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3.1: Definição da Derivada - Matemática


Agora que temos uma compreensão conceitual de um limite e a habilidade prática de computar limites, estabelecemos a base para nosso estudo de cálculo, o ramo da matemática em que calculamos derivadas e integrais. A maioria dos matemáticos e historiadores concorda que o cálculo foi desenvolvido de forma independente pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e o alemão Gottfried Leibniz (1646–1716), cujas imagens aparecem na Figura. Embora pareça provável que Newton tenha, de fato, chegado às ideias por trás do cálculo primeiro, devemos a Leibniz pela notação que comumente usamos hoje.

Figura ( PageIndex {1} ): Newton e Leibniz são creditados com o desenvolvimento do cálculo independentemente.

Linhas Tangentes

Começamos nosso estudo do cálculo revisitando a noção de linhas secantes e linhas tangentes. Lembre-se de que usamos a inclinação de uma linha secante para uma função em um ponto ((a, f (a)) ) para estimar a taxa de mudança, ou a taxa na qual uma variável muda em relação a outra variável. Podemos obter a inclinação da secante escolhendo um valor de x próximo a ae traçando uma linha através dos pontos ((a, f (a)) ) e ((x, f (x)) ), como mostrado na figura. A inclinação desta linha é dada por uma equação na forma de um quociente de diferença:

[m_ {sec} = frac {f (x) −f (a)} {x − a} ]

Também podemos calcular a inclinação de uma linha secante para uma função em um valor a usando esta equação e substituindo (x ) por (a + h ), onde (h ) é um valor próximo a a. Podemos então calcular a inclinação da linha através dos pontos ((a, f (a)) ) e ((a + h, f (a + h)) ). Neste caso, descobrimos que a linha secante tem uma inclinação dada pelo seguinte quociente de diferença com incremento (h ):

[m_ {sec} = frac {f (a + h) −f (a)} {a + h − a} = frac {f (a + h) −f (a)} {h} ]

Definição: quociente de diferença

Seja (f ) uma função definida em um intervalo (I ) contendo (a ). Se (x ≠ a ) estiver em (I ), então

[Q = frac {f (x) −f (a)} {x − a} ]

é um quociente de diferença.

Além disso, se (h ≠ 0 ) for escolhido de forma que (a + h ) esteja em (I ), então

[Q = frac {f (a + h) −f (a)} {h} ]

é um quociente de diferença com incremento (h ).

Essas duas expressões para calcular a inclinação de uma linha secante são ilustradas na Figura. Veremos que cada um desses dois métodos para encontrar a inclinação de uma linha secante tem valor. Dependendo da configuração, podemos escolher um ou outro. A principal consideração em nossa escolha geralmente depende da facilidade de cálculo.

Figura ( PageIndex {2} ): Podemos calcular a inclinação de uma linha secante de duas maneiras.

Na figura ( PageIndex {3} )(a) vemos que, conforme os valores de (x ) se aproximam de (a ), as inclinações das retas secantes fornecem melhores estimativas da taxa de variação da função em (a ). Além disso, as próprias linhas secantes se aproximam da linha tangente à função em (a ), que representa o limite das linhas secantes. Da mesma forma, Figura ( PageIndex {3} )(b) mostra que conforme os valores de (h ) se aproximam de (0 ), as retas secantes também se aproximam da reta tangente. A inclinação da linha tangente em (a ) é a taxa de variação da função em (a ), conforme mostrado na Figura ( PageIndex {3} )(c).

Figura ( PageIndex {3} ): As linhas secantes se aproximam da linha tangente (mostrada em verde) conforme o segundo ponto se aproxima do primeiro.

Na figura ( PageIndex {4} ) mostramos o gráfico de (f (x) = sqrt {x} ) e sua linha tangente em ((1,1) ) em uma série de intervalos mais estreitos sobre (x = 1 ). À medida que os intervalos se tornam mais estreitos, o gráfico da função e sua linha tangente parecem coincidir, tornando os valores da linha tangente uma boa aproximação dos valores da função para escolhas de (x ) próximo a (1 ) . Na verdade, o próprio gráfico de (f (x) ) parece ser localmente linear na vizinhança imediata de (x = 1 ).

Figura ( PageIndex {4} ): Para valores de (x ) próximos a (1 ), o gráfico de (f (x) = sqrt {x} ) e sua linha tangente parecem coincidir.

Formalmente, podemos definir a reta tangente ao gráfico de uma função da seguinte maneira.

