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Integrais duplos em coordenadas polares (exercícios)


Termos e Conceitos

1. Ao avaliar ( displaystyle int int_R f (x, y) , dA ) usando coordenadas polares, (f (x, y) ) é substituído por _______ e (dA ) é substituído por _______.

Responder:
(f (x, y) ) é substituído por (f (r cos theta, r sin theta) ) e (dA ) é substituído por (r , dr , d theta ).

2. Por que alguém estaria interessado em avaliar uma integral dupla com coordenadas polares?

Definindo regiões polares

Nos exercícios 3 - 6, expresse a região (R ) em coordenadas polares.

3) (R ) é a região do disco de raio 2 centrada na origem que se encontra no primeiro quadrante.

Responder:
(R = big {(r, theta) , | , 0 leq r leq 2, space 0 leq theta leq frac { pi} {2} big } )

4) (R ) é a região do disco de raio 3 centrada na origem.

5) (R ) é a região entre os círculos de raio 4 e raio 5 centrados na origem que se encontra no segundo quadrante.

Responder:
(R = big {(r, theta) , | , 4 leq r leq 5, space frac { pi} {2} leq theta leq pi big } )

6) (R ) é a região limitada pelo eixo (y ) e (x = sqrt {1 - y ^ 2} ).

7) (R ) é a região limitada pelo eixo (x ) e (y = sqrt {2 - x ^ 2} ).

Responder:
(R = big {(r, theta) , | , 0 leq r leq sqrt {2}, espaço 0 leq theta leq pi big } )

8) (R = big {(x, y) , | , x ^ 2 + y ^ 2 leq 4x big } )

9) (R = big {(x, y) , | , x ^ 2 + y ^ 2 leq 4y big } )

Responder:
(R = big {(r, theta) , | , 0 leq r leq 4 espaço sin theta, espaço 0 leq theta leq pi big } )

Nos exercícios 10-15, o gráfico da região retangular polar (D ) é dado. Expresse (D ) em coordenadas polares.

10)

11)

Responder:
(D = big {(r, theta) , | , 3 leq r leq 5, space frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {2} big } )

12)

13)

Responder:
(D = big {(r, theta) , | , 3 leq r leq 5, space frac {3 pi} {4} leq theta leq frac {5 pi} {4} big } )

14) No gráfico a seguir, a região (D ) está situada abaixo de (y = x ) e é limitada por (x = 1, espaço x = 5 ), e (y = 0 ) .

15) No gráfico a seguir, a região (D ) é limitada por (y = x ) e (y = x ^ 2 ).

Responder:
(D = big {(r, theta) , | , 0 leq r leq tan theta espaço sec theta, espaço 0 leq theta leq frac { pi } {4} big } )

Avaliando Integrais Duplos Polares

Nos exercícios 16 - 25, avalie a integral dupla ( displaystyle iint_R f (x, y) , dA ) sobre a região retangular polar (R ).

16) (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 ), (R = big {(r, theta) , | , 3 leq r leq 5, espaço 0 leq theta leq 2 pi big } )

17) (f (x, y) = x + y ), (R = big {(r, theta) , | , 3 leq r leq 5, espaço 0 leq theta leq 2 pi big } )

Responder:
(0)

18) (f (x, y) = x ^ 2 + xy, espaço R = big {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, espaço pi leq theta leq 2 pi big } )

19) (f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 4, space R = big {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, space frac {3 pi} {2} leq theta leq 2 pi big } )

Responder:
( frac {63 pi} {16} )

20) (f (x, y) = sqrt [3] {x ^ 2 + y ^ 2} ), onde (R = big {(r, theta) , | , 0 leq r leq 1, space frac { pi} {2} leq theta leq pi big } ).

21) (f (x, y) = x ^ 4 + 2x ^ 2y ^ 2 + y ^ 4 ), onde (R = big {(r, theta) , | , 3 leq r leq 4, space frac { pi} {3} leq theta leq frac {2 pi} {3} big } ).

Responder:
( frac {3367 pi} {18} )

22) (f (x, y) = sin ( arctan frac {y} {x}) ), onde (R = big {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, space frac { pi} {6} leq theta leq frac { pi} {3} big } )

23) (f (x, y) = arctan left ( frac {y} {x} right) ), onde (R = big {(r, theta) , | , 2 leq r leq 3, space frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {3} big } )

Responder:
( frac {35 pi ^ 2} {576} )

24) ( displaystyle iint_R e ^ {x ^ 2 + y ^ 2} left [1 + 2 space arctan left ( frac {y} {x} right) right] , dA, space R = big {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, space frac { pi} {6} leq theta frac { pi} {3 }grande})

25) ( displaystyle iint_R left (e ^ {x ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 4 + 2x ^ 2y ^ 2 + y ^ 4 right) arctan left ( frac {y} { x} right) , dA, space R = big {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, space frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {3} big } )

Responder:
( frac {7} {576} pi ^ 2 (21 - e + e ^ 4) )

Convertendo Integrais Duplos em Forma Polar

Nos exercícios 26 - 29, as integrais foram convertidas em coordenadas polares. Verifique se as identidades são verdadeiras e escolha a forma mais fácil de avaliar as integrais, em coordenadas retangulares ou polares.

26) ( displaystyle int_1 ^ 2 int_0 ^ x (x ^ 2 + y ^ 2) , dy space dx = int_0 ^ { frac { pi} {4}} int _ { sec theta} ^ {2 space sec theta} r ^ 3 , dr space d theta )

27) ( displaystyle int_2 ^ 3 int_0 ^ x frac {x} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} , dy space dx = int_0 ^ { pi / 4} int_0 ^ { tan theta espaço sec theta} , r espaço cos theta espaço dr espaço d theta )

Responder:
( frac {5} {4} ln (3 + 2 sqrt {2}) )

28) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_ {x ^ 2} ^ x frac {1} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} , dy space dx = int_0 ^ { pi / 4} displaystyle int_0 ^ { tan theta space sec theta} space dr space d theta )

29) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_ {x ^ 2} ^ x frac {y} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} , dy space dx = int_0 ^ { pi / 4} displaystyle int_0 ^ { tan theta space sec theta} , r space sin theta space dr space d theta )

Responder:
( frac {1} {6} (2 - sqrt {2}) )

Nos exercícios 30 - 37, desenhe a região de integração, (R ), rotulando todos os limites de integração, converta as integrais em coordenadas polares e avalie-as.

