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Exercícios para Superfícies Quádricas


Para os exercícios 1 a 6, esboce e descreva a superfície cilíndrica da equação dada.

1) [T] (x ^ 2 + z ^ 2 = 1 )

Responder:

A superfície é um cilindro com as réguas paralelas ao y-eixo.

2) [T] (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 )

3) [T] (z = cos ( frac {π} {2} + x) )

Responder:

A superfície é um cilindro com réguas paralelas ao y-eixo.

4) [T] (z = e ^ x )

5) [T] (z = 9 − y ^ 2 )

Responder:

A superfície é um cilindro com réguas paralelas ao x-eixo.

6) [T] (z = ln (x) )

Para os exercícios 7 a 10, o gráfico de uma superfície quádrica é fornecido.

uma. Especifique o nome da superfície quádrica.

b. Determine o eixo de simetria da superfície quádrica.

7)

Responder:
uma. Cilindro; b. O eixo (x ) -

8)

9)

Responder:
uma. Hiperbolóide de duas folhas; b. O eixo (x ) -

10)

Para os exercícios 11 - 16, combine a superfície quádrica dada com sua equação correspondente na forma padrão.

uma. ( frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {9} - frac {z ^ 2} {12} = 1 )

b. ( frac {x ^ 2} {4} - frac {y ^ 2} {9} - frac {z ^ 2} {12} = 1 )

c. ( frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {9} + frac {z ^ 2} {12} = 1 )

d. (z ^ 2 = 4x ^ 2 + 3y ^ 2 )

e. (z = 4x ^ 2 − y ^ 2 )

f. (4x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2 = 0 )

11) Hiperbolóide de duas folhas

Responder:
b.

12) Elipsóide

13) Parabolóide elíptico

Responder:
d.

14) Parabolóide hiperbólico

15) Hiperbolóide de uma folha

Responder:
uma.

16) Cone elíptico

Para os exercícios 17 a 28, reescreva a equação dada da superfície quádrica na forma padrão. Identifique a superfície.

17) (−x ^ 2 + 36y ^ 2 + 36z ^ 2 = 9 )

Responder:
(- frac {x ^ 2} {9} + frac {y ^ 2} { frac {1} {4}} + frac {z ^ 2} { frac {1} {4}} = 1, ) hiperbolóide de uma folha com o eixo (x ) como seu eixo de simetria

18) (−4x ^ 2 + 25y ^ 2 + z ^ 2 = 100 )

19) (−3x ^ 2 + 5y ^ 2 − z ^ 2 = 10 )

Responder:
(- frac {x ^ 2} { frac {10} {3}} + frac {y ^ 2} {2} - frac {z ^ 2} {10} = 1, ) hiperbolóide de dois folhas com o eixo (y ) como seu eixo de simetria

20) (3x ^ 2 − y ^ 2−6z ^ 2 = 18 )

21) (5y = x ^ 2 − z ^ 2 )

Responder:
(y = - frac {z ^ 2} {5} + frac {x ^ 2} {5}, ) parabolóide hiperbólico com o eixo (y ) - como seu eixo de simetria

22) (8x ^ 2−5y ^ 2−10z = 0 )

23) (x ^ 2 + 5y ^ 2 + 3z ^ 2−15 = 0 )

Responder:
( frac {x ^ 2} {15} + frac {y ^ 2} {3} + frac {z ^ 2} {5} = 1, ) elipsóide

24) (63x ^ 2 + 7y ^ 2 + 9z ^ 2−63 = 0 )

25) (x ^ 2 + 5y ^ 2−8z ^ 2 = 0 )

Responder:
( frac {x ^ 2} {40} + frac {y ^ 2} {8} - frac {z ^ 2} {5} = 0, ) cone elíptico com o eixo (z ) como seu eixo de simetria

26) (5x ^ 2−4y ^ 2 + 20z ^ 2 = 0 )

27) (6x = 3y ^ 2 + 2z ^ 2 )

Responder:
(x = frac {y ^ 2} {2} + frac {z ^ 2} {3}, ) parabolóide elíptico com o eixo (x ) - como seu eixo de simetria

28) (49y = x ^ 2 + 7z ^ 2 )

Para os exercícios 29 - 34, encontre o traço da superfície quádrica dada no plano de coordenadas especificado e esboce-o.

29) [T] (x ^ 2 + z ^ 2 + 4y = 0, z = 0 )

Responder:

Parábola (y = - frac {x ^ 2} {4}, )

30) [T] (x ^ 2 + z ^ 2 + 4y = 0, quad x = 0 )

31) [T] (−4x ^ 2 + 25y ^ 2 + z ^ 2 = 100, quad x = 0 )

Responder:

Elipse ( frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {100} = 1, )

32) [T] (−4x ^ 2 + 25y ^ 2 + z ^ 2 = 100, quad y = 0 )

33) [T] (x ^ 2 + frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {100} = 1, quad x = 0 )

Responder:

Elipse ( frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {100} = 1, )

34) [T] (x ^ 2 − y − z ^ 2 = 1, quad y = 0 )

35) Use o gráfico da superfície quádrica dada para responder às perguntas.

uma. Especifique o nome da superfície quádrica.

b. Qual das equações - (16x ^ 2 + 9y ^ 2 + 36z ^ 2 = 3600,9x ^ 2 + 36y ^ 2 + 16z ^ 2 = 3600, ) ou (36x ^ 2 + 9y ^ 2 + 16z ^ 2 = 3600 ) —corresponde ao gráfico?

c. Use b. para escrever a equação da superfície quádrica na forma padrão.

