the useful and elegant ideas in finite dimensional linear algebra have a natural counterpart in the infinite dimensional setting of Hilbert spaces, and that the same techniques that guarantee the existence and uniqueness of the solutions in fact provide also stable computational methods to approximate the solutions. The topics covered in this course include Fourier analysis, weak derivatives, weak forms, generalized functions Sobolev spaces, trace theorem, compact embedding theorems, Poincare inequalities Riesz theory, Fredholm theory Finite Element Method (FEM): Grid generation, existence, stability and convergence of solutions for elliptic problems Semi-discretization of parabolic and hyperbolic equations Stiffness Numerical solution of linear systems by iterative methods. A quintessential part of this course comprises numerical implementation of the finite element method. Matlab is used as the programming tool both in demonstrations and examples in the class as well as in home assignments. Recommended Preparation: linear algebra, multivariate calculus, and ordinary differential equations.

MATH 449. Dynamical Models for Biology and Medicine. 3 Units.

Introduction to discrete and continuous dynamical models with applications to biology and medicine. Topics include: population dynamics and ecology models of infectious diseases population genetics and evolution biological motion (reaction-diffusion and chemotaxis) Molecular and cellular biology (biochemical kinetics, metabolic pathways, immunology). The course will introduce students to the basic mathematical concepts and techniques of dynamical systems theory (equilibria, stability, bifurcations, discrete and continuous dynamics, diffusion and wave propagation, elements of system theory and control). Mathematical exposition is supplemented with introduction to computer tools and techniques (Mathematica, Matlab). Prereq: MATH 224 or MATH 228, or BIOL/EBME 300, and MATH 201.

MATH 461. Introduction to Topology. 3 Units.

Metric spaces, topological spaces, and continuous functions. Compactness, connectedness, path connectedness. Topological manifolds topological groups. Polyhedra, simplical complexes. Fundamental groups. Prereq: MATH 224 or MATH 228.

MATH 462. Algebraic Topology. 3 Units.

The fundamental group and covering spaces van Kampen's theorem. Higher homotopy groups long-exact sequence of a pair. Homology theory chain complexes short and long exact sequences Mayer-Vietoris sequence. Homology of surfaces and complexes applications. Prereq: MATH 461.

MATH 465. Differential Geometry. 3 Units.

Manifolds and differential geometry. Vector fields Riemannian metrics curvature intrinsic and extrinsic geometry of surfaces and curves structural equations of Riemannian geometry the Gauss-Bonnet theorem. Prereq: MATH 321.

MATH 467. Differentiable Manifolds. 3 Units.

Differentiable manifolds and structures on manifolds. Tangent and cotangent bundle vector fields differential forms tensor calculus integration and Stokes' theorem. May include Hamiltonian systems and their formulation on manifolds symplectic structures connections and curvature foliations and integrability. Prereq: MATH 322.

MATH 471. Advanced Engineering Mathematics. 3 Units.

Vector analysis, Fourier series and integrals. Laplace transforms, separable partial differential equations, and boundary value problems. Bessel and Legendre functions. Emphasis on techniques and applications. Prereq: MATH 224 or MATH 228.

MATH 473. Introduction to Mathematical Image Processing and Computer Vision. 3 Units.

This course introduces fundamental mathematics techniques for image processing and computer vision (IPCV). It is accessible to upper level undergraduate and graduate students from mathematics, sciences, engineering and medicine. Topics include but are not limited to image denoising, contrast enhancement, image compression, image segmentation and pattern recognition. Main tools are discrete Fourier analysis and wavelets, plus some statistics, optimization and a little calculus of variation and partial differential equations if time permitting. Students gain a solid theoretical background in IPCV modeling and computing, and master hands-on application experiences. Upon completion of the course, students will have clear understanding of classical methods, which will help them develop new methodical approaches for imaging problems arising in a variety of fields. Recommended preparation: Some coursework in scientific computing and ability to program in (or willingness to learn) a language such as Matlab or C/C++. Prereq: MATH 330 or MATH 431 or equivalent.

MATH 475. Mathematics of Imaging in Industry and Medicine. 3 Units.

The mathematics of image reconstruction properties of radon transform, relation to Fourier transform inversion methods, including convolution, backprojection, rho-filtered layergram, algebraic reconstruction technique (ART), and orthogonal polynomial expansions. Reconstruction from fan beam geometry, limited angle techniques used in MRI survey of applications. Recommended preparation: PHYS 431 or MATH 471.