30) ( displaystyle int_0 ^ 3 int_0 ^ { sqrt {9-y ^ 2}} , dx space dy )

31) ( displaystyle int_0 ^ 2 int _ {- sqrt {4-y ^ 2}} ^ { sqrt {4-y ^ 2}} , dx space dy )

Responder:
( displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ 2 r ^ 5 , dr space d theta quad = quad frac {32 pi} {3} )

32) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_0 ^ { sqrt {1-x ^ 2}} (x + y) space dy space dx )

33) ( displaystyle int_0 ^ 4 int _ {- sqrt {16-x ^ 2}} ^ { sqrt {16-x ^ 2}} sin (x ^ 2 + y ^ 2) space dy space dx )

Responder:
( displaystyle int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_0 ^ 4 , r space sin (r ^ 2) space dr space d theta quad = quad pi espaço sin ^ 2 8 )

34) ( displaystyle int_0 ^ 5 int _ {- sqrt {25-x ^ 2}} ^ { sqrt {25-x ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} , dy , dx )

35) ( displaystyle int _ {- 4} ^ 4 int _ {- sqrt {16-y ^ 2}} ^ {0} (2y-x) , dx , dy )

Responder:
( displaystyle int _ { frac { pi} {2}} ^ { frac {3 pi} {2}} int_0 ^ {4} big (2r sin theta - r cos theta big) , r , dr space d theta quad = quad frac {128} {3} )

36) ( displaystyle int_0 ^ 2 int_ {y} ^ { sqrt {8-y ^ 2}} (x + y) , dx , dy )

37) ( displaystyle int _ {- 2} ^ {- 1} int_ {0} ^ { sqrt {4-x ^ 2}} (x + 5) , dy , dx + int _ {- 1 } ^ 1 int _ { sqrt {1-x ^ 2}} ^ { sqrt {4-x ^ 2}} (x + 5) , dy , dx + int_1 ^ 2 int_0 ^ { sqrt { 4-x ^ 2}} (x + 5) , dy , dx )

Responder:
( displaystyle int_ {0} ^ { pi} int_1 ^ {2} big (r cos theta + 5 big) , r , dr space d theta quad = quad frac {15 pi} {2} )

38) Avalie a integral ( displaystyle iint_D r , dA ) onde (D ) é a região delimitada pelo eixo polar e a metade superior do cardióide (r = 1 + cos theta ) .

39) Encontre a área da região (D ) limitada pelo eixo polar e a metade superior do cardióide (r = 1 + cos theta ).

Responder:
( frac {3 pi} {4} )

40) Avalie a integral ( displaystyle iint_D r , dA, ) onde (D ) é a região limitada pela parte da rosa de quatro folhas (r = sin 2 theta ) situada em o primeiro quadrante (veja a figura a seguir).

41) Encontre a área total da região delimitada pela rosa de quatro folhas (r = sin 2 theta ) (veja a figura do exercício anterior).

Responder:
( frac { pi} {2} )

42) Encontre a área da região (D ) que é a região limitada por (y = sqrt {4 - x ^ 2} ), (x = sqrt {3} ), (x = 2 ) e (y = 0 ).

43) Encontre a área da região (D ), que é a região dentro do disco (x ^ 2 + y ^ 2 leq 4 ) e à direita da linha (x = 1 ).

Responder:
( frac {1} {3} (4 pi - 3 sqrt {3}) )

44) Determine o valor médio da função (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 ) sobre a região (D ) limitada pela curva polar (r = cos 2 theta ), onde (- frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {4} ) (veja o gráfico a seguir).

45) Determine o valor médio da função (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) sobre a região (D ) limitada pela curva polar (r = 3 sen 2 theta ), onde (0 leq theta leq frac { pi} {2} ) (veja o gráfico a seguir).

Responder:
( frac {16} {3 pi} )

46) Encontre o volume do sólido situado no primeiro octante e delimitado pelo parabolóide (z = 1 - 4x ^ 2 - 4y ^ 2 ) e os planos (x = 0, espaço y = 0 ), e (z = 0 ).

47) Encontre o volume do sólido limitado pelo parabolóide (z = 2 - 9x ^ 2 - 9y ^ 2 ) e o plano (z = 1 ).

Responder:
( frac { pi} {18} )

48)

  1. Encontre o volume do sólido (S_1 ) limitado pelo cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) e os planos (z = 0 ) e (z = 1 ).
  2. Encontre o volume do sólido (S_2 ) fora do cone duplo (z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) dentro do cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ), e acima do plano (z = 0 ).
  3. Encontre o volume do sólido dentro do cone (z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) e abaixo do plano (z = 1 ) subtraindo os volumes dos sólidos (S_1 ) e ( S_2 ).

49)

  1. Encontre o volume do sólido (S_1 ) dentro da esfera unitária (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ) e acima do plano (z = 0 ).
  2. Encontre o volume do sólido (S_2 ) dentro do cone duplo ((z - 1) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) e acima do plano (z = 0 ).
  3. Encontre o volume do sólido fora do cone duplo ((z - 1) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) e dentro da esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ) .
Responder:
uma. ( frac {2 pi} {3} ); b. ( frac { pi} {2} ); c. ( frac { pi} {6} )

Nos Exercícios 50-51, integrais duplos especiais são apresentados e são especialmente adequados para avaliação em coordenadas polares.

50) A superfície de um cone circular reto com altura (h ) e raio de base (a ) pode ser descrita pela equação (f (x, y) = hh sqrt { frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {a ^ 2}} ), onde a ponta do cone fica em ((0,0, h) ) e a base circular fica em ( xy ) - plano, centrado na origem.
Confirme se o volume de um cone circular direito com altura (h ) e raio de base (a ) é (V = frac {1} {3} pi a ^ 2h ) avaliando ( displaystyle int int_R f (x, y) , dA ) em coordenadas polares.