Responder:
uma. Elipsóide
b. A terceira equação
c. ( frac {x ^ 2} {100} + frac {y ^ 2} {400} + frac {z ^ 2} {225} = 1 )

36) Use o gráfico da superfície quádrica dada para responder às perguntas.

uma. Qual das equações - (36z = 9x ^ 2 + y ^ 2,9x ^ 2 + 4y ^ 2 = 36z ), ou (−36z = −81x ^ 2 + 4y ^ 2 ) - corresponde ao gráfico acima?

c. para escrever a equação da superfície quádrica na forma padrão.

Para os exercícios 37-42, é fornecida a equação de uma superfície quádrica.

uma. Use o método de completar o quadrado para escrever a equação na forma padrão.

b. Identifique a superfície.

37) (x ^ 2 + 2z ^ 2 + 6x − 8z + 1 = 0 )

Responder:
uma. ( frac {(x + 3) ^ 2} {16} + frac {(z − 2) ^ 2} {8} = 1 )
b. Cilindro centrado em ((−3,2) ) com réguas paralelas ao eixo (y )

38) (4x ^ 2 − y ^ 2 + z ^ 2−8x + 2y + 2z + 3 = 0 )

39) (x ^ 2 + 4y ^ 2−4z ^ 2−6x − 16y − 16z + 5 = 0 )

Responder:
uma. ( frac {(x − 3) ^ 2} {4} + (y − 2) ^ 2− (z + 2) ^ 2 = 1 )
b. Hiperbolóide de uma folha centrada em ((3,2, −2), ) com o eixo (z ) - como seu eixo de simetria

40) (x ^ 2 + z ^ 2−4y + 4 = 0 )

41) (x ^ 2 + frac {y ^ 2} {4} - frac {z ^ 2} {3} + 6x + 9 = 0 )

Responder:
uma. ((x + 3) ^ 2 + frac {y ^ 2} {4} - frac {z ^ 2} {3} = 0 )
b. Cone elíptico centrado em ((−3,0,0), ) com o eixo (z ) - como seu eixo de simetria

42) (x ^ 2 − y ^ 2 + z ^ 2−12z + 2x + 37 = 0 )

43) Escreva a forma padrão da equação do elipsóide centrado na origem que passa pelos pontos (A (2,0,0), B (0,0,1), ) e (C (12, sqrt {11}, frac {1} {2}). )

Responder:
( frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {16} + z ^ 2 = 1 )

44) Escreva a forma padrão da equação do elipsóide centrado no ponto (P (1,1,0) ) que passa pelos pontos (A (6,1,0), B (4,2,0) ) e (C (1,2,1) ).

45) Determine os pontos de interseção do cone elíptico (x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2 = 0 ) com a linha de equações simétricas ( frac {x − 1} {2} = frac {y + 1} {3} = z. )

Responder:
((1, −1,0) ) e ( frac {13} {3}, 4, frac {5} {3}) )

46) Determine os pontos de interseção do hiperbolóide parabólico (z = 3x ^ 2−2y ^ 2 ) com a linha das equações paramétricas (x = 3t, y = 2t, z = 19t ), onde (t∈R . )

47) Encontre a equação da superfície quádrica com pontos (P (x, y, z) ) que são equidistantes do ponto (Q (0, −1,0) ) e plano da equação (y = 1 . ) Identifique a superfície.

Responder:
(x ^ 2 + z ^ 2 + 4y = 0, ) parabolóide elíptico

48) Encontre a equação da superfície quádrica com pontos (P (x, y, z) ) que são equidistantes do ponto (Q (0,2,0) ) e plano da equação (y = −2 . ) Identifique a superfície.

49) Se a superfície de um refletor parabólico é descrita pela equação (400z = x ^ 2 + y ^ 2, ) encontre o ponto focal do refletor.

Responder:
( (0,0,100))

50) Considere o refletor parabólico descrito pela equação (z = 20x ^ 2 + 20y ^ 2. ) Encontre seu ponto focal.

51) Mostre que a superfície quádrica (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2xy + 2xz + 2yz + x + y + z = 0 ) se reduz a dois planos paralelos.

52) Mostre que a superfície quádrica (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2−2xy − 2xz + 2yz − 1 = 0 ) se reduz a dois planos paralelos passando.

53) [T] A interseção entre o cilindro ((x − 1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) e a esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ) é chamada de um Curva de Viviani.

uma. Resolva o sistema que consiste nas equações das superfícies para encontrar a equação da curva de interseção. (Dica: Encontre (x ) e (y ) em termos de (z ).)

b. Use um sistema de álgebra computacional (CAS) ou CalcPlot3D para visualizar a curva de interseção na esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ).