Definição: linha tangente

Seja (f (x) ) uma função definida em um intervalo aberto contendo (a ). A linha tangente a (f (x) ) em a é a linha que passa pelo ponto ((a, f (a)) ) com inclinação

[m_ {tan} = displaystyle lim_ {x → a} frac {f (x) −f (a)} {x − a} label {DefTanA} ]

desde que este limite exista.

Da mesma forma, podemos definir o linha tangente a (f (x) ) em a para ser a linha que passa pelo ponto ((a, f (a)) ) com inclinação

[m_ {tan} = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (a + h) −f (a)} {h} label {DefTanB} ]

desde que este limite exista.

Assim como usamos duas expressões diferentes para definir a inclinação de uma reta secante, usamos duas formas diferentes para definir a inclinação da reta tangente. Neste texto, usamos as duas formas de definição. Como antes, a escolha da definição dependerá do ambiente. Agora que definimos formalmente uma linha tangente para uma função em um ponto, podemos usar esta definição para encontrar equações de retas tangentes.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando uma linha tangente

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de (f (x) = x ^ 2 ) em (x = 3. )

Solução

Primeiro encontre a inclinação da linha tangente. Neste exemplo, use Equation ref {DefTanA}.

(m_ {tan} = displaystyle lim_ {x → 3} frac {f (x) −f (3)} {x − 3} ) Aplique a definição.

(= displaystyle lim_ {x → 3} frac {x ^ 2−9} {x − 3} ) Substituir (f (x) = x ^ 2 ) e (f (3) = 9 )

(= displaystyle lim_ {x → 3} frac {(x − 3) (x + 3)} {x − 3} = displaystyle lim_ {x → 3} (x + 3) = 6 ) Fatore o numerador para avaliar o limite.

A seguir, encontre um ponto na linha tangente. Como a linha é tangente ao gráfico de (f (x) ) em (x = 3 ), ela passa pelo ponto ((3, f (3)) ). Temos (f (3) = 9 ), então a reta tangente passa pelo ponto ((3,9) ).

Usando a equação de inclinação do ponto da reta com a inclinação (m = 6 ) e o ponto ((3,9) ), obtemos a reta (y − 9 = 6 (x − 3) ) . Simplificando, temos (y = 6x − 9 ). O gráfico de (f (x) = x ^ 2 ) e sua linha tangente em (3 ) são mostrados na Figura.

Figura ( PageIndex {5} ): A linha tangente a (f (x) ) em (x = 3 ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): A inclinação de uma linha tangente revisitada

Use a Equação para encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico de (f (x) = x ^ 2 ) em (x = 3 ).

Solução

As etapas são muito semelhantes a Example ( PageIndex {1} ). Veja Equação ref {DefTanB} para a definição.

(m_ {tan} = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (3 + h) −f (3)} {h} ) Aplique a definição.

(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {(3 + h) ^ 2−9} {h} ) Substituir (f (3 + h) = (3 + h) ^ 2 ) e (f (3) = 9 ).

(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {9 + 6h + h ^ 2−9} {h} ) Expanda e simplifique para avaliar o limite.

(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {h (6 + h)} {h} = displaystyle lim_ {h → 0} (6 + h) = 6 )

Obtivemos o mesmo valor para a inclinação da reta tangente usando a outra definição, demonstrando que as fórmulas podem ser trocadas.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Encontrando a Equação de uma Linha Tangente

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de (f (x) = 1 / x ) em (x = 2 ).

Solução

Podemos usar a Equação ref {DefTanA}, mas como vimos, os resultados são os mesmos se usarmos a Equação ref {DefTanB}.

(m_ {tan} = displaystyle lim_ {x → 2} frac {f (x) −f (2)} {x − 2} ) Aplique a definição.

(= displaystyle lim_ {x → 2} frac { frac {1} {x} - frac {1} {2}} {x − 2} ) Substituir (f (x) = frac {1} {x} ) e (f (2) = frac {1} {2} )

(= displaystyle lim_ {x → 2} frac { frac {1} {x} - frac {1} {2}} {x − 2} ⋅ frac {2x} {2x} ) Multiplique numerador e denominador por (2x ) para simplificar as frações.

(= displaystyle lim_ {x → 2} frac {(2 − x)} {(x − 2) (2x)} ) Simplifique.