51) Considere ( displaystyle int int_R e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} , dA. )
(a) Por que essa integral é difícil de avaliar em coordenadas retangulares, independentemente da região (R )?
(b) Seja (R ) a região limitada pelo círculo de raio (a ) centrado na origem. Avalie a integral dupla usando coordenadas polares.
(c) Tire o limite de sua resposta de (b), como (a a infty ). O que isso implica sobre o volume sob a superfície de (e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} ) sobre todo o plano (xy ) -?

Para os dois exercícios seguintes, considere um anel esférico, que é uma esfera com um furo cilíndrico cortado de forma que o eixo do cilindro passe pelo centro da esfera (veja a figura a seguir).

52) Se a esfera tem raio 4 e o cilindro tem raio 2 encontre o volume do anel esférico.

53) Um furo cilíndrico de 6 cm de diâmetro é perfurado através de uma esfera de raio de 5 cm de modo que o eixo do cilindro passe pelo centro da esfera. Encontre o volume do anel esférico resultante.

Responder:
( frac {256 pi} {3} space text {cm} ^ 3 )

54) Encontre o volume do sólido que se encontra sob o cone duplo (z ^ 2 = 4x ^ 2 + 4y ^ 2 ), dentro do cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = x ), e acima do plano (z = 0 ).

55) Encontre o volume do sólido que se encontra sob o parabolóide (z = x ^ 2 + y ^ 2 ), dentro do cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) e acima do plano (z = 0 ).

Responder:
( frac {3 pi} {32} )

56) Encontre o volume do sólido que está sob o plano (x + y + z = 10 ) e acima do disco (x ^ 2 + y ^ 2 = 4x ).

57) Encontre o volume do sólido que está sob o plano (2x + y + 2z = 8 ) e acima do disco unitário (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

Responder:
(4 pi )

58) Uma função radial (f ) é uma função cujo valor em cada ponto depende apenas da distância entre aquele ponto e a origem do sistema de coordenadas; ou seja, (f (x, y) = g (r) ), onde (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ). Mostre que se (f ) é uma função radial contínua, então

[ iint_D f (x, y) dA = ( theta_2 - theta_1) [G (R_2) - G (R_1)], espaço onde espaço G '(r) = rg (r) ] e ((x, y) in D = {(r, theta) | R_1 leq r leq R_2, espaço 0 leq theta leq 2 pi} ), com (0 leq R_1 < R_2 ) e (0 leq theta_1 < theta_2 leq 2 pi ).

59) Use as informações do exercício anterior para calcular a integral ( displaystyle iint_D (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 3 dA, ) onde (D ) é o disco da unidade.

Responder:
( frac { pi} {4} )

60) Seja (f (x, y) = frac {F '(r)} {r} ) uma função radial contínua definida na região anular (D = {(r, theta) | R_1 leq r leq R_2, espaço 0 leq theta 2 pi} ), onde (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ), (0

Mostre que ( displaystyle iint_D f (x, y) , dA = 2 pi [F (R_2) - F (R_1)]. )

61) Aplique o exercício anterior para calcular a integral ( displaystyle iint_D frac {e ^ { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} , dx space dy ) onde (D ) é a região anular entre os círculos dos raios 1 e 2 situados no terceiro quadrante.

Responder:
( frac {1} {2} pi e (e - 1) )

62) Seja (f ) uma função contínua que pode ser expressa em coordenadas polares como uma função de ( theta ) apenas; ou seja, (f (x, y) = h ( theta) ), onde ((x, y) in D = {(r, theta) | R_1 leq r leq R_2, espaço theta_1 leq theta leq theta_2} ), com (0 leq R_1

Mostre que ( displaystyle iint_D f (x, y) , dA = frac {1} {2} (R_2 ^ 2 - R_1 ^ 2) [H ( theta_2) - H ( theta_1)] ) , onde (H ) é uma antiderivada de (h ).

63) Aplique o exercício anterior para calcular a integral ( displaystyle iint_D frac {y ^ 2} {x ^ 2} , dA, ) onde (D = big {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, space frac { pi} {6} leq theta leq frac { pi} {3} big }. )

Responder:
( sqrt {3} - frac { pi} {4} )

64) Seja (f ) uma função contínua que pode ser expressa em coordenadas polares como uma função de ( theta ) apenas; isto é (f (x, y) = g (r) h ( theta) ), onde ((x, y) in big {(r, theta) , | , R_1 leq r leq R_2, espaço theta_1 leq theta leq theta_2 big } ) com (0 leq R_1

65) Avalie ( displaystyle iint_D arctan left ( frac {y} {x} right) sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} , dA, ) onde (D = big {(r, theta) , | , 2 leq r leq 3, space frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {3} big } ).

Responder:
( frac {133 pi ^ 3} {864} )

66) Uma tampa esférica é a região de uma esfera que fica acima ou abaixo de um determinado plano.

uma. Mostre que o volume da tampa esférica na figura abaixo é ( frac {1} {6} pi h (3a ^ 2 + h ^ 2) ).

b. Um segmento esférico é o sólido definido pela intersecção de uma esfera com dois planos paralelos. Se a distância entre os planos for (h ) mostre que o volume do segmento esférico na figura abaixo é ( frac {1} {6} pi h (3a ^ 2 + 3b ^ 2 + h ^ 2 ) ).