Responder:

uma. (x = 2− frac {z ^ 2} {2}, y = ± frac {z} {2} sqrt {4 − z ^ 2}, ) onde (z∈ [−2,2 ]; )

b.

54) Hiperbolóide de uma folha (25x ^ 2 + 25y ^ 2 − z ^ 2 = 25 ) e cone elíptico (−25x ^ 2 + 75y ^ 2 + z ^ 2 = 0 ) são representados na figura a seguir junto com suas curvas de interseção. Identifique as curvas de interseção e encontre suas equações (Dica: Encontre y no sistema que consiste nas equações das superfícies.)

55) [T] Use um CAS ou CalcPlot3D para criar a interseção entre cilindro (9x ^ 2 + 4y ^ 2 = 18 ) e elipsóide (36x ^ 2 + 16y ^ 2 + 9z ^ 2 = 144 ), e encontre as equações das curvas de interseção.

Responder:

duas elipses de equações ( frac {x ^ 2} {2} + frac {y ^ 2} { frac {9} {2}} = 1 ) nos planos (z = ± 2 sqrt {2 } )

56) [T] Um esferóide é um elipsóide com dois semiaxos iguais. Por exemplo, a equação de um esferóide com o eixo z como eixo de simetria é dada por ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {a ^ 2} + frac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1 ), onde (a ) e (c ) são números reais positivos. O esferóide é denominado oblato se (c a ).

uma. A córnea do olho é aproximada como um esferóide prolato com um eixo que é o olho, onde (a = 8,7 mm ) e (c = 9,6 mm ). Escreva a equação do esferóide que modela a córnea e esboce a superfície .

b. Dê dois exemplos de objetos com formas esferóides prolatas.

57) [T] Na cartografia, a Terra é aproximada por um esferóide oblato em vez de uma esfera. Os raios no equador e nos pólos são aproximadamente (3963 ) mi e (3950 ) mi, respectivamente.

uma. Escreva a equação na forma padrão do elipsóide que representa a forma da Terra. Suponha que o centro da Terra esteja na origem e que o traço formado pelo plano (z = 0 ) corresponde ao equador.

b. Esboce o gráfico.

c. Encontre a equação da curva de interseção da superfície com o plano (z = 1000 ) que é paralelo ao xy-avião. A curva de interseção é chamada de paralelo.

d. Encontre a equação da curva de interseção da superfície com o plano (x + y = 0 ) que passa pelo z-eixo. A curva de interseção é chamada de meridiano.

Responder:

uma. ( frac {x ^ 2} {3963 ^ 2} + frac {y ^ 2} {3963 ^ 2} + frac {z ^ 2} {3950 ^ 2} = 1 )

b.

c. A curva de interseção é a elipse da equação ( frac {x ^ 2} {3963 ^ 2} + frac {y ^ 2} {3963 ^ 2} = frac {(2950) (4950)} {3950 ^ 2 } ), e a interseção é uma elipse.
d. A curva de interseção é a elipse da equação ( frac {2y ^ 2} {3963 ^ 2} + frac {z ^ 2} {3950 ^ 2} = 1. )

58) [T] Um conjunto de ímãs de acrobacias vibrantes (ou "ovos de cascavel") inclui dois ímãs em forma de esferóide superfortes, brilhantes e polidos, conhecidos pelo entretenimento infantil. Cada ímã tem (1,625 ) pol. De comprimento e (0,5 ) pol. De largura no meio. Enquanto os jogam no ar, eles criam um som de zumbido conforme se atraem.

uma. Escreva a equação do esferóide prolato centrado na origem que descreve a forma de um dos ímãs.

b. Escreva as equações dos esferóides prolatos que modelam a forma dos zumbidos ímãs de acrobacias. Use um CAS ou CalcPlot3D para criar os gráficos.

59) [T] Uma superfície em forma de coração é dada pela equação ((x ^ 2 + frac {9} {4} y ^ 2 + z ^ 2−1) ^ 3 − x ^ 2z ^ 3− frac {9} {80} y ^ 2z ^ 3 = 0. )

uma. Use um CAS ou CalcPlot3D para representar graficamente a superfície que modela esta forma.

b. Determine e esboce o traço da superfície em forma de coração no xz-avião.

Responder:

uma.

b. A curva de interseção é ((x ^ 2 + z ^ 2−1) ^ 3 − x ^ 2z ^ 3 = 0. )

60) [T] O anel toróide simétrico em torno do eixo z é um tipo especial de superfície em topologia e sua equação é dada por ((x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + R ^ 2 − r ^ 2 ) ^ 2 = 4R ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ), onde (R> r> 0 ). Os números (R ) e (r ) são chamados de raios maiores e menores, respectivamente, da superfície. A figura a seguir mostra um toro em anel para o qual (R = 2 ) e (r = 1 ).

uma. Escreva a equação do toro do anel com (R = 2 ) e (r = 1 ) e use um CAS ou CalcPlot3D para representar graficamente a superfície. Compare o gráfico com a figura fornecida.

b. Determine a equação e esboce o traço do toro do anel a partir de a. no plano xy.

c. Dê dois exemplos de objetos com formas de toro em anel.