(= displaystyle lim_ {x → 2} frac {−1} {2x} ) Simplifique usando frac {2 − x} {x − 2} = - 1 ), para (x ≠ 2 )

(= - frac {1} {4} ) Avalie o limite.

Agora sabemos que a inclinação da reta tangente é (- frac {1} {4} ). Para encontrar a equação da reta tangente, também precisamos de um ponto na reta. Sabemos que (f (2) = frac {1} {2} ). Como a linha tangente passa pelo ponto ((2, frac {1} {2}) ), podemos usar a equação de inclinação do ponto de uma linha para encontrar a equação da linha tangente. Assim, a reta tangente tem a equação (y = - frac {1} {4} x + 1 ). Os gráficos de (f (x) = frac {1} {x} ) e (y = - frac {1} {4} x + 1 ) são mostrados na Figura.

Figura ( PageIndex {6} ):A linha é tangente a (f (x) ) em (x = 2 ).

( PageIndex {1} )

Encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de (f (x) = sqrt {x} ) em (x = 4 ).

Dica

Use Equation ref {DefTanA} ou Equation ref {DefTanB}. Multiplique o numerador e o denominador por um conjugado.

Responder

( frac {1} {4} )

A derivada de uma função em um ponto

O tipo de limite que calculamos para encontrar a inclinação da linha tangente a uma função em um ponto ocorre em muitas aplicações em muitas disciplinas. Essas aplicações incluem velocidade e aceleração em física, funções de lucro marginal em negócios e taxas de crescimento em biologia. Esse limite ocorre com tanta frequência que damos a esse valor um nome especial: o derivado. O processo de encontrar uma derivada é chamado diferenciação.

Definição

Seja (f (x) ) uma função definida em um intervalo aberto contendo (a ). A derivada da função (f (x) ) em (a ), denotada por (f ′ (a) ), é definida por

[f ′ (a) = displaystyle lim_ {x → a} frac {f (x) −f (a)} {x − a} label {DefDerA} ]

desde que este limite exista.

Alternativamente, também podemos definir a derivada de (f (x) ) em (a ) como

[f ′ (a) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (a + h) −f (a)} {h} label {DefDerB} ].

Exemplo ( PageIndex {4} ): Estimando um derivado

Para (f (x) = x ^ 2 ), use uma tabela para estimar (f ′ (3) ) usando a Equação ref {DefDerA}.

Solução

Crie uma tabela usando valores de (x ) logo abaixo de (3 ) e logo acima de (3 ).

(x ) ( frac {x ^ 2−9} {x − 3} )
2.95.9
2.995.99
2.9995.999
3.0016.001
6.016.01
3.16.1

Depois de examinar a tabela, vemos que uma boa estimativa é (f ′ (3) = 6 ).

( PageIndex {2} )

Para (f (x) = x ^ 2 ), use uma tabela para estimar (f ′ (3) ) usando a Equação ref {DefDerB}.

Dica

Avalie ( frac {(x + h) −x ^ 2} {h} ) em (h = −0,1, −0,01, −0,001,0,001,0,01,0,1 )

Responder

6

Exemplo ( PageIndex {6} ): Encontrando um Derivado

Para (f (x) = 3x ^ 2−4x + 1 ), encontre (f ′ (2) ) usando a Equação ref {DefDerA}.

Solução

Substitua a função e o valor fornecidos diretamente na equação.

(f ′ (x) = displaystyle lim_ {x → 2} frac {f (x) −f (2)} {x − 2} ) Aplique a definição.

(= displaystyle lim_ {x → 2} frac {(3x ^ 2−4x + 1) −5} {x − 2} ) Substituir (f (x) = 3x ^ 2−4x + 1 ) e (f (2) = 5 ).

(= displaystyle lim_ {x → 2} frac {(x − 2) (3x + 2)} {x − 2} ) Simplifique e fatorar o numerador.

(= displaystyle lim_ {x → 2} (3x + 2) ) Cancele o fator comum.

(= 8 ) Avalie o limite

Exemplo ( PageIndex {7} ): Revisitando o derivado

Para (f (x) = 3x ^ 2−4x + 1 ), encontre (f ′ (2) ) usando a Equação ref {DefDerB}.

Solução

Usando esta equação, podemos substituir dois valores da função na equação e devemos obter o mesmo valor do Exemplo.

(f ′ (2) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (2 + h) −f (2)} {h} ) Aplique a definição.