67) Em estatística, a densidade conjunta para dois eventos independentes, normalmente distribuídos com uma média ( mu = 0 ) e uma distribuição padrão ( sigma ) é definida por (p (x, y) = frac {1} {2 pi sigma ^ 2} e ^ {- frac {x ^ 2 + y ^ 2} {2 sigma ^ 2}} ). Considere ((X, Y) ), as coordenadas cartesianas de uma bola na posição de repouso depois que ela foi lançada de uma posição no z-eixo em direção ao plano (xy ) -. Suponha que as coordenadas da bola sejam distribuídas independentemente normalmente com uma média ( mu = 0 ) e um desvio padrão de ( sigma ) (em pés). A probabilidade de que a bola pare a não mais do que (a ) pés da origem é dada por [P [X ^ 2 + Y ^ 2 leq a ^ 2] = iint_D p (x, y) dy espaço dx, ] onde (D ) é o disco de raio (a ) centrado na origem. Mostre que [P [X ^ 2 + Y ^ 2 leq a ^ 2] = 1 - e ^ {- a ^ 2/2 sigma ^ 2}. ]

68) A integral dupla imprópria [ int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} , dy , dx ] pode ser definido como o valor limite dos integrais duplos ( displaystyle iint_D e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} , dA ) sobre discos (D_a ) de raios (a ) centralizado na origem, pois (a ) aumenta sem limite; isso é,

[ int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} dy space dx = lim_ {a rightarrow infty} iint_ {D_a} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} , dA. ]

Use coordenadas polares para mostrar que ( displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} , dy , dx = 2 pi. )

69) Mostre que ( displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2/2} , dx = sqrt {2 pi} ) usando a relação

[ int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} , dy , dx = left ( int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2/2} dx right) left ( int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- y ^ 2/2 } dy right). ]

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.

  • Os Problemas 1, 2, 34 - 37 e 50 - 51 são do Apex Calculus, Capítulo 13.3
  • Editado por Paul Seeburger (Monroe Community College)

Exercício 2 DUPLO INTEGRAL NAS COORDENADAS POLARES. V1-y² dædy V2 / 2 V2 / 2 intergal & quot dydx + Considere (i) Use as coordenadas polares para combinar as integrais em uma única integral dupla. (ii) Avalie a integral. (Suponha -T & lt0 & lt1)

Use coordenadas polares para combinar as integrais em uma integral dupla.

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Exercício 2 DUPLO INTEGRAL NAS COORDENADAS POLARES. V1-y² dædy V2 / 2 V2 / 2 intergal & quot dydx + Considere (i) Use as coordenadas polares para combinar as integrais em uma única integral dupla. (ii) Avalie a integral. (Suponha -T & lt0 & lt1)


5.3 Integrais Duplos em Coordenadas Polares

Integrais duplos às vezes são muito mais fáceis de avaliar se mudarmos as coordenadas retangulares para coordenadas polares. No entanto, antes de descrevermos como fazer essa mudança, precisamos estabelecer o conceito de integral dupla em uma região retangular polar.

Regiões retangulares polares de integração

Usando a mesma ideia para todos os sub-retângulos e somando os volumes das caixas retangulares, obtemos uma soma de Riemann dupla como

Como vimos antes, obtemos uma melhor aproximação do volume polar do sólido acima da região R R quando deixamos m m e n n se tornarem maiores. Portanto, definimos o volume polar como o limite da soma dupla de Riemann,

Isso se torna a expressão para o integral duplo.

Definição

Novamente, assim como em Integrais duplos sobre regiões retangulares, a integral dupla sobre uma região retangular polar pode ser expressa como uma integral iterativa em coordenadas polares. Por isso,

Observe que todas as propriedades listadas em Integrais duplos sobre regiões retangulares para o integral duplo em coordenadas retangulares também são verdadeiras para o integral duplo em coordenadas polares, portanto, podemos usá-las sem hesitação.

Exemplo 5.24

Desenhando uma região retangular polar

Solução

Agora que esboçamos uma região retangular polar, vamos demonstrar como avaliar uma integral dupla sobre esta região usando coordenadas polares.

Exemplo 5.25

Avaliando um Integral Duplo em uma Região Retangular Polar

Solução

Primeiro, esboçamos uma figura semelhante à Figura 5.30, mas com raio externo 2. 2 Pela figura, podemos ver que temos

Exemplo 5.26

Avaliando um Integral Duplo por Conversão de Coordenadas Retangulares

Solução

Usando a conversão x = r cos θ, y = r sin θ, x = r cos θ, y = r sin θ e d A = r d r d θ, d A = r d r d θ, temos

Exemplo 5.27

Avaliando um Integral Duplo por Conversão de Coordenadas Retangulares

Solução

Portanto, usando a conversão x = r cos θ, y = r sin θ, x = r cos θ, y = r sin θ e d A = r d r d θ, d A = r d r d θ, temos

Regiões Polares Gerais de Integração

Para avaliar a integral dupla de uma função contínua por integrais iterados sobre regiões polares gerais, consideramos dois tipos de regiões, análogos ao Tipo I e Tipo II, conforme discutido para coordenadas retangulares em Integrais Duplos sobre Regiões Gerais. É mais comum escrever equações polares como r = f (θ) r = f (θ) do que θ = f (r), θ = f (r), portanto, descrevemos uma região polar geral como R = <(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, h 1 (θ) ≤ r ≤ h 2 (θ)> R = <(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, h 1 (θ) ≤ r ≤ h 2 (θ)> (veja a figura a seguir).

Integrais duplos sobre regiões polares gerais

Exemplo 5.28

Avaliando um Duplo Integral em uma Região Polar Geral

Solução

Áreas polares e volumes

Ilustramos essa ideia com alguns exemplos.

Exemplo 5.29

Encontrar um volume usando um duplo integral

Encontre o volume do sólido que está sob o parabolóide z = 1 - x 2 - y 2 z = 1 - x 2 - y 2 e acima do círculo unitário no plano x y x y (veja a figura a seguir).

Solução

Pelo método de integração dupla, podemos ver que o volume é a integral iterada da forma ∬ R (1 - x 2 - y 2) d A ∬ R (1 - x 2 - y 2) d A onde R = < (r, θ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2 π>. R = <(r, θ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2 π>.

Esta integração foi mostrada antes no Exemplo 5.26, então o volume é π 2 π 2 unidades cúbicas.

Exemplo 5.30

Encontrando um Volume Usando Integração Dupla

Encontre o volume do sólido que se encontra sob o parabolóide z = 4 - x 2 - y 2 z = 4 - x 2 - y 2 e acima do disco (x - 1) 2 + y 2 = 1 (x - 1) 2 + y 2 = 1 no plano xyxy. Veja o parabolóide na Figura 5.35 interceptando o cilindro (x - 1) 2 + y 2 = 1 (x - 1) 2 + y 2 = 1 acima do plano x y x y.