Contribuidores

Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.

Exercícios e LaTeX editados por Paul Seeburger


Soluções NCERT para Matemática Classe 10 & # 8217s & # 8211 Equações Quadráticas

Soluções NCERT para matemática da classe 10, capítulo 4: O primeiro passo para a preparação para o exame do conselho é resolver as questões dos exercícios do livro didático NCERT. Assim, os alunos que procuram Soluções NCERT para Matemática da Classe 10 As perguntas do exercício do Capítulo 4 (Equações quadráticas) podem ser analisadas neste artigo. O Capítulo 4 das Soluções NCERT para Matemática da Classe 10 envolve o Exercício 4.1, o Exercício 4.2, o Exercício 4.3, o Exercício 4.4 e o Exercício 4.5. Fornecemos soluções NCERT Classe 10 Capítulo 4 em PDF para que você possa consultar Soluções NCERT offline também. Além disso, os alunos também podem baixar as soluções NCERT para o capítulo 4 de matemática da Classe 10 em formato PDF. Continue lendo para obter soluções de exercícios de matemática NCERT Classe 10 para o Capítulo 4 e # 8211 Equações quadráticas.


Lista de planilhas de equação quadrática

Oriente seus alunos por esta variedade de planilhas em PDF! Familiarize-os com a descoberta da soma e do produto das raízes de uma dada equação quadrática. Equipe-os para utilizar esta soma e produto para formar a equação quadrática e determinar os coeficientes ausentes ou constantes nela.

Este monte de exercícios em pdf para alunos do ensino médio tem alguma prática prolífica na resolução de equações quadráticas por fatoração. Fatore e resolva as raízes reais ou complexas de equações quadráticas com coeficientes inteiros, fracionários e radicais.

Mantenha os alunos do ensino médio informados com a aplicação da propriedade da raiz quadrada na solução de equações quadráticas puras, com esta montagem de planilhas para impressão. Isole o termo x 2 em um lado da equação e o termo constante no outro lado e resolva para x tirando as raízes quadradas.

Complete o quadrado da equação quadrática fornecida e resolva para as raízes. Suba de nível trabalhando com equações envolvendo coeficientes radicais, fracionários, inteiros e decimais.

Discernir todos os fatos essenciais sobre um discriminante com esta compilação de planilhas do ensino médio. Determine o discriminante avaliando a expressão b 2 - 4ac onde a é o coeficiente de x 2, b o coeficiente de x e c o termo constante em uma equação quadrática.

Você pode dizer se as raízes de uma equação quadrática são iguais ou desiguais sem resolvê-lo? Faça um passeio rápido por esta coleção de apostilas de raízes para impressão! Preveja se as raízes são iguais ou desiguais e também se são reais ou complexas.

Seja para encontrar a média ou área ou descobrir a inclinação ou qualquer outro cálculo matemático, as fórmulas são importantes sem dúvida! Aumente sua capacidade de usar a fórmula quadrática e encontrar soluções para uma equação quadrática com este conjunto de recursos de prática!

Dê uma olhada em uma variedade de exemplos da vida real onde as equações quadráticas provam que têm um papel significativo a desempenhar! Leia cada problema de palavra com cuidado, forme a equação com os dados fornecidos e resolva o desconhecido.


Exercícios para Superfícies Quádricas

1 cone com seções

4 parabolóide hiperbólico

5 hiperbolóide elíptico 1

6 hiperbolóide elíptico 2

7 cilindro elíptico

8 cilindro circular

9 cilindro parabólico

10 cilindro hiperbólico

11 cone circular

12 hiperbolóide circular

13 parabolóide elíptico

14 elipsóide com seções

Uma superfície quadrática (ou quádrica) é uma superfície em três espaços definida por uma equação de grau dois. Portanto, é o análogo tridimensional de uma seção cônica, que é uma curva em dois espaços definida por uma equação de grau dois. As seções transversais planas de uma superfície quadrática devem ser seções cônicas, e os nomes das superfícies quadráticas referem-se aos diferentes tipos de seções transversais planas que possui. Os modelos neste grupo mostram os vários tipos.

As superfícies de revolução são obtidas girando uma seção cônica em torno de um de seus eixos. A superfície de revolução obtida de uma elipse é chamada de elipsóide, e aquela obtida de uma parábola é chamada de parabolóide. Uma hipérbole dá origem a diferentes superfícies de revolução, dependendo se é girada em torno do eixo conjugado (que passa entre os dois ramos da hipérbole) ou do eixo transversal (que cruza os dois ramos). O primeiro fornece um hiperbolóide de duas folhas, o segundo, um hiperbolóide de uma folha. As superfícies de revolução têm seções transversais circulares perpendiculares ao eixo de revolução. As superfícies mais gerais têm seções transversais elípticas ou hiperbólicas: assim, obtém-se parabolóides elípticos e hiperbólicos e hiperbolóides elípticos de uma ou duas lâminas.