MATH 478. Computational Neuroscience. 3 Units.

Computer simulations and mathematical analysis of neurons and neural circuits, and the computational properties of nervous systems. Students are taught a range of models for neurons and neural circuits, and are asked to implement and explore the computational and dynamic properties of these models. The course introduces students to dynamical systems theory for the analysis of neurons and neural learning, models of brain systems, and their relationship to artificial and neural networks. Term project required. Students enrolled in MATH 478 will make arrangements with the instructor to attend additional lectures and complete additional assignments addressing mathematical topics related to the course. Recommended preparation: MATH 223 and MATH 224 or BIOL 300 and BIOL 306. Offered as BIOL 378, COGS 378, MATH 378, BIOL 478, CSDS 478, EBME 478, ECSE 478, MATH 478 and NEUR 478.

MATH 482. High Dimensional Probability. 3 Units.

Behavior of random vectors, random matrices, and random projections in high dimensional spaces, with a view toward applications to data sciences. Topics include tail inequalities for sums of independent random variables, norms of random matrices, concentration of measure, and bounds for random processes. Applications may include structure of random graphs, community detection, covariance estimation and clustering, randomized dimension reduction, empirical processes, statistical learning, and sparse recovery problems. Additional work is required for graduate students. Offered as MATH 382, MATH 482, STAT 382 and STAT 482. Prereq: MATH 307 and (MATH 380 or STAT 345 or STAT 445).

MATH 491. Probability I. 3 Units.

Probabilistic concepts. Discrete probability, elementary distributions. Measure theoretic framework of probability theory. Probability spaces, sigma algebras, expectations, distributions. Independence. Classical results on almost sure convergence of sums of independent random variables. Kolmogorov's law of large numbers. Recurrence of sums. Weak convergence of probability measures. Inversion, Levy's continuity theorem. Central limit theorem. Introduction to the central limit problem. Prereq: MATH 322.

MATH 492. Probability II. 3 Units.

Conditional expectations. Discrete parameter martingales. Stopping times, optional stopping. Discrete parameter stationary processes and ergodic theory. Discrete time Markov processes. Introduction to continuous parameter stochastic processes. Kolmogorov's consistency theorem. Gaussian processes. Brownian motion theory (sample path properties, strong Markov property, Martingales associated to Brownian motion, functional central limit theorem). Prereq: MATH 491.

MATH 494. Introduction to Information Theory. 3 Units.

This course is intended as an introduction to information and coding theory with emphasis on the mathematical aspects. It is suitable for advanced undergraduate and graduate students in mathematics, applied mathematics, statistics, physics, computer science and electrical engineering. Course content: Information measures-entropy, relative entropy, mutual information, and their properties. Typical sets and sequences, asymptotic equipartition property, data compression. Channel coding and capacity: channel coding theorem. Differential entropy, Gaussian channel, Shannon-Nyquist theorem. Information theory inequalities (400 level). Additional topics, which may include compressed sensing and elements of quantum information theory. Recommended preparation: MATH 201 or MATH 307. Offered as MATH 394, CSDS 394, ECSE 394, MATH 494, CSDS 494 and ECSE 494.

MATH 497. Stochastic Models: Time Series and Markov Chains. 3 Units.

Introduction to stochastic modeling of data. Emphasis on models and statistical analysis of data with a significant temporal and/or spatial structure. This course will analyze time and space dependent random phenomena from two perspectives: Stationary Time Series: Spectral representation of deterministic signals, autocorrelation. Power spectra. Transmission of stationary signals through linear filters. Optimal filter design, signal-to-noise ratio. Gaussian signals and correlation matrices. Spectral representation and computer simulation of stationary signals. Discrete Markov Chains: Transition matrices, recurrences and the first step analysis. Steady rate. Recurrence and ergodicity, empirical averages. Long run behavior, convergence to steady state. Time to absorption. Eigenvalues and nonhomogeneous Markov chains. Introduction to Gibbs fields and Markov Chain Monte Carlo (MCMC). This course is related to STAT 538 but can be taken independently of it. Offered as: MATH 497 and STAT 437. Prereq: STAT 243/244 (as a sequence) or STAT 312 or STAT 312R or STAT 313 or STAT 332 or STAT 333 or STAT 345 or MATH 380 or MATH 491 or Requisites Not Met permission.

MATH 499. Special Topics. 3 Units.

Special topics in mathematics.

MATH 528. Analysis Seminar. 1 - 3 Units.