Solução

Portanto, o volume do sólido delimitado acima pelo parabolóide z = 4 - x 2 - y 2 z = 4 - x 2 - y 2 e abaixo por r = 2 cos θ r = 2 cos θ é

Observe no próximo exemplo que a integração nem sempre é fácil com coordenadas polares. A complexidade da integração depende da função e também da região sobre a qual precisamos realizar a integração. Se a região tem uma expressão mais natural em coordenadas polares ou se f f tem uma antiderivada mais simples em coordenadas polares, então a mudança nas coordenadas polares é apropriada, caso contrário, use coordenadas retangulares.

Exemplo 5.31

Encontrar um volume usando um duplo integral

Solução

Primeiro examine a região sobre a qual precisamos configurar a integral dupla e o parabolóide que a acompanha.

Como você pode ver, essa integral é muito complicada. Então, podemos avaliar esta integral dupla em coordenadas retangulares como

Para responder à questão de como as fórmulas para os volumes de diferentes sólidos padrão, como uma esfera, um cone ou um cilindro, são encontradas, queremos demonstrar um exemplo e encontrar o volume de um cone arbitrário.

Exemplo 5.32

Encontrar um volume usando um duplo integral

Use coordenadas polares para encontrar o volume dentro do cone z = 2 - x 2 + y 2 z = 2 - x 2 + y 2 e acima do plano x y. plano x y.

Solução

Encontramos a equação do círculo definindo z = 0: z = 0:

∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = 2 (2 - r) rdrd θ = 2 π 4 3 = 8 π 3 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = 2 (2 - r ) rdrd θ = 2 π 4 3 = 8 π 3 unidades cúbicas.

Análise

Observe que, se encontrássemos o volume de um cone arbitrário com raio a a unidades e altura h h unidades, a equação do cone seria z = h - h a x 2 + y 2. z = h - h a x 2 + y 2.

Ainda podemos usar a Figura 5.37 e definir a integral como ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = a (h - h a r) r d r d θ. ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = a (h - h a r) r d r d θ.

Avaliando a integral, obtemos 1 3 π a 2 h. 1 3 π a 2 h.

Use coordenadas polares para encontrar uma integral iterada para encontrar o volume do sólido delimitado pelos parabolóides z = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 e z = 16 - x 2 - y 2. z = 16 - x 2 - y 2.

Tal como acontece com as coordenadas retangulares, também podemos usar coordenadas polares para encontrar áreas de certas regiões usando uma integral dupla. Como antes, precisamos entender a região cuja área queremos calcular. Desenhar um gráfico e identificar a região pode ser útil para perceber os limites da integração. Geralmente, a fórmula da área na integração dupla será semelhante a

Exemplo 5.33

Encontrando uma área usando um duplo integral em coordenadas polares

Avalie a área limitada pela curva r = cos 4 θ. r = cos 4 θ.

Solução

Exemplo 5.34

Encontrando a área entre duas curvas polares

Encontre a área delimitada pelo círculo r = 3 cos θ r = 3 cos θ e o cardióide r = 1 + cos θ. r = 1 + cos θ.

Solução

Em primeiro lugar, esboce os gráficos da região (Figura 5.39).

Podemos ver a simetria do gráfico de que precisamos para encontrar os pontos de intersecção. Definir as duas equações iguais uma à outra dá

Avaliando cada peça separadamente, descobrimos que a área é

Encontre a área delimitada dentro do cardióide r = 3 - 3 sen θ r = 3 - 3 sen θ e fora do cardióide r = 1 + sin θ. r = 1 + sin θ.

Exemplo 5.35

Avaliando um Integral Duplo Impróprio em Coordenadas Polares

Avalie a integral ∬ R 2 e −10 (x 2 + y 2) d x d y. ∬ R 2 e −10 (x 2 + y 2) d x d y.

Solução

Esta é uma integral imprópria porque estamos integrando em uma região ilimitada R 2. R 2. Em coordenadas polares, todo o plano R 2 R 2 pode ser visto como 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ r ≤ ∞. 0 ≤ r ≤ ∞.

Usando as mudanças de variáveis ​​de coordenadas retangulares para coordenadas polares, temos

Avalie a integral ∬ R 2 e −4 (x 2 + y 2) d x d y. ∬ R 2 e −4 (x 2 + y 2) d x d y.

Seção 5.3 Exercícios

Nos exercícios a seguir, expresse a região D D em coordenadas polares.

Nos exercícios a seguir, o gráfico da região retangular polar D D é dado. Expresse D D em coordenadas polares.

No gráfico a seguir, a região D D é limitada por y = x y = xey = x 2. y = x 2.

Nos exercícios a seguir, avalie a integral dupla ∬ R f (x, y) d A ∬ R f (x, y) d A sobre a região retangular polar D. D.

∬ D (e x 2 + y 2 + x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4) arctan (y x) d A, D = <(r, θ) | 1 ≤ r ≤ 2, π 4 ≤ θ ≤ π 3> ∬ D (e x 2 + y 2 + x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4) arctan (y x) d A, D =

Nos exercícios a seguir, as integrais foram convertidas em coordenadas polares. Verifique se as identidades são verdadeiras e escolha a forma mais fácil de avaliar as integrais, em coordenadas retangulares ou polares.

∫ 1 2 ∫ 0 x (x 2 + y 2) dydx = ∫ 0 π 4 ∫ s θ 2 s θ r 3 drd θ ∫ 1 2 ∫ 0 x (x 2 + y 2) dydx = ∫ 0 π 4 ∫ s θ 2 s θ r 3 drd θ

∫ 2 3 ∫ 0 xxx 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 2 s θ 3 s θ r cos θ drd θ ∫ 2 3 ∫ 0 xxx 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 2 s θ 3 s θ r cos θ drd θ

∫ 0 1 ∫ x 2 x 1 x 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ drd θ ∫ 0 1 ∫ x 2 x 1 x 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ drd θ

∫ 0 1 ∫ x 2 xyx 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ r sin θ drd θ ∫ 0 1 ∫ x 2 xyx 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ r sin θ drd θ

Nos exercícios a seguir, converta as integrais em coordenadas polares e avalie-as.