Superfícies quadráticas degeneradas ocorrem quando todas as seções transversais planas através de uma dada linha reta são cônicas degeneradas: ou um par de retas paralelas, dando origem a um cilindro, ou um par de retas que se cruzam, dando origem a um cone.


Superfícies de nível e superfícies quadráticas

Interaja no desktop, no celular e na nuvem com o Wolfram Player gratuito ou outros produtos Wolfram Language.

Para uma função de três variáveis, , , e , a superfície nivelada do nível é definido como o conjunto de pontos em que são soluções de . Uma superfície quadrática ou quádrica é uma superfície que é dada por uma equação polinomial de segunda ordem nas três variáveis , , e .

Deixar , , e ser constantes diferentes de zero. Plotamos superfícies de nível para funções quadráticas em três variáveis, que fornecem algumas superfícies quadráticas bem conhecidas:

&Diamante dá elipsóides quando , esta é uma esfera centrada na origem do raio .

&Diamante ou dar cilindros elípticos com eixos de simetria ao longo do eixo e eixo, correspondendo a e .

&Diamante dá parabolóides elípticos, abrindo para cima ou para baixo conforme ou .

&Diamante e , com , dê cones elípticos. Para , as superfícies de nível são hiperbolóides de uma folha.

&Diamante ( ) e ( ) fornecem hiperbolóides de duas folhas.

Contribuição de: Ana Moura Santos e Jo & atildeo Pedro Pargana (Instituto Superior T & eacutecnico) (março de 2011)
Conteúdo aberto licenciado sob CC BY-NC-SA


Exercícios para ajudar a ciática

A maioria dos exercícios para ciática é para a parte inferior das costas. Verifique com seu médico antes de tentar estes exercícios que você pode fazer em casa:

Exercício do joelho ao peito

Esse alongamento simples visa a parte inferior das nádegas e a parte superior da coxa.

  • Passo 1: Deite-se de costas com as pernas dobradas e os pés apoiados no chão.
  • Etapa 2: leve um joelho ao peito enquanto mantém o outro pé no chão.
  • Etapa 3: mantendo a região lombar pressionada contra o chão, segure por até 30 segundos.
  • Etapa 4: repita do outro lado.

Tente fazer 2 a 4 repetições de cada lado. Para tornar o exercício um pouco mais difícil, mantenha uma perna esticada no chão enquanto levanta a outra até o peito. Você também pode trazer os dois joelhos até o peito.

Alongamento de isquiotibiais em pé

Tenha cuidado ao fazer este exercício. Segure-se em algo, se necessário, e não se estique demais.

  • Etapa 1: fique em pé e coloque um pé em uma superfície um pouco mais alta, como um degrau de escada.
  • Etapa 2: estique a perna no degrau e aponte os dedos dos pés para cima.
  • Etapa 3: incline-se ligeiramente para a frente, mantendo as costas retas.
  • Etapa 4: segure por 20 a 30 segundos. Lembre de respirar.
  • Etapa 5: repita com a outra perna.

Tente fazer 2 a 3 repetições com cada perna.

Exercício de inclinação pélvica

Este é outro exercício aparentemente simples que é bom para a ciática.

  • Etapa 1: deite-se de costas com as pernas dobradas e os braços ao lado do corpo.
  • Etapa 2: contraia os músculos do estômago, pressione as costas contra o chão e balance os quadris e a pelve ligeiramente para cima.
  • Etapa 3: mantenha essa posição enquanto imagina fazer seu umbigo tocar sua coluna vertebral. Não se esqueça de respirar.
  • Etapa 4: Solte após alguns segundos. Então repita.

Tente de 8 a 12 repetições.

Glute Bridges

Os glúteos são um grupo de músculos das nádegas. Se estiverem tensos, podem pressionar o nervo ciático.

  • Passo 1: Deite de costas no chão com os joelhos dobrados. Os pés devem estar separados na largura dos ombros. Relaxe os braços ao lado do corpo.
  • Etapa 2: empurrando os calcanhares, levante os quadris até que o corpo forme uma linha reta dos joelhos aos ombros.
  • Etapa 3: mantenha a posição por alguns segundos.
  • Etapa 4: abaixe lentamente os quadris até o chão. Então repita.

A boa forma é importante para este exercício. Evite arquear ou arredondar as costas. Tente 2 ou 3 séries de 8 a 10 repetições.

Alongamento glúteo deitado

Se você não tiver flexibilidade, talvez precise modificar um pouco este exercício.

  • Etapa 1: deite-se de costas com as pernas dobradas. Levante o tornozelo direito e descanse-o sobre o joelho esquerdo.
  • Etapa 2: usando as duas mãos, coloque os dedos atrás da coxa esquerda e puxe-a suavemente em sua direção, mantendo a cabeça e as costas no chão.
  • Etapa 3: segure por 20 a 30 segundos.
  • Etapa 4: repita com a outra perna.

Pode ser necessário elevar ligeiramente a cabeça com um livro ou almofada firme por baixo. Se você não conseguir alcançar sua coxa facilmente, você pode enrolar uma toalha em volta da coxa e usá-la para puxar sua coxa em sua direção. Faça 2 a 3 repetições com cada perna.