Continuing seminar on areas of current interest in analysis. Allows graduate and advanced undergraduate students to become involved in research. Topics will reflect interests and expertise of the faculty and may include functional analysis, convexity theory, and their applications. May be taken more than once for credit. Consent of department required.

MATH 535. Applied Mathematics Seminar. 1 - 3 Units.

Continuing seminar on areas of current interest in applied mathematics. Allows graduate and advanced undergraduate students to become involved in research. Topics will reflect interests and expertise of the faculty and may include topics in applied probability and stochastic processes, continuum mechanics, numerical analysis, mathematical physics or mathematical biology. May be taken more than once for credit.

MATH 549. Mathematical Life Sciences Seminar. 1 - 3 Units.

Continuing seminar on areas of current interest in the applications of mathematics to the life sciences. Allows graduate and advanced undergraduate students to become involved in research. Topics will reflect interests and expertise of the faculty and may include mathematical biology, computational neuroscience, mathematical modeling of biological systems, models of infectious diseases, computational cell biology, mathematical ecology and mathematical biomedicine broadly constructed. May be taken more than once for credit.

MATH 598. Stochastic Models: Diffusive Phenomena and Stochastic Differential Equations. 3 Units.

Introduction to stochastic modeling of data. Emphasis on models and statistical analysis of data with significant temporal and/or spatial structure. This course will analyze time and space dependent random phenomena from two perspectives: Brownian motion and diffusive processes: Classification of stochastic processes, finite dimensional distributions, random walks and their scaling limits, Brownian motion and its paths properties, general diffusive processes, Fokker-Planck-Kolmogorov equations, Poisson and point processes, heavy tail diffusions, Levy processes, tempered stable diffusions. Stochastic calculus and stochastic differential equations: Wiener random integrals, mean-square theory, Brownian stochastic integrals and Ito formula, stochastic integrals for Levy processes, martingale property, basic theory and applications of stochastic differential equations. This course is related to STAT 437 but can be taken independently of it. Offered as MATH 598 and STAT 538.

MATH 601. Reading and Research Problems. 1 - 18 Units.

Presentation of individual research, discussion, and investigation of research papers in a specialized field of mathematics.


Modeling Discrete Time-to-Event Data

This book focuses on statistical methods for the analysis of discrete failure times. Failure time analysis is one of the most important fields in statistical research, with applications affecting a wide range of disciplines, in particular, demography, econometrics, epidemiology and clinical research. Although there are a large variety of statistical methods for failure time analysis, many techniques are designed for failure times that are measured on a continuous scale. In empirical studies, however, failure times are often discrete, either because they have been measured in intervals (e.g., quarterly or yearly) or because they have been rounded or grouped. The book covers well-established methods like life-table analysis and discrete hazard regression models, but also introduces state-of-the art techniques for model evaluation, nonparametric estimation and variable selection. Throughout, the methods are illustrated by real life applications, and relationships to survival analysis in continuous time are explained. Each section includes a set of exercises on the respective topics. Various functions and tools for the analysis of discrete survival data are collected in the R package discSurv that accompanies the book.

Gerhard Tutz is a professor of statistics at the Department of Statistics at the University of Munich. He has published several books with Springer.Matthias Schmid is a professor of Medical Biometry, Informatics and Epidemiology at the University of Bonn. He received his diploma (2004) and his Ph.D. (2007) in statistics at the University of Munich and his habilitation (2012) in biostatistics at the University of Erlangen. Before working in Bonn, he was professor of computational statistics at the Department of Statistics at the University of Munich (2013-2014).

“Modeling Discrete Time-to-Event Data provides an excellent overview of a field that is underrepresented in the literature. At what it aims to do, striking a balance between theory and practice, this book does a great job. Its readers will understand not only what to do, but also how to do it. I believe that this book can easily find a place on the shelf of statisticians who have an interest in survival analysis.” (Theodor Adrian Balan, Biometrical Journal, Vol. 61 (1), January, 2019)​


5: Discrete-Time Models II - Analysis - Mathematics

Professor: Professor R. J. Williams, AP&M 6121.
Class Time: M 4-5.30pm, W 4-5pm.
Class Meeting Place: AP&M B412.

Professor Office Hours: M 3-3.45pm, W 2-3pm.

DESCRIPTION: This course is an introduction to the mathematics of financial models at the graduate level. The aim is to provide students with an introduction to some basic models of finance and the associated mathematical machinery.