∫ 0 3 ∫ 0 9 - y 2 (x 2 + y 2) d x d y ∫ 0 3 ∫ 0 9 - y 2 (x 2 + y 2) d x d y

∫ 0 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 (x 2 + y 2) 2 d x d y ∫ 0 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 (x 2 + y 2) 2 d x d y

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 (x + y) d y d x ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 (x + y) d y d x

∫ 0 4 ∫ - 16 - x 2 16 - x 2 sin (x 2 + y 2) d y d x ∫ 0 4 ∫ - 16 - x 2 16 - x 2 sin (x 2 + y 2) d y d x

Encontre a área total da região delimitada pela rosa de quatro folhas r = sin 2 θ r = sin 2 θ (veja a figura do exercício anterior).

Encontre o volume do sólido situado no primeiro octante e limitado pelo parabolóide z = 1 - 4 x 2 - 4 y 2 z = 1 - 4 x 2 - 4 y 2 e os planos x = 0, y = 0, x = 0, y = 0 e z = 0. z = 0.

Encontre o volume do sólido limitado pelo parabolóide z = 2 - 9 x 2 - 9 y 2 z = 2 - 9 x 2 - 9 y 2 e o plano z = 1. z = 1.

Para os dois exercícios seguintes, considere um anel esférico, que é uma esfera com um furo cilíndrico cortado de forma que o eixo do cilindro passe pelo centro da esfera (veja a figura a seguir).

Encontre o volume do sólido que se encontra sob o cone duplo z 2 = 4 x 2 + 4 y 2, z 2 = 4 x 2 + 4 y 2, dentro do cilindro x 2 + y 2 = x, x 2 + y 2 = x e acima do plano z = 0. z = 0.

Encontre o volume do sólido que se encontra sob o parabolóide z = x 2 + y 2, z = x 2 + y 2, dentro do cilindro x 2 + y 2 = x, x 2 + y 2 = x, e acima do plano z = 0. z = 0.

Encontre o volume do sólido que está sob o plano x + y + z = 10 x + y + z = 10 e acima do disco x 2 + y 2 = 4 x. x 2 + y 2 = 4 x.

Encontre o volume do sólido que está sob o plano 2 x + y + 2 z = 8 2 x + y + 2 z = 8 e acima do disco unitário x 2 + y 2 = 1. x 2 + y 2 = 1.

Use as informações do exercício anterior para calcular a integral ∬ D (x 2 + y 2) 3 d A, ∬ D (x 2 + y 2) 3 d A, onde D D é o disco unitário.

Aplique o exercício anterior para calcular a integral ∬ D y 2 x 2 d A, ∬ D y 2 x 2 d A, onde D = <(r, θ) | 1 ≤ r ≤ 2, π 6 ≤ θ ≤ π 3>. D = <(r, θ) | 1 ≤ r ≤ 2, π 6 ≤ θ ≤ π 3>.

Uma tampa esférica é a região de uma esfera que fica acima ou abaixo de um determinado plano.

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    • Autores: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Editor / site: OpenStax
    • Título do livro: Cálculo Volume 3
    • Data de publicação: 30 de março de 2016
    • Local: Houston, Texas
    • URL do livro: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
    • URL da seção: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/5-3-double-integrals-in-polar-coordinates

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    1 resposta 1

    Não há muita diferença entre fazer a integração de área em coordenadas polares como uma integral dupla e na maneira como você pode ter encontrado antes no cálculo de variável única. Ainda é importante ter uma ideia de como são as regiões (aqui você tem um limacon e um "amendoim").

    Sua porção radial está correta, mas você realmente precisa olhar para os ângulos onde as curvas se cruzam: você vai querer resolver $ 2 + sin theta = 2 + cos (2 theta) $ para obter o gama de integração de ângulos. Existem duas zonas para cobrir, mas você pode fazer uso da simetria aqui e apenas integrar sobre uma delas.

    A curva vermelha é o limacon $ 2 + sin theta $, a curva azul, $ 2 + cos (2 theta) $.

    Aliás, na integral que você escreveu, não é que haja não integrando, mas sim que o integrando é "1". Você está fazendo uma integral de superfície em que todas as manchas infinitesimais são igualmente "ponderadas" em 1, então o resultado é simplesmente a área da região. Integrais de superfície com alguma "função de ponderação" $ f (r, theta) $ ou $ g (x, y) $ aparecem em várias aplicações.


    2 respostas 2

    Você deve ter duas integrais separadas, uma vez que há uma mudança nos limites de integração, medida a partir da origem. Você também pode aplicar simetria sobre o eixo $ x- $ e escrever

    $ A = 2 left [ int_0 ^ < arccos (1/3)> int_0 ^ <2> r dr d theta + int _ < arccos (1/3)> ^ < pi / 2> int_0 ^ <6 cos theta> r dr d theta right]. $

    O "braço radial" se estende ao círculo $ r = 2 $ até o ângulo $ theta = arccos ( frac <1> <3>) , $, mas então "muda" para o outro círculo até $ theta = frac < pi> <2> . $ Aqui está um gráfico da situação:

    O que quero dizer é que para a região "entre" esses dois círculos, seu "raio" a partir da origem não é delimitado em qualquer lugar por um círculo como o "círculo externo" e o outro como o "círculo interno", você só muda de um círculo para o segundo.

    EDITAR: Eu olhei para sua declaração de problema novamente, e então meu gráfico novamente, e percebi que a declaração é ambíguo. Eu interpretei isso como "a área dentro Ambas $ r = 6 cos theta text r = 2 $ " [which I've filled with blue] . The integral you wrote could be applied to "the area inside $ r = 6 cos heta , $ but outside $ r = 2 $ " [which I've now filled in orange]. In that case, your approach is correct, except that $ r = 6 cos heta $ is the "outer curve" and $ r = 2 $ , the "inner curve", so you should have written

    Was this in fact the area you meant to cover? (Sorry if I misunderstood the intended problem.) You have the boundaries swapped in the integral, which certainly explains the negativo result.