(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {(3 (2 + h) ^ 2−4 (2 + h) +1) −5} {h} ) Substituir (f (2) = 5 ) e (f (2 + h) = 3 (2 + h) ^ 2−4 (2 + h) +1 ).

(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {3h ^ 2 + 8h} {h} ) Simplifique o numerador.

(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {h (3h + 8)} {h} ) Fatore o numerador.

(= displaystyle lim_ {h → 0} (3h + 8) ) Cancele o fator comum.

(= 8 ) Avalie o limite.

Os resultados são os mesmos se usarmos Equation ref {DefDerA} ou Equation ref {DefDerB}.

( PageIndex {4} )

Para (f (x) = x ^ 2 + 3x + 2 ), encontre (f ′ (1) ).

Dica

Use Equation ref {DefDerA}, Equation ref {DefDerB} ou tente ambos. Use Example ( PageIndex {6} ) ou Example ( PageIndex {7} ) como guia.

Responder

(f ′ (1) = 5 )

Velocidades e taxas de mudança

Agora que podemos avaliar uma derivada, podemos usá-la em aplicações de velocidade. Lembre-se de que se (s (t) ) é a posição de um objeto se movendo ao longo de um eixo de coordenadas, o velocidade média do objeto ao longo de um intervalo de tempo ([a, t] ) se (t> a ) ou ([t, a] ) se (t

(v_ {ave} = frac {s (t) −s (a)} {t − a} ).

Conforme os valores de (t ) se aproximam de (a ), os valores de (v_ {ave} ) se aproximam do valor que chamamos de velocidade instantânea em (a ). Ou seja, a velocidade instantânea em (a ), denotada (v (a) ), é dada por

(v (a) = s ′ (a) = displaystyle lim_ {t → a} frac {s (t) −s (a)} {t − a} ).

Para entender melhor a relação entre a velocidade média e a velocidade instantânea, consulte a Figura. Nesta figura, a inclinação da reta tangente (mostrada em vermelho) é a velocidade instantânea do objeto no tempo (t = a ) cuja posição no tempo (t ) é dada pela função (s (t ) ). A inclinação da linha secante (mostrada em verde) é a velocidade média do objeto no intervalo de tempo ([a, t] ).

Figura ( PageIndex {7} ): A inclinação da linha secante é a velocidade média no intervalo ([a, t] ). A inclinação da linha tangente é a velocidade instantânea.

Podemos usar Equation ref {DefDerA} para calcular a velocidade instantânea, ou podemos estimar a velocidade de um objeto em movimento usando uma tabela de valores. Podemos então confirmar a estimativa usando a equação.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Estimando a velocidade

Um peso de chumbo em uma mola está oscilando para cima e para baixo. Sua posição no tempo (t ) em relação a uma linha horizontal fixa é dada por (s (t) = sint ) (Figura). Use uma tabela de valores para estimar (v (0) ). Verifique a estimativa usando a equação.

Figura ( PageIndex {8} ): Um peso de chumbo suspenso por uma mola em movimento oscilatório vertical.

Solução

Podemos estimar a velocidade instantânea em (t = 0 ) calculando uma tabela de velocidades médias usando valores de (t ) se aproximando de (0 ), conforme mostrado na Tabela.

(t ) ( frac {sint − sin0} {t − 0} = frac {sint} {t} )
−0.10.998334166
−0.010.9999833333
−0.0010.999999833
0.0010.999999833
0.010.9999833333
0.10.998334166

Velocidades médias usando valores de (t ) próximos a 0

Na tabela, vemos que a velocidade média no intervalo de tempo ([- 0,1,0] ) é (0,998334166 ), a velocidade média no intervalo de tempo ([- 0,01,0] ) é ( 0,9999833333 ) e assim por diante. Usando esta tabela de valores, parece que uma boa estimativa é (v (0) = 1 ).

Usando a Equação ref {DefDerA}, podemos ver que

(v (0) = s ′ (0) = displaystyle lim_ {t → 0} frac {sint − sin0} {t − 0} = displaystyle lim_ {t → 0} frac {sint} { t} = 1 ).

Assim, na verdade, (v (0) = 1 ).

( PageIndex {5} )

Uma pedra é lançada de uma altura de (64 ) pés. Sua altura acima do solo no tempo t segundos depois é dada por (s (t) = - 16t ^ 2 + 64,0≤t≤2 ). Encontre sua velocidade instantânea (1 ) segundo depois de cair, usando a Equação ref {DefDerB}.