Segunda-feira:

  • Brilhante: Grupos de Picard, definição e exemplos simples (P ^ 2, superfície quádrica em P ^ 3) notas (pdf)
  • van Luijk: Divisor canônico na hipersuperfície de grau d em P ^ n e em intersecções completas notas de divisores muito amplos (pdf)
  • Testa: Classificação e o programa de modelo mínimo as notas de diamante de Hodge (pdf)
  • Exercícios 1 (pdf)

Terça-feira:

  • Brilhante: Riemann-Roch em superfícies, gênero e efetividade de curvas (-1), fórmula de adjunção
  • van Luijk: Grupos de Picard de notas de superfícies del Pezzo (pdf)
  • Testa: Root Lattices e seus grupos de automorfismo Segre-Manin para superfícies del Pezzo I notas (pdf)
  • Exercícios 2 (pdf)

Quarta-feira:

  • Testa: Segre-Manin para superfícies del Pezzo II
  • van Luijk: Crescimento de pontos racionais
  • Brilhante: Exemplos explicitamente computados de obstrução de Brauer-Manin por meio de notas de reciprocidade quadrática (pdf)

Quinta-feira:

  • Testa: Álgebras simples centrais e notas de grupos de Brauer (pdf)
  • Brilhante: Reformule exemplos fáceis de notas de maneira esclarecedora (pdf)
  • van Luijk: Galois cohomology I
  • Exercícios 3 (pdf)

Sexta-feira:

  • van Luijk Galois Cohomology II
  • Brilhante e testa: Como encontrar a álgebra da cohomologia de Galois? Programa Magma

Pré-requisitos. Presume-se alguma familiaridade com a geometria algébrica e aritmética básica, ao nível dos dois primeiros capítulos do livro de Silverman "Arithmetic of Elliptic Curves".

Leitura preliminar. Os participantes podem achar útil trabalhar os primeiros capítulos de "Capítulos sobre Superfícies Algébricas", de Miles Reid (disponível online). Leituras preliminares sobre cohomologia de grupo também serão úteis; uma boa referência é o capítulo 2 das notas de Milne sobre a Teoria do Campo de Classes.

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Exercícios para Superfícies Quádricas

Otimizando escala. O modo padrão de descida gradiente é escolher a escala que minimiza a energia naquela direção de movimento. Isso envolve uma busca linear ao longo da linha de movimento para a energia mínima. O Evolver faz a pesquisa avaliando a energia de várias escalas, aumentando ou diminuindo a escala até que tenha três escalas em que a energia do meio seja menor do que as duas externas. Em seguida, ele usa a integração quadrática para obter a escala final. As etapas de uma iteração são listadas em detalhes aqui.

Limite de escala. É possível que a pesquisa de linha mencionada vá muito longe em certas circunstâncias, portanto, há um limite superior definido para a escala, sendo o limite padrão 1,0. Isso pode ser alterado usando "scale_limit valor"frase no topo do arquivo de dados, ou definindo a variável scale_limit em tempo de execução, ou em resposta ao prompt produzido pelo comando" m ".

Escalas razoáveis. O problema de evolução geralmente é sinalizado por uma pequena escala, o que significa que há algum obstáculo à evolução. Claro, isso significa que você precisa saber o que é uma escala razoável, e isso depende do tipo de energia que você está usando e de quão refinada é sua superfície. Na evolução normal, o tamanho da escala é definido pelo desenvolvimento de rugosidade em pequena escala na superfície. Combinado com uma pequena análise dimensional, isso leva à conclusão de que a escala deve variar como L 2-q, onde L é o comprimento típico da aresta e as unidades de energia são o comprimento q. A análise dimensional é assim: Seja D a perturbação de um vértice de uma superfície de equilíbrio. Em geral, a energia é quadrática em torno de um equilíbrio, então

Portanto, a escala está na ordem de L 2-q. Alguns exemplos: Dependência dimensional da escala
EnergiaDimensão de energia EscalaArquivo de exemplo
Área do filme de sabão L 2 L 0 quad.fe
Comprimento da corda L 1 L 1 flower.fe
Curvatura quadrada da corda L -1 L 3 elastic8.fe
Curvatura média quadrada do filme de sabão L 0 L 2 sqcube.fe
Em particular, a escala para a evolução da área é independente do refinamento, mas para a maioria das outras energias a escala diminui com o refinamento.

Outra influência comum na escala de evolução da área é a tensão superficial. Fazer uma simulação de solda líquida em um sistema de unidades onde a tensão superficial das facetas é atribuída a um valor 470, digamos, significa que todos os gradientes calculados são multiplicados por 470, então a escala diminui por um fator de 470 para obter o mesmo movimento geométrico. Portanto, você deve definir scale_limit para ser o inverso da tensão superficial.

Escala fixa. Pode ser útil iterar com uma escala fixa. Por exemplo, se você fizer uma alteração no volume de um corpo e quiser que o ajuste tenha efeito sem a complicação de tentar minimizar a energia simultaneamente, itere uma vez com uma escala zero. Por exemplo, se você executar cube.fe e do, verá o ajuste de volume puro. O comando 'm' alterna entre a otimização e a escala fixa, exceto quando você o segue por um número, ele define uma escala fixa.