    Math 215 Examples

    UMA polar rectangle is a region in the (xy)-plane defined by the inequalities (a le r le b) and (alphale hetaleeta) in polar coordinates. For example, the unit disk can be concisely described as the polar rectangle (0le rle 1), (0le hetale 2pi).

    The area of a polar rectangle is (frac<1><2>(eta-alpha)(b^2-a^2)), as this is the difference in area between the sectors of a radius (b) and a radius (a) circle for (alphale hetaleeta).

    In particular, if we have a polar rectangle of radial "width" (Delta r) and angular "width" (Delta heta) centered around ((r, heta)), then (eta-alpha=Delta heta) and (frac<1><2>(b^2-a^2)=frac<1><2>(b+a)(b-a) = rDelta r), so the area of this polar rectangle is (r Delta rDelta heta).

    Integrating in Polar Coordinates

    Recall that, to estimate (iintlimits_R f(x,y),dA) over an ordinary rectangle (R), we formed the Riemann sum [iintlimits_R f(x,y),dA approx sum_^msum_^n f(x_i,y_j)Delta A = sum_^msum_^n f(x_i,y_i)Delta xDelta y] where each ((x_i,y_j)) is a sample point in the (ij)th subrectangle. Taking the limit as the number of subrectangles goes to infinity is, in fact, our definition of (iintlimits_R f(x,y),dA).

    What if instead we want to integrate (f(x,y)) over a polar rectangle (R)? We can write (f(x,y)) in polar coordinates as (f(rcos heta, rsin heta)) by using the relations (x=rcos heta), (y=rsin heta). Now if we subdivide (R) into polar subrectangles, we have [iintlimits_R f(x,y),dA approx sum_^msum_^n f(r_icos heta_j, r_isin heta_j)Delta A] where each ((r_i, heta_j)) is a sample point in the (ij)th polar subrectangle.

    For example, a Riemann sum over a polar rectangle with (4) radial subdivisions and (3) angular subdivisions might look graphically like

    If we pick the sample points in the Riemann sum to be the centers of the polar subrectangles, then as just discussed, we can write (Delta A = r_iDelta rDelta heta), and our Riemann sum becomes [iintlimits_R f(x,y),dA approx sum_^msum_^n f(r_icos heta_j, r_isin heta_j) r_iDelta rDelta heta] (notice the (r_i) arising from (Delta A) on the right hand side!).

    Taking the limit as (m) and (n) go to infinity turns the right hand side into an iterated integral:

    Illustrated Example

    Worked Solution

    The region (R) is the polar rectangle (0le rle 1), (pi/2le hetalepi). Using (x=rcos heta) and (y=rsin heta), we write the integrand in polar coordinates as [egin x^2-3x+y^2 &= (rcos heta)^2-3rcos heta+(rsin heta)^2 &= r^2(cos^2 heta+sin^2 heta)-3rcos heta &= r^2 - 3rcos heta. end]

    Remembering to include the extra factor of (r) when converting to polar coordinates, the desired integral is [egin iintlimits_R (x^2-3x+y^2), dA &= int_^piint_0^1 (r^2-3rcos heta),r,dr,d heta &= int_^piint_0^1 (r^3-3r^2cos heta),dr,d heta &= int_^pileft(left(frac<1><4>r^4-r^3cos heta ight)Bigg|_0^1 ight), d heta &= int_^pileft(frac<1><4>-cos heta ight),d heta &= left(frac<1><4> heta-sin heta ight)Bigg|_^pi &= left(frac<4>+0 ight)-left(frac<8>-1 ight) &= frac<8>+1. end]

    Visualizing the Example

    The following animation shows the polar Riemann sums approximating this double integral as the number of subdivisions increases.

    Notice that the polar rectangles closer to the origin are much narrower looking than the ones further out, so if we had two boxes in a polar Riemann sum with the same height, the one closer to the origin would contribute less to the result than the one further out. This is not true in the ordinary, non-polar Riemann sums we've looked at in these sums, all the subrectangles have the same area (Delta A = Delta x Delta y), so two boxes with the same height have the same volume and hence always contribute the same amount to the Riemann sum. However, in polar Riemann sums, the area of a polar subrectangle is (Delta A = rDelta rDelta heta), which depends also on (r), the distance from the origin. Thus polar subrectangles closer to the origin (with small (r)) contribute less to the result than polar subrectangles further from the origin (with bigger (r)). We see this graphically in the narrow rectangles near the origin, and symbolically in the extra factor of (r) that shows up when writing the double integral as an iterated integral in polar coordinates.

    Further Questions

    1. Work this example again using the other order of integrals, integrating first with respect to ( heta) then (r).
    2. How would our answer change if our region of integration were instead the sector of the unit disk in the first quadrant? What about the third quadrant? Fourth quadrant? Try to answer these questions without redoing the whole calculation instead, think about which parts of the calculation would change, and how.
    3. Based on your answers to Question 2, what would we get if we integrated (x^2-3x+y^2) over the entire unit disk?
    4. In the box on Double Integrals in Polar Coordinates, we defined the angular range as (alphale hetaleeta), with (0le eta-alphale 2pi). What could go wrong with our polar rectangles if we allow (eta-alpha > 2pi)?
    5. In the box on Double Integrals in Polar Coordinates, we defined the radial range as (0le ale rle b). What could go wrong with our polar rectangles if we allow (a < 0)?

    Using the Mathematica Demo

    All graphics on this page were generated by the Mathematica notebook 15_4DoubleIntegralsInPolarCoordinates.nb.

    This notebook generates images and animations like those on this page of polar Riemann sums for any integrand (f(r, heta)) and any polar rectangle.

    As an exercise, use the notebook to provide clear graphical answers to Questions 2 and 3 above.

    Then, can you come up with an integrand (f(r, heta)) and bounds so that the notebook produces Riemann sums approximating the area of the unit circle, or the volume of the unit sphere? What about a cone of radius 1 and height 1?