Dica

(v (t) = s ′ (t) ). Siga os exemplos anteriores da derivada usando a Equação ref {DefDerB}.

Responder

-32 pés / s

Como vimos ao longo desta seção, a inclinação de uma linha tangente a uma função e a velocidade instantânea são conceitos relacionados. Cada um é calculado calculando uma derivada e cada um mede a taxa instantânea de mudança de uma função ou a taxa de mudança de uma função em qualquer ponto ao longo da função.

Definição: taxa instantânea de mudança

A taxa instantânea de mudança de uma função (f (x) ) em um valor (a ) é sua derivada (f ′ (a) ).

Exemplo ( PageIndex {9} ): Abridor de Capítulo: Estimativa da Taxa de Mudança de Velocidade

Figura ( PageIndex {9} ): (crédito: modificação do trabalho por Codex41, Flickr)

Alcançando uma velocidade máxima de (270,49 ) mph, o Hennessey Venom GT é um dos carros mais rápidos do mundo. Nos testes, passou de (0 ) a (60 ) mph em (3,05 ) segundos, de (0 ) a (100 ) mph em (5,88 ) segundos, de (0 ) a (200 ) mph em (14,51 ) segundos e de (0 ) a (229,9 ) mph em (19,96 ) segundos. Use esses dados para tirar uma conclusão sobre a taxa de mudança de velocidade (ou seja, sua aceleração) conforme se aproxima de (229,9 ) mph. A taxa de aceleração do carro parece estar aumentando, diminuindo ou constante?

Solução: primeiro observe que (60 ) mph = (88 ) ft / s, (100 ) mph ≈ (146,67 ) ft / s, (200 ) mph ≈ (293,33 ) ft / s, e (229,9 ) mph ≈ (337,19 ) pés / s. Podemos resumir as informações em uma tabela.

(t ) (v (t) )
00
3.0588
5.88147.67
14.51293.33
19.96337.19

(v (t) ) em diferentes valores de (t )

Agora calcule a aceleração média do carro em pés por segundo em intervalos da forma ([t, 19,96] ) conforme (t ) se aproxima de (19,96 ), conforme mostrado na tabela a seguir.

(t ) ( frac {v (t) −v (19,96)} {t − 19,96} = frac {v (t) −337,19} {t − 19,96} )
0.016.89
3.0514.74
5.8813.46
14.518.05

Aceleração média

A taxa de aceleração do carro diminui à medida que sua velocidade se aproxima de (229,9 ) mph ( (337,19 ) ft / s).

Exemplo ( PageIndex {10} ): Taxa de mudança de temperatura

O proprietário de uma casa ajusta o termostato para que a temperatura na casa comece a cair de (70 ° F ) às (21 ) da tarde, alcance um mínimo de (60 ° ) durante a noite e volte a subir para (70 ° ) por (7 ) da manhã seguinte. Suponha que a temperatura na casa seja dada por (T (t) = 0,4t ^ 2−4t + 70 ) para (0≤t≤10 ), onde (t ) é o número de horas passadas (9 ) pm Encontre a taxa instantânea de mudança da temperatura à meia-noite.

Solução

Como a meia-noite é (3 ) horas após (9 ) da tarde, queremos calcular (T ′ (3) ). Consulte a Equação ref {DefDerB}.

(T ′ (3) = displaystyle lim_ {t → 3} frac {T (t) −T (3)} {t − 3} ) Aplique a definição.

(= displaystyle lim_ {t → 3} frac {0,4t ^ 2−4t + 70−61,6} {t − 3} ) Substituir (T (t) = 0,4t ^ 2−4t + 70 ) e (T (3) = 61,6 ).

(= displaystyle lim_ {t → 3} frac {0,4t ^ 2−4t + 8,4} {t − 3} ) Simplifique.

(= displaystyle lim_ {t → 3} frac {0.4 (t − 3) (t − 7)} {t − 3} ) (= displaystyle lim_ {t → 3} frac {0.4 (t − 3) (t − 7)} {t − 3} )

(= displaystyle lim_ {t → 3} 0,4 (t − 7) ) Cancelar.

(= - 1,6 ) Avalie o limite.

A taxa instantânea de mudança da temperatura à meia-noite é de (- 1,6 ° F ) por hora.