Outro uso para escala fixa é simular o crescimento de grãos. Aqui, o movimento dos limites dos grãos é definido para ter uma velocidade proporcional à sua curvatura média, portanto, você deseja manter a escala pequena o suficiente para que a aproximação linear do movimento seja razoavelmente boa.

Convergência. É impossível dizer, em geral, quando a descida do gradiente está perto da convergência. As superfícies podem estar arbitrariamente longe do mínimo e mover-se em direção a ele de forma arbitrária lentamente. Como exemplo, execute o arquivo de dados capillary3.fe. Este é um tubo ligeiramente comprimido com um filme de sabão atravessado. A energia mínima chega quando o filme está exatamente no meio do pescoço. Experimente esta evolução: ainda não no pescoço. Experimente mais etapas g. Veja quantos leva para convergir para a energia mínima de 3,13262861328124 para, digamos, 8 casas decimais.

Outro problema pode ser os pontos de sela. Se você começar com uma superfície simétrica, então sob a iteração 'g' a superfície deve permanecer simétrica. Se a superfície tiver um ponto de sela simétrico, a iteração poderia se aproximar dele e parecer que estava convergindo para um mínimo.

Gradiente conjugado

Na prática, o método do gradiente conjugado lembra um "vetor histórico" cumulativo, que combina com o gradiente comum para descobrir a direção do gradiente conjugado. O resultado é que o gradiente conjugado pode convergir muito mais rápido do que a descida do gradiente comum. No caso ideal de uma função de energia quadrática em N variáveis ​​e precisão numérica perfeita, o gradiente conjugado alcançará o mínimo exato dentro de N passos.

O gradiente conjugado pode ser alternado com o comando U ou com a alternância conj_grad. Deve sempre ser usado com escala de otimização.

Para ver a melhoria dramática que o gradiente conjugado pode produzir, execute capillary3.fe novamente, com esta evolução: O gradiente conjugado pode apresentar problemas, especialmente quando você o usa muito cedo, quando a superfície está fazendo grandes ajustes. Para ver um exemplo, execute capillary3.fe com esta evolução: e dê uma olhada no filme no centro.

Em suma, deve-se executar alguns passos de descida de gradiente normal no início da evolução de uma superfície ou depois de fazer grandes mudanças, mas a maior parte da iteração deve ser feita no modo de gradiente conjugado.

Observações: O método do gradiente conjugado é projetado para funções de energia quadrática. Contanto que a função de energia seja quase quadrática, já que deve estar próxima de um mínimo de energia, o gradiente conjugado funciona bem. Caso contrário, ele pode se comportar mal, seja dando passos muito grandes ou parando. Ambos os efeitos são devidos ao vetor de histórico ser enganoso. Para evitar etapas muito grandes, deve-se iterar sem gradiente conjugado por algumas etapas sempre que alterações significativas forem feitas na superfície (refinamento, alteração de uma restrição, etc.). Por outro lado, se parece que o gradiente conjugado está convergindo, pode ter simplesmente se confundido com sua própria história. Veja o exemplo de catenóide para um caso em questão. Um sinal de perigo é o fator de escala indo para zero. Se você estiver desconfiado, ative e desative o gradiente conjugado ("U 2"funciona muito bem) para apagar o vetor de histórico e começar de novo.


Exercícios para Superfícies Quádricas

A versão mais recente do seu software é incrível. Além da GUI, eu particularmente gostei dos "assistentes" que tornam a entrada de problemas de tipo de geometria muito mais fácil. Ainda não usei os recursos mais avançados (operações de funções, etc.), mas isso será útil quando eu entrar no curso de álgebra universitária.
Candice Rosenberger, VT

No início, fiquei com a impressão de que seu software era voltado para o ensino fundamental e médio, então não o usei de todo. Finalmente, uma noite, por capricho, experimentei e, depois de ultrapassar a curva de aprendizado inicial, fiquei impressionado com o quão avançado ele realmente é! Quero dizer, estarei usando todo o meu bacharelado em antropologia!
Anthony Washington, MO

O Algebrator foi muito útil, me ajudou a voltar aos trilhos e trazer de volta minhas habilidades para a minha próxima temporada escolar. O programa mostra soluções passo a passo que facilitam o aprendizado. Acho que isso seria muito útil para qualquer pessoa que está começando a aprender álgebra, ou mesmo se já souberem, aprimorará suas habilidades.
Ken Edwards, WA

Eu considero este software como um substituto do tutor de álgebra humana. Isso também, a um preço muito acessível.
Daniel Swan, IA

O Algebrator era muito mais barato do que os tutores de álgebra tradicionais e me permitia trabalhar no meu ritmo com cada problema. Se não fosse por Algebrator, temo ter reprovado na aula de álgebra. Você é um salva-vidas!
Franklin Bradley, AK


MathHelp.com

A primeira coisa que farei aqui é multiplicar no lado esquerdo e, em seguida, moverei o 4 do lado direito para o lado esquerdo:

Uma vez que não há fatores de (1) (& ndash4) = & ndash4 que somam & ndash2, então este quadrático não é fatorado. (Em outras palavras, não é possível que a solução de fatoração falsa de & quot x = 4, x & ndash 2 = 4 & quot pode ser até ligeiramente correto.)