OUTLINE: The course will begin with the development of the basic ideas of hedging and pricing by arbitrage in the discrete time setting of binomial tree models. Key probabilistic concepts of conditional expectation, martingale, change of measure, and representation, will all be introduced first in this simple framework as a bridge to the continuous model setting. Mathematical fundamentals for the development and analysis of continous time models will be covered, including Brownian motion, stochastic calculus, change of measure, martingale representation theorem. These will then be combined to develop the Black-Scholes option pricing formula. Pricing and hedging for European and American call options may be discussed. As time allows, additional topics will be discussed, possibly including models of the interest rate market.

TEXT: Introduction to the Mathematics of Finance, R. J. Williams, American Mathematical Society, 2006. AMS members receive a discount if they buy the book directly from the AMS.

PREREQUISITES: A course in probability or consent of instructor. A possible probability course is Math 280AB (Graduate Probability). However, other probability courses may be used in place of this with the consent of the instructor. Some knowledge of conditional expectation and martingales is an asset. For background reading, students may wish to look at the books below by Billingsley or Chung. The course Math 286 (Stochastic Differential Equations) is a very useful complement to Math 294 and students may find it helpful to take Math 286 before or after Math 294.

Please direct any questions to Professor R. J. Williams, email: williams at math dot ucsd dot edu Last updated January 8, 2012.


Creating Continuous-Time Models

This example shows how to create continuous-time linear models using the tf , zpk , ss , and frd commands.

LTI Model Types

Control System Toolbox™ provides functions for creating four basic representations of linear time-invariant (LTI) models:

Transfer function (TF) models

Frequency response data (FRD) models

These functions take model data as input and create objects that embody this data in a single MATLAB® variable.

Creating Transfer Function Models

Transfer functions (TF) are frequency-domain representations of LTI systems. A SISO transfer function is a ratio of polynomials:

H ( s ) = A ( s ) B ( s ) = a 1 s n + a 2 s n - 1 + … + a n + 1 b 1 s m + b 2 s m - 1 + … + b m + 1

Transfer functions are specified by their numerator and denominator polynomials A(s) and B(s) . In MATLAB, a polynomial is represented by the vector of its coefficients, for example, the polynomial

To create a TF object representing the transfer function:

specify the numerator and denominator polynomials and use tf to construct the TF object:

Alternatively, you can specify this model as a rational expression of the Laplace variable s :

Creating Zero-Pole-Gain Models

Zero-pole-gain (ZPK) models are the factored form of transfer functions:

H ( s ) = k ( s - z 1 ) … ( s - z n ) ( s - p 1 ) … ( s - p m )

Such models expose the roots z of the numerator (the zeros) and the roots p of the denominator (the poles). The scalar coefficient k is called the gain.

H ( s ) = - 2 s ( s - 2 ) ( s 2 - 2 s + 2 )

specify the vectors of poles and zeros and the gain k :

As for TF models, you can also specify this model as a rational expression of s :

Creating State-Space Models

State-space (SS) models are time-domain representations of LTI systems:

where x(t) is the state vector, u(t) is input vector, and y(t) is the output trajectory.

State-space models are derived from the differential equations describing the system dynamics. For example, consider the second-order ODE for a simple electric motor:

d 2 θ d t 2 + 2 d θ d t + 5 θ = 3 I

where I is the driving current (input) and theta is the angular displacement of the rotor (output). This ODE can be rewritten in state-space form as:

d x d t = A x + B I A = [ 0 1 - 5 - 2 ] B = [ 0 3 ] x = [ θ d θ d t ]

θ = C x + D I C = [ 1 0 ] D = [ 0 ]

To create this model, specify the state-space matrices A, B, C, D and use ss to construct the SS object:

Creating Frequency Response Data Models

Frequency response data (FRD) models let you store the measured or simulated complex frequency response of a system in an LTI object. You can then use this data as a surrogate model for frequency-domain analysis and design purposes.

For example, suppose you get the following data out of a frequency analyzer:

Frequency (Hz): 10, 30, 50, 100, 500

Response: 0.0021+0.0009i, 0.0027+0.0029i, 0.0044+0.0052i, 0.0200-0.0040i, 0.0001-0.0021i

You can create an FRD object containing this data using:

Note that frequency values are assumed to be in rad/s unless you specify the Units to be Hertz.

Creating MIMO Models

The tf , zpk , ss , and frd commands let you construct both SISO and MIMO models. For TF or ZPK models, it is often convenient to construct MIMO models by concatenating simpler SISO models. For example, you can create the 2x2 MIMO transfer function:


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