Exemplo ( PageIndex {11} ): Taxa de variação do lucro

Uma empresa de brinquedos pode vender (x ) sistemas eletrônicos de jogo a um preço de (p = −0,01x + 400 ) dólares por sistema de jogo. O custo de fabricação de sistemas (x ) é dado por (C (x) = 100x + 10.000 ) dólares. Encontre a taxa de variação do lucro quando (10.000 ) jogos são produzidos. A empresa de brinquedos deve aumentar ou diminuir a produção?

Solução

O lucro (P (x) ) obtido pela produção de (x ) sistemas de jogo é (R (x) −C (x) ), onde (R (x) ) é a receita obtida do venda de (x ) jogos. Uma vez que a empresa pode vender (x ) jogos a (p = −0,01x + 400 ) por jogo,

(R (x) = xp = x (−0,01x + 400) = - 0,01x ^ 2 + 400x ).

Consequentemente,

(P (x) = - 0,01x ^ 2 + 300x − 10.000 ).

Portanto, avaliar a taxa de variação do lucro dá

(P ′ (10000) = displaystyle lim_ {x → 10000} frac {P (x) −P (10000)} {x − 10000} )

(= displaystyle lim_ {x → 10000} frac {−0,01x ^ 2 + 300x − 10000−1990000} {x − 10000} )

(= displaystyle lim_ {x → 10000} frac {−0,01x ^ 2 + 300x − 2000000} {x − 10000} )

(=100).

Como a taxa de variação do lucro (P ′ (10.000)> 0 ) e (P (10.000)> 0 ), a empresa deve aumentar a produção.

( PageIndex {6} )

Uma cafeteria determina que o lucro diário com scones obtido pela cobrança de s dólares por bolinho é (P (s) = - 20s ^ 2 + 150s − 10 ). A cafeteria atualmente cobra ($ 3,25 ) por bolinho. Encontre (P ′ (3,25) ), a taxa de variação de lucro quando o preço é ($ 3,25 ) e decida se a cafeteria deve ou não considerar aumentar ou diminuir seus preços nos scones.

Dica

Use o Exemplo ref {EXrateofchange} ( PageIndex {11} ) como um guia.

Responder

(P ′ (3,25) = 20> 0 ); aumentar os preços

Conceitos chave

  • A inclinação da linha tangente a uma curva mede a taxa instantânea de mudança de uma curva. Podemos calculá-lo encontrando o limite do quociente de diferença ou o quociente de diferença com incremento (h ).
  • A derivada de uma função (f (x) ) em um valor (a ) é encontrada usando qualquer uma das definições para a inclinação da reta tangente.
  • Velocidade é a taxa de mudança de posição. Como tal, a velocidade (v (t) ) no tempo (t ) é a derivada da posição (s (t) ) no tempo (t ). A velocidade média é dada por

(v_ {ave} = frac {s (t) −s (a)} {t − a} ).

A velocidade instantânea é dada por

(v (a) = s ′ (a) = displaystyle lim_ {t → a} frac {s (t) −s (a)} {t − a} ).

  • Podemos estimar uma derivada usando uma tabela de valores.

Equações Chave

  • Quociente de diferença

(Q = frac {f (x) −f (a)} {x − a} )

  • Quociente de diferença com incremento h

(Q = frac {f (a + h) −f (a)} {a + h − a} = frac {f (a + h) −f (a)} {h} )

  • Inclinação da linha tangente

(m_ {tan} = displaystyle lim_ {x → a} frac {f (x) −f (a)} {x − a} )

(m_ {tan} = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (a + h) −f (a)} {h} )

  • Derivada de f (x) em a

(f ′ (a) = displaystyle lim_ {x → a} frac {f (x) −f (a)} {x − a} )

(f ′ (a) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (a + h) −f (a)} {h} )

  • Velocidade média

(v_ {ave} = frac {s (t) −s (a)} {t − a} )

  • Velocidade instantânea

(v (a) = s ′ (a) = displaystyle lim_ {t → a} frac {s (t) −s (a)} {t − a} )

Glossário

derivado
a inclinação da linha tangente a uma função em um ponto, calculada tomando o limite do quociente de diferença, é a derivada
quociente de diferença

de uma função (f (x) ) em (a ) é dado por

( frac {f (a + h) −f (a)} {h} ) ou ( frac {f (x) −f (a)} {x − a} )

diferenciação
o processo de obtenção de um derivado
taxa instantânea de mudança
a taxa de mudança de uma função em qualquer ponto ao longo da função (a ), também chamada de (f ′ (a) ), ou a derivada da função em (a )

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Assista o vídeo: Aula 4 Definição de Derivada (Novembro 2021).