Portanto, a fatoração não funcionará, mas posso usar a Fórmula Quadrática neste caso, vou inserir os valores uma = 1, b = & ndash2 e c = & ndash4:

x = & ndash1.24, x = 3,24, arredondado para duas casas decimais.

Para referência, aqui está o gráfico da quadrática associada, y = x 2 & ndash 2x & ndash 4, parece:

Como você pode ver, as soluções da Fórmula Quadrática combinam com o x -intercepts. Os locais onde o gráfico cruza o x -eixo fornece os valores que resolvem a equação original.

Existe outra conexão entre as soluções da Fórmula Quadrática e o gráfico da parábola: você pode dizer quantas x -intercepta que você terá do valor dentro da raiz quadrada. O argumento (ou seja, o conteúdo) da raiz quadrada, sendo a expressão b 2 & ndash 4ac , é chamado de & quotdiscriminante & quot porque, usando seu valor, você pode "discriminar" entre (ou seja, ser capaz de distinguir entre) os vários tipos de solução.

Neste caso, o valor do discriminante b 2 & ndash 4ac era 20 em particular, o valor era não zero e era não negativo. Como o valor não era negativo, a equação teria pelo menos uma solução (com valor real) porque o valor não era zero, as duas soluções seriam distintas (ou seja, seriam diferentes uma da outra )

Resolva 9x 2 + 12x + 4 = 0. Deixe sua resposta na forma exata.

Usando uma = 9, b = 12, e c = 4, a Fórmula Quadrática me dá:

No primeiro exemplo desta página, obtive duas soluções porque o valor do discriminante (ou seja, o valor dentro da raiz quadrada) era diferente de zero e positivo. Como resultado, a parte & quot mais-menos & quot da Fórmula me deu dois valores distintos, um para a parte & quot mais & quot do numerador e outro para a parte & quot menos & quot. Nesse caso, porém, a raiz quadrada foi reduzida a zero, portanto, o mais-menos não contava para nada.

Este tipo de solução, em que você obtém apenas um valor porque & quotplus ou menos zero & quot não mudou nada, é chamado de raiz & quotrepetida & quot, porque x é igual a, mas é igual a esse valor meio que duas vezes: e.

Você pode ver esta repetição melhor se você fatorar o quadrático (e, como as soluções eram boas frações nítidas, o quadrático deve fator): 9x 2 + 12x + 4 = (3x + 2)(3x + 2) = 0, então o primeiro fator nos dá 3x + 2 = 0 então, e (a partir do segundo fator idêntico) 3x + 2 = 0 então novamente.

Sempre que você terminar com zero dentro da raiz quadrada da Fórmula Quadrática, você obterá apenas uma solução para a equação, no sentido de obter um número que resolve a equação. Mas você obterá duas soluções, no sentido de que um valor seja contado duas vezes. Em outras palavras, um discriminante (ou seja, a expressão b 2 & ndash 4ac ) com um valor zero significa que você obterá um valor de solução & quotrepetido & quot.

Abaixo está o gráfico da função associada, y = 9x 2 + 12x + 4, parece:

A parábola apenas toca o x -eixo nele não cruza realmente. This relationship is always true: if you have a root that appears exactly twice (or, which is the same thing, if you get zero inside the square root), then the graph will "kiss" the axis at the solution value, but it will not pass through the axis.

Solve 3x 2 + 4x + 2 = 0

Since there are no factors of (3)(2) = 6 that add up to 4 , this quadratic does not factor. But the Quadratic Formula always works in this case, I'll be plugging in the values uma = 3, b = 4, and c = 2 :

At this point, I have a negative number inside the square root. If you haven't learned about complex numbers yet, then you would have to stop here, and the answer would be "no solution" if you do know about complex numbers, then you can continue the calculations:

Thus, depending upon your level of study, your answer will be one of the following:

real-number solutions: no solution

But whether or not you know about complexes, you know that you cannot graph your answer, because you cannot graph the square root of a negative number on the regular Cartesian place. There are no such values on the x -eixo. Since you can't find a graphable solution to the quadratic, then reasonably there should not be any x -intercepts (because you can graph an x -intercept).

Here's the graph of the associated function, y = 3x 2 + 4x + 2 :

As you can see, the graph does not cross, or even touch, the x -eixo. This relationship is always true: If you get a negative value inside the square root, then there will be no real number solution, and therefore no x -intercepts. In other words, if the the discriminant (being the expression b 2 &ndash 4ac ) has a value which is negative, then you won't have any graphable zeroes.

(The relationship between the discriminant (being the value inside the square root), the type of solutions (two distinct solutions, one repeated solution, or no graphable solutions), and the number of x -intercepts on the graph (two, one, or none) is summarized in a chart on the next page.)


Assista o vídeo: CÔNICAS PARA ESAESPCEX!! Elipse exercícios resolvidos. (Novembro 2021).