    Double Integrals in Polar Coordinates (Exercises)

    Converting to Polar Coordinates:

    In Exercises 29–32, use polar coordinates to set up and evaluate the double integral

    Converting to Polar Coordinates In Exercises 29–32, use polar coordinates to set up and evaluate the double integral

    Converting to Polar Coordinates:

    In Exercises 29–32, use polar coordinates to set up and evaluate the double integral


    Double Integrals in Polar Coordinates

    A series of free Calculus Video Lessons.
    How to use polar coordinates to set up a double integral to find the volume underneath a plane and above a circular region.
    How to transform and evaluate double integrals from Cartesian co-ordinates to polar co-ordinates?



    Double Integral Using Polar Coordinates - Part 1 of 3
    This video shows how to use polar coordinates to set up a double integral to find the volume underneath a plane and above a circular region.

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    Example 1

    Evaluate the double integral $iint_R x + 2y : dA$ where $R$ is the region of area between the semicircles above the $x$ -axis of $x^2 + y^2 = 1$ and $x^2 + y^2 = 4$ .

    We note that $f(x, y) = x + 2y$ and so $f(r cos heta, r sin heta) = r cos heta + 2r sin heta$ . Using the formula above, we can convert our double integral into the following iterated integrals:


    Multivariable Calculus

    Objectives

    After completing this section you should.

    Be able to change coordinates of a double integral between Cartesian and polar coordinates

    We now want to explore how to perform (u)-substitution in high dimensions. Let's start with a review from first semester calculus.

    Review 11.3.1

    Consider the integral (dsint_<-1>^4 e^ <-3x>dx ext<.>)

    Let (u=-3x ext<.>) Solve for (x) and then compute (dx ext<.>)

    Explain why (dsint_<-1>^4 e^ <-3x>dx=int_<3>^<-12>e^u left(-frac<1><3> ight)du ext<.>)

    Explain why (dsint_<-1>^4 e^ <-3x>dx=int_<-12>^<3>e^u left|-frac<1><3> ight| du ext<.>)

    If the (u)-values are between (-3) and (2 ext<,>) what would the (x)-values be between? How does the length of the (u) interval ([-3,2]) relate to the length of the corresponding (x) interval?

    In the exercise above, we used a change of coordinates (u=-3x ext<,>) or (x=-1/3 u ext<.>) By taking derivatives, we found that (dx=-frac<1><3>du ext<.>) The negative means that the orientation of the interval was reversed. The fraction (frac13) tells us that lengths (dx) using (x) coordinates will be (1/3)rd as long as lengths (du) using (u) coordinates. When we write (dx = fracdu ext<,>) the number (frac) is called the Jacobian of (x) with respect to (u ext<.>) The Jacobian tells us how lengths are altered when we change coordinate systems. We now generalize this to polar coordinates. Before we're done with this section, we'll generalize the Jacobian to any change of coordinates.

    Exercise 11.3.2

    Consider the polar change of coordinates (x=rcos heta) and (y=rsin heta ext<,>) which we could just write as

    If you need a reminder of how to compute determinants, refer to Section 2.3.1

    Compute the derivative (Dvec T(r, heta) ext<.>) You should have a 2 by 2 matrix.

    We need a single number from this matrix that tells us something about area. Determinants are connected to area.

    Compute the determinant of (Dvec T(r, heta)) and simplify.

    The determinant you found above is called the Jacobian of the polar coordinate transformation. Let's summarize these results in a theorem.

    Theorem 11.3.1

    If we use the polar coordinate transformation (x=rcos heta, y=rsin heta ext<,>) then we can switch from ((x,y)) coordinates to ((r, heta)) coordinates if we use

    Ask me in class to give you an informal picture approach that explains why (dxdy=rdrd heta ext<.>)

    The number (|r|) is called the Jacobian of (x) and (y) with respect to (r) and ( heta ext<.>) If we require all bounds for (r) to be nonnegative, we can ignore the absolute value. If (R_) is a region in the (xy) plane that corresponds to the region (R_) in the (r heta) plane (where (rgeq 0)), then we can write

    egin iint_<>> f(x,y) dxdy = iint_<>> f(rcos heta,rsin heta) r drd heta. end

    Subsection 11.3.1 Practice Changing Coordinates

    We need some practice using this idea. We'll start by describing regions using inequalities on (r) and ( heta ext<.>)

    Exercise 11.3.3

    For each region (R) below, draw the region in the (xy)-plane. Then give a set of inequalities of the form (aleq rleq b, alpha(r)leq heta leq eta(r)) or (alphalt hetalt eta, a( heta)leq rleq b( heta) ext<.>) For example, if the region is the inside of the circle (x^2+y^2=9 ext<,>) then we could write (0leq hetaleq 2pi ext<,>) (0leq rleq 3 ext<.>)

    The region (R) is the quarter circle in the first quadrant inside the circle (x^2+y^2=25 ext<.>)

    The region (R) is below (y=sqrt<9-x^2> ext<,>) above (y=x ext<,>) and to the right of (x=0 ext<.>)

    The region (R) is the triangular region below (y=sqrt 3 x ext<,>) above the (x)-axis, and to the left of (x=1 ext<.>)

    Exercise 11.3.4

    Consider the opening exercise for this unit. We want to find the volume under (f(x,y)=9-x^2-y^2) where (xgeq0) and (zgeq 0 ext<.>) We obtained the integral formula

    Write bounds for the region (R) by giving bounds for (r) and ( heta ext<.>)

    Rewrite the double integral as an iterated integral using the bounds for (r) and ( heta ext<.>) Don't forget the Jacobian (as (dxdy=rdrd heta)).

    Compute the integral in the previous part by hand. [Suggestion: you'll want to simplify (9-x^2-y^2) to (9-r^2) before integrating.]

    Exercise 11.3.5

    Find the centroid of a semicircular disc of radius (a) ((ygeq 0)). Actually compute any integrals.

    Exercise 11.3.6

    try switching coordinate systems to polar coordinates. This will require you to first draw the region of integration, and then then obtain bounds for the region in polar coordinates.

    We're now ready to define the Jacobian of any transformation.

    Subsection 11.3.2 Computational Practice

    These are provided to help you achieve better skills in basic computational answers.


    Assista o vídeo: INTEGRAL DUPLA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS EM UMA CIRCUNFERÊNCIA (Dezembro 2021).